1

APLICACIONES DE LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS EN LA INGENIERÍA ELECTROMECÁNICA

DIEGO VIDAL GARCÍA RUIZ

1ªAInstituto Tecnológico Superior De Puerto Vallarta

2

El problema a darse es el siguiente:A un ingeniero electromecánico se da la tarea de hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en una placa de metal circular de 5cm de radio.

Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingeniería electromecánica

3

La forma grafica del problema:

5cm

Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingeniería electromecánica

4

Es el rectángulo BCDE el que se encuentra en la placa circular.

B

DC

E

5cm

5cm

Sea CD= x; entonces BC=

; y evidentemente, el

área del rectángulo es:

Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingeniería electromecánica

5

Así es como queda establecido lo anterior.

10cm

x

Debe de existir un rectángulo de área máxima; en efecto, si la base se aumenta hasta 10cm, entonces la altura disminuirá hasta cero, y el área llegara a ser cero.

Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingeniería electromecánica

6

Si ahora, se disminuye la base hasta cero, entonces la altura aumentará hasta 10cm y otra vez llegara a ser cero. Luego es evidente, por intuición, que existe un rectángulo que es el mayor a todos.

Estudiando la figura con atención podríamos sospechar que cuando el rectángulo se convierte en un cuadrado es cuando tiene mayor área, pero esto seria una conjetura.

Por naturaleza del problema es evidente que x y A deben de ser positivos y que los valores de x varían de cero a 10.

Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingeniería electromecánica

7

Empezaremos a obtener el máximo de esta función. En este caso nada mas se obtendrá un máximo ya que los valores son positivos y se quiere encontrar el área máxima.

1. Tenemos la función respecto a x para encontrar las dimensiones en este caso.

Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingeniería electromecánica

8

2. Aplicamos la primera derivada.

Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingeniería electromecánica

9

Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingeniería electromecánica

10

3. Igualamos a cero la primera derivada.

Después encontramos el valor critico. Para eso, despejaremos “x”.

Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingeniería electromecánica

11

Tenemos el valor crítico, ahora haremos los intervalos para saber si es cóncava o convexa la función establecida.

Tomaremos solo los valores positivos.

Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingeniería electromecánica

12

Intervalos7.071

0 10

(0 , 7.071)

(7.071 , 10)

X = 6 X = 8

• Por lo tanto: • Encontramos que en el intervalo (0 , 7.071)

es creciente.• Y en el intervalo (7.071 , 10) es decreciente.• La función es cóncava.

Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingeniería electromecánica

13

Máximos y mínimos Se obtendrá al aplicar la segunda

derivada.

Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingeniería electromecánica

14

Obtuvimos la segunda derivada, ahora para saber si es máximo, sustituiremos el valor crítico en la segunda derivada.

Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingeniería electromecánica

15

El valor crítico es x = 7.071

Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingeniería electromecánica

16

17

Como ya vimos, nos dio el valor de -1.76; esto quiere decir, que como es negativo tenemos un máximo, y por lo tanto es cóncava como ya habíamos dicho.

Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingeniería electromecánica

18

Sabemos que es un máximo y es cóncava. Ahora, conoceremos donde esta ese punto máximo ubicado en un plano cartesiano.

Tenemos la función original, se sustituye la x con el valor que tiene, en este caso es x=7.071

X = 7.071Es la coordenada del

punto máximo.

19

Construyamos ahora una tabla de valores y tracemos la grafica, tal como se muestra.

X A

0 0

1 9.9

2 19.6

3 28.6

4 36.6

5 43

6 48

7 49.7

8 48

9 39

10 00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

10

20

30

40

50

60

X

A

20

Por lo tanto, todo lo que hemos hecho a sido lo siguiente:

El valor crítico donde se encuentra, el valor preciso para la máxima área.

Calculamos como es la función dando nada mas números positivos ya que es un área.

Por el análisis, nos dimos cuenta de cómo es la función, de cómo tiene un crecimiento y un decrecimiento.

Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingeniería electromecánica

21

Para terminar, calcularemos las dimensiones del rectángulo con el valor obtenido.

Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingeniería electromecánica

22

Cambiando todos los datos obtenidos, nos daremos cuenta que de ser un rectángulo, ahora será un cuadrado

10cm

x

10cm

7.0

71c

m

7.071cmA=49.99 cm²A~50 cm²

23 Conclusión

5cm5cm

El rectángulo se convirtió en cuadrado.

24

Lo que se obtuvo fue la construcción de una figura en una placa circular de metal.

El propósito era obtener la máxima área que se podía obtener al trazar un rectángulo pero esto a su vez, se muestra que solo obteniendo la máxima área es hacer que el rectángulo se convierta a cuadrado.

Por lo tanto, a todo esto, la área máxima que se puede obtener es 50 cm² Aplicaciones de los máximos y mínimos en la

ingeniería electromecánica