APOSTILA CORREIOS 2013

CORREIOS - Atendente Comercial/Carteiro/Operador de Triagem e Transbordo

EMPRESA BRASILEIRA DE CORREIOS E TELGRAFOS

ATENDENTE COMERCIAL CARTEIRO

OPERADOR DE TRIAGEM E TRANSBORDO

LNGUA PORTUGUESA:

Compreenso e interpretao de textos. ................................................................................................. 1 Ortografia oficial. ...................................................................................................................................... 10 Acentuao grfica. ................................................................................................................................. 13 Emprego das classes de palavras: nome pronome, verbo, preposies e conjunes. ......................... 20 Emprego do sinal indicativo de crase. ..................................................................................................... 15 Sintaxe da orao e do perodo. .............................................................................................................. 37 Pontuao. ............................................................................................................................................... 14 Concordncia nominal e verbal. ............................................................................................................... 39 Regncia nominal e verbal. ...................................................................................................................... 40 Significao das palavras. ........................................................................................................................ 16 Formao de palavras. ............................................................................................................................. 20

MATEMTICA:

Nmeros relativos inteiros e fracionrios, operaes e propriedades. ..................................................... 1 Mltiplos e divisores, mximo divisor comum e mnimo mltiplo comum. ................................................ 11 Nmeros reais. ......................................................................................................................................... 22 Expresses numricas. ............................................................................................................................ 13 Equaes e sistemas de equaes de 1.o grau. ..................................................................................... 27 Sistemas de medida de tempo. ............................................................................................................... 27 Sistema mtrico decimal. ......................................................................................................................... 25 Nmeros e grandezas diretamente e inversamente proporcionais. ......................................................... 29 Regra de trs simples. .............................................................................................................................. 31 Porcentagem. ............................................................................................................................................ 32 Taxas de juros simples e compostas, capital, montante e desconto. ....................................................... 34 Princpios de geometria: permetro, rea e volume. ................................................................................. 33

INFORMTICA:

Conceitos bsicos de computao. ........................................................................................................... 1 Componentes de hardware e software de computadores. ........................................................................ 5 Sistema operacional Windows (XP e VISTA). ........................................................................................... 8 Conhecimentos de Word, Excel, PowerPoint. ........................................................................................... 19 Internet: conceitos, navegadores, tecnologias e servios. .............................................................. 36

APOSTILAS OPO A Sua Melhor Opo em Concursos Pblicos

A Opo Certa Para a Sua Realizao

A PRESENTE APOSTILA NO EST VINCULADA A EMPRESA ORGANIZADORA DO CONCURSO

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CANDIDATO OU MESMO O SEU INGRESSO NA CARREIRA PBLICA.

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DENTRO DO HORRIO COMERCIAL, PARA EVENTUAIS CONSULTAS.

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PRAZOS ESTATUDOS NO CDIGO DE DEFESA DO CONSUMIDOR.

PROIBIDA A REPRODUO TOTAL OU PARCIAL DESTA APOSTILA, DE ACORDO COM O

ARTIGO 184 DO CDIGO PENAL.

APOSTILAS OPO


Lngua Portuguesa A Opo Certa Para a Sua Realizao 1

Compreenso e interpretao de textos. Ortografia oficial. Acentuao grfica. Emprego das classes de palavras: nome pronome, verbo, preposies e conjunes. Emprego do sinal indicativo de crase. Sintaxe da orao e do perodo. Pontuao. Concordncia nominal e verbal. Regncia nominal e verbal. Significao das palavras. Formao de palavras.

COMPREENSO E INTERPRETAO DE TEXTOS.

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SER ESTAR TER HAVER PRESENTE sou estou tenho hei s ests tens hs est tem h somos estamos temos havemos sois estais tendes haveis so esto tm ho PRETRITO PERFEITO era estava tinha havia eras estavas tinhas havias era estava tinha havia ramos estvamos tnhamos havamos reis estveis tnheis haves eram estavam tinham haviam PRETRITO PERFEITO SIMPLES fui estive tive houve foste estiveste tiveste houveste foi esteve teve houve fomos estivemos tivemos houvemos fostes estivestes tivestes houvestes foram estiveram tiveram houveram PRETRITO PERFEITO COMPOSTO tenho sido tenho estado tenho tido tenho havido tens sido tens estado tens tido tens havido tem sido tem estado tem tido tem havido temos sido temos estado temos tido temos havido tendes sido tendes estado tendes tido tendes havido tm sido tm estado tm tido tm havido PRETRITO MAIS-QUE-PERFEITO SIMPLES fora estivera tivera houvera foras estiveras tiveras houveras fora estivera tivera houvera framos estivramos tivramos houvramos freis estivreis tivreis houvreis foram estiveram tiveram houveram PRETRITO MAIS-QUE-PERFEITO COMPOSTO tinha, tinhas, tinha, tnhamos, tnheis, tinham (+sido, estado, tido , havido) FUTURO DO PRESENTE SIMPLES serei estarei terei haverei sers estars ters haver ser estar ter haver seremos estaremos teremos haveremos sereis estareis tereis havereis sero estaro tero havero FUTURO DO PRESENTE COMPOSTO terei, ters, ter, teremos, tereis, tero, (+sido, estado, tido, havido) FUTURO DO PRETRITO SIMPLES

seria estaria teria haveria serias estarias terias haverias seria estaria teria haveria seramos estaramos teramos haveramos serieis estareis tereis havereis seriam estariam teriam haveriam FUTURO DO PRETRITO COMPOSTO teria, terias, teria, teramos, tereis, teriam (+ sido, estado, tido, havido) PRESENTE SUBJUNTIVO seja esteja tenha haja sejas estejas tenhas hajas seja esteja tenha haja sejamos estejamos tenhamos hajamos sejais estejais tenhais hajais



sejam estejam tenham hajam PRETRITO IMPERFEITO SIMPLES fosse estivesse tivesse houvesse fosses estivesses tivesses houvesses fosse estivesse tivesse houvesse fssemos estivssemos tivssemos houvssemos fsseis estivsseis tivsseis houvsseis fossem estivessem tivessem houvessem PRETRITO PERFEITO COMPOSTO tenha, tenhas, tenha, tenhamos, tenhais, tenham (+ sido, estado, tido, havido) PRETRITO MAIS-QUE-PERFEITO COMPOSTO tivesse, tivesses, tivesses, tivssemos, tivsseis, tivessem ( + sido, estado, tido, havido) FUTURO SIM-PLES

se eu for se eu estiver se eu tiver se eu houver se tu fores se tu estiveres se tu tiveres se tu houveres se ele for se ele estiver se ele tiver se ele houver se ns formos se ns estiver-

mos se ns tivermos se ns hou-

vermos se vs fordes se vs estiver-

des se vs tiverdes se vs houver-

des se eles forem se eles estive-

rem se eles tiverem se eles houve-

rem FUTURO COMPOSTO tiver, tiveres, tiver, tivermos, tiverdes, tiverem (+sido, estado, tido, havido) AFIRMATIVO IMPERATIVO s tu est tu tem tu h tu seja voc esteja voc tenha voc haja voc sejamos ns estejamos ns tenhamos ns hajamos ns sede vs estai vs tende vs havei vs sejam vocs estejam vocs tenham vocs hajam vocs NEGATIVO no sejas tu no estejas tu no tenhas tu no hajas tu no seja voc no esteja voc no tenha voc no haja voc no sejamos ns no estejamos

ns no tenhamos ns

no hajamos ns

no sejais vs no estejais vs

no tenhais vs no hajais vs

no sejam vocs no estejam vocs

no tenham vocs

no hajam vocs

IMPESSOAL INFINITIVO ser estar ter haver IMPESSOAL COMPOSTO Ter sido ter estado ter tido ter havido PESSOAL

ser estar ter haver seres estares teres haveres ser estar ter haver sermos estarmos termos havermos serdes estardes terdes haverdes serem estarem terem haverem SIMPLES GERNDIO sendo estando tendo havendo COMPOSTO tendo sido tendo estado tendo tido tendo havido PARTICPIO sido estado tido havido

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Matemtica A Opo Certa Para a Sua Realizao 1

Nmeros relativos inteiros e fracionrios, operaes e propriedades. Mltiplos e divisores, mximo divisor comum e mni-mo mltiplo comum. Nmeros reais. Expresses numricas. Equaes e sistemas de equaes de 1.o grau. Sistemas de medida de tempo. Sistema mtrico decimal. Nmeros e grandezas diretamente e inversamente proporcionais. Regra de trs simples. Porcentagem. Taxas de juros simples e compostas, capital, montan-te e desconto. Princpios de geometria: permetro, rea e volume.

NMEROS RELATIVOS INTEIROS E FRACION-RIOS, OPERAES E PROPRIEDADES.

Conjuntos numricos podem ser representados de di-versas formas. A forma mais simples dar um nome ao conjunto e expor todos os seus elementos, um ao lado do outro, entre os sinais de chaves. Veja o exemplo abaixo:

A = {51, 27, -3} Esse conjunto se chama "A" e possui trs termos, que

esto listados entre chaves. Os nomes dos conjuntos so sempre letras maisculas.

Quando criamos um conjunto, podemos utilizar qualquer letra.

Vamos comear nos primrdios da matemtica. - Se eu pedisse para voc contar at 10, o que voc me

diria? - Um, dois, trs, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove e

dez. Pois , estes nmeros que saem naturalmente de sua

boca quando solicitado, so chamados de nmeros NA-TURAIS, o qual representado pela letra .

Foi o primeiro conjunto inventado pelos homens, e tinha como inteno mostrar quantidades.

*Obs.: Originalmente, o zero no estava includo neste conjunto, mas pela necessidade de representar uma quan-tia nula, definiu-se este nmero como sendo pertencente ao conjunto dos Naturais. Portanto:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} Obs.2: Como o zero originou-se depois dos outros n-

meros e possui algumas propriedades prprias, algumas vezes teremos a necessidade de representar o conjunto dos nmeros naturais sem incluir o zero. Para isso foi defi-nido que o smbolo * (asterisco) empregado ao lado do smbolo do conjunto, iria representar a ausncia do zero. Veja o exemplo abaixo:

N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} Estes nmeros foram suficientes para a sociedade du-

rante algum tempo. Com o passar dos anos, e o aumento

das "trocas" de mercadorias entre os homens, foi necess-rio criar uma representao numrica para as dvidas.

Com isso inventou-se os chamados "nmeros negati-vos", e junto com estes nmeros, um novo conjunto: o conjunto dos nmeros inteiros, representado pela letra .

O conjunto dos nmeros inteiros formado por todos os nmeros NATURAIS mais todos os seus representantes negativos.

Note que este conjunto no possui incio nem fim (ao contrrio dos naturais, que possui um incio e no possui fim).

Assim como no conjunto dos naturais, podemos repre-sentar todos os inteiros sem o ZERO com a mesma nota-o usada para os NATURAIS.

Z* = {..., -2, -1, 1, 2, ...} Em algumas situaes, teremos a necessidade de re-

presentar o conjunto dos nmeros inteiros que NO SO NEGATIVOS.

Para isso emprega-se o sinal "+" ao lado do smbolo do conjunto (vale a pena lembrar que esta simbologia repre-senta os nmeros NO NEGATIVOS, e no os nmeros POSITIVOS, como muita gente diz). Veja o exemplo abai-xo:

Z+ = {0,1, 2, 3, 4, 5, ...} Obs.1: Note que agora sim este conjunto possui um in-

cio. E voc pode estar pensando "mas o zero no positi-vo". O zero no positivo nem negativo, zero NULO.

Ele est contido neste conjunto, pois a simbologia do sinalzinho positivo representa todos os nmeros NO NE-GATIVOS, e o zero se enquadra nisto.

Se quisermos representar somente os positivos (ou se-ja, os no negativos sem o zero), escrevemos:

Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...} Pois assim teremos apenas os positivos, j que o zero

no positivo. Ou tambm podemos representar somente os inteiros

NO POSITIVOS com: Z

- ={...,- 4, - 3, - 2, -1 , 0}

Obs.: Este conjunto possui final, mas no possui incio. E tambm os inteiros negativos (ou seja, os no positi-

vos sem o zero): Z*

- ={...,- 4, - 3, - 2, -1}

Fonte: http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/conjuntos/conjuntos.php

Assim:

Conjunto dos Nmeros Naturais: So todos os nme-ros inteiros positivos, incluindo o zero. representado pela letra maiscula N. Caso queira representar o conjunto dos nmeros naturais no-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N:

N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...} N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...} Conjunto dos Nmeros Inteiros: So todos os nme-

ros que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos). So representados pela letra Z:

Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}



O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, e-les so:

- Inteiros no negativos: So todos os nmeros intei-ros que no so negativos. Logo percebemos que este conjunto igual ao conjunto dos nmeros naturais.

representado por Z+: Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, ...} - Inteiros no positivos: So todos os nmeros intei-

ros que no so positivos. representado por Z-:

Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}

- Inteiros no negativos e no-nulos: o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*+:

Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} Z*+ = N*

- Inteiros no positivos e no nulos: So todos os nmeros do conjunto Z

- excluindo o zero. Representa-se

por Z*-.

Z*- = {... -4, -3, -2, -1}

Conjunto dos Nmeros Racionais: Os nmeros ra-cionais um conjunto que engloba os nmeros inteiros (Z), nmeros decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os nmeros decimais infinitos peridicos (que repete uma seqncia de algarismos da parte decimal infinitamente), como "12,050505...", so tambm conhecidas como dzi-mas peridicas.

Os racionais so representados pela letra Q. Conjunto dos Nmeros Irracionais: formado pelos

nmeros decimais infinitos no-peridicos. Um bom exem-plo de nmero irracional o nmero PI (resultado da divi-so do permetro de uma circunferncia pelo seu dime-tro), que vale 3,14159265 .... Atualmente, supercomputado-res j conseguiram calcular bilhes de casas decimais para o PI. Tambm so irracionais todas as razes no exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 ...)

Conjunto dos Nmeros Reais: formado por todos os conjuntos citados anteriormente (unio do conjunto dos racionais com os irracionais). Representado pela letra R.

Representao geomtrica de

A cada ponto de uma reta podemos associar um nico nmero real, e a cada nmero real podemos associar um nico ponto na reta.

Dizemos que o conjunto denso, pois entre dois nmeros reais existem infinitos nmeros reais (ou seja, na reta, entre dois pontos associados a dois nmeros reais, existem infinitos pontos).

Veja a representao na reta de :

Fonte:http://www.infoescola.com/matematica/conjuntos-numericos/

CONJUNTO DOS NMEROS NATURAIS (N)

ADIO E SUBTRAO Veja a operao: 2 + 3 = 5 . A operao efetuada chama-se adio e indicada es-

crevendo-se o sinal + (l-se: mais") entre os nmeros. Os nmeros 2 e 3 so chamados parcelas. 0 nmero 5,

resultado da operao, chamado soma. 2 parcela

+ 3 parcela 5 soma

A adio de trs ou mais parcelas pode ser efetuada adicionando-se o terceiro nmero soma dos dois primei-ros ; o quarto nmero soma dos trs primeiros e assim por diante.

3 + 2 + 6 = 5 + 6 = 11 Veja agora outra operao: 7 3 = 4 Quando tiramos um subconjunto de um conjunto, reali-

zamos a operao de subtrao, que indicamos pelo sinal - .

7 minuendo 3 subtraendo

4 resto ou diferena O minuendo o conjunto maior, o subtraendo o sub-

conjunto que se tira e o resto ou diferena o conjunto que sobra.

Somando a diferena com o subtraendo obtemos o mi-nuendo. Dessa forma tiramos a prova da subtrao.

4 + 3 = 7

EXPRESSES NUMRICAS Para calcular o valor de uma expresso numrica en-

volvendo adio e subtrao, efetuamos essas operaes na ordem em que elas aparecem na expresso.

Exemplos: 35 18 + 13 =

17 + 13 = 30 Veja outro exemplo:

47 + 35 42 15 =

82 42 15 = 40 15 = 25

Quando uma expresso numrica contiver os sinais de parnteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }, procederemos do seguinte modo:

Efetuamos as operaes indicadas dentro dos parnte-ses;

efetuamos as operaes indicadas dentro dos colche-tes;

efetuamos as operaes indicadas dentro das chaves. 1) 35 +[ 80 (42 + 11) ] =

35 + [ 80 53] = 35 + 27 = 62

2) 18 + { 72 [ 43 + (35 28 + 13) ] } = 18 + { 72 [ 43 + 20 ] } = 18 + { 72 63} = 18 + 9 = 27



CLCULO DO VALOR DESCONHECIDO Quando pretendemos determinar um nmero natural

em certos tipos de problemas, procedemos do seguinte modo: - chamamos o nmero (desconhecido) de x ou qualquer

outra incgnita ( letra ) - escrevemos a igualdade correspondente - calculamos o seu valor

Exemplos: 1) Qual o nmero que, adicionado a 15, igual a 31?

Soluo: Seja x o nmero desconhecido. A igualdade corres-pondente ser:

x + 15 = 31

Calculando o valor de x temos:

x + 15 = 31

x + 15 15 = 31 15

x = 31 15

x = 16

Na prtica , quando um nmero passa de um lado para outro da igualdade ele muda de sinal. 2) Subtraindo 25 de um certo nmero obtemos 11. Qual

esse nmero? Soluo: Seja x o nmero desconhecido. A igualdade correspon-dente ser:

x 25 = 11

x = 11 + 25

x = 36

Passamos o nmero 25 para o outro lado da igualdade e com isso ele mudou de sinal. 3) Qual o nmero natural que, adicionado a 8, igual a

20? Soluo:

x + 8 = 20

x = 20 8

x = 12

4) Determine o nmero natural do qual, subtraindo 62, obtemos 43. Soluo:

x 62 = 43

x = 43 + 62

x = 105

Para sabermos se o problema est correto simples, basta substituir o x pelo valor encontrado e realizarmos a operao. No ltimo exemplo temos:

x = 105

105 62 = 43

MULTIPLICAO Observe:

4 X 3 = 12

A operao efetuada chama-se multiplicao e indi-cada escrevendo-se um ponto ou o sinal x entre os nme-ros.

Os nmeros 3 e 4 so chamados fatores. O nmero 12,

resultado da operao, chamado produto.

3 X 4 = 12

3 fatores

X 4

12 produto Por conveno, dizemos que a multiplicao de qual-

quer nmero por 1 igual ao prprio nmero. A multiplicao de qualquer nmero por 0 igual a 0. A multiplicao de trs ou mais fatores pode ser efetu-

ada multiplicando-se o terceiro nmero pelo produto dos dois primeiros; o quarto numero pelo produto dos trs pri-meiros; e assim por diante.

3 x 4 x 2 x 5 =

12 x 2 x 5 =

24 x 5 = 120

EXPRESSES NUMRICAS Sinais de associao O valor das expresses numricas envolvendo as ope-

raes de adio, subtrao e multiplicao obtido do seguinte modo: efetuamos as multiplicaes efetuamos as adies e subtraes, na ordem em que

aparecem. 1) 3 . 4 + 5 . 8 2 . 9 =

12 + 40 18 = = 34

2) 9 . 6 4 . 12 + 7 . 2 = 54 48 + 14 = = 20

No se esquea: Se na expresso ocorrem sinais de parnteses colche-

tes e chaves, efetuamos as operaes na ordem em que aparecem:

1) as que esto dentro dos parnteses 2) as que esto dentro dos colchetes 3) as que esto dentro das chaves. Exemplo: 22 + {12 +[ ( 6 . 8 + 4 . 9 ) 3 . 7] 8 . 9 } = 22 + { 12 + [ ( 48 + 36 ) 21] 72 } = = 22 + { 12 + [ 84 21] 72 } = = 22 + { 12 + 63 72 } = = 22 + 3 = = 25

DIVISO Observe a operao: 30 : 6 = 5 Tambm podemos representar a diviso das seguintes

maneiras: 30 6

ou 56

30= 0 5

O dividendo (D) o nmero de elementos do conjunto que dividimos o divisor (d) o nmero de elementos do subconjunto pelo qual dividimos o dividendo e o quociente (c) o nmero de subconjuntos obtidos com a diviso.

Essa diviso exata e considerada a operao inver-sa da multiplicao.



Se 30 : 6 = 5, ENTO 5 x 6 = 30 observe agora esta outra diviso:

32 6 2 5

32 = dividendo 6 = divisor 5 = quociente 2 = resto

Essa diviso no exata e chamada diviso aproxi-mada.

ATENO: Na diviso de nmeros naturais, o quociente sempre

menor ou igual ao dividendo. O resto sempre menor que o divisor. O resto no pode ser igual ou maior que o divisor. O resto sempre da mesma espcie do dividendo. Exem-

plo: dividindo-se laranjas por certo nmero, o resto ser laranjas.

impossvel dividir um nmero por 0 (zero), porque no existe um nmero que multiplicado por 0 d o quociente da diviso.

PROBLEMAS

Determine um nmero natural que, multiplicado por 17, resulte 238.

x . 17 = 238

x = 238 : 17

x = 14

Prova: 14 . 17 = 238 Determine um nmero natural que, dividido por 62, resulte

49. x : 62 = 49

x = 49 . 62 x = 3038

Determine um nmero natural que, adicionado a 15, d como resultado 32

x + 15 = 32 x = 32 15 x = 17

Quanto devemos adicionar a 112, a fim de obtermos 186? x + 112 = 186

x = 186 112 x = 74

Quanto devemos subtrair de 134 para obtermos 81? 134 x = 81

x = 81 134 x = 53 (multiplicando por 1)

x = 53 Prova: 134 53 = 81

Ricardo pensou em um nmero natural, adicionou-lhe 35, subtraiu 18 e obteve 40 no resultado. Qual o nmero pensado?

x + 35 18 = 40

x = 40 35 + 18 x = 23

Prova: 23 + 35 18 = 40 Adicionando 1 ao dobro de certo nmero obtemos 7. Qual

esse numero? 2 . x + 1 = 7

2x = 7 1 2x = 6 x = 6 : 2 x = 3

O nmero procurado 3. Prova: 2. 3 +1 = 7

Subtraindo 12 do triplo de certo nmero obtemos 18. De-terminar esse nmero.

3 . x 12 = 18 3 x = 18 + 12 3 x = 30

x = 30 : 3 x = 10

Dividindo 1736 por um nmero natural, encontramos 56. Qual o valor deste numero natural?

1736 : x = 56 1736 = 56 . x

56 . x = 1736 x . 56 = 1736

x = 1736 : 56 x = 31

O dobro de um nmero igual a 30. Qual o nmero? 2 . x = 30

2x = 30 x = 30 : 2 x = 15

O dobro de um nmero mais 4 igual a 20. Qual o nme-ro ?

2 . x + 4 = 20 2 x = 20 4 2 x = 16

x = 16 : 2 x = 8

Paulo e Jos tm juntos 12 lpis. Paulo tem o dobro dos lpis de Jos. Quantos lpis tem cada menino? Jos: x Paulo: 2x Paulo e Jos: x + x + x = 12

3x = 12 x = 12 : 3 x = 4

Jos: 4 - Paulo: 8 A soma de dois nmeros 28. Um o triplo do outro.

Quais so esses nmeros? um nmero: x o outro nmero: 3x

x + x + x + x = 28 (os dois nmeros) 4 x = 28



x = 28 : 4 x = 7 (um nmero)

3x = 3 . 7 = 21 (o outro nmero). Resposta: 7 e 21

Pedro e Marcelo possuem juntos 30 bolinhas. Marcelo tem 6 bolinhas a mais que Pedro. Quantas bolinhas tem cada um? Pedro: x Marcelo: x + 6

x + x + 6 = 30 ( Marcelo e Pedro) 2 x + 6 = 30

2 x = 30 6 2 x = 24

x = 24 : 2 x = 12 (Pedro)

Marcelo: x + 6 =12 + 6 =18

EXPRESSES NUMRICAS ENVOLVENDO AS QUA-TRO OPERAES

Sinais de associao: O valor das expresses numricas envolvendo as qua-

tro operaes obtido do seguinte modo: efetuamos as multiplicaes e as divises, na ordem em

que aparecem; efetuamos as adies e as subtraes, na ordem em que

aparecem; Exemplo 1) 3 .15 + 36 : 9 = = 45 + 4 = 49 Exemplo 2) 18 : 3 . 2 + 8 6 . 5 : 10 = = 6 . 2 + 8 30 : 10 = = 12 + 8 3 = = 20 3 = 17 RADICIAO potenciao e racionalizao.

POTENCIAO Considere a multiplicao:2 . 2 . 2 em que os trs fato-

res so todos iguais a 2. Esse produto pode ser escrito ou indicado na forma 23

(l-se: dois elevado terceira potncia), em que o 2 o fator que se repete e o 3 corresponde quantidade desses fatores.

Assim, escrevemos: 23 = 2 . 2 . 2 = 8 (3 fatores) A operao realizada chama-se potenciao. O nmero que se repete chama-se base. O nmero que indica a quantidade de fatores iguais a

base chama-se expoente. O resultado da operao chama-se potncia.

Observaes: 1) os expoentes 2 e 3 recebem os nomes especiais de

quadrado e cubo, respectivamente. 2) As potncias de base 0 so iguais a zero.

02 = 0 . 0 = 0 3) As potncias de base um so iguais a um.

Exemplos: 13 = 1 . 1 . 1 = 1 15 = 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = 1 4) Por conveno, tem-se que: a potncia de expoente zero igual a 1

(a0 = 1, a 0) 30 = 1 ; 50 = 1 ; 120 = 1

a potncia de expoente um igual base (a1 = a) 21 = 2 ; 71 = 7 ; 1001 =100

PROPRIEDADES DAS POTNCIAS para multiplicar potncias de mesma base, conserva-se a

base e adicionam-se os expoentes. am . an = a m + n Exemplos: 32 . 38 = 32 + 8 = 310 5 . 5 6 = 51+6 = 57 para dividir potncias de mesma base, conserva-se a base

e subtraem-se os expoentes. am : an = am - n

Exemplos: 37 : 33 = 3 7 3 = 34 510 : 58 = 5 10 8 = 52 para elevar uma potncia a um outro expoente, conserva-

se base e multiplicam-se os expoentes. Exemplo: (32)4 = 32 . 4 = 38 para elevar um produto a um expoente, eleva-se cada fator

a esse expoente. (a. b)m = am . bm

Exemplos: (4 . 7)3 = 43 . 73 ; (3. 5)2 = 32 . 52

RADICIAO Suponha que desejemos determinar um nmero que,

elevado ao quadrado, seja igual a 9. Sendo x esse nmero, escrevemos: x2 = 9

De acordo com a potenciao, temos que x = 3, ou se-ja: 32 = 9

A operao que se realiza para determinar esse nme-ro 3 chamada radiciao, que a operao inversa da potenciao.

Indica-se por:

392 = (l-se: raiz quadrada de 9 igual a 3) Da , escrevemos:

9339 22 == Na expresso acima, temos que:

- o smbolo chama-se sinal da raiz - o nmero 2 chama-se ndice - o nmero 9 chama-se radicando - o nmero 3 chama-se raiz,

- o smbolo 2 9 chama-se radical As razes recebem denominaes de acordo com o n-

dice. Por exemplo:

2 36 raiz quadrada de 36 3 125 raiz cbica de 125

4 81 raiz quarta de 81

5 32 raiz quinta de 32 e assim por diante No caso da raiz quadrada, convencionou-se no escre-

ver o ndice 2.

Exemplo : 49 49 7 492 = = =, pois 72



EXERCCIOS Calcule: a) 10 10 : 5 = b) 45 : 9 + 6 = c) 20 + 40 : 10 = d) 9. 7 3 = e) 30 : 5 + 5 = f ) 6 . 15 56 : 4 = g) 63 : 9 . 2 2 = h) 56 34 : 17 . 19 = i ) 3 . 15 : 9 + 54 :18 = j ) 24 12 : 4+1. 0 =

Respostas: a) 8 c) 24 e) 11 g) 12 i) 8

b) 11 d) 60 f) 76 h) 18 j) 21

Calcule o valor das expresses: 23 + 32 = 3 . 52 72 = 2 . 33 4. 23 = 53 3 . 62 + 22 1 = (2 + 3)2 + 2 . 34 152 : 5 = 1 + 72 3 . 24 + (12 : 4)2 = Respostas:

a) 17 c) 22 e) 142

b) 26 d) 20 f) 11

Uma indstria de automveis produz, por dia, 1270 unida-des. Se cada veculo comporta 5 pneus, quantos pneus sero utilizados ao final de 30 dias? (Resposta: 190.500)

Numa diviso, o divisor 9,o quociente 12 e o resto 5. Qual o dividendo? (113)

Numa diviso, o dividendo 227, o divisor 15 e o resto 2. Qual o quociente? (15)

Numa diviso, o dividendo 320, o quociente 45 e o resto 5. Qual o divisor? (7)

Num diviso, o dividendo 625, o divisor 25 e o quocien-te 25. Qual o resto? (0)

Numa chcara havia galinhas e cabras em igual quantida-de. Sabendo-se que o total de ps desses animais era 90, qual o nmero de galinhas? Resposta: 15 ( 2 ps + 4 ps = 6 ps ; 90 : 6 = 15).

O dobro de um nmero adicionado a 3 igual a 13. Calcu-le o nmero.(5)

Subtraindo 12 do qudruplo de um nmero obtemos 60. Qual esse nmero (Resp: 18)

Num joguinho de "pega-varetas", Andr e Renato fizeram 235 pontos no total. Renato fez 51 pontos a mais que Andr. Quantos pontos fez cada um? ( Andr-92 e Renato-143)

Subtraindo 15 do triplo de um nmero obtemos 39. Qual o nmero? (18)

Distribuo 50 balas, em iguais quantidades, a 3 amigos. No final sobraram 2. Quantas balas coube a cada um? (16)

A diferena entre dois nmeros naturais zero e a sua soma 30. Quais so esses nmeros? (15)

Um aluno ganha 5 pontos por exerccio que acerta e perde 3 pontos por exerccio que erra. Ao final de 50 exerc-cios tinha 130 pontos. Quantos exerccios acertou? (35)

Um edifcio tem 15 andares; cada andar, 30 salas; cada sala, 3 mesas; cada mesa, 2 gavetas; cada gaveta, 1 chave. Quantas chaves diferentes sero necessrias para abrir todas as gavetas? (2700).

Se eu tivesse 3 dzias de balas a mais do que tenho, daria 5 e ficaria com 100. Quantas balas tenho realmente? (69)

A soma de dois nmeros 428 e a diferena entre eles 34. Qual o nmero maior? (231)

Pensei num nmero e juntei a ele 5, obtendo 31. Qual o nmero? (26)

Qual o nmero que multiplicado por 7 resulta 56? (8) O dobro das balas que possuo mais 10 36. Quantas

balas possuo? (13). Raul e Lus pescaram 18 peixinhos. Raul pescou o

dobro de Lus. Quanto pescou cada um? (Raul-12 e Lus-6)

PROBLEMAS Vamos calcular o valor de x nos mais diversos casos:

1) x + 4 = 10 Obtm-se o valor de x, aplicando a operao inversa da adio:

x = 10 4 x = 6 2) 5x = 20

Aplicando a operao inversa da multiplicao, temos: x = 20 : 5 x = 4 3) x 5 = 10

Obtm-se o valor de x, aplicando a operao inversa da subtrao:

x = 10 + 5 x = 15 4) x : 2 = 4

Aplicando a operao inversa da diviso, temos: x = 4 . 2 x = 8

COMO ACHAR O VALOR DESCONHECIDO EM UM PROBLEMA

Usando a letra x para representar um nmero, pode-mos expressar, em linguagem matemtica, fatos e senten-as da linguagem corrente referentes a esse nmero, ob-serve: - duas vezes o nmero 2 . x - o nmero mais 2 x + 2

- a metade do nmero 2x

- a soma do dobro com a metade do nmero

2x

x2 +

- a quarta parte do nmero 4x

PROBLEMA 1 Vera e Paula tm juntas R$ 1.080,00. Vera tem o triplo

do que tem Paula. Quanto tem cada uma? Soluo:

x + 3x = 1080 4x = 1080 x = 1080 : 4



x = 270 3 . 270 = 810

Resposta: Vera R$ 810,00 e Paula R$ 270,00 PROBLEMA 2 Paulo foi comprar um computador e uma bicicleta. Pa-

gou por tudo R$ 5.600,00. Quanto custou cada um, saben-do-se que a computador seis vezes mais caro que a bicicleta?

Soluo: x + 6x = 5600

7x = 5600 x = 5600 : 7 x = 800

6 . 800 = 4800 R: computador R$ 4.800,00 e bicicleta R$ 800,00 PROBLEMA 3 Repartir 21 cadernos entre Jos e suas duas irms, de

modo que cada menina receba o triplo do que recebe Jos. Quantos cadernos receber Jos?

Soluo: x + 3x + 3x = 21

7x = 21 x = 21 : 7 x = 3

Resposta: 3 cadernos PROBLEMA 4 Repartir R$ 2.100,00 entre trs irmos de modo que o

2 receba o dobro do que recebe o 1 , e o 3 o dobro do que recebe o 2. Quanto receber cada um?

Soluo: x + 2x + 4x = 2100

7x = 2100 x = 2100 : 7 x = 300

300 . 2 = 600 300 . 4 = 1200

Resposta: R$ 300,00; R$ 600,00; R$ 1200,00 PROBLEMA 5 A soma das idades de duas pessoas 40 anos. A ida-

de de uma o triplo da idade da outra. Qual a idade de cada uma?

Soluo: 3x + x = 40

4x = 40 x = 40 : 4 x = 10

3 . 10 = 30 Resposta: 10 e 30 anos. PROBLEMA 6 A soma das nossas idades 45 anos. Eu sou 5 anos

mais velho que voc. Quantos anos eu tenho? x + x + 5 = 45

x + x = 45 5 2x = 40 x = 20

20 + 5 = 25

Resposta: 25 anos PROBLEMA 7 Sua bola custou R$ 10,00 menos que a minha. Quanto

pagamos por elas, se ambas custaram R$ 150,00? Soluo:

x + x 10 = 150 2x = 150 + 10 2x = 160 x = 160 : 2 x = 80

80 10 = 70 Resposta: R$ 70,00 e R$ 80,00 PROBLEMA 8 Jos tem o dobro do que tem Srgio, e Paulo tanto

quanto os dois anteriores juntos. Quanto tem cada um, se os trs juntos possuem R$ 624,00?

Soluo: x + 2x + x + 2x = 624

6x = 624 x = 624 : 6 x = 104

Resposta:S-R$ 104,00; J-R$ 208,00; P- R$ 312,00 PROBLEMA 9 Se eu tivesse 4 rosas a mais do que tenho, poderia dar

a voc 7 rosas e ainda ficaria com 2. Quantas rosas tenho? Soluo:

x + 4 7 = 2 x + 4 = 7 + 2 x + 4 = 9

x = 9 4 x = 5

Resposta: 5 CONJUNTO DOS NMEROS INTEIROS (Z)

Conhecemos o conjunto N dos nmeros naturais: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, .....,} Assim, os nmeros precedidos do sinal + chamam-se

positivos, e os precedidos de - so negativos. Exemplos: Nmeros inteiros positivos: {+1, +2, +3, +4, ....} Nmeros inteiros negativos: {-1, -2, -3, -4, ....} O conjunto dos nmeros inteiros relativos formado pe-

los nmeros inteiros positivos, pelo zero e pelos nmeros inteiros negativos. Tambm o chamamos de CONJUNTO DOS NMEROS INTEIROS e o representamos pela letra Z, isto : Z = {..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ... }

O zero no um nmero positivo nem negativo. Todo nmero positivo escrito sem o seu sinal positivo.

Exemplo: + 3 = 3 ; +10 = 10 Ento, podemos escrever: Z = {..., -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, ...} N um subconjunto de Z. REPRESENTAO GEOMTRICA Cada nmero inteiro pode ser representado por um

ponto sobre uma reta. Por exemplo:



Ao ponto zero, chamamos origem, corresponde o n-mero zero.

Nas representaes geomtricas, temos direita do ze-ro os nmeros inteiros positivos, e esquerda do zero, os nmeros inteiros negativos.

Observando a figura anterior, vemos que cada ponto a representao geomtrica de um nmero inteiro.

Exemplos: ponto C a representao geomtrica do nmero +3 ponto B' a representao geomtrica do nmero -2

ADIO DE DOIS NMEROS INTEIROS 1) A soma de zero com um nmero inteiro o prprio

nmero inteiro: 0 + (-2) = -2 2) A soma de dois nmeros inteiros positivos um nmero

inteiro positivo igual soma dos mdulos dos nmeros dados: (+700) + (+200) = +900

3) A soma de dois nmeros inteiros negativos um nme-ro inteiro negativo igual soma dos mdulos dos nme-ros dados: (-2) + (-4) = -6

4) A soma de dois nmeros inteiros de sinais contrrios igual diferena dos mdulos, e o sinal o da parcela de maior mdulo: (-800) + (+300) = -500 ADIO DE TRS OU MAIS NMEROS INTEIROS A soma de trs ou mais nmeros inteiros efetuada a-

dicionando-se todos os nmeros positivos e todos os nega-tivos e, em seguida, efetuando-se a soma do nmero nega-tivo.

Exemplos: 1) (+6) + (+3) + (-6) + (-5) + (+8) =

(+17) + (-11) = + 6

2) (+3) + (-4) + (+2) + (-8) =

(+5) + (-12) = 7

PROPRIEDADES DA ADIO A adio de nmeros inteiros possui as seguintes pro-

priedades: 1) FECHAMENTO A soma de dois nmeros inteiros sempre um nmero inteiro: (-3) + (+6) = + 3 Z 2) ASSOCIATIVA Se a, b, c so nmeros inteiros quaisquer, ento: a + (b + c) = (a + b) + c Exemplo:

(+3) +[(-4) + (+2)] = [(+3) + (-4)] + (+2)

(+3) + (-2) = (-1) + (+2)

+1 = +1 3) ELEMENTO NEUTRO Se a um nmero inteiro qualquer, temos: a+ 0 = a e 0 + a = a Isto significa que o zero elemento neutro para a adi-o. Exemplo: (+2) + 0 = +2 e 0 + (+2) = +2

4) OPOSTO OU SIMTRICO

Se a um nmero inteiro qualquer, existe um nico nmero oposto ou simtrico representado por (-a), tal que: (+a) + (-a) = 0 = (-a) + (+a) Exemplos: (+5) + ( -5) = 0

( -5) + (+5) = 0

5) COMUTATIVA Se a e b so nmeros inteiros, ento: a + b = b + a Exemplo: (+4) + (-6) = (-6) + (+4) -2 = -2

SUBTRAO DE NMEROS INTEIROS Em certo local, a temperatura passou de -3C para 5C,

sofrendo, portanto, um aumento de 8C, aumento esse que pode ser representado por:

(+5) - (-3) = (+5) + (+3) = +8 Portanto: A diferena entre dois nmeros dados numa certa or-

dem a soma do primeiro com o oposto do segundo. Exemplos: 1) (+6) - (+2) = (+6) + (-2 ) = +4 2) (-8 ) - (-1 ) = (-8 ) + (+1) = - 7 3) (-5 ) - (+2) = (-5 ) + (-2 ) = - 7 Na prtica, efetuamos diretamente a subtrao, elimi-

nando os parnteses - (+4 ) = -4 - ( -4 ) = +4 Observao: Permitindo a eliminao dos parnteses, os sinais po-

dem ser resumidos do seguinte modo: ( + ) = + + ( - ) = -

- ( + ) = - - ( - ) = + Exemplos: - ( -2) = +2 +(-6 ) = -6 - (+3) = -3

+(+1) = +1

PROPRIEDADE DA SUBTRAO A subtrao possui uma propriedade. FECHAMENTO: A diferena de dois nmeros inteiros

sempre um nmero inteiro. MULTIPLICAO DE NMEROS INTEIROS

1 CASO: OS DOIS FATORES SO NMEROS INTEI-ROS POSITIVOS Lembremos que: 3 . 2 = 2 + 2 + 2 = 6 Exemplo: (+3) . (+2) = 3 . (+2) = (+2) + (+2) + (+2) = +6 Logo: (+3) . (+2) = +6 Observando essa igualdade, conclumos: na multiplica-

o de nmeros inteiros, temos: (+) . (+) =+ 2 CASO: UM FATOR POSITIVO E O OUTRO

NEGATIVO Exemplos: 1) (+3) . (-4) = 3 . (-4) = (-4) + (-4) + (-4) = -12 ou seja: (+3) . (-4) = -12 2) Lembremos que: -(+2) = -2 (-3) . (+5) = - (+3) . (+5) = -(+15) = - 15 ou seja: (-3) . (+5) = -15 Concluso: na multiplicao de nmeros inteiros, te-

mos: ( + ) . ( - ) = - ( - ) . ( + ) = - Exemplos : (+5) . (-10) = -50



(+1) . (-8) = -8 (-2 ) . (+6 ) = -12 (-7) . (+1) = -7

3 CASO: OS DOIS FATORES SO NMEROS IN-TEIROS NEGATIVOS

Exemplo: (-3) . (-6) = -(+3) . (-6) = -(-18) = +18 isto : (-3) . (-6) = +18 Concluso: na multiplicao de nmeros inteiros, te-

mos: ( - ) . ( - ) = + Exemplos: (-4) . (-2) = +8 (-5) . (-4) = +20 As regras dos sinais anteriormente vistas podem ser

resumidas na seguinte: ( + ) . ( + ) = + ( + ) . ( - ) = - ( - ) . ( - ) = + ( - ) . ( + ) = - Quando um dos fatores o 0 (zero), o produto igual a

0: (+5) . 0 = 0

PRODUTO DE TRS OU MAIS NMEROS INTEIROS

Exemplos: 1) (+5 ) . ( -4 ) . (-2 ) . (+3 ) = (-20) . (-2 ) . (+3 ) = (+40) . (+3 ) = +120

2) (-2 ) . ( -1 ) . (+3 ) . (-2 ) = (+2 ) . (+3 ) . (-2 ) = (+6 ) . (-2 ) = -12 Podemos concluir que:

Quando o nmero de fatores negativos par, o produto sempre positivo.

Quando o nmero de fatores negativos mpar, o produto sempre negativo.

PROPRIEDADES DA MULTIPLICAO No conjunto Z dos nmeros inteiros so vlidas as se-

guintes propriedades: 1) FECHAMENTO Exemplo: (+4 ) . (-2 ) = - 8 Z Ento o produto de dois nmeros inteiros inteiro. 2) ASSOCIATIVA Exemplo: (+2 ) . (-3 ) . (+4 ) Este clculo pode ser feito diretamente, mas tambm

podemos faz-lo, agrupando os fatores de duas maneiras: (+2 ) . [(-3 ) . (+4 )] = [(+2 ) . ( -3 )]. (+4 ) (+2 ) . (-12) = (-6 ) . (+4 ) -24 = -24 De modo geral, temos o seguinte: Se a, b, c representam nmeros inteiros quaisquer, en-

to: a . (b . c) = (a . b) . c 3) ELEMENTO NEUTRO Observe que: (+4 ) . (+1 ) = +4 e (+1 ) . (+4 ) = +4 Qualquer que seja o nmero inteiro a, temos: a . (+1 ) = a e (+1 ) . a = a O nmero inteiro +1 chama-se neutro para a multiplica-

o. 4) COMUTATIVA Observemos que: (+2). (-4 ) = - 8 e (-4 ) . (+2 ) = - 8 Portanto: (+2 ) . (-4 ) = (-4 ) . (+2 ) Se a e b so nmeros inteiros quaisquer, ento: a . b =

b . a, isto , a ordem dos fatores no altera o produto.

5) DISTRIBUTIVA EM RELAO ADIO E SUBTRAO

Observe os exemplos: (+3 ) . [( -5 ) + (+2 )] = (+3 ) . ( -5 ) + (+3 ) . (+2 ) (+4 ) . [( -2 ) - (+8 )] = (+4 ) . ( -2 ) - (+4 ) . (+8 ) Concluso: Se a, b, c representam nmeros inteiros quaisquer, te-

mos: a) a . [b + c] = a . b + a . c A igualdade acima conhecida como propriedade

distributiva da multiplicao em relao adio. b) a . [b c] = a . b - a . c A igualdade acima conhecida como propriedade dis-

tributiva da multiplicao em relao subtrao.

DIVISO DE NMEROS INTEIROS CONCEITO Dividir (+16) por 2 achar um nmero que, multiplicado

por 2, d 16. 16 : 2 = ? 2 . ( ? ) = 16 O nmero procurado 8. Analogamente, temos: 1) (+12) : (+3 ) = +4 porque (+4 ) . (+3 ) = +12 2) (+12) : ( -3 ) = - 4 porque (- 4 ) . ( -3 ) = +12 3) ( -12) : (+3 ) = - 4 porque (- 4 ) . (+3 ) = -12 4) ( -12) : ( -3 ) = +4 porque (+4 ) . ( -3 ) = -12 A diviso de nmeros inteiros s pode ser realizada

quando o quociente um nmero inteiro, ou seja, quando o dividendo mltiplo do divisor.

Portanto, o quociente deve ser um nmero inteiro. Exemplos: ( -8 ) : (+2 ) = -4 ( -4 ) : (+3 ) = no um nmero inteiro Lembramos que a regra dos sinais para a diviso a

mesma que vimos para a multiplicao: ( + ) : ( + ) = + ( + ) : ( - ) = - ( - ) : ( - ) = + ( - ) : ( + ) = - Exemplos: ( +8 ) : ( -2 ) = -4 (-10) : ( -5 ) = +2 (+1 ) : ( -1 ) = -1 (-12) : (+3 ) = -4

Como vimos: (+4 ) : (+3 ) Z Portanto, no vale em Z a propriedade do fechamento

para a diviso. Alem disso, tambm no so vlidas as proposies associativa, comutativa e do elemento neutro.

POTENCIAO DE NMEROS INTEIROS CONCEITO A notao (+2 )3 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 )

um produto de trs fatores iguais Analogamente: ( -2 )4 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 )

um produto de quatro fatores iguais Portanto potncia um produto de fatores iguais. Na potncia (+5 )2 = +25, temos:



+5 ---------- base 2 ---------- expoente +25 ---------- potncia Observaces : (+2 ) 1 significa +2, isto , (+2 )1 = +2 ( -3 )1 significa -3, isto , ( -3 )1 = -3 CLCULOS O EXPOENTE PAR Calcular as potncias (+2 )4 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) = +16

isto , (+2)4 = +16 ( -2 )4 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) = +16

isto , (-2 )4 = +16 Observamos que: (+2)4 = +16 e (-2)4 = +16 Ento, de modo geral, temos a regra: Quando o expoente par, a potncia sempre um n-

mero positivo. Outros exemplos: (-1)6 = +1 (+3)2 = +9

Calcular as potncias: (+2 )3 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) = +8 isto , (+2)3 = + 8 ( -2 )3 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) = -8 ou seja, (-2)3 = -8 Observamos que: (+2 )3 = +8 e ( -2 )3 = -8 Da, a regra: Quando o expoente mpar, a potncia tem o mesmo

sinal da base. Outros exemplos: (- 3) 3 = - 27 (+2)4 = +16 PROPRIEDADES PRODUTO DE POTNCIAS DE MESMA BASE Exemplos: (+2 )3 . (+2 )2 = (+2 )3+22 = (+2 )5 ( -2 )2 . ( -2 )3 . ( -2 )5 = ( -2 ) 2 + 3 + 5 = ( -2 )10 Para multiplicar potncias de mesma base, mantemos a

base e somamos os expoentes.

(+2 ) 5 : (+2 )2 = (+2 )5-2 = (+2 )3 ( -2 )7 : ( -2 )3 = ( -2 )7-3 = ( -2 )4 Para dividir potncias de mesma base em que o expo-

ente do dividendo maior que o expoente do divisor, man-temos a base e subtramos os expoentes.

[( -4 )3]5 = ( -4 )3 . 5 = ( -4 )15 Para calcular uma potncia de potncia, conservamos a

base da primeira potncia e multiplicamos os expoentes .

[( -2 ) . (+3 ) . ( -5 )]4 = ( -2 )4 . (+3 )4 . ( -5 )4 Para calcular a potncia de um produto, sendo n o ex-

poente, elevamos cada fator ao expoente n.

(+2 )5 : (+2 )5 = (+2 )5-5 = (+2 )0 e (+2 )5 : (+2 )5 = 1 Consequentemente: (+2 )0 = 1 ( -4 )0 = 1 Qualquer potncia de expoente zero igual a 1. Observao: No confundir -32 com ( -3 )2, porque -32 significa -(

3 )2 e portanto -32 = -( 3 )2 = -9 enquanto que: ( -3 )2 = ( -3 ) . ( -3 ) = +9 Logo: -3 2 ( -3 )2

CLCULOS

O EXPOENTE PAR Calcular as potncias (+2 )4 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) = +16 isto , (+2)4 = +16 ( -2 )4 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) = +16 isto , (-2 )4 = +16 Observamos que: (+2)4 = +16 e (-2)4 = +16 Ento, de modo geral, temos a regra: Quando o expoente par, a potncia sempre um n-

mero positivo. Outros exemplos: (-1)6 = +1 (+3)2 = +9

O EXPOENTE MPAR Exemplos: Calcular as potncias: 1) (+2 )3 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) = +8 isto , (+2)3 = + 8 2) ( -2 )3 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) = -8 ou seja, (-2)3 = -8

Observamos que: (+2 )3 = +8 e ( -2 )3 = -8 Da, a regra: Quando o expoente mpar, a potncia tem o mesmo

sinal da base. Outros exemplos: (- 3) 3 = - 27 (+2)4 = +16

PROPRIEDADES PRODUTO DE POTNCIAS DE MESMA BASE Exemplos: (+2 )3 . (+2 )2 = (+2 )3+22 = (+2 )5 ( -2 )2 . ( -2 )3 . ( -2 )5 = ( -2 ) 2 + 3 + 5 = ( -2 )10 Para multiplicar potncias de mesma base, mantemos a

base e somamos os expoentes.

(+2 ) 5 : (+2 )2 = (+2 )5-2 = (+2 )3 ( -2 )7 : ( -2 )3 = ( -2 )7-3 = ( -2 )4 Para dividir potncias de mesma base em que o expo-

ente do dividendo maior que o expoente do divisor, man-temos a base e subtramos os expoentes.

[( -4 )3]5 = ( -4 )3 . 5 = ( -4 )15 Para calcular uma potncia de potncia, conservamos a

base da primeira potncia e multiplicamos os expoentes .



[( -2 ) . (+3 ) . ( -5 )]4 = ( -2 )4 . (+3 )4 . ( -5 )4 Para calcular a potncia de um produto, sendo n o ex-

poente, elevamos cada fator ao expoente n.

(+2 )5 : (+2 )5 = (+2 )5-5 = (+2 )0 e (+2 )5 : (+2 )5 = 1 Consequentemente: (+2 )0 = 1 ( -4 )0 = 1 Qualquer potncia de expoente zero igual a 1. Observao: No confundir-32 com (-3)2, porque -32

significa -( 3 )2 e portanto: -32 = -( 3 )2 = -9 enquanto que: ( -3 )2 = ( -3 ) . ( -3 ) = +9 Logo: -3 2 ( -3 )2

MLTIPLOS E DIVISORES, MXIMO DIVISOR COMUM E MNIMO MLTIPLO COMUM.

NMEROS PARES E MPARES Os pitagricos estudavam natureza dos nmeros, e ba-

seado nesta natureza criaram sua filosofia e modo de vida. Vamos definir nmeros pares e mpares de acordo com a concepo pitagrica: par o nmero que pode ser dividido em duas partes iguais,

sem que uma unidade fique no meio, e mpar aquele que no pode ser dividido em duas partes iguais, porque sempre h uma unidade no meio Uma outra caracterizao, nos mostra a preocupao com

natureza dos nmeros: nmero par aquele que tanto pode ser dividido em duas

partes iguais como em partes desiguais, mas de forma tal que em nenhuma destas divises haja uma mistura da na-tureza par com a natureza mpar, nem da mpar com a par. Isto tem uma nica exceo, que o princpio do par, o nmero 2, que no admite a diviso em partes desi-guais, porque ele formado por duas unidades e, se isto pode ser dito, do primeiro nmero par, 2. Para exemplificar o texto acima, considere o nmero 10,

que par, pode ser dividido como a soma de 5 e 5, mas tam-bm como a soma de 7 e 3 (que so ambos mpares) ou como a soma de 6 e 4 (ambos so pares); mas nunca como a soma de um nmero par e outro mpar. J o nmero 11, que mpar pode ser escrito como soma de 8 e 3, um par e um mpar. Atualmente, definimos nmeros pares como sendo o nmero que ao ser dividido por dois tm resto zero e nmeros mpares aqueles que ao serem divididos por dois tm resto diferente de zero. Por exemplo, 12 dividido por 2 tm resto zero, portanto 12 par. J o nmero 13 ao ser dividido por 2 deixa resto 1, portanto 13 mpar.

MLTIPLOS E DIVISORES DIVISIBILIDADE Um nmero divisvel por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6

ou 8. Ex.: O nmero 74 divisvel por 2, pois termina em 4. Um nmero divisvel por 3 quando a soma dos valores

absolutos dos seus algarismos um nmero divisvel por 3. Ex.: 123 divisvel por 3, pois 1+2+3 = 6 e 6 divisvel por 3

Um nmero divisvel por 5 quando o algarismo das uni-dades 0 ou 5 (ou quando termina em o ou 5). Ex.: O nmero 320 divisvel por 5, pois termina em 0.

Um nmero divisvel por 10 quando o algarismo das uni-dades 0 (ou quando termina em 0). Ex.: O nmero 500 divisvel por 10, pois termina em 0. NMEROS PRIMOS

Um nmero natural primo quando divisvel apenas por dois nmeros distintos: ele prprio e o 1.

Exemplos: O nmero 2 primo, pois divisvel apenas por dois n-

meros diferentes: ele prprio e o 1. O nmero 5 primo, pois divisvel apenas por dois n-

meros distintos: ele prprio e o 1. O nmero natural que divisvel por mais de dois nmeros

diferentes chamado composto. O nmero 4 composto, pois divisvel por 1, 2, 4. O nmero 1 no primo nem composto, pois divisvel

apenas por um nmero (ele mesmo). O nmero 2 o nico nmero par primo.

DECOMPOSIO EM FATORES PRIMOS (FATORAO) Um nmero composto pode ser escrito sob a forma de um

produto de fatores primos. Por exemplo, o nmero 60 pode ser escrito na forma: 60 =

2 . 2 . 3 . 5 = 22 . 3 . 5 que chamada de forma fatorada. Para escrever um nmero na forma fatorada, devemos

decompor esse nmero em fatores primos, procedendo do seguinte modo:

Dividimos o nmero considerado pelo menor nmero pri-mo possvel de modo que a diviso seja exata.

Dividimos o quociente obtido pelo menor nmero primo possvel.

Dividimos, sucessivamente, cada novo quociente pelo menor nmero primo possvel, at que se obtenha o quociente 1.

Exemplo:

60 2

0 30 2

0 15 3

5 0 5

1

Portanto: 60 = 2 . 2 . 3 . 5 Na prtica, costuma-se traar uma barra vertical direita

do nmero e, direita dessa barra, escrever os divisores primos; abaixo do nmero escrevem-se os quocientes obtidos. A decomposio em fatores primos estar terminada quando o ltimo quociente for igual a 1.

Exemplo: 60

30 15 5

1

2 2 3 5

Logo: 60 = 2 . 2 . 3 . 5

DIVISORES DE UM NMERO Consideremos o nmero 12 e vamos determinar todos os

seus divisores Uma maneira de obter esse resultado escre-ver os nmeros naturais de 1 a 12 e verificar se cada um ou no divisor de 12, assinalando os divisores.

1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 = = = = =

=

Indicando por D(12) (l-se: "D de 12) o conjunto dos divi-sores do nmero 12, temos:



D (12) = { 1, 2, 3, 4, 6, 12} Na prtica, a maneira mais usada a seguinte: 1) Decompomos em fatores primos o nmero considera-

do. 12 6 3 1

2 2 3

2) Colocamos um trao vertical ao lado os fatores primos e, sua direita e acima, escrevemos o numero 1 que divisor de todos os nmeros.

12 6 3 1

2 2 3

1

3) Multiplicamos o fator primo 2 pelo divisor 1 e escreve-mos o produto obtido na linha correspondente.

12 6 3 1

2 2 3

x1 2

4) Multiplicamos, a seguir, cada fator primo pelos divi-sores j obtidos, escrevendo os produtos nas linhas correspondentes, sem repeti-los.

12 6 3 1

2 2 3

x1 2 4

12 6 3 1

2 2 3

x1 2 4 3, 6, 12

Os nmeros obtidos direita dos fatores primos so os di-visores do nmero considerado. Portanto:

D(12) = { 1, 2, 4, 3, 6, 12} Exemplos: 1)

18 9 3 1

2 3 3

1 2 3, 6 9, 18

D(18) = {1, 2 , 3, 6, 9, 18}

2)

30 15 5 1

2 3 5

1 2 3, 6 5, 10, 15, 30

D(30) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

MXIMO DIVISOR COMUM Recebe o nome de mximo divisor comum de dois ou

mais nmeros o maior dos divisores comuns a esses nme-ros.

Um mtodo prtico para o clculo do M.D.C. de dois n-meros o chamado mtodo das divises sucessivas (ou algoritmo de Euclides), que consiste das etapas seguintes:

1) Divide-se o maior dos nmeros pelo menor. Se a di-viso for exata, o M.D.C. entre esses nmeros o menor deles.

2) Se a diviso no for exata, divide-se o divisor (o me-nor dos dois nmeros) pelo resto obtido na diviso anterior, e,

assim, sucessivamente, at se obter resto zero. 0 ultimo divi-sor, assim determinado, ser o M.D.C. dos nmeros conside-rados.

Exemplo: Calcular o M.D.C. (24, 32)

32 24 24 8

8 1 0

3

Resposta: M.D.C. (24, 32) = 8

MNIMO MLTIPLO COMUM

Recebe o nome de mnimo mltiplo comum de dois ou mais nmeros o menor dos mltiplos (diferente de zero) co-muns a esses nmeros.

O processo prtico para o clculo do M.M.C de dois ou mais nmeros, chamado de decomposio em fatores primos, consiste das seguintes etapas: 1) Decompem-se em fatores primos os nmeros apresen-

tados. 2) Determina-se o produto entre os fatores primos comuns e

no-comuns com seus maiores expoentes. Esse produto o M.M.C procurado. Exemplos: Calcular o M.M.C (12, 18) Decompondo em fatores primos esses nmeros, temos:

12 6 3 1

2 2 3

18 9 3 1

2 3 3

12 = 22 . 3 18 = 2 . 32

Resposta: M.M.C (12, 18) = 22 . 32 = 36

Observao: Esse processo prtico costuma ser simplifi-cado fazendo-se uma decomposio simultnea dos nme-ros. Para isso, escrevem-se os nmeros, um ao lado do outro, separando-os por vrgula, e, direita da barra vertical, coloca-da aps o ltimo nmero, escrevem-se os fatores primos comuns e no-comuns. 0 calculo estar terminado quando a ltima linha do dispositivo for composta somente pelo nmero 1. O M.M.C dos nmeros apresentados ser o produto dos fatores.

Exemplo: Calcular o M.M.C (36, 48, 60)

36, 48, 60 18, 24, 30 9, 12, 15 9, 6, 15 9, 3, 15 3, 1, 5 1, 1 5 1, 1, 1

2 2 2 2 3 3 5

Resposta: M.M.C (36, 48, 60) = 24 . 32 . 5 = 720

RAZ QUADRADA EXATA DE NMEROS INTEIROS CONCEITO Consideremos o seguinte problema: Descobrir os nmeros inteiros cujo quadrado +25. Soluo: (+5 )2 = +25 e ( -5 )2 =+25 Resposta: + 5 e - 5 Os nmeros +5 e -5 chamam-se razes quadradas de +25. Outros exemplos:



Nmero Razes quadradas +9

+16 +1

+64 +81 +49 +36

+ 3 e -3 + 4 e -4 + 1 e -1 + 8 e -8 + 9 e -9 + 7 e -7 +6 e -6

O smbolo 25 significa a raiz quadrada de 25, isto 25 = +5 Como 25 = +5 , ento: 525 = Agora, consideremos este problema. Qual ou quais os nmeros inteiros cujo quadrado -25? Soluo: (+5 )2 = +25 e (-5 )2 = +25 Resposta: no existe nmero inteiro cujo quadrado se-

ja -25, isto , 25 no existe no conjunto Z dos nmeros inteiros.

Concluso: os nmeros inteiros positivos tm, como raiz quadrada, um nmero positivo, os nmeros inteiros negativos no tm raiz quadrada no conjunto Z dos nmeros inteiros.

RADICIAO A raiz n-sima de um nmero b um nmero a tal que an

= b.

baab nn ==

2325 = 5 ndice 32 radicando pois 25 = 32

raiz

2 radical

Outros exemplos : 3 8 = 2 pois 2 3 = 8 3 8 = - 2 pois ( -2 )3 = -8

PROPRIEDADES (para a 0, b 0) 1) pm pnm n aa : := 3 215 10 33 = 2) nnn baba = 326 =

3) nnn baba :: = 4

44

165

165

=

4) ( ) m nnm aa = ( ) 3 553 xx = 5) nmm n aa = 126 33 =

EXPRESSES NUMRICAS

EXPRESSES NUMRICAS COM NMEROS INTEI-ROS ENVOLVENDO AS QUATRO OPERAES

Para calcular o valor de uma expresso numrica com nmeros inteiros, procedemos por etapas.

1 ETAPA: a) efetuamos o que est entre parnteses ( ) b) eliminamos os parnteses

2 ETAPA: a) efetuamos o que est entre colchetes [ ] b) eliminamos os colchetes 3 ETAPA: a) efetuamos o que est entre chaves { } b) eliminamos as chaves Em cada etapa, as operaes devem ser efetuadas na

seguinte ordem: 1) Potenciao e radiciao na ordem em que apare-

cem. 2) Multiplicao e diviso na ordem em que aparecem. 3) Adio e subtrao na ordem em que aparecem. Exemplos: 1) 2 + 7 . (-3 + 4) = 2 + 7 . (+1) = 2 + 7 = 9

2) (-1 )3 + (-2 )2 : (+2 ) = -1+ (+4) : (+2 ) = -1 + (+2 ) = -1 + 2 = +1

3) -(-4 +1) [-(3 +1)] = -(-3) - [-4 ] = +3 + 4 = 7

4) 2( -3 1)2 +3 . ( -1 3)3 + 4 -2 . ( -4 )2 + 3 . ( - 4 )3 + 4 = -2 . (+16) + 3 . (- 64) + 4 = -32 192 + 4 = -212 + 4 = - 208

5) (-288) : (-12)2 - (-125) : ( -5 )2 = (-288) : (+144) - (-125) : (+25) = (-2 ) - (- 5 ) = -2 + 5 = +3

6) (-10 - 8) : (+6 ) - (-25) : (-2 + 7 ) = (-18) : (+6 ) - (-25) : (+5 ) = -3 - (- 5) = - 3 + 5 = +2

7) 52 : (+25) - (-4 )2 : 24 - 12 = -25 : (+25) - (+16) : 16 - 1 =

-1 - (+1) 1 = -1 -1 1 = -3

8) 2 . ( -3 )2 + (-40) : (+2)3 - 22 = 2 . (+9 ) + (-40) : (+8 ) - 4 = +18 + (-5) - 4 = + 18 - 9 = +9

CONJUNTO DOS NMEROS RACIONAIS (Q) Os nmeros racionais so representados por um nume-

ral em forma de frao ou razo, ab

, se

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