Antiderivadas

5/12/2018 Antiderivadas - slidepdf.com

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Unidad 4. ANTIDERIVADAS

MATEMATICAS II 1

4.1 PRIMITIVAS O ANTIDERIVADAS.

Dada una función )( x f , si )( x F es una funcion tal que '( ) ( ) F x f x=

A ( ) F x se le llama antiderivada de ( ) f x , al proceso de hallar ( ) F x se le llama Antidiferenciación.

Definición

Una antiderivada de un funcion ( ) f x es otra funcion ( ) F x , tal que '( ) ( ) F x f x=

Ejemplos:

Dada ( ) f x hallar su antiderivada F(x)

Debemos tener en cuenta algo muy importante que )( x F es una primitiva de )( x f y no la primitiva, ya que

hay infinitas funciones cuya derivada es )( x f , esto podemos verlo de la siguiente manera:

43 )(4)( x x F x x f =→= Ya que34)(' x x F =

Pero también podemos escribir:

1. 31

41 3)('2)( x x F x x F =→+=

2. 32

42 3)('5)( x x F x x F =→+=

3.

34

3)(')( x x F k x x F =→+=

Vale decir que difieren en una constante, es por ello que decimos que se obtiene una primitiva y no laprimitiva.

Con lo visto ya podemos sacar nuestra primera conclusión y es que si conocemos las derivadas de lasfunciones, podremos sacar sin mayores dificultades sus primitiva,. con esto podemos concluir rápidamenteque no todas las funciones tienen primitivas.

Teorema:

Una función )( x f que tiene una primitiva )( x F , tiene infinitas funciones primitivas, todas ellas de la forma:

( ) F x c+ donde c es un número real cualquiera.

Demostración:

Si )( x F es primitiva de )( x f , entonces '( ) ( ) F x f x=

Si c= Constante (número real cualquiera) , la función ( ) ( )k F x F x c= + es derivable y su derivada es)()(0)()(' x f x F x F x F k ==+=




MATEMATICAS II 2

Ejemplos:

( ) f x ANTIDERIVADA ( ) F x

3( ) 4 f x x= 4( ) F x x=

1( ) f x

x= ( ) F x Lnx=

( ) 14 f x x= 2( ) 7 F x x=

3( ) 4 5 f x x x= + 2 45

( ) 2 54

F x x x= + +

2

1( )

1 f x

x=

+ ( ) tan F x Arc x=

1( ) x f x e

x= + ( ) ln x F x e x= +

Una antiderivada de3( ) 4 5 f x x x= + se denotará así:

3(4 5 ) x x dx+∫

Se leerá:

integral indefinida de34 5 x x+ con respecto a x,

Y el resultado será3(4 5 ) x x dx+∫ =

2 45(2 )

4 x c+ + .

O de manera general:

Diferencial de x

( Solamente indica la variable con respecto a la cual se tiene que integrar)

Signo integral → ( ) f x dx∫ = ( ) F x c+ ← constante de integración

Función integrando




MATEMATICAS II 3

4.2 REGLAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN.

Ejemplos:

∫ ∫ +== c xdxdx 33.3

∫ ∫ +−=−=− c xdxdx .55.5

Ejemplos:

∫ ∫ +== c x

dx xdx x6

33.3

655

∫ +−=+−=

−−

c xc

x

dx x 3

34 1

3

∫ +=+= c xc x

dx x 232

3

21

.3

2

23

1. Si k x f =)( entonces su primitiva:

∫ ∫ +== ckxdxk kdx .

Donde .ctec = perteneciente a los números reales.

2. Para todo número real 1≠n

∫ ∫ +

+

==

+

c

n

xk dx xk dxkx

nnn

1

.1




MATEMATICAS II 4

Ejemplos:

a) ( )∫ ∫ ∫ ∫ +−+=−+=−+ ce senx x

dxedx xdx xdxe x x x x x

6..cos.cos

655

b) ∫ ∫ +== c xk x

dxk dx

x

k ln..

De esta manera se podría seguir determinando primitivas.

A continuación se da una tabla de las primitivas más usadas, con el fin de poder tener una herramientade trabajo más directa:

3. Si )()( x g y x f son dos funciones definidas, )( x F es una primitiva de )( x f y )( xG es

una primitiva de )( x g , entonces

)()()()( x g x f xG x F ±=±

Simbólicamente:

( ) ∫ ∫ ∫ ∫ −+=−+ dx x H dx xGdx x F dx x H xG x F ).().().()()()(

1) ∫ +−= C udu senu cos.

2) ∫ += C senuduu.cos

3) ∫ += C udutgu )ln(sec.

4) ( )∫ += C senuductgu ln.

5) ( )∫ ++= C tguuduu .secln.sec

6) ( )∫ +−= C ctguuecduecu .cosln.cos




MATEMATICAS II 5

Ejemplo:

2( 5)( 3) x x dx+ −∫ = 3 2( 3 5 15) x x x dx− + −∫

2( 5)( 3) x x dx+ −∫ =3 23 5 15 x dx x dx xdx dx− + −∫ ∫ ∫ ∫

2( 5)( 3) x x dx+ −∫ =4 3 21 1 1

3( ) 5( ) 154 3 2

x x x x c− + − +

2( 5)( 3) x x dx+ −∫ =4 3 21 5

( ) 154 2

x x x x c− + − +

7) ∫ += caxdxa.

8) [ ]

∫ ∫ ∫ ∫ −+=−+ dxwdxvdxudxwvu ....

9) C n

xdx x

nn

+=

+

∫ 1

.

10) ∫ += C uu

duln

11) ∫ += C edue uu .

12) ∫ += C a

adua

uu

ln.

13) ∫ −=

+ a

utg

aau

du 1

22.

1

14)

+

−=

−∫ au

au

aau

duln.

2

1

22

15)

=

−

−∫ a

u sen

ua

du 1

22

16)

++=

+∫ 22

22ln auu

ua

du




MATEMATICAS II 6

EJERCICIOS.

Usando fórmulas básicas de integración resuelva las siguientes integrales ycompruébelas mediante derivación:

( )( )∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

+

+

+−−

++

−++

++

−

dz3-z52z

du1ue4

1

dx6xx2

7

5

3 2x

dxx

23x2x1

dxx

32x5x

3x

dx)x

1 x

2Sec

2

1 4Cosx-(Senx

5y)dy5

(y

7)

6)

5)

4)

3

2

)

)

)1

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