Curso: ADMINISTRAO________________________________________________________________________ Matemtica Aplicada ALUNO(A):________________________________________________ Gilmar Bornatto 2011

Matemtica AplicadaPgina 2Professor Gilmar Bornatto2 MATEMTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto

FUNES MATEMTICAS APLICADAS ECONOMIA Constantemente encontramos em nosso cotidiano situaes envolvendo relaes entre duas grandezas variveis. Vejamos alguns exemplos: (a)O total mensal da conta de gua pago Sanepar uma relao entre a quantidade consumida e o valor da conta. (b)A receita obtida no final do ms na venda de um determinado produto pelo comerciante uma relao entre a quantidade vendida e o preo de venda do produto. (c)O salrio de um trabalhador que ganha por horas trabalhadas, uma relao entre as horas que ele trabalhou e o valor pago por hora (d)O consumo de combustvel de um carro, uma relao com a quantidade de quilmetros rodados pelo carro. FUNO CUSTO Para compor uma funo custo geralmente temos uma srie de fatores, como, por exemplo, o custo fixo (aluguel, seguro, impostos, etc) e o custo varivel em funo da quantidade produzida de determinada mercadoria. Podemos express-la por: Custo Total = Custo Fixo + Custo Varivel FUNO RECEITA A funo receita composta com a quantidade arrecadada com a venda de x unidades de um determinando produto, isto : a quantidade multiplicada pelo valor unitrio. Receita = Quantidade x preo FUNO LUCRO Um produtor ou vendedor obtm seu lucro (ou a funo lucro), retirando o custo do valor arrecadado com a receito:: Lucro = Receita - Custo

Matemtica AplicadaPgina 3Professor Gilmar Bornatto3 MATEMTICA APLICADA Professor Gilmar BornattoFUNO DEMANDA Considere as circunstncias relativas a um fabricante, nas quais as nicas variveis so preo pe a quantidadede mercadorias demandadas x,portanto a funo demanda uma relao entre a quantidade demandada x e o preo p. Em geral quando o preo baixo, os consumidores procuram mais a mercadoria e vice-versa. FUNO OFERTA Assim como a demanda, a oferta tambm pode ser expressa por uma funo, relacionando-se preo e quantidade oferecida de uma mercadoria. A funo oferta crescente, pois quando o preo sobe, existem mais produtores interessados em colocar no mercado quantidades cada vez maiores de seu produto, quando o preo ca, essa oferta diminui. PONTO DE EQUILBRIO Tambm chamado de Ponto de Nivelamento ou break-even. utilizado na administrao e na Economia, para analisar as implicaes de vrias decises de fixao de preos e produo. Matematicamente quando: Oferta = Demandaou Custo = Receita FUNO UTILIDADE A funo utilidade pretende medir a satisfao de um consumidor em funo da quantidade consumida de certo bem ou servio. CURVA DO ORAMENTO Quando se conhecem o oramento (verba disponvel) de um consumidor e os preos dos produtos que pretende comprar, pode-se estabelecer uma relao entre as quantidades desses produtos que podem ser adquiridos por ele com essa verba FUNO PRODUO A funo produo Total oufuno produo d a quantidade produzida na unidade de tempo como funo de um conjunto de fatores, chamados insumos de produo, tais como capital, trabalho, matria-prima.

Matemtica AplicadaPgina 4Professor Gilmar Bornatto4 MATEMTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto EXERCCIOS DE REVISO 1.Uma fbrica de mveis vende mesas por R$70,00 cada. O custo total de produo consiste de um sobretaxa de R$8.000,00 somada ao custo de produo de R$30,00 por mesa. a) Construa as funes receita e custo e lucro total. b) Quantas unidades o fabricante precisa vender para atingir o ponto de nivelamento? c) Se forem vendidas 250 mesas, qual ser o lucro ou prejuzo do fabricante? d) Quantas unidades o fabricante precisa vender para obter um lucro de R$6.000,00 e) Construa, no mesmo par de eixos, os grficos das funes receita e custo. 2.Um arteso tm um gasto fixo de R$600,00 e, em material, gasta R$25,00 por unidade produzida. Se cada unidade for vendida por R$175,00: a) Construa as funes receita e custo e lucro total. b) Quantas unidades o arteso precisa vender para atingir o ponto de nivelamento? c) Quantas unidades o arteso precisa vender para obter um lucro de R$450,00 3.Um grupo de amigos, que moraram nos EUA, deseja montar um curso de ingls. Eles observaram que, teriam um gasto fixo mensal de R$1.680,00 e, gastariam ainda R$ 24,00, em materiais e pagamento de professores, por aluno. Cada aluno dever pagar R$40,00. a) Quantos alunos o curso necessita ter para que no haja prejuzo? b) Qual ser o lucro ou prejuzo do curso, se obtiverem 70 alunos? 4.Em um posto de combustvel, o preo da gasolina de $1,50 por litro. a) Determine uma expresso que relacione o valor pago (V) em funo da quantidade de litros (x) abastecidos por um consumidor. b) Supondo que o tanque de combustvel de um carro comporte 50 litros, calcule o valor total pago pelo consumidor utilizando a expresso encontrada no item anterior. 5.Obtenha a equao da reta que passa pelos pontos A e B dados em cada item: a) A(1,15) e B(4,30) b) A(2, 18) e B(6,6) c) A(-2,10) e B(6,30) 6.Um produto, quando comercializado, apresenta as funes custo e receita dadas, respectivamente, porC(x) = 3x + 90eR(x) = 5x, onde x a quantidade comercializada que se supe ser a mesma para custo e receita. a) Em um mesmo sistema de eixos, esboce os grficos de custo e receita. Determine tambm e indique no grfico o break-even poit. b) Obtenha a funo Lucro, L(x) e determine as quantidades necessrias para que o lucro

Matemtica AplicadaPgina 5Professor Gilmar Bornatto5 MATEMTICA APLICADA Professor Gilmar Bornattoseja negativo (prejuzo), nulo e positivo. 7.Um fabricante vende a unidade de certo produto por R$110,00. O custo total consiste em uma taxa fixa de R$7.500,00 somada ao custo de produo de R$60,00 por unidade. a) Construa as funes receita e custo e lucro total. b) Quantas unidades o fabricante precisa vender para atingir o ponto de nivelamento? c) Se forem vendidas 100 unidades, qual ser o lucro ou prejuzo do fabricante? d) Quantas unidades o fabricante precisa vender para obter um lucro de R$1.250,00 e) Construa, no mesmo par de eixos, os grficos das funes receita e custo. 8.Determine o ponto de nivelamento (ou ponto crtico) e esboce os grficos da funo receita e custo em cada caso: a) R(x) = 4xeC(x) = 50 + 2x b) R(x) = 200x e C(x) = 10000 + 150x c) R(x) = (1/2)xeC(x) = 20 + (1/4)x 1.Podemos dizer que o preo de equilbrio de um produto corresponde ao valor em que a procura por parte dos consumidores se iguala ao que oferecido por parte dos fornecedores, ou seja, quando a demanda igual oferta. Considerando as funes demanda e oferta respectivamente: y = -x + 4 e y = 2x+1 a) Calcule algebricamente o ponto de equilbrio entre oferta e demanda. b) Represente em um mesmo sistema de eixos, os grficos da oferta e da demanda e indique no grfico o break-even poit. 2.Suponha que o custo fixo de produo de um artigo seja R$ 450,00. O custo varivel igual a 60 por cento do preo de venda, que de R$ 15,00 por unidade. Qual a quantidade para se atingir o ponto de equilbrio? 3.A curva de demanda de um artigo 4y10 x = . Assuma que y representa o preo e x a quantidade. (a) Ache a quantidade demandada se o preo de R$ 25,00 (b) Ache o preo se a quantidade demandada de 7 unidades (c) Qual o preo mais alto que poder ser pago por este artigo? (d) Que quantidade poder ser demandada se o artigo for oferecido gratuitamente? 4.O custo de um certo produto, no mercado, dado porx x C 00 , 3 00 , 6 ) ( + = , sendo x o nmero de unidades produzidas. Qual o custo de 2.000 unidades desse produto? 5.Um fabricante produz uma certa mercadoria por R$ 0,90 a unidade, vendendo-a por R$1,50 a unidade. Quantas unidades devem ser vendidas para se ter um lucro de R$ 2.400,00?

Matemtica AplicadaPgina 6Professor Gilmar Bornatto6 MATEMTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto6.Ao preo de R$ 5,00 por unidade, uma empresa oferecer mensalmente 5.000 lanternas de pilha; a R$ 3,50 por unidade ela oferecer 2.000 unidades. Determine a equao da funo de oferta para este produto. 7.O custo mensal de uma fbrica que produz esquis de R$ 4.200, e o custo varivel de R$ 55 por par de esquis. O preo de venda de R$ 105.a) Se x unidades so vendidas durante um ms, expresse o lucro mensal como uma funo de x. b) Se 600 pares forem vendidos em um ms, qual ser o lucro.c) Quantas unidades precisam ser vendidas para no haver prejuzo durante um ms ? 8.Sabendo-se que a funo custo total para fabricar determinada mercadoria dada por 100 2 ) (2 3+ + + = x x x x C, sendo x a quantidade produzida, calcule: a.O custo total para produzir 5 unidades dessa mercadoria; b.O custo total para produzir 10 unidades dessa mercadoria c.A funo custo mdio e o custo mdio para produzir 5 unidades dessa mercadoria. 9.O consumo de energia eltrica para uma residncia no decorrer dos meses dado por 2( ) 8 210 E t t t = + , onde o consumo E dado em Kwh e ao tempo associa-se t = 0 a Janeiro, t = 1 a fevereiro, e assimsucessivamente. a) Determine o(s) ms(es) em que o consumo de 195 Kwh. b) Qual o consumo mensal mdio(considere a mdia aritmtica dos meses do ano)para o primeiro ano? 10. Calcule os pontos de interseo dos grficos das funes 2( ) e ( ) 2 f x x g x x = = . 11. Um fabricante consegue vender a unidade de um produto por $80,00 . O custo total consiste em uma sobretaxa de $4500,00 somada ao custo da produo de $50,00 por unidade. a) Quantas unidades o fabricante precisa vender para existir o nivelamento? b) Qual ser o lucro do fabricante se ele vender 500 unidades? c) Quantas unidades o fabricante ter que vender para obter um lucro de $9.000,00 12. Calcule o preo de equilbrio e o nmero correspondente de unidades em oferta e procura, sabendo que a funo oferta de um certo produto 2( ) 3 70 f x x x = + e a funo procura (demanda) ( ) 410 f x x = . 13. A funo receita dada por100 4 ) (2+ + = x x x Re a funo custo por80 ) ( + = x x C , sendo x a quantidade. a)Determine a funo lucro L(x) b) Qual o lucro para uma quantidade demandada igual a 10?

Matemtica AplicadaPgina 7Professor Gilmar Bornatto7 MATEMTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto14. As funes de oferta e demanda de um produto so respectivamente: 200 4 80 2 + = + = x y e x y . a.Determine a quantidade e o preo de equilbrio. b.Represente graficamente as funes oferta e demanda e o ponto de equilbrio. c.Para que valores de x o preo de oferta excede o preo de demanda? 15. Sabe-se que o custo mensal fixo de uma indstria que produz relgios de parede R$ 8.500 e que o custo varivel R$ 10 por relgio fabricado. O preo de venda de R$ 80 por relgio. a.Se x relgios so vendidos durante um ms, qual o custo mensal y como funo de x? b.Qual o lucro no ms de julho se 500 relgios foram vendidos neste ms? 16. Um fabricante consegue vender a unidade de um produto por R$ 80. O custo total consiste em uma sobretaxa de R$ 4.500 somada ao custo da produo de R$ 50 por unidade: a.Quantas unidades o fabricante precisa vender para existir o nivelamento? b.Qual ser o lucro ou prejuzo do fabricante, se forem vendidas 200 unidades? c.Quantas unidades o fabricante necessita vender para obter um lucro de R$ 900? 17. Sabe-se que a equao de demanda de um bem dada porp x 4 200 = , sendo o custo associado12 4 = p C . Determinar: a.A funo receita total, traando o grfico correspondente; b.O ponto de break-even* c.A funo lucro 18. Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de um certo produto dado por 3000 80 ) (2+ = x x x C . Nestas condies calcule: a.A quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mnimo. b.O valor mnimo do custo. 19. Uma editora pretende lanar um livro e estima que a quantidade vendida ser 20.000 unidades por ano. Se o custo fixo de fabricao for R$ 150.000,00 por ano, e o varivel por unidade de R$20,00, qual o preo mnimo que dever cobrar pelo livro para no ter prejuzo? 20. Determine o preo de equilbrio de mercado nas seguintes situaes: x p demanda x p oferta a = + = 20 : , 10 : ) (x 50 p : demanda , 20 x 3 p : oferta ) b ( = + = * Ponto de Equilbrio.

Matemtica AplicadaPgina 8Professor Gilmar Bornatto8 MATEMTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto21. Uma doceira produz um tipo de bolo de tal forma que sua funo de oferta diria x p 2 , 0 10 + = . (a) Qual o preo para que a oferta seja de 20 bolos dirios? (b) Se o preo unitrio for R$15,00 qual a oferta diria? (c) Se a funo de demanda diria por esses bolos forx 8 , 1 30 p = , qual o preo de equilbrio? 22. O consumo nacional total dado (em bilhes de dlares) pela equao dy 9 , 0 5 , 4 c + =onde dy a renda disponvel. Se a renda disponvel 15 (em bilhes de dlares). (a) Qual o consumo total? (b) Que proporo do consumo total representa o consumo da renda disponvel? 23. Um fabricante vende a unidade de certo produto por R$110,00. O custo total consiste em uma taxa fixa de R$7.500,00 somada ao custo de produo de R$60,00 por unidade. (a) Quantas unidades o fabricante precisa vender para atingir o ponto de equilbrio? (b) Se forem vendidas 100 unidades, qual ser o lucro ou o prejuzo do fabricante? (c) Quantas unidades o fabricante necessita vender para obter um lucro de R$1.250,00? 24. A funo de demanda de um produto p = 10 x, ea funo custo C = 20 + x. Vamos obter: a) A funo receita b) A funo Lucro c) O preo que maximiza o lucro. 25. Um bombeiro hidrulico cobra uma taxa de R$31,00 e mais R$2,60 a cada meia hora de trabalho. Um outro cobra R$25,00 e mais R$3,20 a cada meia hora. Ache um critrio para decidir que bombeiro chamar, se forem levadas em conta apenas consideraes de ordem financeira. 26.Uma agncia de aluguel de carros cobra uma diria de R$ 25,00 mais R$ 0,30 por quilmetro rodado. a) Expresse o custo de alugar um carro dessa agncia por um dia em funo do nmero de quilmetros dirigidos e construa o grfico. b) Quanto custa alugar um carro para uma viagem de 200 km de um dia? c) Quantos quilmetros foram percorridos se o custo do aluguel dirio foi de R$ 45,20 centavos? 27.Quando o preo de um certo produto for de p reais, um lojista espera oferecer S = 4p + 300 produtos, enquanto a demanda local de D = 2p + 480. a) Para que preo de mercado a oferta ser igual a demanda local? b) Quantos produtos sero vendidos por este preo? c) Se o preo for de R$ 20,00, haver excesso ou escassez do produto? De quanto? d) Construa os dois grficos no mesmo par de eixos.

Matemtica AplicadaPgina 9Professor Gilmar Bornatto9 MATEMTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto28. As funes oferta e procura de um determinado produto so dadas, respectivamente, por S = p2 + 3p - 70 e D = 410 p. a) Para que preo de mercado a oferta ser igual demanda? b) Quantos produtos sero vendidos por este preo? c) Se o preo for de R$25,00 haver excesso ou escassez do produto? De quanto? A questo primordial no o que sabemos, mas como o sabemos Aristteles DERIVADA DE UMA FUNO O desenvolvimento dos estudos matemticos acompanhou a necessidade do homem de conhecer melhor o universo fsico que o cerca. Particularmente, o Clculo teve sua aplicao estendidaaosfenmenosfsicosmensurveiscomo,porexemplo,eletricidade,ondasde rdio, som, luz, calor e gravitao. AderivadapartefundamentaldoClculo.Apartirdeagorafaremosumestudo sobre esse assunto. OconceitodederivadafoiintroduzidonosculoXVIIquasesimultaneamentepelo alemo Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) e Sir Isaac Newton (1642-1727), trabalhando separadamente. DERIVADA DE UMA FUNO EM UM PONTO Consideremos uma funo f contnua e definida num intervalo ]a, b[; sejamxoexo + xdois pontos desse intervalo. Quando a varivelxpassa do valorxopara o valorxo + xsofrendo uma variaox(incrementodex),ocorrespondentevalordafunopassadef(xo)paraovalor f(xo+x)sofrendo,portanto,umavariaoy(incrementodafunof),ondey = f(xo + x) f(xo)conforme mostra a figura seguinte:

Matemtica AplicadaPgina 10Professor Gilmar Bornatto10 MATEMTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto Dizemos que a derivada da funo f no ponto xo xyo xAA Alim =xox f xox fox xA A + A) ( ) (lim se ele existir e for finito. Nesse caso, dizemos tambm que f derivvel no pontoxo. NOTAES DA DERIVADA A derivada de f ser indicada por uma das quatro formas abaixo: f (x) ou dxdfoudxdyou y EXEMPLOS 1)Calcular a derivada da funof(x) = xno pontoxo = 2.

Matemtica AplicadaPgina 11Professor Gilmar Bornatto11 MATEMTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto12) ( 4 8241 ]2) ( 22) [( 4 12) ( 4 ) f(x1 x 4 ) f(x:, )of(x )of(x 00 0 020 00+ A + A + == + A + A + = + A + = A ++ =A +x x x xx x x x x x xtemos x e Calculandoo Soluo 4 (2) ' f : Portanto == + A==+ A=+ A= + + A== A + + A=A A + A=A + + = A + A + = A + = A += = =A +4 x) (4xx) (4 xx2x) ( x 4x42x) ( x 4 4x(4) ]2x) ( x 4 [40 xlim 0 xlim 0 xlim 0 xlim0 xlimx) f(x ) f(x0 xlim )o(x ' f2) ( 2 2222) 2 ( ) f(x2 f(2) x ) f(x:, ) f(x ) f(x 0 000 00 0xerivada: nio de d do na defi Substituinx x x xtemos x e Calculando2x) ( x 4 44 2)Determinar a derivada da funo f(x) = 4x2 + 1, atravs da definio. Soluo

Matemtica AplicadaPgina 12Professor Gilmar Bornatto12 MATEMTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto0 0 8x ) (x f'Portanto, == + A + ++ + A + + A==A A + A== + == A + A=AA + A A=A + A A==0 00 0000 08 0 4 8) 4 8 (0 xlim) 4 8 (0 xlim4 80 xlim)o(x ' f] 124 4 ] 124 4 0 xlimx) f(x ) f(x0 xlim )o(x ' fx xx xxx x x x xxxoxerivada: nio de d do na defi Substituinx2x) (x- 12x) ( x 8x24xx[ - 1]2x) ( x 8x2[4x0 00 0 EXERCCIOS: 1) Determine a funo derivada atravs da definio. a) f(x) = x - 2x + 1; b) f(x) = x - 8x + 9 c) f(x) = x3 - x; d) f(x) = x + 1, no ponto xo = 5 e) f(x) = 3x,no ponto xo = 2 f) f(x) = x, no ponto xo = 1 g) f(x) = 2x - 2, no ponto xo = 3 RESPOSTAS: 1)a) f (x) = 2x 2 b) 2x 8 c) 3x2 1d) 10e) 12f) 2g) 12

Matemtica AplicadaPgina 13Professor Gilmar Bornatto13 MATEMTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto FRMULAS OU REGRAS DE DERIVAO Atagora,vimoscomocalcularaderivadadeumafunopormeiodadefinio. Entretanto, como esse processo demasiado longo, estudaremos algumas regras que nos permitiro calcular a derivada de uma funo mais facilmente. Faremosademonstraodeapenasalgumasdessasregras,pelaaplicaoda definiodederivada.Asoutrasregrastambmpodemserdemonstradaspelomesmo processo. Vejamos algumas derivadas fundamentais. a) Derivada da funo constante: Sey = f(x) = centoy = f(x) = 0 . Demonstrao Se x um ponto qualquer de R temos: Exemplos 1) y = -5 y = (-5) = 0 2) y = 3 y = (3) = 0 b) Derivada da funo identidade: Sey = f(x) = xentoy = f(x) = 1 . Demonstrao Se x um ponto qualquer de R, temos: 0 lim '0 0 lim0lim lim) ( ) (lim lim00 0 0 0 0=AA= = =A=A=A A +=AA A A A A A Axyyx xk kxx f x x fxyxx x x x x

Matemtica AplicadaPgina 14Professor Gilmar Bornatto14 MATEMTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto c) Derivada do produto de uma constante por uma funo Sey = c g(x)ento y = c g(x) . Demonstrao Se x um ponto qualquer de R, temos: Exemplos 1) y = 5x y = (5x) = 5 (x) = 5 1 = 5 2) y = -3x y = (-3x) = -3 3) y = -x y = -1 d) Derivada da funo potncia y = xn Sey = xn entoy = n . xn-1 paraninteiro positivo. 1 lim '1 1 lim lim lim) (lim) ( ) (lim lim00 0 00 0 0=AA= = =AA=A A +=A A +=A A +=AA A A A A A A Axyyxxxx x xxx x xxx f x x fxyxx x xx x x ) ( ' lim ') ( ') ( ) (lim) ( ) (lim)] ( ( ) ( [lim) ( ) (lim lim00 00 0 0x g cxyyx g cxx g x x gcxx g x x gcxx g x x g cxx cg x x cgxyxx xx x x =AA= =A A + =A A + ==A A + =A A +=AA A A A A A A

Matemtica AplicadaPgina 15Professor Gilmar Bornatto15 MATEMTICA APLICADA Professor Gilmar Bornattonx y =22 1 1 111 'xx x y xx1y = = = = = 4)33 222 'xx y xx1y2 = = = = 5)5 451'xy x y5= = 1)xy x y21' = = 2)4 3 4 3248'x xy x 8 y4= = = 3) Exemplos 1) y = x5 y = 5 x5-1 = 5x4 2) y = 2x4 y = 2 4x4-1 = 8x3 3)2 2 323 .31313x x y x yxy = = = = e) Derivada da funo Esta frmula s pode ser aplicada quando o radicando a varivelx (funo identidade). Exemplos

Matemtica AplicadaPgina 16Professor Gilmar Bornatto16 MATEMTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto f) Derivada da soma de funes A derivada da soma igual soma das derivadas. Se y = g1(x) + g2(x) +... + gn(x) entoy= g1(x) + g2(x) +... gn(x) . Exemplos 1) y = 3x2 + 5x + 4y = (3x2 + 5x + 4) y = (3x2 )+ (5x) + (4) =6x + 5 + 0=6x + 5 2) y =4x3 + 5x2 + 3 y = 12x2 + 10x g) Derivada da diferena A derivada da diferena igual diferena das derivadas. Se y = g(x) - h(x) entoy= g(x) - h(x) . Exemplos 1) y = 3x2 - 5xy = (3x2 - 5x) y = (3x2 )- (5x)=6x - 5 2) y =4x3 - 5x2 - 3 y = 12x2 - 10x h) Derivada do produto Seja y = u(x).v(x). Se existem as derivadas u(x) e v(x), ento y = u v + u v.

Matemtica AplicadaPgina 17Professor Gilmar Bornatto17 MATEMTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto0. v para ,' '' ento(x), v' e (x) u' derivadas as existirem se Seja2=== vuv v uyv(x)u(x)y;x 6xx 23x 1y'2= + = + = =) 6 ( ) 3 1 (21)' 3 1 ( ) 3 1 ( )' ( ') 3 1 (2 2 22x x xxx x x x yx x y 2)( ) ( ) ( ) ( )72x72xx12 = = = = = = = = = = = = = == = = 2 222' 2 222 12 277 270 11 7 ) 2 (77 11 7 ' 11'7) 2 (71' ) 11 (7171 '11 0 )' ( 1 )' 1 ('x x x x xyx - 11yx y xx - 11yy y x yxyx xx xyx1y22 2)x1ou 2ou 1)( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )10 6x 6x y'2+ = + + = + + =+ + + =+ =x x x yx x x yx x x x yx x y6 4 10 2 '2 3 2 5 2 '5 3 2 5 3 2 '5 3 22 22'2 2 '21) Exemplos i) Derivada do quociente de duas funes Exemplos

Matemtica AplicadaPgina 18Professor Gilmar Bornatto18 MATEMTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto FRMULRIO DE DERIVAO Funo Derivada y = f(x) = c y = f(x) = 0 y = f(x) = x y = f(x) = 1 y = c . g(x) y = c . g(x) ny x = 1' .ny n x=

ny x = nnx ny1 1= y = u(x)v(x) y = u v + u v ( )( )u xyv x= 2'. . ''u v u vyv= para v 0 EXERCCIOS - DERIVADA 1) Calcular a derivada das funes, usando o formulrio da pgina anterior: a) y = 4x + 5b) y = - x + 3c) y =221+ xd) y = x2 + 4x + 5e) y =7 5212+ + x x f) y = 0,2 x2 4x g) y = (3x2 - 4x) (6x + 1)h) y = (1 - x2) (1 + x2) i) y = (x2 4) (x + 2x4) j) y = 2 (x3 - 4x2 + 2x 1)k) 4x y = l) 9x y =m) 3x y = n) 6x y = o) xy1 =p) 36xy = q) 2215x xy+ += r) 14=xxy

Matemtica AplicadaPgina 19Professor Gilmar Bornatto19 MATEMTICA APLICADA Professor Gilmar Bornattos) 210+=xxy t) xxy=1 Gabarito a) y = 4 b) y = -1 c) y = 21 d) y= 2x + 4 e) y = - x + 5 f) y = 0,4x 4g) y= 54 x2 - 42x 4h) y = - 4x3 i) y= 12x5 - 32x3 + 3x2 - 4 j) y=6x2-16x+4 k) y = 4 341x

l) y = 9 891x

m) y = 3 231x n) y = 6 561x

o) y = 21x

p) y = 418x q) y = ( )22230 15x xx+ + r) y = ( )214x

s) y = ( )2220+ x t) y = ( )211x

2)Determine a derivada das funes: Respostas 1)x x y 2 42 =2 8 x2)5 3 2 3 52 3 4+ + + = x x x x y 3 4 9 202 3+ + x x x3)x x x y 8 2 73 4+ = 8 6 282 3+ x x4) 73572=xy514x 5)xx xy 425322 2 + =4 x 53x 4 +6) 37xy =421x 7) 54xy =620x 8) 3 2x y =332x 9)x x y + =2 122xx+10) 4 4 3 5 2x x x y + =34 5 344352xxx+

Matemtica AplicadaPgina 20Professor Gilmar Bornatto20 MATEMTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto11)5 6 123 + = x x yxx318 +12) 5 31=xy( )25 33x 13) 12+=xxy( )212+ x 14) 7 25 3+=xxy( )27 231x 15) 5 53 22+ +=x xxy( )2225 525 6 2+ + x xx x 16) 22 322+ + =x xx xy( )22224 2+ x xx 17)( )( )21 . 3 2 x x x y + + = 1 2 62 + x x18)( )( )2 32 1 . 4 1 x x y + + = x x x 4 12 402 4+ +19)x 4e x 5 y =x 3e x 20 20)23x16 xy+=33x32 x 21) ( )( ) 8 x . 7 x 3 y2+ + =24 x 14 x 33 2+ 3)Encontre as derivadas das funes a seguir: (a)2 425323+ + = x xxx f ) ((b)x x x f 33 = ) ( (c) 35 x x x f + = ) ((d)12 3 + = x x x x f ) ( (e) 2 44 2 x x x f = ) ( (f) 2 46 3 x x x f = ) ((g) 2 1) x x ( ) x ( f+ = (h)10 x 5 x 3 ) x ( f3+ + =(i)xxx f 41+ = ) ((j) ( ) 11=xx f ) ((k)( )2 22 = x x x f . ) ((l) 12+=xxx f ) ((m) 4131x x ) x ( f + =(n)xxxx f 291+ + = ) ((o)( )( )2 22 2 x x x f + = . ) ((p)( )( ) 1 2 5 3 22 + = x x x y . (q)10 5 33+ + = x x y(r)4131x x y + =(s) 2 35 2x xy + = (t) 21=xxy(u) x 4 x2e y= Gabarito (a) 25 4 x x + (b) 23 3 x (c) 23 1 x (d)1 2 32 + x x (e)x x 8 83 (f)x x 12 123 (g) 3x2x 2 (h) 3221x35x23 +(i)412+ x

Matemtica AplicadaPgina 21Professor Gilmar Bornatto21 MATEMTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto(j) ( )211x (k)x x x 8 12 42 3+ (l) ( )22211+xx (m) 4332x41x31 +(n)291 12+ + x (0) 34x (p)( )( ) ( )2 5 3 2 1 2 3 42. . + + x x x x(q)32213523 + x x . .(r)2 33 41 1.3 4x x +(s) 4 36 10 x x (t)( )22 1 x /(u)( )x 4 x2e . 4 x 2(v)( )5 x 3 x2e . 3 x 2 ++ (x) 2xe . x 2 4)Calcule a derivada solicitada em relao a varivel x. (a)2 ) ( = x f ( f)2 4 2 ) (2 3 + + = x x x x f(k) 22) (xx f=(b)x x f 2 ) ( = (g)( )( ) x x x f + = 1 . 1 ) ((l) 1 xx) x ( f2=(c) 4) (xx f = (h) 42) (2+=xxx f(m)8 x 5 x 4 x 2 y2 3+ + =(d)x x f 3 ) ( =(i) xxx f1 3) (= (n) 3 2x3x4x6y + =(e) 33 ) ( x x f =(j) xx f1) ( = (0) 1 xxy2+= Gabarito (a) 0(b) -2(c)(d) 3 (e) 29x (f )4 2 62+ + x x (g) -2x(h)( )( )22244 2+xx . (i ) 21x ( j) 21x

(k) 34 x /( l) ( )221 xx 2 x (m)5 x 8 x 62 + (n) 4 3 2x9x8x6+ (o) ( )2221 xx 1+ Derivadas de uma Funo de Ordem Superior Exerccios de sala Obter a derivada terceira das funes: Respostas a)( ) 1 22 3+ + = x x x fa)6 b)( ) 2 3 52+ = x x x fb)0 c)( )121=xx fc)0 d)( )32= x x f d) 6120 x

Matemtica AplicadaPgina 22Professor Gilmar Bornatto22 MATEMTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto TAXA DE VARIAO DE UMA FUNO f(x) A derivada pode entre outras coisas significar a taxa de crescimento populacional, o custo marginal do produtor, a velocidade de um objeto, a taxa de inflao, etc. Vejamos o exemplo da velocidade: Velocidade Mdia = tt D t t DA A +=) ( ) ( tempo do VariaoDistncia da Variao Velocidade Instantnea a melhor aproximao da velocidade mdia. Velocidade Instantnea =) () ( ) (lim'0t Dtt D t t Dt=A A + A Da podemos generalizar: TAXA DE VARIAO =) ('x fdxdy= PORCENTAGEM DE VARIAO % = Grandeza de Valor Variao de Taxa100 ouf(x)) ( f100'x = Calcula-se que, daqui a x meses, a populao de determinada cidade ser de5000 4 2 ) (23+ + = x x x Phabitantes. (a)Qual ser a taxa de variao da populao, em relao ao tempo, daqui a 9 meses? (b) Qual ser a porcentagem de variao da populao, em relao ao tempo, daqui a 9 meses? Soluo: (a) Taxa de variao = derivada primeira da funo 20 18 2 9 . 4 .232 ) 9 ( . 4 .232 4 .232 ) ('21'= + = + = + = + = P x x x Phab/ms (b) Porcentagem de variao da populao Z = ) 9 () 9 (100'PP D(t) D(t +t)

Matemtica AplicadaPgina 23Professor Gilmar Bornatto23 MATEMTICA APLICADA Professor Gilmar BornattoCalculando P(9) =( ) 5126 5000 9 . 4 9 . 223= + +% 39 , 0512620100) 9 (5 , 6100 = = =PZ por ms. Aumento Salarial SuponhaqueseusalrioinicialsejaR$2.400,00eque,anualmente,haverumaumentode R$200,00 . (a)Exprimaa porcentagem de variao de seu salrio em funo do tempo (b) Aps um ano, qual ser a porcentagem de variao de seu salrio? (c)O que acontecer com a porcentagem de variao de seu salrio com o correr do tempo? Soluo: (a) AfunosalrioserS(x)=2.400+200.x(xanos),portantosencontraraderivada primeira de S(x) = 200 ) ('x SA porcentagem Z igual a) () (100'x Sx S , portanto: Z = x x x +=+=+1210020 2400200200 2400200100(b) Aps um ano s fazer x = 1 na frmula acima: % 69 , 71 12100) 1 ( =+= Z(c)Comoodenominadordafraovaisempreaumentarovalordaporcentagemirsempre diminuir, isto , tender a zero. Exemplo de Aplicao: Calcula-seque,daquiaxmeses,apopulaodeumacertacomunidadeserde . 8000 20 ) (2hab x x x P + + =Pede-se: (a)A taxa de variao da populao daqui a 15 meses? (b)A variao real no 16. ms. Soluo: (a) Taxa de variao = derivada de P(x) no ponto x = 15 ( ) 50 20 15 . 2 ) 15 ( 20 2 ) (' '= + = + = P x x Phabitantes/ms (b) Variao real = Final do 16. ms menos final do 15. P(16) =( ) 8576 8000 16 . 20 ) 16 (2= + + P(15) =( ) ( ) 8525 8000 15 . 20 152= + +Variao real = 8576 8525 = 51 habitantes/ ms.

Matemtica AplicadaPgina 24Professor Gilmar Bornatto24 MATEMTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto INTERPRETAO GEOMTRICA DA DERIVADA NUM PONTO: Sejaumafunof(x)contnuaaderivvelemumdomnioDesejaumarepresentaode seu grfico na figura a seguir: Consideremos uma funo f e os pontos P(x0, f(x0)) e Q(x0+x, f(x0 + +x). A reta que passa s pontos P e Q secante ao grfico de f(x) e a medida que x se aproxima de zero, a reta vai mudando seu coeficiente angular, at que a reta se torna uma reta tangente ao grfico no ponto P; Chamamos a variaoyxAA (razo incremental) de TAXA DE VARIAO DA FUNO E, quando calculamos o limite desse quociente, temos a funo derivada de f(x), isto : DERIVADA DA FUNOf(x) definida por: PROBLEMAS DE TAXA 1.Estima-se que daqui a x meses a populao de uma certa comunidade ser de P(x) = x2 + 20x + 8000. a.Daqui a 15 meses, qual ser a taxa de variao da populao desta comunidade? b.Qual ser a variao real sofrida durante o 16 ms? 2.Avalia-seque,daquiatanos,acirculaodeumjornallocalserde 5000 400 1002+ + = t t t C ) (exemplares. y fx limx0yx

Matemtica AplicadaPgina 25Professor Gilmar Bornatto25 MATEMTICA APLICADA Professor Gilmar Bornattoa.Deduza a expresso da taxa de variao da circulao do jornal daqui a t anos. b.Qual ser a taxa de variao da circulao daqui a 5 anos? c.Qual ser a variao real da circulaodurante o 6. ano? 3.OprodutonacionalbrutodeumcertopaseradeN(x)=t2 +5t+100bilhesdedlarest anos aps 2000. a.Qual era a taxa de variao do produto nacional bruto, em 2005? b.Qual ser a taxa de variao do produto nacional bruto, em 2010? 4.Estima-se que, daqui a t anos, a populao de uma certa comunidade suburbana ser de: 1620+ =tt P ) (milhares de habitantes. (a) Deduza a expresso da taxa de variao da populao , em relao ao tempo, daqui a t anos. (b) Qual ser a taxa de crescimentoda populao daqui a 1 ano? (c) Qual ser o crescimento real da populao durante o 2. ano? 5.O imposto anual pago pelo aluguel de determinado software x anos aps 2000 era de 600 40 202+ + = x x x I ) ( . Qual ser a taxa de crescimento do imposto, em relao ao tempo, em 2006? 6.O produto nacional bruto (PNB) de determinado pas, t anos aps 2000, foi de 200 52+ + = t t t P ) (bilhes de dlares. Utilizando clculo , faa uma estimativa da variao percentual do PNB durante o primeiro trimestre de 2004. 7.Calcula-se que, daqui a x meses, a populao de uma certa comunidade ser de 000 . 8 20 ) (2+ + = x x x Phabitantes. (a) Qual ser a taxa de variao da populao desta comunidade daqui a 15 meses. (b) Qual ser a variao real da populao durante o 16. ms? ANLISE MARGINAL EmEconomiaavariaodeumaquantidadeemrelaooutrapodeserdescobertapor qualquerdosdoisconceitos:odeMdiaouodeMarginal.Oconceitodemdia,expressaa variao de uma quantidade sobre um conjunto especfico de valores de uma segunda quantidade, enquanto que o conceito de marginal, a mudana instantnea na primeira quantidade que resulta de uma mudana em unidades muito pequenas na segunda quantidade. SuponhaqueC(q)sejaocustototaldeproduodequnidadesdeumcertoproduto.A funoCchamadadefunocustototal(comojvimosanteriormente).Emcircunstncias normais q e C(q) so positivas.Note que, como q representa o nmero de unidades de um produto, qtemqueserinteirononegativo,demodoquetenhamosascondiesdecontinuidadeparaa funo C. O custo mdio da produo de cada unidade do produto obtido dividindo-se o custo total pelonmerodeunidadesproduzidas;isto,CM(q)=C(q)/q,ondeCMchamadafunocusto mdio.

Matemtica AplicadaPgina 26Professor Gilmar Bornatto26 MATEMTICA APLICADA Professor Gilmar BornattoSuponhamosqueonmerodeunidadesdeumadeterminadaproduoseja 1q ,equeela tenhasidoalteradaporq A .Entoavariaonocustototaldadapor) ( ) (1 1q C q q C A + ,ea variao mdia no custo total em relao a variao no nmero de unidades produzidas dada por: ) 1 () ( ) (1 1qq C q q CA A + OseconomistasusamotermoCustoMarginalparalimitedoquociente(1)quandoq Atende a zero, desde que o limite exista. Esse limite a derivada de C em 1q ; portanto a definio de custo marginal ser: SeC(x) o custo de produo de x unidades de um certo produto, ento o Custo Marginal, quandox= 1x ,dadapor) ( '1q C ,casoexista.AfunoCchamadaFunoCustoMarginale freqentemente uma boa aproximao do custo de produo de uma unidade adicional. Nadefinioacima, 1'( ) C x podeserinterpretadacomoataxadevariaodocustototal quando 1xunidades so produzidas. FRMULA DE APROXIMAO: A derivada da funo uma boa aproximao provocada por um aumento unitrio na varivel. ANLISE MARGINAL EmEconomia,ataxadevariaoinstantneaumaaproximaoparaoaumentounitrioda varivel. Este aumento denominado MARGINAL. ) ('x C CMG = , ) ('x R RMG = , ) ('x L LMG = Aplicaes Suponha que o custo total p/ se fabricar x unidades de um certo produto seja10 5 3 ) (2+ + = x x x C . (a)Encontre o custo marginal (b)Determine usando anlise marginal, o custo de produo para a 51. unidade. (c)Determine o custo real de produo da 51. unidade. Soluo: (a) O custo marginal a derivada primeira do custo:5 6 ) ('+ = x x C(b) O custo de produo da 51. unidade igualC'(50), portanto:( ) 305 5 50 . 6 ) 50 ('= + = C(c)O custo real de produo da 51. unidade igual C(51) C(50) Temos ento: C(51) =( ) ( ) 8068 10 50 . 5 51 . 32= + +C(50) =( ) ( ) 7760 10 50 . 5 50 . 3 = + +C(51) C(50) = 8068 7760 = 8068 7760 = 308 Exemplo: Suponha que o custo total ao se fabricar x unidades de brinquedos seja de2( ) 3 5 10 C x x x = + + . a) Deduza a frmula do custo marginal.Resp.: C(X) = 6X + 5

Matemtica AplicadaPgina 27Professor Gilmar Bornatto27 MATEMTICA APLICADA Professor Gilmar Bornattob) Qual o custo marginal de 50 unidades produzidas?Resp.: C(50) = 305 c) Qual o custo real de produo do 51 brinquedo?Resp.: =C(51)C(50)=7803+255+10-7760=308 Note que as respostas dos itens b e c diferem por R$ 3,00, isto , o custo marginal prximo docustorealdeproduodeumaunidadeadicional.Estadiscrepnciaocorreporqueocusto marginalataxadevariaoinstantneadeC(x)emrelaoaumaunidadedevariaoemq. Logo, C(50) o custo aproximado da produo do 51 brinquedo. Observe que o clculo de C(50), no exemplo, mais simples do queo de C(51)C(50).Os economistas freqentemente aproximam o custo da produo de uma quantidade adicional usando a funo custo marginal. Mais claramente, C(n) o custo aproximado da (n+1) sima unidade que as n primeiras unidades tiverem sido produzidas. Asrespostasdositensbecdoexemploanteriorsomuitoprximasporcausada proximidade dos pontos (50; C(50)) e (51; C(51)) , e porque esses pontos pertencem a uma poro praticamente linear da curva de custo. Para tais pontos, o coeficiente angular da secante uma boa aproximao do coeficiente angular da tangente. Como usualmente se obtm esta aproximaoe sendo mais fcil, de maneira geral, calcula-se o custo marginal como aproximao do custo real de produo de uma unidade adicional, como j dissemos acima. De maneira geral, em Economia, Anlise Marginal se refere ao uso de derivadas de funes paraestimaravariaoocorridanovalordavariveldependente,quandohumacrscimode1 unidade no valor da varivel independente. Exemplo: SuponhaqueC(x)sejaocustototaldeproduodequnidadesdecanetas,e 2( ) 2 8. C x x x = + +Ache as funes: a) Custo Mdio Resp.: ( ) 82 1C xxx x= + + b) Custo Marginal Resp.: C(x) = 4x + 1 EXERCCIOS ANLISE MARGINAL 1.Quandoxunidadesdeumcertoprodutosofabricadas,ocustototaldefabricaoC(q)=3x2 +5x+75reais.Quandosermenorocustomdiodeproduoporunidade? (custo mdiopor unidade=custo total dividido pelo n de unidades.). 2.Determine os extremos mximo e mnimo das seguintes funes no intervalo especificado: a.f(x) = x2 2x 3,0sx s3 b.f(x) = - x3 + 3x,-3s xs2 c.f(x) = 2x3 + 18x2 + 48x +5 , -2s xs 0 3.Um estudo da eficincia do turno da manh de uma fbrica indica que um operrio mdio, chegando ao trabalho s 8 horas, ter montado Q(t) = -t3 + 9t2 + 12t unidades t horas depois. A que horas da manh o operrio trabalha mais eficiente?(a taxa de produo a derivada

Matemtica AplicadaPgina 28Professor Gilmar Bornatto28 MATEMTICA APLICADA Professor Gilmar Bornattoda montagem, ou seja, R(t) = Q(t) que a funo que tem que serderivada para analise no intervalo 0st s4). 4.Calcula-se que a produo semanal de certa fbrica seja de 3 2( ) 60 1200 P x x x x = + +unidades, onde x representa o nmero de operrios da fbrica. Atualmente, h 30 operrios trabalhando. Usando clculo, avalie a variao que ocorrer na produo semanal da fbrica casa se acrescente um operrio fora de trabalho existente. 5.Estima-sequeaproduosemanaldeumafbricasejadeQ(x)=-x3 +60x2 +1200xunidades,ondexonmerodeempregadosdestafbrica.Atualmente,30operrios trabalhamnafbrica.Useaanlisemarginalparaestimaravariaosemanaldaproduo resultante do emprego de mais um operrio. 6.Considerea funo custo C(x) =xx310003 . d.Calculeocustodeproduzirumaunidadeamais,aonveldeproduox=200.(ou seja, o custo da 201 unidade) e.Calcule o custo marginal ao nvel de produo x = 200. 7.Suponha que o custo total para se fabricar x unidades de um certo produto seja 2( ) 3 5 10 C x x x = + + . a) Deduza a frmula do custo marginal. b) Calcule o custo de produo da 51. unidade, empregando a aproximao fornecida pelo custo marginal. c) Calcule o custo real de produo da 51. unidade. 8.Suponha que o custo total para se fabricar x unidade de um certo produto seja 10 5 3 ) (2+ + = x x x C . a.Deduza a frmula do custo marginal. b. Calcule o custo de produo da 51. unidade, empregando a aproximao fornecida pelocusto marginal c.Calcule o custo real de produo da 51. unidade. 9.Dada a funo demanda : 2232 50 p p x = , calcule para p = 4 : a.A Receita Total b. A Receita Marginal 10. Sendop x 4 , 0 400 =a funo de demanda de umbem, onde x a quantidade demandada e p o preo, determinar: A funo receita totalA funo Receita Marginal A receita marginal para 100 unidades 11. O Custo total de fabricao de um certo produto de200 500 5 , 0 1 , 0 ) (2 3+ + = x x x x Creais, onde x a nmero de unidades produzidas. a.Use anlise marginal para estimar o custo de fabricao da 4. unidade.

Matemtica AplicadaPgina 29Professor Gilmar Bornatto29 MATEMTICA APLICADA Professor Gilmar Bornattob.Calcule o custo real de fabricao da 4. unidade . PROBLEMAS DE OTIMIZAO(MXIMO OU MNIMO) Para encontrar o ponto extremo da funo (mximo ou mnimo absoluto), que o ponto que anula a derivada primeira de uma funo, devemos: a) derivar a funo; b) igualar a derivada primeira a zero; resolver a equao e encontrar o(s) valor(es) de x que maximizam ou minimizam a funo c) fazero teste da derivada de 2. ordem para os valores encontrados para x: Aplicaes 1.Dada a funo receitax x x R 10 22+ = ) ( , obtenha o valor de x que maximiza a receita. 2.Dada a funo de demandax p 2 40 = , obtenha o preo que deve ser cobrado para maximizar a receita. 3.Com relao ao exerccios anterior, qual o preo que deve ser cobrado para maximizar o lucro, se a funo custo for? ) ( x x C 2 40+ =4.A funo custo mensal de fabricao de um produto 10 10 2323+ + = x xxx C ) ( , e o preo de venda 13 = p . Qual a quantidade que deve ser produzida e vendida mensalmente para dar mximo lucro? Se f(x0) > 0 x0 abscissa de um mnimo local. f(x0) < 0 x0 abscissa de um mximo local

Matemtica AplicadaPgina 30Professor Gilmar Bornatto30 MATEMTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto5.A funo custo mensal de fabricao de um produto 1 10 2323+ + = x xxx C ) (e a funo de demanda mensal do mesmo produto x p =10 . Qual o preo que deve ser cobrado para maximizar o lucro? 6.Um determinado produto apresenta como funo custo a curva, 5 40 50 ) (2x x x C + + =pede-se: a.A equao do custo marginal. b.O custo marginal, quando a quantidade produzida igual a 3? c.A equao do custo Mdio (Custo total dividido pela quantidade x) d.O Custo mdio, quando a quantidade produzida for igual a 4. e.Qual a quantidade a produzir, a fim de que o custo mdio seja mnimo? 7.Seja a funo Custo Total = 100 2 ) (2+ + = x x x C , pede-se: a.A Equao do Custo Marginal b.A Equao do Custo Mdio c.A Quantidade para que o Custo Mdio seja mnimo d.O Custo Mdio Mnimo e.O custo marginal para a quantidade de custo mdio mnimo. 8.A equao de demanda de um monopolista x p 2 400 = , sendo a funo custo 260 120 ) ( x x x C + = , determine a quantidade que maximiza o lucro e determine o lucro mximo. 9.Em uma fbrica de pneus, o preo de um certo tipo de pneu dado por0, 4 400 (0 x 1000) p x = + s sa. Obtenha a funo receita total b. Obtenha a quantidade que maximiza a receita. c. Determine a receita mxima para a quantidade acima. 10. Um monopolista tem um custo mdio mensal de60 102+ = x x x CME) ( , em que x a quantidade produzida. A funo de demanda desse produto x p 3 50 = . Que preo deve ser cobrado para maximizar o lucro mensal? 11. Porvriassemanas,oServiodeTrnsitovempesquisandoavelocidadedotrfegonuma auto-estrada.Verificou-sequenumdianormaldesemana,tarde,entre1e6horas,a velocidade do trfego de aproximadamente V(t) =2t3 - 21t2 + 60t + 40 Km/h transcorridas aps o meio-dia. A que horas , dentro do intervalo de tempo mencionado, o trfego se move mais rapidamente e a que horas se move mais lentamente? 12. O preo decusto da pizzade atum de R$5,00 cada. Um a pizzaria calcula que, se vender cadapizza por x reais , os consumidores compraro 20 xpizza por dia. Qual o preo de venda da pizza quemaximiza o lucroda pizzaria?

Matemtica AplicadaPgina 31Professor Gilmar Bornatto31 MATEMTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto13. A receita total na venda de x unidades de um bem dada por: 21( ) 2003R x x x = . Ache: a) A equao da demanda b) A quantidade que maximiza a receita c) A receita mxima d) O preo para a quantidade que maximiza a receita. 14. A equao de demanda de um certo produto e dada por: 162p x = , determine: a) A funo receita total, b) A quantidade (nvel de produo) que resulta na receita mxima. c) O preo cobrado quando para a receita mxima. 15. Suponha que a equao de demanda de um monopolistaseja dada por100 0, 01 p x = e que o custo seja constitudo de uma taxa fixa de R$ 10.000,00 , mais R$ 50,00 por unidade produzida. Encontre a quantidade que maximiza o lucropara este nvel de produo. ELASTICIDADE DE DEMADA Em geral, a demanda de um produto est associada a seu preo, namaioria dos casos, a demanda diminui medida que seu preo aumenta. A variao percentual verificada na demanda, provocada por um aumento de 1% no preo constitui uma boa medida da sensibilidade da demanda em relao ao preo. Representandoopreoporp,aquantidadeporxeumapequenavariaodopreoporp A , obtemos a frmula de aproximao para variao percentuais: Emparticular,seavariaoforde1%,isto:p p 01 , 0 = A ,substituindonafrmulatemosa Elasticidade de Demanda: ) () () (01 , 0 ) (100) () (100' ' 'p fp f pp fp p fp fp p f = =A = c Da Elasticidade de Demanda ) () ('p fp f p= c NVEIS DA ELASTICIDADE Emgeralc negativa,poisdiminuiamedidaqueopreoaumenta,observeaanlisea seguir:

Matemtica AplicadaPgina 32Professor Gilmar Bornatto32 MATEMTICA APLICADA Professor Gilmar BornattoSe >1 cA demanda Elstica em relao ao preo Se