1. Apuntes de Matemtica Discreta a 1. Conjuntos y
SubconjuntosFrancisco Jos Gonzlez Gutirrez e a e Cdiz, Octubre de
2004 a
2. Universidad de Cdiz aDepartamento de Matemticas aii
3. Leccin 1 oConjuntos y Subconjuntos Contenido
1.1Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1
Conjuntos y Elementos . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Determinacin
por Extensin . . . . . . . . . o o 1.1.3 Determinacin por
Comprensin . . . . . . . o o 1.1.4 Conjunto Universal . . . . . . .
. . . . . . . . 1.1.5 Conjunto Vac . . . . . . . . . . . . . . . .
. o 1.1.6 Axioma de Extensin . . . . . . . . . . . . . o 1.2
Inclusin de conjuntos . . . . . . . . . . . . . o 1.2.1
Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Inclusin
Estricta . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.2.3 Proposicin . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . o 1.2.4 Proposicin . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . o 1.2.5 Caracterizacin de la Igualdad . . . . .
. . . o 1.2.6 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.7 Transitividad de la Inclusin . . . . . . . . . o 1.3
Diagramas de Venn . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .
. . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
.. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. .
. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . .
. . 2 . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . .
. . . . 5 . . . . . . . . . . . 5 . . . . . . . . . . . 5 . . . . .
. . . . . 7 . . . . . . . . . . . 7 . . . . . . . . . . . 8 . . . .
. . . . . . . 9 . . . . . . . . . . . 9 . . . . . . . . . . . 11 .
. . . . . . . . . . 12 . . . . . . . . . . . 12 . . . . . . . . . .
13Un conjunto es la reunin en un todo de objetos de nuestra ino
tuicin o de nuestro pensar, bien determinados y diferenciables o
los unos de los otros. Georg Cantor (1845-1918)El concepto de
conjunto es de fundamental importancia en las matemticas modernas.
La mayor de los a a matemticos creen que es posible expresar todas
las matemticas en el lenguaje de la teor de conjuntos. a a a
Nuestro inters en los conjuntos se debe tanto al papel que
representan en las matemticas como a su e a utilidad en la
modelizacin e investigacin de problemas en la informtica. o o a Los
conjuntos fueron estudiados formalmente por primera vez por Georg
Cantor1 . Despus de que la e teor de conjuntos se estableciera como
un rea bien definida de las matemticas, aparecieron cona a a
tradicciones o paradojas en la misma. Para eliminar tales
paradojas, se desarrollaron aproximaciones ms sofisticadas que las
que hizo Cantor. Un tratamiento introductorio de la teor de
conjuntos se a a ocupa, generalmente, de la teor elemental, la cual
es bastante similar al trabajo original de Cantor. a Utilizaremos
esta aproximacin ms simple y desarrollaremos una teor de conjuntos
de la cual es posible o a a 1 Georg Cantor. Matemtico alemn de
origen ruso (San Petesburgo 1845-Halle 1918). Despus de estudiar en
Alemania, a a e fue profesor de la universidad de Halle (1879).
Escribi numerosas memorias, pero es especialmente conocido por ser
el o creador de la Teor de los conjuntos. a1
4. Universidad de Cdiz aDepartamento de Matemticas aderivar
contradicciones. Parece extrao el proponerse tal cosa
deliberadamente, pero las contradicciones n no son un problema si,
como es nuestro caso, el universo del discurso se define
convenientemente. An u ms, la existencia de las paradojas en la
teor elemental no afecta a la validez de nuestros resultados ya a a
que los teoremas que presentaremos pueden demostrarse mediante
sistemas alternativos en los que las paradojas no
ocurren.1.1GeneralidadesDefinimos los conceptos fundamentales del
tema como conjunto, elemento, determinacin de un conjunto o por
extensin, por comprensin y estudiamos la igualdad de dos conjuntos.
o o1.1.1Conjuntos y ElementosIntuitivamente, un conjunto es
cualquier coleccin de objetos que pueda tratarse como una entidad.
o A cada objeto de la coleccin lo llamaremos elemento o miembro del
conjunto. o A los conjuntos los designaremos con letras maysculas y
a sus elementos con letras minsculas. La u u armacin el elemento a
pertenece al conjunto A se escribe o aA y la negacin de este hecho,
(a A), se escribe o aA / La definicin de un conjunto no debe ser
ambigua en el sentido de que pueda decidirse cuando un objeto o
particular pertenece, o no, a un conjunto.1.1.2Determinacin por
Extensin o oUn conjunto est denido por extensin cuando se especican
todos los elementos que forman el a o mismo. Ejemplo 1.1Los
siguientes conjuntos estn definidos por extensin. a o(a) El
conjunto de las vocales del alfabeto. A = {a, e, i, o, u} (b) El
conjunto formado por los nmeros enteros pares no negativos y
menores que diez. u B = {0, 2, 4, 6, 8}Obsrvese que los elementos
del conjunto estn separados por comas y encerrados entre llaves. e
a Ejemplo 1.2Definir por extensin los siguientes conjuntos. o(a) El
conjunto de los enteros no negativos menores que cinco. (b) El
conjunto de las letras de mi nombre. 2
5. Matemtica Discreta aFrancisco Jos Gonzlez Gutirrez e a e(c)
El conjunto cuyo unico elemento es el primer Presidente de Gobierno
de la democracia. (d) El conjunto de los nmeros primos entre 10 y
20. u (e) El conjunto de los mltiplos de 12 que son menores que 65.
u Solucin o (a) A = {0, 1, 2, 3, 4} (b) B = {p, a, c, o} (c) C =
{Adolfo Surez} a (d) D = {11, 13, 17, 19} (e) E = {12, 24, 36, 48,
60}Ejemplo 1.3Definir, por extensin, los conjuntos siguientes: o(a)
A = {x : x Z 3 < x < 12} (b) B = {x : x es un nmero de un d u
gito} (c) B = {x : x = 2 x = 5} Solucin o (a) A = {4, 5, 6, 7, 8,
9, 10, 11} (b) B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (c) C = {2,
5}Nota 1.1 Los elementos de un conjunto infinito no pueden
especificarse de una forma expl cita; consecuentemente,
necesitaremos una forma alternativa de describir tales conjuntos
impl citamente.1.1.3Determinacin por Comprensin o oSe dice que un
conjunto est denido por comprensin cuando se especica una propiedad
que caraca o teriza a todos los elementos del mismo. Esta propiedad
o especificacin impl o cita, se hace a menudo mediante un predicado
con una variable libre. El conjunto estar determinado por aquellos
elementos del universo que hacen del predicado una a proposicin
verdadera. De aqu que si p(x) es un predicado con una variable
libre, el conjunto o A = {x : p(x)} denota al conjunto A tal que a
A si, y slo si p(a) es verdad. o Ejemplo 1.4Definir por comprensin
los siguientes conjuntos: o 3
6. Universidad de Cdiz aDepartamento de Matemticas a(a) El
conjunto de los enteros mayores que diez. (b) El conjunto de los
enteros pares. (c) El conjunto {1, 2, 3, 4, 5} Solucin o (a) A = {x
: x Z x > 10} (b) B = {x : x Z y Z x = 2y} (c) C = {x : x Z
1Ejemplo 1.5x5}Definir por extensin el siguiente conjunto dado por
comprensin. o o A = x R : x2 3x + 2 = 0Solucin o Dado que las
soluciones de la ecuacin son 1 y 2, podemos escribir o A = {1,
2}Nota 1.2Muchas veces se utilizan significados algo menos formales
para describir conjuntos.Por ejemplo, el conjunto de los nmeros
enteros mayores que diez, suele escribirse: u A = {x Z : x > 10}
y el conjunto de los enteros pares, B = {x : x = 2y, y Z} A veces
tanto en conjuntos finitos demasiado grandes como en conjuntos
infinitos, se utiliza la elipsis matemtica para caracterizar a los
elementos de un conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los nmeros a
u enteros del 1 al 100, C = {1, 2, 3, . . . , 100} o el conjunto de
los enteros pares no negativos, D = {0, 2, 4, 6, . . .} Algunos
conjuntos aparecern muy frecuentemente a lo largo del curso y se
usan s a mbolos especiales para designarlos. Z: Conjunto de los
nmeros enteros. u N = Z+ : Conjunto de los nmeros naturales o
enteros positivos. u Z+ : Conjunto de los enteros no negativos. 0
Q: Conjunto de los nmeros racionales. u R: Conjunto de los nmeros
reales. u C: Conjunto de los nmeros complejos. u 4
7. Matemtica Discreta aFrancisco Jos Gonzlez Gutirrez e a
eIncluso si podemos especificar todos los elementos de un conjunto
puede que no sea prctico hacerlo. a Por ejemplo, no definir amos
por extensin el conjunto de los estudiantes de la Universidad de
Cdiz que o a estudien Informtica, aunque tericamente es posible
definirlo. a o As pues, describiremos un conjunto mediante un
listado exhaustivo de sus elementos slo si contiene unos o pocos
elementos, en caso contrario describiremos un conjunto mediante una
propiedad que caracterice a los mismos.1.1.4Conjunto UniversalEn
cualquier aplicacin de la teor de conjuntos, los elementos de todos
los conjuntos en consideracin o a o pertenecen a un gran conjunto
jo llamado conjunto universal. Lo notaremos por U . Ejemplo 1.6
Para cada uno de los conjuntos siguientes, elegir un conjunto
universal y un predicado apropiados para definirlo. (a) El conjunto
de los enteros entre 0 y 100. (b) El conjunto de los enteros
positivos impares. (c) El conjunto de los mltiplos de 10. u Solucin
o (a) A = {x : x Z x > 0 x < 100} A = {x Z : 0 < x <
100} o (b) B = {x : y Z+ , x = 2y 1} B = {x : x = 2y 1, y Z+ } o
(c) C = {x : y Z, x = 10y} C = {x : x = 10y, y Z} o1.1.5Conjunto
Vac oAl conjunto unico que no contiene elementos, lo llamaremos
conjunto vac Lo notaremos con el o. s mbolo que proviene del
alfabeto noruego.1.1.6Axioma de Extensin oDos conjuntos A y B son
iguales si, y slo si tienen los mismos elementos. Es decir, cada
elemento o del conjunto A es un elemento de B y cada elemento de B
es un elemento de A. Su expresin formal en notacin lgica es: o o o
A = B x [(x A = x B) (x B = x A)] o bien, A = B x (x A x B) Nota
1.3 El axioma de extensin asegura que si dos conjuntos tienen los
mismos elementos, ambos o son iguales, independientemente de como
estn definidos. e 5
8. Universidad de Cdiz aDepartamento de Matemticas aComo todo
conjunto tiene los mismos elementos que l mismo, se sigue que si un
conjunto est definido e a por extensin, el orden el que los
elementos guren en l es intrascendente. As pues, los conjuntos o e
{a, b, c}, {b, c, a} y {c, b, a} son iguales. Tambin se sigue del
axioma de extensin que la aparicin de un elemento ms de una vez en
un conjunto, e o o a es igualmente intrascendente. Por ejemplo, los
conjuntos {a, b}, {a, b, b} y {a, a, a, b} son iguales ya que todo
elemento de cualquiera de ellos est en los dems, por tanto, son
especificaciones diferentes del a a mismo conjunto. Ejemplo 1.7
iguales.Determinar, en el conjunto de los nmeros enteros, cules de
los siguientes conjuntos son u aA = x : x es par y x2 es impar B =
{x : y, y Z x = 2y} C = {1, 2, 3} D = {0, 2, 2, 3, 3, 4, 4, . . .}
E = {2x : x Z} F = {3, 3, 2, 1, 2} G = x : x3 6x2 7x 6 = 0 Solucin
o Sea x cualquier nmero entero, entonces ux es par = x = 2y, y Z =
x2 = 4y 2 , y Z = x2 = 2(2y 2 ), 2y 2 Z = x2 es par Por lo tanto,
la proposicin x(x es par x2 es impar) es falsa o dicho de otra
forma no hay o ningn nmero par cuyo cuadrado sera impar y, por lo
tanto, A no tiene elementos es decir es el u u conjunto vac o. x B
y : y Z x = 2y x es par, luego B = {x Z : x es par} x C x = 1 x = 2
x = 3 E = {0, 2, 2, 4, 4, 6, 6, . . .} = {x Z : x es par} x F x = 1
x = 2 x = 3 x G x3 6x2 7x 6 = 0 Pero no existe ningn nmero entero
que satisfaga la ecuacin anterior, por lo tanto, G es el u u o
conjunto vac o. De todo lo anterior, se sigue que A=G B=E C=F El
conjunto D no es igual a ninguno de los otros. 6
9. Matemtica Discreta aEjemplo 1.8Francisco Jos Gonzlez
Gutirrez e a eDar una condicin necesaria y suficiente para que dos
conjuntos sean distintos. oSolucin o Sean A y B dos conjuntos
cualesquiera de un universal arbitrario U . Entonces, por el axioma
de extensin o A = B x [(x A = x B) (x B = x A)] de aqu que por
asociatividad (??), tengamos que A = B [x (x A = x B) x (x B = x
A)] y si ahora negamos ambos miembros, tendremos (A = B) [x (x A =
x B) x (x B = x A)] por lo tanto, [x (x A = x B) x (x B = x A)][x
(x A = x B)] [x (x B = x A)]{De Morgan}[x : (x A = x B)] [x : (x B
= x A)]{Regla General}[x : ((x A) (x B))] [x : ((x B) (x
A))]{Implicacin} o[x : ((x A) (x B))] [x : ((x B) (x A))] {De
Morgan}A=B[x : (x A x B)] [x : (x B x A)] / /{Doble Negacin} oAs
pues, una condicin necesaria y suficiente para que dos conjuntos A
y B sean distintos es que exista o un elemento en A que no est en B
o que exista un elemento en B que no est en A. e e1.2 1.2.1Inclusin
de conjuntos o SubconjuntosSean A y B dos conjuntos. Diremos que A
est contenido en B o que es un subconjunto de B, y lo a notaremos
por A B, si cada elemento de A es un elemento de B, es decir, A B x
(x A = x B) Tambin puede decirse que B contiene a A, en cuyo caso
escribiremos B A. e Ejemplo 1.9Probar que el conjunto A = x R : x2
3x + 2 = 0 es subconjunto del B = {1, 2, 3}Solucin o En efecto, sea
a un elemento cualquiera de R, o sea, un nmero real arbitrario.
Entonces, u a A a2 3a + 2 = 0 a = 2 a = 1 = a B o luego x (x A = x
B) y segn la definicin anterior, A B. u o Ejemplo 1.10 Dar una
condicin necesaria y suficiente para que un conjunto A no est
contenido en o e otro conjunto B. Solucin o 7
10. Universidad de Cdiz aDepartamento de Matemticas a(A B) [x
(x A = x B)]x : [ (x A = x B)]x : [ ((x A) (x B))]x : [(x A) (x
B)]B Ax : (x A x B) /es decir, una condicin necesaria y suciente
para que A no est contenido en B es que exista, al menos, o e un
elemento en A que no est en B. e Ejemplo 1.11Es B = {1, 2, 3} un
subconjunto de A = x R : x2 3x + 2 = 0 ?Solucin o No, ya que 3 B y,
sin embargo, 32 3 3 + 2 = 2 = 0, luego 3 A, es decir, hemos
encontrado un / elemento en B que no est en A, por tanto, B A.
a1.2.2Inclusin Estricta oSi A B y adems B tiene un elemento que no
est en A, diremos que A est estrictamente incluido a a a en B o que
A es un subconjunto propio de B y lo notaremos por A B. A B A B [x
: (x B x A)] / Ejemplo 1.12 tenido en otro.Dar una condicin
necesaria y suficiente para que un conjunto est estrictamente cono
eSolucin o Sean A y B dos conjuntos cualesquiera de un universal
arbitrario U . Entonces, segn acabamos de ver u A B A B [x : (x B x
A)] / de donde, teniendo en cuenta el resultado del ejemplo 1.8, se
sigue que A B A B A = BNota 1.4 Los conjuntos tambin son objetos,
luego pueden ser elementos de otros conjuntos, por e ejemplo, el
conjunto A = {{a, b} , {a, c} , {b} , {c}} tiene cuatro elementos
que son los conjuntos {a, b} , {a, c} , {b} y {c}. Si tuviramos una
caja con tres e paquetes de caramelos, la considerar amos como una
caja con paquetes antes que una caja con caramelos, por lo que se
tratar de un conjunto (la caja) con tres elementos (los paquetes).
a Anlogamente, si A es un conjunto, entonces {A} es un conjunto con
un unico elemento, A, sin impora tarnos cuantos elementos tenga A.
Un caso curioso ocurre con el conjunto vac . Una caja con un
paquete vac de caramelos no es una o, o caja vac ya que contiene
algo, un paquete. De la misma forma {} es un conjunto con un
elemento a mientras que no contiene elementos, as que y {} son
conjuntos distintos. Tendremos que {} e incluso {}, pero = {}.
Ejemplo 1.13 Describir brevemente la diferencia entre los conjuntos
{a} y {{a}} y entre los conjuntos , {} y {, {}}. 8
11. Matemtica Discreta aFrancisco Jos Gonzlez Gutirrez e a
eSolucin o {a} es un conjunto cuyo unico elemento es el a. {{a}} es
un conjunto cuyo unico elemento es el conjunto {a}. . Conjunto
unico que no tiene elementos (definicin 1.1.5). o {}. Conjunto con
un unico elemento que es el . {, {}}. Conjunto con dos elementos,
el y el {}.1.2.3Proposicin oSea U el conjunto universal y A un
conjunto cualquiera. Entonces A U . Demostracin o La demostracin es
un ejemplo de demostracin trivial basada en la definicin de
conjunto universal que o o o nos permite afirmar que la proposicin
x, x U es una tautolog es decir es verdad siempre. o a, El conjunto
A es un subconjunto de U si, y slo si la implicacin o o x A = x U
es verdad para cada x de U . Pero x U es verdad para todos los x,
luego la implicacin tambin es o e verdad independientemente de que
x A sea verdadero o falso. Como x es un elemento arbitrario de U ,
se sigue que x (x A = x U ) es verdad y, por lo tanto,
AU1.2.4Proposicin oSea A un conjunto cualquiera, entonces A.
Demostracin o Esta demostracin es un ejemplo de demostracin vac ya
que la definicin de conjunto vac nos permite o o a o o afirmar que
la proposicin x : x es una contradiccin, es decir siempre es falsa.
o o Pues bien, sea x un elemento arbitrario del universal. Como x
es falsa para todos los elementos de U tendremos que la implicacin
o x = x A es verdadera. De la arbitrariedad de x se sigue que x (x
= x A) y, consecuentemente, AEjemplo 1.14Determinar los
subconjuntos de un conjunto. 9
12. Universidad de Cdiz aDepartamento de Matemticas a(a) Veamos
cuantos subconjuntos tiene el conjunto {a, b}. De la proposicin
1.2.4 se sigue que el conjunto vac es uno de ellos. Por otra parte,
a A o o, y b B luego por la definicin de inclusin (1.2.1), {a}, {b}
y {a, b} son subconjuntos de {a, b}. o o Consecuentemente, el
conjunto propuesto tiene cuatro subconjuntos distintos: , {a} , {b}
, y {a, b} Obsrvese que {a} {a, b} y a {a, b}, pero a e {a, b} /{a,
b} y {a} {a, b}. Tambin {a, b}, pero / e(b) El conjunto {{a}} es un
conjunto unitario ya que tiene un unico elemento, el conjunto {a}.
Sus subconjuntos son el y el {{a}}. Ejemplo 1.15Determinar todos
los subconjuntos de los siguientes conjuntos:(a) {1, 2, 3} (b) {1,
{2, 3}} (c) {{1, {2, 3}}} (d) {} (e) {, {}} (f) {{1, 2} , {2, 1, 1}
, {2, 1, 1, 2}} (g) {{, 2} , {2}} Solucin o Utilizaremos la
definicin de subconjunto (1.2.1), o A B x (x A = x B) (a) {1, 2, 3}
{1, 2, 3} (Proposicin 1.2.4). o 1 {1, 2, 3}, luego {1} {1, 2, 3}. 2
{1, 2, 3}, luego {2} {1, 2, 3}. 3 {1, 2, 3}, luego {3} {1, 2, 3}. 1
{1, 2, 3} y 2 {1, 2, 3}, luego {1, 2} {1, 2, 3}. 1 {1, 2, 3} y 3
{1, 2, 3}, luego {1, 3} {1, 2, 3}. 2 {1, 2, 3} y 3 {1, 2, 3}, luego
{2, 3} {1, 2, 3}. 1 {1, 2, 3}, 2 {1, 2, 3} y 3 {1, 2, 3}, luego {1,
2, 3} {1, 2, 3}. por lo tanto, los subconjuntos de {1, 2, 3} son ,
{1} , {2} , {3} , {1, 2} , {1, 3} , {2, 3} y {1, 2, 3} (b) {1, {2,
3}}. Aqu tenemos que 1 y {2, 3} son los dos elementos que tiene
este conjunto, luego razonando igual que en el apartado anterior,
sus subconjuntos son: , {1} , {{2, 3}} y {1, {2, 3}} (c) {{1, {2,
3}}}. Este conjunto tiene un unico elemento que es {1, {2, 3}}, por
lo tanto sus subconjuntos son: y {{1, {2, 3}}} 10
13. Matemtica Discreta aFrancisco Jos Gonzlez Gutirrez e a e(d)
{}. Este conjunto tiene un elemento que es , por lo tanto tiene dos
subconjuntos, (por 1.2.4) y {} (por 1.2.1) (e) {, {}}. Este
conjunto tiene dos elementos, y {}, por lo tanto sus subconjuntos
son (por 1.2.4) y {} , {{}} y {, {}} (por 1.2.1) (f) {{1, 2} , {2,
1, 1} , {2, 1, 1, 2}}. Obsrvese que e {1, 2} = {2, 1, 1} = {2, 1,
1, 2} luego el conjunto propuesto es {{1, 2}} y, por lo tanto, sus
subconjuntos son y {{1, 2}} (g) {{, 2} , {2}}. Siguiendo un
razonamiento idntico a los anteriores apartados, sus subconjuntos
son e , {{, 2}} , {{2}} y {{, 2} , {2}}1.2.5Caracterizacin de la
Igualdad oSean A y B dos conjuntos cualesquiera de un universal
arbitrario U . Entonces A = B si, y slo si o A B y B A. Demostracin
o Slo si. A = B = A B B A o En efecto, supongamos que A = B.
Entonces por el axioma de extensin, cada elemento de o A es un
elemento de B luego por definicin de subconjunto, A B. As pues, si
A = B, o entonces A B. Utilizando los mismos argumentos, aunque
intercambiando los papeles de A y B, tendremos que si A = B,
entonces B A. De aqu que (A = B = A B) (A = B = B A) lo cual
equivale a A = B = A B B A Si. A B B A = A = B En efecto, (A B) (B
A) = [(x (x A = x B)] [(x (x B = x A)] consecuentemente, por el
axioma de extensin o A=B Este teorema lo utilizaremos con mucha
frecuencia para comprobar que dos conjuntos son iguales, es decir,
para probar que A = B, probaremos que A B y B A. 11
14. Universidad de Cdiz a1.2.6Departamento de Matemticas
aCorolarioDe la caracterizacin anterior se sigue que para cualquier
conjunto A, se verica que A A. o1.2.7Transitividad de la Inclusin
oSean A, B y C tres conjuntos cualesquiera de un universal
arbitrario U . Si A B y B C, entonces A C. Demostracin o Sea x un
elemento arbitrario del universal U . De A B, se sigue que x A = x
B De B C, se sigue que x B = x C De la transitividad de la
implicacin lgica se sigue que o o x A = x C y al ser x arbitrario,
tendremos x (x A = x C) por lo tanto, ACEjemplo 1.16 Sean A, B y C
tres conjuntos. Si A B y B C, es posible que A C?, es siempre
verdad que A C?. Da ejemplos de tus afirmaciones. Solucin o En
efecto, es posible. Por ejemplo, sean A = {a} B = {{a}} C = {{{a}}
, {a}} entonces, A B, B C y A C. Ahora bien, esto no es verdad
siempre. En efecto, sean A = {a} , B = {{a}} y C = {{{a}}}
entonces, AB yBC y sin embargo, AC / Ejemplo 1.17Estudiar la
relacin que existe entre los siguientes conjuntos: oA = {1, 2} B =
{1, 3} C = x R : x2 4x + 3 = 0 D = x R : x2 3x + 2 = 0 E = {x Z+ :
x < 3} F = {x Z+ : x es impar y x < 5} 12
15. Matemtica Discreta aFrancisco Jos Gonzlez Gutirrez e a
eSolucin o A y B son distintos, ya que 2 A y 2 B y 3 B y 3 A. As
pues, hemos encontrado un elemento en / / A que no est en B y un
elemento en B que no est en A. Por tanto, por el resultado del
ejemplo 1.8, a a A = B. Ahora observemos lo siguiente: Sea x un
nmero real arbitrario. Entonces, u x C x2 4x + 3 = 0 x = 1 x = 3 x
B o sea, C = B x D x2 3x + 2 = 0 x = 1 x = 2 x A es decir, A = D.
Sea x un entero positivo cualquiera. Entonces, x E x < 3 x = 1 x
= 2 x A por lo tanto, A = E. Sea x un entero positivo cualquiera.
Entonces, x F x es impar x < 5 x = 1 x = 3 x B por lo tanto, F =
B. Consecuentemente, A=B A=C A=D A=E A=FNota 1.52 2 2 2B=C B=D B=E
B=F2 2 2C=D C=E C=F2 2D=E D=F2E=FCon el conjunto vac puede
construirse una sucesin infinita de conjuntos distintos. o oEn la
sucesin, o , {} , {{}} , {{{}}} , . . . el primer conjunto no tiene
ningn elemento y cada uno de los restantes tiene, exactamente, un
elemento u que es el conjunto que le precede en la sucesin. o En la
sucesin, o , {} , {, {}} , {, {} , {, {}}} , {, {} , {, {}} , {, {}
, {, {}}}} cada conjunto tiene como elementos todos los conjuntos
que le preceden en la sucesin. As contando o , desde cero, el
conjunto que ocupa el lugar k tiene k elementos.1.3Diagramas de
VennUna representacin grfica para los conjuntos son los diagramas
de Venn. El conjunto universal se o a representa por el interior de
un rectngulo y todos los dems conjuntos se representan por regiones
a a cerradas incluidos en el mismo. 13
16. Universidad de Cdiz aDepartamento de Matemticas a UUUA
BBBAA(a) A B(b) A y B son disjuntos(c) A y B no son
disjuntosDiagramas de Venn Si A es un subconjunto de B, A B,
entonces la regin que representa a A, estar contenida en o a la que
representa a B (apartado (a) de la gura). Si A y B no tienen
elementos en comn (A y B son disjuntos), entonces la regin que
representa u o a A estar separada completamente de la regin que
representa a B (apartado (b) de la gura). a o Si A y B son dos
conjuntos arbitrarios, entonces es posible que algunos elementos
estn en A pero e no en B, algunos en B pero no en A, algunos en los
dos, A y B, y algunos ni en A, ni en B (apartado (c) en la
gura).14
17. Apuntes de Matemtica Discreta a 2. Operaciones con
ConjuntosFrancisco Jos Gonzlez Gutirrez e a e Cdiz, Octubre de 2004
a
18. Universidad de Cdiz aDepartamento de Matemticas aii
20. Universidad de Cdiz a2.1.1Departamento de Matemticas aUnin
oLa unin de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos
los elementos que pertenecen a A o o a B. Se nota A B. A B = {x : x
A x B} . La disyuncin, , se utiliza en el sentido inclusivo, es
decir, signica y/o. o2.1.2Interseccin oLa interseccin de dos
conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que
pertenecen o a A y a B. Se nota A B. A B = {x : x A x B} Si A y B
no tienen elementos en comn, es decir, si A B = , entonces diremos
que A y B son u conjuntos disjuntos. Ejemplo 2.1Sean A, B y C tres
conjuntos.(a) Demostrar que si C A y C B, entonces C (A B), es
decir, A B es el mayor conjunto que contiene a A y a B. (b)
Demostrar que si C A y C B, entonces C (A B), es decir, A B es el
conjunto ms a pequeo que contiene a A y a B. n Solucin o (a)
Supongamos que C A y C B, entonces la proposicin o x (x C = x A) x
(x C = x B) es verdad. Esta proposicin es equivalente a o x [(x C =
x A) (x C = x B)] la cual, a su vez, equivale a x, [ x C = (x A x
B)] de aqu que x, x C = x [(A B)] y, por lo tanto, C AB (b)
Supongamos que C A y que C B, y sea x un elemento arbitrario de A B
entonces, x (A B) xA xB{Denicin de unin} o o=xC xC{Por hiptesis}
oxC{Idempotencia de }luego, x, (x A B = x C) de aqu que C (A
B)16
21. Matemtica Discreta a2.1.3Francisco Jos Gonzlez Gutirrez e a
eDiferenciaLa diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto
formado por todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen
a B. Se nota por AB. AB = {x : x A x B} / El conjunto AB se lee A
menos B y recibe tambin el nombre de complementario relativo del e
conjunto B respecto del conjunto A.2.1.4ComplementarioEl
complementario de un conjunto A es el conjunto formado por todos
los elementos del conjunto universal que no pertenecen a A. Se nota
Ac . Ac = {x : x U x A} / Obsrvese que el complementario de A es
igual a la diferencia entre U y A, es decir, Ac = UA.
e2.1.5Diferencia Simtrica eLa diferencia simtrica entre dos
conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que
e pertenecen a A o a B pero no a ambos. Se nota por A B. AB = (AB)
(BA)AB AABBABOperaciones con conjuntos 17BA
22. Universidad de Cdiz a Ejemplo 2.2Departamento de Matemticas
aSean los conjuntosA = {n Z+ : n13}+B = {n Z : n es par y n20}C =
{n Z+ : n es par}Hallar A B, A B, Ac , B c , AB, BA, AB, B C y
BC.Solucin o 18
23. Matemtica Discreta aABFrancisco Jos Gonzlez Gutirrez e a e=
{n Z+ : n13} {n Z+ : n es par y n20}= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10, 11, 12, 13} {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} = {1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 18, 20} AB= {n Z+ : n13} {n
Z+ : n es par y n20}= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}
{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} = {2, 4, 6, 8, 10, 12} Ac= {n
Z+ : n A} / = {n Z+ : n > 13}Bc= {n Z+ : n B} / = {n Z+ : (n B)}
= {n Z+ : [n es par (n20)]}+= {n Z : (n es par) (n20)}= {n Z+ : (n
es impar) (n > 20)} = {1, 3, 5, 7, 9, 11, . . .} {21, 22, 23,
24, . . .} = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 24, .
. .} AB= {n Z+ : n A n B} / = {n Z+ : n A n B c } = {n Z+ : n13 n B
c }= {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13} BA = {n Z+ : n B n A} / = {n Z+ : n B
n Ac } = {n Z+ : n es par y n20 y n > 13}= {n Z+ : n es par y
14n20}= {14, 16, 18, 20} AB=(AB) (BA)= {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13} {14,
16, 18, 20} = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 16, 18, 20} = {n Z+ : n
es par y n20} {n Z+ : n es par}= {n Z+ : n es par y nBC20 y n es
par}= {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} BC= {n Z+ : n B y n C} /
= {n Z+ : n es par y n20 y n es impar}= 19
24. Universidad de Cdiz a2.2Departamento de Matemticas aAlgebra
de conjuntos. DualidadBajo las operaciones definidas en los
apartados anteriores, los conjuntos satisfacen varias leyes o
identidades. Observaremos que existe una dualidad entre las leyes
que utilizan la interseccin y las que utilizan o la unin.
o2.2.1Leyes IdempotentesDado cualquier conjunto A en un universal
arbitrario U , se verica: 1. A A = A 2. A A = A Demostracin o En
efecto, sea x un elemento arbitrario del universal U . Entonces,
1.x (A A) x A x A {Definicin de unin} o o xA{Idempotencia de }De la
arbitrariedad de x se sigue que x [x (A A) x A] de aqu que AA=A 2.
Anlogamente se prueba que A A = A. a2.2.2Leyes ConmutativasDados
dos conjuntos A y B de un universal arbitrario U , se verica: 1. A
B = B A 2. A B = B A Demostracin o En efecto, 1. Sea x cualquier
elemento de U . Entonces, x (A B) xA xB{Definicin de unin} o ox B x
A {Commutatividad de }x (B A){Denicin de unin} o oComo x es
cualquiera de U , se sigue que x [x A B x B A] por lo tanto, AB =BA
2. De una forma similar se demuestra que A B = B A. 20
25. Matemtica Discreta a2.2.3Francisco Jos Gonzlez Gutirrez e a
eLeyes AsociativasDados tres conjuntos A, B y C de un universal
arbitrario, U , se verica: 1. A (B C) = (A B) C 2. A (B C) = (A B)
C Demostracin o En efecto, sea x es un elemento arbitrario de U .
Entonces, 1.x A (B C) x A [x (B C)]{Definicin de unin} o ox A (x B
x C) {Definicin de unin} o o(x A x B) x C{Asociatividad de }(x A B)
x C{Definicin de unin} o ox (A B) C{Definicin de unin} o oDe la
arbitrariedad de x se sigue que x [x A (B C) x (A B) C] de aqu que
A (B C) = (A B) C 2. Anlogamente se demuestra que a A (B C) = (A B)
C2.2.4Leyes DistributivasDados tres conjuntos A, B y C de un
conjunto universal arbitrario, U , se verica: 1. A (B C) = (A B) (A
C) 2. A (B C) = (A B) (A C) Demostracin o En efecto, 1. En efecto,
sea x cualquier elemento del conjunto universal U , entonces x A (B
C) x A [x (B C)]{Definicin de unin} o ox A (x B x C){Definicin de
interseccin} o o(x A x B) (x A x C) {Distributividad}x (A B) x (A
C){Definicin de unin} o ox (A B) (A C){Definicin de interseccin} o
oAl ser x cualquier elemento de U , se sigue que x [x A (B C) x (A
B) (A C)] 21
26. Universidad de Cdiz aDepartamento de Matemticas
aconsecuentemente, A (B C) = (A B) (A C) 2. De una forma similar se
prueba que A (B C) = (A B) (A C)2.2.5Leyes de IdentidadDado un
conjunto cualquiera de un universal arbitrario, U , se verica: 1. A
= A 2. A U = U 3. A = 4. A U = A Demostracin o 1. A = A. En efecto,
sea x es un elemento arbitrario de U . Entonces, x (A ) xA
x{Denicin de unin} o oxA{x es falso siempre}luego, x [x (A ) x A]
de aqu que A=A 2. A U = U . Sea x un elemento cualquiera de U .
Entonces, x (A U ) xA xU xU{Denicin de unin} o o {x U es verdad
siempre}luego, x [x (A U ) x U ] es decir, AU =U 3. A = . Si x es
cualquiera de U , entonces x (A ) xA x{Denicin de unin} o ox{x es
falso siempre}luego, A= 4. A U = A. Sea x un elemento arbitrario de
U . Entonces, xAUxA xU{Definicin de interseccin} o oxA{x U es
verdad siempre}luego, AU =A22
27. Matemtica Discreta a2.2.6Francisco Jos Gonzlez Gutirrez e a
eLey InvolutivaDado un conjunto cualquiera A de un universal U , se
verica: (Ac )c = A Demostracin o Sea x cualquiera de U . Entonces,
cx (Ac )x Ac /{Definicin de complementario} o c(x A ){Negacin} o(x
A) /{Definicin de complementario} o(x A) {Negacin} oxA{Doble
negacin} oluego, cx [x (Ac ) x A] es decir, c(Ac ) = A2.2.7Leyes
del ComplementarioDado un conjunto cualquiera A de un universal
arbitrario U , se verica: 1. A Ac = U 2. U c = 3. A Ac = 4. c = U
Demostracin o 1. A Ac = U . En efecto, sea x cualquier elemento de
U . Entonces, x (A Ac ) x A x Ac{Definicin de unin} o oxA xA
/{Complementario}x A (x A) {Negacin} oxU{Tautolog a}luego, x [x (A
Ac ) x U ] por lo tanto, A Ac = U 2. U c = . En efecto, U c = {x U
: x U c } = {x U x U } = / 23
28. Universidad de Cdiz aDepartamento de Matemticas a3. A Ac =
. En efecto, A Ac = {x U : x A x Ac } = {x U : x A x A} = / 4. c =
U . En efecto, c = {x U : x c } = {x U : x } = {x U } = U
/2.2.8Leyes de De MorganDados dos conjuntos A y B en un universal U
, se verica: 1. (A B)c = Ac B c 2. (A B)c = Ac B c Demostracin o 1.
(A B)c = Ac B c En efecto, sea x un elemento arbitrario del
conjunto universal U . Entonces, x (A B)cx (A B) /{Definicin de
complementario} o [x (A B)]{Negacin} o [(x A) (x B)] {Definicin de
unin} o o(x A) (x B){De Morgan para }(x A) (x B) / /{Negacin} o(x
Ac ) (x B c ){Definicin de complementario} occx (A B ){Definicin de
interseccin} o oy al ser x un elemento arbitrario de U , se sigue
que cx [x (A B) x (Ac B c )] luego, (A B)c = Ac B c 2. Anlogamente
se prueba que a (A B)c = Ac B cEjemplo 2.3 Entonces,Sean A, B, C y
D subconjuntos arbitrarios de un conjunto universal arbitrario, U
.(a) AB A (b) Si A B y C D, entonces (A C) (B D) (c) Si A B y C D,
entonces (A C) (B D) (d) A (A B) (e) A B A 24
29. Matemtica Discreta aFrancisco Jos Gonzlez Gutirrez e a e(f)
Si A B, entonces A B = B (g) Si A B, entonces A B = A (h) A = A (i)
A (BA) = (j) A (BA) = A B (k) A(B C) = (AB) (AC) (l) A(B C) = (AB)
(AC) Solucin o (a) AB A En efecto, sea x un elemento arbitrario de
U , xABxA xB /{Denicin de diferencia} o=xA{Simplificacin} oluego, x
[x AB = x A] consecuentemente, AB A (b) Si A B y C D, entonces (A
C) (B D) En efecto, supongamos que A B y C D y sea x un elemento
arbitrario de U , entonces xACxA xC{Definicin de unin} o o=xB
xD{Hiptesis} ox (B D){Definicin de unin} o oluego, x [x (A C) = x
(B D)] por lo tanto, AC BD (c) Si A B y C D, entonces (A C) (B D)
Se prueba de forma anloga a la anterior. a (d) A (A B) En efecto,
si x es cualquiera de U , entonces xA=xA xB{Adicin} oxAB{Definicin
de unin} o oluego, x [x A = x (A B)] de aqu que A (A B) 25
30. Universidad de Cdiz aDepartamento de Matemticas a(e) A B A
En efecto, sea x un elemento cualquiera de A B. Entonces, xABxA
xB{Definicin de interseccin} o o=xA{Simplificacin} oluego, x [x (A
B) = x A] de donde se sigue AB A (f) Si A B, entonces A B = B En
efecto, sea x cualquiera de U y supongamos que A B. x (A B) xA
xB{Definicin de unin} o o=xB xB{Hiptesis} oxB{Idempotencia de
}luego, x [x (A B) = x B] por lo tanto, AB B y por (d) B (A B) De
la doble inclusin se sigue la igualdad que buscamos. o (g) Si A B,
entonces A B = A Por el apartado (e), tenemos que AB A Veamos la
inclusin contraria. o Supongamos que A B y sea x un elemento
arbitrario de U , entonces xA=xA xB{Hiptesis} ox (A B){Definicin de
interseccin} o oluego, x [x A = x (A B)] de aqu que A (A B)
Tenemos, pues, que A (A B) y (A B) A por lo tanto, A=AB (h) A = A
Sea x cualquiera de U . Entonces, xAxA x /{Denicin de diferencia}
oxA{Por ser x verdad, siempre} /luego, A = {x : x A} = A 26
31. Matemtica Discreta aFrancisco Jos Gonzlez Gutirrez e a e(i)
A (BA) = En efecto, A (BA)= A (B Ac ) {Diferencia de conjuntos} = A
(Ac B) {Conmutatividad de la unin} o (A Ac ) B={Asociatividad de la
interseccin} o= B{Leyes del complementario}= {Leyes de
identidad}(j) A (BA) = A B En efecto, A (BA)= A (B Ac ){Diferencia
de conjuntos}=(A B) (A Ac ) {Distributividad}=(A B) U{Leyes del
complementario}= AB{Leyes de identidad}(k) A(B C) = (AB) (AC) A(B
C)c{Diferencia de conjuntos}c{De Morgan}= A (B C) c= A (B C ) =(A
A) (B c C c ) {Idempotencia de la interseccin} o=(A B c ) (A C c )
{Commutatividad y asociatividad}=(AB) (AC){Diferencia de
conjuntos}(l) A(B C) = (AB) (AC) La demostracin es similar a la del
apartado anterior. o Ejemplo 2.4Probar las identidades
siguientes:(a) A (A B) = A (b) A (A B) = A (c) AB = A B c (d) A (Ac
B) = A B (e) A (Ac B) = A B Solucin o (a) A (A B) = A Sea x un
elemento cualquiera del universal U , entonces x A (A B) =x A x (A
B) {Denicin de unin} o o xAluego x, x A (A B) = x A es decir, A (A
B) A 27
32. Universidad de Cdiz aDepartamento de Matemticas aPor otro
lado, siempre se verifica que A A X, X U en particular, A A (A B)
De la doble inclusin se sigue el resultado, o A = A (A B) (b) A (A
B) = A En efecto, A (A B)(A A) (A B) {Distributividad}== A (A
B){Idempotencia de la interseccin} o= A{Apartado (a)}(c) AB = A B c
En efecto, sea x cualquiera del conjunto universal U , entonces
xABxA xB /xA xBx (A B c ){Definicin de diferencia} o c{Definicin de
complementario} o {Definicin de interseccin} o oluego, x, x AB x (A
B c ) por lo tanto, AB = A Bc (d) A (Ac B) = A B En efecto, A (Ac
B)=(A Ac ) (A B) {Distributividad}= U (A B){Leyes del
complementario}= AB{Leyes de identidad}(e) A (Ac B) = A B A (Ac
B)=(A Ac ) (A B) {Distributividad}= (A B) = AB2.3{Leyes del
complementario} {Leyes de identidad}Conjunto de las Partes de un
ConjuntoDado un conjunto A, si nos referimos a algunos de sus
subconjuntos estar amos considerando un conjunto de conjuntos. En
tales casos hablaremos de una clase de conjuntos o coleccin de
conjuntos en vez de o un conjunto de conjuntos. Si quisiramos
considerar algunos de los conjuntos de una clase dada de e
conjuntos, entonces hablaremos de una subclase o de una
subcoleccin. o 28
33. Matemtica Discreta aFrancisco Jos Gonzlez Gutirrez e a
eEjemplo 2.5 Sea A = {a, b, c, d, e} y sea A la clase de
subconjuntos de A que contienen exactamente tres elementos de A.
Entonces, A = {{a, b, c} , {a, b, d} , {a, b, e} , {a, c, d} , {a,
c, e} , {a, d, e} , {b, c, d} , {b, c, e} , {c, d, e}} siendo los
elementos de A los conjuntos: {a, b, c} , {a, b, d} , {a, b, e} ,
{a, c, d} , {a, c, e} , {a, d, e} , {b, c, d} , {b, c, e} y {c, d,
e}2.3.1Denicin oDado un conjunto A, llamaremos conjunto de las
partes de A a la clase o coleccin de todos los o subconjuntos de A
y se nota por P(A). Obsrvese que de acuerdo con esta definicin, si
X es un conjunto cualquiera de U , entonces e o X P(A) X A Ejemplo
2.6Sea A = {1, 2, 3}. Entonces, P(A) = {, {1} , {2} , {3} , {1, 2}
, {1, 3} , {2, 3} , {1, 2, 3}}Nota 2.1 Si el conjunto A es finito y
tiene n elementos, entonces P(A) tambin es un conjunto finito e y
tiene 2n elementos. En efecto, sea X un elemento arbitrario de
P(A). Para cada a A, hay dos opciones a X a X; o / como hay n
elementos en A, habr a n veces 2 2 2 2 = 2n diferentes conjuntos X.
Es decir, P(A) tiene 2n elementos. Veremos otra demostracin en una
leccin posterior. o o Ejemplo 2.7Especificar el conjunto de las
partes para cada uno de los conjuntos siguientes:(a) {a, b, c} (b)
{{a, b} , {c}} (c) {{a, b} , {b, a} , {a, b, b}} Solucin o (a) {a,
b, c} P ({a, b, c}) = {, {a} , {b} , {c} , {a, b} , {a, c} , {b, c}
, {a, b, c}} (b) {{a, b} , {c}} P ({{a, b} , {c}}) = {, {{a, b}} ,
{{c}} {{a, b} , {c}}} (c) {{a, b} , {b, a} , {a, b, b}} P ({{a, b}
, {b, a} , {a, b, b}}) = P ({a, b}) = {, {a, b} {{a, b}}}29
34. Universidad de Cdiz a2.4Departamento de Matemticas
aProducto cartesiano de conjuntosEl concepto matemtico de relacin
est basado en la nocin de relacin entre objetos. Algunas relaciones
a o a o o describen comparaciones entre elementos de un conjunto:
Una caja es ms pesada que otra, un hombre a es ms rico que otro,
etc. Otras relaciones involucran elementos de conjuntos diferentes,
tal como x a vive en y, donde x es una persona e y es una ciudad, x
es propiedad de y donde x es un edicio e y es una empresa, x naci
en el pa y en el ao z. o o s n Todos los ejemplos anteriores son de
relaciones entre dos o tres objetos, sin embargo, en principio,
podemos describir relaciones que abarquen n objetos, donde n es
cualquier entero positivo. Cuando hagamos una armacin que relacione
n objetos, ser necesario no solamente especicar los objetos en s o
a mismos sino tambin una ordenacin de los mismos. Por ejemplo, la
posicin relativa de 3 y 5 da lugar e o o unicamente a dos
armaciones 5 < 3 y 3 < 5, siendo una de ellas falsa y la otra
verdadera. Usaremos las n-tuplas ordenadas de elementos para
especificar una sucesin finita de objetos no neceo sariamente
distintos; la posicin relativa de los objetos en la sucesin nos dar
la ordenacin necesaria o o a o de los mismos.2.4.1n-tupla
ordenadaLlamaremos n-tupla ordenada a una sucesin de n objetos a1 ,
a2 , . . . , an dados en un cierto orden y o la notaremos por (a1 ,
a2 , . . . , an ). Obsrvese que es fundamental el orden en que
escribamos los elementos de la n-tupla, as e (a1 , a2 , . . . , an
) = (a2 , a1 , . . . , an ) Si n = 2, una n-tupla ordenada se llama
par ordenado y si n = 3, terna ordenada.2.4.2Igualdad de
n-tuplasDiremos que dos n-tuplas ordenadas son iguales si, y slo
si, sus i-simas componentes son iguales o e para todo i, 1 i n, es
decir, (a1 , a2 , . . . , an ) = (b1 , b2 , . . . , bn ) ai = bi ,
i, 1inMuchas veces trataremos con colecciones de n-tuplas donde la
componente i-sima de cada n-tupla es e un elemento de un conjunto
Ai . Denimos el conjunto de todas las n-tuplas
ordenadas.2.4.3Producto cartesianoDada una coleccin arbitraria de
conjuntos A1 , A2 , . . . , An , llamaremos producto cartesiano de
los o mismos y lo notaremos por A1 A2 An , al conjunto formado por
todas las n-tuplas ordenadas, (a1 , a2 , . . . , an ), donde ai Ai
, 1 i n, es decir, A1 A2 An = {(a1 , a2 , . . . , an ) : ai Ai 1 En
el caso de dos conjuntos A y B, tendremos A B = {(a, b) : a A b B}
y este producto se llama binario si A = B, o sea, A A = {(a, b) : a
A b A} 30in}
35. Matemtica Discreta aFrancisco Jos Gonzlez Gutirrez e a ey
suele notarse por A2 . Su extensin a n conjuntos se dene como o (nA
A A = {(a1 , a2 , . . . , an ) : ai A, 1in}y lo notaremos por An .
Nota 2.2 Obsrvese que A = . En efecto, si A no fuese vac entonces
existir al menos, un e o, a, par (a, b) A de aqu que a A y b , lo
cual es imposible. Ejemplo 2.8 Considerando el conjunto R de los
nmeros reales, el producto cartesiano R2 = R R u es el conjunto de
todos los pares ordenados de nmeros reales. u R R = R2 = {(x, y) :
x, y R} Cada punto P representa un par ordenado (x, y) de nmeros
reales y viceversa. A R2 se le llama u normalmente plano
cartesiano. Ejemplo 2.9Sean A = {x R : 12} y B = {y R : 0xy1}.
Hallar A B y B A.Solucin oA B = {(x, y) : 1x2 0y1}B A = {(y, x) :
0y1 1x2}3 3 2 2 BA1 1 AB 0 1 2 3 0 1 2 3Ejemplo 2.9 Cuando A y B
son, como en este caso, conjuntos de nmeros reales, su producto
cartesiano puede u representarse como un conjunto de puntos en el
plano cartesiano. Ejemplo 2.10Sea A = {1, 2} y B = {a, b, c}.
Entonces A B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)} B A
= {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)} 31
36. Universidad de Cdiz aDepartamento de Matemticas atambin, e
A A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} B B = {(a, a), (a, b), (a,
c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)}Nota 2.3 En los
ejemplos anteriores se observa que el producto cartesiano de dos
conjuntos no es conmutativo. Es decir, en general, A B = B A
Ejemplo 2.11 A2 . 3Sean A1 = {1, 2}, A2 = {a, b} y A3 = {x, y}.
Calcular A1 A2 A3 , A2 A1 A3 ySolucin o A1 A2 A3 = {(1, a, x), (1,
a, y), (1, b, x), (1, b, y), (2, a, x), (2, a, y), (2, b, x), (2,
b, y)} A2 A1 A3 = {(a, 1, x), (a, 1, y), (a, 2, x), (a, 2, y), (b,
1, x), (b, 1, y), (b, 2, x), (b, 2, y)} A2 = A3 A3 = {(x, x), (x,
y), (y, x), (y, y)} 32.4.4PropiedadesEl producto cartesiano es
distributivo respecto de la unin y la interseccin de conjuntos, es
decir, si o o A, B y C son tres conjuntos cualesquiera, se verica:
(a) A (B C) = (A B) (A C) (b) A (B C) = (A B) (A C) (c) (A B) C =
(A C) (B C) (d) (A B) C = (A C) (B C) Demostracin o (a) A (B C) =
(A B) (A C) En efecto, sea (x, y) un elemento arbitrario de A (B
C), entonces, (x, y) A (B C) x A y (B C){Def. producto cartesiano}x
A (y B y C){Def. de unin} o(x A y B) (x A y C) {Dist. de respecto
de }(x, y) (A B) (x, y) (A C){Def. producto cartesiano}(x, y) (A B)
(A C){Definicin de unin} o oluego, (x, y) ((x, y) A (B C) (x, y) (A
B) (A C)) es decir, A (B C) = (A B) (A C) Los apartados (b), (c) y
(d) se demuestran de una forma similar. Ejemplo 2.12 siguientes:Si
U = Z+ , A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 5} y C = {3, 4, 7}, determ nense
los conjuntos(a) A B 32
37. Matemtica Discreta aFrancisco Jos Gonzlez Gutirrez e a e(b)
B A (c) A (B C) (d) (A B) C (e) (A C) (B C) Solucin o (a) A B =
{(a, b) : a A b B} luego, A B = {(1, 2), (1, 5), (2, 2), (2, 5),
(3, 2), (3, 5), (4, 2), (4, 5)} (b) B A = {(b, a) : b B a A} luego,
B A = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5,
4)} (c) A (B C) = {1, 2, 3, 4, (2, 3), (2, 4), (2, 7), (5, 3), (5,
4), (5, 7)} (d) (A B) C= {(1, 3), (1, 4), (1, 7), (2, 3), (2, 4),
(2, 7), (3, 3), (3, 4), (3, 7), (4, 3), (4, 4), (4, 7), (5, 3), (5,
4), (5, 7)}(e) (A C) (B C)= {(1, 3), (1, 4), (1, 7), (2, 3), (2,
4), (2, 7), (3, 3), (3, 4), (3, 7), (4, 3), (4, 4), (4, 7), (5, 3),
(5, 4), (5, 7)}Ejemplo 2.13 Sean A = {a, b, c}, B = {b, c, d} y C =
{a, d}. Encontrar A B C utilizando un diagrama en rbol. a Solucin o
a d a d a d a d a d aEjemplo 2.13 33 d adcbdcbdcbcba d a d a d
38. Universidad de Cdiz aDepartamento de Matemticas aLa figura
muestra el diagrama en rbol. Recorriendo cada una de las ramas
obtenemos las distintas a ternas que integran el producto
cartesiano de los tres conjuntos, es decir, ABC= {(a, b, a), (a, b,
d), (a, c, a), (a, c, d), (a, d, a), (a, d, d), (b, b, a), (b, b,
d), (b, c, a) (b, c, d), (b, d, a), (b, d, d), (c, b, a), (c, b,
d), (c, c, a), (c, c, d), (c, d, a), (c, d, d)}Ejemplo 2.14Dados
tres conjuntos arbitrarios A, B, C U , probar A (B C) = (A B) (A
C)Solucin o A (B C) = (A B) (A C) En efecto, (a, b) A (B C) a A b
(B C)a A (b B b C)(a A b B) (a A b C)(a, b) A B (a, b) A C(a, b) (A
B) (A C)luego, (a, b) ((a, b) A (B C) (a, b) (A B) (A C)) es decir,
A (B C) = (A B) (A C)Ejemplo 2.15 Hallar A BSe consideran los
conjuntos A = {x Z : 3x8} y B = {x Z : 6 < x4}.Solucin o A = {x
Z : 38} = {3, 4, 5, 6, 7, 8}xB = {x Z : 6 < x4} = {5, 4}luego,
AB = {(3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5), (7, 5), (8, 5), (3, 4), (4,
4), (5, 4), (6, 4), (7, 4), (8, 4)}Ejemplo 2.16Demostrar que (A1 B1
) (A2 B2 ) = (A1 A2 ) (B1 B2 )Solucin o En efecto, sea (a, b) un
elemento arbitrario de (A1 B1 ) (A2 B2 ). Entonces, (a, b) (A1 B1 )
(A2 B2 ) (a, b) (A1 B1 )) (a, b) (A2 B2 ){Def. de }(a A1 b B1 ) (a
A2 b B2 ) {Def. de }(a A1 a A2 ) (b B1 b B2 ) {Asoc. y conm.}a (A1
A2 ) b (B1 B2 )(a, b) (A1 A2 ) (B1 B2 ) 34
39. Matemtica Discreta aFrancisco Jos Gonzlez Gutirrez e a
eluego, (a, b) ((a, b) (A1 B1 ) (A2 B2 ) (a, b) (A1 A2 ) (B1 B2 ))
es decir, (A1 B1 ) (A2 B2 ) = (A1 A2 ) (B1 B2 )Ejemplo 2.17Dados
los conjuntos A = {a, b, c, d} , B = {1, 2, 3} y C = {, , },
hallar(a) A B C (b) A (B C) (c) A (B C) Solucin o (a) ABC= {(a, 1,
), (a, 1, ), (a, 1, ), (a, 2, ), (a, 2, ), (a, 2, ), (a, 3, ), (a,
3, ), (a, 3, ), (b, 1, ), (b, 1, ), (b, 1, ), (b, 2, ), (b, 2, ),
(b, 2, ), (b, 3, ), (b, 3, ), (b, 3, ), (c, 1, ), (c, 1, ), (c, 1,
), (c, 2, ), (c, 2, ), (c, 2, ), (c, 3, ), (c, 3, ), (c, 3, ), (d,
1, ), (d, 1, ), (d, 1, ), (d, 2, ), (d, 2, ), (d, 2, ), (d, 3, ),
(d, 3, ), (d, 3, )}(b) A (B C) = A = (c) A (B C) Segn hemos visto
en la leccin, u o A (B C) = (A B) (A C) luego, A (B C)= {(a, 1),
(a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (d,
1), (d, 2), (d, 3) (a, ), (a, ), (a, ), (b, ), (b, ), (b, ), (c, ),
(c, ), (c, ), (d, ), (d, ), (d, )}Ejemplo 2.18Para A, B, C U ,
probar que A (BC) = (A B)(A C).Solucin o En efecto, (a, b) A (BC)
aA bBCa A (b B b C) /(a A b B) (a A b C) /(a, b) A B (a, b) (A C)
/(a, b) (A B)(A C)luego, (a, b) ((a, b) A (BC) (a, b) (A B)(A C))
es decir, A (BC) = (A B)(A C)35
40. Apuntes de Matemtica Discreta a 3. Principios Bsicos de
Conteo aFrancisco Jos Gonzlez Gutirrez e a e Cdiz, Octubre de 2004
a
41. Universidad de Cdiz aDepartamento de Matemticas aii
43. Universidad de Cdiz a3.1.2Departamento de Matemticas
aRecubrimientoSi los subconjuntos B1 , B2 , . . . . . . , Bn de un
conjunto A cumplen las condiciones 1. y 3. de la denicin anterior,
diremos que B1 , B2 , . . . . . . , Bn constituyen un recubrimiento
de A. o Ejemplo 3.1AA2A3A1A4Particin del conjunto A. Ejemplo 3.1 o
Los subconjuntos A1 , A2 , A3 y A4 constituyen una particin de A. o
Ejemplo 3.2Si A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k}, los
conjuntosA1 = {a, b, c, d} A2 = {c, d, e, f, g} A3 = {g, h, i} A4 =
{j, k} constituyen un recubrimiento del conjunto A. Solucin o En
efecto, Ai = ; i = 1, 2, 3, 4 A1 A2 A3 A4 = {a, b, c, d} {c, d, e,
f, g} {g, h, i} {j, k} = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k} = A
38
44. Matemtica Discreta aFrancisco Jos Gonzlez Gutirrez e a eSin
embargo no es una particin ya que, por ejemplo, o A1 A2 = {a, b, c,
d} {c, d, e, f } = {c, d} = 3.1.3Cardinal de un conjuntoSi A es un
conjunto nito no vac designaremos por cardinal de A al nmero de
elementos que tiene o, u A. Si A es el conjunto vac entonces su
cardinal es cero. Lo notaremos |A|. o,3.2Principio de Adicin
oEstudiamos el ms bsico y simple de los principios para contar
elementos de un conjunto. a a3.2.1TeoremaSi A1 , A2 , . . . , An es
una coleccin de conjuntos nitos no vac disjuntos dos a dos,
entonces o os, |A1 A2 An | = |A1 | + |A2 | + + |An | Demostracin o
Procederemos por induccin sobre el nmero de conjuntos n. o u Paso
bsico. Veamos que el teorema es cierto para n = 2. a En efecto,
sean A1 y A2 dos conjuntos finitos tales que A1 A2 = . Pues bien,
si A1 = {a1 , a2 , . . . , aq } y A2 = {b1 , b2 , . . . , br } al
ser disjuntos no tendrn elementos comunes, de aqu que a A1 A2 = {a1
, a2 , . . . , aq , b1 , b2 , . . . , br } luego, |A1 A2 | = q + r
= |A1 | + |A2 | y el teorema es cierto para n = 2. Paso inductivo.
Supongamos que el teorema es cierto para n = p, es decir, si A1 ,
A2 , . . . , Ap son una familia de conjuntos finitos y disjuntos
dos a dos, entonces pp|Ai |Ai = i=1i=1Veamos que el teorema es
cierto para n = p + 1. En efecto, sea A1 , A2 , . . . , Ap , Ap+1
una familia de conjuntos finitos y dos a dos disjuntos, entonces
por la asociatividad de la unin de conjuntos, o p+1pAi = A1 A2 Ap
Ap+1 = (A1 A2 Ap ) Ap+1 = i=1Ai i=139 Ap+1
45. Universidad de Cdiz aDepartamento de Matemticas asiendo, p
Ap+1=(A1 A2 Ap ) Ap+1=Ai(A1 Ap+1 ) (A2 Ap+1 ) (Ap Ap+1 )i=1= =
luego, pp+1AiAi= Ap+1i=1i=1pAi + |Ap+1 |{Paso bsico} a|Ai | + |Ap+1
|{Hiptesis de induccin} o o= i=1 p= i=1 p+1|Ai |=
i=1Consecuentemente, por el primer principio de induccin, la
propiedad es cierta para todo entero positivo o n y, |A1 A2 An | =
|A1 | + |A2 | + + |An |Obsrvese que en este tipo de problemas, la
palabra o aparece o se sobrentiende impl e citamente. En cualquier
caso en el que tengamos una accin simple a realizar y que debe
satisfacer una condicin u otra o o siendo las condiciones
mutuamente excluyentes, utilizaremos normalmente el principio de
adicin. Este o primer principio del conteo puede expresarse como
sigue:3.2.2Regla de la SumaSi una primera tarea puede realizarse de
m formas distintas, mientras que una segunda tarea puede realizarse
de n formas distintas, y no es posible realizar ambas tareas de
manera simultnea, entonces, a para llevar a cabo cualquiera de
ellas pueden utilizarse cualquiera de m + n formas. Ejemplo 3.3 Se
lanza al aire una moneda cuatro veces. De cuntas formas distintas
pueden obtenerse a una, dos, tres o cuatro caras? Solucin o Sea Ai
el conjunto formado por todos los resultados posibles en los que
aparezcan, exactamente, i caras al lanzar cuatro veces la moneda.
Entonces, A1 = {(c, x, x, x), (x, c, x, x), (x, x, c, x), (x, x, x,
c)} A2 = {(c, c, x, x), (c, x, c, x), (c, x, x, c), (x, c, c, x),
(x, c, x, c), (x, x, c, c)} A3 = {(c, c, c, x), (c, c, x, c), (c,
x, c, c), (x, c, c, c)} A4 = {(c, c, c, c)} y el conjunto A1 A2 A3
A4 estar formado por todos los resultados en los que aparecen una,
dos, a tres o cuatro caras, por tanto el nmero pedido es el
cardinal de dicho conjunto. Al ser los Ai dos a dos u disjuntos,
por el principio de adicin, tendremos que habr o a |A1 A2 A3 A4 | =
|A1 | + |A2 | + |A3 | + |A4 | = 15 40
46. Matemtica Discreta aFrancisco Jos Gonzlez Gutirrez e a
eformas distintas de obtener una, dos, tres o cuatro
caras.3.3Principio de Multiplicacin oEste principio nos va a
permitir resolver con ms comodidad situaciones que involucren
procesos que a consistan en acciones sucesivas. Supongamos una
accin que consista en una secuencia de pasos. Por ejemplo tirar un
dado, luego otro o y a continuacin un tercero. Diremos que los
pasos son independientes si el nmero de formas en que o u puede
hacerse cada uno de ellos no depende del nmero de formas en que
pueden realizarse cada uno de u los otros.3.3.1TeoremaSi A1 , A2 ,
. . . , An es una coleccin de conjuntos nitos no vac entonces o os,
|A1 A2 An | = |A1 | |A2 | |An | Demostracin o Procederemos por
induccin sobre el nmero de conjuntos, n. o u Paso bsico. Veamos si
el teorema es cierto para n = 2. En efecto, sean A1 y A2 dos
conjuntos finitos a no vac os, A1 = {a1 , a2 , . . . , aq } y A2 =
{b1 , b2 , . . . , br } Por definicin de producto cartesiano, o A1
A2 = {(ai , bj ) : ai A1 y bj A2 } para cada uno de los ai , 1iq,
tendremos los pares distintos, (ai , b1 ), (ai , b2 ), . . . , (ai
, br )es decir, r pares o r elementos de A1 A2 . Haciendo lo mismo
para cada uno de los ai Ai , 1 tendremos (a1 , b1 ), (a1 , b2 ), .
. . , (a1 , br )iq,(a2 , b1 ), (a2 , b2 ), . . . , (a2 , br )
........................... (aq , b1 ), (aq , b2 ), . . . , (aq ,
br ) o sea, un total de q r pares distintos en A1 A2 , luego |A1 A2
| = q r = |A1 | |A2 | por tanto, la proposicin es cierta para n =
2. o Paso inductivo. Supongamos que es cierta para n = p, es decir
si A1 , A2 , . . . , Ap es una coleccin de o conjuntos finitos no
vac os. Entonces, |A1 A2 Ap | = |A1 | |A2 | |Ap | Veamos si la
proposicin es cierta para n = p + 1. En efecto, si A1 , A2 , . . .
, Ap , Ap+1 es una coleccin de o o conjuntos finitos no vac
entonces os, |A1 A2 Ap Ap+1 | = |(A1 A2 Ap ) Ap+1 |{Asociatividad
de }= |A1 A2 Ap | |Ap+1 |{Paso bsico} a= |A1 | |A2 | |Ap | |Ap+1
|{Paso inductivo}41
47. Universidad de Cdiz aDepartamento de Matemticas
aConsecuentemente, por el Principio de induccin matemtica, el
teorema es cierto para todo entero o a positivo, n, es decir, |A1
A2 An | = |A1 | |A2 | |An |Ejemplo 3.4Cuntos resultados distintos
son posibles al tirar tres dados diferentes? aSolucin o Sean A1 ,
A2 y A3 los conjuntos formados por los posibles resultados que
podamos obtener al tirar cada uno de los tres dados, entonces |Ai |
= 6, i = 1, 2, 3 y cada resultado es un elemento del producto
cartesiano A1 A2 A3 , luego por el principio de multiplicacin, habr
o a |A1 A2 A3 | = |A1 | |A2 | |A3 | = 6 6 6 = 216 resultados
distintos. Obsrvese que al ser diferentes los dados, podemos
etiquetarlos como primero, segundo y tercero y tratar e la tirada
como una accin con tres pasos sucesivos, cada uno de las cuales
tiene seis resultados posibles. o El nmero de posibilidades ser,
por tanto, u a 6 6 6 = 216 Obsrvese tambin que si los dados no
fueran diferentes, la respuesta ser distinta. Por ejemplo ser e e a
a imposible distinguir entre el resultado 152 y el 251. Ejemplo 3.5
Un nmero de telfono consta de siete d u e gitos. Si la primera ha
de ser un nmero entre u 2 y 9, ambos inclusive, la segunda y la
tercera han de ser nmeros entre 1 y 9 ambos inclusive. Cuntos u a
nmeros de telfono distintos pueden formarse con estas condiciones?
u e Solucin o Sean los conjuntos, A1 = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A2
= A3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A4 = A5 = A6 = A7 = {0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9} El nmero de telfonos con numeraciones distintas
que pueden formarse son los del conjunto u e A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7
Por el principio de multiplicacin, o |A1 A2 A7 | = |A1 | |A2 | |A3
| |A4 | |A5 | |A6 | |A7 | = =3.3.28 9 9 10 10 10 10 6.480.000Regla
del ProductoSi un procedimiento puede descomponerse en las etapas
primera y segunda, y si existen m resultados posibles de la primera
etapa y si, para cada uno de estos resultados, existen n resultados
posibles para la segunda etapa, entonces el procedimiento entero
puede realizarse, en el orden dado, de mn formas. Ejemplo 3.6
entes:Se dispone de una baraja de 40 cartas de la cual extraemos
cuatro de dos formas difer-42
48. Matemtica Discreta aFrancisco Jos Gonzlez Gutirrez e a e(a)
Sin devolucin de cada carta extra o da. (b) Con devolucin de la
carta en cada extraccin. o o Calcular el nmero de formas diferentes
de obtener cuatro cartas en cada caso. u Solucin o Consideraremos
el experimento como una accin con cuatro pasos independientes. o
(a) Para el primer paso tenemos 40 opciones posibles y como la
carta extra no se devuelve quedarn da a 39 opciones para el segundo
paso y, por la misma razn, 38 y 37 opciones para el tercero y el
cuarto, o respectivamente. As pues el experimento podr hacerse de a
40 39 38 37 = 2193360 formas distintas. (b) Cada carta extra se
devuelve a la baraja. Por tanto, para cada una de las cuatro
extracciones da dispondremos de las cuarenta. As pues, el nmero de
formas diferentes de obtener las cuatro cartas u es 40 40 40 40 =
2560000Ejemplo 3.7 tirada.Se lanzan dos dados, uno azul y otro
rojo, a continuacin se registra el resultado de cada o(a) En cuntos
resultados la suma es 7 u 11? a (b) En cuntos resultados uno y slo
uno de los dados muestra un 2? a o (c) En cuntos resultados ninguno
de los dados muestra un 2? a Solucin o(a) Sean a y b los resultados
de los dados azul y rojo, respectivamente. Entonces, a, b {1, 2, 3,
4, 5, 6} y el par (a, b) puede considerarse como un par ordenado.
Pues bien, si A es el conjunto formado por todos los pares
ordenados cuya suma sea 7 y B el formado por aquellos que suman 11,
entonces, A = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} B =
{(5, 6), (6, 5)} y el nmero de resultados en los cuales la suma es
7 u 11 ser igual al cardinal de A B. Al ser A u a y B disjuntos,
por el principio de adicin, habr o a |A B| = |A| + |B| = 8
resultados que cumplan las condiciones requeridas. 43
49. Universidad de Cdiz aDepartamento de Matemticas a(b) Sean
A1 = {2} B1 = {1, 3, 4, 5, 6} y A2 = {1, 3, 4, 5, 6} B2 = {2} donde
Ai y Bi , i = 1, 2, representan, respectivamente, los resultados de
los dados azul y rojo. Entonces, todos los resultados en los cuales
aparece un 2 en uno slo de los dados, son los elementos o del
conjunto (A1 B1 ) (A2 B2 ) siendo A1 B1 y A2 B2 , disjuntos.
Consecuentemente, por el principio de adicin y luego por el de
multiplicacin tendremos que el o o nmero de resultados en los que
uno slo de los dados muestra un 2 es u o |(A1 B1 ) (A2 B2 )| = |A1
B1 | + |A2 B2 | = |A1 | |A2 | + |B1 | |B2 | =1 5 + 1 5 = 10(c)
Utilizando los mismos conjuntos que en el apartado anterior, los
resultados en los que ninguno de los dos dados muestra un 2 son los
elementos de A2 B1 . Por el principio de multiplicacin, habr o a
|A2 B1 | = |A2 | |B1 | = 5 5 = 25 resultados que cumplen la
condiciones pedidas. Ejemplo 3.8 Un viajante de comercio ha de
visitar n ciudades sin pasar dos veces por ninguna de ellas. Cuntas
rutas distintas puede tomar si el viaje ha de empezar y terminar en
la ciudad A? a Solucin o El viajante elige cualquiera de las n 1
ciudades restantes para la primera visita, las opciones para la
segunda ser n2 y n3 posibilidades para la siguiente. Seguimos as
sucesivamente y por el principio an de multiplicacin, el nmero de
rutas distintas ser o u a: (n 1)(n 2) 3 2 1 Obsrvese que al contar
de esta forma, el orden en que se visitan las ciudades es
importante, es decir una e ruta tal como ABCDEFA es distinta de la
AFEDCBA. Si las rutas que se recorren en sentidos inversos las
consideramos iguales, el nmero de posibilidades se reducir a: u a
(n 1)(n 2) 3 2 1 2 es decir, la mitad de opciones. En el siguiente
ejemplo, veremos una situacin en la cual se mezclan los principios
de adicin y multiplio o cacin. o Ejemplo 3.9 El viajante de
comercio del ejemplo anterior ha de visitar cinco ciudades A,B,C,D
y E, teniendo su base en la ciudad A. Cuntas rutas distintas puede
tomar si no puede visitar la ciudad E a hasta despus de haber
visitado la B o la C? e Solucin o Como la ciudad E no puede ser
visitada hasta despus de visitar B o C, la primera visita deber ser
a B e a o a C o a D. 44
50. Matemtica Discreta aFrancisco Jos Gonzlez Gutirrez e a e Si
la primera visita es a la ciudad B, entonces el viajante tiene tres
opciones para la segunda, dos para la siguiente y una para la
ultima, luego por el principio de multiplicacin hay o 321=6 rutas
distintas teniendo a B como la primera ciudad visitada. Si la
primera ciudad visitada es C, un razonamiento idntico al anterior
ofrecer al viajante el e a mismo nmero de opciones, es decir, seis
rutas distintas. u Si la primera ciudad visitada es la D, entonces
hay dos opciones para la segunda (B y C), dos opciones para la
siguiente y una para la ultima. Consecuentemente, el nmero de
opciones distintas u es, en este caso, por el principio de
multiplicacin o 221=4As pues, por el principio de adicin existen un
total de o 6 + 6 + 4 = 16 rutas posibles que puede tomar el
viajante.3.4Principio de Inclusin-Exclusin o oEl principio de
adicin establec que si X es la unin de una coleccin de conjuntos A1
, A2 , . . . , An , o a o o disjuntos dos a dos, entonces |X| = |A1
| + |A2 | + + |An | . En muchas ocasiones, necesitaremos calcular
el nmero de elementos de un conjunto X que es la unin u o de una
coleccin de conjuntos A1 , A2 , . . . , An que no sean disjuntos.
El principio de inclusin-exclusin o o o nos dice como hacerlo en
funcin del nmero de elementos de los conjuntos A1 , A2 , . . . , An
. o u En s ntesis, este principio nos dice que si sabemos contar
elementos de intersecciones de conjuntos, entonces podremos
determinar el tamao de la unin de dichos conjuntos. n
o3.4.1TeoremaSean A y B dos subconjuntos de un conjunto universal
arbitrario, U . Entonces, |A B| = |A| + |B| |A B| Demostracin o
45
51. Universidad de Cdiz aDepartamento de Matemticas a U AB
ABABABBAPrincipio de Inclusin-Exclusin o o Intuitivamente, podemos
justificar este teorema examinando la figura. Si sumamos el nmero
de elemenu tos que hay en A y en B, entonces contamos los elementos
de A B dos veces. As pues, para encontrar el |A B| deber amos sumar
|A| a |B| y restar |A B|. Veamos una demostracin formal. o Sea x un
elemento cualquiera de U . Entonces, x (A B) (x A) (x B).(3.1)Ahora
bien, si un elemento x est en A, puede estar en A y no en B o en A
y en B, es decir, a x A [(x A) (x B)] [(x A) (x B)] / o sea, x A [x
(AB)] [x (A B)](3.2)A = (AB) (A B)(3.3)de aqu que Tambin, si un
elemento x est en B, razonando exactamente igual, tendremos e a x B
[x (BA)] [x (A B)](3.4)B = (BA) (A B)(3.5)luego Llevando los
resultados (3.2) y (3.4) a (3.1), obtenemos x (A B) [x (AB)] [x (A
B)] [x (BA)](3.6)es decir, si un elemento pertenece a A B, entonces
puede estar en A y no en B o en B o en A y en B o en B y no en A.
46
52. Matemtica Discreta aFrancisco Jos Gonzlez Gutirrez e a eDe
(3.6) se sigue directamente que A B = (AB) (A B) (BA) .(3.7)Adems,
a (AB) (A B)=(A B c ) (A B)= A (B c B) = A = (AB) (BA)=(A B c ) (B
Ac )= A B c B Ac = A Ac = (A B) (BA)=(A B) (B Ac )= A B Ac = A Ac B
= es decir, los tres conjuntos son disjuntos dos a dos, por lo
tanto (3.3), (3.5) y (3.7) son, respectivamente, descomposiciones
de los conjuntos A, B y A B en unin de subconjuntos disjuntos, de
aqu que por el o principio de adicin, o |A| = |AB| + |A B| = |AB| =
|A| |A B| |B| = |BA| + |A B| = |BA| = |B| |A B| |A B| = |AB| + |A
B| + |BA| y sustituyendo los dos primeros resultados en la tercera
igualdad, |A B| = |A| |A B| + |B| |A B| + |A B| = |A| + |B| |A
B|Ejemplo 3.10 De un grupo de programadores, 35 estn familiarizados
con ordenadores del tipo A, 41 a con ordenadores del tipo B y 46
con algunos de los dos. Cuntos estn familiarizados con ambos? a a
Solucin o Sea P el conjunto de todos los programadores y sean A y B
los subconjuntos de P formados por los que estn familiarizados con
los ordenadores de tipo A y tipo B, respectivamente. Los que lo
estn con a a ambos son, por tanto, los del conjunto A B. Pues bien,
segn los datos del enunciado, u |A| = 35 |B| = 41 |A B| = 46.
Aplicando el principio de inclusin-exclusin, o o |A B| = |A| + |B|
|A B| = |A B| = 35 + 41 46 = 30 Hay, por tanto, 30 programadores
que estn familiarizados con ambos tipos de ordenadores. a Ejemplo
3.11 Los 100 alumnos de una facultad se han examinado de Matemtica
Discreta y de Lgica a o Matemtica, obteniendo los siguientes
resultados en los exmenes. a a 47
53. Universidad de Cdiz aDepartamento de Matemticas a20 alumnos
no han aprobado ninguna de las dos asignaturas. Han aprobado las
dos asignaturas un total de 25 personas. El nmero de alumnos que
han aprobado Matemtica discreta es el doble de los que han aprobado
u a el Lgica Matemtica. o a Cuntos alumnos aprobaron unicamente
Matemtica discreta? a a Cuntos alumnos aprobaron unicamente Lgica
Matemtica? a o a Solucin o Un diagrama de Venn que reeja la
situacin planteada en el ejercicio es el de la gura, donde D y o L
son los conjuntos cuyos elementos son los alumnos que han aprobado
Matemtica Discreta y Lgica a o Matemtica, respectivamente. a UDLD
LcDLDc LDc LcEjemplo 3.11 Los alumnos que han aprobado una de las
dos asignaturas puede que no hayan aprobado la otra o que si la
hayan aprobado, luego D = (D Lc ) (D L), L = (D L) (Dc L) y D L =
(D Lc ) (D L) (Dc L) donde (D Lc ) (D L) = D Lc L = D = 48
54. Matemtica Discreta aFrancisco Jos Gonzlez Gutirrez e a ey
(D L) (Dc L) = D Dc L = D = de aqu que por el Principio de Adicin,
o |D| = |D Lc | + |D L| |D L| + |Dc L||L| =|D L| = |D Lc | + |D L|
+ |Dc L| . Por otra parte, si llamamos U al conjunto formado por
los 100 alumnos, U = (D L) (D L)c donde, (D L) (D L)c = de aqu que
nuevamente por el Principio de Adicin, o c|U | = |D L| + |(D L) |
Pues bien, segn los datos aportados por el enunciado: u 20 alumnos
no han aprobado ninguna de las dos asignaturas, es decir, c|(D L) |
= 20. luego |D L| = 100 20 = 80. Han aprobado las dos asignaturas
un total de 25 personas, o sea, |D L| = 25 El nmero de alumnos que
han aprobado Matemtica discreta es el doble de los que han aprobado
u a el Lgica Matemtica, es decir, o a |D| = 2 |L| . Datos que
sustituidos en las ecuaciones anteriores, nos llevan a 2 |L| = |D
Lc | + |L| = 8025 25 += |D Lc | +25|Dc L|+ |Dc L| .de aqu que |D Lc
| = c|D L| =45 10luego hay 45 alumnos que han aprobado unicamente
la Matemtica Discreta y 10 que aprobaron unicamente a el Lgica
Matemtica. o a3.4.2TeoremaSean A, B y C tres subconjuntos de un
conjunto universal arbitrario, U . Entonces, |A B C| = |A| + |B| +
|C| |A B| |A C| |B C| + |A B C| Demostracin o 49
55. Universidad de Cdiz aDepartamento de Matemticas aApoyndonos
en el teorema anterior y en la distributividad de la interseccin
respecto a la unin de a o o conjuntos, |A B C| = |A (B C)| = |A| +
|B C| |A (B C)| = |A| + |B| + |C| |B C| |(A B) (A C)| = |A| + |B| +
|C| |B C| (|A B| + |A C| |(A B) (A C)|) = |A| + |B| + |C| |A B| |A
C| |B C| + |A B C|Ejemplo 3.12 Cuntos nmeros existen entre 1 y
1000, ambos inclusive, que no sean ni cuadrados a u perfectos, ni
cubos perfectos ni cuartas potencias? Solucin o Sea Z el conjunto
de todos los enteros entre 1 y 1000 y sean A1 , A2 y A3 los
subconjuntos de Z formados por los cuadrados perfectos, los cubos
perfectos y las cuartas potencias, respectivamente. Entonces, A1=x
: x = n2 , n ZA2=x : x = n3 , n ZA3=x : x = n4 , n ZPues bien, 312
= 961 < 1000 y 322 = 1024 > 1000, luego |A1 | = 31 103 =
1000, luego |A2 | = 10 54 = 625 y 64 = 1296, luego |A3 | = 5
Observemos ahora lo siguiente: A1 A2 = x : n Z+ ; x = n2 y x = n3 =
x : n Z; x = n6 y al ser 36 = 729 < 1000 y 46 = 4096 > 1000,
tendremos que |A1 A2 | = 3. Por otra parte, x A3 x = n4 , n Z = x =
n22, n Z x A1es decir cada cuarta potencia es tambin un cuadrado,
luego A3 A1 y, por tanto, A1 A3 = A3 y e |A1 A3 | = 5. Tambin, e A2
A3 = x : x = n3 y x = n4 , n Z+ = x : x = n12 , n Z+ luego el
conjunto A2 A3 estar formado por todos los nmeros que son a un
tiempo, cubos y cuartas a u potencias, es decir son de la forma n12
para algn entero n y al ser 212 = 4096 > 1000, tendremos que u
|A2 A3 | = 1. Finalmente, x A2 A3 x = n12 = x = n62, n Z x A1luego
las doceavas potencias son tambin cuadrados, es decir, A2 A3 A1 de
aqu que e A1 A2 A3 = A2 A3 50
56. Matemtica Discreta aFrancisco Jos Gonzlez Gutirrez e a ey
|A1 A2 A3 | = 1 Con todos estos datos, |A1 A2 A3 | = |A1 | + |A2 |
+ |A3 | |A1 A2 | |A1 A3 | |A2 A3 | + |A1 A2 A3 | =31 + 10 + 5 3 5 1
+ 1=38Consecuentemente, el nmero de enteros entre 1 y 1000 que no
son cuadrados, cubos o cuartas potencias u son 1000 38 = 962.
Ejemplo 3.13Demostrar que |A B C| = |A(B C)| + |B(A C)| + |C(A B)|
+ |(A B)C| + |(A C)B| + |(B C)A| + |A B C|donde A, B y C estn
incluidos en un universal arbitrario U . a Solucin o En efecto, sea
x un elemento arbitrario de U . Entonces x (A B C) (x A) (x B) (x
C) . Pues bien, si x est en A, entonces puede estar en A y no estar
en B ni en C, o estar en A y en B pero a no estar en C o estar en A
y en C pero no en B o estar en A, en B y en C (la situacin
planteada puede o apreciarse con claridad en la figura), es decir,
UAA(B C)(A C)B(A B)C ABCCBC(A B)(B C)AEjemplo 3.13 51B(A C)
57. Universidad de Cdiz a x A Departamento de Matemticas a[(x
A) (x B) (x C)] / / [(x A) (x B) (x C)] / [(x A) (x B) (x C)] / [(x
A) (x B) (x C)][(x A) (x B c ) (x C c )] [(x A) (x B) (x C c )] [(x
A) (x B c ) (x C)] [(x A) (x B) (x C)][x (A B c C c )] [x (A B C c
)] [x (A B c C)] [x (A B C)]de aqu que A = (A B c C c ) (A B C c )
(A B c C) (A B C) y razonando de forma anloga para los conjuntos B
y C, tendremos a B = (Ac B C c ) (A B C c ) (Ac B C) (A B C) y C =
(Ac B c C) (A B c C) (Ac B C) (A B C) . Si ahora unimos los tres,
tendremos que ABC=(A B c C c ) (A B C c ) (A B c C) (A B C) (Ac B C
c ) (Ac B C) (Ac B c C) . Adems, en cada pareja de conjuntos que
tomemos, en uno de sus miembros aparece un conjunto y en a el otro
su complementario, por lo tanto su interseccin es vac Por ejemplo,
o a. (A B c C c ) (A B C c ) = A B c C c A B C c = A B c B C c = A
C c = . Consecuentemente, la igualdad que obtuvimos anteriormente
es una descomposicin de A B C en o unin de conjuntos disjuntos y
aplicando el principio de adicin, tendremos que o o |A B C| = |A B
c C c | + |A B C c |+ |A B c C| + |A B C|+ |Ac B C c | + |Ac B C| +
|Ac B c C| y ahora bastar aplicar las leyes de De Morgan y la
definicin de diferencia de conjuntos para obtener a o el resultado,
|A B C| = |A(B C)| + |B(A C)| + |C(A B)| + |(A B)C| + |(A C)B| +
|(B C)A| + |A B C|Ejemplo 3.14Una encuesta realizada entre 200
personas arroj el resultado siguiente: o40 leen Diario de Cdiz. a
42 leen El Mundo. 45 leen El Pa s. 13 leen Diario de Cdiz y El
Mundo. a 20 leen El Mundo y El Pa s. 18 leen Diario de Cdiz y El Pa
a s. 7 leen los tres peridicos. o 52
58. Matemtica Discreta aFrancisco Jos Gonzlez Gutirrez e a e(a)
Cuntas personas no leen ninguno de los tres peridicos? a o (b)
Cuntas personas leen unicamente el Diario de Cdiz? a a (c) Cuntas
personas leen un slo peridico? a o o Solucin o Un diagrama de Venn
de la situacin planteada se muestra en la figura. o UDD Mc PcD Mc
PDc M c P cD M Pc DM PPMDc M c PDc M PDc M P cEjemplo 3.14 Sea U el
conjunto formado por todas las personas encuestadas y sean D, M y P
los conjuntos formados por las personas que leen Diario de Cdiz, El
Mundo y El Pa respectivamente. Segn los datos del a s, u enunciado
|D| = 40 |M | = 42 |P | = 45 |D M | = 13 |M P | = 20 |D P | = 18 |D
M P | = 7 53
59. Universidad de Cdiz aDepartamento de Matemticas a(a) Veamos
cuntas personas no leen ninguno de los tres peridicos. a o El
conjunto D M P est formado por las personas que leen, al menos, uno
de los tres peridicos, a o luego el conjunto de las personas que no
leen ninguno de los tres peridicos ser su complementario o a c c (D
M P ) y al ser D M P y (D M P ) disjuntos, por el principio de
adicin, tendremos o cc|U | = |(D M P ) (D M P ) | = |D M P | + |(D
M P ) | de aqu que c|(D M P ) | = |U | |D M P | . Por el principio
de inclusin-exclusin para tres conjuntos, tendremos o o |D M P | =
|D| + |M | + |P | |D M | |M P | |D P | + |D M P | =40 + 42 + 45 13
20 18 + 7=134 51=83por lo tanto, c|(D M P ) | = 200 83 = 117 (b)
Calculemos ahora el nmero de personas que leen unicamente Diario de
Cdiz. u a Las personas que leen unicamente Diario de Cdiz sern
aquellas que lean Diario de Cdiz y no a a a lean El Mundo ni El Pa
es decir las del conjunto D M c P c . Para calcular el nmero de s,
u estas personas, y teniendo en cuenta los datos que proporciona el
enunciado, habr que hacerlo en a funcin de |D|, |D M |, |D P | y |D
M P |. o Pues bien, las personas que leen Diario de Cdiz puede que
lean alguno de los otros dos peridicos a o c (D (M P )) o que no
lean ninguno de los otros dos (D (M P ) ), es decir, cD = [D (M P
)] [D (M P ) ] siendo esta descomposicin en unin de disjuntos.
Aplicando el principio de adicin y, posterioro o o mente, el de
inclusin-exclusin, o o c|D| = |D (M P )| + |D (M P ) | = |(D M ) (D
P )| + |D M c P c | = |D M | + |D P | |D M P | + |D M c P c | de
donde, |D M c P c | = |D| |D M | |D P | + |D M P | = 40 13 18 + 7 =
16 (c) Veamos ahora cuntas personas leen un slo peridico. a o o Las
personas que leen unicamente un slo peridico sern aquellas que lean
unicamente Diario de o o a Cdiz (ni El Mundo, ni El Pa o que
unicamente lean El Mundo (ni Diario de Cdiz ni El Pa a s) a s) o
que lean unicamente El Pa (ni Diario de Cdiz ni El Mundo), es decir
las del conjunto s a (D M c P c ) (Dc M P c ) (Dc M c P ) y como
estos tres conjuntos son disjuntos dos a dos, por el principio de
adicin, tendremos o |(D M c P c ) (Dc M P c ) (Dc M c P )| = |D M c
P c | + |Dc M P c | + |Dc M c P |(3.8)El primero de los sumandos lo
hemos calculado en el apartado anterior. Si seguimos un camino
anlogo para calcular los otros dos, tendremos: a |Dc M P c | = |M |
|M P | |D M | + |D M P | = 42 20 13 + 7 = 16 54(3.9)
60. Matemtica Discreta aFrancisco Jos Gonzlez Gutirrez e a ey
|Dc M c P | = |P | |M P | |D P | + |D M P | = 45 20 18 + 7 =
14.(3.10)Sustituyendo (3.9) y (3.10) junto con el resultado
obtenido en el apartado anterior en (3.8) tendremos que el nmero de
personas que leen unicamente un peridico es u o |(D M c P c ) (Dc M
P c ) (Dc M c P )| = 16 + 16 + 14 = 46Ejemplo 3.15 Se ha comprado
un lote de banderas monocolores, bicolores y tricolores. En todas
ellas figura, al menos, el blanco, el rojo o el negro. Adems, en
ocho de ellas no figura el blanco, en diez a no figura el rojo y en
cuatro no gura el negro. Por otra parte, cinco banderas tienen, al
menos, los colores rojo y blanco, siete el blanco y el negro y seis
el rojo y el negro. Finalmente, cuatro tienen los tres colores.
Averiguar: (a) Nmero total de banderas. u (b) Nmero de monocolores
rojas. u Solucin o Sean B: Conjunto formado por las banderas en las
que gura, al menos, el blanco. N : Conjunto formado por las
banderas en las que gura, al menos, el negro. R: Conjunto formado
por las banderas en las que gura, al menos, el rojo. (a) Nmero
total de banderas. u Como en todas las banderas figura, al menos,
uno de los tres colores, el nmero total de banderas u ser el
cardinal del conjunto B R N . a Veamos que datos aporta el
enunciado. En ocho de ellas no figura el blanco. Entonces, |B c | =
8 En diez de ellas no figura el rojo, es decir, |Rc | = 10 En
cuatro de ellas no figura el negro, luego, |N c | = 4 Cinco tienen,
al menos, los colores rojo y blanco. Pues bien, |B R| = 5 Siete
tienen, al menos, los colores blanco y negro, o sea, |B N | = 7
55
61. Universidad de Cdiz aDepartamento de Matemticas aSeis
tienen, al menos, los colores rojo y negro, es decir, |R N | = 6
Cuatro tienen los tres colores, es decir, |B R N | = 4. A la vista
de estos datos parece que lo ms lgico es utilizar el principio de
inclusin-exclusin a o o o para 3 conjuntos: |B N R| = |B| + |N | +
|R| |B N | |B R| |N R| + |B N R| y utilizando el principio de
adicin, o B Bc = B N R=|B| + |B c | = |B N R|=|B| = |B N R| |B c |N
Nc = B N R=|N | + |N c | = |B N R| =|N | = |B N R| |N c |R Rc = B N
R=|R| + |Rc | = |B N R||R| = |B N R| |Rc |=Si ahora sustituimos
estos resultados en la igualdad anterior, 2 |B N R| = |B c | |N c |
|Rc | |B N | |B R| |N R| + |B N R| de donde se sigue que el nmero
total de banderas es u |B N R| = = =|B c | + |N c | + |Rc | + |B N
| + |B R| + |N R| |B N R| 2 8 + 10 + 4 + 5 + 7 + 6 4 2 18BB(N R)(B
N )R(B R)N BRNNRN(B R)(R N )BEjemplo 3.15 56R(B N )
62. Matemtica Discreta aFrancisco Jos Gonzlez Gutirrez e a e(b)
Nmero de monocolores rojas. u El conjunto de banderas que tienen
unicamente el color rojo es R(B N ) o B c N c R. Pues bien las
banderas que tienen el color rojo, puede que tengan, adems, uno de
los otros dos colores a o ninguno de los dos, es decir, cR = [R (B
N )] [R (B N ) ] siendo sta una descomposicin de R en unin de
subconjuntos disjuntos. Aplicando el principio e o o de adicin y el
principio de inclusin-exclusin, o o o c|R| = |R (B N )| + |R (B N )
| = |(B R) (N R)| + |B c N c R| = |B R| + |N R| |B N R| + |B c N c
R| si ahora sustituimos |R| por |B N R| |Rc | y despejamos, |B c N
c R| = |B N R| |Rc | |N R| |B R| + |B N R| =18 10 6 5 + 4=1luego
hay una sola bandera de color rojo. Ejemplo 3.16 En una muestra de
1000 individuos elegida para el estudio las preferencias
gastronmicas o de una poblacin, se observa que sesenta comen
pescado y carne pero no huevos, cuarenta comen pescado o y huevos
pero no carne, treinta carne y huevos pero no pescado, cincuenta
comen unicamente pescado, cuarenta slo carne y treinta comen
unicamente, huevos. Todos comen al menos, una de las tres cosas. o
(a) Cuntos comen las tres cosas? a (b) Cuntos comen pescado? a
Solucin o Sean C, H y P los conjuntos formados por los individuos
que comen, respectivamente, carne, huevos y pescado. (a) Los
individuos que comen las tres cosas sern los del conjunto C H P es
decir, tenemos que a calcular |C H P |. Descompondremos el conjunto
C H P en unin de conjuntos disjuntos, para lo cual razonaremos o
igual que en los ejercicios anteriores. En efecto, si un individuo
come una de las tres cosas, puede que coma tambin las otras dos,
una o ninguna. Por ejemplo, si come carne, puede que tambin e e
coma huevos y pescado o huevos y no coma pescado o pescado y no
coma huevos o que no coma huevos ni pescado. Esto en trminos de los
conjuntos C, H y P quiere decir lo siguiente: eP(C H) (C H c ) (C H
P ) (C H P c ) (C H c P ) (C H c P c )=(C H) (C c H)=H= =C(C H P )
(C H P c ) (C c H P ) (C c H P c )=(C P ) (C c P )=(C H P ) (C H c
P ) (C c H P ) (C c H c P ) 57
63. Universidad de Cdiz aDepartamento de Matemticas ay si ahora
unimos los tres, tendremos que C H P=(C H P ) (C H P c ) (C H c P )
(C H c P c ) (C c H P ) (C c H c P ) (C c H P c ) . Donde, como
siempre, los conjuntos que integran el segundo miembro son
disjuntos dos a dos ya que en cada pareja que elijamos figura un
conjunto en uno de sus miembros y su complementario en el otro.
Tenemos, por tanto, una descomposicin de C H P en unin de conjuntos
disjuntos, o o luego por el principio de adicin, o |C H P | = |C H
P | + |C H P c | + |C H c P |+ |C H c P c |+ |C c H P | + |C c H c
P | + |C c H P c | . La situacin se refleja en la figura. oCC Hc P
cC Hc PC H Pc C H PPHCc Hc PCc H PEjemplo 3.16 Observemos ahora los
datos que proporciona el enunciado. Sesenta comen pescado y carne
pero no huevos. Entonces, |C H c P | = 60 Cuarenta comen pescado y
huevos pero no carne, es decir, |C c H P | = 40 Treinta comen carne
y huevos pero no comen carne, o sea, |C H P c | = 30 58Cc H P
c