Apostila Iota 5

IOTACURSO DE ASTRONOMIA GERAL

UNIVERSO

CCDOBA

verso iota outubro de 2012 CURSO DE ASTRONOMIA GERAL

escrito por:

Alexandre Bagdonas Bruno L Astorina Fabrcio Caluza Machado Victria Flrio Andrade Vincius Miranda Bragana

Casa de Canos DinamarquesesOlimpada Brasileira de Astronomia e Astronutica

Todos os volumes desta obra so licenciados como Creative Commons (CC BY-SA 3.0). Isso signica que voc livre para copiar, distribuir, transmitir ou adaptar este trabalho, desde que citada a fonte (Curso de Astronomia Geral do CCD-OBA) e que qualquer trabalho derivado deste seja liberado com a mesma licena.

volume V : universo

Sumrio

I Cosmologia 5

1 Qual o tamanho do Universo? 81.1 Paradoxo de Olbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2 Tamanho da Galxia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Olhando em Escalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.1 Mapeamento do Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 A Lei de Hubble 192.1 Primeira Verso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Interpretao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4 Verso Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 O que o Espao? 233.1 Dimenses do Espao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.1 O Hipercubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2 Espao Curvo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3 Expanso do Espao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 O Universo regido por que leis? 334.1 Princpio Cosmolgico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2 Relatividades de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2.1 Colapso e Constante Cosmolgica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2.2 O Universo de De Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2.3 Modelo de Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3 Modelo Padro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5 Como o Universo nasceu? 415.1 O incio: Lematre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2 Big Bang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.3 Universo Estacionrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.4 Radiao Csmica de Fundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.4.1 Satlites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.5 Big Bang Brasil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6 O que existe dentro do Universo? 546.1 Matria e Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.1.1 Partculas Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.2 Matria Escura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.2.1 Curva de Rotao da Galxia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

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Curso de Astronomia Geral - CCD/OBA \o/ Volume 5 - Cosmologia

6.2.2 Lentes Gravitacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.2.3 Aglomerado da Bala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.3 Energia Escura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.4 Uma nova imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7 Uma Biografia do Unvierso 717.1 Biografia em Prosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7.1.1 Passado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717.1.2 Presente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.1.3 Futuro: Universo Fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.1.4 Futuro: Universo Marginalmente Aberto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.1.5 Futuro: Universo Aberto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.2 Biografia em Verso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

II Universidade e Pesquisa 77

8 A Universidade 818.1 Ciencias Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818.2 Matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828.3 Humanidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.4 Artes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848.5 Aplicaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

9 Fazer Astronomia 879.1 Como ser astrnomo / cientista? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879.2 Instituies de Pesquisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889.3 Instituies de Divulgao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

10 A Pesquisa Atual 9110.1 Rochas e Vida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9110.2 Estrelas e Galxias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9210.3 Cosmologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9310.4 Desenvolvimento Tcnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9410.5 Cincias Humanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9410.6 Panorama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

III Apndices 97

A Referenciais e Relatividade 99A.1 Referenciais e Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99A.2 Transformaes de Galileu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101A.3 Newton, Maxwell e Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103A.4 A Construo do Espao-Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110A.5 Mecnica Newtoniana como caso limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

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Prefcio

Provavelmente, isso tudo o que se pode pedir da histrias, sobretudo da histria das idias:no solucionar as questes, mas elevar o nvel do debate.

Albert Hirschman

Estas so as apostilas do Curso de Astronomia Geral do CCD-OBA, verso . Nosso obje-tivo principal, com o curso, enriquecer a formao dos seus participantes. Por formao,referimo-nos a um processo que , em sua essncia, individual e nico, composto amplamentepelo conjunto de experincias vividas por algum. Citando Hans-Georg Gadamer, No casualque a palavra formao se parea, neste aspecto, ao grego physis. Como a natureza, a formaono conhece objetivos que lhe sejam exteriores.

Isso quer dizer que a postura que procuraremos desenvolver se fundamenta na autonomiaintelectual: cada indivduo senhor sobre a formao de seu prprio conhecimento. Tudo o quepodemos fazer, enquanto organizadores do curso, dar incentivo, buscando fornecer uma visomais ampla a partir de nossas prprias experincias.

Convidamos para este curso pessoas que tm grande vontade de saber, esperamos fornecerconhecimento at elas saciarem essa vontade e, ento, perceberem que ter aprendido aquilo tudono faz sentido se, de alguma forma, no for passado adiante. Com isso o processo se retroali-menta, individual e coletivamente. Individual porque sempre aprendemos muito quando algumnos ensina, mas aprendemos ainda mais quando ns ensinamos algum, quando fazemos o es-foro de pr nosso conhecimento em frases organizadas e compreensveis. Coletivamente porqueos que aprenderem conosco agora estaro ensinando depois, como ns. Essa precisamentea origem da CCD: ex-alunos da olimpada que aprenderam muito, sozinhos e com a ajuda delivros, professores e astrnomos, e acabaram decidindo que precisavam escrever e organizar cur-sos com tudo o que sabiam. Dentre os autores desta verso do Curso, h nomes de pessoas que,um ano atrs, eram alunos felizes e curiosos pelo que viria a seguir.

Nesse contexto, a Astronomia, por mais encantadora e atraente que seja para a maioria dens, no pensada como um fim em si prprio, mas como um lugar de articulao de saberes.Mostramos, ao longo das apostilas, o quanto a astronomia tem a ver com o desenvolvimento dafsica, da qumica e da matemtica; mas, mais do que isso, quais so suas relaes com a hist-ria, a filosofia, as religies, as diferentes expresses artsticas e, enfim, com as diferentes visesde mundo que surgiram aqui e ali ao longo das histrias humanas. Em suma, no queremosAstronomia pela Astronomia, mas Astronomia por Tudo!

Assim, pretendemos desenvolver uma viso melhor e mais completa do mundo natural e,atravs disso, do mundo humano tambm. Fazemos isso, em particular, buscando desenvolveras seguintes habilidades/caractersticas individuais:

Articulao lgica e formal (que tem a ver com a Linguagem)

Capacidade de abstrair e imaginar (relacionado ao Pensamento)

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Cultura Experimental (caracterstica da Cincia) Reflexo crtica sobre o conhecimento (papel da Filosofia) Contemplao esttica (o que chamamos de Arte)

O material est dividido em cinco volumes, na ordem em que os assuntos pareceram maisnaturais para ns. O Volume I, Cu, discute tudo o que pode ser observado. Discute tambmalgumas interpretaes, mticas, poticas e tericas, sobre as observaes. Toda a matemticadesenvolvida nele, portanto, est ligada geometria dos cus, a Geometria Esfrica. Talvez seja ovolume com contedo mais diferente do que normalmente visto no colgio. O Volume II, Me-didas, est mais ligado idia e prtica dos experimentos; sua introduo a como tratar dadosexperimentais uma introduo abordagem algbrica que vir nos volumes seguintes. Almdisso, ele procura desenvolver uma intuio sobre as tcnicas e medio e os instrumentos (emparticular os telescpios) necessrios para se desenvolver qualquer outro instrumento astron-mico. O Volume III, Mecnica, o primeiro que trata de fsica. Ele introduz a mecnica aprendidano colgio, mas com as intuies nascidas da nossa prpria experincia. Discute tambm a fsicano contexto da mudana da viso sobre o universo nos sculos XVI e XVII, que culmina com onascimento da Mecnica Celeste. Discute, finalmente, a construo da prpria Mecnica Celeste,com uma abordagem geomtrica (que clssica mas tambm incomum nos estudos de fsica dehoje em dia) e procurando criar uma boa intuio sobre movimentos livres em campos gravita-cionais. O Volume IV, Astrofsica, tambm fala de fsica, mas de um carter bem diferente: daconstituio material do mundo, do carter da luz e das interaes atmicas. Nesse sentido, um volume bastante ligado qumica. Ele culmina com o estudo detalhado, dos pontos de vistaterico, experimental e observacional, de alguns objetos de interesse astronmico, passando porestrelas e sua evoluo, mas tambm por aglomerados, galxias e asterides. Por fim, o VolumeV, Universo, trata principalmente de Cosmologia, ou seja, da discusso sobre o universo comoum todo. Como no poderia deixar de ser, ele alterna entre discusses filosficas e matemticasdensas, pontuadas por alguns insights poticos. Na segunda parte, h dois captulos discutindosobre a situao atual da pesquisa em astronomia no Brasil o que especialmente interessantepara quem tem alguma pretenso de estudar cincia na universidade.

Alm dessas apostilas, enviaremos outros materiais, como referncias e algumas atividadesprticas ao longo do curso. Incentivamos que as faam, de forma a complementar o contedodas apostilas. Aplicaremos tambm uma ou duas provas para selecionar os estudantes para aInternational Olympiad on Astronomy and Astrophysics (IOAA) e para a Olimpiada Latinoamericana deAstronomia y Astronutica (OLAA). Alm disso, esperamos engajar os participantes em algumasprticas, ligadas noo de responsabilidade intelectual discutida acima: ensinar colegas, emdiscusses de grupo, aulas preparatrias para a prxima OBA ou aulas motivadoras em colgiosde baixa renda; observar o cu com outros, em clubes de astronomia amadora e em star parties;envolver-se em projetos de pesquisa, junto a astrnomos amadores, professores universitrios oumembros do CCD; integrar-se, por fim, ao nosso prprio grupo.

A primeira olimpada internacional de astronomia foi fundada em 1996; dois anos maisantiga, portanto, que a sua verso brasileira. Desde a fundao da OBA, h o compromissode enviar times anualmente olimpada internacional pelo qual sempre foi necessrio fazeruma seleo justa e eficiente para montar as equipes. Este curso nasceu dessa necessidade:precisvamos, afinal, fornecer bases de conhecimento necessria aos que tivessem as habilidadese os interesses necessrios. Nossos objetivos, contudo, j ultrapassaram em muito os objetivos daseleo. o que esperamos que fique claro ao longo das pginas que se seguem.

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Unidade I

Cosmologia

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Existe uma teoria que diz que, se um dia algum descobrir exatamente para que serve o universoe por que ele est aqui, ele desaparecer instantaneamente e ser substitudo por algo ainda maisestranho e inexplicvel. Existe uma segunda teoria que diz que isso j aconteceu.

Douglas Adams, O Restaurante no Fim do Universo

De onde surgiu o Universo? Por que o Universo existe? Por que algo deve existir? Por queas coisas so como so? Todos ns j nos fizemos perguntas como estas, principalmente quandocrianas. No entanto, poucos gastam muito tempo refletindo sobre isso. Os adultos, quantotem que responder este tipo de pergunta para crianas, muitas vezes no as levam a srio, edesencorajam essa curiosidade natural.

De fato, os cientistas no podem fornecer respostas para este tipo de pergunta, mas podemencontrar uma outra maneira de formul-las e tentar coloc-las dentro de uma perspectiva cien-tfica, de modo a fazer com que esses conceitos possam ser trabalhados pela cincia. isso quepermite tornar a cosmologia uma disciplina da cincia. Perguntas cientficas que a cosmologiatenta responder (e que ocasionalmente tambm so perguntadas pelas crianas) seriam: O que o Universo? Podemos defini-lo como tudo aquilo que existe? Como determin-lo empirica-mente? O universo eterno, foi criado, ter um fim? finito ou infinito? limitado? Qual asua forma? Como se distribui a matria nele? Como o Universo ficou dessa forma? Como issose combina com o cu que observamos noite?.

Tais questes esto intimamente relacionadas com algumas outras de que j tratamos emcaptulos anteriores: O que o cu? Qual o lugar da Terra na ordem das coisas? Qual o papel doSol, da Lua, das Estrelas? O que so as estrelas, do que elas so feitas? Do que so feitas todasas coisas, como composta a matria que preenche todo o universo? E a matria que preenche omeu almoo? So perguntas que a fsica inteira ou, indo mais longe, todas as cincias naturais1,esto empenhadas em resolver.

Mas estas grandes perguntas nunca so encaradas de frente nas cincias naturais; os cientistassempre saem pela tangente e elucidam essas questes indiretamente, criando leis para os movi-mentos e para as interaes, investigando o funcionamento das ligaes qumicas, trabalhandoenfim durante a maior parte do tempo nas questes mais especficas que, quando so enxergadastodas juntas, fazem lembrar o gosto das perguntas que fazemos desde o Hug-Bug.

A cosmologia no oferece essa possibilidade de fuga das questes fundamentais. Os pro-blemas cosmolgicos dizem respeito diretamente ao universo como um todo, ou ao universo em si,o nico universo que existe (ou pelo menos o nico que conseguimos estudar). As perguntasfundamentais esto ali, jogadas na cara dos cosmlogos durante todo o tempo. Sendo assim,esta ser a nossa atitude nos prximos captulos: vamos encarar de frente todas as discussesfundamentais em que apenas tocamos nos outros volumes.

1Uma classificao bastante comum das cincias consiste em dividi-las em dois grupos: as cincias naturais (fsica,qumica, biologia...) e as cincias do esprito ou cincias humanas (filosofia, histria, cincias sociais...). Note que, aocontrrio de como se costuma referir nos cursinhos, artes NO so cincias humanas; artes so artes, po.

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Captulo 1

Qual o tamanho do Universo?

A grandeza do Universo sempre foi um dos aspectos mais atraentes e intrigantes ligados aocu. Todos j passamos, pelo menos uma vez, por aquela sensao de o universo to imenso, ens somos to insignificantes perto dele! Mesmo a verso do universo tradicional de Aristtelese Ptolomeu desorientadora. Isso pode ser visto em um texto do sculo XII, do filsofo judeuMoiss Maimnides, chamado Guia dos Perplexos:

Para formar uma estimativa correta de ns mesmos, precisamos considerar os resul-tados das investigaes que foram feitas sobre as dimenses e distncias das esferase das estrelas. Mostrou-se que a distncia entre o centro da Terra e o ponto mais altoda esfera de Saturno uma viagem de cerca de oito mil e setecentos anos de 36 dias,supondo que algum caminhe quarenta lguas por dia. (...) Essa grande distncia quefoi mostrada , no entanto, apenas um mnimo; pois a distncia do centro da Terraat a parte cncava da esfera das estrelas fixas no pode ser menor e pode ser muitasvezes maior. (...) Como para a esfera das estrelas fixas, sua espessura tem de ser pelomenos to grande quanto uma das estrelas contidas nela, das quais cada uma temum volume que excede aquele do globo terretre mais de noventa vezes; e possvelque a esfera em si seja ainda muito mais espessa. Da nona esfera, que comunica seumovimento diurno a todas as demais, no se conhece a medida; pois, como elas nocontm estrelas, no temos meios de julgar acerca de sua magnitude. Considere-se,ento, quo imenso o tamanho desses corpos e quo numerosos eles so. E se aTerra no de fato maior do que um ponto em relao esfera das estrelas fixas, qualdeve ser a proporo da espcie humana em relao ao conjunto total do universocriado? E como qualquer um de ns pode pensar que essas coisas existem para o seubem e que devem servir a suas necessidades?

Ou, aos que preferem um modo potico, podemos citar poesia inglesa do sculo XVI o autor Guillaume Du Bartas (1544-1590)1:

The least star that we perceive to shineAbove, disperst in tharches crystalline,(If, at the least, star-clarks be credit worth)Is eighteen times bigger then all the earth . . .Yea, though a king by wile or war had won

1Citado de Lovejoy, A. A Grande Cadeia do Ser. So Paulo, Palndromo. p. 102.A menor estrela que percebemos brilhar / No alto, perdida nas abbadas cristalinas, / (Se, pelo menos, os entendidos deestrelas merecem crdito) / dezoito vezes maior que a terra inteira . . . / Sim, mesmo que um rei por astcia ou guerratenha submetido / Toda a terra ao seu domnio, / Eis agora a recompensa por seus gloriosos esforos: / A ponta de umaagulha, um cisco, uma bagatela o que ganha / uma lndea, um nada ( tudo que possui).

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Volume 5 - Cosmologia Captulo 1: Qual o tamanho do Universo?

All the round earth to his subjection,Lo, here the guerdon of his glorious pains:A needles point, a mote, a mite, he gains,A nit, a nothing (did he all possess).

Embora, contudo, esse universo invocasse imensa grandeza, ele ainda era simples e essenci-almente compreensvel. Citando Arthur Lovejoy:

O homem do sculo XV vivia ainda num universo murado, bem como em cidadesmuradas. E ao contrrio das cidades medievais e de outras coisas medievais esse esquema csmico tinha as qualidades essenciais de uma obra de arte clssica; naverdade, pode-se dizer que a coisa mais clssica na Idade Mdia foi o universo. Os ho-mens preferiam realizar seus cultos em igrejas gticas, mas a arquitetura dos cus noera uma obra com desenho gtico o que no surpreendente, posto que se tratava,de fato, de um edifcio grego. O mundo tinha uma clara unidade estrutural inteligvel,e no somente uma forma definida, mas que era considerada ao mesmo tempo a maissimples e perfeita forma, tal como tinham todos os corpos que o compunham.

Essa forma clssica foi apedrejada e destruda, em um processo que acompanhamos no Vo-lume II. O novo universo que surgiu no possuia forma nem estrutura, nem sequer podia sercompreendido pelo pensamento posto que era infinito. A figura aqui que merece destaque ade Giordano Bruno, que foi o grande evangelista das teses cosmolgicas citadas um pouco acima.De fato, ele escreveu e falou muito sobre o universo infinito, por toda a Europa Ocidental, e foramos argumentos dele que ficaram mais populares para a aceitao do novo universo. Seguindo ohistoriador Alexandre Koyr, citamos Bruno a partir de seu De linfinito universo e mondi, escritoem 1584:

H um nico espao universal, uma nica e vasta imensido que podemos chamarlivremente de o Vazio; nele existem inmero globos como este em que vivemos ecrescemos; declaramos ser este espao infinito, uma vez que nem a razo, nem aconvenincia, nem a percepo sensvel nem a natureza lhe conferem um limite. Poisno h razo, nem defeito nos dons da natureza, nem poder ativo ou passivo quepossam impedir a existncia de outros mundos atravs do espao, que e idntico, emseu carter natural, a nosso prprio espao, isto , por toda parte cheio de matria,ou, pelo menos, de ter.

claro que a posio de Giordano Bruno no inocente; pelo contrrio, regada por diversosdebates filosficos. Lovejoy cita um princpio por trs de seus argumentos, que ele chama decomo princpio da plenitude. Esse princpio basicamente diz que a Natureza existente devecorresponder potncia de Deus, ou que Deus criou tudo o que ele poderia ter criado, ouainda Tudo o que pode existir, deve existir. Assim, a concepo de Universo de Bruno estintimamente ligada sua concepo de Deus o que ajuda a explicar seu fervor religioso nadefesa da sua viso. Voltando a cit-lo:

Por que devemos ou como podemos supor que a potncia divina seja ociosa? Porquedevemos dizer que a bondade divina, que capaz de comunicar-se a uma infinidadede coisas e de difundir-se sem limite, avara? Por que esse entro da divindade, que capaz de expandir-se (se assim se pode exprimir) em uma esfera infinita, deve per-manecer estril, como se fosse invejoso?

No h fins, termos, limites ou muralhas que no possam usurpar a multido infinitadas coisas ou privar-nos dela. Por isso a Terra e o oceano so fecundos; por isso

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o claro do Sol eterno; por isso h eternamente provimento de combustvel paraas fogueiras vorazes e a umidade restaura os mares exauridos. Porque do infinito engendrada uma abundncia sempre renovada de matria.

assim que a excelncia de Deus se exalta e que a grandeza de seu reino se manifesta;Ele glorificado no em um nico mas em incontveis sis; no em uma nica Terra,mas em mil - que digo? - numa infinidade de mundos.

1.1 Paradoxo de Olbers

Analisada minuciosamente, contudo, a idia de um universo infinito (bem como a idia dequalquer coisa infinita) leva a algumas contradies. A mais famosa delas provavelmente oParadoxo de Olbers: se o universo infinito, em qualquer direo que olhssemos, fatalmenteveramos alguma estrela, pois naquela direo o universo se estende indefinidamente. Dito deoutro modo: apesar da intensidade da luz cair com o quadrado da distncia, a densidade deestrelas (o quanto de estrelas existem em um determinado pedao do cu) aumenta com o mesmo,ficando com a mesma intensidade para qualquer regio do cu que se olhe2. Assim, mesmodurante a noite, o cu deveria ser claro; ou pior, arder como a superfcie de uma estrela! Umaanalogia simples comparar com uma floresta: se estivermos no meio desta, ao nosso redorvemos as rvores bem espaadas entre si; contudo, quanto mais longe olhamos, mais diminui oespaamento entre as rvores de forma que, no limite da nossa linha de visada, as rvores estotodas juntas e nada podemos ver alm delas.

Olbers props que a poeira interestelar absorveria a luz das estrelas, mas essa explicao no fisicamente aceitvel, pois nesse caso a matria interestelar entraria em equilbrio trmico comas estrelas e passaria a brilhar tanto quanto elas. At o incio do sculo XX, existiam outrosdois tipos de explicaes para esse paradoxo: ou o universo teria sido criado em um tempono muito remoto, e ainda no houvera tempo da luz de todas as estrelas chegar a ns; ou,mesmo que ele fosse eterno, a distribuio do contedo material do universo no era homognea,mas limitada a uma certa regio do espao infinito a regio da Via Lctea. Nesse contexto,todas as nebulosas seriam partes da Galxia, e no haveria galxias diferentes. Contudo, comoveremos, o norte-americano Edwin Hubble, a partir da observao de cefedas em M31 e M32,concluiu definitivamente a favor dos universos-ilha, acabando com a segunda explicao. Dessaforma, a eternidade do universo (que sempre foi um tpico de acirradas discusses) pareciacomprometida.

importante notar que uma abordagem matemtica mais refinada (e mais contempornea)permite evitar o paradoxo de Olbers mesmo que o universo e o nmero de estrelas sejam infinitos,e mesmo que seja tambm eterno. De fato, o matemtico francs Benot Mandelbrot, famosopelos seus trabalhos com geometria fractal, escreveu um artigo usando sua geometria para ummodelo da distribuio das galxias no universo. Entre outras coisas, fica demonstrado que, seas galxias se distriburem na forma de um fractal, elas no ocupariam a rea toda do cu, epoderiam manter a maior parte deste escuro, mesmo sendo infinitas e distribudas em todas asdirees de forma, em larga escala, homognea.

Para esclarecer a idia, vamos citar o exemplo mais simples de fractal: o Conjunto de Cantor.Ele produzido da seguinte forma: tomemos o intervalo [0, 1]. Agora arranquemos o tero centraldo intervalo, ficando com o conjunto [0, 1/3] [2/3, 1]. Agora, tiremos o tero central de cadaum dos pedaos restantes. Ento, o novo conjunto ser [0, 1/9] [2/9, 3/9] [6/9, 7/9] [8/9, 1].

2Note-se que este paradoxo envolvia o absoluto desconhecimento da origem da energia das estrelas e, portanto, desua durao.

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Prosseguindo infinitamente com isso, o que resta de todos os (infinitos) passos o Conjunto deCantor. Os pontos do Conjunto de Cantor esto distribudos por todo o intervalo e fcil ver quese tratam de infinitos pontos. Por outro lado, nem todos os pedaos da reta possuem elementosdo conjunto (os teros centrais tirados) e podemos mostrar que o comprimento total dos pedaosretirados do intervalo [0, 1] mede exatamente 1; ou seja, o comprimento do Conjunto de Cantor(o que sobrou) zero!

Da mesma forma, as galxias no universo, mesmo que sejam um nmero infinito delas emesmo que elas estejam distribudas por todos os lados, elas podem se organizar em padresfractais (que, alis, so padres muito encontrados na natureza) tais que a projeo de todaselas na esfera celeste zero (na medida em que sejam considerados corpos pontuais)! Claro quegalxias no so pontuais (em especial as mais prximas); mas elas podem ento ocupar umarea pequena do cu, mesmo sendo infinitas delas. contra-intuitivo, num primeiro momento,mas um refinamento no nosso raciocnio matemtico pode fazer ficar natural. O paradoxo deOlbers, ento, no realmente um paradoxo, mas algo mais parecido com o paradoxo de Zeno,discutido no Volume II: este rapidamente desfeito usando-se a idia de limite infinitesimal.Novamente, no caso do Olbers, o infinito aparece nos pregando uma pea e jogando na nossacara o quanto somos despreparados para lidar com ele.

1.2 Tamanho da Galxia

De qualquer forma, a noo de escala na cosmologia no foi um tema simples e de comumacordo entre os astrnomos, principalmente na ltima metade do sculo XIX e incio do sculoXX. Em parte, isso acontecia pela dificuldade enfrentada pelos pesquisadores para a determina-o de distncias a nebulosas e aglomerados. A paralaxe trigonomtrica heliocntrica, o melhormtodo disponvel poca, tinha um alcance que de forma alguma ultrapassaria os 100 pc3;qualquer que fosse a hiptese, a distncia desses aglomerados era muito maior que isso. Outramaneira de inferir a distncia usando a informao contida na luz que a estrela emite, pormno podemos tentar compreender as distncias usando a diferena que observamos no brilhodas estrelas, como se todas tivessem a mesma luminosidade (o que no verdade) e as maisbrilhantes estivessem mais prximas e as menos brilhantes mais distantes. Essa idia faz sentido,mas ela no verdadeira, porque as estrelas no tem todas a mesma luminosidade.

Figura 1.1: Como na imagem, no te-mos noo da profundidade das es-trelas que se apresentam na esfera ce-leste. preciso usar informaes a res-peito da luz e do meio que a luz per-correu at nos atingir para determinaressa distncia.

Ento devemos usar a relao entre a sua magnitude aparente (que observamos) e a magni-tude intrnseca (verdadeira) da estrela, sendo que tambm devemos levar em conta os obstculos

3O alcance de 100 pc s pde ser conseguido com esta tcnica graas ao satlite Hipparcos, que operou por trs anos, apartir de 1989.

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pelos quais a luz passa at nos atingir (principalmente quando passa pelo plano da Galxia): asnuvens de absoro do meio interestelar. Elas provocam o avermelhamento (Av) da magnitudeaparente (a luz perde um pouco da sua energia ao passar por uma nuvem interestelar), sendoque ela chega at ns enfraquecida. Hoje sabemos que esse mtodo, conhecido como paralaxeespectroscpica4, bom para determinar a distncia de estrelas que esto at a 10.000 pc de ns,depois disso, ele se torna um pouco impreciso. No incio do sculo XX as dimenses da nossaGalxia se extendiam por cerca de 10.000 pc, (Lembre-se que, atualmente consideramos que aGalxia tem aproximadamente 30.000 pc) no era necessrio adotar outro mtodo, porque no seimaginava que houvesse objetos mais distantes, tampouco se conhecia as limitaes desse. Mas,se as espirais fossem objetos externos Via Lctea, ento suas distncias deveriam ser maioresque 10.000 pc. Mas como se poderiam determinar essas distncias?

O mtodo que salvou o dia foi o das estrelas variveis, descoberto em 1912 pela astrnomaHenrieta Leavitt (1868-1921) do Harvard College Observatory. Era o que o norte-americano HarlowShapley usaria nos seus estudos dos aglomerados globulares. Mas no foram s as cefeidas;outro tipo de estrela varivel usada para calcular distncias foram as estrelas Novas5. Em 1885a primeira nova foi identificada por Julius Scheiner em Andrmeda, a S Andromedae, ela tevesua magnitude elevada at a ordem 7, o que significava que brilhava de maneira equivalente a50 milhes de Sis. Em 1917 o astrnomo norte-americano George Willis Ritchey, que estudavaplacas fotogrficas de nebulosas espirais (para detectar seu movimento interno e pontos quepudessem ter movimentos prprios medidos), acabou identificando numa delas uma Nova (naespiral NGC 6946). Depois disso, Ritchey e o astrnomo Heber Curtis encontraram muitas outrasnovas em espirais, essas mais fracas que a de 1885. As novas forneciam distncias de corposcelestes mais distantes porque brilhavam com uma intensidade muito maior (O astrnomo KnutLundmark chegou a afirmar em 1920 que algumas novas deveriam fornecer medidas de distnciapara objetos de at milhes de anos luz).

A questo foi to quente que a Academia Nacional de Cincias dos EUA resolveu promoverum debate pblico sobre o tema, no seu encontro de 1920, em Washington. O ttulo original dodebate era The Scale of the Universe, mas hoje ele mais conhecido com o nome genrico de OGrande Debate. Os debatedores eram: de um lado o Harlow Shapley, do Observatrio de MonteWilson, EUA, o maior do mundo na sua poca6; de outro, Heber Curtis do Observatrio de Lick.Suas opinies sobre o tamanho do universo e da Galxia, e sobre o que as Nebulosas tm a vercom isso, eram muito diferentes.

Shapley defendia que as nebulosas seriam nuvens de gs relativamente prximas, e que oUniverso era composto de apenas uma grande Galxia. Na verso publicada do debate, Shapleyusou variveis cefeidas de aglomerados globulares para derivar um valor para a extenso da ViaLctea ( 100,000 parsec, o maior resultado apresentado at ento), numa Galxia to grandeno havia espao para nada que fosse exterior, ela deveria ser todo o Universo conhecido, com osaglomerados globulares e as nebulosas prximas, dentro da Galxia ou muito perto dela.

Como os aglomerados globulares estavam distribudos simetricamente em relao ao centroda Galxia, Shapley deduziu que o Sol estaria a cerca de 8 Kpc desse centro ( 30.000 anos luz),uma mudana dramtica, j que nos tirava do centro do Universo.

Para se decidir sobre pertinncia das espirais nossa Galxia, Shapley usou resultados demovimento de rotao de espirais obtidas por Adrian van Maanene e ignorou a possibilidade deque as espirais fossem galxias externas.

4Ver Unidade II do Volume III5O fenmeno sbito de uma nova, se deve ao aumento da luminosidade de uma estrela an branca (mais de seis

ordens de grandeza) seguido de seu decrscimo ,que mais lento. O aumento da luminosidade na estrela aconteceporque a temperatura na sua superfcie torna-se mais alta (cerca de 107 K) provocando a queima nuclear de uma camadade hidrognio depositada na superfcie pela companheira da an branca.

6Fundado e financiado pelo astrnomo George Ellery Hale em 1904.

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Figura 1.2: A distribuio de aglomerados globulares observada por Harlow Shapley. Observe que a Terradista cerca de 30.000 anos luz do centro da Galxia.

Heber Curtis por outro lado, acreditava que a Galxia fosse menor. Ele criticou a calibraode Shapley da curva de perodo-luminosidade usada para determinar a distncia s cefeidas,argumentando que as cefedas no seriam bons indicadores de distncia tampouco os resultadosde van Maanen para a rotao das espirais. Sustentou um valor de 10,000 parsec para aextenso da Galxia, para ele as espirais estariam fora dos domnios da Galxia e que fossemelas mesmas Universos Ilha. Para defender seu ponto de vista, Curtis apresentou evidncias,sendo uma delas a determinao de altas velocidades radiais para as nebulosas espirais7 e o usode estrelas Novas para o clculo de distncias.

A soluo desta controvrsia ocorreu alguns anos mais tarde, quando foram construdos gran-des telescpios e foi possvel observar essas nebulosas com uma ampliao muito maior, e per-ceber que elas eram conjuntos de estrelas, e no nuvens de gs. Pouco tempo depois, EdwinHubble (1889-1953), na dcada de 20, conseguiu medir as distncias de algumas nebulosas ecalculou uma distncia de cerca de 900 mil anos luz para a cefeida que observara na galxia deAndrmeda (a distncia conhecida atualmente da galxia de Andrmeda de cerca de dois mi-lhes de anos luz). Como o valor de distncia encontrado muito maior do que o das estrelas daVia Lctea, a descoberta de Hubble foi vista como um indcio de que Andrmeda um corpo ex-terior a nossa galxia. Com o tempo constatou-se que o mesmo ocorria para outras nebulosas,ou seja, as nebulosas eram outras galxias.

7Essas velocidades radiais das nebulosas espirais foram determinadas por V. M. Slipher e foram importantes para acriao da teoria do universo em expanso.

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1.3 Olhando em Escalas

A questo sobre o tamanho do Universo ainda no bem resolvida, mas ela deixou de serum problema para a pesquisa. O que fazemos hoje lanar mo de um conceito operacionalque compartimenta os objetos de estudo no tamanho que precisamos. Vamos explicar melhor:tomemos um astrnomo e seu objeto de estudo. Para melhorar sua capacidade de elucidaros fenmenos que interferem neste objeto de estudo, ele pode imaginar uma esfera de raio R,envolvendo o objeto e as vizinhanas dele, de forma que, nesta esfera, estejam contidas todasas coisas capazes de perturbar significativamente o objeto (para os propsitos que o astrnomoestuda). Isto , em primeira aproximao, todas as interaes oriundas de objetos localizadosfora da esfera podem ser consideradas desprezveis. Podemos ento nomear esse raio R (ou aordem de grandeza dele) como a escala de distncia usada pelo astrnomo para estudar um dadoobjeto.

Agora a pergunta a fazer : quais so as escalas tpicas dos estudos cosmolgicos? Vamoscomear a responder esta pergunta olhando primeiro outros objetos tpicos. Tomemos, inici-almente, o Sistema Solar. Para um estudo do Sistema Solar como um todo, precisaramos deuma esfera cujo raio fosse grande o suficiente para incluir, ao menos, a Nuvem de Oort cujadistncia ao nosso planeta de aproximadamente um ano-luz. Esta distncia suficiente paraestudarmos a dinmica dos corpos que orbitam o Sol, dado que outros objetos da galxia noalteram significativamente as rbitas destes (a menos de eventos catastrficos).

Por outro lado, se desejarmos estudar o funcionamento de aglomerados estelares, sejam osabertos ou os globulares, precisamos observar e analisar regies muito maiores. O valor do raioR da nossa esfera imaginria teria que ser de algumas centenas ou at milhares de parsec.

Numa escala acima dos aglomerados estelares, encontram-se as galxias, cujas escalas detamanho variam de algumas dezenas de parsec at centenas de milhares de parsec (se quisermosestudar fenmenos internos s galxias, geralmente no precisamos levar em conta as influnciasdas galxias vizinhas). J para estudar fenmenos de interao entre galxias, precisamos levarem conta conjuntos maiores: grupos de galxias (como o Grupo Local), aglomerados (como ode Virgo) ou superaglomerados de galxias, todos estes necessitam de anlises na escala dosmegaparsec, ou seja, da ordem de um milho de parsecs.

Indo ainda mais longe, podemos analisar os conjuntos de aglomerados e superaglomeradosde galxias. De acordo com o que indicam as observaes contemporneas, a partir destas escalas(dezenas de megaparsec), encontramos curiosas estruturas de filamentos:

Figura 1.3: Universo em larga escala. A barra informa uma escala de 31,25 Mpc/h onde h uma constantecujo valor est entre 0 e 1, que serve para nos informar, para quem j se deparou com a lei de Hubble, ovalor da constante de Hubble em unidades de 100 (km/s)/Mpc. Atualmente estima-se que h seja maior que0,5 e menor que 0,8.

Para estudar o conjunto desses filamentos, os astrnomos precisam analisar distncias daordem de centenas de megaparsec, onde uma estrutura de rede nos fornece informaes sobre a

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dinmica do universo em larga escala.

Figura 1.4: Universo em escala ainda maior! A barra informa uma escala de 125Mpc/h.

Universo em larga escala: eis o que os cosmlogos desejam descrever. Para isso, eles precisamentender no s a dinmica dos filamentos que formam essa esponja de matria, mas tambma evoluo da prpria rede de todos os filamentos. Aqui se fazem necessrias observaes naescala de vrias centenas de megaparsec e at gigaparsec. Essa escala comea a se aproximardo tamanho estimado do prprio universo observvel! A suposio, ento, que o universo noapresenta estruturas maiores que as redes de filamentos; esta zona de escalas, portanto, pode serconsiderada o domnio dos cosmlogos.

Definida assim, cada uma dessas escalas apresenta problemas diferentes aos seus cientistasque, a princpio, podem ser resolvidos por sistemas tericos diferentes. Da que faz sentido dizerque usamos trs mecnicas (quntica, clssica e relativstica): cada uma responde a problemasespecficos das suas escalas. Alguns fsicos insistem na necessidade de uma Teoria de Tudo,uma nica teoria que abarque todos os fenmenos; uma exigncia vlida, razovel, mas muitomais esttica do que pragmtica8. Mas o fato que, compartilhando grandes teorias ou no,nichos fsicos e astronmicos, tanto tericos como observacionais, trabalham em algumas escalasespecficas e respondendo a problemas especficos.

1.3.1 Mapeamento do Universo

Mas como podemos saber como o Universo nas escalas da cosmologia? Observando, oras.A era dos computadores mudou completamente a maneira de fazer cincia. Essa frase hoje

parece banal, mas de importncia fundamental para a histria da cincia, da astronomia, da cos-mologia. Das romnticas noites de observao e confeco de filmes fotogrficos nos telescpios,passamos a uma astronomia automatizada, com rotinas programadas remotamente, telescpiosrobticos (muitos deles flutuando no espao), enviando quatrilhes de dados para computadoresque os processam imediatamente (algo que somos totalmente incapazes de fazer), fazendo emer-gir da uma rede de padres e correlaes possivelmente relevantes. Hoje, os dados no estomais em uma tabela a partir da qual se faz um desenho, mas em dezenas de megabytes de bancosde dados na internet, que so apenas manipulados indiretamente, por meio de programas quepodem trat-los. Nesse sentido, todo astrnomo, hoje, precisa ser tambm um programador.

Nos ltimos quinze anos foram criados programas impressionantes de mapeamento galc-tico, como o projeto 2df Galaxy Redshift Survey, que mapeou mais de 221.000 galxias e o TheSloan Digital Sky Survey, que mapeou aproximadamente 675.000 galxias e 90.000 quasares e que

8Essa necessidade mais no sentido de se criar uma viso de mundo unificada, e geralmente defendida por aquelesque esperam da cincia alguma representao da realidade em si, mesmo que de forma aproximada. Para os que notm esta ambio iluminista com relao cincia, fica muito mais simples admitir trabalhar com teorias diferentes emescalas diferentes e pronto. Alguns tericos inclusive, como Paul Feyerabend, insistem nos grandes ganhos que teramosse nos mantivssemos sempre trabalhando com teorias diferentes, que no se encaixam umas nas outras, paralelamente.

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pretende, ao final de 2008, chegar incrvel marca 860.000 galxias e 105.000 quasares mapeados.Que imagem do universo ele mostrou? Estruturas filamentares, cujos elementos principais sogalxias, aglomerados de galxias e superaglomerados de galxias, cercadas por regies escuras.Nesta seo, apresentaremos uma tcnica de observao cujos resultados corroboram esta visodo global da distribuio de matria luminosa do cosmos. Esta tcnica consiste em criar ummapa tridimensional da localizao de galxias no Universo, a partir da medio do redshift daluz oriunda destes objetos.

Na figura abaixo encontra-se o mapa obtido pelo projeto 2df Galaxy Redshift Survey. Observeque o nmero de galxias diminui com a distncia, o que compreensvel devido a limitaesde magnitude do telescpio. Quanto mais longe observamos, maior deve ser a luminosidadeabsoluta da galxia para que sua magnitude aparente seja menor que o limite de observao dotelescpio o que resulta num menor nmero de galxias observadas. Mesmo com essa limitaoa estrutura filamentar visvel ao longo de todo o mapa.

Figura 1.5: Mapa obtido pelo projeto 2df Galaxy Redshift Survey.

Ao analisarmos esta figura, interessante notar que o eixo radial tem como coordenada odesvio espectral para o vermelho observado na luz galctica, em vez da distncia destes objetosat o nosso planeta. um fato curioso, dado que o objeto principal dos projetos citado criarum mapa tridimensional da distribuio de matria luminosa no espao, merecendo, portanto,uma justificativa. A razo para esta escolha de coordenadas est intimamente relacionada coma dificuldade de medio de distncias de objetos longnquos e a limitada preciso das tcnicaspadres de inferncia deste parmetro9.

O Princpio Cosmolgico, portanto, s exigido nessas grandes escalas, em que galxiasso pontuais e podem ser tratadas como um fluido, ou uma estrutura fractal. Para efeito decomparao, veja uma foto em uma escala tpica da astronomia galctica; nessa escala, as coisasclaramente no so homogneas nem isotrpicas.

De forma similar s escalas espaciais, existe tambm o problema das escalas temporais. Paraos que defendem o princpio cosmolgico perfeito, portanto, em escalas de tempo cosmolgicas,o universo deve se manter sob o mesmo aspecto. Entretanto, a teoria dominante hoje o ModeloPadro da Cosmologia no defende esse princpio; pelo contrrio, defende um universo queteve um comeo e vem crescendo deste ento. Para ajudar na visualizao, quatro imagens desimulao so expostas abaixo, representando a estrutura em larga escala do universo em quatrodatas distintas da sua histria. Os dados utilizados para a criao das imagens referem-se a umasimulao utilizando supercomputadores na Alemanha e na Inglaterra, num projeto conhecidocomo Consrcio de Virgo. O objetivo desse grupo reconstruir toda a histria do universo utili-

9Exemplos de tcnicas de medio de distncias: paralaxe, observao de estrelas variveis e supernovas Ia, observaode curvas de rotao de galxias, Lei de Hubble.

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Figura 1.6: Universo em escala de 500 Mpc/h! E, a ttulo de comparao, a viso frontal de uma galxiaespiral.

zando o modelo padro e os dados mais precisos que dispomos para parmetros cosmolgicosrelevantes.

fundamental assimilarmos essas fotos nossa imagem mental da dinmica do universo.Vendo-as, conseguimos nos convencer que tratar matria em larga escala como um fluido perfeito(i.e., sem viscosidade10), no , pelo menos em primeira aproximao, uma idia absurda. uma concluso totalmente informal, sem nenhum rigor matemtico ou fsico; serve apenas comoauxlio intuio.

10A viscosidade de um fluido mede o quo pegajoso ele . Mel de abelha, por exemplo, um fluido com viscosidademuito alta; gua, por outro lado, tem viscosidade baixa (mas no nula). Se deixarmos cair mel no brao, ele ficar todomelado e grudento: o mel no s vai recobrir a parte do brao onde cair, como vai grudar tambm em qualquer outracoisa em que o brao melado encoste. J quando derramamos gua no brao, ficam grudadas neste apenas algumasgotas, que saem assim que o balanamos. Contudo, se deixssemos o hipottico fluido perfeito (com viscosidade nula)cair em nosso brao, ele escorreria imediata e completamente para o cho, no deixando nenhum resduo. Liquidos semviscosidade tambm podem ser pensados como lquidos que no interagem por atrito.

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Universo Atual

Universo com 4,7 bilhes de anos de existncia

Universo com 1 bilho de anos de existncia

E com 210 milhes de anos de existncia

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Captulo 2

A Lei de Hubble

Antes de continuarmos nossas perguntas, temos que analisar uma resultado emprico singularpara nossa atual compreenso do universo: a Lei de Hubble.

2.1 Primeira Verso

A Lei de Hubble uma lei emprica que relaciona a velocidade de uma galxia na direoda linha de visada1 com a sua distncia ao nosso planeta. Ela considerada um dos pilares dacosmologia moderna, em especial pela interpretao do universo em expanso que ela de certaforma sustentou.

Para entend-la, imagine o seguinte experimento mental: suponha que dado a voc umtelescpio, um espectrmetro e a tarefa de analisar o espectro das galxias vizinhas a nossa,cuja distncia conhecida pelo mtodo das cefeidas. Voc observa o espectro de Andrmeda,por exemplo, e nota que ele est deslocado para o azul. Interpretando esse desvio do espectrocomo sendo causado pelo Efeito Doppler, isso indica que Andrmeda est se aproximando doSol, com uma enorme velocidade de 300km/s! Simulaes modernas indicam que no futurohaver uma grande coliso entre Andrmeda e a Via Lctea.Supondo que nosso planeta no seencontra num local privilegiado do cosmos, ou seja, que a distribuio de galxias no universo isotrpica, devemos esperar que o nmero de galxias se afastando seja igual ao de galxias seaproximando.

Esse experimento foi feito por alguns astrnomos no comeo do sculo XX. Os resultadosencontrados foram surpreendentes: a quase totalidade das galxias vizinhas exceto algumasmuito prximas e, portanto, para as quais as influncias gravitacionais locais so mais significa-tivas que os efeitos globais tinham um espectro desviado para o vermelho, ou seja, as galxiasno pertencentes ao grupo local esto todas se afastando de ns! Alm disso, o afastamento degalxias independente da direo no cu, e quanto mais distante maior o desvio para o ver-melho, maior a velocidade! Sua descoberta pode ser sintetizada, como foi feito por Hubble, noenunciado a seguir:

As galxias se afastam da Terra com velocidade proporcional a distncia que nos separa.

Vradial = H0 dOnde Vradial a velocidade radial da galxia, d a distancia da mesma e H0 uma constante,chamada constante de Hubble.

Aqui vai um grfico como o que Hubble construiu:1Linha de visada uma reta que liga o centro da Terra ao centro de galxia!

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1- Estime a faixa de erro do grafico acima, de lei de Hubble. Porque so e confiavel usar a lei

para prever distancias de galaxias muito distantes (ou muito velozes)?

2- Tomando a constante de Hubble H = 100 km/sMpc:(a) Calcule a distancia de uma galaxia cujo desvio para o vermelho aponta uma velocidade

de afastamento de 10.000 km/s.

(b) Quanto deve aumentar estatisticamente o redshift do espectro, se quisermos aumentar

o valor da distancia encontrado na letra (a) em 1x106 parsecs?

Mas qual foi a grande sacada que levou Hubble a fazer um experimento que ningum nuncatinha imaginado e, com isso, mudado para sempre a histria da cosmologia? Ser que foi algumsonho que ele teve, alguma dessas sacadas de gnio que permanece incompreendida para osmeros mortais? Uma galxia que caiu na sua cabea enquanto ele fazia um piquenique?

Responderemos a essa pergunta negando a maior parte das palavras usadas na pergunta. Elascarregam vrias concepes ingnuas de como a cincia feita: por gnios isolados, a partir delampejos geniais, fazendo experincias que contrariam toda teoria. Essa viso menospreza boaparte do trabalho cientfico que feito coletivamente, por muitos cientistas discutindo, debatendo,montando novos experimentos e novas interpretaes tericas. Se quisermos de fato entender osurgimento de novas idias na cincia, pra esses longos debates que devemos olhar.

2.2 Antecedentes

Hubble sequer foi o primeiro a realizar um experimento de redshift versus distncia, paragalxias. Em 1912, Vesto Slipher j tinha conseguido medir o blueshift de Andrmeda, possivel-mente ainda no contexto do Grande Debate sobre a natureza da galxia. Em 1925, Slipher medirao desvio no espectro de 45 corpos no-estelares cuja distncia era conhecida, tendo encontrado41 redshifts e somente 4 blueshifts. Em 1923, Silberstein, de forma similar, analisou espectros decorpos e encontrou, explicitamente, a relao linear entre redshift e distncia; mas como ele ex-cluiu alguns dados que no apoiavam a relao, acabou sendo ridicularizado pela comunidadecientfica.

Isso tudo vinha chamando ateno de diversos astrnomos, mas se tornou importante paraa cosmologia quando a discusso terica alcanou o problema. Em 1917, o holands WilhelmDe Sitter publicou seu modelo cosmolgico em que previa teoricamente que corpos distantesdeviam apresentar desvios para o vermelho. Na poca, ainda era consenso que o universo deveriaser esttico. Mas outras pessoas, por razes principalmente tericas (veremos isso melhor no

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Volume 5 - Cosmologia Captulo 2: A Lei de Hubble

prximo captulo), comearam a apoiar a idia de um universo em expanso ou contrao. Em1825, o belga Georges Lematre publicou um famoso trabalho em que analisava as solues dasequaes de Einstein que levavam a universos em expanso. Ele ento deduziu teoricamente afutura Lei de Hubble que podia muito bem ser conhecida como Lei de Lematre:

vradial =c

R0

3d

Onde c a velocidade da luz, R0 o raio de curvatura do universo, e d a distncia do corpo.Vemos que comparando esta equao com a Lei de Hubble, a constante de Hubble foi deduzidapor Lematre.

Assim, tentativas experimentais j existiam, e a lei j tinha sido deduzida da teoria. MasEdwin Hubble trabalhava no grande observatrio de Mount Wilson, nos EUA e, com isso, con-seguiu medidas de distncias para corpos mais distantes do que se conseguira at ento. Seufamoso trabalho foi publicado ento em 1929; nele eram apresentados dados de 46 galxias, 20das quais, entretanto, tinham medidas razoavelmente confiveis de distncia. Alm disso, muitosdestes redshift foram obtidos a partir dos trabalhos de Slipher ( normal, em trabalhos cientficos,partir de outros trabalhos j feitos em vez de comear do nvel zero). Com esses dados, e semroubar, ele chegou relao linear entre os redshift das galxias e a sua distncia, que acabouficando conhecida com o seu nome.

2.3 Interpretao

Depois de estabelecido o resultado experimental, resta saber como interpret-lo. Como dis-semos, hoje em dia quase todos interpretam a Lei de Hubble como evidncia da expanso douniverso. No entanto, o prprio Hubble no acreditava que as galxias estivessem realmente seafastando. Em seus trabalhos, usava o termo velocidades aparentes para as velocidades inferi-das a partir do desvio espectral. Hubble continuou receoso em relao a idia de um universo emexpanso at o final de sua vida, e apesar de reconhecer que at o momento no era possvel umaconcluso segura sobre o assunto, ele demonstrava uma preferncia pela idia de um universoesttico, pois acreditava que os modelos de universos em expanso fossem uma interpretaoforada dos dados experimentais (Assis et al 2008). Ele escreveu numa carta a De Sitter, a inter-pretao (dos redshift das galxias) dever ser deixada para voc e os outros poucos capazes paradiscutir esta questo com autoridade.

Houve algumas teorias alternativas para explicar o redshift observado das galxias. Em 1929,Fritz Zwicky props que a luz sofresse um arrasto gravitacional, perdendo energia para meiointerestelar conforme atravessava o espao. Como energia (E) e frequncia ( f ) esto relacionadasde relao E = h f , ento, conforme a luz perde energia, sua freqncia diminui. Isso explicariaos redshifts. Zwicky deduziu quantitativamente a relao entre redshift e distncia, chegando aum resultado semelhante Lei de Hubble.

Outra abordagem para explicar os redshifts foram teorias influenciadas por Arthur Edding-ton, que propunham que as constantes fundamentais variavam com o tempo. Com isso, o redshiftvariaria com o tempo tambm, dado que quando olhamos para o cu estamos vendo o passado.De qualquer forma, a reflexo sobre constantes variveis bastante interessante.

Esses so bons exemplos de que, dado um conjunto de dados experimentais, possvel havermais de uma teoria que se prope a explic-los, e que a competio entre teorias rivais umprocesso muito complicado na prtica. Por uma srie de motivos, a interpretao da expansofoi preferida a estas, que foram encaradas pelos seus rivais como ad hoc2 ou desnecessrias.

2As modificaes ad-hoc so alteraes das teorias sem conseqncias testveis experimentalmente, e so um conceito

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2.4 Verso Generalizada

Nos modelos mais recentes e em escalas maiores (na casa dos gigaparsec), a velocidade ra-dial deixa de ser uma funo linear do desvio para o vermelho, tornando-se uma funo V(z)complicada, dependente de parmetros de difcil medio como a densidade de massa mdiado universo. Como conseqncia, a constante de Hubble H0 substituda por uma funo H(z)tambm complicada e dependente desses mesmos parmetros. Ns podemos trabalhar tambmcom a funo H(z(t)) ou simplesmente H(t), dado que existe uma relao unvoca entre os par-metros z e t (se quiser pensar assim, a funo z(t) a que d os desvios para o vemelho ao longoda histria do universo). A seguir voc ver as vantagens interpretativas em se trabalhar H comofuno do tempo e no do desvio para o vermelho, relacionando-a com a expanso do universo(fator de escala). Por enquanto, vamos ficar com a enunciao da nova forma da lei:

Lei de Hubble generalizada (necessria a partir dos Gigaparsec):

As galxias se afastam da Terra com velocidade proporcional a distncia que nos separa.

Vradial = H(t) d

Onde H(t) uma funo do tempo conhecida como parmetro de Hubble

Figura 2.1: A linha tracejada representa a Lei de Hubble Linear. Esta aproximao no ajusta os dadosde supernovas distantes; preciso trabalhar com a Lei de Hubble generalizada. As duas linhas cheiasrepresentam previses, para diferentes parmetros cosmolgicos, da funo H(t).

controverso. Um exemplo de hiptese ad-hoc a frase que aparece no incio desta Unidade, do Douglas Adams. Parao filsofo da cincia Karl Popper, as modificaes ad-hoc so feitas para proteger as teorias de falsificaes potenciais,e no devem ser aceitas pelos cientistas. J para o Paul Feyerabend, na competio entre teorias vale tudo, inclusivepropaganda e modificaes ad-hoc.

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Captulo 3

O que o Espao?

Uma grande dificuldade em se entender as idias cosmolgicas, como a de expanso do Uni-verso, est na visualizao dessa expanso, afinal, para onde o espao se expande? A nossaprimeira tentativa de entender isso geralmente respondendo para fora, e imaginamos o es-pao se expandindo para algum outro espao pr-existente... Mas isso no faz sentido, nesse casoo espao j estaria l!! E se voc imaginar o espao se expandindo para alguma direo em espe-cial, aumentando seu volume (portanto, no-infinito, segundo o Big Bang) voc necessariamentetambm estar imaginando um centro para o universo, e o espao deixaria de ser isotrpico.

O que o espao? Usamos a palavra espao para nos referirmos aos tamanhos e s dimensesdos objetos. Com certeza voc j ouvi essa palavra da sua me, quando levou para casa algo queocupava muito espao. A metfora que mais usamos para espao o vazio dentro de um copoou um barril: algo a ser preenchido por matria. O espao tem a ver com o vazio. Mas um rpidoexame filosfico mostra que isso no faz muito sentido, afinal, o que o vazio? aquilo que no nada. O grego Parmnides de Samos, no sculo -6, j dizia que aquilo que no-, no podeexistir do contrrio, teramos uma contradio nos termos. O Vazio, portanto, no pode existir.

Isso foi defendido por muitos filsofos ao longo da histria. Para eles, ento, o universodeveria ser completamente preenchido. Vimos um desses filsofos (Ren Descartes), na discussosobe o mundo mecnico, no Volume III. Mas mesmo alguns filsofos mais tradicionais, comoPlato e Aristteles, tinham horror, um horror lgico, idia de vazio uma das razes pelasquais eles eram to contrrios filosofia dos atomistas.

Uma soluo para o problema admitir que o espao no existe mesmo, mas s um objetoda nossa imaginao, um conceito abstrato que usamos para compreender melhor o mundo. Ofilsofo Immanuel Kant j dizia isso. Ele postulava que quase todo o conhecimento que temosvinha atravs dos nossos sentidos, das experincias que tinhamos na nossa vida. Quase todo,mas no todo; seria necessrio, para que algum conhecimento fosse produzido, que j existis-sem algumas idias bem fundamentais, a partir das quais os primeiros dados empricos fosseminterpretados. Dentre esses conceitos a priori, estariam os conceitos de espao e de tempo1:

O espao no um conceito emprico abstrado de experincias externas. Pois a re-presentao de espao j tem que estar subjacente para certas sensaes se referirema algo fora de mim (isto , a algo num lugar do espaco diverso daquele em que eume encontro), e igualmente para eu poder represent-las como fora de mium e umaao lado da outra e, por conseguinte, no simplesmente como diferentes, mas comosituadas em lugares diferentes. (. . . ) O espao uma representao a priori necessria,que subjas a todas as intuies externas. Jamais possvel fazer-se uma representao

1Kant, Immanuel. Crtica da Razo Pura. Coleo Os Pensadores. So Paulo: Editora Abril, 1983 (2a edio), p. 41.

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de que no h espao algum, embora se possa muito bem pensar que no se encon-tre objeto algum nele. Ele , portanto, considerado a condio da possibilidade dosfenmenos e no uma determinao dependente destes.

O psiclogo Jean Piaget mostrou, no meio do sculo XX, atravs de alguns experimentos, queo conceito de espao no to inato assim. Segundo ele, as crianas nascem com um conceitomuito diferente de espao e de tempo, e que idias bem simples como a permanncia dos objetosno espao (isto , voc pressupor que um objeto continua existindo mesmo depois de, digamos,ele ser escondido atrs de outro objeto) no nascem junto com as crianas. Os conceitos normaisde espao e de tempo, segundo ele, so adquiridos ao longo dos dois primeiros anos de vida.

Outra sada para o problema do espao transform-lo em um objeto fsico, com proprieda-des. Isso foi feito, tambm, por muitos filsofos ao longo da histria. Para citar poucos, podemosficar em Newton, que tambm j citamos no Volume III. Para ele, o espao era um ente absolutoe imutvel, que no interagia com nada. Mas ele desempenhava um papel importante na ordemdas coisas: como Deus onipresente, ele est, de alguma forma, em cada ponto do espao. As-sim, Deus sabe, a todo instante, a posio de toda poro de matria no Universo. Desta forma,podemos dizer que o espao como se fosse o rgo sensvel de Deus.

No sculo XIX, tambm, o espao era imaginado como preenchido de um fluido muito sutil,chamado ter luminfero, que se confundia com o prprio espao. Esse seria o fluido do qualas ondas eletromagnticas, como a luz, seriam vibraes. Entretanto, as tentativas de detecodeste ter foram fracassadas; a idia foi abandonada por isso e tambm porque as idias fsicassobre o espao mudaram rapidamente, no incio do sculo XX.

Com a Relatividade Geral formulada por Albert Einstein, o espao e o tempo (mais precisa-mente, pensados juntos - o espao-tempo) deixavam de ser repositrios absolutos e pr-fixados,como concebido por Newton; porque, agora, espao e tempo so moldados pela matria e pelaenergia que nele esto contidas, e passam a ser, eles mesmos, personagens ativos na dinmica douniverso2.

O prprio tempo, nesse universo, passa a ser pensado como mais uma dimenso. Assim, emvez de pensarmos em um universo que tem um espao de trs dimenses e no qual o tempoflui, pensamos logo em um espao-tempo de quatro dimenses. A idia de tratar o tempo comosimilar a uma dimenso espacial no nova (certamente mais antiga que Einstein); ela j naturalmente sugerida pela nossa linguagem; no dia-a-dia, usamos muitos termos espaciais paracaracterizar relaes temporais. Isso aparece quando dizemos que algum est frente do seutempo, ou que uma mgoa passada ficou para trs, ou ainda quando falamos em viagens notempo. seguindo o mote deste ltimo assunto que aparece, em um romance de fico cientficado sculo XIX, uma explicao do espao + tempo como um espao quadridimensional que nopoderamos deixar de citar:

Um cubo instantneo pode existir? No consigo seguir voc, disse Filby. Um cubo que no dure absolutamente nenhum tempo pode ter uma existncia real?Filby ficou pensativo. Claramente, qualquer corpo real deve se estender em quatro direes: deve terComprimento, Largura, Espessura e Durao, prosseguiu o Viajante do Tempo Mas por uma enfermidade natural da carne, a qual vou lhes explicar em um momento,tendemos a passar por cima desse fato. H, na realidade, quatro dimenses, trs dasquais chamamos de planos do espao, e uma quarta, o Tempo. Existe, no entanto,

2Uma das inmeras conseqncias disso que a homogeneidade e a isotropia do espao-tempo passam a estar dire-tamente associadas homogeneidade e isotropia da prpria distribuio da matria-energia. Se a matria se concentramais em uma certa parte do espao, essa parte fica mais deformada que as outras.

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Volume 5 - Cosmologia Captulo 3: O que o Espao?

uma tendncia a formar distino irreal entre aquelas trs dimenses e esta, porquenossa conscincia se move intermitantemente em um nico sentido, ao longo dessaltima dimenso, do comeo ao fim de nossas vidas. Isso disse um homem muito jovem, fazendo esforos espasmdicos para acenderseu cigarro sobre o lampio isso... est muito claro, realmente. Agora, interessante que isso seja to amplamente negligenciado continuou oViajante do Tempo, com um leve acesso de alegria Eis realmente o que se entendepor Quarta Dimenso, embora algumas pessoas que dela falam no saibam o quedizem. apenas uma outra maneira de olhar para o Tempo. No h nenhumadiferena entre Tempo e qualquer uma das trs dimenses do Espao, exceto a deque nossa conscincia se move ao longo dela. Mas alguns tolos tomaram conta dolado errado da idia.

H. G. Wells, A Mquina do Tempo

Mas para entender melhor essa idia, precisamos entender melhor a idia de dimenso3.

3.1 Dimenses do Espao

Uma definio no rigorosa de dimenso seria uma direo na qual certo objeto possui umamedida, um comprimento, assim existem corpos que se entendem por uma, duas, trs, quatro,. . . n dimenses.

Uma linha s possui uma dimenso, podemos medi-la em metros, e em qualquer outra dire-o ser infinitamente fina, com comprimento nulo.

Um quadrado j possui duas dimenses, pode ser medido em metros quadrados e possuicomprimento e largura, porm tambm no possui altura. Note que, a partir da segunda dimen-so, j podemos imaginar outras formas para uma figura contida nele (tringulos, crculos. . . )quanto mais dimenses tiver um espao, maior variedade de formas teremos.

Um cubo possui todas as 3 dimenses a que estamos acostumados, e pode ser medido emmetros cbicos. Uma linha pode ser colocada em um plano ou em um espao, assim comoum tringulo pode ser desenhado dentro de um cubo, mas no o contrrio, pois no possvelencaixar um objeto em um espao que tenha um nmero menor de dimenses.

Tambm podemos associar a cada dimenso um eixo que se estende por essa direo; assim,toda vez que quisermos incluir uma nova dimenso, basta desenharmos um novo eixo perpendi-cular a todos os outros j desenhados! Simples, no?

3O texto da seo seguinte foi baseado no site http://www.silvestre.eng.br/astronomia/artigos/bigbang/ e caso voctenha se interessado pela 4a dimenso, voc pode encontrar mais detalhes e informaes l.

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Nessa figura vemos 3 eixos perpendiculares entre si, portanto, uma figura que representaum espao tridimensional, semelhante ao nosso. Se quisermos imaginar uma quarta dimenso,precisamos incluir um quarto eixo que seja perpendicular a esses trs, tente imagin-lo!

Por mais que voc procure, no vai encontrar. No h lugar para ele, ou, melhor dizendo,no h espao para ele. Isso est ligado a uma caracterstica fsica do nosso espao, e como nsvivemos nele, jamais seremos capazes de visualizar uma quarta dimenso. Porm isso no nosimpede de imaginarmos as caractersticas dos objetos de 4 dimenses.

O truque est em fazermos analogias com as dimenses que j conhecemos, e assim avan-armos um passo para a quarta dimenso. Por exemplo, como j foi dito, linhas so medidasem m, quadrados em m2, cubos em m3. O prximo objeto da srie algo a que chamamos dehipercubo e tem um hipervolume medido em m4.

Mais uma analogia: dois segmentos de reta (1D) podem ser ligados atravs de um ponto(0D), esua rotao em torno desse ponto possvel em um plano (2D). Da mesma forma, dois quadrados(2D) podem ser ligados atravs de um segmento de reta (1D) e s podero girar em um espao(3D). O prximo passo imaginar dois cubos (3D) que podem ser unidos atravs de quadrados(2D), e de alguma forma eles podem girar em torno dessa juno, entrando em um mundo4D. Ns no podemos ver isso, assim como a rotao de dois quadrados no espao 3D seriaimpossvel para um ser que vivesse em duas dimenses e no conhecesse a terceira.

3.1.1 O Hipercubo

Um hipercubo tem uma dimenso extra, a quarta. Ele muito mais do que um cubo. Parater uma plida idia do que ele , saiba que um hipercubo to mais do que um cubo quantoum cubo mais do que um quadrado. Se voc fatiar um cubo com cortes planos paralelos a umaface, pode obter uma infinidade de quadrados. Da mesma forma, se voc fatiar um hipercuboadequadamente, pode obter uma infinidade de cubos. O problema aqui que, se voc usou umplano (2D) para cortar um cubo, vai ter que usar um espao 3D (hiperplano) para cortar umhipercubo. Se a sombra de um cubo uma figura plana, com rea (2D), ento a sombra de umhipercubo um slido comum, com volume (3D). Como a sombra de um cubo pode ser umquadrado, a sombra de um hipercubo pode ser um cubo, dependendo apenas das circunstncias.Mas, se voc projetou a sombra de um cubo sobre um plano, vai ter que projetar a sombra de umhipercubo sobre um espao tridimensional.

Um ponto s possui um vrtice. Quando ele deslocado no comprimento ele cria um seg-mento de reta, com dois vrtices. Quando o segmento deslocado na largura ele cria um qua-drado, com quatro vrtices, e esse quadrado cria um cubo com 8 vrtices, quando deslocadona altura. Assim, um hipercubo formado deslocando-se um cubo na quarta dimenso, e ter16 vrtices.

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Agora as arestas: Um segmento de reta possui uma aresta e dois vrtices, quando desloca-separa formar um quadrado o seu segmento forma outro segmento, e cada um dos seus vrti-ces tambm cria um segmento, formando o quadrado com 4 segmentos. Quando o quadradodesloca-se para criar o cubo, cada um de seus 4 segmentos forma um novo segmento, assimcomo seus 4 vrtices, criando 8 novas arestas, o cubo possui 12 arestas. Se o cubo for deslocadopara a quarta dimenso para criar o hipercubo, ele ter mais 12 arestas, e outras 8 arestas, ligadasaos 8 vrtices do cubo original, portanto o hipercubo possui 32 arestas.

O clculo das faces igual. Um quadrado possui uma face, ao formar o cubo a sua face criaruma nova face, assim como suas 4 arestas, ento o cubo possui 6 faces. Quando o cubo criar ohipercubo, suas 6 faces criaro mais 6 faces, e suas 12 arestas tambm criaro 12 faces, ento ohipercubo possui 24 faces.

O hipercubo possui algo novo: clulas. O cubo possui 1 clula, que criar uma nova clulacbica no hipercubo, assim como suas 6 faces, portanto o hipercubo possui 8 clulas.

Cada vrtice do cubo est ligado a 3 arestas (os 3 eixos perpendiculares), ento cada um dosvrtices do hipercubo esto ligados a 4 arestas; cada uma das arestas esto ligadas a 3 faces e cadauma das faces esto ligadas a 2 clulas (lembre-se que dois cubos ligados por uma face podemgirar livremente pela 4a dimenso!)

Existe outra maneira de calcular estes elementos, usando o formalismo da lgebra Linear(planos cartesianos, coordenadas, etc.) e assim podemos at mesmo estender nosso racionnio amais dimenses, sem nos forarmos a "imaginar"um mundo com vrias dimenses. interessantenotar que apesar de nossa imaginao nos abandonar no estudo de mltiplas dimenses, a nossamatemtica continua funcionando perfeitamente.

Imagine um quadrado de lado 1. Repare que podemos colocar este quadrado na origem deum plano cartesiano, de forma que um de seus vrtices esteja na origem, no ponto (0,0). Assim,seus outros trs vrtices sero os pontos (0,1), (1,0) e (1,1). Podemos fazer o mesmo com umcubo, em um sistema de trs eios: seus vrtices sero representados por (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0),(0,0,1), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,1,1). Ou seja, sero representados pelas trinas (u1, u2, u3), ondecada varivel pode assumir dois valores (zero ou um). Isso d 2 2 2 = 23 = 8 vrtices. Daquifica fcil ver que os vrtices do hipercubo podem ser representados por qudruplas (u1, u2,u3, u4), variando desde (0,0,0,0) at (1,1,1,1) - que so dois vrtices opostos, ligados por umahiperdiagonal. Entao, sero 24 = 16 vrtices. Para um cubo de n dimenses, fica fcil ver quesero 2n vrtices.

J para as arestas, o jogo um pouco mais sutil. Primeiro, poderamos pensar que arestasso segmentos que ligam vrtices; mas nem todo par de vrtices ligado por arestas (um contra-exemplo foi o citado acima, com a hiperdiagonal, ou qualquer outra diagonal). Refinando isso,d pra dizer que arestas so segmentos que ligam vrtices que s tm uma coordenada diferente.

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Uma aresta transforma um 0 em um 1.Ento fazemos assim: existem as arestas que mudam a primeira coordenada, que podemos

representar da forma (x, u2, u3, u4), em que x a coordenada mudada por estas arestas (0para 1). Computando u2, u3 e u4, vemos que so 8 arestas desse tipo. Mas podemos repetir omemos argumento com as outras quatro coordenadas, e ento seriam 4 8 = 32 arestas. Para ndimenses, nosso argumento levaria a n 2n1 arestas.

Podemos argumentar de outra forma tambm: em um N-Cubo, de cada vrtice saem n arestas,pois so n coordenadas a serem modificadas. Isso vale pra todas as 2n arestas, mas no fim temosque dividir o resultado por dois (j que, fazendo assim, acabamos contando todas as arestas duasvezes, saindo de A para B e de B para A). E chegamos ao mesmo resultado.

Com as faces, fazemos algo anlogo, sabendo que cada face definida por quatro vrtices, queso todos os que variam duas coordenadas especficas. Assim, podemos representar na forma(x, y, u3, u4), tomando todos os pares de vrtices para variarmos. Assim, teramos 6 2 2 = 24faces. Para quem j estudou anlise combinatria, fcil ver que, em N dimenses, o numero defaces (N, 2 a 2)2n2 faces, o que resulta em n (n 1) 2n3 faces. Podemos tambm pensarque de cada aresta partem N 1 faces, que so as variaes de coordenadas de seus dois vrtices.Depois, s dividir por 4, pra descontar o fato de que cada face foi contada 4 vezes.

Fazemos o mesmo tipo de raciocnio pro que quisermos, at chegarmos ao lado. Podemosdefinir como lados de um n-cubo os objetos (n-1)-dimensionais nos quais ele pode ser dividido.Assim, os lados de um quadrado so arestas, como os lados de um cubo so faces (quadrados),e os lados de um hipercubo so cubos.

n-Cubos so nada mais que pedaos fechados de espao, cercados por (n-1)-Cubos encaixa-dos. Assim, precisamos de dois (n-1)-Cubos encaixados para cada dimenso que tivermos, sequisermos criar um interior fechado. Assim, um quadrado possui duas arestas fechando na ver-tical, encaixadas em outras duas que fecham na horizontal. O mesmo pra um cubo, nos trseixos. Assim, um n-Cubo possui 2n lados. Um hipercubo possui 8 cubos.

Podemos, ainda, pensar nas projees. Imagine um cubo com uma lmpada em cima, vejacomo ficaria sua sombra no plano 2D:

Figura 3.1: Um cubo e sua sombra em um plano

Na figura seguinte, vemos como seria a sombra de um hipercubo no espao 3D. Essa a me-lhor forma de representarmos um hipercubo; podemos at contar o nmero de vrtices, arestas,faces e clulas. Mas isso no um hipercubo, impossvel para ns visualizarmos um hiper-cubo! Isso apenas uma sombra distorcida de um hipercubo em um espao tridimensional. Osngulos no so perpendiculares, e nem todas as arestas so do mesmo tamanho. Dizer que isso um hipercubo seria a mesma coisa que dizer que aquela sombra da figura de cima um cubo!

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Figura 3.2: A sombra de um hipercubo em um espao

3.2 Espao Curvo

Agora que j temos alguma noo da 4a dimenso, podemos tentar entender expresses comoespao curvo. Novamente, vamos usar a ajuda da segunda dimenso em nossa analogia:

Imagine um universo 2D, infinitamente plano, com seres acostumados a ele, e que portanto,no conhecem a terceira dimenso. Um dos seus habitantes poderia se deslocar infinitamentepor alguma direo. . . Agora, imagine uma situao semelhante em uma superfcie curva, umuniverso 2D finito, com raio constante. Ns, seres 3D, sabemos que essa forma uma superfcieesfrica, mas um ser 2D contido nela no conseguir visualiz-la. Se ela tiver um raio de curva-tura muito grande, confundir os que nela vivem, que pensaro estar sobre um plano, do mesmomodo como a Terra parece plana no nosso quintal. Esse ser iria girar eternamente sobre ela, sempoder abandon-la, pensando que est sobre uma reta e quase enlouquecendo quando volta aoponto de partida.

Nem existem linhas retas verdadeiras, do senso comum, nessa superfcie. As suas retasso crculos mximos, como a linha do equador e os meridianos da Terra, suposta esfrica. omais reto que se pode andar sem sair daquele universo. Essas linhas mais retas so chamadas degeodsicas, correspondem menor distncia entre dois pontos da superfcie e so uma melhordefinio, mais geral, para reta.

Esse espao tambm apresentaria propriedades estranhas, por exemplo, nem todo tringulopossui ngulos cuja soma seja 180o! A soma de seus ngulos internos passa a depender de seutamanho (porm se esse espao for muito grande, essa uma propriedade difcil de se verificar)

Figura 3.3: Tringulo com 3 ngulos de 90, ou seja, sua soma 270!

Um espao 2D uma superfcie colocada em um espao 3D (pelo menos). Imagine, ento,um universo 3D infinito, no qual exista um ponto singular, de grande densidade e grande tem-peratura, que vai gerar um universo com a forma de uma superfcie esfrica. Pense bem nisso, pois

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se o universo que vai nascer 2D, o espao 3D vazio ao redor daquela singularidade no podeser visto como espao comum, j que os futuros seres 2D no tero acesso direto a ele. Por isso, melhor que ele seja encarado apenas como o grande nada para onde o universo 2D beb vaipoder crescer. Para um futuro ser 2D inteligente desse universo, a poca de existncia da sin-gularidade poder ser apontada como a poca em que no havia espao, j que nenhuma superfcieestava presente ali.

Note como possvel o universo se expandir sem a existncia de um centro dentro desseuniverso. Os seres bidimensionais no possuem acesso terceira dimenso, apesar de seu es-pao ser curvo, ele apenas composto pela superfcie da esfera, portanto os seres desse espaocontinuam presos a uma superfcie. Assim, o Big Bang pode ser entendido como a superfciede uma esfera que se expande, porm no nosso caso a esfera seria uma hiperesfera e estaramosconfinados ao seu volume.

Porm, o fato do espao poder ser curvo e estar se expandindo no significa necessariamenteque ele seja semelhante a uma esfera. Ele pode ter outras curvaturas, inclusive negativas, gerandooutros formatos.

Figura 3.4: Diferentes curvaturas para o universo

Segundo a Relatividade Geral, a matria influenciaria nessa curvatura, por isso que a mediode parmetros como a densidade de matria e energia do universo influenciam tanto nas equa-es cosmolgicas. (e a gravidade passa a ser entendida como os efeitos locais da deformao doespao por uma concentrao de matria).

3.3 Expanso do Espao

Vamos ver em mais detalhes, ento, como funciona a interpretao da expanso. Para isso,precisamos primeiro definir o termo de forma mais precisa: vamos realizar um experimentomental de fcil visualizao (os mais cticos fiquem incentivados a realiz-lo na prtica). Imagine

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uma folha tamanho A4 feita de uma camada fina de borracha, presa em um tabuleiro de metalbem maior que este papel. Para quem nunca realizou um experimento trmico com borracha,vamos enunciar uma propriedade muito interessante: ao ganhar calor borracha se contrai; ao seresfriar, ela se dilata!

Podemos medir a distncia entre dois pontos quaisquer dessa folha (chamemos de pontos ie j) por dois mtodos distintos. No primeiro, criamos um sistema de coordenadas, desenhandoum par de eixos perpendiculares, X e Y, na folha e associamos dois nmeros, (xi, yi) e (xj, yj), acada um dos pontos. A distncia dos dois pontos neste caso, pelo Teorema de Pitgoras, iguala

Sxy =(xj xi)2 + (yj yi)2

No segundo mtodo, ns medimos a distncia entre esses pontos diretamente, usando umargua que esteja temperatura ambiente. Ao medir diretamente, obtemos um valor que denomi-naremos Sr. A pergunta central deste experimento consiste em questionar se verdade afirmarque Sr = Sxy, desde que calibremos os eixos do sistema de coordenadas e a rgua no mesmosistema de unidades.

Para responder a essa pergunta, vamos deixar o tabuleiro de metal dentro de uma bacia degua, cuja temperatura ns podemos controlar. Vamos ento resfriar a gua em cinco graus,medir Sr e Sxy ; depois resfriar em mais cinco graus, medir novamente, continuar repetindo esseprocesso at a gua atingir zero grau Celsius. (Lembre-se de que fundamental manter a rgua temperatura ambiente!) Feito isso, nos deparamos com uma concluso interessante: EnquantoSr cresce com a diminuio de temperatura (devido dilatao da borracha em relao rgua),Sxy se mantm inalterada! Se, ao invs de resfriar, tivssemos aquecido a gua de cinco em cincograus at ela atingir cem graus Celsius, ento ns concluiramos (i) que a borracha derrete antesde cem graus, e (ii) que Sr decresce com o aumento de temperatura enquanto Sxy se mantm omesmo.

Lei emprica:

Um processo de expanso (contrao) de uma superfcie se caracteriza pela seguinte relaoentre Sr e Sxy:

Sr = a(t)Sxy

Onde a(t) uma funo crescente (decrescente) no tempo

Ao inflar um balo de ar, tambm observamos uma variao da distncia entre dois pontosmedida diretamente por uma rgua, sem que se altere a medida inferida por um sistema decoordenadas em sua superfcie.

Repare que a velocidade de afastamento ou aproximao entre os dois pontos, medindo coma rgua, dada pela variao temporal de Sr:

V =dSr(t)

dt=

dadt

Sxy

Uma conseqncia imediata do resultado emprico a lei de Hubble, agora vista sob um novoprisma.

Lei de Hubble para expanso:

Num processo de expanso (contrao) de uma superfcie, a velocidade de afastamento (aproxi-mao) entre os pontos proporcional distncia entre eles, isto

V = H(t) Sr(t)

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Figura 3.5: Universo-Balo em expanso.

Para a expanso do universo, as idias so as mesmas. A funo a(t), nesse caso, chamadafator de escala. Usando as equaes da Relatividade Geral, podemos relacionar a(t) com adensidade de massa do universo, e assim determinar, a partir da interao da matria, a evoluodo universo em larga escala.

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Captulo 4

O Universo regido por que leis?

Mas afinal, o que faz o universo funcionar? Nos Volume III e IV vimos vrias teorias sobrecomo a natureza funciona. Vimos tambm que as teorias cientficas pressupem sempre queo universo funciona seguindo leis simples. Dentro desse quadro, faz sentido perguntar quaisso as leis que funcionam para o universo em grandes escalas, bem como quais leis regem ofuncionamento do espao e do tempo! Vejamos a seguir.

4.1 Princpio Cosmolgico

O Princpio Cosmolgico o nome contemporneo do pressuposto mais bsico da cosmo-logia contempornea. Sua formulao bem simples: o Universo homogneo e isotrpico.Homogeneidade quer dizer que todos os pontos do universo so equivalentes, no h nenhum ob-servador privilegiado. J assumir a isotropia significa dizer que todas as direes de observaoso iguais. Em termos mais tcnicos: ser isotrpico ser invariante por rotao; ser homogneo,invariante por translao. Repare que um universo que seja isotrpico em todos os seus pontos necessariamente homogneo.

Os conceitos de homogeneidade e isotropia no tratam apenas de como a matria se distri-bui dentro do Universo; esperamos homogeneidade e isotropia das prprias leis fsicas, bem comodo prprio espao. H ainda uma outra verso mais forte do Princpio Cosmolgico, o chamadoPrincpio Cosmolgico Perfeito, segundo o qual no s o espao mas o tempo tambm homogneoe isotrpico. Isso quer dizer que todos os instantes de tempo devem ser equivalentes, ou seja, queno h nenhum observador privilegiado no tempo. Dessa forma, o universo deve ter tido sem-pre o mesmo aspecto, em larga escala. Esse ponto de vista est relacionado teoria do EstadoEstacionrio, conflitante com a teoria do Big Bang (conflito que ser explorado nos prximoscaptulos).

Repare que o universo aristotlico definitivamente no era assim. As leis fsicas no eramas mesmas em todos os lugares, nem em todas as direes; eram umas para cima, nos cus, eoutras abaixo, na terra. E o prprio fato de ser um universo esfrico o fazia geometricamenteinomogneo e anisotrpico. Sem falar na tendncia de todos os corpos carem para o centro douniverso, o que tornava essa direo manifestamente diferente das outras, do ponto de vista fsico.Na verdade, a exigncia dessas caractersticas outra novidade da cosmologia ps-renascimento,mais especificamente de Giordano Bruno: um universo infinito, em que o nosso sistema de esferas s mais um dentre outros inumerveis que existem em volta de cada uma das estrelas visveisno cu. Um universo em que, estando em qualquer lugar e olhando para qualquer direo, asmesmas coisas so vistas (ele mesmo faz especulaes sobre o que veriam nos cus habitantes deoutros sistemas estelares).

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Mais tarde, a exigncia nesse sentido aumenta: para Galileu era fundamental que todo ouniverso estivesse submetido s mesmas leis fsicas, aspecto que j exploramos no Volume II(Lembre-se que a idia de lei natural ainda no era uma idia corrente na poca de GiordanoBruno). O universo de Newton a concretizao dessas duas concepes. O prprio espao,pensado como algo absoluto, era infinito, igualmente estendido em todas as partes, usando aspalavras dele. No universo newtoniano, mesmo que toda a matria estivesse concentrada em umbasto, ainda assim o espao seria homogneo e isotrpico porque, em princpio, o basto noteria nenhum lugar especial para ocupar, nem nenhuma direo preferencial ao longo da qual seestender. Para Newton, era justamente nessa indiferena espacial que residia a liberdade criadorade Deus1.

4.2 Relatividades de Einstein

A fsica newtoniana suficiente para descrever o mundo a que estamos acostumados, pormem situaes que envolvem altas energias (grandes velocidades e massas) o mundo se torna umpouco diferente do qual o nosso senso comum est acostumado. Assim, para a compreenso douniverso em uma escala cosmolgica ,precisamos de uma nova mecnica. Este papel supridopelas Relatividades.

A partir do famoso trabalho de Einstein em 1905, a concepo moderna de espao e de tempofoi sendo modificada. Aquela teoria exigia, para que os fenmenos (especialmente os eletromag-nticos) funcionassem de acordo com a Teoria de Maxwell, bem como de acordo com os novosexperimentos, era necessrio que as medidas de tempo fossem diferentes para cada observa-dor, dependendo de sua velocidade. Esta foi a Primeira Relatividade, depois conhecida comoRelatividade Restrita. Os detalhes quantitativos disto so desenvolvidos no Apndice A.

Mas o que interessa para a discusso cosmolgica a Segunda Relatividade, ou RelatividadeGeral, desenvolvida tambm por Einstein e publicada em 1917. Se a primeira relatividadeadaptava as trs leis de Newton ao novo contexto de tempo varivel e de uma nova forma deencarar como se mede fenmenos fsicos, ento a segunda relatividade adapta a estes princpiosuma Teoria da Gravitao. nessa teoria que o espao-tempo passa a ser um ente ativo, nainterao com a matria. Nesse tipo de universo, a gravitao mesmo passa a poder ser pensadade outra forma, como resultado de deformaes na geometria do espao-tempo (acho que todosconhecem a imagem clssica de uma bola de boliche pousada sobre um tecido, alargando o tecidoem volta dela). Ou, nas palavras do Range:

A gravidade no uma fora, uma experincia. um conjunto de aes e compor-tamentos observados. O papel da cincia formular uma teoria para explicar coeren-temente o que est por trs dessas observaes e experincias. Newton props umaexplicao: uma fora que se propaga instantaneamente, inerente massa. Einsteinprops uma explicao alternativa, a curvatura do espao-tempo.

Ao contrrio da Relatividade Restrita, que pode ser compreendida por qualquer estudantede ensino mdio, a Relatividade Geral introduzira dificuldades matemticas considerveis. Elatem que lidar com conjuntos de quatro coordenadas (trs espaciais e uma temporal) que se trans-formam em cada ponto. Ento, todas as suas equaes so escritas usando um tipo de matriz

1Isso aparece na anlise de Koyr das cartas entre

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