Approximation d’un contrôle optimal par un circuit électronique Y.Yakoubi et M. Lenczner

Troyes , 17ième Congrès Français de Mécanique du 29 août au 2 septembre 2005

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Approximation d’un contrôle optimal par un circuit électronique

Y.Yakoubi et M. LencznerLaboratoire M3M

Université de Technologie de Belfort et Monbéliard, Belfort, France


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LOGOSPlan

• Introduction• Modélisation par homogénéisation• Contrôle LQG• Application : Plaque vibrante• Approximation asymptotique de la solution de Riccati• Approximation par un circuit électronique• Résultats numériques• Conclusion• Extensions, applications.


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Introduction


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LOGOSIntroduction

Contrôle optimal LQG

Approximation au sens des hautes fréquences

Construction du contrôle optimal par un circuit électronique : Calculateur distribué quasi-local

Les actionneurs et les capteurs sont nombreux et distribués périodiquement : Homogénéisation


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Modélisation par homogénéisation


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Exemple de modélisation asymptotique par homogénéisation

Plaque élastique encastrée avec distribution périodique

d’actionneurs et de capteurs piézo-électriques

Homogénéisation : il en résulte un milieu continu homogène


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LOGOSBibliographie

• Homogénéisation des équations aux dérivées partielles :

Bensousan A., Lions J.L. and Papanicol., 1978; Sanchez

Palencia E., 1980; Allaire G., 1992; Lenczner M, 1997;

Cioranescu D., Dalamian A., Griso G., 2002.

• Homogénéisation des circuits électroniques :

Vogelius M, 1991; Lenczner M. et Mercier D., 2004.


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LOGOSProblèmes modèles

• Equation du premier ordre (type chaleur)

• Equation du second ordre (type ondes ou plaques vibrantes)

BuAwt

w

uBw

w

A

I

t

wt

w

0

0

0

2

1

2

1

avec conditions aux limites.


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Contrôle LQG


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LOGOSContrôle LQG

Y, U et X espaces de Hilbert; A :

Equation d’état et observation :

Cxy

xxettpourBuAxt

x 000

Fonctionnelle à minimiser :

dtDuCxuJUY

0

22)(

XXAD )( 2/1

générateur infinitésimal d’un semi-groupe sur X;

YXLCetXULB ,,


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LOGOSContrôle LQG

Si les couples (A,B) et (C,A*) sont respectivement stabilisable et détectable alors il existe un contrôle optimal qui vaut

xXBDDuopt *1*

où UXLB ,* défini par XU BuxuxB ,,* et X=X* est l’unique solution de l’équation de Riccati

,0*** CCXXBBXAXA

XYLC ,* défini par YX CxyxyC ,,* où

Estimateur :

x

x

FCBKAFC

BKA

x

x

t

t

et ,1**

DDCXF où

*XX est l’unique solution de l’équation de Riccati

,0***

BBCXXCXAAX


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Application : Plaque vibrante


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LOGOSApplication : Plaque vibrante

Modèle de plaque vibrante homogénéisé :

,0,,, 22 tubtattt

où a et b sont des constantes positives.

Soit cette dernière équation sous forme d’un système d’état :

BuAxt

x

où

,Xxt

,0

02

0

aaA

IA et

Ici .,, 210

2220

20

20

4 LYetHHULHXHHHAD

b

B0 .0cIC


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LOGOSApplication : Plaque vibrante

Les opérateurs adjoints de A, B et C sont définis de la façon

suivante :

.0

0,0

0 *1*

0

*

cI

CetbBA

aIA

Remarques :

• Nous avons choisi d’observer le déplacement, la vitesse sera estimée.

• Le choix des espaces U et Y a pour conséquence que BB*=b²I et C*C=c²I sont des opérateurs qui ne contiennent pas des ODP.

• Les solutions des deux équations de Riccati sont en fonction uniquement de l’opérateur A0. Ces solutions sont calculées exactement.

• L’approximation est déduite de la solution exacte.


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Approximation asymptotique de la solution de Riccati


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Rappel : Soit A0 un opérateur linéaire auto-adjoint positif compact sur un espace de Hilbert X. Alors : L’ensemble des valeurs propres de A0 est fini ou dénombrable. Les valeurs propres sont réelles positives et ordonnées en une suite décroissante convergeant vers 0. Les vecteurs propres associés forment une base orthogonale complète de X.

Les solutions de Riccati sont en fonction d’un opérateur linéaire10Aauto-adjoint positif

compact:

.0,0,k

k

kijijk

kkijij AXXetAXX

L’approximation est basée sur le développement de Taylor.


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102/3

32

10

2

2

10

2102/3

3

22

2

2

22

Ada

cbI

c

abdI

a

b

Aa

bI

ac

bd

XetI

ab

cdI

a

c

Aa

cA

da

bcI

b

acd

X apap

Les solutions approchées sont en fonction de :10A

C’est une approximation au sens des hautes fréquences. Cette approximation se fait en dimension infinie, sans passage en dimension finie.

Cette approximation conduit à un système exponentiellement stable.


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Les solutions approchées nous permettront par la suite de tirer les

équations du contrôle de l’état et de l’estimateur :

2

22

12

22

112

10

2

2

12

2

1

2

2

2

3

ad

cb

ad

bcx

ad

cbx

ad

bcxxaA

ad

bcx

ad

bcx

ad

cu

tttt

t dans

Avec conditions initiales et aux limites.


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Approximation par un circuit électronique


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La cascade d’équations précédentes peut être

discrétisée par un schéma de différences finies.

p ie zo e le c tric p ie zo e le c tric p ie zo e le c tric p ie zo e le c tric

0 1 N N +12 3

h/4 h/2 h

où h est le pas, sont les coordonnées.n


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Dérivateurs électroniques

Intégrateurs électroniques

Construction du contrôle optimal u

Construction de l’opérateur A0 : BilaplacienConditions Limites

+-

+- +

-

capteur capteur capteur

actionneur actionneur actionneur

Plaque élastique

ic ic ic

wt1. wt

w

v

C=1

vt

L=1 1.v

1.vtL=1

u

1.u

k°.i

R0 R R R R R

k.i k°.i

vtt


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Résultats numériques


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LOGOSRésultats numériques

Problème 1D, plaque ;25155mm mmmm 16 actionneurs/16 capteurs

;2,055mm mmmm .10155 mmhetmmL


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mode X21ex X21ap Er/r X22ex X22ap Er/r

1 21.546 21.552 2,86 0.1796 0.1796 1,43

2 21.551 21.552 0,377 0.179594 0.179598 0,188

3 21.552 21.552 0,0980 0.179599 0.179598 0,049

4 21.552 21.552 0,0359 0.1795974 0.1795977 0,0179

-410 -410


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Conclusion


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LOGOSConclusion

• La méthode d’approximation au sens des hautes fréquences d’un problème de contrôle optimal permet une implantation dans

un calculateur distribué quasi-local.

• La méthode ne nécessite ni la connaissance des modes propres ni la projection sur la base modale, contrairement aux approches usuelles basées sur les décompositions modales.

• L’approximation est globale.

• Cette méthode nous permet de faire des calculs en temps réel.


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Extensions, applications


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LOGOSExtensions, applications

• Cadre théorique beaucoup plus général pour l’approximation au sens des hautes fréquences de la solution d’une équation de Riccati.

• Autres types de contrôle.

Documents

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