Universidade Federal do Maranhão - UFMA

Centro de Ciências Exatas e Tecnologia - CCET Departamento de Tecnologia Química - DETQI

Engenharia Química – EQ

Modelagem, Análise e Simulação de Processos

‘MASP’

Prof. J. C. S. CÂMARA BASTOS

Aplicações Exemplo1.1.1. Tempo de esvaziamento de um tanque por escoamento gravitacional

Dados:

Equação de Torricelli

Figura 1.1.1. Esvaziamento do tanque

Aplicação do princípio da conservação da massa

Entrada: 0 Saída: Acúmulo: Transformação: 0

Logo, o modelo fica: Então, A solução geral é expressa como → A solução particular, aplicando a condição inicial fica: onde:

Exemplo1.1.2. Tempo de enchimento de um tanque por bombeamento de fluido Balanços Diferenciais Hipóteses Simplificadoras Figura 1.1.2. Enchimento de um tanque cilíndrico

• No instante t = 0 , o tanque está vazio

• No t > 0 , o registro é aberto

• Num tempo suficientemente grande o tanque irá transbordar Q = Vazão volumétrica, (pode ser constante ou uma função do tempo) Aseção = Área da seção transversal = V = Volume =

Objetivos • tempo de enchimento • variação do nível “h” com o tempo Conservação da Massa Total → Balanço Diferencial Acúmulo de massa ocorrido em Entrada de massa no intervalo de tempo onde: Aplicando a conservação para

Observa-se a inexistência de saídas (enchimento do tanque) e transformações (não ocorre

reações químicas), portanto o balanço é escrito como:

Para que o modelo matemático tenha validade em qualquer instante “t”: Definindo a derivada, tem-se:

Equação Diferencial Ordinária de 1° Ordem • Equação Diferencial = equação que relaciona a variável dependente com suas variáveis

independentes por meio de suas derivadas. • Equação Diferencial Ordinária = a variável dependente é função de uma variável

independente. • Equação Diferencial Parcial = a variável dependente é função de mais de uma variável

independente. • Ordem = está relacionado com o grau da maior derivada.

Modelo Solução Matemática do Modelo Se e , então: → Logo, → (EDO 1° Ordem separável)

A solução particular é obtida a partir da aplicação da condição inicial, onde determina-

se o valor da constante da solução geral

Logo, a solução particular fica sendo:

Para o tempo de enchimento do tanque a equação resultante é:

Analisando a variação do nível do tanque com o tempo, chega-se:

→

portanto,

Relações Termodinâmicas Capacidades Caloríficas • (gases orgânicos) • (gases inorgânicos) Calor Latente de Vaporização Equações de Estado •Gás Ideal → •Equação do Virial em P onde: B’, C’ e D’ são constantes dependentes da temperatura

Virial apresentou duas equações de estado na forma de expressões em série de

potência: Virial em P (pressão) e Virial em V (volume).

Virial em V Definindo o fator de compressibilidade como sendo: Quando P → 0; As moléculas do sistema ficam mais separadas, o volume do

sistema aumenta, as forças de atração entre as moléculas são menores; acontecendo o

inverso quando V → 0.

Os termos estão relacionados as interações entre os pares de moléculas. Os termos estão relacionados as interações entre 3 moléculas. Os termos estão relacionados as interações entre 4 moléculas.

•Equação de Estado Cúbica, Van der Waals

onde:

•Equação de Estado de Peng-Robinson

onde:

Equilíbrio de Fases

O problema de equilíbrio de fases tem inúmeras aplicações na Engenharia

Química, principalmente no projeto, operação e controle de operações unitárias. Para os

sistemas heterogêneos e fechados, o equilíbrio é dado por: ou para um sistema com “n” componentes formando “π” fases, pode se escrever: (potencial químico)

No equilíbrio, especificamente “F” variáveis, pode-se calcular todas as variáveis do

sistema através da equação do potencial químico, para este fim necessita-se calcular o mesmo

através de propriedades experimentais do sistema: Fugacidade e Atividade.

Escrevendo a igualdade dos potenciais químicos através destas novas funções,

considerando-se duas fases 1 e 2 no equilíbrio tem-se: Definindo Fugacidade e Atividade relacionadas ao potencial químico: e onde: Fugacidade a partir de dados volumétricos a)Mistura de gases perfeitos b) Mistura de gases reais onde:

c)Equação de Clasius

e

onde:

d)Equação do Virial em P

onde:

portanto,

e)Fugacidade de Líquidos e Sólidos Puros

para a fase condensada

portanto,

À baixas pressões

Para a equação de Van der Waals Para a equação de Peng-Robinson

f)Equações para líquido-vapor em sistemas miscíveis

da definição de atividade

então,

onde:

Atividade Solução ideal, O coeficiente de atividade é definido por:

Perda de Carga e Fator de Atrito onde: • Equação de Fanning onde: portanto, • Equação de Darcy onde:

Perda de Carga e Fator de Atrito

• Para o escoamento laminar desenvolvido, a equação do movimento que pode ser utilizada

para resolução analítica é a de Hagen-Pousiville, dada como:

• E para regime turbulento a equação que pode ser utilizada é a de Coolebrook, dada como: