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Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
Enfoque práctico
Lic Dylana Freer Paniagua. MBA
Índice
Propósitos y motivación.
Ecuación diferencial. Conceptos básicos.
Áreas de aplicación:
• Enfriamiento y calentamiento de cuerpos.
• Circuitos eléctricos.
• Ecuación logística.
• Deflexión de una viga
Reflexiones finales.
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Propósitos del Webinar
Los participantes podrán:
Conocer algunos tipos de ecuaciones
diferenciales.
Conocer aplicaciones de las ecuaciones
diferenciales en física e ingeniería.
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Agenda
Motivación
Definiciones básicas sobre ecuaciones
diferenciales
Áreas de aplicación
Ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales
Cierre
4
Motivación
¿Para qué sirve la matemática?
¿Por qué debemos llevar este curso?
“La matemática es el alfabeto con el que Dios
ha escrito el Universo” Galileo Galilei
(Novixar, 2009)
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Ecuación diferencial
Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación
que contiene las derivadas de una o más
función(es) dependiente(s) de una o más
variables independientes. (Zill & Wright, 2012)
Ejemplos
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Condiciones iniciales
Cuando una ecuación diferencial tiene infinitas
soluciones, se puede especificar una solución
concreta imponiendo una condición inicial. Esto
es, que la solución cumpla una condición y(x0)=y0
para ciertos valores específicos x0 y y0. (Rogawski,
2012)
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Ecuación lineal
Una ecuación diferencial lineal es la que se
puede expresar de tal forma que la función y(x) y
sus derivadas aparezcan de grado 1 y los
coeficientes de estos términos sean función
solamente de x. (Simmons & Krantz, 2007)
Una ecuación diferencial lineal de orden n se
expresa de la forma:
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Áreas de aplicación de las
ecuaciones diferenciales
Fenómenos físicos: enfriamiento-calentamiento
de cuerpos, caída libre de objetos.
Crecimiento poblacional.
Análisis de circuitos.
Soluciones químicas.
Vibraciones y oscilaciones.
Pandeo de vigas.
Deflexión de columnas.
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Ejemplos concretos
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Enfriamiento y calentamiento
de cuerpos
Ley de Newton
La velocidad con que la temperatura de un cuerpo cambia es proporcional a la diferencia que hay entre la temperatura del cuerpo y la del medio que lo rodea. (Zill & Wright, 2012)
T: temperatura del cuerpo
Tm: temperatura del medio
t: tiempo
k: constante de proporcionalidad
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Solución de la ecuación
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Los valores de c y k se pueden hallar a
partir de las condiciones iniciales del
problema que se va a resolver.
Aplicaciones de esta ley
Tratamientos térmicos en metales y otros
materiales
Modelos climáticos
Diseño de electrodomésticos y máquinas
Diseño de aislantes térmicos
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Circuitos eléctricos
Elementos que conforman un
circuito
14
Leyes de Kirchhorff
El voltaje E(t) que se genera en un lazo cerrado
debe ser igual a la suma de las caídas de voltaje
en el lazo.
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Aplicaciones de las ecuaciones
en circuitos
Determinar la corriente en un circuito.
Determinar, a nivel industrial, el consumo de las
máquinas.
Seleccionar equipos de protección eléctrica
(breaker).
Determinar el diámetro ideal de los conductores
de corriente.
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Ejemplo particular
Encontrar una ecuación de la corriente en función del
tiempo si la corriente inicial está representada por I0 y
se aplica un fem constante E0. Considere un circuito
solamente con resistor e inductor.
Solución:
Ecuación:
Condiciones iniciales: i(0)= I0
Solución de la ecuación lineal:
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La ecuación logística
Utilizada para poblaciones que crecen
exponencialmente bajo ciertas condiciones
ambientales.
k >0 es la constante de crecimiento y A>0 es constante
de capacidad de carga.
La solución de dicha ecuación se puede expresar de la forma: (Rogawski, 2012)
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Ejemplo Propagación de
un rumor
Considere una escuela con 1000 estudiantes. Sea y(t) la
fracción de la población estudiantil que ha escuchado un
rumor en el tiempo t.
Suponga que la tasa a la cual se extiende el rumor es
proporcional al producto de la fracción y de la población que
conoce el rumor por la fracción que todavía no lo ha
escuchado. Si a las 8:00 am, 80 estudiantes conocen el rumor y
al mediodía la mitad de la escuela ya lo sabe.
Determine cuándo el 90% de los estudiantes ya conocerá el
rumor.
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Solución
La ecuación que modela la propagación del rumor es
Las condiciones iniciales son y= 0,08 para t=0. Además, y= 0,5 si
t=4.
De ahí, que al resolver la ecuación, se obtiene
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Aplicando las condiciones iniciales y despejando para t se
obtiene:
Siendo y se obtiene que el tiempo es
aproximadamente 8 horas.
Así que a eso de las 4 de la tarde se conocerá el rumor por
parte del 90% de los estudiantes.
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Aplicación de la ecuación
logística
Biología
Propagación de un rumor
Propagación de una enfermedad
Crecimiento poblacional
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Deflexión de una viga
Una viga es un elemento estructural que soporta
cargas aplicadas en varios puntos a lo largo del
elemento. (Beer, Johnston, DeWolf, & Mazurek,
2013)
(Moaveni, 2008)
23
(Moaveni, 2008)
Ecuación diferencial
La deflexión se rige por una ecuación diferencial de cuarto orden:
Donde E es el módulo de Young de elasticidad de la viga.
I es el momento de inercia de un corte transversal de la viga.
(Zill & Wright, 2012)
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Ejemplo
Considerando una viga embebida en ambos
extremos y que se le distribuye una carga
constante de manera uniforme a todo lo largo
de la viga. La curva de deflexión se deduce a
partir de
Integrando la ecuación se obtiene
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Continuación Aplicando las condiciones iniciales
Se despejan las constantes ci , obteniéndose finalmente
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Representación
Si se define por ejemplo que la viga sea de 1m de
longitud y , una representación gráfica de la
deflexión de la viga es
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Usos
Cálculo de punto máximo de deflexión
Aplicación en diseño de estructuras
Ubicación de puntos estratégicos donde colocar
aros
Optimización de materiales
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Reflexiones finales
La matemática se utiliza en gran cantidad de modelos.
En lo cotidiano se presenta con frecuencia.
Las aplicaciones motivan el aprendizaje de las
matemáticas.
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Bibliografía
Beer, F., Johnston, R., DeWolf, J., & Mazurek, D. (2013). Mecánica de Materiales (Sexta edición ed.). México: McGraw-Hill Education.
Moaveni, S. (2008). Finite Element Analysis. Theory and application with ANSYS (Third edition ed.). Makato: Pearson Education.
Novixar. (2009, 6 1). Proverbia. Retrieved Noviembre 12, 2013, from http://www.proverbia.net/citasautores.asp
Rogawski, J. (2012). Cálculo: una variable (Segunda edición ed.). España: Reverté.
Simmons, G., & Krantz, S. (2007). Ecuaciones diferenciales. Teoría, técnica y práctica. México: McGraw-Hill Education.
Zill, D., & Wright, W. (2012). Matemáticas Avanzadas para Ingeniería (Cuarta edición ed.). México, Distrito Federal: McGraw-Hill.
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Información de contacto
Dylana Freer Paniagua
Profesora y coordinadora en la Universidad Latina,
Heredia.
Correo electrónico
¡Muchas gracias!
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