· 1.2.6 El Bicondicional Proceso de Comprensión y Análisis UNIDAD 2 Métodos de Demostración ... trabajar en equipo en pro del aseguramiento de la calidad de la educación superior

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_______________________________________________________________ UNIVERSIDAD DE PAMPLONA-. Facultad de Estudios a Distancia

Programas de Estudio a Distancia

www.unipamplona.edu.co

ESPERANZA PAREDES HERNANDEZ

Rectora MARIA EUGENIA VELASCO ESPITIA Decana Facultad de Estudios a Distancia

Matemática I

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Tabla de Contenido Presentación UNIDAD 1: Calculo Proposicional

Núcleos Temáticos y Problemáticos Proceso de Información 1.1 PROPOSICIONES 1.2 CONECTIVOS LÓGICOS 1.2.1 La Conjunción 1.2.2 La Negación 1.2.3 La Disyunción 1.2.4 El Condicional 1.2.5 La Recíproca 1.2.6 El Bicondicional Proceso de Comprensión y Análisis

UNIDAD 2 Métodos de Demostración Descripción Temática Núcleos Temáticos y Problemáticos Proceso de Información 2.1 MÉTODO DIRECTO 2.2 MÉTODO INDIRECTO 2.3 MÉTODO DE INDUCCIÓN 2.3.1 Principio de Inducción Matemática Proceso de Comprensión y Análisis

UNIDAD 3: Teoría de Conjuntos Descripción Temática Núcleos Temáticos y Problemáticos Proceso de Información 3.1 CONJUNTOS 3.2 SUBCONJUNTOS 3.3 OPERACIONES USUALES ENTRE CONJUNTOS 3.3.1 Complemento 3.3.2 Intersección 3.3.3 Unión

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3.4 POTENCIA DE UN CONJUNTO 3.5 CUANTIFICADORES

Proceso de Comprensión y Análisis UNIDAD 4: Producto Cartesiano

Núcleos Temáticos y Problemáticos Proceso de Información 4.1 PAREJA ORDENADA 4.2 PRODUCTO CARTESIANO

UNIDAD 5: Relaciones Núcleos Temáticos y Problemáticos Proceso de Información 5.1 RELACIONES 5.2 DETERMINACIÓN DE UNA RELACIÓN 5.2.1 Por Extensión 5.2.2 Por Comprensión 5.3 REPRESENTACIÓN GRÁFICA 5.4 OBTENCIÓN DE RELACIONES A PARTIR DE RELACIONES DADAS Proceso de Comprensión y Análisis

UNIDAD 6: Relaciones sobre un Conjunto Núcleos Temáticos y Problemáticos Proceso de Información 6.1 RELACIONES EN UN CONJUNTO 6.2 RELACIONES EVENTUALES SOBRE UN CONJUNTO 6.2.1 Relación Reflexiva 6.2.2 Relación Simétrica 6.2.3 Relación Antisimétrica 6.2.4 Relación Transitiva Proceso de Comprensión y Análisis

UNIDAD 7: Relaciones de Equivalencia Núcleos Temáticos y Problemáticos Proceso de Información 7.1 RELACIÓN DE EQUIVALENCIA 7.2 CLASES DE EQUIVALENCIAS Y CONJUNTO COCIENTE Proceso de Comprensión y Análisis

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UNIDAD 8: Relaciones de Orden

Núcleos Temáticos y Problemáticos Proceso de Información 8.1 RELACIONES DE ORDEN 8.2 ORDEN TOTAL 8.3 ELEMENTOS NOTABLES DE UN CONJUNTO ORDENADO 8.3.1 Cota Superior y Cota Inferior 8.3.2 Elemento Máximo y Elemento Mínimo 8.3.3 Límite Superior, Límite Inferior 8.3.4 Buen Orden Proceso de Comprensión y Análisis

BIBLIOGRAFÍA GENERAL

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Presentación

La educación superior se ha convertido hoy día en prioridad para el gobierno Nacional y para las universidades públicas, brindando oportunidades de superación y desarrollo personal y social, sin que la población tenga que abandonar su región para merecer de este servicio educativo; prueba de ello es el espíritu de las actuales políticas educativas que se refleja en el proyecto de decreto Estándares de Calidad en Programas Académicos de Educación Superior a Distancia de la Presidencia de la República, el cual define: “Que la Educación Superior a Distancia es aquella que se caracteriza por diseñar ambientes de aprendizaje en los cuales se hace uso de mediaciones pedagógicas que permiten crear una ruptura espacio temporal en las relaciones inmediatas entre la institución de Educación Superior y el estudiante, el profesor y el estudiante, y los estudiantes entre sí”. La Educación Superior a Distancia ofrece esta cobertura y oportunidad educativa ya que su modelo está pensado para satisfacer las necesidades de toda nuestra población, en especial de los sectores menos favorecidos y para quienes las oportunidades se ven disminuidas por su situación económica y social, con actividades flexibles acordes a las posibilidades de los estudiantes. La Universidad de Pamplona gestora de la educación y promotora de llevar servicios con calidad a las diferentes regiones, y el Centro de Educación Virtual y a Distancia de la Universidad de Pamplona, presentan los siguientes materiales de apoyo con los contenidos esperados para cada programa y les saluda como parte integral de nuestra comunidad universitaria e invita a su participación activa para trabajar en equipo en pro del aseguramiento de la calidad de la educación superior y el fortalecimiento permanente de nuestra Universidad, para contribuir colectivamente a la construcción del país que queremos; apuntando siempre hacia el cumplimiento de nuestra visión y misión como reza en el nuevo Estatuto Orgánico: Misión: Formar profesionales integrales que sean agentes generadores de cambios, promotores de la paz, la dignidad humana y el desarrollo nacional. Visión: La Universidad de Pamplona al finalizar la primera década del siglo XXI, deberá ser el primer centro de Educación Superior del Oriente Colombiano.

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UNIDAD 1: Cálculo Proposicional

. Proposiciones . Conectivos Lógicos

1.1 PROPOSICIONES

Leer atentamente cada una de las siguientes expresiones.

1 José E. Rivera es el autor de La vorágine. 2 Las golondrinas son aves de cuatro patas. 3 Jorge Pérez descubrió América. 4 Siembra un árbol. 5 Un triángulo es un polígono que tiene tres lados. 6 ¿Quién es Usted? 7 x + 3 = 6

Algunas de estas expresiones son verdaderas, otras son falsas y otras de las que no tiene sentido decir si son verdaderas o falsas, si este es el caso diremos de ellas que son ambiguas. Pensar y señalar con una V, F, o A según corresponda.

Se habrá podido observar que existen expresiones con sentido completo, como por ejemplo la que aparece en el número 4, de las cuales no podemos afirmar si son verdaderas o son falsas. Desde el punto de vista de la Gramática estas expresiones son proposiciones, sin embargo, en matemáticas se exige además que a esta expresión se le pueda asignar un valor de verdad ( V ó F ) de una manera unívoca.

Recordar: Una proposición en Matemáticas es una afirmación con sentido

completo, de la cual se puede decir si es verdadera ó falsa, aunque no se tenga manera de saber cual es el caso.

Núcleos Temáticos y Problemáticos

Proceso de Información

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Notación. Para designar proposiciones se utilizará los símbolos p, q, r, s,....V y F significan verdadero y falso respectivamente.

Leer con atención las siguientes expresiones:

8 Patricia estudia medicina y María estudia Matemáticas.

9 Juan promete a su novia llevarla a cine, si le pagan en el trabajo. 10 Claudia no irá a la reunión a menos que su padre se lo permita. 11 Un número real es positivo si, y sólo si, es mayor que cero.

12 Si los empleados de un banco laboran y el gerente los observa, no les hace revisión de sus trabajos. Pero el gerente no los observará, a menos que haga una revisión. Por lo tanto, si los empleados trabajan el jefe no lo notará

13 Si no se elimina el contrabando, aumenta el desempleo

14 Ana tiene 15 ó 20 años. Si Ana tiene 20 años entonces nació antes que Irma. Ana no nació antes que Irma. Luego Ana tiene 15 años.

¿Puede decir cuáles de estas proposiciones son verdaderas?, ¿cuáles son falsas?, ¿Qué diferencias encuentra, entre el primer conjunto de proposiciones y las que acaba de leer?.

Obsérvese que el argumento dado en la proposición 14, es correcto. Si notamos

con las letras p, q, r las proposiciones:

p : Ana tiene 15 años.

q : Ana tiene 20 años.

: Ana nació antes que Irma.

Nótese que la proposición 14 se puede “simbolizar” de la siguiente manera:

p ó q. Si q entonces r. No r. Luego p.

De esta forma la proposición que se está considerando esta formada por algunas

proposiciones simples p ,q, r las cuales están unidas por medio de algunas conjunciones “o”,”no”,”si.. entonces”,”luego”. A este tipo de expresiones las

llamaremos proposiciones compuestas.

Analizar cada uno de los siguientes argumentos y determinar si son válidos ó si por el contrario no lo son.

1 Si Pedro estudia una carrera, tendrá éxito en la vida. Pedro no estudia una carrera. Por lo tanto, Pedro no tendrá éxito en la vida.

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2 Si todo jugador del equipo A es buena persona y Roberto es jugador del equipo A, entonces Roberto es buena persona.

2 Invertir en finca raíz en un buen negocio y las inversiones que garantizan un 30% de ganancia anual es buen negocio, por lo tanto invertir en finca raíz garantiza una ganancia del 30% anual.

Debió observar del análisis precedente, que algunos de estos argumentos son válidos y otros no lo son. Para poder distinguir un razonamiento correcto de uno que no lo sea se dispone de un modelo básico de razonamiento, esto es de los principios de la lógica.

Desde el punto de vista de la historia de la matemática estos principios se vienen desarrollando desde Aristóteles (lógica formal) pasando por los trabajos de Leibnitz (lógica simbólica) hasta llegar al año de 1879 que con los trabajos de Frege la lógica adquiere su mayoría de edad y es elevada a la categoría de ciencia (lógica matemática) y desde este momento, existe una marcada tendencia de un grupo de matemáticos encabezados por personalidades de la talla de R. Dedekind, G. Cantor, B. Russell a reducir todos los conceptos matemáticos a conceptos puramente lógicos.

Afortunadamente son muy pocas las personas, actualmente llamados Logicistas, a los que les interesa la lógica por sí misma. El resto de las personas se interesan en la lógica por sus aplicaciones tanto en la ciencia como en situaciones de la vida diaria.

Saber aplicar la lógica consiste en determinar si una proposición es consecuencia lógica de una serie de proposiciones dadas, llamadas premisas; es decir, es saber hacer deducciones correctas.

Nota. Al desarrollar los elementos de la lógica no es de tanto interés el significado

que puedan tener la s proposiciones p, q, r, como sí las relaciones que existan entre ellas. No obstante, cuando se aplica la lógica a las diversas áreas del conocimiento y a situaciones cotidianas hay que tener en cuenta tanto el significado de las proposiciones como las relaciones entre ellas

1.2 ONECTIVOS LÓGICOS

Existen ciertas expresiones que en gramática se suelen llamar conjunciones: “y”, “o”, “pero”, “Si...entonces”, “algunos”, “ninguno”, “igualmente”, ...etc. que obviamente no son proposiciones en el sentido que se le ha dado en matemáticas. Pero sin embargo, son de suma importancia en la construcción de proposiciones complejas a partir de otras proposiciones más simples. Estas partículas que se

llaman conectivos lógicos sirven también para determinar el valor de verdad (V ó

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F) de una proposición compuesta en función de I os valores de verdad de las proposiciones componentes.

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. Escribir la contrarecíproca y la recíproca de cada una de las siguientes expresiones:

- Si el carro de Juan es azul, entonces María baila. - Si Andrea no juega ajedrez, entonces no puede participar en el torneo.

- Si x - 3, entonces 4x = 20

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UNIDAD 2: Métodos de Demostración

Descripción Temática

En matemáticas se definen algunos objetos, para posteriormente determinar las propiedades que gozan estos entes que se han definido y de una manera lógica se quiere establecer que lo afirmado de ellos es verdadero; esto es, se necesita de la demostración de los teoremas.

Como se ha podido observar en la unidad anterior, que los teoremas de la lógica (tautologías) se han probado básicamente de dos maneras:

. A través de su correspondiente tabla de valores. . Utilizando el método de demostración indirecto.

En forma general, se puede decir que existen tres métodos de demostración:

. Método directo. . Método indirecto. . Método de Inducción.

El objetivo de esta unidad es familiarizar al estudiante con cada uno de estos métodos, con la esperanza de proporcionar algunos fundamentos teóricos que en el futuro le permitan adelantar la demostración de los teoremas que se le presenten en el estudio de la matemática.

. Método Directo

. Método Indirecto

. Método de Inducción



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. En este módulo se han presentado y se presentarán demostraciones en forma de párrafos. Esto se ha hecho básicamente atendiendo a dos razones: primera, porque el estudiante se debe familiarizar con esta forma usada en matemáticas tanto para las demostraciones directas como para las indirectas. Segunda, porque muchas veces esta representación parece menos artificiosa que la demostración a dos columnas y refleja de una modo natura! nuestro manera de razonar.

Se presenta con cierta frecuencia que en lugar de demostrar algo lo que se pretende es refutarlo. El problema del tratamiento de proposiciones que se creyeron falsas, está estrechamente relacionado con el tema de la eliminación de errores de razonamiento. Supongamos que se pide demostrar que una proposición es verdadera, pero que se duda de la verdad de esta proposición. La resolución de este problema puede tomar la forma de citar un contraejemplo, es decir, mostrar un caso particular para el cual la proposición es falsa.

Ejemplo 4: Demostrar: la suma de dos números primos es un número primo. Refutación por contraejemplo: 3 y 5 son dos números primos, y sin embargo 3+5=8 que no es primo.

2.3 MÉTODO DE INDUCCIÓN

El razonamiento utilizado en las demostraciones de los ejemplos de las secciones

anteriores se denomina deductivo, método éste que es característico de la matemática, que como se ha dicho, consiste en partir de propiedades muy generales que toman la forma de definiciones, axiomas y según las reglas de la lógica deducir otras propiedades.

El otro método utilizado en la investigación científica es la inducción que consiste en pasar de lo particular a lo general. Toda persona ha practicado el pensamiento inductivo durante su vida. Un niño al inferir que se quemará si toca la llama de una vela, está pensando de manera inductiva. La inducción es el proceso de encontrar un principio general, basándose en la experiencia de casos específicos.

Nótese que la inducción implica una suposición. La ley de la inercia nos dice que si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza, este debe permanecer en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme. Si se hace actuar una fuerza sobre el cuerpo, el cuerpo se acelerará. Después de analizar varios casos particulares, posiblemente demasiados, los físicos basados en estas experiencias concluyen que la aceleración que se produce es directamente proporcional a la fuerza aplicada. En matemáticas debemos ser más rigurosos ya que las conclusiones que podemos sacar de la

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Proceso de Comprensión y Análisis

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UNIDAD 3: Teoría de Conjuntos

Descripción Temática

La idea de conjunto es básica en la Matemática y se podría decir, sin temor a equivocarse, que todos los objetos que se definen en matemáticas y las construcciones que en ella se realizan se apoyan en última instancia en la teoría de conjuntos. Pese a la importancia de la teoría, no fue sino hasta finales del siglo XIX cuando se vino a establecer esta teoría de un modo preciso, considerándose al matemático alemán George Cantor como su iniciador. Esta unidad está dedicada al estudio de los conjuntos y en ella se procura establecer el lenguaje conjuntista, que es el lenguaje del presente módulo. Se ha procurado alcanzar un nivel medio, no dedicando a la teoría de conjuntos un

tratamiento demasiado formal ni tampoco excesivamente reducido.

. Conjuntos . Subconjuntos . Operaciones Usuales entre Conjuntos . Potencia de Conjuntos . Cuantificadores



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UNIDAD 4: Producto Cartesiano

. Pareja Ordenada . Producto Cartesiano



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UNIDAD 5: Relaciones

Relaciones . Determinación de una Relación Representación Gráfica Obtención de Relaciones a partir de Relaciones Dadas



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UNIDAD 6: Relaciones sobre un Conjunto

. Relaciones en un Conjunto . Relaciones Eventuales sobre un Conjunto



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UNIDAD 7: Relaciones de Equivalencia

. Relación de Equivalencia . Clases de Equivalencia y Conjunto Cociente



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UNIDAD 8: Relaciones de Orden

. Relaciones de Orden . Orden Total . Elementos Notables de un Conjunto Ordenado



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BIBLIOGRAFÍA GENERAL BIRKHOFF, G and Maclane, S. Álgebra Moderna. Vicens-Vives, Barcelona. 1963.

HALMOS, Paul R. Teoría Intuitiva de los Conjuntos. Cecsa, México D.F. 1965.

MUÑOZ, José M. Introducción a la Teoría de Conjuntos. Universidad Nacional. Santafé de Bogotá, 1994.

OUBIÑA, Lia. Introducción a la Teoría de Conjuntos. Ediciones Universitarias de Buenos Aires. Buenos Aires. 1971.

QUEYSANNE, Michel. Álgebra Básica. Vicens-Vives, Barcelona, 1963.

SMITH, Karl J. Introducción a la Lógica. Grupo Editorial Iberoamericano. México, 1991.

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