APLICACIONES PRACTICAS DE LOS MODELOS DE CALIDAD …

MINISTERIO DE INDUSTRIA Y ENERGIASECRETARIA DE LA ENERGIA Y RECURSOS MINERALES

APLICACIONES PRACTICAS DE LOSMODELOS DE CALIDAD DE LOS ACUIFEROS

MEMORIAVOLUMEN W. Modelos Matemáticos De Transporte De Solutos

En Aguas Subterráneas

CAPITULO IV.3. Grupo II: Los Modelos de Advección -Dispersión

1985 -1986

Este estudio ha sido realizado por GEOMECANICA S.A.en régimen de contratación con la División de AguasSubterráneas y Geotécnia del Instituto Geológico y Mi-nero de España:

Iti0ICE SINTETICO DEL INFORME

VOLUMEN I. PRESENTACIOfI Y OBJETIVOS DEL PROYECTO

I.1. Antecedentes y objetivos del Proyecto1.2. Estructuración del informe1.3. Los manuales de uso de los programas de ordenador1.4. La recopilación de la informaciónI.S. Equipo de trabajo

VOLUMEN 11. FUNDAMENTOS TEORICOS DEL TRANSPORTE DE SOLUTOS EN MEDIOS POROSOS SATURADOS

11.1. Definición , orígenes y características físicas de lacontaminación de las aguas subterráneas

11.2. La teoría de la dispersión en medios porosos11.3. El problema especial de la intrusión marina en acuí-

feros costeros11.4. La determinación experimental de los principales pa-

rámetros de la ecuación general de la dispersiónI1.5. Bibliografía

VOLUMEN III. PRINCIPALES METODOS NUMERICOS EMPLEADOS EN LA RESOLUCION DELA ECUACION GENERAL DE LA DISPERSION

111.1. Introducción

111.2. El método de las diferencias finitas

111.3. El método de las características

111.4. Un método de residuos ponderados: el método de ele -

mentos finitos de Galerkin

III.5. Análisis comparativo de los distintos métodos numéri-

cos existentes. Ventajas e inconvenientes

111.6. Bibliografía

VOLUMEN IV. MODELOS MATEMATICOS DE TRANSPORTE DE SOLUTOS EN AGUAS SUBTE

RRANEAS

IV.1. Introducción

IV.2. Grupo 1 : los modelos de advección

IV.3. Grupo II : Los rodelos de advección-dispersión

IV.4. Grupo III: los modelos de agua dulce - agua salada

1

VOLUMEN V. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

V.1. Introducción

V.2. Breve presentación de los problemas de contaminaciónmás frecuentes en los sistemas acuíferos españoles

V.3. Orientación a la simulación matemática de los proble-mas de contaminación más frecuentes en los sistemas -aculferos españoles

V.4. Bibliografía

INDICE SINTETICO DEL VOLUMEN IV

CAPITULO IV.1. INTRODUCCION

IV.1.1. Clasificación de los modelos matemáticos de

transporte

IV.1.2. Casos históricos de aplicaciónIV.1.3. Criterios de selección

CAPITULO IV.2. GRUPO 1: LOS MODELOS DE ADVECCIONIV.2.1. Definición y campo de aplicación

IV.2.2 . Tipos de modelos de advección

IV.2.2.1 . Introducción

IV.2.2.2. Modelo de " lineas de corriente"(J.P. Sauty, 1972)

IV.2.2.3. Modelo de "celdas de mezcla" endiferencias finitas (J.Ferrer yF.J. Ramos, 1981)

IV.2.3. Análisis comparativo de los distintos tipos de modelos advectivos. Conclusiones

IV.2.4. Bibliografía

CAPITULO IV.3. GRUPO II: LOS MODELOS DE ADVECCION-DISPERSION

IV.3.1. Definición y campo de aplicación

IV.3.2. Tipos de modelos de advección - dispersión

IV.3.2.1. Introducción

IV.3.2.2. Modelos en diferencias finitas

IV.3.2.3. Modelo en diferencias finitas

con aplicación del método delas características (L.F.Koni-kow y J.D. Bredehoeft, 1978).

IV.3.2.4. Modelo "random-walk" (T.A. Pri

ckett, T.G. Naymick y C.G. --

Lonnquist, 1981)

IV.3.2.5. Modelos en elementos finitos

IV.3.3. Análisis cc-carativo de los distintos ti-

pos de rôdelos de advección-dispersión.

Conclusiones.

IV.3.4. Bibliografía

CAPITULO IV.4. GRUPO III: LOS MODELOS DE AGUA DULCE-AGUA SALADAIV.4.1. Definición y campo de aplicaciónIV.4.2. Modelos que consideran miscibilidad de los

fluidos

IV.4.2.1. IntroducciónIV.4.2.2. Modelo de corte vertical en elemen-

tos finitos. (George F.Pinder, 1975)IV.4.2.3. Modelo de corte vertical en diferen

cias finitas, con aplicación del método de las características (GeorgeF. Pinder y Hilton H. Cooper, 1970)

IV.4.3. Modelos que consideran inmiscibilidad de losfluidosIV.4.3.1. IntroducciónIV.4.3.2 . Modelo en diferencias finitas (J.Fe

rrer y F.J. Ramos, 1982)

IV.4.4. Análisis comparativo de los distintos tipos de

modelos de agua dulce- agua salada . Conclu-

siones.IV.4.5. Bibliografía

INDICE GENERAL DEL CAPITULO

Pág.

INDICE GENERAL IINDICE DE FIGURAS IVINDICE DE ANEXOS VIII

IV.3. GRUPO II: LOS MODELOS DE ADVECCION - DISPERSION

IV.3.1. Definición y campo de aplicación 1IV.3.2. Tipos de modelos de advección -dispersión 3

IV.3.2.1. Introducción 3IV.3.2.2. Modelos en diferencias finitas 6

IV.3.2 .2.1. Planteamiento 6

IV.3.2.2.2. Resolución por el método de dife-

rencias finitas (MDF) 9

IV.3.2.2.3. Estabilidad y convergencia 19IV.3.2.2.4. Resolución del sistema de ecuacio

nes algebraicas 21

IV.3.2.2.5. Condiciones de contorno 24

IV.3.2.2.6. Principales dificultades numéricasen la aplicación del MDF 26

IV.3.2.2.7. Caso histórico de aplicación 30

IV.3.2.2.7.1. Un modelo para calcular el efecto de la inyección de -

residuos líquidos en acuíferos sa

linos profundos (IIlTERCOMP Res Dev.

8 Eng ., Inc. 1976) 30

IV.3.2.3. Modelo en diferencias finitas con aplicación -

del método de las características (1.F. Koni -

kow y J.O. Bredehoeft, 1978) 39

IV.3.2.3.1. Planteamiento del modelo 39

II.

Pág.

IV.3.2.3. 2. Resolución de la ecuación del flu

jo por el método de diferencias -finitas (MDF) 43

IV.3.2.3.3. Resolución de la ecuación de la -dispersión por el método de lascaracterísticas (MOC) 46

IV.3.2.3.4. Tratamiento de problemas especia-

les 62IV.3.2.3.5. Algunas consideraciones de tipo -

práctico en el uso del modelo 67IV.3.2.3.6. Casos históricos de aplicación 69

IV.3.2.3. 6.1. Simulación del movimiento y de los cambios de cal¡ -

dad química en un sistema acuífe-

ro-rio (L.F. Konikow y J.D. Grove,1974) 69IV.3.2.3.6.2. Simulación del moví

miento de cloruros en un acuífero

aluvial en Rocky Mountain Arsenal,

Colorado (USA) (L.F. Konikow, 1977) 84

IV.3.2.4 . Modelo "random -walk" (T .A. Prickett, T.G. Nay

mick y C.G. lonnquist, 1981) 98

IV.3.2.4 .1. Planteamiento del modelo 98

IV.3.2.4.2. Resolución de la ecuación del flu

jo por el método de diferencias -

finitas (MDF) 101

IV.3.2.4.3. "Resolución" de la ecuación de la

dispersión aplicando la técnica -

de "pasos aleatorios". 102

IV.3.2.4.4. Casos históricos de aplicación 113

IV.3.2.4.4.1. Modelo de calidad -

de la Llanura Manchega (IGME,1984) 113

III.

Pág.

IV.3.2.4.4.2. Aplicación de un modelo de transporte de solutos enMeredosia, Illinois (USA) (T.A. -Prickett, T.G. Naymick y C.G. Lonnquist, 1981) 123IV.3.2.4.4.3. Modelo de calidad -del sistema acuífero de Almonte -Marismas (IGME, 1978) 132

IV.3.2.5. Modelos en elementos finitos 139IV.3.2.5.1. Planteamiento 139IV.3.2.5.2. Resolución por el método de ele -

mentos finitos (MEF) 142

IV.3.2.5.3. Casos históricos de aplicación 152

IV.3.2.5.3.1. Simulación de la -contaminación de aguas subterrá -neas en long Island , New York --(USA) por el método de elementosfinitos de Galerkin (George F. Pi nder, 1973) 152

IV.3.2.5.3.2. Simulación de la -contaminación de aguas subterráneas en Pleasantville, New Jersey -(USA) N.G. Gray y J.L. Hoffman,

1983) 161

IV.3.3. Análisis comparativo de los distintos tipos de modelos -de advección -dispersión . Conclusiones 172

IV.3.4. Bibliografía 180

IV.

INDICE DE FIGURAS

N° TITULO Pág.

1 Discretización por el MDF 9

2 Aproximación explícita 17

3 Aproximación implícita ( a) y de Crank-Nicholson (b) 18

4 Condición de contorno : Límite impermeable 24

5 Condición de contorno : Límite de gradiente constante 25

6 Saturación 26

7 Dispersión Numérica 28

8 Representación esquemática del problema 31

9 Distribución de concentración calculada para el techo (a),

y muro (b) del acuífero 36

10 Estimación de la velocidad de la partícula 49

11 Representación "gráfica " del proceso de cálculo 52

12 Tratamiento del movimiento de partículas cercanas a límites

impermeables 62

13 Generación de partículas en celdas fuente adyacentes a un -

límite impermeable 64

14 Generación de partículas en celdas fuente no adyacentes -

a un límite impermeable para el caso del flujo regional des

preciable ( a) y para un acusado flujo regional (b) 64

15 Mapa de situación del sistema acuífero/ río y mallado emplea

do 70

16 Zonificación de la transmisividad 71

17 Piezometría inicial (Marzo, 1971) 72

18 Concentración inicial del TSD (Marzo, 1971) 73

V.

N° TITULO- Pág.

19 Valores reales y calculados de piezometría (a) y concentra

ción ( b) al final del periodo de simulación ( Marzo , 1972) 73

20 Red establecida para la toma de datos 74

21 Concentración del TSD real (a) y calculada (b) (Marzo,

1972) 81

22 Concentración del TSD observada y calculada para el perio-

do de simulación , en dos puntos de observación 82

23 Mapa de situación de la zona de estudio 84

24 Situación de: sondeos de explotación para riego ; áreas re-

gadas conjuntamente con agua superficial y subterránea y -

depósitos de residuos contaminantes 85

25 Concentración real de cloruros (1956) 86

26 Superficie piezométrica (1955-71) 86

27 Mallado y límites del modelo 88

28 Historia del funcionamiento de los depósitos en el Rocky -

Mountain Arsenal (1943 - 1972) 90

29 Concentración calculada de cloruros (1956) 91

30 Concentración real de cloruros (Enero 1961) 92

31 Concentración calculada de cloruros ( al comienzo de 1961) 92

32 Concentración real de cloruros (Enero-Mayo 1969) 93

33 Concentración calculada de cloruros ( al comienzo de 1969) 93

34 Concentración real de cloruros (Mayo 1972) 94

35 Concentración calculada de cloruros (al comienzo de 1972) 94

36 Concentración prevista para 1980 (alternativa de explota -

ción) 96

37 Estimación de la velocidad de la partícula 104

VI.

N° TITULO Pág.

38 Esquema general del movimiento advectivo y por dispersión

(a) longitudinal (b) transversal 106

39 Esquema general del movimiento advectivo y por dispersión

(a) longitudinal (b) transversal, en el caso de no coin-

cidencia entre dirección del flujo y ejes coordenados 108

40 Caso más general de movimiento de una partícula 109

41 Fenómeno de dilución: tratamiento del problema ( a); solu-

ción (b); tratamiento dado por el modelo (c) y (d) 111


43 Mallado del modelo 115

44 Curvas concentración - tiempo (piezometría 1974) 119

45 Curvas concentración - tiempo (piezometría Agosto 1982) 120

46 Curvas concentración - tiempo (área de Villarrobledo) 120

47 Extensión de las nubes de contaminación (piezometría 1974) 121

48 Extensión de las nubes de contaminación (piezometría 1982) 121


50 Superficie de control y sondeos de control de contaminación 124


52 Composición química de las muestras de agua (en mg/1) 127

53 Clasificación del agua (a) 128

54 Clasificación del agua (b) 128

55 Distribución de concentración de amoniaco 129

56 Distribución de concentración de amoniaco en el sondeo de -

producción y en el limite aguas abajo 131



VII.

N° TITULO Pág.

59 Plano de situación . Extensión areal de la contaminación 152

60 Extensión vertical de la nube contaminante 154


62 Distribución de concentración de cromo calculada y obser

vada ( 1953) 158

63 Distribución de concentración calculada ( 1949-61): fuen

te contaminante eliminada 159

64 Distribución de concentración calculada (1949-57): fuen

te contaminante reducida un 75% en su concentración 160

65 Distribución de concentración calcualda ( 1972-79): fuen

te contaminante eliminada 160


67 Cortes geológicos BB' (a) y CC' (b) 163


69 Piezometría observada en Enero - 81 166

70 Piezometría calculada en Enero - 81 166

71 Gradientes observados y calculados , según el perfil AA' 166

72 Distribución de concentración calculada al cabo de cin

co años ( a) y de diez años (b) 168

73 Distribución de concentración simulada para la estrate

gia A 169


gia B al cabo de cinco años 170


gia B al cabo de diez años 170

76 Valores regionales de la dispersividad obtenidos por -

"ensayo y error" en el ajuste de un modelo matemático 177

VII1.INDICE DE ANEXOS

N° TITULO

1. A method for calculating multi-dimensional inmiscible dis

placement.

DOUGLAS Jr ., J., PEACEMAN, D.W. Y RACHFORD Jr., H.H., 1959

TRANSACTIONS A.1.M.E., Y. 216, p. 297-308.

2. Numerical calculation of multi - dimensional miscible displa

cement by the method of characteristics.

GARDER Jr., A.D., PEACEMAN, D.W. Y POZZ1 Jr., A.L., 1964.

SOCIETY OF PETROLEUM ENG. JOURNAL, Y. 4, N. 1, p. 26-36

3. Computer simulation of waste transport in groundwater aquifers

REDDEL, O.L. Y SUIIADA, D.K., 1969

COLORADO STATE UNIV., FORT COLLINS, COLORADO; COMPLETION

REPORT OWRR PROYECT A-001-COLO.

4. A Galerkin finite element simulation of groundwater contami

nation on long Island , New York.

PINDER , G.F., 1973

WATER RES . RESEARCH, Y. 9, N. 6, p . 1657-1669.

5. Modeling flow and chemical quality changes in an irrigated

stream - aquifer system.

KONIKOW , 1.F., Y BREDEHOEFT, J.D., 1974

WATER RES. RESEARCH, Y. 10, N. 3, p. 546-562.

6. A Galerkin finite element technique for calculating the

transient position of the saltwater front.

SEGOL, G., PINDER G.F., Y GRAY, W.G., 1975

WATER RES. RESEARCH, v. 11, N. 2, p. 343-347

1

N° TITULO IX.

7. Groundwater Pollution . (p. 246-256)

FRIED, J.J., 1975

Ed. ELSEVIER SCIENTIFIC PUB. Co.

8. A model for calculating effects of liquid waste disposal in deep

salive aquifers.

INTERCOMP RESOURCE DEV. & ENG., INC., 1976.

9. Modeling chloride movement in the alluvial aquifer at the Rocky

Mountain Arsenal, Colorado.

KONIKOW, L.F., 1977

U.S. GEOLOGICAL SURVEY, WATER SUPPLY PAPER 2044.

10. Computer model of two- dimensional solute transport and dispersion

in ground water.

KONIKOW, L.F. Y BREDEHOEFT, J.D., 1978.

TECHNIQUES OF WATER-RESOURCES INV. OF ]HE U.S. GEOLICAL SURVEY

BOOK 7, CHAPTER C2.

11. Modelo de calidad del sistema acuífero de Almonte-Marismas.

IGME., 1978

12. Revision of the documentation for a model for calculating effects

of liquid waste disposal in deep salive aquifers.

INTERA ENVIRONMEHTAL CONSULTANTS LTD., HOUSTON, TX., 1979

13. A "Random-Walk" solute trnasport model for selected groundwater

quality evaluations.

PRICKETT, T.A., 11AYMICK, T.G. y L01HNGUIST, C.G., 1981

111111015 STATE WATER SURVEY, CHAMPAIGN. BULLETIN 65

I Í

X.

N° TITULO

14. A numerical model study of groundwater contamination from Price's

Landfill , New Jersey.

GRAY, W.G. Y HOFFMAN, J.L., 1983

GROUNDWATER CONTAMINATION FROM HAZARDOUS WASTES, p. 75-85

Ed. PRENTICE-HALL, IHC.

15. Modelo de calidad de la llanura Manchega

IGME, 1984

IV.3.1. DEFINICION Y CAMPO DE APLICACION

Se denominan modelos de advección - dispersión aquellos

en los que la componente del transporte debido a la dispersión

hidrodinámica se integra dentro del esquema de cálculo, al no ser

posible despreciarla frente a la componente advectiva del transporte;

por consiguiente , la ecuación general de la dispersión deducida

en el VOLUMEN II. FUNDAMENTOS TEORICOS DEL TRANSPORTE DE SOLUTOS

EN MEDIOS POROSOS SATURADOS presenta ahora su forma completa:

A- aC a aC a a c J CaX X aX a y y a y az z az

xaX

ac ac acv

_y a y vz

=a z at

Como se comentó en el capítulo correspondiente a los

modelos de advección, esta ecuación puede presentar un término

adicional en su parte izquierda en el caso de presencia en el acuífero

en estudio de reacciones químicas que afecten al transporte del

soluto contaminante ; análogamente, y en la mayor parte de problemas

prácticos , debe incluirse un término que exprese la presencia de

"fuentes " o "sumideros" en el acuífero a través de los cuales

se produce el aporte o desaparición de masa de soluto que, obviamente,

produce una variación en su concentración en el acuífero.

Los modelos de advección-dispersión pueden aplicarse

a la resolución de problemas de contaminación regional y puntual,

2.

pues en ambas existe componente dispersiva del transporte, si bien

en el caso de la contaminación regional dicha componente puede

despreciarse en general frente a la componente advectiva. Esta

última razón hace que en la práctica los modelos de advección-disper

sión se apliquen sólo a problemas de contaminación puntual (por

ejemplo, contaminación urbana , industrial , etc.) en los que la

dispersión hidrodinámica desempeña un importante papel , reservándose

el uso de los modelos de advección , menos complejos y costosos,

para los problemas de contaminación regional.

3.

IV.3.2. TIPOS DE MODELOS DE ADVECCION - DISPERSION

IV.3.2.1. INTRODUCCION

El objetivo de los distintos tipos de modelos de advec

ción-dispersión existentes es siempre el cálculo de la distribución

de concentración de un cierto soluto contaminante, sobre un conjunto

de celdas o elementos en que se ha discretizado espacialmente el

acuífero en estudio y para cada paso de tiempo en que se ha discre

tizado temporalmente el periodo de simulación.

Los modelos en diferencias finitas, es decir, aquellos

que hacen uso del método de las diferencias finitas para resolver

numéricamente la ecuación general de la dispersión han sido los

primeros en plantearse (Douglas, Peaceman y Rachford, 1959; ref.

n° 1). A pesar del buen resultado que ha dado este método para

la resolución de la ecuación diferencial del flujo subterráneo,

en el caso de la resolución de la ecuación de la dispersión se

producen graves errores numéricos, en especial el de dispersión

numérica (ver VOLUMEN 111, Capítulo III.5. ANALISIS COMPARATIVO

DE LOS DISTINTOS METODOS NUMERICOS EXISTENTES. VENTAJAS E INCONVENIEN

TES), que han hecho que en la actualidad dichos modelos estén práctica

mente en desuso.

Justamente para evitar la presencia de la dispersión

numérica se ha aplicado el método de las características (Garder,

Peaceman y Pozzi, 1964, Reddel y Sunada, 1969; ref. n° 2 y 3, respec

4.

tivamente). Este método no resuelve directamente la ecuación de

la dispersión (ecuación diferencial de segundo orden en derivadas

parciales) sino un sistema equivalente de ecuaciones diferenciales

ordinarias, consiguiendo eliminar completamente el problema de

la dispersión numérica, si bien con ciertas restricciones por lo

que se refiere a la discretización espacial y temporal que se realiza.

Durante la década de los setenta, comenzaron a desarro

llarse y emplearse los modelos en elementos finitos, es decir,

modelos que aplican el método de elementos finitos a la resolución

numérica de la ecuación de la dispersión (Pinder, 1973, Segol,

Pinder y Gray, 1975). Si bien estos modelos también presentan problemas

de dispersión numérica, en el caso de problemas de contaminación

en los que la dispersión hidrodinámica es fuerte y componente predo

minante del transporte (y por lo tanto, el error numérico es de

orden muy inferior a la dispersión física), su uso está siendo

cada vez mayor por su buena adaptabilidad a heterogeneidades y

geometrías complicadas del acuífero.

En los apartados siguientes se describen, globalmente,

los modelos en diferencias finitas y en elementos finitos, indicán

dose en cada caso las peculiaridades inherentes al método numérico

a partir de las cuales se establece todo un abanico de modelos

de uno y otro tipo. Por otra parte, se describen un modelo con

aplicación del método de las características (Konikow y Bredehoeft,

1978) y el denominado modelo "random-walk" (Prickett, Naymick y

5.

Lonnquist, 1981). Este último modelo tampoco resuelve la ecuación

de la dispersión, por lo que no presenta el problema de la disper

sión numérica, gracias al empleo de un cierto artificio numérico

que ha dado buenos resultados prácticos en los casos en que ha

sido aplicado.

6.

IV.3.2.2. MODELOS EN DIFERENCIAS FINITAS

IV.3.2.2.1. PLANTEAMIENTO

Como se ha comentado en el apartado anterior no se

va a considerar un modelo concreto en diferencias finitas; por

consiguiente, se indican a continuación las hipótesis y restricciones

que con más frecuencia se efectúan en los modelos de este tipo:

P. Validez de la ley de Darcy.

2' Se consideran despreciables o nulas las variaciones verticales

de la piezometría (hipótesis de Dupuit) y de la concentración

del soluto.

34. Se admite que no hay presencia de reacciones quimicas que

modifiquen la concentración del soluto y que, además, éste

actúa como un trazador.

42. La difusión fónica y molecular produce un flujo dispersivo

despreciable frente al provocado por la dispersión mecánica.

5á. La porosidad permanece constante en el tiempo y es uniforme

en el espacio.

6á. El acuífero puede ser heterogéneo y anisótropo; sin embargo,

debe ser homogéneo e isótropo respecto a la dispersividad longitu

dinal y transversal.

74. El flujo subterráneo es uniforme.

7.

La formulación matemática de las anteriores hipótesis

y restricciones conduce al siguiente modelo matemático:

D (K . b . ah ) + 3 (K . b . ah ) = S a h + Q (1)ax x ax ay y ay at

o2c

+oa 2 C - v ac-� a`= ac (2)*x a

x2y

ay2 x a x y ay 't

Kx ah _ - Ky 2h (3)

vx n 2x y n ay

La ecuación ( 1) es la ecuación diferencial del flujo

subterráneo, en donde:

Kx.b = T x : Transmisividad en la dirección x

Kx.b = Ty

: Transmisividad en la dirección y

Kx : Permeabilidad en la dirección x

Ky : Permeabilidad en la dirección y

b : Espesor saturado

S : Coeficiente de almacenamiento

h : Nivel piezométrico

Q : Caudal de entrada (+) o salida (-) por unidad de área

x,y : Coordenadas espaciales

t : Tiempo

*NOTA: Por comodidad en el desarrollo posterior no se considerala presencia de fuentes / sumideros de soluto , si bien enlas aplicaciones prácticas de estos modelos siempre es ten¡da en cuenta.

8.

La ecuación ( 2) es la ecuación diferencial de la disper

sión en donde , además:

c : concentración del soluto

vx, vy : componentes del vector velocidad lineal media en las direcciones

x e y, respectivamente

Dx, Dy

: componentes del tensor coeficiente de dispersión hidrodinámica

en las direcciones x e y respectivamente

La ecuación ( 3) proporciona los valores de vx y vy

a partir de los gradientes piezométricos calculados en (1), nece

sarios para resolver la ecuación (2); en esta ecuación n es la

porosidad eficaz del medio poroso.

El proceso general de cálculo consiste en resolver

en primer lugar la incógnita de la piezometria ( es decir, el modelo

de flujo ) independientemente de la concentración del soluto dado

que éste es trazador y no modifica el flujo subterráneo; a continua

ción se calculan mediante ( 3) las componentes vx y vy para final

mente resolver la incógnita de la concentración (es decir, el modelo

de transporte).

9.

IV.3.2.2.2. RESOLUCION POR EL METODO DE DIFERENCIAS FINITAS (MDF)

a) Modelo de flujo

Para la resolución del modelo de flujo ecuación (1)

se realiza una discretización espacial del dominio de estudio según

un mallado rectangular ( regular o irregular), definiéndose los

nodos en los centros geométricos de las celdas, y una cierta discre

tización temporal del periodo de simulación; la ecuación (1) se

aproxima por el método de diferencias finitas empleándose un esquema

implícito , de manera que para una celda ( i,j) (figura n° 1):

e'

t-+.l 1.1 '41.1or

t.1+i

Fig. n? 1 . Distoretización por el MDF

lo.

Ti-1,j,2 (hi-l,j - hij ) A x + Ti,j,l (hij+l - hi'j) �x+

Y

+ T. (hi+1

- h>. ) D +T. (hi - h ) Ax =

>>j�2 �j >j Ax �.j-1,1 ,j-1 i,j ¿Y

S i,j Ax 0Yi,j

At>>J +

Q>>j (4)

en donde:

h'ig-j : nivel piezométrico en la celda (i,j) para un tiempo t, anterior

h: nivel piezométrico en la celda (i,j) para un tiempo t + A t

Ti,j,l : transmisividad de paso entre celdas (i,j) e (i,j+l)

Ti,j,2 : transmisividad de paso entre celdas (i,j) e (i+l,j)

S1Ij : coeficiente de almacenamiento en la celda (i,j)

Qi,j : caudal de entrada (+) o salida (-) en la celda (i,j)

Ax, Ay: dimensiones de la celda

At : duración del paso de tiempo

La ecuación (4) representa o implica para una discretiza

ción en N celdas del dominio en estudio, un sistema de ecuaciones

algebraicas de N ecuaciones con tí incógnitas, que puede ser resuelto

por uno de los diferentes métodos ofrecidos por el cálculo numérico.

Una vez que se calcula para cada paso de tiempo la

distribución de piezometria sobre el mallado, puede calcularse

11.

la distribución de velocidades correspondiente , necesaria para

el modelo de transporte , empleando una aproximación en diferencias

finitas explícita de la ecuación (3):

K2(i,j) ( h1 - hi+l )

n(i,j) Ax(5)

K1(i,j) (h. . -hi j+1

n(i,j) Ay

en donde

v2 (i,j) : velocidad en el borde de separación de celdas (i,j) e

(i+l,j)

v1 (i,j) : velocidad en el borde de separación de celdas (i,j) e

(i,j+l)

K2 (i,j ) . permeabilidad de paso entre (i,j) e (i+l,j)

K1 (i,j) : permeabilidad de paso entre ( i,j) e (i,j+l)

n (i,j) : porosidad eficaz en (i,j)

b) Modelo de transporte

A continuación se indican las diferentes maneras de

aproximar por el MDF las derivadas parciales (espaciales) que

aparecen en (2); se indican después los esquemas (o aproximaciones)

más usuales de la ecuación (2), señalándose la estabilidad y conver

gencia de cada uno.

12.

Aeróximación - de-las derivadas e arciales-

Bajo algunas condiciones de regularidad de la función

c (es suficiente en este caso que c tenga derivadas continuas hasta

el orden 4 ), ésta puede ser desarrollada mediante un desarrollo

en serie Taylor respecto a x, manteniendo y,z,t constantes:

ac h2 22cc(x+h,y,z,t) = c(x,y,z,t) + h . (x,y,z,t) + (x, y,z,t) +

ax 2 ax2

h3 a3c hn 2nc+ (x,y,z,t) + ....: + - (x,y,z,t) + R (6)

3! a x3 n! 2xn

Donde R, resto de la serie , es igual a k(h n+l), siendo k una función

de las derivadas de orden superior a n.

Aeróximación -de - la-derivada -primera.-------------

Haciendo h = 0 x y h= - A x, se tendrán los siguientes

desarrollos:

D c Ax2 a2cc(x+ tx x,y,z,t) = c(x,y,z,t) + A x. (x,y,z,t) + (x,y,z,t)+

2x 2 2x2

+ k (tx3) (7)

13.

2c A x2 22cc(x- Ax,y,z,t) = c(x,y,z,t) - á X (x,y,z,t) + (x,y,z,t)+

ax 2 2 x2

+k (Ax3)(8)

de (7) y ( 8) puede deducirse

ac c(x+Ax,y,z,t) - c(x-Ax,y,z,t)(x,y,z,t) = + k(A x3) (9)

2x 2 Ax

despreciando el término k( A x3 ),se obtiene la denominada aproximación

centrada en el espacio:

2c c(x+ A x,y,z,t) - c(x- A x,y,z,t)(x,y,z,t) _ (10)

2x 2 A x

Es importante observar que el error de truncadura cometido en (10)

es del orden de k( A x3 ) siendo k una función de la derivada de

orden 3 y siguientes.

Llevando el desarrollo en serie sólo hasta la primera derivada:

c(x+ A x,y,z,t) = c(x,y,z,t) + A xD c

(x,y,z,t) + k(A x2) (11)2x

14.

c(x- A x,t.z.t) = c(x,y,z,t) - x --Lc (x,y,z,t) + k( ¿x2) (12)ax

De (11) y (12) puede deducirse , respectivamente:

PC c(x+ A x,y,z,t) - c(x,y,z,t)(13)(x,y,z,t) _ + k( 0x2)

2x Ax

2c c(x,y,z,t) - c(x- A x,y,z,t)(x,y,z,t) _ + k( 0x2) (14)

ax Ax

Despreciando los términos k( A x2 ) en (13) y (14),

se obtienen , respectivamente , las denominadas aproximaciones hacia

adelante y hacia atrás en el espacio:

PC c(x+ A x,y,z,t) - c(x,y,z,t)(x,y,z,t) = (15)

ax Ax

ac c(x,y,z,tl - c(x-A x,y,z,t)(x,y,z,t) (16)

ax Ax

siendo el error de truncadura en ambos casos del orden de k( A x2),

donde k es función de las derivadas de orden 2 y siguientes. Como

1

15.

puede observarse , ( 10) constituye una mejor aproximación , especial

mente en los casos de fuerte curvatura donde las derivadas 2 1 y

30 son importantes.

eroximáción - de-la-deriváda _ segundá- -- -- ----- --

A partir de (7) y (8) se deduce:

a2 C(x,y,z,t) c(x+ 0 x,y,z,t) - 2c(x,y,z,t) + c(x- t x,y,z,t) (17)

2 x2 ( 1x)2

con un error de truncadura del orden de k(t x3).

. Aeróximáción - de - la-ecuación - diferencial.----------------------

La aproximación de la ecuación (2) (simplificada a

1-D, para mayor claridad ) se realiza eligiendo una aproximación

de 2c / 2x (hacia adelante, hacia atrás o centrada ) y aproximando

22ac/2x

De esta forma llamando T ( x,t) a la aproximación de

1

16.

D 22c / 2x2 - v 2c/ 2x para un punto x y tiempo t, se tiene una

primera aproximación de la ecuación (2):

2c= T (x,t)

2t

Por otra parte, la aproximación de la derivada temporal

D c/ 2t se basa en el hecho de conocer c(x,t1) y de pretender calcular

c(x,t2 ), siendo t2> t1, lo que se traduce en:

D c: c(x,t2) - c(x,t1)

D t t2 - tl

Según que T(x,t) sea evaluada en el tiempo t1 ,t2 o en

uno intermedio , se tienen tres esquemas o aproximaciones diferentes

de la ecuación (2).

1. Esquema explícito

Evaluando T en el tiempo ti , se tiene

c(x,t2) - c(x,t1)T (x,t1) (18)

t2 - t1

La interpretación geométrica de la ecuación ( 18) puede verse

1

17.

en la figura n° 2, teniendo en cuenta que T(x,t 1) es la pendiente

de la tangente a c(x,t) en t1. c(x,t 2) y Y (x,t2) representan el

valor computado y exacto, respectivamente, de la función para el

tiempo t2

c

a��l

cta j

TzIi: t

Fig. n? 2. Aproxiwación explícita

2. Esquema implícito.

Evaluando T en el tiempo t2, se tiene

c(x,t2) - c(x,t1)= T (x,t2) (19)

t2 - tl

Cuya interpretación geométrica puede observarse en

la figura n° 3.a. T(x,t 2) es la pendiente de la tangente a c(x,t)

en t2, y la recta que une c(x,t1) y c(x,t2) es paralela a dicha tangente.

1

18.

c c

Y (x .+t)

C(04 t�)C(*,+ )

C(a.y) (x.4)ct�.yl

(a) (b)

Fig. n? 3. Aproxi.ación iaplícita (a) y de Crank-Nicholson (b)

3. Esquema de Crank-Nicholson

Suponiendo que T(x,t) es lineal en el intervalo (t1,t2) puede

escribirse:

c(x,t2) - c(x,t1)X T(x,t1) + (1 - X ) T (x,t2)

t2 - t1 con 0 < X t 1(20)

Para 7\ = 0.5, se tiene el denominado esquema de CranK-Nicholson (figu

ra n° M.

19.

IV.3.2.2.3. ESTABILIDAD Y CONVERGENCIA

El objeto de las aproximaciones realizadas es proporcionar

una estimación de la concentración en el tiempo t 2 (c(x,t2 )) siendo

conocida la concentración en el tiempo t1 . Para que dicha estimación

sea válida debe aproximarse a la solución exacta de la ecuación

(2) de la dispersión ( Y (x,t2)), lo que requiere el cumplimento

de dos condiciones para el caso de las aproximaciones: estabilidad

y convergencia.

Convergencia_

Una aproximación en diferencias finitas se dice que

es convergente si la diferencia entre Y (x,t) y c(x,t)

tiende a cero cuando A x y A t tienden a cero, para

un tiempo y posición dados.

Estabilidad:

Dado que el proceso de cálculo es un proceso iterativo,

es decir, se calcula c(x,t+ A t) a partir de c(x,t),

debe cumplirse la estabilidad de dicho proceso; es

decir, debe poder evaluarse en algún sentido la diferencia

entre Y (x,t) y c(x,t) cuando t---- oo , para unos

A x y A t dados.

1

20.

De otra forma: debe cumplirse que los errores entre

solución calculada y exacta no sean acumulativos con el tiempo.

Se asume que las aproximaciones realizadas son conver

gentes. No se demuestra aquí la estabilidad de los esquemas presen

tados (que puede verse con detalle en la referencia n2 7 p. 250-

253), sólo indicar que la estabilidad del esquema explícito implica

que se cumpla la condición:

A t < A x sobre todo el mallado2 D + v

Ax

Por lo que el esquema se dice que es condicionalmente

estable. Los esquemas implicitos y de Crank-Nicholson resultan

incondicionalmente estables, es decir, independientes de la discre

tización espacio-temporal realizada.

Justamente el hecho de que el esquema explícito sea

condicionalmente estable hace que en la práctica no se emplee,

pues obliga al empleo antieconómico de pasos de tiempo muy peque

ños. Por el contrario, este esquema resulta ventajoso y más sencillo

que el implícito en la medida en que no es preciso resolver ningún

sistema de ecuaciones algebraicas.

21.

IV.3.2.2.4. RESOLUCION DEL SISTEMA.-DE ECUACIONES ALGEBRAICAS

Si se considera ahora una ecuación de dispersión en

2-D, en el caso de coincidencia del flujo con el eje x (es decir,

y _ Vx, vy = 0).

a2 c 22 c 2c 2cD L ----2 + DT -�- - vx = (21)

J x ay 'x at

y se procede a una discretización espacio-temporal similar a la

considerada por el modelo de flujo, puede escribirse la siguien

te aproximación de (21) empleando un esquema implícito

C2 (i+l,j)-2C2(i,j)+C2(i-l,j)DL(i'j) +

0x2

C2(i,j+l)-2C2(i,j)+C2(i,j-l)

Ay2

C2(i,j)-C2(i-1,j) C2(i,j)-C1(i,j)- V2(i-l,j) = (22)

Ax At

en donde :

C1(i,j) : concentración en la celda ( i,j) para un tiempo tl (conocida)

C2(i,j) . concentración en la celda ( i,j) para un tiempo tl + 0 t = t2

DL(i,j) , DT(i,j) : coeficientes de dispersión longitudinal y trasnver

sal en la celda (i,j)

V2(i-l,j) : velocidad del flujo en el borde de la celdas (i-l,j), (i,j)

1

22.

La ecuación ( 22) implica para una discretización en

N celdas del dominio de estudio , un sistema de N ecuaciones algebrai

c as con N incógnitas que puede ser resuelto por alguno de los distintos

procedimientos que ofrece el cálculo numérico. Uno especialmente

ventajoso cuando el dominio es bidimensional rectangular o al menos

muy regular es el ADIP , introducido por Peaceman y Rachford, muy

rápido en términos de tiempo de ordenador.

El procedimiento ADIP consiste básicamente en subdividir

cada paso de tiempo en dos semipasos , expresando las derivadas

respecto a x implícitamente y las derivadas respecto a y explícita

mente durante la primera mitad del intervalo de tiempo . Para la

segunda midad del intervalo de tiempo , las derivadas se expresan

explícitamente respecto a x, e implícitamente respecto a y

C+(i+1,j)-2C+(i,j)+C+(i-l,j) C+(i,j)-C+(i-l,j)DL(i,j). - V2(i-l,j) _

Ax2 Ax

C+(i,j)-C1(i,j )- DT( i,j)

C1(i ,j+l)-2C1(i,j)+C1(i,j-1)

At/2 A y2 (23)

0 (i,j)C2(i,j+l)-2C2(i,j)+C2(i,j-1) - C2(i,j)-C+(i,j)

-

oye At/2

C+(i+l,j)-2C+(i,j)+C+(i-l,j) C+(i,j)-C+(i-l,j)- DL(i,j) + V2(i-l,j).

Ax2 A x(24)

en donde

23.

C1(i,j) : concentración en la celda ( i,j) en el tiempo t 1 (conocida)

C+(i,j) : concentración en la celda (i,j) en el tiempo t1+ A t/2, sin

significado físico alguno

C2(i,j ) : concentración en la celda (i,j) en el tiempo t2

La solución en cada paso de tiempo t t, se obtiene

calculando por filas las concentraciones C + por eliminación tridia

gonal de Gauss , para calcular a continuación por columnas las

concentraciones C2 , por el mismo método . Se demuestra que el

procedimiento ADIP es convergente e incondicionalmente estable.

1

24.**

IV.3.2.2.5. CONDICIONES DE CONTORNO

La expresión numérica de las condiciones de contorno

que usualmente suelen presentarse en la práctica es la siguiente:

-Límite impermeable ( -�--n = 0 )

Se simula este tipo de límite añadiendo una celda

ficticia exterior al límite del acuífero y de análogas dimensiones

y concentración que la celda adyacente pertenenciente al acuífero

(figura n° 4).

co,1 C,. tt • CO, 1 ' c,, I

1 1

O 1

Fig. n? 4. Condicién de contorno : Límite impermeable

- Limite de gradiente constante ( j c = cte)an

Esta condición de gradiente constante garantiza la variación

lineal de la distribución de concentración a través del límite.

La concentración de la celda ficticia es siempre ( figura n° 5):

Co,t = 2Cl,t - C2,t

25.

Co.1

--�

Fig. n? S. Condición de contorno: limite de gradiente constante

- Limite a concentración impuesta (c = cl)

Se simula imponiendo en las celdas correspondientes

el valor conocido de la concentración, que puede ser constante

o una función conocida de t.

26.

IV.3.2.2.6. PRINCIPALES DIFICULTADES NUMERICAS EN LA APLICACION DEL M.D.F.

El método de diferencias finitas, aplicado con un éxito

suficientemente probado en el caso de los modelos de flujo, se

ha encontrado con una serie de dificultades en los modelos de

transporte o dispersión que han hecho que en la actualidad el método

se encuentre prácticamente en desuso. Entre estas dificultades

se encuentran dos de especial relevancia

1. Saturación

Si se considera la inyección a caudal constante de un fluido con

concentración unitaria en un flujo monodimensional gobernado por

la siguiente ecuación de dispersión :

D , a2 c - v ac - _ ,c (25)

J x2 ax D t

y se comparan las soluciones analíticas y calculada para un tiempo

dado puede observarse (figura n° 6) cómo ésta excede el valor unidad

en las proximidades del eje de concentraciones.

c

-- - Sabeiée eo'cubd�- sawc+w o�d�hoo

fig. n9 6. Saturación

27.

Esta discrepancia , conocida con el nombre de " saturación"

suele ser frecuente en los modelos de transporte y se explica como

consecuencia de un desajuste entre las discretizaciones espacial

y temporal realizadas ; un mal ajuste entre ambas provoca que el

modelo del acuífero no pueda "absorber " numéricamente la masa de

soluto inyectada. El paso de tiempo debe ser elegido cuidadosamente

para evitar este tipo de dificultad siendo frecuente determinarlo

como término de una progresión geométrica creciente ( A t =n

a

. A tn-1 con 1 < a < 2).

En cualquier caso es recomendable "tantear " el modelo

con una función escalón de concentración unitaria para ajustar

ambas discretizaciones antes de abordar el problema a resolver.

2. Dispersión-Numérica

Si se considera de nuevo la ecuación (25) con la particu

laridad de hacer D = 0 y se comparan las soluciones analítica

y calculada para un tiempo t (figura n° 7) se observa que la solución

calculada parece cumplir una cierta ecuación del tipo

M : 2 c - v . ac = Dc (26)a x2 J x 2t

28.

1oioNico

Sol�ióa mkvam

Fig. n4 7 . Dispersión numérica

Esta ecuación es formalmente similar a la ecuación

(25) (con 0 � 0) por lo que el error cometido recibe el nombre

de "dispersión numérica". Lantz (1969,1970) ha dado algunas explica

ciones al respecto: la "dispersión numérica " es un error de truncadura;

al aproximar por el MDF las derivadas de primer orden (espacial

y temporal) se producen errores de truncadura proporcionales a

las derivadas de segundo orden, dependiendo las constantes de propor

cionalidad de los incrementos espacial y temporal.

Efectivamente, la derivada espacial de primer orden

en (25) es:

v2c

= v c(x)-c(x-Ax) - u A x a2 c

ax Ax 2 2x�

29.

donde, al despreciar el término que contiene la segunda derivada,

se introduce un coeficiente de "dispersión numérica" ( -u A x ) que2

puede ser del orden del coeficiente de dispersión física; esta

dispersión artificial es de gran importancia en el campo de la

dispersión mecánica (donde D = a . V) para valores del orden

de Ox2

No existe en la práctica solución alguna para resolver

este problema, salvo emplear coeficientes medios de la dispersión

longitudinal del tipo a v - y A x lo que permite de alguna forma2

paliar la "dispersión numérica".

30.

IV.3.2.2.7. CASO HISTORICO DE APLICACION

IV.3.2.2.7.1. UN MODELO PARA CALCULAR EL EFECTO DE LA INYECCION DE

RESIDUOS LIQUIDOS EN ACUIFEROS SALINOS PROFUNDOS

(INTERCOMP RES. DEV. AND ENG., INC., 1976)

1. Objetivó- del-estudio

Como consecuencia del diseño de un modelo matemático

en diferencias finitas convencional , para el tratamiento del problema

de la inyección de residuos líquidos industriales en acuíferos

salinos profundos , se planteó un hipotético caso que permitiera

comprobar la eficacia del modelo . Es decir, no se trata de analizar

un caso histórico, si bien las características y condiciones asumí

das en el problema teórico de contaminación se acercan bastante

a las reales . El objetivo del modelo citado es el cálculo de la

distribución de concentraciones del contaminante ( o contaminantes)

inyectado en el acuífero. De esta forma podía disponerse de una

alternativa, la inyección de residuos líquidos en acuíferos pro

fundos, de bajo impacto ambiental y coste relativamente inferior

respecto a otras maneras de tratar el problema : evaporación directa

en tanques , tratamiento químico de residuos con descarga posterior

a cauces superficiales, etc.

El problema teórico-práctico planteado consistió, en

concreto, en considerar la existencia de dos sondeos de inyección

31.

profundos para eliminación de residuos líquidos levemente ácidos

provenientes de una planta química; la formación geológica elegida

la constituyen unas areniscas a unos 1200 m. de profundidad (figu

ra n° 8). El sondeo DWD-1 se considera con inyección continua desde

el comienzo de la simulación, mientras que el sondeo DWD-2 tiene

un funcionamiento periódico en principio, para finalizar la simula

ción con inyección también continua como consecuencia de un creci

miento de la planta química.

DWD -1 O DE WMccIMDWD-2 SONpEO DE OBSERW►CION

O AIWERN. OE INYEOCION

- - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - -

Fig. n? 8. Representación esquemática del problema

Las propiedades químicas del agua residente en la formación

y del agua inyectada son las siguientes (los contenidos salinos

se dan en p.p.m.)

32.

Agua Residente Agua Inyectada

Calcio 0.670 0.050

Magnesio 0.320 0.020

Sodio 39.000 17.000

Potasio 0.100 0.075

Sulfatos 0.075 10.000

Cloruros 82 . 000 12.000

Sólidos Disueltos 130.000 40.000

Metales -- Arsénico 2.000

Cadmio 0.350

Cobre 0.600

Zinc 0.720

Mercurio 0.015

Hierro 2.900

Níquel 0.750

pH 6.6 5.6

Densidad a 21.1°C 1149.75 Kg/m3 1045.62 Kg/m3

Densidad a 59.9 ° C 1129.55 Kg/m3 1033.45 Kg/m3

Viscosidad a 59.9°C 0.9 cp 0.75 cp

33.

2. Caracterización-hidrógeólógica_del-sistema-á-modelar

Se consideró un acuífero de tipo areniscoso confinado

a techo por una secuencia de dolomitas de baja permeabilidad y

anhidritas impermeables; el impermeable de base lo constituye una

potente formación de esquistos impermeables.

La permeabilidad horizontal en el acuífero es de 90 m/d,

asumiéndose una permeabilidad vertical de 1/3 de la anterior; la

potencia del acuífero es de unos 30 m. La porosidad eficaz es

del 10%.

Los valores considerados de dispersividad longitudinal

y transversal son, respectivamente, a 30 m. y a T = 6 m.

3. El-modelo-matemático------------------

El modelo considera la posible existencia de contrastes

en las propiedades (en concreto, la densidad) del agua residente

y del agua inyectada. Como consecuencia, y de acuerdo a lo comen

tado con respecto al problema especial de la intrusión salina en

el VOLUMEN II. FUNDAMENTOS TEORICOS DEL TRANSPORTE DE SOLUTOS

EN MEDIOS POROSOS SATURADOS, la ecuación general del transporte

sufre unas ciertas modificaciones, así como la de flujo, de manera

que el sistema no lineal de ecuaciones diferenciales debe resolverse

1

34.

de manera acoplada o simultánea, ya que en este caso (de contaminante

no trazador) la velocidad del flujo depende de la distribución

de concentraciones.

Por consiguientes, las dos ecuaciones diferenciales

que considera el modelo tridimensional son:

V. (V p - p gVz) - q' = a (n.p) (27)at

V.(ec (Vp- Pg Vz)) + V.( PD). Vc-q'c = a ( nc) (28)at

La ecuación (27) representa la ecuación del flujo

subterráneo , en donde la ley de Darcy se ha expresado en términos

de presión . La ecuación ( 28) es la ecuación del transporte de solutos;

en ambas se incluye un término ( q' ó q'c ) que representa la presencia

en el acuífero de una fuente o sumidero . El operador V , en este

caso tridimensional , en ejes cartesianos es: V = á + +ax ay az

El modelo empleado da opción al usuario de emplear,

para las derivadas espaciales de primer orden, una aproximación

hacia atrás o una aproximación centrada pues el error de truncadura

proporcionado por esta última aproximación es proporcional a la

derivada segunda y, en consecuencia , la dispersión numérica será

mucho menor que con una aproximación hacia atrás. Con respecto

1

35.

a las derivadas de primer orden respecto al tiempo, el modelo da

opción a emplear un esquema implícito o un esquema de Crank-Nicholson.

El mallado empleado en ambos modelos fue el siguiente

(dimensiones en pies, siendo 1 pie = 0.3048 m.)

eje X (16)

200. 200 . 100. 100 . 62.5 100. 100. 100.

100. 100 . 100. 62 .5 100. 100. 200. 200.

eje Y (5)

100. 100. 100. 200. 200.

eje Z (3)

33.3 33.3 33.3

Las distribuciones de la concentración obtenidas por

el modelo al cabo de un año de simulación se muestran en las figuras

n° 9a. y 9b. para el techo y muro respectivamente . Como puede obser

varse el frente de contaminación ha avanzado mucho más desde el

pozo DWD-1 con inyección continua. Cada número indica anchos de

0.05 en valor de concentración (así el 1. representa de 0.05 a

0.10 y el 9 representa valores superiores a 0.85 ); en la figura

1

1

oJa}ime jap (q) ojnu A 1(e) opa}ja e.led epeinojeo ugt3eJ;ua3uoo ap u9pnqp1sio *6 bu '613

(q)

......../...Itt...5111.It/t1.t.I7/tttt$ IIII S I$IIIl1.ll.t..t[.t IIIIItlllltlt

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'9£

37.

4. Conclusiones

Si bien los autores han conseguido paliar el problema

de la dispersión numérica empleando una aproximación centrada para

las derivadas espaciales de primer orden y una aproximación de

Crank-Nicholson para las derivadas temporales de primer orden,

presentándose errores de truncadura prácticamente nulos para la

aproximación espacial y pequeños respecto a la dispersividad para

la aproximación temporal (por ejemplo, este error de truncadura

"temporal", a una distancia de unos 60 m. de los sondeos de inyección,

es menor del 10% del valor de la dispersividad), no es menos cierto

que ello ha sido a costa de emplear una discretización espacio-temporal

fina (y, por lo tanto, costosa) para evitar problemas de "oscilación".

Para impedir estos problemas de "oscilación" (se trata,

en definitiva, del error de saturación) ligados a la aproximación

espacial realizada, debe cumplirse sobre todo el mallado la siguiente

restricción para la discretización espacial

v A x D caso monodimensional.2

Para que no se presente el problema de "oscilación"

aparejado a la aproximación temporal realizada, la limitación a

cumplir por A t es :

v A t < 2 caso monodimensionaln .Ax

38.

Obviamente, en un problema de aplicación real hubiera

pesado mucho en contra de la elección de un modelo en diferencias

finitas las citadas limitaciones y elevados costes que ellas traen

consigo.

Por otra parte , en el año 1979, el modelo fue revisado

con vistas a que tuviera un mayor campo de aplicación. En concreto,

la nueva versión permite el tratamiento de acuíferos poco profundos,

con presencia de reacciones químicas (adsorción) y desintegración

radiactiva.

39.

IV.3.2.3. MODELO EN DIFERENCIAS FINITAS CON APLICACION DEL METODO DE

LAS CARACTERISTICAS (L.F. Konikow y J.D. Bredehoeft, 1978).

IV.3.2.3.1. PLANTEAMIENTO DEL MODELO

Las principales hipótesis y restricciones consideradas

por el modelo son las siguientes:

1 9 . Validez de la ley de Darcy.

22. Se consideran despreciables o nulas las variaciones

verticales de la piezometría (hipótesis de Dupuit) y de

la concentración del soluto.

32. Se admite que no hay presencia de reacciones químicas

que modifiquen la concentración del soluto y que, ade

más, éste actúa como un trazador.

42. La difusión fónica y molecular produce un flujo disper

sivo despreciable frente al provocado por dispersión

mecánica.

59. La porosidad permanece constante en el tiempo y es un¡

forme en el espacio.

62. El acuífero puede ser heterogéneo y anisótropo ; sin

embargo debe ser homogéneo e isótropo respecto a la

dispersividad longitudinal y transversal.

La formulación matemática de las anteriores hipótesis

y restricciones conduce al siguiente modelo matemático:

1

40.

2 (T a h 5 ah + w i,j = 1,2 (29)axi i j 2xj at

(bD ac )- a (b. c.-¡ ) - cW = a(c.b ) ¡J = 1,2ax. ij axj axi i n 2t

(30)

K.. ahvi = 13 i,j = 1,2 (31)

n axj

Las ecuaciones están expresadas en notación tensorial;

la ecuación (29) es la ecuación del flujo subterráneo , en donde:

Tij : componente del tensor de transmisividad

h : nivel piezométrico

5 : coeficiente de almacenamiento

t : tiempo

W=W(x,y,t ) = caudal de entrada (-) o salida (+), por unidad de

área de acuífero ; caso de presencia de relación

río-acuífero o de filtración a través de un estrato

semipermeable hacia/ desde otro acuífero , este término

se expresa

KW(x,y,t) = Q(x,y,t ) - z (H S h)

m s (32)

1

41.

en donde

Q caudal de entrada (-) o salida (+), del tipo bombeo, inyec

ción, evapotranspiración, etc.

Kz . permeabilidad vertical del semipermeable, o del lecho del

río.

m : espesor del semipermeable o del lecho.

Hs nivel piezométrico del otro acuífero, o nivel hidráulico

del cauce superficial.

xi,x, coordenadas cartesianas.

La ecuación (30) expresa el transporte de solutos,

en donde :

c concentración del soluto.

vil componente del vector velocidad lineal media.

Die componente del tensor coeficiente de dispersión hidrodinámi

ca.

b : espesor saturado

co . concentración del soluto en una fuente/sumidero.

La ecuación (31) proporciona los componentes del vector

velocidad lineal media cuyo valor debe ser conocido para resolver

la ecuación (30); en ella, n es la porosidad eficaz del medio.

El proceso general de cálculo es resolver en primer

lugar (29) por aplicación del MDF, independientemente del modelo

1

42.

de transporte (ecuación ( 30)) dado que el soluto es trazador; a

continuación se evalúan las componentes vide ( 31), aplicando también

el MDF, para resolver la distribución de concentración del soluto

en el acuífero , aplicando el método de las características (MOC).

44.

hi,j,k-1 nivel piezométrico en la celda ( i,j) para un paso de

tiempo anterior (k-1).

hi,j,k nivel piezométrico en la celda (i,j) para un paso de

tiempo anterior k, de duración A t.

Txx(i+j,j) transmisividad de paso entre las celdas (i,j) e (i+l,j),

o bien ( signo negativo ) entre (i-l,j) e (i,j)

Tyy(i,j+l) : transmisividad de paso entre las celdas (i,j) e (i,j+l),o

bien (signo negativo ) entre (i,j-l) e (i,j)

qw 0'j) . caudal de entrada (-) o salida (+) en la celda (i,j).

A x, A y : dimensiones de la celda.

t : duración del paso de tiempo k.

La ecuación ( 33) representa , para un total de N celdas,

un sistema de ecuaciones algebraicas (lineales) de N ecuaciones

con N incógnitas; para su resolución se emplea un procedimiento

implícito iterativo en direcciones alternadas.

Una vez que el modelo calcula la distribución de pie

zometría para cada paso de tiempo, realiza el cálculo de la velocidad

del agua necesaria para la resolución explícita en diferencias

finitas de (31) de manera que se calculan

Kxx(i,j) (hi-l,j,k - hi +l,j,k )(34)

x(i,j) n 2 0 x

v = Kxx(i+I,j) (hi,J,k- hi+l ,j,k) (35)

x(i+,j) n x

45.

en donde:

vx(i,j) : velocidad , según el eje x, en el nodo de (i,j).

vx(i+i,j) • velocidad , según el eje x, en el borde de separación de

(i,j) e (i+l,j)-

Kxx(i,j) permeabilidad ( eje x ) en el nodo de (i,j).

Kxx(i+j,j) = permeabilidad ( eje x ) en el borde de separación entre

(i,j) e (i+l,j), calculándose como media armónica de

Kxx(i,j) y Kxx( i+l,j)'

n : porosidad eficaz.

Análogamente se calcularían las componentes de la velo

cidad según el eje y (vy(1 ) vy(i,j+ l) ); es interesante señalar

que las fórmulas del tipo ( 35) son más precisas que las (34), ya

que en éstas vx se evalúa para un espacio 2A x.

1

46.

IV.3.2.3.3. RESOLUCION DE LA ECUACION DE LA DISPERSION POR EL METOD0

DE LAS CARACTERISTICAS (MOC).

APLICACION DEL METOD0

El MOC es un método habitualmente empleado en la reso

lución de ecuaciones diferenciales hiperbólicas. L a ecuación del

transporte (30) puede ser considerada una ecuación de este tipo

siempre que el término advectivo (=vi �X) sea dominante, lo cual

suele ser común en muchos problemas de campo.

Como es sabido, los cambios temporales producidos en

una determinada propiedad de un fluido (p.e. su concentración)

pueden ser descritos de dos formas: en base a un sistema coordenado

estacionario en el que se analizan un conjunto de puntos fijos

de referencia, o bien en base a sistemas de referencia asociados

a cada partícula de fluido siguiendo su correspondiente trayectoria.

Estas dos descripciones llevan asociadas dos tipos

de derivadas temporales:

_� sería el cambio de concentración observada desde un punto

fijo (origen de coordenadas).

de sería el cambio de concentración observado en una partículadt

en movimiento.

47.

La relación entre esta última ( derivada sustancial)

y la primera es :

de = 2c + 2c . dx + 2c . dy

dt at J x dt ay dt(36)

Teniendo presente ( 35) se modifica ( 30) como sigue,

considerando el espesor saturado b variable y desarrollando el

término advectivo:

ac = .l a (bD .. ac V ac - v ac + F (37)at b 2xi '� axj x ax y ay

c(S » + W - n J)- c'Wen donde: F =

nb

Observando las analogías del 2° y 3 ° términos a la

derecha en ( 35) con los 2 ° y 3° términos a la derecha de (37),

se llega a la sustitución de (37) por

dx = v (38 ) dy = v (39)dt x dt y

de _ 1 2 (bD ac ) + Fdt b axi

�.� 2x

j(40)

Las soluciones del sistema de ecuaciones formado por

(38), (39) y (40) son :

x = x(t); y = y(t); c = c(t) (41)

denominadas curvas características de la ecuación (37).

48.

La resolución numérica de este sistema ((38)-(39)-(40))

implica la introducción de unas partículas fluidas virtuales que

pueden moversa dentro del sistema de coordenadas estacionario consti

tuido por el mallado de diferencias finitas. Cada punto o partícula

tiene una concentración y posición asociadas con él y es movido

a través del flujo regional en proporción a la velocidad y a su

situación. A continuación se indican detalladamente las dos fases

de cálculo existentes:

a) La "siembra " de partículas.

Al inicio de la simulación se realiza una distribución

geométricamente uniforme de un conjunto de partículas fluidas

virtuales en cada celda del mallado; lo usual en problemas bid¡

mensionales es colocar de 4 a 9 partículas por celda . Cada partícula

(identificada por un número de orden p ) queda definida por sus

coordenas ( x y ) en el mallado y por una concentración inicialp p

que es justamente la concentración inicial en el nodo de la celda

que la contiene.

Para un paso de tiempo k cualquiera de la simulación,

cada partícula es movida una distancia proporcional al incremento

de tiempo y a la velocidad en la posición de la partícula ; la nueva

localización de la partícula es calculada aplicando un esquema

de diferencias finitas a (38) y (39), esto es

1

49.

xp,k = xp,k-1 + A t x(x(p'k)'y(p,k)) (42)

yp,k = yp,k-1 + A tvy(x(p'k)' y(P,k)) (43)

Las velocidades v'•( son calculadas por interx(p�k)' '(p'k)i -

polación bilineal sobre el área de la mitad de una celda empleando

las velocidades en nodos y bordes de celda adyacente (figura n°

10) anteriormente calculadas al resolver el modelo de flujo.

i-1.¡-1 •:.1-1 i•1.1-1 •

Í :. ,¡ •

$ \ • Nade del aallode\" O aihroeió• ee b porNeub p•:-1.1.1 :.1.1 i .1.¡.1

--+- Compoaeab X • Y de le eelecided

Ar•a de iaflueode (pert(eule p) pare ieterpelaeiÑrde es eabeidod (dir.ccida X)

Aren de iafe••cie ( Porticub p ) pees IaNrp Wftde la raioeided (dinceida y)

Fig. n? 10. Estimación de la velDcidad de la partícula.

Una vez que todas las partículas han sido movidas se

evalúa una concentración en cada nodo (ci,j,k*) con carácter tempo

ral, como media aritmética de las concentraciones de las partículas

que se encuentran en la celda correspondiente; el movimiento de

las partículas simula exclusivamente el transporte advectivo, de

ahí el carácter temporal de la distribución de concentración calcu

lada para el nivel de tiempo k.

50.

b) Consideración del transporte dispersivo , fuentes

y sumideros.

A continuación se aborda la resolución de (40) que

proporciona los cambios de concentración L c en una partícula

fluida debidos a la dispersión hidrodinámica, fuentes y sumideros.

A causa de las dificultades de computación que genera

el cálculo de estos A c en cada partícula , el modelo plantea

el siguiente esquema explícito en diferencias finitas para calcular

dicho á c en cada nodo ( posteriormente las concentraciones

de cada partícula se afectarán, como ya se verá, de acuerdo a estos A c

en los nodos)

'áci,j,k = At 1 (bDij ac + F (44)

b axi axj

La ecuación ( 44) se descompone en dos términos

A t a ac( c i,j,k ) I

-S. ---xi (bDi j �j) (45)

cambio en ci,j provocado por dispersión hidrodinámica.

(t

c i , j , k ) I I = A t . F (46)

cambio en cilj provocado por fuentes/sumideros.

1

51.

Aplicando a (45) y ( 46) un esquema explícito en diferencias

finitas, lo que implica que las concentraciones A c son conocidas

para el nivel k-l, se evalúa A ci,j para el nivel k.No se va

a exponer aquí el desarrollo de las fórmulas en diferencias finitas

empleadas para la aproximación de (45) y (46) por ser excesivamente

prolijo; no obstante, el desarrollo completo puede verse en la

referencia n° 10, p.8-10.

Por otra parte, dado que los fenómenos de transporte

advectivo, dispersión hidrodinámica y mezcla a partir de fuentes

ocurren de manera continua y simultánea en el tiempo , los gradientes

de concentraciones en cualquier punto fijo de referencia y las

diferencias de concentración entre fuente y nodo están continuamente

cambiando, entre k-1 y k . Por l o tanto evaluar ( 0 c i,j,k)I y(A ci,j,k)II por un procedimiento estrictamente explícito ( es decir

dando peso exclusivamente al paso k-1) introduce evidentes errores

en la simulación.

El modelo minimiza estos errores empleando un procedi

miento explícito en dos pasos de manera que (44) es resuelta para

cada nodo dando iguales pesos a los gradientes de concentración

fuente/nodo calculados en el paso k -1 y a los calculados en el

nivel k* (que representa la posición del frente para el nivel k

debido a la advección exclusivamente) ; es decir, (44) quedaría

como

52.

c(k-l)(S 2h+W-n áb)-c'WOc i ,J,k =

0.5 16 t 2 (b0i .ac

(k-1) + at 2tb axi

axjn

ac c(k*)(Sah + W - n ab - c'W

+ 0.5At a Mij (k*) ) + at )tb axi �� axj n

(47)

en donde habría que reemplazar las derivadas espaciales por su

correspondiente aproximación en diferencias finitas (referencia

n° 10, p. 8-10).

Por consiguiente, el proceso de cálculo de las concentra

ciones en los nodos de las celdas podría resumirse así (figura

n° 11)

,.o

\\ 1•

i

11

0.6

Y

0.00.0 0 ! 1.0

DISTANCIA IIEIATIVA

Fig. n? 11. Representacié^ "g-áfica" del proceso de cálculo

53.

1° Se evalúan los gradientes de concentración corres

pondientes al nivel k-l previo.

2° El frente avanza desde la posición correspondiente

a k-l hasta una nueva posición para el nivel k*, debido exclusiva

mente a la advección ; se recalculan ahora los gradientes de concentra

ción ( y también las diferencias de concentración fuente/nodo)

para esta nueva distribución de concentraciones.

3° Se calcula el Aci,J,k

según ( 47) (en lugar de (44))

de manera que la nueva posición del frente, es decir, las concentraciones

nodales en el nivel de tiempo k, es calculada como

ci,J,k=ci,J,k*

+ci,J,k (48)

Una vez que son conocidas las concentraciones en los

nodos para el nivel de tiempo k, es necesario obtener las concentra

ciones en las partículas virtuales , dado que las concentraciones

de éstas ( en una celda determinada) variarán alrededor de la concen

tración delnodo , el L c calculado para éste no será aplicable directa

mente en todos los casos a las concentraciones de las partículas.

Es decir :

- Si el ¿c calculado para una celda (su nodo) es

positivo , éste es simplemente sumado a las concentraciones de las

partículas ubicadas en aquélla.

54.

Si el t c es negativo, se aplica un porcentaje de

decrecimiento en las concentraciones de las partículas igual al

porcentaje de decrecimiento de la concentración del nodo , es decir,

ACi,j,kc.i,j,k

Esta técnica preserva el balance de masas dentro de

cada celda evitando la aparición de partículas con concentraciones

negativas, caso que se podría producir para partículas de concentra

ción inferior a la del nodo.

CRITERIOS DE ESTABILIDAD

El esquema explícito empleado para la resolución de

la ecuación del transporte lleva asociados ciertos criterios de estabi

lidad; el cumplimiento de estos criterios ( ligados a la discreti

zación espacio - temporal realizada ) asegura que el método empleado

es estable : es decir, los errores numéricos producidos en cada

paso de tiempo no son acumulativos (no se propagan en el tiempo).

Los criterios que considera el modelo son :

1° Para que una solución de (45) por un procedimiento

explícito en diferencias finitas sea estable debe cumplirse (Reddel

55.

y Sunada, 1970)

D At D Atxx + yy41 1/2 (49)

( Ax)2 ( Ay)2

condición que expresada para el A t (es decir, fijos el resto de

variables)

A t I Min (sobre todo 0.5el mallado ) xx yy (50)

(A x)2 ( Ay)2

D Des obvio que el menor A t lo define la celda de mayor xx + yy

(Ax)2 (Ay)2

2° Este criterio está relacionado con una restricción

física que debe cumplirse en todo momento y que se refiere a que

el cambio en la concentración de un nodo fuente debe ser menor

o igual que la diferencia de concentración que existe entre el

nodo y la fuente, es decir :

Aci,j,k

<ci,j,k-l - c'i,j,k

o, de otra forma:

Aci , J,k le 1.0 (51 )

C .,j,k c i,j,k

56.

Si ahora se considera la aproximación en diferencias

finitas, explícita, de la ecuación (46) :

hi,j,k-

hi,j,k-1

--At

( �i,j,k)II nb. ci,j.k-1 �t +�,j,k

+ W. - n bi,j,k . bi,j,k-1 - cl w (52)�,j,k A t i,j,k i,j,k

y se supone un flujo en régimen permanente ( 2h = 0, ab = 0),(52) pueat at -

de escribirse como

AtWi,j,k (ci,j,k-1 - c' i,j,k )

(�ci,j,k)11(53)

n . bi,5,k

y sustituyendo (51) en (53) se tiene que

A t Wi,j,k 1.0 (54)

n bi,j,k

es decir, el A t debe cumplir la restricción siguiente

A t s Mín (sobre todo n . bi,j,kel mallado) (55)

Wi,j,k

57.

3° El tercer criterio está relacionado con el transporte

advectivo. La distancia recorrida por una partícula (xp , yp

) viene dado

por:

6x = A t . x(x(P,k)' y(P,k))

by = nt . vy(x(P,k)' y(P,k)) (56)

Puesto que la trayectoria real de la partícula es curvi

línea y ( 56) no es sino una extrapolación lineal (es decir, se

mueve a la partícula según tramos rectos), se produce un error

en la solución numérica que es proporcional al t t elegido.

Por otra parte si 6 x > A x 6 6 y > y, puede

suceder que las partículas salgan de los límites del dominio en

un paso de tiempo determinado ; es necesario pues limitar los despla

zamientos calculados de manera que :

óx bx* = Y ti x0 < Y (57)

ay by* = Y Ay

sustituyendo ahora (57) en (56)

At . x(x(p,k)' '(p,k)) ' Y¿x

At . �y(x(p,k)' y(p,k)) E YAy

1

58.

y puesto que las velocidades de las partículas son menores o iguales

que las calculadas en los nodos o bordes de celda (son calculadas

por extrapolación bilineal ) resulta

Ot YAx

(vx)máx.(58)

At YDy(vy)máx.

Si el A t empleado en la resolución del modelo de

flujo no satisface estos tres criterios o tests (es decir, (50),

(55) y (58 )), es necesario partir el t t en subintervalos en el

modelo de transporte , que aseguren la estabilidad del esquema expli

cito empleado en la resolución de la ecuación del transporte

CONDICIONES DE CONTORNO E INICIAL

Las condiciones de contorno empleadas por el modelo

de transporte son compatibles con las utilizadas en el modelo de

flujo; en este último se emplean :

- Especificación sobre la variable h (condición de Dirichlet).

- Especificación sobre la derivada normal ( condición de Neuman).

59.

Lo que permite la simulación de todos los límites que

habitualmente se presentan en los acuíferos: límite a potencial

piezométrico impuesto , límite impermeable y de flujo nulo , y límite

a caudal impuesto.

En el modelo de transporte , los caudales de entrada

a través de límites de potencial y de caudal impuesto deben ir

asociados a una determinada concentración; los caudales de salida

se verán afectados por las concentraciones en las celdas del modelo

adyacentes al límite.

La condición inicial implica el conocimiento al comienzo

de la simulación de la distribución de concentración, para el modelo

de transporte ; únicamente es necesario destacar la importancia

de determinar con precisión esta condición inicial, dada su gran

influencia en los errores inherentes a la simulación.

TESTS DEL BALANCE DE MASAS

El modelo realiza un "chequeo " de la precisión numérica

de la solución efectuando para cada paso de tiempo el balance de

masas; dicho balance , se apoya en el principio de conservación

de masas, y puede expresarse

Rm = AM8- Mf (59)

60.

en donde

Rm : residuo de masa.

AM8 : cambio en la masa almacenada en el acuífero

Mf : flujo neto de masa.

y siendo :

AM8 = E jbi'j n A x A y (c i,j , k - c i , j,o) (60)

Mf = Fi

E kWi,j,k A x A y A tk c , i , j,k (61)

El modelo evalúa el error en el balance de masas de

dos maneras :

- Cuando el flujo neto de masa circulante es importante

100.0 (Mf - A M8)

El 0.5 (Mf + A M8) (62)

- Cuando el flujo neto de masa es pequeño comparado con la masa

inicial de soluto en el acuífero (Mo).

100.0 (M - A 1.1 )

E2= f 8 (63)

Mo - 11f

pues la ecuación (62) daría un error relativo alto, cuando en rea

lidad la solución puede ser precisa.

61.

Como es obvio un buen error en el balance sólo implica

la corrección numérica de los resultados , pero no implica que la

solución calculada sea la " buena " ( ella habrá de ser lograda con

la calibración del modelo).

62.

IV.3.2.3.4. TRATAMIENTO DE PROBLEMAS ESPECIALES

A continuación se indica cómo aborda el modelo el trata

miento de problemas que se plantean en el transcurso de la simulación

y que están siempre relacionados con el complejo dispositivo de

partículas virtuales establecido.

1° Límites impermeables y de flujo nulo

Teniendo en cuenta el error numérico que se comete

al calcular el transporte por advección debido al movimiento de

las partículas según trayectorias rectilíneas y no curvilíneas

puede suceder que una de ellas salga de los límites del modelo

atravesando un límite impermeable; para resolver esta incoherencia,

el modelo sitúa la partícula dentro del mallado, por reflexión

según la línea de límite (figura n2 12).

• modo del wteeeee

• • \ • Ekese4 ►r vN ►ertieule ►p No~ elteeeióe eebubd• ►artíeele p

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-► Lío" / direeelá. del flujo--- liee M flejA e cu.de

® Trewee�WviN� •uN 1 e Iiielle I•yermeoble)

Fig. n? 12. Tratamiento del movimiento de partículas cercanas a límites impermeables

63.

2° Celdas con fuentes/sumideros

Las fuentes/ sumideros , caracterizadas por un flujo

de tipo radial, constituyen puntos singularers en el campo de velo

cidades del agua subterránea . Para reproducir este flujo el modelo,

antes de calcular por interpolación la velocidad de una partícula,

sustituye las velocidades nodales calculadas con (34 ) por velocidades

en los bordes de la celda ( que son siempre mayores).

Por otra parte , en zonas donde la presencia de fuentes/sumí

deros afecta de manera apreciable al flujo regional, el modelo

prevé el sistema de mantener una distribución razonablemente uní

forme y continua de partículas móviles.

Así, para las celdas fuente el modelo tiene previstos

distintos procedimientos para la generación de nuevas partículas;

es decir , para sustituir aquéllas que se mueven fuera de la celda,

según la importancia relativa de la fuente frente al flujo regional

existente , o su localización ; obviamente sólo se reemplazan aquellas

partículas salientes que hayan sido generadas en la propia celda

(figuras n° 13 y n° 14).

64.

tiempo tiempo

sí- sí- N '011 03 04

�_�.r1: - ti --- •f- - •ió -- \\\� 411 °7 °s °p

-.�ts 17 to » 20 �\\� 1% % °17 °ts °»

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0Trummieinid.d ..M (o límite imporm•obN

Fig. ng 13. Generación de partículas en celdas fuerte adyacentes a un límite impermeable

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• Nodo del NNls~o•. Siluecói f.4mW por$íe•le pOp N.w..M..... p.rtc•1s p&p Situsció de ¡@ @arl .., m .tiv de s p

p•0.1e de fluido

Fig. n2 14. Generación de partículas en Celdas fuente no adyacentes a un límiteimpermeable para el caso del flujo regicnal despreciable (a) y p ara un acusado flujo regional (b)

65.

Para las celdas sumidero, el modelo realiza la eliminación

de todas las partículas interiores una vez finalizados los cálculos

en cada paso de tiempo, para evitar acumulación de partículas.

La combinación de estos dos mecanismos favorece el

mantenimiento de un número de partículas circulantes aproximada

mente constante.

Tal como se ha indicado , las concentraciones nodales

de las celdas fuente, cumplen las siguientes relaciones respecto

a la concentración de la fuente, c'i,j,k :

ci,j,k1

c'i,j,ksi

c'i,j,k>

ci,j,k-1

c i,j,k>* c

i,j,ksi c

i,j,k< ci,j,k-l

a las concentraciones de las partículas, se hace cumplir estas

mismas relaciones, de forma que al final de cada paso de tiempo

dichas concentraciones no son modificadas por los correspondientes

A ci j,k (como sucede en general) sino que toman justamente el

valor de la concentración nodal.

30 Areas de flujo divergente

En estas zonas existe el riesgo de que algunas celdas

puedan quedar vacías de partículas, de manera que se vean afectados

1

66.

erróneamente los cambios en la concentración debido al transporte

advectivo ( p.e. en celdas adyacentes a una vacía se da la paradoja

de no producirse advección desde la celda vacía, pero por el contrario

se produce cambio por dispersión hidrodinámica).

El problema puede no tener mucho peso en la simulación

si son pocas las celdas vacías permanentemente o sólo están vacias

de forma transitoria . En caso contrario , solventar el problema

implicaría utilizar un número de partículas excesivo e impracticable

en el modelo.

En realidad el modelo tiene un límite previsto de celdas

vacías; si se supera al final de un paso de tiempo dado , se corta

el proceso de cálculo empleándose las concentraciones ck calculadas

como "iniciales " para la continuación de la simulación con nueva

distribución de partículas, etc; si bien el procedimiento preserva

el balance de masas dentro de cada celda, puede producirse cierta

dispersión numérica por eliminación de variaciones de concentración

dentro de celdas individuales, que el propio modelo palia mediante

una subrutina de optimización que impone el cumplimiento de ciertas

restricciones a los niveles de concentración en las celdas de zonas

de flujo divergente.

67.

IV.3.2.3.5. ALGUNAS CONSIDERACIONES DE TIPO PRACTICO EN EL USO DEL MODELO

- Si bien las concentraciones c�,j,k (transporte advectivo)

son evaluadas como media aritmética de las c p de las partículas

interiores, podrían haberse calculado como una media ponderada

en función de las distancias partículas/nodo; no obstante, se ha

comprobado que el incremento en precisión no compensa los esfuerzos

computacionales necesarios y que el error causado no es acumulativo

en el tiempo . Por consiguiente , no se considera práctico introducir

esta modificación en el cálculo.

- El número de partículas / celda suele estar entre 4

y 9; la precisión en la solución numérica ( evaluada en función

del error en el balance de masas ) es directamente proporcional

al número de partículas empleado, mientras que la eficiencia de

la solución ( evaluada en sg. de cpu ) lo es inversamente; en

definitiva una mejor solución es más costosa.

- Por otra parte las fracciones Y más empleadas son

0.25, 0.50, 0.75 y 1. 00; la relación de precisión y eficacia no

es tan clara como en el caso anterior, dependiendo de la adecuada

representación del transporte advectivo.

- En la práctica se recomienda emplear un número de

partículas de 4 ó 5 con Y 0.75 6 1.00 para las primeras pasadas

de cálculo donde interesa que la eficiencia sea grande , pues se

está tanteando el problema y son muchas las pasadas a efectuar.

1

68.

Encauzada la calibración , para las últimas pasadas en las que interesa

la máxima precisión se emplearían 9 partículas con Y = 0.5 siendo

estas pasadas las más lentas.

- En general , se consideran pasadas correctas numérica

mente aquéllas en las que el error en el balance de masas ha osci

lado entre + 10% para los distintos pasos de tiempo.

- Por último , se ha comprobado a partir de varias expe

riencias que el rigor y precisión de los resultados son esencialmente

independientes de la magnitud del coeficiente de dispersión hidro

dinámica.

69.

IV.3.2.3.6. CASOS HISTORICOS DE APLICACION

IV.3.2.3.6.1. SIMULACION DEL FLUJO Y DE LOS CAMBIOS DE CALIDAD QUIMICA

EN UN SISTEMA ACUIFERO-RIO (L.F. KONIKOW Y J.D. GROVE,

1974).

1. Objetivó- del-estudio-

El objetivo de este estudio es demostrar la capacidad

del modelo expuesto con anterioridad para simular los cambios en

la calidad del agua de un sistema acuífero-río. No se trata pues

de estudiar o resolver un problema concreto de contaminación, sino

de observar cómo evoluciona la calidad del agua del sistema (expresada

por el contenido total de sólidos disueltos, TSD), ante los cambios

en las excitaciones del mismo (bombeo, infiltración, etc.).

2. Caracterización hidrogeól69ica-e-hidrógeóguímica-del sis

tema-a-modelar

- El área seleccionada para la modelación se encuentra

en el valle del río Arkansas al Sudeste de Colorado ( figura n°

15) entre La Junta y la línea de separación de los condados de

Bent y Otero. El criterio de selección ha sido exclusivamente la

accesibilidad de datos en dicha área.

1

70.

Í..�_...elrrtr

c 0 l 0 R a 0 0

ceewtcr breo eet�dio

�.� Lr.y••¡*tal, ► 110r ERfNe. orces I

O 1 $ MO eO 60 YILLAi

----- LIMITE AOEaODIIYA00 DEL ACUIiERO

�►w

4,iwo � : s s ■I�LAM

Fig. nQ 15 . Mapa de situaci ^n del sistema acuífero/río y mallado empleado

71.

Los límites encontrados para la simulación son de dos

tipos: impermeable y de gradiente (o caudal) constante.

- El acuífero aluvial ligado al río Arkansas está consti

tuido por depósitos no homogéneos de arcillas, limos, arenas y

gravas con un impermeable de base constituido fundamentalmente

por esquistos con alguna intercalación de calizas.

- La transmisividad varía de 0 a 2400 m2 /d (figura

n2 16) y, dado que se trata de un acuífero libre poco influenciado,

fue tomada como constante en el tiempo; los autores del modelo

no indican información alguna sobre el espesor saturado.

TRANSYISIYIOAO EN Y�/ 0

O -603 u

603 - 1609

1206-4609

1609 - 2403

--^'- l�n�il� epo�iwedo AN ocuíhro

4 MILLA*

Fig. n9 16. Zonificación de la transmisividad

72.

- El coeficiente S se evaluó o cuantificó en torno

al 20%, mientras que la porosidad eficaz y las dispersividades

longitudinal y transversal no estaban determinadas en el acuífero,

por lo que se tomaron unos valores orientativos de estos parámetros

para la simulación en base a valores conocidos en otros acuíferos

similares . Durante la calibración se ajustaron los valores de estos

parámetros.

- Dado que los modelos de flujo y calidad se resuelven

para el período de calibración de Marzo 71 / Febrero 72, a nivel

mensual, se dispusieron las siguientes condiciones iniciales y

referencias para el calaje:

Condiciones iniciales : Piezometría y concentración

del TSD al comienzo del período, es decir Marzo 71 (figuras n°

17 y 18) sobre todo el acuífero.

-.w.- 1..p4m (4. p..... w.l

(( C\brh.

• t f

I �O

b 0 1 t 1

711-

'J� •� �/ \ �� .ten/1 ��

ii

4 MILLA.

Fig. n4 17. Piezooetría inicial ( Marzo, 1971)

73.

-taco- b* .o de e.ne.ntroc ij. dii T. S. D . (.p/I.)

W~~40 d.l oaf"ro

O 1 ! ! ♦ MLUI!

Fig. n? 18. Concentración inicial del TSD (Marzo, 1971)

Referencias para el calaje:

* Piezometría y concentración del TSD al final del

periodo de estudio (figura n° 19).

---- Límñ. "roaiwode, del .e.ihro

IIk

It~ d• «.a.11 o ión d.l T S O. (m!/1.)

Cobo. oM.•v.dos .a conc ..lroeióe 60 T. S.D.

Q I.er.m $* m.rer del 10 %

Di•mrwcq. morar .a 10°16

-- lwib opsos odo del oc.ila.

`Jjr JI f,�brh.

1� t` o

4944

N-N

r �.rb'

Fig. n4 19. Valores regle, y ca! .lag s a• tiezcrtet la (a) y roncentración (b) al final

del pert^do de 1972)

74.

* Gráficos de evolución piezométrica mensual en 23

piezómetros, y gráficos de evolución mensual del

contenido en TSD en 29 puntos de observación. (Figura

n° 20).

el tf e SS etiros

N Soñdeo de ot/e NVOC.ow

e Sefdee e.nicrpol empleado P O ebeK.uuio*

• Estociáw .toro. e. sup.t.c.el♦ Es ocian colldod e. ,eperRCrol

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0 I ! 7 { YILL*s

Fig. n4 20. Red establecida para la toma de datos

75.

* Todos los datos de caudales observados para aquellos

términos del balance que el modelo calcula; en especial

se controló la relación río-acuífero en cantidad

(caudal drenado o infiltrado) y calidad (contenido

en TSD del río Arkansas, en el tramo estudiado).

- Por último, y a un nivel cualitativo, puede afirmarse

que la principal alimentación del acuífero la constituye la recarga

a partir del agua superficial y de lluvia aplicada para regadío

(return flow) sobre más del SOY de su superficie; las dotaciones

aplicadas son más altas en la parte este del área de estudio; por

otra parte , se producen unas pérdidas por infiltración a partir

del Fort Lyon Canal , no revestido, que deriva agua del Arkansas

arriba de la Junta. Otra entrada significativa es la que se produce

a través del límite a caudal impuesto del oeste.

Como salidas importantes hay que mencionar: el bombeo

para regadío a partir de 68 sondeos y para abastecimiento de la

ciudad de la Junta ( sólo 3 sondeos ); el drenaje del río Arkansas

en su recorrido por el sector modelado ; el caudal subterráneo de

salida por el límite este a caudal impuesto y, con menor impotancia,

la salida directa por evapotranspiración a partir de freatofitas,

en los márgenes del Arkansas; no obstante debido a la profundidad

del agua ( > 3 m, en general ) esta componente es muy pequeña.

76.

3. El -modelo -matemático------------------

- El mallado es rectangular regular , consta de 880

celdas ( si bien no todas son de cálculo); cada celda es de 660

x 1320 ft 2 ( 80934 m ), y la superficie total cubierta por el

modelo es de = 71 km2.

- Calibración y resultados del modelo de flujo

El modelo de flujo se ha resuelto muy satisfactoriamente

como refleja la comparación de niveles calculados y observados

en Marzo - 72 (figura n° 19.a); asimismo las desviaciones en las

evoluciones piezométricas de los 23 registros disponibles han quedado

por debajo de los 0.3 m. el 90% del tiempo de calibración.

Se considera que las dos mayores fuentes de error corres

ponden a la difícil evaluación de los caudales de bombeo y de

recarga a causa del regadío.

Calibración y resultados del modelo de transporte

Como parámetros propios del modelo de transporte

se han empleado:

* Y 0.5 A x; Y 0.5 t y como máxima distancia

que puede recorrer una partícula en un A t dado,

77.

debido al transporte advectivo.

* Cada mes de la simulación se subdivide en un conjunto

de subpasos de tiempo, siendo el inicial 104 sg. y

los siguientes de duración creciente en progresión

geométrica , de manera que quede asegurada la estabilidad.

* Los autores no indican el número inicial de partículas

virtuales por celda.

Dentro del conjunto de datos de partida encierra

especial dificultad el conocimiento de las concentraciones en las

distintas fuentes del acuífero (recarga, infiltración del Arkansas,

etc):

* Recarga : Teniendo en cuenta que el agua aplicada

en el acuífero procede de tres fuentes ( precipitación,

infiltración de agua superficial y agua subterránea

bombeada ) cada una con su propia calidad (Ci ), el

modelo evalúa una concentración del total de agua

aplicada, como media ponderada de las Ci3

C = i =l Ci ViA 3

Vii=1

siendo

78.

Cprec 0 ppm.

Cbomb la del acuífero en la celda correspondiente y

tiempo determinado.

CA.Sup = la determinada en la correspondiente estación

de agua superficial.

y obtiene la concentración de la recarga (CR), asumiendo

que la masa de sólidos disueltos en ésta es igual

que en el agua aplicada, por lo que la C R aumentará

respecto a CA , proporcionalmente a la disminución

de volúmen de agua aplicada debido a pérdidas por evapo

transpiración es decir:

mCA = A siendo mA = mr

VA

y VR = 0.32 VA (en valor medio)mR

CR = -VR mA 1

se obtiene CR = = CA0.32 VA 0.32

* Para el río Arkansas (en el caso de que infiltre)

y el Fort Lyon Canal es necesario conocer la ley

de evolución de TSD en estaciones de medida, de manera

que una vez que el modelo calcule los caudales cauce/

acuífero, se les aplique una concentración determinada.

79.

* Análogamente debe conocerse la evolución del TSD

en el límite oeste a caudal impuesto.

* Por lo que se refiere a los sumideros, éstos no encierran

problema pues la concentración de los caudales será

la correspondiente al acuífero , para la localización

y tiempo determinados (es decir, la c calculada).

Caso aparte lo constituyen las freatofitas existentes.

Si bien en el caso estudiado se ha considerado que

sólo afectan a la cantidad de agua pero no a su calidad,

esta hipótesis es válida sólo si el área afectada

es de poca importancia . En general hay que tener

en cuenta que el fenómeno es bastante complejo:

por una parte las freatofitas tomarán agua y SD del

acuífero, pero durante su crecimiento se producirá

una exudación de agua con alto contenido salino desde

sus raíces que puede afectar a la calidad del agua

del acuífero.

Calibración

* A lo largo de la simulación se han ensayado distintas

parejas de valores de los parámetros porosidad (n)

y a a T = 0.3 a ) , dispersividad, dentro de los

márgenes teóricos de variación establecidos: 15,

1

80.

20 y 25% con aL de 0, 100 y 200 ft ( 30 y 60 m.).

Los resultados más coherentes se han obtenido para

n = 20% y 15% en algunas zonas con un G. L = 100

ft. ( - 30 m.).

Es importante señalar que los resultados obtenidos

han sido muy insensibles a los cambios en aL posiblemen

te porque en este caso la componente que prima en

el transporte es la advección. Como puede observarse

(figura n ° 18), sólo en algunas áreas existen fuertes

gradientes de concentración que den lugar a flujos

dispersivos notables.

. Resultados

* En la figura n° 21 se observan las distribuciones

de concentración observadas y calculadas al final

del período de estudio ( Marzo 72), junto con los

cambios respecto a Marzo 71 . El ajuste es en general

aceptable salvo en aquellas zonas en q u e el gradiente

de concentración es fuerte (posiblemente porque la

dispersión no está bien simulada).

81.

-wr.- Iwlinao do eoac.ntroeióa del TI 0 (m911Coalbioe obe rvodoa .a eoneentrocioa dM T.S.O.

a JMereia.ato s.yor d.1 10 %

Olswnwc, moyor del 10 %

Limite o/roaiwodo del oea*ero

r'ar• �• o + c a •

(a)

-rw+- l.o1,.o de concevdrocióe del T. S. 0 . ( ma/L)

Co~ colculodoe ea conoontroeioa del T. S.0

Iacrein.alo mayor del 10%

Dilminvei4 410,0@ del 10%

Líwlte oyroaiwo~o del ocu tvo

........ .........

o + c a 4 SILLAS(b)

Fig. n4 21. Concentración del TSD real (a) y calculada (b) (Marzo, 1972)

* En la figura n° 22 se observa la calibración en dos

de los 29 puntos de observación, a nivel mensual;

la concentración ha sido calculada dentro de + 10%

del valor observado durante un 80% del tiempo de

cálculo.

82.

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A

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7000 /

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700 R1 MMR Y11 1W1t M, JI . r g10et• N O C [M[ Fe*!q1 70'1t

Fig. n9 22. Concentración del lSD observada y calculada para el período de simulaci6n, endos puntos de observación

La obtención de este criterio de calibración (± 10%)

responde al hecho de que la evolución calculada es

para el centro de la celda y la observada es para

un punto dentro de ella. Se comprobó en una celda,

en que se disponía de 5 puntos de observación, que

siendo la c de 2110 µmho/cm a 25°C, la o= 208 pmho/cm

10% de c ); es decir se tiene en cuenta que

la concentración calculada en una celda es un valor

medio en la misma y por tanto se tienen en cuenta

unas bandas de incertidumbre.

83.

Otra de las fuentes de error puede ser el hecho de

que las concentraciones se calculan al final de un

mes y las observadas no coinciden con esta fecha.

84.

IV.3.2.3.6.2. SIMULACION DEL MOVIMIENTO DE CLORUROS EN UN ACUIFERO ALUVIAL

EN ROCKY MOUNTAIN ARSENAL, COLORADO, USA (L.F. KONIKOW, 1977)

1. Objetivó-del-estudio

El arsenal de Rocky Mountain (figura n° 23) realiza

operaciones de manufactura y proceso de productos químicos bélicos

y pesticidas desde 1942; durante el período de 1943-1956 los residuos

líquidos resultantes (de alto contenido en cloruros ( _ 5000 mgr/1))

fueron "almacenados" en depósitos no revestidos. Gran parte del

área norte del arsenal (figura n° 24) es regada conjuntamente con

agua superficial (procedente de un caudal no revestido) y con agua

subterránea procedente del acuífero aluvial adyacente al arsenal,

observándose en 1951, 1952 y 1953 graves daños en las cosechas

y el ganado que utilizaron el agua del acuífero.

I �

�1MLlY

M1

Fig. n2 23. Mata de situacién de la zona de estudio

85.

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y. ,

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Q2.N . egNf. �► R... _.. .M fw..M...I.

• hw M ap ® si.rw4M ... rww11�4.1.

Fig. nó 24. Situación de: sondeos de explotación para riego; áreas regadas conjuntamentecon agua superficial y subterránea y depósitos de residuos contaminantes

La elaboración de isopiezas y líneas de isocloruros

a partir de los datos correspondientes permitieron concluir clara

mente que el efecto citado tenía como causa la filtración de los

residuos desde los depósitos al acuifero produciéndose dos nubes

contaminantes de distinta importancia (figura n2 25 y 26). También fue

ron detectados otros productos tóxicos (DIMP,DCPD, etc.) si bien

con niveles de concentración mucho menores.

86.

c� r

• j - ti

tris n.w,/i

ta• ,o.yr

f all.. . , 1011105.amiírRJit�Nr«,:.h«

Pin$ de obtervocion lSpt. 1955 - N0r201956 ) -...-- Isaotao (,n pies t n.m)-r,- l.olíneo de concentroción de cloruro (ma/ l. )

tono en que N atwiol ne saislo o no esté oohrreb Zowa en que el atvvlol no .ri.N o no ..t4 aota'sds

Fig. nQ 25. Concentración real de Fig. n4 25. Superficie piezométricacloruros (1956) (1955-71)

Por consiguiente, se decidió abordar la construcción de un modelo

matemático del transporte de cloruros que, una vez ajustado, permitiera

ensayar distintas alternativas o estrategias dirigidas a restaurar

la calidad original del agua del acuífero.

87.

2. Caracterización hidro92216gica-e-hidrógeóguimicá_del__sis

tema - a -modelar.-------------

- La transmisividad varia de 0 a 1800 m2/d en el

acuífero aluvial y el espesor saturado es generalmente inferior

a 18 m., encontrándose las mayores transmisividades y espesores

saturados, y menores gradientes piezométricos en el río South Plate

al NO del área modelada.

- El coeficiente S no fue evaluado al resolverse el

flujo en régimen permanente; la porosidad eficaz y la dispersividad

no eran conocidas por lo que se adoptaron valores orientativos

en base a otros conocidos en acuíferos similares ; posteriormente,

en el calaje, se ajustaron los valores de ambos parámetros.

- Los límites del acuífero son de flujo nulo y de potencial

constante, dando lugar a los límites del modelo observados en la

figura n° 27; se elegió como área de modelación aquel sector del

acuífero con c(del Cl ) > 200 mgr/1 o que estuviera en el sentido

del flujo, resultando una superficie de unos 88 Km2.

Puesto que el modelo de transporte se calibra en

régimen transitorio, para un período de simulación comprendido

entre los años 1943 y 1972, es preciso conocer la concentración

inicial sobre todo el modelo . Ya que antes del año 1943 no había

contaminación se aceptó como condición inicial para la concentración

de cloruros un valor uniforme de 40 mg/l.

88.

- Por último, y a nivel cualitativo, se indican las

principales componentes del balance del acuífero. Como entradas

más importantes están (figura n° 27) la infiltración de agua superfi

cial de regadío (con una c _ 100 mg/l, la filtración producida

desde canales no revestidos (c 40 mg/l), la filtración desde

los depósitos no revestidos de almacenamiento de residuos y la

alimentación lateral que el acuífero recibe por los límites S.O.

y S.E.; las salidas más importantes son la explotación de agua

subterránea desde 62 pozos (figura n° 24), el drenaje hacia el

río South Plate y la descarga lateral por el borde NE del acuífero.

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eso¿ ,olvido

Fig. nQ 27. OMal¡ado y límites dei modelo

89.

Los recursos renovables medios para el período 1942-

1972 se han estimado en unos 13 Hm3/a.


- El mallado es rectangular regular y consta de 950

celdas de las que 516 no son de cálculo . Cada celda es de 305 x

305 m2 , y la superficie total cubierta , por el modelo es de unos

88 Km2 (figura n° 27).

- Calibración y resultados del modelo de flujo

La observación de la figura n° 28 permite deducir

que dentro del período de simulación 1943-1972 , existen cuatro

subperiodos en los que el acuífero ha debido funcionar en un régimen

asimilable al permanente dado que el resto de excitaciones del

acuífero distintas de la filtración desde los depósitos no han

debido oscilar mucho en cada subperiodo; ingeniosamente el autor

evita resolver un laborioso modelo de flujo en régimen transitorio

y resuelve tres regímenes permanentes ( pues el periodo 57-60 y

68-72 han sido análogos de cara al funcionamiento de los depósitos).

Como piezometría de referencia ( orientativa ) se ha empleado la

correspondiente al período 55-71, única disponible.

90.

eeNeeMteeiÓe

Al1o� Ueo g»"% de erre es(04/1)

1943-66 A -Llena ............... 0.16 4,000B.D.B -Lleno ............ .19 3.000C -1/2Ue ............. .64 3,000

1967-60 A-~ .............. 0 N A.B.D.E -Vacío .......... .0 N.A.C -Lleno ................ 1.09 1.000

1961 -67 A - Vacío .............. 0 N.A.B.D.E - 14Lleno......... .06 600C - IpLleno ............ .36 600

1966-73 A -Vocio .............. 0 N.A.B.D,é -VO60 .......... 0 N.A.C -Llena................ 1.06 160

I aA r �seee4 /

Fig. n2 28. Historia del lesA_io�aniento de 1os depósitos en el Rocky MountainArsenal (1943-1972)

Los errores en el balance de masas han sido inferiores

al 1%, lo que es muy aceptable.

Obviamente la limitación del procedimiento de calibra

ción empleado es que se dispone de cuatro distribuciones de velo

cidades para cada uno de los subperíodos, pero dentro de ellos

no se considera oscilación alguna para la velocidad.

La variación de velocidad dentro del mallado y de

los cuatro períodos considerados ha sido entre 0.3 m/d y 6.1 m/d.

1

91.

- Calibración y resultados del modelo de transporte

La calibración del modelo de transporte en régimen

transitorio para el mismo periodo citado se ha abordado en cuatro

etapas.

1. Etapa (1943-1956)

Se emplea como condición inicial la distribución de

concentraciones correspondiente al final del 42 (40 mg/l sobre

todo el mallado). En principio se hacen test de sensibilidad de

porosidad y de dispersividad comparando concentraciones calculadas

y observadas, encontrándose un n = 30-1 y un a L = a T = 30 m.

En las figuras n' 25 y 29 se dan las concentraciones

de referencia y calculada, respectivamente, al final del 56.

1Y

e

»roo ® t

wr

-Y.- rpryp c ,cr4 O.dI 4. do wrpI ( mp/I.)

- Zow .. o , M oIu,d •s •ifts o no ,sed oetu,ajs

Fig. n9 29. C^r,:e- a�: i.Sr cilco]ada dF claruros (1956)

92.

2. Etapa (1957-60)

Como condición se emplea la concentración calculada

al final del 56 (figura n° 29). Como concentración de referencia

se emplea la de Enero 61 (figura nc 30) que permite observar cómo,

si bien han eliminadas (revestidas) las fuentes de contamina

ción, al cabo de cuatro años los cambios operados en la calidad

del agua son mínimos. En la figura n° 31 se da la concentración

calculada para el comienzo del 61.

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• / lr�a••>w•• • 1 Iw4 a.ftwol

• Punto de o0srrocron (FA 1.961 ) -•►- IOOIinso de concont ro ción de cbrr ros (m0/ 1 )-«- Isd Enea de concntr«ioe de etorv~ 11014 /L)

«4i O M 0u0 el OIur101 no *aleto 0 no

Zona en que el Otuol 00 Onite * seOsfi • ctrrodo

seto •ohOOd0

Fig. n9 30. Concentración real de cl�•a*cs Fig. n° 31. Concentración calculada de clo

(Enero 1961) rurot (al enmi'r.>o de 1961)

93.

Las diferencias entre concentración calculada y real

de las dos etapas primeras se atribuyen más que a deficiencias

del modelo de transporte, al modelo de flujo (errores en el cálculo

de velocidades y, por otra parte, a la eliminación de cambios tempo

rales de velocidad).

3. Etapa (1961-68)

Como condición inicial se emplea la concentración calculada

al final del 60 y como concentración de referencia la correspondiente

al periodo Enero-Mayo del 69 (figura n° 32). Puede observarse la

disminución del área afectada por la concentración así como de

los niveles de concentración (de hecho sólo hay dos zonas aisladas

con más de 1000 mg/l) debido a la dilución y dispersión. En la

figura n2 33 se da la concentración calculada.

•e►l► IerN

♦ Y

�� •K•• X11. ••••wut•�•� (��_lY12_L.._ r•.J .ralrt• r a rrxar • � .s..r

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• Pusto de observacidn ( FS. -mayo 1969 ) - �.- so neo de concentraron de cloruros (T0/0-•••- leolineo de contentroeJa de dereroe ( me/1.) ® Zone en pe el oluvid ne eaieh e ne

Zona en que st *.viol no ame* o no esK fohtrodoestá totwodo

Fig. n° 32. Concentración real de cl-rjres Fig. n4 33. Canr_entracibn calculada dr cloruros(Enero-Maya t99,1 (al rnmien7r dr 1069)

94.

4. Etapa (1969-1972)

Como concentración inicial se emplea la concentración

calculada al final del 68. Como concentración de referencia la

de Mayo 72 (figura n2 34) que indica la existencia de las dos pequeñas

áreas de contaminación ( 1000 mg/1), correspondiente a zonas

de baja permeabilidad en las que la circulación del agua se ve

obstaculizada. La concentración calculada al comienzo del 72 se

da en la figura n9 35.

1.1•16 Ie1•..

c1•

nR,

,.>o ® f/ ,1•,e ® /I

• 1 1.Rw • 1 ,.Ru(---T--�--•-+ F---r-1•-r-�• 1 ! .R9al1 • 1 1 .R..I•.C.

• Punto do obssrvocign (Ye7e 1.972) --•+r- Ieoliles de eone•ntrecidn d• cloruros (MI/I.)-aa- Isotineo de eonceetrociée de clereree IM/U Ione en p•e el ew.id no existe e no

Zona en que u oluvial ne eaisN e woestd es1•rede

„ro solurodo

Fig. n? 34. Concentración real de cloruros Fin. n? 35. Concentración calculada de cloru(Mayo 1972) ros (al comienzo de 1972)

95.

Resultados

El modelo de transporte , al cabo de 30 años de simulación,

ha identificado con suficiente aproximación las dos zonas que pre

sentan aún una alta concentración en cloruros (unos 1000 mg/1),

así como la reducción zonal y de magnitud de la contaminación experi

mentada por el acuífero en el transcurso del período de identifi

c ación ( 1943-1972).

Los errores del balance de masas han fluctuado en torno

al 14%, error que debe considerarse como algo superior a lo normal.

Se atribuye este error , principalmente , a las siguientes causas:

No disponibilidad de valores reales de porosidad

y dispersividad , obteniéndose los mismos por ajustes realizados

con el propio modelo.

Deficiencias y limitaciones del modelo de flujo

previo; en particular, la no consideración de fluctuación temporal

de las velocidades dentro de cada subperíodo en que se dividió

el período de identificación.

No disponibilidad de la condición inicial de concen

tración para las distintas etapas en que se ajustó el modelo de

transporte , por lo que se emplearon las concentraciones calculadas

por el propio modelo en etapas anteriores.

96.

Explotación-

del-modelo-Una vez ajustado el modelo de transporte, se ha empleado

éste para ensayar las siguientes alternativas de restauración de

la calidad original del agua del acuífero

Infiltración o recarga de agua dulce desde el depó

sito C (figura n ° 24), que se supone completamente lleno de agua

durante el período de ensayo (1972-1980). Esta puede considerarse

como una buena alternativa , pues como se observa en la figura

figura n 2 36, al final del período, en 1980, sólo quedaría una

pequeña zona contaminada al Norte del arsenal con una concentra

ción comprendida entre los 200 y 500 mg/l.

aer,.

�e.

• a RiM

-..- holía+eo de eon MOCión de etorrroe Imofi.)

® Zoed M loo N e�rrid no eaiete o noeeeá sobretdo

fig. n9 36. Concentración prevista Tara 1980 (alternativa de erplotacibn)

97.

Infiltración o recarga de agua dulce a través de

canales no revestidos, para un período de ensayo comprendido entre

1943-1956 ; se observó , comparando con la concentración calculada

para 1956 (figura n° 29), que con esta alternativa mejoraba notable

mente la calidad del agua, pues de hecho la isolínea de 1000 mg/1

era sustituída por la de 500 mg/l.

98.

IV.3.2.4. MODELO " RANDOM-WALK " ( T.A. PRICKETT, T.G.- NAYMICK Y C.G.

LONNQUIST, 1981)

IV.3.2 . 4.1. PLANTEAMIENTO DEL MODELO

Las principales hipótesis y restricciones consideradas

por el modelo son las siguientes:

1° Validez de la ley de Darcy.

2° Se consideran despreciables o nulas las variaciones verticales de

la piezometría ( hipótesis de Dupuit ) y de la concentración del so

luto.

3° Se admite la presencia de reacciones químicas que modifican la

concentración del soluto; por otra parte , éste actúa como un traza

dor.

4° La difusión fónica y molecular produce un flujo dispersivo des

preciable frente al provocado por la dispersión mecánica.

5° La porosidad permanece constante en el tiempo y es uniforme

en el espacio.

6° El acuífero puede ser heterogéneo y/o anisótropo.

7° El flujo subterráneo es uniforme.

La formulación de las anteriores hipótesis y restricciones

conduce al siguiente modelo matemático

1

99.

D (K b. ah ) + a (K b. ah ) = S ah + Q (64)D x x ax ay y ay at

a (b. °x ac ) + a (b. °y ac ) Vx a(c.b)ax Rd ax ay Rd ay Rd ax

_ vy a(c.b) + c' .Q = ac (65)Rd ay n at

V = - Kx ah v = - Ky ah (66)x 7.48 n ax y 7.48 n ay

La ecuación ( 64) es la ecuación del flujo subterráneo,

en donde:

Kb = Tx : transmisividad en la dirección x

Ky.b = Ty : transmisividad en la dirección y

Kx permeabilidad en la dirección x

Ky permeabilidad en la dirección y

b espesor saturado

S coeficiente de almacenamiento

h nivel piezométrico

Q caudal de entrada (+) o salida (-) por unidad de área

x,y . coordenadas cartesianas

t tiempo

100.

La ecuación (65) es la ecuación de la dispersión en

donde , además:

c concentración del soluto.

vxIvy : componentes del vector velocidad del agua en las dire

cciones x e y, respectivamente.

DxDy : componentes del tensor coeficiente de dispersión hidro

dinámica en las direcciónes x e y, respectivamente.

Rd factor de retardo que permite considerar la presencia

de reacciones químicas.

c' concentración del soluto en una fuente / sumidero.

La ecuación ( 66) proporciona los valores v x y vy

necesarios para resolver la ecuación de la dispersión siendo n

la porosidad eficaz del medio poroso.

El proceso general de cálculo es, como siempre, re

solver en primer lugar el modelo de flujo ( ecuació n- (64)) por aplica

ción del MDF , independientemente del modelo de transporte ya que

el soluto actúa como trazador ; a continuación se evalúan las componen

tes v x y vy (ecuación ( 66)) aplicando el MDF para, finalmente,

resolver la distribución de concentración del soluto en el acuífero

( ecuación ( 65)) empleando la técnica de "pasos aleatorios".

101.

IV.3.2.4. 2. RESOLUCION DE LA ECUACION DEL FLUJO POR EL METODO DE

DIFERENCIAS FINITAS (MDF).

La resolución de la ecuación ( 64) por el MDF se ha

comentado ya en los apartados correspondientes a los modelos en

diferencias finitas ( apartado IV.3.2.2 .) y al modelo en diferencias

finitas con aplicación del MOC ( apartado IV.3.2.3.). Es decir,

se realiza una discretización espacial del dominio en estudio según

un mallado rectangular, regular o irregular (figura n ° 1 ), y una

cierta discretización temporal, obteniéndose para cada celda (i,j)

del mallado una ecuación análoga a la ( 4) (subapartado IV.3.2.2.2),

de manera que si el acuífero se ha discretizado en N celdas, se

llega al planteamiento de un sistema de ecuaciones algebraicas

de N ecuaciones con N incógnitas que es resuelto en este modelo

por el método iterativo modificado de direcciones alternantes

(IADI ), puesto a punto por Prickett y Lonnquist (1971) y suficiente

mente conocido por los usuarios de los modelos de flujo.

Conocida, en cada paso de tiempo , la distribución de

piezometría , se procede a resolver la ecuación (66) por aplicación

del MDF para obtener la correspondiente distribución de velocidades

sobre el mallado del modelo.

102.

IV.3.2.4.3. "RESOLUCION" DE LA ECUACION DE LA DISPERSION APLICANDO LA

TECNICA DE "PASOS ALEATORIOS".

APLICACION DE LA TECNICA

La técnica de "pasos aleatorios" se basa en el concepto

de que la dispersión en medios porosos es un proceso aleatorio

que sigue una cierta ley de distribución de probabilidad.

En consecuencia, una partícula que representa la masa

de una especie química contenida (disuelta) en un cierto volumen

de agua, se mueve con dos tipos de movimiento: un movimiento advectivo,

de acuerdo a la distribución de velocidades en el acuífero y un

movimiento debido a la dispersión, de carácter aleatorio y regido

por una cierta ley de probabilidad relacionada con el desplazamiento

advectivo y con los parámetros que rigen la dispersión.

Por otra parte, el modelo asume que la distribución

de una especie (o especies) química en el agua de un acuífero puede

representarse por la distribución de un número de partículas finito,

moviéndose de acuerdo a lo comentado en el párrafo anterior. Si

bien en la realidad el número de partículas es muy grande, los

autores indican que soluciones en problemas de tipo ingenieril

son posibles con menos de 5000 partículas.

103.

A continuación se describen los dos tipos de movimiento

que efectúan las partículas virtuales distribuidas sobre el malla

do del modelo:

- Movimiento advectivo

Análogamente a lo descrito en el modelo MOC las partí

culas realizan un movimiento en cada paso de tiempo de acuerdo

a la distribución de velocidades y a la propia magnitud del paso

de tiempo.

Es decir :

XX = xx + v . DELPxYY = yy + vy . DELP (67)

Nueva Antigua Espacio recorridoPosición Posición por advección

en donde v x , v y son las componentes de la velocidad, según los

ejes x e y, para la partículas y DELP la duración del paso de

tiempo. Es conveniente señalar que el modelo MOC evalúa la velocidad

de la partícula de una manera más "fina" que el modelo "random-

walk" al emplear un área de influencia que es justamente la mitad

(figura n° 37).

104.

x-�. . . •

y i.1 i+r, j y/ 41 N4/

Mitode d. coroct fáticau Rendom Wolk

• Nodo del mollodo

O S%OCic i de lo ~Ícelo p

--+ Componente • de lo v~id.d

Afeo de inflwneio ( Oarfievio p I paro iot rp.lociónde lo velocidod ea b dif.tti.. i.

Fig. n9 37. Esti.ación de la velocidad de la partícula

Movimiento debido a la dispersión:

Como ilustración de la técnica de "pasos aleatorios"

empleada para simular la dispersión mecánica, se considera el movimiento

de una partícula trazadora de fluido situada inicialmente en la

posición x = 0, en el seno de una columna infinita de medio poroso

con flujo en régimen permanente en la dimensión x. Asumimendo la

no existencia de fuentes/sumideros, la ecuación (65) presenta la

siguiente solución analítica (Bear, 1972), para el caso unidimensional:

105.

(x -v t) 2c (x,t) = 1 exp - x (68)

(4 aL.vx t) 4ai.vx.t

en donde :

c concentración

a dispersividad longitudinal

vx velocidad

t tiempo

x coordenada cartesiana

Por otra parte, y como es sabido, una variable aleato

ria n sigue una distribución normal cuando su función de densidad

viene definida por

x-µ 2n(x) e-1/2( Q (69)

QV2Tt

Igualando términos en (68 ) y (69) se obtienen las siguien

tes relaciones:

0- = (2 a 1.vx.t)1/2 ; µ = vx.t (70,71)

Por lo que la concentración c de una especie química

en el agua de un acuífero puede considerarse como una variable

aleatoria que sigue una distribución normal , cuya función de densidad

sería (68) y cuyas 0' y µ vendrían dadas por (70) y (71), respectiva

mente.

106.

(A) DISPERSION L0NGITU0INAL

el>0e, • 0

•./ c... r.•k�ó•a r.na�e..ar

Or . v•oEl► \ •T•� • 1eLOo

00 - oX • Or�voo

1OX Vi-OELI

AVOr IIL OX M Mîer•

AL DD • J.L00 ANOIIN 101

.. .. • OX • lL•OXn rr • Or • oL•OY

(1) DISPERSION TRANSVERSAL.L•o

>0

A.•I/ s r••rr. OX • v.•DEL►w r.tiwr-

Or • vOEt►

(gT•OO

00 - OX . Or -IIT•OX

NT•OYJ

r ��\�.T • �aTOo

Owd•. •rNT•00 • e�0 ANONU 101

11•p. pwi•i. • A.np• M.>•••• Adi u1 • OIw,Mi... - .. • OX • A or

rr n • Or - 11t•OX

Fig. ne 38. Esquema general del eovisiento advectivo y por dispersión (A) longitudinal

(B) transversal

La figura n° 38.A ilustra la técnica de "pasos aleato

ríos" para el caso de flujo en la dirección x con presencia exclusiva

de dispersión longitudinal. La partícula fluida es movida en principio

por advección desde su antigua posición en función de la velocidad

existente en el paso de tiempo en que se calcule y de la propia

magnitud (DELP) del paso del tiempo; a continuación se afecta a

la partícula de un movimiento aleatorio en torno a la posición

media v x DELP que simula el efecto de la dispersión. La magnitud

del desplazamiento debido a la dispersión es:

107.

T. ANORM (0) (72)

en donde : 0-= (20L L.DELP .vx)1/2

ANORM ( 0) : un número ( real) entre + 6, obtenido a partir de

una distribución normal de números de media 0 y

U= 1.

En consecuencia , la nueva posición de la partícula

al final de DELP es

XX = xx + vx.DELP + ( 2 a , .vx . DELP ) "2 . ANORM(0)

YY = yy (73)Nueva Antigua Advección Dispersión

Posición Posición

La figura n° 38.B muestra el movimiento de la partícula

para el caso de existencia exclusiva de dispersión transversal

al flujo medio (aL = 0, aT>0).

En la práctica basta considerar que el máximo desplaza

miento de la partícula queda comprendido entre + 6 veces el valor

de a en torno a la posición media, dado que es muy poco probable

que una partícula se mueva más allá de esta distancia.

Si este proceso se repite para muchas partículas con

la misma posición inicial y término de advección , se dispone de

una función de densidad discreta:

108.

N N 4Dx.vx.DELP[x _v.Dap2c(x,t) -i = o , e

Dx 21z 2 D x.vx.DELP(74)

donde:

Dx : distancia a la que se encuentran N partículas

No : número total de partículas del experimento

Las funciones de densidad equivalentes c(x,t) y

N/Dx (continua y discreta, respectivamente) dan la media, relacionando

la concentración espacial de una especie química en un problema

de campo con la concentración de partículas halladas en distintas

partes del modelo en diferencias finitas.

Las figuras n° 39.A y 39.B muestran el movimiento de

una partícula en el caso de que la dirección del flujo no coincida

con ninguno de los ejes de coordenadas y en la figura n° 40 se

muestra el caso más general de movimiento de una partícula afectado

por dispersión longitudinal y transversal.

(A) DISPERSION LONSffUONAL (o) DtSPERSION TRANSVERSAL

e�>o at•oe, •o >

y (trla�.�.� . aE X [I M P.PN

N M Ar•PW. • RT - DX ...rr

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OX-vX•OEVD»V.•DEV AL-0XV,•DEIP r

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Nr. •P p•kbí • A Paif� • M..a.li. • OYw.d MaN.P P..Nt a • A.1 Psrí■ • AI.w.Ñ. • O1ya.Yh

aa • u • 0 X • Rl•OX •• • .. • Or • 0

rr n n rr • 0 - �T•OX

Fig. n? 39. Esquema general del movimiento advectivo y por dispersión (A) longitudinal(B) transversal, en el caso de no coincidencia entre dirección del flujo yejes coordenados

109.

DISPERSION LONGflWINAIY TRANSVERSAL

Atlfps ►.d.Ms

■

00•

Rl'Ox RT•oY/ M..w wM�li.OY

,0 �� .•.PP

-AT•0xjox VO

Rl'00 - 2aj0 ANORM 101RT•OO - 7d�00 ANORM 101

O+o.r.b• oisp...b..4..r ,pirón • �.M ,q.dj, i As.sooió, + ~~mal t Trss , sa

•• •■ • ex • RVOX • RT•OYn rr • OY . RVOY - RT•ox

fig. n? 40. Caso más general de Rovimiento de una partícula

Por consiguiente, y a diferencia del modelo MOC, este

modelo no resuelve en realidad la ecuación de la dispersión para

simular el transporte de solutos sino que mueve cada partícula,

en cada paso de tiempo de la simulación, segun dos movimientos,

uno debido a la advección y otro aceptando que la dispersión es

un proceso aleatorio que tiende a seguir un ley de distribución

normal.

110.

TRATAMIENTO DE LOS FENOMENOS DE DILUCION Y DE REACCIONES QUIMICAS

a) Dilución

Para ilustrar el tratamiento de este fenómeno por el

modelo se considera el problema de flujo representado en la figura

n2 41.A. Como se observa, se dispone de los caudales y concentra

clones de las fuentes contaminantes y se pretende conocer el resto

de caudales y concentraciones incógnita. Asumiendo una dispersión

nula y un retardo Rd = 1, la distribución de concentraciones en

el sistema es sólo el resultado de la mezcla o dilución, como se

indica en la figura n° 41.B.

Si se supone que cada partícula es portadora de una

concentración de 10 mg / 1, la densidad de partículas en el tiempo

que podría usarse como dato de entrada en la simulación aparece

en la figura n° 41.C; la distribución espacial de partículas si

mulada en el modelo aparece en la figura n° 41.D. Basta multiplicar

el número de partículas por su concentración para obtener la concen

tración total en el flujo.

111.

v.7'l7 aÍ. O'37$.3u1%

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Fig. n? 41. Fenómeno de dilución: tratasiento del problema (A); solución (B); tratamiento

dado por el modelo (C) y (D)

b) Reacciones químicas

Para simular el efecto producido por las reacciones

químicas sobre la concentración de una especie química, el modelo

de transporte dispone (ecuación (65)) de un factor de retardo Rd;

estas reacciones (adsorción, fijación orgánica, etc) tienden a

retrasar el movimiento advectivo de las partículas. El retraso

del frente contaminante provocado por estas reacciones queda regido

por la relación :

v = 1+ P b Kd= Rdv nc

cuyo efecto es el retraso del movimiento de las partículas y donde:

i

112.

y velocidad del agua

vc velocidad c/co = 0.5 en el frente de contaminación

P b : densidad de la parte sólida del medio poroso

n porosidad efectiva

Kd coeficiente de distribución

Rd factor de retardo

Si bien la incorporación de este fenómeno (reacciones

químicas) al modelo es sencilla desde un punto de vista numérico,

la determinación de K d (ó R d) requiere gran cantidad de información

sobre la composición del agua y la interacción de sus componentes

con el medio poroso, que en muchos problemas prácticos no está

disponible.

113.

IV.3.2.4.4.1. MODELO DE CALIDAD DE LA LLANURA MANCHEGA (IGME, 1984)

1. Objetivó-del-estudio

El objetivo de la realización del modelo consiste en

simular la evolución de la calidad química del agua subterránea

del acuífero ante distintas hipótesis de explotación del mismo,

teniendo en cuenta la presencia de focos puntuales de contaminación

a partir de la inyección de vinazas de alcohol derivadas de las

actividades industriales en la zona.

2. Caracterización-hidrogeólógica-e-hidrógeóguímica-del-sistema-a-modelar-------------------- -------------

El sistema acuífero n2 23 (llanura Manchega) se extiende

en un 80% por la provincia de Ciudad Real y el resto por las de

Albacete y Cuenca. Existen en la llanura dos niveles acuíferos

independizados: uno superior, constituido por calizas y materiales

detríticos, miopliocenos y posteriores, y otro inferior extendido

sobre más de las mitad oriental , constituido por varios acuíferos

formados por calizas y dolomías del Jurásico y Cretácico. Existe

una relación entre los acuíferos inferiores y el nivel superior

estableciéndose un conjunto cuyo desagüe natural es el río Guadiana

(figura n2 42).

114.

ESQUEMA DE LOS SISTEMAS ACUIFEROS DELA CUENCA ALTA DEL GUADIANA

aa .w.r r r+.... S_19as u..w. r«.ww

• &20

Tte. j*

°a•.

$ 22 S'23

•� 24

Fig. n2 42. Mapa de situacién de la zona de estudio

El área de modelación corresponde al acuífero

calizo superior de la llanura Manchega desde su límite occidental

en Carrión de Calatrava hasta la divisoria de aguas subterráneas

entre las cuencas del Guadiana y alta del Júcar como limite oriental

(figura n2 43).

- La transmisividad varía de 15000 m2 /d en el centro

del área modelada a 100/500 m2/d en la periferia; dado que se trata

de un acuífero libre influenciable es necesario especificar que

esta transmisividad corresponde a los niveles piezométricos del

año 1974.

a1M... t s 4 s • T • s lo n n la 14 • 1• n w Is to 1 a a te e• et e• a so al

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fe14

M

Fig. n4 43. Mallado del modelocn

116.

La porosidad se estimó entre un 2 % y un 5 %, mientras

que sobre la dispersividad longitudinal y transversal no existían

ensayos de campo que arrojaran información; en consecuencia, se

procedió a un ajuste de sensibilidad durante la simulación que

permitiera encontrar unos valores ensayados de estos parámetros.

- El periodo de calibración del modelo de calidad es

de 7 años con pasos de tiempo de 6 meses, por tanto existen 14

pasos de tiempo.

Dado que el modelo "random-walk" no resuelve la ecuación

de dispersión , no necesita una condición inicial de concentración

de la especie química (en este caso, el TSD) sobre el mallado.

- Por último indicar que la recarga del acuífero procede

de la infiltración del agua de lluvia, la infiltración del agua

de los ríos, el flujo subterráneo procedente del Campo de Montiel

(S.A. n° 24) y de la Unidad Caliza de Altomira (S.A. n° 19) y del

retorno del agua de riegos. Por otra parte, la descarga se produce

por bombeo (principalmente para regadío), por evaporación en zonas

encharcadas y por drenaje de los ríos.


- El mallado es rectangular regular, consta de 420

celdas (si bien no todas ellas son de cálculo, figura n° 43); cada

1

117.

celda es de 4 x 4 Km2 y la superficie total cubierta por el modelo

es de 6720 Km2.

- El modelo de flujo. En este caso el modelo de flujo

se resolvió con antelación al modelo de transporte ; es decir, en

las pasadas de cálculo del segundo , formaban parte de la propia

entrada de datos los valores de piezometria y permeabilidad deducidos

previamente del modelo de flujo.

En concreto , se empleó la piezometría del 74 y otra

de agosto del 82 para obtener dos distribuciones de velocidad sobre

el mallado que permitieran abordar el cálculo de la componente

advectiva del transporte.

- El modelo de transporte

. Tratamiento del problema de contaminación.

Se consideraron cuatro áreas de contaminación (figura

n° 43)

Tomelloso : Celda (18,8)

Daimiel : Celda ( 5,6)

Socuéllamos : Celda (24,6)

Villarrobledo : Celda (27,8)

Todas las áreas son cuadradas , de igual dimensión

a la de las celdas y su vértice superior izquierdo (X1, Y1 ) coincide

con los valores ( i,j) de los centros geométricos de las celdas

118.

referenciadas. Por otro lado, a partir de estudios de campo, se

dedujo que en estas áreas la calidad del agua (expresada por el

TSD) era de 2000 mg / l, frente a 1000 mg / l en zonas no contaminadas;

en consecuencia , se aceptó que el efecto de los vertidos industriales

en el incremento del TSD era de unos 1000 mg/l; asumiendo una poros¡

dad real media del 3% y dadas las características geométricas de

las áreas contaminantes ( prismas de 4000 x 4000 x 100 m3 ) resulta

una cantidad de contaminante de 48.1012 mg para obtener la citada

concentración.

Suponiendo que en cada área y al comienzo de cada DELP

(paso de tiempo) se generen 100 nuevas partículas, resulta una

masa por partícula de :

m = c . V = 48.104 mg106. N

siendo c.V la masa total de contaminante y N el número de partículas.

El número total de partículas generadas por área contaminada será:

100 x 14 ( n° de DELP ) = 1400 partículas

Dado el gran número de partículas que supondría el tratamiento

simultáneo de los cuatro focos (5400 part > n° Máx. indicado por

Prickett y otros) y puesto que las soluciones del modelo son aditivas,

se trataron independientemente cada área de contaminación y se

superpusieron los resultados.

i

119.

. Simulaciones realizadas

* Para cada área de contaminación se efectuaron simula

ciones empleando distribuciones de velocidad deducidas a partir

de la piezometría del 74 y de agosto del 82; para cada caso, se

realizaron simulaciones sin dispersión y con un a L = 5 m y a T =

1 m (el 20% del aL ) como test de sensibilidad de estos parámetros.

* En las figuras n9 44 a 48 se dan gráficamente

los resultados de las simulaciones. Como puede observarse :

- Existe una tendencia clara del contaminante a acumularse en las

áreas de vertido.

- la velocidad de avance de la nube contaminante está entre los

3-6 m/d como se deduce del tiempo (2.5 a 4.5 años) que la nube

tarda en alcanzar las celdas adyacentes al área de contaminación.

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Fig. n° 44. Curvas concentración - tiempo (piezometría 1974)

120.

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Fig. n9 45. Curvas concentración - tiempo (piezometría Agosto 1982)

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(CONY SY1 OISPERSION) ( 00N Y SIN DISPERSION)

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fig. ná 46. Curvas concentración - tiempo (área de Villarrobledo)

121.

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Fig. n4 47. Extensión de las nubes de contaminación (piezometría 1974)

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11

Fig. n? 48. Extensión de las nubes de contaminación (piezometría 1982)

122.

- No se ponen de manifiesto los efectos de la dispersión.

Fuera de las áreas de contaminación el efecto de ésta se manifiesta

al cabo de 2-3 años de simulación por un aumento del TSD de 200

a 400 ppm. Sin embargo este efecto puede quedar enmascarado por

la propia calidad química natural de las aguas subterráneas del

acuífero.

123.

IV.3.2.4 . 4.2. APLICACION DE UN MODELO DE TRANSPORTE DE SOLUTOS EN

MEREDOSIA, ILLINOIS, U.S.A. (T.A. PRICKETT, T.G.

NAYMICK Y C.G. LONNQUIST, 1981)

1. Objetivo-del-estudio

El lixiviado de residuos provenientes de una industria

de fertilizantes almacenados en un depósito no revestido provocó

la contaminación fundamentalmente por sulfato amónico, nitratos

y trazas de fosfatos inorgánicos del acuífero subyacente. la conta

minación fue detectada en 1978 en un par de sondeos que bombeaban

agua del acuífero para ser empleada en el sistema de refrigera

ción de la propia industria citada y que presentaron un problema

de precipitación de carbonato cálcico y carbonato magnésico en

el agua bombeada.

El objetivo del estudio fue identificar y caracterizar

el problema de contaminación existente mediante un modelo de transporte

con vistas a recomendar medidas correctoras.

2. Caracterización hidrogeológica __ e__hidroyeoquimicá-_ del sistema

a —modelar

- Bajo la superficie de estudio ( figuras n° 49 y 50)

existe un acuífero constituido por arenas y gravas no consolidadas

124.

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Escala en millas

fig. n? 49. Mapa de situación de la zona de estudio

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Fig. n4 50. Superficie de contrcl y sondeos de control de contaminaci6n

125.

depositadas sobre un sustrato impermeable de edad Pensilvaniense.

El espesor del acuífero es de unos 28 m. en el área de estudio.

La piezometría representada (figura n° 50) indica un

gradiente suave y natural hacia el río Illinois (oeste ), ilustrando

el cono de depresión existente en el pozo de producción PW4.

- la transmisividad varía de 1800 m2 /d a 3700 m2 /d.

- la porosidad eficaz no se indica en la publicación

original (referencia n° 13) pero hay que suponerla conocida, pues

no se hace mención a ningún test de ajuste durante el desarrollo

de la simulación . Por el contrario, las dispersividades longitud¡

nal y transversal se determinaron por test de ajuste en la simulación.

- Tampoco se indican en la publicación, ni el período

de calibración ni el balance del acuífero; con respecto a la concen

tración inicial ( en este caso la especie estudiada es amoniaco)

vale lo dicho en el caso anterior , es decir , no es precisa ya que

el modelo no debe resolver realmente la ecuación de la dispersión.


- El mallado es rectangular irregular con un total

de 2196 celdas cubriendo una superficie de 23 ha (figura n°

51). El tamaño de las celdas aumenta hacia el N. y 0., afinándose

126.

en torno a la zona de la fuente contaminante.

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Fig. nó M. Mallado del modelo

El modelo de flujo se calibró en régimen permanente

fundamentalmente debido a dos motivos: 1° durante el período de

estudio no hubo un cambio apreciable en la concentración de la

especie contaminante estudiada, lo que reduce la importancia de

las variaciones habidas en la fuente; 2° el gradiente hidráulico

fue constante durante todo el período de estudio.

Los límites empleados fueron de potencial impuesto

constante y caudal impuesto, simulándose un caudal de bombeo de

5420 m3/d en el sondeo PW4.

127.

La calibración no fue difícil debido a la gran cantidad

de datos disponibles para un área de estudio de reducidas dimensiones.


Para tener una idea de la calidad química del agua

del acuífero y de la geometría de la contaminación, se realizaron

análisis químicos en un total de 11 puntos (SP1 a SP10 y PW3, figura

n° 50 y 52). A partir de ellos se clasificó el agua en tres grupos

(figura n2 53 y 54):

Sol Sol SP3 So4 SOS 300 So ? 301 Sil So10 So11

Po tasio K 60.0 34.0 42.0 62.0 22.0 65 0 31 . 0 6.00 2 . 00 0.00 25.0

Calcio ea 2.00 6.40 4.40 60.0 104.0 10 . 0 04.0 64 . 0 60.0 104 . 0 100.0

1Ygies 10 Hy 3.90 5 . 10 II 0 34 . 0 31.0 0. 70 27.0 77.0 ?4.0 150 . 0 150.0

Hierro Fe 0.60 2.00 0 . 36 0.20 0.30 0 15 0.21 0.40 0 . 40 0.30 0.02

Cloru ros Cl" 59.0 26-0 29 . 0 41.0 14.0 49.0 12.0 S 00 7.00 6.00 13.0

Sulfatos SO 1 96 . 141 . 140. M. 09.0 159. 103. 49.0 33.0 42.0 00.0

fosfatos o0 20.7 12 . 3 0.00 1.60 10.10 16.5 0.10 0 . 10 0.10 0 . 10 0.10

Nitratos 00 1300 . M. 1200 . 5 10. 400 . 1100. M. 60.9 55.0 M. 440.

Anoalato 1K 2111. 457. 001 . 262. 107 . 961. M. 1.10 0 . 04 11.6 117.

Fig. nQ 52. Composición quínica de las muestras de agua (en mg/1)

10 Contaminada: con concentración de amonio entre 285

y 2100 ppm, de nitratos entre 570 y 1885 ppm; el contenido en

Ca++ y Mg++ inferior al del agua del acuífero (no contaminada);

sulfatos, cloruros, fosfatos, potasio y hierro superiores en sus

contenidos a los valores medios. El pH entre 8.6 y 8.9 mientras

que en el agua del acuífero es 8 aproximadamente.

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129.

2° Contaminación marginal: de concentraciones superiores

a las del agua natural pero muy inferiores a las anteriores.

3° Natural o no contaminada.

A partir de las isolíneas de concentración de amoniaco

(figura n° 55) se dedujo en primera aproximación que la contamina

ción emigra hacia el oeste y que parte de la contaminación se dirige

hacia el cono de depresión PW4.

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Fig. n! 55. Distribución de concentración de amoniaco

. Simulaciones Realizadas.

Se realizaron tres tipos de simulaciones con objetivos

bien diferenciados :

* Calibrar el modelo e investigar los valores de

aLy aT

130.

Se hizo un test de sensibilidad sobre distintos pará

metros del modelo, resultando éste especialmente sensible a los

cambios en aL y a T ; el rango obtenido para estos parámetros fue

de : 2.13 < al < 3.35 m ., 0.61 < a T < 0.915 m.

* Comprobar si la contaminación había alcanzado un

nivel constante dentro del área modelada o si, por el contrario,

continuaba aumentando.

Para ello se realizaron simulaciones de larga duración

(1500 días ), ampliando los valores de al y a T identificados, dibuján

dose la evolución temporal de la concentración en los límites (de

salida de agua) del modelo. Se comprobó que al cabo de 300 días

se alcanzaban valores constantes de concentración en los límites

y en el pozo de bombeo PW4, empleando los mínimos valores de

aL y aT,

* Estudio de la mejor medida correctora para paliar

la contaminación del acuífero.

Se simuló el efecto que la eliminación de la fuente

contaminante tendría sobre la calidad del agua del acuífero. Una

vez alcanzado un nivel de concentración constante al cabo de 360

días de simulación, se eliminó la fuente para el periodo de tiempo

siguiente (360 + 30 = 390 días). Como se observa en la figura n°

56 la concentración de amonio se hace prácticamente nula a los

810 días ; es decir, son necesarios 420 días aproximadamente para

131.

que el acuífero quede libre de contaminación.

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Fig. n? 56. Distribución de concentración de amoniaco en el sondeo de produccióny en el límite aguas bajo

Por tanto la realización del modelo ha sido francamente

útil para acotar la magnitud del problema existente: parece imposible

que las condiciones empeoren en el área de estudio, y se puede

concluir que los procesos naturales devolverían al acuífero a su

situación primitiva, al cabo de 14 meses de haber eliminado la

fuente de contaminación.

132.

IV.3.2.4 . 4.3. MODELO DE CALIDAD DEL SISTEMA ACUIFERO DE ALMONTE-MARISMAS.

( IGME, 1978).

1. Objetivó - del-estudio

Se pretende determinar el efecto que la explotación

proyectada del acuífero de Almonte -Marismas ( 145 Hm3 / año) tendrá

sobre la calidad del agua del mismo, teniendo en cuenta la presencia

de un frente de aguas salobres en Las Marismas a una distancia

relativamente pequeña de la zona de explotación.

2. Caracterización -hidrogeólógicá-e-hidrogg2guímicá - del - sistema - a -modelar-------------------- ---------------

- El sistema acuífero de Almonte -Marismas ocupa parte

de las provincias de Sevilla , Huelva y Cádiz (figura n° 57) definién

dose en sentido amplio por el triángulo Sevilla - Huelva-San Lúcar

de Barrameda.

Los materiales permeables que forman el sistema son:

- Cuaternario ( arenas y gravas)

- Pliovillafranquiense (arenas, gravas, arcillas)

- Saheliense ( arenas)

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134.

El sustrato impermeable está constituido por las margas

azules del Tortoniense.

- Transmisividad: los materiales que constituyen el

sistema presentan en general permeabilidades pequeñas, del orden

de 10-4 m/s, a excepción de las dunas y terrazas cuaternarias. Dadas

las pequeñas variaciones de K, las zonas de mayor transmisividad

corresponden a las áreas de mayor espesor saturado que a continua

ción se indican.

- Espesor Saturado: puesto que la profundidad hasta

el agua es siempre pequeña, el espesor saturado coincide práctica

mente con el espesor de los terrenos acuíferos; este oscila entre

los 20-140 m., encontrándose los mayores espesores en:

- Marismas

- La franja litoral

- El borde norte de Marismas

- Porosidad eficaz: no pudo ser determinada en ningún

punto del sistema. Dado que el coeficiente S oscila en la zona

del Almonte (acuífero libre) entre 6-10% se ha supuesto un valor

de porosidad eficaz del 8%.

- Dispersividad longitudinal y transversal: dado que

en el modelo sólo se consideró la componente advectiva del transporte,

no se obtuvieron valores de estos parámetros.

135.

- Por último , y a nivel cualitativo, el sistema presenta

una alimentación única debido a la infiltración pluvial cuyo valor

oscila bastante sobre la superficie modelada dadas las diferentes

características edafológicas y topográficas existentes.

Las salidas del sistema vienen definidas por pérdidas

por los limites del acuífero ( Río Tinto , Oceano Atlántico y Marismas),

pérdidas a los arroyos, pérdidas por evapotranspiración en las

zonas de eucaliptos y en las áreas donde la superficie piezométri

ca se encuentra próxima al suelo y pérdidas por drenaje vertical

en Marismas.


- El mallado es rectangular variable y consta de 1032

celdas , exceptuando las de los límites , cubriendo una superficie

de 2322 Km2 ; cada celda es de 1.5 x 1.5 Km2, si bien en un sector

del mallado, éstas se subdividen en otras 9 de 0.5 x 0.5 Ki

( Figura n° 58).

- El modelo de flujo

Fue calibrado en régimen permanente y transitorio.

Para la simulación de la explotación proyectada de 145 HJ /a se

realizó una simulación a 6 años empleando mallado variable ( figura

n° 58) en la zona de ubicación de los sondeos lo que permitió que

137.

en el modelo existiera un solo sondeo por celda. De esta forma

se pudieron calcular los niveles dinámicos en los sondeos a partir

de los niveles medios calculados en cada celda, admitiendo sondeos

sin pérdidas de carga y totalmente penetrantes.

La simulación a 6 años dio como resultado que 3 sondeos

podrían presentar problemas ; una extrapolación a 20 años puso de

manifiesto que podrían presentarse problemas en 21 sondeos de los

290 considerados , no tanto por la magnitud de las depresiones ocasio

nadas, como por el débil espesor saturado del acuífero en estos

sondeos.


El modelo calcula el avance del frente salobre de

Marismas a partir de una situación inicial dada , que en este caso

se tomó como la curva de 1 911 de sal ( cloruros), considerando exclusiva

mente la componente advectiva del transporte en cada paso de tiempo;

es decir las partículas distribuidas a lo largo del frente salino

se mueven en base a la distribución de velocidades deducida a partir

de la piezometría del paso de tiempo considerado, la permeabilidad

y la porosidad eficaz.

Como hipótesis simplificadoras complementarias se consi

deró que :

El fluido contaminante, agua salobre, tiene la misma

densidad y viscosidad que el agua dulce.

Í

138.

- La interfase entre ambos fluidos es una superficie

vertical.

El objetivo del modelo era determinar la situación

del frente salobre respecto a la zona de explotación, teniendo

en cuenta un bombeo de 145 Hm3/a.

El modelo puso de manifiesto que al cabo de 6 años

de explotación el avance del frente no superará en ningún punto

los 200 m., lo que representa un avance medio anual de 33 m. .

Suponiendo un avance lineal del frente salobre y ya que según el

modelo de flujo la zona correspondiente a Marismas queda prácticamente

estabilizada en el 6 2 año de explotación, se puede extrapolar que

a 20 años el avance del frente sería de 660 m., situándose por

lo tanto a suficiente distancia de las zonas de explotación.

139.

IV.3.2.5. MODELOS EN ELEMENTOS FINITOS

IV.3.2.5.1. PLANTEAMIENTO

Las hipótesis y restricciones que se efectúan con más

frecuencia en los modelos de este tipo son las siguientes:

Y Validez de la ley de Darcy.

2° Se considera despreciable o nula la variación vertical

de la piezometría (hipótesis de Dupuit).

Y Se admite que no hay presencia de reacciones químicas

que modifiquen la concentración del soluto y que, además, éste

actúa como un trazador.

4° La difusión iónica y molecular produce un flujo

dispersivo despreciable frente al provocado por dispersión mecánica.

5 1 la porosidad permanece constante en el tiempo y

es uniforme en el espacio.

6 0 El acuífero puede ser heterogéneo y/o anisótropo;

sin embargo debe ser homogéneo e isótropo respecto a la dispersividad

longitudinal y transversal.

La formulación de las anteriores hipótesis y restriccio

nes conduce al siguiente modelo matemático :

140.

D (TaR ah ) + q = S ah a,R = 1,2 (75)a xa axR at

a (DcW ac ) _ a (va.c) + Q•c' = ac a. R = 1,2 (76)axa, a xR axa E at

va KaR ah a, R = 1,2 (77)s axR

Las ecuaciones están expresadas en notación tensorial

para facilitar la exposición posterior; la ecuación (75) es la

ecuación del flujo subterráneo , en donde:

Ta R : componente del tensor transmisividad

Ka R . componente del tensor permeabilidad

h : nivel piezométrico

5 : coeficiente de almacenamiento

xa, xR : coordenadas cartesianas , que coinciden con las direccio

nes principales de los tensores permeabilidad y transmisi

vidad

Q caudal de entrada (+) o de salida (-) por unidad de

área de acuífero

la ecuación (76) es la ecuación de la dispersión en

donde, además

141.

Da R : componente del tensor coeficiente de dispersión hidrodiná

mica

vQ . componente del vector velocidad lineal media

c . concentración media del soluto sobre el espesor satura

do del acuífero

co . concentración del soluto en una fuente/sumidero

La ecuación (77) proporciona los valores de va necesarios

para resolver la ecuación de la dispersión, siendo e la porosidad

eficaz del medio poroso.

El proceso general de cálculo es, como siempre, resolver

el modelo de flujo (ecuación (75)) en primer lugar y con indepen

dencia del modelo de transporte, ya que el soluto actúa como un

trazador; a continuación se evalúan las componentes vQ (ecuación

(77)) una vez conocida la distribución de piezometría, para finalmente

resolver la distribución de concentración del soluto contaminante

en el acuífero ( ecuación (76)).

La resolución numérica de las tres ecuaciones se realiza

por el método de elementos finitos de Galerkin (VOLUMEN III. CAPITULO

111.4) como a continuación se indica.

142.

IV.3.2.5.2. RESOLUCION POR EL METODO DE ELEMENTOS FINITOS (MEF)

FORMULACION DE GALERKIN

Las soluciones exactas h "y" c de las ecuaciones (75)

y (76), respectivamente, pueden aproximarse por medio de una combi

nación lineal de funciones de base, es decir:

nh h = Hi(t) . wi(xa) (78)

i=1

nc e = F Ci(t) . ui(xQ) (79)

i=1

en donde wi (xa) con i = 1, .... n, y ui (xa) con i = 1, ... n, son

dos familias o sistemas de funciones de base , linealmente indepen

dientes, elegidas de forma que cumplan las condiciones de contorno

impuestas a la correspondiente ecuación diferencial . las funciones

Hi (t) y Ci(t) son coeficientes incógnita, dependientes del tiempo,

que deberán calcularse para obtener las soluciones aproximadoras.

Si se consideran ahora los siguientes operadores:

Lh (h) = a (j p ah ) - S 2h + Q = 0 (80)axQ axo at

143.

Lc(c) = a(Duo

ac ) - a (c.va) - ac + Q-c, = 0 (81)axa axo a xa at e

y se tiene. en cuenta que en el método de residuos ponderados de

Galerkin las funciones ponderadoras del residuo que resulta de

sustituir h y c en (80) y (81), respectivamente , son justamente

las funciones de base, se tendrá:

Lh (h) . wi dA = 0 i = 1,2, .... n (82)fA

AL c (c) . ui dA = 0 i = 1,2, .... n (83)

En donde ( 82) es un sistema de n ecuaciones integrales

con n incógnitas, los coeficientes H i(t), consecuencia de ponderar

el residuo no nulo L h(h) con cada una de las n funciones de base

wi (xa ), sobre el dominio en estudio A; del mismo modo, (83) es

un sistema de n ecuaciones integrales con n incógnitas Ci(t). De

una forma más desarrollada , sustituyendo (78) y (79) en (82) y

(83), respectivamente, se tiene

rc�, a(',

wi

a aHi1, Hj.wi + Q.wi ) dA = 0 (84)

A C 5% ax a at Ji = 1,2, ... n

a au au DVa aCj

f

(Daa 3 ) C ui vaC i u uiCj ujuii axa axa j j axa ' axa at J

+ 2-21 ui dA = 0 i = 1,2, ... n (85)

144.

DISCRETIZACION ESPACIAL EN ELEMENTOS FINITOS. FUNCIONES DE BASE.

Una vez que se han obtenido los sistemas de ecuaciones

integrales (84) y (85 ) es necesario realizar una discretización

espacial del dominio A en estudio , en un conjunto de subdominios

denominados elementos finitos, de manera que las integrales expresadas

anteriormente sean evaluadas elemento por elemento. las formas

de estos elementos pueden ser muy variadas , y van desde el simple

elemento triangular hasta los denominados elementos isoparamétricos

de lados curvos ; en cualquier caso, puede afirmarse que no hay

acuerdo claro sobre qué tipo de elemento es el que proporciona

una solución más precisa , dependiendo esta cuestión del problema

que se esté resolviendo en concreto. Las funciones de base se eligen

siempre en su forma más sencilla; son por lo tanto polinomios,

normalmente de grado inferior a 4 (es decir, lineales , cuadráticos

o cúbicos), y se eligen de tal forma que tomen el valor unidad

en el nodo al cuál están asociadas , y el valor cero en el resto

de los nodos del mallado, con lo que los coeficientes incógnita

Hi(t) y Ci M son justamente los valores aproximados de las funciones

incógnita (h "y" c) en los nodos , o valores nodales. En este caso

sí está claro que la precisión de la solución numérica queda directa

mente relacionada con el orden de las funciones elegidas, si bien

es cierto que soluciones más precisas son también más costosas

computacionalmente.

Como parece obvio , la posibilidad de emplear distintos

tipos de funciones de base definidas sobre otros tantos tipos de

elementos da lugar a la existencia de una amplia gama de modelos

145.

matemáticos . A efectos orientativos, puede comentarse que, por

ejemplo, en la ingenieria del petróleo la tendencia es a emplear

funciones de base de alto orden definidas sobre elementos cuadrados

o rectangulares, mientras que en ingeniería estructural suelen

emplearse mallados finos con funciones de base de bajo orden.

Sistemas --de -- ecuaciones -- algebráicás----------------------

Definidas las funciones de base que van a ser empleadas,

(84) y (85 ) pueden expresarse en forma matricial:

[P ] {H} + [R ] {dH/dt } + {U} = 0 (86)

[NI { C } + [ M] {dC/dt } + { F } = 0 (87)

en donde N ^ P y R son matrices de orden ( n-m) x (n-m ), siendo

n el número de nodos del mallado y m el número de nodos pasivos,

es decir afectados por una condición de contorno de Dirichlet;

C, H, dC / dt y dH/ dt son los vectores que contienen las incógnitas

(valores nodales ) y sus derivadas temporales. Elementos típicos

de las matrices y vectores de (86 ) y (87) son los siguientes:

aw aw

Pkl =fA( Tc1cl

1 k dA (88.a)J% J%

Rkl = AS wk wl dA (88.b)

146.

nUk = - wk.Q.dA - wk Toa

aF Hm.wm la dS (88.c)

A S axa m=1

au1 2 u k _ au1 iv

Nkl_fA(!)aR+ va uk + ukul dA (89.a)axa axR axa axa

Mkl uk ul dA (89.b)A

nFk = uk QEC dA - uk DaR

a Cm um la dS (89.c)AA s axR m=1

en donde la son los cosenos directores de la normal exterior al

borde o frontera S de la superficie A.

Los productos de derivadas primeras de funciones de

base que aparecen en (88.a) y (89.a) proceden, al igual que los

últimos términos de (88.0 y (89.c), de la aplicación del Teorema

de Green a los términos con derivadas de segundo orden presentes

en (84) y (85), como se indica a continuación de manera genérica:

2

fdA = - .

dA +

fsdS

a xaax0 A axa axR a n

en donde 90/ P n = 201 axa . ld , siendo Pial an la derivada

de la función 0 (xa ) según la normal exterior a la frontera S.

147.

Los citados últimos términos de (88.c) y (89.c) pre

sentan la utilidad de permitir incorporar al modelo las condiciones

de contorno de tipo Neuman , es decir , especificaciones sobre el

flujo de masa de agua o de soluto contaminante . Lógicamente estos

términos sólo aparecen en aquellas ecuaciones correspondientes

a elementos que presentan como mínimo uno de sus lados integrados

en la frontera S del dominio A, y en el cual el flujo de masa de

agua o de soluto n es nulo. Para el flujo subterráneo este término

tiene la forma wi T 2h/ 2n dS, y para el transporte de solutos

ui D 9c/ an dS.

fs

Por lo que respecta a la consideración de la condición

de contorno de Dirichlet , en aquellos nodos que la presentan (es

decir, con una especificación sobre la variable piezometría o con

centración ) no se generan los elementos ( 88), en el caso del flujo

subterráneo , o los elementos (89), en el caso del transporte de

soluto. Dado que el número de nodos que presentan este tipo de

limite o condición de contorno es muy diferente para el flujo subte

rráneo y para el transporte de soluto, las dimensiones de las matrices

que aparecen en (86) y (87) pueden ser muy diferentes.

Por otra parte , si bien las matrices de (86) (sistema

correspondiente a la aproximación de la ecuación del flujo subte

rráneo ) son simétricas , ello no ocurre con las matrices de (88).

Un análisis de la matriz [ N ] pone de manifiesto que el término

u 1 2uk / D% difiere en general del término u k au1 / 2xR por

148.

lo que no hay simetría en la matriz ; esta ausencia implica una

mayor necesidad de almacenamiento en memoria del ordenador para

la resolución de (87), sistema en el cual la simetría permite que

sólo los elementos no nulos de la parte tringular superior sean

almacenados.

Una vez que se realiza una cierta aproximación de las

derivadas temporales en (86 ), este sistema puede ser resuelto por

alguno de los métodos de que dispone el cálculo numérico , de manera

que los valores nodales Hi son conocidas para un cierto paso de

tiempo.

La resolución de (87 ), realizada asimismo una cierta

aproximación de sus derivadas temporales, implica además el cono

cimiento del término va y de su derivada, 97% / 2xa (en (89.a)).

Teniendo en cuenta ( 78) puede escribirse:

2h - 2h = E Hi(t) aW1

2xa axa i=1 axa

en donde las derivadas de las funciones de base son conocidas.

La propia definición de velocidad lineal media permite su evaluación:

Kaa 2h - -Kaa

2hVOL = -

E axa E axa

K n 2w.-q F H.(t) 1

(90)E i=1 2x0

149.

ya que, resuelto el modelo de flujo (86), los valores nodales

Hi serán conocidos. La derivada espacial 2va / axa puede evaluarse

de una forma análoga a como se ha hecho con va, por lo que conocidos

ambos términos podrá abordarse la resolución del sistema (87) que

proporcionará los valores Ci en los nodos del mallado, para un

cierto paso de tiempo.

Por último, es necesario comentar la presencia de coefi

cientes integrales en ambos sistemas de ecuaciones algebraicas,

(86) y (87); sin entrar aquí en detalles, la evaluación de dichos

coeficientes se efectúa, en general y bajo ciertas condiciones,

por medio de fórmulas aproximadoras de cuadratura gaussiana, que

pueden llegar a proporcionar soluciones exactas.

DISCRETIZACION TEMPORAL. ESTABILIDAD Y CONVERGENCIA

La resolución de los sistemas de ecuaciones (86) y

(87) implica que las derivadas temporales de piezometria y concen

tración son también aproximadas numéricamente; si bien podría

emplearse nuevamente el MEF para realizar esta aproximación, lo

usual es emplear el método de diferencias finitas.

De los esquemas ya conocidos que existen para este

método, el que suele proporcionar mejores resultados tanto en la

resolución de (86) como de (87) es el esquema implícito . Realizando

i'

150,

la aproximación de las derivadas temporales mediante este esquema,(86) y (87 ) quedan como

`PJ {H}t. Ét +[R] ( lH) t+ �át - lHl J// Ot + {U} = 0

y reagrupando según el nivel de tiempo

l[P] + [R ] /At) lH1t+Ot = 1[R] /Ot� lHJ t - {UJ(91)

y, análogamente , para el transporte de soluto

[N] +[M]/At {C}t+At = ([M] /ot ) {C}t -lFJ (92)

La resolución de (91) y ( 92) por alguno de los distintos

métodos de que dispone el cálculo numérico , proporciona los valores

de los coeficientes incógnita H y C para cada paso de tiempo, coefi

cientes que dada la forma en que se eligen las funciones de base

son justamente los valores nodales o valores de las incógnitas

h y c en los n nodos del mallado . Es preciso comentar además que,

puesto que la limitación en el paso de tiempo para obtener una

solución numérica precisa es diferente para una y otra ecuación,

suele ser frecuente y ventajoso resolver una de las ecuaciones

m veces , con un paso de tiempo At/m, mientras que la otra ecuación

se resuelve una solo vez con un paso At; a efectos orientativos,

los pasos de tiempo que pueden emplearse para la resolución de

(92) son 100 o más veces superiores a los empleados en el conocido

método de las características.

151 .

Por último, es preciso señalar que no hay obstáculo

para emplear las mismas funciones de base y sus derivadas en (88)

y (89), de forma que sean elegidas una sola vez y empleadas en

los coeficientes de las matrices de (91) y (92).

Por lo que respecta a la estabilidad y convergencia

del método de elementos finitos, ya que la discretización tempo

ral se ha abordado por el método de las diferencias finitas, todos

los inconvenientes que pueden presentarse son comunes a ambos mé

todos ( subapartado IV.3.2.2.3.).

i

152.

IV.3.2.5.3. CASOS HISTORICOS DE APLICACION

IV.3.2.5.3.1. SIMULACION DE LA CONTAMINACION DE AGUAS SUBTERRANEAS EN

LONG ISLAND, NEW YORK (U.S.A.), POR EL METODO DE ELEMEN-

TOS FINITOS DE GALERKIN (GEORGE F. PINDER, 1973).

1. Objetivo-del-estudio

Como consecuencia de las actividades en una planta

industrial en South F armingdale (figura n° 59) de anodización de

aluminio por medio de cromo, comenzaron a detectarse en el acuífero

glacial subyacente concentraciones de cromo hexavalente de 0.1

mg/l, en el año 1972. El causante de esta contaminación era una

inadecuada evacuación de los residuos liquidos procedentes de la

planta, con altos contenidos en cromo, y menores en cadmio.

a

posttes*

J t ruW� o„Nc

�I

t

su �

st

z�-

o so ao evo aqo 4w eqo tres

Fig. n4 59. Plano de sita:a*.i^n. Extensi^n areal de la contaminación

1

153.

Las investigaciones realizadas con posterioridad permi

tieron definir la extensión de la contaminación y su evolución

temporal (figura n° 59); en concreto, la más exhaustiva de estas

investigaciones , realizada en 1962, puso de manifiesto la existencia

de una nube contaminante de unos 1300 m. de longitud y unos

300 m. de anchura, con apreciable variación en la distribución

vertical de la concentración de cromo. Se comprobó que el máximo

contenido en cromo había disminuido de 40 mg/1 en 1940 a 14 m9 /1

en 1962, detectándose este máximo a unos 900 m. aguas abajo de

la ubicación de los depósitos de residuos contaminantes. Se comprobó

también que la nube contaminante llegaba a afectar al río Massa

pequa Creek ligado al acuífero aluvial.

En el año 1913 se decidió construir un modelo matemá

tico que ayudara a mejorar el conocimiento sobre el comportamiento

de la nube contaminante en el acuífero y permitiera simular esquemas

diseñados para eliminar la contaminación del río Massapequa Creek.

2. Caracteri-zaci-ón --hidrogeológicá__ e__hidrógeoquímicá__ del -- sistema------------------ -------

á__módelár

- El acuífero glacial de long Island está constituído

por materiales de edad Pleistoceno del tipo arenas y gravas, formando

lechos y lentejones interdigitados con otros lechos y lentejones

más delgados de arenas y limos de grano más fino.

155.

- Espesor saturado (figura n° 60): oscila entre 25

y 43 m.

- Porosidad eficaz: presenta un valor medio del 35%.

- Dispersividad longitudinal y transversal: los valores

de estos parámetros no se conocían experimentalmente, por lo que

se determinaron en el transcurso de la calibración del propio modelo

matemático; los mejores valores encontrados, es decir, los que

mejor ajuste dieron entre concentración calculada y observada,

fueron los de aL = 21.3 m y aT = 4.27 m.

- El funcionamiento del acuífero es simple ; a nivel

cualitativo , presenta una alimentación pluvial y por su límite

abierto norte por donde se continúa el acuífero glacial y una des

carga al río Massapequa Creek y a través del límite abierto sur.

3. El-modelo--matemático-------------------

- El mallado (figura n° 61)

Consta de 150 nodos y 91 elementos cuadrilaterales

isoparamétricos . El diseño del mallado es sin duda la fase más

crítica dentro de la aplicación del método de elementos finitos

en la resolución de problemas de campo; deben considerarse dos

criterios importantes en este diseño: 1 9 El mallado debe afinarse

allí donde se prevean fuertes discontinuidades en la función que

quiere calcularse (concentración, piezometria); en este sentido

156.

deben observarse la zona de recarga de contaminante y de descarga

del mismo al río Massapequa Creek. 29 Deben emplearse funciones

de base de alto orden o, de otra forma, elementos con nodos no

sólo en sus vértices sino también a lo largo de sus lados, en aquellas

zonas donde sea necesaria una solución precisa; en este sentido,

pueden observarse los elementos diseñados sobre la zona en donde

se conoce la existencia de la nube contaminante.

M�M

fle�eats

i

fio. ^0 61. Mallado del modelo

Debe destacarse la gran flexibilidad que presentan

los elementos finitos para adaptarse a la geometría y peculiarida

des físicas del problema a resolver.

157.


Como consecuencia de la no existencia de fluctuación

anual de piezometría en el período de observación 1949-63 y de

una existencia de fluctuación estacional de tan sólo 0.5 a 1.0

m., la ecuación del flujo subterráneo se resolvió en régimen perma

nente, obteniéndose por tanto una única distribución de piezome

tría y velocidad sobre el mallado para el período de calibración.

La misma observación de evolución de piezometría, per

mitió adoptar el límite a potencial impuesto en todo el contorno

del modelo. Por su parte, la zona de recarga y descarga del conta

minante fueron tratados en las primeras pasadas de cálculo como

fuente y sumidero, respectivamente. Es importante señalar que al

no funcionar este modelo conceptual por no haber buena coincidencia,

posteriormente, entre valores calculados y observados de concentra

ción, se impuso también la condición de contorno de Dirichlet a

los nodos representativos de la zona de recarga.


La condición inicial de concentración considerada fue

de 40 mg/ l en la zona de recarga de contaminante y nula para el

resto del modelo; por otra parte, se estableció la condición de

potencial impuesto en todo el contorno del modelo y, así mismo,

en la zona de recarga, en donde para el período 1940-49 se mantuvo

una concentración impuesta de 40 mg/l.

158.

En la figura n° 62 puede observarse la distribución

de la concentración de cromo calculada y observada para el año

1953.

0s� Y

t

i

ó � t� sIM��fthlhr� 1 53O�tsrq t

�ONstt ' ��

CtIpINt L 3pR�

• Ah OIIIVC

Z �

M�

O b I4trN

Fig. n? 62. oistribución de concentracien de cromo calculada y observada (1953)


* Puesto que en la planta industrial comenzó a realizarse

en 1949 un tratamiento depurador de los residuos tóxi

cos antes de su vertido, se simuló cual sería la evolu

ción de la nube contaminante durante el período 1949-

1962, suponiendo una total eliminación de la fuente

contaminante después de 1949. Como puede observarse

(figura n° 63), en el año 1961 la contaminación habría

desaparecido prácticamente, descargándose el contaminante

al río y a través del límite abierto sur.

159.

3

�n n

1949 1952

1954 1981

",15-27

Fig. n4 63. Oistribucióo de concentración calculada (1949-61):fuente contaminante eliminada

* La segunda simulación considera el hecho de una re

ducción del 75% en la concentración de la fuente conta

minante ( 10 mg/1), en lugar de su desaparición total,

a partir de 1949. En la figura n° 64 se observa que

un estado quasi-permanente se alcanzaría a partir de

1953.

* Por último y teniendo en cuenta la interacción

río/acuífero, se simuló una eliminación total de la

fuente contaminante a partir de 1972, para determinar

en cuántos años se descargaría el contaminante por

el río; como puede verse (figura n° 65) este hecho

ocurriría en 1979.

160.

i300

V

1S �rV

0 1949.- , 1950ESTE=\\

S-tNORTEao

+s n

1953 1957

Fig. ná G4. Distribución de concentración calculada (1949-57 ): fuentecontasinante reducida un 75% en su concentración

c

75 tsrsN 1972 1973

ESTE

+s +s

�s 7. s

1976 1979

Fig. nQ 65. Distribución de concentración calculada (1972-79):fuente contaminante eliminada

161.

IV.3.2.5.3.2. SIMULACION DE LA CONTAMINACION DE AGUAS SUBTERRANEAS EN

PLEASANTVILLE, NEW JERSEY (USA), N.G. GRAY Y J.L.

HOFFMAN, 1983).

1. Objetivo--del--estudio

la utilización de una antigua cantera de arena y grava

en Pleasantville , New Yersey , ( figura ° 66) como vertedero de res¡

duos líquidos y químicos de carácter tóxico ( acetona, cloroformo,

hexano , aceites , etc) provocó la contaminación del acuífero Cohan

sey cuyos recursos hídricos se emplean en cubrir una buena parte

del abastecimiento urbano de Atlantic City.

El objetivo del modelo matemático es el diseño de estrate

gias o alternativas para frenar el avance de la contaminación y

eliminarla progresivamente.

2. Caracterización -hidrogeólógicá -e-hidrógeógu ¡ m¡cá-del - sistema - a - modelar-------------------- -------------

- En la zona de estudio existen dos acuíferos importan

tes de edad terciaria que, de muro a techo, son: la formación

Kirkwood de unos 25 m. de espesor, constituida por arenas relativa

mente uniformes y consistentes , y el acuífero Cohansey , dividido

a su vez en dos unidades acuíferas , una inferior de unos 30 m.

de espesor y otra superior cuyo espesor es de unos 25 m. . El acuífero

162.

O �°�c, O es 1 0'•

c c*M1^ c rO-cs� •c• fo • 1

c 4.►

N �wi 0 '`c++t

� w� • ctO�' p•a�.+c..• •co

� •ONKt

N

•.0.&C@ á0wN0 9 .Ob4tl0o

«Po OOM►tOtq�u (M^

0 .000 Mw c O

Fig. n ? 66. Mapa de situación de la zona de estudio

Cohansey está también formado por arenas, si bien mucho más varia

bles, con intercalación de lentejones de arcillas. En la figura

n° 67 se dan los dos cortes geológicos representados en la figura

n° 66, con información obtenida a partir de sondeos profundos.

Desde el punto de vista de la simulación, sólo se contempla al

acuífero Cohansey superior, en el que tiene lugar la evolución

de la contaminación, y que se encuentra prácticamente independiza

do de la mitad inferior por un estrato semipermeable de arcillas

de unos 15 m. de espesor. A él se refieren por tanto los párrafos

siguientes:

163.

e ecf c. •ts

-50

-100

-123

�s - -150

�IIAVAf � •R[IMf Q �� • � llldY � �R41Mf

(0�

� C •23.. �, Owl co~ %ft

co .C,

- - 23

_= __ = = - so

-73

______ - -100- - - - -- - - ------ ---- - - -- - - - - -----

-- - --- - - ---- - --- --- - - -

o�b '�

t.y

N 4 - _ -__ __--- -II3

r = =--

---

--------- ------ _-_- -_= ss�f�

t

BnSE OEl ~se y ik E11/o11

(b)

Fig. n? 67. Cortes geológicos BB' (a) y CC' (b)

164.

Transmisividad: obtenida a partir de ensayos de bombeo en la

zona, se estimó entre 513 y 747 m2/d.

Coeficiente de almacenamiento : no fue obtenido al resolverse

el modelo de flujo en régimen permanente y, por tanto, no es

necesario.

Porosidad eficaz y dispersividad longitudinal y transversal:

los valores de estos parámetros no se indican en la referencia

empleada, ni tampoco se hace mención del método empleado en

obtenerlos.

3. El - modelo --matemático-------------------

- El mallado ( figura n° 68)

Se han empleado funciones de base lineales definidas

sobre elementos finitos triangulares . En la zona aguas abajo del

vertedero y cercana a él, el mallado se ha afinado pues lógica

mente es la zona en donde se espera el avance de la nube conta

minante y por lo tanto donde interesa calcular con precisión las

variables concentración y piezometría. Como siempre, se destaca

la gran flexibilidad de los elementos finitos para adaptarse a

la geometría del problema.

165.

N

a.��►1i

rcci

Fig. ns 68. l9all3do del modelo


las condiciones observadas en la piezometría del acuí

f ero (figura n° 69) permitieron plantear un modelo de flujo bid¡

mensional areal, en el que se consideró la existencia de un régimen

permanente. En las figuras n° 70 y 71, se muestra el grado de pre

cisión del modelo en la reproducción de la piezometría observada.


Se realizó en régimen transitorio, aceptándose la hipó

tesis de soluto contaminante trazador y conservativo (ausencia

de reacciones químicas que modifiquen su concentración en el

acuífero).

166.

•

A �

�t►f i

�t1fM

H i À••fHt ••

ffr►Itf

rCQ/

Fig. n9 69. Piezoeetría observada en Enero - 81

N

I Db

w It r

í~ét

YC � M

Fig. n9 70. Piezonetria calculada en Enero - 81

n

< _---_ fmnf w� -• tnf.•e

a.IRAfaoff ant,arMLM 1 t

� IeeO�

eorn ari rrAi r►.asacros

Fig. n9 71. Gradientes observados y calculados, según el perfil AA'

167.

La calibración del modelo de transporte se ha visto

afectada por la no existencia de valores observados de concentración,

que permitieran un contraste con los valores calculados (figura

n° 72). Por consiguiente , los resultados obtenidos son más una

indicación sobre la dirección y el tiempo de viaje del contaminan

te que una valoración precisa de su concentración.


Se ensayaron dos estrategias de lucha contra la conta

minación que pusieron de manifiesto que si bien aquélla era posible

de contrarrestar , hasta conseguir niveles aceptables de calidad

del agua del acuífero , ello se conseguiría sólo a largo plazo (25

años ) y con altos costes económicos.

* Estrategia A (figura n° 73)

Consistió en suprimir los bombeos de abastecimiento

(sondeos AC en figura n° 66), bombeando desde los sondeos

P a razón de un caudal de 38 000 m 3 por sondeo y mes;

el agua bombeada, una vez depurada, es inyectada aguas

arriba del vertedero desde los sondeos I. La circulación

del contaminante a través del acuífero para ser elimina

do en los sondeos P se veía así favorecida al incremen

tarse el gradiente natural por el esquema explota

ción / inyección.

168.

r

..

•GC/J►M

(O)

•

•ti

•

i

N

ím�•

/JLA

(b)

Fig. n2 12. Distribución de concentración calculada al cabo decinco años (a) y de diez años (b)

169.

No obstante, si bien al cabo de 10 años de simulación

se ha producido una dilución apreciable del contaminan

te, esta estrategia no consigue capturar todo el contami

nante, de forma que éste rebasa la línea de sondeos

P; así mismo, la dilución conseguida teniendo en cuenta

el coste de operación se consideró insuficiente.

1 � tt �

rcci

Fig. ne 73. Distribución de concentración simulada para la estrategia A

* Estrategia 6 (figuras n° 74 y 75)

Se consideró también la supresión de los bombeos de

abastecimiento pero por lo demás la estrategia es muy

diferente; en lugar de dejar circular el contaminante

desde el foco contaminante, se implanta una línea de

tres sondeos (P), inmediatos al vertedero, y bombeándose

170.

1 •4

rI

1•

1 • �r•

7M P{p

Fig. nº 74. Distribución de concentración simulada para la estrategia Bal cabo de cinco años

■

1 `

•1

s

•P I

i VII �tl a

NNi�f/

rCL/�N

Fig. n4 75. Distribución de concentracién simulada para la estrategia 6

al cabo de diez afios

171 .

38000 m 3 por cada sondeo y mes. De este caudal, sólo

30400 m3 convenientemente depurados son inyectados

desde los sondeos I, distribuyéndose este caudal equitati

vamente entre ellos. Con ello se pretende que los sondeos

P consigan capturar una gran parte del contaminante

antes de que se extienda por el acuífero, y por su

parte, que los sondeos I de inyección impidan el avan

ce del frente contaminante más allá de la línea que

ellos definen.

Como puede observarse , al cabo de cinco años la magni

tud de la contaminación se ha reducido ya significati

vamente, consiguiéndose además frenar el avance del

frente . Al cabo de 10 años la contaminación puede

considerarse prácticamente eliminada.

172.

IV.3.3. ANALISIS COMPARATIVO DE LOS DISTINTOS TIPOS DE MODELOS DE

ADVECCION-DISPERSION. CONCLUSIONES.

En este apartado se pretende indicar una serie de crite

rios de tipo práctico en base a los cuales se realiza una compara

ción entre los modelos advección-dispersión desarrollados en los

apartados precedentes (es decir, los modelos en diferencias finitas,

del método de las características, el modelo "random-walk" de

Prickett y otros, y los modelos en elementos finitos. En adelante,

estos modelos se denominan, respectivamente , MDF, MOC, R-W y MEF)

y que, por consiguiente, sirven como orientación a la hora de seleccio

nar el modelo más adecuado para abordar un cierto problema de conta

minación puntual.

1° GRADO--DE--COMPLEJIDAD--EN__LOS__PROBLEMAS__QUE__EL__MODELO__PUEDE-- -----------------

TRATAR

Todos los modelos presentados tratan problemas en los

que el flujo subterráneo puede considerarse bidimensional al ser

despreciable o nula la variación vertical de la piezometría; todos

ellos son pues modelos 2 - D areales.

Por lo que se refiere al transporte, MDF, MOC y R-W

aceptan que también los gradientes verticales de la concentración

173.

son despreciables; por el contrario , el MEF acepta un gradiente

vertical , y al ser modelo 2-D areal trabaja con valores medios

de concentración que tienen en cuenta dicho gradiente. No obstante,

este no es un hecho diferenciador importante entre los modelos

de advección - dispersión , ya que la adaptación de la formulación

básica de MDF, MOC y R -W a esta hipótesis ( gradientes verticales

de concentración no despreciables ) es sencilla.

Por otra parte, todos los modelos consideran el soluto

contaminante como trazador y no reactivo o conservativo, excepto

el R-W que contempla la presencia de reacciones químicas. No

obstante , en la actualidad, MEF y MOC también incorporan en sus

esquemas de cálculo la presencia de reacciones químicas ; como es

sabido, la dificultad no es tanto numérica como de disponibilidad

de datos experimentales correspondientes a los coeficientes que

rigen las reacciones.

2° RESULTADOS -MAS - IMPORTAtITES -QUE_SE_OBTIENEN - DEL -MODELO---------------------------------

Tampoco este criterio es diferencial para los modelos

presentados , ya que todos ellos tienen por objetivo primordial

calcular la distribución de concentración del soluto contaminante

sobre toda la superficie del acuífero , así como su evolución temporal.

174.

3° DATOS-MAS-IMPORTANTES-PRECISADOS-POR-EL-MODELO----------------------------------------

Los distintos modelos necesitan básicamente de los

valores de piezometría y concentración del soluto para el periodo

de simulación elegido , no como dato de entrada al programa de

cálculo , sino como control de referencia para los resultados que

arroje el modelo.

Como datos estructurales se precisa: transmisividad,

espesor saturado , porosidad eficaz y coeficiente de almacenamiento

(siempre que el flujo se resuelva en régimen transitorio).

Mención especial merecen la dispersividad longitudinal

y transversal, datos necesarios para obtener los coeficientes de

dispersión hidrodinámica que aparecen en la ecuación de la disper

sión. Como se ha podido observar en los distintos casos de aplica

ción de modelos de advección-dispersión , los valores de estos

parámetros nunca han estado disponibles a partir de métodos experimen

tales de medida; en todos los casos, dichos parámetros se han dete

minado en el propio proceso de ajuste del modelo de transporte

por medio de pasadas de cálculo de "ensayo y error", es decir,

pasadas en las que una pareja de valores aL y aT son probados, compa

rándose los valores calculados y observados de concentración del

soluto. Aquella pareja que mejor ajuste (menor error) proporciona,

se considera como válida y representativa de la dispersión en el

acuífero para abordar las futuras simulaciones de estrategias o

175.

alternativas para combatir la contaminación . En la figura n° 76

se indican, a modo orientativo, los valores obtenidos de esta forma

para modelos matemáticos planteados en distintos acuíferos.

Es preciso señalar que estos valores de a L y a T deter

minados numéricamente tienen un significado físico muy limitado;

por supuesto, el modelo siempre proporcionará valores de dispersi

vidad aparente de las distintas zonas de un acuífero, pero incluso

así, siempre es necesario disponer de valores determinados expe

rimentalmente en el campo que definan un rango de variación válido

al cual el modelista pueda atenerse en el proceso de ajuste o cal¡

bración del modelo matemático. De lo contrario , una de las final¡

dades del modelo de transporte, la regionalización de parámetros

de tipo estructural (dispersividad, porosidad) a partir de valores

experimentales puntuales en el acuífero, puede resultar completa

mente ilusoria.

40 COMPLEJIDAD EXISTENTE EN LA UTILIZACION DEL MODELO--------------------------------------------------

Los modelos MEF son los que entrañan una mayor dificul

tad en su comprensión ya que el método de elementos finitos requie

re un cierto nivel de conocimientos matemáticos y es el método

menos conocido desde la experiencia de los modelos de flujo, tra

dicionalmente resueltos en diferencias finitas.

176.

La entrada de datos al programa de cálculo es simpre

sencilla para todos los modelos pero algo más laboriosa para el

MEF, por lo que respecta al diseño y definición del mallado; no

obstante , la existencia actual en el mercado de programas de proceso

gráfico facilitan mucho esta tarea al usuario , por lo que esta

cuestión no es relevante en la elección de uno u otro modelo.

El proceso de calibración o ajuste del modelo es aná

logo en todos los casos: debe ajustarse en primer lugar el modelo

de flujo , con independencia de la concentración del soluto ya que

éste es trazador ; a continuación , resuelta la distribución de veloci

dades en el modelo , puede ajustarse el modelo de transporte mediante

cambios sucesivos en algunos parámetros estructurales (dispersividad,

porosidad ), o en su caso, en alguna hipótesis de alimentación/explo

tación , condiciones en limites, etc.

5° ERRORES -NUMERICOS----------------

Los modelos MOF y MEF están sujetos a la presencia

de errores numéricos importantes, en especial el de dispersión

numérica ; para el MDF este error es de tal magnitud frente a la

dispersión física, que en la actualidad estos modelos han caído

prácticamente en desuso . los modelos MEF padecen una dispersión

Dispersividades Regionales (m.)

Tipo de acuífero Situación Dispersividad Longitudinal aL/ aT Espacio Nodal(m) (m)

Sedimentos aluviales Rocky Mountain 30.5 1.0 305Arsenal, Col.

Colorado 30.5 0.3 660 x 1320California 30.5 0.3 305Lyon, Francia 12 0.33 ---Barstow, Calif. 61 0.3 305Sutter Basin, 80-200 0.1 VariableCalif.

Depósitos glaciales Long Island, N.Y. 21.3 0.2 VariableCalizas Brunswick, Ga. 61 0.3 VariableBasalto fracturado Idaho 91 1.5 640

91 1.0 640Hanford site, 30.5 0.6 ---Washington

Sedimentos aluviales Barstow, Calif. 61 1/330 3 x 152Alsacia, Francia 15 0.067

Limo de derrubios gl a

ciales sobre esquistos Alberta, Canadá 3.0 y 6.1 0.2 x = 79

Calizas Cutler área, Fla. 6.7 0.1 Variable

Fig. n2 76. Valores regionales de la dispersiv¡dad obtenidos por "ensayo y error" en el ajuste de un modelo matemático y

178.

numérica de menor magnitud, lo cual permite su uso en aquellos

casos en que la dispersión física es la componente preponderante

del transporte, ya que entonces la dispersión numérica es práctica

mente despreciable frente a la dispersión física.

Tanto MOC como R-W no presentan problemas desde el

punto de vista numérico, ya que ninguno de ellos aborda directamente

la resolución numérica de la ecuación general de la dispersión.

6° LMACENAMIENTO- - EN -MEMORIA _ DEL_-ORDENADOR__Y--TIEMPO-_DE_ -CALCULO-------------

Dejando aparte los modelos MDF, hoy en desuso, son

los modelos MEF y MOC los que más almacenamiento en memoria requie

ren, si bien en el caso de los MEF suelen emplearse distintos

tratamientos de las matrices de coeficientes tendentes a "ahorrar"

memoria.

Por lo que respecta al tiempo de cálculo, R-W resulta

claramente favorable al no tener que resolver ningún sistema de

ecuaciones algebraicas para calcular las concentraciones del soluto;

los modelos MEF resultan en este aspecto ventajosos frente al

MOC dado que la estabilidad en este último exige el empleo de

pasos de tiempo para el modelo de transporte que pueden ser del

orden de 100 veces inferiores a los empleados en un modelo MEF.

1 79.

Descartados los modelos MDF por el error de dispersión

que llevan aparejado , el usuario debe analizar previamente a la

selección del modelo la magnitud de la dispersión hidrodinámica

en el acuífero a estudiar . Si ésta es importante frente a la advección,

los modelos MEF pueden considerarse seguros desde el punto de vista

numérico y favorables en este caso, gracias a la gran flexibili

dad de los elementos finitos para adaptarse a heterogeneidades

del acuífero y a geometrías complicadas . En el caso contrario (dis

persión débil ), el usuario debe emplear alguno de los modelos que

no presentan error de dispersión numérica : MOC y R-W; para su sele

cción debe tenerse en cuenta que el MOC es un modelo más complejo,

de tediosa programación y, en definitiva , más costoso. No obstante,

el rigor físico de la solución numérica que proporciona es supe

rior al del modelo R-W.

180.

IV.3.4. BIBLIOGRAFIA

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* Publicación de carácter básico e imprescindible

** Publicación de carácter complementario , sugerida para ampliar

temas no suficientemente desarrollados en el Volumen

Documents

APLICACIONES PRACTICAS DE LOS MODELOS DE CALIDAD …