Sistemas Lineares

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Curso: Sistemas de Informao

Disciplina: Programao Matemtica

Prof a. Maria Isabel

Fundamentos de Matemtica

Matrizes:

Uma Matriz definida como sendo um conjunto de nmeros, organizados em linhas e colunas, na forma de um quadro:a11a12a1n

a21a22a2n

am1am2amn

A: uma matriz m por n (m, n)

m o nmero de linhas e n o nmero de colunas Matrizes Especiais:

1. Matriz Quadrada: dizemos que uma matriz quadrada quando o nmero de linhas

igual o nmero de colunas (m = n ).

2. Matriz Identidade (I): uma matriz quadrada cuja diagonal principal formada apenas

por nmeros 1 os demais elementos so nulos.

Diagonal Principal aquela que vai do extremo superior esquerdo ao extremo inferior

direito.

Exemplo: matriz identidade de tamanho (3,3)

100

010

001

3. Matriz Transposta: a transposta da matriz A, a matriz formada a partir de A

trocando-se as linhas pelas colunas e vice-versa. A notao usada para matriz transposta

At.

4. Matriz Simtrica: uma matriz A quadrada simtrica quando aij = aji (i ( j).

5. Sub-matriz : quando em uma matriz A de tamanho (m , n ) retirarmos k linhas e s

colunas, e com elas formarmos uma nova matriz (k , s), esta matriz chamada sub-

matriz de A.

6. Matriz Inversa: dada uma matriz quadrada A , se existir uma matriz quadrada B tal que

AB =BA =I, ento B chamada inversa de A isto B = -1.

Operaes com matrizes

Soma: duas matrizes A e B podem ser somadas se e somente se o nmero de linhas em A for igual ao nmero de linhas em B e o nmero de colunas em A for igual ao nmero de colunas em B.

Multiplicao:

para multiplicar uma matriz A por um nmero real k, precisamos multiplicar k em todos os elementos de A; teremos ento k A = A k

O produto A B de duas matrizes A e B definido se e somente se o nmero de colunas em A for igual ao nmero de linhas em B. A multiplicao de matrizes no comutativa.

A multiplicao da matriz A (m x p) pela matriz B (p x n) resulta em uma matriz C (m x n) cujo elemento ij obtido multiplicando a i-sima linha de A pela j-sima coluna de B.

Cij = ai1 . b1j + ai2 . b2j + ... + aip . bpj , ( i e ( jExerccios: Dadas as matrizes:

1 8 0 7 -1 A = 2 0 4

3 2 1 5 1/2 C = 1/5 -2 3 0

B = 1 6 -1 5

10 8

5 0

2 1 2

D = 1 0 3

-1 4 0 2 1 5 -1

E =

0 1 0 3

-2 4 -3 1

0 2 0 -1

Pede-se calcular: a) A + 2 D

b) D 1/2A

c) A D e B C

d) C E e E C

e) Et

f) A2Sistemas Lineares

Uma equao linear uma equao da forma a1x1 + a2x2 + ... + an xn = b, onde

x1, x2, ...,xn so variveis ou incgnitas da equao; a1, a2, ..., an so os coeficientes das

variveis e b o termo constante da equao.

Sistema Linear um conjunto de equaes lineares da forma:

a11 x1+ a12 x2+ .. . + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + ... + a2m xn = b2 m,n so inteiros positivos

......................................................................

am1 x1 + am2 x2 + amn xn = bmChamamos de soluo de um sistema linear um conjunto de valores para

x1, x2, ..., xn que satisfaz todas as equaes simultaneamente.

Um sistema linear pode ser:

Incompatvel - no tem soluo.

Compatvel:

a) determinado (uma nica soluo)

b) indeterminado (infinitas solues)

Sistemas Equivalentes so sistemas que admitem a mesma soluo.

Para resolver sistemas lineares existem vrios mtodos e dentre eles o Mtodo de

Gauss Jordan que bastante conhecido e importante para o nosso curso.

O Mtodo de Gauss Jordan trabalha com a matriz dos coeficientes do sistema,

usando as chamadas Operaes Elementares,para transform-la numa matriz

equivalente, porm, mais simples que a original.

As Operaes Elementares por linha so:

a) Permutao de duas linhas.

b) Multiplicao de uma linha por um nmero real diferente de zero.

c) Substituio de uma linha, pela soma dela mesma com outra linha previamente

multiplicada por um nmero real diferente de zero.Mtodo de Gauss Jordan

Dado um sistema de equaes lineares, para encontrar a soluo pelo Mtodo de Gauss Jordan devemos proceder da seguinte forma:

1) Coloca-se ao lado da matriz dos coeficientes das variveis, separada por um trao

vertical, a matriz coluna dos termos independentes.

2) Transforma-se, por meio das operaes elementares, a matriz dos coeficientes das

variveis na matriz identidade, aplicando-se simultaneamente, matriz coluna colocada ao

lado as mesmas operaes.

3).Transformada a matriz dos coeficientes das variveis na matriz identidade, a matriz do:

termos constantes ficar transformada, ao final, na soluo do sistema.

Exemplos

Aplicao do Mtodo de Gauss Jordan.

Considere os sistemas:

1) x + 2y + 3z = 9

2x ( y + z = 8

3x ( z = 3

2) 2x + 2y + 4z = 10

x + y + 3z = 9

x + 3y + 4z = 17

3) xl + x2 + 2x3 = -1

xI 2x2 + 3x3 = -5

3xI+ x2 + x3 = 3

4) xl ( 2x2 ( x3 = 1

2x1 + x2 3x3 = 0

xl 1x2 = 3

5) xl - x2 + x3 = 1

2x1 - x2 + x3 = 4

xI -1x2 = 3

6) 2x1+ x2 + 3x3 = 8

4xl + 2x2 + 2x3 = 4

2xl + 5x2 + 3x3 = -12

Sistema resolvido pelo Mtodo de Gauss-Jordan

2x1 - 2x2 + 2x3 = 162x1 - x2 + 3x3 = 203x1 + x2 + 4x3 = 25

Lista de Exerccios 1) Dadas as matrizes

A = 1 3

B =-2 3/2

C =2 1

2 4

1 -1/2

-2 3

Verifique que

a) (AB)C = A(BC) b) A(B + C) = AB + AC c) (At )t = A d) A + (B+C) = (A+B) + C

2) B inversa de A? Lembre-se que B inversa de A se A B = B A = I3) Calcule a inversa de C.

4) Solucione

Certo matemtico espio concebeu um cdigo para transformar uma palavra P de trs letras em um vetor Y do R3,como descrito a seguir. A partir da correspondncia da tabela abaixo, P transformada em um vetor X=(x,y,z).

Em seguida, usando a matriz cdigo

220

A =331

101

O vetor Y obtido pela equao

Y = A X

A BCDEFGHI

123456789

JLMNOPQRSTU

1011121314151617181920

VXZ

212223

Utilizando o cdigo acima, decodifique Y=(64,107,29)

Exerccios para treinar

1) Calcule x; y e z em cada um dos produtos de matrizes dados:a)

b)

2) Sendo

a) Calcule AB b) Calcule BA c) Calcule A2 d) Calcule B23) Dadas as matrizes

A = B =

Calcule y = a11 + 2 a22 4 a13ez = b21 + b13 . b22 Calcule w = 3a31 5 a32.

4) Faa A B e B C5) Resolver o sistema abaixo.

6) Determine todas as solues bsicas do sistema:

x1 + 3x2 + 4x3 x4 = 10

2x1 + x2 - x3 + 2x4 = 5

Quais as solues bsicas viveis (x1, x2, x3 e x4 0)?

7) Quais a Solues Bsicas do sistema:

4x1 + x3 4x4 = -10

2x1 + x2 2x4 = 6

6x1 6x4 +x5 = 14

8) Quais so as solues Bsicas Compatveis com x1, x2, x3, x4, x5 0 do exerccio acima.Introduo a Programao Matemtica

A Programao Matemtica uma rea da matemtica aplicada particularmente til para resolver problemas caractersticos de Pesquisa Operacional. Esses problemas, em geral, podem ser formulados por um modelo matemtico, isto , um modelo envolvendo relaes ou funes matemticas e uma funo objetivo que deve ser otimizada. Quando essas relaes ou funes so lineares dizemos que um modelo de programao linear (PL).

Em um modelo de programao linear a estrutura padronizada e repetitiva, mesmo para os mais diversos problemas. Esta caracterstica permitiu o desenvolvimento de programas de computador extremamente simples de uso e muito eficientes. A anlise de solues tambm padronizada. Estas caractersticas tornam a programao linear uma tcnica extremamente til e com grande nmero de aplicaes.

Os mtodos de soluo so baseados em tcnicas de resoluo de sistemas de equaes lineares via inverso sucessiva de matrizes, conhecida por mtodo de Gauss Jordan, com a vantagem de incorporar uma equao linear adicional que deve ser otimizada.

HistricoDurante a Segunda Guerra Mundial a United States Air Force organizou um grupo de pesquisadores de nome SCOOP ( Scientific Computation of Optimum Program), sob a direo de Marshall K. Wood, para tentar solucionar o problema de alocao de recursos limitados, de modo a otimizar objetivos e dimensionar o nmero de navios mercantes dos aliados. O matemtico George B. Dantzig era um dos membros desse grupo e foi ele que em 1947 inventou o Mtodo Simplex publicado em 1951.

Os quatro maiores obstculos para resolver problemas foram:

a. Achar uma soluo bsica inicial, ponto de partida para o algoritmo.

b. Resolver o problema de guardar a situao de degenerao.c. Reduzir a area de memria e o nmero de operaes aritmticas requeridas sem causar limitaes de uso.d. Manter preciso numrica.

Em 1984 Nerendra K. Karmarkar (matemtico indiano) da AT&Ts Bell Laboratories em New Jersey, USA, conseguiu avanos significativos em termos de eficincia de algoritmo.

Desde ento, a programao matemtica linear (PL) vem sendo considerada uma importante ferramenta para solucionar problemas para encontrar o lucro mximo ou o custo mnimo em situaes, nas quais temos diversas alternativas de escolha sujeitas a algum tipo de restrio.

Modelos de Programao Matemtica Linear ou Modelos de Otimizao Linear

Modelo uma idealizao ou uma viso simplificada da realidade.

Em programao matemtica, um modelo quase sempre uma representao matemtica, e necessariamente aproximada da realidade. Deve ser formulado para captar o ponto crucial do problema da tomada de deciso. Usamos smbolos matemticos para representar as variveis de deciso do problema e essas variveis esto relacionadas por meio de equaes e funes matemticas. Quando as equaes e funes matemticas so lineares dizemos que o modelo de programao matemtica linear (PL).

Objetivo

alocar recursos escassos (ou limitados) para atividades em concorrncia

Dificuldades

Modelar corretamente

A arte de modelar adquirida com experincia e aptido, a parte mais difcil da anlise.

O modelo matemtico de programao linear composto de uma funo objetiva linear e um conjunto de restries tcnicas representadas por um grupo de inequaes tambm lineares.

Para a formulao de um modelo importante observar os trs itens abaixo, segundo a seguinte ordem:

1) Identificar as variveis de deciso.

2) Identificar a funo objetivo.

3) Identificar o conjunto de restries.

Exemplo de um problema solvel por programao matemtica linear:

Consideremos uma fbrica que produz dois diferentes modelos de um artigo. Para produzir cada pea do modelo A, so consumidas 4 horas na confeco e 2 horas de polimento, resultando um lucro de $800,00. Cada pea do modelo B exige 2 horas na confeco e 5 horas de polimento, com um lucro de $900,00. Vamos levar em conta o fato de que precisam ser fabricadas pelo menos 6 peas do modelo A, cuja entrega j est prevista em contrato. Se a disponibilidade atual do fabricante for de 100 hs na confeco e 80 hs no departamento de polimento, quantas peas de cada modelo dever produzir para max o lucro?

O equacionamento desse problema resulta no seguinte modelo:

X1: produo de peas do modelo A

X2: produo de peas do modelo B

Transformando os dados em expresses matemticas

A funo lucro uma funo linear de X1 e X2

Max Lucro = 800 X1 + 900 X2

Esse lucro deve ser max por uma escolha de X1 e X2.

Se o problema terminasse aqui o lucro seria ilimitado. Porm, existem recursos limitados.

4 X1 + 2 X2 100 (restrio de tempo na confeco)

2 X1 + 5 X2 80 (restrio de tempo no polimento) X1 6 (restrio prevista em contrato)

X1, X2 0

X1 e X2 so as variveis de deciso do problema.

Na prtica a PL tem sido aplicada nas mais diversas reas como: manufatura, alimentao, transporte, logstica, agricultura, carteiras de investimento, minerao, locao industrial, petrleo, siderurgia e muitas outras.Considere o seguinte problema

Uma empresa pode fabricar dois produtos A e B. Na fabricao do produto A a empresa gasta nove horas de mo de obra e trs horas-mquina (a tecnologia utilizada intensiva em mo de obra). Na fabricao do produto B a empresa gasta uma hora de mo de obra e uma hora-mquina. Sabendo-se que a empresa dispe de 18 horas de mo de obra e 12 horas-mquina e ainda que os lucros dos produtos so $4 e $1 respectivamente, quanto deve a empresa fabricar de cada produto para obter o maior lucro possvel ?

TRANSFORMANDO OS DADOS EM EXPRESSES MATEMTICAS

A FUNO LUCRO

Seja x1 e x2 as quantidades fabricadas dos produtos A e B

A funo lucro uma funo linear de x1 e x2, ou seja:

Z = 4 x1 + 1 x2esse lucro deve ser maximizado por uma escolha de x1 e x2

Max Z = 4 x1 + 1 x2

x1, x2 0Se o problema parasse aqui o lucro seria ilimitado. Porm, existem recursos limitados.

AS RESTRIES:

O que limita as quantidades fabricadas aqui so as horas de mo de obra e horas-mquina disponveis. Assim, as quantidades fabricadas e as horas utilizadas de cada recursos no podem ultrapassar as quantidades de recursos disponveis ou seja:

hs de mo de obra

9x1 + x2 ( 18 hs-mquina

3 x1 + x2 ( 12

Assim, o lucro s poder crescer at esses limitesO Modelo do Problema

Max Z = 4 x1 + 1 x2 essa a funo objetivo

Sujeita as condies:

horas de mo de obra

9x1 + x2 ( 18

horas-mquina

3 x1 + x2 ( 12

x1 ( 0 e x2 ( 0Vamos ler com ateno os seguintes problemas e escrever um modelo de programao linear para cada um deles:

1) Certa empresa fabrica dois produtos A e B; o lucro unitrio de A $1.000,00 e o de B $1.500,00. So necessrias 20 hs para fabricar uma unidade do produto A e 30 hs para fabricar uma unidade de B.

O tempo mensal de produo disponvel de 1.200 hs. As demandas esperadas para os dois produtos levaram deciso de que o montante do produto A, no deve ultrapassar 40 unidades e do produto B, no deve ultrapassar 30 unidades mensais. Deseja-se maximizar o lucro mensal.

2) A gerncia de uma fbrica est considerando fabricar um ou mais produtos, identificados como produtos 1, 2 e 3. A capacidade das mquinas que poderiam limitar a produo est na tabela abaixo:

mquinas tempo disponvel de cada mquina (em hs)

A 500

B 350

C 150

O nmero de horas mquina necessrio por unidade de produto conhecido como coeficiente de produtividade (em hs mquina por unidade), conforme representado a seguir:

mquinas Produto 1 Produto 2 Produto 3

A 9 3 5

B 5 4 0

C 3 0 2

O lucro unitrio estimado de $30, $12 e $15, respectivamente, para os produtos 1, 2 e 3. Determine a quantidade de cada produto que a firma deve produzir para maximizar seu lucro.

3) Uma Cia. fabrica dois produtos A e B que utilizam os mesmos recursos produtivos: matria-prima, pintura e polimento. Cada unidade do produto A exige 4 horas de pintura e 2 horas de polimento, enquanto cada unidade do produto B requer 2 horas de pintura e 3 horas de polimento.

A capacidade produtiva equivalente diria de 220 hs na seco de pintura e 250 hs na seco de polimento.

O preo de vendas do produto A de $190,00 por unidade e do produto B $210,00 por unidade e toda a produo tem mercado garantido.

Para determinao do custo de produo sabe-se que cada unidade do produto A envolve $10,00 de matria-prima e do produto B $20,00. Por outro lado cada hora de pintura custa $15,00 e cada hora de polimento $10,00. Formule um modelo de programao linear para max o lucro.

4) Uma tecelagem vende dois tipos de camisetas: lisas e estampadas por $8,00 e $14,00 respectivamente. As camisetas estampadas so feitas aplicando-se um adesivo nas camisetas lisas. A capacidade de produo de camisetas 5.000 unidades/ semana e o custo unitrio de $4,40.

O processo de aplicao da estampa custa $3,60 (material, mo-de-obra e outras despesas) e a capacidade de 1.200 unidades/ semana. Quantas camisetas de cada tipo devem ser fabricadas por semana, de modo a maximizar o lucro da produo?

5) A Companhia Fazenda Primavera pode comprar e misturar um (ou mais que um) de trs tipos de gros, cada um contendo diferentes quantidades de quatro elementos nutrientes; os dados so apresentados na figura a seguir. O gerente especifica que qualquer mistura para rao de seu gado deve satisfazer pelo menos as exigncias nutrientes mnimas, e ele procura a de menor custo entre todas as misturas.

ItemUma unidade de peso deNecessidades mnimas totais

Gro 1Gro 2Gro 3

Nutriente A2371250

Nutriente B110250

Nutriente C530900

Nutriente D0,60,251232,5

Custo/unidade de peso (R$)413596

Soluo Grfica de um problema de programao linear

Os problemas de programao linear que envolvem apenas duas ou trs variveis podem ser resolvidos graficamente. A interpretao geomtrica desses problemas muito importante pois uma anlise dos tipos de negcio que podem ocorrer em casos simples, envolvendo somente duas ou trs variveis, fornece um vasto aprofundamento no que se pode ocorrer em um caso mais geral.De incio vamos achar uma interpretao geomtrica e a soluo para o seguinte problema de programao linear.

Max Z = 5x1 + 8x2

s.c (sujeito as condies ou restries)

3x1 + 4x2 24

3x1 + 2x2 18

2x2 9

x1, x2 0

Devemos achar, primeiramente, os conjuntos pontos ou pares ordenados (x1, x2) que so solues para o problema, isto , que satisfazem todas as condies do problema. Em seguida devemos achar o ponto ou os pontos na regio das solues que dem o maior valor para a funo objetiva.

Para encontrar a soluo tima devemos achar a linha com maior valor de Z que tem pelo menos um ponto em comum com a regio vivel.

Vejamos esse procedimento graficamente.

O exame da figura acima indica que o valor timo da funo objetiva s pode ocorrer nos vrtices do polgono de solues do modelo. Por qualquer ponto interno ao polgono passa reta da funo objetivo (retas paralelas), o que mostra pontos do polgono com valores maiores ou menores do objetivo. Veja figura acimaUm ponto interno da regio de solues no pode ser ponto mximo ou mnimo.

Essa concluso sugere uma nova tcnica para resolver modelos em programao linear.

Calcular os vrtices do polgono de solues atravs das solues bsicas do sistema de equaes com variveis no negativas.

Testar o objetivo em cada uma das solues bsicas e escolher o ponto mais favorvel. Este ponto ser ento a soluo tima do problema.Roteiro (1) PML

Soluo Grfica

1 Determinar as escalas.

2 Achar para cada restrio, dois pontos de preferncia nos eixos das coordenadas X1,X2 e traar a reta.

3 Encontrar o semiplano vlido para cada reta (Verificar um ponto fora da reta se satisfaz restrio (=))

4 Identificar a regio vivel que a interseco de todos os semiplanos (Obs. A regio vivel sempre fica no primeiro quadrante ( X1 0, X2 0))

5 Assumir um valor apropriado para Z (ficar dentro da escala) e traar a respectiva reta (dois pontos no plano determinam uma reta)

6 Deslocar a reta Z paralelamente at ela sair da regio vivel (ltimo ponto em comum) ou (se estiver fora da regio vivel) at ela encostar na regio. Este ponto o ponto timo. Observar se a funo de maximizar ou de minimizar.

7 Encontrar as coordenadas deste ponto (x1,x2) resolvendo o sistema formado pelas equaes das duas retas que so deste ponto.

8 Substituir os valores na funo objetiva e calcular o valor de Z.

P.S. mtodo alternativo para achar o ponto timo.

Aps o item 4, encontrar as coordenadas de todos os vrtices da regio vivel (item 7) e calcular o valor de Z para cada um. O maior valor (ou menor se for minimizar) define o ponto timo.

O MTODO SIMPLEX

O mtodo simplex um algoritmo criado para se obter a soluo de um problema de programao linear (com mltiplas variveis de deciso).

Um algoritmo um conjunto de regras que devem ser seguidas passo a passo para se obter, no final, o resultado desejado.

Nessa parte do curso daremos uma pequena noo do mtodo simplex e sua soluo, depois formalizaremos os conceitos envolvidos e generalizaremos para n-variveis e m-restries, n e m so nmeros inteiros no negativos.A idia a seguinte:

Dado o problema na forma matemtica: Max Z = 4 x1 + x2

s.c

9x1 + x2 ( 18

3 x1 + x2 ( 12 com x1 e x2 0

Precisamos arranj-lo de tal forma que possamos resolv-lo.

Bem, se as desigualdades fossem igualdades, as restries seriam um conjunto de equaes lineares e essa ns sabemos resolver.

Consegue-se isso acrescentando a cada restrio uma varivel a mais, essas novas variveis so chamadas de variveis de folga, para restries do tipo (. (Existem tambm as chamadas variveis de excesso, para restries do tipo (, mais isso outra histria).

Assim podemos escrever :

(1) 9x1 + x2 + x3 = 18 pois, caso 9x1 + x2 no seja igual a 18, x3 est l para garantir a igualdade.

(2) 3x1 + x2 + x4 = 12 pois, caso 3x1 + x2 no seja igual a 12, x4 est l para garantir a igualdade.

Essas novas variveis, tambm devem ser maiores ou igual a zero para garantir a exigncia das restries.

OBS: Caso a restrio fosse, por exemplo, 9x1 + x2 ( 18 a introduo seria 9x1 + x2 - x3 = 18, com x3 ( 0. Ou multiplica-se a restrio por menos 1 transformando-a numa restrio de desigualdade (.

S nos resta o lucro. O lucro uma equao e no uma inequao, logo no precisamos introduzir variveis de folga na funo objetiva.O sistema linear fica assim:(l0) Z - 4x1 - x2 = 0

(l1) 9x1 + x2 + x3 = 18

(l2) 3x1 + x2 + x4 = 12

x1, x2, x3 e x4 0Devemos tabular os dados do sistema acima e aplicar o algoritmo do Mtodo Simplex.Roteiro (2) PML

Simplex usando quadros

1 Transformar a funo objetiva movendo todas as variveis para o lado esquerdo (junto ao Z) (troca de sinal).

2 Colocar no quadro :

a) a funo objetiva (coeficiente zero para as variveis de folga)

b) os coeficientes do sistema, mais as variveis de folga (os coeficientes das variveis de folga formam uma matriz identidade)

c) a base atual (inicialmente as variveis de folga)

3 Existe coeficiente negativo na linha zero (funo objetiva) ?

No ( Soluo tima (Fim)

Sim ( Achar soluo melhor (continua)

4 Entra na base a varivel com o coeficiente mais negativo.

5 Calcular os quocientes bi / ai,j ( i variando de 1 a m (m = nmero de equaes) , j = coluna da varivel que entra). Somente se ai,j for > zero !!6 O menor quociente define a varivel que sai da base (linha piv).

7 Transformar o quadro: a coluna da varivel que sai deve ficar na coluna da varivel que entra.

8 Obter o (1) pela diviso (ou multiplicao) da linha (piv) por um fator apropriado.9 Obter os (0) somando a linha piv (do 1) multiplicada por um fator apropriado respectiva linha do quadro anterior

10 Voltar para o item 3.Quadro

TEOREMA I:

"O conjunto de todas as solues compatveis do modelo de programao linear um conjunto convexo C."

TEOREMA II:

"Toda soluo compatvel bsica do sistema Ax = b um ponto extremo do conjunto das solues compatveis, isto , do conjunto convexo C do teorema I .

TEOREMA III:a) "Se a funo objetiva possui um mximo (mnimo) finito, ento pelo menos uma soluo tima um ponto extremo do conjunto convexo C do teorema I"

b) "Se a funo objetiva assume o mximo (mnimo) em mais de um ponto extremo, ento ela forma o mesmo valor para qualquer combinao convexa desses pontos extremos."

LIMITAES DA PROGRAMAO LINEAR:

1) Divisibilidade

Valores fracionrios as vezes no fazem sentido. Assim, quando no for possvel estabelecer essa divisibilidade parte-se para programao inteira.

2) Proporcionalidade

Assume-se que o lucro proporcional a x, sendo c o coeficiente de proporcionalidade.

3) Aditividade: Considera as atividades do modelo como entidades totalmente independentes, no havendo interdependncia entre elas. Softwares Computacionais

A programao linear uma tcnica de otimizao que faz parte da rotina diria de planejamento de vrias empresas. Assim sendo, o desenvolvimento de algoritmos computacionais eficientes e precisos tm sido a maior preocupao entre os pesquisadores. Diversos softwares foram desenvolvidos para auxiliar esse planejamento.

Problemas de grande porte requerem sistemas computacionais potentes, entretanto, para problemas considerados mdios, recomendvel a utilizao de planilhas eletrnicas com recursos para resoluo de problemas. Exemplos destas planilhas so Lindo (Linear, Interactive and Discrete Optimizer) um software desenvolvido pela Lindo Systems Inc. de Chicago e o Solver para Microsoft Excel. Todos eles so ferramentas poderosas, apesar de sua aparncia simples. O Instituto de Pesquisa Operacional e Cincias Administrativas (Informs), tem publicado pesquisas sobre softwares de programao matemtica em seus peridicos, destacando softwares que rodam em computadores pessoais e que so capazes de atacar problemas maiores tanto quanto extenses de planilhas eletrnicas.

Utilizando o Solver do Excel

Como foi dito anteriormente, a aplicao de programao linear no mais limitada pelo uso de software especialista. Planilhas eletrnicas geralmente possuem ferramentas que podem ser utilizadas para atacar problemas de tamanho considervel. Uma das planilhas mais utilizadas o Solver do Excel pela sua facilidade de uso. Vamos apresentar o uso do Solver, comeando com um exemplo bem simples para ilustrar as idias bsicas.

Estudo de Caso: Empresa de Decoraes Lancaster

A Empresa de Decoraes Lancaster (EDL) produz papel de parede o qual vendido em toda a Europa. Uma de suas fbricas faz dois tipos de papel de parede, papel autocolante e papel sem cola. Ambos so estampados atravs de um processo de alta qualidade e empacotados na mesma mquina empacotadora. A diferena que o papel autocolante deve passar por um processo de aplicao da cola, antes de ser empacotado. Embora a EDL produza vrios modelos diferentes a partir desses dois tipos de papel, para o planejamento de mdio prazo a EDL precisa pensar apenas nessas duas categorias. O programador de produo deseja saber quanto de cada tipo de papel deve produzir na prxima semana, de modo a maximizar o lucro bruto esperado. No caso do papel autocolante, isto representa R$ 9,00 por metro, para o papel sem cola o lucro R$ 7,50 por metro.

Existem restries produtivas que iro limitar a liberdade de ao do programador. A fbrica tem capacidade de estampar 5 metros por minuto, de qualquer tipo de papel de parede e a mquina para tal est disponvel 40 hs/sem. A mquina empacotadora consegue empacotar 30.000 metros do papel de parede padro (que no mais produzido pela EDL). O papel de parede autocolante 3 vezes mais espesso que o padro e o papel sem cola 2 vezes mais espesso que o padro (por causa da cola adesiva).

A mquina de aplicao da cola tem capacidade de 10.000 metros por semana.

O departamento de marketing da EDL insiste que a fbrica deva produzir pelo menos 3.000 metros de cada tipo de papel de parede. Assim, a questo : quantos metros de cada tipo de papel de parede devem ser produzidos, de modo que o lucro seja maximizado?

Formulao do problema

P: metros de papel autocolante a serem produzidos U: metros de papel sem cola a serem produzidos

Max L = 9 P + 7,5 U

s.c

P + U ( 12.000

3 P + 2 U ( 30.000

P ( 10.000

P ( 3.000

U ( 3.000

O primeiro estgio de uso do Solver escrever a matriz dos coeficientes do sistema na planilha do Excel. Como em qualquer planilha, importante observar que algumas clulas contm valores constantes, mas outras contm frmulas, as quais assumem os valores que esto exibidos nas mesmas. Neste exemplo, (fig. abaixo) as variveis de deciso esto nas clulas B10 e C10 da planilha eletrnica O Excel entende como frmula todas as expresses iniciadas por +, -, (, =.

Quando um elemento na frmula for constante, isto deve ser indicado ao Excel, colocando $ na frente de sua identificao (o $ fixa o elemento). Procurar no fixar mais do que o necessrio. A coluna E foi utilizada para que os limites mximos e mnimos fossem observados, a qual chamada de lado direito das equaes. Finalmente a clula E10 deve ser utilizada para armazenar o resultado da otimizao (nesse caso o max lucro).Vamos criar uma frmula na clula E10 para representar a funo objetiva:

Na E10 digitar =$B$2*B10 + $C$2*C10

Para cada restrio, precisamos tambm criar uma frmula, numa clula da planilha eletrnica (vide quadro abaixo).

Como o valor de P est na clula B10 e de U na clula C10 a frmula contida em D4, D5, D6, D7 e D8 dever estar assim representada:

D4 = $B$10*$B4 + $C$10*$C4

D5 = $B$10*$B5 + $C$10*$C5

D6 = $B$10*$B6 + $C$10*$C6

D7 = $B$10*$B7 + $C$10*$C7

D8 = $B$10*$B8 + $C$10*$C8

Vamos observar o quadro acima.

No nosso exemplo na linha 10 e coluna B tem o valor de P (metros de papel com cola) que no incio zero. Na linha 10 coluna C tem o valor de U (metros de papel sem cola) que no incio zero. Na linha 10 coluna E temos uma formula que calcula o valor do lucro, que no incio zero.Na coluna D temos frmulas que foram descritas acima.Utilizando os botes do mouse ou teclado, devemos selecionar o Solver a partir do menu de ferramentas do Microsoft Excel ou no boto do Office em opes do Excel seleciona suplementos e ir para solver.

Aparecer uma janela que ser utilizada quando o usurio fornecer ao Solver as informaes necessrias para que o mesmo busque a soluo otimizada.No boto opes devemos selecionar modelo (problema) linear e variveis no negativas. Em geral nos problemas de programao linear as variveis so exigidas no negativas, isto , maiores ou iguais a zero.Nas clulas variveis vamos digitar os endereos B10 e C10 pois eles contem o valor das variveis. No incio valem zero mas vo mudando durante o processo de otimizao.Em adicionar colocaremos as restries uma a uma e na clula de destino E10.Anlise de Sensibilidade de um Modelo de Programao Linear (Anlise Econmica)

Profa Maria Isabel

Consideremos o seguinte modelo de Programao Linear:

X1: quantidade a produzir do produto 1

X2: quantidade ................................ 2

X3: quantidade ................................. 3

Max L = 21 X1 + 12 X2 + 6 X3

s.c

6X1 + 4X2 + 6X3 4800 (hs de trabalho)

12X1 + 6X2 + 2X3 7200 (hs de uso de Mquina)

X1 800

(demanda mxima)

X2 600

(demanda mxima)

X3 600

(demanda mxima)

X1, X2, X3 ( 0

Acrescentando as variveis de folga X4, X5, X6, X7 e X8, temos o sistema correspondente:

6X1 + 4X2 + 6X3 + X4 = 4800

12X1 + 6X2 + 2X3 + X5 = 7200

X1 +X6 = 800

X2 +X7 = 600

X3

+X8 = 600

X1, ...................,X8 ( 0

As variveis de folga indicam as sobras de recurso, por ex., X4 indica sobra de recurso hs de trabalho, X5 sobra de recurso hs de mquina, etc...

A Soluo tima do problema :

X1 = 280, X2 = 600, X3 = 120, X6 = 520, X8 = 480 e X4 = X5 = X7 = 0

O lucro Mximo 13800.

Relatrio de Resultados do SolverO relatrio da otimizao para o problema acima possui trs partes:

Clula de destino: apresenta o mximo lucro obtido pelo Solver.

Clulas ajustveis: mostram as variveis de entrada, seus valores aps a soluo tima e seus valores iniciais (zero, neste caso).

Restries: indicam a utilizao de cada um dos recursos ao final da otimizao. A coluna de Status classifica as restries como agrupar restrio com utilizao mxima (varivel de folga zero) ou sem-agrupar so as que apresentam algum recurso que no foi utilizado (varivel de folga diferente de zero). Transigncia indica o valor das variveis de folga.

Grau de Sensibilidade gerado pelo Solver

O relatrio que fornece informaes sobre a sensibilidade do modelo chamado grau de sensibilidade.

A primeira parte clulas ajustveis mostra a faixa onde cada coeficiente da funo objetiva pode variar individualmente sem alterar a soluo tima. Considere, por ex., a varivel X1 que representa o produto 1. Na soluo tima esta varivel possui valor 280 unidades de produto 1. Seu coeficiente na funo objetiva 21 e as colunas Permissvel Acrscimo ou Permissvel Decrscimo representam quanto este coeficiente pode mudar sem alterar o valor dessa varivel na soluo que 280.

A faixa de variao do coeficiente de X1 :

21 + 2,142 at 21 15 ou seja de 6 at 23,14

Do mesmo modo o coeficiente de X2 pode variar de :

12 + 1E30 at 12 - 1 ou seja de 11 at 1E30

Do mesmo modo o coeficiente de X3:

6 + 5 at 6 - 2,5 ou seja de 3,5 at 11

A segunda parte do relatrio de Sensibilidade fornecido pelo Solver chamada de restries e apresenta o que freqentemente chamado de preo sombra (shadow price) ou custo marginal e as outras colunas se referem aos limites das restries.

Preo sombra ou shadow price o valor que valeria a pena pagar por mais uma unidade extra de recurso (recurso plenamente utilizado). Mas um preo marginal que se aplica a uma determinada faixa de valores.

No nosso caso, uma hora extra das hs de trabalho vale 0,5 e uma hora extra das hs de mquina vale 1,5 e uma unidade extra de demanda teria um custo marginal de 1 unidade. O Acrscimo e Decrscimo permitido por recurso, mostra a faixa na qual o preo sombra ou custo marginal vlido.

ExercciosResolver os problemas abaixo pelo Solver do Excel e fazer uma anlise aps a otimizao ou seja fazer uma anlise de sensibilidade da soluo do problema.

1) Um setor de uma companhia siderrgica produz entre outros produtos secundrios, dois tipos de ligas metlicas: Liga I (baixa resistncia) e Liga II (alta resistncia). A composio qumica de cada tipo de liga (em porcentagem), a quantidades de matrias-primas disponveis (em toneladas) e o preo de mercado de cada tipo de liga (Reais/tonelada) so mostrados na tabela abaixo.

Liga I (ton min/ton liga)Liga II (ton min/ton liga)Matria-prima disponvel (ton)

Cobre0,50,216

Zinco0,250,311

Chumbo0,250,515

Preo de Venda

(R$/ton)3.0005.000

Como responsvel pelo setor e conhecendo estes dados, que tipo de deciso voc tomaria para aumentar a receita da empresa?

1) Resolva-o pelo Solver do Excel.

2) Qual a produo tima de Liga I e Liga II? E a Max Receita?

Faa uma anlise de ps-otimizao baseando-se no seguinte:

a) Nessa produo foi usado todo Cobre e todo Chumbo?

b) Qual a faixa de variao do coeficiente de X1 e do coeficiente de X2?

c) Qual o preo sombra (custo marginal) do Cobre?

d) Qual o custo marginal do Zinco? Voc saberia dizer por que? 2) Max L = 4X1 + 5X2 +9X3 +11X4 ( Xi indica quantidade de produto i, i = 1,2,3,4)

s.c

X1 + X2 + X3 + X4 15 Recurso 1

7 X1+ 5 X2 + 3 X3 + 2 X4 120 Recurso 2

3 X1 +5 X2 +10 X3 +15X4 100 Recurso 3

X1, X2, X3 e X4 0

Resolver pelo Solver do Excel.

Fazer uma anlise de ps-otimizao baseando-se no seguinte:

a) Qual a soluo tima? E o Max de L?

b) O recurso 1 ser plenamente utilizado nessa soluo?

c) E os recursos 2 e 3?

d) Qual a variao do coeficiente de X1 na funo objetiva, de modo que a soluo continue a mesma?

e) Qual a variao do coeficiente de X2 na funo objetiva, de modo que a soluo continue a mesma?

f) A soluo continuaria a mesma, se o lucro do produto 1 fosse igual a 6,00? Por que? No caso afirmativo qual seria o novo lucro?

g) No produto 3 se o lucro fosse 8,00 a soluo permaneceria a mesma? Por que?

h) Qual o custo marginal (preo sombra) do recurso 1? E do recurso 2? Por que?3) Uma empresa produz um suco obtido a partir da mistura de cinco tipos de sucos naturais, que deve conter, em cada litro, pelo menos 20.000 unidades de vitamina C, 40.000 unidades de vitamina D e 900 unidades de potssio. Os dados so:

Suco

vitamina CVitamina DPotssiocusto por litro(R$)

Laranja 20.000 80.000 500

1,20

Acerola 5.000 200.000 400

1,40

Abacaxi 10.000 50.000 100

1,25

Mamo 5.000 20.000 2.000

1,10

Caju

30.000 30.000 600

1,20

gua

0

0

0

0,05

Qual a mistura indicada para obter o custo mnimo? Qual esse custo?

Resolva pelo Solver do Excel e faa uma anlise de ps-otimizao baseando-se em:

a) Qual o intervalo de variao do coeficiente de x1, x4 e x5 na funo objetiva, de modo que a soluo encontrada permanea.

b) Se custo da laranja fosse 1,80 a soluo seria a mesma? c) Suponhamos que na safra a acerola custasse 0,70? Qual seria a soluo? E o custo?

d) E se o custo do mamo fosse 0,50? Qual seria a soluo? E o custo?4) A empresa Desafio Eletrnico produz um telejogo para o pblico infanto-juvenil. A previso de vendas para o prximo trimestre de 7.000 unidades. O produto feito a partir de trs componentes: caixa, fio R-F e painel de controle, alm do microprocessador importado. Em razo das limitaes produtivas, a Desafio ser forada a sub-contratar parte do seu trabalho. Os custos de produo por unidade so:

Itens

custo externo

custo prprio

Caixa

15

10

Fio R-F 30

18

Painel

9

6

Os componentes passam por trs sees distintas. O consumo de tempo em horas por unidade, obedece a tabela abaixo, sendo que cada seo dispe de um total de 3.000 horas teis no trimestre.

Itens

inspeomontagemajuste

Caixa

0,10

0,10

-

Fio R-F

0,20

0,40

0,25

Painel

0,10

0,20

0,40

Posteriormente, os trs itens so montados e ajustados pela empresa Desafio para formar um telejogo. Pede-se:

a) Definir as variveis de deciso (no se esquea da produo sub-contratada).b) Formular um modelo de programao linear que minimize os custos de produo, mas que garanta as 7.000 unidades completas.

c) Resolver atravs do Solver do Excel.5) Consideremos o problema:

Max L = 600 X1 + 800 X2

s.c

X1 + X2 100

3 X1 + 2 X2 240

X1 60

X2 80

X1, X2 0

Resolver pelo Solver e fazer uma anlise de sensibilidade do modelo, baseando-se em:

a) Qual a soluo tima e o valor timo da funo objetiva (Max lucro)?

b) Qual a faixa de variao do coeficiente de X2, para que a soluo (produo) permanea a mesma?

c) Se o lucro do produto 1( X1) fosse 400 a presente soluo permaneceria tima? Qual seria o novo lucro?d) Se lucro do produto 2 ( X2) fosse 650 a soluo mudaria? E o valor de L?

e) Qual so os custos marginais (preo sombra)? Por que?Uso do Lindo em Programao Linear

O Lindo (Linear, interactive and Discrete Optimizer) um software desenvolvido pela Lindo Systems Inc. de Chicago, Illinois, EUA, para a resoluo de modelos de programao linear, quadrtica ou inteira. Ele roda no ambiente Windows e est disponvel em vrias verses: Super, Hiper, Industrial Extended.Considere o seguinte problema:

Max L = 30 X1 + 40 X2

Sujeito as restries

X1 24

X2 16

X1 + 2 X2 40

X1, X2 0

Acionando o Lindo e entrando com dados

Para acionar o software Lindo, basta clicar no cone correspondente no Windows. NA primeira tela fornecida entramos com os dados.

! Exemplo 1

Max 30 X1 + 40 X2

St

X1 < 24

X2 < 16

X1 + X2 < 40

EndPara resolver clique em Solve no menu principal e depois novamente SolvePodemos iniciar a digitao de cada linha em qualquer coluna

Utilizamos o sinal < para e > para

Os significados das outras informaes so:

Linha

significado

!Exemplo 1

trata-se de uma linha de comentrio pois inicia-se com!Max

comando que solicita maximizar uma funo (outra opo seria min)

St

subject to significa sujeito a: informa que a seguir temos o conjunto

de restries

End

informa o fim dos dados

Vamos para o Exemplo 2:

Max Z =2X1 + 4X2 + 6 X3

Sujeito as restries

X1 + X2 + X3 100

2 X1 X2 + 5 X3 50

3 X1 + X3 200

X1, X2 e X3 0

Solicitando Anlise de SensibilidadeAps resolver um problema, o Lindo pode ainda efetuar uma anlise de sensibilidade.

Basta responder Yes aps a pergunta: Do Range (Sensitivity) Analysis? No momento que esta tela surgir durante uma solicitao de resultados (Solver) ou, ento, a qualquer momento, efetue:

Ative a tela de dados

Clique em Reports, no menu principal

Clique em RangeProblemas para resolver atravs do Lindo:1. PROBLEMA DE PRODUO

Um fabricante de jias produz brincos e colares. Ele tem um lucro de R$ 6500,00 em cada par de brincos e R$ 8000,00 em cada colar vendido. Supe-se que devido forte demanda desses itens consegue-se vender toda a produo da fbrica. Mas, a produo da firma limitada em dois aspectos: em cada par de brincos utilizam-se 5 unidades de ouro. Da mesma forma, cada colar produzido utiliza 20 unidades de ouro. Dispomos um total de 400 unidades de ouro. Cada par de brincos produzido gasta 10hs de mo de obra e cada colar gasta 15hs de mo de obra. Dispomos de um total de 450hs de mo de obra. O objetivo do fabricante descobrir qual a quantidade de pares de brincos e colares a serem fabricados, de tal modo que o lucro total seja o maior possvel.2. Resolver o problema 4 da lista acima, usando o Lindo.

3. Resolver usando o Lindo:

Min Z = 3 X1 4 X2 + X3

sc

X1 + X2 + X3 10

2 X1 + X2 - X3 20

X1, X2, X3 ( 0Modelos de redes

Modelos importantes de programao linear possuem uma estrutura especial que permite o desenvolvimento de algoritmos eficientes e especializados em sua soluo. Nessa famlia de problemas, um dos mais tradicionais o Problema dos Transportes. Esses problemas de rede, em geral, permitem uma espcie muito simples de tabela tecnolgica, dizem respeito a problemas de distribuio de produtos e so economicamente significativos para muitas empresas comerciais que operam em vrias instalaes e mantm estoques em armazns locais.

As caractersticas matemticas dos modelos de rede so to especiais que explorando suas propriedades estruturais pode-se obter maior eficincia para achar solues timas.

Os modelos de redes, tem como aplicao direta a Logstica.

A Logstica como atividade, j est estabelecida no Brasil h aproximadamente quatro dcadas. Seu ensino faz parte de cursos como Administrao, Engenharia de Produo e Sistemas de Informao. As explicaes de como funciona a Logstica cederam espao para o ensino de tcnicas mais apuradas com a ampliao do uso da Matemtica.Problema clssico do transporte

O problema do transporte um exemplo de um modelo de redes que tem uma aplicao padro em transporte de produtos que esto disponveis em vrias fbricas, depsitos etc... e se destinam para zonas de venda e vias de distribuio. A utilidade primria do modelo de transporte para planejamento.

Na interpretao padro do problema h m fontes de distribuio de um produto, cada uma podendo fornecer a quantidade ai , i = 1, ..., m. Por outro lado, existem n destinos cada um podendo absorver uma quantidade bj, j = 1, ...,n. Existe um custo para transportar uma unidade de produto da fonte i para o destino j que representado por Cij. O objetivo determinar o nmero de unidades Xij ser transportadas de cada fonte para cada destino de modo a minimizar o custo total do transporte.

As caractersticas matemticas dos modelos de redes, em particular, do problema do transporte so to especiais que explorando suas propriedades estruturais pode-se obter maior eficincia para achar solues timas.

Em aplicaes industriais reais, o problema do transporte tem freqentemente milhares de atividades e centenas de restries, de modo que usar um algoritmo mais eficiente no somente proveitoso, uma necessidade prtica.

Modelo clssico do transporte:

Min Z = cij xij para i = 1,2,...m e j = 1,2,...n

Restries de oferta

xij = ai j = 1,2,...n

Restries de demanda:

xij = bj i = 1,2,...m

Xij 0

O Algoritmo do Transporte tem os seguintes passos:

1. Encontrar uma soluo inicial para o problema.

2. Verificar se a soluo inicial bsica vivel.3. Verificar se a atual soluo a soluo tima (critrio de otimalidade). Se for pare.4. Fazer um mudana de base e voltar para o passo 2.Exemplos problemas de transporte:

1) Uma empresa tem fbricas nos locais I, II e III que abastecem quatro armazns A, B, C e D. Os custos de transporte unitrio das fbricas at os armazns e a oferta e demanda do produto so:

ABCDoferta

I17201312 70

II15212625 90

III15141517 115

Demanda50607095

Qual o plano timo de transporte? Qual o custo?2) Deseja-se transportar arroz de trs fbricas para trs centros consumidores distintos. Cada fbrica apresentou o seguinte nvel de estoque de arroz em determinado ms:

fbrica

arroz disponvel (sacos de 50 quilos)

1

200

2

150

3

300

Cada centro consumidor estar apto a receber as seguintes quantidades de arroz nesse ms:

Centro Consumidor

Demanda (sacos de 50 quilos)

A

100

B

300

C

250

Os custos unitrios ( por saco de arroz) de transporte envolvidos so os seguintes:

A B C

110 512

2 4 915

315 8 6

Qual ser a quantidade de arroz a ser transportada entre cada fbrica e cada centro consumidor, de tal forma que as demandas de cada centro sejam supridas e que o custo total de transporte seja mnimo.3) Tropicsun uma grande cultivadora e distribuidora de laranjas com trs grandes plantaes espalhadas em Araras, Limeira e Leme. A Tropicsun tem atualmente 275.000 caixas de laranja disponveis em Araras, 400.000 em Limeira e 300.000 em Leme.

Tropicsun scia de uma cooperativa que possui usinas de processamento de laranja (transforma laranja em suco) e exporta para a Europa. A Usina Suco-Rico tem capacidade para processar 200.000 caixas, a Usina Barra 600.000 e a Usina Iracema 225.000 caixas.

A Tropicsun contrata uma Cia. de transporte para levar as laranjas at as Usinas. A Cia. de transporte apresentou os custos, por km, de cada caixa de laranja.

A tabela abaixo contm as distncias:

Suco-RicoUs. BarraUs. Iracema

(Km) (km)

(km)

Araras

21 50 40

Limeira 35

30

22

Leme 55

20

25

Quantas caixas devem ser transportadas de cada plantao para cada usina de modo a minimizar a quilometragem e conseqentemente minimizar o custo?

Programao Inteira

Programao inteira a denominao dada a problemas de programao linear em que as variveis s podem assumir valores inteiros. O modelo de programao inteira tem a seguinte expresso matemtica:

Max Z = C1 x1 + C2 X2 + ...+ Cn Xn

Restries

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn b1

.............................................

am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn bm

x1,x2,...,xn 0 e com valor inteiroPodemos cham-lo de programao discreta ou programao mista (quando algumas variveis so inteiras e outras no).

Caso particular muito importante aquele em que as variveis xj s podem assumir valores 0 ou 1 (programao binria).

Exemplos:

Max Z = X1 + 19 X2

Sujeito a:

X1 + 20 X2 50

X1 + X2 20

X1, X2 0 com valor inteiroA soluo tima do problema esquecendo a condio inteira :

X1 = 18,421 e X2 = 1,57 com Z = 48,4

Os valores acima no satisfazem a condio inteira.

Aplicando-se a tcnica do arredondamento, podemos ter solues incompatveis ou soluo que no a tima (a melhor).

Vamos observar os resultados de arredondamento do problema acima:

1) Se aproximarmos a soluo para X1 = 18 e X2 = 2 a soluo invivel

2) Se

X1 = 18 e X2 = 1 Z = 37

3) Se

X1 = 19 e X2 = 2 a soluo invivel

4) Se

X1 = 19 e X2 = 1 Z = 38

No entanto a soluo tima obtida com X1 = 10 e X2 = 2 com Z= 48

Portanto a tcnica do arredondamento no aconselhvel.

O problema de programao inteira tambm um problema combinatrio pois podemos enumerar as solues e escolher a melhor.

Exemplo:

Max Z = 7 X1 + 10 X2 +12 X3 + 14 X4

Restrio:

41 X1 + 55 X2 +60 X3 + 70 X4 160

X1,...,X4 0 e com valor inteiro Algoritmo de Branch and Bound

(roteiro para maximizao)

1) Construir uma rvore binria (lista de problemas). Estabelecer um valor mnimo para a funo objetivo (Lmin). Inicialmente a rvore conter um nico problema.

2) Tirar um problema da rvore e resolv-lo. Se a rvore estiver vazia terminam as computaes e a soluo tima (se existir) a ltima soluo inteira registrada.

3) Se o problema no tem soluo compatvel ou se o valor de L for menor que Lmin (o mnimo estabelecido) volte para 2.

4) Se a soluo obtida para o problema satisfaz a condio que pede as variveis inteiras, registre-a, atualize o valor mnimo de L (Lmin) e volte para 2.

5) Se a soluo resulta em mais de uma varivel no-inteira, selecione uma dessas variveis arbitrariamente. Faa bj o valor dessa varivel e [bj] o maior inteiro bj. Construa dois novos problemas que so iguais ao problema resolvido, com uma restrio (condio) a mais cada um deles. A nova restrio xj [bj] em um dos problemas e xj ( [bj] + 1 no outro problema. Colocar os dois problemas na rvore e voltar para 2.Exerccios

Resolver os problemas de Programao Inteira pelo Mtodo de Branch and Bound, construindo a rvore binria.

Solues pelo Solver do Excel.

1) Uma micro empresa produz dois tipos de jogos para adultos e sua capacidade de trabalho de 50 hs semanais. O jogo A requer 3 hs para ser confeccionado e propicia um lucro de R$30,00, enquanto o jogo B precisa de 5 hs para ser produzido e acarreta um lucro de R$40,00. Quantas unidades de cada jogo devem ser produzidas semanalmente a fim de Max o lucro?

2) Max L = 2x1 + 3x2

s.c

x1 + 3x2 8,25

2,5x1 + x2 8,75

x1, x2 0 e com valores inteiros3) Min Z = 10 x1 + 9 x2

s.c

x1 8

x2 10

5 x1 + 3x2 45

x1, x2 0 e com valores inteiros

Z

Base atual

Funo objetiva (linha zero)

Coeficientes do sistema + variveis de folga

Termos constantes

_1390654575.unknown

_1390654576.unknown

_1295887409.xlsPlan1

2 -2 2 16

2 -1 3 20Dividir a L1 por 2

3 1 4 25

1 -1 1 8

2 -1 3 20Multiplicar a L1 por (-2) e somar com a L2

3 1 4 25

1 -1 1 8

0 1 1 4Multiplicar a L1 por (-3) e somar com L3

3 1 4 25

1 -1 1 8

0 1 1 4Somar a L2 com a L1

0 4 1 1

1 0 2 12

0 1 1 4Multiplicar a L2 por (-4) e somar com a L3

0 4 1 1

1 0 2 12

0 1 1 4Dividir a L3 por (-3)

0 0 -3 -15

1 0 2 12

0 1 1 4Multiplicar a L3 por (-2) e somar com a L1

0 0 1 5

1 0 0 2

0 1 1 4Multiplicar a L3 por (-1) e somar com L2

0 0 1 5

1 0 0 2

0 1 0 -1

0 0 1 -5

Plan2

Plan3