ANNUITES

I Notions d’annuités

a.Définition

Les annuités définissent une suite de versements identiques ou non effectués à intervalles de temps égaux.

Le processus de versements dépend du montant de l’annuité, de l’intervalle de temps séparant le versement de deux annuités, du nombre de versements ainsi que de la date de versement de la première annuité.

Deux cas peuvent se présenter : -annuités constantes

-annuités non constantes

En d’autres termes, il s’agit d’un versement régulier d’un certains capital, qui capitalisé, atteint une valeur acquise croissante au fur et à mesure que le temps passe.

b. Bref rappel sur les suites

Dans cette leçon, nous considérerons des suites dont les indices de définition seront des entiers naturels, et dont les valeurs seront données dans l’ensemble des réels.

*Suite arithmétique

Une suite arithmétique de terme général est définie par la donnée du premier terme , la

raison r, et le numéro n du terme considéré.

Nous obtenons ainsi l’expression :

Considérons désormais la somme de plusieurs termes d’une suite arithmétique.

Soit S la somme de n termes définie par

Soit,

Du fait de la commutativité, cette somme peut être exprimée en sens inverse :

En additionnant les deux équations, nous obtenons donc,

Soit,

C’est ainsi qu’en connaissant uniquement le premier terme d’une suite ainsi que le nombre de termes et la raison de la suite nous pouvons connaître la somme.

*Suite géométrique

Nous définissons une suite géométrique de terme général par la donné de son premier

terme , de la raison q et du numéro du nième terme n.

Nous obtenons donc l’expression :

Là aussi nous pouvons déterminer la somme d’une suite de n termes d’une suite géométrique.

Tout d’abord, considérons l’expression suivante appelée somme télescopique ;

Si l’on développe cette expression nous obtenons le résultat suivant :

Soit,

Ainsi,

Nous pouvons ainsi formaliser le tout par :

Et isoler la somme des puissances croissantes de x :

Ainsi en appliquant cette formule aux suites géométriques, où

Soit S la somme des termes d’une suite géométrique de puissances croissantes

Soit après remplacement par leurs formules explicites,

Soit, après simplification,

II Valeur Acquise par une suite de n annuités

a.Valeur Acquise de n annuités

Soit, a le montant de l’annuité.

n le nombre d’annuités.

i le taux de placement

Si l’on considère un processus de versements d’annuités constantes sur n périodes.

La première annuité versée à la date 1 sera capitalisée pendant n-1 périodes, soit

La deuxième annuité versée à la date 2 sera capitalisée pendant n-2 périodes, soit

…

La n-1ième annuité versée à la date n-1 sera capitalisée pendant 1 période, soit

La nième annuité versée à la date n sera capitalisée pendant 0 périodes, soit

Au final si l’on nomme la valeur acquise par cette suite d’annuités, nous obtenons :

En appliquant le résultat de la somme géométrique.

Exemple

Un créancier décide de placer 1000€ par mois au taux mensuel de 1% pendant 10 mois. Calculer la valeur acquise par cette suite d’annuités.

Il s’agit d’un simple exercice d’application de formule.

b.Valeur acquise d’une suite d’annuités après le versement de la nième annuité.

Si l’on se place en qualité de créancier versant une somme régulièrement tous les mois jusqu’à une certaine période. A la fin de cette période pour des raisons ou autres il décide d’interrompre le versement régulier de mensualité mais décide de laisser la valeur acquise par ces différentes mensualité. Cette valeur acquise forme un capital qui va ainsi être capitalisé.

Supposons que ce dernier décide de laisser ce nouveau capital pendant « d » périodes après le versement de la dernière annuité. Le capital acquis sera déterminé par la formule :

Soit,

Soit,

Exemple

Calculer la valeur acquise de 10 annuités de 1000€ chacune au taux de 1%, 5 période après le placement de la 10ème annuité.

Dans cet exercice nous pouvons utiliser la formule :

Mais nous pouvons également utiliser le résultat de l’exemple précédent où :

Dans ce cas,

III Valeur Actuelle Commerciale d’une suite d’annuités

a.Valeur Actuelle Commerciale de n annuités

Si l’on considère un processus de versements d’annuités constantes sur n périodes.

La première annuité versée à la date 1 est située à une période de l’origine, sa valeur actuelle

commerciale est donc

La deuxième annuité versée à la date 2 est située à deux périodes de l’origine, sa valeur

actuelle commerciale est donc

…

La nième annuité versée à la date n est située à

Au final si l’on nomme la valeur actuelle commerciale de cette suite d’annuités, nous

obtenons :

Mais est la valeur à l’origine du capital acquis par la suite de n annuités .

Nous avons donc :

Soit,

Soit,

Exemple

Déterminer la valeur actuelle commerciale (valeur à l’origine) d’une suite de 10 annuités de 1000€ chacune au taux d’escompte de 9%.

Nous utilisons donc la formule précédente et nous obtenons :

b.Valeur d’une suite d’annuités avant la date d’origine

En supposant que l’on se situe désormais à « d » périodes avant la date d’origine et en notant

la valeur d’une suite d’annuités d période avant la date d’origine, nous obtenons la

formule :

Soit,

Soit,

Exemple

Une suite de 10 annuités de 1000€ chacune est escomptée au taux de 9%. Calculer la valeur de cette suite d’annuités 5 périodes avant l’origine.

En utilisant directement la formule, nous obtenons :

IV Echeance moyenne d’une suite d’annuités

Soit n annuités constantes de valeur nominale a d’origine 0.

En substituant cette suite de versement par un montant unique de valeur « na » à x périodes de l’origine, nous obtenons à l’origine, l’équation :

Soit,

Soit,

Cette équation nous permet ainsi de déterminer l’échéance moyenne définie par x.

V Annuités Variables

a.Annuités en progression arithmétique

*Valeur Acquise

Considérons n annuités en progression arithmétique de premier terme a et de raison r.

Si nous établissons la valeur acquise, nous obtenons :

Nous avons donc en séparant les termes en a et les termes en r

Or nous remarquons que le premier terme :

Considérons désormais le deuxième terme que nous nommerons S, soit :

Si nous multiplions cette expression par (1+i) de part et d’autre de l’égalité nous obtenons :

Désormais si l’on retranche cette nouvelle expression par l’expression précédente :

Les premiers termes de cette suite correspondent à une suite en progression géométrique et nous obtenons ainsi :

D’où en factorisant par S, nous avons :

S[(1+i)-1]=

Soit,

Ainsi la formule de est la somme de S et de l’expression , soit :

Soit, après factorisation :

Exemple

Etablir la valeur acquise d’une suite de 20 annuités variables en progression arithmétique, sachant que la première annuité a pour valeur 1000€ de raison 100 et de taux 12%.

Dans cet exercice nous utilisons directement la formule :

Ainsi en établissant l’application numérique nous obtenons :

Soit,

* Valeur Actuelle Commerciale

Pour obtenir la valeur actuelle d’une suite arithmétique d’annuités, il suffit tout comme dans

le cadre des annuités constantes de multiplier la valeur acquise par pour en fait

« décapitaliser » la valeur acquise.

Nous obtenons donc :

Soit,

Soit,

Là encore il existe une manière de simplifier cette formule et de donner une expression directement utilisable.

Si l’on ajoute et l’on retranche nous obtenons :

Or,

Nous pouvons donc factoriser l’expression :

Exemple

Calculer la valeur actuelle commerciale d’une suite arithmétique de 20 annuités dont le premier terme est de 1000€ et de raison 100€ dont le taux est de 10%.

Il s’agit là encore dans cet exercice d’appliquer directement la formule de la valeur actuelle commerciale.

Soit,

b.Suite en progression géométrique

*Valeur acquise

Considérons la suite des valeurs acquise d’annuités en progression géométrique.

La somme en est :

Nous remarquons que la raison de la suite est .

Le premier terme est

Nous pouvons ainsi simplifier l’expression en utilisant la formule d’une suite géométrique :

Soit en résolvant au même dénominateur pour le numérateur et le dénominateur de l’expression originelle ;

Soit, après simplification en multipliant par l’inverse du dénominateur, nous obtenons ;

Soit,

Exemple

Etablir la valeur acquise d’une suite de 20 annuités en progression géométrique dont le premier terme est 1000€ de raison 1,5 et de taux 10%.

Dans cet exercice il s’agit là aussi d’appliquer directement la formule :

Soit,

*Valeur Actuelle Commerciale

Là aussi pour obtenir la valeur actuelle commerciale il suffit de multiplier le résultat obtenu dans le calcul de la valeur acquise.

Soit,

Soit,

EXERCICES D’APPLICATION

Exercice 1

Un créancier décide de se constituer un capital de 500000€ au 1er janvier 2020. Pour cela il place un montant constant chaque année au taux annuel de 10%. Il décide de commencer l’opération le 1er janvier 2010. Calculer le montant de l’annuité annuelle.

Exercice 2

Une suite de 12 annuités est constituée de 4 annuités de 1000€ puis de 4 annuités de 1500€, puis de 4 annuités de 2000€. Calculer la valeur acquise de cette suite d’annuités ainsi que sa valeur actuelle. Taux de 10%

Exercice 3

Une suite de 15 annuités se décompose de la façon suivante :

5 annuités égales entre elles

5 annuités égales au double des 5 premières et égales entre elles.

5 autres annuités égales entre elles et égales au triple des premières.

La valeur à l’origine de ces 15 annuités est de 200000€ avec un taux de 9%. Calculer le montant des 5 premières annuités.

Exercice 4

Un créancier décide de placer tous les 5ans un capital de 15 000€ au taux de 5%. Calculer la valeur acquise d’une suite de 4 versements.

Exercice 5

a.Calculer la valeur acquise et la valeur actuelle d’une suite de 25 annuités en progression arithmétique dont le taux est de 9% et dont la première annuité est de 1000€ et la raison de 80.

b. Même question si la suite d’annuités avait été géométrique et la raison de 2.

Exercice 6

a.Calculer la valeur acquise et la valeur actuelle d’une suite de 10 annuités en progression arithmétique dont le taux est de 9% et dont la première annuité est de 2500€ et la raison de

-200.

b. Même question si la suite d’annuités avait été géométrique et la raison de 1/2.