Click here to load reader

Appunti di Elettronica Digitale - dsf.unica.it roberto/Materiale/numerazione-  · PDF fileAppunti di “Elettronica Digitale” - Capitolo 1 2 N UMERAZIONE BINARIA Quando aumentò

  • View
    222

  • Download
    1

Embed Size (px)

Text of Appunti di Elettronica Digitale - dsf.unica.it roberto/Materiale/numerazione-  · PDF...

Appunti di Elettronica DigitaleAppunti di Elettronica DigitaleCapitolo 1 - Numerazione binaria

Numerazione binaria .................................................................................. 2Addizione binaria ....................................................................................... 3Sottrazione binaria ..................................................................................... 3Moltiplicazione binaria............................................................................... 3Divisione binaria ........................................................................................ 3Complementazione ..................................................................................... 4Numeri con segno....................................................................................... 5Operazioni con i numeri segnati ................................................................. 6

Osservazione: uso del complemento ad 1............................................ 10Il fenomeno delloverflow ................................................................... 11

Difetti del metodo della complementazione.............................................. 11Codici binari .................................................................................................. 12

Introduzione ............................................................................................. 12Generalit sui codici binari....................................................................... 13Codici numerici ........................................................................................ 14

Codice ad accesso 3............................................................................ 17Codici a rilevazione e correzione di errore ..................................................... 17

Introduzione ............................................................................................. 17Importanza della rilevazione degli errori: Bit Error Rate .......................... 20Codici a ripetizione (cenni) ...................................................................... 20Probabilit di errore.................................................................................. 22Codice a controllo di parit....................................................................... 24

Osservazione....................................................................................... 26Correzione dellerrore singolo .................................................................. 28Codice Hamming...................................................................................... 30

Appunti di Elettronica Digitale - Capitolo 1

2

NUMERAZIONE BINARIAQuando aument l'interesse per la costruzione di apparecchiature meccaniche in grado di realizzare

automaticamente le operazioni aritmetiche, specialmente le moltiplicazioni, il sistemabinario si diffuse molto rapidamente e sin dalla realizzazione deiprimi calcolatori elettronici si dimostr il pi adatto ad esseretrattato automaticamente.

I simboli grafici fondamentali del sistema binario sono "0" e "1".La conta nel sistema binario avviene secondo un criterio analogo a quello del sistema decimale:

dopo aver considerato i due simboli fondamentali, si passa a considerarli nuovamente effettuando ilriporto (cio sommando 1) sulla cifra immediatamente a sinistra. Quindi, il simbolo decimale 2 sarespresso in binario da 10 (che va letto uno-zero e non dieci), il simbolo 3 da 11, il simbolo 4 da 100 ecos via.

Le cifre di un numero binario vengono chiamate "bit" (che sta per BInary digiT) ed i valoriposizionali sono dati ovviamente dalle potenze di 2.Un evidente vantaggio del sistema binario il fatto che il numero

di simboli grafici fondamentali da esso usati piccolissimo (ci sono 2soli simboli), il che permette di stabilire facilmente una corrispondenza biunivoca tra tali simboli e idue possibili stati di funzionamento di particolari circuiti elettronici o di alcuni supporti fisici.Viceversa, un sicuro inconveniente di tale sistema il fatto cheservano molte cifre binarie (o molti bit) per rappresentare numericomunque piccoli che invece nel sistema decimale o in altri sistemi necessitano anche di unsolo simbolo.

A questo proposito opportuno fornire una relazione che permette di calcolare quanti bitserviranno per esprimere un qualsiasi numero decimale. Si verifica infatti che un qualsiasi numerointero decimale N si pu rappresentare da un numero p di bit tale che valga la seguente relazione:

p1p 2N2

Numerazione binaria e codici binari

3

Dato, allora, che b il numero di cifre binarie necessarie per rappresentare il massimo numerointero esprimibile con d cifre decimali, questa relazione dice che b si ottienemoltiplicando d per il numero 3.32 e arrotondando il risultatoall'intero superiore. In altre parole b sar il minimo intero maggiore del numero (3.32*d).

ADDIZIONE BINARIALe addizioni fondamentali tra due cifre binarie danno ovviamente luogo ai seguenti risultati:

10) (cio 1 di riportocon 011

110

101

000

=+=+=+=+

SOTTRAZIONE BINARIAEsistono due modi distinti di effettuare la sottrazione nel sistema binario: un modo diretto, che

segue le stesse regole della sottrazione nel sistema decimale, e il modo del complemento, che quellousato nei calcolatori. Rimandando a dopo lesame del metodo del complemento, illustriamo i risultatidelle sottrazioni fondamentali:

precedente cifra dalla 1 di prestitocon 110

101

011

000

====

MOLTIPLICAZIONE BINARIALa moltiplicazione binaria si effettua esattamente come nel sistema decimale; anzi, risulta

semplificata in quanto si possono direttamente eliminare le moltiplicazioni per 0 con l'accortezza dispostare il risultato della successiva moltiplicazione di una colonna verso sinistra.

DIVISIONE BINARIAAnche la divisione binaria avviene in modo analogo a quello nel sistema decimale, con in pi il

vantaggio che il rapporto tra 2 singole cifre pu essere solo 0 o 1 (al contrario del sistema decimale incui tale rapporto pu andare da 0 a 9).

Appunti di Elettronica Digitale - Capitolo 1

4

COMPLEMENTAZIONECome vedremo meglio pi avanti, possibile adottare una particolare rappresentazione dei numeri

(in qualsiasi sistema di numerazione) al fine di semplificare alcune operazioni matematiche(tipicamente le sottrazioni) che coinvolgono tali numeri.

Sia b la base del sistema di numerazione nel quale dobbiamo effettuare la sottrazione (nel sistemabinario b=2). Sia N un numero intero, non nullo, con K cifre nel sistema in base b. Si chiamacomplemento alla base b del numero N considerato il nuovo numero

Nb'N K =

Questo numero N' si pu calcolare molto facilmente nel seguente modo: si prendono tutte le cifre, apartire da SINISTRA, escludendo quella pi a destra; di ognuna di queste cifre si effettua ilcomplemento a b-1, ossia si calcola la differenza tra il numero (b-1) e la cifra data e la sostituisce nelnumero; dell'ultima cifra a destra si effettua invece il complemento a b.

Facciamo un esempio concreto: sia dato il numero N=007426 decimale a 6 cifre; vogliamocalcolarne il complemento N' alla base 10. Applicando la semplice definizione, abbiamo che

N' = (10)6 - N = 992574

In modo pi semplice, possiamo invece applicare il metodo di complementazione delle singolecifre:

a) complemento di 0 a b-1 = 9b) complemento di 0 a b-1 = 9c) complemento di 7 a b-1 = 2d) complemento di 4 a b-1 = 5e) complemento di 2 a b-1 = 7f) complemento di 6 a b = 4

Leggendo i risultati ottenuti dall'alto verso il basso si ottiene evidentemente il numero N' = 992574.Questo vale dunque per il sistema decimale. Vediamo adesso come si procede nel sistema binario,

dove le operazioni da seguire sono semplificate dal fatto che i simboli sono solo 2.Sia N=10011101 il numero del quale vogliamo il complemento a 2; effettuando gli stessi

passaggi di prima abbiamo

1 ---- 0 (complemento a 1 della cifra pi a sinistra di N)0 ---- 10 ---- 11 ---- 01 ---- 01 ---- 00 ---- 11 ---- 1 (complemento a 2 della cifra pi a destra di N)

Deduciamo dunque che il complemento a 2 di N=10011101 il numero N' = 01100011.Questo dunque il complemento a 2 di un numero binario. Esiste anche un altro tipo di

complemento di un numero binario, molto facile da eseguire ed anche molto importante in quantoconsente di ricavare altrettanto facilmente anche il complemento a 2. Dato un numero binario N, sidefinisce complemento ad 1 di N il numero N che si ottiene da N sostituendo gli 0 con 1 eviceversa. Per esempio, il complemento ad 1 di N=10011101 il numero N=01100010.

Numerazione binaria e codici binari

5

Il complemento ad 1 di N consente di ricavare immediatamente il complemento a 2 di N: infatti, seN il complemento ad 1 di N, il complemento a 2 di N si ottiene semplicemente sommando 1 ad N.Ad esempio, dato sempre N=10011101, il complemento ad 1 N=01100010, per cui il complementoa 2

10011101) di 2 a ocomplement(11000110

1

10011101) di 1 a to(complemen01000110

=+

NUMERI CON SEGNOPer numeri segnati intendiamo quei numeri che possono essere sia positivi sia negativi, che cio

vengono memorizzati all'interno di una memoria insieme al loro segno.In alcuni casi, per la verit rari, il metodo di codificazione utilizzato tale che ad ogni cifra del

numero venga assegnato un numero fisso di bit: in questo modo, anche il segno del numero inquestione viene considerato come un normale carattere e viene quindi trattato di conseguenza. Lanecessit di raggiungere spesso la massima velocit di calcolo e il conseguente u

Search related