Apuntes de Engranajes

Un engranaje es un mecanismo que se utiliza para transmitir potencia mecánica entre dos ejes

mediante contacto directo entre dos cuerpos sólidos unidos rígidamente a cada uno de los ejes.

Entre las ventajas que tienen los engranajes encontramos las siguientes:

- Son relativamente sencillos de construir.

- Pueden transmitir grandes potencias.

- Están universalmente aceptados, de tal modo que, además, su diseño está normalizado.

- Permiten obtener soluciones variadísimas y adaptarse, por tanto, a cualquier tipo de

problema de transmisión de rotación -con relación constante- entre ejes.

Ley fundamental del engranaje.

s s e e

e e s s

n d N

n d N

ωµω

= = = =

Donde μ si es mayor que 1 hablamos de mecanismo multiplicador y si μ<1 y μ>0 hablamos de

mecanismo reductor.

Nomenclatura

-Paso diametral : Utilizado en la norma americana.

d

NP

d= N -> nº de dientes d -> diametro de paso

-Módulo: Utilizado en la norma europea. d

mN

=

-Paso circular: c

d

PP

π= ó cP mπ= ⋅

Relación entre la circunferencia de paso y la circunferencia base:

cosb pr r α= ⋅

- Circunferencia de cabeza (Ra): es la circunferencia que limita a los dientes exteriormente.

- Circunferencia de pie (Rf): es la circunferencia que limita el hueco entre dientes por su parte inferior.

- Adendo o altura de cabeza (ha): es la distancia radial entre la circunferencia primitiva y la cabeza del

diente. Para un perfil de referencia normalizado, ha = m.

- Dedendo o altura de pie (hf): es la distancia radial entre la raíz del diente y la circunferencia primitiva.

Para un perfil de referencia normalizado, hf = 1,25 · m.

- Altura total (h): es igual a la suma de las alturas de cabeza y de pie. Para un perfil de referencia

normalizado, h = 2,25 · m.

- Holgura o juego lateral: es el espacio que queda libre al engranar una pareja de dientes. Esta holgura

siempre será necesaria para permitir una cierta deformación o deflexión que se produce en los

dientes, además de para permitir el paso del lubricante o para la expansión térmica que sufre

el metal del engranaje al calentarse.

- Juego en cabeza o tolerancia (c): es el espacio que queda entre la cabeza de un diente y el fondo

del espacio interdental de la rueda con que engrana. Suele tomar un valor, c = 0,25 · m.

- Altura de trabajo o activa (hw): es la diferencia entre la altura total del diente y el juego, hw = h - c. Para

un perfil de referencia normalizado, hw = 2 · m.

- Espesor del diente (t): el espesor del diente es el que viene medido sobre la circunferencia primitiva.

Para un perfil de referencia normalizado, s = m · π /2.

- Hueco (e): es el hueco entre dientes medido sobre la circunferencia primitiva. Para un perfil de

referencia normalizada, e = m · π /2.

- Cara del diente: es la parte de la superficie del diente que queda entre la circunferencia primitiva y la

de cabeza.

- Flanco del diente: es la parte de la superficie del diente que queda entre la circunferencia primitiva y

la de pie.

- Anchura de flanco (b): es la anchura del diente medida en dirección paralela al eje.

- Ángulo de presión (α): es el ángulo que forma la línea de presión (que es la línea normal a la superficie

del diente en el punto de contacto entre dos engranajes) con la tangente a ambas circunferencias

primitivas.

La propiedad esencial de los engranajes para su correcto funcionamiento es que la relación de

velocidades angulares sea constante en todo momento. Cuando esto sucede se dice que los dos elementos

en contacto tienen acción conjugada. Y para ello la linea normal en el punto de contacto tiene pasar

invariablemente por el punto primitivo. Los perfiles que cumplen esta condición se llaman perfiles

conjugados. Cuando se cumple esta condición las dos circunferencias primitivas, o circulos de paso, ruedan

una sobre la otra.

Ley general del engrane:

Para que la relación de transmisión entre dos perfiles se mantenga constante,

es necesario y suficiente que la normal a los perfiles en el punto de contacto

pase en todo instante por un punto fijo de la línea de centros.

Uno de los perfiles conjugados que es ampliamente utilizado y cumple con las condiciones es el perfil de

Envolvente que es una curva tal que el lugar geométrico de los centros de curvatura de todos sus puntos

forma una circunferencia.

La normativa establece mediante un índice los parámetros para la construcción de un engrane de

modo que se puedan intercambiar con otros del mismo índice. Este índice es el módulo para la normativa

española y europea y el paso diametral para la norma americana.

En la norma española están definidas tres series de valores representadas en la tabla 8.2, de los

que conviene evitar los valores comprendidos en las series II y III, dando preferencia a los módulos

comprendidos en la serie I.

Series de módulos normalizados

- el tipo de diente: normal o corto. Se establecen sus dimensiones con respecto al valor

del módulo "m".

Diente normal: (de altura completa) - addendum (a) = 1,00 m

- dedendum (l) = 1,25 m

- espacio de fondo (c) = 0,25 m

Los dos con un ángulos de presión de ϕ = 20º y ocasionalmente 14,5º o 15º.

Perfiles del diente según los ángulos de presión

Las normas que recogen estas recomendaciones son: UNE 18016, UNE 18022 y UNE 18028

I 1 1,25 1,5 2 2,5 3 4 5 6 8 10 12 16 20

II 1,125 1,375 1,75 2,25 2,75 3,5 4,5 5,5 7 9 11 14 18

III 3,25 3,75 6,5

Diente corto: - addendum (a) = 0,75 m

- dedendum (l) = 1,00 m

- espacio de fondo (c) = 0,25 m

Cálculo del espesor del diente.

El arco ( )ρ ϕ θ⋅ + tiene la misma longitud que la recta tangente a la circunferencia base hasta el perfil.

( )tan tan

ρ ϕ θϕ θ ϕ ϕρ

⋅ += → = −

( ) tanEnv ϕ ϕ ϕ= −

( )Envθ ϕ=

2 2

p p

p p p

p

t tr

rβ β= ⋅ → =

⋅

2 2

t tr

rβ β= ⋅ → =

⋅

( ) ( )2 2

p

p

p

t tEnv Env

r rφ ϕ β β− = − = −

⋅ ⋅

Espesor del diente para cualquier radio r.

2 ( ( ) ( ))2

p

p

tt r Env Env

rφ ϕ= ⋅ ⋅ + −

⋅

Cálculo de la razón de contacto.

Interferencia.

El contacto de la parte de los perfiles de dientes no conjugados se llama interferencia. La interferencia se

produce dentro del circulo base donde el perfil del diente no es de involuta.

a rc

b

u um

p

+= Donde:

mc = razón de contacto.

ua = distancia de aproximación.

( )1/2

2 2

1 1 1a bu r a r r senϕ = + − − ⋅

ur = distancia de retroceso.

( )1/2

2 2

2 2 2r bu r a r r senϕ = + − − ⋅

Pb = paso base.

cosb c

P P ϕ= ⋅

Solución para evitar la interferencia. Variar el número de dientes de las ruedas.

El mínimo número de dientes de piñón para evitar interferencias para una relación dada es:

2 2

2

2( (1 2 ) )

(1 2 )P

kN m m m sen

m senφ

φ= + + + ⋅

+ donde: G

P

Nm

N=

El mayor número de dientes de un engrane con un piñón especificaddo que está libre de interferencias es:

2 2 2

2

4

4 2

PG

P

N sen kN

k N sen

φφ

−=−

por ejemplo:

para un ángulo de presión de 20º, 14 dientes de piñón y dientes de altura completa (k=1)

2 2 2

2

14 20 4(1)26.12

4(1) 2 14 20G

senN

sen

−= =− ⋅ ⋅

El engrane no puede tener más de 26 dientes para evitar la interferencia.

El menor número de dientes de piñón que funcionará con una cremallera sin interferencias es:

2

2( )P

kN

sen φ=

Otra solución para evitar interferencia sería socavar el diente en la parte que no es de involuta.

piñon engrane

13 16

14 26

15 45

16 101

dientes mínimos en piñon y máximos en engrane para evitar interferencia

La socavación rebaja el diente en la zona de interferencia.

Otra solución para evitar interferencia sería aumentar la distancia entre ejes.

Engranajes helicoidales.

Están construidos con una curva helicoide de involuta.

Trazado del perfil del diente helicoidal.

Ventajas: Presentan un comportamiento más silencioso que el de los dientes rectos usándolos

entre ejes paralelos.

Poseen una mayor relación de contacto debido al efecto de traslape de los dientes.

Pueden transmitir mayores cargas a mayores velocidades debido al embonado gradual que

poseen.

Desventajas: La principal desventaja de utilizar este tipo de engranaje, es la fuerza axial que este

produce, para contrarrestar esta reacción se tiene que colocar una chumacera que soporte

axialmente y transversalmente al árbol.

Son más caros de fabricar.

Cálculos

El paso circular normal se relaciona con el paso circular transversal mediante la ecuación:

cosn tp p ψ= ⋅

El paso circular axial se relaciona con el paso circular transversal mediante la ecuación:

tan

tx

pp

ψ=

Como el paso diametral normal es: n np P π⋅ = cos

tn

PP

ψ=

Debido a la angularidad de los dientes se definen dos ángulos de presión; el ángulo de presión transversal

y el ángulo de presión normal. Y se relacionan mediante la fórmula:

tancos

tan

n

t

φψφ

=

Todas las ecuaciones aplicadas para el análisis de los engranes rectos se aplican de la misma manera

para el plano transversal de un engrane helicoidal.

Esta ecuación relaciona el radio de paso de un engrane helicoidal con un engrane recto equivalente:

2cose

rr

ψ=

e e nN d P= ⋅ y el número de dientes como: 3cos

e

NN

ψ=

Donde:

pt es el paso circular transversal.

Pn es el paso circular normal.

Px es el paso circular axial.

ψ ángulo de hélice.

ángulo de presión transversal.t

φ

ángulo de presión normal.n

φ

Fuerzas en engranes rectos

Potencia en el un eje: P T ω= ⋅

60000t

PF

d nπ⋅=

⋅ ⋅

donde:

Ft = fuerza tangencial en kN

P = potencia en kW

d = diámetro del engrane en mm

n = velocidad en rpm

cos

r

t

t paso

F F sen

F F

T F r

φφ

= ⋅= ⋅= ⋅

Fuerzas en engranes cónicos rectos

Fuerzas en engranes helicoidales

tan cos

tan

r t

a t

t prom

F F

F F sen

T F r

φ γφ γ

= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅

= ⋅

Donde:

ψ ángulo de hélice.

ángulo de presión transversal.t

φ

ángulo de presión normal.n

φ

cos cos

cos

r n

t n

a n

t paso

F F sen

F F

F F sen

T F r

φφ ψφ ψ

= ⋅= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅

= ⋅

Trenes de engranajes

Tren de engranes es un conjunto de dos o más engranes conectados.

Nota: Se puede obtener una relación máxima de 10:1 aproximadamente en una sola etapa sin que existan problemas dinámicos.

La relación de transmisión es la siguiente:

v

producto de número de dientes en engranes impulsoresm

producto de número de dientes en engranes imulsados= ±

• Trenes ordinarios. (Los ejes solo giran en torno a sí mismos.)

- Trenes ordinarios simples. (Cada eje una rueda.)

- Trenes ordinarios compuestos. (Al menos un eje tiene dos ruedas.)

(Pueden ser recurrentes o no.)

• Trenes epicicloidales. (Existe un eje que gira entorno a otro.)

- Trenes epicicloidales simples. ( ωo=0)

- Trenes diferenciales. (ωo≠0, ωs≠0, ωb≠0)

- Trenes de balancín. ( ωs=0)

• Trenes mixtos. (Mezcla de los dos anteriores.)

Tren de engranes compuesto es aquel en el que al menos en un eje tiene más de un engrane.

Tren de engranes compuesto e inverso o tren compuesto con reversión es aquel en el que el eje de

entrada coincide con el eje de salida.

Trenes de

Engranajes

La distancia entre ejes tiene que ser la misma.

2 3 4 5R R R R+ = + 3 52 4

2 2 2 2d dd d→ + = + →

3 52 4

2 2 2 2m N m Nm N m N⋅ ⋅⋅ ⋅+ = + → 2 32

1 4 5

N Nm

m N N

+=+

Trenes de engranes planetarios o epicílicos.

5 3

2 3

fórmula de Willis

ω ωµω ω

−=−