Slide 1

APLICAII ALE PCA N COMPRESIA I RESTAURAREA SEMNALELOR

MATRICEA MOORE-PENROSE (PSEUDO-INVERSA)

ALGORITMUL DE ELIMINARE A ZGOMOTULUI CORELAT PRIN TEHNICI PCA

OBSERVAII

Descompunerea SVD. Fie . Exist matricele unitare i V astfel nct

unde .Matricea Moore-Penrose sau pseudo-inversa unei matrice

Fie , i matricele unitare i V astfel nct

Se numete pseudo-inversa matricei A matricea unde .Proprieti

1. Fie , . Atunci 2. Fie , . Atunci este matrice inversabil i au loc relaiile

a. b. c. i Tehnica propus pentru eliminarea zgomotului este bazat pe reprezentarea semnalului imagistic n termenii componentelor principale i procesarea vectorului alb astfel obinut. Modelul este urmtorul.

Fie semnalul imagistic observat, unde

este setul de imagini originale, vector aleator cu medie i matrice de covarian

este componenta zgomot, repartizat normal, cu medie i matrice de covarian

Ipotezele de lucru sunt

semnalul iniial este necorelat cu componenta zgomot aditiv

vectorii medie i matricele de covarian corespunztoare semnalului iniial, respectiv zgomotului sunt date cunoscute.

Metoda propus pentru eliminarea zgomotului presupune parcurgerea a dou etape:

aplicarea unei transformri pentru decorelarea componentei zgomot

aplicarea unei metode de tip contracie a codului pentru eliminarea zgomotului semnalului obinut n urma procesului de decorelare.

_1273993145.unknown

_1273993147.unknown

_1273993149.unknown

_1273993150.unknown

_1273993148.unknown

_1273993146.unknown

_1273993144.unknown

Datele observate - imagini monocrome prelucrate considernd descompunerea n blocuri de dimensiune , ulterior liniarizate . n etapa de preprocesare datele sunt reduse la intervalul i centrate,

, unde i

Fie A matricea cu coloane un set de vectori proprii ai matricei i , unde sunt valorile proprii ale lui (sunt numere pozitive, dei nu este simetric); A diagonalizeaz simultan matricele de covarian i ,

i

Fie transformarea .

Rezult , deci componentele lui Z sunt necorelate.

Deoarece , componenta corespunde zgomotului rezultat n vectorul transformat

Rezult c n Z, zgomotul este distribuit normal, cu medie 0 i matricea de covarian . Componentele vectorului zgomot sunt independente. _1445665551.unknown

_1445665555.unknown

_1445665561.unknown

_1445666040.unknown

_1445666120.unknown

_1445666555.unknown

_1445666030.unknown

_1445665558.unknown

_1445665559.unknown

_1445665557.unknown

_1445665553.unknown

_1445665554.unknown

_1445665552.unknown

_1445665544.unknown

_1445665546.unknown

_1445665550.unknown

_1445665545.unknown

_1445665542.unknown

_1445665543.unknown

_1445665541.unknown

Pentru eliminarea zgomotului din imaginea transformat Z utilizm funcia de contracie

.

Fie Z0 imaginea rezultat n urma aplicrii funciei de contracie i varianta imaginii Y din care este eliminat componenta zgomot, unde

. Pe baza proprietii c A diagonalizeaz simultan cele dou matrice de covarian, avem

,

deci,

Varianta restaurat a lui X0 este

, deci . _1445665566.unknown

_1445666939.unknown

_1445668741.unknown

_1445668742.unknown

_1445665567.unknown

_1445665564.unknown

_1445665565.unknown

_1445665563.unknown

Implementare n varianta 1. Se dispune de , , i . Obinerea imaginilor cu zgomot imagini neperturbate de dimensiune , instane ale lui . Se lucreaz cu blocuri 16x16 i liniarizate i normalizate . Dup cum rezult din model, se dispune de , , i - pot fi calculai direct, primii doi parametri din imaginile neperturbate pentru variantele normalizate ale imaginilor, ceilali conform zgomotului. Perturbarea: este realizat cu zgomot corelat, fiecare bloc liniarizat de dimensiune 256 este perturbat cu acelai zgomot normal, de medie i matrice de c ovarian . Rezult imagini perturbate de dimensiune , liniarizate i mprite n blocuri. Algoritmul de eliminare a zgomotului

Date de intrare: , , , i Imaginile se normalizeaz (se aduc valorile matricelor n [0,1], prin mprire la 255). _1445667751.unknown

_1445667910.unknown

_1445668049.unknown

_1445669339.unknown

_1445669362.unknown

_1445668084.unknown

_1445667965.unknown

_1445667834.unknown

_1445667848.unknown

_1445667821.unknown

_1445078043.unknown

_1445667716.unknown

_1445667750.unknown

_1445245773.unknown

_1445077307.unknown

_1445077775.unknown

_1282372944.unknown

1. Centrarea:

2. Construiete matricea transformrii liniare - A matricea cu coloane vectori proprii ai matricei , i A diagonalizeaz simultan matricele de covarian i apel MATLAB [A,Lambda]=eig(sigmap,sigma);3. Aplic transformarea direct: 4. Aplic funcia de contracie a codului

5.Aplic transformarea invers

6. Calculeaz o aproximare a imaginilor iniiale

_1445665551.unknown

_1445668885.unknown

_1445669203.unknown

_1445669204.unknown

_1445669202.unknown

_1445668361.unknown

_1445665544.unknown

_1445665550.unknown

_1445080429.unknown

Imagini perturbate

VARIANTA 1 DE IMPLEMENTARE

Implementarea n varianta 2. Se dispune doar de i . Valorile parametrilor , , sunt estimate din date, pe baza observaiilor asupra imaginilor cu zgomot Fie ,

Algoritmul este implementat pentru ,

1. Observaii

2. Numrul exemplelor trebuie s fie suficient de mare nct valorile estimate pentru vectorul medie i matricea de covarian s fie apropiate de cele teoretice (de exemplu fiecare imagine neperturbat genereaz NR imagini perturbate; numrul exemplelor perturbate devine nrexp=NR*nrexp).

3. Imaginile reconstruite sunt obinute pe baza variantei 1 de implementare pentru valorile , , i . Pentru o mai bun reconstrucie, aproximarea fiecrei imagini neperturbate este obinut ca medie a tuturor variantelor reconstruite ale aceleiai imagini. _1445672420.unknown

_1445672560.unknown

_1445672658.unknown

_1445672659.unknown

_1445672508.unknown

_1445667821.unknown

_1445672412.unknown

_1445078043.unknown

Imagini perturbate

VARIANTA 2 DE IMPLEMENTARE

Imagini restaurate sunt cunoscute media si covarianta zgomotului (zgomotul este aditiv, corelat si de medie generata aleator); NR=50 (fiecare imagine curata a fost transmisa prin canalul de comunicatie care genereaza zgomotul de NR ori; fiecare imagine restaurata este media variantelor restaurate ale celor NR exemple bruiate primite)

1. n algoritmii prezentai n cursurile 6,7, 8 i 9 matricele de covarian de selecie pot fi slab condiionate, n principal din cauza numrului relativ mic de observaii asupra vectorilor aleatori (date de tip semnal imagistic, sonor etc.). n plus, metodele de calcul numeric folosite pot produce rezultate perturbate (valori proprii nule, vectori proprii cu valori numere complexe, cu partea imaginar foarte mic n modul amd).2. Pe baza observaiei 1, este recomandat folosirea pseudoinversei n locul inversei unei matrice (chiar dac, teoretic, matricea de inversat este nesingulat), sunt utilizate doar valorile proprii nenule i, implicit, componentele principale asociate acestora. 3. Valorile proprii calculate, dei teoretic sunt numere reale pozitive, pot conine i pri imaginare (foarte mici n modul). n acest caz sunt considerate prile reale, i numai acelea pozitive. 4. Funcia de contracie a codului este aplicat doar n cazul valorilor proprii pozitive (sau acelor valori proprii cu parte real numr pozitiv).