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APUNTES HISTORIA Y FILOSOFÍA DE LA LÓGICA:
3 Planos diferentes:
1. Argumentación. Plano lingüístico: argumentación: si te portas bien te doy un
caramelo.
2. Argumento. Plano conceptual: AB
A
B
3. Razonamiento: Plano psicológico.
La diferencia entre el ejemplo 1 y 2 es el lenguaje formal. Con las letras estamos
extrayendo una estructura determinada.
Falacia de la negación del antecedente:
Si no fumo soy de izquierdas p q
Fumo p
Luego soy de derechas z
Solo puede tener sentido esta oración:
Si no te portas bien te doy un caramelo. AB
No te portas bien, A
Luego no te lo doy B
…si utilizamos el bicondicional.
De otra manera, esto es, sin el bicondicional no es válido esto.
Si utilizo sinónimos puedo tener un argumentaciones distintas (plano lingüístico) pero
conceptualmente es lo mismo.
Regimentar: poner de acuerdo una serie de términos en función de un contexto.
Es muy difícil diferenciar qué es el razonamiento.
La lógica busca una diferencia de esta noción. La lógica lo que hace es sacar
determinadas abstracciones de las partes lingüísticas que le interesan. Esas
abstracciones se llaman argumentos. La lógica juzgará qué estructuras son válidas y
cuales no.
pq pq
Estructura válida: p Estructura no válida: p
Q q
1
Tenemos un montón de ejemplos lingüísticos de estas estructuras, apelando a recursos
tales como sinonimia. Ejemplo:
Fumar es de izquierdas Fumar es de rojos.
Ya hemos definido por tanto cual es el objeto de la lógica: los argumentos.
Las argumentaciones serán los ejemplos que se pongan en los argumentos. Pero no nos
movemos de este ámbito.
Definición primera de lógica:
La ciencia que estudia la validez formal de los argumentos. Argumentos como
entidades abstractas de carácter conceptual formados por proposiciones (premisas y
conclusión).
Las premisas son categorías que se otorgan en las proposiciones.
Para que algo sea un argumento tiene que tener una única conclusión.
Premisas: ¿Cuántas pueden ser?: 0, 1,… Número finito de premisas
Conclusión: No hay argumento sin conclusión. 1├ (conclusión): 1 argumento.
2├ (conclusión): 2 Argumentos.
Puede haber argumento sin premisas (verdades lógicas).
Tipos de argumentos:
1. Argumentos deductivos: En un argumento deductivo se pretende por parte de
alguien que la conclusión se siga necesariamente de las premisas. La lógica que
nosotros vamos a ver no funciona en la vida. No es una lógica del sentido común.
Formalizar es vaciar de contenido: sacamos una estructura de una argumentación, pero
hay muchas cosas que no tenemos en cuenta. Si el argumento es deductivo se pretende
por parte de alguien que la conclusión se siga necesariamente de las premisas. Ley carga
premisas: añadas las premisas que añadas siempre se deriva la conclusión. Ahora bien
los argumentos deductivos no son los únicos que hay (también hay argumentos
deductivos). Los argumentos deductivos pueden ser válidos (a la lógica sólo le interesan
estos) o no-válidos.
Al afirmar esto hemos eliminado la parte psicológica: ya no se pretende por parte de
alguien que la conclusión se siga necesariamente de las premisas. Ahora decimos: no
hay un argumento válido en el que las premisas sean verdaderas y la conclusión
sea sin embargo falsa.
La validez puede expresarse de tres maneras:
I. La conclusión se sigue necesariamente de las premisas.
2
II. Hay una relación de implicación entre premisas y conclusión.
III. No puede ser que siendo las premisas verdaderas la conclusión sea válida.
Un argumento es sólido si es válido y además sus premisas son verdaderas.
Resumen:
Argumento deductivo: se pretende por parte de alguien que las premisas se sigan
necesariamente de las premisas.
Argumento deductivo válido: la conclusión se sigue necesariamente de las premisas. No
hay argumento deductivo válido con premisas verdaderas y conclusión falsa.
Argumento sólido: la conclusión se sigue necesariamente de las premisas, y además las
premisas son verdaderas.
Argumento válido: premisas verdaderas y conclusión verdadera, y además se sigue
necesariamente una de otra.
Argumento no válido: premisas verdaderas, conclusión verdadera pero no se sigue una
de la otra.
Ejemplos Tabla:
ARGUMENTO PREMISAS CONCLUSIÓN
VAL/NO VALIDO V V
NO VÁLIDO V F
VAL/NO VALIDO F V
NO VAL. /VALIDO F F
Vamos a poner una plantilla como ejemplos.
La verdad o la falsedad depende de cómo sea el mundo, la validez o no-validez no.
Ej. 1:
Todos los madrileños son españoles. pq
Todos los españoles son europeos qr
Todos los madrileños son europeos pr
Argumento válido: premisas verdaderas y conclusión verdadera, y además se sigue
necesariamente una de otra.
La lógica de enunciados sólo le interesa: si…entonces.
x (MxEx)
La lógica de predicados (es más rica): x (ExUx)
x (MxUx)
Ej. 2: Todos los madrileños son españoles. p q
3
Todos los griegos son europeos sr
Todos los madrileños son europeos. pr
Argumento no válido: premisas verdaderas, conclusión verdadera pero no se sigue una
de la otra.
Ej. 3: Todos los madrileños son españoles pq
Todos los españoles son europeos. qr
Ningún madrileño es europeo (p r)
Argumento no-válido: con premisas verdaderas y conclusión falsa.
ARGUMENTOS
1. Conclusión
2. Abs.
3. Proposición.
a. 0, 1, Nº finito de premisas.
b. Exactamente una conclusión.
4. Se pretende que la conclusión se siga necesariamente de las premisas.
5. Deducción.
6. Válido: Transmite la verdad: si las premisas son válidas la conclusión
también lo es.
Esta lógica funciona muy bien para las proposiciones matemáticas. Está hecha para
ellas.
Cuadro de la irrelevancia: Para determinar la validez de un argumento deductivo es
irrelevante el valor de verdad de las premisas:
ARGUMENTO PREMISAS CONCLUSIÓN
Válido /no válido Verdaderas Verdaderas
No válido/ válido Verdaderas Falsas
Válido/ no válido Falsa Verdadera
Válido/ no válido Falsa Falsa
Un argumento si es válido transmite la verdad, pero no el argumento de verdad.
PREMISAS CONCLUSIÓN VÁLIDO INVÁLIDO
V V 1 2
V F Es imposible 4
F V 5 6
F F 7 8
4
p1 Cuando ambas premisas son verdaderas(si el argumento es válido)
p2 la conclusión no puede ser falsa, tiene que ser verdadera. Pero atención:
c transmitir la verdad, no el valor de verdad.
Cuando mostramos un contraejemplo intentamos demostrar una argumentación, por
ejemplo:
Rafa tiene las manos largas.
Por lo tanto, Rafa es un buen violinista.
El contraejemplo nos muestra que un este es un argumento no-válido. Nos lo desmonta
únicamente. Puede ser que la premisa sea verdadera (Rafa tiene las manos largas) y la
conclusión también (Rafa es un buen violinista). Podría ser un argumento válido. Ahora
bien ser verdadero no determina su validez o no. Tenemos que apelar a otros aspectos
para decir si ese argumento es válido o no. Tenemos que apelar a otros aspectos para
decir si ese argumento es válido o no. ¿Pero a qué apelamos? A la forma: hemos de
formalizar y para ello hemos de ir al significado de los enunciados. Ejemplo:
p/q.
No hay argumento verdaderos o falsos, sino tan sólo válidos o no-válidos. La
proposición es verdadera o falsa.
Existen dos posibilidades:
1. Rafa tiene las manos largas Verdadero = No es
Es un buen violinista Falso = Válido
En este caso para demostrar la argumentación podemos apelar a un contraejemplo:
cogiendo la misma premisa demuestro que la conclusión es falsa y por ello el argumento
es no-válido.
2. x tiene las manos largas (verdadero) Puede ser válido
x es un buen violinista (verdadero) o no
Puede darse el caso de que haya un individuo que satisfaga la premisa y la conclusión,
haciendo a ambas verdaderas. En ese caso ¿a qué podemos apelar para establecer la
validez o invalidez o no del argumento? No a un contraejemplo, tampoco a la verdad
sino a la forma de la argumentación.
Esto lo vemos también en: Formalizando vemos que no es válido:
Todos los madrileños son españoles (vro.) pq
Todos los griegos son europeos (vro.) sr
Todos los madrileños son europeos (vro.) pr
5
Nadie podrá encontrar un argumento válido con conclusión falsa. Ej.:
Todos los madrileños son españoles pq Argumento
Todos los españoles son europeos qr no
No todos los madrileños son europeos (pr) válido
Ejemplo para 4:
Todos los madrileños son chinos Falso
Todos los chinos son europeos Falso
Todos los madrileños son europeos Verdadero
pq
Arg. Válido qr
pr
No todos los madrileños son españoles Falso (pq) Argumento
No todos los españoles son europeos Falso (qr) no
Todos los madrileños son europeos Verdadero pr válido
Ej.: para la última posibilidad:
Todos los madrileños son chinos Falsos pq Argumento
Todos los chinos son americanos Falso qr
Todos los madrileños son americanos Falso pr válido
Otra posibilidad:
Todos los madrileños son chinos Falso pq
Todos los chinos son americanos Falso qr Arg. no válido
Todos los madrileños son americanos Falso ps
Todos los individuos que tienen la propiedad M tienen la propiedad C pc
“x, y, z, r, s…” tienen la propiedad A xr
Todos los individuos que tienen la propiedad M tienen la propiedad A. pr
(Este es un argumento válido pero aquí no hago ninguna referencia al valor de verdad
de los argumentos: NO HAY CONTENIDO).
2. Argumentos Inductivos: de estos se predica fortaleza y debilidad. En un argumento
inductivo se pretende por parte de alguien que la conclusión se siga de las premisas.
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Si el argumento inductivo es fuerza la conclusión se sigue probablemente de las
premisas. Cuando el argumento es débil es probable que la conclusión no se siga de las
premisas. Ej.:
Generalmente los albañiles no saben de filosofía teórica.
Luis es albañil.
Por lo tanto probablemente Luis no sabe de filosofía teórica. Es difícil saber si este
argumento es fuerte o débil; habría que hacer una estadística y ver cuántos albañiles
saben de filosofía teórica y cuantos no. Si por ejemplo sacamos un porcentaje del 0,5%,
lo más probable es que sea fuerte.
Otro ejemplo: Todas las esmeraldas encontradas son verdes.
Por lo tanto la próxima esmeralda que encontremos será verde.
Argumento deductivo fuerte: Para formalizar este tipo de argumentos es necesario
utilizar cálculos matemáticos.
**********************************************************************
Lo que en lógica deductiva vamos a ver es sólo la parte que se refiere al argumento.
Desde el punto de vista de las proposiciones vamos a hablar de verdadero o falso.
Todo lo que estamos viendo hasta el momento son ejemplos de argumentaciones, no
argumentos.
Nosotros vamos a ver argumentos deductivos donde la semántica tendrá sólo dos
valores: verdadero o falso: en otro tipo de lógica habrá más valores de verdad. De esta
manera, en estas lógicas, lo que en clásica son tautologías se irían al garete: incluso el
tercio excluso no se cumpliría. Ej.:
P q pq
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
ARGUMENTACIONES: ARGUMENTOS:
1. Lingüísticas 1. Conclusión
2. Concreto 2. Abstracto
3. Enunciados (verdaderos o falsos): 3. Proposición: verdadera o falsa
a. 0, 1,… nº finito de premisas a. 0,1,… Premisas
b. Una conclusión b. Exactamente 1 conclusión
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Deducción: demostrar que el argumento que tenemos es válido o demostrar que la
conclusión se sigue necesariamente de las premisas. Una deducción está formada por las
mismas partes que un argumento: premisas, conclusión, cadena de pasos intermedios
(pasos que se hacen de acuerdo a una serie de reglas).
Prueba: es una deducción en la que se muestran por un lado que el argumento es válido
y que las premisas son verdaderas. Se demuestra que el argumento es sólido. La solidez
de un argumento se demuestra por ejemplo cuando mostramos una verdad lógica, como
la conclusión es verdadera, aquí no hay premisas. De hecho puede ser que las premisas
sean falsas porque aquí no hay.
conjunción ; disyunción
├ p p p p Si estoy estoy y si no estoy no estoy.
Contraargumentar es un argumento estructuralmente igual a otro en el que las
premisas son verdad y la conclusión falsa. Este argumento que es igual que el otro sirve
para demostrar la no-validez de este último. Deberíamos hablar más bien de
contraargumentación y no de contraargumento. Ej.: buscamos un contraejemplo a este
argumento no válido, que es una falacia de negación del antecedente.
Arg. 1: Si me das tu folio vales tu peso en oro pq
No me lo das q
Por tanto no vales tu peso en oro p
Cogemos esta estructura y para darle verdad o falsedad debemos de darle contenido.
Contaargumento: Si eres madrileño, eres español pq
Manuel Fraga no es madrileño q
M. F no es español p
Tenemos la misma estructura; es un argumento no válido porque Fraga no es madrileño
pero sí español. Por ello nos sirve como contraejemplo a todo lo dicho en el argumento.
Cuando hablo de validez restrinjo mucho. Vamos a ver ahora una serie de definiciones
lógicas. La lógica atiende a la forma no al contenido.
Dependiendo de lo que consideremos como forma lógica podemos afirmar que esta en
general se determina en función de lo que son las conectivas:
Conjunción:
Disyunción:
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Condicional:
Negación:
A estos se le añade un símbolo derivado: el bicondicional : AB AB BA.
Nosotros desde aquí ya podríamos montar un sistema formal de enunciados y
proposiciones. Podemos añadir también elementos como el generalizador: para todo…
El generalizador en lógica de primer orden se considera una expresión lógica
formalizable. Obviamente esta lógica será mucho más rica que la anterior: la
incorporará.
Desde el punto de vista de la forma lógica tenemos una lógica de enunciados, una lógica
de primer orden, etc.
Desde otro punto de vista, el de los argumentos tenemos argumentos deductivos,
inductivos, etc.
Desde el punto de vista de los valores de verdad tenemos lógicas borrosas, etc. Pero
además hay ampliaciones de estas lógicas.
Dentro de estas conectivas, en lógica de primer orden están los cuantificadores:
Generalizador: Para todo…
Particularizador: Existe un…
IMPORTANTE: Hay que distinguir entre: Condicional y la relación de
implicación entre premisas y conclusión.
Las llamo de maneras diferentes porque me interesa distinguirlos pero hay un teorema
de deducción que me demuestra que son equivalentes. Es igual que decir Bob Dylan Y
Robert Zimal, son la misma persona, pero aún así yo sé que hay una relación con la
misma persona.
Una verdad lógica es: algo que es verdadero siempre. Un enunciado verdadero en
virtud de su forma independientemente de cómo sea el mundo. Es algo que será siempre
verdadero.
Una tautología es una verdad lógica, cuya verdad viene determinada por las conectivas
lógicas. Ej.: (p p).
Falsedad lógica: argumento que es falso en función de su forma lógica. No de cómo
sea el mundo y su contenido. Su falsedad también viene determinada por las conectivas
lógicas.
Contingencias: argumentos que pueden ser verdaderos o falsos, dependiendo de cómo
sea el mundo, si se adecua al mundo o no.
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Ej. de verdad lógica que no es una tautología. Todo individuo es igual a sí mismo (a=a).
Otro ejemplo: si algo es la causa de todo, entonces todo tiene una causa: x y ((xy)
x y ((y.
Ej. Una falsedad lógica que no sea una contradicción: basta con negar la identidad:
Si existe un producto que es bueno, barato
Hay un producto que es bueno y un producto que es barato.
x (Ux Ax) (x Ux x Ax)
Implicación lógica: Un enunciado A implica lógicamente a un enunciado B, si B se
sigue por las leyes de la lógica.
Consecuencia lógica: B es consecuencia lógica de A, cuando B se sigue por las leyes
lógicas de A.
Equivalencia lógica: Si A implica lógicamente B y B es consecuencia lógica de A,
entonces son equivalentes: A implica B y B implica A. El condicional es a la
equivalencia lógica como el condicional a la implicación.
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FALACIAS FORMALES:
1. Falacia de enunciados o de proposiciones. (dentro de la lógica de enunciados)
ab
b
a
a. Falacia de negación de antecedente:
ab
a
b
b. Falacia de negación de la conjunción:
(AB)
A
c. Falacia de la negación de la disyunción:
A
(AB)
2. Falacias de predicados:
a. Generalización del consecuente.
x (Px Qx)
x Px x Qx
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b. Inversión de los cuantificadores:
x [y Pxy]
y [x Pxy]
c. Mal descenso cuantificacional:
x (Px Qx)
x (PxQx)
d. Mala instanciación:
x (Pxy Qxy
Pay Qya
3. Falacias silogísticas:
a. Mayor ilícita:
Todo A es B
Ningún C es A
Por tanto, ningún C es B
Todo número par es divisible por 2
Ningún par es impar
Por tanto ningún impar es divisible por 2
b. Menor ilícita:
Todo A es B
Todo A es C
Por tanto todo C es B
c. Termino medio no distribuido:
Todo A es B
Algún C es B
Algún C es A
Los pares son divisibles por 2
Algún primo es divisible por 2
Por tanto algún primo es par.
Los perros son mamíferos
Algunos peces son mamíferos.
Por tanto algunos peces son perros
d. Falacia de los cuatro términos:
Todo A es B
Todo C es D
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Por tanto todo A es D (no hay conexión)
e. Conclusión afirmativa de premisa negativa:
Todo A es B
Algún B no es C
Por tanto algún A es C.
Todo par es divisible por 2
Algún divisible por 2 no es primo
Por tanto algún par es primo.
Los caballos son cuadrúpedos.
Algunos cuadrúpedos no son perros
Por tanto algunos cuadrúpedos son perros
4. Falacias Inductivas: En las inductivas no hay implicación, la conclusión se sigue
probablemente de las premisas.
I. Inductivas propias:
a. Falacia de muestra insuficiente:
Este A es B
Por tanto todo A es B
b. Extrapolación injustificada:
En esta clase todos saben leer.
Por tanto en toda la UCM saben leer.
II. Inductivas causales:
a. Mala dirección
Siempre que se da A se da B
Por tanto A es la causa de B
Siempre que voy al cine apagan la luz.
Por tanto si voy al cine apagan la luz.
b. Efectos conjuntos:
Siempre que ocurra A ocurre B
Por tanto A es la causa de B
A y B son los efectos de la misma causa C
Siempre que huele a gas en mi cocina se desprende gas
Por tanto siempre que huele a gas se desprende gas.
c. Falacia de correlación causal:
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Siempre que ocurre A ocurre B
Por tanto A es la causa de B
(A y B coinciden por casualidad)
d. Causa insuficiente:
Siempre que ocurre A ocurre B
Por tanto A es la causa de B
(A es solo una parte de la causa de B)
5. Falacias estadísticas:
a. Falacia de accidente:
El 90% de los A son B.
Este A tiene el 90% de posibilidades de ser un B.
b. Accidente inverso:
Se dice que la mayoría de los A son B
Pero este A no es un B
Por tanto, la mayoría de los A no son B
c. Confusión entre frecuencia y proporción
El 75% de los A son B
Aquí hay 4 A de los que 3 sé que son B
Por tanto sé que el otro no es B.
Falacia de irrelevancia:
a. Apelatio
a. Falacia ad Hominen:
Si un ser humano se cultiva intelectualmente se siente gratificado.
Si se estudia filosofía es gratificante.
Pero como lo dice el profesor de filosofía estudiar no es gratificante.
b. Ad Baculum (apelación a la fuerza)
c. Ad misericordia.
d. Ad populum (demagogia).
Los políticos son unos corruptos y unos mentirosos, todo el mundo
lo dice.
e. Ad ignoratian (apelación a la ignorancia):
Se infiere que algo es verdadero de que nadie sabe que es falso.
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Lenguaje: En un lenguaje los términos o cadenas que se usan.
Metalenguaje: En un metalenguaje se tratan cadenas sobre cadenas, en lógica se
combinan los términos para que no haya confusión. Lenguaje que se usa para hablar
sobre otro lenguaje. Se pueden dar diferentes niveles de lenguaje.
Tipos de lógicas según el valor de verdad:
1. Lógicas bivalentes [0, 1]
2. Lógicas multivaloradas:
a. Finitamente valoradas [0, 1,… n]
b. Infinitamente valoradas [0, 1] Infinitos valores entre el 0 y el 1. Hay
gente que las denomina lógicas borrosas, pero siendo por esto no
deberíamos de llamarlas así.
c. A las lógicas borrosas sería mas correcto llamarlas lógica de predicados
borrosos. Tienen un aparataje matemático muy profundo y sirven para la
informática, muchos la llaman tecnológica: maneja un predicado y su
antónimo, por ejemplo: alto, bajo; caliente, frío; pesado, ligero.
Tipos de lógica según lo que se considere expresión lógica:
I. Lógica proposicional: solo tenemos , , ,
Todo hombre si es madrileño es español pq
Algún hombre si es madrileño es español pq
Algún hombre es rubio
II. Lógica de predicados o de primer orden: , , , y , .
Todo h. si es madrileño es español x (Px Qx)
Algún hombre si es madrileño es español x (PxQx)
Algún hombre es rubio x Px
III. Lógica de primer orden con identificador:
IV. Lógica modal: probablemente se forman como conexión lógica.
V. Lógica temporal: consideran contextos temporales.
Tipos de lógica según el tipo de razonamiento:
I. Deductiva: se pretende por parte de alguien que la conclusión se siga
necesariamente de las premisas.
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II. Inductiva: se pretende por parte de alguien que la conclusión se siga
probablemente de las premisas.
III. No monótonos: la carga de las premisas aquí no funciona.
Tipos de lógica según el nivel del lenguaje:
I. Metalógica: utilizada para demostrar teoremas de la lógica, principalmente
de la proposicional y la de primer orden.
II. Lógica de orden superior:
REGLA DE CONTRAPOSICIÓN DEL CONDICIONAL
a p
a p
Si con memoria y capacidad de cálculo puedo elaborar un sistema que me permita
formalizar y resolver una serie de argumentos, entonces podemos decir que esa persona
o máquina razona. Pero hay que puntualizar que a día de hoy las máquinas no son
capaces de formalizar:
Lingüística Formalizar Concepto
Sistema formal: Un sistema es un cuerpo teórico formado por un lenguaje formal por
un lado y un mecanismo deductivo por el otro. Ambos, si el sistema es formal, tienen
que ser presentados sin hacer referencia a cuestiones de índole semántica.
Lenguaje formal constituido por:
a. Vocabulario primitivo.
b. Reglas de formación.
En el vocabulario tendrá unos símbolos y unas reglas tales que tienen que permitir decir
qué es una fórmula bien formada y qué una fórmula mal formada. Hay un número x de
reglas de formación a las que debemos de atenernos. (Ej.: RF1 *…*: Fórmulas: ---- Mal
formada ---- Bien formada) Esto no puede ser lenguaje formal lógico porque nos faltan
elementos lógicos tales como las conectivas.
Dentro del vocabulario primitivo podemos hablar de:
I. Símbolos lógicos: , , , .
II. Otros símbolos: Variables proposicionales p, q, r…p1, p2.
Símbolos auxiliares: [, ], (, )… (que desambiguan las
formas).
Alcance de las conectivas (en caso de fórmula sin paréntesis):
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I. I. Mayor alcance:
II. Alcance 2: ,
III. Alcance 3:
Vamos a ver las REGLAS DE FORMACIÓN (RF):
RF1: Una variable proposicional es una fórmula bien formada FBF del sistema.
RF2: Si A es una fórmula bien formada entonces A es también una FBF.
A variable metalingüística que indica cualquier FBF.
RF3: Si A y B son FBF entonces AB, AB y AB son FBF del sistema.
RF4: Ninguna otra cadena de símbolos es una FBF del sistema a no ser que las que se
establecen por las RF anteriores.
Sistema formal-lógico:
I. Lenguaje formal.
a. Vocabulario primitivo
i. Símbolos lógicos.
ii. Otros símbolos.
b. REGLAS DE FORMACIÓN:
II. Semántica
III. Mecanismo deductivo .
Mecanismos deductivos:
I. Axiométricos: formados por axiomas y reglas de transformación. Sistema
lógico formal axiomático.
II. Natural: formado no por axiomas sino sólo por reglas de transformación.
Sistema lógico formal de deducción natural.
REGLAS DE TRANSFORMACIÓN:
De introducción: De eliminación:
I A E A/ A
B B
A
I A E A/AB B/AB
B
AB
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I A/AB B/AB E AB AB
A AC
C BC
B C
C
C
I A E AB
B A
AB B
Sistema (lógico- formal) de deducción natural de los enunciados (esto es, según un
mecanismo de deducción natural basado solo en reglas de transformación):
I. Lenguaje formal.
a. Vocabulario primitivo
i. Símbolos lógicos.
ii. Otros símbolos.
b. REGLAS DE FORMACIÓN: RF1, RF2, RF3,…
II. Semántica .
III. Mecanismo deductivo : Reglas de inferencia
Vamos a introducir ahora una serie de matices…:
Sistema lógico-formal de deducción natural de primer orden (de predicados):
IV. Lenguaje formal.
a. Vocabulario primitivo
i. Constantes lógicas: conectivas y cuantificadores
ii. Otros símbolos:variables predicativas, paréntesis, términos de
individuo.
c. REGLAS DE FORMACIÓN: RF1, RF2, RF3,…
V. Sin semántica. .
VI. Mecanismo deductivo : Reglas de inferencia
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RF1: Dado un predicado con n argumentos y una letra predicativa simbolizando dichos
argumentos tenemos una FBF.
RF2: Si A y B son una FBF, la negación de A ( A) es un FBF.
RF3: Si A y B son una FBF AB, AB, AB, AB son FBF.
RF4: Si A es una FBF para xA (donde A puede ser Pa, Px,…) y xA es una FBF.
REGLAS DE INFERENCIA:
I. Eliminación del generalizador:
x Px / Pa
Si digo que todos los individuos de un conjunto tienen una propiedad, puedo decir que
uno de ellos la tiene.
II. Introducción del generalizador:
I Pa / x Px
Esta regla se puede explicar pero estableciendo una serie de de restricciones:
a no debe de aparecer en las premisas
a no debe de aparecer en ningún supuesto previo no cancelado.
a no debe de aparecer en la matriz del generalizador que se introduce.
La única manera por la que se puede introducir un Pa, aquí, en este caso, es haberlo
derivado anteriormente de la eliminación del generalizador. Sólo puedo explicar esta
regla si antes he explicado la Eliminación del y he obtenido Pa.
Supongamos un universo del discurso formado por cuatro elementos: a, b, c, d
Si digo x Px puedo decir: PaPbPcPd / Pa
Pero si digo: x Px, puedo decir: PaPbPcPd
Pa Pb Pc Pd
c c c c
C
III. Introducción del existencial: I x Px
Pa
c
C
Restricciones:
a no debe de ocurrir en las premisas (supuestos previos no cancelados ni
cancelables).
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a no debe de ocurrir en ningún supuesto previo no-cancelado.
a no debe de ocurrir en la matriz del particularizador que se elimina.
a no debe de ocurrir en c.
Lo que hemos visto hasta ahora sobre SDNE (sistema de deducción natural de
enunciados) y LPO (lenguaje de primer orden) permite:
I. Distinguir entre FBF y FNBF, mediante las reglas de formación y
reglas de inferencia.
II. Nos permite saber si un argumento es válido o no-válido. Aunque el
argumento antes de que lo conociéramos era ya válido: la validez es
óntica. Ej. ├ pq r: reglas de transformación. Vistas hasta ahora
nos permite saber si cualquier argumento, incluido éste es válido o
no. Pero se crean reglas supuestas que se demuestran por las básicas
para ahorrar pasos.
De Morgan:
├ pq p
1. p (qr)
2. pq
3. p E (2)
4. qr E(1,3)
5. q E (2)
6. r E (4,5)
7. pqr I (2,6)
Hemos demostrado la validez porque hemos llegado a ello sin atender a la semántica
(valores de verdad), si no soy capaz de demostrarlo el problema es mío.
Semánticas formales:
Función de valuación “V”
x es una variable proposicional.
A, B son FBF cualquiera.
Regla semántica 1:
A una variable proposicional x le corresponde un valor de verdad 0 o 1. V(x) =0 / V(x)
=1. Ello implica una restricción enorme, del tipo que nos encontramos en una lógica en
la que sólo hay dos valores de verdad.
Regla semántica 2:
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La función de valuación para una formula que está negada, v ( A) = 1, sii (si y solo si)
V(A) = 0.
Regla semántica 3:
V (AB)=1 si y solo si V(A)=1 y V(B) =1.
Regla semántica 4:
V (AB) = 1 sii V (A)=1 o V(B)=1.
Regla semántica 5:
V (AB) = 1 sii V (A) =0 ó V(B)=1.
El condicional equivale a la relación de deducción o implicación que se da entre las
premisas y la conclusión en un argumento válido. Ello me permite además unir las
premisas y un argumento a sólo una conclusión:
-1 AB ├ [(AB) A] B
-2 B Arg. válido
├ B
Arg. Válido. Ambos argumentos son válidos, son iguales.
Tabla de representación de la función “V”
V es la función que recogiendo una determinada FBF nos da su resultado.
Negación: A A Conjunción: A B AB
0 1 0 0 0
1 0 0 1 0
1- V(A) 1 0 0
1 1 1
20
