AP CN 2oSem 2007 Interpolacao

8/18/2019 AP CN 2oSem 2007 Interpolacao

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unesp CAMPUS DE GUARATINGUETÁ Computação e Cálculo Numérico: Elementos de Cálculo Numérico

Prof. G.J. de Sena - Depto. de Matemática – Rev. 2007

C APÍTULO 4

INTERPOLAÇÃO

4.1 INTRODUÇÃO

Considere a seguinte tabela relacionando calor específico da água(c) e temperatura (T):

T (oC) 25 30 35 40

c 0.99852 0.99826 0.99818 0.99828

Suponha se queira determinar:

(i) c para T = 32.5 oC

(ii) T para c = 0.99825

Este tipo de problema pode ser resolvido com a ajuda da interpolação. Interpolar umafunção f(x) consiste em "substituir" esta função por outra função, g(x), que é uma

aproximação da função dada.

Há a necessidade de se efetuar uma interpolação em várias situações, como por exemplo:

(a) quando a função é conhecida apenas em um conjunto finito e discreto de pontos, não se

dispondo de sua forma analítica;

(b) quando a forma analítica da função é tal que operações como a diferenciação e a

integração são difíceis (ou mesmo impossíveis) de serem realizadas.

4.2 PROBLEMA GERAL DE INTERPOLAÇÃO

Sejam n x x x ,,, 10 , )1( +n pontos distintos, chamados pontos de interpolação e sejam)(,),(),( 10 n x f x f x f os valores de )( x f nesses pontos.

Objetiva-se obter uma função de interpolação g(x) para a função f(x), a partir dos pontos de

interpolação, com a condição de que os valores numéricos de f e g sejam coincidentes

nesses pontos de interpolação, ou seja:

)()(),()(),()( 1100 nn x f xg x f xg x f xg ===


2/27

74

Graficamente:

Obs.:(a) A função g(x) pode pertencer à classe das funções exponenciais, logarítmicas,

trigonométricas ou polinomiais;

(b) Para o caso da interpolação polinomial, há as formas dadas, por exemplo, pela

fórmula de Taylor e pelos polinômios de Hermite, em que as condições de

interpolação são outras.

4.3 INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL

4.3.1 EXISTÊNCIA E UNICIDADE DO POLINÔMIO INTERPOLADOR

Dados os pontos ))(,(,)),(,()),(,( 1100 nn x f x x f x x f x , portanto 1+n pontos, queremos

aproximar ( ) x f por um polinômio de grau ( ) xPn n,≤ , tal que:

( ) ( ) nk xP x f k nk ,...,2,1,0==

Dado que ( ) xPn é da forma

nn xa xa xaa ++++ ...

2

210

obter ( )P xn significa obter os coeficientes

naaaa ,...,,, 210

Da condição ( ) ( )k k n x f xP = , obtém-se o sistema linear:


3/27

75

( )

( )

( )

=++++

=++++

=++++

+

nnnnnn

nn

nn

n

x f xa xa xaa

x f xa xa xaa

x f xa xa xaa

S

2

210

11

2

12110

00

2

02010

1

com n+1 equações e n+1 variáveis: naaa ,,, 10 .

A matriz A dos coeficientes:

=

nn

n

n

nn x

x

x

x x

x x

x x

A

1

0

2

2

11

2

00

1

1

1

é uma matriz de Vandermonde. Portanto, desde que x0, x1, ..., xn sejam pontosdistintos, tem-se que det A ≠ 0 e que o sistema admite solução única.

Concluindo: se x x j k k j≠ ≠, , então existe um único polinômio )( xPn , de grau ≤ n, tal

que nk x f xP k k n ,...,2,1,0),()( == .

Exemplo: Obter um polinômio de grau ≤ 2 que interpole os pontos da tabela

x 1.0 1.1 1.2

f(x) 2.718 3.004 3.320

Determinar o valor aproximado de f(1.05)

Solução:

Forma do polinômio:2

212 )( xa xaa xP o ++=

Condição de interpolação:

2,1,0)()(2 == k x f xP k k

320.3)2.1()2.1()2.1()2.1()(

004.3)1.1()1.1()1.1()1.1()(

718.2)0.1()()0.1()(

2

210222

2

210212

0210202

==++==

==++==

===++==∴

f aaaP xP

f aaaP xP

f x f aaaP xP

Os coeficientes ao, a1 e a2 são obtidos, portanto, da solução do sistema:


4/27

76

=++

=++

=++

320.3a44.1a2.1a

004.3a21.1a1.1a

718.2aaa

:S

210

210

210

3

Usando o dispositivo prático para o método de eliminação de Gauss, obtém-se:

a0 a1 a2

1

1

1

1

1.1

1.2

1

1.21

1.44

2.718

3.004

3.320a 2

0003

000215= =

.

..

0.1

0.2

0.21

0.44

0.286

0.60229.0

1.0

)5.1)(21.0(286.0a

1

−=−

=

0.002 0.003 a0 = 2.718 - 1.5 + 0.29 = 1.508

2

2 5.129.0508.1)( x x xP +−=∴

85725.2)05.1)(5.1()05.1)(29.0(508.1)05.1()05.1(2

2 =+−=≅ P f

Obs.: sabendo-se que xe x f =)( , tem-se que 8576511.2)05.1( 05.1 == e f

A matriz A dos coeficientes pode ser, no caso geral, mal condicionada. Portanto, não será

sempre conveniente obter o polinômio de interpolação da forma indicada no exemplo.

4.3.2 OBTENÇÃO DE )( xPn - FORMA DE LAGRANGE

Sejam n x x x ,,, 10 , )1( +n pontos distintos, e )( ii x f y = , ni ,,2,1,0 = . Seja )( xPn o

polinômio de grau ≤ n que interpola f em n x x x ,,, 10 . Supor que )( xPn é da forma:

)(...)()()( 1100 x L y x L y x L y xP nnn +++=

onde cada ),...,2,1,0(),( nk x Lk = , é um polinômio de grau ≤ n.

Da condição de interpolação:

iin y xP =)( vem que iinnii y x L y x L y x L y =+++ )(...)()( 1100

Esta condição será satisfeita se se impuser:


5/27

77

≠

==

ik se

ik se x L ik

,0

,1)(

o que é obtido com a seguinte definição de Lk (x):

))...()()...()((

))...()()...()(()(

1110

1110

nk k k k k k k

nk k k x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x L

−−−−−

−−−−−=

+−

+−

pois:

k ise x L

e x L

ik

k k

≠=

=

0)(

1)(

Como Lk (x) tem n fatores da forma (x - xi), )( x Lk é um polinômio de grau n. Assim,

)( xPn é um polinômio de grau ≤ n.

Esta é a f orma de Lagrange para o polinômio interpolador:

=

=

n

k k k n x L y xP

0

)()( onde

)(

)(

)(

0

0

ik

n

k ii

i

n

k ii

k

x x

x x

x L−

−

=

≠

=

≠

=

π

π

Exemplo:Seja )( x f y = uma função definida através da tabela a seguir. Para esta função pede-se,utilizando a forma de Lagrange, com interpolação quadrática:

(a) O valor aproximado para )05.1( f ;

(b) O polinômio de interpolação na forma 22102 )( xa xaa xP ++= .

x 1.0 1.1 1.2

f(x) 2.718 3.004 3.320

Resolução:

(a) )()()()( 2211002 x L y x L y x L y xP ++=

)2.10.1)(1.10.1(

)2.1)(1.1(

))((

))(()(

2010

210

−−

−−=

−−

−−=

x x

x x x x

x x x x x L

)2.10.1)(1.10.1(

)2.105.1)(1.105.1()05.1(0

−−

−−= L

)2.11.1)(11.1(

)2.1)(1(

))((

))(()(

2101

201

−−

−−=

−−

−−=

x x

x x x x

x x x x x L

)2.11.1)(11.1(

)2.105.1)(105.1()05.1(1

−−

−−= L


6/27

78

)1.12.1)(12.1(

)1.1)(1(

))((

))(()(

1202

102

−−

−−=

−−

−−=

x x

x x x x

x x x x x L

)1.12.1)(12.1(

)1.105.1)(105.1()05.1(2

−−

−−= L

)05.1(32.3)05.1(004.3)05.1(718.2)05.1()05.1( 2102 L L LP f ++=≅

375.0)2.10.1)(1.10.1(

)2.105.1)(1.105.1()05.1(0 =

−−

−−= L

75.0)2.11.1)(11.1(

)2.105.1)(105.1()05.1(1 =

−−

−−= L

125.0)1.12.1)(12.1(

)1.105.1)(105.1()05.1(2 =

−−

−−= L

85725.2)125.0(32.375.0004.3375.0718.2)05.1(2 =−×+×+×=∴ P

(b) Obtenção de 22102 )( xa xaa xP ++=

)()()()( 2211002 x L y x L y x L y xP ++=

6611550)2.10.1)(1.10.1(

)2.1)(1.1()(

2

0 +−=−−

−−= x x

x x x L

120220100)2.11.1)(11.1(

)2.1)(1()(

2

1 −+−=−−

−−= x x

x x x L

5510550)1.12.1)(12.1(

)1.1)(1()(

2

2 +−=−−

−−= x x

x x x L

)5510550(320.3)120220100(004.3)6611550(718.2)(222

2 +−+−+−++−=∴ x x x x x x xP

= − +P x x x2215 0 29 1508( ) . . .

Observação:

320.3508.1)2.1)(29.0()2.1)(5.1()2.1(

004.3508.1)1.1)(29.0()1.1)(5.1()1.1(

718.2508.1)1)(29.0()1)(5.1()0.1(

2

2

2

2

2

2

=+−=

=+−=

=+−=

P

P

P

Exemplo: (interpolação linear)(a) Obter, utilizando a forma de Lagrange, o polinômio P1 (x) que interpole os pontos

))(,( 00 x f x e ))(,( 11 x f x .

(b) Comparar com a equação da reta que passa por estes pontos.

Resolução:

(a) )()()( 11001 x L y x L y xP += x 0 x 1 x

f(x)o y 1 y


7/27

79

L xx x

x x0

1

0 1

( )( )

( )=

−

− L x

x x

x x1

0

1 0

( )( )

( )=

−

−

ba

x x

x y x y x x x

y y

x x

x x y x x

x x y x x

x x y x x

x x y xP )(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)()(

01

0110

01

01

01

01

01

10

01

01

10

101−

−

+−

−

=−

−

+−

−

=−

−

+−

−

=∴

(b)

0

01

01

01 )(

x x

y xP

x x

y ytg

−

−=

−

−=α 00

01

011 )(

)(

)()( y x x

x x

y y xP +−

−

−=

)(

)()(

)(

)()(

01

001010

01

011 x x

y x x x y y x

x x

y y xP

−

−+−+

−

−=

ba

x x

x y x y x

x x

y y xP

)(

)(

)(

)()(

01

0110

01

011

−

−+

−

−=

Exemplo:Seja a função )( x f y = conhecida apenas nos pontos tabelados:

x 0 0.1 0.3 0.6 1

f(x) 1 2.001 4.081 8.296 21

Determinar o valor aproximado para )20.0( f aplicando-se a fórmula de Lagrange

Resolução:

( ) +−−−−

−−−−+

−−−−

−−−−=

++++=

)11.0)(6.01.0)(3.01.0)(01.0(

)1)(6.0)(3.0)(0()001.2(

)10)(6.00)(3.00)(1.00(

)1)(6.0)(3.0)(1.0(1

)()()()()()( 44332211004

x x x x x x x x

x L y x L y x L y x L y x L y xP

( ) ( )

( ))6.01)(3.01)(1.01)(01(

)6.0)(3.0)(1.0)(0(21

)16.0)(3.06.0)(1.06.0)(06.0(

)1)(3.0)(1.0)(0(296.8

)13.0)(6.03.0)(1.03.0)(03.0(

)1)(6.0)(1.0)(0(081.4

−−−−

−−−−

+−−−−

−−−−+

−−−−

−−−−

x x x x

x x x x x x x x


8/27

80

016.3)6.01)(3.01)(1.01(

)6.02.0)(3.02.0)(1.02.0)(2.0()21(

)16.0)(3.06.0)(1.06.0)(6.0(

)12.0)(3.02.0)(1.02.0(2.0()296.8(

)13.0)(6.03.0)(1.03.0)(3.0(

)12.0)(6.02.0)(1.02.0)(2.0()081.4(

)11.0)(6.01.0)(3.01.0)(1.0(

)12.0)(6.02.0)(3.02.0)(2.0()001.2(

)6.0)(3.0)(1.0(

)12.0)(6.02.0)(3.02.0)(1.02.0(

)20,0()20,0( 4

=−−−

−−−

+−−−

−−−+

−−−

−−−

+−−−

−−−+

−−−−=

=≅∴ P f

016.3)20,0( ≅∴ f

Exercício: Usar a forma de Lagrange para obter um polinômio de grau ≤ 3 que interpole os pontos

da tabela:

x 0 1 3 4

f(x) -5 1 25 55

Calcular )4()3(),1(),0( 3333 PePPP , utilizando Briot-Ruffini.

Resp.: 572)(23

3 −+−= x x x xP

Exercício: Seja a função )( x f y = conhecida apenas nos pontos tabelados:

x 0 0.2 0.4 0.5

f(x) 0 2.008 4.064 5.125

Determinar o valor aproximado para f(0.3) aplicando-se a fórmula de Lagrange.

4.3.3 OBTENÇÃO DE )( xPn - FORMA DE GREGORY - NEWTON PARA O

POLINÔMIO INTERPOLADOR

4.3.3.1 TABELA DE DIFERENÇAS FINITAS

Definição: Sejam ,,, 210 x x x pontos que se sucedem com passo h, isto é, jh x x j += 0 . Define-se o

operador de diferenças finitas como segue:


9/27

81

)()()(

)()()(

)()()(

)()(

11

2

0

x f h x f x f

x f h x f x f

x f h x f x f

x f x f

nnn −−∆−+∆=∆

∆−+∆=∆

−+=∆

=∆

Conhecidos os valores de )( x f em n x x x x ,,, 210 , constrói-se a seguinte tabela dediferenças finitas:

x f(x) ∆∆∆∆f(x) ∆∆∆∆2f(x)

0 x f(x0)

∆f(x0)

1 x f(x1) ∆2f(x0)

∆f(x1) ...

2 x f(x2) ∆2f(x1)

∆f(x2)

3 x f(x3)

Exemplo: Seja f(x) dada na forma tabular:

x -1 0 1 2 3

f(x) 2 1 2 5 10

A tabela de diferenças finitas para esta função é mostrada a seguir:

x f(x) ∆f(x) ∆2f(x) ∆3f(x) ∆4f(x)

-1 2

-10 1 2

1 0

1 2 2 0

3 0

2 5 2

5

3 10


10/27

82

4.3.2 O POLINÔMIO DE INTERPOLAÇÃO

Estabelece-se a seguinte forma para o polinômio de interpolação (forma de Gregory-Newton):

!.

)())...()((...

2

)())((

)()()()( 01102

0

2

100

00 nh

x f x x x x x x

h

x f x x x x

h

x f x x x f xP

n

n

nn

∆−−−++

∆−−+

∆−+=

−

Observar que os pontos de interpolação devem ser igualmente espaçados (por um valor de“passo” h).

Exemplo: Para os dados da função f(x), apresentada abaixo na forma tabular a seguir, pede-se obter,

usando a forma de Gregory-Newton:

a) Uma aproximação para f(1.05)

b) O polinômio )(2 xP que interpola f(x)

x 1.0 1.1 1.2

f(x) 2.718 3.004 3.320

Solução:(a) Construção da tabela das diferenças finitas

x f(x) ∆f(x) ∆2f(x)

x0 =

1

2.718

0.286

1.1 3.004 0.03

0.316

1.2 3.320

2

0

2

100

0022

)())((

)()()()(

h

x f x x x x

h

x f x x x f xP

∆−−+

∆−+=

2.)1.0(

03.0)1.1)(1(

1.0

286.0)1(718.2)(

22 −−+−+=∴ x x x xP

2.)1.0(

03.0)1.105.1)(105.1(

1.0

286.0)105.1(718.2)05.1()05.1(

22 −−+−+=≅ P f

85725.2)05.1( ≅ f


11/27

83

(b) obtenção de P2(x):

2.)1.0(

03.0

)1.1)(1(1.0

286.0

)1(718.2)( 22 −−+−+= x x x xP

)65.186.2718.2()15.386.2(5.1)(

)1.11.2(5.186.286.2718.2)(

2

2

2

2

+−+−+=

+−+−+=

x x xP

x x x xP

508.129.05.1)( 22 +−= x x xP

Exemplo: Dada a função )( x f y = , conhecida pelos pontos da tabela abaixo, obter umaaproximação para )25.0( f , empregando a fórmula de Gregory-Newton com:

a) Interpolação linear b) Interpolação quadrática

x 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50

f(x) 0.125 0.064 0.027 0.008 0.001

Resolução:(a) Construção da tabela de diferenças finitas:

x f(x) ∆f(x) ∆2f(x) ∆3f(x) ∆4f(x)

0.10 0.125

-0.061

0.20 0.064 0.024

-0.037 -0.006

0.30 0.027 0.018 0.000

-0.019 -0.006

0.40 0.008 0.012

-0.007

0.50 0.001

Obtenção de uma aproximação para )25.0( f utilizando interpolação linear ( )(1 xP ):

x f(x) ∆f(x)

=0 x 0.20 0.064

-0.037

0.30 0.027


12/27

84

O passo h corresponde ao espaçamento entre os pontos, ou seja, 10.020.030.0 =−=h .

h

x f

x x x f xP

)(

)()()(0

001

∆

−+= 1.0

)037.0(

)20.0(064.0)(1−

−+= x xP

1.0

)037.0()20.025.0(064.0)25.0()25.0( 1

−−+=≅ P f 0455.0)25.0( ≅ f

(b) Obtenção de uma aproximação para )25.0( f com interpolação quadrática ( )(2 xP ):

x f(x) ∆f(x) ∆2f(x)

=0 x 0.10 0.125

-0.0610.20 0.064 0.024

-0.037

0.30 0.027

2

0

2

100

0022

)())((

)()()()(

h

x f x x x x

h

x f x x x f xP

∆−−+

∆−+=

10.010.020.020.030.0 =−=−=h .

22

)10.0)(2(

024.0)2.0)(1.0(

10.0

)061.0()1.0(125.0)( −−+

−−+=∴ x x x xP

2

05.015.015.0

2)10.0)(2(

024.0)02.025.0)(10.025.0(

10.0

)061.0()10.025.0(125.0)25.0()25.0(

−−+

−−+=≅ P f

0425.0)25.0( ≅∴ f

Observe-se que poderiam também ser utilizados os pontos a seguir, para a obtenção de

)(2 xP :

x f(x) ∆f(x) ∆2f(x)

0.20 0.064-0.037

0.30 0.027 0.018

-0.019

0.40 0.008

22 )10.0)(2(

018.0)30.0)(20.0(

10.0

)037.0()20.0(064.0)( −−+

−−+= x x x xP


13/27

85

22 )10.0)(2(

018.0)30.025.0)(20.025.0(

10.0

)037.0()20.025.0(064.0)25.0()25.0( −−+

−−+=≅ P f

04325.0)25.0( ≅∴ f

Exercício: dada a função )( x f y = , conhecida pelos pontos da tabela abaixo, calcularuma aproximação para f(3.7), empregrando a fórmula de Gregory-Newton.

x 1 2 3 4 Obs.:

f(x) 0 0.6931 1.0986 1.3863 f(x) = ln x

Exercício: obter, usando a fórmula de Gregory-Newton, uma aproximação para f(0.7),

onde f é uma função conhecida apenas nos pontos tabelados a seguir:

x 0 0.5 1 1.5 2.0

f(x) 0.0 1.1487 2.7183 4.9811 8.3890

4.3.4 OBTENÇÃO DE )( xPn - FORMA DE NEWTON COM DIFERENÇAS

DIVIDIDAS

4.3.4.1 TABELA DE DIFERENÇAS DIVIDIDAS

Definição:

Seja )( x f y = uma função tabelada em ( )1 ,,,, 10 +n x x x n pontos distintos. Define-se o

operador de diferenças divididas como segue:

( )

[ ] [ ] [ ] ( ) ( )

01

01

01

0110

00

,

x x

x f x f

x x

x f x f x x f

x f x f

−

−=

−

−=

=

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

03

2103213210

02

1021210

,,,,,,,

,,,,

x x

x x x f x x x f x x x x f

x x

x x f x x f x x x f

−

−=

−

−=

[ ] [ ] [ ]

0

11021210

,,,,,,,,,,

x x

x x x f x x x f x x x x f

n

nnn

−

−=

−


14/27

86

Define-se [ ]k x x x f ,,, 10 como sendo a diferença dividida de ordem k da função f(x)

sobre os (k+1) pontos: k x x x ,,, 10

Tabela de diferenças divididas

Conhecidos os valores de )( x f y = em ,,,, 10 n x x x , constrói-se a seguinte tabela de

diferenças divididas.

x ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3 ... ordem n

0 x [ ]f x 0

[ ]f x x0 1,

1 x [ ]f x1 [ ]f x x x0 1 2, ,

[ ]f x x1 2, [ ]f x x x x0 1 2 3, , ,

2 x [ ]f x 2 [ ]f x x x1 2 3, ,

[ ]f x x2 3, [ ]f x x x x1 2 3 4, , ,

3 x [ ]f x 3 [ ]f x x x2 3 4, ,

[ ]f x x3 4, [ ]f x x x xn0 1 2, , , ,

4 x [ ]f x 4

[ ]f x x x xn n n n− − −3 2 1, , ,

[ ]f x x xn n n− −2 1, ,

[ ]f x xn n−1 ,

n x [ ]f x n

Exemplo: Construir a tabela de diferenças divididas para a função f( x ) tabelada a seguir:

x -1 0 1 2 3

f(x) 1 1 0 -1 -2

Resolução:


15/27

87

x ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3 ordem 4-1 1

( )1 1

0 10−

− −=

0 1( )

− −

− −= −

1 0

1 1

1

2

0 1

1 01

−

−= − ( )

( )

0 1 2

2 1

1

6

− −

− −=

1 0 ( )− − −

−=

1 1

2 00

( )

0 1 6

3 1

1

24

−

− −= −

− −

−= −

1 0

2 11

0 0

3 00

−

−=

2 -1 ( )− − −

−=

1 1

3 10

( )− − −

−= −

2 1

3 21

3 -2

4.3.4.2 FORMA DE NEWTON PARA O POLINÔMIO INTERPOLADOR

A forma de Newton para o polinômio )( xPn que interpola f(x) em ,,,, 10 n x x x )1( +n pontos distintos, é a seguinte:

( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) [ ]

( )( ) ( ) [ ]nn

n

x x x f x x x x x x

x x x f x x x x x x f x x x f xP

,,,

,,,

10110

210101000

−−−−+

+−−+−+=

Exemplo: Obter, utilizando a forma de Newton com diferenças divididas, o polinômio)(2 xP que interpola )( x f y = nos pontos dados abaixo:

x 1.0 1.1 1.2

f(x) 2.718 3.004 3.320

Resolução:

(a) Tabela das diferenças divididas

x ordem 0 ordem 1 ordem 21.0 2.718

86.20.11.1

718.2004.3=

−

−

1.1 3.004 3 16 2 86

1 2 1 01 5

. .

. ..

−

−=

16.31.12.1

004.3320.3=

−

−

1.2 3.320


16/27

88

(b) Obtenção de )(2 xP :

( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) [ ]

( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) 508.129.05.1

65.115.35.186.286.2718.2=5.11.1186.21718.2

,,,

2

2

2

2

2101010002

+−=

+−+−+−−+−+=

−−+−+=

x x xP

x x x x x x xP

x x x f x x x x x x f x x x f xP

Exemplo:Dada a função )( x f y = , conhecida pelos pontos da tabela abaixo, obter uma aproximaçãopara )25.0( f , através da fórmula de Newton (com diferenças divididas), utilizando:

a) Interpolação linear

b) Interpolação quadrática

x 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50f(x) 0.125 0.064 0.027 0.008 0.001

Resolução:

(a) Aproximação com interpolação linear:

Construção da tabela de diferenças divididas:

x ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3 ordem 4

0.10

0.125 10.6−=

−

−

10.020.0

125.0064.0

0.20 0.064 ( ) 1.2=−

−−−

10.030.0

61.037.0

37.020.030.0

064.0027.0−=

−

−

0 9 1 2

0 40 0 10

. .

. .

−

−= −1

0.30 0.027 ( )− − −−

=0 19 0 37

0 0 200 9

. .

.40 .. ( )− − −

−=

1 1

0 50 0 10. .0

19.030.040.0027.0008.0 −=

−

− 0 6 0 90 50 0 201. .

. .

−

−= −

0.40 0.008 ( )− − −−

=0 07 019

0 50 0 300 6

. .

. ..

07.040.050.0

008.0001.0−=

−

−

0.50 0.001

Obtenção de )(1 xP :


17/27

89

x ordem 0 ordem 1

=0 x 0.20 0.064-0.37

0.30 0.027

( ) ( ) ( ) [ ] )37.0)(20.0(064.0, 10001 −−+=−+= x x x f x x x f xP

( ) )37.0)(20.025.0(064.025.0)25.0( 1 −−+=≅ P f 0455.0)25.0( ≅∴ f

(b) Aproximação com interpolação quadrática:

x ordem 0 ordem 1 ordem 2

=0 x 0.20 0.064

-0.37

0.30 0.027 0.9

-0.19

0.40 0.008

( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) [ ]2101010002 ,,, x x x f x x x x x x f x x x f xP −−+−+=

( ) ( ) ( )( ) .9)0(30.020.0)37.0(20.0064.02 −−+−−+=∴ x x x xP ( ) ( ) ( )( ) .9)0(30.025.020.025.0)37.0(20.025.0064.025.0)25.0( 2 −−+−−+=≅ P f 04325.0)25.0( ≅ f

4.3.4.3 ESTUDO DO ERRO NA INTERPOLAÇÃO

Ao se aproximar uma função )( x f y = por um polinômio interpolador de grau ≤ n comete-se um erro, ou seja:

( ) ( ) ( ) [ ]nnn x x x xP x f xE , , 0∈∀−=

Teorema 1: Sejam ( )1 ,210 +


18/27

90

Observe-se que a fórmula anterior para ( ) xE n tem uso limitado na prática, dado que são

raras as situações em que conhecemos ( ) )(1 x f n + e que o ponto xε nunca é conhecido.

Teorema 2:

[ ]( )( )

( ) ( ) ( )n xn

xn

n x x x x xn

f x x x x f ,e,,

!1,,,, 00

1

10 ∈∈+

=

+

ε ε

Observe-se que este teorema mostra a relação existente entre a diferença dividida de ordem

( )1+n e a derivada de ordem ( )1+n .

Corolário 1:

Sob as hipóteses do Teorema 1, e se( )

( ) x f n 1+

for contínua em [ ],,0 n x x I = pode-se escrevera seguinte relação:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )!1

110

+−−−≤−=

+

n

M x x x x x x xP x f xE nnnn

onde ( )( ) x f máx M n

I xn

1

1 +

∈+

=

Se a função )( x f y = é dada na forma de uma tabela, o valor absoluto do erro, ( ) , xE n

somente pode ser estimado. Se construirmos a tabela de diferenças divididas até ordem

)1( +n , podemos usar o maior valor (em módulo) das diferenças divididas de ordem (n+1)

como uma aproximação para( )!1

1

+

+

n

Mn no intervalo [ ],, no x x ou seja:

( ) ( )( ) ( ) ( )1+nordemdedivididas10 diferenças Max x x x x x x xE nn ×−−−≅

Exemplo: Seja )( x f y = dada na forma tabelar:

x 0.2 0.34 0.4 0.52 0.6 0.72

f(x) 0.16 0.22 0.27 0.29 0.32 0.37

Para esta função, pede-se obter:

(a) Uma aproximação para f(0.47) utilizando um polinômio de grau 2 (interpolação

quadrática), a partir da forma de Newton com diferenças divididas.

(b) Obter uma estimativa para o erro incorrido com esta aproximação.

Resolução:

(a) Tabelas de diferenças divididas


19/27

91

x ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 30.2 0.16

0.4286

0.34 0.22 2.02350.8333 -17.8963

=0 x 0.4 0.27 -3.7033

0.1667 18.2492=1 x 0.52 0.29 1.0415

0.375 -2.6031

=2 x 0.6 0.32 0.2085

0.4167

0.72 0.37

( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) [ ] =−−+−+= 2101010002 ,,, x x x f x x x x x x f x x x f xP

( )( ) ( )( )( )0415.152.04.00.16674.027.0 −−+−+ x x x

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) 2780.047.0

0415.152.047.04.047.00.16674.047.027.047.047.0 2

≅∴

−−+−=≅

f

P f

(b) ( ) ( )( ) ( ) ( )1+nordemdedivididas10 diferenças Max x x x x x x xE nn ×−−−≅

( ) ( )( )( ) 3ordem divididas2102 diferenças Max x x x x x x xE ×−−−≅

( ) ( )( )( ) ( )

( ) 32

2

10303.847.0

2492.186.047.052.047.04.047.047.0

−≅∴

−−−≅

xE

E

4.3.5 INTERPOLAÇÃO INVERSA

Dada a Tabela:

x 0 x 1 x 2 x … n x

)( x f )( 0 x f )( 1 x f )( 2 x f … )( n x f

o problema de Interpolação Inversa consiste em, dado ( ) ( )( )no x f x f , y ∈ , obter

( ) .xquetalx y f =

FORMAS DE SE RESOLVER ESTE PROBLEMA

(I) Obter )( xPn que interpole )( x f y = em ,,,, 10 n x x x e em seguida encontrar

( ) yPn =xquetalx

Exemplo:Dada a tabela a seguir, encontrar uma aproximação x para x tal que 2)( = x f .


20/27

92

x 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

f(x) 1.65 1.86 2.01 2.23 2.46 2.72

Utilizando interpolação quadrática sobre 8.0e,7.0,6.0 21 === x x xo

Resolução:

Tabela de Diferenças Divididas

x ordem 0 ordem 1 ordem 20.5 1.65

2.1

0.6 1.86 -31.5

0.7 2.01 3.52.2

0.8 2.23 2.0

2.3

0.9 2.46 1.5

2.6

1.0 2.72

Polinômio de Interpolação

( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) [ ]2101010002 ,,, x x x f x x x x x x f x x x f xP −−+−+=

( ) ( )( ) ( )( )( ) 43.205.35.35.37.00.6-x+5.16.0+1.86= 22 +−=−− x x x x xP

( ) ( )

043.0x05.3x5.30.243.2x05.3x5.3

2x0.2x

22

2

=+−=+−∴

≅= f P

177.0xou6945.0x == ∴ 6945.0x = (pois )7.0,6.0(6945.0x ∈= ).

(II) Interpolação Inversa

Se )( x f y = for inversível num intervalo contendo y então fazemos a interpolação de

( ) ( ) yg y f x == −1 .

Uma condição para que uma função contínua num intervalo [a, b] seja inversível é que seja

monótona crescente (ou decrescente) neste intervalo. Se )( x f é dada na forma tabelar,supondo que )( x f y = seja contínua em ( ) ( ) x f x x no ,, será considerada monótona

crescente se ( ) ( ) ( )no x f x f x f > 1 .

Exemplo:Para os dados do exemplo anterior, encontrar x tal que ( ) :2xf = , através de interpolaçãoinversa, utilizando interpolação quadrática. Estimar o erro incorrido com esta aproximação.


21/27

93

Resolução:Tabela de diferenças divididas:

y ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3 1,65 0,5

0,4762

=0 y 1,86 0,6 0,5291

0,6667 -1,9007

=1 y 2,01 0,7 -0,5733

0,4545 0,8823

=2 y 2,23 0,8 -0,0439

0,4348 -0,0823

2,46 0,9 -0,1024

0,3846

2,72 1

Obtenção de x (interpolação inversa):( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) [ ]21112 ,,, y y yg y y y y y yg y y yg yP ooooo −−+−+=

( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( ) ( )( )( )

6941.0

6941.0=5733.001.2286.126667.086.126.000.2

5733.001.286.16667.086.16.0

2

2

=∴

−−−+−+=∴

−−−+−+=∴

x

P

y y y yP

Estimativa do erro na aproximação:

( ) ( )( ) ( ) ( )1+nordemdedivididas10 diferenças Max y y y y y y yE nn ⋅−−−≅

( ) ( )( )( ) 3ordem divididas2102 diferenças Max y y y y y y yE ⋅−−−≅

( ) ( )( )( )( ) ( ) 0.00061200.29007.123.200.201.200.286.100.200.2 22 ≅−−−≅ E E

Exercício:Seja a Tabela:

x 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40

f(x) 0.12 0.16 0.19 0.22 0.25 0.27

Usando um polinômio interpolador de grau 2, trabalhe de dois modos diferentes para obtero valor estimado de x para o qual f(x) = 0.23. Dê uma estimativa do erro cometido em cada

caso, se possível.

Resp.: (I) 0.3166666 (II) 0.3166666; 310666664.1 −≅ xerro

Exercício:Construa uma tabela para a função f(x) = cos(x) usando os pontos: 0.8, 0.9, 1.0, 1.1, 1.2,

1.3. Obtenha um polinômio de 3o grau para estimar cos(1.07) Forneça um limitante

superior para o erro ao se calcular cos(1.07) pelo polinômio obtido.


22/27

94

Resp.:( )

( ) 610x2020383.107.1E

4801232.007.1cos

−≤

≅

Exercício:O calor específico da água, como função da temperatura, é dado por:

Temperatua, oC Calor Específico

20 0.99907

25 0.99852

30 0.99826

35 0.99818

40 0.9982845 0.99849

50 0.99878

(a) Use interpolação linear para estimar o calor específico da água a 37oC;

(b) Use interpolação quadrática para estimar o calor específico a 37oC.

Observação: usar o polinômio interpolante de Newton com diferenças divididas, estimar o

erro cometido em cada caso:

4.3.6 INTERPOLAÇÃO LINEAR DUPLA

Seja determinar uma aproximação para ( )cc y,xf , utilizando a teoria de Interpolação.

Supor que xc e yc satisfaçam às restrições:

ici

jc j

y y y

x x x

≤≤

≤≤

−

−

1

1

Graficamente:

Inicialmente interpolamos y x f z j ,1−= e obtemos uma expressão para ( )c j y x f ,1−

, onde

( )c j y x f ,1−

é uma aproximação parac j

y x f ,1−

. Depois interpolamos y x f z j

,= e


23/27

95

obtemos uma expressão para ( )c j

y x f , . Interpolamos então ( )c

y x f z ,= e obtemos então

uma expressão para ( )cc

y,xf . O detalhamento segue:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]111

1

1

111 ,,,, −−−−

−

−−−−

−

−+= i ji j

ii

ic

i jc j y x f y x f y y

y y y x f y x f

( ) ( ) ( ) ( )[ ]1

1

1

1 ,,,, −−

−

−−

−

−+= i ji j

ii

ic

i jc j y x f y x f y y

y y y x f y x f

( ) ( ) ( ) ( )[ ]c jc j

j j

jc

c jcc y x f y x f x x

x x y x f y x f ,,,, 1

1

1

1 −

−

−

−−

−

−+=

Notar que as expressões para ( )c j

y x f ,1−

e ( )c j

y x f , são obtidas a partir da interpolação de

z como função de y, mantidos constantes os correspondentes valores de x. Notar também

que a expressão para ( )cc y x f , é obtida a partir da interpolação de z como função de x, em

y constante é igual ac

y . Observar, por final, que os valores para ( )c j y x f ,1−

e ( )c j

y x f , ,

calculados através das duas primeiras expressões, são utilizados no cálculo de ( )cc

y x f , .

Exemplo:A integral elíptica de primeira espécie é definida como sendo:

( ) Θ−

=Θϕ

ϕ

ϕ ϕ

0 22 sensen1,

d F

Mostra-se, a seguir, uma tabela parcial do valor desta função:

50 60 70 80 90

50 0.9401 0.9647 0.9876 1.0044 1.0107

55 1.0500 1.0848 1.1186 1.1444 1.1542

60 1.1643 1.2125 1.2619 1.3014 1.3170

65 1.2833 1.3489 1.4199 1.4810 1.5065

70 1.4068 1.4944 1.5959 1.6918 1.7354

75 1.5345 1.6492 1.7927 1.9468 2.0276

80 1.6660 1.8125 2.0119 2.2653 2.4362

Seja determinar ( )F o o73 77, , utilizando interpolação linear dupla.

Resolução:

Notação utilizada:

90,80,70,60,50 54321 ===== x x x x x


24/27

96

80,75,70,65,60,55,50 7654321 ======= y y y y y y y

Cálculo de uma aproximação para ( )77,73 f

( )

( )

( )

( ) 2653.280,80

9468.175,80

0119.280,70

7927.175,70

=

=

=

=

f

f

f

f

(i) ( ) ( ) 8804.17927.10119.27580

75777927.177,70 =−

−

−+= f

(ii) ( ) ( ) 0742.29468.12653.27580

75779468.177,80 =−

−

−+= f

(iii) ( ) ( ) 9385.18804.10742.27080

70738804.177,73 =−

−

−+= f

4.3.7 ASPECTOS COMPUTACIONAIS: IMPLEMENTAÇÃO DO MÉTODO DENEWTON COM DIFERENÇAS DIVIDIDAS

Esquema para construção da tabela de diferenças divididas:

X 0ordem ordem 1 ordem 2 ordem (N-1) ordem N

X(0) D(0,0)

)0()1(

)0,0()0,1()1,0(

X X

D D D

−

−

=

)0()2(

)1,0()1,1()2,0(

X X

D D D

−

−

=

..

)0()1(

)2,0()2,1()1,0(

X N X

N D N D N D

−−

−−−

=−

)0()(

)1,0()1,1(),0(

X N X

N D N D N D

−

−−−

=

X(1) D(1,0)

)1()2(

)0,1()0,2()1,1(

X X

D D D

−

−

=

)1()3(

)1,1()1,2()2,2(

X X

D D D

−

−

=

..

)1()(

)2,1()2,2()1,1(

X N X

N D N D N D

−

−−−

=−

X(2) D(2,0)

)2()3(

)0,2()0,3()1,2(

X X

D D D

−

−

=

)2()4(

)1,2()1,3()2,3(

X X

D D D

−

−

=

X(3) D(3,0)

)3()4(

)0,3()0,4()1,3(

X X

D D D

−

−

=

)3()5(

)1,3()1,4()2,4(

X X

D D D

−

−

=

)1()(

)1,1()1,()2,1(

−−

−−

=−

N X N X

N D N D N D

X(N-1) D(N-1,0)

)1()(

)0,1()0,()1,(

−−

−−

=

N X N X

N D N D N D

X(N) D(N,0)

Seja M = N + 1, o número de pontos da tabela. Os elementos de D podem ser obtidos, de

uma forma genérica, a partir das expressões:


25/27

97

1,...,2,1,0,...,2,1,)()(

)1,()1,1(),(,0)),(()0,( +−==

−+

−−−+=== J M I N J

I X J I X

J I D J I D J I D N I I X F I D

O polinômio interpolante de Newton com diferenças divididas, em uma determinada

abscissa A, é dado por:

),0())1())...(1())(0(()1,0())2())...(1())(0((

...)2,0())1())(0(()1,0())0(()0,0()(

N D N X A X A X A N D N X X X A X A

D X A X A D X A D AP

−−−−+−−−−−+

+−−+−+=

( )

( ) 1)(

),0()(

1

0

0

1

0

=−

−=

−

=

=

−

=

k X Acom

J DK X A

K

N

J

J

K

π

π

Segue o algoritmo:

Início ! Método de Newton com Diferenças Divididas

! entrada de dados

Solicite o número de pontos

Leia o número de pontos (M)

Solicite os valores de (X,F(X))

N = M – 1

Para I de 0 até N

FaçaLeia X(I), D(I,0)

Fim Para! construção da tabela de diferenças divididas

Para J de 1 até NFaça

Para I de 0 até M-J+1

Faça

)()(

)1,()1,1(),(

I X J I X

J I D J I D J I D

−+

−−−+=

Fim paraFim para

! cálculo do valor aproximado

Solicite o valor da abscissa em que se quer aproximar FLeia o valor da abscissa (A)

F = 0

Para J de 0 até NFaça

P = 1

Para K de 0 até J-1

Faça

P = P * (A – X(K))

Fim Para

F = F + D(0,J)*P

Fim para

(* saída do valor aproximado *)

Escreve ‘Aproximação = ‘, F

Fim ! Método de Newton com Diferenças Divididas


26/27

98

Exercícios:

(1) Considere a função y = f (x) conhecida através dos pontos da tabela:

x 0.000 0.100 0.300 0.400

f(x) 1.000 0.761 0.067 -0.376

Através da forma de Lagrange, determine:

(a) o valor aproximado de f(0.32) usando um polinômio interpolador de 2o grau, ou

seja, calcule P2 (0.32)

(b) P3(0.32)

Sabendo que a função f(x) é x3 - 4x2 - 2x + 1, calcule f(0.32) exatamente.

Obs.: trabalhar com quatro decimaisResp.: P2 (0.32) = -0.0165 P3(0.32) = -0.0168

(2) A tabela a selguir relaciona o calor específico da água (c) em função da temperatura

(T). Calcular o calor especifico da água a uma temperatura de 25oC interpolando os

pontos da tabela com um polinômio de 3o grau, obtido através:

(a) da fórmula de Lagrange.

(b) da fórmula de Newton com diferenças divididas.

Comparar os resultados obtidos com o valor real 0.99852

T (oC) C

2030

45

55

0.999070.99826

0.99849

0.99919

Resp.: P3(25) = 0.99854

(3) A tabela a seguir relaciona a velocidade (v) de um foguete lançado do solo com o

tempo (t). Calcule a velocidade aproximada do foguete 25s após o lançamento,

interpolando os pontos da tabela com um polinômio de 4o grau, obtido através da

fórmula de Newton com diferenças divididas.

t (s) 0 8 20 30 45

v (m/s) 0.000 52.032 160.450 275.961 370.276

Resp.: P4(25) = 219.612 m/s

(4) A tabela a seguir relaciona a distância (d) percorrida por uma bala ao longo do cano de

um canhão com o tempo (t). Encontrar a distância percorrida pela bala 5 segundos após

ter sido disparada, interpolando os pontos da tabela através de um polinômio de 4o grau

obtido através da fórmula de Gregory-Newton.

t (s) 0 2 4 6 8

d (m) 0.000 0.049 0.070 0.087 0.103


27/27

99

Resp.: P4(5) = 0.078

(5) Considerando a tabela a seguir, onde estão representados alguns pontos da funçãof x x( ) = 3 , determine o valor aproximado de 0.53.

x 0.000 0.008 0.064 0.216 0.512

f(x) 0.000 0.200 0.400 0.600 0.800

Agradecimentos:Ao Pólo Computacional, em particular à equipe de digitação, cujo apoio foi essencial para a produção do

presente trabalho. Aos colegas do DMA, pelo apoio, críticas e sugestões recebidas.

BIBLIOGRAFIA 1. RUGGIERO, M.A.G. & LOPES, V.L.R. Cálculo Numérico Aspectos Teóricos e Computacionais.

McGraw-Hill, 1988.2. DORN, W.S. & MAcCRACKEN, D.D. Cálculo Numérico com Estudo de Casos em Fortran IV.

Campus,1978.

3. BARROSO, L.C. & outros. Cálculo Numérico (com aplicações). Editora Harbra Ltda, 1987.4. SCHEID, F. Análise Numérica. McGraw-Hill, 1991.5. ALBRECHT, P. Análise Numérica: um curso moderno. Livros Técnicos e Científicos, 1973.6. PACITTI, T. & ATKINSON, C.P. Programação e Métodos Computacionais (Vol. 2). Livros Técnicos

e Científicos, 1981.

7. CHAPRA, S.C. & CANALE, R.P. Numerical Methods for Engineers (with Personal ComputerApplications). McGraw-Hill, 1987.

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