1

SSEEMMIINNAARRUULL 1144.. AAPPLLIICCAAŢŢIIII ..

Tema: EElleemmeennttee ddee ggeeoommeettrriiee ddiiffeerreennţţiiaallăă aa ssuupprraaffeeţţeelloorr..

1. Să se determine ecuaţia carteziană a suprafeţei a cărei ecuaţie vectorială este:

(Σ) : k)vau(juviur22

⋅++⋅+⋅= .

2. Se dă suprafaţa de reprezentare parametrică: (Σ) :

+=

+−=

++=

2uvz

,1vuy

,1vux

2

2

şi fie punctul M(u = 1, v = −1) pe suprafaţă. Să se scrie ecuaţiile carteziene ale curbelor u =

constant şi v = constant care trec prin punctul M.

3. Fie dată suprafaţa în reprezentare parametrică: (Σ) :

=

−=

+=

.uvz

,vuy

,vux

22

22

Se cere:

i) să se scrie prima formă fundamentală a suprafeţei;

ii) să se calculeze elementul de arc pentru curbele u = 2, v = 1, v = au;

iii) să se calculeze lungimea arcului curbei u = au, cuprins între intersecţiile curbei u = au

cu u = 1 şi u = 2.

4. Se dă suprafaţa de ecuaţii parametrice:(Σ) :

+=

+=

+=

).vu(3

1z

,vuy

),vu(2x

33

22

Se cere să se calculeze:

i) lungimea arcului curbei u = 1, cuprins între curbele v = 1, v = 2;

ii) unghiul curbelor u = 2 şi v = −1;

iii) elementul de arie al suprafeţei. 5. Să se calculeze unghiul curbelor v = u + 1 şi v = 3 – u de pe suprafaţa de rotaţie:

(Σ) : kujvsinuivcosur2

++= .

6. Să se calculeze între punctele M1(1; 2) şi M2(2; 3) lungimea arcului de curbă v = u + 1,

situat pe suprafaţa de rotaţie: (Σ) : kuu3

2jvsinuivcosur ++= .