Aplicaciones de la derivada Velocidad y aceleración instantánea Ya se ha visto que la derivada sirve para calcular pendientes, pero también sirve para determinar el ritmo de cambio de una variable a otra, lo que le confiere utilidad en una amplia variedad de situaciones. Un uso frecuente de los ritmos de cambio consiste en describir el movimiento de un objeto, la función 𝒔 que representa la posición (respecto al origen) de un objeto como función del tiempo 𝒕 se denomina función de posición. Si durante cierto lapso el objeto cambia su posición entonces se tiene una razón de cambio entre:

𝑅𝑎𝑧ó𝑛 =𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

Lo anterior lo podemos identificar como la velocidad:

𝐶𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜𝑒𝑛𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝐶𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 =

𝑑𝑠𝑑𝑡

Podemos afirmar entonces, que la derivada de la función posición de cualquier objeto representa la velocidad en cualquier instante t donde se encuentre el objeto. Del mismo modo, si se conoce la función que modela la velocidad de un objeto, al derivar la función velocidad obtendremos la aceleración del objeto en cualquier instante t, ya que existe una razón de cambio entre la velocidad y el tiempo.

𝐶𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜𝑒𝑛𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝐶𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 =

𝑑𝑡𝑡 =

𝑑𝑡! =

𝑑𝑣𝑑𝑡

Entonces qué representa la siguiente notación sabiendo que “s” es la función posición: (RECUERDA QUE LA DERIVADA TAMBIEN SE REPRESENTA COMO 𝒇′(𝒙) Y SE LEE: F PRIMA DE X)

𝒔(𝒕) 𝒔′(𝒕) 𝒔′′(𝒕)

Analiza cada uno de los siguientes problemas y responda lo que se pida a cada cuestión. Se claro en tus respuestas. Situación 1 Al momento de aplicar los frenos, un vehículo viaja a 66m/s. La función posición del vehículo es 𝑠(𝑡) = −8.25𝑡! + 66𝑡, donde 𝑠 se mide en metros y 𝑡 en segundos. Utiliza esta función para completar la tabla siguiente:

𝑡 0 seg 1 seg 2 seg 3 seg 4 seg 𝒔(𝒕) 𝒗(𝒕) 𝒂(𝒕)

Situación 2 La velocidad de un automóvil que parte del reposo es

𝑣(𝑡) =100𝑡2𝑡 + 15

Donde 𝑣 se mide en metros por segundo, calcular su aceleración en:

5𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 10𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 20𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠

Función creciente y decreciente Para dar inicio a este punto, vamos a comenzar imaginando la gráfica de una función cualquiera en el plano cartesiano, así mismo, que podemos hacer un recorrido sobre dicha gráfica. El recorrido que vamos a llevar a cabo será un recorrido de izquierda a derecha, como se indica en la figura 1.

Siguiendo este recorrido, podremos darnos cuenta de que, primeramente, comenzamos a subir hasta llegar a un punto a partir del cual comenzaremos a descender y nuevamente, llegamos a un punto a partir del cual comenzamos a subir nuevamente. Este proceso de subir y bajar, en matemáticas recibe el nombre de crecimiento o decrecimiento, en este caso, de una función. Para que, quede más claro, vamos a concentrarnos en la primera parte de la gráfica, marcada en amarillo, en la figura 2, a medida que avanzo hacia adelante subo. Si esta idea la llevamos al plano cartesiano, cuando avanzo hacia adelante, los valores del eje 𝑥 están aumentando y al subir los valores del eje 𝑦 también aumentan, es decir, en esa zona, la función es creciente.

Llegamos a un punto, a partir del cual sucede otra cosa. Ahora seguimos avanzando hacia adelante, pero, ahora comenzamos a bajar, por lo tanto, los valores en el eje 𝑥 siguen aumentando y los valores del eje 𝑦 ahora están disminuyendo, por lo tanto, decimos que en esta zona la función es decreciente. Determinar los intervalos de crecimiento o decrecimiento, mediante la gráfica de la función, es algo relativamente sencillo, sin embargo, no siempre se cuenta con la gráfica de la función para determinar dichos intervalos. Por lo que, debemos utilizar una alternativa que nos permita realizar el mismo proceso a partir de la

expresión analítica de la función, para ello, la deriva de la función nos será de mucha ayuda. Observemos la siguiente figura

Se muestra la gráfica de una función que, si la leemos de izquierda a derecha, la gráfica de la función comienza a descender hasta llegar al punto 𝐷 y posteriormente comienza a ascender. De esto, debemos de destacar algo importante, se ha trazado una recta tangente por dicho punto y cómo podemos observar, la pendiente de la recta tangente es igual a cero. En la parte, en la cual la recta decrece, la pendiente de la recta tangente es negativa y en la parte donde la función crece la pendiente de la recta tangente es positiva. Recordemos que la pendiente de la recta tangente es igual a la derivada de la función, por consecuencia, la derivada de la función nos permitirá determinar donde la función crece, donde decrece y el punto donde da el cambio. Ello, nos permite establecer el siguiente resultado:

Ejemplo 1: Intervalos donde la función es creciente o decreciente. Determina los intervalos de crecimiento o de decrecimiento de la función 𝑓(𝑥) = 9 − 3𝑥!

Puntos máximos y mínimos de una función

1. Se dice que una función 𝑓(𝑥) tiene un máximo M en 𝑥 = 𝑥", si 𝑓(𝑥") > 𝑓(𝑥) para toda 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) 2. Se dice que una función 𝑓(𝑥) tiene un mínimo m en 𝑥 = 𝑥", si 𝑓(𝑥") < 𝑓(𝑥) para toda 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏)

Si 𝑓(𝑥) tiene un máximo o mínimo en 𝑥", entonces la pendiente de la recta tangente (derivada) en dicho punto es igual a cero.

Punto crítico El punto crítico de una función es donde el valor de la derivada es cero, gráficamente la tangente es una línea horizontal.

SI HAY PUNTO CRÍTICO, HAY MÁXIMO O MÍNIMO

Ejemplo 2: Calcular las coordenadas de los puntos máximos y mínimos de una función. Obtén las coordenadas de los puntos máximos y mínimos para la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥# − 3𝑥! + 15

Criterio de la segunda derivada para encontrar puntos máximos M y mínimos m 1. Dada 𝑦 = 𝑓(𝑥) con 𝒇´(𝒙𝟎) = 𝟎, si 𝒇´´(𝒙𝟎) > 𝟎, entonces el punto (𝑥", 𝑓(𝑥")) representa un mínimo. 2. Dada 𝑦 = 𝑓(𝑥) con 𝒇´(𝒙𝟎) = 𝟎, si 𝒇´´(𝒙𝟎) < 𝟎, entonces el punto (𝑥", 𝑓(𝑥")) representa un Máximo.

Concavidad y punto de inflexión

1. Una función es cóncava hacia arriba en un intervalo (𝑎, 𝑏) si para todo 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), 𝒇´´(𝒙𝟎) > 𝟎 2. Una función es cóncava hacia abajo en un intervalo (𝑎, 𝑏) si para todo 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), 𝒇´´(𝒙𝟎) < 𝟎 3. Una función tiene punto de inflexión en (𝑥", 𝑓(𝑥")) si 𝒇´´(𝒙𝟎) = 𝟎

Ejemplo 3: Usar criterio de la segunda derivada para determinar coordenadas de puntos máximos o mínimos, intervalos de concavidad y puntos de inflexión. Determina las coordenadas de los puntos máximos y mínimos, usando el criterio de la segunda derivada, así como los intervalos de concavidad y las coordenadas del punto de inflexión para la función 𝑓(𝑥) = (𝑥! − 1)!

Actividad 1 extra para practicar: Velocidades y aceleraciones instantaneas; Intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, criterio de la segunda derivada. Resuelve los siguientes ejercicios, se ordenado en tu procedimiento y resalta tu resultado, no olvides trabajar las unidades de manera correcta (m, m/s, etc).

Resuelve los siguientes ejercicios.