View
216
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
dinamica de estructuras, analisis estructural
Citation preview
Ingeniera CivilFacultad de CienciasFsicas y MatemticasUniversidad de Chile CI4203: Dinmica de Estructuras
11.1.1. Principio de Hamilton o Ecuaciones de Lagrange
En la mayora de los casos, la segunda ley de Newton o equilibrio dinmico es suficiente para determinarel sistema de ecuaciones de movimiento para un sistema de varios grados de libertad (NGDL). Sin embargo,para sistemas de varios grados de libertad ms complejos un mtodo mas riguroso y sistemtico es necesario.
mm
m
2m
u
m
L
Mk
k k
Las ecuaciones de Lagrange es un mtodo basado en energa que permiten escribir las ecuaciones demovimiento en trminos de un set de coordenadas generalizadas zi, i = 1, 2, . . . , n.
Prof. Fabin Rojas B., Ph.D. 193 Captulo 11
Ingeniera CivilFacultad de CienciasFsicas y MatemticasUniversidad de Chile CI4203: Dinmica de Estructuras
Las ecuaciones de Lagrange son derivadas usando el principio de Hamilton, el cual es expresado como(mtodo variacional):
t2t1
(Ec Ep) dt+ t2t1
Wnc dt = 0
Donde:
Ec= Energa cintica total.
Ep= Energa potencial del sistema, incluye la energa por deformacin y cualquiera producida porfuerzas conservativas externas.
Wnc= Trabajo hecho por las fuerzas no conservativas que estn actuando sobre el sistema, incluyendoamortiguamiento y cualquier carga arbitraria externa.
=Variacin tomada durante el intervalo de tiempo.
Para la mayora de los sistemas mecnicos, la energa potencial (Ep) puede ser expresada en trminos delas coordenadas generalizadas y la energa cintica en trminos o funcin de las coordenadas generalizadasy sus primeras derivadas en el tiempo (velocidad).
Ep = Ep(z1, z2, . . . , zn)
Prof. Fabin Rojas B., Ph.D. 194 Captulo 11
Ingeniera CivilFacultad de CienciasFsicas y MatemticasUniversidad de Chile CI4203: Dinmica de Estructuras
Ec = Ec(z1, z2, . . . , zn, z1, z2, . . . , zn)
El trabajo virtual de las cargas no conservativas puede ser expresado como una funcin lineal:
Wnc = Q1z1 +Q2z2 + . . .+Qnzn
Donde Q1, Q2, . . . , Qn son las fuerzas correspondientes a cada coordenada generalizada respectiva.
Con esto se obtiene: t2t1
(Ecz1
z1 + . . .+Eczn
zn +Ecz1
z1 + . . .+Eczn
zn
Epz1
z1 . . . Epzn
zn +Q1z1 + . . .+Qnzn)dt
Integrando por partes (
uv dx = uv
uv dx) los trminos relacionados con la velocidad, resultaen la expresin general por componente, igual a:
t2t1
Eczi
zidt =SU Eczi
zi
-----t2
t1
t2t1
d
dt
AEczi
Bzidt
TVSin embargo, una condicin bsica usada en el principio de Hamilton es que zi(t1) = zi(t2) = 0 con
Prof. Fabin Rojas B., Ph.D. 195 Captulo 11
Ingeniera CivilFacultad de CienciasFsicas y MatemticasUniversidad de Chile CI4203: Dinmica de Estructuras
lo cual
t2t1
Eczi
zidt = t2t1
d
dt
AEczi
Bzidt
Sustituyendo esto, se obtiene: t2t1
Y][Nk=1
Cddt
AEczi
B+ Ec
zi Ep
zi+Qi
Dzi
Z^\ dt = 0
Pero como zi, i = 1, ..., n son desplazamientos virtuales arbitrarios e independientes, la solucin tieneque satisfacerse para cada termino dentro de los parntesis rectangulares. Esto definen las ecuaciones deLagrange
d
dt
AEczi
B Ec
zi+ Ep
zi= Qi i = 1, .., n
Para sistemas Conservativos (Qi = 0) la ecuacin de Lagrange se reduce a
d
dt
AEczi
B Ec
zi+ Ep
zi= 0 i = 1, .., n
Prof. Fabin Rojas B., Ph.D. 196 Captulo 11
Ingeniera CivilFacultad de CienciasFsicas y MatemticasUniversidad de Chile CI4203: Dinmica de Estructuras
Para sistemas discretos se puede expresar la energa potencial como:
Ep =12
Ni=1
Nj=1
kijzizj
Donde kij representa la componente (i, j) de la matriz de rigidez y la energa cintica como:
Ec =12
Ni=1
Nj=1
mij zizj
Donde mij representa la componente (i, j) de la matriz de masa
Prof. Fabin Rojas B., Ph.D. 197 Captulo 11
Ingeniera CivilFacultad de CienciasFsicas y MatemticasUniversidad de Chile CI4203: Dinmica de Estructuras
Ejemplo: Determinar la ecuacin de movimiento para el siguiente sistema de dos grados de libertad.u
m
L
Mk Podemos usar coordenadasgeneralizadaz1 = u, z2 =
La energa cinemtica en el sistema es :
Ec =12Mu
2 + 12mR2
Donde R es la velocidad total de la masa m.
L
/FRV u
/
MNX
u
FRV FRV
cos() = cos(180 ) = cos()
Ahora si usamos la ley de cosenos para un triangulo que dice:
ca
b
c2 = a2 + b2 2abcos()
Prof. Fabin Rojas B., Ph.D. 198 Captulo 11
Ingeniera CivilFacultad de CienciasFsicas y MatemticasUniversidad de Chile CI4203: Dinmica de Estructuras
con lo que:
R2 = u2 + L22 2u(L)cos()
R2 = u2 + (L)2 + 2u(L)cos()
Ec = 12Mu2 + 12m(u
2 + (L)2 + 2u(L)cos())
O si usamos las variables generalizadas (z1, z2)
Ec = 12Mz21 +
12m(z
21 + (Lz2)2 + 2z1(Lz2)cos(z2))
Ahora la energa potencial en el sistema es:
Ep =12ku
2 +mgL(1 cos()) = 12kz21 +mgL(1 cos(z2))
Ahora para reemplazar esto en las ecuaciones de Lagrange, se necesita calcular:
i = 1, z1 = u
Eczi
= Mz1 +mz1 +m(Lz2)cos(z2)
Prof. Fabin Rojas B., Ph.D. 199 Captulo 11
Ingeniera CivilFacultad de CienciasFsicas y MatemticasUniversidad de Chile CI4203: Dinmica de Estructuras
d
dt
AEczi
B= Mz1 +mz1 +m(Lz2)cos(z2)mLz22sen(z2)
Eczi
= 0
Epzi
= kz1
Ahora la ecuacin de movimiento para la variable z1 = u es:
d
dt
AEcz1
B Ec
z1+ Ep
z1= 0
(M +m)z1 +mLz2cos(z2)mLz22sen(z2) + kz1 = 0Para ngulos pequeos cos(z2) 1 y sen(z2) z2, con lo cual z22 0, con esto la ecuacin se reducea:
(M +m)z1 +mLz2 + kz1 = 0
Ahora haciendo algo similar para i = 2, z2 =
d
dt
AEcz2
B Ec
z2+ Ep
z2= 0
Prof. Fabin Rojas B., Ph.D. 200 Captulo 11
Ingeniera CivilFacultad de CienciasFsicas y MatemticasUniversidad de Chile CI4203: Dinmica de Estructuras
Donde:
Ecz2
= mL2z2 +mLz1cos(z2)
d
dt
AEcz2
B= mL2z2 +mLz1 cos(z2)
1mLz1z2sen(z2)
0
d
dt
AEcz2
B= mL2z2 +mLz1
Ecz2
= mz1(Lz2) sen(z2) z2
0c
Epz2
= mgLsen(z2) mgLz2Reemplazando esto en la ecuacin de lagrange:
mL2z2 +mz1L+mgz2L = 0M 1L
mLz2 +mz1 +mgz2 = 0
Prof. Fabin Rojas B., Ph.D. 201 Captulo 11
Ingeniera CivilFacultad de CienciasFsicas y MatemticasUniversidad de Chile CI4203: Dinmica de Estructuras
SWU(M +m) mLm mL
TXVY_]_[z1z2
Z_^_\+
SWUk 00 mg
TXVY_]_[z1z2
Z_^_\ = 0
SWU(M +m) mL
m mL
TXVY_]_[u12
Z_^_\+
SWUk 00 mg
TXVY_]_[u12
Z_^_\ = 0
Prof. Fabin Rojas B., Ph.D. 202 Captulo 11