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Appunti: Antitrasformazione

Giulio Cazzoli

v0.2 (AA. 2017-2018)

1 Antitrasformazione 21.1 Formula di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Convoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Mediante primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1

Antitrasformazione AntiTras t-2

1 Antitrasformazione

Data una funzione Y (s) nel dominio immagine, e possibile ottenere la sua rappresentazione nel dominio deltempo mediante loperazione di antitrasformazione.

Lantitrasformazione puo essere compiuta mediante:

Formula di Riemann : lapplicazione analitica dellinverso delloperatore trasformata di Laplace

Metodo della convoluzione : Utile per lantitrasformazione per via grafica

Mediante primitive : Applicabile solo nel caso di funzioni rappresentabili come somma di funzioni la cuiantitrasformata e nota

1.1 Formula di Riemann

Si dimostra che la ricostruzione della funzione nel dominio del tempo, noto il dominio di convergenza e lafunzione trasformata, si ottiene con

f(t) =1

2j

c+jcj

F (s) est dt

Espressione detta Integrale di Bromwich, Integrale di Fourier-Mellin o Formula inversa di MellinIl valore di c e arbitrario nel dominio di convergenza.Se il termine esponenziale a favore di convergenza (P ) e negativo, si puo assumere c = 0 e la formula di

Riemann coincide con lantritrasformata di Fourier.

1.2 Convoluzione

E noto che un sistema dinamico LTI:

caratterizzato da una funzione di trasferimento G(s)

sollecitato da un impulso X(s) = 1 nel domino del tempo rappresentato dal delta di Dirac x(t) =

sara caratterizzato da una risposta Y (s) pari alla funzione di trasferimento.

x(t) = Y (s) = G(s) y(t) = L -1 [G(s)] = g(t)

Pertanto la g(t) viene detta funzione di risposta libera.E noto che un sistema dinamico LTI:

con funzione di risposta libera g(t) = L -1 [G(s)]

sollecitato da una generica sollecitazione (x(t), X(s))

sara caratterizzato da una risposta nel tempo y(t) data dalla convoluzione (o integrale di Duhamel) tra lafunzione di ingresso e la funzione di risposta libera:

Y (s) = X(s)G(s) = y(t) = 0

x()g(t )d = x g

Una generica sollecitazione x(t) puo essere discretizzata nellintervallo 0 t da una successione di impulsirettangolari di durata d e ampiezza x(), la risposta y(t) sara data dalla somma, per la proprieta di linearita,della risposta di ciascun impulso elementare applicato al sistema prima dellistante t.

Il metodo dellintegrale di Duhamel e:

macchinoso

indispensabile quando uno dei due termini (x(t) e (g(t)) non e noto analiticamente

Per esempi di ricostruzione grafica della risposta del sistema vedere Dinamica e controllo delle macchinea fluido pagg.95-105

Antitrasformazione AntiTras t-3

1.3 Mediante primitive

Data una funzione nel dominio immagine, se si riesce a ricondurla ad una somma di funzioni la cui antitrasfor-mata e nota, e immediato ottenere la antitrasformata globale sfruttando la proprieta di linearita delloperatoretrasformata ed antitrasformata:

F (s) =

Gi(s) L -1 [F (s)] = L -1[

Gi(s)]

=

L -1 [Gi(s)]

Un caso particolare e lantitrasformazione di una funzione razionale mediante espansione in fratti semplici.Infatti una funzione razionale (con grado del numeratore minore di quello del denominatore) puo essere scrittacome:

F (s) =Nm(s)

Dn(s)=

Cs p

m < n

e lantitrasformazione dei termini C/(s p) non presenta difficolta.

AntitrasformazioneFormula di RiemannConvoluzioneMediante primitive