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7/24/2019 Aplicacin de Mximos y Mnimos
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Aplicacin de mximos y mnimos
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fig.1
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Crculo de radio r con centro
en
Ecuacin:
Circunferencia:rea:
2.Sector circular;
rea: donde es el ngulo centralmedio en radianes.
rea: donde ses la longitud del arco AB3.
ra!ecio
rea: " donde B es lalongitud de la #ase ma$or" # esla de la #ase menor $ % es la
altura del tra!ecio.&.
Cilindro circular recto de
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altura h$ radio de la #ase r.'olumen:rea lateral:
rea total:
(.
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Cono circular recto de altura h$ radio de la#ase r.
'olumen:Su!erficie lateral: . Ldonde Les lageneratri) est dada !or:
*.
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Esfera de radio r.
'olumen:
Su!erficie:
c.E+em!los:
1.,eterminar dos n-meros no negatios cu$a suma sea 1/ $ cu$o !roducto tenga el ma$oralor !osi#le.
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/software/cilindro.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/software/cono.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/software/esfera.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/software/cono.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/software/esfera.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/software/cilindro.html7/24/2019 Aplicacin de Mximos y Mnimos
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Solucin:
Se de#e de ma0imi)ar el !roducto de dos n-meros !ositios.
Sean estos n-meros: 0" $
uego
Como la suma de esos n-meros es 1/" entonces es la ecuacin auxiliar" de
donde .
Entonces:
Se de#e de determinar el alor de 0 ue %ace m0ima la funcin
,eriando:
'alores crticos:
En se tiene un alor crtico" $ se de#e estudiar si es un alor mnimo o un alorm0imo.
Como entonces !or lo ue en se tiene un alor m0imo.
Si entonces . uego" los n-meros !ositios cu$o !roducto es m0imo $cu$a suma es 1/ son am#os iguales a (.
2.4n rectngulo tiene 12/ m. de !ermetro. Cules son las medidas de los lados delrectngulo ue dan el rea m0ima5
Solucin:
Se de#e ma0imi)ar el rea A de un rectngulo:
,esignemos con 6x6" 6y6 las longitudesde los lados del rectngulo.
uego
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Como el !ermetro del rectngulo es 12/ m. entonces la ecuacin au0iliar es:
de donde .
uego
Como $ entonces es un alor crtico.
Analicemos si este alor es m0imo o mnimo utili)ando el criterio de la segundaderiada.
Como $ " entonces es un alor m0imo.
Si entonces !or lo ue un cuadrado de lado 3/ es el rectngulo de ma$or rea
$ !ermetro 12/m.
3.
4na recta aria#le ue !asa !or el !unto corta al e+e 7 en $ al e+e 8 en .9allar el rea del tringulo de su!erficie mnima" su!oniendo A $ B !ositios.
Solucin:
Se de#e minimi)ar el rea de un tringulo.
rficamente se tiene:
El tringulo es rectngulo $ su rea est dada !or
a recta !asa !or los !untos " $ " !or lo ue la !endiente est dada comosigue:
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i.
omando $ :ii.
omando $ :
uego: es la ecuacin au0iliar" de donde
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&.4na entana tiene forma de rectngulo" culminando en la !arte su!erior con un tringuloeuiltero. El !ermetro de la entana es de 3 metros. Cul de#e ser la longitud de la #asedel rectngulo !ara ue la entana tenga el rea m0ima5
Solucin:
En este caso se de#e ma0imi)ar el rea de la siguiente figura geom>trica:
Se %an se?alado con las letras 6x6"6y6 las longitudes delos lados de la entana.
El rea de la entana est dada !or la suma de las reas del tringulo $ del rectngulo.
rea del tringulo:
rea del rectngulo:
rea total:
Como el !ermetro de la entana es 3 metros entonces: de donde esuna ecuacin au0iliar.
uego: . ,e#emos escri#ir % tam#i>n en t>rminos de 0.
Se tiene en el tringulo:
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"
uego:
,eterminamos los alores crticos
uego:
El alor crtico es
4tili)ando el criterio de la segunda deriada se tiene ue
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" $ "
de donde es un alor m0imo.
uego" la longitud de la #ase del rectngulo de#e ser !ara ue la entana tenga elrea m0ima.
a altura del rectngulo de#e ser: $ el lado del tringulo es .
(.4n faro se encuentra u#icado en un !unto A" situado a ( @m. del !unto ms cercano deuna costa recta. En un !unto B" tam#i>n en la costa $ a * @m. de " %a$ una tienda. Si el
guardafaros !uede remar a " $ !uede cam#iar a " dnde de#e desem#arcar enla costa" !ara ir del faro a la tienda en el menor tiem!o !osi#le5
Solucin:
Se de#e minimi)ar el tiem!o de recorrido
rficamente la situacin es la siguiente:
Sea Cel !unto de la !la$a en el ue desem#oca el guarda faros" designemos con 0 ladistancia .
es la distancia en ue de#e remar desde A%asta C
es la distancia en ue de#e caminar desde C%asta B
ote ue $
Adems se tiene ue la distancia Srecorrida en un tiem!o t es igual a la elocidad !or eltiem!o: o sea;
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de donde .
a distancia es recorrida con una elocidad de " $ la distancia con una
elocidad de " !or lo ue el tiem!o total de recorrido ser:
siendo esta la funcin a minimi)ar.
uego:
ara determinar los alores crticos %acemos
4tilicemos el criterio de la segunda deriada !ara determinar si el alor crtico es unmnimo.
" ealuando en se o#tiene
!or lo ue es un alor mnimo.
uego" el guarda faros de#e desem#arcar en un !unto C ue est a @m. de !unto C"!ara llegar a la tienda en el menor tiem!o !osi#le.
*.,eterminar las dimensiones del cono de ma$or rea lateral ue !uede inscri#irse en uncono circular recto de radio 1cm $ altura 3cm" como se muestra en la figura siguiente:
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Solucin:
9a$ ue ma0imi)ar el rea lateral del cono inscrito.
as dimensiones de >ste son: 0 radio de la #ase" % altura $ se es!ecifican en la figura de lasiguiente manera:
El rea lateral de un cono es .
4na ecuacin au0iliar se !uede o#tener !or medio de seme+an)a de tringulos de lasiguiente forma:
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/software/Figura42.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/software/Figura42.html7/24/2019 Aplicacin de Mximos y Mnimos
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Adems
Sustitu$endo en la ecuacin del rea lateral
,eterminemos los !untos crticos:
"
or lo tanto" los alores crticos son $
,eterminemos cul de esos alores es un alor m0imo utili)ando el criterio de la!rimera deriada.
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Como crece !ara $ decrece !ara entonces es un alorm0imo.
Como decrece !ara $ crece !ara entonces es un alor
mnimo.
uego el alor ue nos interesa es
or lo tanto" el radio de la #ase del cono inscrito es cm." $ la altura es cm.
.,eterminar las dimensiones del cono de olumen mnimo circunscrito a una semiesferade radio D" de tal forma ue el !lano de la #ase del cono coincida con el de la semiesfera.
Solucin:
9a$ ue minimi)ar el olumen del cono circunscrito.
Si el radio de la #ase del cono es 0 $ su altura es %" su olumen est dado !or:
rficamente se tiene:
Ver en ambiente 3D
9aciendo un corte transersal se tiene:
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/software/esfera-cono.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/software/esfera-cono.html7/24/2019 Aplicacin de Mximos y Mnimos
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odemos utili)ar seme+an)a de tringulo !ara o#tener una ecuacin au0iliar:
de donde
Sustitu$endo en la ecuacin del olumen del cono:
4tili)ando el criterio de la !rimera deriada" analicemos cul alor crtico corres!onde aun alor mnimo:
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Como decrece !ara $ crece !ara entoncescorres!onde a un alor mnimo ue era lo ue nos interesa#a. uego" las dimensiones del
cono circunscrito a la esfera son: radio de la #ase " altura