MODELAREA MINI ŞI MICROROBOŢILOR PE ROŢI

Olimpiu TĂTAR, Dan MÂNDRU, Rareş CRIŞAN Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca, Facultatea de Mecanică

Catedra: Mecanisme, Mecanică Fină şi Mecatronică, 400641, Cluj-Napoca, B-dul Muncii 103-105, e-mail: olimpiut@yahoo.com

Abstract: A wheeled mobile robot is a robot capable of locomotion on a surface solely through the actuation of wheel assemblies mounted on the robot and in contact with the surface. The wheel assembly provides relative motion between its mount and a surface on which it is intended to have a single point of rolling contact. In this paper the kinematic model of the mobile mini/microrobots with two and three wheels is presented. The dynamic model of the mobile mini/microrobots with four wheels is given using a simplified model with two wheels. 1. MODELUL CINEMATIC AL MIN/MICROROBOŢILOR CU DOUĂ ROŢI MOTOARE

Un sistem clasic de locomoţie, în cazul microroboţilor, este constituit din două roţi

acţionate de către un motor, stabilitatea putând fi asigurată de unul sau două elemente de rulare sferice (fig. 1a), [5]

În cazul unui solid rigid, ecuaţiile de configurare sunt complet definite de următorul vector: [ ]Tyxq θ= , unde (x, y) sunt coordonatele unui punct fix al solidului rigid iar θ reprezintă orientarea sistemului de axe mobil al solidului rigid, faţă de un sistem fix.

Această analogie s-a utilizat pentru microrobotul ce rulează pe o suprafaţă plană, din figura 1b. Configuraţia microrobotului este astfel definită de coordonatele punctului M(x, y,) – originea sistemului mobil (dispusă la mijlocul axei roţilor motoare) şi de unghiul de orientare θ.

Axa MYm a sistemului de coordonate mobil trece prin centrul roţiilor, vitezele vs şi vd corespunzătoare roţilor din stânga şi din dreapta sunt paralele cu axa MXm şi viteza v a microrobotului are direcţia axei MXm.

În aceste condiţii, viteza liniară v şi unghiulară ω ale microrobotului, sunt date de următoarele relaţii, [6]:

a) b) Fig. 1 Microrobot mobil cu două roţi motoare

ANNALS of the ORADEA UNIVERSITY.

Fascicle of Management and Technological Engineering

442

2ds vvv +

= (1)

bvv ds −=ω (2)

Dacă se ţine seama că vs = r ωs şi vd = r ωd, r fiind razele roţilor, relaţiile de mai sus devin:

( )dsrv ωω +=2

(3)

( )dsbr ωωω −= (4)

cu

30s

ssnπ

θω == & ; 30

ddd

nπθω == & (5)

unde ns şi nd sunt turaţiile dezvoltate de motoarele celor două roţi. Relaţiile (3) şi (4) pot fi scrie şi sub formă matricială astfel:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

d

s

br

br

rrv

θθ

ω &

&22 (6)

Dacă se cunosc viteza liniara v şi viteza unghiulară ω ale microrobotului, utilizând relaţiile (1) şi (2), se pot deduce vitezele pentru roţile din stânga şi din dreapta, astfel:

2bvvs

ω+= , (7)

2bvvd

ω−= . (8)

Proiecţiile vitezei pe axele sistemului de coordonate fix sunt: θcosvvx x ==& (9) θsinvvy y ==&

sau sub forma matricială, vitezele se pot scrie astfel:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ωθθ

θ

vyx

1000

sincos

&

&

&

(10)

se observă că q& se poate scrie sub forma uqJq )(=&

unde [ ]Tvv

u ωω

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= şi

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100sin0cos

)( θθ

qJ - reprezintă Jacobianul microrobotului.

La toate aceste relaţii se mai adaugă constrângerea neolonomă dată prin ecuaţia: 0=− θtgxy && . (11)

2. MODELUL CINEMATIC AL MINI/MICROROBOŢILOR CU TREI ROŢI

Se consideră modelul mini/microrobotului pe trei roţi, având configuraţia din figura

2. Şi în acest caz constrângerile cinematice neolonome sunt date de ecuaţia:

0θcosθsin ss =− yx && ; ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

sRlarctgsθ (12)

ANNALS of the ORADEA UNIVERSITY.

Fascicle of Management and Technological Engineering

443

Raza minimă de rotaţie Rs depinde de unghiul de rotaţie al roţii din faţă sθ şi de distanţa dintre roţi l. Dacă roţile din spate se rotesc în direcţii opuse cu aceeaşi viteză şi unghiul de rotaţie al roţii din faţă este o90±=sθ , minirobotul se va roti în jurul punctului C.

Din analiza figurii 2 se poate obţine viteza fiecărei roţi în funcţie de b, l, vc, sθ astfel:

sc tg

lrθ

= (13)

din geometria figurii, rezultă relaţia: 22

222 ltg

llrRs

cs +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+=

θ, deci:

ss tg

lRθ2

11+= . (14)

Viteza punctului C este dată de relaţia:

2)(

2rvvv dsds

cωω +

=+

= , (15)

unde: rv ss ω= ; rv dd ω= şi r - raza roţilor.

Viteza fiecărei roţi se poate determina şi astfel:

)2()( scodooo

dods vvbvbvbrbv −+=+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+= ωωωω

ω (16)

unde s

co tgL

vθ

ω = ,

astfel, se obţine:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= 1

2 scs tgl

bvvθ

, (17)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

scd tgl

bvvθ2

1 (18)

l

C

R SO

rdrcrs

b

vs

vd

vc

2s

To

2s

C’x

y

Fig. 2 Mini/microrobot pe trei roţi

ANNALS of the ORADEA UNIVERSITY.

Fascicle of Management and Technological Engineering

444

3. MODELUL DINAMIC AL MINI/MICROROBOŢILOR CU ROŢI

Se consideră cazul unui microrobot cu patru roţi şi modelul său simplificat cu două roţi (fig. 3). Ecuaţiile de mişcare ale microrobotului sunt [6]:

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

+=

sd

sd

FFbdtdI

FFdtdvm

2ω (19)

unde s-au folosit notaţiile: m – masa microrobotului, I - momentul de inerţie al microrobotului, Fd, Fs - forţele generate de roţile din dreapta şi respectiv din stânga.

Dacă considerăm că nu există alunecare între roţi şi suprafaţa de rulare, vitezele liniare şi unghiulare se determină cu relaţiile (3) şi (4).

Forţa care este dezvoltată de fiecare roată se poate exprima în funcţie de cuplul motor, care la rândul său se poate exprima în funcţie de tensiunea de alimentare a motorului, în cazul acţionării cu motoare de curent continuu, prin următoarele relaţii, obţinute astfel:

Se înlocuieşte în ecuaţia de echilibru mecanic: rrmdm

rm MKIM ++= ωε , (20)

momentul de inerţie redus determinat cu relaţia (fig. 4):

Rmr I

iII 2

1+= , (21)

şi momentul rezistent redus:

)(11flfrr

rr MMrF

iM

iM ++⋅== , (22)

în care momentul de frecare din lagărul dispus între reductor şi roată Mfl este [2 ]:

raara

afl Dh

rrbrhvArFM ω

ωπη ⋅===⋅=

2 (23)

unde η – este vâscozitatea dinamică a lubrifiantului, ra – raza arborelui roţii, b – lăţimea lagărului, h – grosimea filmului de lubrifiant, A – aria suprafeţei de contact şi

r

m

r

miωω

ωω

&

&== . Astfel, se obţine expresia momentului motor:

( ) iKDsFrFIi

iIM rdrNrRrmm ωωωω ++++++= &&1 , (24)

Fig. 3 Microrobot pe patru roţi – model simplificat

la două roţi dispuse lateral

ANNALS of the ORADEA UNIVERSITY.

Fascicle of Management and Technological Engineering

445

neglijând momentul de amortizare datorat pierderilor de câmp magnetic şi frecărilor vâscoase din lagăre - ωdK , rezultă:

( )NrrRrmm sFrFDIi

iIM ++++= ωωω &&1 . (25)

Pentru cele două roţi stânga/dreapta se pot scrie relaţiile:

( )NddddRdmmd sFrFDIi

iIM ++++= ωωω &&1 (26)

( )NssssRsmms sFrFDIi

iIM ++++= ωωω &&1 . (27)

- Din ecuaţiile: ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

++=

Amm

eA

AAAA

iKM

ωKdtdiLiRu

prin înlocuirea intensităţii iA în a doua

relaţie a sistemului se obţine:

rme

Am

m RiKKu

RKM ω−= (28)

Pentru cele două roţi se pot scrie relaţiile:

dme

dm

md RiKKU

RKM ω−= (29)

sme

sm

ms RiKKU

RKM ω−= (30)

unde: Mmd, Mms, - sunt valorile cuplului motor din dreapta respectiv stânga; i - este raportul de transmitere al reductorului . Im - este momentul de inerţie al rotorului motorului; IR - este momentul de inerţie al roţii; R - rezistenţa înfăşurării rotorului; Ke - constanta t.e.m; Km - constanta cuplului motor; Ud, Us - tensiunea aplicată motorului pentru roţile din stânga şi dreapta.

Viteza şi acceleraţia liniară ale microrobotului se pot determina şi utilizând relaţiile scrise sub forma matricială:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡θθ

sincos

vyx&

& (31)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡θθ

θθθ

cossin

sincos &&

&&

&&vv

yx

(32)

unde θω &= şi 22 yxv && += , rezultând după înlocuire:

Fig. 4 a) Ansamblu motor- b) Distribuţia forţelor şi momentelor -reductor-roată pe roata motoare

ANNALS of the ORADEA UNIVERSITY.

Fascicle of Management and Technological Engineering

446

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡θθ

sincos22 yx

yx

&&&

&. (33)

Adunând relaţiile (26), (27) şi (29), (30) şi egalându-le rezultă:

( ) ( )

sme

sm

dme

dm

NssssRsmNddddRdm

RKiKU

RK

RKiKU

RK

sFrFDIi

iIsFrFDIi

iI

ωω

ωωωωωω

−+−

=+++++++++ &&&&11

din această relaţie se determină Fs + Fd:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−++

++−++−=+

)()())(())((1 22

NsNdsdm

dsmedsRmds FFsUUiK

RDKKiIIiRrR

FFωωωω &&

(34)

care se va înlocui în expresia acceleraţiei:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡θθ

θθθ

cossin

sincos 22 &&&

&&

&&yx

mFF

yx ds (35)

În urma scăderii relaţiilor (26), (27) şi (29), (30) şi egalându-le rezultă expresia:

( ) ( )

sme

sm

dme

dm

sNsssRsmdNdddRdm

RKiK

UR

KRKiK

UR

K

rFsFDIi

iIrFsFDIi

iI

ωω

ωωωωωω

+−−=

=+++−−++++ &&&&11

din care se obţine:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−

+−+−−+−=−

)()())(())((1 22

NsNdsdm

sdmesdRmsd FFsUUiK

RDKKiIIiRrR

FFωωωω &&

(36)

care se înlocuieşte în relaţia (19) pentru determinarea vitezei unghiulare:

)(2 sd FFI

b−== ωθ& . (37)

Dacă obstacolele sunt mai mari decât o dimensiune limită, roţile reprezintă un factor de limitare a mobilităţii. Acest dezavantaj este eliminat la mini şi microroboţii pe şenile, săritori, zburători sau cu sisteme de mixte de locomoţie.

CONCLUZII

Modelul cinematic prezentat, pentru mini şi microroboţii cu două roţi motoare, respectiv cu trei roţi, permite determinarea vitezelor liniare şi a vitezei unghiulare ale acestora. Modelul dinamic al mini/microroboţilor cu patru roţi are la bază reducerea la un model simplificat cu două roţi şi ecuaţiile electrice şi mecanice şi ale motoarelor de curent continuu. BIBLIOGRAFIE [1] CIOBANU, L., 2002 - Sisteme de roboţi celulari, Editura Tehnică, Bucureşti. [2] DEMIAN, T., 1980, - Elemente constructive de Mecanică Fină, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti. [3] HONG, D.,ş.a., 1999, - Verification of a Wheeled Mobile Robot Dynamic Model and Control Ramification, Journal of Dynamic System, Measurement, and Control, March, Vol. 121, pp. 58-63. [4] Mc KERROW, P. J., 1990 - Introduction to Robotics, Addison-Wesley Publishing Company, Sydney. [5] TĂTAR, M.O, ş.a,. 2001 – The Kinematic Modelling of Wheeled Mini and Microrobots, The Eighth IFToMM International Symposium on Linkages and Computer Aided Design Methods - Theory and Practice of Mechanisms SYROM 2001, Bucureşti, pp. 321 – 326. [6] TĂTAR, M.O., 2004 – “Studii şi cercetării privind sistemele de acţionare ale microroboţilor”, Teză de doctorat, Conducător ştiinţific: Prof.dr.ing. Viorel Handra-Luca, Prof. dr. ing. Vistrian Mătieş, Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca.

ANNALS of the ORADEA UNIVERSITY.

Fascicle of Management and Technological Engineering

447