Apostila de matemática para o escrevente tj interior paraconcursos professor joselias

Cortesia: www.paraconcursos.com.br

2015

APOSTILA DE MATEMÁTICA

CONCURSO ESCREVENTE

TJ-SP – INTERIOR

Professor Joselias

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Apostila de Matematica – Escrevente TJ-SP-Interior Professor Joselias – www.paraconcursos.com.br

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MATEMÁTICA

1 – OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM

E MÁXIMO DIVISOR COMUM.

1.1- NÚMEROS NATURAIS

Os números naturais surgiram quando as primeiras civilizações começaram a contar os seus rebanhos. Então, surgiram os nú-meros 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,... À representação dos números chama-mos de numeral, por exemplo: 19 é o nu-meral representado pelos algarismos 1 e 9.

1.1.2- CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS

Representaremos o conjunto de todos os números naturais por:

1.1.3- NÚMEROS PARES E NÚME-

ROS ÍMPARES

Chamaremos de números pares aos números múltiplos de 2, isto é: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,... Chamaremos de números ímpares aos números naturais que não são pares, isto é: 1, 3, 5, 7, 9,...

1.2- NÚMEROS INTEIROS

Estudamos no ensino fundamental que os números inteiros são:

...,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...

1.2.1- PROPRIEDADES E OPERAÇÕES DOS NÚMEROS INTEIROS

Se a, b e c são números inteiros, então: I- a+b = b+a e ab = ba Dizemos então que a soma e o produto são operações comutativas.

II- a+(b+c) = (a+b)+c e a.(bc) = (ab).c Dizemos então que a soma e o produto são operações associativas. III- a(b+c) = ab + ac Dizemos então que o produto é distribu-tivo em relação à operação soma.

IV- a+0 = a Dizemos que zero é o elemento neutro da operação soma. V- a.1 = a Dizemos que um é o elemento neutro da operação produto. VI- Para cada inteiro a, existe um inteiro x, tal que x+a = 0. Este valor de x será repre-sentado por –a, e será chamado de simé-trico ou oposto do número a. Exemplos: -2 é simétrico de 2 -3 é simétrico de 3 -2 é oposto de 2 3 é simétrico de -3 3 é oposto de -3

1.2.2- MÓDULO (OU VALOR ABSOLU-TO) O módulo (ou valor absoluto) de um in-teiro não negativo a e de seu oposto –a se-rá o próprio valor inteiro a. Representare-

mos o módulo do inteiro a como sendo a .

Isto é:

, 0

, 0

a aa

a a

Observe que:

0 0

2 2

2 2

3 3

3 3



1.2.3- CONJUNTO DOS NÚMEROS IN-TEIROS Representaremos o conjunto dos núme-ros inteiros por:

Teremos então os seguintes conjuntos derivados do conjunto dos números intei-ros:

= conjunto dos números inteiros não positivos:

= conjunto dos números inteiros não

negativos:

= conjunto dos inteiros negativos:

= conjunto dos números inteiros positi-vos:

1.3- MÚLTIPLOS E DIVISORES Sejam a e b números inteiros. Dizemos que a é múltiplo de b, se a é o produto de b por um número inteiro c. Exemplos:

a) 18 é múltiplo de 3, pois 18 = 3 x 6. b) 18 é múltiplo de 6, pois 18 = 6 x 3. c) -12 é múltiplo de 4, pois -12 = 4 x (-3). d) 0 é múltiplo de 5, pois 0 = 5 x 0.

Observamos que se a e b são números

inteiros tal que a é múltiplo de b ou c

(isto é a = b . c) então, b e c são divi-

sores de a.

Exemplos:

i. 3 é divisor de 18.

ii. 6 é divisor de 18.

iii. 4 é divisor de -12.

iv. - 4 é divisor de 12.

1.4- NÚMEROS PRIMOS E NÚMEROS COMPOSTOS Dizemos que um número inteiro n, maior do que um, é primo se seus divisores são -1, 1, -n, n. Nesse caso os números primos serão: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ... . Podemos di-zer também que os números primos são os números inteiros maiores do que um que pos-suem apenas dois divisores positivos (o núme-ro 1 e ele mesmo). Os números inteiros maiores do que um que não são primos serão chamados de números compostos.

1.5- DIVISIBILIDADE (Critério de divi-sibilidade)

Vamos verificar os critérios de divisibilidade para alguns números.

DIVISIBILIDADE POR 2

Um número é divisível por 2 quando é par (termina em 0 , 2 , 4 , 6 , 8 ). Exemplo: 14, 36, 2658, 3100,...


Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos produz como resultado um número múltiplo de 3.

Exemplos:

a) 42(4+2=6)

b) 126(1+2+6=9)


Um número é divisível por 4 quando os 2 últi-mos algarismos formam um número divisível por 4.

Exemplos:

a) 3128(28 é divisível por 4) b) 9744(44 é divisível por 4)



DIVISIBILIDADE POR 5 Um número é divisível por 5 quando termina em zero ou cinco. Exemplos: a) 735 b) 950 DIVISIBILIDADE POR 6 Um número é divisível por 6, quando é divisí-vel por 2 e 3, simultaneamente. Portanto, tem que ser par e divisível por 3. Exemplos:

a) 138 b) 714

DIVISIBILIDADE POR 8 Um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismos formam um número divisí-vel por 8. Exemplos: a) 12240 é divisível por 8, pois 240 é divisível por 8. b) 95.880 é divisível por 8, pois 880 é divisível por 8. DIVISIBILIDADE POR 9 Um número é divisível por 9, quando a soma dos seus algarismos formam um número divi-sível por 9. Exemplos: a) 567 é divisível por 9, pois 5 + 6 + 7 = 18 é divisível por 9. b) 2124 é divisível por 9, pois 2 + 1 + 2 + 4 = 9 é divisível por 9. c) 8793 é divisível por 9, pois 8 + 7 + 9 + 3 = 27 é divisível por 9. DIVISIBILIDADE POR 10 Um número é divisível por 10 quando termina em 0 (zero). Exemplos: a) 54800 é divisível por 10. b) 71350 é divisível por 10.

DIVISIBILIDADE POR 11 Um número é divisível por 11, quando a dife-rença entre a soma dos algarismos de ordem par e a soma dos algarismos de ordem ímpar é divisível por 11. Exemplos: a) 23639 é divisível por 11, pois, • soma dos algarismos de ordem par: 3 + 3 = 6 • soma dos algarismos de ordem ímpar: 2 + 6 + 9 = 17 Diferença: 17 – 6 = 11 é divisível por 11. b) 919193 é divisível por 11. • soma dos algarismos de ordem par: 1 + 1 + 3 = 5 • soma dos algarismos de ordem ímpar: 9 + 9 + 9 = 27 Diferença: 27 – 5 = 22 é divisível por 11.

1.6 - NÚMEROS FRACIONÁRIOS E DECIMAIS Suponha que temos uma pizza e a dividimos em 5 pedaços iguais.

Cada pedaço representa 1

5(um quinto) da piz-

za. Isto é, 2 pedaços representam 2

5dois

quintos. Portanto quero dizer que uma fração significa uma parcela(ou várias parcelas) de um todo. Deste modo representaremos uma

fração como a

b, onde a é chamado de nume-

rador e b de denominador. Exemplos:

a) 1

5 fração ordinária

b) 2

7 fração ordinária

c) 1

10 fração decimal

d) 9

100 fração decimal



1.7 – NÚMEROS RACIONAIS E FRA-CIONÁRIOS

Dizemos que um número é racional se ele po-de ser escrito na forma:

p

q tal que e .

Isto quer dizer que um número é racional se ele pó ser escrito como uma fração. Os núme-ros que não podem ser representados como um fração serão chamados de Irracionais. Exemplos:

a) 4

0,4444...9

é racional.

b) 12

0,121212...99

é racional.

c) 231

0, 231231...999

é racional.

d) 2

7 é racional.

e) 2 é irracional

f) é irracional

QUESTÕES RESOLVIDAS

1) Calcule de 160.

Solução

de 160 = .

2) Calcule de .

Solução

de = .

3) Transforme em fração: a) 0,1111... b) 0,222... c) 0,333... d) 0,444 ... e) 0,666 ... f) 0,121212 ...

Solução a) 0,1111...

x = 0,111....

Multiplicando a expressão acima por dez te-mos:

10x = 1,111... Subtraindo as duas expressões temos

10x – x = 1,111...- 0,111.... 9x = 1

x = 1

9 0,111... =

1

9

b) Podemos aplicar o mesmo raciocínio do item a, e chegaremos a

x = 0,222 ... = 2

9

c) 0,333... = 3

9

d) 0,444 ... = 4

9

e) 0,666 ... = 6

9

f) 0,121212 ... = 12

99

4) Calcule: (0,333...)² Solução:

(0,333...)² =

23 1

0,111...9 9

5) (PROMOTORIA-SP-VUNESP) A mãe de Lígia e Flávia deu a cada uma quantias iguais para que elas comprassem presentes para o Dia dos Pais. Das quantias recebidas, Lígia

gastou na compra de seu presente, e Flá-

via gastou na compra do seu, sendo que

restou para uma delas R$ 27,00 a mais do que a outra. O presente que Lígia comprou para o seu pai custou a) R$ 108,00 b) R$ 120,00 c) R$ 135,00 d) R$ 150,00 e) R$ 162,00

Solução Seja x a quantia que cada uma recebeu. Se Lígia gastou 3/4 de x, então restou 1/4 de x. Se Flávia gastou 3/5 de x, estão restou 2/5 de x. Logo 2x/5 - 1x/4 = 27



3x/20 = 27 x = R$ 180,00 Logo o presente de Lígia custou 3.180/4 = R$ 135,00. Resposta: C 6) Dona Maria resolveu fazer compras. Inici-almente visitou a loja A e gastou a metade do dinheiro que havia em sua carteira, e na saída resolveu dar R$ 10,00 de gorjeta para a ven-dedora. Mais tarde visitou também a loja B e gastou a metade do dinheiro que ainda havia em sua carteira, e na saída resolveu dar R$ 10,00 de gorjeta para a vendedora. Poucos instantes depois entrou na loja C e gastou a metade do dinheiro restante em sua carteira, e na saída resolveu dar R$ 10,00 de gorjeta pa-ra a vendedora, ficando após isso sem dinhei-ro. Podemos concluir que a quantia inicial que a Dona Maria possuía em sua carteira quando saiu para as compras era: a) R$ 30,00 b) R$ 60,00 c) R$ 90,00 d) R$ 120,00 e) R$ 140,00

Solução Como ela sempre deixa R$ 10,00 para a ven-dedora, temos que R$ 10,00 era a metade do valor na carteira antes de entrar na loja C, por-tanto, possuía R$ 20,00 antes de entrar na loja C. Como deu R$ 10,00 para a vendedora da loja B, ela possuía R$ 30,00 após ter gasto a me-tade do dinheiro na loja B. Sendo assim, pos-suía R$ 60,00 quando entrou na loja B. Continuando o raciocínio temos que a dona Maria possuía R$ 140,00 quando saiu para as compras. Resposta: E 7) Escrevi a seguinte seqüência 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12, 13, ..., 2009. Então o nú-mero de algarismos escrito foi: a) 2700 b) 3025 c) 6312 d) 6925 e) 6929

Solução De 1 até 9 9 números 9 algarismos De 10 até 99 90 números 180 algaris-mos. De 100 até 999 900 números 2700 alga-rismos De 1000 até 2009 1010 números 4040 algarismos

Total 6.929 algarismos Resposta: E

1.8 - Radiciação

A raiz enésima de a é igual a b

= b n – Índice

- Radical

a – Radicando Considere um número real não negativo a, e n um número natural positivo. Então

= b onde

1.8.1 – Propriedades

1 -

2 -

3 -

4 -

5 -

6 -

Observação:

1) Se a < 0 e n é um número ím-

par, então = b

2)

Exemplo

Calcule Exemplo

Calcule

Exemplo

Calcule = ExercíciosResolvidos 1) Calcule:

28 75 2 27 7 12 Solução

= .

=



2) Simplificando-se ( )1

125

23 obtém-se :

a) 1 25

b) 125

c) 25 d) –25

e) 25 1 Solução

. /

3) Racionalize os denominadores de:

a)

b) 10

3 5

10

3 5

.

c) 3

3 2

3

3 2

.

.

d) 1

ab c

1

ab c

ab c

ab c

ab c

ab c

ab c

e)2

3 1

Solução

2

3 1

f) 2 5

5 2

Solução:

=

=

g) 1

5 2

Solução:

=

1.9 - DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS Todo número inteiro, maior que um, pode ser decomposto como um produto de dois ou mais fatores primos. Exemplos:

a) O número 45 pode ser decomposto como 32x51.

b) O número 72 pode ser decomposto como 23x32.

Esperamos que todos os leitores tenham visto no ensino fundamental a seguinte re-gra prática para decomposição dos núme-ros em fatores primos:

Decomposição do 72 em fatores pri-mos.

1ª Passo: Dividimos o número 72 pelo menor divisor primo de 72.

2ª Passo: Dividimos o quociente obtido no 1ª Passo pelo menor divisor primo desse quoci-ente.



3ª Passo: Continuamos conforme o 2ª Passo, considerando os quocientes obtidos no passo anterior até chegarmos ao quociente igual a um, quando poderemos escrever o número decomposto como o produto dos fatores pri-mos obtidos.

Exemplos:

a) Vamos decompor o número 72 em fatores primos:

Logo temos: 72 = 23x32. b) Vamos decompor o número 40 em fatores primos:

Logo temos: 40 = 23x51.

1.10 - MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) Dados dois inteiros a e b, não nulos, chama-mos de máximo divisor comum e indicamos por MDC(a,b), ao maior número inteiro positi-vo que é divisor comum de a e b simultanea-mente. Exemplos: Sejam os inteiros 30 e 24. Então, temos: Divisores de 30: ...-30, -15 , -10, -6, - 5, -3, -2, -1, 1 , 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Divisores de 24: ..., –24, –12, –8, –6, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. O máximo divisor comum será o maior divisor simultâneo de 30 e 24. Logo temos; MDC (30 , 24) = 6. Observação: O máximo divisor comum será o produto dos fatores primos comuns elevados aos menores expoentes.

Exemplo: Calcule o MDC(132,120) Vamos decompor os números.

Logo temos: 132 = 22x31x111 120 = 23x31x51

Então MDC(132,120) = 22x31 MDC(132,120) = 12.

1.11 - NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI Dizemos que dois inteiros positivos são primos entre si, quando o MDC entre eles é um. Exemplo: 16 e 25 são primos entre si, pois o MDC(16,25) = 1

1.12 - MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) Dados dois inteiros a e b, não nulos, o mínimo múltiplo comum entre a e b, é o menor núme-ro inteiro positivo que é múltiplo simultanea-mente de a e b, e representamos por MMC(a,b). Exemplo Calcule o MMC(3,4) Múltiplos de 3: ..., -15, -12, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ... Múltiplos de 4: ..., -16, -12, -8, -4, 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, ... Observamos que o menor número inteiro posi-tivo que é múltiplo simultâneo de 3 e 4 é 12. MMC (3,4) = 12.

Observação: O MMC será o produto de todos os fatores primos elevados aos maiores expo-entes.

Exemplo Calcular MMC(16, 18)

Solução



16 = 24 18 = 21x32

MMC(16,18) = 24x32 = 16x9 = 144 Outra solução é decompor simultaneamente os números, e o MMC será o produto de todos os fatores primos:

MMC(16,18) = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 144

Teorema: Sejam a e b dois números inteiros não nulos.

Então

.( , )

( , )

a bMMC a b

MDC a b .

Exemplo A raiz quadrada do produto entre o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum dos números n e 20 é 30. A razão entre o MDC e o MMC é 1/36. Então, a soma dos nú-meros vale: a) 30 b) 45 c) 65 d) 70 e) 75

Solução

( , 20) ( ,20) 30

( ,20) ( ,20) 900

20 900

90045

20

MDC n xMMC n

MDC n xMMC n

nx

n

Logo a soma dos números é n + 20 = 45 + 20 = 65 Resposta: C

Exemplo Calcule o MMC(4,6,10) a) 60 b) 54 c) 50 d) 48 e) 44

Solução: 4 6 10 2 2 3 5 2 1 3 5 3 1 1 5 5 1 1 1

MMC(4,6,8) = 23 x 3 x 5 = 60 Resposta: A Exemplo Calcule o MDC(45, 108)

Solução

45 = 32 x 51 108 = 22 x 33 MDC(45,108) = 32 = 9. Exemplo Numa corrida de automóveis, o primeiro cor-redor dá uma volta completa na pista em 10 segundos, o segundo, em 11 segundos e o terceiro em 12 segundos. Quantas voltas terão dado cada um, respectivamente, até o mo-mento em que passarão juntos na linha de saída? a) 66, 60, 55 b) 62, 58, 54 c) 60, 55, 50 d) 50, 45, 40 e) 40, 36, 32

Solução: 1º corredor → 10 seg. 2º corredor → 11 seg. 3º corredor → 12 seg.

10 11 12 2 5 11 6 2 5 11 3 3 5 11 1 5 1 11 1 11 1 1 1



MMC(10,11,12) = 22 x 31 x 51 x 111 = 4 x 3 x 5 x 11 = 660

Logo, em 660 seg. A - será 660/10 = 66 voltas B - será 660/11 = 60 voltas C - será 660/12 = 55 voltas

Resposta: A

Exemplo (FUVEST/91) No alto de uma torre de uma emissora de televisão duas luzes “piscam” com freqüências diferentes. A primeira “pisca” 15 vezes por minuto e a segunda “pisca” 10 vezes por minuto. Se num certo instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar simultanea-mente? a) 12 b) 10 c) 20 d) 15 e) 30

Solução 1ª → 15 vezes por min. → 60/15 → Pisca a cada 4 segundos. 2ª → 10 vezes por min. → 60/10 → Pisca a cada 6 segundos.

4 6 2 2 3 2 1 3 3 1 1

MMC(4,6) = 22 x 31 = 4 x 3 = 12. Portanto voltarão a piscar simultaneamente após 12 segundos. Resposta: A

Exemplo (TRF-2ªREGIÃO – FCC) Um auxiliar judiciário foi incumbido de arquivar 360 documentos: 192 unidades de um tipo e 168 unidades de outro. Para a execução dessa tarefa recebeu as seguintes instruções: – todos os documentos arquivados deverão ser acomodados em caixas, de modo que to-das fiquem com a mesma quantidade de do-cumentos; – cada caixa deverá conter apenas documen-tos de um único tipo. Nessas condições, se a tarefa for cumprida de acordo com as instruções, a maior quantidade

de documentos que poderá ser colocada em cada caixa é (A) 8 (B) 12 (C) 24 (D) 36 (E) 48

Solução Seja x a quantidade de documentos colocados em cada caixa. Então x = MDC (192, 168)

Logo a maior quantidade de documentos que poderá ser colocada em cada caixa é x = 24 documentos. Resposta: C Exemplo (MPU-2007-FCC) Ao longo de uma reunião, da qual participaram o presidente de certa empresa e alguns funcionários, foram servidos 28 salgadinhos em uma bandeja. Sabe-se que: – todos os participantes da reunião sentaram-se ao redor de uma mesa circular; – o primeiro a ser servido dos salgadinhos foi o presidente e, após ele, sucessivamente, to-dos os demais também o foram, um a um, a partir da direita do presidente; – a cada passagem da bandeja, todas as pes-soas se serviram, cada qual de um único sal-gadinho; – coube ao presidente ser servido do último salgadinho da bandeja. Considerando que as pessoas podem ter co-mido mais de um salgadinho, o total de parti-cipantes dessa reunião poderia ser (A) 4 (B) 9 (C) 10 (D) 13 (E) 15

Solução Seja x o número de funcionários presentes na reunião. Portanto temos (x+1) pessoas pre-sentes na reunião (x funcionários mais o pre-sidente).



O presidente retirou o primeiro salgadinho. Então sobraram 27 salgadinhos, que serão dividos entre os funcionários e o presidente. Como a mesa é circular a bandeja passa vá-rias vezes em torno dela. A cada volta da bandeja em torno da mesa são retirados (x+1) salgadinhos. Como o presidente retirou o últi-mo salgadinho temos que (x+1) é um divisor de 27. Portanto os valores possíveis para (x+1) são 1,3, 9, 27, e o total de participantes dessa reunião (x+1) pode ser 9, conforme as alternativas. Resposta: B

Exercícios propostos:

1) (FCC-Téc.Ministerial-Admin.-2012-MPE-PE) Existem três caixas idênticas e separadas umas das outras. Dentro de cada uma dessas caixas existem duas caixas menores, e dentro de cada uma dessas caixas menores outras seis caixas menores ainda. Separando-se to-das essas caixas, tem-se um total de caixas igual a: (A) 108. (B) 45. (C) 39. (D) 36. (E) 72. Resposta: B 2) (FCC-Téc.em Gestão Prev.-2012-SPPREV) O dono de um armazém adquiriu 82 kg de feijão embalados em pacotes de 2 kg e 3 kg, totalizando 30 pacotes. É correto afirmar que o número de pacotes de 3 kg é (A) 22. (B) 20. (C) 18. (D) 15. (E) 12. Resposta: A 3) (FCC-Prof.Educ.Bás.-AIEF-2012-SEEMG) Um pai tem 34 anos e seus filhos 5, 6 e 8 anos. Daqui a 8 anos a soma das idades dos 3 filhos menos a idade do pai será (A) 1. (B) 3. (C) 9. (D) 11. Resposta: A

4) (FCC-Prof.Educ.Bás.-AIEF-2012-SEEMG) Um prédio recebe correspondência todos os dias ímpares do mês e a entrega do botijão de gás é feita nos dias múltiplos de 3. No mês de agosto essas entregas coincidiram (A) 3 vezes. (B) 4 vezes. (C) 5 vezes. (D) 6 vezes. Resposta: C 5) (FCC-Assistente Adm. Jr.-2012-Metrô) Sabe-se que, atualmente, os tempos de servi-ço de Acácio e Bia na empresa onde traba-lham somam 42 anos. Se a diferença entre o tempo de serviço de Bia e o de Acácio é de 6 anos, há quantos anos o tempo de serviço de Acácio era a terça parte do de Bia? (A) 9. (B) 10. (C) 15. (D) 18. (E) 20. Resposta: C 6) (FCC-Assistente Adm. Jr.-2012-Metrô) A soma de todos os números inteiros que satis-

fazem a sentença é igual a

(A) 20. (B) 19. (C) 18. (D) 17. (E) 16. Resposta: A 7) (2013 - Cesgranrio - Técnico de Contabi-lidade Júnior – PETROBRAS) Ao comprar seis balas e um bombom, Júlio gastou R$ 1,70. Se o bombom custa R$ 0,80, qual é o preço de cada bala? (A) R$ 0,05 (B) R$ 0,15 (C) R$ 0,18 (D) R$ 0,30 (E) R$ 0,50 Resposta: B 8) (2013 - Cesgranrio - Técnico Administra-tivo – BNDES) Mauro precisava resolver al-

guns exercícios de Matemática. Ele resolveu

dos exercícios no primeiro dia. No segundo

dia, resolveu dos exercícios restantes e, no



terceiro dia, os 12 últimos exercícios. Ao todo, quantos exercícios Mauro resolveu? (A) 30 (B) 40 (C) 45 (D) 75 (E) 90 Resposta: C 9) (2012-ESAF -Técnico Administrativo - Administrativa – DNIT) O valor numérico da

expressão é igual a: a) 3

b)

c) 5

d) e) 4 Resposta: E 10) (ESAF - 2013 - EPPGG – MF) Se a ope-ração π y é definida como o triplo do cubo de y, então o valor da expressão representada pelo produto entre π 21/3 e π 20,5 é igual a:

a) 18

b) 36

c)

d) 0 e) 1 Resposta: B 11) (ESAF – 2009 – EPPGG - MPOG) Se uma companhia telefônica cobrasse uma taxa de assinatura básica de R$100,00 mensais mais R$ 0,50 por cada pulso excedente à franquia, que é de 20 pulsos, quanto um assinante pa-garia se telefonasse o equivalente a 50 pulsos no mês? a) R$ 50,00 b) R$ 100,00 c) R$ 80,00 d) R$ 115,00 e) R$ 125,00 Resposta: D 12) (2009-ESAF-Assistente Técnico Admi-nistrativo(ATA) – MF) Em um determinado curso de pós-graduação, 1/4 dos participantes são graduados em matemática, 2/5 dos parti-cipantes são graduados em geologia, 1/3 dos participantes são graduados em economia, 1/4 dos participantes são graduados em biologia e 1/3 dos participantes são graduados em quí-mica. Sabe-se que não há participantes do

curso com outras graduações além dessas, e que não há participantes com três ou mais graduações. Assim, qual é o número mais próximo da porcentagem de participantes com duas graduações? a) 40% b) 33% c) 57% d) 50% e) 25% Resposta: C 13) Um fiscal deveria visitar várias empresas constantes em sua lista. Pela manhã, ele fez 1/4 das visitas programadas, à tarde, conse-guiu fazer 1/2 das restantes. Sabendo-se que no fim do dia ainda sobrou 9 empresas a se-rem visitadas, a quantidade inicial de empre-sas que havia na sua lista era: a) 8. b) 12. c) 15. d) 24. e) 30. Resposta: D 14) Na aula de Matemática havia um certo número de alunos e alunas. Após iniciada a aula, um aluno se retirou, e o número de alu-nas presentes ficou sendo o dobro do número de alunos. Posteriormente, o aluno que havia saído retornou. Em seguida, saíram seis alu-nas, e o número de alunos e de alunas pre-sentes ficou igual. O número total(de alunos e alunas) presentes quando a aula foi iniciada era a) 14. b) 16. c) 18. d) 20. e) 22. Resposta: E 15) Numa prova de vinte questões, valendo cinco pontos cada uma, três questões erradas anulam uma certa. Podemos concluir que a nota de um aluno que errou nove questões em toda essa prova é: a) quarenta pontos. b) quarenta e cinco pontos. c) cinqüenta pontos. d) cinqüenta e cinco pontos. e) sessenta pontos. Resposta: A



16) A raiz quadrada do produto entre o máxi-mo divisor comum e o mínimo múltiplo comum dos números n e 15 é 30. A razão entre o MDC e o MMC é 1/4. Então, a soma dos nú-meros vale: a)30 b)45 c)65 d)70 e)75 Resposta: E 17) Três satélites artificiais giram em torno da Terra, em órbita constante. O tempo de rota-ção do primeiro é de 42 minutos, o do segun-do 72 minutos e o do terceiro 126 minutos. Em dado momento eles se alinham no mesmo meridiano, embora em latitudes diferentes. Eles voltarão a passar, em seguida, simulta-neamente, pelo meridiano depois de: a) 16 h e 24 min b) 7 h e 48 min c) 140 min d) 126 min e) 8 h e 24 min Resposta: E 18) (Tacil/Vunesp) A multiplicação de 2a x 5b

tem como produto o número 400, sendo que a e b são números naturais. A soma de a + b é igual a? a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3 Resposta: B 19) Se a × b = 1.792 e MDC (a, b) = 8, então o valor do MMC (a, b) é? a) 180 b) 192 c) 210 d) 224 e) 230 Resposta: D 20) (FATEC/90) Um certo planeta possui dois satélites naturais: Lua A e Lua B; o planeta gira em torno do Sol e os satélites em torno do planeta, de forma que os alinhamentos: Sol - planeta - Lua A ocorre a cada 18 anos e Sol - planeta - Lua B ocorre a cada 48 anos.

Se hoje ocorrer o alinhamento Sol - planeta - Lua A - Lua B, então esse fenômeno se repetirá daqui a: a) 48 anos b) 66anos c) 96 anos d) 144 anos e) 860 anos Resposta: D

2 - RAZÃO E PROPORÇÃO. REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA. 2.1- DIVISÕES PROPORCIONAIS 2.1.1- GRANDEZAS DIRETAMENTE PRO-PORCIONAIS Duas grandezas serão ditas diretamente pro-porcionais quando a razão entre os valores que cada uma delas assume é sempre cons-tante. Exemplo Sejam as grandezas X e Y, tais que cada uma delas assume os seguintes valores: X: 1, 2, 3. Y: 4, 8, 12. Portanto as grandezas X e Y são diretamente proporcionais, pois a razão entre os valores

que elas assumem é sempre igual a .

Exemplo Dividir o número 150 em duas partes direta-mente proporcionais a 3 e 7. a) 25 e 125 b) 30 e 120 c) 35 e 115 d) 40 e 110 e) 45 e 105

Solução x + y = 150

3 7

x yk

x = 3k y = 7k

Somando-se as duas equações temos:

3k + 7k = 150



10k = 150 k = 15 Logo:

x = 3 15 = 45

y = 7 15 = 105

Resposta: E

2.1.2- GRANDEZAS INVERSAMENTE PRO-PORCIONAIS Duas grandezas serão ditas inversamente proporcionais quando o produto entre os valo-res que cada uma delas assume é sempre constante. Exemplo Sejam as grandezas X e Y, tais que cada uma delas assume os seguintes valores: X: 1, 2, 3. Y: 30, 15, 10. Portanto as grandezas X e Y são inversamen-te proporcionais, pois o produto entre os valo-res que elas assumem é sempre igual a 30. Exemplo Dividir o número 380 em três partes inversa-mente proporcionais a 2 , 5 e 4 . a) 80, 125 e 175 b) 100, 80 e 200 c) 200, 80 e 100 d) 80, 130 e 170 e) 130, 150 e 170

Solução x + y + z = 380

2 5 4x y z k

3802 5 4

k k k

19380

20

k

20380.

19k

k = 400

400200

2x

40080

5y

400

1004

z

Resposta: C Exemplo (Vunesp) O setor de limpeza de uma empresa prepara um produto utilizando detergente e água, nessa ordem, em quantidades direta-mente proporcionais a 2 e 7. Se, no preparo desse produto, são usados 72 litros de deter-gente, então a diferença positiva entre as quantidades de água e de detergente, em li-tros, é igual a: a) 154 b) 160 c) 168 d) 175 e) 180

Solução Seja x a quantidade de água em litros. Temos que x litros de água é diretamente pro-porcional a 7, e 72 litros de detergente é dire-tamente proporcional a 2. Sendo assim, te-mos:

x = 252 litros de água.

Portanto a diferença positiva entre as quanti-dades de água e de detergente, em litros, é igual a 252 – 72 = 180 litros. Resposta: E 2.2- RAZÃO E PROPORÇÃO 2.2.1- RAZÕES Chamamos de razão entre dois números a e b (b 0) ao quociente de a por b e representa-

mos por a

b, e dizemos que a está para b .

2.2.2- RAZÃO E PROPORÇÃO Sejam quatro números a, b, c, e d números inteiros e não nulos. Dizemos que a, b, c, e d formam uma proporção se a razão entre a e b



é igual à razão entre c e d e indicaremos a proporção por:

a c

b d

e dizemos que a está para b; assim como c está para d. Obs.: Chamamos também a e d de extremos da proporção e b e c de meios da proporção. Além disso, dizemos que a e c são antece-dentes da proporção; b e d são conseqüen-tes da proporção. Exemplo

Na proporção 1, 3, 4, e 12 temos: 1 4

3 12 , e

dizemos que 1 está para 3 assim como 4 está para 12. Antecedentes: 1 e 4 Conseqüentes: 3 e 12 Meios: 3 e 4 Extremos: 1 e 12 2.2.3- PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DA PROPORÇÃO I - Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Exemplo

a) a c

b d então a X d = b X c

b) 1 4

3 12 então 4 X 3 = 1 X 12

II - Quando somamos (ou subtraímos) os an-tecedentes e os conseqüentes a proporção não se altera. Isto é:

Se a c

b d é uma proporção, então:

a c a c a c

b d b d b d

Exemplo

Calcular a e b na proporção 4 12

a b , saben-

do que a+b = 4.

Solução

Se 4 12

a b é uma proporção, então,

4 1

4 12 4 12 16 4

a b a b

Logo:

1

4 4

a

onde a = 1 e

1

12 4

b onde b

=3.

III - Se ...a c m

b d n então

......

...

a c m a c m

b d n b d n

Exemplo Calcular x,y e z sabendo que 8xy = 5xz = 2yz e x + y + z = 150 a) 20, 50, 80 b) 10, 60, 80 c) 30, 40, 80 d) 30, 60, 60 e) 50, 50, 50

Solução

8 5 2xy xz yz

Dividindo-se tudo por xyz temos:

8 5 2 8 5 2 15 1

150 10z y x x y z

Logo 8 1

8010

zz

5 150

10y

y

e 2 1

2010

xx

Resposta: A



2.3 - REGRA DE TRÊS SIMPLES E COM-POSTA 2.3.1 - REGRA DE TRÊS SIMPLES Os problemas que envolvem grandezas diretamente ou inversamente proporcionais são chamados de problemas de regra de três simples. Iniciaremos esta seção com um exemplo simples: Exemplo 12 operários fizeram 30 metros de um muro. Quantos operários, nas mesmas condições, farão 45 metros do mesmo muro?

Solução Para obter a solução do problema de-vemos primeiramente descobrir quais são as variáveis envolvidas no contexto. É fácil ob-servar que as variáveis são operários e me-tros do muro.

Temos então que: quanto mais (menos) me-tros de muro tiverem que ser construídos, mais (menos) operários serão necessários. Isto é quanto mais cresce (ou diminui) a variá-vel metros do muro mais cresce (ou diminui) a variável operários. Portanto quanto maior for o muro mais operários serão necessários. Sendo assim vemos que as duas variáveis tem o mesmo sentido. Neste caso, já que pos-suem o mesmo sentido, fixamos um sentido para a variável que possui a incógnita (veja a figura), e como possuem o mesmo sentido repetimos o sinal da figura.

Operários Metros de Muro 12 30 x 45

Como as variáveis possuem o mesmo sentido mantemos a razão:

12 30

45x

Agora é só resolver 30x = 12x45 x = 18 operários

Exemplo 12 operários fazem um serviço em 40 dias. Em quantos dias 15 operários farão o mesmo serviço?

Solução

Temos que as variáveis são Operários e di-as. Quanto mais operários trabalham menos dias serão necessários para terminá-lo. Te-mos então que o sentido das variáveis é opos-to. Logo escolha um sentido para cada variá-vel.

Operários Dias 12 40 15 x

Como o sentido das variáveis é oposto inver-temos uma das razões

40 15

12x

logo: 15x = 40 x 12 x = 32 dias

2.3.2 - REGRA DE TRÊS COMPOSTA Os problemas de regra de três que possuem mais de duas variáveis serão cha-mados de problemas de regra de três simples. Iniciaremos então resolvendo um exercício. Exemplo Se 2/3 de uma obra foi realizada em 5 dias por 8 operários trabalhando 6 horas por dia, o restante da obra será feito, agora com 6 ope-rários, trabalhando 10 horas por dia, em quan-tos dias?

Solução Evidente que teremos:

Observe que: • Quanto maior for a obra mais dias serão necessários. • Quanto mais operários estão trabalhando menos dias serão necessários. • Quanto mais horas por dia trabalharem me-nos dias serão necessários.



Exemplo Para proceder auditoria, 6 técnicos previram sua conclusão em 30 dias. Tendo sido obser-vado a ausência de um dos componentes da equipe, o trabalho agora poderá ser executado em: a) 36 dias b) 40 dias c) 35 dias d) 45 dias e) 25 dias

Solução Técnicos Dias

6 30 5 x

30 5

6x

5x = 180 x = 180

5 x = 36

Resposta: A Exemplo Um automóvel consome 8 litros de gasolina quando funciona durante 40 minutos seguidos. Se funcionasse durante 3 horas e 20 minutos, quantos litros de gasolina consumiria? a) 40 b) 60 c) 38 d) 55 e) 72

Solução Litros de gasolina Minutos

8 40 x 200

8 40

200x

40x = 1600 x = 1600

40

x = 40 Resposta: A Exemplo 24 operários fazem 2/5 de determinado servi-ço em 10 dias, trabalhando 7 horas por dia. Em quantos dias a obra estará terminada, sa-bendo-se que foram dispensados 4 operários e o regime de trabalho diminuído em uma hora por dia? a) 8 b) 11 c) 12 d) 21 e) 18

Solução Operários Serviço Dias Horas/dias

24 2/5 10 7

20 3/5 x 6

10 20 2 6

24 3 7x

10 10

21x

10x = 210 x = 21 Resposta: D Exemplo Se 2/3 de uma obra foi realizada em 5 dias por 8 operários trabalhando 6 horas por dia, o res-tante da obra será feito, agora com 6 operá-rios, trabalhando 10 horas por dia em: a) 7 dias b) 6 dias c) 2 dias d) 4 dias e) 3 dias

Solução Obra Dias Operários Horas/dia

2/3 5 8 6 1/3 x 6 10

5 2 / 3 6 10 1 5 52

1/ 3 8 6 4 1 2x x x x

x

5x = 10 x = 2 dias

Resposta: C



Exemplo Trabalhando 8 horas por dia, os 2 500 operá-rios de uma indústria automobilística produ-zem 500 veículos em 30 dias. Quantos dias serão necessários para que 1200 operários produzam 450 veículos, trabalhando 10 horas por dia? a) 45 b) 50 c) 55 d) 60 e) 65

Solução Horas/dia Operários Veículos Dias

8 2500 500 30 10 1200 450 x

30 500 1200 10

450 2500 8x x

x

30 2

3x

2x = 90 x = 45 dias Resposta: A

Exercícios propostos: 1) (FUNDAÇÃO CASA – VUNESP – 2011) A soma das idades de dona Margarida e de sua filha Rose é de 88 anos. A razão entre suas idades é de 3/5. Dona Margarida deu à luz sua filha Rose quando tinha (A) 20 anos. (B) 22 anos. (C) 24 anos. (D) 26 anos. (E) 28 anos. Resposta: B 2) (FUNDAÇÃO CASA – VUNESP – 2011) No dia 04 de outubro, uma piscina estava vazia devido a um conserto. No dia seguinte, colo-caram na piscina 9 000litros de água pela ma-nhã e mais 15 000 litros de água à tarde. Toda essa água não foi suficiente para encher a piscina, pois faltava ainda da capacidade total da piscina. A quantidade de água que cabe nessa piscina é de (A) 36 000 litros. (B) 38 000 litros. (C) 40 000 litros. (D) 42 000 litros.

(E) 44 000 litros. Resposta: A 3) (POLÍCIA MILITAR – VUNESP – 2012) Em um restaurante, a razão entre o número de facas e o número de garfos, nessa ordem, é 2/3 . Sabendo-se que no total, entre garfos e facas, há 240 talheres, pode-se con-cluir que a diferença entre o número de garfos e o número de facas é (A) 52. (B) 48. (C) 44. (D) 40. (E) 36 Resposta: B 4) (POLÍCIA MILITAR – VUNESP – 2012) Para servir suco a algumas crianças, foram compradas duas garrafas de suco de uva com 1,5 litros cada uma. Como o suco era concentrado, foi feita uma diluição em água na seguinte proporção: 5 partes de suco para 3 partes de água. Depois de diluído, to-do o suco foi servido em copos de 200 mL cada um. O número máximo de copos que puderam ser servidos foi (A) 16. (B) 18. (C) 20. (D) 22. (E) 24. Resposta: E 5) (TRF-4-ANALISTA-FCC-2010) Um prêmio em dinheiro é repartido entre 3 pessoas em partes inversamente proporcionais às suas idades, ou seja, 24, 36 e 48 anos. Se a pes-soa mais nova recebeu R$ 9.000,00 a mais que a mais velha, então a pessoa que tem 36 anos recebeu (A) R$ 9.000,00. (B) R$ 12.000,00. (C) R$ 15.000,00. (D) R$ 18.000,00. (E) R$ 21.000,00. Resposta: B 6) (TRF-4-ANALISTA-FCC-2010) Oito traba-lhadores, trabalhando com desempenhos constantes e iguais, são contratados para rea-lizar uma tarefa no prazo estabelecido de 10 dias. Decorridos 6 dias, como apenas 40% da tarefa havia sido concluída, decidiu-se contra-



tar mais trabalhadores a partir do 7o dia, com as mesmas características dos anteriores, pa-ra concluir a tarefa no prazo inicialmente esta-belecido. A quantidade de trabalhadores con-tratados a mais, a partir do 7o dia, foi de (A) 6. (B) 8. (C) 10. (D) 12. (E) 18. Resposta: C 7) (TRF-4-TÉCNICO -FCC-2010) A expressão N ÷ 0,0125 é equivalente ao produto de N por (A) 1,25. (B) 12,5.

(C) .

(D) 80.

(E) .

Resposta: D 8) (TRF-4-TÉCNICO -FCC-2010) Considere as seguintes equivalências de preços, em re-ais: o de 2 cadernos equivale ao de 30 lápis; o de 3 canetas equivale ao de 5 cadernos. Se 5 canetas custam R$ 40,00, quantos lápis pode-riam ser comprados com R$ 32,00? (A) 102. (B) 100. (C) 98. (D) 96. (E) 94. Resposta: B 9) (TRF-4-TÉCNICO -FCC-2010) Sejam x , y e z três números inteiros e positivos, tais que x < y < z. Sabe-se que o maior é a soma dos outros dois, e que o menor é um sexto do maior. Nessas condições, x, y e z são, nesta ordem, diretamente proporcionais a (A) 1, 3 e 6. (B) 1, 4 e 6. (C) 1, 5 e 6. (D) 1, 6 e 7. (E) 1, 7 e 8. Resposta: C 10) Uma dívida será paga em 20 parcelas mensais fixas e iguais, sendo que, o valor de cada parcela representa 1/4 do salário líquido mensal do devedor. Hoje, o salário líquido mensal do devedor representa, do valor total da dívida,

a) 1/10 b) 1/9 c) 1/8 d) 1/7 e) 1/5 Resposta: E 11) Face a uma emergência, uma pessoa em-prestou R$ 1.200,00 de um amigo, R$ 1.080,00 de outro e R$ 920,00 de um terceiro amigo, prometendo pagar a todos em uma determinada data, sem juros. Na data combi-nada, essa pessoa dispunha de apenas R$ 2.800,00, e decidiu pagar a cada um deles quantias diretamente proporcionais aos valo-res emprestados. Dessa maneira, ao amigo que emprestou a maior quantia ela continuou devendo a) R$ 170,00 b) R$ 165,00 c) R$ 150,00 d) R$ 135,00 e) R$ 125,00 Resposta: C 12) Numa seção do TRE trabalham 32 funcio-nários dando atendimento ao público. A razão entre o número de homens e o número de mu-lheres, nessa ordem, é de 3 para 5. É correto afirmar que, nessa seção, o atendimento é dado por: a. 20 homens e 12 mulheres b. 18 homens e 14 mulheres c. 16 homens e 16 mulheres d. 12 homens e 20 mulheres e. 10 homens e 22 mulheres Resposta: D 13) Numa fábrica, 5 máquinas, de igual capa-cidade de produção, levam 5 dias para produ-zir 5 peças, se operarem 5 horas por dia. Quantas peças seriam produzidas por 10 má-quinas iguais às primeiras, trabalhando 10 horas por dia, durante 10 dias? a. 10 b. 15 c. 20 d. 25 e. 40 Resposta: E 14) Se 34 m de um tecido custaram R$ 136.000,00, quanto custarão 48 m do mesmo tecido?



a. R$ 192.000,00 b. R$ 185.000,00 c. R$ 176.000,00 d. R$ 198.000,00 e. RS 174.000,00 Resposta: A 15) Se 12 operários fazem 72m de muro em um dia, quantos metros farão 20 operários em um dia? a.120 m b.115 m c. 118 m d. 124 m e. 139 m Resposta: A

3 – PORCENTAGEM; JUROS SIM-PLES.

PORCENTAGEM

TAXA PERCENTUAL E TAXA UNITÁRIA Taxa Percentual é a fração cujo denominador

é igual a 100. Temos então que fração 25

100 é

uma taxa percentual e será indicada por 25%, logo:

%100

xx

Quando efetuamos a divisão do numerador por 100, temos como resultado a taxa uni-tária. Exemplo

a) 25

100 = 25% (taxa percentual)

b) 25

100 = 0,25 (taxa unitária)

PORCENTAGEM

Calcular a porcentagem de um número signifi-ca multiplicar a fração percentual pelo número.

Exemplo Calcular:

a) 2

5 de 300 =

2

5 x 300 =

600

5 = 120

b) 25% de 400 = 25% x 400 = 25

100 x 400 =

100

Exemplo Um capital foi aplicado por um certo período a uma taxa de 4% no período, tendo recebido no final do prazo R$ 600,00 de juro. Qual o valor do capital aplicado?

Solução Sejam os dados: C = capital aplicado i = a taxa de juro J = o juro obtido no final do prazo. Então teremos: i = 4% no período aplicado J = R$ 600,00 A taxa de juro será o valor do juro aplicado expresso como porcentagem do capital.

6004%

4 600

100

600 100

4

60000$15.000,00

4

Ji

C

C

C

xC

C R

Resposta: R$ 15.000,00

COMPARAÇÃO DE DOIS NÚMEROS

A fração

a

b representa a porcentagem que

o número a representa de um número b.

Exemplo Que porcentagem o número 2 representa do número 5?

Solução

Basta efetuar a fração: 2

0, 4 40%5

Resposta: 40% Exemplo Numa classe com 80 alunos, 28 foram apro-vados em matemática. Qual a porcentagem de aprovados nessa matéria? Qual a porcenta-gem de reprovados?



Solução Total de alunos na classe: 80 alunos Quantidade de alunos aprovados: 28 alu-nos Logo, a porcentagem de alunos aprovados

é: 28

0,35 35%80

A porcentagem de alunos reprovados será: 100% - 35% = 65% Resposta: 35% e 65%

LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA E LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO Suponha que um produto seja adquirido pelo valor PC, e seja vendido pelo valor PV. Isto é: PC = “preço de custo do produto” PV = “preço de venda do produto” L = “lucro obtido com a venda do produ-to” Então temos que o lucro obtido com a ven-da do produto é:

L = PV – PC

Sendo assim temos: a) Lucro sobre o preço de custo:

L PV PC

PC PC

.

b) Lucro sobre o preço de venda:

L PV PC

PV PV

.

Exemplo Um comerciante comprou um produto por R$ 400,00 e vendeu por R$ 500,00? Qual foi o lucro sobre o preço de custo?

Solução PC = R$ 400,00 PV = R$ 500,00 Lucro sobre o preço de custo:

500 400 100 2525%

400 400 100

PV PC

PC

Resposta: 25%

Exemplo Um comerciante comprou um produto por R$ 400,00 e vendeu por R$ 500,00? Qual foi o lucro sobre o preço de venda?

Solução

PC = R$ 400,00

PV = R$ 500,00 Lucro sobre o preço de venda:

500 400 100 2020%

500 500 100

PV PC

PV

Resposta: 20%

Exemplo Um produto é comprado por R$ 150,00 e é vendido por R$ 300,00. Qual foi o lucro so-bre o preço de custo? Qual foi o lucro so-bre o preço de venda?

Solução PC = R$ 150,00 PV = R$ 300,00 Lucro sobre o preço de custo:

300 150 1501 100%

150 150

PV PC

PC

Lucro sobre o preço de venda:

300 150 150 5050%

300 300 100

PV PC

PV

Resposta: 100% e 50%

Exemplo Um produto é vendido com um lucro de 20% sobre o preço de venda. Qual foi o lu-cro sobre o preço de custo?

Solução

Lucro sobre o preço de venda = 20%

20%PV PC

PV

PV – PC = 0,2 PV PV – 0,2 PV = PC 0,8 PV = PC PC = 0,8 PV Lucro sobre o preço de custo:

1 20% 0,20,25 25%

0,8 0,8 0,8 0,8

PV PC PV PC PV PC

PC PV PV

Resposta: 25%

TAXA DE VARIAÇÃO PERCENTUAL Chamamos de taxa de variação percen-tual a medida percentual de quanto a vari-ável aumentou ou diminuiu. Sendo assim, temos:

Vant= Valor antigo da variável.

Vnovo = Valor novo da variável.

Δ = Taxa de variação percentual



novo ant

ant

V V

V

ou

1novo

ant

V

V

Exemplo O preço de um produto aumentou de R$ 500,00 para R$ 525,00. Qual foi a taxa de variação percentual do preço?

Solução Vant = R$ 500,00 Vnovo = R$ 525,00

525 500 25 55%

500 500 100

novo ant

ant

V V

V

Resposta: 5%

Exemplo Um comerciante comprou um produto por R$ 1.500,00, e o revendeu um mês depois por R$ 1.725,00. Qual foi a taxa de varia-ção percentual no mês?

Solução Vant = R$ 1.500,00 Vnovo = R$ 1.725,00

1725 1500 225 1515%

1500 1500 100

novo ant

ant

V V

V

FATOR(OU COEFICIENTE) DE ACUMULAÇÃO

Vimos no item anterior que a variação percentual é dada por:

1 1 1novo novonovo ant

ant ant

V VV V

V V

e 1

novoant

VV

O fator ou coeficiente de acumulação de-notado por 1 + Δ, é o valor que multiplica-do pelo valor antigo produz o valor novo.

Notamos que para varias taxas de variação percentual consecutiva Δ1 , Δ2 , ... Δn apli-cadas sucessivamente obtemos a fórmula:

Vnovo = Vant (1+ Δ1)(1+ Δ2) ... (1+ Δn)

que será chamado de fator de acumulação total dos n períodos consecutivos. Temos portanto que:

Δ = (1+ Δ1)(1+ Δ2) ... (1+ Δn) – 1

Será chamada de taxa de variação total dos n períodos consecutivos.

Observação: Se Δ1 = Δ2 =.... = Δn = Δ a fórmula será Vnovo = Vant [1+ Δ]n

Exemplo Um comerciante aumentou o preço de um certo produto em 30%. Como a venda do produto caiu, o comerciante arrependido, pretende dar um des-conto no novo preço de modo a fazê-lo voltar ao valor anterior ao aumento. Nesse caso, o comer-ciante deve anunciar um desconto de, aproxima-damente: a)15%; b) 19%; c) 23%; d) 28%; e) 30%.

Solução Temos duas variações: A primeira de 30% . A segunda no valor ∆2 . A variação total será zero, pois o preço vol-tará ao anterior.

1 2

2

2

1 2

2

2 2

2

1 1 1

0 1 30% 1 1

1,3 1

1,3 3 1

1,3 0,3

0,30,23

1,3

23%

Resposta: C



Exemplo (VUNESP) A diferença entre o preço de ven-da anunciado de uma mercadoria e o preço de custo é igual a R$ 2.000,00. Se essa merca-doria for vendida com um desconto de 10% sobre o preço anunciado, dará ainda um lucro de 20% ao comerciante. Determine seu preço de custo.

Solução PV – PC = 2000. Como a mercadoria foi vendida com um desconto de 10% e teve um lucro de 20%, temos:

0,920%

0,9 0,2

9 12

PV PC

PC

PV PC PC

PV PC

Temos o sistema:

2000

9 12

PV PC

PV PC

Multiplicando a 1ª equação por 9, temos: 9PV – 9PC = 18000 12PC – 9PC = 18000 3PC = 18000 PC = 6000

Resposta: R$ 6.000,00

Exemplo Em outubro de determinado ano, o Tribunal Re-gional do Trabalho concedeu a uma certa catego-ria profissional um aumento salarial de 80%, so-bre o salário de abril, descontadas as antecipa-ções. Se os trabalhadores receberam um aumen-to de 20% em setembro, qual o aumento percen-tual a ser recebido em outubro, considerando o salário recebido em setembro? a) 66,67% b) 60% c) 50% d) 40% e) 36,66%

Solução

1 2

2

2

2

2

2 2 2

1 1 1

80% 1 20% 1 1

1, 2 1 1,8

1, 2 1,2 1,8

1, 2 0,6

0,60,5 50%

1,2

Resposta: C

JUROS SIMPLES Chamamos de regime de capitalização à ma-neira como o montante evolui através de vá-rios períodos, aos quais a taxa se refere. Sen-do assim, teremos dois conceitos:

Regime de capitalização simples É o regime em que a taxa de juro incide somente sobre o capital inicial. Portanto, em todos os períodos de aplicações, os juros se-rão sempre iguais ao produto do capital pela taxa do período. Exemplo Seja a aplicação de um capital de R$ 1.000,00, à taxa de juro igual a 10% a.m., du-rante 3 meses. Qual os juros totais e qual o montante dessa aplicação, se o regime é o de capitalização simples?



Regime de Capitalização composta É o regime em que a taxa de juro incide sobre o montante obtido no período anterior, para gerar juro no período atual.

Exemplo

Seja a aplicação de um capital de R$ 1.000,00 à taxa de juro igual a 10% a.m., durante 3 me-ses, no regime de capitalização composta.

CÁLCULO DE JUROS SIMPLES E MON-TANTE Seja C um Capital (ou Principal) aplicado à taxa i por período, durante um prazo de n pe-ríodos consecutivos, sob o regime de capitali-zação simples.

J = C • i • n Para o Montante teremos:

M = C + J M = C + C • i • n

M = C • [ 1 + i • n ]

Exemplo Qual o valor dos juros obtidos por um emprés-timo de R$ 2.000,00, pelo prazo de 3 meses, sabendo- se que a taxa de juros simples co-brada é de 5% ao mês?

Solução C = R$ 2.000,00 i = 5% a.m. n = 3 meses

Exemplo Um capital de R$ 500.000,00 aplicado durante 5 meses, a juros simples, rende R$ 10.000,00. Determinar a taxa de juros cobrada.

Solução C = R$ 500. 000,00 n = 5 meses J = R$ 10.000,00

Exemplo Calcular o montante da aplicação de R$ 100.000,00, pelo prazo de 6 meses, à taxa de juros simples de 5% a.m.

Solução C = R$ 100.000,00

n = 6 meses i = 5% a.m.

M = C • [1 + i • n]

M = 100.000 • [1 + 5% • 6]

M = 100.000 • [1 + 30%]

M = R$ 130.000,00

TAXAS PROPORCIONAIS Duas taxas são ditas proporcionais se manti-verem entre si a mesma razão que os perío-dos de tempo a que se referem.



Exemplo Qual a taxa mensal proporcional à taxa de 36% a.a.?

Solução

36% a.a. é proporcional a

TAXAS EQUIVALENTES JUROS SIMPLES Duas taxas são ditas equivalentes, a juros simples, se aplicadas a um mesmo capital e durante um mesmo intervalo de tempo, produ-zem os mesmos juros ou montantes. Obs.: Observe que no regime de capitalização simples, as taxas equivalentes produzem o mesmo conceito que as taxas proporcionais.

Exemplo Qual a taxa semestral simples equivalente à taxade 10% a.m.?

Solução

36% a.a. é equivalente a

Exemplo Calcular o juro simples de uma aplicação de R$ 1.000,00, à taxa de juro de 36% a.a., du-rante o prazo de 6 meses.

Solução C = R$ 1.000,00 i = 36% a.a. n = 6 meses Obs.: Observe que o período a que se refere a taxa (ano) não é o mesmo período de apli-cação (mês). Portanto, a taxa mensal equiva-lente a 36% a.a. será 3% a.m.

Exemplo (TRF – 2ª REGIÃO-FCC) Um capital de R$ 400,00 foi aplicado a juros simples por 3 me-ses, à taxa de 36% ao ano. O montante obtido nessa aplicação foi aplicado a juros compos-tos, à taxa de 3% ao mês, por um bimestre. O total de juros obtido nessas duas aplicações foi (A) R$ 149, 09

(B) R$ 125,10 (C) R$ 65,24 (D) R$ 62,55 (E) R$ 62,16

Solução C = R$ 400,00 n = 3 meses i = 36% a.a. = 3% a.m. Juros Simples M = C (1 + in) M = 400 (1 + 3% 3) M = 400 1,09 M = R$ 436,00 Novo capital aplicado = R$ 436,00 i = 3% a.m. n = 2 meses Juros compostos: M = C (1 + i)n M = 436 (1 + 3%)2 M = 436 1,0609 M = R$ 462,55 Portanto, o valor dos juros foi de R$ 62,55. Resposta: D

Exemplo (TRF – 2ª REGIÃO-FCC) Um capital de R$ 5.500,00 foi aplicado a juro simples e ao final de 1 ano e 8 meses foi retirado o montante de R$ 7.040,00. A taxa mensal dessa aplicação era de (A) 1,8% (B) 1,7% (C) 1,6% (D) 1,5% (E) 1,4%

Solução C = R$ 5.500,00 n = 1 ano e 8 meses = 20 meses M = R$ 7.040,00 Juros simples J = R$ 1.540,00 J = C . i . n 1.540 5.500. .20

154 1,4

11.000 100

i

i

1,4% . .i a m

Resposta E

Exercícios propostos 1) (BANCO DO BRASIL) Uma geladeira é vendida à vista por R$ 1.000,00 ou em duas parcelas, sendo a primeira como uma entrada de R$ 200,00 e a segunda, dois meses após, no valor de R$ 880,00. Qual a taxa mensal de juros simples utilizada? a. 6%



b. 5% c. 4% d. 3% e. 2% Resposta: B 2) Da quantia total recebida pela venda de um terreno, João emprestou 20% para um amigo por um prazo de 8 meses, a uma taxa de juro simples de 18% ao ano, e aplicou o restante, também por 8 meses, a uma taxa de juro sim-ples de 27% ao ano. No final, o total recebido de juros, considerando-se empréstimo e apli-cação, foi igual a R$ 3.360,00. Pela venda do terreno, João recebeu um total de (A) R$ 32.000,00. (B) R$ 30.000,00. (C) R$ 28.000,00. (D) R$ 25.000,00. (E) R$ 20.000,00. Resposta: E 3) Um investidor aplicou a quantia total rece-bida pela venda de um terreno, em dois fun-dos de investimentos (A e B), por um período de um ano. Nesse período, as rentabilidades dos fundos de A e B foram, respectivamente, de 15% e de 20%, em regime de capitalização anual, sendo que o rendimento total recebido pelo investigador foi igual a R$ 4.050,00. Sa-bendo-se que o rendimento recebido no fundo A foi igual ao dobro do rendimento recebido no fundo B, pode-se concluir que o valor aplicado inicialmente no fundo A foi de (A) R$ 18.000,00. (B) R$ 17.750,00. (C) R$ 17.000,00. (D) R$ 16.740,00. (E) R$ 15.125,00. Resposta: A 4) Em um mesmo dia, 1/3 de certo capital foi aplicado por 8 meses a uma taxa de juro sim-ples de 18% ao ano, e o restante foi aplicado também por 8 meses, mas a uma taxa de ju-ros simples de 21% ao ano. No final, obteve-se um total de R$ 6.800,00 de juros pelas du-as aplicações. O valor total aplicado foi a) R$ 51.000,00 b) R$ 48.000,00 c) R$ 45.000,00 d) R$ 42.000,00 e) R$ 40.000,00 Resposta: B

5) Um usuário da internet recebeu em outubro uma conta telefônica de R$ 336,00, valor esse 140% superior ao da conta do mês anterior. A soma dos algarismos do valor da conta anteri-or é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Resposta: E 6) Alberto consome parte de sua renda men-sal e poupa o restante. Se em determinado mês sua renda for de R$ 9.000,00 e seu con-sumo for 150% do valor da poupança, então a diferença entre o consumo e a poupança será: a) R$ 1.500,00 b) R$ 1.600,00 c) R$ 1.700,00 d) R$ 1.800,00 e) R$ 1.900,00 Resposta: E 7) Em um escritório, a razão entre o número de homens e o de mulheres é 3/5. A porcen-tagem de homens em relação ao total de pes-soas (homens mais mulheres) é: a)32,5% b) 35% c) 37,5% d) 40% e) 42,5% Resposta: C 8) Clementino aplicou R$ 50 mil em fundos A e B pelo prazo de 1 ano. O fundo A rendeu no período 12%, ao passo que o fundo B rendeu 18%. Sabendo que ele ganhou R$7,8 mil de juros, podemos dizer que a diferença (em va-lor absoluto) entre valores aplicados em cada fundo foi de: a) R$7 mil b) R$9 mil c) R$10 mil d) R$11 mil e) R$8 mil Resposta B 9) (FCC-Aux.Jud.-Adm.-2007-TRF2ªR) Cal-culando os 38% de vinte e cinco milésimos obtém-se (A) 95 décimos de milésimos. (B) 19 milésimos. (C) 95 milésimos.



(D) 19 centésimos. (E) 95 centésimos. Resposta: A 10) (FCC-Aux.Jud.-Adm.-2007-TRF2ªR) Um capital de R$ 5 500,00 foi aplicado a juro sim-ples e ao final de 1 ano e 8 meses foi retirado o montante de R$ 7 040,00. A taxa mensal dessa aplicação era de (A) 1,8% (B) 1,7% (C) 1,6% (D) 1,5% (E) 1,4% Resposta: E

4 - SISTEMAS DE MEDIDAS USUAIS 4.1 - SISTEMA MÉTRICO DECIMAL E NÃO DECIMAIS

5.1.1 - MEDIDA DE COMPRIMENTO A unidade padrão da medida de comprimento é o metro e será representada por m.

Exemplos a) 5,38 m representa quantos decímetros?

Solução 5,38 m = 53,8 dm (andamos com a vírgula uma posição para a direita). b) 43,8 mm representa quantos metros?

Solução: 43,8 mm = 0,0438 m (andamos com a vírgula três posições para a esquerda). Exemplo Complete: a) 2,5 hm = ...................................cm b) 234,5 mm = ................................ m c) 0,3457 km = ............................ dm d) 47,3 dam = ................................ m

Solução a) 2,5 hm = 25.000 cm b) 234,5 mm = 0,2345 m c) 0,3457 km = 3457 dm d) 47,3 dam = 473 m

4.1.2 - MEDIDA DE SUPERFÍCIE(ÁREA) A unidade padrão da medida de super-fície é o metro quadrado e será representa-da por m2.

Exemplo a) 5,38 m2 representa quantos decímetros quadrados?

Solução 5,38 m2 = 538 dm2 (andamos com a vírgula duas posições para a direita). b) 578 m2 representa quantos hm2?

Solução 578 m2 = 0,0578 hm2(andamos com a vírgula quatro posições para a esquerda). Exemplo Complete: a) 4200 m² =..................................dam² b) 437653 m² =..............................hm² c) 0,37 m² =....................................cm² d) 0,389 dm² =...............................mm²

Solução a) 4200 m² = 42 dam² b) 437653 m² = 43,7653hm² c) 0,37 m² = 3700 cm² d) 0,389 dm² = 3890 mm2

4.1.3 - MEDIDA DE VOLUME

A unidade padrão da medida de volume é o metro cúbico e será representada por m3.

Exemplo a) 5,38 m3 representa quantos decímetros cú-bicos?

Solução 5,38 m3 = 5380 dm3 (andamos com a vírgula três posições para a direita). b) 578 m3 representa quantos hm3?

Solução

578 m3 = 0,000578 hm3(andamos com a vírgu-la seis posições para a esquerda). Exemplo

Quilômetro Hectômetro Decâmetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro

Km 1000m

hm 100m

dam 10m

m 1m

dm 0,1m

cm 0,01m

mm 0,001m

Quilômetro quadrado

Hectômetro quadrado

Decâmetro quadrado

Metro quadrado

Decímetro quadrado

Centímetro quadrado

Milímetro quadrado

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

Quilômetro cúbico

Hectômetro cúbico

Decâmetro cúbico

Metro cúbico

Decímetro cúbico

Centímetro cúbico

Milímetro cúbico

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3



Complete a) 3,21789 hm³ =..........................m³ b) 2,3456789 km³ =......................m³ c) 0,000345 m³ =..........................mm³ d) 0,0002 dam³ =..........................dm³

Solução a) 3,21789 hm³ = 33178980 m³ b) 2,3456789 km³ = 2345678900 m³ c) 0,000345 m³ = 345000 mm³ d) 0,0002 dam³ = 200 dm³ 4.1.4- MEDIDA DE CAPACIDADE(VOLUME) A unidade padrão da medida de capacidade é o litro e será representada por L.

Quilôlitro Hectôlitro Decâlitro litro Decílitro Centílitro Milílitro

kl 1000L

hl 100L

dal 10L

L 1L

dl 0,1L

cl 0,01L

ml 0,001L

Exemplo a) 6,42L representa quantos decílitros?

Solução 6,42L = 64,2dl (andamos com a vírgula uma posição para a direita). b) 23,4 ml representa quantos litros?

Solução 23,4ml= 0,0234L (andamos com a vírgula três posições para a esquerda). Observação: Podemos demonstrar as seguintes rela-ções:

1 dm3 = 1 L 1 m3 = 1000 L 1 cm3 = 1 ml

Exemplo Complete: a) 2 dm³ =. ...................................... L b) 35 dm³ = ..................................... L c) 0,35 dm³ = .................................. dl d) 0,347 cm³ = .............................. ml e) 0,34 m³ = .................................... L f) 3,457 m³ = ................................... L g) 3,3 L =....... .............................. dm³ h) 4,37 L = ................................... dm³ i) 2345 L = ..................................... m³ j) 1000 L = .................................... m³ k) 2456789 L= ........................... dam³

Solução a) 2 dm³ = 2 L b) 35 dm³ = 35L

c) 0,35 dm³ = 0,35 = 3,5 dl d) 0,347 cm³ = 0,347 ml e) 0,34 m³ = 340 L f) 3,457 m³ = 3457 L g) 3,3 L = 3,3 dm³ h) 4,37 L = 4,37 dm³ i) 2345 L = 2,345 m³ j) 1000 L = 1 m³ k) 2456789 L= 2,456789 = 2,456789 dam³ 4.1.5 - MEDIDA DE MASSA A unidade padrão da medida de capacidade é o grama e será representada por g.

Exemplo a) 6,42g representa quantos decigrama?

Solução 6,42g = 64,2dg (andamos com a vírgula uma posição para a direita). b) 23,4 mg representa quantos gramas?

Solução 23,4mg= 0,0234g (andamos com a vírgula três posições para a esquerda).

4.1.6 - MEDIDAS AGRÁRIAS São medidas especiais para expressar áreas de terrenos e fazendas. A unidade padrão é o are e será representada pelo símbolo a. Te-remos então o hectare(ha) como múltiplo e o centiare(ca) como submúltiplo. Sendo assim podemos apresentar as seguintes relações: 1 are = 100 m2 ( isto é, 1 a = 100 m2) 1 ha = 100 a ( isto é, 1 há = 10000m2) 1 ca = 0,01 a (isto é, 1 ca = 1m2) 5.1.7 - MEDIDA DE TEMPO 1 dia = 24 horas 1 hora = 60 minutos 1 minuto = 60 segundos O ano comercial possui 360 dias O ano civil possui 365(ou 366 dias) O mês comercial possui 30 dias. O mês civil possui o número exato de dias (28, ou 29, ou 30, ou 31).

Quilôgrama Hectôgrama Decagrama Grama Decigrama Centigrama Miligrama

kg 1000g

hg 100g

dag 10g

g 1g

dg 0,1g

cg 0,01g

mg 0,001g



Exemplo Um litro de formol foi acondicionado em um recipiente cilíndrico de 20 cm de altura e 10

cm de diâmetro. Assumindo = 3 e volume do

cilindro = .r².h, a fração do recipiente que fi-cou sem formol é: a)1/2 b) 1/3 c) ¼ d) 1/5 e)1/6

Solução 1 litro de formol

d = 10cm = 1dm r = 0,5 dm h = 20cm = 2dm

= 3 1L = 1dm3

v = . r2 . h

v = . 0,52 . 2 v = 3. 0,25 . 2

v = 1,5 dm3 = 1,5 L Logo a parte vazia ocupa a capacidade de 0,5 L (um terço da capacidade total). Resposta: B Exemplo (FESP-RJ) Uma carrocinha de refresco com-porta 35 litros. Estando a carrocinha totalmen-te cheia, a quantidade de copinhos de 350 ml de capacidade (cada um) que pode ser vendi-da é de: a) 10.000 b) 1.000 c) 500 d) 150 e) 100

Solução Carrocinha → 35L e 35000ml

Copinhos → 350ml

35000100

350

Resposta: E Exemplo (Oficial de Promotoria-2001-Vunesp) Um litro de leite custa R$ 1,20 e um litro de grose-lha, R$ 2,40. Precisa-se preparar uma mistura com 75% de leite e 25% de groselha. Se for preparada uma quantidade de 60 litros dessa mistura, o seu custo será: a) R$ 75,00 b) R$ 80,00 c) R$ 85,00 d) R$ 90,00

e) R$ 95,00 Solução

1L de leite → R$ 1,20 - 1L de groselha → R$ 2,40

75% de leite 25% de groselha

60 litros da mistura custo?

7560 45

100

2560 15

100

R$ 1,20 . 45 = R$ 54,00 R$ 2,40 . 15 = R$ 36,00

Logo o custo total será R$ 90,00. Resposta: D Exemplo Um retângulo com 18 m² de área tem compri-mento igual ao dobro da largura. O perímetro desse retângulo é: a) 36m b) 21m c) 18m d) 16m e) 9m

Solução A = 18m2 A = L . C A = L . 2L A = 2L2

C = 2L 2L2 = 18

L2 =

18

2 L2 = 9 L = 3

P = 3 + 6 + 3 + 6 P = 18

Resposta: C

Exercícios propostos 1) (FCC-Prof.Educ.Bás.-AIEF-2012-SEEMG) Misturando 9 litros de água com 3 litros de suco concentrado, a porcentagem de água na mistura é de (A) 75%. (B) 60%.



(C) 50%. (D) 45%. Resposta: A 2) (FCC-Ag.Saneam.Amb.I-2012-SABESP) Um senhoracomprou 20 m de tecido para con-feccionar uma cortina, pagando R$ 10,50 o metro. Se este tecido foi medido com uma ré-gua que era 2 cm menor que o metro verda-deiro, então essa senhora sofreu um prejuízo no valor de (A) R$ 4,20. (B) R$ 4,80. (C) R$ 5,25. (D) R$ 6,30. (E) R$ 6,75. Resposta: A 3) (FCC-Assist.Adm.-2012-SEPLAG-PM-MG) Um automóvel está no quilômetro 127 de uma rodovia e percorre 1,5 km por minuto com ve-locidade constante. Após 8 minutos, esse au-tomóvel estará no quilômetro (A) 135. (B) 137. (C) 139. (D) 141. Resposta: C 4) (FCC-Aux.Jud.-Adm.-2007-TRF2ªR) Go-dofredo mora a 11 000 metros de seu local de trabalho. Se ele fizer esse percurso a pé, ca-minhando à velocidade média de 8 km/h, quanto tempo ele levará para ir de casa ao local de trabalho? (A) 1 hora, 15 minutos e 20 segundos. (B) 1 hora, 22 minutos e 30 segundos. (C) 1 hora, 25 minutos e 20 segundos. (D) 1 hora, 32 minutos e 30 segundos. (E) 1 hora, 35 minutos e 20 segundos. Resposta: B 5) (FCC-Ag.Saneam.Amb.I-2012-SABESP) Um investidor comprou um terreno retangular cujos lados medem 250 m e 60 m. Para ser vendido, esse terreno será dividido em 12 lo-tes iguais. Sendo assim, a área de cada lote, em metros quadrados, será igual a (A) 1 000 (B) 1 250 (C) 1 500 (D) 2 250 (E) 2 500 Resposta: B

5 – MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES E PONDERADA

Média Aritmética Simples( x ) Sejam x1, x2, x3, ..., xn dados estatísticos. Chamamos de média aritmética a:

1 2 3 ... nx x x xx

n

ou

1

n

i

i

x

xn

Exemplos: Calcule a média aritmética dos dados: a) 1, 9, 7, 3, 5, 11

1+9+7+3+5+11

6

366

6

x

x

b) 14, 10, 4, 2, 8, 12, 6

14+10+4+2+8+12+6

7

568

7

x

x

Média aritmética ponderada ( ) Sejam x1, x2, x3, ..., xn dados estatísticos. Chamamos de média aritmética a:

Exemplo Considere os valores e os respectivos pesos de uma determinada variável Calcule a média aritmética ponderada.

Xi Pi

1 3

4 2

6 4

9 1



Solução A média aritmética ponderada será

Exemplo (Guarda Civil Municipal – Vunesp -Diadema/SP-2011) Uma rede de farmácias foi avaliada segundo quatro critérios, conforme indicado na tabela.

Como a nota final foi obtida por média ponde-rada, a nota obtida no critério “Instalações” foi (A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. (E) 6.

Solução Seja x a nota obtida no critério “Instalações”. A média ponderada será

Resposta: A Exemplo Em um colégio de Ibiúna a média final em qualquer disciplina, é obtida através da média ponderada das notas dos quatro bimestres do ano letivo. Os pesos são respectivamente, 1(um), 1(um), 2(dois) e 2(dois). Lucas, em Ma-temática, por exemplo, tem 6 (seis) no 1.º bi-mestre, 6 (seis), no 2.º, 7 (sete), no 3.º e 8

(oito), no 4.º. Nesse caso, pode-se afirmar que sua média final em Matemática é igual a (A) 7. (B) 6. (C) 5. (D) 4. (E) 3.

Solução A média ponderada será:

6 1 6 1 7 2 8 2 6 6 14 16 427.

1 1 2 2 6 6

Resposta: A Exercícios propostos: 1) Calcule a Média Aritmética dos números: 5, 9, 7, 1, 3. a) 5 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8 2) Calcule a Média Aritmética dos números: 8, 2, 4, 6, 0. a) 4 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6 3) Calcule a Média Aritmética dos números: 17, 15, 1, 3, 7, 6, 8, 11, 13. a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5 4) (Auditor do Tesouro Municipal - Recife – 2003) Em uma amostra, realizada para se ob-ter informação sobre a distribuição salarial de homens e mulheres, encontrou-se que o salá-rio médio vale R$ 1.200,00. O salário médio observado para os homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assi-nale a opção correta. a) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres. b) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres.



c) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres. d) O número de mulheres é o dobro do núme-ro de homens. e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens. 5) (EN-70) A média aritmética de 50 números é 38. Se dois dos números, 45 e 55, são su-primidos, a média aritmética passa a ser: a) 35,5 b) 37 c) 37,2 d) 37,5 e) 37,52 6) Se a média aritmética dos números 6, 8, X e Y é igual a 12, então a média aritmética dos números (X + 8) e (Y - 4) será: a) 9,5 b) 13 c) 19 d) 20 e) 38 7) (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) A esta-tura média dos sócios de um clube é 165cm, sendo a dos homens 172cm e a das mulheres 162cm. A porcentagem de mulheres no clube é de: a) 62% b) 65% c) 68% d) 70% e) 72% GABARITO: 1) A 2) A 3) A 4) A 5) D 6) C 7) D

6 - EQUAÇÃO DE 1º E 2º GRAUS; SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1º

GRAU; RELAÇÃO ENTRE GRANDE-

ZAS: TABELAS E GRÁFICOS

FUNÇÕES E EQUAÇÕES DO 1º GRAU Chamamos a função f(x) = ax + b, onde a, b são números reais e a ≠ 0. A raiz da função f(x) = ax + b será a solução da equação do primeiro grau.

Se a > 0 então a função é crescente. Se a < 0 então a função é decrescente. a > 0 crescente y •

0

• b a < 0 decrescente y • b •

0

Exemplo

a = 3 b = 12 Raiz:

12 • • -4 0 Exemplo

a = -5 b = 15 Raiz:



•15 •

0

Sistema de 1º grau

Um sistema de equações de 1º grau com n variáveis, é um conjunto de equações do tipo

onde i ϵ N* e

são números reais.

Vamos concentrar nossa atenção somente com duas variáveis. Exemplos:

a.

b.

Queremos, no caso de duas variáveis, achar os valores de x e y que satisfazem a todas as equações, simultaneamente. Métodos de resolução 1) Método de substituição Expressamos uma das variáveis em função da outra, então substituímos esta função na outra equação.Teremos então uma equação com apenas uma incógnita. Resolvendo esta equa-ção chegamos a solução parcial do sistema, bastando apenas substituir o valor encontrado na expressão inicial para encontrar a solução final. Exemplo

Vamos encontrar a solução do seguinte siste-ma de equação do 1º grau.

Vamos expressar a variável x em função da variável y, na primeira equação.

(*)

Substituindo a expressão da variável x na se-gunda equação teremos

Encontramos o valor da incógnita y (y = 2) Substituindo y = 2 na equação (*) temos

Logo, a solução do sistema é: e

Exemplo Encontrar a solução do sistema de equação do 1º grau.

(*) Substituindo (*) na segunda equação temos:

Substituindo o valor de y (y = 2) na equação (*) temos:

Logo, a solução do sistema é: e

2) Método da comparação



Expressamos a mesma incógnita em todas as equações e igualamos as expressões. Encon-tramos assim uma das incógnitas. Para en-contrar a solução da outra incógnita basta substituir o valor encontrado em uma das ex-pressões anteriores. Exemplo Vamos encontrar a solução do seguinte siste-ma de equações do 1º grau.

Substituindo y = 2 em (*) temos

Logo a solução é: e

Exemplo Vamos encontrar a solução de seguinte siste-ma de equações do 1º grau.

Igualando (*) e (**) temos:

Substituindo em (*) teremos:

A solução é e

3) Método de redução ao mesmo coeficien-te Comparamos as duas equações de modo que possuam o mesmo coeficiente para a mesma incógnita. Eliminamos então esta incógnita obtendo assim a outra.

Após obter esta solução procedemos como no caso anterior. Alguns exemplos para facilitar a compreensão. Exemplo

Multiplicando a primeira equação por 2 tere-mos:

Somando as equações:

+

Substituindo na primeira equação:

A solução é: e

Exemplo

Somando as duas equações:

+

Substituindo na primeira equação:

A solução é: e

Exemplo



Calculando o MMC (6, 4) = 12, vemos que basta multiplicar a primeira equação por 2 e a segunda equação por 3. Obtemos então:

Subtraindo as equações temos:

-

Substituindo na primeira equação. Obtemos:

Tipos de Sistemas

a) Sistema possível e determinado É o sistema que possui apenas uma solução possível. Podemos representá-lo por duas retas concorrentes. y (x,y) é a solução r s y x x

b) Sistema possível e indeterminado O sistema é possível e indeterminado quando uma equação for resultado da multiplicação da outra por uma constante. Neste caso cada equação representa a mesma reta. Há infinitas soluções. y r = s x

c) Sistema impossível Neste caso o sistema não possui solução. As equações representam retas paralelas. y r s r / / s x Exercícios Propostos Resolva os sistemas:

a) Resposta: e

b) Resposta: e

c) Resposta: e

d) Resposta: e

e) Resposta: e

f)

Resposta: ; ; e

g)

Resposta: e ou e

h)

Resposta: ; ; e

i) Resposta: e



j) Resposta: Impossível

FUNÇÃO E EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU

Chamamos de Trinômio do Segundo Grau a função y = ax2 + bx + c, onde a, b e c são constantes e . Os valores de x que tor-

nam a função igual a zero são chamados de raízes do trinômio, e denotaremos por x1 e x2. Exemplo y = x2 – 5x + 6. Temos que os valores de a, b e c são a = 1, b = -5, c = 6. Observe que se x = 2 ou x = 3, então y = 0. Logo as raízes do trinômio são: x1 = 2 e x2 = 3

Fórmula de Bhaskara Chamaremos de discriminantes ao valor

=b2 – 4ac. As raízes do trinômio do 2º grau são:

12

bx

a

e 2

2

bx

a

As fórmulas acima são conhecidas co-mo fórmulas de Bhaskara.

- se > 0, o trinômio possui duas raízes reais e distintas que podem ser calculadas

com as fórmulas: 12

bx

a

e

22

bx

a

.

- se = 0, o trinômio possui duas raízes reais e iguais que são calculadas com a fór-

mula:

1

22

bx x

a

.

- se < 0, o trinômio não possui raízes re-ais.

Exemplo Calcule as raízes dos trinômios abaixo: a) y = x2 – 5x + 6

Solução x2 – 5x + 6 = 0 a = 1 b = -5 c = 0

= b2 – 4ac

= (-5)2 – 4 . 1 . 6

= 25 – 24

= 1 > 0 possui duas raízes reais e dis-tintas

2

bx

a

5 1

2.1x

5 1

2x

5 1 42

2 2

5 1 63

2 2

x1 = 2 e x2 = 3 b) y = x2 – 8x + 7 a = 1 b = -8 c = 7

= b2 – 4ac

= (-8)2 – 4 . 1 . 7

= 64 – 28

= 36 > 0 possui duas raízes reais e dis-

tintas

2

bx

a

8 36

2.1x

8 6

2x

8 6 21

2 2

8 6 147

2 2

x1 = 1 e x2 = 7



c) y = x2 – 4x + 4 a = 1 b = -4 c = 4

= b2 – 4ac

= (-4)2 – 4 . 1 . 4

= 16 – 16

= 0 possui duas raízes reais e distintas

Logo: 2

b

a

= x1 = x2

x1 = x2 = 4 4

22.1 2

x1 = x2 = 2 d) y = x2 + 2x + 2 a = 1 b = 2 c = 2

= b2 – 4ac

= 22 – 4 . 1 . 2

= 4 – 8

= -4 não possui raízes reais

e) y = 6x2 + 5x - 1 a = 6 b = 5 c = -1

= b2 – 4ac

= 52 – 4 . 6 . (-1)

= 25 + 24

= 49 possui duas raízes reais

2

bx

a

5 49

2.6x

5 7

12x

5 7 2 1

12 12 6

5 7 121

12 12

x1 = 1

6 e x2 = -1

f) y = 9x2 - 24x + 16 9x2 - 24x + 16 = 0 a = 9 b = -24 c = 16

= b2 – 4ac

= (-24)2 – 4 . 9 . 16

= 576 - 576


x1 = x2 = 2

b

a

x1 = x2 = ( 24)

2.9

x1 = x2 = 24 4

18 3

x1 = x2 = 4

3

Exemplo Um retângulo tem perímetro igual a 18 cm e área igual a 20 cm2. Calcule as dimensões desse retângulo. x y y x Sabemos que o perímetro é igual à soma de todos os lados. Logo: 2x + 2y = 18 Dividindo-se a equação por 2, temos: x + y = 9 y = 9 – x Sabemos que a área do retângulo é igual ao produto da largura pelo comprimento, então temos: x . y = 20 x (9 – x) = 20 9x – x2 = 20 9x – x2 – 20 = 0 -x2 + 9x – 20 = 0 (-1) x2 - 9x + 20 = 0 a = 1 b = -9 c = 20

= b2 – 4a

= (-9) – 4 . 1 . 20



= 81 – 80


2

bx

a

9 1

2.1x

9 1

2x

9 1 105

2 2

9 1 84

2 2

Resposta: As dimensões são 4 cm e 5 cm Exemplo Determine dois números naturais e consecuti-vos tal que a soma de seus quadrados é igual a 113. Sejam x e x + 1 os números procura-dos, então: x2 + (x + 1)2 = 113 x2 + x2 + 2x +1 = 113 2x2 + 2x + 1 = 113 2x2 + 2x + 1 = 113 = 0 2x2 + 2x - 112 = 0 x2 + x - 56 = 0 a = 1 b = 1 c = 56

= b2 – 4ac

= 12 – 4 . 1 . (-52)

= 1 + 224

= 225 > 0 possui duas raízes reais e distintas

2

bx

a

1 225

2.1x

1 15

2x

1 15 147

2 2

1 15 168

2 2

x1 = 7 e x2 = -8 não convém Resposta: 7 e 8

SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES

Seja o trinômio 2y ax bx c

( 0)a . Sejam x1 e x2 as raízes do trinômio.

Então a soma e o produto das raízes serão: a) Soma (S):

1 2

bS x x

a

b) Produto (P):

1 2.c

P x xa

Exemplo Calcular a soma e o produto das raízes dos trinômios abaixo:

a) 23 18 36y x x

a = 3 b = 18 c = 36 Soma (S):

1 2

186

3

bS x x

a

Produto (P):

1 2

36. 12

3

cP x x

a

b) 22 10 12y x x

a = 2 b = -10 c = 12 Soma (S):

1 2

105

2

bS x x

a

Produto (P):

1 2

12. 6

2

cP x x

a

GRÁFICO DO TRINÔMIO DO GRAU

Seja o trinômio 2y ax bx c

( 0)a . Sejam x1 e x2 as raízes do trinômio.

O gráfico do trinômio é chamado de parábola, e sua concavidade depende o sinal de a.



Chamamos de vértice da parábola ao ponto cujas coordenadas são:

2v

bx

a ,

4vy

a

e o vértice será en-

tão o ponto ( , )2 4

bV

a a

.

A reta com a equação 2

bx

a é chamada

de eixo de simetria.

O valor 4

vya

será o valor máximo ou

mínimo do trinômio.

- Se 0a , então 4

vya

é um valor

mínimo e a imagem do trinômio será

( , )vy .

- Se 0a , então 4

vya

é um valor

máximo e a imagem do trinômio será

( , )vy .

Assim poderemos ter os seguintes gráfi-cos:

1) Se 0a e 0 ( Possui um míni-mo)

2) Se 0a e 0 ( Possui um mínimo)

3) Se 0a e 0 ( Possui um míni-mo)

4) Se 0a e 0 ( Possui um máxi-

mo)



5) Se 0a e 0 ( Possui um má-

ximo)

1) Se 0a e 0 ( Possui um má-ximo)

Exemplo

Faça o gráfico de 2 5 6y x x

Solução

Temos que a = 1 b = -5 c = 6

2 24 ( 5) 4.1.6 25 24 1 0b ac .

5 5

2.1 2vx

e

1 1

4.1 4vy

(Valor mínimo da parábola)

O vértice será o ponto

5 1( , )2 4

V . O gráfico

será:

Exemplo Qual o valor máximo do produto de dois nú-meros, sabendo-se que a soma é igual a dez?

Solução Seja x e (10 –x) os números. O produto será y = x(10-x), para os valores de x nos reais.

Temos então: Raízes do trinômio: 1 0x e

2 10x .

Vértice:

0 105

2vx

Para achar vy basta substituir o valor 5vx

na equação (10 ) 5(10 5) 25y x x .

Portanto o valor máximo do produto será 25. Veja o gráfico:



Exemplo (VUNESP) Numa escola, o campo de areia de 21 m2 para as brincadeiras foi aumentado de uma mesma quantidade para os lados, pas-sando a ter uma área de 51 m2. Dado:

5,1425,210

3,5 m 6 m O aumento das dimensões do campo de areia foi de: a) 1,5m b) 2,0m c) 2,5m d) 3,0m e) 3,5m

Solução

x

3,5 m

6 m x

2

2

( 3,5)( 6) 51

9,5 21 51

9,5 30 0

x x

x x

x x

a = 1 b = 9,5 c = -30

2 4b ac 2( 9,5) 4 1 ( 30)

90, 25 120

210,25

Logo:

2

bx

a

9,5 14,5

2 1x

2412 (não convém)

2

52,5 (ok)

2

x

Resposta: 2,5 m (C).

Exercícios propostos 1) (FCC-Téc. em Gestão I-SABESP-2012) Lucas tem que resolver uma equação em que um dos denominadores das frações é numéri-co, porém, saiu borrado e ilegível, conforme mostra a imagem a seguir.

Se a solução da equação que Lucas tem que resolver é 2, o número que saiu borrado no denominador da fração, em decimal, era (A) 2,6 (B) 2,8 (C) 2,4 (D) 3,1 (E) 3,2 Resposta: A 2) (FCC-Téc.Adm.-2009-Metrô-SP) Certo dia, três ônibus foram usados para transportar si-multaneamente 138 operários que trabalham nas obras de uma Linha do Metrô de São Pau-lo. Sabe-se que no primeiro ônibus viajaram 9 operários a mais do que no segundo e, neste, 3 operários a menos que no terceiro. Nessas condições, é correto afirmar que o número de operários que foram transportados em um dos ônibus é (A) 53. (B) 51. (C) 48. (D) 43. (E) 39. Resposta: B 3) (FCC-Téc.Jud.-Adm.-2010-TRE-AC) Em uma papelaria, Romeu gastou R$ 312,00 na compra de algumas unidades de certo tipo de caneta esferográfica que estava em promoção e, como bonificação, recebeu mais 8 unidades iguais a elas. Com isso, Romeu percebeu que



cada caneta que tinha comprado havia saído por R$ 0,80 a menos, ou seja, cada caneta saiu por (A) R$ 6,20. (B) R$ 6,00. (C) R$ 5,80. (D) R$ 5,20. (E) R$ 5,00. Resposta: D 4) (FCC-Téc.em Gestão Prev.-2012-SPPREV) Pensei em um número e dele − subtraí 3 unidades; − multipliquei o resultado por 5; − somei 9 unidades; − obtive 24 como resultado. É correto afirmar que o quadrado desse núme-ro é (A) 1. (B) 4. (C) 16. (D) 25. (E) 36. Resposta: E 5) (FCC-Prof.Educ.Bás.-AIEF-2012-SEEMG) O quadrado e o retângulo da figura abaixo têm a mesma área.

A medida do lado do quadrado vale (A) 10 cm. (B) 12 cm . (C) 14 cm . (D) 16 cm. Resposta: B 6) (2014 – CESGRANRIO – Ajudante de carga/descarga – Liquigás) Um pátio dispõe de 34 vagas para caminhões. Na última se-gunda feira, havia 15 caminhões estacionados quando outros 7 chegaram. Logo depois, 6 caminhões saíram. Quantas vagas permane-ceram vazias? (A) 14 (B) 16 (C) 18 (D) 20 (E) 22

Reposta: C 7) (2014 – CESGRANRIO - Técnico de Ope-ração Jr. – Petrobras) Certo reservatório con-tinha 1.000 L de água quando foi aberta uma torneira de vazão constante. Cinquenta minu-tos mais tarde, sem que a torneira fosse fe-chada, um ralo foi destampado acidentalmen-te, permitindo o escoamento parcial da água. O Gráfico abaixo mostra a variação do volume de água dentro do reservatório, em função do tempo.

Qual era, em litros por minuto, a capacidade de escoamento do ralo? (A) 20 (B) 12 (C) 6 (D) 4 (E) 2 Resposta: D 8) Paulo acertou 75 questões da prova objeti-va do último simulado. Sabendo se que a ra-zão entre o número de questões que Paulo acertou e o número de questões que ele res-pondeu de forma incorreta é de 15 para 2, e que 5 questões não foram respondidas por falta de tempo, pode-se afirmar que o número total de questões desse teste era a) 110. b) 105. c) 100. d) 95. e) 90. Resposta: E 9) (2014 – VUNESP – Auxiliar de Promotoria I-Administrativo – MPSP) Contando-se o es-toque de certa camiseta, constatou-se que para cada 5 unidades do tamanho M havia 4 unidades do tamanho P, sendo que, no total, havia 35 unidades a mais de M do que de P.



O número total dessas camisetas de tamanho P no estoque, nesse momento, é igual a (A) 140. (B) 160. (C) 150. (D) 175. (E) 145. Resposta: A 10) (2014 – VUNESP – Auxiliar de Promoto-ria I-Administrativo – MPSP) De uma placa quadrada de madeira, de lado y, foram recor-tadas, em cada canto, regiões quadradas congruentes, de lados iguais a 3 cm, conforme mostra a figura.

A soma das medidas dos lados do polígono (sombreado na figura) resultante, após os re-cortes, pode ser corretamente expressa por (A) 4 y – 24. (B) 4 y. (C) 4 y + 12. (D) 2 y + 18. (E) 2 y – 36. Resposta: B

7 - NOÇÕES DE GEOMETRIA: FOR-MA, PERÍMETRO, ÁREA, VOLUME, ÂNGULO, TEOREMA DE PITÁGO-RAS. RACIOCÍNIO LÓGICO. RESO-LUÇÃO DE SITUAÇÕES-PROBLEMA.

Algumas formas geométricas Círculo Quadrado Retângulo Triângulo Cubo Cilindro

Ângulos

Obs.: Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma abertura.

Exemplos:

Ângulos complementares

Soma (medida) 90º



Ângulos suplementares Soma (medida) 180º

Bissetriz A bissetriz de um ângulo é a semi-reta que divide o ângulo em dois ângulos conver-gentes.

Retas coplanares Duas retas contidas no mesmo plano são chamadas de coplanares. As retas coplanares podem ser: a) Concorrentes Quando possuem um único ponto em comum.

b) Paralelas Quando não possuem pontos em comum.

Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v)

Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes. x + z = 180º

y + z = 180º x = y

Reta transversal

A reta t é uma transversal de r e s

são correspondentes



são correspondentes Obs.: Em duas retas paralelas os ângulos correspondentes são congruentes. x r r // s x = y y s Obs.: Os ângulos z e y são chamados de al-ternos internos. r z y s Obs. :Os ângulos alternos internos em duas retas paralelas são congruentes. x r x = y z x = z z y y s



Exemplo Se r//s, qual é a medida do ângulo x?

Solução

x = 600 + 200 x = 800

Resposta: 80º

Triângulos A soma dos ângulos de um triângulo é 180º.

Classificação dos triângulos

Triângulo acutângulo 3 ângulos agudos.

Triângulo retângulo

Triângulo obtusângulo 1 ângulo obtuso

Triângulo equilátero

Triângulo isósceles 2 lados iguais

Triângulo escaleno 3 lados diferentes

Propriedades



Em todo triângulo qualquer ângulo externo tem medida igual a soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes.

x + y + z = 180º E + z = 180º => E = x + y

Exemplo Calcule a medida do ângulo x

Solução

x = 300 + 200 x = 500

Resposta: 500 Exemplo Calcule a medida do ângulo x.

Solução

x = 500 + 900 x = 1400

Resposta: 1400

Polígonos São regiões do plano cujos contornos são segmentos de retas. Os polígonos podem ser:

Os polígonos recebem os nomes conforme o número de lados. 3 lados triângulo 4 lados quadrilátero 5 lados pentágono 6 lados hexágono 7 lados heptágono 8 lados octógono 9 lados eneágono 10 lados decágono 11 lados undecágono 12 lados dodecágono 16 lados hexadecágono 20 lados icoságono Soma dos ângulos internos de um polígo-no Triângulo

Quadrilátero

Observe que podemos obter dois triângulos no quadrilátero.

Logo a soma é

Pentágono



Podemos obter 3 triângulos no pentágono. Logo a soma dos ângulos é

Sendo assim, podemos dizer que a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados

pode ser calculada pela fórmula:

Polígonos regulares Dizemos que um polígono é regular quando todos os seus lados têm o mesmo tamanho, e seus ângulos têm a mesma medida. Exemplos: a) Triângulo equilátero

b) Quadrado

c) Hexágono regular

Soma dos ângulos internos:

Podemos calcular o ângulo interno de um polígono regular pela fórmula:

No caso do hexágono regular os ângulos in-ternos medem:

Quadriláteros notáveis a) Trapézio Dois lados paralelos

Obs.: Trapézio retangular (1 lado transversal perpendicular aos lados paralelos.

b) Paralelogramo Quadrilátero com lados paralelos congruentes.

Lados opostos côngruos Ângulos opostos côngruos Diagonais se cortam ao meio c) Retângulo É o paralelogramo que tem os quatro ângulos retos

d) Losango



É o paralelogramo que tem os quatro lados iguais.

Lados iguais Diagonais perpendiculares Diagonais são bissetrizes e) Quadrado É paralelogramo com quatro lados iguais e os quatro ângulos retos.

PERÍMETRO DAS FIGURAS PLANAS O perímetro é a soma das medidas dos lados.

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS Retângulo A área do retângulo é o produto da base pela altura.

Quadrado A área do quadrado é o lado ao quadrado.

Paralelogramo A área do paralelogramo é o produto da base pela altura.

Losango A área do losango é o produto das diagonais divido por dois.

Trapézio A área do trapézio é o produto da base média pela altura.

Triângulo A área do triângulo é o produto da base pela altura dividido por dois.

Círculo A área do círculo é o produto do quadrado do raio por π.



Coroa circular

Relações Métricas do Triângulo Retângulo (Teorema de Pitágoras)

A

h

B m H n C

a = m + n

AH = h

a = hipotenusa

h = altura

a) b2 = an

b) c2 = am

c) b2 + c2 = a2 (Teorema de Pitágoras)

d) ah =bc

e)

Volume(V)

Cubo

a a a

V = a3

Paralelepípedo

a c b

V = a.b.c Exemplo A água contida em um recipiente em forma de um paralelepípedo reto retângulo ocupa 80% de sua capacidade total. Sabendo-se que as medidas internas desse recipiente são 15 cm de comprimento, 10 cm de largura e 40 cm de altura, pode-se afirmar que o volume de água contido nesse recipiente, em litros, é igual a (A) 6,0. (B) 5,6. (C) 5,4. (D) 4,8. (E) 3,8.

Solução Volume do recipiente (V):

3

15 10 40

6000 cm

6 litros

V

V

V

Logo o volume de água contido no recipiente é:

80% 6 0,8 6 4,8 litros

Resposta: D Exemplo (SPPREV/TécGestãoPrevidenciária) Usan-do, como base, uma placa quadrada de vidro, Carlos quer construir um aquário que tenha a forma indicada na figura, com a capacidade total de 50 litros. Para que esse aquário tenha a altura de 0,8 metro, a medida x da base de-ve ser de



(A) 62,5 cm. (B) 50 cm. (C) 40 cm. (D) 25 cm. (E) 16,5 cm.

Solução

O volume será:

Logo:

m ou cm

Resposta: D Exemplo Brincando com um pedaço retilíneo de arame, João foi fazendo algumas dobras, até que o arame ficasse conforme mostrado na figura. Dobrou primeiramente no ponto B, em seguida no ponto C, e por último, no ponto D, forman-do o segmento DB. Sabendo-se que após formar a figura não houve nenhuma sobra, pode-se afirmar que o comprimento desse pedaço retilíneo de arame é

(A) 37 cm. (B) 35 cm. (C) 32 cm. (D) 31 cm. (E) 29 cm.

Solução Aplicando Pitágoras no triângulo BCD temos:

2 2 2

2

2

8 10

64 100

36

x

x

x

6x cm.

Portanto o arame mede 5 cm + 8 cm + 10 cm + 6 cm = 29 cm. Resposta: E

Exercícios propostos 1) Calcule a área da região sombreada.

Resposta: (4 - cm2

2) Calcule a área da região sombreada.

Resposta: /2 cm2

3) (Prof. Ens. Basico – Louveira – 2007 - Vunesp) O último trecho de uma descida por cabo de aço de uma tirolesa, em um acam-pamento juvenil, está representado na figura:

O cabo de aço, na árvore mais alta, está fixa-do a 16 m do solo e, na mais baixa, a 7 m. Se essas árvores estão niveladas entre si a uma distância de 12 m, então o comprimento do cabo de aço nesse trecho final, entre as árvo-res, é de (A) 11 m. (B) 12 m. (C) 13 m. (D) 14 m. (E) 15 m. Resposta: E



4) Em um palco, dois refletores R1 e R2 foram instalados de modo que, quando ambos foca-lizam um mesmo ponto P no chão, as distân-cias, em metros, entre os refletores e esse ponto são as seguintes.

A distância entre os pés das colunas suportes de R1 e R2, em metros, é igual a (A) 4,1. (B) 3,5. (C) 2,6. (D) 1,8. (E) 1,6. Resposta: C 6) Na figura, os pontos G, A e B pertencem à mesma reta, ou seja, estão alinhados.

Se o ângulo CÂE mede 90º, então as medidas dos ângulos DÂE e GÂF, respectivamente, são (A) 70º e 14º. (B) 71º e 15º. (C) 72º e 14º. (D) 74º e 15º. (E) 74º e 14º. Resposta: E 7) Os ângulos sombreados na figura são con-gruentes e medem 50°. Para tanto, as medi-das dos ângulos x e y são, respectivamente,

(A) 60° e 55°. (B) 50° e 50°. (C) 45° e 40°. (D) 40° e 50°. (E) 40° e 40°. Resposta: E

8)

A figura acima mostra uma peça de metal de espessura constante. Todos os ângulos são retos, e as medidas em centímetros são: AB = 12, BC = 3 e AF = FE = 8. Essa peça deve-rá ser cortada na linha tracejada AP de forma que as duas partes da peça tenham a mesma área. A medida, em centímetros, do segmento EP da figura é (A) 1,0 (B) 1,5 (C) 2,0 (D) 2,5 (E) 3,0 Resposta: B RESOLUÇÃO DE SITUAÇÕES-PROBLEMA. 1) Observando-se o quadrado mágico, no qual o resultado da soma dos números de cada linha, coluna ou diagonal é sempre o mesmo, e considerando-se que alguns desses núme-ros estão representados pelas letras a, b, x e



y, pode-se afirmar que o valor numérico da

expressão 2b a b

x y

é igual a

8 13 12

a 11 y

b 9 x

a) 4 b) 9 c)10 d) 15 e) 16

Solução Observe que a soma da segunda linha é 33. Logo usando as duas diagonais é fácil concluir que b = 10 e x = 14. Observando a seguir a primeira coluna e a última coluna concluímos que a = 15 e y = 7.

Logo o valor da expressão 2b a b

x y

é:

210 15 10 100 25 100 5 10515

14 7 7 7 7

Resposta: D

2) João destinava 1/5 do seu salário para pagamento do aluguel. Neste mês, porém, o valor do aluguel teve um aumento e pas-sou a representar 1/4 do seu salário, que não teve nenhuma alteração. Portanto, po-de-se concluir que o aluguel de João teve um aumento de a) 5% b) 8% c) 15% d) 20% e) 25%

Solução Seja x o salário de João. O novo salário é 1/4 de x ===> 0,25x . O salário antigo era 1/5 de x ===> 0,20x . Dividindo-se o salário novo pelo salário antigo temos 0,25/0,20 = 1,25. Logo o aumento foi de 25%. Resposta: E.

3) O piso de uma cozinha quadrada, cuja me-dida do lado é igual a 3,6m, será revestido com lajotas quadradas, com 40 cm de lado, que são vendidas somente em caixas fecha-das contendo um total de 0,96 m2 de lajotas

em cada uma. Dessa maneira, para executar totalmente o serviço, o responsável terá de comprar, no mínimo, a) 82 lajotas b) 84 lajotas c) 86 lajotas d) 92 lajotas e) 94 lajotas

Solução Área da cozinha em centímetros quadrados 360x360 cm2. Área de cada lajota em centímetros quadrados 40x40 cm2. Dividindo-se os dados acima temos que: Vamos usar 81 lajotas com 1600 cm2 cada. Como a caixa possui 0,96 m2 = 9600cm2 de lajotas, concluímos que em cada caixa temos 9600/1600 = 6 lajotas. Logo precisamos com-prar 14 caixas com 6 lajotas, isto é 84 lajotas. Resposta: B.

4) A mãe de Lígia e Flávia deu a cada uma delas quantias iguais para que elas compras-sem presentes para o Dia dos Pais. Das quan-tias recebidas, Lígia gastou ¾ na compra de seu presente, e Flávia gastou 3/5 na compra do seu, sendo que restou para uma delas R$ 27,00 a mais do que a outra. O presente que Lígia comprou para o seu pai custou a) R$ 108,00 b) R$ 120,00 c) R$ 135,00 d) R$ 150,00 e) R$ 162,00

Solução Seja x a quantia que cada uma recebeu. Se Lígia gastou 3/4 de x, então restou 1/4 de x. Se Flávia gastou 3/5 de x, estão restou 2/5 de x. Logo 2x/5 - 1x/4 = 27 3x/20 = 27 x = R$ 180,00 Logo o presente de Lígia custou 3.180/4 = R$ 135,00. Resposta: C

5) No café, Pedro e Fernando conversavam sobre o aumento salarial de 20% que cada um havia recebido, sendo que o novo salário de Pedro passou a ser igual a 85% do novo salá-rio de Fernando. Se a soma dos salários dos dois, após o aumento, é igual a R$ 6.660,00,



então antes do aumento o salário de Pedro era de a) R$ 3.600,00 b) R$ 3.060,00 c) R$ 3.000,00 d) R$ 2.550,00 e) R$ 2.450,00

Solução Sejam P e F os salários de Pedro e Fernando depois do aumento de 20%. Logo temos: P + F = 6660 Como P = 0,85F Temos na equação anterior 0,85F + F = 6660 1,85F = 6660 F = 6660/1,85 F = 3600 Então o salário do pedro é: P = 0,85F P=0,85x3600 P = 3060 (Depois do aumento) Logo antes do aumento o salário do Pedro era: 3060/1,20 = R$ 2.550,00 Resposta: D 6) Se toda a produção de um lote específico de um determinado perfume fosse acondicio-nada em frascos de 50 mL, o número de fras-cos necessários superaria em 500 unidades o número de frascos que seriam necessários se toda a produção fosse acondicionada em fras-cos de 75 mL. Assim, pode-se concluir que a produção total desse lote de perfume foi igual a a) 20 litros b) 25 litros c) 35 litros d) 50 litros e) 75 litros

Solução Seja x o número de frascos de 50 mL. A pro-dução total será: 50x = 75(x-500) 50x = 75x – 37500 25x = 37500 x = 1500 frascos. Portanto a produção total é 50x = 50x1500 = 75000 mL = 75 Litros. Resposta: E.

7) Uma pequena empresa produz 200 bolas a cada três dias, trabalhando com uma equipe de seis funcionários. Para ampliar a produção para 600 bolas a cada dois dias, mantendo-se, por funcionário e para todos eles, as mesmas produtividades, condições de trabalho e carga horária, ela precisará contratar mais a) 23 funcionários b) 21 funcionários c) 18 funcionários d) 15 funcionários e) 12 funcionários

Solução Bolas Dias Funcionários 200 3 6 600 2 x 6 200 2 4

.600 3 18x

4x = 6.18 4x = 108 x = 27 Então precisa contratar mais 21 funcionários. Resposta: B

8) A capacidade total de um reservatório é de 3000 litros, sendo que ele possui duas válvu-las de entrada de água, A e B. Estando o re-servatório completamente vazio, abriu-se a válvula A, com uma vazão constante de 15 litros de água por minuto. Quando a água despejada atingiu 2/5 da capacidade total do reservatório, imediatamente, abriu-se também a válvula B, com uma vazão constante de 25 litros de água por minuto, sendo que as duas válvulas permaneceram abertas até que o re-servatório estivesse totalmente cheio. Como não houve nenhuma saída de água durante o processo, o tempo gasto para encher total-mente o reservatório foi de a) 80 min b) 115 min c) 125 min d) 140 min e) 155 min

Solução A enche 15 litros do reservatório por minuto. Então 2/5 da capacidade do reservatório re-

presenta 2 3000

12005

x litros que levou

120080

15 minutos para encher.



Ainda falta encher os 1800 litros, que será cheio pelas duas válvulas (que enchem 40 litros por minuto). Portanto as duas válvulas

levarão 1800

4540

minutos.

Logo o tempo total para encher o reservatório foi 80 + 45 = 125 minutos. Resposta: C.

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