2010 D Da an ni ie el l J J. . M Ma ac ch ha ad do o, , P Ph h. .D D. . S SE ED DU UC CO ON N 1 16 6/ /4 4/ /2 20 01 10 0 MATEMTICA FINANCEIRA M MA AT TE EM M T TI IC CA A F FI IN NA AN NC CE EI IR RA A 2 Prof Daniel J. Machado, Ph.D.S SE ED DU UC CO ON N S Si is st te em ma as s e em m E Ed du uc ca a o o C Co on nt ti in nu ua ad da awww.seducon.com.brP PR RE EF F C CI IO O NestamaisrecenteversodaapostiladeMatemticaFinanceiracriadapeloProf.DanielJ.Machado,Ph.D. em 1997, quando lecionoupelaprimeiravezadisciplinaemumprograma dePs-graduao (lato sensu)na Universidade So Francisco, foi acrescentado um captulo sobre Capitalizao Contnua, exemplos de clculos nacalculadoraHP-12c,atualizadososvaloresdosexemploseexercciosmaiscondizentescomasituao econmicaatual,modificadoadiagramaoeapresentaodasfrmulas,tornando-asmaisclaras.Nofinal de cada captulo, segue uma lista de exerccios com respostas, para orientar o aluno no desenvolvimento das suas habilidades em Matemtica Financeira.Oconceitodeexplanaodecadacaptulobaseia-seemummnimodeteoriacomlinguagemsimples, apresentaodafamliadesolues,desenvolvendoafrmulaparaadeterminaodovalorprincipale variaes das frmulas para o clculo de todas as outras variveis, com exemplos resolvidos pelas frmulas e, nesta edio, pela calculadora financeira HP-12c. Aapostiladestina-sesdisciplinasdeMatemticaFinanceira,FinanasAplicadas,ValordoDinheirono Tempo e Engenharia Econmica em cursos de Graduao, Ps-graduao e MBA, nas reas de Administrao, Economia,Contabilidade,Direitoentreoutras.Almdoobjetivoacadmico,foidesenvolvidatambmpara pessoasquepretendemseaprimorarnoassunto,queumaferramentaessencialnavidaprofissionalde administradores,contadores,economistas,profissionaisdodireitoedasade,engenheirosequalquer profissionalquelidecomdinheiro.Fundamentalparatodasaspessoaspreocupadascomcontroledo oramento domstico, poupana, investimentos e previdncia, social, privada aberta ou fechada. M MA AT TE EM M T TI IC CA A F FI IN NA AN NC CE EI IR RA A 3 Prof Daniel J. Machado, Ph.D.S SE ED DU UC CO ON N S Si is st te em ma as s e em m E Ed du uc ca a o o C Co on nt ti in nu ua ad da awww.seducon.com.brS SU UM M R RI IO O PREFCIO .................................................................................................................................................................... 2 SUMRIO .................................................................................................................................................................... 3 INTRODUO .............................................................................................................................................................. 5 CAPTULO 1 CAPITALIZAO SIMPLES ...................................................................................................................... 6 1.1CONCEITO DE CAPITAL ........................................................................................................................................ 6 1.2CONCEITO DE JURO ............................................................................................................................................. 6 1.3CONCEITO DE TAXA DE JUROS ............................................................................................................................. 6 1.4CAPITALIZAO SIMPLES ..................................................................................................................................... 8 1.5EXERCCIOS JUROS E CAPITALIZAO SIMPLES ........................................................................................................ 10 CAPTULO 2 CAPITALIZAO COMPOSTA ............................................................................................................... 11 2.1CAPITALIZAO COMPOSTA ............................................................................................................................. 11 2.2EXERCCIOS CAPITALIZAO COMPOSTA ............................................................................................................... 12 2.3EQUIVALNCIA DE TAXAS .................................................................................................................................. 14 2.4EXERCCIOS EQUIVALNCIA DE TAXAS ................................................................................................................... 15 CAPTULO 3 DESCONTOS ........................................................................................................................................ 17 3.1CONCEITO DE DESCONTOS ................................................................................................................................ 17 3.2DESCONTO SIMPLES .......................................................................................................................................... 17 3.3EXERCCIOS DESCONTO SIMPLES ......................................................................................................................... 18 3.4DESCONTO COMPOSTO..................................................................................................................................... 19 3.5CONSIDERAES SOBRE O CONCEITO E CLASSIFICAO DOS DESCONTOS ...................................................... 20 3.6EXERCCIOS DESCONTO (POR FORA) SIMPLES OU BANCRIO E (POR DENTRO) ......................................................... 21 3.7ANLISE COMPARATIVA ENTRE JUROS SIMPLES, COMPOSTOS E DESCONTO SIMPLES .................................... 21 CAPTULO 4 CLASSIFICAO DAS TAXAS DE JUROS ................................................................................................ 22 4.1INTRODUO .................................................................................................................................................... 22 4.2TAXAS SIMPLES, COMPOSTA E DE DESCONTO ................................................................................................... 22 4.3TAXAS NOMINAL, EFETIVA E REAL ..................................................................................................................... 23 4.4TAXAS EQUIVALENTES (IQ) .................................................................................................................................. 25 4.5TAXAS PROPORCIONAIS (IP) ............................................................................................................................... 26 4.6TAXA OVER (IO) ................................................................................................................................................... 26 4.7TAXAS UNIFICADAS (IU) ...................................................................................................................................... 27 4.8TAXAS PROJETADAS (IP) ...................................................................................................................................... 27 4.9EXERCCIOS TAXAS DE JUROS .............................................................................................................................. 28 CAPTULO 5 SRIES DE PAGAMENTOS .................................................................................................................... 31 5.1FLUXO DE CAIXA ................................................................................................................................................ 31 5.2SRIES DE PAGAMENTOS ................................................................................................................................... 31 5.3OPERAES COM LEASING ................................................................................................................................ 35 5.4EXERCCIOS SRIE DE PAGAMENTOS ANTECIPADOS E POSTECIPADOS ............................................................................ 37 CAPTULO 6 SISTEMAS DE AMORTIZAO .............................................................................................................. 40 6.1SISTEMA DE AMORTIZAO FRANCS (PRICE) .................................................................................................. 40 6.2SISTEMA DE AMORTIZAO CONSTANTE (SAC) ................................................................................................ 42 6.3SISTEMA DE AMORTIZAO CRESCENTE (SACRE) ............................................................................................. 42 6.4EXERCCIOS SISTEMAS DE AMORTIZAO .............................................................................................................. 43 CAPTULO 7 ANLISES DE APLICAES FINANCEIRAS ............................................................................................. 45 7.1VALOR PRESENTE LQUIDO ................................................................................................................................ 45 7.2EXERCCIOS VALOR PRESENTE LQUIDO (VPL) ........................................................................................................ 46 7.3TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) ..................................................................................................................... 47 7.4EXERCCIOS TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) ...................................................................................................... 49 CAPTULO 8 CAPITALIZAO CONTNUA ................................................................................................................ 50 M MA AT TE EM M T TI IC CA A F FI IN NA AN NC CE EI IR RA A 4 Prof Daniel J. Machado, Ph.D.S SE ED DU UC CO ON N S Si is st te em ma as s e em m E Ed du uc ca a o o C Co on nt ti in nu ua ad da awww.seducon.com.brBIBLIOGRAFIA ........................................................................................................................................................... 51 FRMULAS ............................................................................................................................................................... 52 GLOSSRIO ............................................................................................................................................................... 56 M MA AT TE EM M T TI IC CA A F FI IN NA AN NC CE EI IR RA A 5 Prof Daniel J. Machado, Ph.D.S SE ED DU UC CO ON N S Si is st te em ma as s e em m E Ed du uc ca a o o C Co on nt ti in nu ua ad da awww.seducon.com.brI IN NT TR RO OD DU U O O O OB BJ JE ET TI IV VO O E E O OR RI IG GE EN NS S O OB BJ JE ET TI IV VO O D DA A M MA AT TE EM M T TI IC CA A F FI IN NA AN NC CE EI IR RA A Amatemticafinanceiratemcomoobjetivoestudarocomportamentodocapitalemfunodotempo,em resumo,podemosdizerqueamatemticafinanceiraestudaeanalisaastransformaesdoconjuntode entradas e sadas de dinheiro ao longo do tempo, denominado fluxo de caixa. O OR RI IG GE EN NS S D DO O S SI IS ST TE EM MA A F FI IN NA AN NC CE EI IR RO O OadventodasLeisns4.595/64e4.728/65marcaoinciodaestruturaoorgnicadosistemafinanceiro nacional, muitoemboragrandeparte desuasinstituiesjsefizessem presentesnomercado interno,seja delongatradio,sejaderecenteinovao.Atento,aprevalecentelinguagemdojurolimitava-sea especulaessobreosconceitosdedescontopordentroedescontoporforanasoperaescotidianas realizadaspelosestabelecimentosbancrios,eosefeitosderivadosdessadistinodicotmicasobretaxa nominal e taxa efetiva. Comosurtoinflacionrioqueganhounovompetoapartirdofimdadcadade50egrandeimpulsonos anos60,doiseventossuscitaramparticularnfaseaoutrosaspectosdaproblemticadataxadeJuro:a componentedoefeitoinflacionrionosrendimentosdeaplicaesfinanceiras,eapropensoparaas inversesdecurtssimoprazomotivandoaadoodefrmulasexponenciaisbaseadasnascapitalizaes diria do juro incidente nas operaes de crdito, ativas e passivas. Assim,aodetaxanominaletaxaefetivaacresceuaimportnciadadeterminaodataxarealdos rendimentosadequadaaosinflatoresconjunturaiscorrespondentesdesvalorizaodamoedanacional.A buscadeumataxaderendimentonasaplicaesalternativasdomercadopassouaexigirumasriede informaesfinanceirasquandoseprocuraorientarosinvestidoresnaescolhadasopes:ValorPresente, ValorFuturo,taxareal,equivalnciasdetaxas,deprazosedecapital,aspectostributrios,tudoisso motivado por alternativas geradas na competio que o fator inflacionrio trazia no seu bojo. Adisputadacaptaoedasaplicaestransferiu-setambmsinstituiesdecrditoondeadisciplina operacionalmandatria ea traduo contbil dos seus efeitos sobre o resultado peridico passarama exigir oempregodosmtodosmatemticosnasapropriaesenodeferimentodasreceitasedasdespesas inerentes s rendas e aos encargos financeiros oriundos das operaes diuturnas. Nessecontexto,fundamentou-seaimportnciadamatemticafinanceiracomoinstrumentoindispensvel aos operadores do mercado e aos tcnicos da administrao das instituies. M MA AT TE EM M T TI IC CA A F FI IN NA AN NC CE EI IR RA A 6 Prof Daniel J. Machado, Ph.D.S SE ED DU UC CO ON N S Si is st te em ma as s e em m E Ed du uc ca a o o C Co on nt ti in nu ua ad da awww.seducon.com.brC CA AP P T TU UL LO O 1 1 C CA AP PI IT TA AL LI IZ ZA A O O S SI IM MP PL LE ES S 1 1. .1 1C CO ON NC CE EI IT TO O D DE E C CA AP PI IT TA AL LEntende-seporcapital,dopontodevistadamatemticafinanceira,qualquervalorexpressoemmoedae disponvel em determinada poca. 1 1. .2 2C CO ON NC CE EI IT TO O D DE E J JU UR RO O Juroaremuneraodocapitalemprestado,podendoserentendido,deformasimplificada,comosendoo aluguelpagopelousododinheiro.Seporumladoexistempessoaseinstituiescomcapitalocioso,os emprestadoresderecursosporoutroladotemospessoaseinstituiesnecessitadasdecapitalpara desenvolver suasatividades,os tomadoresde recursos. Seromercado financeiro que irestabelecerum elo entre as duas partes, atravs de um leque de opes de investimentos e linhas de crdito. O possuidor de dinheiro ao se dispor emprestar, deve atentar para os seguintes fatores na avaliao da taxa de remunerao dos seus recursos: Risco: Probabilidade do tomador do emprstimo no resgatar o dinheiro. Despesas: Despesasoperacionais,contratuaisetributriasparaaformalizaodoemprstimoeefetivao da cobrana. Inflao: ndice de desvalorizao do poder aquisitivo da moeda previsto para o prazo do emprstimo. Spread: Margemde ganho oulucrofixadoem funodas demais oportunidades deinvestimentos; justifica-se pela privao, por parte do seu dono, da utilizao do capital.Portanto,areceitadejurosdevesersuficienteparacobrirorisco,asdespesas,aperdado poderaquisitivo docapitalemprestado,almdeproporcionarcertolucroaoseuaplicador.Entretanto,oqueocorreno mundo financeiro atual, que muitas aplicaes resultam em taxas negativas de juros, quando considerado o efeitoinflacionrio.Masnafaltademelhoropo,obviamenteomaisaconselhvelaplicarrecursoss taxasnegativasesofrerumpequenoprejuzo,doquedeixardeaplicarecomissosofrerumprejuzoainda maior. 1 1. .3 3C CO ON NC CE EI IT TO O D DE E T TA AX XA A D DE E J JU UR RO OS S Taxadejurosarazoentreosjurosrecebidosoupagosnofinaldecertoperododetempoeocapital inicialmenteaplicadoouemprestadoquedoravanterepresentaremospor"i".Paraestabelecerconceitos fundamentaisdosclculosfinanceiros,tomaremoscomopontodepartidaasoperaesfinanceirascom apenasdoiscapitaiseumanicacapitalizao.Paradesenvolvermosprocedimentosgeraisdeavaliao, denominaremos como: FVValor Futuro PVcapital inicial ou valor Presente Jjuros itaxa de juros Juros o resultado da diferena entre o valor inicial e o valor final de uma operao financeira: PV FV J = A taxa obtida da expresso: M MA AT TE EM M T TI IC CA A F FI IN NA AN NC CE EI IR RA A 7 Prof Daniel J. Machado, Ph.D.S SE ED DU UC CO ON N S Si is st te em ma as s e em m E Ed du uc ca a o o C Co on nt ti in nu ua ad da awww.seducon.com.brPVJi = E EX XE EM MP PL LO O 1 1. .3 3. .1 1: : Anselmo comprou 1.000 aes de uma empresa de comunicaes pagando R$ 28,55 por cada ao. Passado 118diasdadatadoseuinvestimento,AnselmoverificouqueacotaodestaaoeraR$30,10.Nesta operao,semconsideraroscustosdecorretagens,foramaplicadosR$28.550,00.Aps118dias,ovalor inicial da operao passou para R$ 30.100,00. Dados: PV = R$ 28.550,00FV = R$ 30.100,00 Soluo: Juros:00 , 550 . 1 $ 550 . 28 100 . 30 = = = PV FV JTaxa de juros:dias aosPVJi 118 % 43 , 5 0543 , 0550 . 28550 . 1= = = =Para expressar a taxa de juros em porcentagem, multiplicamos a taxa unitria por 100, obtendo-se:( )OOPVJi 100 = NA CALCULADORA FINANCEIRA HP-12c: ENTRA 30.10028.55028.550100 TECLAR ENTER-x VISOR30.100,001.550,000,055,43 Resposta: i = 5,43% aos 118 dias No exemplo apresentado a taxa de juros ser apresentada por 5,43% aos 118 dias. E EX XE EM MP PL LO O 1 1. .3 3. .2 2: : Qual a taxa de juros cobrada num emprstimo de R$ 100,00 a ser resgatado por R$ 140,00? Dados: Capital inicial: PV = R$ 100,00Valor Futuro: FV = R$ 140,00 Soluo: Juros: 00 , 40 $ 00 , 100 00 , 140 = = JTaxa: % 00 , 40 40 , 010040ou i = =NA CALCULADORA FINANCEIRA HP-12c: ENTRA 140100100100 TECLA ENTER-x VISOR140,0040,000,4040,00 Resposta: J = R$ 40,00; i = 40,0% Ataxadejurosde40%refere-seaoperododaoperaonoespecificadanoexemplo.Seoprazodessa operao for de um ms, a taxa de 40% am, se for de um ano, a taxa de 40% aa. Normalmente, a taxa de juros definida para certa unidade de tempo, como dia, ms, trimestre, ano, etc. DESIGNAO DOS PERODOS DAS TAXAS: Ao diaad Ao msam M MA AT TE EM M T TI IC CA A F FI IN NA AN NC CE EI IR RA A 8 Prof Daniel J. Machado, Ph.D.S SE ED DU UC CO ON N S Si is st te em ma as s e em m E Ed du uc ca a o o C Co on nt ti in nu ua ad da awww.seducon.com.brAo bimestreab Ao trimestreat Ao semestreas Ao anoaa 1 1. .4 4C CA AP PI IT TA AL LI IZ ZA A O O S SI IM MP PL LE ES S Noregimedecapitalizaosimples,osjurosgeradosacadaperodosocalculadossobreocapitalinicial empregado,noincidindo,portantosobreosjurosacumulados.Ataxavarialinearmenteemfunodo tempo,ouseja,sequisermosconverterumataxamensalemdiria,bastadividi-lapor30sequisermos converter a mensal em anual, basta multiplic-la por 12, e assim por diante. FVValor Futuro ou montante PVcapital inicial ou Valor Presente Jjuros istaxa de juros simples nprazo F FA AM M L LI IA A D DE E S SO OL LU U E ES S J PV FV ou n i PV FVs+ = + = ) 1 (( )J FV PV oun iFVPVs = +=1 n i PV J ou PV FV Js = =( )n PVJi ounPVFVis s==1 ( )s si PVJn ouiPVFVn==1 conveniente observar que os juros simples podem ser: EXATOS: Quandoseempregacomo unidade detempo,o calendriocivil, anocom365ou366dias, ms com 28, 29, 30 ou 31 dias, conforme o caso. ORDINRIOS: Quandoseempreganaunidadedetempoocalendriocomercial,anocom360diasemscom30dias. Vamos utilizar em nosso curso os juros ordinrios (ano comercial), por ser usual nas instituies financeiras. E EX XE EM MP PL LO O 1 1. .4 4. .1 1: : CalcularovalordosjurossimplesedomontantedeumcapitaldeR$20.000,00aplicadoaumataxade 150% aa por 218 dias. Dados: PV = R$ 20.000,00i = 150% aan = 218 dias M MA AT TE EM M T TI IC CA A F FI IN NA AN NC CE EI IR RA A 9 Prof Daniel J. Machado, Ph.D.S SE ED DU UC CO ON N S Si is st te em ma as s e em m E Ed du uc ca a o o C Co on nt ti in nu ua ad da awww.seducon.com.brSoluo: Se:ano n ou ad is6056 , 0360218% 41666 , 0360150= = = = Ento, Juros:67 , 166 . 18 $360218 50 , 1000 . 20 = = = n i PV Js Montante:67 , 166 . 38 $ 67 , 166 . 18 000 . 20 = + = + = J PV FVNA CALCULADORA FINANCEIRA HP-12c: ENTRAR 20.0001.521836020.000 TECLAR ENTERENTERxx+ VISOR20.000,001,50327,000,9118.166,6738.166,67 Resposta: J = R$ 18.166,67; FV = R$ 38.166,67 Pode-secalculartambmutilizandoasteclasapropriadasparacapitalizaosimples,desdequeataxade juros seja expressa ao ano, em porcentagem e o prazo em dias: NA CALCULADORA FINANCEIRA HP-12c: ENTRA 20.000150218 TECLA CHS; PVinf; INTx >