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Sistemi con ritardo Appunti di Controlli Automatici

Versione 1.0

Ing. Alessandro Pisano

2 Appunti di Controlli Automatici – Sistemi con ritardo – v. 1.0

Ing. Alessandro Pisano – [email protected]

SOMMARIO

1. Introduzione (3)

2. Funzioni di trasferimento di sistemi con ritardo (4)

3. Stabilità a ciclo chiuso di sistemi con ritardo (8)

3.1 Ritardo puro (8)

3.2 Sistemi elementari del primo e secondo ordine con ritardo (13)

4. Calcolo del guadagno critico e del ritardo critico (16)

5. Modellazione e analisi di un sistema di miscelazione acqua (18)

calda acqua fredda



Sistemi con ritardo

1. Introduzione

Nello studio dei sistemi dinamici spesso si assume che la FdT sia una funzione razionale fratta

(cioè, un rapporto di polinomi nella variabile “s” di Laplace). Questa modalità di rappresentazione

è valida solo per sistemi che rispondono istantaneamente alle variazioni della variabile di ingresso.

Una tipica risposta di un sistema senza ritardo è riportata nella figura 1.

Figura 1 - Sistema istantaneo

In molti casi pratici tale ipotesi di “istantaneità” non è verificata e sono presenti ritardi finiti.

Esempio 1.

Si consideri un tratto di tubazione di lunghezza L . In corrispondenza della sezione SIN posta sul

lato sinistro viene immessa una portata q(t) di un certo fluido, che si propaga nella tubazione con

velocità costante V.

Figura 2 - Sezione di tubazione

Se si considerano come variabile di ingresso u(t) la portata q(t) immessa alla sezione di ingresso SIN

e come variabile di uscita y(t) la portata misurata all’istante t nella sezione di uscita SOUT, si ricava

facilmente come l’uscita dipenda dalla portata in ingresso attraverso un legame (statico) che

coinvolge un ritardo temporale δ

u(t)

y(t)

t0

t0

�� ≠ 0

u(t)

q(t)

y(t)

q(t-δ)

SIN SOUT



�� = �� (1)

�� = �� − δ� δ = � (2)

Il ritardo temporale δ dipende ovviamente sia dalla lunghezza L della tubazione che dalla velocità

di transito del fluido.

Nella figura 3 analizziamo un possibile segnale di ingresso e la relativa uscita. L’uscita riproduce,

con un ritardo temporale δ, il medesimo profilo dell’ingresso.

Figura 3 - Possibile andamento dell'ingresso e dell'uscita per il sistema dell'Esempio 1

Il ritardo δ è il tempo che si deve attendere affinché una variazione dell’ingresso si manifesti in

una corrispondente variazione dell’uscita. Vediamo se è possibile dare una rappresentazione di

un legame dinamico che coinvolga un ritardo per mezzo di una FdT.

2. Funzioni di trasferimento di sistemi con ritardo

Per caratterizzare in termini di FdT sistemi dinamici con ritardi finiti si impiega il Teorema di

traslazione nel tempo, una della proprietà notevoli della Trasformata di Laplace (TdL).

Teorema di traslazione nel dominio del tempo della TdL

Sia X(s) la TdL del segnale x(t):

L (x(t)) = X(s) (3)

La Trasformata di Laplace del segnale ritardato x(t-δ), dove δ è un ritardo costante, vale

L (x(t-δ)) = X(s)��δ � (4)

Applicando tale teorema al legame I/O dell’Esempio 1 si può determinarne la FdT associata.

Si ha:

q(t)

y(t)

δ

δ

t

t



�� = �� (5)

�� = ��δ � (6)

e pertanto, ricordando come la FdT sia, per definizione, il rapporto tra le TdL dell’uscita e

dell’ingresso, si avrà

�� = �� = ��δ�

�� = ��δ � (7)

La FdT individuata nella (7) è una funzione trascendente , e contiene il termine esponenziale

complesso tipico dei sistemi con ritardo.

Più in generale, la FdT di un sistema SISO con ritardo viene espresso nella forma seguente

�� = �� δ � (8)

dove B(s) ed A(s) sono polinomi razionali ed il parametro positivo δ viene detto ritardo del

sistema.

Si noti che la rappresentazione (8), con il termine esponenziale ��δ � che moltiplica la FdT

razionale fratta ��, è solo un caso particolare di FdT associate a sistemi con ritardo, caso che

peraltro copre una vasta casistica di interesse applicativo.

Legami I/O di carattere piu generale rispetto al semplice legame (2) portano a FdT di forma più

complessa.

Ad esempio, il legame dinamico � �� + �� − "� = �� − δ� viene trasformato con Laplace nella

forma seguente �� + ��δ�� = ��δ�� e conduce, come è facile verificare, alla seguente FdT

che non può essere ricondotta nella forma di rappresentazione (8).

�� = �� = ��δ�

��δ�

Peraltro, come si è detto, la rappresentazione (8) è sufficientemente generale da coprire molti casi

di interesse applicativo e quindi il nostro studio si concentrerà su tale classe di sistemi.

Esempio 2 - Laminatoio

Si consideri un impianto di laminazione, schematizzato nella Figura 4 . L’obbiettivo del controllo è

quello di regolare lo spessore di un laminato agendo sulla distanza tra i cilindri del laminatoio. La

distanza verticale h tra i cilindri viene variata per mezzo di un motore elettrico accoppiato ad un

opportuno riduttore.



Figura 4 - Schema di principio di un laminatoio

Con riferimento alla Figura 4 individuiamo gli elementi costituenti il sistema. Il laminato scorre da

destra verso sinistra con velocità costante V. Per motivi pratici, il trasduttore che misura lo

spessore dovrà essere posizionato ad una certa distanza d dai cilindri del laminatoio.

Il trasduttore di misura rileva lo spessore y del laminato, e ne trasduce il valore in un segnale

elettrico. Tale segnale viene confrontato in un nodo di comparazione con il valore di set-point, ed

il risultante segnale di errore viene elaborato da blocco regolatore. L’uscita del blocco regolatore

deve pilotare il motore, e a tal fine è necessario interporre un opportuno amplificatore di potenza

in grado di interfacciarsi direttamente con gli avvolgimenti del motore.

Il legame tra l’uscita del sistema, y(t), e l’ingresso h(t) è descritto dalla seguente relazione

�� = ℎ�� − "� " = $� (9)

Sulla base di quanto detto in precedenza ciò significa che la FdT W(s) tra lo spessore del laminato e

la distanza tra i cilindri è data da

�� = ��/&�� = ��'()*�

(10)

Si può quindi costruire uno schema a blocchi equivalente come quello in Figura 5

•

•

Laminato

Misuratore di

spessore

Amplificatore Riduttore

Set-point

d

V

h

y

Cilindro 1

Cilindro 2

Motore

Regolatore

−

+



Figura 5 – Rappresentazione del laminatoio mediante schema a blocchi

Esempio 3 – Scambiatore di calore

Consideriamo uno scambiatore di calore a fasci tubieri per la produzione di acqua calda.

All’interno dei fasci tubieri viene immessa acqua fredda. I fasci tubieri vengono investiti da vapore

ad alta temperatura che trasferisce energia termica al fluido che scorre al loro interno. All’uscita

dello scambiatore troviamo pertanto acqua calda (oltre che, ovviamente, il vapore condensato). Si

faccia riferimento alla seguente Figura 6.

Figura 6 – Schema di principio di uno scambiatore di calore

La portata del vapore in ingresso viene modulata per mezzo di una servovalvola pneumatica di

regolazione, che è pertanto l’organo attuatore dell’azione di controllo. La servo valvola è asservita

ad un sistema di controllo in retroazione basato sulla misura della temperatura T dell’acqua

Amplificatore Riduttore

Motore

Regolatore �� −

+ y

h

Set-point

Acqua

calda

Regolatore

− +

Set-point

Condensa

Acqua

fredda

Servovalvola

I / P

Sensore di

temperatura

Convertitore

Corrente/Pressione

pneumatica

Vapore ad alta

temperatura

T

p

T



all’uscita dello scambiatore. Il segnale di controllo per la servo valvola viene generato da un

opportuno convertitore corrente/pressione, che converte il segnale elettrico in uscita dal

regolatore (che supponiamo essere un segnale in corrente nel range 4÷20 mA) in un segnale di

pressione “p” che si interfaccia direttamente con il posizionatore della servo valvola (un range

tipico per i segnali di pressione utilizzati nei sistemi di controllo in tecnologia pneumatica è 3÷15

Psi). La grandezza di uscita è pertanto la temperatura T dell’acqua all’uscita dello scambiatore, una

quantità che si desidera regolare ad un valore costante.

Fra il punto in cui viene misurata la temperatura ed il punto in cui si esercita l’azione di controllo vi

è un ritardo finito che dipende sia dalla velocità di transito dell’acqua nei fasci tubieri che dalla

lunghezza e geometria degli stessi. Si ha pertanto un ritardo finito tra l’istante in cui una modifica

della variabile di ingresso (la portata di vapore in ingresso) si manifesta in una modifica della

variabile di uscita (la temperatura T). Aumentando la lunghezza dei fasci tubieri, o riducendo la

velocità di transito dell’acqua all’interno dello scambiatore, tale ritardo aumenta.

Analizziamo qualitativamente le dinamiche principali che concorrono nel fenomeno di scambio

termico controllato che avviene nel sistema seguendo i vali legami di causa-effetto conseguenti ad

una variazione del segnale di controllo “p” della servo valvola.

A fronte di una variazione del segnale di controllo della servo valvola si produce una variazione

della portata del vapore che transita nella servo valvola. Tale variazione avviene secondo la

dinamica propria della servo valvola, e dipende anche dalle condizioni termodinamiche (pressione,

temperatura,..) del vapore a monte e a valle della valvola.

La variazione della portata del vapore induce un transitorio di adeguamento della temperatura

nella regione esterna ai fasci tubieri che viene investita dal vapore ad alta temperatura.

Si ha quindi la dinamica dello scambio termico tra l’esterno e l’interno dei fasci tubieri.

In ultimo, si ha il transito del fluido fino al condotto di uscita in cui viene misurata la temperatura

3. Stabilità a ciclo chiuso di sistemi con ritardo

3.1 Ritardo puro

Gli esempi precedenti mostrano come la presenza di ritardi finiti nei sistemi di controllo sia un

fenomeno rilevante. Abbiamo anche visto come i ritardi finiti si prestino ad una rappresentazione

nel dominio della Trasformata di Laplace basata su fattori esponenziali del tipo ��+�, dove δ

rappresenta il valore del ritardo (espresso in secondi).

Analizziamo le caratteristiche della risposta armonica di una FdT puramente esponenziale

,�� = ��+� (11)

Ricordiamo che una FdT esponenziale del tipo (11) definisce un legame I/O nella forma di un

ritardo temporale puro (v. Fig 7).



Figura 7 - Schema a blocchi di un ritardo puro

La funzione di risposta armonica vale

,�-ω� = ��.ω+ (12)

Dalla identità

,�-ω� = /�0��.1�2� = ��.ω+ (13)

si ricavano le espressioni del modulo e della fase della ,�-ω�:

/�0� = 1 4�0� = −ω" (14)

La FdT esponenziale (12) ha una funzione di risposta armonica in cui il valore dei moduli è unitario

su tutte le frequenze mentre è presente uno sfasamento in ritardo che cresce linearmente

all’aumentare della frequenza. La pendenza negativa della retta 4�0� è proprio il ritardo δ.

Le relazioni (13) e (14) ci dicono che, con riferimento alla Figura 7, una sinusoide x(t) di ampiezza

unitaria e pulsazione ω in ingresso al blocco G(s) da luogo, in uscita, ad una sinusoide della

medesima frequenza, di ampiezza unitaria, sfasata in ritardo rispetto all’ingresso di un angolo ωδ.

Ciò è ovvio se si considera il legame ingresso uscita y(t)=x(t-δ), che implica come la riposta y(t)

all’ingresso x(t)=sin(ωt) sia y(t)= x(t-δ)=sin(ωt-ωδ).

I diagrammi di Bode della Funzione di risposta armonica ,�-ω� sono riportati a seguire

Figura 8 - Diagrammi di risposta armonica del termine esponenziale

��+� x(t) y(t)

y(t) = x (t-δ)

log(ω)

log(ω)

MdB(ω)=20log10(M(ω))

ϕ(ω)



Per quanto concerne il diagramma delle fasi si osservi che l’andamento esponenziale decrescente

è dovuto al fatto che l’asse delle ascisse è graduato in termini del log(ω). Un grafico equivalente,

ma con l’asse delle ascisse graduato sulla frequenza ω e non sul suo logaritmo, vedrebbe un

diagramma delle fasi con andamento rettilineo decrescente (con pendenza negativa " , in accordo

con la seconda delle (14)). E’ utile confrontare i diagrammi delle fasi in corrispondenza di due

diversi valori del ritardo. Si considerino i valori δ1 e δ2, con δ1>δ2 e si faccia riferimento alla figura

seguente.

Figura 8 - Diagrammi delle fasi per diversi valori del ritardo

Osserviamo come ad una data frequenza il valore del ritardo δ determini un maggiore o minore

sfasamento in ritardo del corrispondente diagramma degli sfasamenti.

I ritardi di fase hanno notoriamente effetti deleteri sulle proprietà di stabilità degli schemi a ciclo

chiuso. Investighiamo ora le proprietà di stabilità a ciclo chiuso di sistemi contenenti dei ritardi.

Iniziamo dal caso più semplice di un sistema in retroazione con funzione di trasferimento di ciclo

aperto 5�� = 6��+� . Consideriamo per semplicità un sistema di controllo a retroazione unitaria.

Figura 9 – Sistema a ciclo chiuso

Il legame ingresso-uscita a ciclo chiuso è:

�� + 6 �� − "� = 6 7�� − "� (15)

Si desidera investigare le proprietà di stabilità del sistema a ciclo chiuso, descritto dalla funzione di

trasferimento

�� = ��8�� = 9��:�

;�9��:� (16)

log(ω)

ϕ(ω)

"; "< "; > "<

��+�

−

+ k

x(t) y(t)



Il polinomio caratteristico =>?@�� = 1 + 6��+� è una funzione trascendente che ne complica

l’analisi. Utilizziamo il criterio di stabilità di Nyquist, la cui validità copre anche sistemi dinamici

affetti da ritardi finiti.

La funzione di risposta armonica a ciclo aperto è 5�-0� = 6��.+2.

La figura seguente riporta il diagramma di Nyquist completo per la 5�-0�, che “parte”, a

frequenza ω=0, dal punto di coordinate (k,0) e coincide con la circonferenza centrata nell’origine

di raggio k, che viene percorsa infinite volte (in senso orario per valori crescenti della frequenza).

Nell’analisi secondo il criterio di Nyquist la variazione del guadagno k può essere messa in conto

come una “traslazione orizzontale” del punto critico. Averlo disegnato in Figura 10 alla sinistra del

punto (–k,0), intersezione del diagramma con il semiasse reale negativo, significa avere

implicitamente assunto, nel tracciare il diagramma, che k < 1. In tale condizione il punto critico

non viene circondato dal diagramma e pertanto il sistema a ciclo chiuso è stabile. Se invece k>1 il

punto critico si trova alla destra del punto (–k,0), e quindi all’interno della circonferenza

individuata dal diagramma di Nyquist. Pertanto il sistema a ciclo chiuso è instabile se k>1. Quando

k=1 il diagramma passa per il punto critico, e quindi siamo in condizione di limite di stabilità per il

sistema a ciclo chiuso.

Figura 10 – Diagramma di Nyquist della FdT a ciclo aperto

L’analisi con il criterio di Nyquist ci dice quindi che il sistema a ciclo chiuso è:

- Stabile se k < 1

- instabile se k > 1

- al limite di stabilità se k=1

Le proprietà di stabilità a ciclo chiuso della semplice FdT in esame 5�� = 6��+� dipendono quindi

soltanto dal valore del guadagno d’anello e non dal particolare valore del ritardo. Le cose

cambieranno quando andremo a considerare FdT piu complesse, per le quali il valore del ritardo è

invece determinante ai fini della determinazione delle proprietà di stabilità a ciclo chiuso.

k -k • -1+j0

Re(F(jω))

Im(F(jω))

Punto di partenza

Punto critico



Verifichiamo i risultati ottenuti simulando il sistema in Figura 9 con un ingresso x(t) a gradino

unitario, un valore del ritardo pari a A = B. DE, e, in successione, con tre diversi valori del

guadagno k (rif. File “ritardo_puro.mdl”).

Per k=1 il sistema presenta come atteso una oscillazione permanente. Per k=0.5 l’uscita tende al

valore di regime k/(1+k), calcolabile applicando il teorema del valore finale. Per k = 1.1 l’uscita

diverge. Si vedano i corrispondenti grafici nelle tre figure seguenti.

Uscita a ciclo chiuso con k=1

Uscita a ciclo chiuso con k=0.5 Uscita a ciclo chiuso con k=1.1



3.2 Sistemi elementari del primo e secondo ordine con ritardo

Ora analizziamo la stabilità a ciclo chiuso di sistemi più complessi.

Tratteremo in successione i tre casi seguenti

F: 5;�� = 61 + H� ��+� I: 5<�� = 6

� ��+� J: 5K�� = 6��1 + H�� +�

dove τ è una costante di tempo positiva.

A. 5;�� = 9;�L� ��+�

Analizziamo preliminarmente le proprietà di stabilita a ciclo chiuso per la Fdt senza il ritardo.

La FdT 5;M�� = 9

;�L� ha un diagramma di Nyquist che, limitatamente alle frequenza positive, è

interamente contenuto nel IV° quadrante (v. Figura 11-(a)). Ciò dipende dal fatto che la fase di

5;M�-0� è sempre compresa tra 0 e -90°. Il diagramma parte per ω=0 dal punto (k,0), e converge

all’origine per ω→∞ con un andamento simile a quello riportato nella Figura 11-(a).

Quindi, la FdT senza il ritardo da luogo ad un sistema che, a ciclo chiuso, è sempre stabile

qualunque sia il valore di k. Questa è una proprietà facilmente verificabile analizzando luogo delle

radici della 5;M�� = 9

;�L� .

Le cose cambiano quando si include la presenza del ritardo δ. Nella figura 11-(b) si riportano due

possibili andamenti per i diagrammi di Nyquist della F;�s� = P;�QR e�TR, in corrispondenza di due

diversi valori δ1 e δ2 del ritardo, con δ1 < δ2 . Si nota come i diagrammi delle FdT con ritardo hanno

un andamento sostanzialmente differente in quanto la fase non è più compresa tra 0 e -90° a

causa del ritardo di fase, crescente con ω, introdotto dal ritardo.

Figura 11 – Diagramma di Nyquist delle FdT a ciclo aperto senza ritardo UDM�V� = W

D�XV e con ritardo UD�V� = WD�XV Y�ZV

I diagrammi convergono all’origine con un movimento rotatorio. In particolare, in presenza del

ritardo i diagrammi ora intersecano il semiasse reale negativo, e ciò significa che, fissato uno

specifico valore del ritardo δ, vi sarà un kcr= kcr(δ) tale che valori superiori ad esso

k •

k •

(-1,0) (-1,0)

"; "<

11-(a) 11-(b)

";< "<



destabilizzeranno il sistema a ciclo chiuso. Questo risultato si mostra facilmente applicando il

criterio di stabilità di Nyquist.

Con riferimento al comportamento a ciclo chiuso si ha quindi,

- Sistema stabile se k < kcr(δ)

- Sistema instabile se k > kcr(δ)

- Sistema al limite di stabilità se k= kcr(δ)

Il valore kcr sarà sempre maggiore di uno, perche se k è inferiore all’unità il diagramma di Nyquist

non potrà mai uscire dalla circonferenza di raggio unitario (k è difatti il valore massimo del modulo

della FdT).

Analizziamo cosa succede tenendo costante k e facendo variare il ritardo δ . Fissato k, al crescere

del ritardo δ il punto di intersezione con il semiasse reale negativo si sposta verso sinistra. Tale

punto di intersezione non potrà però mai andare alla sinistra del punto (-k,j0) perché come detto il

modulo della FdT F;�s� non può mai eccedere il valore k e quindi nessun punto del diagramma di

Nyquist può avere una distanza dall’origine superiore a k.

Quindi, il ritardo potrà destabilizzare il sistema soltanto quando quest’ultimo ha un guadagno in

catena aperta k > 1. Infatti, se k > 1 il punto (-k,j0) giace alla sinistra del punto critico (-1,j0).

Pertanto, con k > 1, quando il ritardo eccede una certa soglia δcr= δcr(k) il punto di intersezione si

sarà spostato alla sinistra del punto critico (-1,j0), destabilizzando quindi il sistema a ciclo chiuso

sulla base del criterio di stabilità di Nyquist.

Con riferimento al comportamento a ciclo chiuso si ha pertanto,

- Sistema sempre stabile se k ≤≤≤≤ 1

- Fissato k > 1:

o Sistema stabile se δ < δcr

o Sistema instabile se δ > δcr

o Sistema al limite di stabilità se δ = δcr

Si faccia riferimento al file “F1.mdl”, che simula il sistema a ciclo chiuso con H = 1�. Si può

verificare mediante simulazione come ponendo k=2 si ottiene un δcr pari a 1.21s circa. Si riporta a

seguire lo schema Simulink.

y(t)

TransportDelay

Transfer Fcn

1

s+1

Gain 3

2

1



I: 5<�� = 6� ��+�

L’analisi della stabilità a ciclo chiuso della FdT 5<�� viene condotta in maniera simile al

precedente caso A. La FdT senza ritardo F<M �s� = P

R ha un diagramma di Nyquist completo come

quello riportato nella Figura 12-(a), nel quale viene evidenziata anche la “richiusura” all’infinito.

Poiché il diagramma completo in Figura 12-(a) non circonda il punto critico (-1,j0) si può

concludere che il relativo sistema a ciclo chiuso è sempre stabile comunque si scelga k > 0.

L’introduzione del ritardo provoca la comparsa di un movimento rotatorio simile a quella visto

nell’esempio precedente ( v. Figura 12-(b)).

Figura 12 – Diagramma di Nyquist delle FdT a ciclo aperto senza ritardo U[M�V� = W

V e con ritardo U[�V� = WV Y�ZV

La presenza di un punto di intersezione con l’asse reale negativo significa che fissato uno specifico

valore del ritardo δ, vi sarà un kcr= kcr(δ) tale che valori superiori ad esso destabilizzeranno il

sistema a ciclo chiuso. A differenza dall’esempio precedente, non si può più affermare con

certezza che kcr è maggiore di 1.

Poiché inoltre al crescere del ritardo δ il punto di intersezione con il semiasse reale negativo si

sposta verso sinistra, vi sarà come prima anche un δcr= δcr(k). Nel caso in esame un ritardo

sufficientemente elevato sarà sempre destabilizzante, qualunque sia il valore di k (non più, come

nel caso A, solo quando si aveva k>1).

J: 5K�� = 6��1 + H�� +�

La Figura 13-(a) riporta il diagramma di Nyquist completo della FdT senza ritardo 5KM�� = 9

��;�L�� ,

che mostra come il relativo sistema a ciclo chiuso è sempre stabile comunque si scelga k > 0. Nel

• • (-1,0) (-1,0)

";

"<

ω=0+

ω=0−

ω=∞ ω=∞ ω=-∞

12-(a) 12-(b)

";< "<

ω=0+



medesimo diagramma possiamo leggere graficamente il valore del margine di fase mϕ

individuando il punto di intersezione P tra il diagramma e la circonferenza di raggio unitario

centrata nell’origine e valutando l’angolo mϕ che la congiungente PO individua con l’asse reale

negativo. L’analisi del diagramma della FdT con il ritardo (Fig. 13-(b)) vede ancora la presenza delle

“rotazioni” nel percorso verso l’origine, e del punto di intersezione con l’asse reale negativo. Il

sistema a ciclo chiuso con ritardo viene quindi destabilizzato sia da guadagni k troppo elevati che,

qualunque sia k anche eventualmente <1, da ritardi δ troppo elevati.

Figura 13 – Diagramma di Nyquist delle FdT a ciclo aperto senza ritardo 53′ �� = 6

�^1+H�_ e con ritardo 5K�� =9

��;�L�� +�

4. Calcolo del guadagno critico e del ritardo critico

Vediamo ora una semplice procedura per ricavare per via grafica i valori di kcr e di δcr. Sia

5�� = 65M��+� (17)

Fissato un valore per δ, vediamo come si determina il guadagno critico kcr. Si tracciano i diagrammi

di Bode della funzione 5M��+� e si deve valutarne il margine di guadagno MgdB in decibel.

Graficamente si deve individuare la pulsazione ωcr (“pulsazione critica”) alla quale la fase vale -

180° ed il corrispondente valore in dB del modulo, cambiato di segno, è il margine di guadagno (v.

Figura 14)

Una volta determinato il margine di guadagno, il guadagno critico vale

• • (-1,j0)

(-1,0)

";

"<

ω=0+

ω=0−

ω=∞ ω=∞

13-(a) 13-(b)

";< "<

(0,-j)

mϕ

ω=0+

P

O



6>@ = 10`a(b /<� (18)

Figura 14 – Valutazione grafica del margine di guadagno e del margine di fase

Fissato un valore per k vediamo ora come si determina il ritardo critico δcr.

Si deve stavolta determinare il margine di fase della funzione 65M��. Graficamente, dopo averne

tracciato i diagrammi di Bode si deve individuare la pulsazione ωt (“pulsazione di

attraversamento”) alla quale il modulo in dB vale zero e valutare lo sfasamento 4∗ = 4�0d� a tale

pulsazione. Il margine di fase è pari a (v.figura 14)

e1 = 180 + 4∗ (19)

Dal margine di fase e1 della FdT 65M�� , e dal valore della associata pulsazione di

attraversamento ωt è possibile risalire facilmente al valore del ritardo critico, che vale

δcr= mϕ/ωt (20)

Giustifichiamo la semplice formula (20). Il ritardo finito non altera il valore dei moduli e introduce

uno sfasamento in ritardo variabile con la frequenza di valore 4�0� = −ω" (v. (14)). Alla

frequenza di attraversamento ωt il termine di ritardo introduce pertanto uno sfasamento pari a

−0d" . La condizione che deve essere rispettata per il mantenimento della stabilità è che il ritardo

di fase introdotto alla frequenza ωt non ecceda, in modulo, il margine di fase. Si deve

log(ω)

log(ω)

MdB(ω)=20log10(M(ω))

ϕ(ω)

−180°

ωcr

MgdB

ωt

mϕ



naturalmente aver cura che il margine di fase e lo sfasamento in ritardo 0d" siano espressi in una

unita di misura (radianti o gradi) per poter effettuare la divisione (20).

5. Modellazione e analisi di un sistema di miscelazione acqua calda acqua

fredda

Esempio 4 – Miscelatore acqua calda-acqua fredda

Consideriamo un sistema di miscelazione di acqua calda e acqua fredda che consenta di ottenere

acqua miscelata a una certa temperatura di riferimento (set-point). Si faccia riferimento alla Figura

15.

Figura 15 – Schema di principio di un miscelatore acqua calda acqua fredda

Il sistema non è molto dissimile dallo scambiatore del precedente esempio 3.

Descriviamo nel dettaglio tutte le componenti del sistema ricavando anche opportune equazioni di

funzionamento che ci consentano di costruire un modello Simulink e simulare il funzionamento del

miscelatore.

Regolatore

− +

[Set-point]

Servovalvola

I / P

Sensore di

temperatura

Convertitore

Corrente/Pressione

pneumatica

ghi�h�

Acqua calda

Acqua

miscelata

d

Acqua fredda

e@�jh�

k@�jl�i

g$��h�



A. Un trasduttore di temperatura, che ipotizziamo avere un range di misura lineare tra 20÷60°C,

e uscita in corrente 4÷20 mA. La dinamica del sensore è trascurabile rispetto agli altri

componenti del sistema di controllo. Il sensore di temperatura fornisce una uscita ghi�h� pari a

4 mA quando la temperatura g° nel punto di misura è pari a 20°, e fornisce una uscita pari a

20 mA quando la temperatura g° nel punto di misura è pari a 60°. Quindi la caratteristica del

sensore nel suo campo di funzionamento lineare può essere cosi rappresentata:

ghi�h� = 4 eF + op�g° − 20°J� op = �<��r�

�s��<��h�°t = 0.4 h�

°t (21)

Nella equazione precedente ghi�h� è il valore di uscita in mA fornito dal sensore, g° è la

temperatura dell’acqua nel punto di misura in °C, e KT è il guadagno del sensore.

B. Un circuito elettrico che genera il set-point. Il set-point deve poter essere confrontato con

il segnale di misura ghi�h� , e deve pertanto essere un segnale in corrente nel range 4÷20 mA che è

il range del segnale di misura prodotto dal sensore di temperatura.

Essendo g$��° il valore desiderato in gradi per la temperatura nel punto di misura, il segnale di set-

point, che chiamiamo g$��h� , sarà generato in base alla seguente relazione, che riproduce la

caratteristica di misura del sensore di temperatura

g$��h� = 4 eF + op^g$��

° − 20°J_ op = 0.4 h�°t (22)

C. Un regolatore di tipo proporzionale con quadagno kP . E’ un dispositivo che deve produrre

in uscita una corrente proporzionale alla differenza tra due correnti in ingresso secondo la

relazione

e@�jh� = 12eF + ol^g$��h� − ghi�

h�_ (23)

Il valore del bias nella (23), posto pari a 12 mA, è scelto alla metà del range consentito 4÷20 mA

per il segnale e@�jh� in modo da massimizzare il range di funzionamento lineare del sistema di

controllo per valori positivi e negativi dell’errore g$��h� − ghi�

h� (se e@�jh� superasse il valore di 20

mA o scendesse sotto i 4mA l’attuatore andrebbe difatti in “saturazione”).

D. Un convertitore corrente/pressione che deve convertire il segnale in corrente e@�jh�

prodotto dal regolatore in un segnale di tipo pneumatico che possa direttamente pilotare la

servovalvola pneumatica di regolazione.

Un range operativo comune per le servovalvole pneumatiche è 3÷15 psi. Ricordiamo che

1 psi ≅ 0.06 Atm 15 psi ≅ 1.02 Atm



Il convertitore I/P “modula” pertanto la pressione in un circuito pneumatico connesso ad una rete

di distribuzione di aria compressa, che deve pertanto essere disponibile. Il convertitore I/P deve

“mappare” il segnale e@�jh� in un segnale in pressione equivalente nel range 3÷15 psi. Il foglio di

specifica del convertitore suggerisce inoltre di tenere conto di una dinamica del primo ordine con

una costante di tempo Hu/v = 0.7 �. Definiamo una variabile ausiliaria k;@�jl�i

che gestisca la parte

“statica” della conversione I/P (eq. (24)) e generiamo il segnale di pressione effettivo k@�jl�i

in

uscita dal convertitore filtrando la variabile ausiliaria con un filtro passa-basso a guadagno unitario

e costante di tempo Hu/v (eq. (25))

k;@�jl�i = 3 k�x + ou/v^e@�j

h� − 4 eF_ ou/v = �<��r��;y�K�

h�l�i = 0.75 h�

l�i (24)

Hu/v k @�jl�i + k@�j

l�i = k;@�jl�i

(25)

Le equazioni (24) e (25) si realizzano in termini di schemi a blocchi come riportato in Figura 16.

Figura 16 – Schema a blocchi per il convertitore I/P

E. Una servovalvola pneumatica che con un ingresso nel range 3÷15 psi compia l’intera

corsa. Il foglio di specifica della servovalvola ne riporta la costante di tempo H�.

Si deve modellare il legame dinamico tra il segnale di pressione in ingresso alla valvola, k@�jl�i

, e la

temperatura dell’acqua nel punto di misura g° . La costante di tempo H� che modella la risposta

dinamica della servovalvola è da considerarsi dominante rispetto alle costanti di tempo proprie dei

transitori termici di miscelazione. Quindi la temperatura dell’acqua nel punto di miscelazione

ghi�>{ dipenderà dal segnale di pressione k@�j

l�i secondo una FdT del primo ordine avente come

costante di tempo la costante di tempo H� della valvola. Per determinarne il guadagno o� si deve

fare qualche ipotesi e qualche ragionamento.

11 + H|/=� k}� ~

k�x k1}�~

k�x

e}�~eF k1}�~k�x

−

4

+ o|/=

+

3

+



Osserviamo preliminarmente che il legame tra g° e ghi�>{ sarà con buona approssimazione un

ritardo puro δ, proporzionale alla distanza d tra il punti di miscelazione e il punti di misura ed

inversamente proporzionale alla velocità di transito dell’acqua nella tubazione:

g°�� = ghi�>{ �� − δ� (26)

Ora ritorniamo al problema della determinazione del guadagno ��. Ipotizziamo che la

temperatura della acqua fredda sia di 20°C. Ciò implica che con la valvola completamente chiusa

(k@�jl�i = 3 k�x) il valore di regime per ghi�>

{ sarà pari a 20°C.

Ipotizziamo anche che con la valvola tutta aperta (k@�jl�i = 15 k�x) il valore di regime per ghi�>

{ sia

pari a 60°C. Le relative equazioni di funzionamento sono implementate nello schema riportato

nella Figura seguente:

Figura 17 – Schema a blocchi per la servovalvola

Nello schema in Figura 17 il guadagno KV è tale da garantire che quando k@�jl�i = 15 k�x) il valore di

regime per ghi�>{ sia pari a 60°C. Il valore di regime per ghi�>

{ quando k@�jl�i

è pari a 15 k�x vale

20+KV (15−3). Affinché tale valore sia pari a 60°C, il guadagno KV deve valere

o� = s��<�;y�K

°tl�i = 3.33 °t

l�i (27)

Implementando mediante schemi a blocchi tutte le equazioni ricavate finora si ottiene lo Schema

Simulink riportato nella pagina seguente (file “miscelatore.mdl” ). Si riporta il file

“miscelatore_dati.m “ che contiene le assegnazioni per i parametri.

% TRASDUTTORE DI TEMPERATURA K_T=0.4; % REGOLATORE PROPORZIONALE Kp=5; % CONVERTITORE CORRENTE PRESSIONE K_IP=0.75; tau_IP=0.7; % VALVOLA K_V=3.33333; tau_V=3; %RITARDO delta=0.5; % il valore del ritardo e’ scelto a caso

o�1 + H�� −"�

gex��

k}�~k�x

20

+

+

20

+

+

−

3

g� − 20

gex�� − 20

g�



T°-2

0°C

T_de

s^m

A

T_m

is^m

A

p_re

g^ps

i

T°

p_re

g^ps

ip_

1reg

^psi

m_r

eg^m

AT

°_m

isc

T°_

des

T°

T_m

is^m

A

Ser

vova

lvo

la

3.33

33

3s+1

Rita

rdo

fin

itoR

iferim

ento

K_I

P

Reg

ola

tore

Kp

Gua

dagn

o s

enso

redi

tem

pera

tura

K_T

Filt

ro d

el

rifer

imen

to

1

3s+1

Co

nver

tito

re I/P

1

tau_

IP.s

+1

Co

nver

sio

ne d

elrif

erim

ento

4+K

_T*(

u-20

)

3

20

43

12

4

20

Schema SIMULINK

Files “miscelatore.mdl”

“miscelatore_dati.m“



Esplicitiamo la funzione di trasferimento a ciclo aperto

5�� = 5M��d�� = ��)�;�L��;�L�� +� = y

�;��.��;�K�� +� (28)

5M�� = y�;��.��;�K�� (29)

% ANALISI DEL SISTEMA MISCELATORE % FUNZIONE DI TRASFERIMENTO A CICLO APERTO % F(s)=F'(s) e^(-delta s) % NUMERATORE E DENOMINATORE DELLA FdT F'(s) num_Fprimo=Kp*K_IP*K_V*K_T; den_Fprimo=conv([tau_V 1],[tau_IP 1]); Fprimo=tf(num_Fprimo,den_Fprimo); % CALCOLO DEI MARGINI DI STABILITA’ margin(Fprimo),grid

L’istruzione margin produce il seguente diagramma, in cui vengono anche restituiti i valori della pulsazione di attraversamento e del margine di fase

Figura 18. Diagrammi di risposta armonica della FdT a ciclo aperto.

-80

-60

-40

-20

0

20

Magnitude (dB)

10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

-45

0

Phase (deg)

Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 64.7 deg (at 1.22 rad/sec)

Frequency (rad/sec)



��V��Y �� Y�V��Y�� 0d = 1.22 }��/��

��Y �� VY e1 = 64.7° = 1.129 }��

Applicando la relazione (20) è possibile determinare il ritardo critico

">@ = 2¢h£

=;.;<¤;.<< = 0.9254 � (30)

Nella Figura 19 sono riportati i diagrammi di modulo e fase della funzione di risposta armonica

5�-0� per tre diversi valori del ritardo: δ=0, δ=δ1=0.5 s , e δ=δ2=1s. Si può notare come in

corrispondenza della pulsazione di attraversamento 0d la curva nera (δ=0) e la curva rossa

(δ=0.5) stiano sopra la retta a -180°, mentre la curva blu (δ=1) sta al di sotto a indicare come il

sistema a ciclo chiuso sia instabile.

Figura 19 Diagrammi di modulo e fase della FdT U�V� per diversi valori del ritardo

La sequenza di istruzioni Matlab che genera la Figura 19 è riportata nel seguito:

delta1=0.5; delta2=1; W=logspace(-2,1,200); [MAG,PHASE,W] = BODE(Fprimo,W); PHASE_rit1=PHASE(:,:)'-W.*((delta1*360)/(2*pi)); PHASE_rit2=PHASE(:,:)'-W.*((delta2*360)/(2*pi)); figure(2)

10-2

10-1

100

101

-40

-20

0

20Diagramma dei moduli

10-2

10-1

100

101

-800

-600

-400

-200

0Diagramma delle fasi con δ=0 (curva nera), δ=0.5 secondi (curva rossa), e δ=1 s (curva blu)

Omega [rad/sec]



subplot(2,1,1) semilogx(W,20*log10(MAG(:,:))),grid,title( 'Diagramma dei moduli' ), subplot(2,1,2) semilogx(W,PHASE(:,:), 'k' ,W,PHASE_rit1, 'r' ,W,PHASE_rit2, 'b' ), grid,title( 'Diagramma delle fasi con \delta=0 (curva nera), \d elta = 0.5 secondi (curva rossa) e \delta= 1 s(curva blu )' ), xlabel( 'Omega [rad/sec]' )

Il sistema a ciclo chiuso con kp = 5 è stabile per valori del ritardo inferiori al ">@ (30), ed instabile

per valori di δ superiori. Nei test è stato impiegato il seguente set-point di riferimento g$��° ,

espresso in gradi centigradi, per la temperatura dell’acqua miscelata.

Figura 20. il seguente segnale di riferimento ¥�YV°

Nella Figura 21 sono riportati i grafici della temperatura T° nel punto di misura e il grafico della

pressione di comando k@�jl�i della servovalvola nel caso di assenza di ritardo, δδδδ=0. L’uscita mostra

un transitorio aperiodico, mentre la pressione di comando presenza un debole comportamento

oscillatorio.

Figura 21. Grafici della temperatura T° nel punto di misura (a sinistra) e della pressione di comando ��Y��V� della

servovalvola (destra) quando δδδδ=0.



Si noti come sia presente un errore a regime (il sistema di controllo è di tipo 0). Si noti anche come

la pressione di comando si porta a un primo valore di regime di poco superiore a 5 psi e

successivamente, a fronte dell’incremento della temperatura richiesta, si porta ad un nuovo valore

di regime di poco inferiore a 8 psi per incrementare la portata di acqua calda. La Figura 22 mostra i

medesimi grafici ma con un ritardo δδδδ=0.5, che èun valore inferiore al ritardo critico.

Figura 22. Grafici della temperatura T° nel punto di misura (a sinistra) e della pressione di comando k@�jl�i

della servovalvola (destra) nel caso di ritardo δ=0.5

Ora anche l’uscita ha un transitorio oscillatorio, e le oscillazioni della pressione di comando sono di

ampiezza più elevata rispetto alla curva in Figura 21, chiaro sintomo del fatto che il margine di fase

è diminuito (lo smorzamento del modo dominante diminuisce al decrescere del margine di fase).

Come ultimo test il valore del ritardo è stato posto pari ad 1, un valore superiore al ritardo critico

che infatti, come si evince dalla figura 23, destabilizza il sistema a ciclo chiuso.

Figura 23. Grafico della temperatura T° nel punto di misura nel caso di ritardo δ=1



Abbreviazioni

FdT Funzione di trasferimento

TdL Trasformata di Laplace

I/O Ingresso-Uscita

SISO Single-Input-Single-Output

Documents

Appunti di Controlli Automatici - diee.unica.itpisano/Sistemi con ritardo.pdf · 3 Appunti di Controlli Automatici – Sistemi con ritardo – v. 1.0 Ing. Alessandro Pisano – [email protected]