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}Annales de mathématiques

FORMATION ET PRÉPARATION AU CRPE}L’équipe de mathématiques de l’INSPE Lille Hauts-de-France

— Version du 3 septembre 2020 —

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Table des matières

1 Sujets d’examens de l’E·IN·SPE 51.1 PREMIER SEMESTRE 2013-2014 — SESSION 1 . . . . . . . 61.2 PREMIER SEMESTRE 2013-2014 — SESSION 2 . . . . . . . 191.3 DEUXIÈME SEMESTRE 2013-2014 — SESSION 1 . . . . . . 371.4 DEUXIÈME SEMESTRE 2013-2014 — SESSION 2 . . . . . . 461.5 PREMIER SEMESTRE 2014-2015 — SESSION 1 . . . . . . . 551.6 PREMIER SEMESTRE 2014-2015 — SESSION 2 . . . . . . . 661.7 DEUXIÈME SEMESTRE 2014-2015 — SESSION 1 . . . . . . 711.8 DEUXIÈME SEMESTRE 2014-2015 — SESSION 2 . . . . . . 791.9 PREMIER SEMESTRE 2015-2016 — SESSION 1 . . . . . . . 881.10 PREMIER SEMESTRE 2015-2016 — SESSION 2 . . . . . . . 931.11 DEUXIÈME SEMESTRE 2015-2016 — SESSION 1 . . . . . . 971.12 DEUXIÈME SEMESTRE 2015-2016 — SESSION 2 . . . . . . 1091.13 PREMIER SEMESTRE 2016-2017 — SESSION 1 . . . . . . . 1151.14 PREMIER SEMESTRE 2016-2017 — SESSION 2 . . . . . . . 1261.15 DEUXIÈME SEMESTRE 2016-2017 — SESSION 1 . . . . . . 1331.16 DEUXIÈME SEMESTRE 2016-2017 — SESSION 2 . . . . . . 1421.17 PREMIER SEMESTRE 2017-2018 — SESSION 1 . . . . . . . 1471.18 PREMIER SEMESTRE 2017-2018 — SESSION 2 . . . . . . . 1611.19 DEUXIÈME SEMESTRE 2017-2018 — SESSION 1 . . . . . . 1661.20 DEUXIÈME SEMESTRE 2017-2018 — SESSION 2 . . . . . . 1751.21 PREMIER SEMESTRE 2018-2019 — SESSION 1 . . . . . . . 1821.22 PREMIER SEMESTRE 2018-2019 — SESSION 2 . . . . . . . 1951.23 DEUXIÈME SEMESTRE 2018-2019 — SESSION 1 . . . . . . 2031.24 DEUXIÈME SEMESTRE 2018-2019 — SESSION 2 . . . . . . 2111.25 PREMIER SEMESTRE 2019-2020 — SESSION 1 . . . . . . . 2181.26 PREMIER SEMESTRE 2019-2020 — SESSION 2 . . . . . . . 2271.27 DEUXIÈME SEMESTRE 2019-2020 — SESSION 1 . . . . . . 2341.28 DEUXIÈME SEMESTRE 2019-2020 — SESSION 2 . . . . . . 245

3

4

2 Autres sujets type concours 2512.1 SUJET TYPE 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2522.2 SUJET TYPE 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

3 Corrigés sujets d’examens de l’E·IN·SPE 2633.1 PREMIER SEMESTRE 2013-2014 — SESSION 1 . . . . . . . 2643.2 PREMIER SEMESTRE 2013-2014 — SESSION 2 . . . . . . . 2903.3 DEUXIÈME SEMESTRE 2013-2014 — SESSION 1 . . . . . . 3023.4 DEUXIÈME SEMESTRE 2013-2014 — SESSION 2 . . . . . . 3223.5 PREMIER SEMESTRE 2014-2015 — SESSION 1 . . . . . . . 3373.6 PREMIER SEMESTRE 2014-2015 — SESSION 2 . . . . . . . 3533.7 DEUXIÈME SEMESTRE 2014-2015 — SESSION 1 . . . . . . 3603.8 DEUXIÈME SEMESTRE 2014-2015 — SESSION 2 . . . . . . 3743.9 PREMIER SEMESTRE 2015-2016 — SESSION 1 . . . . . . . 3853.10 PREMIER SEMESTRE 2015-2016 — SESSION 2 . . . . . . . 3933.11 DEUXIÈME SEMESTRE 2015-2016 — SESSION 1 . . . . . . 4023.12 DEUXIÈME SEMESTRE 2015-2016 — SESSION 2 . . . . . . 4163.13 PREMIER SEMESTRE 2016-2017 — SESSION 1 . . . . . . . 4223.14 PREMIER SEMESTRE 2016-2017 — SESSION 2 . . . . . . . 4343.15 DEUXIÈME SEMESTRE 2016-2017 — SESSION 1 . . . . . . 4413.16 DEUXIÈME SEMESTRE 2016-2017 — SESSION 2 . . . . . . 4523.17 PREMIER SEMESTRE 2017-2018 — SESSION 1 . . . . . . . 4583.18 PREMIER SEMESTRE 2017-2018 — SESSION 2 . . . . . . . 4723.19 DEUXIÈME SEMESTRE 2017-2018 — SESSION 1 . . . . . . 4793.20 DEUXIÈME SEMESTRE 2017-2018 — SESSION 2 . . . . . . 4913.21 PREMIER SEMESTRE 2018-2019 — SESSION 1 . . . . . . . 4973.22 PREMIER SEMESTRE 2018-2019 — SESSION 2 . . . . . . . 5123.23 DEUXIÈME SEMESTRE 2018-2019 — SESSION 1 . . . . . . 5193.24 DEUXIÈME SEMESTRE 2018-2019 — SESSION 2 . . . . . . 5313.25 PREMIER SEMESTRE 2019-2020 — SESSION 1 . . . . . . . 5403.26 PREMIER SEMESTRE 2019-2020 — SESSION 2 . . . . . . . 5563.27 DEUXIÈME SEMESTRE 2019-2020 — SESSION 1 . . . . . . 5653.28 DEUXIÈME SEMESTRE 2019-2020 — SESSION 2 . . . . . . 610

4 Corrigés autres sujets 6154.1 SUJET TYPE 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6164.2 SUJET TYPE 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622

1Sujets d’examens de l’E·IN·SPE

Ce chapitre regroupe les concours blancs et examens à l’ESPE puis à l’INSPEdepuis la création de l’ESPE en 2013.

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6 CHAPITRE 1. SUJETS D’EXAMENS DE L’E·IN·SPE

1.1 PREMIER SEMESTRE

2013-2014 — SESSION 1

Aucun document n’est autorisé. La calculatrice, le matériel de géométrie (règlegraduée, compas, équerre, rapporteur) sont autorisés.Sauf indication contraire, toutes les réponses doivent être justifiées.

PREMIÈRE PARTIE : Autour du pentagone régulier

La correction de ce su-jet se trouve page 264 Ce problème comprend quatre parties indépendantes A, B, C et D.

Description géométrique du drapeau de l’Europe : (D’après Hypercuben˚16 de février/mars 1997). « L’emblème est constitué par un rectangle bleudont le battant (B) a une fois et demie la longueur du guindant (G). Les douzeétoiles d’or s’alignent régulièrement le long d’un cercle non apparent dont lecentre est situé au point de rencontre des diagonales du rectangle. Le rayon dece cercle (R) est égal au tiers de la hauteur du guindant. Chacune des étoiles àcinq branches est construite dans un cercle non apparent dont le rayon (r) estégal à 1/18 de la hauteur du guindant. Toutes les étoiles sont disposées verti-calement, c’est à dire avec une branche dirigée vers le haut et deux branchess’appuyant sur une ligne non apparente, perpendiculaire à la hampe ».

R

r

B

G

1.1. PREMIER SEMESTRE 2013-2014 — SESSION 1 7

Partie A : La construction du drapeau

A.1) Exprimer B, R et r en fonction de G.

A.2) Pour cette question, le rayon (r) d’un petit cercle est 6 cm. Calculer, encm, les dimensions G et B du drapeau.

A.3) On souhaite construire un drapeau européen sur une feuille de format A3(297 mm sur 420 mm) de telle façon que r, R, G et B soient des nombresentiers de mm.

A.3.a) Quelles contraintes sur G et B l’utilisation d’une feuille de formatA3 impose-t-elle ?

A.3.b) Exprimer G et B en fonction de r (donner les expressions de G et Ben mm). En déduire que G est multiple de 18 et que B est multiplede 27.

A.3.c) Quelle valeur doit-on donner à r, R, G et B pour que le drapeauobtenu soit le plus grand possible ?

Partie B : La construction d’une étoile

On souhaite construire une étoile inscrite dans un cercle de diamètre [AF ].Réaliser la construction sur la feuille jointe en Annexe 1, en utilisant unique-ment une règle non graduée et un compas, à l’aide du programme de construc-tion ci-dessous. Les traits de constructions resteront apparents.

• Placer le milieu O du segment [AF ].

• Tracer un cercle C de centre O et de diamètre [AF ].

• Tracer le segment [GH] tel qu’il soit un diamètre de C perpendiculaire à[AF ]

• Tracer le cercle de centre M passant par A ; il coupe [OG] en N ,

• Tracer le cercle de centre A passant par N ; il coupe C en deux pointsdistincts B et E,

• [AB] représente un côté du pentagone convexe et on va reporter la lon-gueur AB 3 fois sur le cercle C pour terminer le tracé :

– Tracer le cercle de centre B, passant par A ; il coupe le cercle C endeux points distincts A et C,

– Tracer le cercle de centre C, passant par B ; il coupe le cercle C endeux points distincts B et D,

• Pour obtenir le pentagone étoilé, tracer les segments [AC], [CE], [EB],[BD], [DA].


Partie C : L’étude du pentagone convexe régulier

O

A

F

G HM

N

B

CD

E

Pentagone convexe régulier (la figure n’est pas en vraie grandeur)La position relative des points est donnée dans la partie B. On note r le rayon

du cercle

C.1) Calculer les mesures des angles ’AOB et ’ABC.

C.2) L’objectif de cette question est de calculer MA et ON .

C.2.a) Quelle est la nature du triangle AOM ? En déduire que MA =p52 r

.

C.2.b) D’après le programme de construction précédent, quelle relation lieMA et MN ? En déduire que ON =

p5�12 r.

C.3) L’objectif de cette question est de calculer la mesure d’un côté du penta-gone.

C.3.a) Quelle est la nature du triangle AON ? Donner l’expression de ANen fonction de r.

C.3.b) En déduire que la mesure du côté [AB] du pentagone est

AB = r

s

1 +

Äp5� 1

ä2

4

C.3.c) Si le pentagone convexe régulier ABCDE est obtenu à partir d’uncercle de rayon r = 6 cm, quelles sont les expressions de MA, ONet AB ? Donner la troncature à deux décimales de la mesure, en cm,du côté de ce pentagone régulier.


Partie D : L’étude du pentagone étoilé régulier ACEBD

O

A

F

G H

B

CD

E

Pentagone étoilé régulier (la figure n’est pas en vraie grandeur)

D.1) Calculer la mesure de l’angle ’CAD.

D.2) On sait que le rapport entre la diagonale du pentagone convexe régulieret son côté est égal au nombre d’or ' =

p5+12 .

D.2.a) En déduire une expression liant AC et AB.D.2.b) Si le pentagone étoilé régulier ACEBD est obtenu à partir d’un

cercle de rayon r = 6 cm, quelle est la longueur AC ? Donner unetroncature à une décimale de la mesure, en cm, du côté [AC] dupentagone étoilé.

DEUXIÈME PARTIE

Cette partie est constituée de trois exercices indépendants.

Exercice 1

En informatique, on utilise généralement les trois bases suivantes :

• La base 2 ou binaire : les seuls chiffres sont 0 et 1 ;

• La base 10 ou décimale ;

• La base 16 ou hexadécimale : les chiffres sont 0, 1,..., 9, A, B, C, D, E, F.

1. Pour chacune des suites de chiffres suivantes « 10101100 » ; « 1010211 » ;« 2A0GF00 », préciser si elle peut être une représentation de nombre :

1a) En base 2.1b) En base 10.1c) En base 16.


2. Cette question concerne les conversions binaire $ décimal.

2a) Convertir 11010102 en base dix en explicitant les calculs.2b) Convertir 255 en base deux en explicitant les calculs.

3. Cette question concerne les conversions hexadécimal $ décimal.

3a) Convertir 10016 en base dix en explicitant les calculs.3b) Convertir 255 en base seize en explicitant les calculs.

4. 4a) Recopier et compléter le tableau suivant en effectuant les conversionsnécessaires :

binaire 102 110 10102décimal 16 255hexadécimal 3116 10016 7B9A16

4b) En vous aidant du tableau, en déduire une méthode « simple » poureffectuer les conversions binaire $ hexadécimal sans passer par labase 10.

Exercice 2

1. Les nombres suivants sont-ils décimaux ?

A =21

49; B = 15, 28 ; C =

274

685

2. Le nombre B est exprimé au moyen d’une écriture décimale. L’objectifde cette question est de trouver l’écriture fractionnaire de B.

2a) Calculer 100⇥B puis 100⇥B �B. En déduire 99⇥B.2b) En déduire une écriture fractionnaire de B.

Exercice 3

Cet exercice faisait partie de l’évaluation de l’UE2.

Dans une classe de CM1, un grand carré sur feuille A3 est affiché au tab-leau.La tâche des élèves consiste à compléter un carré « en plus petit » à partird’une amorce composée de deux côtés consécutifs du carré. L’ensemble des ins-truments de géométrie est à disposition (gabarits d’angle droit, règle graduée,équerre, compas...).

1. Pourquoi l’amorce est-elle disposée de manière inclinée ?

2. Proposer 3 procédures correctes que pourrait mettre en œuvre un élève deCM1. Pour chacune d’entre elles, préciser les compétences mathématiquesqui sont en jeu.

3. Pour chacune des trois productions en Annexe 2, décrire quelle a pu êtrela procédure de l’élève.


Amorce de la figure :

Remarque : sur la figure d’origine, les côtés de l’amorce mesurent chacun 5cm. Selon le type d’imprimante avec lequel le présent document sera imprimé,ces mesures seront respectées ou éventuellement légèrement agrandies ouréduites. Si c’est le cas, elles devraient l’être proportionnellement.


TROISIÈME PARTIE

Analyse d’exercices proposés à des élèves sur l’apprentis-

sage des nombres.

Situation A

Dans une classe, un maître utilise avec ses élèves des cartes de devinettes.En voici quatre exemples :

1 2C’est un nombre à 3 chiffres. C’est un nombre à 3 chiffres.Il est composé de 5 dizaines, 8unités et 2 centaines.

Il est composé de 73 dizainesexactement.

3 4C’est un nombre à 3 chiffres. C’est un nombre à 3 chiffres.Il est égal à 4⇥ 30. Il est juste avant 920.

Un extrait des progressions (pour le cycle 2 et le cycle 3) figurant dans lebulletin officiel HS n˚ 3 du 19 juin 2008 (programmes scolaires) est proposé enAnnexe 3.

A.1) Expliciter les compétences à mobiliser pour résoudre chacune de cesquatre devinettes

A.2) A partir de quel niveau de classe peut-on proposer ces quatre cartes ?Donner deux arguments.

A.3) Construisez pour cette même classe deux nouvelles cartes permettant detravailler deux nouvelles compétences en numération (que vous précise-rez).

A.4) Pour les cartes 1 et 3, décrivez deux procédures utilisables par les élèvespour déterminer les nombres décrits.

A.5) Voyez-vous un intérêt à préciser pour chaque carte « c’est un nombre detrois chiffres » ? Justifier votre réponse.

Situation B :

On considère l’exercice suivant :

Trouver un nombre compris entre :

7,6 et 7,9 20,3 et 20,4 47 et 47,1 9 et 9,01

B.1) L’exercice admet-t-il des solutions ? Pourquoi ? Comment formuleriez-vous une explication pour des élèves de fin de cycle 3 ?

B.2) Expliquer pourquoi le choix des valeurs numériques est important dansl’exercice.

B.3) Certains élèves échouent à l’exercice ci-dessus. Donner une origine vrai-semblable de leurs difficultés. Citer deux erreurs possibles.


Situation C :

Les documents 1 et 2 situés en Annexe 4 présentent plusieurs méthodespour comparer les nombres décimaux.

C.1) En revenant à la définition d’un nombre décimal, donner une justificationpour chacune de ces deux méthodes.

C.2) Les exemples proposés dans les documents 1 et 2 vous semblent-ils perti-nents ? Justifier.

C.3) En vous inspirant des méthodes des documents 1 et 2, donner la règle decomparaison que vous exposeriez à vos élèves. Justifier votre choix.


Annexe 1

A

F


Annexe 2Production de l’élève 1

Production de l’élève 2

Production de l’élève 3


Annexe 3Progressions sur « Nombres et Calcul » aux Cycles 2 et 3

Cours préparatoire Cours élémentaire première année- Connaître (savoir écrire et nommer) les nombres entiers na-

turels inférieurs à 100.

- Produire et reconnaître les décompositions additives des

nombres inférieurs à 20 (« table d’addition »).

- Comparer, ranger, encadrer ces nombres.

- Écrire une suite de nombres dans l’ordre croissant ou dé-

croissant.

- Connaître les doubles des nombres inférieurs à 10 et les moi-

tiés des nombres pairs inférieurs à 20.

- Connaître la table de multiplication par 2.

- Calculer mentalement des sommes et des différences.

- Calculer en ligne des sommes, des différences, des opérations

à trous.

- Connaître et utiliser les techniques opératoires de l’addi-

tion et commencer à utliser celles de la soustraction (sur les

nombres inférieurs à 100).

- Résoudre des problèmes simples à une opération.

- Connaître (savoir écrire et nommer) les nombres entiers na-

turels inférieurs à 1 000.

- Repérer et placer ces nombres sur une droite graduée, les

comparer, les ranger, les encadrer.

- Écrire ou dire des suites de nombres de 10 en 10, de 100 en

100, etc.

- Connaître les doubles et moitiés de nombres d’usage cou-

rant.

- Mémoriser les tables de multiplication par 2, 3, 4 et 5.

- Connaître et utiliser des procédures de calcul mental pour

calculer des sommes, des différences et des produits.

- Calculer en ligne des suites d’opérations.

- Connaître et utiliser les techniques opératoires de l’addition

et de la soustraction (sur les nombres inférieurs à 1 000).

- Connaître une technique opératoire de la multiplication et

l’utiliser pour effectuer des multiplications par un nombre à

un chiffre.

- Diviser par 2 ou 5 des nombres inférieurs à 100 (quotient

exact entier).

- Résoudre des problèmes relevant de l’addition, de la sous

traction et de la multiplication.

- Approcher la division de deux nombres entiers à partir d’un

problème de partage ou de groupements.

- Utiliser les fonctions de base de la calculatrice.


Cours élémentaire deuxième année Cours moyen première année Cours moyen deuxième annéeLes nombres entiers jusqu’au million- Connaître, savoir écrire et nommer les

nombres entiers jusqu’au million.

- Comparer, ranger, encadrer ces

nombres.

- Connaître et utiliser des expressions

telles que : double, moitié ou demi,

triple, quart d’un nombre entier.

- Connaître et utiliser certaines relations

entre des nombres d’usage courant :

entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30 et

60.

Les nombres entiers jusqu’au milliard- Connaître, savoir écrire et nommer les

nombres entiers jusqu’au milliard.

- Comparer, ranger, encadrer ces

nombres.

- La notion de multiple : reconnaître les

multiples des nombres d’usage courant :

5, 10, 15, 20, 25, 50.

Les nombres entiers

Fractions- Nommer les fractions simples et déci-

males en utilisant le vocabulaire : demi,

tiers, quart, dixième, centième.

- Utiliser ces fractions dans des cas

simples de partage ou de codage de me-

sures de grandeurs.

Fractions- Encadrer une fraction simple par deux

entiers consécutifs.

- Écrire une fraction sous forme de somme

d’un entier et d’une fraction inférieure à

1.

- Ajouter deux fractions décimales ou

deux fractions simples de même dénomi-

nateur.

Nombres décimaux- Connaître la valeur de chacun des

chiffres de la partie décimale en fonction

de sa position (jusqu’au 1/100ème).

- Savoir :

. les repérer, les placer sur une droite gra-

duée,

. les comparer, les ranger,

. les encadrer par deux nombres entiers

consécutifs,

. passer d’une écriture fractionnaire à une

écriture à virgule et réciproquement.

Nombres décimaux- Connaître la valeur de chacun des

chiffres de la partie décimale en fonction

de sa position (jusqu’au 1/10 000ème).

- Savoir :

. les repérer, les placer sur une droite gra-

duée en conséquence,

. les comparer, les ranger,

. produire des décompositions liées à

une écriture à virgule, en utilisant

10 ;100 ;1000...et0,1 ;0,01 ;0,001... - Don-

ner une valeur approchée à l’unité près,

au dixième ou au centième près.

Calcul sur des nombres entiersCalculer mentalement

- Mémoriser et mobiliser les résultats des

tables d’addition et de multiplication.

- Calculer mentalement des sommes, des

différences, des produits.

Effectuer un calcul posé

- Addition, soustraction et multiplica-

tion.

- Connaître une technique opératoire de

la division et la mettre en œuvre avec un

diviseur à un chiffre.

- Organiser ses calculs pour trouver un ré-

sultat par calcul mental, posé, où à l’aide

de la calculatrice.

- Utiliser les touches des opérations de la

calculatrice.

Problèmes

- Résoudre des problèmes relevant des

quatre opérations.

CalculCalculer mentalement

- Consolider les connaissances et capaci-

tés en calcul mental sur les nombres en-

tiers.

- Multiplier mentalement un nombre en-

tier ou décimal par 10, 100, 1 000.

- Estimer mentalement un ordre de gran-

deur du résultat.


- Addition et soustraction de deux

nombres décimaux.

- Multiplication d’un nombre décimal par

un nombre entier.

- Division euclidienne de deux entiers.

- Division décimale de deux entiers.

- Connaître quelques fonctionnalités de

la calculatrice utiles pour effectuer une

suite de calculs.

Problèmes

- Résoudre des problèmes engageant une

démarche à une ou plusieurs étapes

CalculCalculer mentalement

- Consolider les connaissances et capaci-

tés en calcul mental sur les nombres en-

tiers et décimaux.

- Diviser un nombre entier ou décimal par

10, 100, 1 000.


- Addition, soustraction, multiplication

de deux nombres entiers ou décimaux.

- Division d’un nombre décimal par un

nombre entier.

- Utiliser sa calculatrice à bon escient.

Problèmes

- Résoudre des problèmes de plus en plus

complexes.


Annexe 4



2013-2014 — SESSION 2

Aucun document n’est autorisé. La calculatrice est interdite. Le matériel degéométrie (règle graduée, compas, équerre, rapporteur) est autorisé.Sauf indication contraire, toutes les réponses doivent être justifiées.

PREMIÈRE PARTIE

La correction de ce su-jet se trouve page 290Le but de ce problème est d’étudier la situation suivante :

A

B

C

D

E F

G

H

I

J

K

L

ABCD est un parallélogramme. Les points E, F , G et H sontles milieux respectifs des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA]. Onappelle :

• I, le point d’intersection de [AF ] et [DE] ;

• J , le point d’intersection de [AF ] et [BG] ;

• K, le point d’intersection de [CH] et [BG] ;

• L, le point d’intersection de [CH] et [DE].

Dans un premier temps, on se propose d’étudier cette figure dans le cas général.Dans un deuxième temps, on l’étudiera dans le cas particulier où ABCD estun carré.


I. Cas général.

1. Démontrer que le quadrilatère BGDE est un parallélogramme. (On ad-mettra ensuite qu’on peut montrer de la même manière que AFCH estun parallélogramme également).

2. Démontrer que IJKL est un parallélogramme.

3. Démontrer que AI = IJ = CK = KL. (On admettra ensuite qu’on peutmontrer de la même manière que BJ = JK = IL = LD).

4. Démontrer que 2JF = IJ . (On admettra ensuite qu’on peut montrer dela même manière que 2LH = LK, 2EI = IL et 2KG = JK).

5. Démontrer que l’aire du triangle ABJ est égale à l’aire du parallélo-gramme IJKL.

6. Démontrer que l’aire du parallélogramme ABCD vaut 5 fois l’aire du pa-rallélogramme IJKL (on pourra utiliser, en les citant sans les démontrer,d’autres égalités d’aires analogues à celle montrée au point précédent).

II. Cas particulier.

On considère la même figure dans le cas particulier où ABCD est un carré.

1. Faire la figure. On prendra AB = 6 cm.

2. Montrer que AF = BG.

3. En déduire que IJ = JK.

4. Montrer que l’angle ‘IJK est droit.

5. En déduire la nature de IJKL (justifier).

DEUXIÈME PARTIE

Exercice 1

On peut, à l’aide d’une calculatrice, obtenir les résultats suivants :

• 232 = 4 294 967 296

• 42 9492 = 1 844 616 601

• 67 2962 = 4 528 751 616

• 42 949⇥ 67 296 = 2 890 295 904

Utiliser les quatre résultats ci-dessus pour calculer 264 (que la calculatricene permet pas de calculer avec précision : elle ne travaille pas avec assez dechiffres).


Exercice 2

On donne l’information que le nombre 1 525 311 048 est divisible par lenombre 12 344, et on appelle q le quotient 1 525 311 048 : 12 344.

Sachant qu’une et une seule des affirmations suivantes est correcte, précisezlaquelle. Justifiez votre choix.

a) q = 12 562

b) q = 12 567

c) q = 123 567

d) q = 123 568

e) q = 1 203 562

Exercice 3

Cet exercice faisait partie du questionnaire relatif à l’UE2Un maître de CM2 a proposé à ses élèves de reproduire le plus soigneusement

possible la figure, qui sert de modèle, présentée en annexe 1.

Attention ! Les lettres désignant les sommets de la figure n’étaientpas présentes sur la figure proposée aux élèves. Elles ont été

ajoutées pour vous permettre de faire référence plus facilement àcertains éléments de la figure (voir aussi la dernière

recommandation après les questions qui vous sont posées)

L’activité se déroule en trois phases :

• Première phaseChaque élève avait devant lui le modèle. Le maitre avait donné la consignesuivante :

« Vous allez écrire sur une demi feuille de papier tous les renseignementsqui vous permettront de reproduire le plus exactement possible la figuremodèle que vous avez devant vous. Attention, quand vous allez essayerde reproduire ce modèle, vous ne l’aurez plus devant les yeux. Il vousfaudra donc tracer la figure à partir des seuls renseignements que vousaurez écrits. Vous pouvez, si vous le souhaitez, porter vos renseignementssur un dessin tracé rapidement, à main levée, de la maison à reproduire. »

• Deuxième phaseTentative de reproduction de la figure (individuellement).

• Troisième phaseAnalyse critique des réalisations de chaque élève.


Vous trouverez en annexe 2 ce que Sophie a écrit sur sa feuille dans lapremière phase de l’activité, et en annexe 3 la réalisation de cette même Sophie.

1. Sophie a-t-elle respecté tous les renseignements qu’elle a notés sur safeuille ?

2. Sophie n’utilise-t-elle pas implicitement une ou plusieurs données qu’ellen’avait pas relevées sur sa feuille ? Si oui, préciser laquelle ou lesquelles.

3. Relevez les erreurs commises par Sophie.

4. Formulez deux hypothèses, liées aux consignes, au choix de la figure et/ouà la difficulté de l’exercice, qui peuvent expliquer ces erreurs.

Vous veillerez à répondre en utilisant un vocabulaire géométriqueaussi précis que possible.

TROISIÈME PARTIE

Dans une classe de CE2 de 21 élèves, a été conduit au premier trimestre untravail sur les nombres entiers. Le maître a d’abord proposé des exercices d’éva-luation pour repérer les compétences des élèves ; ces exercices sont donnés dansl’annexe 4. Quelques jours plus tard, il a proposé un problème qui a comportédeux phases : le déroulement de ces deux phases est décrit dans l’annexe 5. Voustrouverez les résultats concernant les réussites à la première phase du problèmedans l’annexe 6.Vous trouverez des productions d’élèves concernant la première phase dans l’an-nexe 7, et la seconde dans l’annexe 8.Vous trouverez des extraits du BO de 2008 (Programmes, compétences du soclecommun, progressions) dans les annexes 9 (cycle 2) et 10 (cycle 3).

Question 1

Cette question concerne l’annexe 4.

Quelques jours avant la séance décrite, le maître fait une évaluation diag-nostique en proposant les trois exercices de l’annexe 4.

a Quel point du programme du cycle 3 ces exercices concernent-ils ?

b Indiquez ce que chacun des exercices permet d’évaluer (on insistera surl’apport spécifique de chacun des exercices).

c Pour chacun des exercices 2 et 3, donner une réponse erronée que pourraitnaturellement donner un élève n’ayant pas acquis les compétences visées,mais qui aurait cependant réussi l’exercice 1. Expliquer en quelques motsl’origine de ces réponses erronées (ce que l’élève a compris, ce qu’il n’apas compris).

d Ni la liste des compétences attendues en fin de CE1, ni le tableau deprogression pour le cycle 2, n’évoquent explicitement les compétencesévaluées par ces exercices. Donner deux raisons pour lesquelles il est ce-pendant indispensable de les travailler dès le cycle 2.


Question 2

Cette question concerne l’activité, annexes 5 et 6

a Quelle est la compétence essentielle (non explicite dans les programmes)visée dans chacune des deux phases (annexe 5) ?

b Comment expliquez-vous les différences concernant les réussites dans l’an-nexe 6 ?

Question 3

Dans cette question, on s’intéresse aux procédures relatives à la phase 1 duproblème (annexe 7)

a Analyser les productions d’Antoine et d’Yvan, en identifiant leurs procé-dures et leurs éventuelles erreurs.

b Citer une autre procédure (correcte) qu’on pourrait attendre d’un élèvede CE2, en l’illustrant sur un exemple.

Question 4

Dans cette question, on s’intéresse aux procédures relatives à la phase 2 duproblème (annexe 8)

a Les réponses fournies par Boris et par Marie sont-elles correctes ?Justifier.

b Boris et Marie ont fourni deux réponses différentes, mais essentiellementidentiques, en ce sens qu’il suffit de sortir d’un des 17 cartons de Marieles 10 paquets qu’il contient, pour obtenir les 16 cartons et 19 paquets dela réponse de Boris.Les procédures de Boris et Marie vont-elles toujours fournir des réponsesessentiellement identiques au sens décrit ci-dessus, quels que soient lesnombres de calissons nécessaires pour chaque club ?Justifier et illustrer par un exemple.

c En tenant compte de la réponse à la question précédente et de tous leséléments du problème, laquelle des procédures de Boris et Marie est-ellecorrecte ? Comment modifier l’énoncé pour que ce soit l’inverse ?Justifier.


ANNEXE 1

A

J

B

C

K

DE

L

F G

HI


ANNEXE 2


ANNEXE 3


ANNEXE 4

Exercices d’évaluation donnés avant la séance

1) Voici des nombres :7965 9173 75 67

98 276 909153 1756 1970 9746

Souligne

en bleu les nombres qui ont 9 comme chiffre des centaines.Souligne en rouge les nombres qui ont à la fois 7 comme chiffre des centaineset 6 comme chiffre des unités.

2) Pour chaque étiquette, écris le nombre représenté.

7 dizaines 3 unités 2 centaines

b b

8 unités 5 centaines

b b

3) Ecris le nombre représenté dans l’étiquette.

14 unités 6 dizaines 7 centaines 5 dizaines

b b


ANNEXE 5 : Description de la séance

La séance a comporté deux phases.

Phase 1 :Le maître décrit oralement la situation suivante :

« Pour sa fête sur le thème de la Provence, la mairie veut acheter des calissonsd’Aix (ces petits gâteaux en forme de losange) qui sont vendus par paquets etcartons.Chaque paquet contient 10 calissons.Chaque carton contient 10 paquets de 10 calissons. »

Il colle l’affiche suivante au tableau :

1 paquet : 10 calissons⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃

1 carton : 10 paquets100 calissons

⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃ ⌃

Cette représentation reste au tableau. Le maître continue :

« La mairie commande des calissons pour les différents clubs quiparticiperont à la fête. Chaque club ne peut recevoir que descartons et des paquets. Il y a 5 clubs : le club de foot, le club descrabble, le club philatélique, le club d’équitation, le club de dansefolklorique. Il faudra 5 commandes, une pour chacun de ces clubs. »

Chaque élève reçoit alors une feuille où est inscrit le nombre de calissons :

Pour le club de foot, il faut600 calissons


Consigne : « Vous devez écrire sur la feuille la commande pour le club de footen cartons et paquets. Sur la feuille, vous expliquez comment vous avez faitla commande et vous faites une phrase pour la réponse.Les élèves travaillent individuellement.Quand ils ont terminé, le maître leur donne une autre feuille pour la commandedu club de scrabble (370 calissons), puis celle du club philatélique (238 calis-sons), le club d’équitation (70 calissons), le club de danse (506 calissons).

Phase 2 :Quand les élèves ont terminé de remplir les cinq feuilles, le maître leur donne

une nouvelle feuille du modèle ci-après :

Il faut b La commande bClub de foot :600 calissons

Club de scrabble :370 calissons

Club philatélique :238 calissons

Club d’équitation :70 calissons

Club de danse :506 calissons

Commande de la mairie ?

et leur donne la consigne suivante :

« Vous cherchez la commande que la mairie doit passer pour tous les clubs. »

La séance se termine sur ce travail individuel. Le maître poursuivra ce travaildans une deuxième séance non décrite ici.

ANNEXE 6

Tableau répertoriant les réussites dans la première phase du problème.

Club de Club de Club Club Club defoot scrabble philatélique d’équitation danse

Calissons 600 370 238 70 506Élèves ayant donné 18 14 4 17 6la bonne réponse


ANNEXE 7

La production d’Antoine pour la phase 1 :

Pour le club de foot, il faut : 600 calissons.100 + 100 + 200 + 200 = 600, dans un carton il y a100 calissons. Pour le club de foot, il faut 600 calissons.

Pour le club de scrabble, il faut : 370 calissons.100 + 100 + 100 + 70 = 370.Il faut 3 grands cartons de 100 et 6 paquets. Il faut370 calissons pour le club de scrabble.

Pour le club philatélique, il faut : 238 calissons.200 + 38 = 238. Il faut 2 cartons et 5 paquets. Il faut238 calissons pour le club philatélique.

Pour le club d’équitation, il faut : 70 calissons.60 + 10 = 70. Il faut 7 paquets de calissons. Pour leclub d’équitation, il faut 70 calissons.

Pour le club de danse, il faut : 506 calissons.100 + 200 + 200 + 5 = 506. Il faut 5 cartons et 1paquet. Pour le club de danse, il faut 506 calissons.

La production d’Yvan pour la phase 1 :

Pour le club de foot, il faut : 600 calissons.Il faut 6 cartons de calissons.

Pour le club de scrabble, il faut : 370 calissons.Il faut trois cartons de calissons et sept paquets.

Pour le club philatélique, il faut : 238 calissons.Il faut 2 cartons de calissons, 3 paquets et 8 calissons.

Pour le club d’équitation, il faut : 70 calissons.Pour le club d’équitation, il faut 7 paquets de calissons.

Pour le club de danse, il faut : 506 calissons.Pour le club de danse, il faut 5 cartons de calissons et6 calissons(5⇥ 100) + 6 = 506


ANNEXE 8

La production de Boris pour la phase 2 :

Il faut b La commande bClub de foot : Il faut 6 cartons600 calissons

Club de scrabble : Il faut 3 cartons370 calissons 7 paquets

Club philatélique : Il faut 2 cartons238 calissons 4 paquets

Club d’équitation : Il faut 7 paquets70 calissons

Club de danse : Il faut 5 cartons506 calissons 1 paquet

Commande de la mairie ?16 cartons et 19 paquets.

La production de Marie pour la phase 2 :

Il faut b La commande bClub de foot : Il faut 6 cartons600 calissons de 100 calissons

Club de scrabble : Il faut 3 cartons370 calissons et 7 paquets

Club philatélique : Il faut 2 cartons238 calissons et 4 paquets

Club d’équitation : Il faut 7 paquets70 calissons

Club de danse : Il faut 5 cartons506 calissons et 1 paquet

Commande de la mairie ?

1 1

6 0 0+ 3 7 0 Il faut 1784 calissons.+ 2 3 8+ 7 0 Ça fera 17 cartons+ 5 0 6 et 9 paquets.

1 7 8 4


ANNEXE 9

Extrait des programmes pour le cycle 2 :

1 - Nombres et calcul Les élèves apprennent la numération décimale infé-rieure à 1 000. Ils dénombrent des collections, connaissent la suite des nombres,comparent et rangent. Ils mémorisent et utilisent les tables d’addition et demultiplication (par 2, 3, 4 et 5), ils apprennent les techniques opératoires del’addition et de la soustraction, celle de la multiplication et apprennent à ré-soudre des problèmes faisant intervenir ces opérations. Les problèmes de grou-pements et de partage permettent une première approche de la division pourdes nombres inférieurs à 100. L’entraînement quotidien au calcul mental per-met une connaissance plus approfondie des nombres et une familiarisation avecleurs propriétés.

Extrait de la liste des compétences attendues à la fin du CE1 :

Compétence 3 : Les principaux éléments de mathématiques et laculture scientifique et technologique

L’élève est capable de :

• écrire, nommer, comparer, ranger les nombres entiers naturels inférieursà 1 000 ;

• calculer : addition, soustraction, multiplication ;

• diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 100 (dans le cas oùle quotient exact est entier) ;

• restituer et utiliser les tables d’addition et de multiplication par 2, 3, 4et 5 ;

• (. . .)


ANNEXE 9 (suite)

Extrait des progressions au Cycle 2 sur « Nombres et calcul » :


Cours préparatoire Cours élémentaire première année

• Connaître (savoir écrire etnommer) les nombres en-tiers naturels inférieurs à100.

• Produire et reconnaître lesdécompositions additivesdes nombres inférieurs à20 (« table d’addition »).

• Comparer, ranger, enca-drer ces nombres.

• Écrire une suite denombres dans l’ordrecroissant ou décroissant.

• Connaître les doubles desnombres inférieurs à 10 etles moitiés des nombrespairs inférieurs à 20.

• Connaître la table de mul-tiplication par 2.

• Calculer mentalement dessommes et des différences.

• Calculer en ligne dessommes, des différences,des opérations à trous.

• Connaître et utiliser lestechniques opératoires del’addition et commencer àutliser celles de la soustrac-tion (sur les nombres infé-rieurs à 100).

• Résoudre des problèmessimples à une opération.

• Connaître (savoir écrire et nom-mer) les nombres entiers naturelsinférieurs à 1 000.

• Repérer et placer ces nombres surune droite graduée, les comparer,les ranger, les encadrer.

• Écrire ou dire des suites denombres de 10 en 10, de 100 en100, etc.

• Connaître les doubles et moitiésde nombres d’usage courant.

• Mémoriser les tables de multipli-cation par 2, 3, 4 et 5.

• Connaître et utiliser des procé-dures de calcul mental pour cal-culer des sommes, des différenceset des produits.

• Calculer en ligne des suites d’opé-rations.

• Connaître et utiliser les tech-niques opératoires de l’additionet de la soustraction (sur lesnombres inférieurs à 1 000).

• Connaître une technique opéra-toire de la multiplication et l’uti-liser pour effectuer des multiplica-tions par un nombre à un chiffre.

• Diviser par 2 ou 5 des nombres in-férieurs à 100 (quotient exact en-tier).

• Résoudre des problèmes relevantde l’addition, de la soustraction etde la multiplication.

• Approcher la division de deuxnombres entiers à partir d’un pro-blème de partage ou de groupe-ments.

• Utiliser les fonctions de base de lacalculatrice.


ANNEXE 10

Extrait des programmes pour le cycle 3 :

1 - Nombres et calculL’étude organisée des nombres est poursuivie jusqu’au milliard, mais des nombresplus grands peuvent être rencontrés.Les nombres entiers naturels :

• principes de la numération décimale de position : valeur des chiffres enfonction de leur position dans l’écriture des nombres ; désignation oraleet écriture en chiffres et en lettres ;

• comparaison et rangement de nombres, repérage sur une droite graduée,utilisation des signes > et < ;

• relations arithmétiques entre les nombres d’usage courant : double, moi-tié, quadruple, quart, triple, tiers..., la notion de multiple.

(. . .)

Extrait de la liste des compétences attendues à la fin du CM2 :

Compétence 3 :Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifiqueet technologiqueA) Les principaux éléments de mathématiquesL’éléve est capable de :

• écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers, les nombres dé-cimaux (jusqu’au centième) et quelques fractions simples ;

• restituer les tables d’addition et de multiplication de 2 à 9 ;

• utiliser les techniques opératoires des quatre opérations sur les nombresentiers et décimaux (pour la division, le diviseur est un nombre entier) ;

• calculer mentalement en utilisant les quatre opérations ;

• estimer l’ordre de grandeur d’un résultat ;

• utiliser une calculatrice ;

• (. . .)

• résoudre des problèmes relevant des quatre opérations, de la proportion-nalité, et faisant intervenir différents objets mathématiques : nombres,mesures, « règle de trois », figures géométriques, schémas ;

• savoir organiser des informations numériques ou géométriques, justifieret apprécier la vraisemblance d’un résultat ;

• (. . .)


Annexe 10 (suite)

Extrait des progressions au Cycle 3 sur « Nombres et Calcul »

Cours élémentairedeuxième année

Cours moyen premièreannée

Cours moyendeuxième année

Les nombres entiersjusqu’au million

• Connaître, savoirécrire et nom-mer les nombresentiers jusqu’aumillion.

• Comparer, ran-ger, encadrer cesnombres.

• Connaître etutiliser des ex-pressions tellesque : double,moitié ou demi,triple, quart d’unnombre entier.

• Connaître et uti-liser certaines re-lations entre desnombres d’usagecourant : entre 5,10, 25, 50, 100,entre 15, 30 et60.

Les nombres entiersjusqu’au milliard

• Connaître, savoirécrire et nom-mer les nombresentiers jusqu’aumilliard.

• Comparer, ran-ger, encadrer cesnombres.

• La notion demultiple : re-connaître lesmultiples desnombres d’usagecourant : 5, 10,15, 20, 25, 50.

Les nombres entiers

1.3. DEUXIÈME SEMESTRE 2013-2014 — SESSION 1 37

1.3 DEUXIÈME SEMESTRE

2013-2014 — SESSION 1


PREMIÈRE PARTIE

La correction de ce su-jet se trouve page 302Remarques :

• la partie B utilise les résultats qui sont à démontrer en partie A, car leshypothèses sont identiques dans ces deux parties,

• mais, dans la partie C, les résultats des parties A et B ne sont plus va-lables, car les hypothèses ont changé.

On considère un pavé droit ABCDA0B0C 0D0 tel que

• ABCD et A0B0C 0D0 soient des faces carrées de côté x (en centimètres) ;

• ABB0A0, BCC 0B0, CDD0C 0 et DAA0D0 soient des faces rectangulairesde dimensions x et h (en centimètres).

Soit I le milieu de [A0B0], J le milieu de [B0C 0], K le milieu de [C 0D0] et Lle milieu de [D0A0].

On considère maintenant le solide ABCDIJKL obtenu en retirant dupavé droit ABCDA0B0C 0D0 les quatre tétraèdres AA0LI, BB0IJ , CC 0JK etDD0KL.

Une figure représentant ce solide ABCDIJKL est proposée en ANNEXEdu PROBLÈME.

Partie A : tracé d’un patron du solide ABCDIJKL.

Pour toute cette partie A, x = 4 et h = 3.

A.1. Montrer que AI =p13 (en centimètres).

On admet ensuite que AI = BI = BJ = CJ = CK = DK = DL = AL.

A.2. Montrer que IJ = 2p2 (en centimètres).

On admet ensuite que IJ = JK = KL = LI.

A.3. Quelle est la nature du quadrilatère IJKL ? Le démontrer.


A.4. Énumérer toutes les faces du solide, citer leur nature (triangle rectangle,triangle isocèle, ... ou carré, rectangle, losange, ... ou ...) ainsi que lesmesures des côtés.Représenter un patron du solide ABCDIJKL avec AI ⇡ 3, 6 (en centi-mètres) et IJ ⇡ 2, 8 (en centimètres). Le soin apporté au tracé sera prisen compte.

Partie B : coupe du solide ABCDIJKL.

Pour toute cette partie B, x = 4 et h = 3, tout comme dans la partie A.Dans cette partie, on coupe le solide ABCDIJKL par un plan P parallèle

aux plans (ABC) et (A0B0C 0). Ce plan P va couper l’arête [AI] en S, l’arête[IB] en T , l’arête [BJ ] en U , l’arête [JC] en V , l’arête [CK] en W , l’arête [KD]en X, l’arête [DL] en Y , et l’arête [LA] en Z.

B.1. Lorsqu’on coupe à mi-hauteur, c’est à dire lorsque S est milieu de [AI],T est milieu de [IB], U est milieu de [BJ ], V est milieu de [JC], W estmilieu de [CK], X est milieu de [KD], Y est milieu de [DL] et Z estmilieu de [LA], donner la longueur ST (en centimètres) en le justifiant.On admet ensuite que ST = UV = WX = Y Z.

B.2. Toujours lorsque l’on coupe à mi-hauteur, donner la longueur TU (encentimètres) en le démontrant.On admet ensuite que TU = VW = XY = ZS.

B.3. Toujours lorsque l’on coupe à mi-hauteur, l’octogone STUVWXY Zest-il régulier ? Le démontrer.

B.4. On sait qu’on peut trouver un plan qui ne soit plus à mi-hauteurtel que le polygone STUVWXY Z soit un octogone régulier.Sans aucune justification, donner alors la mesure du côté de cet octogonerégulier.

Partie C : aire totale du solide ABCDIJKL, c’est à dire la sommedes aires de chacune des faces, à volume constant.

Pour toute cette partie C, le côté x (en centimètres) est considéré commeune variable réelle, strictement positive, et la dimension h est alors déterminéeen fonction de x de telle façon que le volume du pavé droit ABCDA0B0C 0D0

soit de 120 (en centimètres cubes).

C.1. Démontrer queh =

120

x2.

Aide : pour rappel, le volume du pavé droit ABCDA0B0C 0D0 est constantet vaut 120 (en centimètres cubes).

C.2. Déterminer le volume du solide ABCDIJKL en le démontrant.Aide : pour rappel, le solide ABCDIJKL obtenu en retirant du pavédroit ABCDA0B0C 0D0 les quatre tétraèdres AA0LI, BB0IJ , CC 0JK etDD0KL.


C.3. L’aire totale A(x) (en centimètres carrés) du solide ABCDIJKL estdonnée en fonction de x par :

A(x) =3⇥ x2

2+

480 +p115 200 + x6

2⇥ x.

À l’aide d’un tableur, on obtient le tableau de valeurs suivant : il donne,pour certaines valeurs de x (en cm), une approximation de la valeur del’aire totale A(x) (en cm2) du solide ABCDIJKL.

x A(x) x A(x) x A(x)(en cm) (en cm2) (en cm) (en cm2) (en cm) (en cm2)0, 5 819, 79 4, 5 122, 76 8, 5 177, 891 411, 21 5 121, 67 9 192, 841, 5 276, 52 5, 5 123, 37 9, 5 209, 172 210, 88 6 127, 53 10 226, 802, 5 173, 33 6, 5 133, 88 10, 5 245, 683 150, 25 7 142, 25 11 265, 753, 5 135, 82 7, 5 152, 47 11, 5 287, 004 127, 17 8 164, 39 12 309, 38

C.3.a Expliquer pourquoi, d’après les seules valeurs contenues dans ce tableau,on ne peut pas conclure que l’aire totale est minimale pour une valeur dex valant exactement 5.

C.3.b Sur le papier millimétré fourni, représenter graphiquement A(x) (en cm2)en fontion de x (en cm).

• Disposition de la feuille : portrait.

• Sur l’axe des x (horizontal), on représentera 1 cm par 1 cm.

• Sur l’axe des A(x) (vertical), on représentera 40 cm2 par 1 m.

C.3.c Graphiquement, proposer une valeur de x en laquelle l’aire totale sembleminimale.

DEUXIÈME PARTIE

Exercice 1

Un récipient, de contenance C se remplit à débit constant de cinq litrestoutes les deux minutes.

Maintenant, ce récipient n’est pas vide. Mais, dans deux minutes, ce réci-pient sera déjà rempli au tiers. Et ce n’est que dans quatorze minutes (depuismaintenant) que ce récipient sera enfin rempli à ras bord.

Quelle est la contenance C de ce récipient, en litres ?


Exercice 2

Dans cet exercice, des affirmations sont proposées. Pour chacune d’entreelles, dire si elle est vraie ou si elle est fausse. Justifier la réponse.

Une réponse exacte mais non justifiée ne rapporte aucun point.Une réponse fausse n’enlève aucun point.

1. Soit un rectangle R de longueur 5 cm et de largeur 3 cm.Affirmation 1 Si on augmente la longueur de 1 cm et on diminue lalargeur de 1 cm simultanément, alors on ne modifie pas le périmètre dece rectangle R.

2. Soient A et B des grandeurs dont les valeurs, réelles et strictement posi-tives, sont proportionnelles, alors,

• Affirmation 2a les valeurs de A augmentées de 1 et les valeursde B augmentées de 1 sont proportionnelles ;

• Affirmation 2b les carrés des valeurs de A et les carrés desvaleurs de B sont proportionnels ;

• Affirmation 2c les inverses des valeurs de A et les inverses desvaleurs de B sont proportionnels.

3. Soit f la fonction qui à tout réel x associe le réel f(x) = x2 + x+ 1.

• Affirmation 3a 0 est l’image de 1 par f .• Affirmation 3b �1 est l’unique antécédent de 1 par f .

4. Affirmation 4 Quand je roule à 60 km/h, je roule plus vite que quandje roule à 60 m/s.

Exercice 3

Extrait des Évaluations Nationales de CM2 de 2012 (cahier de l’élève),l’exercice 13 est le suivant :

La consigne est : Un solide droit est dessiné sur votre cahier. Pour ce solidedroit, vous devez indiquer le nombre de faces, le nombre d’arêtes, le nombrede sommets et le nom du solide dans le tableau correspondant. Vous avez deuxminutes.


1. Nommer la compétence principale mise en jeu dans cet exercice.

2. Citer, c’est à dire désigner et justifier, au moins quatre variables didac-tiques de la situation.

3. Dans le livret de l’enseignant, huit erreurs prévisibles sont envisagées pourles élèves. En proposer six.

TROISIÈME PARTIE

En annexes 1 et 2 sont présentées les p.147 et p.148 du Manuel de l’Élèvede CAP MATHS CM2 (Roland CHARNAY, Georges COMBIER, Marie-PauleDUSSUC, Dany MADIER), HATIER, 2010.

Ces deux séances portent sur la proportionnalité, et plus spécifiquement surla vitesse moyenne.

Le B.O. donne comme compétence en CM2, dans le domaine de l’organisa-tion et la gestion de données : résoudre des problèmes relevant de la propor-tionnalité et notamment des problèmes relatifs aux pourcentages, aux échelles,aux vitesses moyennes ou aux conversions d’unité, en utilisant des procéduresvariées (dont la règle de trois).

A. D’une manière générale, à propos des annexes 1 et 2

1. Dans ces séances, trois grandeurs sont présentées : la distance parcourue,la durée de parcours et la vitesse moyenne.

(a) Déterminer une égalité qui lie ces trois grandeurs.(b) Citer deux de ces grandeurs qui sont proportionnelles.(c) Que représente alors la troisième grandeur pour la situation de pro-

portionnalité ?

2. En terme de situations, ou d’exercices, quel est le grand changement, del’annexe 1 à l’annexe 2 ?

3. Présenter un aspect commun sur toutes les durées présentées (ou les dis-tances parcourues) dans ces deux annexes ?En présenter au moins deux avantages et un inconvénient.

B. À propos de l’annexe 1

1. Sous l’intitulé Chercher À cheval.

(a) De la situation 1 à la situation 2, citer une variable didactique quiest mise en jeu.En quoi cette variable didactique modifie-t-elle les procédures ?

(b) La situation 3 est clairement plus complexe que les situations 1 et2. Citer (en le justifiant) ce qui fait que cette situation est pluscomplexe.

2. De Chercher À cheval aux Exercices, qu’est-ce qui a été modifiéconcernant les vitesses moyennes ? Pourquoi cette modification ?


3. Dans les Exercices.

(a) Nommer et définir deux procédures clairement distinctes que pour-rait mettre en place un élève de CM2 pour résoudre l’exercice 4.

(b) Proposer une résolution probable de l’exercice 6b par un élève deCM2. En quoi l’exercice 6b est-il plus compliqué que l’exercice 5 ?

C. À propos de l’annexe 2

1. Sous l’intitulé Chercher À pied.

(a) Dans la situation numéro 1, deux données superflues (l’une numé-rique et l’autre littérale) ont été rajoutées par les auteurs. Les-quelles ?, et pourquoi ?

(b) La situation numéro 2 nécessite une compétence qui n’est visitéenulle part ailleurs dans l’ensemble de ces deux annexes. Laquelle ?En quelle année scolaire les élèves travaillent-ils cette compétence ?

2. Dans les Exercices.

(a) Pour l’exercice 5, l’enseignant décide d’autoriser l’usage de la calcu-latrice. Pourquoi ?

(b) Pour l’exercice 6, l’enseignant décide de remplacer "Un avion qui serend de Paris à Moscou met environ 3 h 30 min pour parcourir les2 400 km qui séparent ces deux villes" par "Un avion met environ3 h 30 min pour parcourir 2 100 km". Pourquoi ?

(c) À l’issue de cette séance, l’enseignant propose comme trace écrite ases élèves de CM2 :Pour calculer une vitesse moyenne en kilomètres par heure, il fautdiviser la distance exprimée en kilomètres par le temps exprimé enheures.Au regard du cas du personnage Figurine de l’annexe 2, critiquercette formulation.Ensuite, proposer une trace écrite pour les élèves de CM2 qui com-mencerait par Pour calculer une vitesse moyenne en kilomètres parheure, il faut ....


ANNEXE du PROBLÈME

A B

CD

A0 B0

C0D0

I

J

K

L


ANNEXE 1


ANNEXE 2



2013-2014 — SESSION 2


PREMIÈRE PARTIE

La correction de ce su-jet se trouve page 322 Les parties A et B sont indépendantes.

Dans la partie A les questions A1 et A2 sont indépendantes.

Partie A : Symétrie axiale et figures dans le plan

A.1.) Dans la figure ci-dessous les cercles de centre A et de centre O ont mêmerayon et se coupent en E et F . La droite (AO) recoupe le cercle de centreO en C.

A CO

E

F

A.1.a) Montrer que la droite (AC) est axe de symétrie de la figure.A.1.b) On désigne par ABCD le carré de diagonale [AC], le point B étant

du même côté que le point E par rapport à la droite (AC). Construirele carré ABCD à la règle non graduée et au compas. On laissera ap-parents les traits de construction.

A.1.c) Quelle est la droite symétrique de la droite (AB) par rapport à ladroite (AC) ? Justifier.


A.1.d) On nomme G le point d’intersection des droites (AB) et (CE) etH le point d’intersection des droites (AD) et (CF ). Montrer que lepoint G est le symétrique du point H par rapport à la droite (AC).

A.1.e) Démontrer que le triangle CGH est équilatéral.

A.2.) ABC est un triangle quelconque et (d) la médiatrice du segment [BC].Le point M est le symétrique du point A par rapport à la droite (d).

A.2.a) Faire une figure.

A.2.b) Montrer que les triangles ABC et MBC sont isométriques (super-posables).

A.2.c) Montrer que les points A, B, C, M sont cocycliques (c’est à dire despoints d’un même cercle).

Partie B : Aire et volume de solides dans l’espace

SABCDEF est une pyramide régulière de sommet S et dont la base est unhexagone régulier inscriptible dans un cercle de centre O et de rayon OA. Onnomme (P1) cette pyramide. On nomme M un point de l’arête [SC] et N unpoint de [SD] tels que la droite (MN) soit parallèle à la droite (CD). On pose :SA = 30 cm, AB = 12 cm et SN = x cm (x est un nombre réel strictementpositif).

B C

F E

OA D

S

M

N

B.1.) Quelle est la nature du triangle AOB ? Justifier.

B.2.) Déterminer, en centimètres, la mesure exacte de la hauteur h1 du triangleAOB et la mesure exacte de la hauteur h2 du triangle SAB.


B.3.) a) Calculer l’aire exacte du triangle SAB et l’aire exacte du triangleOAB.b) En déduire l’aire totale des 7 faces de la pyramide (P1).

B.4.) Montrer que le volume exact de la pyramide (P1) est 1296p7 cm3.

Rappel : Le volume V d’une pyramide se calcule par la formule

V =1

3⇥Aire de base⇥Hauteur

B.5.) On coupe la pyramide (P1) suivant un plan (R) passant par le point Met parallèle à la base hexagonale régulière ABCDEF . On admettra quece plan (R) contient la droite (MN). On obtient une pyramide régulière(P2) de sommet S et dont la base hexagonale régulière passe par [MN ]et est parallèle à la base ABCDEF . On nomme (T ) le tronc de pyra-mide obtenu à partir de la pyramide (P1) en supprimant la pyramide (P2).

Montrer que le volume V(T ) de ce tronc de pyramide (T ) est égal à :

V(T ) =Ç1296p7� 6x3

p7

125

åcm3

B.6.) a) Calculer le rapport des volumes des deux pyramides, (P1) et (P2).Quelle relation peut- on formuler entre ce rapport et le rapport SN

SD ?b) En déduire la valeur de x pour que le volume de la pyramide (P2) soitle huitième de celui de la pyramide (P1).

B.7.) Si on admet que l’un seulement des quatre graphiques ci-dessous repré-sente les variations du volume de (T ) en fonction de x, lesquels faut-ilécarter ? Justifier. Remarque : Pour chacun de ces quatre graphiques,l’axe horizontal est celui des abscisses.


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 300

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

Graphique 1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 300

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

Graphique 2


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 300

100

200

300

400

500

600

700

Graphique 3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 300

20

40

60

80

100

120

140

160

Graphique 4


DEUXIÈME PARTIE

Exercice 1

Ce samedi après-midi, les trois enfants de la famille Trucmuche sont touspartis faire une compétition :

• Alain fait un match de tennis pour lequel il a une probabilité de gagnerégale à 0,7 ;

• Bernard fait une partie d’échecs qu’il ne peut gagner qu’avec une proba-bilité de 0,4 ;

• et Cécile fait un combat de lutte qu’elle a 60% de chance de remporter.

a. Calculer la probabilité que les trois enfants gagnent leur compétition.

b. Calculer la probabilité que seul Bernard gagne sa compétition.

c. Calculer la probabilité qu’au moins un des enfants gagne sa compétition.

Exercice 2

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou si elle estfausse, puis justifier. Une réponse même juste mais non justifiée ne rapporteaucun point. Une réponse fausse n’enlève aucun point.

1. Affirmation 1 : Si deux surfaces ont même aire, alors elles ont mêmepérimètre.

2. Affirmation 2 : Si deux surfaces ont même périmètre, alors elles ont mêmeaire.

3. Soit [AB] un segment et M un point de ce segment. On donne : 4 AB 5 et 2, 4 AM 2, 6(l’unité de longueur est le centimètre).Affirmation 3 :On a : 1, 6 MB 2, 4.

4. Un modèle réduit d’une cuve cubique occupe un volume de 125 cm3 alorsque son volume réel est de 125 m3.Affirmation 4 : L’échelle utilisée pour réaliser ce modèle réduit est 0,001.

Exercice 3

On a proposé à des élèves de cycle 3 l’exercice suivant :

Calcule le volume total de la malle ci-dessous. Réponse : ........... cm3.


42 cm

130 cm0,58 m

Un relevé de l’ensemble des réponses obtenues est comme suit :

Réponses 24,36 2 436 3 166,8 5 460 7 540 316 680cm3 cm3 cm3 cm3 cm3 cm3

Nombre 1 1 6 3 2 12d’élèves

1. En quelle année du cycle 3 cet exercice peut-il être proposé ? Justifier.

2. Analyser les différentes erreurs et proposer une classification par typesd’erreurs.

TROISIÈME PARTIE

Exercice 1 : Reconnaître ou compléter un patron de cube ou de pavé

Voici le texte d’un problème proposé à des élèves de cycle 3 :

Voici deux figures

Reproduis l’une de ces deux figures sur une feuille blanche.Complète alors cette figure pour obtenir un patron d’un cube.Tu peux utiliser la règle non graduée, l’équerre, le compas.


Questions :

a. En quelle année du cycle 3 peut-on proposer ce problème ?

b. Citer deux savoirs et deux savoir-faire mathématiques en jeu dans ceproblème. Expliciter la réponse.

c. Une fois une des deux figures choisie, la solution à ce problème est-elleunique ? Si oui, le justifier ; si non donner au moins deux solutions.

d. À quels exemples de difficultés peut-on s’attendre chez des élèves de cecycle ?

e. Quelles aides peut-on alors proposer aux élèves ?

Exercice 2 : Résolution de problème et classe à cours multiple

Une classe accueille des élèves de 7 à 11 ans. Elle est organisée en troisniveaux : 2ème année du cycle 2, 1ère année du cycle 3 et 3ème année ducycle 3, et comporte respectivement 6, 9 et 7 élèves. Cette classe reçoit unemagnifique boîte de caramels. La boîte de forme parallélépipédique a pour di-mensions 25 cm de long, 15 cm de large et 6 cm de haut. Elle contient 3 couchesde caramels. Dans chaque couche, les caramels occupent 5 rangées de 9 cara-mels chacune. Les élèves ayant exprimé l’idée de partager équitablement lessucreries entre-eux, le maître décide d’accéder à leur demande à condition deprévoir auparavant le nombre de caramels qui revient à chacun d’eux. La tâcheest proposée à chaque niveau qui travaille indépendamment des autres niveaux.

Questions :

1.a) Décrire succinctement une procédure correcte que pourraient mettre enœuvre les élèves de 3ème année du cycle 3.

1.b) Quelles connaissances mathématiques nécessite cette mise en œuvre ?

2.a) Décrire succinctement une procédure correcte que pourraient mettre enœuvre les élèves de 1ère année du cycle 3.



3.a) Décrire succinctement une procédure correcte que pourraient mettre enœuvre les élèves de 2ème année du cycle 2.


3.c) Quelles aides possibles pourrait apporter le maître ?

4.a) Quel serait l’intérêt d’une mise en commun des procédures et des résultatsentre tous les élèves de la classe ?

4.b) Comment envisagez-vous l’organisation de cette mise en commun dans laclasse ?



2014-2015 — SESSION 1


PREMIÈRE PARTIE

La correction de ce su-jet se trouve page 337Les parties A et B de cette première partie sont indépendantes et peuvent

donc être traitées séparément. La première est une démonstration du théorèmede Pythagore, la seconde traite des nombres entiers qui forment des tripletspythagoriciens.

A – Démontrer le théorème de Pythagore

On veut démontrer le théorème de Pythagore à la manière d’Euclide 1. Pourcela on construit un carré sur chacun des côtés du triangle rectangle ABC,rectangle en B, à l’extérieur de ce triangle. Soient les carrés ABGF , BCKH,ACEF (figure ci-dessous). Il s’agit de montrer que l’aire du carré construit surl’hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les côtésde l’angle droit. Pour cela on trace la perpendiculaire à la droite (AC) passantpar B qui coupe la droite (AC) en I et la droite (DE) en L.

1. Proposition 47 du livre 1 des Éléments d’Euclide.


AC

B

D E

F

G

H

I

K

L

1. Démontrer que les points G, B et C sont alignés. Les droites (GC) et (FA)sont dans une configuration particulière. Quelle est-elle ? Démontrer cetteconjecture.

2. Démontrer que les deux triangles AFC et ABD sont superposables 2.

3. Démontrer que les aires des triangles AFG et AFC sont égales, ainsi quecelles des triangles ABD et ALD.

4. On admet que le quadrilatère AILD est un rectangle. Déduire de la ques-tion précédente que l’aire du carré AFGB est égale à l’aire du rectangleAILD.

5. Conclure en démontrant le théorème de Pythagore.

2. Deux triangles sont superposables s’ils ont leurs trois côtés respectivement égaux. Pro-priétés :

• Si deux triangles ont un angle de même mesure, compris entre deux cotés respectivementégaux alors ils sont superposables.

• Si deux triangles ont un coté égal respectivement et deux angles respectivement égaux,alors ces deux triangles sont superposables.


B. Triplets pythagoriciens

On s’intéresse ici aux triplets pythagoriciens. Un triplet (a, b, c) est dit py-thagoricien si a, b, c sont trois nombres entiers naturels tels que

a2 + b2 = c2.

Par exemple,

• Le triplet (3, 4, 5) est pythagoricien car 3, 4 et 5 sont des entiers naturelset 32 + 42 = 52 ;

• Le triplet (1, 2, 3) n’est pas pythagoricien car 12 + 22 n’est pas égal à 32.

1. Soient les deux nombres entiers 119 et 120. Déterminer le troisième nombrede telle sorte que le triplet soit pythagoricien.Même question avec les deux nombres entiers 56 et 65.

2. On attribue à Pythagore la propriété suivante qui permet de déterminerdes triplets pythagoriciens :

« Soit un nombre impair N donné, alors les nombres N ; N2�12 ; N2+1

2forment un triplet pythagoricien. »

2.a Démontrer que le carré d’un nombre impair N est un nombre impair(on pourra poser N = 2p+ 1).

2.b Si N est impair, quelle est la parité de N2 et N2 + 1 ?2.c Pourquoi, dans la propriété attribuée à Pythagore, faut-il prendre

un nombre N impair ?

2.d Montrer que si N est impair, alors le triplet N ; N2�12 ; N2+1

2 estbien un triplet pythagoricien.

2.e Déterminer les triplets pythagoriciens pour les valeurs suivantes deN . (On pourra présenter les résultats dans un tableau.)

N = 3 ; N = 5 ; N = 7 ; N = 9.


DEUXIÈME PARTIE

Exercice 1

L’objectif de cet exercice est l’analyse de la numération chinoise. Celle-cisert à écrire des nombres en chinois. Elle est constituée de caractères chinois etremonte à la naissance de l’écriture chinoise, au IIIe millénaire avant J.-C. Bienque la numération indo-arabe, que nous utilisons, soit devenue d’usage couranten Chine, cette numération y est encore utilisée.

1. La numération chinoise est une numération décimale différente de lanôtre. Elle consiste à écrire les nombres en se servant de leur décom-position en fonction des puissances de dix et de les représenter soit dehaut en bas, soit de gauche à droite. Ainsi

1985 s’écrit

1486 s’écrit 849 s’écrit

1.1. Écrire en caractères chinois les nombres 4, 56, 584 et 1896. (Le can-didat veillera à écrire les symboles avec suffisamment de soin pourque le lecteur puisse reconnaître et distinguer les différents symbolesutilisés.)

1.2. La numération chinoise est-elle une numération de position ? (Justi-fier la réponse)

2. Pour calculer, les Chinois utilisent encore le boulier qui côtoie la calcu-latrice électronique de poche. Le boulier chinois est constitué d’un cadrede bois rectangulaire ayant une baguette centrale séparant des rangéesde boules comme le montre la figure ci-dessous.


Figure 1

La baguette centrale sépare chaque rangée de boules en deux parties delargeurs inégales. La partie inférieure du boulier chinois comprend cinqboules ayant chacune la valeur d’une unité. La partie supérieure com-prend deux boules dont chacune a la valeur de cinq unités.

Avant de commencer toute opération sur le boulier, il convient de rangertoutes les boules supérieures près du bord supérieur et toutes les boulesinférieures près du bord inférieur, laissant ainsi libre la baguette centrale.L’inscription d’un nombre se fera en ramenant les boules vers la baguettecentrale.On considère la première rangée, en partant de la droite, comme la ran-gée des unités, puis la seconde rangée comme celle des dizaines, puis latroisième comme celle des centaines et ainsi de suite.

2.1. Quel est le nombre représenté sur le boulier de la figure 1 ci-dessus ?2.2. Sur le boulier chinois, on peut représenter le nombre dix de plusieurs

façons. Quelles sont- elles ?

Exercice 2

On considère les nombres suivants :

A =146

113B =

32

35C =

31

24D =

195

150

1. Parmi les nombres A, B, C et D, lesquels sont des décimaux ? Justifiezvotre réponse.

2. Rangez les quatre nombres A, B, C et D dans l’ordre croissant.

3. Trouvez une fraction décimale, différente de A, B, C ou D, strictementcomprise entre A et C.

Exercice 3

Vrai ou faux ? Les réponses doivent être justifiées (par démonstration ouappui sur un contre- exemple).

1. Si un quadrilatère a ses diagonales de même longueur alors c’est un rec-tangle.


2. Si un quadrilatère possède trois angles droits alors c’est un parallélo-gramme.

3. Soit ABCD un quadrilatère. Les angles en A et en C et sont droits ;les côtés [AB] et [AD] sont de même longueur ; les côtés [CB] et [CD]également. Alors ABCD est un carré.

Exercice 4

Le problème ci-dessous est extrait d’un ancien manuel de CM2 (ObjectifCalcul, Hatier).

1. Sachant que ce problème a exactement une solution, déterminer le nombrede pommes que Monsieur Max a reçues.

2. Le problème admet-il une ou plusieurs solutions avec un nombre de pommescompris entre 750 et 800 ? Si oui, laquelle ou lesquelles ?

TROISIÈME PARTIE

Exercice 1

Vous trouverez en annexe 1 une description de la situation « le jeu du ban-quier ».

Approprions-nous la situation

1. Deux joueurs A et B jouent à la règle de « 5 contre 1 » (Phase 1, étape2). Ils ont lancé six fois le dé chacun. Les points notés par le secrétairesont successivement :Pour le joueur A : 5 - 4 - 3 - 6 - 2 - 5Pour le joueur B : 6 - 2 - 4 - 5 - 6 - 1

(a) Présenter, pour chacun des joueurs, l’évolution de sa collection dejetons après le premier, le deuxième, ... le sixième lancer de dé. Onpourra présenter ces collections dans un tableau, et noter « J » pourun jeton jaune, « R » pour un jeton rouge, « B » pour un jeton bleu,« V » pour un jeton vert.


(b) Qui a gagné ? Justifiez votre réponse en vous basant uniquement surl’état des deux collections à la fin de la partie.

2. Voici la collection de jetons obtenue par une équipe lors d’une partieeffectuée lors de la phase 1 (« échanges 5 contre 1 ») :

JJBJBV BJJ

(a) Pourquoi le maître peut-il affirmer que la règle d’échange n’a pas étérespectée ?

(b) Donner une écriture en base 5 du nombre de points obtenu par cetteéquipe.

À propos de l’ensemble de l’activité

3. Parmi les objectifs suivants, quels sont ceux qui ne concernent pas spéci-fiquement cette activité ? Justifiez très brièvement votre choix.

n° 1 – Travailler l’aspect ordinal des nombresn°2 – Fixer définitivement un codage en couleur des nombresn°3 – Travailler les principes de notre système de numérationn°4 – Différencier valeur et quantitén°5 – Introduire le zéro

4. De quel type de problème s’agit-il ? Quelle autre grande famille de pro-blèmes autour de la numération peut-on proposer à des élèves de CP ?

5. À propos de la phase 1 (« échanges 5 contre 1 »)

(a) Pour l’enseignant, quel est l’objectif de la première étape ?(b) Quelles règles de comparaison l’enseignant peut-il viser à la fin de

la troisième étape ? Que peut-il mettre en évidence ?

6. À propos de la phase 2 (« échange 10 contre 1 »)

(a) La modification de la règle d’échanges, de « 5 contre 1 » à « 10 contre1 », induit une différence majeure quant aux objectifs d’apprentis-sage de ce jeu. Laquelle ? Quels sont les objectifs de cette phase ?

(b) Lors de l’étape 2, pourquoi les joueurs ne jouent-ils qu’avec les cartesnumérotées de 20 à 30 ?

(c) Quelle représentation des gains l’enseignant pourrait-il suggérer pouraller vers la numération de position ?

(d) Quelles sont les règles de comparaison que l’enseignant peut faireémerger lors de la phase collective de la troisième étape ?

Exercice 2

Vous trouverez ci-dessous trois productions d’élèves de CE2, extraites dusite http://numerationdecimale.free.fr. Au regard des objectifs de chaqueexercice, analyser (en deux à trois phrases) les erreurs et difficultés rencontréespar chaque élève.

http://numerationdecimale.free.fr


La production de Théo :

La production d’Élisa :

La production de Rémy :


Annexe 1 - Le jeu du banquier

Inspiré de la situation proposée par Ermel - CP (Hatier)

Matériel

– Des jetons de 4 couleurs (jaunes, rouges, bleus, verts)

– Deux dés

Règle du jeu

Les élèves sont répartis par groupe de quatre : deux joueurs, un secrétaire quinote les points de chacun des joueurs et un banquier qui distribuent les jetons.En début de jeu, le maître définit une règle d’échange entre les jetons de diffé-rentes couleurs :

– n jaunes contre 1 rouge ;

– n rouges contre 1 bleu ;

– n bleus contre 1 vert.

(Cette situation s’apparente au jeu de billes. On peut demander aux élèvesquelles sont les règles d’échange qu’ils utilisent.) Chaque joueur, à tour de rôle,lance les dés et gagne autant de jetons jaunes que de points marqués sur lesdés. Dès qu’un joueur possède n jaunes, il doit les échanger contre 1 rouge, demême il devra échanger n rouges contre 1 bleu, puis n bleus contre 1 vert.

Déroulement

Phase 1 : Échanges 5 contre 1

• Étape 1Jeu collectif : la classe est divisée en deux équipes, le maître joue le rôledu banquier.À tour de rôle, un enfant de chaque équipe lance le ou les dés et demandeau banquier (le maître) les jetons. Les autres enfants doivent contrôler lademande et intervenir éventuellement pour les échanges à faire.Dans cette étape, il s’agit essentiellement de bien faire comprendre quel’on gagne des jetons jaunes, que l’on échange ensuite ces jetons jaunescontre des jetons rouges. Certains enfants pourront remarquer que si ledé indique 5, on peut demander directement 1 jeton rouge, équivalent à5 jetons jaunes.On procède à quelques tours puis on demande qui a gagné.

• Étape 2 : Premières partiesLes enfants sont répartis en groupes de quatre : 3 joueurs et 1 banquierqui dispose d’une boîte contenant les jetons.Chaque joueur lance le dé et le banquier lui donne autant de jetons jaunesque de points marqués sur le dé. Le joueur procède éventuellement aux


échanges.L’enseignant fait exécuter quelques tours s’assurant que les règles sontcorrectement appliquées et que les groupes s’organisent.Il relance alors une nouvelle partie et au bout de 15 minutes, arrête le jeuet demande « Qui a gagné ? »

• Étape 3 : Comparaison des collections après échangesDans un premier temps, les discussions se font au sein des groupes. Puisdes groupes viennent exposer leurs résultats : ils indiquent l’élève qui agagné dans le groupe et la raison. On amène ainsi les enfants à formulerdes règles de comparaison. On peut, pour cette phase collective, soit col-ler (avec du ruban adhésif) les pions d’un même enfant sur une feuille oùfigure son nom, soit dessiner, dans n’importe quel ordre, la collection dejetons sur cette feuille.Dans certaines classes, c’est au cours de la phase de jeu que des remarquespeuvent être faites :« Je n’ai pas eu beaucoup de points, je n’ai pas de bleus »« Aujourd’hui on n’a pas eu de verts, il aurait fallu faire plus de tours »« Il me manque 2 jetons jaunes pour avoir 1 rouge de plus ».

• Étape 4 : Passage à la représentationOn modifie la répartition des tâches dans le groupe : un banquier, deuxjoueurs, et un secrétaire qui note sur une feuille portant le nom des deuxjoueurs, en colonne, les points tirés par chacun d’eux.Le maître explique le déroulement du jeu :

– le premier joueur lance le dé ;– le secrétaire note le nombre indiqué par le dé ;– le banquier donne les jetons ;– le joueur éventuellement fait des échanges ;– le deuxième joueur joue à son tour.

Chaque joueur joue six fois.Le maître annonce que les feuilles des secrétaires seront échangées en finde partie et qu’il faudra retrouver les jetons gagnés par les joueurs.Les groupes jouent, puis chaque joueur range les jetons gagnés dans uneenveloppe. Les feuilles des secrétaires sont échangées entre groupes.Consigne :« Sur cette feuille sont indiqués les points gagnés par chacun des deuxjoueurs d’une autre équipe. Vous devez retrouver les contenus des enve-loppes des deux joueurs. Vous dessinez les jetons sur la feuille du secré-taire. »

Exercices d’entraînement individuel

Phase 2 : Échanges 10 contre 1

Matériel


– Pour le tirage : des cartons sur lesquels sont inscrits des nombres entre 1et 30. Ils remplacent le dé.

– Pour les échanges : des petits cartons de même taille et de même couleurmarqués 1, 10, 100.

• Étape 1 : Jeu en équipe avec cette nouvelle règle.Elle correspond à l’étape 2 du jeu précédent.

• Étape 2 : Jeu et échangesLes joueurs jouent avec les cartes à tirer entre 20 et 30.Des exercices systématiques pourront être proposés, sur le modèle ci-dessous :

• Étape 3 : Comparaison des collectionsL’enseignant organise, au tableau, une phase de débat collectif autour dela question « Dans chaque équipe, qui a gagné ? ». Comme dans l’étape3 de la phase précédente, des règles de comparaison émergent.



2014-2015 — SESSION 2


PREMIÈRE PARTIE

La correction de ce su-jet se trouve page 353 Dans cette partie, on considère un nombre N de 5 chiffres dont l’écriture

décimale est abcde.

1. Quelles sont les valeurs possibles de a ?

2. Quel est le chiffre des centaines de N ?

3. Quel est le nombre de dizaines de N ?

4. On suppose que N est divisible par 9. Montrez que a+ b+ c+ d+ e estégalement divisible par 9.

5. On suppose maintenant que a < e. Le nombre M est obtenu en inversantle chiffre des unités et le chiffre des dizaines de milliers de N .

Montrez que M �N est divisible par 99.

6. On considère le “tour de mathémagique” suivant :

Pensez à un nombre N de 5 chiffres dont le chiffre des unités n’est paszéro et tel que le premier et le dernier chiffres soient différents.Inversez le premier et le dernier chiffre. Vous obtenez un nombre M .Calculez la différence entre M et N .Divisez cette différence par 101.Divisez le quotient par 11.Faites la somme des chiffres du résultat.

Vous avez trouvé 9.

Expliquez pourquoi le dernier résultat trouvé est forcément 9.

DEUXIÈME PARTIE

Les exercices de cette partie sont indépendants les uns des autres.


Exercice 1

Pour chacune des affirmations suivantes, dites si elle est juste ou non etjustifiez.

1. Tout nombre entier est un nombre décimal.

2. Tout losange est un carré.

3. Un triangle ABC peut avoir des côtés de longueur AB = 2cm, BC = 8cmet CA = 15cm.

Exercice 2

Soit ABC un triangle rectangle en B. On appelle a l’angle ’BAC.Par définition, on appelle sinus de l’angle a et on note sin(a) le nombre

sin(a) =BC

AC.

1. Tracez un triangle ABC isocèle et rectangle en B. Quelle est la valeur del’angle a ?

2. Démontrez que AC = BC ⇥p2.

3. En déduire

sin(45�) =1p2.

4. Une personne se déplace en ligne droite sur une route qui fait avec l’ho-rizontale un angle de 15 degrés. Il parcourt 50km. En utilisant l’égalité(admise)

sin(15�) =

p6�p2

4,

exprimer l’altitude h à laquelle il arrive (voir schéma ci-dessous. Atten-tion : les angles ne sont pas respectés). Vous donnerez une valeur exacte,et une valeur arrondie au mètre près.

h50 km

15°

Exercice 3

L’exercice suivant a été proposé à des élèves de CM2.


Voici 4 cartons que l’on peut déplacer :

4 , 0 7

Dans cette position, ils affichent le nombre 4, 07.

1. Trouve tous les nombres que l’on peut afficher avec les 4 cartons.

2. Range les nombres obtenus du plus petit au plus grand.

Voici les réponses de Pietro :(1) 0, 47 ; 0, 74 ; 4, 07 ; 4,70 ; 7,04 ; 7,40(2) 0,47 ; 0,74 ; 4,7 ; 7,4 ; Je n’ai pris que quatre chiffres, car on sait qu’on peutajouter des zéros après la virgule, ça ne change rien.

1. Analysez les réponses de Pietro aux items (1) et (2).

2. Quels commentaires apporteriez-vous (respectivement) à ses deux ré-ponses ?

TROISIÈME PARTIE

Un maître propose à ses élèves de reproduire la figure ci-dessous. Une figuresemblable est à la disposition des élèves : sur cette figure, le rayon des cercles apour mesure de longueur 3 cm. Le maître indique que le rayon des cercles doitêtre de 7 cm sur la reproduction des élèves.

Partie A

A.1) À quel niveau peut-on proposer cette activité ?

A.2) Quelles sont les compétences travaillées lors de cette activité ?

A.3) Rédiger un programme de construction pour cette figure.


A.4) Quelles difficultés les élèves pourraient-ils rencontrer ?

A.5) Comment rendre l’activité plus difficile pour les élèves ? Citez deux mo-difications possibles.

A.6) Comment rendre l’activité plus facile pour les élèves ? Citez deux modi-fications possibles.

A.7) Citez trois critères qui pourraient servir à l’évaluation des productionsdes élèves.


Partie B

Voici les productions de deux élèves, Anatole et Bérénice. Elles ne sont pasà l’échelle : les élèves ont respecté la longueur des rayons.

Production d’Anatole :

Production de Bérénice :

Précisez pour chacune de ces deux productions les compétences maîtriséespar les élèves et l’origine possible de leurs erreurs.



2014-2015 — SESSION 1


PREMIÈRE PARTIE

La correction de ce su-jet se trouve page 360Remarque : les parties A, B et C concernent le même cube de 4 cm de côté,

mais sont indépendantes.

On considère un cube ABCDEFGH tel que I est milieu de [AB], J estmilieu de [CD], K est milieu de [CG] et L est milieu de [BF ].

On découpe le cube ABCDEFGH en deux solides, AILFEDJKGH (n˚1) et IBLJCK (n˚ 2).

La partie A va nous garantir, en particulier, que les points I, J , K et Lsont coplanaires, ce qui induit que le quadrilatère IJKL est une section planedu cube dans les parties B et C.

Solide n˚1 Cubett **

Solide n˚2

A B

CD

E F

GH

I

JK

L

Partie A

Dans l’espace, on a, en particulier, les propriétés suivantes :

• « P1 : si deux droites sont parallèles, alors elles sont coplanaires »,

• « P2 : si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors ellessont parallèles entre elles » (transitivité du parallélisme de droites),

• « P3 : si deux droites sont parallèles, alors tout plan orthogonal à l’uneest orthogonal à l’autre »,


• « P4 : si une droite est orthogonale à un plan, alors la droite est orthogo-nale à toute droite de ce plan ».

Cette partie ne concerne que le cube ABCDEFGH (figure du milieu).

1. Démontrer que le quadrilatère IBCJ est un rectangle.

Remarque : on admettra de même que le quadrilatère BLKC est un rec-tangle.

2. Déduire que les points I, J , K et L sont coplanaires. On pourra utiliserles propriétés P1 et P2.

3. Démontrer que les droites (IJ) et (JK) sont perpendiculaires. On pourrautiliser les propriétés P3 et P4.

4. En déduire la nature du quadrilatère IJKL.

À partir de maintenant, pour les parties B et C, on admet que les solidesAILFEDJKGH et IBLJCK sont des prismes droits.

Partie B

Cette partie ne concerne que le prisme droit AILFEDJKGH (figure degauche).

1. Donner chacune des faces du prisme droit AILFEDJKGH.

D’une part, chacune de ces faces doit être décrite (par un texte ou par undessin « à main levée » codifié) de façon à ce que la description permettede la construire sans équivoque.

D’autre part, pour chacune de ces faces, tous les axes de symétries or-thogonales doivent être mentionnés (dans le texte, clairement identifiés,ou sur le dessin « à main levée » codifié, en pointillé).

Remarque : aucune justification n’est demandée pour cette question

2. Représenter un patron du prisme droit AILFEDJKGH à l’échelle 1 : 2.La règle graduée, le compas, l’équerre et le rapporteur sont autorisés.

Remarque : aucune justification n’est demandée pour cette question, maisle soin apporté à la construction de la figure sera apprécié.

Partie C

On dispose d’un exemplaire massif du prisme droit n˚ 2, en aluminium,tout à fait plein, sans aucun vide à l’intérieur. La masse volumique de cetaluminium est de 2 700 kg par m3.


On dispose également d’un exemplaire du prisme droit n˚ 1, en cuivre, maison soupçonne que ce prisme présente un « vide » quelque part à l’intérieur. Lamasse volumique de ce cuivre est de 9 000 kg par m3.

Dans la question 2, on suppose qu’il n’y a aucun « vide » dans le prisme n˚1. Dans la question 3, on envisage qu’il y en a un, et on essaie de le déterminer.

1. Concernant le prisme droit n˚ 2 ...

(a) Calculer le volume du prisme droit IBLJCK en cm3.(b) En déduire la masse du prisme droit IBLJCK en g.


(a) Calculer le volume du prisme droit AILFEDJKGH en cm3.(b) À supposer qu’il soit entièrement en cuivre, quelle serait la masse de

ce prisme droit AILFEDJKGH en g ?

3. On donne maintenant l’information supplémentaire que le cube complet(assemblage de ses parties en aluminium et en cuivre) a une masse totalede 424, 8 g.

(a) Y a-t-il un « vide » dans le prisme droit n˚ 1 ?(b) Quel est le pourcentage arrondi au pourcent près de la masse

de cuivre par rapport à la masse du cube ?(c) Quel est le pourcentage exact du volume de l’éventuel « vide »

dans le prisme n˚ 1 par rapport au volume du cube ?

DEUXIÈME PARTIE

Exercice 1

Sur un plan cadastral au 1 : 2 500, un terrain constructible est représentépar un rectangle de 28 mm de long sur 5 mm de large.

1. Quelles sont ses dimensions en mètres ?

Il est vendu à 30 e le mètre carré. Les taxes diverses (d’enregistrement,notariales, etc.) s’élèvent à 12% du montant de la vente.

2. Á combien s’élèvent-elles ?

Un autre terrain, agricole cette fois, a coîté 1 333, 08 e incluant diversestaxes s’élevant aussi à 12% du montant de la vente.

3. Quelle est sa dimension réelle sachant qu’il est carré et que la terre agricolese négocie à 0, 25 e le mètre carré.

4. Quelle est sa dimension (arrondie au millimètre près) sur le plan cadas-tral ?


Exercice 2 : Confiserie

Dans une confiserie, deux machines travaillent simultanément et de façonindépendante (c’est-à-dire que le fonctionnement de l’une ne dépend pas decelui de l’autre). La première confectionne régulièrement à elle seule 1 000bonbons toutes les 1 heure et 40 minutes. La seconde fabrique régulièrement àelle seule 1 000 bonbons toutes les 2 heures et 30 minutes.

Combien de temps faut-il à ces deux machines, dans cette confiserie, pourconcevoir ensemble 2 000 bonbons ?

Exercice 3 : Plus on va vite, moins on gagne de temps.

Source : http://www.limousin.developpement-durable.gouv.fr/IMG/pdf/Vitesse_durable_cle2aac7a.pdf

1. Prenons le cas d’un cycliste qui roule en moyenne à 20 km/h, s’il augmentesa vitesse moyenne de 10 km/h sur le trajet, quel est le temps qu’il gagnesur un trajet de 120 km ?

2. Prenons le cas d’un automobiliste qui roule en moyenne à 80 km/h, s’ilaugmente sa vitesse moyenne de 10 km/h sur le trajet, quel est le tempsqu’il gagne sur un trajet de 120 km ?

Exercice 4 : Symétrie orthogonale

Soit OAA0 un triangle isocèle en O. Soient I le milieu du segment [OA] et I 0le milieu du segment [OA0]. Soient d la droite perpendiculaire à la droite (OA)passant par I et d0 la droite perpendiculaire à la droite (OA0) passant par I 0.Soit ⌦ le point d’intersection des droites d et d0. Soit � le cercle de centre ⌦passant par I.

1. Tracer la figure. La règle graduée, le compas, l’équerre et le rapporteursont autorisés.Remarque : aucune justification n’est demandée pour cette question, maisle soin apporté à la construction de la figure sera apprécié.

2. Donner la nature de la droite (O⌦) pour le triangle OAA0.

3. Démontrer que la figure admet un axe de symétrie orthogonale à déter-miner.

TROISIÈME PARTIE

Exercice 1

• Extrait de Cap Maths CM2 Cycle 3, Roland Charnay, Georges Com-bier, Marie-Paule Dussuc, Dany Madier, 2010.

Bilan de l’unité 10, Manuel de l’élève, p. 111.• Bulletin Officiel 2008 (progression).Domaine de compétences : Organisation et gestion de données.En CM2 : Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité et no-

tamment des problèmes relatifs aux pourcentages, aux échelles, aux vitesses

http://www.limousin.developpement-durable.gouv.fr/IMG/pdf/Vitesse_durable_cle2aac7a.pdf

http://www.limousin.developpement-durable.gouv.fr/IMG/pdf/Vitesse_durable_cle2aac7a.pdf


moyennes ou aux conversions d’unité, en utilisant des procédures variées (dontla « règle de trois »).

• L’enseignant utilise ce document pour en faire une séance de réinvestisse-ment sur la notion de pourcentage.

⇤ ⇤ ⇤ ⇤ ⇤ ⇤ ⇤ ⇤ ⇤ ⇤ ⇤ ⇤ ⇤ ⇤ ⇤ ⇤ ⇤ ⇤ ⇤ ⇤ ⇤ ⇤ ⇤ ⇤ ⇤ ⇤ ⇤ ⇤ ⇤

1. Pour l’exercice 2, proposer une solution correcte pour calculer le nombrede chocolats noirs correspondant à une boîte de 50 chocolats.Remarque : cette solution correcte doit s’adresser à un élève de CM2 etnon au correcteur de la copie.

2. Pour l’exercice 1,

(a) proposer un argument qui induirait que cet exercice est plus facileque l’exercice 2 ;

(b) proposer un argument qui induirait que cet exercice est plus diffi-cile que l’exercice 2 ;

(c) après avoir déterminé une difficulté attendue chez l’élève lors dela résolution de l’exercice 1, indiquer une aide que l’enseignant peutproposer pour la pallier.

3. Quelle est l’évolution des objectifs travaillés depuis les exercices 1 et 2aux exercices 3 et 4 ?

4. De l’exercice 3 à l’exercice 4, seuls les nombres changent. En quoi le choixdes nombres constitue-t-il une variable didactique de la situation ?

Exercice 2

• Les documents fournis aux élèves pour la séance de géométrie dans l’espaceen CM2 sont donnés dans l’ensemble des annexes 1 et 2.

• Bulletin Officiel 2008 (présentation).Les solides usuels : cube, pavé droit, cylindre, prismes droits, pyramide.


• reconnaissance de ces solides et étude de quelques patrons ;

• vocabulaire spécifique relatif à ces solides : sommet, arête, face.

• Bulletin Officiel 2008 (progression).Domaine de compétences : Géométrie dans l’espace.En CM2 :

• Reconnaître, décrire et nommer les solides droits : cube, pavé, cylindre,prisme.

• Reconnaître ou compléter un patron de solide droit.

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1. (a) Déterminer la compétence visée par cette séance de géométrie.(b) i. Définir le terme « solide droit », présent dans le Bulletin Offi-

ciel 2008 (progression).ii. Par rapport à cette compétence visée, parmi les figures parmi

A, B, C, D, E, F, G et/ou H, donner (c’est-à-dire désigner lespatrons ou les soi-disant patrons par les lettres correspondanteset nommer les solides attachés à ceux-ci en utilisant un vo-cabulaire géométrique correct) celles qui sont conformes auxattentes du Bulletin Officiel 2008 (progression).

2. Pour chacune des figures parmi A, B, C, D, E, F, G ou H qui ne sontpas des patrons de polyèdres, citer des arguments qui permettent d’endécider ainsi.

3. Préciser au moins trois difficultés qui pourraient se présenter chez lesélèves lors de cette séance et pour lesquelles l’enseignant pourrait apporterune aide matérielle.


ANNEXE 1• Extrait de Cap Maths CM2 Cycle 3, Roland Charnay, Georges Combier,Marie-Paule Dussuc, Dany Madier, 2010.

Unité 10, séance 2, cahier de géométrie-mesure, p. 37-38.


ANNEXE 2• Extrait de Cap Maths CM2 Cycle 3, Roland Charnay, Georges Combier,Marie-Paule Dussuc, Dany Madier, 2010.

Unité 10, séance 2, cahier de géométrie-mesure, p. 37-38.



2014-2015 — SESSION 2


PREMIÈRE PARTIE

La correction de ce su-jet se trouve page 374Une grande marque de peinture décide de lancer une campagne publicitaire.

Trois formules possibles s’offrent au fabricant :

a ne pas changer le conditionnement initial, mais offrir une réduction de25 % sur le prix initial ;

b ne pas changer le prix initial, mais offrir un conditionnement avec 25 % deproduit en plus ;

c ne changer ni le prix, ni le conditionnement initiaux, mais offrir un qua-trième pot gratuit pour trois achetés.

Question 1

Quelle est la formule la plus intéressante pour le client ? Justifier. Il n’estpas nécessaire d’avoir répondu à cette question pour répondre aux suivantes.

Dans la suite du problème, on considérera pour simplifier que les pots sontparfaitement cylindriques, et que le volume de peinture qu’ils contiennent est

exactement égal au volume des pots (en d’autres termes, qu’on négligel’épaisseur du métal).

Le fabricant de peintures choisit finalement la deuxième formulepublicitaire : 25 % de produit en plus pour le même prix.Ceci vaut pour toutes les questions suivantes.

Question 2

a Si le fabricant choisit de fabriquer des pots de même diamètre (que leconditionnement initial), mais plus hauts, de quel pourcentage faut-ilaugmenter la hauteur des pots ?

b S’il choisit de fabriquer des pots de même hauteur (que le conditionne-ment initial), mais de diamètre plus grand, de quel pourcentage faut-ilaugmenter le diamètre des pots ?


Question 3

En fin de compte, les nouveaux conditionnements réalisés par le fabricantsont des pots cylindriques dont la hauteur est de 94 mm et le diamètre dudisque de base est de 92 mm.

a Sur votre feuille, réalisez un patron d’un tel cylindre à l’échelle 1/2 (Dansle cas d’un cylindre, on admet exceptionnellement que des parties du pa-tron se touchent par un seul point ; certains auteurs préfèrent dans ce casparler de développement plutôt que de patron).

b Quel est le volume de ces nouveaux pots cylindriques, arrondi au centi-mètre cube le plus proche ?

c Quel était le volume des pots initiaux (c’est-à-dire ceux qui étaient fabri-qués avant la promotion publicitaire) ?

On rappelle que le volume d’un cylindre se calcule par la formule V = B ⇥ h,où B est la mesure de l’aire de la base du cylindre et h celle de sa hauteur, et

on utilisera l’approximation ⇡ ⇡ 3, 14.

DEUXIÈME PARTIE

Exercice 1

Le but de cet exercice est de montrer comment obtenir la note type « con-cours » d’un étudiant (qui participerait à l’examen de l’UE1 et de l’UE2) àpartir de ses notes au présent examen. Pour rappel,

• la note d’examen UE1 est la somme des notes de la première et de ladeuxième partie, notées chacune sur 10, et la note d’examen UE2 est lanote de la troisième partie, notée sur 20 ;

• la note (fictive) type « concours » sur 40 points est obtenue en ramenantproportionnellement les notes des trois parties respectivement sur 13, 13et 14, et en faisant la somme de ces notes.

a Un étudiant a obtenu successivement 10/10, 5/10 et 10/20 à la première,la deuxième et la troisième partie. Etablissez sa note « concours » enexplicitant votre calcul.

b Même question pour un étudiant qui a obtenu 12/20 pour l’UE1 et 16/20pour l’UE2.

Exercice 2

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier (une réponsecorrecte non justifiée n’apporte aucun point)

a Affirmation : Toute pyramide possède autant de faces que de sommets(dans le sens général du mot « sommet » dans le cadre des polyèdres).

b Affirmation : Tout polyèdre possédant 5 faces qui sont toutes triangu-laires ou carrées est un prisme à base triangulaire.


c On sait que lorsque le courant électrique traverse un élément conducteur,il se produit un dégagement de chaleur, donc d’énergie thermique, calculégrâce à la formule suivante (loi de Joule) :

W = RI2t

où W représente l’énergie en joules, R la résistance en ohms, I l’intensitéen ampères et t le temps en secondes.

Affirmation : l’énergie thermique dégagée est proportionnelle à l’inten-sité du courant.

d Affirmation : La figure de l’annexe 1 possède un axe de symétrie (Vouspouvez si vous le désirez développer votre argument sur l’annexe elle-même, que vous joindrez alors à votre copie ; vous pouvez si nécessaire ydésigner certains points par des lettres).

Exercice 3

Au restaurant scolaire, les élèves ont le choix

• entre deux entrées : artichaut ou betterave

• entre trois plats : couscous, daube ou escalope

• entre deux desserts : fromage ou gâteau

Un menu se compose d’une entrée, d’un plat et d’un dessert.

a Combien de menus différents sont-ils possibles ?

b On choisit un menu au hasard. Quelle sont les probabilités :

i qu’il comporte une escalope ?

ii qu’il comporte de l’artichaut et du fromage ?

iii qu’il ne comporte pas de couscous ?

(On considère que tous les menus différents ont la même probabilité d’êtrechoisis.)

Exercice 4

Les communes de Cambrai et de Vendegies-sur-Écaillon sont distantes de20 kilomètres ; la route qui les relie est rectiligne. Un piéton P marchant àvitesse constante se promène le long de la route reliant Cambrai à Vendegies-sur-Écaillon. On désigne par t la durée écoulée depuis son départ et par f(t) ladistance qui le sépare de la ville de Cambrai à l’instant t.

Voici la courbe représentative de la fonction f :


10

5

t en heures

f(t) en km

1. Indiquer lequel des quatre textes suivants correspond au graphique donné :

(a) P est parti de Cambrai, puis s’est reposé un moment avant de re-joindre Vendegies-sur-Écaillon ;

(b) P est parti de Vendegies-sur-Écaillon, puis s’est reposé un momentavant de rejoindre Cambrai ;

(c) P est parti de Cambrai, puis s’est reposé un moment avant de revenirà Cambrai ;

(d) P est parti de Vendegies-sur-Écaillon, puis s’est reposé un momentavant de revenir à Vendegies-sur-Écaillon.

2. Quelle est la vitesse constante du piéton lorsqu’il marche ?

TROISIÈME PARTIE

Exercice 1

(D’après le sujet du CRPE 2015, Groupement d’académies 2) L’exercice ci-dessous est proposé à des élèves d’une classe de CM2. (Extrait de « Vivre lesmaths CM2 », Nathan, Programmes 2008)


1. Citer deux pré-requis dans le domaine de la géométrie et de la mesurenécessaires pour faire cet exercice.

2. Un élève propose la solution suivante :

120� 28 = 922⇥ 18 = 362⇥ 10 = 2036 + 20 = 5692� 56 = 36 : 2 = 18La hauteur de la boîte est de 18 cm.

(a) Retrouver les différentes étapes de son raisonnement, en analysantses résultats partiels et en relevant ses éventuels erreurs ou oublis.

(b) Commenter l’usage fait par cet élève des écritures mathématiques,en particulier à la cinquième ligne.

Exercice 2

Le problème suivant a été posé dans une classe d’école élémentaire :


Quatre frères, Alain, Bernard, Claude et Dominique, vontrendre visite à leur oncle à Hondschoote en utilisant chacunleur automobile. Ils habitent tous les quatre à des endroits dif-férents. En arrivant à Hondschoote, ils racontent :

• Alain : « Je viens de couvrir 160 km en 2 h 2 min. »

• Bernard : « Moi, j’ai mis 1 h pour parcourir 80 km. »

• Claude : « Et moi, j’ai fait 45 km en 28 min. »

• Dominique : « Quant à moi, il m’a fallu 58 min pour 90km. »

Peux-tu les ranger du plus rapide au plus lent ?

1. Quelles sont les notions mathématiques sous-jacentes à cette situation ?

2. Dans quel niveau de classe peut-on proposer ce problème ? Justifiez.

3. Les élèves de la classe ont été invités à résoudre le problème par groupesde deux ou trois. En annexes 2 et 3, vous trouverez les productions dedeux groupes différents.

(a) Pour chacune des deux productions, analyser la démarche mise enjeu, notamment en mettant en évidence les qualités et les défauts duraisonnement et du calcul, et en inventoriant les propriétés mathéma-tiques utilisées pour résoudre le problème.

(b) En quoi la réponse du groupe de Benoît dépasse-t-elle les attentesdu programme de l’école élémentaire ?

4. Proposer une méthode (correcte) de résolution de ce problème ne néces-sitant que des calculs très élémentaires.

5. En conclure que la mise à disposition ou non de la calculatrice est unevariable didactique pour ce problème. Justifier.


ANNEXE 1


ANNEXE 2


ANNEXE3



2015-2016 — SESSION 1


PREMIÈRE PARTIE

La correction de ce su-jet se trouve page 385 Partie A

1. Je décompte de 3 en 3 à partir de 50 tant que j’obtiens un entier naturel :« 50, 47, 44, 41,. . . ». Quel nombre termine cette suite ?

2. Je décompte toujours de 3 en 3 tant que j’obtiens un entier naturel, maisà partir de 8 932 : « 8 932 (le premier), 8 929 (le deuxième), 8 926,. . . »

(a) Quel nombre termine cette suite ?(b) Combien comporte-t-elle de termes ?(c) Quel est le 100ème terme ?

3. Sachant que 8 572 = (34⇥ 251) + 38

(a) Quels sont les quotient et reste dans la division euclidienne de 8 572par 251 ?

(b) Quels sont les quotient et reste dans la division euclidienne de 8 572par 34 ?

Partie B

Je compte de 25 en 25 à partir de 431 et je range les nombres obtenus dansle tableau ci-dessous :

col 1 col 2 col 3 col 4 col 5 col 6 col 7ligne 1 431 456 481 506 531 556 581ligne 2 606 631 656 681 706 731 756ligne 3 781 806 831 856 881 906 931ligne 4 956 981 1 006 1 031 1 056 1 081 1 106

... ... ... ... ... ... ... ...

1. Le tableau précédent comporte sept colonnes et, de ce fait, les nombresterminant par 31 ne sont pas tous dans une même colonne. Combien decolonnes ce tableau devrait-il avoir pour que les nombres terminant par31 soient situés dans une même colonne ? Justifiez votre réponse.


2. Quelle propriété caractérise tous les nombres de la première colonne dutableau à sept colonnes donné ci-dessus (et rien qu’eux) ?

3. (a) Le nombre 1 306 a-t-il sa place dans le tableau à sept colonnes ? Où ?(à quelle ligne et à quelle colonne ?)

(b) Et 8 626 ?

4. Trouvez le nombre qui se situe à la vingtième ligne et dans la cinquièmecolonne dans le tableau à sept colonnes.

5. Trouvez un nombre compris entre 5 600 et 6 000 qui a sa place dans latroisième colonne du tableau qui en comporte sept. A quelle ligne est-il ?

6. Sur une page, on met 50 lignes du tableau à sept colonnes. Combien depages sont nécessaires pour prolonger ce tableau jusqu’à ce qu’au moinsun nombre supérieur à un million apparaisse ?

DEUXIÈME PARTIE

Exercice 1

Des affirmations sont données ci-dessous. Pour chacune d’elles, indiquezsi elle est vraie ou fausse. On rappelle que toutes les réponses doivent êtrejustifiées.

1. Affirmation 1 : Si un point M appartient à la médiatrice d’un segment[AB], alors le triangle AMB est isocèle.

2. En utilisant le codage et les données de la figure ci-dessous :

O

B

A

D

E

C

A, B, E appartiennent au cercle de centre OB, E et C sont alignés ; A, O, E et D sont alignés

Affirmation 2 : Les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

3. Dans ce dessin, les points sont placés en les nœuds d’un quadrillage àmailles carrées.


N L K

M

O

Affirmation 3 : Les droites (ML) et (NO) sont parallèles.

4. Affirmation 4 : La diagonale d’un carré d’aire 36 cm2 a pour longueur6p2 cm.

5. Affirmation 5 : (p2)50 est un nombre entier.

6. Affirmation 6 : Les diviseurs communs à 12 et 18 sont les mêmes que lesdiviseurs de 6.

7. 1 TW (térawatt) = 1012 watts et 1 MW (mégawatt) = 106 watts.Affirmation 7 : Avec une puissance de 1,5 TW on peut alimenter à pleinepuissance exactement 2 500 machines de 60 MW chacune.

Exercice 2

Julien veut mesurer un jeune chêne avec une croix de bûcheron comme lemontre le schéma ci-dessous.

Il place la croix de sorte que O, D et A d’une part et O, E et B d’autrepart soient alignés. Il sait que DE = 20 cm et OF = 35 cm. Il place (DE)verticalement et (OF ) horizontalement. Il mesure au sol BC = 7, 7 m.

1. Justifiez que les droites (AB) et (DE) sont parallèles.

2. Calculez le rapport ABDE .

3. Déduire la hauteur AB de l’arbre en mètres.

4. Certaines croix du bûcheron sont telles que DE = OF . Quel avantageapporte ce type de croix ?


TROISIÈME PARTIE

Exercice 1

Voici un test sur les décimaux composé de six questions.

1. Question 1 du test

Donne le nombre entier qui suit immédiatement 54Donne le nombre entier qui suit immédiatement 23,5

(a) Répondez à la question 1 du test.(b) Voici les réponses proposées par Nicolas et Florent :

Elèves Nombre suivant 54 Nombre suivant 23,5Nicolas 55 24Florent 53 23

Analysez ces réponses.

2. Question 2 du test :

Range les nombres suivants du plus petit au plus grand :

23, 4 23, 37 23, 127 17, 15671 23, 036 2, 3401

(a) Voici des réponses proposées par des élèves :Elèves Plus petit Plus grandMarie 23,4 23,37 23,036 23,127 2,340 17,15671

Christophe 23,4 23,37 23,127 23,036 17,15671 2,3401Morgane 2,3401 17,15671 23,036 23,127 23,37 23,4Sébastien 2,3401 17,15671 23,4 23,37 23,036 23,127

Julie 2,3401 17,15671 23,4 23,036 23,37 23,127Analysez les éventuelles erreurs de ces élèves.


Raye ce que tu penses être faux :— Entre 12,7 et 12,9 il y a : aucun décimal ; un décimal ; plu-sieurs décimaux— Entre 14,6 et 14,7 il y a : aucun décimal ; un décimal ; plu-sieurs décimaux

(a) Répondez à la question 3 du test.(b) Quentin pense qu’il existe un décimal entre 12,7 et 12,9 et aucun

entre 14,6 et 14,7. Benoît n’est pas d’accord. Essayez de préciser lacause de l’erreur de celui qui se trompe.


Effectue les opérations suivantes :

3, 7 + 5, 8 3, 7⇥ 5, 8

(a) Répondez à la question 4 du test.


(b) Alice trouve 8,15 et 15,56. Analysez les éventuelles erreurs de cetteélève.


Effectue l’opération suivante :

13, 56⇥ 10

(a) Répondez à la question 5 du test.(b) Vincent trouve 13,560. Jérôme trouve 130,56. D’où peuvent provenir

ces erreurs ?


23 est-il un nombre décimal ?

(a) Répondez à la question 6 du test.(b) Cécile est la seule à penser que oui. Qu’en pensez-vous ?

Exercice 2

Voici un exercice extrait d’un manuel de l’école élémentaire :

Reproduis cette figure

1. À quel niveau peut-on proposer cet exercice ? Justifiez votre réponse.

2. Quelles sont les compétences travaillées lors de cet exercice ?

3. Quelles difficultés les élèves pourraient-il rencontrer pour reproduire lafigure ?

4. Comment rendre la reproduction de la figure plus facile pour les élèves ?Sans changer la figure à reproduire, citez deux modifications possibles.



2015-2016 — SESSION 2


UE 1

La correction de ce su-jet se trouve page 393Exercice 1

Dans tout l’exercice, a, b et c sont des entiers naturels non nuls inférieursou égaux à 9.

1. On considère les nombres dont l’écriture en base 10 est abc avec b = a+ cet a+ c 9.

(a) Proposer un tel nombre et justifier qu’il est divisible par 11.

(b) Démontrer que n’importe quel nombre qui vérifie ces conditions estdivisible par 11.

2. Donner sans justifier, le plus grand nombre divisible par 11 auquel onpuisse appliquer ce critère de divisibilité.

3. Démontrez que les nombres dont l’écriture en base dix est de la formeabbcca sont divisibles par 11.

4. En déduire que le nombre 788 337 est divisible par 99.

Exercice 2

On cherche à résoudre l’équation a3 � b3 = 117 avec a et b entiers naturels.

1. Soit a et b deux naturels vérifiant cette équation. Démontrer que a � 5.

2. Quel est l’ensemble des diviseurs de 117 ?

3. Quelles sont toutes les écritures multiplicatives de 117 comme produit dedeux entiers naturels ?

4. Développer et réduire l’expression (a� b)(a2 + ab+ b2).

5. Trouver la (ou les) solution(s) de l’équation a3 � b3 = 117 avec a et bentiers naturels.


Exercice 3

On appelle centre d’un parallélogramme le point d’intersection de ses dia-gonales. Soient A et E deux points donnés. On se propose d’étudier la familleF des parallélogrammes admettant A comme sommet et E comme centre.

1. Rédiger un programme de construction d’un parallélogramme ABCDquelconque de cette famille. Citer la propriété utilisée.

2. Montrer que les sommets des rectangles ABCD de la famille F sont situéssur le cercle de centre E et de rayon EA.

3. On considère un parallélogrammes ABCD de la famille F . Quelles sontles conditions nécessaires et suffisantes sur les points B et D pour queABCD soit un losange ?

4. Cette famille contient-elle un ou plusieurs carrés ? Justifiez votre réponse.

UE2

Exercice 1

On a demandé à huit élèves de CM1 de calculer 1052 � 895. Leurs calculssont présentés dans l’Annexe.

1. Cette question concerne les 5 productions A, B, C, D et E d’élèves ayantposé le calcul.

(a) Identifiez les différentes techniques de pose de la soustraction.

(b) Relevez les erreurs des différentes productions.

(c) Poser l’opération avec une technique de pose qui n’apparaît pas dansces 5 productions.

2. Cette question concerne les 3 productions F, G et H d’élèves ayant calculéen ligne.

(a) Expliquez les différentes procédures.

(b) Relevez les erreurs des différentes productions.

(c) Imaginez une autre réalisation correcte d’un calcul en ligne.

3. Appliquer au calcul 5014 � 657 la même procédure que l’élève A en lasimplifiant.

4. Sur quelle propriété de la soustraction la procédure de l’élève B repose-t-elle ?

Exercice 2

Voici un texte proposé par un enseignant de cycle 3 : « Trace un triangle :il doit être rectangle et avoir deux côtés de même longueur. Sur le grand côtédu triangle, trace un demi-cercle. » Voici les productions de quatre enfants :


1. Quelles sont les connaissances, compétences ou savoir-faire du domainede la géométrie nécessaires pour réussir cette activité ?

2. Quels sont les élèves qui n’ont pas respecté le programme de construction ?Analysez leurs erreurs en formulant des hypothèses sur leurs origines.

3. Rédigez un énoncé accessible à des élèves de cycle 3 et dont la seulesolution serait la construction de la figure D.


Annexe

Élève A

9 14

�1 ⇢⇢10 �5 12� 8 9 5

1 5 7

1052� 895 = 157

Élève B

1 0 15 12� 8 9

15

2 5 7

1052� 895 = 257

Élève C

1 0 5 12� 8

1�9⇤10

5

1 5 7

1052� 895 = 157

Élève D

1 0 5 2� 8 9 5

2 4 3

1052� 895 = 243

Élève E

1�41 0 5 12

� 81

9 51 5 7

1052� 895 = 157

Élève F

1000� 895� 105105 + 52 = 157

1052� 895 = 157

Élève G

152� 95 = 67900� 800 = 100

1052� 895 = 167

Élève H

1052�5 = 1047�90 = 937�800 = 1371052� 895 = 137



2015-2016 — SESSION 1


PREMIÈRE PARTIE (D’après un sujet de Besançon 1992)

La correction de ce su-jet se trouve page 402Trois jeunes Gaulois nommés Acidacétylsalicylix, Binddeulévlix et Cépur-

zongletréhaudédianleronix, que l’on pourra par commodité désigner par les let-tres A, B et C respectivement, jouent aux billes. Au cours de la partie, chacunest amené à gagner ou perdre des billes, mais jamais au point de s’endetter : end’autres termes, chacun garde toujours un nombre positif de billes, et le totaldu nombre de billes des trois joueurs reste constant.On désigne par a, b et c le nombre de billes que possèdent respectivement Aci-dacétylsalicylix, Binddeulévlix et Cépurzongletréhaudédianleronix au début dela partie, et par a0, b0 et c0 le nombre de billes qu’ils possèdent respectivementà la fin de la partie.Au début de la partie, le triplet de nombres (a, b, c) est proportionnelau triplet de nombres (3, 4, 5).À la fin de la partie, le triplet de nombres (a0, b0, c0) est proportionnelau triplet de nombres (15, 16, 17).

1. Attention : les hypothèses faites dans cette question ne sontvalables que dans cette question.

(a) Supposons qu’au début de la partie, A possède 36 billes.i. Combien B et C possèdent-ils de billes chacun au début de la

partie ?ii. Combien y a-t-il de billes au total ?iii. Combien A, B et C en possèdent-ils chacun à la fin ?

(b) Est-il possible que B possède 6 billes au début de la partie ? Sioui, combien en possèdent A et C ? Sinon, justifier (ainsi qu’il estdemandé de le faire systématiquement dans l’introduction de ce su-jet).

2. Quelle fraction du nombre total de billes chaque Gaulois possède-t-il endébut de la partie ? Et à la fin de la partie ?

3. À la fin de la partie, l’un des trois Gaulois constate qu’il n’a gagné niperdu aucune bille. Lequel des trois ?

4. Un autre constate alors qu’il a gagné 6 billes. Lequel des trois ? (Cette in-formation supplémentaire est valide jusqu’à la fin du problème.)


5. Combien de billes chacun des Gaulois avait-il au début de la partie, et àla fin ?

6. Après cette partie, lassés de jouer aux billes, nos trois Gaulois parviennentà troquer leurs billes contre un billet de la Loterie Gauloise, et ont lachance de remporter un magnifique lot : 4800 superbes statuettes à l’ef-figie de Vercingétorix. Chacun estimant avoir droit à un nombre de sta-tuettes proportionnel à sa mise (c’est-à-dire au nombre de billesqu’il avait à la fin de la partie), combien chacun doit-il recevoir destatuettes ?

7. Suite à cela, Binddeulévlix, grand admirateur de Vercingétorix, rentrechez lui, ravi de son lot. Mais Acidacétylsalicylix et Cépurzongletréhaudé-dianleronix mettent leurs statuettes en commun, parviennent à les tro-quer contre un billet de la Super Loterie Gauloise, et remportent un lotconsidérable en sesterces, qu’ils décident à nouveau de se répartir propor-tionnellement à leur apport. Sachant qu’Acidacétylsalicylix a ainsi gagné7500 sesterces, combien Cépurzongletréhaudédianleronix a-t-il gagné ?

Aide aux candidats : il est possible de répondre à plusieurs de ces questionsmême si l’on n’a pas su répondre aux questions précédentes, en utilisant lesdeux informations données en début de problème.

Deuxième partie : Exercices

Exercice 1

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses (une réponse non jus-tifiée n’apporte aucun point) ?

Lorsqu’un exemple suffit logiquement pour justifier votre réponse, une figureaccompagnée de quelques mots d’explication montrant qu’on constate qu’ellevérifie ou non la propriété en cause suffit : il n’est pas nécessaire de le justifier

par un raisonnement.

1. Les diagonales de tout parallélogramme en sont des axes de symétrie.

2. Le centre de tout polygone régulier en est aussi un centre de symétrie.

3. Certains polygones admettent des axes de symétrie qui ne passent paraucun de leurs sommets.

4. Si un parallélogramme admet au moins un axe de symétrie, alors c’est unlosange.

Exercice 2

On sait que lorsqu’on laisse tomber un objet à partir d’une certaine hauteur,il se rapproche du sol à la verticale, et que la distance qu’il parcourt (tant qu’iln’est pas arrivé au sol) s’exprime en fonction du temps par la loi 3

d = 4, 9⇥ t2

3. Cette loi est en réalité approximative, et ne tient en particulier pas compte du frotte-ment de l’air. Néanmoins, on la considérera comme exacte pour les besoins de cet exercice.


où d est la distance parcourue exprimée en mètres et t le temps écoulé depuisle moment où l’objet a été lâché, exprimé en secondes.

1. L’affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? « Cette distance est pro-portionnelle au temps écoulé. »

2. On donne de plus l’information suivante : après 20 secondes, l’objet aparcouru la moitié de la distance qui le séparait initialement du sol.À quelle distance du sol l’objet a-t-il été lâché ?

3. Expliciter la fonction qui donne, exprimée en mètres et en fonction dutemps exprimé en secondes, la distance d0 séparant l’objet du sol (entrele moment où il a été lâché et celui où il arrive au sol).

4. On trouvera en Annexe UE1-A cinq graphes différents. L’un d’eux repré-sente (dans un système de coordonnées approprié) la distance d0 séparantl’objet du sol en fonction du temps, entre le moment où il a été lâché etle moment où il arrive au sol.Déterminez lequel en procédant par élimination, c’est-à-dire en don-nant, pour chacun des graphes erronés, un argument basé sur la lec-ture du graphe montrant que ce graphe ne peut pas être correct. Unepartie des points pourra être attribuée aux étudiants qui donneront desarguments valides pour éliminer certains des graphes incorrects, mais pastous.

Exercice 3 (D’après le site mathadoc.sesamath.net)

L’annexe UE1-B comporte une figure obtenue comme suit : il s’agit d’unquadrilatère convexe ABCD et de son symétrique A0B0C 0D0 par rapport àun certain point O. Bien sûr, A0 est le symétrique de A, B0 celui de B, etc.Cependant, le point O et une partie des quadrilatères ABCD et A0B0C 0D0 ontété effacés.

Il vous est demandé de reconstituer la figure (sur l’annexe UE1-C, qui estidentique à l’annexe UE1-B qui pourra vous servir de brouillon) en utilisantexclusivement la règle non graduée. Vous expliquerez en quelques mots votreconstruction.Indication : le point B se trouve dans le demi-plan situé « au dessus » de ladiagonale (AC), et le point D dans le demi-plan situé « en dessous » de cettediagonale.

TROISIÈME PARTIE

Exercice 1 (D’après un sujet de l’académie Antilles-Guyane 1996,adapté aux programmes 2008.)

Cet exercice concerne l’annexe UE 2 - A. Il s’agit de quatre exercices degéométrie.La consigne commune aux exercices 1, 2 et 3 est :

« Complète le dessin comme si tu pliais la feuille en suivant le grand trait. »


1. Quel est le nom de la transformation géométrique sous-jacente à ces exer-cices ?

2. Quelle est la compétence en jeu dans ces trois exercices ? À quel niveaude l’école élémentaire est-elle abordée ?

3. L’enseignant a déjà abordé ce thème par des manipulations, l’utilisationde papier calque, etc., mais c’est la première fois qu’il aborde ce typed’exercices. Il hésite à commencer par l’exercice 1 ou l’exercice 2. Que luiconseilleriez-vous ?

4. Dans l’exercice 3, il se fait que le « grand trait » est aussi un axe desymétrie du quadrillage. Indiquez pour cet exercice une procédure nontransférable à l’exercice 1, conduisant pourtant à une production exacte.

5. Dans l’exercice 4, il s’agit d’achever le tracé du symétrique du polygonepar rapport à un axe effacé.Décrivez une procédure permettant à un élève de cycle 3 de réussir, sansreconstituer l’axe ni la partie effacée du quadrillage. Quelles propriétésmathématiques de la transformation géométrique en question ici utilisez-vous ?

6. Un enseignant du cycle 3 souhaite construire des situations d’apprentis-sage ayant pour objectif la construction de l’image d’une figure par sy-métrie axiale. Quelles variables didactiques sont-elles à sa disposition ?Expliquez-en brièvement les effets sur les stratégies de résolution desélèves.

Exercice 2 (D’après ERMEL, Apprentissages numériques et résolu-tion de problèmes CM2, Hatier, 1999)

Le problème suivant a été posé en CM2 4 :

Pour faire un cake, j’ai trouvé la recette suivante :Des raisins secs, 600 g de farine, 300 g de sucre, 6 cl de rhum et 12 œufs.Si je choisis cette recette, quelles quantités de sucre, de rhum et d’œufs mefaut-il pour 1 kg de farine ?

Vous trouverez en annexe UE2 - B les productions de Laurane et de Romain.

1. Y a-t-il des erreurs dans ces productions ? Si oui, lesquelles (aucune jus-tification n’est demandée) ?

2. Laurane n’est pas très explicite en ce qui concerne sa manière de détermi-ner la quantité de rhum, elle l’est davantage sur sa manière de déterminerla quantité d’œufs.

(a) Explicitez une procédure qu’elle a pu utiliser pour déterminer laquantité de rhum. (il ne vous est bien sûr pas demandé de devinerce qu’elle a fait – ce qui serait impossible –, mais de présenter une

4. Par fidélité au document original, nous avons respecté scrupuleusement l’énoncé duproblème. Toutefois, nous invitons le lecteur à éviter de proposer des énoncés de problèmespouvant encourager la consommation d’alcool.


procédure à laquelle on peut s’attendre à ce niveau de la scolarité, etcohérente avec la phrase que Laurane écrit pour justifier son résultatet avec les compétences dont elle semble faire preuve (ou non) dansses autres réponses).

(b) Expliquez, d’un point de vue mathématique, sa manière de détermi-ner la quantité d’œufs.

3. (a) Quelle procédure Romain semble-t-il avoir utilisée pour calculer laquantité de sucre nécessaire ? Quelle conception de la proportionna-lité cela révèle-t-il chez lui ?

(b) Comment expliquer alors son calcul de la quantité de rhum et d’œufs ?

4. Les programmes de 2008 insistent sur l’importance de la « règle de trois »dans les problèmes de proportionnalité.

(a) Résolvez le problème posé en utilisant exclusivement la règle de trois.(b) Quelles limites en concluez-vous quant à l’utilisation de cette règle ?


ANNEXE UE1 - A

t

d0

Graphe 1 t

d0

Graphe 2

t

d0

Graphe 3 t

d0

Graphe 4


t

d0

Graphe 3

t

d0

Graphe 5


ANNEXE UE1 - BCette annexe peut vous servir de brouillon.

A C

A0

B0


ANNEXE UE1 - Cà rendre avec votre copie sans y mentionner votre nom ni numéro d’étudiant

A C

A0

B0


Page délibérément laissée vierge.


ANNEXE UE 2 - A

Exercice 1 Exercice 2

Exercice 3 Exercice 4


ANNEXE UE 2 - B

La production de Laurane :

Pour 600 g de farine il y a la moitié de sucre donc :Pour 1 kg de farine il y a 500 g de sucre

Pour 600 g de farine il y a 6 cl de rhum donc pour 1 kg de farine il faut 10 clde rhum.

Pour 1 kg de farine il faut pas la même quantité d’œuf que pour 600 gil en faut 20 – comme 6 et 6 = 12 donc 10 et 10 = 20.

Réponse : Il faut 500 g de sucre, 10 cl de rhum, et 20 œufs.

La production de Romain :

Farine : 600 g + 400 g = 1000 g

Sucre : 300 g + 400 g = 700 g

Rhum : 6 cl + 4 cl = 10 cl

Œufs : 12 œufs + 4 œufs= 16 œufs



2015-2016 — SESSION 2


UE 1


Un enseignant réalise des solides en carton pour que les élèves puissentconstruire des « maisons ».

1. Le « corps de la maison » est un pavé droit de dimensions 18 cm, 10 cmet 6 cm.

6 cm

10 cm18 cm

Réaliser sur la copie un patron du pavé droit à l’échelle 1/4.

2. Pour le « toit », deux modèles en prisme droit (dont la base est un triangleisocèle) sont proposés :

l1

10 cm18 cm

Modèle A

l2

10 cm18 cm

Modèle B

On a l1 = l2 = 12 cm.

(a) Comparer le volume des deux prismes.

(b) L’enseignant souhaite peindre les cinq faces de chacun des prismes.Pour quel prisme faut-il le moins de peinture ?


Rappels :

• Volume d’un prisme droit : Aire de la base ⇥ Hauteur

• Table des carrés :

a 11 12 13 14 15 16 17 18 19a2 121 144 169 196 225 256 289 324 361

Exercice 2

Le jeu de "Pierre - feuille - ciseaux - puits" est un jeu de mains qui opposedeux joueurs.

• la pierre bat les ciseaux

• les ciseaux battent la feuille

• la feuille bat la pierre

• le puits bat la pierre et les ciseaux mais perd contre la feuille

Si les deux joueurs font la même figure, il y a match nul (et la partie s’arrête).On observe une partie entre deux joueurs A et B. On considère que leur

choix de figure se fait au hasard avec même probabilité pour chaque figure.Question : A et B ont la même probabilité de gagner, mais quelle est la

valeur de cette probabilité ?

Exercice 3

Dans l’industrie textile, pour comparer les épaisseurs de différents fils demême nature (par exemple, il sera toujours ici question de coton), il s’agitd’étudier le rapport entre la longueur et la masse du fil. On appelle ainsi "nu-méro métrique", noté Nm, le nombre de mètres de fil obtenus dans un grammede fil. Par exemple, Nm = 12 correspond à 12 mètres de fil pour 1 gramme.

1. Vrai ou faux, justifier :Affirmation A : « Nm = 20 correspond à 20 km de fil pour 1 kg. »Affirmation B : « Plus le numéro métrique est grand, plus le fil est épais. »

2. L’opération de titrage consiste, dans la pratique, à prélever un échantillonde 500 mètres de fil à l’aide d’un dévidoir puis de le peser.La pesée donne 62,5 grammes, quel est le numéro métrique du fil ?

3. On souhaite connaître la longueur restante d’un fil sur une bobine déjà en-tamée. La connaissance de la masse d’une bobine vide permet de déduirepar pesée la masse du fil restant.S’il reste sur la bobine 40 g de fil de numéro métrique Nm = 50, quelleest la longueur de fil correspondant ?


4. Un « fil retors » est un fil obtenu à partir de plusieurs fils simples assembléspar torsion (voir illustration).

On considère pour simplifier que la torsion n’agit pas sur la longueur : unfil retors de 1 mètre peut être obtenu par assemblage de deux fils simplesde 1 mètre chacun.

(a) Quel est numéro métrique d’un fil obtenu par retordage de deux filssimples de caractéristique Nm = 40 ?

(b) Quel est numéro métrique d’un fil obtenu par retordage de deux filssimples de caractéristiques Nm = 40 pour l’un et Nm = 10 pourl’autre ?

(c) Démontrer que le numéro métrique n d’un fil retors constitué dedeux fils simples de numéros métriques respectifs n1 et n2 est : n =n1 ⇥ n2

n1 + n2.

UE2

Exercice 1

Voici un exercice de l’évaluation nationale en CM2 de 2013 :

Consigne donnée à l’enseignant :

• Temps : 2 minutes

• Dire aux élèves : « Un solide est dessiné sur votre cahier. Vous devezindiquer le nombre de faces, le nombre d’arêtes, le nombre de sommets etle nom du solide dans le tableau. Vous avez 2 minutes. »

Un élève a indiqué sur son livret :

• 4 pour le nombre de faces

• 4 pour le nombre d’arêtes


• 1 pour le nombre de sommets

• triangle pour le nom du solide

Donner les réponses attendues et analyser les éventuelles erreurs commises.

Exercice 2

La notion de symétrie est abordée dans l’évaluation nationale de CM2.

En 2011, les consignes à l’enseignant étaient les suivantes :

• Temps de passation : 5 minutes

• A/ Dire aux élèves :« Vous devez compléter la figure qui a été commencée. Il faut que ladroite D (la montrer) soit un axe de symétrie de la figure. Vous utilisezvos instruments, votre règle et votre équerre. Vous avez 3 minutes. »

• Le maître remet une feuille de papier calque (21 x 29,7) à chaque élève.

• B/ Dire aux élèves :« Observez les quatre figures qui sont dessinées sur votre cahier. Vous de-vez entourer toutes celles qui ont un axe de symétrie. Vous pouvez utiliserla feuille de papier calque que je vous remets. Vous avez 2 minutes. »

En 2013, les consignes données à l’enseignant étaient les suivantes :

• Pour cet exercice, les élèves doivent disposer d’une règle.

• Temps 4 minutes


• Dire aux élèves « Vous devez compléter la figure qui a été commencée. Ladroite A est un axe de symétrie de cette figure. Vous utiliserez la règle.Vous avez 4 minutes. »

Questions :

1. Des deux exercices sur papier quadrillé, lequel choisiriez vous pour testerles élèves sur la notion de symétrie axiale ? Justifier.

2. Quel est l’intérêt de l’ajout de la question B dans l’évaluation de 2011 ?

Exercice 3

PARTIE 1Voici un exercice proposé en CM2 (inspiré du cahier Sésamath 2013) :

On considère la recette ci-dessous.

a) Adapter la recette pour 2 personnes.

b) Adapter la recette pour 8 personnes.

1. (a) Proposer deux méthodes de résolution de la question a) qui peuventêtre attendues d’un élève de CM2, en explicitant les raisonnementssous-jacents.

(b) Laquelle des deux méthodes vous paraît la plus adaptée à cette si-tuation ? Proposer une modification de l’énoncé en la motivant pourrendre plus favorable l’usage de la deuxième méthode.

2. Proposer une troisième méthode pour la résolution de la question b. enexplicitant le raisonnement sous-jacent.


PARTIE 2

Voici un exercice proposé en CM1 (inspiré du cahier Sésamath 2014).

On considère un carré.

a) Complète le tableau. Le périmètre du carré est-il proportionnel à la lon-gueur de son côté ? Justifie.

Côté en cm 1 1,5 2 2,5 3 3,5Périmètre en cm

b) Même question pour l’aire du carré.

Côté en cm 1 1,5 2 2,5 3 3,5Aire en cm2

1. En classe de Troisième, ces situations peuvent être étudiées à l’aide desfonctions.

(a) Quel est le nom et les caractéristiques de la fonction correspondantà la question a) ?

(b) Quelle est la fonction correspondant à la question b) ?

2. Énoncer une situation d’un autre domaine ne relevant pas de la propor-tionnalité.



2016-2017 — SESSION 1


PREMIÈRE PARTIE : Problème

La correction de ce su-jet se trouve page 422

Dans ce problème, dont les parties A, B et C sont indépen-dantes, les mêmes notions de géométrie seront appliquées à dessituations différentes. La première partie relève d’applicationspratiques ; la seconde, d’applications scientifiques (on peut direastronomiques, en l’occurrence), et la troisième, d’applicationsà la géométrie elle-même.

A. Un problème de géométrie pratique.

Voici une méthode pratique qui permet sur un terrain de diviser un segmenten parties égales.On appelle [AB] le segment à diviser et pour l’exemple, on le divisera en troisparties égales.Étape 1 : Tracer une demi-droite à partir de A puis une autre demi-droite (del’autre côté du segment) de sorte que cela forme deux angles de même mesure.


A B

Étape 2 : Positionner sur la première demi-droite trois points avec un écar-tement régulier. Positionner sur l’autre demi-droite trois points en gardant lemême écartement.

A B

Étape 3 : Relier les points deux à deux comme indiqué sur la figure.

A B


Le segment [AB] est ainsi divisé en trois parties égales.

Sur un terrain on utilise une corde comme outil équivalent au compas eton évite de prendre des mesures de longueurs quand cela n’est pas utile. Dansl’exercice, on remplacera le terrain par la feuille de papier et la corde par uncompas et une règle non graduée.

1. On considère tracé sur une feuille de papier un segment [AB].Décrivez une méthode permettant de tracer les deux demi-droites avecles deux angles égaux à l’aide uniquement d’un compas et d’une règle nongraduée. On justifiera que cette méthode fournit bien deux demi-droitesformant deux angles de même mesure avec le segment [AB], comme dansl’étape 1.

2. Effectuez, à l’aide de la règle non graduée et du compas, l’ensemble duprogramme de construction permettant de diviser le segment [AB] entrois parties égales (on laissera les traits de construction en évidence).Aucune justification n’est demandée.

3. Démontrez que ce programme de construction permet effectivement unedivision en trois parties égales du segment [AB].

B. Détermination de la longueur du méridien terrestre par Ératos-thène.

Précepteur du futur pharaon Ptolémée IV, Ératosthène, astronome, géogra-phe, philosophe, historien, géomètre et mathématicien grec (Cyrène v. -276 -Alexandrie v. -194) fit sienne l’hypothèse, antérieure à lui, que la Terre étaitsphérique, et entreprit de déterminer la longueur du méridien terrestre.

Précisons ce qu’on appelle méridien dans ce contexte : la Terre étant sup-posée sphérique, on appelle méridien un cercle fictif, dont le centre est le centrede la Terre, et qui passe par le pôle Nord et le pole Sud 5.

Voici un extrait de la fiche Wikipedia qui est consacrée à Ératosthène :

5. Ce n’est donc pas exactement la même notion qu’en géographie, ou un méridien n’estqu’un demi-cercle, reliant les deux pôles. Ici on parle bien de cercle complet.


Ératosthène déduisit la circonférence de la Terre (ou méri-dien terrestre) d’une manière purement géométrique. Il com-para l’observation qu’il fit sur l’ombre de deux objets situés endeux lieux, Syène (aujourd’hui Assouan) et Alexandrie, consi-dérés comme étant sur le même méridien, le 21 juin (solsticed’été) au midi solaire local. C’est à ce moment précis de l’an-née que dans l’hémisphère nord le Soleil détient la plus hauteposition au-dessus de l’horizon. Or, dans une précédente ob-servation, Ératosthène avait remarqué qu’il n’y avait aucuneombre dans un puits à Syène (ville située à peu près sur le tro-pique du Cancer) ; ainsi, à ce moment précis, le Soleil était àla verticale et sa lumière éclairait directement le fond du puits.Ératosthène remarqua cependant que le même jour à la mêmeheure, un obélisque situé à Alexandrie formait une ombre ; leSoleil n’était donc plus à la verticale et l’obélisque avait uneombre décentrée. En comparant l’ombre et l’obélisque, Ératos-thène déduisit que l’angle entre les rayons solaires et la verticaleétait de 1/50 d’angle plein, soit 7,2 degrés.Ératosthène évalua ensuite la distance entre Syène et Alexan-drie à environ 5 000 stades.

(Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89ratosth%C3%A8ne)

On rappelle qu’un arc de cercle est la portion d’un cercle comprise entredeux points A et B de ce cercle. On le note AB. Si O est le centre du cercle,l’angle ’AOB est appelé angle au centre qui intercepte AB.On admet comme évident que deux arcs interceptés sur un même cercle pardes angles au centre égaux, ont même longueur. Ainsi, dans la figure suivante,un cercle est divisé en six arcs interceptés par des angles au centre égaux (ilsvalent tous un sixième d’angle plein) : ces six arcs ont donc la même longueur,qui vaut un sixième de la longueur du cercle.

Le schéma suivant représente la situation étudiée par Ératosthène. Le cerclede centre O représente le méridien passant par Syène et Alexandrie, le point Preprésente le puits de Syène, le segment [AC] représente l’obélisque d’Alexan-drie et B est l’extrémité de son ombre.

https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89ratosth%C3%A8ne


Rayons du soleil

O P

A

CB

Dans ce schéma, ni les proportions, ni les angles ne sont respectés.

Toutefois, les angles droits, aigus ou obtus le sont

(par exemple, un angle qui apparaît aigu sur le schéma l’est réellement).

On notera qu’Ératosthène fait l’hypothèse très raisonnable que les rayonsdu soleil sont parallèles. En utilisant les données du texte :

1. Précisez, sans le justifier, quel est l’angle qui, selon le texte ci-dessus, aété déterminé par Ératosthène à Alexandrie. On attend une réponse dutype « C’est l’angle ’XY Z ».

2. Déterminez la mesure en degrés de l’angle au centre qui intercepte l’arcPA, et déduisez-en quelle fraction de l’angle plein il représente.

3. Déduisez-en la longueur en stades du méridien terrestre, telle qu’estiméepar Ératosthène.

4. Sachant en outre qu’un stade équivaut à 157,5 mètres, convertissez enkilomètres le résultat obtenu par Ératosthène.

C : Droites remarquables d’un triangle.

1. Les médiatrices d’un triangle sont par définition les médiatrices de sestrois côtés. On se propose de démontrer que les médiatrices de tout tri-angle sont concourantes (c’est-à-dire se coupent en un même point). Pourcela, on considère un triangle ABC et on construit d’abord deux de sesmédiatrices : la médiatrice de [AB] et celle de [BC]. Elles se coupent enun point O (on admettra en effet que deux médiatrices d’un triangle secoupent toujours).

(a) Construisez la figure en prenant un triangle ABC avec AB = 6 cm,AC = 4 cm, BC = 7 cm (la suite du raisonnement sera indépen-dante de ces données). On laissera apparents les éventuels traits deconstruction. Aucune justification n’est demandée.Prenez garde au fait que les questions suivantes portent surtout triangle, pas seulement celui que vous avez représenté.

(b) Que peut-on dire des distances OA, OB et OC ? Justifiez.


(c) Déduisez-en que O se trouve aussi sur la médiatrice de [AC] etconcluez.

2. On se propose maintenant de montrer un autre théorème sur les droitesremarquables d’un triangle. Ce sera l’objet de la question (d), les troispremières étant préparatoires.Pour cela, on considère un triangle ABC et on trace la parallèle à (AB)passant par C, la parallèle à (AC) passant par B et la parallèle à (BC)passant par A. Elles forment un triangle A0B0C 0 comme sur la figuresuivante :

A

B

C

B0

A0

C0

(a) Démontrez que le quadrilatère AB0CB est un parallélogramme. Onadmettra ensuite de même que ACA0B est un parallélo-gramme.

(b) Déduisez-en que C est le milieu de [A0B0].On admettra ensuite de même que A est le milieu de [B0C 0]et que B est le milieu de [A0C 0].

(c) Que représentent pour le triangle ABC les médiatrices du triangleA0B0C 0 ? Justifiez.

(d) Exploitez ce qui précède pour énoncer et démontrer un théorème af-firmant que certaines droites remarquables du triangle ABC, autresque les médiatrices, sont concourantes.


DEUXIÈME PARTIE : Exercices

Exercice 1 :

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifiez (une réponsenon justifiée n’apporte aucun point).

• Affirmation 1 :« Tout quadrilatère qui possède au moins trois côtés de même longueuret au moins un angle droit est nécessairement un carré »

• Affirmation 2 :« L’inverse de tout nombre rationnel non nul est inférieur à ce nombre »

Exercice 2 :

On considère la technique de calcul suivante :

• choisir un nombre naturel N dont le chiffre des unités est 5 ;

• déterminer d, le nombre de dizaines de N ;

• effectuer le produit d⇥ (d+ 1) ;

• écrire le nombre entier qui se termine par 25 et dont le nombre de cen-taines est le produit précédent.

1. Faites fonctionner cette technique en choisissant pour valeur de N suc-cessivement 15 , 5 et enfin 145.

2. (a) Démontrez que cette technique de calcul permet de calculer le carréde tout nombre entier dont le chiffre des unités est 5.

(b) Vérifiez-le sur le cas particulier de 145, en posant le calcul 145⇥145.

Exercice 3 :

Un groupe de majorettes étudie une disposition pour défiler.Elles décident de se placer en rangées pour former un rectangle.Elles remarquent que :

• quand elles se placent par rangées de six, il en reste trois non placées

• quand elles se placent par rangées de cinq, elles sont toutes placées

1. Si elles se placent par rangées de trois, en reste-t-il ? Justifiez.

2. Si elles se placent par rangées de deux, en reste-t-il ? Justifiez.

3. Dans cette question uniquement, on fait l’hypothèse qu’il y a en toutmoins de cinquante majorettes. Quel peut être le nombre de majorettes ?Donnez toutes les solutions.


TROISIÈME PARTIE : Partie didactique (pour l’UE 2)

Note : Le candidat devra, par la clarté de ses réponses et laprécision de son vocabulaire, montrer qu’il maîtrise les enjeuxaussi bien didactiques que scientifiques des domaines d’ensei-gnement abordés dans les deux exercices proposés ci-dessous.

Exercice 1 : Des jeux de cartes en maternelle.

Le manuel Découvrir le monde avec les mathématiques - situations pour lagrande section (Dominique Valentin, éditions Hatier 2005) propose une activitéappelée « Cartes-puzzle » destinée à une classe de grande section.

Cette activité fait suite à une série d’activités ayant eu pour objectif defamiliariser les élèves avec les cartes à jouer classiques (sans les figures : rois,dames, valets).

Pour cette activité, l’enseignant aura fabriqué un nouveau jeu de cartesconstitué de deux séries :

• Première série : des « petites cartes » ne comportant que les constellations.Par exemple, pour la série des trèfles :

• Deuxième série : des « grandes cartes » ne comportant que les repèresnumériques et la couleur (pique, cœur, carreau ou trèfle).Exemple pour le 6 de trèfle :


But à atteindre : Reconstituer une carte à partir de 2 cartes-puzzle.

L’enseignant prépare autant de paires de cartes que d’élèves et les distribue demanière à ce que chaque enfant reçoive une « grande carte » et une « petitecarte » qui ne se correspondent pas. Chaque enfant demande, à son tour, lapetite carte qui lui manque afin de compléter sa grande carte.Par exemple, si Aurélie a la grande carte « 4 de trèfle », elle va réclamer lapetite carte avec la constellation correspondante et poser au centre du grouped’enfants la carte reconstituée. L’enfant qui lui a donné la carte réclamée va, àson tour, demander celle dont il a besoin et ainsi de suite jusqu’à ce que chaqueenfant ait reconstitué sa grande carte. L’activité est menée très rapidement.

Question 1 :

1. Quelle(s) compétence(s) sur le nombre doit avoir l’élève lorsqu’il demandeune carte ?

2. Donner deux stratégies qu’un élève peut adopter pour savoir si la « petitecarte » qu’il a est celle qui est demandée. Laquelle des deux stratégiessemble être favorisée par l’auteur du jeu ?

Question 2 :Quel(s) intérêt(s) didactique(s) peut-il y avoir à remplacer la série de « petitescartes » par une série du type de celle présentée ci-dessous ?

Question 3 :Le « Bata-waf » (éditions Djeco) est un jeu de cartes du type « bataille » consti-tué de six séries de six chiens de différentes tailles.

Organisation : le jeu se joue à deux. Chaque enfant tire une carte. Les deuxcartes sont posées côte à côte. L’enfant qui a le chien le plus grand l’emporte.


1. De quelle compétence mathématique principale relève ce jeu s’il est in-troduit en classe de petite section ?

2. Comment adapter la consigne pour proposer ce jeu de cartes à des élèvesde grande section de maternelle ?

Exercice 2 : Les cryptarithmes au cycle 3

Un cryptarithme est un casse-tête numérique, une opération élémentaireoù les chiffres (tous ou certains d’entre eux) sont représentés par des lettresou des symboles, comme par exemple AB + BA = CBC. À l’intérieur d’unmême cryptarithme, un même symbole représente toujours le même chiffre,et deux lettres différentes représentent des chiffres différents. L’objet de cettepartie est de réfléchir à l’utilisation des cryptarithmes avec des élèves de cycle 3.

Dans la partie A. et la partie B., les éventuelles retenues ne sont pas notéesdans le cryptarithme, comme c’est le plus souvent le cas dans la pratique. Dansla partie C., où le cryptarithme provient d’un ouvrage des Éditions Retz, desretenues apparaissent, ce sont les retenues faites dans les deux multiplicationsintermédiaires.A. Considérons tout d’abord l’opération suivante :

A 4 A⇥ A3 8 7 A

1. En ne considérant que les « A » sur fond grisé ci-dessous, quelles infor-mations un élève de cycle 3 peut-il obtenir sur A ?

A 4 A

⇥ A

3 8 7 A


2. Quelle information supplémentaire obtiendra-t-il avec le « A ⇥ A » surfond grisé ci-dessous ?

A 4 A

⇥ A3 8 7 A

Combien vaut donc A ?

B. Considérons l’addition suivante (où C est bien entendu différent de 0) :

A B+ B A

C B C

1. Discutez la pertinence de proposer un tel exercice additif en cycle 3.

2. Quel argument simple pourrait avoir un élève de cycle 3 pour convaincreses camarades que C vaut forcément 1 ?

C. Considérons enfin la multiplication suivante, tirée des Petits Cahiers Retz,Des jeux pour réussir toutes les opérations (9-11 ans) :

D 1

2 1

A B 2⇥ C B

D A C 0E B 1 2 0E F F F 0

1. Dans cette multiplication, déterminer les valeurs respectives de A, B, C,D, E, et F . Aucune justification n’est demandée.

2. Par un raisonnement portant uniquement sur les retenues, justifiez queD ne peut pas être égal à 9.

3. Indiquez brièvement le sens de chacun des trois zéros de cette opérationposée.

4. Comment modifier l’exercice pour le rendre plus abordable tout en gar-dant la disposition des trois zéros ?



2016-2017 — SESSION 2


UE 1

La correction de ce su-jet se trouve page 434 Exercice 1

Cet exercice est composé de questions indépendantes

1. Quel est le plus petit nombre entier strictement positif qui est à la foisun multiple de 5 et de 7 ?

2. Un nombre s’écrit abcd0 en base 3 (son dernier chiffre est 0).

(a) Montrer que ce nombre est divisible par 3.(b) En déduire que le seul nombre premier dont l’écriture en base 3 se

termine par 0 est 3.(c) Donner l’écriture en base 3 du nombre 327.

3. Un nombre « de Sophie Germain » est un nombre premier p tel que 2p+1est également un nombre premier.

(a) Le nombre 2 est-il un nombre de Sophie Germain ?(b) Le nombre 4 est-il un nombre de Sophie Germain ?(c) Quel est le plus petit nombre premier qui n’est pas un nombre de

Sophie Germain ?

4. On multiple un nombre de 2 chiffres et un autre de 3 chiffres. Combienle résultat peut-il avoir de chiffres ?

5. On considère le nombre dont l’écriture décimale (infinie) est donnée parx = 0, 14 = 0, 1444444444 . . ..

(a) Ce nombre est-il un nombre décimal ?(b) Est-il rationnel ?(c) Donner l’écriture décimale de 10x et de 100x.(d) En déduire l’écriture décimale de 90x

(e) Donner une écriture de x sous forme de fraction.


Exercice 2 :

Dans cet exercice, on s’intéresse à un quadrilatère, le « cerf-volant ». Uncerf-volant est un quadrilatère non-croisé dont une des diagonales est la médi-atrice de l’autre. Dans tout l’exercice, on appelle ABCD un tel cerf-volant, eton suppose que (AC) est la médiatrice de [BD].

1. Pourquoi, dans la définition ci-dessus, a-t-on écrit (AC) avec des paren-thèses, mais [BD] avec des crochets ?

2. Démontrer que AB = AD et que CB = CD.

3. Tout losange est-il un cerf-volant ?

4. Que peut-on dire d’un cerf-volant qui est un parallélogramme ?

5. Si un cerf-volant a deux angles droits, est-ce nécessairement un carré ?

6. Dessiner à main levée un cerf-volant concave (c’est-à-dire non convexe).

Dans la suite, on suppose que ABCD est convexe, queAB = 4 cm = AD et BC = 7 cm = CD.

7. Démontrer que BD < 8.

8. Construire ABCD avec AB = 4 cm = AD, BC = 7 cm = CD, etBD = 6 cm.

9. Proposer un programme de construction correspondant à la figure précé-dente.

10. Déterminer AC.


UE2

Question 1

On trouvera en annexes 1 et 2, deux extraits de manuels de CE2.

a) Quel est l’objectif commun à ces deux extraits ?

b) Citer deux connaissances préalables que les élèves doivent posséder pouraborder cet objectif dans ces deux activités.

c) Expliquer comment prolonger l’activité de l’annexe 1 pour obtenir la tech-nique usuelle.

d) Dans l’annexe 2, expliquer la signification et le rôle des deux tableaux àdroite du calcul.

e) Pour la question 3 de l’annexe 2, décrire une erreur d’élève prévisible dufait du choix des nombres.

f) Proposer une aide possible pour les élèves échouant à la question 3 del’annexe 2.

Question 2

On trouvera en annexe 3 les productions de deux élèves de début de collègeenvoyés au tableau pour effectuer le calcul suivant :

0, 80⇥ 6

a) Proposer une autre procédure permettant d’obtenir le résultat de ce calculet situer le niveau auquel elle pourrait apparaître chez les élèves.

b) Décrire et analyser les productions des élèves A et B de l’annexe 3.

c) Poser et effectuer l’opération 0, 41⇥ 6, 03 .

Question 3

Dans le document d’accompagnement sur les « Fractions et nombres aucycle 3 » (Eduscol), on peut lire ceci :

Dans le cas où un partage de bandes ou de segments en 3, 5 ou 6. . .est àeffectuer, un guide-âne peut être utilisé ; il permet d’obtenir immédiatement desfractions de dénominateur 3, 5, 6. . .

L’annexe sur le guide-âne du même document explique alors :

RAPPEL Les nombres exprimés sous forme de fractions simples, permettentaussi de repérer un point sur une demi-droite graduée. Pour cela, on partagel’unité en parts égales correspondant au dénominateur de la fraction que l’oncherche à placer sur la droite graduée, on peut effectuer cela par pliage ou enutilisant un guide-âne. On reporte ensuite la fraction autant de fois que néces-saire.


a) En utilisant directement le guide-âne fourni en annexe 4 (à rendre avecvotre copie), reporter et partager le segment S ci-dessous en 3, 5, et 6parts égales.

Segment S

b) Sans démonstration, expliquer quel résultat géométrique qui ne sera vuqu’au cycle 4 permet de justifier les constructions faites en a).

c) Sur une demi-droite graduée d’unité S, placer les points d’abscisse 25 , 7

6et 6

7 . On laissera les traits de construction.

d) Donner la bonne réponse à l’exercice ci-dessous et citer deux erreurs pré-visibles chez les élèves.

Document d’accompagnement « Fractions et nombres au cycle 3 »Eduscol


Annexe 1 : Euromaths

Annexe 2 : Cap Maths


Annexe 3 : Collège Loos-en-Gohelle, septembre 2015

Élève A Élève B


Annexe 4 (À rendre avec votre copie)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

D’après « Fractions et décimaux au cycle 3 », Éduscol



2016-2017 — SESSION 1


PREMIÈRE PARTIE : Problème

La correction de ce su-jet se trouve page 441Dans ce problème, A(P) désigne l’aire du polygone P.

Partie 0

Propriété P1 Démontrer que dans tout parallélogramme EFGH, A(EFG) = A(EHG).

EF

GH

Propriété P2 Démontrer que pour tout quadrilatère ABCD convexe tel que A(ABC) =A(BCD), les droites (AD) et (BC) sont parallèles.

BC

D

A

• Soit [UV ] un segment donné et W un point de ce segment. On considèrealors deux points X et Y en dehors de la droite (UV ).

U

VW

X

Y


Propriété P3 Démontrer queA(UWX)

A(WVX)=

UW

WV.

Propriété P4 Déduire queA(UWX)

A(WVX)=

A(UWY )

A(WV Y ).

Partie I

Soit MNPQ un quadrilatère convexe.On peut dès lors former quatre triangles ayant trois sommets (consécutifs)

de ce quadrilatère : MNP , NPQ, PQM et QMN .On suppose que les aires de ces triangles valent toutes 1 : A(MNP ) =

A(NPQ) = A(PQM) = A(QMN) = 1.

1. Si on peut trouver un quadrilatère vérifiant cette propriété, quelle estalors l’aire de ce quadrilatère ?

2. À l’aide de la propriété P1, démontrer qu’on peut trouver certains pa-rallélogrammes MNPQ tels que A(MNP ) = A(NPQ) = A(PQM) =A(QMN) = 1.

3. D’après la question précédente, on sait maintenant que certains parallé-logrammes MNPQ sont tels que A(MNP ) = A(NPQ) = A(PQM) =A(QMN) = 1.Cependant, on voudrait savoir si les parallélogrammes sont les seuls qua-drilatères MNPQ qui peuvent être tels que A(MNP ) = A(NPQ) =A(PQM) = A(QMN) = 1.

(a) À l’aide de la propriété P2, démontrer que les droites (NP ) et (MQ)sont parallèles.

(b) Démontrer que le quadrilatère MNPQ est forcément un parallélog-ramme.

Partie II

Soit ABCDE un pentagone convexe.On peut dès lors former cinq triangles ayant trois sommets consécutifs de

ce pentagone : ABC, BCD, CDE, DEA et EAB.On voudrait que les aires de ces triangles valent toutes 1 : A(ABC) =

A(BCD) = A(CDE) = A(DEA) = A(EAB) = 1.Programme de construction proposé.

À partir d’un triangle AEP dont l’aire est3�p5

2, on place B tel que le

point P appartienne au segment [EB] et tel que l’aire du triangle EAB soitégale à 1 et on place D tel que le point P appartienne au segment [AD] et telque l’aire du triangle DEA soit égale à 1 et enfin on place le point C tel que lequadrilatère BCDP soit un parallélogramme.

La figure suivante permet de fixer les idées, mais elle ne respecte pas lesconditions sur les aires.


A

E

P

D

B

C

On veut montrer que ce programme de construction fournit une solutionau problème : « obtenir un pentagone convexe ABCDE tel que A(ABC) =A(BCD) = A(CDE) = A(DEA) = A(EAB) = 1 ».

1. Que vaut l’aire du triangle ABP ?, et l’aire du triangle DEP ?

2. À l’aide de la propriété P4, déterminer ensuite l’aire du triangle BDP .

3. À l’aide de la propriété P1, déduire l’aire du triangle BCD.

4. Justifier que les aires des triangles ABC et BCD sont égales. Déduirel’aire du triangle ABC.

5. Déduire enfin l’aire du triangle CDE.

Quelle est l’aire du pentagone ABCDE ainsi construit ?

DEUXIÈME PARTIE : Exercices

Exercice 1 :

Monsieur A parcourt 45 km en 30 minutes en cinquième vitesse en consom-mant 2,5 litres de carburant.

Monsieur B parcourt 60 km en 1 heure en troisième vitesse et consomme« 6 litres de carburant aux 100 km ».

1. Sur leurs parcours respectifs, quelles sont les consommations (en litres decarburant) pour chacun des deux conducteurs ?

2. Sur leurs parcours respectifs, quelles sont les vitesses moyennes (en kmpar heure) de chacun des deux conducteurs ?

3. En moyenne, sur une heure de temps, quelles sont les consommations (enlitres de carburant) pour chacun des deux conducteurs ?

4. En moyenne, sur une distance de 100 km, quelles sont les consommations(en litres de carburant) pour chacun des deux conducteurs ? Pour cettequestion, on pourra approcher les réponses au dixième de litre.

5. Est-il correct de dire que quand on consomme moins sur une heure detemps, on consomme moins sur une distance de 100 km ?


Exercice 2 :

Dans cet exercice, des affirmations sont proposées. Pour chacune d’entreelles, dire si elle est vraie ou si elle est fausse. Justifier la réponse.

Une réponse exacte mais non justifiée ne rapporte aucun point. Une réponsefausse n’enlève aucun point.

L’expérience consiste à lancer simultanément

• un dé rouge tout à fait ordinaire comportant les faces équiprobables 1, 2,3, 4, 5 et 6,

• un dé noir tout aussi ordinaire comportant les faces équiprobables 1, 2,3, 4, 5 et 6,

• et un jeton à deux faces équiprobables, l’une avec un « + », l’autre avecun "« ⇥ ».

À l’issue de l’expérience, on s’intéresse aux différents résultats obtenus enlisant le dé rouge, le jeton, puis le dé noir.

Par exemple, si le dé rouge indique un 4, le jeton indique un "⇥" et le dénoir indique un 5, le résultat est 20 car 4⇥ 5 = 20.

Affirmation 1. Il n’existe qu’une seule réalisation possible du résultat 2.Affirmation 2. La probabilité d’obtenir un résultat de 10 est de 5

72 .Affirmation 3. Si on réalise exactement 72 fois l’expérience, alors on ob-

tient forcément exactement une fois le résultat 36.

Exercice 3 :

Dans cet exercice, aucune justification n’est demandée.Les huit sommets du polygone (croisé), représenté en Annexe, sont situés

en des noeuds du quadrillage. L’Annexe est à rendre avec la copie.

1. Combien d’axes de symétries (orthogonales) le polygone représenté enAnnexe comporte-t-il ? Les représenter sur la figure en Annexe.

2. Représenter sur l’Annexe un agrandissement du polygone représenté enAnnexe tel que le petit côté du polygone ne mesure plus 2 carreaux,mais 3 carreaux.

Exercice 1 :

Voici un chemin de la case A à la case D sur un quadrillage. Chaque casede ce chemin contient une valeur, mais seulement deux de ces valeurs restentaffichées : la case B qui contient la valeur 49 et la case C qui contient la valeur25.


A

B

C

D

49

25

On avait une certaine valeur sur la case A et quand on s’est déplacé sur cechemin, on a appliqué les règles suivantes :

• quand on se déplace d’une case vers la droite, on ajoute une valeur x ;

• quand on se déplace d’une case vers la gauche, on retire cette même valeurx ;

• quand on descend d’une case, on retire la valeur y ;

• quand on monte d’une case, on ajoute cette même valeur y.

On remarque, qu’une fois arrivé sur la case D, on retrouve la valeur qu’on avaitsur la case A.

Quelle est la valeur commune aux cases A et D ?

TROISIÈME PARTIE : Didactique

Exercice 1 :

Dans une classe de petite section (PS), lors de l’accueil des élèves dans laclasse, l’enseignant les laisse utiliser plusieurs jeux dont celui-ci :


1. Qu’apprennent les élèves d’un point de vue mathématique en utilisant cejeu ?

2. L’élève A tente d’insérer le cylindre bleu là où il faudrait insérer le pavédroit. L’élève B tente d’insérer le pavé droit jaune là où il faudrait insérerle prisme droit à base triangulaire. Analyser très brièvement chacune deces deux erreurs.

3. Lorsque certains élèves sont en autonomie sur ce jeu alors que l’enseignantest occupé à accueillir les élèves arrivant plus tardivement, est-ce si gravesi l’enseignant ne valide pas la réussite de ce jeu ?

Exercice 2 :

On considère l’extrait suivant du manuel Cap Maths, fichier d’entraîne-ment nombres et calculs, cycle 2, CE1, Roland Charnay, Georges Combier,Marie-Paule Dussuc, Dany Madier, Hatier, 2016, page 102, exercice 4.

1. Citer la compétence principale visée par cet exercice.

2. Proposer deux compétences relatives à l’« organisation et gestion de don-nées » requises avant d’aborder cet exercice.


3. Donner une compétence de calcul nécessaire à la résolution de l’exercice.

Exercice 3 :

On considère l’extrait suivant du manuel Cap Maths, manuel de l’élève,cycle 3, CM2, Roland Charnay, Georges Combier, Marie-Paule Dussuc, DanyMadier, Hatier, 2010, page 135, exercice 1.

Réponses données par l’un des groupes (élèves n°1, n°2, n°3 et n°4) aux quatrequestions posées :a) Il faut faire « +6 » sur la longueur.b) L’élève n°1 propose une chambre de 8 carreaux sur 18 carreaux, l’élève n°2propose un lit de 12 carreaux sur 4 carreaux, l’élève n°3 propose un bureau de10 carreaux sur 3 carreaux et l’élève n°4 propose une étagère de 12 carreauxsur 2 carreaux.c)


Bureau

Lit

Étagère

d) On a bon, mais maintenant, l’étagère passe au-dessus du lit.

1. L’apprentissage visé avait déjà été rencontré dans un cadre géométrique,mais il apparaît ici dans un cadre numérique. De quel apprentissage s’agit-il ?

2. Selon le cadre dans lequel il est travaillé, l’apprentissage visé utilise diffé-rentes propriétés. Proposer deux de ces propriétés dans le cadre géomét-rique et une dans le cadre numérique.

3. Proposer deux procédures correctes, utilisables par les élèves de CM2,pour donner les nouvelles dimensions du lit en nombre de carreaux.

4. Le groupe observé conclut que sa production est correcte. Par quelleremarque pouvez-vous l’aider à se remettre en question ?

5. Un autre groupe a proposé ceci : a) Il faut faire « +6 » sur toutes leslongueurs. En quoi les données initiales vont-elles permettre de rejetercette nouvelle proposition ?


Annexe



2016-2017 — SESSION 2

UE 1

Le corrigé de ce sujet setrouve page 452 Exercice 1

Soit ABC un triangle isocèle rectangle en C tel que AC = CB = 6 cm.Soit D le milieu de [AB].

C

A BD

A0

�2 �3

B0

�4

�1

Dans la figure ci-contre qui repré-sente une ove,

�1, �2, �3 et �4 sont quatre arcs decercles qui constituent l’ove :

• �1 a pour centre D et est déli-mité par A et B,

• �2 a pour centre B et est déli-mité par A et A0,

• �3 a pour centre A et est délimitépar B et B0,

• �4 a pour centre C et est délimitépar A0 et B0.

Il va de soi sur la figure ci-contredans laquelle

• UV est un arc de cercle de centreO de longueur �,

• ! est une mesure de l’angle’UOV ,

• et le secteur angulaire coloré, dé-limité par UV , par [OU ] et par[OV ] a pour aire A,

O

U

V

�

!


X que la longueur � est proportionnelle à la mesure de l’angle !

X et que l’aire A est aussi proportionnelle à la mesure de l’angle !.

1. Démontrez que AB = 6p2 cm.

2. Déduisez A0C = B0C = 6(p2� 1) cm.

3. Déterminez le périmètre de l’ove.

4. Déterminez l’aire de l’ove.

Exercice 2

Aucune justification n’est demandée pour cet exercice.Soit le cube ABCDEFGH. Les faces carrées de ce cube sont ABCD,

EFGH, AEHD, BFGC, ABFE et DCGH.Un élève a tracé à la surface de ce cube, à la craie rouge, un circuit fermé

constitué de segments passant une et une seule fois par chacun des milieux desdouze arêtes de ce cube.

A B

CD

E F

GH

I J

KL

M

N

O

P

Q

R

S

T

I (respectivement J , K, L, M , N , O, P , Q, R, S, puis T ) est le milieu de[AD] (respectivement [BC], [FG], [EH], [AB], [BF ], [FE], [EA], [DC], [CG],[GH], puis [HD]). Le circuit fermé de l’élève est constitué des segments [IJ ],[JN ], [NM ], [MO], [OK], [KR], [RQ], [QS], [SL], [LP ], [PT ] et [TI]).

Cet élève a également réalisé un patron réduit (sur quadrillage) de ce cubeet a commencé à reconstituer son circuit fermé sur cette représentation du cube.

À vous d’achever le travail de l’élève en complétant l’annexe (à joindreavec la copie) !

Exercice 3

Voici, pour une exploitation, des renseignements concernant les répartitionsde 5 000 conifères selon leur hauteur en centimètres.

• La hauteur des conifères fluctue entre 40 et 140 centimètres.


• Ces 5 000 conifères ne mesurent exactement ni 40, ni 60, ni 80, ni 100, ni120, ni 140 centimètres.

• 1 200 de ces conifères ont une hauteur comprise entre 60 centimètres et80 centimètres.

• 80 % des conifères ont une hauteur inférieure à 100 centimètres.

• 60 % des conifères ont une hauteur supérieure à 80 centimètres.

• Parmi les conifères de plus de 100 centimètres, trois cinquièmes mesurentmoins de 120 centimètres.

Recopiez et complétez sur votre copie le tableau suivant :

hauteur h du conifère nombre de conifèresen centimètres dans l’exploitation40 < h < 6060 < h < 80 1 20080 < h < 100100 < h < 120120 < h < 140

Toute valeur proposée dans le tableau doit être justifiée en fonction desdonnées de l’énoncé.

UE2

Exercice 1

On considère l’extrait suivant du manuel Cap Maths, cycle 3, CM2, RolandCharnay, Georges Combier, Marie-Paule Dussuc, Dany Madier, Hatier, 2010,page 32, partie chercher, questions 1 à 3.


1. Comment peut procéder un élève de CM2 qui répond correctement à laquestion 1.a. ?

2. En classe, il est plus facile de traiter les questions 1.a. ou 1.b. que laquestion 1.c. Pourquoi ?

3. Citer une règle de calcul qui est largement mobilisée pour traiter lesquestions 1 à 3.

4. Cette question ne concerne que la question 3.c.L’élève A propose 2 km – 3 m – 22 dam – 25 hm – 203 m – 2 hm 40 m –350 cm.L’élève B propose 350 cm – 3 m – 203 m – 22 dam – 2 hm 40 m – 25 hm– 2 km.

(a) Pour chacun des élèves A et B, décrire une procédure plausible pourfournir un tel résultat et proposer un commentaire de l’enseignantqui peut aider l’élève à se rendre compte de l’inexactitude de saproduction.

(b) Relater une production d’un élève qui aurait répondu correctementà cette question en détaillant sa procédure.

Exercice 2

On considère l’extrait suivant du manuel Graine de Maths, cycle 3, CM2,Joël Malaval, Olivier Le Dantec, Laurent Giauffret, Philippe Peindaries, AnniePlantiveau, Nathalie Satre, Audrey Walkowiak , Nathan, 2017, p. 97, problème5.

Laly a payé 19, 50 e pour 5 kg de fraises et Issa a payé 11, 70 e pour 3 kg,chez le même marchand.

Quel est le prix de 2 kg de ces fraises ?

1. Cette situation relève implicitement de proportionnalité. Quelles sont lesgrandeurs en jeu dans cette situation qui sont proportionnelles ?

2. Un élève a résolu le problème sans utiliser le fait qu’« Issa a payé 11, 70 epour 3 kg ».

(a) Proposer une production possible pour cet élève.(b) Quelles sont les propriétés mathématiques en jeu dans cette produc-

tion ?

3. Un autre élève a résolu le problème en mobilisant toutes les données del’énoncé.

(a) Proposer une production possible pour cet élève.(b) Quelles sont les propriétés mathématiques en jeu dans cette produc-

tion ?


Annexe

D C

A B

Q

I J

M



2017-2018 — SESSION 1


PREMIÈRE PARTIE

La correction de ce su-jet se trouve page 458Dans ce problème, les parties A, B et C relèvent du même thème

et en particulier proposent trois méthodes d’estimation de lalargeur d’une rivière. Ces trois parties peuvent néanmoins êtretraitées de manière indépendante.

A : Un relevé de plan pour connaître la largeur d’une rivière

On considère que les rives de la rivière peuvent être modélisées par desdroites parallèles.Le géomètre se trouve d’un côté de la rivière. Il positionne deux piquets à 50mètres d’écart le long de la rive et choisit de viser un point sur l’autre rive.Il trace sur une feuille de papier un segment [P1P2], P1 et P2 représentant lesdeux piquets. Le point de visée sera nommé V .Le géomètre dispose d’un outil permettant d’évaluer certains angles. Ainsi, ense plaçant au premier piquet (représenté par P1) il peut estimer l’angle en P1 :÷P2P1V .Et en procédant de la même manière au deuxième piquet (représenté par P2)il peut estimer l’angle en P2 : ÷P1P2V .Les traces de ces deux angles se trouvent en annexe 1 (annexe qui pourra êtreéventuellement découpée pour répondre aux questions qui suivent).

1. Sur la copie, choisir une échelle adaptée et tracer avec soin un plan faisantfigurer le segment [P1P2] et les angles reportés. En déduire la position dupoint V .

2. À l’aide d’une seule mesure sur le plan ainsi tracé, donner une estimationde la largueur de la rivière. Expliquer la démarche.


B : Autour du triangle rectangle

1. GénéralitésOn considère un triangle ABC rectangle en A. On trace la perpendiculaireà (BC) passant par A. Elle coupe [BC] en D.

B C

A

D

(a) Montrer que les triangles ADB et CAB sont semblables.(b) Montrer que les triangles ADB et CDA sont semblables.

On admettra dans la suite que les triangles ADC et BAC sont eux aussisemblables.

2. Théorème de Pythagore : démonstration en (a) et applicationen (b)

(a) Dans le triangle ABC rectangle en A de la question précédente, onveut démontrer que

BC2 = AB2 +AC2.

i. Montrer à l’aide de la question 1. que

BD

AB=

AB

CB

puis en déduire une expression de AB2 en fonction de CB et deBD.

ii. Les triangles ADC et BAC étant semblables, en déduire demême une expression de AC2 en fonction de CB et de CD.

iii. Terminer la démonstration du théorème de Pythagore.(b) Dans le cas particulier d’un triangle ABC rectangle en A où BC =

10 cm et AB = 6 cm, quelles sont les valeurs exactes de AC et BD ?

3. Une méthode géométrique pour obtenir la largeur d’une autrerivièreOn considère les points M et H de part et d’autre d’une rivière (la droite(MH) est considérée comme horizontale). L’objectif est de connaître lalongueur MH.


On plante en H un bâton de 1 mètre de haut à la verticale. Il est repré-senté par le segment [HS].Une équerre pivotante autour du point S est disposée de manière à viserdans le prolongement d’un de ses côtés le point M . La visée avec l’autrecôté de l’équerre permet de marquer un point N au sol (sur la droite(MH)).On mesure la longueur NH.Dans cet exemple, la longueur NH obtenue est de 25 cm.

Largeur de la rivièreN M

S

H

Calculer la longueur MH (on pourra utiliser les résultats des questionsprécedentes).

C : Une dernière méthode pour la largeur d’une troisième rivière

Dans un roman pour la jeunesse (Buckeridge A. (trad. Sechan O.), Bennettet sa cabane, Hachette, Idéal-Bibliothèque n˚256 (1964), pp. 36-37), on trouvele passage suivant :

Pendant la seconde partie du cours, M. Wilkinson revint surles applications pratiques des triangles semblables. Il imaginaun problème où il était question d’un homme qui habitait unvillage portant le nom bizarre de A, et qui devait traverser unerivière pour se rendre dans un autre village aussi bizarrementnommé B. Il apparaissait qu’en parcourant une certaine dis-tance vers l’ouest, et en prenant deux repères sur une église E,l’homme construisait deux triangles invisibles mais semblablesqui lui permettaient de calculer la largeur de la rivière R.Bennett, lui, ne parvenait pas à se concentrer sur ce problème.Vaguement, il se demandait pourquoi le voyageur marchait enpointillé à travers la campagne, au lieu de suivre tout bonnementla route.

Pour une meilleure compréhension de la situation, se trouve en annexe 2 unefigure qui la représente, mais les triangles semblables invisibles évoqués parM.Wilkinson en sont absents. On notera la présence d’un point D qui n’est pasexplicitement évoqué dans l’énoncé. Le but du problème est de faire apparaîtreces triangles semblables et de les utiliser pour déterminer la largeur de la rivière.


1. En traçant un segment reliant deux points judicieusement choisis parmiA, B, D et E, faire apparaître deux triangles semblables et démontrerqu’ils le sont. Le segment en question coupera le segment [AD] en unpoint qui sera nommé C. Joindre bien évidemment l’annexe à la copie.

2. L’homme peut prendre toutes les mesures de longueurs qu’il souhaite ausud de la rivière. Parmi tous les segments présents sur la figure com-plétée à la question précédente, déterminer un minimum de mesures delongueurs qu’il pourrait prendre afin de déterminer la largeur AB de larivière. Préciser comment ces mesures permettent de déterminer cettelargeur.

3. Sachant que AC = 40 m, CD = 800 m, AD = 840 m, DE = 600 m,EC = 1000 m et EA = 1032 m (mesures arrondies au mètre le plusproche près), calculer la largeur AB de la rivière.

Deuxième partie : Exercices

Exercice 1 :

Voici une présentation simplifiée du système de numération chinoise deIIème siècle avant notre ère.

C’est un système de numération décimale. Les unités de numération n’ap-paraissent pas dans l’écriture des nombres.

On représente les chiffres des unités et des centaines en disposant desbâtons de la façon suivante :

Un Deux Trois Quatre Cinq Six Sept Huit Neuf

Pour faciliter la lecture, les bâtons représentant les chiffres des dizaines etdes milliers sont disposés autrement :

Un Deux Trois Quatre Cinq Six Sept Huit Neuf

représente donc cent-soixante-sept et représente cent-sept.

1. Le document ci-dessous est un manuscrit du VIIème siècle qui se trouveaujourd’hui au British Museum. Il s’agit d’un extrait d’une table de mul-tiplications. La dernière ligne donne des produits de cette table.


(a) Écrire en mots-nombres chacun de ces nombres :

A : B : C : D : E :(b) De quelle table de multiplication s’agit-il ?

2. (a) Écrire dans cette numération à bâtons :

• deux-cent-quatre-vingt-treize• cent-huit• soixante-dix• sept-mille

(b) Certaines des écritures précédentes sont ambiguës ; donner une écri-ture qui pourrait être interprétée de deux manières différentes. Jus-tifier.

(c) Quel procédé utilise-t-on dans notre système de numération pouréviter cet inconvénient ?

3. Dans cette question les nombres utilisés sont tous inférieurs à cent.Les calculs se font aisément en manipulant les bâtons.

Exemple : la somme de et de vaut(les cinq bâtons verticaux sont remplacés par un bâton horizontal).

En expliquant la manipulation des bâtons (et sans avoir recours à notresystème de numération !) :

• Calculer la somme de et de .• Calculer la somme de et de .• Calculer la différence entre et .

Cet exercice est inspiré de l’article Système de numération et arithmétiqueen Chine ancienne 6.

6. Bréard Andrea, Système de numération et arithmétique en Chine ancienne, http://mathschine.univ-lille1.fr, consulté le 17 décembre 2017

http://mathschine.univ-lille1.fr

http://mathschine.univ-lille1.fr


Exercice 2 :

1. Multiplier douze-millions-trois-cent-quarante-cinq-mille-six-cent-soixante-dix-neuf par un milliard (on utilisera l’écriture chiffrée des nombres).

2. En déduire l’écriture chiffrée du produit de douze-millions-trois-cent-qua-rante-cinq-mille-six-cent-soixante-dix-neuf par neuf-cent-quatre-vingt-dix-neuf-millions-neuf-cent-quatre-vingt-dix-neuf-mille-neuf-cent-quatre-vingt-dix-neuf. Quelle particularité présente ce résultat ?

Exercice 3 :

1. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier votre ré-ponse

• Affirmation A : « En base 10, pour multiplier un nombre par dix ilsuffit d’écrire un zéro après le dernier chiffre. »

• Affirmation B : « En base 10, si un nombre est divisible par cinqalors son chiffre des unités est cinq. »

• Affirmation C : « Tout quadrilatère qui a ses diagonales de mêmelongueur est un rectangle. »

• Affirmation D : « Tout quadrilatère qui n’est pas un losange a sesdiagonales qui ne sont pas perpendiculaires. »

2. Démontrer la propriété suivante « si un triangle isocèle possède au moinsun angle de mesure 60˚alors c’est un triangle équilatéral ».

Exercice 4 :

Un groupe d’enfants (d’effectif supérieur à 5) est réparti régulièrement dansune ronde. Pour désigner lequel d’entre eux sortira de la ronde pour tenir lerôle du « loup », Florine, l’un des enfants, récite la comptine de 20 syllabes :Am, stram, grampic et pic et colégrambour et bour et ratatamam, stram, gram

Elle désigne les enfants de la ronde tour à tour, à chaque fois qu’elle prononceune syllabe :« Am » désigne le premier enfant qu’elle a choisi, « stram » le suivant dans laronde etc, l’enfant associé à la dernière syllabe est le « loup ». On supposeraque la ronde est parcourue dans le sens des aiguilles d’une montre.

1. Dans cette partie on considère que l’effectif du groupe est dix.

(a) Quel enfant sera le « loup » ?(b) Si Florine souhaite que l’enfant face à elle soit le « loup », par quel

enfant doit-elle commencer ?(c) La désignation du « loup » sera-t-elle modifiée si elle ajoute la strophe

suivante de 14 syllabes :


mais com’ le roine le veut pas çane sera pas toi

2. Dans cette partie l’effectif du groupe n’est pas donné.Déterminer dans quels cas, la comptine initiale et celle augmentée de ladeuxième strophe désignent le même « loup ».

Troisième partie : Didactique

Exercice 1 :

Un enseignant de cycle 1 dispose du matériel suivant :

• un dé à six faces indiquant trois couleurs (rouge, bleu et jaune). Deuxfaces opposées indiquent la même couleur.

• un dé à six faces indiquant 1, 2 et 3 points. Deux faces opposées indiquentle même nombre.

• des aimants de couleur (rouge, bleu et jaune).

• des bons de commande de ce type (l’élève indique sa demande sur lapartie droite) :

• des planches métallisées à compléter (avec des aimants) dont voici troisexemples en taille réduite :


Voici trois règles de jeux utilisant ce matériel :Règle no 1A : Chaque élève dispose des deux dés, d’une planche à com-

pléter et d’aimants. Un élève lance les deux dés. Si par exemple le premier déindique le bleu et le deuxième dé le trois, l’élève positionne si c’est possibletrois aimants bleus sur les espaces libres de la zone bleue de sa planche. S’il n’ya pas assez d’espaces libres, il ne positionne aucun aimant et passe son tour.Le jeu se termine quand toutes les planches sont complétées.

Règle no 2A : Un élève dispose d’une planche à compléter et de bons decommande pour chacune des trois couleurs. L’élève remplit le bon de commandecorrespondant à une couleur et le donne à un autre élève qui a le rôle de lamarchande. Ce deuxième élève fournit au premier les aimants correspondant aubon de commande. L’élève n’a le droit qu’à une seule commande par couleur.

Règle no 2B : Comme dans la règle 2A, l’élève doit commander des ai-mants (en une seule commande par couleur) à une marchande mais cette fois-cisans disposer de bons de commande (et il ne peut pas montrer directement saplanche).

1. (a) Avec la règle 2A, donner deux types de traces possibles que l’on peuttrouver sur un bon de commande d’un élève de cycle 1. Donner leniveau de compréhension de la notion de nombre correspondant áchacune des deux traces.

(b) Avec la règle 2B, donner deux types de stratégies possibles élaboréespar un élève de cycle 1 pour commander les aimants rouges.

2. (a) La planche c associée à la règle 1A est-elle adaptée aux objectifs depetite section ? Justifier.

(b) La planche c associée à la règle 2B est-elle adaptée aux objectifs depetite section ? Justifier.

3. Pour travailler sur les petits nombres, l’enseignant a choisi d’utiliser laplanche a plutôt que la planche b ; dans quel but ?

4. Un enseignant souhaite travailler l’écriture chiffrée avec les élèves et donnedes bons de commande auxquels il a ajouté des chiffres.

Voici deux productions possibles d’élèves commandant trois aimants bleus :


(a) Donner une faiblesse de ce dispositif pour l’enseignement des nombres.

(b) Proposer un autre dispositif de bons de commande utilisant l’écriturechiffrée et évitant la faiblesse pointée dans la question précédente.

5. Un enseignant met en place une règle 1B dans laquelle l’élève dispose dudé indiquant 1,2 et 3 points et d’un autre dè indiquant 1, 2 et « ? ».

L’élève lance les deux dés. La totalité des points correspond au nombred’aimants qu’il peut mettre dans la zone de couleur de son choix. S’iltombe sur une face « ? », c’est l’élève qui choisit le nombre de points qu’ilaffecte à cette face (éventuellement aucun). Quel est l’objectif de cettenouvelle règle ?

Exercice 2 :

1. En CM2 un enseignant distribue à chaque élève une feuille représentantdes verres mesureurs où sont indiquées des fractions du litre (1, 1

2 , 13 , 1

4 ,110 ) dont voici un extrait :


110

14

13

12

1 Litre

110

14

13

12

1 Litre

110

14

13

12

1 Litre

110

14

13

12

1 Litre

Question pour les élèves :En utilisant les graduations des verres, trouver une manièred’obtenir 1,3 L d’eau en utilisant le moins de verres mesureurspossible. Donner la réponse en coloriant la partie remplie d’eausur chacun des verres mesureurs utilisés.

(a) Un élève dit pouvoir n’utiliser qu’un seul verre mesureur. Quelleest l’erreur (classique) qu’il a probablement commise ? Que peutobjecter un autre élève convaincu que l’on doit utiliser au moinsdeux verres ?

(b) En quoi la réponse utilisant quatre verres est-elle intéressante pourle travail sur les nombres décimaux au cycle 3 ?

2. Dans le cadre du même exercice, un élève donne une réponse n’utilisantque deux verres de la feuille : un contenant 1 litre d’eau et l’autre 1

3 .Son argument est que lorsqu’il mesure sur la feuille, il trouve que lahauteur de la graduation à 1

3 correspond à trois fois celle de la graduationà 1

10 .La réponse de l’élève et celle attendue par l’enseignant ne font pas réfé-rence au même cadre ; expliquer la différence entre ces réponses ; commentpréciser la consigne pour éviter ce type de malentendu ?

3. (a) Dans l’exercice proposé sur feuille aux élèves est-il possible d’obtenir0,15 L ? Justifier.

(b) Donner un moyen de mettre 0,15 L d’eau dans un récipient en ma-nipulant de vrais verres mesureurs (avec la même graduation queprécédemment).

Exercice 3 :

En CM2, des élèves ont à calculer 5, 7 + 3, 12 et 3, 6⇥ 5, 4.

1. Poser l’opération suivante : 3, 6⇥ 5, 4.

2. Analyser les éventuelles erreurs d’élèves :


• Élève A : 5, 7 + 3, 12 = 8, 19

• Élève B : 5, 7 + 3, 12 = 8, 82

• Élève C : 3, 6⇥ 5, 4 = 15, 24

• Élève D : 3, 6⇥ 5, 4 = 17, 4


Annexe 1Angle en P1 :

CD = 3.09

Angle en P2 :


CD = 3.09


Annexe 2

Rivière

N

E

S

O

A

B

D

E



2017-2018 — SESSION 2


UE 1


La réglure Séyès (celle du cahier des écoliers) est constituée d’un quadrillagede lignes principales formant des carrés de 8 mm de côté. Entre deux lignes ho-rizontales principales se trouvent en outre tous les 2 mm des lignes horizontalessecondaires (voir figure ci-dessous).

Dans ce problème, les lignes de la réglure sont modélisées par des droites : onnéglige donc l’épaisseur de ces lignes. Les points d’intersection des droitescorrespondant aux lignes du quadrillage principal sont appelés « nœuds ». Onchoisit pour unité la distance entre deux lignes principales consécu-tives.

On applique le programme de construction suivant :

• Placer deux points A et B sur des nœuds d’une même ligne horizontaleprincipale de manière à ce que AB soit strictement supérieur à 2.

• Placer sur le segment [AB] les points M et P tels que BM = 1 et AP = 1.

• Placer le point C (différent de A) sur un nœud de la « ligne verticale »contenant le point A.

• Le point N est à l’intersection de la ligne verticale principale contenantM et du segment [BC].

• Le point Q est à l’intersection de la ligne verticale principale contenantP et du segment [AN ].

On appelle b la longueur AB, c la longueur AC, x la longueur MN et y lalongueur PQ.

1. Justifier que la distance entre deux lignes horizontales successives mesure0,25 unité.


2. Étude d’un cas particulier : b = 6 et c = 9

B A

C

M P

N

Q

1

Justifier par le calcul que N est sur une ligne horizontale secondaire etque Q n’est pas sur une telle ligne (on pourra calculer les distances MNet QP ).

3. Étude du cas général :

(a) Démontrer que quels que soient les choix de A, B et C sur le qua-drillage comme spécifié plus haut, x et y sont des nombres rationnels.

(b) Est-il possible de trouver un cas particulier où ni x ni y ne sont desnombres décimaux ? Si oui, donner un exemple en justifiant pourquoiil convient.

(c) Trouver un cas particulier où N et Q sont chacun sur une lignehorizontale secondaire (on donnera les valeurs de b et c en expliquantpourquoi l’exemple convient).

Exercice 2

Vrai ou faux, justifier.

Affirmation A :« Tout nombre entier ayant 1 pour chiffre des centaines, 2 pour chiffre des di-zaines et 5 pour chiffre des unités est un multiple de 125. »

Affirmation B :« Tout nombre entier ayant 1 pour chiffre des dizaines et 5 pour chiffre des


unités est un multiple de 15. »

Exercice 3

Dans cet exercice, on considère un losange ABCD (A, B, C et D sont deuxà deux distincts).

On appelle ↵ la mesure en degrés de l’angle ’BAC.

1. Est-il possible de construire un tel losange en prenant ↵ = 60� ?Si oui, décrire un programme de construction à la règle non graduée et aucompas et faire une figure. (il n’est pas demandé de justifier que la figureet le programme fournissent bien le losange demandé). Si non, expliquerpourquoi on ne peut pas construire un tel losange.

2. Est-il possible de construire un tel losange en prenant ↵ = 45� ? Justifierla réponse.

3. Est-il possible de construire un tel losange en prenant ↵ = 90� ? Justifierla réponse.

UE 2 : Formation didactique

Exercice 1

Voici deux questions extraites de l’évaluation bilan CEDRE 2008. Les élèvesne disposaient pas de calculette.

Question 1 :À quel nombre correspond la fraction

62

10?

Réponse A : 6,2Réponse B : 0,62Réponse C : 62,10Réponse D : 620

Question 2 :Lorsqu’on divise 872 par 100, on obtient :Réponse A : 0,872Réponse B : 8,72Réponse C : 87,20Réponse D : 87 200

1. Quelle définition d’un nombre décimal peut-on donner en cycle 3 ?

2. (a) Expliciter les représentations erronées du lien entre l’écriture frac-tionnaire et l’écriture à virgule associées à la réponse C de la question1.

(b) La question 2 est mieux réussie par les élèves que la question 1.Donner deux explications possibles de ce fait.


Exercice 2

Voici deux extraits de l’évaluation nationale à l’entrée en 6ème de 2004. Lesélèves disposaient des instruments suivants : règle graduée, équerre et compas.

1. Donner trois connaissances ou savoir-faire mathématiques en jeu dans cesdeux exercices.

2. Dans l’exercice 16, si dans la consigne on précise que la figure est com-posée de quatre quadrilatères et d’un cercle dont le centre est le sommetcommun à ces quatre quadrilatères :

(a) Est-il possible de justifier l’élimination du ou des quadrilatère(s) quine sont pas des losanges, sans recours aux instruments mais aussisans se contenter de la simple perception visuelle ?

(b) Est-il possible de justifier le choix d’un losange sans recours auxinstruments mais aussi sans se contenter de la simple perceptionvisuelle ?

3. Relever les réussites et les erreurs et faire une hypothèse sur l’origine deserreurs des trois élèves dont les productions sont données en annexe.

4. Afin de proposer l’exercice 25 en fin de cycle 2, on considère l’adaptationsuivante : on enlève le cercle, on conserve les quatre quadrilatères en lesécartant les uns des autres, et on n’autorise aux élèves que l’utilisationd’une équerre non graduée, d’une bande de papier, d’un compas.

(a) Quel est le but de l’exercice ainsi modifié ?(b) Quel est le but des modifications apportées ?


Annexe



2017-2018 — SESSION 1


PREMIÈRE PARTIE : PROBLÈME

La correction de ce su-jet se trouve page 479 Partie A : arclet

Un arclet est une figure constituée d’arcs de cercles.

A B

C

DE

F

K

L H

I

J

G

La figure ci-dessus présente deuxarclets particuliers. Un arclet en traitspleins et en rouge, construit de la fa-çon suivante :

• On construit ABCDEF qui estun hexagone régulier, dont uncôté quelconque mesure 6 cm(cette condition de longueurn’est pas respectée sur la figurefournie) ;

• On place G le milieu de [AB], Hle milieu de [BC], I le milieu de[CD], J le milieu de [DE], K le

milieu de [EF ], L le milieu de[FA] ;

• LG est l’arc de cercle de centreA, délimité par L et G et si-tué à l’extérieur de l’hexagoneABCDEF ; HI est l’arc decercle de centre C, délimité parH et I et situé à l’extérieur del’hexagone ABCDEF ; JK estl’arc de cercle de centre E, déli-mité par J et K et situé à l’exté-rieur de l’hexagone ABCDEF ;

• GH est l’arc de cercle de centreB, délimité par G et H et si-tué à l’intérieur de l’hexagoneABCDEF ; ıIJ est l’arc de cerclede centre D, délimité par I etJ et situé à l’intérieur de l’hexa-gone ABCDEF ; KL est l’arc decercle de centre F , délimité parK et L et situé à l’intérieur del’hexagone ABCDEF .

Un arclet en traits pointillés et enbleu, construit de façon analogue.


Rappels : sur la figure ci-contredans laquelle

• UV est un arc de cercle de centreO de longueur `,

• et le secteur angulaire, délimitépar UV , par [OU ] et par [OV ] apour aire A,

on rappelle que :

X la longueur ` est proportionnelleà la mesure de l’angle ’UOV

X et l’aire A est aussi propor-tionnelle à la mesure de l’angle’UOV .

◊�UOV

O

Dans cette partie A, seuls les résultats sont évalués, il n’est donc pas néces-saire de justifier les réponses.

1. Quelle est la mesure de l’angle formé par deux côtés consécutifs del’hexagone régulier (de ’ABC, par exemple) ?

2. Donner la longueur exacte de l’arclet tracé en rouge.

3. (a) En admettant que l’aire d’un hexagone régulier dont le côté mesure

c est3p3

2c2, donner l’aire exacte de l’hexagone ABCDEF .

(b) En déduire l’aire exacte de la surface plane située à l’intérieur del’arclet tracé en rouge.

4. Quels sont les axes de symétrie de l’arclet tracé en rouge ?

5. Six rotations de centre O (O que l’on définit comme le centre de l’hexa-gone régulier ou comme l’intersection de ses trois diagonales ou commele milieu d’une quelconque de ses trois diagonales ou ...) laissent l’hexa-gone régulier ABCDEF globalement invariant : d’angle 0° (l’identité),d’angle 60° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, d’angle 120°dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, d’angle 180° (la symétriecentrale), d’angle 120° dans le sens des aiguilles d’une montre et d’angle60° dans le sens des aiguilles d’une montre. Par exemple, celle d’angle 60°dans le sens inverse des aiguilles d’une montre envoie A sur B, . . .N’importe laquelle de ces rotations, est appelée communément rotationd’invariance de l’hexagone régulier ABCDEF .Quelles sont les rotations d’invariance de l’arclet tracé en rouge ?

6. (a) Proposer une symétrie orthogonale qui envoie l’arclet tracé en traitspleins et en rouge sur l’arclet tracé en traits pointillés et en bleu.

(b) Proposer une rotation qui envoie l’arclet tracé en traits pleins et enrouge sur l’arclet tracé en traits pointillés et en bleu.


Partie B : vente de hand spinners

Une entreprise vend des hand spinners de deux types : fabriqués avec desroulements à bille en acier, ou en céramique.

Une TVA 7 de 20% s’ajoute au prix HT 8 de ces objets.

1. (a) Sachant que le prix HT d’un hand spinner à roulement à billes encéramique est 15 e , quel en est le prix TVA comprise ?

(b) Sachant que le prix TVA comprise d’un hand spinner à roulementà billes en acier est 7, 20 e , quel en est le prix HT?

2. En vendant ces hand spinners à ces prix, l’entreprise réalise une margede 2 e sur chaque hand spinner avec roulement à billes en acier, et de 4e sur chaque hand spinner avec roulement à billes en céramique.

(a) Une vente de 500 hand spinners de chacun des deux types représenteune vente de 1 000 hand spinners et dégage une marge de 3 000 e.Justifier l’obtention de cette marge.Parmi toutes les ventes possibles de 1 000 hand spinners, quelle estcelle qui rend la marge de l’entreprise maximale ?

(b) On considère une vente de 17 500 hand spinners avec un roulementà billes en acier et de 7 000 hand spinners avec un roulement àbilles en céramique. Cette vente dont le prix est de 210 000 e HToccasionne une marge de 63 000 e. Justifier l’obtention de cettemarge.Parmi toutes les ventes possibles de hand spinners pour un montantde 210 000 e HT, quelle est celle qui rend la marge de l’entreprisemaximale ?

7. TVA : Taxe sur la Valeur Ajoutée8. HT : Hors Taxe


Partie C : nombre de tours par minute du hand spinner

Le hand spinner tourne tellement vite qu’à l’œil nu il est impossible decompter le nombre de tours réalisés en une minute.

Pour pouvoir estimer le nombre de tours par minute réalisés par un handspinner avec un roulement billes en céramique, on met au point l’expériencesuivante sur une période suffisamment courte et proche de l’impulsion de départpour qu’on puisse considérer que la vitesse instantanée est quasiment à sonmaximum et constante sur cette durée : on place une marque sur le handspinner en question ; on donne l’impulsion nécessaire au hand spinner pourqu’il puisse tourner à relativement grande vitesse et on filme la scène avec untéléphone portable pour lequel la qualité du film est de 160 images par seconde ;on repasse le film en vitesse lente, image par image, et sur la série des 1 600premières images consécutives exploitables, on compte que la marque est passée172 fois par une même position.

1. Quel est le nombre moyen de tours par minute effectués par ce handspinner, sur la séquence filmée ?

2. Si au lieu de limiter la durée de rotation du hand spinner à la durée del’expérience on l’avait laissé tourner durant une minute, pensez-vous quele hand spinner en question aurait effectué plus de 1 000 tours durantcette minute ?

On a aussi réalisé 25 expériences du même type pour un hand spinner avecun roulement billes en acier. Dans l’étude statistique ci-dessous, les observationsconcernent le nombre de tours par minutes effectués :

observation 816 822 828 834 840 846 852 864 870 876effectif de l’observation 1 1 1 2 4 8 4 1 2 1

3. Quelle est l’observation médiane (c’est-à-dire la médiane) ?

4. Quelle est l’observation moyenne (c’est-à-dire la moyenne) ?

5. Quelle est l’étendue des observations ?

DEUXIÈME PARTIE : EXERCICES

Exercice 1 :

Dans une usine de mise en bouteille d’une soupe de poissons, il faut 45 mi-nutes à n’importe quelle machine automatisée pour embouteiller 3 000 soupes.

Dans cet exercice, on admet que les machines effectuent leur tâche à vitesseconstante et ne sont soumises à aucun aléa technique.

1. Combien de bouteilles cette machine automatisée produit-elle quand ellefonctionne

(a) pendant 2h 15min ?,(b) pendant 2h ?,(c) pendant une journée non-stop ?


2. Combien lui faut-il de temps pour embouteiller 3 250 soupes ? (On don-nera la réponse en minutes, secondes.)

3. Deux employés échangent au sujet de la machine :

• Paul : "Donc en 1h 30min, deux machines sortiront 6 000 bouteilles."• Claire : "Non ! En 1h 30min, une seule machine produira 6 000 bou-

teilles."

Qui a raison ? (Argumentez votre choix.)

4. (a) Combien faudra-t-il de temps à trois machines pour embouteiller6 000 soupes ?

(b) Au bout de quelques semaines d’utilisation, l’une des trois machinesdevient défectueuse et embouteille deux fois moins vite que les deuxautres. Déterminer alors le nouveau temps nécessaire à la productionde 6000 bouteilles.

Exercice 2 :

"Un tsunami 9, du japonais (tsunami, littéralement "vague du port"), estune onde [. . .] se propageant à travers un milieu aquatique (océan, mer ou lac),issue du brusque mouvement d’un grand volume d’eau, provoqué généralementpar un séisme, un glissement de terrain sous-marin ou une explosion volcanique,et pouvant se transformer, en atteignant les côtes, en vagues destructrices dé-ferlantes de très grande hauteur [. . .]. La vitesse de déplacement d’un tsunamiest fonction de la seule profondeur d’eau".

1. Comment comprendre la phrase "La vitesse de déplacement d’un tsunamiest fonction de la seule profondeur d’eau" ?

2. Une équipe de géophysiciens a récemment mesuré la vitesse de l’onde lorsd’un séisme. Voici un extrait de leurs relevés.

Profondeur d’eau (en mètres) Vitesse (en km/h)7000 9434000 7132000 504200 15950 7910 36

Au vu des données relevées, la fonction V qui associe la vitesse de l’ondeV (P ) dans une profondeur d’eau P est-elle linéaire ? (Justifier la réponse).

3. Les géophysiciens posent comme modèle de la vitesse V (en km/h) del’onde en fonction de la profondeur P (en m) la relation suivante :

V (P ) = 11, 28⇥pP .

Peut-on estimer que ce modèle est satisfaisant ? (Vous détaillerez votredémarche).

9. D’après ce que l’on peut lire le site Wikipedia à propos des tsunamis.


4. On considère le modèle établi à la question précédente valable.

(a) À quelle vitesse se déplace l’onde dans une eau profonde de 3 kilo-mètres ? (On arrondira la réponse au km/h).

(b) Pour quelle profondeur d’eau, l’onde se déplace-t-elle à la vitesse de360 km/h ? (On arrondira la réponse au mètre).

Exercice 3 :

ABCD est un rectangle dont l’aire est de cinquante centimètres carrés.ADE est un triangle équilatéral.

Les périmètres du rectangle ABCD et du triangle équilatéral ADE sontégaux.

1. Est-il vrai que « 50 cm2 = 0, 5 m2 » ? Justifier !

2. Démontrer que AD = 2⇥AB.

3. Conclure sur la mesure du côté [AD] commun au rectangle ABCD etau triangle équilatéral ADE ?

TROISIÈME PARTIE : DIDACTIQUE

Exercice 1

L’exercice suivant est tiré du manuel Maths + (édition 2016) pour la classede CP.

1. Comment comprendre le terme « empreinte » proposé par le rédacteur del’exercice ?

2. Que pensez-vous de la consigne « Relie chaque solide à son empreinte » ?

3. Le choix des six solides et leur représentation vous semblent-ils perti-nents ? Donnez deux arguments pour justifier votre réponse.


4. Analyse de productions d’élèves.

(a) L’élève A associe la boîte de jeu à la cinquième empreinte (en partantde la gauche). L’enseignant doit-il rejeter la réponse ? Expliquer.

(b) L’élève B associe la boîte de petits pois à la cinquième empreinte(en partant de la gauche). L’enseingant doit-il rejeter la réponse ?Expliquer.

5. Remaniez l’exercice de manière à prendre en compte les éléments critiquessoulevés dans les questions 1., 2. et 3.

6. Le même exercice qui consiste à associer un solide à son « empreinte »peut-être donné en moyenne section, mais à une différence près. Laquelle ?

Exercice 2

Dans une classe de CM2, en fin d’année, l’enseignant propose de travaillersur le problème ouvert 10 ci-dessous.

Un grand rectangle dont la largeur mesure 18 cm est découpé en24 rectangles identiques de la façon suivante :

18 cm

Quelle est la mesure de la longueur du grand rectangle ?Dans ce problème ouvert, on admet implicitement que la décomposition du

grand rectangle en 24 rectangles isométriques est effectivement réalisable.Démarche de l’enseignant 11 pour la séance :

10. En didactique des mathématiques, un "problème ouvert" (ou "problème pour cher-cher") est une question posée à des élèves, à laquelle ils ne peuvent pas répondre rapidementpar leurs connaissances. L’objectif est d’apprendre aux élèves à chercher et de les inciter àélaborer eux-mêmes (avec l’aide éventuelle d’un enseignant) les outils permettant de résoudrele problème. (source : fr.wikipedia.org/wiki/Problème_ouvert)

11. Si la démarche de l’enseignant est criticable, ce n’est pas l’objet de ce sujet.


• Une photocopie du problème est fournie à chaque élève. La largeur durectangle qui mesure 18 cm selon l’énoncé, mesure 12 centimètres (aumillimètre près) sur la photocopie donnée à l’élève. On admet aussi im-plicitement que la photocopie donnée à l’élève fournit une représentation"à l’échelle" de la figure.

• Chaque élève tente de s’approprier puis de résoudre individuellement leproblème.

• Quinze minutes plus tard, l’enseignant propose une mise en commun enchoisissant des élèves qui sont invités à exposer leur démarche.

Un premier élève présente sa production : « C’est facile ! J’ai mesuré lalongueur du rectangle. Elle fait 13 centimètres plus 3 millimètres ».

1. La réponse n’est pas acceptable. La procédure l’est-elle ?

Un deuxième élève vient à son tour : « J’ai mesuré la largeur du grand rec-tangle qui fait 12 centimètres. J’ai aussi mesuré la longueur du grand rectanglequi fait 13, 2 centimètres. Comme 18, c’est 12 plus la moitié de 12, j’ai fait 13, 2plus la moitié de 13, 2 qui fait 6, 6 et j’ai trouvé 19, 8. La longueur du grandrectangle est donc 19, 8 centimètres ».

2. Cet élève a une bonne maîtrise en ce qui concerne le calcul sur les déci-maux (calcul correct de la moitié, calcul correct de la somme). En consi-dérant que la procédure est acceptable, la réponse l’est-elle ?

La procédure du deuxième élève ne correspond pas aux objectifs de l’ensei-gnant. Effectivement, l’enseignant a pour objectif d’amener les élèves à dépas-ser la dimension perceptive et instrumentée pour raisonner uniquement sur lespropriétés et les relations 12.

3. (a) Quel type de représentation de la figure de cet exercice aurait puaider les élèves à dépasser « la dimension perceptive et instru-mentée » ? Justifier !

(b) Quand il est question de « raisonner uniquement sur les pro-priétés et les relations », à quelles propriétés/relations cela peut-ilse référer dans l’exercice proposé aux élèves ? En citer deux !

Tous les élèves jusqu’alors ont mis en œuvre des procédures liées au mesu-rage des côtés du grand rectangle, sans tenir compte de sa décomposition en24 rectangles isométriques. Dans la suite de la séance, pour pousser les élèvesà « raisonner uniquement sur les propriétés et les relations », l’enseignant dé-cide d’interdire l’usage de la règle graduée aux élèves. Un troisième élève prendalors la parole en ces termes : « En fait, on peut être sûr que la largeur du petitrectangle ne fait pas 2 centimètres car 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ça fait 12 et pas18 ». Invité par l’enseignant, l’élève vient au tableau pour connecter son calculà la figure vidéoprojetée.

L’enseignant profite alors de cette remarque pour demander aux élèves lamesure de la largeur du petit rectangle. Une grande majorité de la classe trouvela réponse correcte. Cependant, les élèves ne parviennent pas à conclure sur lamesure de la longueur du grand rectangle.

12. Source : B.O. 2015, à propos du raisonnement


4. (a) Quelle est cette réponse correcte sur la mesure de la largeur dupetit rectangle ?

(b) Citer deux propriétés perceptibles sur la figure qu’il manque pro-bablement aux élèves pour pouvoir achever la résolution de ce pro-blème.

On aurait pu proposer de travailler avec des parallélogrammes en lieu etplace des rectangles, en modifiant la figure en la suivante, mais en conservantla démarche de l’enseignant :

18 cm

5. La résolution reste inchangée suite à cette modification de la figure. Quelserait cependant l’intérêt pour l’enseignant d’avoir considéré des rec-tangles plutôt que des parallélogrammes ?



2017-2018 — SESSION 2


UE 1

Le corrigé de ce sujet setrouve page 491Exercice 1

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépen-dante.

Partie 1Pour connaître la hauteur de la marée, on installe le long des quais des portsmaritimes des échelles de marée (l’unité étant le mètre).

2

3

Dans un port est installée une échelle de marée le long du quai A qui aune paroi verticale. Ce quai devant faire l’objet de travaux de réfections, uneéchelle provisoire est installée le long du quai B qui lui fait face. La paroi de cedeuxième quai n’est pas verticale.

1. On considère dans cette question que les zéros des deux échelles sont surune même ligne horizontale et que lorsque la hauteur de la marée est de2 m, l’eau arrive sur la graduation 2,5 de la nouvelle échelle (situationschématisée dans l’illustration ci-dessous).


QUAI A QUAI B

01

01

On souhaite pouvoir trouver la hauteur de la marée par lecture sur lagraduation de la nouvelle échelle.

(a) Lorsque l’eau arrive à la graduation de 1 mètre sur la nouvelleéchelle, quelle est la hauteur de la marée ? Justifier.

(b) Proposer une formule permettant de trouver la hauteur de la maréeen fonction de la valeur lue sur la nouvelle échelle.

2. On considère dans cette question que la nouvelle échelle a été posée sansprécautions particulières le long du quai (qui a la même pente que dansla question 1), le zéro de la nouvelle échelle correspondant à une hauteurde la marée de 0,5 mètre.

(a) Lorsque l’eau arrive à la graduation de 1 mètre sur la nouvelleéchelle, quelle est la hauteur de la marée ?

(b) Proposer une formule permettant de trouver la hauteur de la maréeen fonction de la valeur lue sur la nouvelle échelle.

(c) S’agit-il d’une situation de proportionnalité ? Justifier en précisantles grandeurs en jeu.

Partie 2On s’intéresse dans cette partie à la montée de l’eau en fonction du temps.On considère pour cet exercice que la différence de hauteur entre la pleine meret la basse mer, appelée « marnage », est de 5,4 mètres et que s’écoule 6 heuresentre la basse mer et la haute mer.Les marins utilisent la « règle des douzièmes » pour connaître approximative-ment l’évolution de la marée :

A partir de l’heure de marée basse, la hauteur d’eau évolue de cette manière :- durant la première heure : montée d’un douzième du marnage- durant la deuxième heure : montée de deux douzièmes du marnage- durant la troisième heure : montée de trois douzièmes du marnage- durant la quatrième heure : montée de trois douzièmes du marnage- durant la cinquième heure : montée de deux douzièmes du marnage- durant la sixième heure : montée d’un douzième du marnage

1. De quelle hauteur est montée l’eau lors de la première heure ? Lors desdeux premières heures ?


2. S’agit-il d’une situation de proportionnalité ? Justifier.

3. On s’intéresse à l’intervalle de temps compris entre la basse mer et lapleine mer.Proposer un graphique représentant la hauteur de l’eau par rapport à labasse mer en fonction du temps écoulé (on prendra le soin de choisir desunités adaptées).

Exercice 2 :

La figure ci-dessous représente un rectangle inscrit dans un quart de cercle.

5 8

Calculer l’aire du rectangle colorié à l’aide des indications de longueursfigurant sur la figure.

Les traces de recherche, même incomplètes, seront prises en compte lors dela correction.

Exercice 3 :

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses. Justifier.

Affirmation A :Un article voit son prix baisser de 50 % puis augmenter de 75 %. Le prix finalest strictement supérieur au prix initial.

Affirmation B :On considère l’expérience aléatoire qui consiste à lancer deux fois de suite unepièce de monnaie parfaitement équilibrée. La probabilité d’obtenir pile à l’undes lancers et face à l’autre est 1/3.

Affirmation C :Si la longueur du côté d’un carré augmente de 10 %, son périmètre augmentede 40 %.


UE2

Exercice 1 :

On considère deux extraits de manuels (Activité 1 et Activité 2).

(d)

(d)

(d)

Activité 1

1. 2.

Activité 2

Dans les deux cas, la question est de construire le symétrique d’une figurepar rapport à un axe donné.

1. Présenter deux différences importantes entre ces deux activités.

2. Les élèves n’ont ni l’autorisation de découper, ni de plier, ni d’utiliser


un papier calque. Ils ont uniquement à leur disposition l’Activité 2 enversion papier, un crayon de bois et une règle.

Citer deux procédures que pourraient mettre en œuvre un élève de coursélémentaire pour réaliser l’Activité 2.

3. Cette question concerne Activité 1, troisième figure. Nulle justificationn’est requise pour répondre à cette question ! Répondre sur l’annexe et laremettre avec la copie.

(a) Proposer une production correcte.

(b) Donner deux productions erronées qui pourraient provenir, par exemple,des deux procédures proposées à la question 2.

Exercice 2 :

L’énigme suivante est proposée par le manuel Cap Maths pour la classe deCM1 :

1. Résoudre l’énigme proposée en explicitant votre procédure.

2. Modifier les données de l’énigme pour permettre une modélisation de la si-tuation par un diagramme circulaire élémentaire. Expliquer la démarche.

3. L’énigme est proposée dans le cadre d’une séquence sur « Tableaux etdiagrammes », pour laquelle le Dico Cap Math propose le rappel suivant :


- Quelles informations peut-on lire sur le diagramme de l’énigme ?- L’énigme vous semble-t-elle appropriée pour illustrer cette partie ducours ?

4. Reformuler la consigne, en conservant les valeurs numériques, pour lerendre intelligible sans diagramme.

5. En fin de compte, quelles notions du cycle 3 sont abordées avec cet exer-cice ? En quoi prépare-t-il les éléves au futur cycle 4 ?


AnnexeÀ joindre avec la copie.

(d)

Énoncé

(d)

Production correcte

(d)

Première production erronée

(d)

Deuxième production erronée



2018-2019 — SESSION 1



La correction de ce su-jet se trouve page 497 Ce problème est consacré à la comparaison de deux algorithmes de la mul-

tiplication : une première technique dite « des rectangles » et une seconde quis’appuie sur la méthode de Karatsuba. Il est inspiré de la fiche d’activité « Divi-ser pour régner » proposée par Arnaud Bodin, Loïc Arsicaud, Nathalie Bernardet François Recher dans le mooc « Scratch au collège » diffusé sur la plate-forme FUN au printemps 2017.

Partie A : Autour du calcul de 53⇥ 42

1. Calculer 53⇥ 42 en posant l’opération.

2. Technique des rectangles :Un rectangle de 43⇥ 27 peut être découpé de la manière suivante :


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

Ce rectangle présente :

• 4⇥ 2 carrés de 10⇥ 10 (en rouge) ;• 4⇥ 7 rectangles de 10⇥ 1 (en vert) ;• 3⇥ 2 rectangles de 1⇥ 10 (en bleu) ;• 3⇥ 7 carrés de 1⇥ 1 (en jaune) ;

(a) Donner une décomposition du produit 43 ⇥ 27 qui fasse apparaîtreles produits 4⇥ 2, 4⇥ 7, 3⇥ 2 et 3⇥ 7.

(b) Sur quelle propriété des opérations s’appuie cette décomposition ?(c) Utiliser cette méthode pour calculer 53⇥ 42

3. Technique inspirée de Karatsuba :La technique des rectangles et sa décomposition associée permet donc decalculer le produit 43⇥27 en effectuant 4 multiplications « plus simples » :4⇥ 2, 4⇥ 7, 3⇥ 2 et 3⇥ 7. Le produit 43⇥ 27 présente en effet :

• 4⇥ 2 centaines• (4⇥ 7) + (3⇥ 2) dizaines• 3⇥ 7 unités.

Pour calculer 4⇥ 7 + 3⇥ 2, Karatsuba, mathématicien russe né en 1937,propose de calculer le produit (4+3)⇥(2+7) et de lui soustraire les deuxautres produits déjà calculés 4⇥2 et 3⇥7. Il n’effectue ainsi au total que3 multiplications.


(a) Vérifier que la méthode proposée par Karatsuba permet bien decalculer 4⇥ 7 + 3⇥ 2.

(b) Utiliser cette technique pour calculer 53⇥ 42.

Partie B : Autour de la multiplication en ligne de deux nombres àdeux chiffres

Dans la suite du problème, a, b, c et d sont des entiers naturels non nulsinférieurs ou égaux à 9.

• Soit N1 un nombre entier naturel à deux chiffres dont l’écriture en basedix est N1 = ab (ce qui signifie exactement ceci : N1 est un nombre entiernaturel à deux chiffres qui a a pour chiffre des dizaines et b pour chiffredes unités).

• De même, soit N2 un nombre entier naturel à deux chiffres dont l’écri-ture en base dix est N2 = cd (ce qui signifie exactement ceci : N2 est unnombre entier naturel à deux chiffres qui a c pour chiffre des dizaines etd pour chiffre des unités).

1. (a) Exprimer N1 en fonction des nombres a et b.(b) Exprimer N2 en fonction des nombres c et d.

2. (a) On découpe un rectangle de N1⇥N2 avec la méthode des rectanglesprésentée dans la partie A. Exprimer en fonction de a, b, c et d, lenombre de :• carrés de 10⇥ 10 (représentés en rouge dans la partie A) ?• rectangles de 10⇥ 1 (représentés en vert dans la partie A) ?• rectangles de 1⇥ 10 (représentés en bleu dans la partie A) ?• carrés de 1⇥ 1 (représentés en jaune dans la partie A) ?

(b) Exprimer en fonction de a, b, c et d, le nombre de centaines, dizaineset unités représentées par ce rectangle.

3. Expliciter (en fonction de a, b, c et d) le calcul à effectuer pour déterminerle nombre de dizaines avec la technique inspirée de Karatsuba.


Exercice 1

1. On considère l’égalité suivante : 45 ⇥ 13 + 18 = 603. Donner ledividende, le diviseur, le quotient et le reste de la division euclidienne àlaquelle elle correspond.

2. Effectuer, en posant sous forme de potence, la division euclidienne de 16324 par 32.

3. Sans reposer la division, mais en justifiant, trouver quels sont les quotientset les restes de la division euclidienne de 16 334 par 32, puis de 16 364par 32.


Exercice 2

Toutes les constructions seront à réaliser sur l’annexe 1 fournie dans cesujet.

1. Tracer le cercle C de centre O et de rayon OO0. Tracer le cercle C0 decentre O0 et de rayon OO0. On appelle I et J les points d’intersection deC et C0.

2. (a) Démontrer que le quadrilatère IOJO0 est un losange.(b) On pose OO0 = r et on note H le point d’intersection des deux

diagonales du losange. Exprimer la valeur de IJ en fonction de r.

3. Dans le cercle C, on trace les diamètres [IL] et [JK]. Quelle est la naturedu quadrilatère IKLJ ? Justifier votre réponse.

4. Dans le cercle C0 on trace les diamètres [IL0] et [JK 0].

(a) Démontrer que les points L, J et L0 sont alignés.(b) En déduire la nature du quadrilatère LL0K 0K. Justifier votre ré-

ponse.(c) Prouvez que les quatre points L, L0, K 0 et K sont situés sur un

même cercle dont on déterminera le centre.

Exercice 3

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier les réponses.

1. Un quadrilatère qui a ses diagonales perpendiculaires est un rectangle.

2. Tous les multiples de 3428 sont des multiples de 4.


Situation 1

L’enseignant·e d’une classe de cycle 3 souhaite proposer les deux exercicesci-dessous et il·elle s’interroge sur les valeurs numériques à choisir pour com-pléter les énoncés.

Énoncé 1 : Le goûter? ? ? enfants sont réunis pour goûter. Chaque enfant reçoit 4 bonbons.

Combien de bonbons a-t-on donnés ?

Énoncé 2 : Les aimantsUn·e enseignant·e veut afficher des images dans la classe. Il y a 36aimants dans la boîte. Il faut ? ? ? aimants pour accrocher une image.Quel est le plus grand nombre d’images qu’il est possible d’afficher ?


1. L’enseignant·e propose dans un premier temps l’énoncé 1 complété par« 3 enfants ». Indiquer 3 procédures correctes qui peuvent-être utiliséespar les élèves.

2. Dans un second temps l’enseignant·e complète l’énoncé par « 23 enfants ».Indiquer en quoi ce changement de variable peut induire des procéduresdifférentes chez les élèves ?

3. L’enseignant·e propose l’énoncé 2 dans un premier temps complété par« 4 aimants »puis dans un second temps par « 5 aimants ». Indiquer enquoi ces deux choix sont susceptibles d’induire de nouvelles procédurescorrectes chez les élèves.

Situation 2

Vous trouverez ci-après les pro-ductions de quatre élèves en ré-ponse à l’activité proposée ci-contre. La consigne était la sui-vante : « Combien vois-tu d’arbres ?Écris dans le cadre noir la réponseen chiffres. »

1. Quelles connaissances et com-pétences sur la numérationcet exercice permet-il d’éva-luer ?

2. Décrire et analyser les pro-cédures mises en œuvre parles élèves A et B en fai-sant ressortir les connais-sances et compétences maî-trisées par ces élèves.

3. Décrire et analyser les pro-cédures mises en œuvre parles élèves C et D ; émettreune hypothèse sur les erreursrelevées.



Situation 3

Voici une devinette proposée à des élèves de CM2 :

« Je suis un nombre décimal et mon écriture ne contient que trois chiffres.Mon chiffre des unités est 2.Mon chiffre des dixièmes est le même que le chiffre des centièmes du nombre135,798.Mon chiffre des dizaines est le double de mon chiffre des unités.Qui suis-je ? »

1. Résoudre la devinette.

2. Quelles connaissances et compétences sur la numération cet exercice permet-il d’évaluer ?

3. Analyser les réponses des trois élèves ci-dessous en précisant ce qui estjuste, ce qui est erroné et émettre une hypothèse sur l’origine des erreurs.

Élève A Élève B Élève C429 92,4 42,1


Situation 4

Les activités analysées et les statistiques proposés dans cette situation sontextraites d’une recherche publiée par Laeticia Pinet et Edouard Gentaz en 2007dans la revue Grand N. Les résultats statistiques proposés ci-après proviennentde l’analyse des productions de 44 élèves de grande section.

1. (a) Entourer tous les rectangles sur la fiche no 1 (en annexe 2, à rendreavec votre copie).

(b) Quelle est la compétence travaillée dans ces fiches ?

2. Sur chacune des fiches, les figures numérotées de 1 à 6 sont effectivementles carrés, triangles et cercles recherchés. Dans leur article, les chercheursprésentent les résultats suivants :

• Résultat 1 : « Le carré est une figure géométrique relativement bienidentifiée par les élèves avec un taux de reconnaissance de 73,5 %.Plus précisément, 88,6 % des carrés no 1 sont reconnus contre 70,4% des carrés no 2 à 6. »

• Résultat 2 : « Le triangle est la figure la moins bien reconnue desélèves avec un taux de reconnaissance de 52,6 % seulement. Plusprécisément, tous les triangles no 1 sont reconnus contre seulement43,2 % de triangles no 2 à 6 reconnus. »

• Résultat 3 : « Le cercle est la figure géométrique la mieux recon-nue par les élèves de grande section de maternelle avec un taux dereconnaissance de 99,2 % et un taux d’erreur de 0,5 %. Toutefois,deux élèves parmi 44 au total ont omis un cercle parmi les 6 figurescibles (dont un petit cercle de 1,5 cm de diamètre et un cercle detaille moyenne de 2,5 cm de diamètre) et un troisième élève a cru àtort et à trois reprises, reconnaître un cercle parmi les distracteurs(2 ellipses et 1 polygone). »

(a) Proposer une explication à la différence de reconnaissance du carréno 1 et des carrés no 2 à 6 présentée dans le résultat 1.

(b) Le résultat 2 vous semble-t-il aller dans le sens du résultat 1 ?(c) Le résultat 3 va-t-il dans le sens des observations précédement réa-

lisées ?

3. Concernant la fiche no 1, les chercheurs ont constaté que "ce sont avec lesparallélogrammes et plus encore avec les quadrilatères que les carrés sontconfondus alors qu’ils le sont très peu avec les rectangles."

(a) Expliquer pourquoi d’un point de vue géométrique ce constat estsuprenant.

(b) Proposer deux explications au constat réalisé.

4. Sur la fiche no 2, les figures qui ne sont pas des triangles sont de troistypes : des quadrilatères, des pentagones (appelés « figures-maisons » etdes figures qui ne sont pas des polygones appelées « triangles arrondis »).Les chercheurs ont obtenu les résultats suivants : « Ce sont d’abord avec


les « figures-maisons », puis avec les « triangles-arrondis » et enfin avecles quadrilatères que les triangles sont confondus. ».Proposer une explication globale à la sélection des figures distractrices.

5. Quels seraient les objectifs d’un enseignant de CE2 qui utiliserait la ficheno 1 avec ses élèves ?


Fiche no 1 CARRES :

27

Annexe 2a Les deux tests (cercle et carré) proposés aux enfants par Pinet & Gentaz


Fiche no 2 TRIANGLES :

28

Annexe 2b Les deux tests (rectangle et triangle) proposés aux enfants

par Pinet & Gentaz

Fiche no 3 CERCLES :

27



ANNEXE 1

O

O0


ANNEXE 2

Fiche no 1 CARRES :

27




2018-2019 — SESSION 2


UE 1

La correction de ce su-jet se trouve page 512Exercice 1 :

Les questions sont indépendantes.

1. Quelles conditions les diagonales d’un quadrilatère doivent-elles vérifierpour que ce quadrilatère soit un carré ?

2. Écrire41

6sous forme de la somme d’un entier et d’une fraction inférieure

à l’unité.

3. Écrire 7,015 :- en mots-nombres (sans utiliser le mot « virgule ») ;- sous la forme d’une fraction décimale ;- sous la forme d’un entier et d’une fraction décimale inférieure à l’unité.

4. Rédiger un protocole de construction de deux droites parallèles à l’aidede la règle non graduée et de l’équerre.Quelle est la propriété mathématique sous-jacente ?

Exercice 2 :

ABC est un triangle rectangle en A. On appelle H le pied de la hauteurissue de A. Démontrer que les triangles ABC et HAC sont semblables.

Exercice 3 :

Voici un « tour de magie » :- le magicien annonce un nombre noté A supérieur à 10.- un spectateur est invité à lancer un dé numéroté de 1 à 6. On note N lenombre obtenu.

Le magicien prédit que parmi les trois nombres N , A + N et A � N , aumoins un est un multiple de 3.

1. Le tour est-il toujours réussi si le magicien choisit A = 20 ? Justifier. (Onpourra examiner tous les cas possibles).


2. Vrai ou faux, justifier. Affirmation : « Si A est un multiple de 3, le tourest toujours réussi. »

3. Vrai ou faux, justifier. Affirmation : « Si A n’est pas un multiple de 3, letour est toujours réussi. »

Exercice 4 :

Les règlements de voirie d’une ville imposent que les rues ordinaires aientune largeur de 12 mètres et que les maisons d’angle aient un pan coupé de 3mètres.On s’intéresse à un carrefour de deux rues perpendiculaires. La situation estmodélisée sur la figure ci-dessous, figure que l’on retrouve aussi en annexe.

6 mètres6 mètres

6m

ètre

s6

mèt

res

M

N

3 mètres

Démontrer que la distance MN entre deux maisons opposées vaut 3 + 12p2

mètres.Toute démarche pertinente même inaboutie sera valorisée.La figure de l’annexe à rendre avec la copie pourra être utilisée pour placer lespoints nécessaires à la justification du calcul.


UE2

Exercice 1 :

Première partie : Analyse de réponsesVoici les réponses d’un élève auquel on a demandé de calculer les différencessuivantes :

91� 52, 613� 209, 800� 153 et 607� 54.

Cet élève semble avoir effectué un calcul mental.

1. Quelle erreur récurrente commet-il ?

2. Quelle autre erreur apparaît dans le quatrième cas ?

Deuxième partie : Techniques de soustraction posée

1. Sur la page suivante figure la leçon 81 du manuel Vivre les maths de CE2,édition 2016.

(a) Quelle propriété mathématique les auteurs souhaitent-ils faire dé-couvrir dans cette leçon ?

(b) Quelle technique de soustraction posée utilise cette propriété ?(c) Mettre en oeuvre cette technique pour calculer la différence entre

273 et 56 ; expliciter l’usage des retenues.(d) Proposer une manipulation de matériel qui pourrait aider un élève

en difficulté à comprendre l’usage des retenues. (On pourra s’inspirerde l’exemple 1 de la leçon 81).

2. (a) Sur l’exemple ci-dessous une autre technique de soustraction poséeest utilisée. Expliquer le procédé de cette technique.

(b) Proposer une manipulation de matériel qui pourrait aider un élèveen difficulté à comprendre cette technique.

(c) Appliquer cette technique pour calculer la différence entre 3002 et983.

3. Donner un avantage et un inconvénient de chacune de ces méthodes.



Exercice 2 :

L’objet de l’exercice est d’analyser des problèmes de reproduction de figurescomplexes en CM1.

L’extrait du programme de cycle 3 figurant en encadré pourra être cité pourétayer certaines réponses.

À l’articulation de l’école primaire et du collège, le cycle 3 constitue uneétape importante dans l’approche des concepts géométriques. Prolon-geant le travail amorcé au cycle 2, les activités permettent aux élèvesde passer progressivement d’une géométrie où les objets (le carré, ladroite, le cube, etc.) et leurs propriétés sont essentiellement contrô-lés par la perception à une géométrie où le recours à des instrumentsdevient déterminant, pour aller ensuite vers une géométrie dont la va-lidation s’appuie sur le raisonnement et l’argumentation. Différentescaractérisations d’un même objet ou d’une même notion s’enrichissantmutuellement permettent aux élèves de passer du regard ordinaire portésur un dessin au regard géométrique porté sur une figure.Les situations faisant appel à différents types de tâches (reconnaître,nommer, comparer, vérifier, décrire, reproduire, représenter, construire)portant sur des objets géométriques, sont privilégiées afin de faire émer-ger des concepts géométriques (caractérisations et propriétés des objets,relations entre les objets) et de les enrichir. Un jeu sur les contraintesde la situation, sur les supports et les instruments mis à dispositiondes élèves, permet une évolution des procédures de traitement des pro-blèmes et un enrichissement des connaissances.Les professeurs veillent à utiliser un langage précis et adapté pour dé-crire les actions et les gestes réalisés par les élèves (pliages, tracés àmain levée ou avec utilisation de gabarits et d’instruments usuels oulors de l’utilisation de logiciels). Ceux-ci sont progressivement encoura-gés à utiliser ce langage.Les activités spatiales et géométriques sont à mettre en lien avec lesdeux autres thèmes : résoudre dans un autre cadre des problèmes re-levant de la proportionnalité ; utiliser en situation les grandeurs (géo-métriques) et leur mesure. Par ailleurs, elles constituent des momentsprivilégiés pour une première initiation à la programmation notam-ment à travers la programmation de déplacements ou de constructionde figures.Attendus de fin de cycle :- (se) repérer et (se) déplacer dans l’espace en utilisant ou en élaborantdes représentations ;- reconnaître, nommer, décrire, reproduire, représenter, construire desfigures et solides usuels ;- reconnaître et utiliser quelques relations géométriques (notions d’ali-gnement, d’appartenance, de perpendicularité, de parallélisme, d’éga-lité de longueurs, d’égalité d’angle, de distance entre deux points, desymétrie, d’agrandissement et de réduction).


Première partie :

Figure A Figure A’

En CM1, on demande de reproduire la maison de la figure A à l’identique ;les instruments autorisés sont la règle graduée et l’équerre. On supposera queles élèves savent caractériser et reproduire un rectangle.

1. Un élève a ajouté deux segments en pointillés sur sa figure (voir figureA’). En quoi ces tracés vont-ils aider l’élève à reproduire la figure ?

2. Écrire un programme de construction qui permette de reproduire cettefigure (on pourra nommer les points de la figure).

3. À quels éléments de l’extrait du programme du cycle 3 présenté ci-dessusse réfère cette activité. Justifier.

Deuxième partie :

Figure B

On demande ensuite aux élèves de reproduire à l’identique, avec les mêmesinstruments, une autre figure complexe : le bateau de la figure B.

1. En quoi cette reproduction permet-elle de développer la compétence « cher-cher » ?


2. Donner deux propriétés géométriques cachées de cette figure.

AB

C

D

EF

3. Un élève a d’abord représenté le segment [AB]. Comment peut-il construirele point F ?

4. En quoi la figure B est-elle plus difficile à reproduire que la figure A dela première partie ?


Annexe à joindre avec la copie.Exercice 4 de la partie disciplinaire.

6 mètres6 mètres

6m

ètre

s6

mèt

res

M

N

3 mètres



2018-2019 — SESSION 1



La correction de ce su-jet se trouve page 519Dans ce problème, les parties A et B sont totalement indépendantes.

Partie A : Rep-tile 13 3D dodécaédrique.

Un patron

13. En géométrie des pavages, un « rep-tile » ou « reptile » est une forme qui peut êtredisséquée en plus petites copies de la même forme. Le mot « rep-tile »est une contraction de« replicant tile ».


Une vue en perspective cavalière

Ni le patron proposé, ni la perspective cavalière exhibée, ne respectent lacondition d’échelle.

On peut décrire ce solide comme un empilement de quatre cubes isomé-triques : un rouge, un vert, un bleu et un jaune (caché mais qui partage uneface avec chacun des trois autres cubes). On choisit de prendre 2 cm commearète de chacun des quatre cubes isométriques.

1. Quelle est la longueur totale de toutes les arêtes 14 du solide, c’est-à-direla somme de toutes les longueurs des différentes arêtes du solide ?

2. Quelle est l’aire totale de toutes les faces du solide, c’est-à-dire la sommede toutes les aires des différentes faces du solide ?

3. Quel est le volume du solide ?

4. Sur la perspective cavalière proposée, on choisit les différents points devue : de face, de gauche et de haut comme sur le schéma ci-dessous.

Vue de face

Vue de haut

Vue de gauche

Proposer ces vues de face, de gauche et de haut en indiquant en pointillésles arêtes cachées.

5.

14. Sur la représentation du solide en perspective cavalière, chacune des arêtes est repré-sentée, que ce soit en traits pleins ou en pointillés.


(a) Combien d’exemplaires de ce solide faudrait-il pour paver 15 un so-lide semblable dont tous les côtés sont deux fois plus longs ?

(b) Expliquer rapidement comment réaliser un tel pavage.

15. « Paver » en 3D, c’est remplir complètement et sans chevauchement un solide.


Partie B : Rep-tile 2D pentagonal de Karl Scherer.On considère le « grand » pentagone AMJLD pavé 16 par les cinq « petits »

pentagones MIGBA, CHEFB, GBFEH, CHIJK et DCKJL.

D C B A

L

K

I

J

H

E

F

G

M

On considère dans cette figure que les six pentagones sont semblables :MIGBA en rouge, CHEFB en vert, GBFEH en jaune, CHIJK en magenta,DCKJL en bleu et AMJLD. Les trois pentagones CHEFB en vert, GBFEHen jaune et CHIJK en magenta sont même isométriques.

Le pentagone AMJLD est pavé d’un réseau de triangles isométriques équi-latéraux. Les sommets des différents pentagones sont en des nœuds du réseauet les côtés des différents pentagones sont portés par la trame du réseau.

1. À propos des trois pentagones CHEFB en vert, GBFEH en jaune etCHIJK en magenta, isométriques.

(a) Donner sans justification 17 une transformation qui envoie lepentagone CHEFB en vert sur le pentagone CHIJK en magenta.

16. « Paver » en 2D c’est recouvrir complètement et sans chevauchement une surface.17. Il s’agit de donner une description complète et univoque de cette transformation. Et,

si besoin, ne pas hésiter à définir un point ou une droite non apparents sur la figure.


(b) Donner sans justification 18 une transformation qui envoie lepentagone CHEFB en vert sur le pentagone GBFEH en jaune.

2. Le pentagone MIGBA en rouge est un agrandissement du pentagoneCHIJK en magenta.

(a) Donner sans justification le rapport de cet agrandissement.

3. Le pentagone DCKJL en bleu est une réduction du pentagone MIGBAen rouge.

(a) Donner sans justification le rapport de cette réduction.

(b) En déduire le rapportADCKJL

ACHIJKoù ADCKJL est l’aire du pentagone

DCKJL en bleu et où ACHIJK est l’aire du pentagone CHIJK enmagenta.

4. À propos du pentagone AMJLD.

(a) Déterminer en le justifiant le rapportAAMJLD

ACHIJKoù AAMJLD est

l’aire du pentagone AMJLD et où ACHIJK est l’aire du pentagoneCHIJK en magenta.

(b) En déduire le rapport de l’agrandissement qui permet de passer dupentagone CHIJK en magenta au pentagone AMJLD.

18. Il s’agit de donner une description complète et univoque de cette transformation. Et,si besoin, ne pas hésiter à définir un point ou une droite non apparents sur la figure.



Exercice 1 :

Dans un magasin de jouets, on s’intéresse au prix p1 d’un jeu de construc-tion, au prix p2 d’un jeu de plateau et au prix p3 d’un jeu électronique.

• Le jeu de plateau est 25 % plus cher que le jeu de construction.

• Le jeu électronique est 50 % plus cher que le jeu de plateau.

1. Si le prix du jeu de construction était de 80 e , quel serait le prix du jeude plateau ?, et quel serait le prix du jeu électronique ?

2. Si le prix du jeu électronique était de 180 e , quel serait le prix du jeude plateau ?, et quel serait le prix du jeu de construction ?

3. Si le prix total des trois jeux était de 132 e , quels seraient les prix desdifférents jeux ?

4. Si l’écart de prix entre le jeu de construction et le jeu électronique étaitde 35 e , quels seraient les prix des différents jeux ?

Exercice 2 :

[D’après le brevet des Collèges, Nantes, 2001] Le granite est une roche cris-talline formée d’un mélange hétérogène de quatre éléments : quartz, feldspath,biotite et minéraux secondaires.

1. Un bloc de granite est composé

• pour 28 % de son volume, de quartz,• pour 53 % de son volume, de feldspath,• pour 11 % de son volume, de biotite,• et de 19, 2 dm3 de minéraux secondaires.

Calculer le volume de ce bloc.

2. Un mètre cube de ce granite a une masse de 2, 6 tonnes.Calculer la masse du bloc de granite considéré dans la question 1.

Exercice 3 :

Un homme marchant 7 heures par jour a mis 30 jours à faire 840 km.Allant toujours à la même vitesse, s’il marchait 8 heures par jour, combien

lui faudrait-il de temps (exprimé en jours heures) pour parcourir 1 200 km ?



Exercice 1 :

On considère l’extrait suivant du manuel Les nouveaux outils pour lesmaths, cycle 2, CE2, Marie-Laure Frey-Tournier, Françoise Reale-Bruyat, Pa-trice Gros, Magnard, 2017, page 143, exercice 6.

1. Sur le bandeau bleu qui introduit l’exercice, on peut lire : « Reconnaître etnommer des solides : cube, pavé droit, pyramide, cylindre, boule, cône ».Donner une signification du mot « Reconnaître » dans ce cadre.

2. L’ élève A remplit le tableau de cette façon :

Cube Pavé droit Pyramide Cylindre Boule CôneL J L

(a) Extrait du BO « Utiliser des représentations planes de solides (pa-trons, perspectives, vues de face, de côté, de dessus, . . .) ».Quelle semble être la représentation des solides que cet élève a pris encompte si l’on admet que toutes les réponses fournies sont correctes ?

(b) En demeurant sur cette représentation des solides,i. qu’aurait-il pu répondre pour le cylindre ?,ii. qu’aurait-il pu aussi répondre pour le pavé droit ?

3. L’ élève B remplit le tableau de cette façon :

Cube Pavé droit Pyramide Cylindre Boule CôneM A I N C

(a) Extrait du BO « Utiliser des représentations planes de solides (pa-trons, perspectives, vues de face, de côté, de dessus, . . .) ».Quelle semble être la représentation des solides que cet élève a pris encompte si l’on admet que toutes les réponses fournies sont correctes ?


(b) En demeurant sur cette représentation des solides,i. qu’aurait-il pu aussi répondre pour le cube ?,ii. qu’aurait-il pu répondre pour le cône ?

(c) Expliquer rapidement ses omissions de réponses.

4. Lors de la mise en commun, l’élève C déclare : « J’ai mis J et F dans lespavés droits ».Par rapport aux élèves précédents, citer deux compétences supplémen-taires acquises par cet élève.

Exercice 2 :

Dans une classe de CM2, l’enseignant affiche au tableau :

Prix de 100 g de fromage : 2 e

Il distribue ensuite aux élèves une série de 4 étiquettes « poids » et une sériede 8 étiquettes « prix ».

Il demande :

Vous devez retrouver, parmi ces 8 étiquettes « prix », celles quicorrespondent aux 4 étiquettes « poids ».Vousécrirez les calculs dans votre cahier.

Les étiquettes « poids » :

500 g ; 150 g ; 250 g ; 110 g .

Les étiquettes « prix » :

1, 2 e ; 2, 2 e ; 3 e ; 5 e ; 7 e ; 10 e ; 12 e ; 52 e .

1. Donner trois compétences mobilisées dans cet exercice.

2. À supposer qu’un élève ait déjà calculé les prix pour 500 g et pour150 g de fromage, expliciter trois procédures qu’il pourrait utiliser

pour déterminer le prix de 250 g de fromage, en n’oubliant pas dedonner les propriétés mathématiques sous-jacentes.

3. Un élève associe l’étiquette « poids » 150 g à l’étiquette « prix » 52 e

et l’étiquette « poids » 110 g à l’étiquette « prix » 12 e .

Formuler une hypothèse plausible sur l’origine de l’erreur commise parcet élève.

4. Dans la dernière partie de la séance, il demande aux élèves de déterminerle prix de 104 g de fromage.

(a) Quelle réponse est attendue ? Justifier en explicitant votre procé-dure.

(b) Donner deux difficultés que peuvent rencontrer les élèves dans larésolution de cette question.



2018-2019 — SESSION 2


UE 1


Les questions 1 et 2 sont indépendantes.Pour ces deux questions, on considère la figure ci-dessous qui est reproduitedans les annexes 1 et 2 à rendre avec la copie.

A

D B

C

E

H

F

G

ABCD et EFGH sont des carrés.On sait que AB = a et EF = a

2 .K, L et M sont trois points tels que AKLM soit un carré dont l’aire est égaleà la somme des aires des carrés ABCD et EFGH.

1. (a) Démontrer que AK2 = 5a2

4 .

(b) Vérifier que AK2 = 5a2

4 si on place K au milieu de [CD].(c) Sur la figure de l’annexe 1, construire un carré AKLM , en utilisant

uniquement une règle non graduée et un compas. Laisser les traitsde construction.

2. Soit hI l’homothétie de centre I et de rapport 2 qui transforme EFGHen ABCD.On admet que par hI , l’image de E est A, l’image de F est B, l’image deG est C et l’image de H est D.

(a) Sur la figure de l’annexe 2, construire I. Laisser les traits de construc-tion. Aucune autre justification n’est attendue.

(b) Quelle est l’aire de l’image de ABCD par hI ?


Exercice 2

On considérera dans cet exercice que la terre est une sphère de rayon 6400km. Tokyo dont la latitude est 35˚ Nord et Adélaïde (en Australie) dont lalatitude est 34˚ Sud ont approximativement la même longitude : 139˚ Est.Déterminer la distance entre Tokyo et Adélaïde si on suit le méridien sur lequelse trouvent ces deux villes. Le résultat sera donné arrondi au kilomètre.

Exercice 3

On considère une urne contenant cent cartes numérotées de 1 à 100.

1. Je prends au hasard une carte dans l’urne. Quelle est la probabilité queson numéro s’écrive avec au moins une fois le chiffre 3 ?

2. Je prends au hasard une carte dans l’urne. Quelle est la probabilité queson numéro s’écrive exclusivement avec des chiffres choisis parmi 0, 1, 2,4, 5, 6, 7, 8 et 9 ?

3. Je prends au hasard une carte dans l’urne. Quelle est la probabilité queson numéro s’écrive avec exactement deux chiffres et qu’en plus ces deuxchiffres soient différents ?

4. Je tire au hasard une première carte de l’urne. Je note son numéro etje remets la carte dans l’urne. Je tire au hasard une deuxième carte del’urne. Je note son numéro à droite du précédent et je remets la carte dansl’urne. Je tire au hasard une troisième carte de l’urne. Je note son numéroà droite du précédent et je remets la carte dans l’urne. Je considère lenombre ainsi écrit.

(a) Quelle est la probabilité que ce nombre soit 123 ?

(b) Quelle est la probabilité que ce nombre soit 1234 ?

https://www.youtube.com/watch?v=Nm2Te7fZbUc


UE 2

Exercice 1 (10 points)

On considère l’exercice suivant extrait de l’ouvrage de ERMELApprentissages numériques et résolution de problèmes CM1 :

Jeanne a réalisé des bananes au four pour goûter.Elle a respecté les proportions et a utilisé 120g de beurre.Quelle quantité de sucre a-t-elle utilisée?Et combien de bananes?

Recette des bananes au fourIl faut :

20 grammes de beurre4 bananes

10 grammes de sucre

1. Proposer une rédaction correcte de deux procédures de catégories diffé-rentes : une procédure utilisant une propriété de linéarité et une autre lecoefficient de proportionnalité. La rédaction d’une des deux procéduresau moins ne s’appuiera pas sur un tableau de proportionnalité.

2. Rédiger, sans utiliser de tableau de proportionnalité, la procédure duretour à l’unité pour trouver le nombre de bananes. Pourquoi est-il peuprobable qu’elle soit utilisée par un élève en début de cycle 3 ?

3. Quelle sera la procédure favorisée pour calculer la masse de sucre si onremplace 120 g de beurre par 84 g de beurre dans l’énoncé ? Justifiezvotre réponse.

4. Quelle erreur classique peut-on s’attendre à trouver si on demande à desélèves de calculer la quantité de sucre nécessaire pour 25 g de beurre ?

5. On demande maintenant aux élèves de trouver la masse de beurre néces-saire pour faire la recette avec 5 bananes, 6 bananes et 7 bananes. Quelest l’outil dont l’usage peut être visé par cette nouvelle question ? Expli-quer son intérêt ici, relativement aux caractéristiques de la question etpour la résolution des problèmes de proportionnalité en général.

Exercice 2 :

1. On considère un jeu de construction qui permet de construire des so-lides à l’aide de petites plaques en plastique, de formes polygonales et deplusieurs couleurs, qui peuvent s’accrocher les unes aux autres.


On considère deux groupes de 3 élèves de CM1 : le groupe A et le groupeB.On donne à chaque groupe un solide fabriqué avec le jeu de constructionprésenté ci-dessus.

Solide du groupe A :

Solide du groupe B :


On demande à chaque groupe, de faire un message comportant un dessinsans texte, qui permette à l’autre groupe de reconstruire leur solide enrespectant les positions relatives des couleurs des faces.Ils n’ont pas le droit de démonter leur solide. Ils disposent d’une feuillede papier blanc et de crayons de couleur.Lorsque les groupes échangent leurs messages, on leur remet un lot deplaques du jeu de construction afin qu’ils reconstruisent le solide corres-pondant au message qui leur a été transmis.

(a) Quelle est la notion de géométrie en jeu dans cette activité ?(b) On considèrera que sur la photo présentée du solide du groupe A, la

face de dessus est blanche, celle de gauche est noire, celle de devantest jaune, celle de dessous est verte, celle de droite est rouge et cellede derrière est bleue.Faire un dessin à main levée, qui pourrait être un message correctproduit par le groupe A. Écrire le nom des couleurs sur les facesreprésentées sur ce dessin.

(c) Donner les deux raisons principales pour lesquelles on demande auxélèves de construire les solides correspondant aux messages.

2. On considère maintenant un matériel de construction comme celui quiest présenté sur la photo ci-dessous.Il est constitué de pailles et de connecteurs à 3, 4 ou 5 branches, quipermettent de construire des solides.

(a) On demande maintenant à chaque groupe de passer commande dunombre exact de pailles et de connecteurs leur permettant de cons-truire un solide de même forme que le solide qui leur avait été ini-tialement distribué. Il leur est aussi demandé de préciser le nombre


de branches que doivent posséder les connecteurs.Comparer l’analyse des solides nécessaire dans cette activité à cellenécessaire dans la précédente.

(b) Rédiger un bon de commande respectant la consigne, permettant augroupe B de construire une pyramide à base carrée.

(c) Expliquer l’intérêt de cette activité où les élèves passent commandedu matériel de construction, par rapport à une activité identiqueoù le matériel de construction (pailles et connecteurs) serait laissé àleur disposition.


Annexe 1

A

D B

C

E

H

F

G

Annexe 2

A

D B

C

E

H

F

G



2019-2020 — SESSION 1



La correction de ce su-jet se trouve page 540 L’objet du problème est d’étudier des systèmes de numérations utilisés dans

des situations pratiques (durées, longueurs, prix). Les trois parties peuvent êtretraitées de manière indépendante.

Partie 1 : la durée

1. Exprimer au format heures/minutes/secondes :

• le tiers d’une journée ;

• le dixième d’une journée ;

• le soixantième d’une journée.

2. Lors d’une journée, un événement commence à 10h 25min 12s et se ter-mine à 15h 12min 5s. Quelle est la durée de l’événement ?On prendra pour définition du « temps décimal » celle qui se trouve surle site Wikipedia :

Durant la Première République, le temps décimal fut officiellementintroduit en France par le décret du 4 frimaire de l’An II (24 no-vembre 1793) :XI. Le jour, de minuit à minuit, est divisé en dix parties ou heures[décimales], chaque partie en dix autres, ainsi de suite jusqu’à laplus petite portion commensurable de la durée. La centième par-tie de l’heure [décimale] est appelée minute décimale ; la centièmepartie de la minute [décimale] est appelée seconde décimale.La journée commençant à minuit, à midi il était donc 5 heures[décimales]. À fin de la journée, à minuit, il était 10 heures [déci-males].

(a) Combien valent trois heures décimales en heures/minutes/secondes ?


(b) Lors d’une journée, un événement commence à 2 heures décimales23 minutes décimales et 12 secondes décimales et se termineà 6 heures décimales et 25 secondes décimales. Quelle est ladurée, en temps décimal, de l’événement ?

(c) Une horloge classique sonne toutes les heures de la journée et unehorloge décimale sonne toutes les heures décimales de la journée.À quels moments de la journée les deux horloges sonnent-elles enmême temps ?

Partie 2 : la monnaie

1. Le système monétaire en Europe fonctionne de la façon suivante : 1 eurovaut 100 centimes.Les pièces de monnaie en usage ont pour valeurs : 2 euros, 1 euro, 50centimes, 20 centimes, 10 centimes, 5 centimes, 2 centimes et 1 centime.Le demi-euro peut être obtenu à l’aide d’une pièce de 50 centimes.

(a) Est-il possible d’obtenir trois quarts d’euro avec des pièces de mon-naie ? Justifier.

(b) Est-il possible d’obtenir un douzième d’euro avec des pièces de mon-naie ? Justifier.

2. Avant l’introduction du système décimal du franc, le système monétairede l’Ancien régime fonctionnait de la façon suivante : une livre vaut vingtsous et chaque sou vaut douze deniers.

(a) Exprimer la somme « 13 livres, 7 sous et 5 deniers » sous forme dedeniers.

(b) Exprimer en deniers :

• un tiers de livre• un quart de livre• la moitié du tiers d’un quart de livre

(c) Un marchand possède cent livres et souhaite acheter six articlescoûtant chacun 15 livres, 16 sous et 11 deniers. Peut-il les acheter ?

(d) Un autre marchand dépense 11 livres, 13 sous et 4 deniers en unesemaine. Sachant qu’il a dépensé la même somme chaque jour, com-bien a-t-il dépensé en une journée ? Exprimer le résultat en livres,sous et deniers.

Partie 3 : la mesure des longueurs

La question 1 est indépendante des questions 2 et 3.

1. Voici le principe de graduation d’une règle utilisant les pouces (inches dusystème d’unité impérial de la Grande Bretagne). Les graduations de larègle sont disposées de manière régulière.


0 1 2 3 4

Dans cette question, on exprimera chaque mesure comme somme d’unnombre entier de pouces et d’une fraction de pouce inférieure à l’unité.

(a) À quelle valeur en pouces correspond la première graduation aprèsle zéro ? la douzième graduation après le zéro ?

(b) Combien vaut le huitième de onze pouces ?(c) Quelle graduation de la règle est la plus proche du dixième de quatre

pouces ?

2. Le guide-âne est une feuille sur laquelle est tracé un réseau de droitesparallèles équidistantes.On trace un segment [AB] sur une des droites puis on place un pointC sur la dixième droite tracée en dessous de cette première droite demanière à ce que le triangle ABC soit rectangle en B.On nomme A1, B1, A2, B2 , etc, les points d’intersection de (AC) et(BC) avec les droites intermédiaires (voir figure ci-dessous).

A1 B1

A2 B2

A3 B3

A4 B4

A5 B5

A6 B6

A7 B7

A8 B8

A9 B9

A B

C

(a) Démontrer que la distance A3B3 est égale à trois dixièmes de ladistance AB.

(b) Exprimer chacune des distances A1B1 , A2B2 , ... , A9B9 en fonctionde AB (aucune justification n’est demandée).


3. Fréquemment sur les plans anciens, les échelles utilisent le principe duguide-âne pour augmenter la précision des mesures.

Extrait de la Section A du cadastre d’Outreau de 1813 - Archives départementales du Pas-de-Calais

Toujours sur le même principe, voici une règle permettant d’obtenir lamesure en centimètres d’une longueur reportée à l’aide d’un compas.À droite du zéro figure une graduation en centimètres et à gauche duzéro figure une graduation en millimètres (voir le zoom). Et de la mêmemanière que dans la première question, un réseau de droites parallèleset équidistantes est tracé ainsi que des « diagonales » (toutes parallèles)partant des graduations en millimètres. Donner la mesure qu’indique larègle ci-dessous pour l’écartement de compas représenté sur la figure ci-dessous. Aucune justification n’est demandée.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

12345678910 0



Exercice 1 :

Poser la division de 257,6 par 32.

Exercice 2 :

Soit ABC un triangle. On appelle I, J et K les milieux respectifs de [AB],[BC] et[AC].

1. Démontrer que les triangles ABC et IJK sont semblables.

2. À quelles conditions sur le triangle ABC, AIJK est-il un carré ? Justifier.

Exercice 3 :

1. Quelles conditions les diagonales d’un quadrilatère doivent-elles vérifierpour que ce quadrilatère soit un losange ?

2. Vrai ou faux, justifier : « Pour tout nombre entier naturel n, le nombre(n+ 1)(n+ 6) est pair. »

3. Le reste de la division euclidienne d’un nombre a par 5 est r. Le reste dela division euclidienne d’un autre nombre a0 par 5 est r0.Vrai ou faux, justifier :« Le reste de la division euclidienne de (a+ a0) par 5 est (r + r0). »

Exercice 3 :

ABCDEFG est un hexagone régulier. Il est composé de six triangles équi-latéraux OAB, OBC, OCD, ODE, OEF et OFA. O est appelé centre del’hexagone.

A

B

C

D

E

F

O


Rédiger un programme de construction à la règle non graduée et au compasde l’hexagone sachant que A, B, C et D sont déjà placés. Aucune justificationn’est demandée.

A

B

C

D

TROISIÈME PARTIE : PARTIE DIDACTIQUE

Exercice 1 :

Cette situation est extraite de « Découvrir le monde avec les mathématiques,situations pour la grande section » de Dominique Valentin, aux éditions Hatier.

Voici la règle du jeu d’une réussite utilisant les 16 cartes de 1 à 4 de chaquecouleur d’un jeu de carte classique.


But à atteindre : Faire des paires de cartes dont la valeur totale est 5.

Les 16 cartes sont disposées en paquet faces non visibles. Le joueur retourne 3cartes qu’il place sur 3 emplacements que l’on peut matérialiser pour faciliterla mémorisation :

Cette disposition s’appelle « tableau » par la suite.Le joueur retourne une carte et cherche à faire 5 avec une carte du tableau.Dans le cas où une paire peut être formée, le joueur la met de côté, les cartesse superposant faces visibles de manière à voir les nombres inscrits sur la cartedu dessous :

La carte retirée du tableau est remplacée par la première carte de la pioche.Si une carte tirée ne permet pas de faire 5 avec les cartes du tableau, elle estremise sous le paquet de la pioche. Le joueur continue ainsi en tirant chaquecarte une par une et en positionnant les paires obtenues bien en évidence. Laréussite est terminée quand toutes les paires de 5 ont été trouvées.

Questions :

1. (a) Pour l’enseignant, quel est l’objectif de cette activité ?

(b) À quoi prépare-t-elle pour les mathématiques du cycle 2 ?

2. Donner deux procédures possibles pour un élève de grande section luipermettant de savoir s’il peut retirer une carte du tableau.

3. Il est précisé que « dans le cas où une paire peut être formée, le joueur lamet de côté, les cartes se superposant faces visibles de manière à voir lesnombres inscrits sur la carte du dessous ». À la fin de la partie, commentl’enseignant peut-il exploiter les paires ainsi formées ?

Exercice 2 :

Dans cette partie sont étudiées des variations d’une situation inspirée dumanuel « Découvrir le monde avec les mathématiques, situations pour la grandesection » .


Les poules de MathurinMatériel : 40 corps de poule identiques, les attributs des poules (40 têtes et80 pattes), un plateau, des boîtes, des jetons.L’enseignant dispose les boîtes contenant les têtes et les pattes de poule sur unplateau éloigné des élèves. Il donne un nombre différent de corps de poules àchaque enfant : 6, 8, 10 ou 12. Il ne donne pas d’indication sur ce nombre. Ilremet également 3 jetons d’une même couleur à chaque enfant.Objectif : l’enfant doit réussir à obtenir exactement le même nombre de têtesqu’il a de corps de poules.

Questions :1. Modalité n°1

L’enfant doit faire une commande orale auprès de l’enseignant. Quellessont les compétences mathématiques que doit mettre en oeuvre l’enfantpour réussir la tâche ?

2. Modalité n°2

(a) Les têtes de poulesL’enfant a un bulletin de commande (papier sur lequel il met les in-dications qu’il souhaite) et il se sert lui-même sur le plateau. Donnerdeux procédures correctes que l’on pourrait attendre des élèves.

(b) Les pattes de poulesUne fois que l’enfant a obtenu les têtes, il doit obtenir les pattes(deux pattes par poule).Donner trois procédures exactes que l’on pourrait attendre d’unélève de grande section qui aurait 6 poules.

(c) Pour les pattes de poules, proposer une variation adaptée au pro-gramme de CP.

Exercice 3 :

Manuel Opération Maths


Toutes les réponses doivent être justifiées et argumentées.

1. Quelle est la notion abordée par cette activité, et dans quelle classepourrait-elle être proposée ?

2. (a) Citer deux procédures correctes permettant de placer le point M.(b) Quelles erreurs peut-on s’attendre à rencontrer sur le placement du

point M ?

3. (a) En utilisant les lignes de la copie comme guide-âne, créez votrepropre machine à partager un segment [AB] en seize parties égales.Répondre sur la copie à la dernière question « Où ce point P peut-ilêtre ? » .

(b) On demande à un collégien de placer un point C à15

16u de A et à

9

16u de B. Où ce point peut-il être ?



2019-2020 — SESSION 2


UE 1


On considère le nombre suivant : 15,02.Ecrire ce nombre :

1. sous la forme d’une fraction décimale ;

2. sous la forme de la somme d’un entier et d’une fraction décimale inférieureà 1 ;

3. sous la forme d’une fraction irréductible.

Exercice 2

Pour cet exercice, on fera les constructions demandées sur les annexes quisont à remettre avec la copie.

Concernant les constructions :

• utiliser uniquement les instruments suivants : la règle non graduée et lecompas ;

• laisser les traits de construction ;

• coder les angles droits.

Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.

1. Construire sur l’annexe 1, un segment [AM ] de longueur 12 . Justifier.

2. (a) Sur l’annexe 2, construire un triangle ABC isocèle et rectangle enA tel que AB = AC = 1.

(b) Déterminer la mesure exacte de la longueur de son hypoténuse.(c) Sur la même figure, construire un segment [CD] dont la longueur

mesurep3. Justifier brièvement.

3. Afin de construire le point L du segment [FH] tel que FL = 13 , com-

pléter par les tracés qui conviennent la figure de l’annexe 3. Justifier laconstruction.


Exercice 3

Soient a, b et c trois nombres entiers, on note (a, b, c) le triplet composé deces trois nombres.On appelle triplet pythagoricien un triplet de trois nombres entiers naturelsnon nuls (a, b, c) qui vérifient :

a2 + b2 = c2

1. (a) Vérifier que (5,12,13) est un triplet pythagoricien.

(b) Déterminer le quotient de la division de 1365 par 13.

(c) Donner un triplet pythagoricien tel que c = 1365.

2. (a) Soit n un entier naturel non nul inférieur ou égal à 5.Donner l’ensemble des valeurs possibles de n2.

(b) Justifier qu’il n’existe qu’un seul triplet pythagoricien vérifiant :

a b 5.

Donner ce triplet.(c) Les maçons utilisaient une corde comportant 13 noeuds réguilère-

ment espacés (dont un noeud à chaque extrémité de la corde). Faireun dessin pour illustrer le fait qu’on pouvait utiliser cette corde pourformer un angle droit.

Exercice 4

Un cerf-volant est un quadrilatère dont une diagonale est la médiatrice del’autre. Il possède donc deux paires de côtés consécutifs de même longueur.Dans cet exercice tous les cerf-volants seront considérés convexes. Pour qu’uncerf-volant soit convexe, il suffit que le point d’intersection de ses diagonalessoit à l’intérieur du cerf-volant.

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

Les réponses seront justifiées par une démonstration ou un contre-exemple.Les contre-exemples peuvent être présentés à l’aide d’une figure à main levéedont les propriétés sont codées ou données à l’aide de lettres nommant les som-mets.

Propostion 1« Un cerf-volant dont les diagonales sont de même longueur est un


carré. »

Propostion 2« Un cerf-volant qui possède deux côtés opposés de même longueurest un losange. »

UE2

Exercice 1

Voici une activité extraite d’un manuel « Capmaths », (RolandCharnay, Georges Combier, Marie-Paule Dussuc, Dany Madier),Hatier :

1. À quel niveau propose-t-on normalement cet exercice ? Justi-fier.

2. (a) Pour démarrer l’activité, l’enseignant débute par une phaseorale . Il montre la case « 39 » en disant « trente-neuf »et demande à un élève quel nombre placer dans la casejuste avant. Donner une procédure que pourrait mettre enoeuvre l’élève pour répondre oralement.

(b) Donner un exemple de nombre supérieur à 20 pour lequella numération orale peut être un frein à l’apprentissage del’écriture chiffrée.


3. Les élèves doivent maintenant écrire leurs réponses dans le ta-bleau. Ils ne connaissent pas encore les désignations orales desnombres supérieurs à soixante. Proposer deux procédures quepeut utiliser un élève pour placer 85 dans ce cas. Préciser pourchaque procédure ce que l’élève doit avoir compris.

Exercice 2

Inspiré de « la règle pensée » du manuel « Cap Maths » , (RolandCharnay, Georges Combier, Marie-Paule Dussuc, Dany Madier),Hatier.

1. On propose à des élèves de cycle 3 l’exercice de calcul mentalsuivant :

Léa pense au programme à deux étapes :« ajouter 1 au nombre donné puis multiplier lerésultat par 5 ».

(a) Détailler les connaissances minimales concernant les nom-bres et le calcul qui sont nécessaires pour réussir cet exer-cice en particulier (c’est à dire avec le programme proposépar Léa) ?

(b) Donner les différentes étapes d’un calcul mental adapté àun élève de cycle 2 qui permettent d’obtenir le résultat duprogramme de Léa quand le nombre de départ est 13.

(c) Donner les différentes étapes d’un calcul mental adaptéà un élève de cycle 3 qui permettent d’obtenir le résultatdu programme de Léa quand le nombre de départ est 11,6.

2. Dans cette question on travaille encore avec le programme de

calcul de Léa de la question 1. On considère maintenant laquestion :« À quel nombre a-t-on appliqué le programme de calcul si lerésultat est 90 ? ».

(a) Proposer deux procédures que pourrait utiliser un élèvede cycle 3 pour répondre à la question.

(b) À quelle notion mathématique qui sera vue au cycle 4 peutpréparer ce type de question ?


3. On propose ensuite l’activité suivante :

Paulo a aussi pensé à un programme de calcul àdeux étapes.Il l’a appliqué aux nombres 2, 5, 10 et 12 etobtenu les résultats suivants :Pour 2, son programme donne le résultat 10 ;pour 5, le résultat 28 ;pour 10, le résultat 58 ; et pour 12, le résultat 70.À quel programme de calcul Paulo a-t-il pensé ?

(a) À quel programme de calcul Paulo a-t-il pensé ?

(b) En quoi cette question permet-elle de travailler la compé-tence « chercher » du programme de cycle 3 ?


À rendre avec la copie

Annexe 1

1

Annexe 2

1


À rendre avec la copie

Annexe 3

1

I

J

G

F H



2019-2020 — SESSION 1

Aucun document n’est autorisé. La calculatrice, le matériel de géo-métrie (règle graduée, compas, équerre, rapporteur) sont autorisés.Sauf indication contraire, toutes les réponses doivent être justifiées.


La correction de ce su-jet se trouve page 565 D’après le sujet 2008 des Académies de Guadeloupe, Guyane et

Martinique

Dans ce problème, on veut comparer la contenance de deux flacons.De plus, toutes les mesures de longueur sont données en centimètreset tous les volumes sont exprimés en centimètres cubes.

Partie A : Étude du flacon no 1

Il est constitué de deux pavés droits superposés.Le pavé inférieur a pour dimensions : L = 5 ; l = 4 ; h = 6.Le pavé supérieur a pour dimensions : L = 2 ; l = 1 ; h = 4.

Flacon no 15

4

6

4

2

1


1. Calculer le volume total de ce flacon.

2. On appelle x la hauteur de liquide contenu dans le flacon. (xest compris entre 0 et 10).

(a) Calculer le volume de liquide contenu dans le flacon lorsque :i. x = 3ii. x = 5, 9iii. x = 8

(b) Exprimer le volume V1(x) contenu dans le flacon 1 en fonc-tion de la hauteur du liquide x. (Vous penserez à distinguer2 cas différents)

(c) Dans le repère orthogonal donné en annexe 1 (à rendreavec la copie) représenter la fonction V1. Sur l’axe desabscisses 1 graduation représente 1 cm et sur l’axe desordonnées 1 graduation représente 10 cm3. (La partie decourbe déjà tracée concerne la partie B)

Partie B : Étude du flacon no 2

Il est constitué :

• D’un tronc de pyramide ABCDEFGH obtenu à partir d’unepyramide régulière SABCD à base carrée de côté 6 et de hau-teur 10 coupée par un plan parallèle à la base situé à 5 dusommet S. La section est donc le carré EFGH. (figure 1)

• D’un pavé droit de dimensions L = l = 3 et h = 5 parfaitementposé sur la section de la pyramide par le plan.

Figure 1

A B

S

CD

E F

GH

O

O0

6

6

5

33

Flacon no 2


1. (a) Calculer le volume de la pyramide SABCD.

(b) Calculer le volume de la petite pyramide SEFGH (vousjustifierez toute valeur utilisée et non donnée dans l’énoncé).

(c) En déduire que le volume du tronc de pyramide ABCDEFGHest 105.

2. On appelle x la hauteur de liquide contenu dans le flacon. V2

est la fonction qui à une hauteur x de liquide associe le volumede liquide contenu dans le flacon no 2.On donne :

Pour x 5, V2(x) = 120� (10� x)3 ⇥ 0, 12

(a) Calculer le volume de liquide contenu dans le flacon lorsque :

i. x = 2

ii. x = 5

iii. x = 8

(b) Écrire l’expression de la fonction V2 qui à une hauteurde liquide x associe le volume de liquide contenu dans leflacon no 2. (Il ne reste qu’à considérer le cas 5 x 10).

(c) Dans le même repère orthogonal que celui de la partie A(annexe 1), on a déjà tracé la fonction V2, pour x 5.Terminer la représentation de la fonction V2.

Partie C : Comparaison des deux flacons

1. Si on excepte le cas où les deux flacons sont vides, il existedeux autres cas où les volumes contenus par les flacons sontidentiques pour une même hauteur de liquide. En utilisant legraphique et en laissant les traits nécessaires à la recherche, dé-terminer la valeur approximative de chacune de ces hauteurs.

2. Déterminer la valeur exacte de chacune de ces deux hauteurs.(aide : ces deux valeurs sont supérieures à 5)

3. Calculer alors, pour chacun de ces deux cas, le volume exact deiquide contenu dans les deux flacons. Convertir en centilitresces volumes obtenus en centimètres cubes (donner les valeursexactes).


DEUXIÈME PARTIE : EXERCICES (UE1)

Exercice no 1 :

Pour les affirmations qui suivent, précisez en justifiant si ellessont vraies ou fausses.

1. Sur une carte routière à l’échelle 1/300000, la distance entredeux villes est 15 cm. Affirmation no 1 : La distance réelle entreces deux villes est 450 km.

2. Affirmation no 2 : Si un prix quelconque subit une augmen-tation de 20 %, alors il faut que le nouveau prix subisse unediminution de 24 % pour revenir à l’état initial.

3. On sait que dix chevaux ont consommé, en 12 jours, 200 kg defoin.Affirmation no 3 : Il faudra donc 15 jours à trente-cinq chevauxpour consommer 875 kg de foin.

Exercice no 2 :

Inspiré du CRPE des Académies d’Aix-Marseille, Corse, Montpel-

lier, Nice, mai 2000

Un cycliste parcourt un trajet aller-retour sans s’arrêter.L’aller se compose d’une montée de 30 km et d’une descente de 15km.Sa vitesse moyenne en descente est de 40 km/h et il a mis 1 h 30min pour effectuer la montée.

1. Justifier que sa vitesse moyenne en montée est de 20 km/h.

2. Prouver que sa vitesse moyenne sur le parcours aller est 24km/h.(Toute trace de recherche, tout résultat intermédiaireseront pris en compte dans la notation)

3. Pour le parcours retour (montée et descente sont alors in-versées) il veut atteindre une vitesse moyenne de 35 km/h.Comme il ne peut pas augmenter sa vitesse en montée, il décided’accélérer en descente. Quelle vitesse moyenne doit-il avoirsur la descente pour atteindre son objectif ? (Toute trace derecherche, tout résultat intermédiaire seront pris en comptedans la notation)


Exercice no 3 :

La figure rouge, la figure jaune et la figure bleue sont super-posables. Le triangle OAF est équilatéral. L’hexagone ABCDEFest obtenu à partir d’un carré FABS duquel on a enlevé le carréEDCS. Pour cet exercice, aucune justification n’est demandée.

1. Donner une transformation (nom et éléments caractéristiques)permettant de passer de la figure jaune à la figure rouge.

2. Donner une transformation (nom et éléments caractéristiques)permettant de passer de la figure jaune à la figure bleue.

3. Donner une transformation (nom et éléments caractéristiques)permettant de passer de la figure rouge à la figure bleue.


O

A

BC

DE

R

QP

NM

L

K

J

I

H

G

F


TROISIÈME PARTIE : DIDACTIQUE (UE2)

Exercice no 1 :

D’après le CRPE de l’ Académie de Montpellier 1998

Voici un exercice donné à des élèves de CM2 :

Voici quatre segments a, b, c et d.

a

b

c

d

On a agrandi les segments a et b en utilisant le même agrandisse-

ment.

Effectue ce même agrandissement pour les segments c et d.

1. Quelle notion mathématique est principalement mise en jeudans cet exercice ?

2. Combien de carreaux doivent mesurer les segments c et dagrandis ?

3. Sur quelles variables didactiques l’enseignant peut-il jouer pourmodifier cette situation qui traite de l’agrandissement des fi-gures ? Avec quel objectif ?


4. Donner deux procédures correctes que peuvent utiliser desélèves de CM2 pour résoudre cet exercice.

5. Voici les réponses de 4 élèves. (les longueurs des segments sontexprimées en carreaux).

Longueur du segment c agrandi Longueur du segment d agrandiÉlève 1 16 18Élève 2 18 21Élève 3 12 14Élève 4 21 23

Pour chaque élève, relever les réussites et les erreurs.Donner une hypothèse possible sur l’origine des différentes er-reurs.

Exercice no 2 :

On a demandé à des élèves de construire le symétrique de lafigure par rapport à la droite (d).

1. Sur quelles variables didactiques l’enseignant peut-il jouer pourmodifier cette situation qui traite de la symétrie des figures parrapport à une droite donnée ? Avec quel objectif ?

2. Voici les réponses proposées par 3 élèves.


Élève 1

Élève 2


Élève 3

(a) Expliciter les deux procédures de construction différentesqui sont mises en place par ces élèves.

(b) Relever pour chaque élève une réussite au regard de ladéfinition de la symétrie axiale.

(c) Relever également les erreurs de chacun des élèves, en es-sayant d’en donner une origine plausible.

Exercice no 3 :

Voici 4 énoncés d’exercices relatifs à la proportionnalité.Ces exercices ont vocation à être proposés à une classe de CM2.

Dans quel ordre donneriez-vous ces exercices ?Expliquez les choix didactiques qui justifient votre progression.

Exercice no 1 :Deux engrenages sont choisis de sorte que lorsque le petit fait 32tours alors le grand fait 24 tours.

a) Combien de tours fait le grand lorsque le petit fait 64 tours ?

b) Combien de tours fait le grand lorsque le petit fait 8 tours ?

c) Combien de tours fait le grand lorsque le petit fait 72 tours ?

Exercice no 2 :Karim a acheté 4 kg d’oranges pour la somme de 3 e.Combien va payer Sophia qui a, elle, acheté 15,5 kg d’orange dansce magasin ?

Exercice no 3 :Un cahier pèse 520 grammes.

a) Combien pèsent 23 cahiers ?

b) Quel est le nombre minimum de cahiers nécessaires pour at-teindre la masse de 8 kg ?

Exercice no 4 :Myriam possède un aquarium. Il a la forme d’un pavé droit.Lorsqu’on verse 12,6 litres d’eau dans cet aquarium, le niveau d’eaumonte de 4,2 cm.Combien de litres doit-on verser pour que l’eau monte de 10,5 cm?


ANNEXE 1

10

10



2019-2020 — SESSION 2

UE 1

Le corrigé de ce sujet setrouve page 610L’épreuve a été neutralisée, pour raisons de COVID.

UE 2

Exercice 1

Dans une classe de grande section, l’activité ci-dessous est pro-posée aux élèves. Il s’agit de placer des ballons au-dessus de chaquepartie du mur et de placer les personnages afin qu’ils puissent lesattraper.

1. Quel est l’objectif de cette activité ?

2. En préambule de l’activité, on demande aux élèves de rangerles personnages du plus grand au plus petit. Analyser la pro-duction de Grégory donnée dans l’annexe 1.

3. Analyser la production de Louise donnée dans l’annexe 1. Enparticulier, expliciter les connaissances mathématiques qui semblentmaîtrisées par l’élève.


Exercice 2

En CM2, l’exercice suivant est donné aux élèves :

Pour cet énoncé, retrouve les informations inutiles à la

résolution du problème et barre-les. Explique pourquoi elles

sont inutiles.

C’est l’anniversaire du père de Mathieu. Il va avoir 36 ans,Mathieu a 24 de moins que son père. Mathieu veut lui faireun cadeau. Il prend 30 e dans sa tirelire et va à la librairie.Il voit une carte routière à 12,25 e, une parure de stylos à26,50 e. Il achète un livre dont le prix est 5 e. Quelle sommed’argent reste-t-il à Mathieu ?

1. Faire l’exercice.

2. Analyser les deux productions d’élèves données en annexe 2.

Exercice 3

Le paragraphe ci-dessous est extrait du document d’accompagne-ment Résoudre des problèmes de proportionnalité au cycle 3 (Edus-

col, mars 2016) :

Il [l’élève] apprend à repérer des situations relevant ou nonde la proportionnalité. Il résout des problèmes de prix, deconsommation, de recettes, etc. en utilisant différentes pro-cédures (procédure utilisant la propriété de linéarité pourl’addition, procédure utilisant la propriété de linéarité pourla multiplication par un nombre, procédure mixte utilisantles propriétés de linéarité pour l’addition et pour la multi-plication par un nombre, passage par l’unité, procédure uti-lisant le coefficient de proportionnalité).

1. À partir de la terminologie rappelée dans l’extrait du docu-ment d’accompagnement, expliciter le(s) type(s) de procédureutilisé(s) dans chacune des trois propositions de résolution del’activité d’approche de l’annexe 3.

2. Répondre à la question de l’exercice.

3. À la suite de cette activité, dans le même manuel, le problèmesuivant est proposé :


Une recette de mousse au chocolat pour 8 personnes né-

cessite 300 g de chocolat.

Quelle quantité de chocolat faut-il pour préparer une

mousse pour 4 personnes ? pour 12 personnes ?

Proposer trois résolutions différentes pour ce problème (à chaquefois, on rédigera complètement la solution).

4. Expliquer en quoi le problème de la question 3 est plus per-tinent au regard des procédures que le problème de l’activitéd’approche.

Annexe 1

Grégory


Louise


Annexe 2

Élève A

Élève B

Annexe 3

J’apprends les maths CM2, Retz, 2017


2Autres sujets type concours

Vous trouverez ici des sujets “type concours” portant sur l’en-semble du programme. Certains sont plus spécifiques à une partiedu programme.

251

252 CHAPITRE 2. AUTRES SUJETS TYPE CONCOURS

2.1 SUJET TYPE 01

PREMIÈRE PARTIE

Dans cette partie, on s’intéresse à un rectangle ayant les dimen-sions d’une feuille A4.

Partie A

Si ABC est un triangle rectangle en B, on rappelle que la tan-gente de l’angle A est donné par la formule

tan(A) =BC

AB,

et que le cosinus est donné par la formule

cos(A) =AB

AC.

1. On considère un triangle ABC rectangle en B, avec AB =29, 7cm, et BC = 21cm (obtenu en coupant une feuille A4selon une diagonale). Construire ce triangle à l’échelle 1/4 (onpourra arrondir au mm près).

2. Quelle est la tangente de l’angle ’BAC ?

3. Donnez une valeur approchée au millimètre près de AC.

4. En déduire une valeur approchée du cosinus de l’angle A.

5. Vérifiez sur cet exemple la formule

1 + (tan(A))2 =1

(cos(A))2.

6. Le graphique ci-dessous représente la fonction tangente.

2.1. SUJET TYPE 01 253

20 25 30 35 40 45 50

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

angle (en degrés)

tang

ente

En utilisant ce graphique, donnez une valeur approchée del’angle A.

Partie B

Lorsqu’on coupe en feuille A4 en deux selon une médiane (voirfigure ci-dessous ; les pointillés indiquent où la feuille est découpée),on obtient deux feuille “A5”.

Les dimensions théoriques d’une feuille A4 sont déterminées dela manière suivante :

La largeur de la feuille A4 est 21cm.La feuille A4 est un agrandissement de la feuille A5. Autrement

dit, une feuille A5 a des dimensions proportionnelles à un feuilleA4.


Dans la suite, on appelle x la longueur théorique d’une feuilleA4 (x est proche de 29,7cm).

1. Exprimez en fonction de x la largeur et la longueur d’une feuilleA5.

2. En utilisant la proportionalité, montrez que

x

21=

21⇥ 2

x.

3. En déduire une valeur exacte de x.

4. Donnez maintenant une valeur exacte de tan(A).

DEUXIÈME PARTIE

Exercice 1

Des affirmations sont données ci-dessous. Pour chacune d’elles,indiquez si elle est vraie ou fausse. Toutes les réponses doivent êtrejustifiées.

1. Affirmation 1 : Un cube de 50 cm de côté a un volume de 100l.

2. Un watt-heure (Wh) correspond à l’énergie dépensée par unappareil consommant 1W pendant une heure.Affirmation 2 : Une ampoule de 40W allumée pendant 4 heuresconsomme 10 Wh.

3. Affirmation 3 : Si ABCDEFGH est un cube de volume V .Le polyèdre ABCDE a pour volume 1

3V .

4. Affirmation 4 : Le nombre 1456 est décimal.

5. Affirmation 5 : Un nombre qui admet une écriture décimal estun nombre décimal.

6. Affirmation 6 : Le reste dans la division euclidienne de 765 887 543 123par 10 est 2.

Exercice 2

Anne et Karim font un trajet de 100 km à vélo.Anne roule à 15 km/h pendant 50 km, puis à 25 km/h pendant

les 50 km restant.Karim roule à 15 km/h la moitié du temps de parcours, puis à

25 km/h l’autre moitié du temps de parcours.


1. Calculez le temps mis par Anne pour réaliser le parcours.

2. Quelle est la vitesse moyenne de Anne sur l’ensemble du par-cours ?

3. On appelle x la distance parcourue par Karim à 15km/h. Com-bien de temps faut-il à Karim pour parcourir cette partie duparcours ?

4. Exprimez en fonction de x le temps mis par Karim pour réaliserla deuxième partie du trajet.

5. En déduire la vitesse moyenne de Karim.

6. Qui, de Anne ou Karim, a été le plus rapide sur ce parcours ?

TROISIÈME PARTIE

Exercice 1

Voici un extrait de manuel de l’école élémentaire :

1. À quel niveau peut-on proposer ces activités ?

2. Répondez aux questions.

3. Citez un point commun entre les deux activités.

4. Citez deux différences importantes entre les deux questions.


5. Quelle erreur les élèves risquent-ils de commettre à la question1 mais pas à la question 2 ?

Exercice 2

Voici une activité de CM2.

Voici les réponses d’un élève :

— Les pieds font 2 cm2. Le toit fait 8 cm2. Le rectanglejaune fait 16. Le rectangle vert fait 8.— le toit > le rectangle jaune > le rectangle vert >les pieds.— Il y a des triangles et des rectangles.— On peut compter les carreaux.

1. Répondez aux questions posées.

2. Analysez la production de cet élève à la première question(aires).

3. Comment expliquer la réponse de l’élève à la question surl’ordre ?

4. L’élève parle d’un rectangle pour la surface jaune. Est-ce cor-rect ? Que lui diriez-vous ?

5. Commenter la dernière réponse de l’élève (méthodes).


2.2 SUJET TYPE 02

Ce sujet de type concours est destiné à vous permettre de tra-vailler les thèmes suivants :

• Géométrie dans l’espace (Parties 1 et 2)

• Transformations du plan pour la partie didactique (Partie 3)

La calculatrice est autorisée, ainsi que les outils de géométrie(règle, équerre, compas).

PREMIÈRE PARTIE

La correction de ce su-jet se trouve page 622Dans cette partie, on considère un pavé droit ABCDEFGH de

dimensions 3 cm, 4 cm et 7 cm, comme indiqué sur la figure (quin’est pas en vraie grandeur).

A

B C

D

E

FG

H

7 cm

4 cm

3 cm

Partie A

On s’intéresse d’abord à quelques distances entre des sommetsdu pavé droit.

1. Calculez la longueur BE

2. Calculez BH.

3. Quelle est le volume de ABCDEFGH ?


4. Quelle est l’aire de ABCDEFGH ?

5. Le triangle BEH est-il rectangle ?

6. Le triangle BED est-il rectangle ?

Partie B

Dans cette partie, on étudie le chemin parcouru par une fourmisqui se déplace à la surface du pavé droit. On suppose que la fourmispar du point A et rejoint le point G en restant toujours à la surfacede ABCDEFGH, et sans passer par la face EFGH, supposée poséepar terre.

1. Calculez la longueur du trajet si la fourmis va de A à C enligne droite, puis de C à G en ligne droite.

2. Quelle est la longueur du trajet A! B ! G ?

3. Même question pour le trajet A! D ! G ?

4. Construisez en vraie grandeur un patron du solide ABCDEFGH.

5. Représentez les 3 trajets précédents sur le patron du pavé tracéà la question précédente.

6. En utilisant le patron, trouvez le plus court chemin que lafourmi peut prendre pour aller de A à G.

DEUXIÈME PARTIE

Exercice 1

Des affirmations sont données ci-dessous. Elle portent toutes surun cube ABCDEFGH. Pour chacune d’elles, indiquez si elle estvraie ou fausse. Toutes les réponses doivent être justifiées.

1. Affirmation 1 : (AB) ? (EH).

2. Affirmation 2 : (BH) et (AG) sont perpendiculaires.

3. Affirmation 3 : (AB) k (GH).

4. Affirmation 4 : L’aire du prisme ABCEFG est la moitié del’aire du cube ABCDEFGH.

5. Affirmation 5 : Le volume du tétraèdre AEFH vaut le sixièmedu volume du cube ABCDEFGH.

6. Affirmation 6 : (BD) et (EG) sont parallèles.


Exercice 2

ABCDEFGH est un cube d’arête 10cm. Les points I, J et Ksur la figure ci-dessous sont les milieux des arêtes.

A

B C

D

E

FG

H

I

J

K

1. Quel est le volume de la pyramide AIJK ?

2. En partant du cube, on retire la pyramide AIJK, puis on retiresuccessivement de la même manière des pyramides identiquesde sommets B, C, D, E, F , G et H. On s’intéresse au soliderestant.Indiquez le nombre de sommets, d’arêtes et de faces de cepolyèdre.

3. Ce polyèdre a des faces de deux types : lesquelles ? (indiquezla nature et la dimension des faces)

4. Dessinez à main levée un patron du polyèdre (en indiquant survotre dessin les segments de longueurs identique).

5. Donnez une représentation en perspective cavalière du poly-èdre.

TROISIÈME PARTIE

Exercice 1

Vous trouverez ci-dessous les productions d’un élève de CE1 àdeux activités.

1. Faites l’activité 1.


2. Pourquoi le cœur est-il plus facile que la flèche ?

3. Donnez trois critères d’évaluation du travail correspondant àl’activité 1.

4. Faites l’activité 2.

5. Quelles sont les erreurs de l’élève ?

6. Beaucoup d’élèves pensent que la diagonale d’un rectangle noncarré est un axe de symétrie. Pourquoi ?


Exercice 2

Un enseignant demande à ses élèvesde reproduire la figure ci-contre à l’échelle2 sur papier quadrillé.

1. À quel niveau peut-on proposer cette ac-tivité ?

2. Quelles sont les compétences nécessairespour pouvoir répondre ?

3. Proposez une modification de l’activitéqui la rendrait plus facile.

4. Proposez une modification de l’activitéqui la rendrait plus difficile.

5. Citez deux erreurs auxquelles ont peuts’attendre de la part des élèves.


3Corrigés sujets d’examens de l’E·IN·SPE

263

264 CHAPITRE 3. CORRIGÉS SUJETS D’EXAMENS DE L’E·IN·SPE


2013-2014 — SESSION 1

Le présent corrigé est particulièrement long, ce qui pourrait don-ner l’impression que l’examen était d’une longueur excessive.C’est simplement que ce corrigé comprend de très nombreusesremarques ou notes non exigées des candidats, et qu’à de nom-breuses reprises plusieurs réponses ou méthodes possibles sontfournies.

PREMIÈRE PARTIE

L’énoncé de ce sujet setrouve page 6 Partie A : La construction du drapeau

A.1) La lecture du texte donne les informations suivantes :

B = 1, 5G R =1

3G r =

1

18G

A.2) Si r = 6 cm, alors 1/18 G = 6 cm, ce qui donne

G = 18⇥ 6 = 108 cm B = 1, 5G = 1, 5⇥ 108 = 162 cm

Les dimensions du drapeau sont donc G =108 cm sur B = 162cm.

A.3.a) Comme B est le plus long côté du drapeau, il faut B 420 mmet G 297 mm.

A.3.b) r = 118G, donc G = 18 r. Comme r est entier, G est un multiple

de 18.B = 1, 5G = 1, 5 ⇥ 18r = 27r. De même donc, B est unmultiple de 27.

A.3.c) Il faut trouver le plus grand entier r tel que à la fois on ait27r 420 et 18r 297.

• Le plus grand entier r tel que 27r 420 est le quotientdans la division euclidienne de 420 par 27, soit 15 (onpouvait aussi le trouver avec la calculatrice en prenant lapartie entière de 420 : 27, ou encore par tâtonnement).


• De même, le plus grand entier tel que 18r 297 est 16(on peut le trouver par les trois méthodes ci-dessus).

Comme les deux conditions doivent être simultanént vérifiées,il faut prendre r = 15 mm et les dimensions du drapeau sontalors G = 18r = 18 ⇥ 15 mm = 270 mm, et B = 27r =27 ⇥ 15 mm = 405 mm, ce qui donne les dimensions du plusgrand drapeau construit sur une feuille A3.

Partie B : La construction d’une étoile

À titre d’aide, nous décrivons ici pas à pas la construction avecles instruments : règle non graduée et compas. Mais seule la figureétait demandée.

• Placer le milieu O du segment [AF ].Pour cela il faut tracer la médiatrice du segment [AF ] en tra-çant deux cercles de mêmes rayons de centres respectifs A etF (en pratique on se contente de tracer des arcs « bien placéset assez grands » ; leurs intersections sont deux points de cettemédiatrice, qu’on peut tracer à la règle. Le miieu O du seg-ment est alors l’intersection de cette médiatrice et du segment.(Tracés en bleu clair)

• Tracer un cercle C de centre O et de diamètre [AF ]

En d’autres termes de centre O et passant par A, il passeraautomatiquement par F .

• Tracer le segment [GH] tel qu’il soit un diamètre de C perpen-diculaire à [AF ].En fait la droite perpendiculaire à [AF ] qui porte ce segment adéjà été tracée, c’est la médiatrice. Il suffit donc de désigner parG et H les intersections de cette droite avec le cercle cosntruità l’étape précédente, et de tracer le segment qui les relie, oude considérer que c’est déjà fait puisqu’on a tracé la droite !

• Placer le milieu M de [OH]

Même procédure que pour O. Cependant, ici on dispose déjàd’un cercle de centre O, et il passe par H. On prendra donccomme (arc de) cercle le cercle de centre H et passant par O(Tracés en vert clair)

• Tracer le cercle de centre M passant par A ; il coupe [OG] enN ,En mauve.


• Tracer le cercle de centre A passant par N ; il coupe C en deuxpoints distincts B et E

En gris.

• [AB] représente un côté du pentagone convexe et on va re-porter la longueur AB 3 fois sur le cercle C pour terminer letracé :

– Tracer le cercle de centre B, passant par A ; il coupe lecercle C en deux points distincts A et C,

En jaune.

– Tracer le cercle de centre C, passant par B ; il coupe lecercle C en deux points distincts B et D,

En orange clair.

• Pour obtenir le pentagone étoilé, tracer les segments [AC],[CE], [EB], [BD], [DA].

En rouge.

Remarque : les derniers cercles ne pouvaient pas être dessinésintégralement sur la feuille.


O

A

F

G

H

M

N

B

C

D

E


Partie C : L’étude du pentagone convexe régulier

C.1) L’angle ’AOB représente l’angle au centre du pentagone régu-lier, dont tous les angles sont identiques.

’AOB = ↵ =360°5

= 72°

L’angle ’ABC représente l’angle au sommet du pentagone ré-gulier ; il s’obtient facilement à partir de l’angle au centre car lasomme de ces deux angles vaut 180˚ :’AOC = � = 180°�72° =108°.

C.2.a) D’après le programme de construction précédent, (AF ) et (GH)sont perpendiculaires. Par suite, M étant un point du seg-ment [OH], le triangle AOM est rectangle en O. En appli-quant Pythagore au triangle AOM rectangle en O, on obtient :OA2 + OM2 = MA2. D’autre part, OA = OH = r et M estsitué au milieu de [OH] donc OM = r/2. On a alors :

MA2 = r2 +⇣r2

⌘2

= r2 +r2

4=

5r2

4.

Donc

MA =

p5

2r.

C.2.b) D’après le programme de construction précédent, le cercle decentre M passant par A coupe [OG] en N . Donc MA = MN .Donc

ON = MN �OM = MA�OM =

p5

2r � r

2=

p5� 1

2r.

C.3.a) D’après le programme de construction précédent, (AF ) et (GH)sont perpendiculaires. Par suite, N étant un point du segment[OG], le triangle AON est rectangle en O. En appliquant lethéorème de Pythagore dans le triangle AON rectangle en O :OA2 +ON2 = AN2. Donc

AN2 = r2 +

Çp5� 1

2r

å2

= r2

Ñ1 +

Äp5� 1

ä2

4

é

Donc

AN = r

s

1 +

Äp5� 1

ä2

4


C.3.b) Le côté [AB] du pentagone régulier vérifie : AB = AN . Donc

AB = r

s

1 +

Äp5� 1

ä2

4

C.3.c) Si le pentagone convexe régulier ABCDE est obtenu à partird’un cercle de rayon r = 6 cm, on obtient :

MA = 3p5 cm ; ON = 3

Äp5� 1

äcm ; AB = 6

…1 +

(p5�1)

2

4 cm.On obtient AB ⇡ 7, 0534 . . . cm. Tronqué à deux décimales,AB ⇡ 7, 05 cm.

Partie D : L’étude du pentagone étoilé régulier ACEBD

D.1) En décomposant l’angle ’BAE, on obtient : ’BAE = ’BAC +’CAD +’DAE. Par symétrie, ’BAC = ’DAE donc

’CAD = ’BAE � 2’DAE = � � 2’DAE = 108°� 2’DAE.

Dans le triangle isocèle DAE de sommet E, la somme desangles vaut 180˚et ’ADE = ’DAE :

’DEA+’ADE’DAE = 180° soit � + 2’DAE = 180°

donc

’DAE =180°� �

2=

180°� 108°2

=72°2

= 36°.

De là,

’CAD = 108°� 2’DAE = 108°� 72° = 36°.

D.2.a) AC représente la diagonale du pentagone convexe régulier etAB son côté. En interprétant l’énoncé, on obtient que :

AC

AB= ' =

p5 + 1

2

D.2.b) On a vu, dans la question C.3.c), que si r = 6 cm on a

AB = 6

s

1 +

Äp5� 1

ä2

4cm.

Donc


AC = '⇥ AB =

p5 + 1

2⇥ 6

s

1 +

Äp5� 1

ä2

4cm

ou encore (cette simplification n’est pas indispensable)

AC = 3Äp

5 + 1ä⇥

s

1 +

Äp5� 1

ä2

4cm.

On obtient que AC ⇡ 11, 4126 cm. Tronqué à une décimale,AC ⇡ 11, 4 cm.

DEUXIÈME PARTIE

Exercice 1

1a) En base deux, les seuls chiffres possibles sont les chiffres 0 et 1.La suite de chiffres « 10101100 » ne comprend que les chiffres 0et 1. Par suite elle peut être la représentation d’un nombre enbase 2. La suite de chiffres « 1010211 » comprend les chiffres0, 1 et 2. Elle ne peut donc être la représentation d’un nombreen base 2 en raison de la présence du « 2 ». De même, la suitede chiffres « 2A0GF00 » comprend les chiffres 0, 2, A, F et G.Elle ne peut donc pas être la représentation d’un nombre enbase 2 en raison de la présence du « 2 », du « A », du « F » etdu « G ».

1b) En base dix, les seuls chiffres possibles sont les chiffres 0, 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Pour les mêmes raisons, les suites de chiffres« 10101100 » et « 1010211 » peuvent être la représentation d’unnombre en base 10. Par contre, la suite de chiffres « 2A0GF00 »ne peut pas être la représentation d’un nombre en base 10 enraison de la présence du « A », du « F » et du « G ».

1c) En base seize, les seuls chiffres possibles sont les chiffres 0, 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Pour les mêmes raisons, lessuites de chiffres « 10101100 » et « 1010211 », pouvant déjà êtrela représentation d’un nombre en base 10, peuvent a fortioriêtre la représentation d’un nombre en base 16. Par contre, lasuite de chiffres « 2A0GF00 » ne peut pas être la représentationd’un nombre en base 16 en raison de la présence du « G ».


2a)

Remarque : à partir d’ici, nous regroupons par 4 les chiffresdans les développements binaires (tout comme on les re-groupe par trois dans les développements décimaux). Cen’était évidemment pas demandé, l’intérêt en apparaîtradans la dernière question.

110 10102 = 0⇥ 20 + 1⇥ 21 + 0⇥ 22 + 1⇥ 23 + 0⇥ 24 + 1⇥ 25 + 1⇥ 26

= 1⇥ 2 + 1⇥ 8 + 1⇥ 32 + 1⇥ 64

= 106

2b) Trois méthodes possibles :

• La plus classique, en divisant 255 successivement par 2 :

2 5 5 20 5 5 1 2 7 2

1 5 0 7 6 3 21 1 0 3 3 1 2

1 1 1 1 5 21 1 7 2

1 3 21 1

Avec cette méthode, les restes successifs fournissent leschiffres de droite à gauche, le dernier quotient étant en-suite le chiffre le plus à gauche. que 256 s’écrit en base 2 :1111 11112.

• En repérant deux puissances successives de 2 entre les-quelles se trouve le nombre (ici entre 128 = 27 et 256 = 28)et en divisant successivement les restes successifs par lespuissances de 2, par ordre décroissant (les quotients don-nant les chiffres de gauche à droite). Dans le cas de la base2, cette méthode est particulièrement efficace, parce queles quotients successifs ne peuvent être que 0 ou 1, de sortequ’il n’y a pas vraiment de division à faire. On obtient :


255 = 1⇥ 128 + 127

= 1⇥ 128 + 1⇥ 64 + 63

= 1⇥ 128 + 1⇥ 64 + 1⇥ 32 + 31

= 1⇥ 128 + 1⇥ 64 + 1⇥ 32 + 16 + 15

= 1⇥ 128 + 1⇥ 64 + 1⇥ 32 + 16 + 8 + 7

= 1⇥ 128 + 1⇥ 64 + 1⇥ 32 + 16 + 8 + 4 + 3

= 1⇥ 128 + 1⇥ 64 + 1⇥ 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1

et on obtient donc que 256 s’écrit en base 2 : 1111 11112.• En observant que 255 = 256� 1, or 256 est une puissance

de 2, c’est 28 = 10000 00002. Donc 255 est le nombre quiprécède le nombre qui, en base 2, s’écrit 1 0000 00002 : c’estforcément qu’en base 2 il s’écrit 1111 11112.

3a) Par définition même, on a :

10016 = 0⇥ 160 + 0⇥ 161 + 1⇥ 162

= 1⇥ 162

= 256

Donc 10016 est le nombre qui s’écrit 256 en base dix.

3b) En divisant 255 successivement par 16. Ici, il suffit de le faireune fois pour obtenir un reste inférieur à la base 16 :

2 5 5 1 69 5 1 51 5

On en conclut que 255 = 15 ⇥ 16 + 15, donc qu’il s’écrit enbase 16 : FF16.

4a) Pour remplir le tableau :

Aucune justification ni calcul n’était demandé. Nous les don-nons ici à titre d’aide, et, à plusieurs reprises, en fournissantplusieurs méthodes.

• Le nombre qui s’écrit en binaire 102 est 1⇥ 2 + 0⇥ 1 = 2Il s’écrit donc 2 en décimal et en hexadécimal.


• Le nombre (qui s’écrit en décimal) 16 vaut 24. En binaire ils’écrit donc 100002. D’autre part, c’est la base du systèmehexadécimal, en hexadécimal il s’écrit donc 1016.

• Le nombre qui s’écrit en hexadécimal 3116 vaut 3⇥16+1 =49. Pour le convertir en binaire on peut– Utiliser une des trois méthodes ci-dessus : je donne ici

la seconde .

49 = 1⇥ 32 + 17

= 1⇥ 32 + 1⇥ 16 + 1

= 1⇥ 32 + 1⇥ 16 + 0⇥ 8 + 0⇥ 4 + 0⇥ 2 + 1

– Profiter du fait que 16 = 24 et repartir du fait que lenombre 49 est 3⇥ 16 + 1 :

3⇥ 16 + 1 = (2 + 1)⇥ 24 + 1

= 2⇥ 24 + 1⇥ 24 + 1

= 25 + 24 + 1

– Profiter du fait que 16 = 24 et repartir du fait quele nombre 49 est 3 ⇥ 16 + 1, mais aussi du fait que,tout comme en décimal multiplier un nombre par unepuissance de dix revient en pratique à écrire autant dezéros à la fin du nombre, de même en binaire multi-plier un nombre par une puissance de deux revient enpratique à écrire autant de zéros à la fin du nombre.Donc :

3⇥ 16 + 1 = (2 + 1)⇥ 24 + 1

= 11 00002 ⇥+1

= 11 00012

Quelle que soit la méthode choisie, on conclut qu’en base2, il s’écrit donc 1100012.

• On a déjà traduit 11010102 en décimal, c’était 106. Pourle traduire en hexadécimal :– Le plus simple est d’utiliser la méthode classique des

divisions : en divisant 106 oar 16, on obtient

106 = 6⇥ 16 + 10

par conséquent, en base 16 il s’écrit 6A16.


– Mais on peut aussi, en anticipant sur la question sui-vante, utiliser le fait que 16 = 24 et partir directementdu développement binaire :

110 10102 = 26 + 25 + 23 + 2

= 24 ⇥ (22 + 2) + 8 + 2

= 24 ⇥ 6 + 10

= 6⇥ 16 + 10

et arriver à la même conclusion.• On a déjà traduit 255 en binaire : 111111112. Pour le tra-

duire en hexadécimal :– On peut procéder par division : 255 = 15⇥16+1 donc

il s’écrit FF16 en hexadécimal.– Constater comme pour le binaire que 255 est le nombre

qui précède 256 = 162. Or en hexadécimal 256 s’écrit10016, c’est le nombre qui précède 10016 soit RR16

• Comme on vient de le voir, 10016 = 162 = 256. Et comme16 = 24, 162 = (24)2 = 28. Donc ce nombre s’écrit 100000002

�ab

�c= ab⇥c.

en binaire.• 7B9A16 = 7⇥ 163 + 11⇥ 162 + 9⇥ 16 + 10 = 31 642.

Pour le traduire en binaire on peut soit utiliser la méthodedes divisions successives par 2, soit repérer d’abord la listedes puissances de 2 : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2 048, 4 096, 8 192, 16 384, 32 768 et développer :

31 642 = 16 384 + 15 258

= 16 384 + 8 192 + 7 066

= 16 384 + 8 192 + 4 096 + 2 970

= 16 384 + 8 192 + 4 096 + 2 048 + 922

= 16 384 + 8 192 + 4 096 + 2 048 + 512 + 410

= 16 384 + 8 192 + 4 096 + 2 048 + 512 + 256 + 154

= 16 384 + 8 192 + 4 096 + 2 048 + 512 + 256 + 128 + 26

= 16 384 + 8 192 + 4 096 + 2 048 + 512 + 256 + 128 + 16 + 10

= 16 384 + 8 192 + 4 096 + 2 048 + 512 + 256 + 128 + 16 + 8 + 2

d’où l’écriture 111 1011 1001 10102.

Finalement le tableau se complète comme suit :


Binaire 102 1 00002 11 00012 110 10102 1111 11112 1 0000 00002 111 1011 1001 10102Décimal 2 16 49 106 255 256 31642Hexadécimal 216 1016 3116 6A16 FF16 10016 7B9A16

4b) Comme 16 = 24, la méthode consiste à :

i) Pour convertir en binaire un nombre exprimé en base seize :• Prendre le premier chiffre en partant de la droite (ce

chiffre représente les unités) du nombre exprimé enbase seize et convertir ce chiffre en binaire ; recopier cerésultat qui forme le début du nombre en binaire ;

• Prendre le deuxième chiffre en partant de la droite dunombre exprimé en base seize et convertir ce chiffreen binaire ; recopier ce résultat à gauche du résultatprécédent qui aura été au préalable complété par lenombre de zéros nécessaires à gauche pour comprendre4 chiffres ;

• Poursuivre. . .Par exemple, pour convertir en binaire 3116 :

• Prendre le premier chiffre en partant de la droite 1 (cechiffre représente les unités) du nombre exprimé enbase seize et convertir ce chiffre en binaire 1 ; recopierce résultat qui forme le début du nombre en binaire...1 ;

• Prendre le deuxième chiffre en partant de la droite 3du nombre exprimé en base seize et convertir ce chiffreen binaire 11 ; recopier ce résultat à gauche du résul-tat précédent qui aura été au préalable complété par lenombre de zéros nécessaires à gauche 0001 pour com-prendre 4 chiffres et on obtient 11 0001 ;

• Poursuivre . . .ii) Pour convertir en base seize un nombre exprimé en bi-

naire :La lecture du nombre en binaire s’effectue de 4 chiffres en4 chiffres, en partant de la droite. Les séries successives de4 chiffres sont à chaque fois converties en base seize. Parexemple, pour convertir en base seize 1100012 :

• En partant de la droite, la première série de 4 chiffresest 0001 qui se traduit en base seize par 1 ;

• La série suivante est 11 qui se traduit en base seize par3 ;


• Finalement, nous obtenons 3116.

Des liens analogues entre l’écriture en base 4 et l’écriture enbase 16 sont à la base du système bibi-binaire dû au mathé-maticien autodidacte Robert Lapointe 1.

Exercice 2

1) • A = 2149 = 3

7 .Nous avons pu écrire A sous forme de fraction irréductibledont le dénominateur, 7, ne peut pas se ramener à desproduits de puissances de 2 et/ou de 5 (ou, dit autrement :est divisible par un nombre premier autre que 2 ou 5).Par suite, A est rationnel (non demandé) mais n’est pasdécimal.Un nombre qui peut

s’écrire sous forme defraction réduite dont ledénominateur est divi-sible par un nombrepremier autre que 2 ou5, est un rationnel nondécimal.

• B = 15, 28. Le nombre B est donné sous forme d’écritureillimitée et périodique (non exigé : et la période n’est pas9). Par conséquent B est rationnel (non demandé), maispas décimal.

• C = 274685 = 2⇥137

5⇥137 = 25 . C peut s’écrire sous forme de

fraction dont le dénominateur n’est pas divisible par unnombre premeir autre que 2 ou 5, c’est donc un décimal(ou encore : C = 2

10 , c’est donc un décimal par définitionmême de nombre décimal).

2a B = 15, 28 donc 100⇥B = 1528, 28 et 100⇥B�B = 1528, 28�15, 28 = 1513. Donc finalement 99⇥ B = 1513.

2b) On en conclut l’écriture fractionnaire B = 151399 . On peut ajou-

ter (non demandé) que cette fraction est réduite, car 99 =32 ⇥ 11, et 1513 n’est ni divisible par 3, ni par 11.

Exercice 3

Pour simplifier le discours, nous désignons par des lettres lessommets du carré :

1. Robert Lapointe, dit Boby Lapointe (Pézenas 1922 - Pézenas 1972), chanteur et comé-dien français, particulièrement connu pour ses chansons à jeux de mots (laids) telles Avanieet Framboise et Le tube de toilette, ou son rôle de camionneur dans le film Les choses de lavie de Claude Sautet.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Syst%C3%A8me_Bibi-binaire

https://www.youtube.com/watch?v=hVEk1wiUxa0

https://www.youtube.com/watch?v=hVEk1wiUxa0

https://www.youtube.com/watch?v=Ke8gYyjyduw


A

D

B

C

C étant le sommet à déterminer par les élèves.

1. L’amorce est disposée de manière inclinée pour éviter que lecarré ne soit présenté dans une position prototypique. En effet,il faut éviter que les côtés du carré soient en relation de per-pendicularité ou de parallélisme avec les bords de la feuille carles relations pertinentes à prendre en compte ne sont pas lesrelations entre les côtés du carré et les bords de la feuille maisles relations entre les côtés du carré entre eux (parallélisme,orthogonalité, égalité de longueur).

2. • Première procédureProcédure : Tracer les deux droites perpendiculaires auxcôtés de l’amorce et passant par leur extrémité « libre »avec une équerre ou un gabarit d’angle droit. Placer lequatrième sommet du carré à l’intersection de ces deuxdroites.Justification : Le quadrilatère construit a 3 angles droits :c’est un rectangle. Il a deux côtés consécutifs de mêmelongueur : c’est un carré

• Deuxième procédureProcédure : Tracer à l’équerre, ou avec un gabarit d’angledroit, une droite perpendiculaire à l’un des côtés de l’amorceet passant par l’extrémité « libre ». Reporter ensuite lalongueur des côtés de l’amorce sur la droite qui vient d’êtretracée à partir « du » sommet. Ce report de longueur (règlegraduée, gabarit de longueur, compas) donne le quatrièmesommet. Tracer le dernier côté.


Justification : Le quadrilatère construit est un parallélo-gramme (utiliser la caractérisation portant sur les côtésopposés de mêmes longueurs et parallèles : la premièredroite tracée est parallèle au côté opposé car perpendicu-laire à une même droite et le report de longueur assurel’égalité des longueurs). Ce parallélogramme a un angledroit : c’est un rectangle. Il a deux côtés consécutifs demême longueur : c’est un carré.

• Troisième procédureProcédure : Tracer une droite perpendiculaire à l’un descôtés de l’amorce et passant par l’extrémité « libre » commedans la procédure précédente puis tracer la perpendicu-laire à cette droite passant par l’extrémité « libre » dudeuxième côté de l’amorce.Justification : Le quadrilatère construit a 3 angles droits :c’est un rectangle. Il a deux côtés consécutifs de mêmelongueur : c’est un carré

• Quatrième procédure :Procédure : Utiliser le compas pour tracer des cercles (oudes arcs de cercle) de centres les extrémités « libres » descôtés de l’amorce et passant par le sommet du carré déjàprésent sur l’amorce. Placer le quatrième sommet à l’in-tersection de ces (arcs de) cercle.Justification : Le quadrilatère construit est un losange. Celosange a un angle droit : c’est un carré.

3. • Procédure de l’élève 1 :Deux aspects sont à repérer dans l’analyse : le quadrilatèrea deux angles droits (en A et en C), le côté [BC] est troplong (5,2cm environ) et le côté [CD] est trop court (4,8cm environ).L’élève a positionné son équerre dans le « coin manquant ».On obtient un quadrilatère avec deux angles droits et deuxcôtés consécutifs de même longueur mais qui n’est pas uncarré.

• Procédure de l’élève 2 :Les aspects à repérer dans l’analyse : le quadrilatère a 3côtés de même longueur (AB = AD = BC = 5 cm) etdeux angles droits (en A et en D) et le côté DC est tropcourt (4,7 cm environ).Deux procédures possibles :– L’élève a tracé un premier segment BC de même lon-

gueur que les côtés de l’amorce, mais sans utiliser une


équerre (ou en l’utilisant mal) pour garantir que (BC) ?(AB). Il a ensuite rejoint les deux sommets « non re-liés » (C et D) pour former le quatrième côté.

– L’élève a tracé une segment [DC] perpendiculaire à[AD] (en utilisant une équerre ou un gabarit d’angle),mais ne mesurant que 4,7 cm. Il a ensuite complété lecarré en traçant le segment [BC].

• Procédure de l’élève 3 :Les aspects à repérer dans l’analyse : la production estcorrecte. La seule trace de construction visible est sur lecôté [BC], qui est « prolongé » Il semble difficile dans cesconditions de déterminer avec certitude la procédure del’élève, mais il semble certain qu’il a commencé par tracerun segment perpendiculaire à (AB) en B « suffisammentlong ». Ensuite, plusieurs hypothèses sont possibles :

– Sur ce segment, il a reporté la longueur des côtés pré-sents sur l’amorce (les traces laissent penser à un re-port à la règle graduée ou au gabarit de longueur plu-tôt qu’au compas). Puis il a tracé le dernier côté, enreliant le point C ainsi construit au point D.

– À l’équerre, il a construit le segment perpendiculaireà ce nouveau segment, passant par D (en plaçant uncôté de l’angle droit de l’équerre sur le segment qu’il atracé, et en ajustant l’autre pour qu’il passe par D)

– À l’équerre, il a tracé le segment perpendiculaire à[AD], passant par D.


Une étude plus approfondie, de toute évidence non exigée, de ladeuxième production pourrait mener à se poser plusieurs ques-tions. Si c’est la premère méthode que l’élève a utilisée, commentse fait-il que son côté [CD] est précisément perpendiculaire à[AD] (puisqu’il n’a pas été tracé comme tel) ? Si c’est la secondeméthode, comment se fait-il que le côté [BC] mesure exactement5 cm? Sont-ce des hasards ?Pire, une étude plus approfondie encore devrait mener à la conclu-sion paradoxale que la figure de l’élève est impossible ! En effet,on peut prouver que si un quadrilatère ABCD a trois côtés [AB],[AD] et [BC] de même longueur, et des angles droits en A et en D(ce que nous avons observé sur la figure de l’élève), alors c’est uncarré. (Démonstration : (AD) est une perpendiculaire commune à (AB) et à (CD). Il

en résulte que (AB) et (CD) sont parallèles, et que AD est la distance qui les sépare. Mais

BC = AD. Donc C est le point de (CD) le plus proche de B, c’est donc la perpendiculaire

commune à (AB) et à (CD) passant par B. Finalement ABCD a quatre angles droits :

c’est un rectangle ; et deux côtés consécutifs de même longueur : c’est un carré.)L’explication de tout cela est la suivante (voir figure plus loin) :c’est que les mesures que l’on peut prendre sur une figure, si pré-cises puissent-elles être, sont toujours approximatives. AppelonsC le « vrai » quatrième sommet du carré, et C 0 celui construit parl’élève. Supposons par exemple que l’on construise la figure selonla deuxième procédure envisagée plus haut : le segment [DC 0] est(parfaitement) perpendiculaire à (AD), mais ne mesure que 4,7cm.Comme ABCD est un carré, l’angle ’BCD =÷BCC 0 est droit, etCD = 5 cm donc CC 0 = 5 cm�4, 7 cm = 0, 3 cm. BCC 0 est doncun triangle rectangle en C avec BC = 5 cm et CC 0 = 0, 3 cm.Mais alors, par le théorème de Pythagore

BC 0 =pBC2 + CC 02 =

p25 + 0, 09 =

p25, 09 ⇡ 5, 009 cm.

Mais il est évident que cette différence de moins d’un dixième demillimètre ne peut être mesurée.


A

D

B

C

C0

L’intérêt de la présente remarque est de mettre en évidence ladifférence entre les objets idéaux de la géométrie et les représen-tations dessinées forcément approximatives que sont les dessinsgéométriques.

TROISIÈME PARTIE : Analyse d’exercices proposés à des

élèves sur l’apprentissage des nombres.

Situation A :

A.1) Compétences à mobiliser pour les quatre étiquettes : La numé-ration décimale de position.Étiquette 1 :

• Connaître les termes : unité, dizaine, centaine.• Connaître la position/la signification des chiffres d’un nombre.• Utiliser des informations pour donner l’écriture décimale

d’un nombre.

Étiquette 2 :

• Distinguer nombre et chiffre des dizaines.• Savoir effectuer les échanges entre centaines et dizaines.

Étiquette 3 :

• Effectuer une multiplication par un nombre à un chiffre.• Effectuer une multiplication par un multiple de 10.

Étiquette 4 :

• Trouver le prédécesseur d’un nombre à 3 chiffres.


A.2) Ces cartes peuvent être utilisées en fin de cycle 2 : elles traitentdes nombres inférieurs à 1000 et de la connaissance du systèmede numération (différentes compétences vues à la question 1et relevant du cycle 2).Cependant, on pouvait également proposer le début du cycle3, en argumentant sur la difficulté des étiquettes 2 et 4.

A.3) (En cohérence avec la réponse « Fin de cycle 2 » fournie à laquestion précédente), voici quelques cartes possibles :

• « C’est le nombre six cent quatre-vingt-trois. » (Compé-tence : Associer écriture littérale et écriture chiffrée)

• « C’est le nombre qui suit 369 » (Compétence : Trouver lesuccesseur)

• « C’est le plus grand des trois nombres suivants : 215 ; 251 ;125 » (Compétence : Comparer des nombres)Le terme « numéra-

tion » désigne trèsspécifiquement lesmanières de désignerles nombres ; à nepas confondre avecl’expression « domainenumérique » qui,elle, couvre pluslargement tout ce quiconcerne le nombre : lanumération, mais aussile calcul, les problèmesnumériques,. . .

• « C’est 2⇥ 100 + 3⇥ 10 + 7 » (Compétence : Travailler ladécomposition canonique d’un nombre)L’énoncé de la question précisait bien qu’on demandaitdes « cartes permettant de travailler deux nouvelles com-pétences en numération ». Il n’était donc pas pertinentde proposer, par exemple, des cartes relevant du calculposé.

A.4) • Etiquette 1 :Utiliser la position des chiffres : 5d + 8u + 2c = 2c5d8u= 258Effectuer le calcul après transcription des données : 50 +8 + 200=258

• Etiquette 3 :Addition réitérée : 30 + 30 + 30 + 30 = 120 (toute pro-cédure additive possible)Multiplication réfléchie : 4⇥30 = 4⇥3⇥10 = 12⇥10 = 120Utiliser la numération décimale : 4 ⇥ 3 dizaines = 12 di-zaines = 120

A.5) Cette indication permet d’éliminer directement des résultatserronés : carte 1 : 200508 carte 2 : 73 carte 3 : 34 Elle permetaussi à l’élève de visualiser le nombre (3 cases à remplir) ; ellepeut aussi dans ce sens le sécuriser.

Situation B :

B.1) Cet exercice fait appel à la propriété d’intercalation des dé-cimaux : il existe toujours un nombre décimal compris entre


deux autres nombres décimaux. Par conséquent, on peut trou-ver un nombre compris entre 7,6 et 7,9 ; 20,3 et 20,4 ; 47 et47,1 ; 9 et 9,01.Formulation pour des élèves de fin de cycle 3 : « On peut tou-jours trouver un nombre décimal compris entre deux nombresdécimaux ».Cap Math CM2 propose : « Pour écrire un nombre décimalentre deux autres, il existe une infinité de possibilités ».

B.2) Le choix des valeurs numériques peut éventuellement permettreà l’élève de répondre en utilisant le modèle des entiers, doncsans prendre conscience des phénomènes de densité.Par exemple, 8 est compris entre 6 et 9 donc 7,8 est comprisentre 7,6 et 7,9.Ce modèle est mis en défaut pour les nombres 20,3 et 20,4 : iln’y a pas d’entier entre 3 et 4 et pourtant, il y a des décimauxentre 20,3 et 20,4.Des exemples numériques comme 47 et 47,1 obligent à trans-former l’écriture de 47 en 47,0 puis à passer aux dixièmes.C’est la même chose pour 9 et 9,01 qu’il faut d’abord trans-former en 9,00 et 9,01 avant de comparer les centièmes.On peut remarquer que la difficulté est graduée au cours del’exercice.

B.3) Toutes les règles de comparaison des nombres entiers ne s’ap-pliquent pas aux nombres décimaux.Il s’agit d’un obstacle épistémologique : une connaissance quipermet de résoudre assez bien une classe de problèmes et quiéchoue sur d’autres pour lesquels elle se révèle fausse ou inap-propriée.Les erreurs sont fréquentes car elles peuvent être la consé-quence de plusieurs théorèmes en acte 2 3 :

• Les parties décimales sont comparées comme s’il s’agissaitd’entiers : Un nombre décimal est considéré comme étant2 entiers juxtaposés et l’élève pense que 1, 6 < 1, 07 parceque 6 < 7.

• La longueur de la partie décimale est le critère retenupour le rangement des nombres décimaux : 2 décimaux

2. D’après G. Vergnaud, un théorème en acte est une forme de connaissance (théorème,règle d’action...) erronée du point de vue de l’enseignant, et que l’élève fait fonctionnerimplicitement. Celle-ci a, en général, un domaine d’efficacité, ce qui tend à la conforter chezl’élève.

3. L’utilisation (à bon escient !) de l’expression « théorème en acte » et/ou la référence àVergnaud étaient appréciées, mais pas exigées.


de même partie entière sont rangés dans le même ordreque le nombre de chiffres de la partie décimale, et l’élèvepense que 2, 5 < 2, 13 parce que 5 comprend 1 chiffre tan-dis que 13 en comprend 2.

• Les nombres décimaux sont réduits aux nombres avec unchiffre après la virgule et l’élève pense que 3,1 suit immé-diatement 3 parce que la graduation 3,1 suit la graduation3 sur le double décimètre,

• Les virgules ne sont pas prises en compte : l’élève penseque 3 < 2, 7 < 3, 9 < 4, 2 < 2, 12 < 3, 09 < 4, 25 parce que3 < 27 < 39 < 42 < 212 < 309 < 425.

Situation C :

C.1) Les documents proposent deux méthodes :

• La méthode par recours à la mise au format :Elle est proposée par la deuxième méthode du document1. Il ne s’agit pas d’une procédure experte, mais d’uneprocédure qui permet de faire des liens entre la compa-raison sur les décimaux et celle sur les entiers. Pour com-parer deux décimaux donnés par leurs écritures à virgule,il s’agit de les mettre tous deux au même format (avec lemême nombre de chiffres après la virgule en complétant aubesoin les écritures à virgule par des 0 à droite) puis de lescomparer en omettant la virgule et en les considérant donccomme des entiers. Dans la présentation faite par Diago-nale, cette dernière comparaison se fait en regardant leschiffres un à un à partir de la gauche, ce qui n’est valableque si les deux nombres ont autant de chiffres l’un quel’autre. Mathématiquement, cela se justifie comme suit :– « Ajouter des zéros à la fin d’une partie décimale » re-

vient à effectuer une conversion. Par exemple, dans ladeuxième partie du document l, la transformation de7,3 en 7,30 revient à dire que 7,3 c’est 7 et 3 dixièmes,et comme 3 dixièmes c’est la même chose que 30 cen-tièmes, on a : 7,3 = 7,30.

– « Négliger la virgule » revient également à faire uneconversion : 7,30 = 730 centièmes, de même 7,25 =725 centièmes, le second est donc plus petit que lepremier.

– La comparaison entre 7,25 et 7,30 en regardant chiffrepar chiffre ne se justifie à ce stade que par le fait qu’on


compare bien 725 et 730, et que des nombres entiersayant le même nombre de chiffres peuvent en effet êtrecomparés en utilisant l’ordre lexicographique.

Remarque : l’élève a vu la définition d’un nombre dé-cimal à partir des fractions décimales, doit savoir pas-ser d’une écriture décimale à une écriture fractionnaire,mais nulle part dans les programmes il ne voit la compa-raison de fractions de même dénominateur. L’utilisationdu vocabulaire « dixième, centième » permet de le faireimplicitement pour les fractions décimales sous-jacentesaux décimaux.

• La méthode utilisant l’ordre lexicographique :Elle est mise en lumière dans la première méthode du do-cument 1 et dans le document 2. Il s’agit d’une procédureexperte. Pour comparer deux décimaux donnés par leursécritures à virgule, il s’agit tout d’abord de comparer lesparties entières puis :– si elles sont différentes, de conclure que le nombre le

plus grand est celui qui possède la plus grande partieentière, comme indiqué plus haut ;

– si elles sont égales, de classer les parties décimales sui-vant l’ordre lexicographique (comme dans un diction-naire) et de conclure que le nombre le plus petit est lepremier dans l’ordre lexicographique (le premier dansle dictionnaire).

La justification de cette procédure :– Premier pas : un nombre décimal est un nombre qui

peut s’écrire sous la forme de fraction décimale, ouencore d’un entier auquel on ajoute une fraction dé-cimale inférieure à l’unité, et l’écriture n,m, où n estun nombre entier et m un nombre à k chiffres (pou-vant commencer par des zéros), est un codage pour lenombre n + m

10k , et m10k < 1. Dès lors, si n < n0 et si

m0 est un nombre à k0 chiffres (commençant éventuel-lement par des zéros) alors n,m < n0,m0 car

n,m = n+m

10k< n+ 1 n0 n0 +

m0

10k0

On peut dire les choses plus informellement : une écri-ture décimale n,m doit se lire, à proprement parler :« n et m dixièmes » (ou centièmes, ou millièmes. . ., et


la partie décimale, « m dixièmes » (ou centièmes, etc.)est strictement inférieure à l’unité. Donc n,m < n+ 1et il s’ensuit que si n < n0 alors n,m < n0,m0. Pour desélèves, on le montrera sur des exemples (7, 26 < 10, 25car 7,26, c’est 7 et 26 centièmes, c’est donc moins que8, c’est donc moins que 10, donc moins que 10,25)

– Deuxième pas : on peut suivre la même idée, mais c’estplus complexe à exprimer, nous nous contenterons dele faire sur un exemple. Lorsqu’on tronque un nombredécimal aux dixièmes, par exemple, la partie ainsi né-gligée est toujours strictement inférieure à un dixième :par exemple, pour 7, 275 tronqué à 7, 2, on a négligé 75millièmes, ce qui est strictement inférieur à 1 dixième.Donc, 7, 275 = 7, 2 + 0, 075 < 7, 2 + 0, 1 = 7, 3, et parconséquent 7,275 et plus généralement tout décimaldont l’écriture commence par 7,2 est strictement pluspetit que tout décimal dont la partie entière est 7 et lapartie décimale commence par un chiffre strictementsupérieur à 2.Ceci dit, je ne vois pas comment justifier que 75 mil-lièmes est inférieur à 1 dixième... qu’en convertissant1 dixième en 100 millièmes.Cependant, cette méthode est beaucoup plus facile àjustifier mathématiquement si l’on dispose déjà de laméthode par recours à la mise au format, à appliqueruniquement quand les parties entières sont égales. Onsait par exemple comparer 7, 253 et 7, 45 : en les met-tant au même format, on obtiendra 7,253 et 7,450, et ils’agit de comparer 7253 millièmes avec 7450 millièmes.Le second est clairement plus grand que le premier, eton peut ensuite constater que, parce que 7253 et 7450ont le même nombre de chiffres, la comparaison peutse faire en comparant les chiffres un à un à partir dela gauche.Cette procédure experte ne peut devenir acceptablepour l’élève qu’en donnant du sens à chacun des chiffresdu développement décimal et en faisant le lien avec laméthode par recours à la mise au format (par exemple,si les élèves connaissent et comprennent la méthode dela mise au format, on peut arriver à la conclusion qu’onpeut regarder chiffre par chiffre par constat, sans avoirbesoin de le justifier mathématiquement).


C.2) • Méthode de « Diagonale » :Ce manuel ne présente que des cas où les parties entièressont égales. Dans la première il propose de comparer d’abordles parties entières, mais ne dit pas ce qu’il faut faire quandelles sont différentes. Sans doute est-il sous-entendu que lerésultat de la comparaison est alors celui de la comparai-son des nombres entiers : mais un exemple aurait été né-cessaire. Quant à la deuxième méthode, elle n’est valable,telle qu’elle est présentée, que dans le cas où les partiesentières sont égales, mais le manuel ne le dit pas.La première méthode est sans doute la méthode « ex-perte ». Mais elle n’est présentée que sur un exemple danslequel les deux parties décimales ont autant de chiffres. Ily a une ambiguïté lorsque ce n’est pas le cas : que doit-onfaire pour comparer les nombres 7,25 et 7,2 ? Faut-il direque 5 est plus grand que rien ou bien que, s’il n’y a rien,c’est comme s’il y avait 0 ?Remarque : C’est probablement parce qu’il a consciencede cette ambiguïté que l’auteur propose une deuxièmeméthode avec « mise au format ». L’ambiguïté est cettefois levée mais la méthode, telle qu’elle est présentée,ne vaut que si les parties entières sont égales (puisqu’oncompare chiffre à chiffre les deux nombres). De plus, ellepeut, si elle est utilisée seule ou de manière privilégiée,conforter certaines conceptions erronées (décimal perçucomme un couple d’entier) car elle ramène la comparai-son des parties décimales à la comparaison d’entiers.

• Méthode de « Apprentissages mathématiques » :La méthode proposée présente le même inconvénient quela première méthode proposée par « Diagonale » : il fautcomparer les chiffres des dixièmes, puis des centièmes...Mais que fait-on si l’un d’eux manque à l’appel ?Tous les nombres que le manuel prend pour exemple ontdes parties décimales au même format . En revanche, lemanuel traite trois cas : l’un avec des parties entières dif-férentes, lun où la comparaison peut s’arrêter au dixièmeet l’un où il peut s’arrêter au centième. Ces exemples sontsuffisants pour comprendre ce qu’il faut faire pour les mil-lièmes.


Remarque : Notons toutefois que l’algorithme de compa-raison est présenté entièrement. La formulation du « jeretiens bien » est assez claire et rigoureuse pour que l’al-gorithme ne soit pas prolongé aux millièmes.

C.3) Deux types de réponses étaient possibles, basées sur la mé-thode de l’ordre lexicographique ou la méthode de mise auformat, en tenant compte des éléments de critique des pré-sentations des deux manuels mises en évidence ci-dessus. Re-marquons que l’énoncé de la question demandait seulementde donner la règle, il ne demandait pas de préciser par quelsexemples elle devait être accompagnée.

• Méthode de l’ordre lexicographique :Pour comparer des nombres décimaux :– On compare les parties entières. Le plus grand est celui

qui a la plus grande partie entière.– Si les parties entières sont égales, on compare les chiffres

de la partie décimale, rang par rang, à partir des dixièmes,jusqu’à ce que deux d’entre eux soient différents. Leplus grand nombre est celui dont le chiffre de ce rangest le plus "grand". L’absence de chiffre d’un rangdonné correspond à la présence d’un 0.

Justification de ce choix : il s’agit d’une méthode experte.Elle fait explicitement référence à la notion de dixième,de centième, etc. On a bien suppléé au défaut de la pré-sentation du document 2. La présentation assez formellede cette méthode se justifie par le fait qu’elle arrive enfin d’apprentissage, le sens ayant pu en être construit pro-gressivement.

• Méthode de la mise au format :Pour comparer des nombres décimaux :– On regarde si les parties décimales ont le même nombre

de chiffres. Si ce n’est pas le cas, on convertit celle quien a le moins (exemple : si on compare 7,25 et 7,3, onfait 7,3=7,30 car 7,3 c’est 7 et 3 dixièmes, or 3 dixièmesc’est 30 centièmes

– On convertit les deux nombres en dixièmes, ou en cen-tièmes, ou en millièmes selon les cas : 7,25 = 725 cen-tièmes et 7,30 = 730 centièmes

– On compare les nombres de dixièmes ou de centièmesou de millièmes : le plus grand correspond au plusgrand nombre.


Justification de ce choix : on donne une méthode intermé-diaire qui n’est pas encore la méthode experte, en insistantsur le sens pour éviter les difficultés didactiques évoquéesplus haut par cette méthode lorsqu’elle est présentée tropformellement. Elle nécessite la transformation d’une écri-ture à virgule en une écriture fractionnaire (ici écrite in-formellement : 725 centièmes), qui est au programme duCM1.

• Variante de la méthode par mise au format :Pour comparer des nombres décimaux :– On compare les parties entières. Le plus grand est ce-

lui qui a la plus grande partie entière. Par exemple :2, 35 < 3, 7 parce que 2,35 c’est 2 et 35 centièmes etque c’est donc déjà plus petit que 3.

– Si les parties entières sont égales, on regarde les partiesdécimales et on les compare.∗ Si elles ont le même nombre de chiffres, on peut les

comparer directement : 3, 7 < 3, 9 car 3,7 c’est 3 et7 dixièmes et 3,9 c’est 3 et 9 dixièmes, et 9 dixièmesc’est plus que 7 dixièmes. De même 4, 65 < 4, 78 car4,65 c’est 4 et 65 centièmes et 4,78 c’est 4 et 78 cen-tièmes, et 78 centièmes c’est plus que 65 centièmes.

∗ Si elles n’ont pas le même nombre de chiffres, onconvertit celle qui a le moins de chiffres : pourcomparer 4,6 et 4,24, on transforme 4,6 = 4 et 6dixièmes en 4,60 = 4 et 60 centièmes, puis on com-pare : 4, 24 < 4, 60 car 60 centièmes c’est plus que24 centièmes.

Justification de ce choix : Essentiellement la même quela précédente. Mais elle présente l’avantage d’introduirela séparation en deux cas de la méthode de l’orde lexico-graphique, et de ne travailler que sur des nombres de laforme « un entier plus une fraction décimale inférieure àl’unité ».



2013-2014 — SESSION 2

PREMIÈRE PARTIE

L’énoncé de ce sujet setrouve page 19 I. Cas général.

1. Puisque ABCD est un parallélogramme, (BA)//(CD), donc(BE)//(DG). D’autre part, AB = CD. Mais puisque E estUn quadrilatère (non

croisé) qui a deux côtésopposés parallèles et demême longueur est unparallélogramme.

le milieu de [AB] et G celui de [CD], on a donc EB = AB2 =

CD2 = GD. Donc le quadrilatère BGDE a ses côtés [BE] et[GD] parallèles et de même longueur. En admettant qu’il n’estpas croisé (détail non exigé), c’est donc un parallélogramme.

2. Il résulte du point précédent que (BG)//(DE), donc que (JK)//(IL).Un quadrilatère qui ases côtés opposés paral-lèles deux à deux est unparallélogramme.

Mais puisqu’on admet que AFCH est lui aussi un parallélo-gramme, on a de même (AF )//(CH), donc (IJ)//(LK). Lequadrilatère IJKL a donc ses côtés opposés parallèles deux àdeux, c’est un parallélogramme.

3. Etant donné qu’on sait également maintenant que (BJ)//(EI),on peut appliquer le théorème de Thalès dans les trianglesAEI et ABJ (ou la réciproque du théorème de la droite desmilieux dans le triangle ABJ). Il vient que I est le milieude [AJ ], donc que AI = IJ . De même, LK = KC. Maiscomme IJ = LK puisque IJKL est un parallélogramme, ilvient AI = IJ = LK = KC.

4. Dans le triangle KBC, on sait que F est le milieu de [BC],et nous venons d’admettre que BJ = JK, donc que J est lemilieu de [BK]. Par le théorème de la droite des milieux, KC =2JF . Mais comme KC = IJ , on a IJ = 2JF . Remarque : onaurait également pu appliquer Thalès aux triangles BKC etBJF , car on sait que (JF )//(KC).

5. Soient M et N les pieds des hauteurs issues de A respective-ment dans les triangles ABJ et AEI. Parce que (BJ)//(EI),ces deux hauteurs sont confondues, donc A, M et N sont ali-gnés. Par le théorème de Thalès ou la réciproque du théorème


de la droite des milieux, N est le milieu de [AM ], ou encore,AM = 2NM . L’aire du triangle vaut donc 1

2AM ⇥ BJ , soit122NM ⇥BJ ou NM ⇥BJ . Mais NM est aussi la hauteur duparallélogramme IJKL, et BJ = JK, d’où le résultat.

A

B

C

D

E F

G

H

I

J

K

L

N

M

6. Le parallélogramme ABCD se décompose en quatre trianglesABJ , CKB, CLD et AID, et en le parallélogramme IJKL.Mais par la question précédente, ces quatres triangles ont lamême aire que IJKL. Donc au total l’aire du parallélogrammeABCD vaut cinq fois l’aire du parallélogramme IJKL.

II. Cas particulier.

1. Voici la figure :

A

B C

D

E

F

G

H

I

J

K

L


2. AB = BC (c’est le côté du carré) et BF = CG (c’est le demi-côté du carré). Donc, par le Théorème de Pythagore (ABF etBCG étant rectangles en B et C respectivement),

AF =pAB2 +BF 2 =

pBC2 + CG2 = BG.

Pour cette question comme pour les suivantes, beaucoupd’étudiants s’étaient simplifié la vie en considérant que lecarré avait pour côté 6 cm. Or il n’en était pas question dansl’énoncé : les 6 centimètres étaient uniquement valables pourla première question. Attention à bien lire les énoncés !

3. Il résulte des questions de la première partie, que IJ = 25AF

et JK = 25BG. Comme AF = BG, on a donc IJ = JK.

4. Il résulte des considérations précédentes que les triangles ABF

et BCG sont isométriques. Donc ’GBC =’FAB. Mais ’FAB et’BFA sont complémentaires. Donc ’GBC et ’BFA sont complé-mentaires. Mais ces deux angles sont aussi les angles en B eten F respectivement du triangle JBF . Ce triangle a donc sesangles en B et F complémentaires, il est rectangle en J . L’angle’FJB est donc droit, il en va de même de ‘IJK.

5. IJKL est un carré. En effet, on sait déjà que c’est un parallé-logramme. Il a deux côtés consécutifs isométriques, c’est doncun losange. Et il a un angle droit, c’est donc un carré.

DEUXIÈME PARTIE

Exercice 1

Le premier résultat peut se réécrire

232 = 4294900000 + 67296 = 42949⇥ 100000 + 67296.

Or,am⇥n = (am)n

264 = (232)2 .

Donc(a⇥ b)2 = a2 ⇥ b2 et(a+b)2 = a2+2ab+b2

264 =�232

�2

= (42949⇥ 100000 + 67296)2

= (42949⇥ 100000)2 + 672962 + 2⇥ 42949⇥ 100000⇥ 67296

= 429492 ⇥ 1000002 + 672962 + 2⇥ 42949⇥ 67296⇥ 100000

= 1844616601⇥ 10000000000 + 4528751616 + 2⇥ 2890295904⇥ 100000

= 18446166010000000000 + 4528751616 + 578059180800000


L’addition est facile à effectuer :

1 8 4 4 6 1 6 6 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0+ 4 5 2 8 7 5 1 6 1 6+ 5 7 8 0 5 9 1 8 0 8 0 0 0 0 0

1 8 4 4 6 7 4 4 0 7 3 7 0 9 5 5 1 6 1 6

Ce type d’exercice est très classique. Il traduit, pour un problèmeposé à l’adulte, des méthodes utilisées par les élèves pour calculerdes multiplications alors qu’ils ne disposent pas encore de la tech-nique habituelle. Ce qu’il fallait faire ici n’est pas très différent (àun niveau de connaissances plus élevé bien sûr) du calcul suivant :Pour calculer 24⇥ 36 je fais (20+ 4)⇥ (30+ 6). Je décompose en20⇥ 30 + 20⇥ 6 + 4⇥ 30 + 4⇥ 6. Comme je connais mes tables,je connais 2⇥ 3, 2⇥ 6, 4⇥ 3 et 4⇥ 6. J’en déduis 20⇥ 30, 20⇥ 6,4⇥ 30 et 4⇥ 6, puis je les additionne.

Exercice 2

La réponse correcte est : 123 567. Plusieurs justifications pos-sibles :

• En posant effectivement la division, ou en calculant 12 344 ⇥123 567 = 1 525 311 048.Cette manière de faire est peu dans l’esprit de la question : sil’on dit « sachant que. . . », il est attendu qu’on utilise l’infor-mation donnée, en l’occurrence en procédant par éliminationpar exemple. Cependant, dans la mesure où ce n’était pas ex-plicitement dit, le jury a accepté ce type de réponses. Il està noter toutefois que si dans un énoncé on donne une infor-mation et qu’il est ensuite demandé « En déduire que. . . », ily a très clairement la demande que la réponse de l’étudiantutilise l’information donnée.

• Par élimination : il s’agit de savoir lequel des 5 nombres, mul-tiplié par 12 344, donne 1 525 311 048.12 562 est à éliminer, car 12 562⇥12 344 < 100 000⇥12 344 =1 234 400 000 < 1 525 311 048. Le nombre 12 567 est à éliminerpour la même raison. Le nombre 1 203562 est à éliminer pourune raison analogue : 1 203 562 ⇥ 12 344 > 1 000 000 ⇥ 12 344= 12 344 000 000 > 1 525 311048. Enfin, le nombre 123 568est à éliminer, car 123 568 ⇥ 12 344 ne peut pas être égal à 1525 311 048 : en effet, son chiffre des unités est celui de 4 ⇥ 8,soit 2. Il ne reste donc que 123 567.


• En utilisant la preuve par neuf (pour les éventuels candidatsqui sauraient ce que c’est), pour autant qu’on donne un argu-ment correct, puisque la preuve par neuf n’est qu’une conditionnécessaire pour qu’un calcul multiplicatif soit correct. On « vé-rifie » donc par la preuve par neuf le calcul 12 344 ⇥ x = 1 525311 048 sur les cinq propositions a) à e). Le calcul montre queseule la réponse c) satisfait la condition nécessaire donnée parla preuve par neuf. Puisqu’on sait qu’il y a une réponse

correcte ce ne peut être que la c).

Exercice 3

1. Réponse attendue : Tous les renseignements que Sophie a notésont été respectés, si ce n’est une légère imprécision d’un oudeux millimètres sur la longueur de certains segments.

Réponse plus circonstanciée : et une erreur plus significative(environ 5 mm) sur le segment [JK] ; on verra plus loin qu’alorsque les autres erreurs de mesures de segments peuvent êtresimplement dues à une maladresse dans la construction dessegments, l’erreur sur [JK] pourrait avoir une autre origine.

2. Sophie a utilisé implicitement :

• Le fait que BCED et FGHI sont des rectangles.

• Le fait que le centre du cercle se trouve sur la médiatricede [BC].

• La position relative du rectangle FGHI par rapport àBCED.

• Le fait que (EL), (CK) et (AJ) sont parallèles (et que(CE) et (KL) sont parallèles).


De manière plus précise, pour ce dernier point (et enanticipant sur la dernière question), voici quelques élé-ments de réflexion dépassant ce qui était exigé des can-didats. Bien sûr, il découle mathématiquement des don-nées qu’elle a notées que les figures AJKC et CKLEsont des parallélogrammes, mais il est douteux que So-phie le sache. Or, étant donné qu’on ne voit aucun traitde compas permettant de déterminer K et J , il estvraisemblable qu’elle a utilisé le parallélisme en traçantd’abord [EL] avec un angle arbitraire avec l’horizontale,puis :– soit un segment [LK] de 7 cm, parallèle avec [EC],

aidée en cela par le fait qu’il s’agit de segments « ver-ticaux ». Ainsi, elle a pu obtenir un segment [CK]parallèle à [EL], et le parallélisme de [AJ ] avec cessegments est plus difficile à obtenir, d’où les impré-cisions.

– soit des segments parallèles de 12 cm [CK] et [AJ ].D’ailleurs, le défaut de parallélisme du segment [AJ ]avec les autres est assez net, ce qui pourrait expliquerpourquoi le segment [JK] est trop court (ayant tracéun segment de 12 cm « pas assez » parallèle aux deuxautres, elle a placé implicitement le point J , et il setrouve trop près du point K).

Toutefois, cette réponse ne saurait être exigible, parcequ’on ne peut pas affirmer avec certitude que Sophie autilisé le parallélisme (et parce qu’on pourrait considérerque puisque ce parallélisme découle mathématiquementdes mesures prises par Sophie, il ne s’agit pas d’un im-plicite).

3. Outre les erreurs de précision évoquées plus haut (on n’exigerapas que le candidat les énonce à nouveau), on notera les erreurssuivantes

• Le centre du cercle n’est pas situé à la bonne hauteur : ilest à 1,5 cm de (BC) au lieu d’être à 2 cm.

• L’orientation des segments [EL], [CK] et [AJ ] (par rap-port au segment [DE]) est incorrecte ; autre réponse pos-sible : Sophie n’a pas respecté le fait que AJKC est unrectangle.

4. Remarque préalable : la qualité générale de la production de


Sophie fait que des réponses du type « Elle n’a pas bien com-pris. » ou « Il faudrait lui réexpliquer. », outre qu’elles sontcreuses, seraient ici particulièrement peu pertinentes. Toutefoisla précision faite dans la question sur le type d’hypothèses àformuler rend en soi illégitime ce type de réponse. Voici quatrehypothèses possibles :

(a) Le fait que la figure représente une maison en perspectivecavalière a permis à Sophie de retenir implicitement cer-tains éléments inhérents au fait qu’il s’agit d’une maison(les rectangles, la position du centre du cercle sur la média-trice), mais en revanche l’a empêchée de voir un élémentpas naturel du tout : le fait que « le toit », c’est-à-direle parallélogramme AJKC, est en réalité un rectangle, cequi est dû à un choix très particulier de l’angle de fuite.Ou encore, on peut dire qu’elle a retenu les éléments prin-cipaux liés au fait qu’il s’agissait d’une maison, mais pasles éléments secondaires : la position exacte du cercle etl’angle de fuite. (On n’exigeait pas du candidat l’utilisa-tion du vocabulaire inhérent à la notion de perspectivecavalière).

(b) Même en faisant abstraction du fait qu’il s’agit du dessind’une maison et qu’on pouvait ne pas prendre garde à cer-tains éléments, ces éléments eux-mêmes étaient difficiles àreproduire :

• Construire correctement les segments parallèles néces-sitait a priori de pouvoir reproduire l’angle qu’ellesformaient avec l’horizontale (ou à proprement parlerla direction de (DE)), or c’était impossible puisqu’auCM2 la reproduction d’angles ne se fait qu’à l’aidede gabarits, et les conditions de l’exercice ne leur per-mettaient pas d’en construire un ; une autre possibilitéétait de construire correctement le parallélogramme enayant l’idée ingénieuse de le couper en deux par la dia-gonale [EK], d’en prendre la mesure et d’ainsi repro-duire les triangles CKE et KEL : on peut alors direqu’on reste dans les programmes du CM2, mais qu’ils’agit d’un problème difficile en soi. Enfin, la solutionla plus à la portée d’un élève de CM2 était sans douted’observer que AJKC était un rectangle. Mais le faitqu’il n’était pas en position prototypique rendait plusdifficile cette observation.

• Construire correctement le cercle nécessitait non seule-


ment de se rendre compte que son centre se trouvaitsur la hauteur du triangle isocèle, ce que Sophie a vuimplicitement, mais aussi de noter à quelle distanceil se trouvait sur cette hauteur, ce qu nécessitait desortir de l’implicite et, pratiquement, de construire lahauteur sur la figure initiale, ou à tout le moins deconstruire le centre du cercle puis, par exemple, mesu-rer sa distance au sommet du triangle.

(c) De plus, la nature même de l’activité nécessitait d’anticiper,c’est-à-dire d’imaginer à l’avance comment on s’y pren-drait pour faire la construction et donc de déterminer tousles éléments indispensables pour celle-ci. Il n’est pas im-possible (on ne peut pas le savoir) qu’au moment de placerle centre du cercle, Sophie se soit rendu compte qu’il luimanquait un renseignement.

(d) Enfin, les données reprises par Sophie étant ce qu’ellessont, il lui a fallu construire deux parallélogrammes malgrétout. Vu l’absence de traits de construction, on peut fairel’une des deux hypothèses indiquées plus haut.

Remarque : un étudiant qui connaîtrait bien les programmespourrait dire que l’activité présentait une difficulté digne d’unproblème de recherche, car le parallélogramme ne figure pas

dans les programmes de l’école élémentaire. Une telle réponseserait acceptable, bien que fausse : le parallélogramme figurebien dans les programmes. . . mais ils ont oublié d’en parlerdans les repères pour une progression ! (N.B. Les programmesen vigueur lorsque ce sujet a été posé étaient ceux de 2008. Leparallélogramme ne figure à nouveau plus dans les programmesde l’école élémentaire.)

TROISIÈME PARTIE

Question 1

a Dans les programmes : « principes de la numération décimalede position : valeur des chiffres en fonction de leur positiondans l’écriture des nombres ».

b Dans le premier exercice, on teste la capacité à repérer le chiffredes unités et celui des centaines d’un nombre jusqu’à quatrechiffres. Dans le second, on teste la capacité inverse (dizainesy compris) pour des nombres à trois chiffres, mais rendue plusdifficile par le fait qu’on ne donne pas explicitement et dans


l’ordre le chiffre des centaines, des dizaines et des unités, maisen décomposant le nombre en somme de centaines, dizaines,unités dans le désordre. Le troisième exercice est analogue ausecond, mais s’y ajoute le fait qu’on décompose le nombre ensomme de centaines, dizaines et unités, les dizaines apparais-sant 2 fois et le nombre d’unités dépassant 9. On teste donc lacapacité à comprendre le lien entre unités et dizaines, dizaineset centaines et à l’exploiter pour arriver à déterminer le chiffredes centaines, dizaines et unités du nombre recherché.Non exigible : le premier exercice est donc purement méca-nique, et un élève pourrait le réussir en n’ayant pourtant pasvraiment compris ce que sont les unités, dizaines et centaines.Le second demande déjà plus de réflexion : éventuellement unélève qui n’a pas vraiment compris les principes pourrait réus-sir le premier des deux s’il repère que centaines, dizaines etunités ne sont pas dans l’ordre, mais pour le deuxième il fautqu’il ait au moins compris la nécessité de placer un zéro. Pourle troisième, la compréhension des principes de base de la nu-mération de position est indispensable.

c Pour l’exercice 2, on peut imaginer qu’un élève agisse par auto-matisme sans voir que centaines, dizaines et unités ne sont pasdans l’ordre : il répondrait alors 732 et 85. On peut imagineraussi qu’il repère cela, mais qu’il ne sache pas gérer l’absencede dizaines dans le second exercice du 2) : il répondrait alors58.Pour l’exercice 3 : 14675 si l’élève agit purement par automa-tisme ; 71114 s’il réalise que centaines, dizaines et unités nesont pas dans l’ordre et qu’il y a deux données de dizainesqu’il convient d’additionner, mais qu’il ne réalise pas qu’il fautéchanger dix unités contre une dizaine et dix dizaines contreune centaine.

d Voici trois raisons possibles (deux suffisent, même si les deuxpremières sont très semblables).

• Même si la liste des compétences et les progressions nevont pas plus loin, en ce qui concerne la numération, que« écrire, nommer, comparer, ranger les nombres entiersnaturels inférieurs à 1 000 », les programmes eux-mêmesprécisent : « Les élèves apprennent la numération décimaleinférieure à 1 000. ». On peut considérer que, vu d’un pointde vue mathématique, « apprendre la numération décimaleinférieure à 1 000 » va plus loin que simplement « écrire,


nommer, comparer, ranger les nombres entiers naturelsinférieurs à 1 000 », même si les compétences attenduesen fin de cycle ne vont pas plus loin que cela.

• D’autre part, il semble difficile de permettre aux élèves decomprendre la correspondance entre la désignation oraledes nombres et leur écriture chiffrée, sans un travail mini-mal sur unités, dizaines et centaines. De ce fait, on n’ima-gine pas que la compétence évaluée dans l’exercice 1 nesoit pas abordée dès le cycle 2, du moins pour les nombresà trois chiffres au plus.

• Enfin, les techniques opératoires de l’addition, de la sous-traction et de la multiplication (pour des multiplicationspar des nombres à un chiffre) sont au programme du cycle2. Pour les comprendre, il est nécessaire de comprendreles échanges entre unités et dizaines, dizaines et centaines,donc d’avoir les compétences liées aux exercices 2 et 3.

Question 2

a Savoir tirer l’information contenue dans l’écriture chiffrée d’unnombre pour résoudre un problème portant sur les dizaines etles centaines.

b La diminution du nombre de réussites entre le nombre de réus-site pour le club de foot et le club d’équitation n’est pas si-gnificative (1 seulement !) : on n’exigera pas du candidat qu’ilévoque cela, mais on pourra valoriser une éventuelle interpré-tation pertinente de cette diminution.La diminution est plus sensible pour le club de Scrabble : lenombre 370 est plus difficile parce qu’il y a des centaines etdes dizaines, alors que pour 600 il n’y a que des centaines etpour 70, que des dizaines.Mais surtout, la diminution est très nette pour le club phila-télique et le club de danse. Elle s’explique par le fait qu’il fautcomprendre l’énoncé pour savoir que faire des unités (elles né-cessitent un paquet supplémentaire) alors que pour les autresnombres il suffit de comprendre qu’on cherche le chiffre descentaines et le chiffre des dizaines.

Question 3

a • Antoine procède par décomposition non canoniques desnombres. À part pour le cas du club de foot, où il semble


perdre de vue la question, cela lui permet toujours de re-pérer le nombre de cartons nécessaires 4.En ce qui concerne les dizaines, Antoine s’en sort nette-ment moins bien. Il a en tous cas bien compris qu’il fallaituniquement des cartons et des paquets ; le résultat correctpour le club de danse en témoigne, mais aussi le résultatincorrect pour les club philatélique (5 paquets au lieu de4). En revanche, il se trompe pour le club de scrabble enannonçant 6 paquets au lieu de 7.

• Yvan donne immédiatement ses réponses ; tout porte àcroire qu’il reconnaît immédiatement dans un nombre sonchiffre des centaines, des dizaines et des unités, et qu’ilcomprend leur sens, qui se traduit ici en termes de car-tons et de paquets. Toutefois il n’a pas tenu compte de lacontrainte indiquant qu’on ne pouvait avoir que des pa-quets et des cartons, d’où une réponse incorrecte pour 238et pour 506.

b On pourrait attendre une décomposition additive complète« canonique », comme :

238 = 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 61 c 1 c 1 p 1 p 1 p 1 p

Question 4

a Puisque chaque club ne peut recevoir que des cartons ou despaquets, et qu’il n’y a aucune contrainte sur le nombre depaquets (on ne limite pas le nombre de paquets à acheter), laprocédure de Boris est correcte, et par conséquent sa réponsefinale aussi : il l’obtient en additionnant le nombre de paquetset de cartons nécessaires pour chaque club.Et comme, ainsi que précisé dans l’énoncé de la question sui-vante, la réponse de Marie est essentiellement équivalente àcelle de Boris, elle est correcte aussi, pour autant qu’on s’au-

torise à ouvrir un carton pour en distribuer les paquets à dif-

férents clubs (cette précision ne sera pas exigée du candidat).

4. On n’exigera pas du candidat qu’il fasse une hypothèse pour savoir comment il fait.Pour ma part, j’en vois deux, sans en exclure d’autre : l’une pourrait être qu’il sait que 100c’est une centaine et 200 deux centaines, mais ne sait pas, au delà, que 300 c’est 3 centainesetc. L’autre pourrait être qu’il le sait parfaitement bien, mais qu’il y a un effet de contrat :dans un problème il y a des calculs à faire, alors il fait des calculs.


b On peut en effet obtenir des résultats différents. Ainsi, si ongarde les mêmes données, sauf que le club philatélique n’abesoin que de 231 calissons, la procédure de Boris conduira aumême résultat : 16 cartons et 19 paquets. Tandis que celle deMarie la conduira à conclure qu’il faut 1777 calissons, donc 17cartons et 8 paquets.

c • La procédure correcte : Il en résulte que étant donné la

contrainte que chaque club ne peut recevoir que des cartons

et des paquets, seule la procédure de Boris est correcte,puisque dans le cas précédent, il manquera un paquet, avecla procédure de Marie, pour pouvoir distribuer cartons etpaquets en suffisance.

• Modification de l’énoncé : Il suffit d’indiquer, non pas quechaque club ne peut recevoir que des paquets et des car-tons, mais bien que les calissons ne se vendent que parpaquets et par cartons. Ainsi on pourra mettre en évi-dence, si on choisit bien les nombres comme dans la ques-tion précédente, qu’on peut y gagner en regroupant lesclubs et en faisant une commande unique pour l’ensembledes clubs. La question pourrait d’ailleurs être : quelle com-mande faire pour la mairie, de sorte que chaque club puisserecevoir assez de calissons, et qu’il y en ait le moins pos-sible en trop.

Pour les deux dernières questions, il était indispensable d’avoirretenu la contrainte que chaque club ne pouvait recevoir que descartons ou des paquets. Ce qui est naturel dans la première phase,si on imagine que chaque club doit faire sa commande individuel-lement, mais l’est peut-être moins dans la deuxième phase, car ilpeut paraître plus naturel d’admettre qu’on puisse partager unpaquet entre plusieurs clubs si nécessaire (bien qu’en pratiquecela puisse être compliqué à gérer).



2013-2014 — SESSION 1

PREMIÈRE PARTIE

L’énoncé de ce sujet setrouve page 37 Dans tout le problème, les longueurs sont données en cm, les

aires, en cm2, et les volumes, en cm3.La figure ci-dessous n’est pas conforme aux mesures.

A B

CD

A0B0

C0D0

I

J

K

L

ST

U

V

W

X

Z

Y

Partie A : tracé d’un patron du solide ABCDIJKL.

Pour toute cette partie A, x = 4 et h = 3.

A.1. AA0I est un triangle rectangle en A0 tel que AA0 = 3 et A0I =A0B0/2 = 4/2 = 2. Dans ce triangle rectangle, le théorème dePythagore donne AI2 = AA02 + A0I2 = 32 + 22 = 13, puisAI =

p13.


On admet ensuite que AI = BI = BJ = CJ = CK = DK =DL = AL =

p13.

A.2. B0IJ est un triangle rectangle en B0 tel que B0I = B0A0/2 =4/2 = 2 et B0J = B0C 0/2 = 4/2 = 2. Dans ce triangle rec-tangle, le théorème de Pythagore donne IJ2 = B0I2 +B0J2 =22 + 22 = 8, puis IJ =

p8 = 2⇥

p2.

On admet ensuite que IJ = JK = KL = LI = 2⇥p2.

A.3. Le quadrilatère IJKL est un carré car

• IJ = JK = KL = LI (d’après A.2.) et donc le quadrila-tère IJKL a quatre côtés isométriques et est un losange ;

• B0IJ est un triangle isocèle (car B0I = B0J = 2) rec-tangle (d’après A.2.) en B0 et donc’B0IJ = 45� ; de même,’A0IL = 45� ; puis, par différence, ‘LIJ = ’A0IB0 �’A0IL�’B0IJ = 180� � 45� � 45� = 90� ; et donc le losange IJKLpossède un angle droit et est un carré.

Les erreurs ont été nombreuses pour cette question :• Certains n’ont pas vu que c’était un carré : c’est sans

doute dû au fait de la représentation en perspective ca-valière. Il était certainement utile de dessiner en vraiegrandeur (c’est-à-dire de dessiner un vrai carré A0B0C 0D0

pour voir ce que cela donnait une fois tronqué).• Beaucoup se sont contentés de dire que les quatre cô-

tés étaient de même longueur, et en ont conclu qu’ils’agissait d’un carré, alors qu’ils pouvaient seulement enconclure que c’était un losange. Il fallait impérativementarriver à prouver qu’il y avait au moins un angle droit(ou, éventuellement, que les diagonales étaient de mêmelongueur : un losange qui a ses diagonales de même lon-gueur est un carré).

• D’autres ont bien vu qu’il fallait montrer davantage,mais se sont ingéniés à démontrer que les côtés oppo-sés étaient parallèles : c’était inutile, puisqu’il s’agissaitd’un losange, et qu’un losange est un parallélogramme,donc a ses côtés opposés parallèles. Ce n’était pas fauxde le prouver, mais c’était de la perte de temps, et sur-tout cela ne prouvait pas du tout qu’il s’agissait d’uncarré.

A.4. Faces du solide ABCDIJKL :


(a) un carré de côté 4 ;

(b) un carré de côté 2⇥p2 ;

(c) quatre triangles isocèles superposables dont les côtés me-surent

p13,p13 et 4 ;

(d) quatre triangles isocèles superposables dont les côtés me-surent

p13,p13 et 2⇥

p2.

Les erreurs les plus fréquentes qui ont été constatées lors dela correction : des mesures absentes ou incorrectes, naturede certains polygones pas proprement définie, comme parexemple triangle à la place de triangle isocèle, ne pas obser-ver qu’il y avait deux sortes de triangles isocèles, ou encoreconsidérer beaucoup trop de faces, en incluant parmi les facesles triangles rectangles et les rectangles qu’on observait surla figure.

Un patron du solide ABCDIJKL, avec AI ⇡ 3, 6 et IJ ⇡2, 8 :


Partie B : coupe à mi-hauteur du solide ABCDIJKL.

Pour toute cette partie B, x = 4 et h = 3. Théorème de la droitedes milieux : dans untriangle, le segment re-liant les milieux dedeux côtés est parallèleau troisième, et en me-sure la moité.Réciproquement, dansun triangle, la droitepassant par le milieud’un côté et parallèleà un deuxième côté,coupe le troisième enson milieu.

B.1. S est milieu du segment [AI] et T est milieu du segment [BI],donc, par le théorème des milieux (encore appelé théorème dela droite des milieux) appliqué dans le triangle ABI, ST =AB2 = 4

2 = 2.


Beaucoup ont préféré utiliser Thalès, en considérant que(ST ) était parallèle à (AB) puisque le plan de coupe étaitparallèle au plan de la face ABCD. C’est vrai, mais celanécessitait une justification. En effet, il est faux que si deux

droites sont incluses dans deux plans parallèles, alors elles

sont parallèles : par exemple, dans le cube, (AD) est in-cluse dans le plan ABCD et (C 0D0) est incluse dans le planA0B0C 0D0, ces plans sont parallèles mais ces droites ne le sontpas ! Ce qui est vrai en revanche, c’est que si deux droitesse trouvent dans deux plans parallèles, mais sont en outrecoplanaires (ce qui est le cas ici : (ST ) et (AB) sont inclusesdans le plan ABC), alors elles sont parallèles. Une autre ma-nière de dire la même chose est de dire que les intersectionsde deux plans parallèles avec un même troisième plan, sontdes droites parallèles. Dans une perspective d’examen,

les correcteurs ont fait preuve de la plus grande man-

suétude envers ceux qui ont fait cette erreur. Ce neserait pas nécessairement la même chose dans la perspectived’un concours.Il est à noter que certains ont pensé à utiliser le théorème dela droite des milieux pour justifier que (ST ) et (AB) étaientparallèles, et ensuite ont utilisé Thalès pour justifier que STvalait la moitié de AB. C’était parfaitement correct : maisil est bon qu’ils sachent qu’ils se sont fatigués pour rien, carle théorème de la droite des milieux affirme non seulementque le segment reliant les milieux de deux côtés d’un triangleest parallèle au troisième, mais aussi que sa longueur est lamoitié de celle de ce dernier.

On admet ensuite que ST = UV = WX = Y Z = 2.

B.2. T est milieu du segment [BI] et U est milieu du segment [BJ ],donc, par le théorème des milieux appliqué dans le triangleBIJ , TU = IJ

2 = 2⇥p2

2 =p2.

Même observation pour cette question que pour la précé-dente.

On admet ensuite que TU = VW = XY = ZS.

B.3. L’octogone STUVWXY Z n’est donc pas régulier car ses côtésne sont pas isométriques : 2 6=

p2.


Certains ont affirmé que l’octogone était régulier, parce quetous ses côtés étaient égaux. Dans certains cas, il y avaitune certaine logique : ils s’étaient trompés à la question pré-cédente, et avaient obtenu des valeurs égales pour ST etTU . Dans d’autres cas, c’était moins compréhensible, car ilsavaient obtenu les bonnes réponses ! Quoi qu’il en soit il estbon de savoir :

• Qu’il ne suffit pas qu’un octogone (ou de manière géné-rale un polygone) ait tous ses côtés de même longueurpour être régulier : il faut encore que tous ses anglessoient égaux. On peut s’en convaincre par l’expérience depensée suivante, d’ailleurs parfaitement réalisable maté-riellement : ajustez ensemble 8 tiges de même longueur(ou, par exemple, 8 barres de Meccano® de même lon-gueur). Cela forme un polygone que vous pouvez défor-mer (dans le cas du Meccano® : à condition de ne pastrop serrer les boulons). Quelle que soit la manière dele déformer, tous les côtés ont toujours la même lon-gueur ; pourtant, il n’y a qu’une position dans laquellel’octogone ainsi formé est régulier.

• Qu’il ne suffit pas non plus qu’outre cela, ses côtés op-posés soient parallèles deux à deux (ce qui n’a de sens,d’ailleurs, que si le nombre de côtés est pair). D’ailleurs,ceux qui ont eu la préoccupation de se justifier ainsin’ont pas justifié que les côtés opposés étaient parallèles !

B.4. Ce plan va couper l’arête [AI] en S 0, l’arête [IB] en T 0, l’arête[BJ ] en U 0, l’arête [JC] en V 0, l’arête [CK] en W 0, l’arête [KD]en X 0, l’arête [DL] en Y 0, et l’arête [LI] en Z 0.Soit x = S 0T 0 = T 0U 0 = U 0V 0 = V 0W 0 = W 0X 0 = X 0Y 0 =Y 0Z 0 = Z 0S 0 la mesure du côté de l’octogone régulier.En utilisant (S 0T 0)//(AB) dans le triangle IAB, le théorèmede Thalès donne

ÅIA

IS 0 =

ãIB

IT 0 =AB

S 0T 0|{z}= 4

x

.

Sachant que IB =p13, on obtient

IT 0 =

p13⇥ x

4.


En utilisant (T 0U 0)//(IJ) dans le triangle BIJ , le théorèmede Thalès donne

BI

BT 0

Å=

BJ

BU 0

ã=

IJ

T 0U 0| {z }= 2⇥

p2

x

.

Sachant que IB =p13, on obtient

BT 0 =

p13⇥ x

2⇥p2.

Comme T 0 est un point du segment [IB], on a IT 0 + T 0B =IB =

p13 et ainsi, en divisant chacun des termes par

p13,

x

4+

x

2⇥p2= 1

i.e.x

4+

x⇥p2

4= 1

i.e.x⇥ (1 +

p2)

4= 1

i.e. x =4

1 +p2= 4⇥ (

p2� 1) ⇡ 1, 66.

Partie C : aire totale du solide ABCDIJKL, c’est à dire la sommedes aires de chacune des faces, à volume constant.

Pour toute cette partie C, le côté x est considéré comme unevariable réelle, strictement positive, et la dimension h est alors dé-terminée en fonction de x de telle façon que le volume du pavé droitABCDA0B0C 0D0 soit de 120.

C.1. Le volume du pavé droit ABCDA0B0C 0D0 est V(ABCDA0B0C 0D0) =h⇥ x⇥ x = h⇥ x2 et est aussi V(ABCDA0B0C 0D0) = 120 parhypothèse, donc

h⇥ x2 = 120.

Ainsi,

h =120

x2.

C.2. • Soit V(ABCDIJKL) le volume du solide ABCDIJKL.


• Soit V(AA0LI) le volume du tétraèdre AA0LI. On a (AA0) ?De manière générale, levolume d’une pyramides’esprime par la for-mule V = B⇥h

3 , oùB est l’aire de la basede la pyramide et h sahauteur.Dans le cas d’un tétra-èdre, n’importe quelleface peut être choisiecomme base. On fait icile choix qui permet detrouver facilement à lafois l’aire de base et lahauteur.

(A0LI) par propriété du pavé droit ABCDA0B0C 0D0 etdonc [AA0] est hauteur issue de A dans le tétraèdre AA0LI.Ensuite, le triangle A0LI est rectangle en A0 par propriétédu carré A0B0C 0D0. L’aire du triangle A0LI est donc don-née par A0L⇥A0I

2 =x2⇥

x2

2 = x2

8 . Et enfin, V(AA0LI) =h⇥x2

83 = h⇥x2

24 .• Soit V(BB0IJ) le volume du tétraèdre BB0IJ . De même

que précédemment, V(BB0IJ) = h⇥x2

24 .• Soit V(CC 0JK) le volume du tétraèdre CC 0JK. De même

que précédemment, V(CC 0JK) = h⇥x2

24 .• Et, soit V(DD0KL) le volume du tétraèdre DD0KL. De

même que précédemment, V(DD0KL) = h⇥x2

24 .Par construction du solide ABCDIJKL, on a :

V(ABCDIJKL) = V(ABCDA0B0C 0D0)� V(AA0LI)

�V(BB0IJ)� V(CC 0JK)� V(DD0KL)

= h⇥ x⇥ x� h⇥ x2

24� h⇥ x2

24� h⇥ x2

24� h⇥ x2

24

= h⇥ x2 ⇥ (1� 1

24� 1

24� 1

24� 1

24)

= h⇥ x2 ⇥ 5

6

= 120⇥ 5

6car h⇥ x2 = 120

= 100.

Certains ont oublié à ce stade que dans cette partie x eth étaient variables, et ont travaillé avec les données 4 et3. Il était pourtant explicite qu’elles n’étaient plus validesici. Une grande source d’erreur fut la formule du volume dutétraèdre, une autre celle du calcul de l’aire de la base (où l’ona souvent trouvé des x au lieu de x2, ou des oublis de demisou autres...). Enfin, beaucoup n’ont pas pensé à utiliser lelien entre x et h, qui permettait de se débarrasser des deuxvariables...

C.3.

A(x) =3⇥ x3 + 480 +

p115 200 + x6

2⇥ x.

C.3.a Le tableau de valeurs ne donne les valeurs de A(x) que pourun nombre fini de valeurs de x et ne renseigne aucunement sur


les valeurs de A(x) calculées pour des valeurs de x qui ne sontpas présentées dans le tableau. Par exemple, on ne sait pas sila valeur en x = 5, 1, A(5, 1) est plus grande ou plus petiteque A(5) ⇡ 121, 67. On ne peut donc pas conclure que l’airetotale est minimale pour une valeur de x valant exactement 5.

C.3.b Pour des raisons de mise en page, nous avons dû réduire legraphique (0,8 cm pour 1 cm) :


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

40

80

120

160

200

240

280

320

360

400

440

480

520

560

600

640

680

720

760

800

840

x en cm

A(x) en cm2

C.3.c Graphiquement, il semble que l’aire totale soit minimale pourx proche de 5, plus précisément légèrement inférieur à 5 (maisla réponse 5 était acceptée).Remarque : une analyse plus fine donnerait x proche de 4, 93242414866.


DEUXIÈME PARTIE

Exercice 1

Le récipient se remplit du tiers de son volume à la totalité deson volume en 14 min� 2 min = 12 min.

Les deux tiers du récipient sont remplis en 12 minutes.Ainsi, le récipient se remplit en

1223

= 18 minutes. (pour ceux qui

se sentent moins à l’aise avec le calcul sur les fractions – lacune àcombler ! –, on peut s’en passer ici : les deux tiers se remplissent en12 minutes ; donc le tiers se remplit en 6 minutes ; donc les trois tiersse remplissent en 18 minutes.) Comme il se remplit à débit constantde cinq litres toutes les deux minutes, en 18 minutes, 5⇥18

2 = 45litres sont apportés au récipient.

Conclusion : le récipient a une contenance de 45 litres.Des méthodes algébriques, ou par tâtonnement, étaient égalementpossibles. L’erreur la plus courante a consisté à oublier que lerécipient n’était pas vide au départ.

Exercice 2

1. Soit un rectangle R de longueur 5 cm et de largeur 3 cm. Sonpérimètre est (5 cm + 3 cm)⇥ 2 = 16 cm.Si, on augmente la longueur de 1 cm et on diminue la largeurde 1 cm, alors, la longueur devient 6 cm, la largeur devient2 cm et le périmètre devient (6 cm + 2 cm) ⇥ 2 = 16 cm. Lepérimètre n’est donc pas modifié et donc l’Affirmation 1est vraie.Certains ont utilisé des formules farfelues pour calculer lepérimètre du rectangle, ou encore ont confondu périmètre etaire. Rappelons que le périmètre d’une surface est la longueurde son contour, c’est donc, dans le cas d’un polygone, lasomme des longueurs de ses côtés. Il vaut mieux retenir celaque de retenir des formules fausses.

2. • L’Affirmation 2a est fausse.Contre-exemple :

A 1 2B 2 4

est un tableau de proportionnalité (les valeurs de B sontdoubles de celles de A), mais

A+ 1 2 3B + 1 3 5


n’est pas un tableau de proportionnalité, car pour passerde 2 à 3 il faut multiplier par 3

2 alors que pour passer de3 à 5 il faut multiplier par 5

3 .Beaucoup avaient pris pour exemple une unique valeurde A et une unique valeur de B, en affirmant qu’ellesétaient proportionnelles, alors que A + 1 et B + 1 nel’étaient pas. L’exemple le plus fréquent était : A = 2 etB = 4. Alors A+1 = 3 et B+1 = 5. Selon de nombreuxcandidats 2 et 4 sont proportionnels, alors que 3 et 5 nele seraient pas. Les rares étudiants qui ont justifié cetteaffirmation l’on fait en disant qu’on pouvait passer de 2 à4 en multipliant par 2, alors qu’il n’était pas possible depasser de 3 à 5 en multipliant par un entier : c’est doncune confusion totale entre la notion de proportionnalitéet la notion de multiple. Nous ne saurions trop recom-mander aux étudiants qui font cette confusion de revoirsérieusement la notion de proportionnalité ; les rappels àfaire sur cette notion sont trop nombreux pour pouvoirêtre mis ici en note marginale.D’autres avaient perdu de vue la suite B : ils avaientconsidéré une suite de nombres A (et parfois aussi unesuite proportionnelle B, mais pour l’oublier ensuite),puis ils ont montré que la suite A+1 n’était pas propor-tionnelle à la suite A. Là, c’était un raisonnement parfai-tement correct, mais qui ne répondait pas à la question !

• L’Affirmation 2b est vraie.Si les valeurs de A et B sont proportionnelles, soit x unevaleur de A, la valeur correspondante de B est alors donnépar k⇥x où k (un réel strictement positif) est le coefficientde proportionnalité de la situation.Ainsi, le carré de la valeur de A est x2 et le carré de lavaleur correspondante de B est (k ⇥ x)2 = k2 ⇥ x2. Onpasse de la valeur x2 à la valeur de k2 ⇥ x2 en multipliantla première par k2 qui est donc le coefficient de propor-tionnalité de la deuxième situation qui lie les carrés desvaleurs de A aux carrés des valeurs de B.

• L’Affirmation 2c est vraie.Si les valeurs de A et B sont proportionnelles, soit x unevaleur de A, la valeur correspondante de B est alors donnépar a⇥x où k (un réel strictement positif) est le coefficientde proportionnalité de la situation.Ainsi, l’inverse de la valeur de A est 1

x et l’inverse de la L’inverse d’un nombreréel non nul x estle nombre 1

x . Onévitera la confusionavec l’opposé d’unnombree réel x, qui estle nombre �x.


valeur correspondante de B est 1k⇥x = 1

k ⇥1x . On passe de

la valeur 1x à la valeur de 1

k ⇥1x en multipliant la première

par 1k qui est donc le coefficient de proportionnalité de la

troisième situation qui lie les inverses des valeurs de A auxinverses des valeurs de B.

3. Soit f la fonction qui à tout réel x associe le réel f(x) =x2 + x+ 1.

L’image de 1 est f(1) = 12+1+1 = 3, donc l’Affirmation3a est fausse.Si f est une fonction,

un antécédent de a parf est un nombre b telque f(b) = a. Untel nombre n’existe pastoujours, et n’est pastoujours unique. Onévitera de confondreavec l’image de a par f ,qui est f(a).

Par contre, l’image de 0 est f(0) = 02 + 0 + 1 = 1, donc 0 estun antécédent de 1.

Ainsi, même si �1 est un antécédent de 1 par f (ce qui est lecas), il ne sera pas l’unique antécédent de 1 par f et l’Affirmation3b est fausse.

4. Quand je roule à 60 km/h, je roule à (60⇥1 000 m)/(3 600 s) =603,6 m/s donc moins vite qu’à 60 m/s et l’Affirmation 4est fausse.

Cette question a été en général assez bien réussie, mais on atout de même noté :

• Des erreurs dues à l’utilisation de mauvaises formulesde conversion. N’essayez pas d’apprendre par cœur desformules que vous ne comprenez pas. Rappelez-vos quederrière toute conversion il y a une notion de proportion-nalité : les programmes préconisent d’ailleurs d’utiliserdes raisonnements de proportionnalité pour travailler lesconversions à l’école primaire.

• Des erreurs de conversions pourtant élémentaires : parexemple, il est inacceptable de lire 60 km = 6000 m.Il appartient aux candidats qui ont fait ce genre d’er-reur de déterminer si c’est une malheureuse erreur dedistraction, ou si cela cache une mécompréhension.

• Des résultats complètement invraisemblables, dont lecandidat aurait dû se rendre compte de l’invraisem-blance. Notamment, 60 km/h serait équivalent à 0,016m/s, soit 16 millimètres par seconde. Essayons d’imagi-ner une voiture qui ferait 16 millimètres en une seconde...


Exercice 3

1. La compétence principale mise en jeu dans cet exercice est :Reconnaître, décrire et nommer les solides droits : cube, pavé,

prisme.

2. Comme variables didactiques de la situation, on peut citer :

(a) la nature du solide représenté : plus le solide possèdede faces, d’arêtes, de sommets, plus l’organistion de latâche est difficile ;

(b) le type de représentation : le fait d’avoir le solide àdisposition peut permettre de dénombrer les faces en lescoloriant, ce qui est beaucoup plus difficile à effectuer surla perspective cavalière fournie aux élèves ;

(c) la taille de la représentation : ici, la taille est rai-sonnable, mais sur une représentation plus petite, l’élèvepourrait avoir du mal à tout colorier, c’est-à-dire à la foisles sommets et les arêtes, afin de les compter sans compterdeux fois le même élément ou sans en omettre ; et l’élèvedevrait alors se représenter mentalement le solide afin d’endénombrer les arêtes et les faces ;

(d) la représentation ou non des arêtes cachées en poin-

tillé sur la perspective : en pointillé, les arêtes, parexemple, sont tout de même visibles et donc plus facile-ment dénombrables ;

(e) ... (cette liste n’est pas exhaustive).

3. • nombre de faces :– réponse 3 : seules les faces rectangulaires sont recon-

nues comme faces (on peut aussi faire l’hypothèse d’unereprésentation d’un solide creux) ;

– réponse 2 : seules les faces visibles (celles qui sont en

face) sont reconnues.• nombre d’arêtes :

– réponse 6 : seules les arêtes visibles sont dénombrées(les 3 arêtes en pointillés ne sont pas reconnues ; c’estun codage conventionnel qui peut avoir une incidencesur la compréhension de la représentation) ;

– réponse 3 : seules les arêtes longitudinales sont recon-nues comme arêtes.

• nombre de sommets :


– réponse 5 : seuls les sommets visibles sont dénombrés ;

– réponse 2 : l’élève a compté les pointes du haut de lamontagne figurée par ce prisme !

• nom du solide :

– réponse triangle ou parallélogramme : le regard ne per-çoit pas un solide dans l’espace à deux dimensions dela feuille ; l’élève décrit les figures planes qu’il perçoit ;

– la réponse pyramide relève d’une classification incer-taine des solides.

Les hypothèses relatives à l’impact de la représentation utili-sée (perspective cavalière) pour cette évaluation peuvent êtrevérifiées en reprenant cet exercice avec un prisme réel mis àdisposition de l’élève.

TROISIÈME PARTIE

A. D’une manière générale, à propos des annexes 1 et 2

1. Dans ces séances, trois grandeurs sont présentées : la distanceparcourue, la durée de parcours et la vitesse moyenne.

(a) Soit d la distance parcourue (comme ici, en km), soit t ladurée de parcours (comme ici, en h) et soit v la vitessemoyenne sur le parcours (comme ici, en km/h), alors

v =d

t.

(b) La distance parcourue est proportionnelle à la durée deparcours.

(c) L’autre grandeur est la vitesse, elle représente le coeffi-

cient de proportionnalité de la situation.


Attention : les programmes ne disent absolument pas queles élèves doivent apprendre ces formules. Au contraire,les problèmes de vitesse sont traités dans le cadre de laproportionnalité, avec les outils que l’on sait. L’essen-tiel n’est certainement pas que les élèves sachent, à cestade, que la vitesse moyenne (en kilomètres par heure)se calcule en divisant le nombre de kilomètres parcou-rus par la durée du parcours, et encore moins que ladurée d’un parcours se calcule en divisant la distanceà parcourir par la vitesse. Ce qui importe, c’est qu’ilsdonnent un sens à la vitesse en kilomètres par heure(ou d’autres unités) : le nombre de kilomètres parcourusen une heure ; et qu’ils soient capables de résoudre desproblèmes portant sur cette notion en utilisant la pro-portionnalité. Il était fondamental de comprendre celapour arriver à répondre correctement à certaines ques-tions, notamment la dernière. Cependant, il était posésuffisamment de questions ne nécessitant pas de l’avoircompris, pour que ce ne soit pas un obstacle à votreréussite.

2. Le grand changement, de l’annexe 1 à l’annexe 2 est que

• dans l’annexe 1, les grandeurs connues sont la distanceparcourue et la durée de parcours, soient des grandeursque les élèves ont déjà beaucoup manipulées/travaillées,et la grandeur inconnue est la vitesse moyenne,

• alors que dans l’annexe 2, la vitesse moyenne est toujoursune grandeur connue et les élèves sont amenés à la ma-nipuler, tantôt pour trouver la distance parcourue, tantôtpour trouver la durée de parcours.

3. Toutes les durées sont exprimées (directement ou non) en nombresentiers d’heures ou en fractions simples d’heures :

• Annexe 1. 1 : 2 h ; 2 : 14 h ; 3 : 2

3 h puis 13 h ; 4 : 3 h ; 5 :

(1 + 12) h ; 6 : 3 h puis (3 + 1

2) h ;• Annexe 2. 1 : 1

10 h pour Millie ; 2 : 13 h pour Figurine puis

14 h pour Logix ; 3 : 2 h ; 4 : 1

2 h ; 5 : 12 h ; 6 : (3 + 12) h.

Avantages :

• le fait que les durées soient des fractions simples de l’heurefacilite les calculs d’une vitesse qui est rapportée à l’heure ;


• le fait que les unités soient toujours les mêmes, que ce soitpour la distance, la durée ou la vitesse de parcours facilitel’apprentissage de l’élève car les situations sont du coupproches du vécu de l’élève (en particulier, l’élève saitque la vitesse d’une voiture, d’un vélo, d’un marcheur, ...s’exprime usuellement en km/h).

Inconvénient : l’effet pervers de visiter des vitesses unique-ment exprimées en km/h est de laisser penser (localement)que c’est le seul mode d’expression d’une vitesse, alors qu’ilen existe bien d’autres (dans le système international, parexemple, l’unité est le m/s).Remarques : à l’École,

• rien ne s’oppose à travailler sur la notion de vitesse enchoisissant d’autres unités, mais commencer le travail surla vitesse exprimée en kilomètre par heure est une façonde prendre en compte l’environnement de l’élève ;

• et rien ne s’oppose non plus dans les programmes à trai-ter les problèmes de conversions de vitesses bien que peud’ouvrages scolaires le proposent (le B.O. de 2008 donnecomme compétence de CM2 : Résoudre des problèmes dont

la résolution implique des conversions).

B. À propos de l’annexe 1

1. (a) On passe d’une valeur entière d’heures à une valeur déci-male d’heures. La nature des valeurs choisies est unevariable didactique mise en jeu.L’élève passe de Le cheval marche à 6 kilomètres en 1heure, donc parcourt 2⇥ 6 = 12 kilomètres en 2 heures àLe cheval marche à 6 kilomètres en 1 heure, donc parcourt

6÷ 4 = 1, 5 kilomètres en14 d’heure.

Pour ce passage, l’élève peut procéder de plusieurs façons :• s’il sait que prendre 1

4 c’est diviser par 4, il peut opérerpar division par 4 (6 ÷ 4 = 1, 5, comme proposé ci-dessus) ;

• sinon, en se disant qu’une heure, c’est 4 quarts d’heure,il peut chercher par tâtonnement une distance qui mul-tipliée par 4 est égale à 6 kilomètres (la division vuecomme une multiplication à trou).

(b) • Les données sont plus nombreuses et l’élève doit pou-voir se construire une bonne représentation de la si-tuation (mentale ou schématique ou ...) ;


• trois situations de proportionnalité différentes appa-raissent : celle liée à l’allure au pas, celle liée à l’allureau trot et celle liée à l’allure au galop et l’élève doitprendre en compte toutes ces données dans un seulproblème (alors qu’avant, il devait traiter une seulesituation par question) ;

• Dans cet exercice, des durées sont exprimées en mi-nutes, alors que précédemment elles étaient toujoursexprimées en heures ou fractions simples d’heure. Ici,il est question de 20 minutes et de 40 minutes, ce quinécessite de convertir une heure en 60 minutes, et soitde passer par la minute (ce qui est possible de ma-nière exacte, car les trois vitesses se convertissent enun nombre décimal de kilomètres par minute), soit depasser par 10 minutes, soit encore de se rendre compteque 20 minutes et 40 minutes reviennent à un tiersd’heure et à deux tiers d’heure respectivement.

• Cet exercice mêle le calcul (à vitesses constantes don-nées) de distances parcourues en fonction du tempsde parcours, et de temps de parcours en fonction dela distance à parcourir (puisque, ayant calculé la dis-tance parcourue au pas puis au trot, il faut calculerla distance restante puis le temps de parcours de cettedistance, alors que dans la situation précédente il nefallait jamais que calculer des distances parcouruesconnaissant la vitesse, connaissant le temps de par-cours.

• De plus, l’élève doit prendre l’initiative ces calculs dedistances ou de durées (elles ne lui sont pas explici-tement demandées), et savoir les utiliser pour se po-ser des questions intermédiaires, une seule question luiétant posée.

2. On passe de vitesses en kilomètres par heure à une vitesse enkm/h au niveau de l’écriture. Ceci pour donner du sens dansun premier temps à la vitesse (kilomètres par heure est plusparlant que km/h) et pour utiliser l’écriture commune km/hdans un second temps.

3. (a) • Première procédure. La règle de trois (dans le casparticulier ou le passage à l’unité n’est pas nécessairecar l’unité est déjà connue) qui peut s’apparenter aussidans le cas présent à la propriété multiplicative de li-


néarité (On pouvait donc évoquer seulement cette pro-priété, sans parler de règle de trois).En une heure, le cycliste parcourt 20 kilomètres.Donc en trois heures, le cycliste parcourt 3⇥ 20 = 60kilomètres.

• Deuxième procédure. Propriété additive de linéa-

rité.En une heure, le cycliste parcourt 20 kilomètres.Mais, trois heures, c’est une heure plus une heure plusune heure, donc en trois heures, le cycliste parcourt20 + 20 + 20 = 60 kilomètres.

(b) En une heure, le coureur parcourt 12 km.Or 42 km, c’est 3, 5⇥ 12 km.Il lui faut donc 3, 5 ⇥ 1 h = 3, 5 heures pour courir lemarathon de 42 km.Comme la vitesse est rapportée au temps, le calcul dela vitesse est plus simple quand le temps est un nombredécimal non entier d’heures que quand c’est la distancequi est un nombre décimal non entier de kilomètres (ouplus généralement quand la distance est égale à la distanceparcourue en une heure multipliée par un nombre décimalnon entier) pour la raison suivante :

• quand le temps est donné, le nombre décimal à utiliserest donné par l’énoncé : dans l’exercice 5, l’énoncé nousdit que c’est 1, 5 h ;

• quand c’est la distance qui est donnée, il incombe àl’élève de trouve quelle quotition du parcours est re-quise : dans l’exercice 6b, il est loin d’être immédiat desavoir ce que représentent les 42 km par rapport aux12 km.

C. À propos de l’annexe 2

1. (a) • le fait que le pas est régulier n’importe pas puisquel’on s’intéresse uniquement à la vitesse moyenne ; ce-pendant, le fait de rajouter ceci permet sans douteinsidieusement d’associer vitesse moyenne et vitesseconstante, à savoir que quand la vitesse est constante,la vitesse moyenne est la vitesse constante ;

• le fait que la maison de Millie soit à 1 km de l’école

est une donnée inutile du fait que la vitesse moyenneest donnée et que l’objet de la question est justement


de comparer les vitesses moyennes ; cependant, cettedonnée permet aussi de calculer le temps de parcourset l’enseignant peut aussi avoir en tête d’expliquer quepour savoir qui marche le plus vite, il ne s’agit pas decomparer les durées de parcours, dès lors calculables,mais les vitesses moyennes.

(b) Compétence requise : calculer une durée à partir de l’ins-tant initial et de l’instant final (compétence de CM2).

2. (a) L’objectif étant de travailler sur la notion de vitesse moyenne,l’enseignant, en décidant d’autoriser l’usage de la calcula-trice, veut certainement se limiter à l’apprentissage

de la notion sans rajouter une difficulté qui serait desavoir effectuer correctement une division d’un nombre àquatre chiffres par un nombre à deux chiffres (bien quecette division soit sans reste).

(b) Avec 2 400 km, la vitesse moyenne est de 685, 714285 km/halors qu’avec 2 100 km, la vitesse moyenne est de 600 km/h.L’enseignant ne souhaite apparemment pas rajouter unedifficulté liée à la notion d’approximation, mais désire se

cantonner à la notion de vitesse moyenne qu’elletravaille dans ces deux séances.

(c) Trace écrite pour les élèves de CM2 :Pour calculer une vitesse moyenne en kilomètres par heure,

il faut chercher la distance exprimée en kilomètres qui se-

rait parcourue en une heure.

Par exemple, quand Figurine met 20 minutes pour mar-

cher sur 2 kilomètres, elle met donc13 d’heure pour mar-

cher sur 2 kilomètres, ce qui fait qu’en une heure, elle

marcherait sur 2⇥ 3 = 6 kilomètres. On dit alors que Fi-

gurine marche à 6 kilomètres par heure. L’écriture 6 km/hsignifie 6 kilomètres par heure.Cet exemple montre bien qu’on ne doit pas expliquer qu’ilfaut diviser la distance parcourue par le temps de parcourspour obtenir la vitesse moyenne, car la division par unefraction (2 divisé par 1

3) n’a aucun sens pour un élève deCM2.



2013-2014 — SESSION 2

PREMIÈRE PARTIE

L’énoncé de ce sujet setrouve page 46 Partie A : Symétrie axiale et figures dans le plan

1.a) Dans un cercle, toute droite support d’un diamètre est un axede symétrie de ce cercle. Le point C appartient à la droite descentres (AO). La droite (AC) est donc un axe de symétrie desdeux cercles. Le point E appartient aux deux cercles de centresrespectifs A et O. Le symétrique du point E par rapport à ladroite (AC) est donc un point de ces deux cercles, c’est donc lepoint F . La droite (AC) est donc un axe de symétrie de cettefigure.

A

B

C

D

O

E

F

G

H


1.b) Voir la figure ci-dessus. On a utilisé le fait que les diagonalesd’un carré sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu :la droite (BD) est donc la perpendiculaire à la droite (AC),passant par O.

1.c) Les diagonales [AC] et [BD] du carré ABCD sont isomé-triques, se coupent en leur milieu O puisque AO = OC, etsont perpendiculaires. La droite (AC) est donc la médiatricede [BD]. Les points B et D sont donc symétriques par rap-port à la droite (AC). Les symétriques respectifs des points Aet B par rapport à la droite (AC) sont donc A et D puisqueA est invariant dans la symétrie d’axe (AC). La droite (AD)est donc symétrique de la droite (AB) par rapport à la droite(AC).

1.d Les symétriques respectifs des points E et C par rapport àla droite (AC) sont F et C puisque C est invariant par cettesymétrie d’axe (AC). Les droites (CE) et (CF ) sont donc sy-métriques par rapport à la droite (AC). Le point G appartientaux deux droites (AB) et (CE), son symétrique par rapportà (AC) est donc le point d’intersection de leurs symétriques(CF ) et (AD) par rapport à (AC) ; c’est donc le point H.

1.e) Les points G et H étant symétriques par rapport à la droite(AC), le triangle CGH est donc isocèle de sommet principalC. Comme les longueurs AO, AE et OE sont égales car rayonsdes cercles de même rayon et de centres respectifs A et O, letriangle AOE est équilatéral. L’angle au centre ’AOE mesure60°. L’angle ’ACE inscrit dans le cercle de centre O mesuredonc 30°. Or les angles ’ACE et ’ACF sont symétriques parrapport à (AC) puisque les points E et F le sont. Donc l’angle’ECF mesure 60°. Le triangle CGH est donc équilatéral.Remarque : On peut aussi construire une démonstration enenvisageant les mesures des angles du triangle AEC qui estrectangle en E et du triangle AEO qui est équilatéral.

2.a) Voici la figure. Il n’était pas obligatoire de la compléter pourillustrer la démonstration (constructions en traits interrom-pus), mais cela facilitait les choses.


(d)

A

B

C

I

M

2.b) La droite (d) est la médiatrice du segment [BC], les pointsB et C sont donc symétriques par rapport à la droite (d).Les symétriques respectifs des points A, B et C par rapportà (d) sont M , C et B. Les triangles ABC et MBC sont doncsymétriques par rapport à (d). Ces deux triangles sont doncisométriques (superposables).

2.c) On nomme I le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.Ce point I appartient à la médiatrice (d) du côté [BC] dutriangle ABC. La droite (d) est donc axe de symétrie pour cecercle C(I; IA) (cercle de centre I et de rayon IA). Comme Aest un point du cercle C(I; IA) son symétrique par rapport à(d) est aussi un point de ce cercle. Donc le point M est unpoint du cercle C(I; IA). Les points A, B, C et M sont doncdes points du même cercle C(I; IA).


Partie B : Aire et volume de solides dans l’espace

B C

F E

OA D

S

M

N

B.1) L’hexagone ABCDEF étant régulier, il est décomposable ensix triangles isocèles de sommet principal O, tous isométriquesà AOB ; la mesure de l’angle ’AOB est le sixième de 360° soit60°. Le triangle AOB est donc équilatéral.

B.2) AOB étant équilatéral, on sait que la hauteur h1 mesure :AB⇥

p3 cm soit h1 = 6

p3 cm (On pouvait aussi retrouver ce

résultat classique en utilisant le théorème de Pythagore).Ensuite, le triangle SAB est isocèle de sommet principal Spuisque la pyramide est régulière (SA = SB). Si on nomme Hle pied de la hauteur issue du sommet S dans le triangle SAB,H est alors milieu de [AB]. Le triangle SHA étant rectangleen H, la relation de Pythagore s’écrit :

SA2 = SH2 +HA2

ou encore900 = SH2 + 36

et dès lorsh2 = HA = 12

p6 cm.

B.3) Calcul des aires :

B.3.a) Calcul de l’aire exacte du triangle SAB et de l’aire exactedu triangle OAB :


• L’aire du triangle SAB est :AB ⇥ h2

2= 72

p6 cm2.

• L’aire du triangle AOB est :AB ⇥ h1

2= 36

p3 cm2.

B.3.b) Les six faces triangulaires de sommet principal S sont iso-métriques donc la somme des aires de ces six faces estégale à six fois celle du triangle SAB, soit 432

p6 cm2.

L’aire de la face hexagonale est égale à six fois celle dutriangle AOB, soit 216

p3 cm2. On obtient au total :

216(2p6 +p3) cm2.

B.4) La pyramide étant régulière, SO en est la hauteur issue de S.Le triangle SOB étant rectangle en O, la relation de Pythagores’écrit :

SB2 = SO2 +OB2

ou encore900 = SO2 + 144

ou encoreSO2 = 900� 144 = 756.

Dès lors,

SO =p756 cm =

p36⇥ 21 cm = 6

p21 cm.

Le volume de la pyramide est donc égalà : 216p3⇥ 2

p21 cm3

ou encore : 1296p7 cm3.

B.5) Il suffit de calculer le volume de la pyramide (P2) pour trouvercelui de (T ) comme différence des volumes de (P1) et (P2). Onnomme O0 le pied de la hauteur de (P1) issue du sommet S.L’aire de la base hexagonale régulière de (P1) est alors égale àsix fois celle du triangle équilatéral MO0N soit

3⇥MN ⇥MN

p3

2cm2.

Il faudrait donc déterminer MN . Le plan du triangle SODcoupe les plans des deux bases hexagonales parallèles selondeux droites (O0N) et (OD) parallèles. Le théorème de Thalèsappliqué au triangle SOD permet d’obtenir :

SO0

SO=

SN

SD=

O0N

OD


ou encoreSO0

6⇥p21

=x

30=

MN

12.

(car O0N = MN). Ainsi : SO0 = x⇥p21

5 cm et MN = 2x5 cm.

Le volume de (P2) est donc égal à :

MN⇥MN

p3

2⇥SO0 =

4x2

25⇥p3

2⇥x⇥

p21

5cm3 =

6x3p7

125cm3

On retrouve ainsi la différence annoncée.

B.6 Les rapports de volumes.

B.6.a) Le rapport V(P1)V(P2)

est égal à celui de 1296p7 cm3 et de

6x3p7

125 cm3 ; on trouve :

V(P1)

V(P2)=

303

x3

Le rapport entre deux nombres A et B est le rapportAB : l’ordre dans lequel sont donnés les nombres a del’importance. Toutefois, les correcteurs avaient convenud’admettre aussi la réponse

V(P2)

V(P1)=

x3

303

On en déduit que le rapport V(P2)V(P1)

est égal au cube du rap-port SD

SN , donc au cube de l’inverse du rapport SNSD (ou à

l’inverse du cube de ce rapport)..

B.6.b) Cela signifie que :V(P1)

V(P2)= 8

donc que303

x3= 8

ou encore303 = 83 ⇥ x3

soit(15⇥ 2)3 = 83 ⇥ x3

donc153 ⇥ 23 = 23 ⇥ x3


soit153 = x3

donc finalementx = 15 cm

Dans le raisonnement précédent, il était permis de passerdirectement de 303 = 83 ⇥ x3 à 153 = x3. Il était éga-lement possible de calculer (d’autant que la calculatriceétait autorisée) : 303 = 27 000, donc on a l’équation

27 000 = 8x3

soitx3 =

27 000

8= 3 375

et de làx =p3 375 = 15.

Remarque : On peut aussi établir le rapport demandé dansla 6ème question sans avoir calculé les volumes, à partir dela notion de changement d’échelle : (P2) une réduction de(P1), ou encore à partir de la notion d’homothétie : P2 estune réduction de P1, d’un rapport r = x

30 . On sait en effetque dans ce cas là les volumes V(P2) et V(P1) sont dans unrapport r3. On pouvait même, à la question 5, calculer V(P1),établir le rapport demandé à la question 6.a), et en déduirele volume V(P2).

B.7) Lorsque la longueur x augmente, la hauteur du tronc de pyra-mide (T ) diminue et donc le volume V(T ) diminue, donc seulle graphique 1 convient.

DEUXIÈME PARTIE

Exercice 1

On convient des événements suivants :

⇤ A : « Alain gagne son match de tennis » et A : « Alain perdson match de tennis ».

⇤ B : « Bernard gagne sa partie d’échecs » et B : « Bernard perdsa partie d’échecs ».

⇤ C : « Cécile gagne son combat de lutte » et C : « Cécile perdson combat de lutte ».


Dans ce contexte, les événements A, B et C ainsi que leurs contrairessont indépendants.

a. C’est la probabilité que Alain, Bernard et Cécile gagnent tousles trois, soit P (A et B et C) = P (A)⇥P (B)⇥P (C) = 0, 7⇥0, 4 ⇥ 0, 6 = 0, 168. b) C’est la probabilité qu’Alain perde,Bernard gagne et Cécile perd, soit P (A et B et C) = P (A)⇥P (B)⇥ P (C) = (1� 0, 7)⇥ 0, 4⇥ (1� 0, 6) = 0, 048.

b. On cherche la probabilité de l’événement E : au moins un en-fant gagne sa compétition. Sept cas sont possibles : tous lestrois gagnent, deux seulement gagnent (3 cas selon celui qui aperdu), un seul enfant gagne (3 cas selon celui qui a gagné),et ces cas étant incompatibles entre eux, on pourrait calculerleurs probabilités (deux de ces cas viennent d’être traités, il enreste 5) et les addiditionner.Cependant, afin d’éviter de longs calculs, il est préférable d’uti-liser l’événement contraire E : « Aucun des enfants ne gagnesa compétition » ; en effet, cela revient à un cas simple : Alainperd et Bernard perd et Cécile perd. On peut alors écrire :P (E) = 1�P (E) = 1�P (A et B et C) = 1�P (A)⇥P (B)⇥P (C) = 1� 0, 3⇥ 0, 6⇥ 0, 4 = 0, 928.

Exercice 2

1. L’affirmation 1 est fausse.Contre-exemple : Un carré de 4 cm sur 4 cm et un rectangle de8 cm sur 2 cm. L’aire du carré et celle du rectangle sont bienégales : elles valent 16 cm2. Mais le périmètre du carré mesure16 cm tandis que celui du rectangle en mesure 20.

2. L’affirmation 2 est fausse.Contre-exemple : Un carré de 4 cm sur 4 cm et un rectanglede 6 cm sur 2 cm. Le périmètre du carré et celui du rectanglesont bien égaux (ils mesurent tous les deux 16 cm), mais l’airedu carré mesure 16 cm2 et celle du rectangle 12 cm2 .

3. L’affirmation 3 est fausse.On a : MB = AB � AM avec 4 AB 5 et �2, 6 �AM �2, 4. On obtient donc : 4+(�2, 6) AB+(�AM) 5 + (�2, 4) ou encore 1, 4 AB � AM 2, 6.

4. L’affirmation 1 est fausse.Comme 125 = 53 l’arête du modèle réduit mesure 5 cm et celledu cube en vraie grandeur 5 m soit 500 cm. Chaque dimension


de la cuve a donc été divisée par 100 pour en obtenir un modèleréduit ; l’échelle est donc de 0,01.

On peut faire le lien avec l’exercice 6 de la partie B de la premièrepartie : lorsqu’on réduit un objet à une certaine échelle, le volumede ce modèle réduit est réduit du cube de l’échelle.

Exercice 3

1. Le calcul du volume d’un pavé droit avec utilisation d’une for-mule, des unités de volume et conversion des unités de mesure,relève de la 3ème année du cycle 3, le CM2.

2. Une première analyse des calculs effectués et qui mènent auxrésultats proposés donne :

Réponses 24,36 2436 3166,8 5460 7540 316680cm3 cm3 cm3 cm3 cm3 cm3

Nombre 1 1 6 3 2 12d’élèvesCalcul 42⇥ 0, 58 42⇥ 58 42⇥ 130 42⇥ 130 130⇥ 58 42⇥ 130effectué ⇥0, 58 ⇥58

La réponse correcte, 316 680 cm3, est donnée par 12 élèves surles 25 au total.Pour 7 élèves, il y a confusion entre la formule du calcul del’aire d’un rectangle et celle du volume d’un pavé droit : cesélèves ne prennent en compte chaque fois que deux des troisdimensions de la malle. En revanche les 18 autres élèves uti-lisent le produit des trois dimensions pour le calcul du volume.On peut envisager deux types d’erreurs :

• Type 1 : l’omission de la conversion des unités de mesurechez les 6 élèves qui utilisent 0,58 dans le produit des troisdimensions au lieu de convertir en 58 cm.

• Type 2 : la confusion que font les 7 élèves entre le calculd’une aire et celui d’un volume et qui apparaît commeplus conséquente à gérer par le professeur dans la classeque l’omission de la conversion des unités de mesure.

TROISIÈME PARTIE

Exercice 1 : Reconnaître ou compléter un patron de cube ou de pavé

a. Ce problème peut être proposé à partir de la 2ème année ducycle 3, le CM1. En effet, reconnaître ou compléter un patron


d’un cube ou d’un pavé droit relève du CM1.

b. Deux savoirs, par exemple (on peut en proposer d’autres aussi) :

• savoir ce qu’est un cube : cela permet de chercher à com-pléter par des carrés isométriques à ceux de la figure choi-sie afin d’obtenir les faces du cube ;

• savoir ce qu’est une arête : cela permet une meilleure com-préhension de l’expression « plier le long d’une arête » ouencore « deux côtés se rejoignent pour former une arête ».

Deux savoir-faire, par exemple (on peut en proposer d’autresaussi) :

• reporter une longueur au compas : permet de contrôlerl’isométrie des côtés des carrés construits qui deviendrontles faces du cube ;

• utiliser une équerre pour construire ou vérifier qu’un angleest droit : permet d’assurer que les angles des carrés construitssont droits.

c. À symétrie près, le cube possède 11 patrons différents. La pre-mière figure proposée peut se compléter en n’importe lequelde ces patrons, la seconde en dix d’entre eux (car seul un deces patrons ne présente pas trois carrés d’affilée) En voici troisdifférents :

d. Exemples (difficultés chez des élèves) :

• difficulté à anticiper (avant pliage) les effets des pliages lelong des arêtes à partir d’une une figure plane, construiteou au cours de sa construction ; le pliage est un moyen effi-cace pour invalider des figures planes qui ne correspondentpas à des patrons de cube ;

• difficulté à contrôler l’isométrie des côtés des carrés quiseront les faces du cube après le pliage ;

• difficulté à construire un carré aux instruments ;• difficulté à produire des tracés aux instruments suffisam-

ment justes.

e. Exemple d’aides :

• repasser d’une même couleur sur la figure plane les côtésdes carrés qui se rejoignent pour former une même arête ;cela permet une aide visuelle pour tenter d’anticiper leseffets du pliage ;


• proposer un gabarit d’une des faces carrées pour contrôlerchaque sous figure carrée de la figure plane avant pliage.

Exercice 2 : Résolution de problème et classe à cours multiple

1.a. Une procédure correcte que pourraient mettre en œuvre lesélèves de 3ème année du cycle 3 (en CM2) :

• calculer le nombre total de caramels : d’abord pour unecouche puis multiplier le résultat par le nombre de couches :(9⇥ 5)⇥ 3 = 135 caramels ;

• calculer le nombre total d’élèves : 6 + 9 + 7 = 22 élèves ;• déterminer la part de chacun en divisant 135 par 22 (un

calcul posé est possible) : chaque élève reçoit 6 caramelset il restera 3 caramels (135 = 6⇥ 22 + 3)

1.b. Les connaissances mathématiques que nécessite cette mise enœuvre :

• la multiplication de nombres entiers à un ou deux chiffrespour chercher le nombre de caramels ;

• éventuellement le calcul du volume d’un pavé droit en en-visageant un caramel comme unité de volume et poser leproduit des trois dimensions (en caramels) : 9⇥5⇥3 = 135caramels ; cette interprétation nécessite que l’on soit assezavancé dans l’année de CM2 ;

• l’addition de deux ou plusieurs entiers naturels à un oudeux chiffres ;

• la division euclidienne posée (diviser un entier naturel detrois chiffres par un entier naturel de deux chiffres) pourchercher la part de chacun ;

• si le maître indique aussi aux élèves les dimensions en cen-timètres de la boîte dans la mise en scène de la situation,en plus des informations sur les caramels, l’élève doit avoirsuffisamment de connaissances en lecture et compréhen-sion des données de la situation pour en faire le tri et negarder que les données pertinentes. Ces connaissances enlecture et compréhension de la situation restent valablespour les autres élèves des autres niveaux et ne seront pasmentionnées par la suite.

• on peut aussi mentionner des connaissances en calcul men-tal et réfléchi pour effectuer les opérations (addition ; sous-traction ; multiplication). Ces connaissances consolidées


par ce rituel restent valables pour les autres niveaux etne seront pas mentionnées par la suite.

2.a. Une procédure correcte que pourraient mettre en œuvre lesélèves de 1ère année du cycle 3 (en CE2) :

• calculer le nombre de caramels pour une couche : 5 ⇥ 9caramels (ou encore 9 + 9 + 9 + 9 + 9) soit 45 caramels ;

• calculer ensuite le nombre total pour les 3 couches : 3⇥45caramels (ou encore 45 + 45 + 45) soit 135 caramels ;

• calculer le nombre total d’élèves : 6 + 9 + 7 = 22 élèves ;• déterminer la part de chacun (plusieurs possibilités, en

voici quelques exemples) : par soustractions successives(si on donne 1 caramel à chacun, on retire 22 caramelsdes 135 caramels, puis à chaque étape on retire encore 22jusqu’à ce qu’il ne reste que 3 caramels) ; ou par additionssuccessives de 22 caramels (si on donne à chaque étape 1caramel à chacun on doit arriver à une somme totale aussiproche que possible des 135 caramels) ; ou encore par essaiset ajustements (si on donne 5 caramels à chacun, cela fait110 caramels, il reste encore 25 caramels à distribuer ; onpeut donner encore 1 caramel à chacun, soit 6 caramelsau total et il reste 3 caramels).


• La multiplication d’un entier naturel à un ou deux chiffrespar un entier naturel à un chiffre ;

• l’addition de deux ou plusieurs entiers naturels à un oudeux chiffres ;

• la soustraction d’un entier naturel de 3 chiffres par unentier naturel de deux ou trois chiffres.

Remarque : la division euclidienne d’un entier naturel de 3chiffres par un entier naturel de 2 chiffres n’est pas exigible auCE2.

3.a. Une procédure correcte que pourraient mettre en œuvre lesélèves de 2ème année du cycle 2 (en CE1) :

• calculer le nombre de caramels pour une couche : 9 + 9 + 9+ 9 + 9 soit 45 caramels (éventuellement 5⇥9 caramels) ;


• calculer ensuite le nombre total pour les 3 couches : 45 +45 + 45 soit 135 caramels (éventuellement 3 ⇥ 45 cara-mels) ;

• Calculer le nombre total d’élèves : 6 + 9 + 7 = 22 élèves ;• déterminer la part de chaque élève par essais et ajuste-

ments : si on donne 2 caramels à chacun, cela fait le doublede 22 soit 44 caramels, c’est peu car il en reste beaucoupà partager, si on donne 5 caramels à chacun, soit 22 + 22+ 22 + 22 + 22 (éventuellement 5 ⇥ 22 caramels), celafait 110 caramels, il reste encore 25 caramels à distribuer(car il suffit de retirer une dizaine de 35) ; on peut donnerencore 1 caramel à chacun (car 25 c’est 22 + 3). Chaqueélève reçoit donc 6 caramels au total et il reste 3 caramels.


• l’addition de deux ou plusieurs entiers naturels à un, deuxou trois chiffres et dont la somme est un entier naturel àau plus 3 chiffres.

• éventuellement la multiplication d’un entier naturel à unou deux chiffres par un entier naturel à un chiffre (ici enCE1 par 2 ou 3 ou 4 ou 5) ;

• l’écriture d’un entier naturel ayant au plus 3 chiffres dansle système de numération décimale de position (en unités,dizaines, centaines) ;

• la soustraction de deux entiers naturels ayant au plus 3chiffres.

3.c. Les aides possibles pourrait apporter le maître :

• montrer entièrement ou partiellement les caramels sur unecouche : cela pourrait aider l’élève à concevoir ensuite men-talement une représentation d’une couche de caramels ouà en donner seul une représentation par un dessin qui ser-vira alors de support visuel au raisonnement ;

• fournir un nombre suffisant de caramels (ou de dés oujetons) pour constituer partiellement une couche de cara-mels lorsque la première aide reste inopérante ;

• fournir de quoi constituer une couche complète de cara-mels si la difficulté persiste ; -


• pour d’autres élèves (qui arrivent à démarrer une recherchemais rencontrent des difficultés) suggérer éventuellementde faire un dessin pour représenter partiellement (ou com-plètement) une couche de caramels sans leur fournir dematériel (dés ou jetons ou caramels).

3.a. L’intérêt d’une mise en commun des procédures et des résultatsentre tous les élèves de la classe :

• mettre en scène la diversité des procédures correctes decalcul ;

• mettre en scène chaque fois l’invariance du résultat correctpar rapport à une diversité de procédures correctes ;

• une procédure de calcul mal comprise par un élève peutêtre éclairée par une autre moins avancée, par exemple :

• une multiplication (CE2 : 3 fois 45) explicitée comme équi-valente à une addition répétée (CE1 : 45 et 45 et 45) ;

• une addition répétée explicitée comme modèle de calcul dunombre d’éléments d’une collection de caramels organiséeen lignes et colonnes (CE1 et CE2 : 5 fois 9 ou 9 fois 5) ;

• une multiplication et une addition (CE2 : 135 c’est 6 fois22 et on ajoute 3) explicitée comme moyen (CM2) pourcontrôler le quotient et le reste dans la division euclidiennede 135 par 22 ;

• mettre en scène qu’un même problème peut être cherchépar différentes classes de cycles différents avec des procé-dures différentes.

3.b. On peut envisager l’organisation de cette mise en commundans la classe comme suit (plusieurs organisations restent pos-sibles) : Il est indiqué dans le texte que « chacun des troisniveaux travaille indépendamment des autres niveaux » sansautre précision. Cela laisse le choix : par exemple, le profes-seur peut, préalablement à la mise en commun, d’abord invi-ter chaque élève à chercher seul durant un certain temps puis,pour un second temps, proposer aux élèves de constituer deuxéquipes de 3 élèves en CE1, 3 équipes de 3 élèves en CE2 et2 équipes respectivement de 3 et 4 élèves en CM2. Les élèves,dans chaque équipe, sont invités :

• à se mettre d’accord éventuellement pourquoi, selon eux,certaines procédures et certains résultats proposés par euxne sont pas corrects ;


• à se mettre d’accord sur les procédures et réponses cor-rectes pour pouvoir les exposer et les expliquer à la classe ;une affiche devra être préparée.

Une telle organisation permet d’obtenir au plus 7 affiches pourune mise en commun. Le professeur organise ensuite le débat :chaque équipe présente ses travaux, les autres élèves peuventdemander des explications ou éventuellement, des élèves d’unmême niveau, peuvent valider ou invalider une procédure ouun résultat (éventuellement en distribuant des jetons ou cara-mels). Des élèves de niveaux plus avancés peuvent réinterpré-ter une procédure correcte ou un résultat correct à partir deprocédures plus expertes ou encore repérer et signaler des ano-malies. Le débat une fois réalisé (durant un temps suffisant),le professeur reprend la main et termine la mise en communen réalisant une synthèse collective :

• des procédures non correctes et des résultats non correctsrelevés dans chaque niveau ;

• des procédures et résultats corrects trouvés dans chaqueniveau ; éventuellement indique les procédures les plus ra-pides parmi celles trouvées pour chaque niveau.



2014-2015 — SESSION 1

PREMIÈRE PARTIE

L’énoncé de ce sujet setrouve page 55A - Démontrer le théorème de Pythagore

1. Puisque ABC est rectangle en B, ’ABC = 90°

D’autre part, puisque ABGF est un carré, ’ABG = 90° De cefait, ABC + ABG = 180°, donc G, B et C sont alignés.Comme (GB)//(FA) et C appartient à (GB),on a également

(GC)//(FA).

Sur les copies, on a très souvent lu l’argument suivant : « Get B sont alignés, car ce sont deux sommets consécutifs d’uncarré ; B et C sont alignés, car ce sont deux sommets d’untriangle. Donc B, B et C sont alignés ».La première phrase est absurde : en fait, deux points du plan(ou de l’espace) sont TOUJOURS alignés. Des points sontalignés s’il existe une droite (du plan, de l’espace) qui passentpar tous ces points. C’est automatiquement vrai si on parlede deux points ! Il semble qu’il y ait chez certains étudiantsconfusion avec le fait que la droite en question est ou nonreprésentée sur la figure.De plus, ce n’est pas parce que G et B sont alignés (ils lesont forcément) et que B et C le sont (ils le sont forcément)qu’on peut conclure que G, B et C sont alignés.

2. On utilise l’un des cas d’égalité (isométrie) des triangles. AF =AB (car ABGF est un carré) et AC = AD (car ACED estun carré).De plus ’FAC = ’BAD(car ’FAC = 90° + ’BAC et ’BAD =

90° +’BAC)Dès lors, les triangles AFC et ABD sont superposables (ou« égaux », ou isométriques).


Beaucoup d’étudiants ont « oublié » de préciser l’égalité desangles. D’autres se sont trompés d’angles, en considérantqu’il s’agissait d’angles droits. Notons que certains ont notéles angles A, par exemple, ce qui est très ambigu et sourced’erreur parce qu’il y a plusieurs angles de sommet A sur lafigure.

3. Les deux triangles AFG et AFC ont même base, [AF ], etmême hauteur, G et C étant situés sur une parallèle à (FA). Ilsont donc la même aire. Même démonstration pour les trianglesABD et ALD.

4. A(AFGB) = 2⇥A(AFG) et A(AILD) = 2⇥A(ALD)Or : A(AFG) = A(AFC) = A(ABD) = A(ALD).On en conclut : A(AFGB) = A(AILD).

5. Par un raisonnement identique on démontre que l’aire du carréBHKC est égale à l’aire du rectangle ICEL. On a donc :

A(ACED) = A(AILD)+A(ICEL) = A(AFGB)+A(BHKC)

ce qui se traduit bien par

AC2 = AB2 +BC2

Ce qui démontre le théorème de Pythagore.

B - Triplets pythagoriciens

1. 1192 = 14161 ; 1202 = 14400 ; 14161 + 14400 = 28561 etp28561 = 169. On a donc un triplet pythagoricien (119, 120, 169)

car 1192 + 1202 = 1692.Deux interprétations étaient possibles pour la question « Soientles deux nombres entiers 56 et 65. Déterminer le troisièmenombre de telle sorte que le triplet soit pythagoricien. »

• On calcule que 562 = 3136 ;652 = 4225 ; 4225 � 3136 =1089 et

p1089 = 33. D’où le triplet pythagoricien (33, 56, 65)

car 332 + 562 = 652.• On peut aussi considérer que l’expression "le troisième

nombre" semble indiquer que ce doit bien être le troisièmedans le triplet. Or on constate que 3136+4225 = 7361 n’estpas un carré parfait. Il n’existe donc pas de troisième entiern tel que (56, 65, n) soit un triplet pythagoricien.


2.a. Si N est impair, on peut poser : N = 2p + 1. pour un certainentier p. Alors

N2 = (2p+ 1)2 = 4p2 + 4p+ 1 = 2(2p2 + 2p) + 1

Dès lors, N2 est un nombre impair.

2.b. Si N est impair, alors N2 est impair (d’après la question 2.a.)et donc N2 � 1 et N2 + 1 sont pairs.

2.c. Par définition, dans un triplet pythagoricien les nombres sontdes entiers. Or, si N est pair, disons N = 2p, alors N2 = 4p2

est pair lui aussi, et N2 � 1 et N2 + 1 sont impairs, de sorteque N2�1

2 et N2+12 ne sont pas des entiers.

2.d. D’abord, on a vu à la question 2.B. que si N est impair, alorsle triplet (N, N

2�12 , N

2+12 ) est bien un triplet d’entiers. Il reste

à vérifier que la somme des carrés des deux premiers est égaleau carré du troisième. Or

N2 +

ÅN2 � 1

2

ã2= N2 +

(N2 � 1)2

4

=4N2 + (N2 � 1)2

4

=4N2 +N4 � 2N2 + 1

4

=N4 + 2N2 + 1

4

=(N2 + 1)2

4

=

ÅN2 + 1

2

ã2

CQFD

2.e. Voici le tableau :N N2�1

2N2+1

23 4 55 12 137 24 259 40 41

On constate que les nombres des deuxième et troisième co-lonnes sont des nombres entiers consécutifs. En effet :

N2 � 1

2+ 1 =

(N2 � 1) + 2

2=

N2 + 1

2


Les nombres N2�12 et N2+1

2 sont donc bien deux entiers consé-cutifs.

DEUXIEME PARTIE

Exercice 1

1.1. • 4 s’écrit :

• 56 s’écrit :

• 584 s’écrit :

• 1896 s’écrit :

1.2. Non, la numération chinoise n’est pas une numération de posi-tion. En effet, la valeur de chacun des chiffres est indépendantede sa position dans le nombre. On peut ajouter qu’il n’est paspossible d’écrire tous les nombres avec un nombre fini de signes(chiffres). Il est nécessaire d’introduire un nouveau signe pourchaque nouvelle puissance de dix. De plus le zéro est inutilepuisqu’il ne faut pas indiquer qu’une puissance fait défaut dansl’écriture d’un nombre.

Certains ont défendu l’idée qu’il s’agissait d’une numération deposition, car la position d’un chiffre dans le nombre a de l’im-portance : placé devant une puissance de dix, il a pour effet de lemultiplier. En réalité, cela ne fait pas de ce système un système denumération de position si l’on considère que la position du chiffrene modifie pas sa valeur : elle modifie sa fonction. Toutefois,convenant que l’expression « numération de position » pouvaitêtre considérée comme ambiguë, le jury avait décidé d’admettrecette réponse.

2.1. On a représenté le nombre 46543 sur le boulier chinois de lafigure 1.


2.2. Pour l’écriture de dix, sur le boulier chinois, on a les troisdispositions suivantes :

Exercice 2 (D’après un sujet de concours blanc de l’IUFM d’AixMarseille en 2007)

1. Recherche des nombres désignant une fraction décimale Un nombre est décimalsi :

• On peut écrire cenombre sous laforme d’une frac-tion de nombresentiers dont ledénominateur estune puissance de10.

• On peut écrire cenombre sous laforme d’une frac-tion irréductibled’entiers dont ledénominateurpeut se décom-poser sous laforme 2p⇥5q , oùp et q sont desentiers naturels.

Et comme l’écritured’un rationnel sousforme de fractionirréductible est unique,il vient que si lafraction irréductible enquestion n’a pas cetteforme, alors le nombren’est pas décimal.

A = 142113 . En décomposant le numérateur 146 en un pro-

duit de facteur premier, on obtient 146 = 2⇥ 73 113 n’estdivisible ni par 2, ni par 73. La fraction est donc irréduc-tible. On pouvait également observer que 113 est premier,et 146 n’est évidemment pas divisible par 113.Le dénominateur de A n’est pas sous la forme 2p ⇥ 5q. An’est donc pas un nombre décimal.

• B = 3235 . La fraction est irréductible (car 35 = 5 ⇥ 7 et

ni 5 ni 7 ne divise 32. Comme le dénominateur de cettefraction réduite est divisible par un nombre premier autreque 2 et 5, B n’est pas un nombre décimal.

• Pour C = 3124 : 31 est un nombre premier et 24 = 23 ⇥ 3.

La fraction est donc irréductible ; et son dénominateur ne


peut se décomposer sous la forme 2p ⇥ 5q. C ne désignepas un nombre décimal.

• Nous allons voir que D peut s’écrire sous forme de frac-tion décimale. On notera que l’écriture donnée n’est pasréduite.

D =195

150

=65

50

=130

100

D est un nombre décimal

Remarque : Pour cette question, il y avait a priori deux mé-thodes possibles : soit procéder comme ci-dessus, soit calculerle développement décimal du nombre, et déterminer s’il estlimité ou non. Cependant,(a) La deuxième méthode était en pratique fort peu appli-

cable pour A, car (vérification faite avec patience parl’auteur de cette remarque !) la période est de longueur113 ! Il aurait fallu, pour la trouver, pousser la divisionjusqu’à la 113ème décimale !

(b) Pour l’appliquer, il fallait effectivement faire le calcul. Enaucun cas, la calculatrice ne permet de déterminer aveccertitude s’il y a ou non une période, même si elle peuten donner l’intuition. En effet, la calculatrice ne donnequ’un nombre limité de décimales, qu’on peut considé-rer comme toutes correctes (sauf la dernière qui est uneapproximation par défaut ou par excès).

2. Rangement dans l’ordre croissant :D’abord, il est évident que B est le plus petit de ces quatrenombres, car c’est le seul qui soit inférieur à 1.Comme le dénominateur de A est un nombre premier, il seraitsans doute fastidieux de comparer ces trois nombres en lesmettant au même dénominateur. On peut facilement comparerA et D :

A =146⇥ 100

113⇥ 100=

14 600

11 300et D =

130

100=

130⇥ 113

100⇥ 113=

14 690

11 300

donc A < D.Comparons maintenant A et C :


A =146⇥ 24

113⇥ 24=

3 504

2 712et C =

31⇥ 113

24⇥ 113=

3 503

2 712

donc C < A. Finalement, nous avons donc : B < C < A < D

On aurait également pu considérer les écritures décimales deces trois nombres : D = 1, 3 ; 1, 29203 < A < 1, 29204 et1, 29166 < C < 1, 29167. On en conclut donc C < A < D.Remarque : Ici, en revanche, l’utilisation de la calculatrice étaitlégitime, considérant qu’elle donne selon les cas 10 à 15 déci-males correctes, et sachant qu’il suffisait de regarder les quatrepremières décimales après la virgule pour effectuer les compa-raisons.

3. Fraction décimale comprise entre A et C Si l’on considère lesencadrements des nombres précédents, on peut par exemplechoisir le nombre décimal 1,2917 compris entre A et C. Sonécriture fractionnaire est 12 917

10 000 .

Exercice 3

1. Faux.Le fait que les diagonales du quadrilatère soient de même lon-gueur n’assure pas le fait que ce quadrilatère soit un parallé-logramme (elles doivent aussi se couper en leurs milieux).Remarque : voici un exemple explicite (en fait, pour en trou-ver un, il suffit de tracer deux segments de même longueur etqui ne se coupent pas en leurs milieux, et qui seront les dia-gonales du quadrilatère qu’on tracera ensuite. Dans le cas decet exemple, les diagonales sont même perpendiculaires entreelles !)

A

B

C

D


Beaucoup d’étudiants ont répondu que cette affirmation étaitfausse, parce qu’un quadrilatère dont les diagonales sont demême longueur est un rectangle. Cette justification étaitdoublement fausse. D’abord, parce que comme le montre lafigure ci-dessus, un quadrilatère dont les diagonales sont demême longueur n’est pas nécessairement un rectangle. En-suite, parce que si cela avait été vrai que notre quadrila-tère est un rectangle, il aurait automatiquement été aussiun parallélogramme, puisque tout rectangle est un parallélo-gramme.

2. VraiSi un quadrilatère possède trois angles droits, alors c’est unrectangle. Or un rectangle est un parallélogramme particulier.

3. • Montrons d’abord que ABCD est un losange.ABD est un triangle rectangle en A. On peut donc appli-quer le théorème de Pythagore : BD2 = AB2 + AD2. OrAB et AD sont égaux donc BD2 = 2AB2

BCD est un triangle rectangle en C. On peut donc appli-quer le théorème de Pythagore : BD2 = BC2 +DC2. OrBC = DC donc BD2 = 2BC2.On en déduit donc que AB = BC. Ainsi AB = AD =BC = DC. ABCD est donc un losangeTout quadrilatère qui a

4 côtés de même lon-gueur est un losange. • Montrons que ABCD est un carré.

Nous venons de montrer que ABCD est un losange. D’aprèsl’énoncé, ABD est rectangle en A. Donc ABCD a un angledroit : c’est un carré.Tout losange qui a au

moins un angle droitest un carré. Il était aussi possible de donner une autre démonstration :

ABD est un triangle rectangle isocèle, donc ses angles aigussont tous les deux des angles de 45 degrés. Il en est de même deBCD. Donc finalement les angles en B et en D du quadrilatèrevalent tous les deux 45° + 45° = 90°. Finalement le quadrila-tère a ses quatre angles droits, c’est un rectangle. Mais, parexemple, AB = AD. Le rectangle a deux côtés consécutifs demême longueur, c’est un carré.

Exercice 4

1. Le « ou » est employé ici dans son sens exclusif. Cela veut direque toutes les barquettes doivent contenir le même nombre depommes. Il faut donc déterminer N à la fois multiple de 6, de8 et de 9 et tel que et 1700 N 1750. On calcule le PPCMde 6, 8 et 9, car le multiple commun recherché est forcément


multiple de ce PPCM :6 = 2⇥ 3 ; 8 = 23 ; 9 = 32.Le PPCM est donc 23 ⇥ 32 = 72Le nombre cherché est donc un multiple de 72 compris entre1700 et 1750. Il faut donc déterminer k entier tel que : 1700 72k 1750 ou encore 1700: 72 k 1750: 72. Comme1700: 72 ⇡ 23, 61 et 1750: 72 ⇡ 24, 3 et que k doit être entier,on obtient alors k = 24 et N = 24⇥ 72 = 1728.

2. Il faut ici déterminer k0 entier tel que 750 72k0 800, soit750: 72 k0 800: 72. On obtient alors 10, 41 . . . k0 11, 1 . . . , donc k0 = 11, et le nombre à déterminer est unique :c’est 72⇥ 11 = 792.

Il était possible de procéder autrement, par exemple en utilisantdes critères de divisibilité pour chercher un multiple commun de6, 8 et 9 entre 1700 et 1750 dans le premier cas, entre 750 et 800dans le second. Etant donné que pour la première question onvous donnait l’information que la solution était unique, il étaitsuffisant de montrer que 1728 était une solution. En revanche,pour la seconde, l’information n’était pas donnée, il fallait doncnon seulement justifier que 792 était une solution, mais aussi qu’iln’y en avait pas d’autre.

TROISIÈME PARTIE

Exercice 1.

Exercice élaboré à partir d’une analyse de la situation « le jeu du

banquier » présentée dans le ERMEL, apprentissages numériques,

CP et d’un sujet de concours blanc d’Aix en 2006-2007.

Appropriation de la situation

1.a. Évolution de la collection de jetons possédée par chacun desjoueurs

Joueur A5 4 3 6 2 5R RJJJJ RRJJ RRRJJJ RRRR B

Joueur B6 2 4 5 6 1RJ RJJJ RRJJ RRRJJ RRRRJJJ RRRRJJJJ

1.b. Le joueur A a gagné : il a obtenu un jeton bleu (dont la valeuréquivaut à 25 jetons jaunes), alors que le joueur B n’a puobtenir que des jetons rouges et jaunes.


On peut vérifier en calculant le nombre total de jetons jaunesobtenus par chacun des joueurs.

• Pour A : 25 jetons jaunes (soit un jeton bleu après échangessuccessifs)

• Pour B : 24 jetons jaunes (soit 4 jetons rouges et 4 jetonsjaunes après échanges successifs).

La réponse attendue était bien que A a gagné, parce qu’il a puobtenir un jeton bleu alors que B n’a pas pu en obtenir. Cepen-dant, vu le libellé de la question, la réponse « A a gagné, parquequ’il a obtenu l’équivalent de 25 jetons jaunes, et B seulement24 » (présentée plus haut comme une vérification) est évidem-ment correcte.Cependant, il est intéressant d’aller plus loin que ce qui était de-mandé et de comprendre l’enjeu pédagogique de cette question.Il est clair que la justification en termes de nombres (décoder lerésultat pour obtenir 24 ou 25) est mathématiquement correcte,et serait peut-être nécessaire pour certains élèves (mais cette ma-nière de procéder serait très malaisée pour comparer des situa-tions dans lesquelles il y aurait des gains de jetons verts (valant125 points). Nous sommes au CP ! L’idée est plutôt de permettrede développer des justifications du premier type. Elles soulèventdeux questions :

• Une question d’ordre mathématico-psychologique : commentadmettre que celui qui a le moins de jetons a gagné ? Cequi met en évidence la différence valeur-quantité, dont il estquestion plus loin

• Une question purement mathématique : passé l’obstacle psy-chologique, comment justifier que celui qui a un jeton bleua gagné ? Quelques étudiants ont pensé à inclure cette jus-tification dans leur réponse : pour obtenir un jeton bleu, ilfaudrait avoir cinq jetons rouges, .

Pourquoi « enjeu pédagogique » ? Parce que la question se posede même lorsqu’on parle d’unités, de dizaines et de centaines.Il nous semble évident que 99 est plus petit que 100, parce que100 c’est 99 plus 1, ou encore parce que 100 vient juste après 99.Mais l’enjeu de tout cela, c’est que 100 c’est dix dizaines, que99 c’est 9 dizaines et 9 unités, et que dix dizaines c’est plus queneuf dizaines et neuf unités puisque avec 9 unités on ne peut pasobtenir une dixième dizaine.


2.a. La collection JJBJBV BJJ comporte 5 jetons jaunes. Si l’équipeavait respecté la règle d’échange de 5 contre 1, ces jetons au-raient dû être échangés contre un jeton rouge.

2.b. Après échanges,la collection de cette équipe aurait dû être :V BBB R. En base 5, le nombre de points obtenu s’écrit donc :13105, puisque un jeton R correspond à une valeur de 5, unjeton B à une valeur de 52 = 25 et un jeton bleu à une valeurde 53 = 125.

À propos de l’ensemble de l’activité

3. Les objectifs ne concernant pas spécifiquement cette activité :1 , 2 et 5.

N° 1 : Travailler l’aspect ordinal du nombre : nonUn travail autour de l’aspect ordinal du nombre porte surla suite ordonnée des nombres (suivant, précédent, pre-mier, deuxième. . .). Cette situation permet plus spécifi-quement de travailler l’aspect cardinal des nombres, c’est-à-dire le nombre dans sa capacité à garder mémoire d’unequantité, lié à la valeur des jetons de couleur. Elle dé-bouchera à terme sur un travail sur les principes de nu-mération de notre écriture chiffrée des nombres (systèmepositionnel en base 10).

N° 2 : Fixer définitivement un codage en couleur des nombres :nonIci, la couleur des jetons résulte d’un choix de variable di-dactique visant à aider les élèves à différencier les jetonsobtenus après échanges (et donc la valeur des jetons).On peut d’ailleurs envisager de prolonger cette situationpar un jeu ne faisant intervenir que des jetons de mêmecouleur et proposer aux élèves de différencier les jetonsde valeurs différentes en utilisant un abaque, ce qui per-met d’introduire ce qui deviendra ensuite un tableau denumération.

N° 3 : Travailler sur les principes de notre système de numéra-tion de position : ouiCette activité est une activité de type « situation d’échange ».Elle s’insère dans un travail global autour des principes denotre système de numération chiffrée, plus spécifiquementla notion de regroupement par 10. Elle peut égalementdéboucher sur un travail autour de la valeur des chiffresen fonction de leurs positions dans l’écriture chiffrée des


nombres.Remarquons toutefois que le système employé ici n’est paspositionnel : JJV rend compte du même nombre que JV Jou V JJ .

N° 4 : Différencier valeur et quantité : ouiC’est certainement l’objectif essentiel de cette activité quede faire découvrir que l’on peut « être plus riche » avecmoins de jetons et donc d’amener les élèves à considérerla couleur des jetons avant de s’intéresser à leur nombre,dans une activité de comparaison par exemple. Ceci pré-pare bien sûr le travail sur les règles de comparaison desnombres entiers.

N° 5 : Introduire le zéro : nonLe système de jetons ne comporte pas de zéro.

• Justifier sa réponse, c’est bien dire pourquoi on reprendtel objectif dans ceux qui ne concernent pas spécifique-ment cette activité, mais aussi pourquoi on ne reprendpas tel autre. Il fallait donc une justification pour cha-cune des cinq propositions.

• Il était bien spécifié que la question portait sur l’en-semble de l’activité, et non sur la seule première phase.

4. Type d’activitéL’activité étudiée ici relève d’une situation dite « d’échanges ».Il s’agit d’amener les élèves à effectuer des échanges, avecdes règles d’échanges souvent variées (échanges de 3 contre1, échanges de 5 contre 1...) pour aboutir à des échanges de 10contre 1. L’objectif de ces situations est de travailler les rela-tions entre les unités de notre système de numération (unités/ dizaines / centaines...) et de faciliter la compréhension desprincipes de notre système de numération (en particulier de labase 10).Des problèmes de type « situation de groupement » sont égale-ment classiquement proposés pour un travail sur la numérationen cycle 2. La démarche consiste à amener les élèves à dénom-brer une collection en effectuant un regroupement des élémentspar paquets successifs de dix, d’abord les paquets de dix, puisles paquets de paquets de dix, etc. Ces activités permettent detravailler à la fois le caractère positionnel de notre système denumération chiffrée et le fait que ce système de numération estun système en base 10.


À propos de la phase 1 (« Échanges 5 contre 1 »)

5.a. Cette première phase du jeu doit permettre aux élèves une ap-propriation de la situation : compréhension du jeu, du rôle dechacun, des règles d’échanges. . .Le nombre 5 est relativement petit, ceci permet que les activi-tés d’échange se mènent plus rapidement, avec moins de risqued’erreur (qu’avec une règle de 10 contre 1). Les échanges suc-cessifs de différents ordres apparaissent plus souvent et avecdes collections peu importantes (en groupant par 10, il fautdépasser 99 pour obtenir un échange du deuxième ordre).Notons également que le nombre 5 est par ailleurs lié au sup-port privilégié que constitue la main (support qui facilite lepassage au calcul) Cela permet aussi de vérifier plus facile-ment qui a gagné, par exemple en rééchangeant les jetons etles comptant.

5.b. Règle de comparaisonComme évoqué lors de la réponse à la question 3., l’un desprincipaux objectifs de cette activité est d’amener à différen-cier valeur et quantité et à prendre conscience que l’on peutgagner avec moins de jetons que l’adversaire. Ici, la règle decomparaison consistera à comparer successivement le nombrede jetons dans l’ordre décroissant de leur valeur : on compared’abord le nombre de jetons verts obtenus par chaque équipe,puis le nombre de jetons bleus, puis rouges, puis jaunes.

À propos de la phase 2 (« échanges 10 contre 1 »)

6.a. Si la phase 1 constituait une phase d’appropriation de la si-tuation et du système d’échange, la phase 2 constitue le cœurde l’activité. La règle de 1 contre 10 est alors la même quecelle qui régit les relations entre les unités de notre systèmede numération chiffrée. Les objectifs de l’enseignant sont alorsd’établir des liens entre les écritures chiffrés des entiers et ceséchanges de 10 contre 1. Dans l’activité proposée, ces liens ap-paraissent encore modestement : dans la lecture des nombresentre 10 et 30 sur les cartons faisant office de dés, et dans lesexercices, lorsqu’il faut écrire en chiffres le résultat final. Uncodage chiffré des collections de jetons obtenus au cours desparties pourra donner lieu par la suite à un travail sur la va-leur des chiffres en fonction de leur position dans l’écriture desnombres, ainsi qu’à un travail sur les règles de comparaison desnombres entiers (du moins entre 1 et 100). Plus précisément,il s’agit :


• par ces échanges, d’amener les élèves à être convaincus del’équivalence une dizaine = dix unités.

• d’appréhender la signification des chiffres dans l’écrituredes nombres, en commençant à établir une correspondanceentre ces chiffres et le résultat d’un échange avec la règle10 contre 1.

• d’aborder un premier travail sur les règles de comparaisondes entiers, à travers une différenciation entre valeur etquantité

6.b. L’enseignant ne propose de jouer qu’avec les cartes numérotésde 20 et 30 pour favoriser l’anticipation des échanges. Un en-fant tirant 27 hésitera peut-être à demander 27 cartons 1, etsera amené à demander 2 cartons 10 et 7 cartons 1.Il s’agissait de nombres suffisamment petits pour être familiersaux élèves, mais suffisamment grands pour aboutir assez viteà des échanges de dizaines contre des centaines.

6.c. Procédures de représentation des gains visées :Durant cette activité, les élèves ont gagné des cartons de 100,des cartons de 10, des cartons de 1. On est en CP, il ne s’agitdonc pas encore d’être capable de lire et écrire des nombres àtrois chiffres. Mais pour aller vers la numération de position,on peut très bien représenter la collection de chaque élève enl’organisant dans un tableau, par exemple comme suit :

Cartons Cartons Cartons100 10 12 3 1

On notera que cette activité, au CP, n’est pas contradictoireavec le fait que les programmes n’évoquent les nombres quejusqu’à 100 : il s’agit ici de gains en termes de cartons de 100,de 10 et de 1. Il ne s’agit pas, dans cet exemple, de lire lenombre 231.

6.d. Comme lors de la phase précédente, il s’agit de différencier va-leur et quantité et de comparer successivement les nombres decartons dans l’ordre décroissant de leur valeur.On compare d’abord le nombre de cartons de 100. En cas d’éga-lité, on compare le nombre de cartons de 10 ; en cas d’égalitéencore, on compare le nombre de cartons 1.On peut voir le lien avec les règles de comparaison des entiers :Pour un nombre à 3 chiffres par exemple, on compare d’abord


le chiffre des centaines. Si les deux nombres ont le même chiffredes centaines, on compare celui des dizaines. En cas d’égalité,on compare enfin le chiffre des unités. Mais ce ne sont pas cesrègles qui sont explicitement visées ici (d’autant moins que lesélèves ne sont pas censés à ce stade parler de « chiffre des cen-taines »). Le maître pourra en prolongement aborder ces règlesdans le cadre des nombres à deux chiffres.

Exercice 2

Rapide analyse des exercices

Il s’agit de trois exercices d’entraînement autour du thème de lanumération. Étant donné que l’on demande bien d’analyser chaqueproduction au regard des objectis, on commencera pour chaqueanalyse par les déterminer.

• Premier exercice et production de ThéoLes élèves sont amenés à recomposer l’écriture chiffrée d’unnombre à partir d’une décomposition de ce nombre en uni-tés, dizaines, centaines. Cet exercice mobilise des connaissancessur la valeur des chiffres en fonction de leur position dans unnombre (et la place des unités/dizaines/centaines dans les écri-tures chiffrés).Théo témoigne de difficultés concernant l’aspect positionnel denotre système de numération chiffrée. Il juxtapose les chiffresdonnés dans l’énoncé, dans l’ordre dans lequel ils figurent dansl’énoncé, sans prendre en compte la valeur des unités et leurposition dans l’écriture chiffrée des nombres.

• Deuxième exercice et production d’ÉlisaCet exercice est du même type que l’exercice précédent. Nousremarquons toutefois qu’ici le nombre d’unités de chaque ordredonné ne correspond pas nécessairement au chiffre de cetteunité figurant dans le nombre. Des regroupements d’unités demême ordre et des échanges sont parfois nécessaires. En plusdes connaissances mobilisées dans l’exercice précédent, la réso-lution de cet exercice rend donc nécessaire la mise en œuvre deconnaissances sur les relations entre les unités d’ordre différent(en lien avec la base 10).C’est justement ce type de connaissances qu’Élisa a dû mal àmobiliser ici : elle n’effectue par l’échange de 10 dizaines en 1centaines dans le b), ajoute 12 unités et 3 unités au lieu de15 dizaines et 3 unités dans le c), 21 unités et 14 unités au


lieu de 21 dizaines et 14 unités dans le d. Si elle échange cor-rectement 10 unités contre 1 dizaine dans le a), elle éprouvesans doute des difficultés avec la relation entre dizaines et cen-taines et confond alors dizaines et unités dans le traitement del’exercice.

• Troisième exercice et production de RémyL’exercice 3 constitue un problème, toujours relatif au thèmede la numération. Il s’agit de lire le nombre de dizaines (et nonle chiffre des dizaines) dans un nombre à 3 chiffres.Rémy n’utilise pas la lecture directe du nombre de dizainesdans 118. Il cherche combien de fois 10 est contenu dans 118 etessaie d’approcher 118 via une addition itérée de 10 (procédurede résolution d’une multiplication à trou). On peut penser qu’ilcontrôle au fur et à mesure en comptant de dix en dix. Sadécomposition est juste mais sa phrase de conclusion erronée.Sa difficulté consiste à retrouver le nombre de billets de 10correspondant à sa décomposition.



2014-2015 — SESSION 2

PREMIÈRE PARTIE

L’énoncé de ce sujet setrouve page 661. Les valeurs possibles pour a : ce sont les entiers compris entre

1 et 9.

2. Le chiffre des centaines de N : c’est c

3. Le nombre de dizaines de N : c’est abcd (nombre de 4 chiffrescar N = abcd⇥ 10 + e)

4. Que N est divisible par 9 signifie qu’il existe un entier k telque N = 9⇥ k.QUe N = abcde signifie que N = a ⇥ 10000 + b ⇥ 1000 + c ⇥100 + d ⇥ 10 + e ; or 10 000 = 9 999 + 1 ; 1 000 = 999 + 1 ;100 = 99+1 ; 10 = 9+1. Et on remarque que 9 999 = 9⇥1 111 ;999 = 9⇥ 111 ; 99 = 9⇥ 11. Les quatre nombres 9999, 999, 99et 9 sont multiples de 9.On a alors :

N = a⇥(9 999+1)+b⇥(999+1)+c⇥(99+1)+d⇥(9+1)+e

En appliquant la propriété de distributivité de la multiplica-tion sur l’addition, on obtient :

N = a⇥ 99 99 + b⇥ 999 + c⇥ 99 + d⇥ 9 + a+ b+ c+ d+ e

D’où l’égalité :

a+b+c+d+e = N�9⇥1111⇥a�9⇥111⇥b�9⇥11⇥c�9⇥d(3.1)

avec N = 9⇥ k.Dès lors,

a+ b+ c+ d+ e = 9(k � 1111⇥ a� 111⇥ b� 11⇥ c� d)

Or, k � 1111⇥ a� 111⇥ b� 11⇥ c� d est un nombre entiernaturel. Dès lors, par définition, a+b+c+d+e est un multiplede 9.Autre proposition de preuve :On aboutit cmme ci-dessus à l’égalité 3.1. Ensuite : N , a ⇥9 999, b ⇥ 999, c ⇥ 99 et d ⇥ 9 sont des multiples de 9 : lepremier par hypothèse, les trois autres parce que multiples


d’un multiple de 9. La somme des trois derniers est aussi unmultiple de 9. La différence N � (a⇥ 9999+ b⇥ 999+ c⇥ 99+d⇥9) est encore un multiple de 9 (parce que différence de deuxmultiples de 9 ; on peut donc en déduire que a+ b+ c+ d+ eest un multiple de 9.

5. N = abcde et M = ebcda.

M �N = e⇥ 10 000 + b⇥ 1 000 + c⇥ 100 + d⇥ 10 + a

�(a⇥ 10 000 + b⇥ 1 000 + c⇥ 100 + d⇥ 10 + e)

= e⇥ 10 000 + b⇥ 1 000 + c⇥ 100 + d⇥ 10 + a

�a⇥ 10 000� b⇥ 1 000� c⇥ 100� d⇥ 10� e

= e⇥ 10 000 + a� a⇥ 10 000� e

= e⇥ 9 999� a⇥ 9 999

= = (e� a)⇥ 9 999

Or 9 999 = 99⇥101 ; M �N = 99⇥ (e�a)⇥101.(e�a)⇥101est un nombre entier naturel. Par définition M � N est doncun multiple de 99.

6. Reprenons la question précédente. La différence entre M et Na été calculée. Suivant la valeur de e ? a, M-N peut être positifou négatif mais on a toujours : M �N = 99⇥ (e� a)⇥ 101 ;remarquons que 99 = 9⇥11. D’où M�N = 101⇥11⇥(e�a)⇥9(nous avons utilisé la commutativité de la multiplication dansles entiers relatifs).En divisant M � N par 101, on obtient le quotient exact :11⇥ (e� a)⇥ 9.En divisant ce quotient par 11, on obtient un second quotientexact : (e� a)⇥ 9.Ce quotient est par définition est un multiple de 9 ; la sommedes chiffres est donc un multiple de 9.

DEUXIÈME PARTIE

Exercice 1

1. Proposition vraie : tout entier peut s’écrire sous forme d’unefraction décimale. Si N est un entier, alors N = N

1 , et ceci estune fraction décimale.

2. Proposition fausse : contre-exemple, n’importe quel losange quin’a pas d’angle droit. Un tel losange n’est pas un carré.


3. Proposition fausse : la propriété de l’inégalité triangulaire n’estpas vérifiée puisque CA > BC + AB. Un tel triangle n’existedonc pas.

Exercice 2

1. Le choix des instruments était libre et aucun programme deconstruction n’était demandé, mais, à toutes fins utiles, nousproposons ici une construction à la règle et au compas, accom-pagnée d’un programme de construction.

Ba C

C

C0

DE

D

A

Programme de construction :

• Tracer une droite a.• Sur cette droite, choisir un point B.• Tracer un cercle C quelconque de centre B. Il coupe a en

deux points C et C 0.• Tracer un cercle D de centre C 0 passant par C et un cercleE de centre C et passant par C 0. Ils se coupent en deuxpoints, nommons D l’un de ces points.

• Tracer le segment [BD]. Il coupe C en un point A.• Tracer le segment [AC]. Le triangle BAC est isocèle rec-

tangle en B.

L’angle a =’BAC a pour mesure en degrés : 45°. Justification :ce triangle est isocèle en B. Les angles angles à la base a =


’BAC et c =’BCA sont donc égaux et mesurent 180°�’ABC2 , soit

45° puisque l’ angle au sommet b =’ABC est droit.

2. Le triangle ABC est rectangle en B. On peut appliquer lethéorème de Pythagore : AC2 = AB2 + BC2 ; or AB = BC,donc AC2 = 2BC2 d’où AC = BC ⇥

p2.

3. D’après la formule, on a : sin(45°) = BCAC ; sin(45°) = BC

BC⇥p2=

1p2.

4. Puisque la réponse est demandée au mètre près, convertissons50 km en m : 50 km = 50 000 m. On a :

h

50 000= sin(15°)

donc

h = 50 000⇥ sin(15°)

= 50 000⇥p6�p2

4= 12 500⇥

p6�p2 m

⇡ 12 941 m.

Cet exercice portait sur la trigonométrie, mais aucune connais-sance en trigonométrie n’était nécessaire pour y répondre, puisquetoutes les définitions et formules nécessaires étaient données.

Exercice 3

1. Pietro a omis de considérer les cas où la virgule pouvait seplacer en troisième position. Il oublie les nombres : 40,7 ; 47,0 ;70,4 ; 74,0 ; éventuellement 04,7 et 07,4 Par ailleurs, il a orga-nisé correctement son rangement dans l’ordre croissant.

2. Pietro ne maîtrise pas réellement la signification des chiffres enfonction de leur position : il a correctement rangé les quatrenombres qu’il a conservés (il confond par ailleurs, chiffres etnombres en termes langagiers). Mais il n’a pas compris que lezéro indique l’absence d’un ordre de groupement. Pour lui, 7,4et 7, 04 sont égaux tout comme 4,7 ; 4,07 et 4,70. Il semblecependant savoir ranger par ordre croissant des nombres dé-cimaux qui ont des parties entières différentes, ou des partiesentières égales et des parties décimales à deux chiffres diffé-rentes (pour autant qu’elles ne comportent pas de zéro.


TROISIÈME PARTIE

Partie A

A.1. Cette activité peut être proposée au cycle 3, niveau CM2. Ils’agit explicitement de passer d’une reconnaissance perceptiveassez complexe (identification de sur-figures) à une étude fon-dée sur le recours aux instruments de tracé et de mesures (re-pérage d’alignement de points, de longueurs égales dans unefigure composée de cercles). De plus, le modèle n’est pas àl’échelle.

A.2. L’élève doit analyser une figure complexe afin de la reproduire.L’élève doit déjà connaître la signification du mot rayon et sa-voir qu’il est nécessaire de déterminer le centre d’un cercle pourle tracer.L’élève doit identifier trois cercles, leur position relative, l’ali-gnement et la position des trois centres à l’aide d’une règlegraduée. Il doit savoir construire un segment d’une longueurqu’il doit déterminer, le double du rayon de 7cm ; il doit sa-voir construire les cercles à partir de leurs centres et de leurrayon (ou d’un point de passage à savoir un autre centre). Lamaîtrise de l’usage du compas est donc un préalable. L’élèvedoit par ailleurs estimer la place de la figure dans l’espace desa feuille A4 pour éviter que la figure ne « sorte » de la feuille.

A.3. Tracer un segment de longueur 14 cm. Placer son milieu. Tra-cer les cercles de centres les extrémités et le milieu du segmentet de rayon 7 cm en pointillés. Hachurer la partie du disque(ou l’intérieur du cercle) de centre le milieu du segment quin’est pas « recouverte » par les deux autres disques.Autre possibilité :Tracer un cercle de centre A de rayon 7cm ; tracer un rayon[AB]et le prolonger ; placer C tel que B est le milieu du segment[AC] ; tracer les cercles de centres B et C passant respective-ment par A et B. Hachurer...

A.4. L’élève peut rencontrer des difficultés liées :

• A la méconnaissance du mot rayon (confusion avec dia-mètre).

• A l’analyse de la figure : non identification des centres etde leur positions relatives (non prise en compte de la symé-trie implicite de la figure). L’élève doit identifier le centre


du cercle central (point de tangence des deux cercles ex-térieurs) et placer sa règle de telle sorte que les cordesdéterminées dans les deux cercles extérieurs soient des dia-mètres (de 6 cm sur le modèle). Il doit donc identifier lesdeux centres des cercles extérieurs comme les extrémitésd’un segment de 14 cm sur leur reproduction.

• Au défaut de maîtrise des instruments : cercles imprécis,distance entre les centres mal reproduites. . .

A.5. Le maître peut indiquer que la figure a été tracée à l’aide detrois cercles de même rayon mais supprimer sur le modèle lestracés en pointillés des trois cercles. Le maître peut supprimerle tracé en pointillés de deux des trois cercles. (2 points)

A.6. Le maître peut marquer sur le modèle les trois centres ; l’élèvedevra vérifier leur alignement et en déduire leur position surla reproduction. Le maître peut proposer le modèle sur papierquadrillé de sorte que l’élève perçoive de visu l’alignement descentres. Il lui suffira de reporter correctement les rayons sur sareproduction.

A.7. Tracé des cercles respectant la présence d’un centre et la lon-gueur du rayon.Configuration correcte d’un cercle extérieur et du cercle« cen-tral » : le centre du cercle est bien un point du cercle « exté-rieur ».Configuration correcte des deux cercles« extérieurs » : ils sontbien tangents. Configuration correcte. (Remarque : dès que lescritèrs récédents sont vérifiés, la tangence des cercles extérieursest assurée).

Partie B

Une analyse préalable de la figure à reproduire peut être utile(même si elle était implicite dans la partie A et n’était pas demandéeici). Les trois cercles ont le même rayon, leurs centres sont alignés,et les centres des cercles extérieurs sont sur le cercle intérieur :ils sont donc aux extrémités d’un diamètre de ce dernier, et lescercles extérieurs sont alors automatiquement tangents entre euxen le centre du cercle intérieur.

• Dans la construction d’Anatole, le centre du cercle médiansemble bien placé sur le cercle de gauche (on peut le repérer eny inscrivant un rectangle et en en recherchant l’intersection desdiagonales). Le troisième cercle est bien tangent au premier,


mais son centre n’est pas aligné avec les deux autres (et il ne setrouve pas sur le cercle médian). L’origine de cette erreur estvraisemblablement que l’élève a tenté de réaliser la tangence encherchant par tâtonnement où placer le centre de son troisièmecercle.

• Bérénice a bien identifié l’alignement des centres des troiscercles. Mais elle n’a pas remarqué que la distance qui sépa-rait les centres des cercles extérieurs était égale aux rayons, ou,ce qui revient au même, que les centres des cercles extérieursétaient aux extrémités d’un diamètre du cercle médian. De cefait, les cercles ne sont pas tangents..



2014-2015 — SESSION 1

PREMIÈRE PARTIE

L’énoncé de ce sujet setrouve page 71 Partie A

Solide n˚1 Cubess ++

Solide n˚2

A B

CD

E F

GH

I

JK

L

1. Le quadrilatère IBCJ est plan car inclus dans la face ABCD.Comme I est milieu du segment [AB], on a AI = IB =4

2cm = 2 cm.

Comme J est milieu du segment [CD], on a CJ = JD =4

2cm = 2 cm.

Par propriété du carré ABCD, les côtés opposés sont parallèleset les droites (IB) et (JC) sont parallèles.Le quadrilatère IBCJ a donc deux côtés opposés parallèles etde même longueur (qui sont les côtés [IB] et [JC]) et est parconséquent un parallélogramme.Encore par propriété du carré ABCD, les angles sont droits etdonc ‘IBC est droit.Enfin, le parallélogramme IBCJ possède un angle droit (quiest ‘IBC) et est par conséquent un rectangle.De même, on admet que le quadrilatère BLKC est un rec-

tangle.


2. Par propriété du rectangle IBCJ , les côtés opposés sont pa-rallèles et les droites (IJ) et (BC) sont parallèles.Par propriété du rectangle BLKC, les côtés opposés sont pa-rallèles et les droites (BC) et (KL) sont parallèles.Par transitivité du parallélisme, on déduit que les droites (IJ)et (KL) sont parallèles.Ensuite, quand deux droites sont parallèles, elles sont forcé-ment coplanaires et donc les points I, J , K et L sont copla-naires.

3. Par propriété du cube, la droite (BC) est orthogonale au plan(CDG).Et comme, d’après la question 2., les droites (IJ) et (BC) sontparallèles, on déduit que la droite (IJ) est orthogonale au plan(CDG).En particulier, on déduit que la droite (IJ) est orthogonale(notion de l’espace) à la droite (JK), la droite (JK) étantincluse dans le plan (CDG).Et comme les points I, J , K et L sont coplanaires, d’après laquestion 2., on obtient que la droite (IJ) est perpendiculaire(notion du plan) à la droite (JK).

4. Par propriété du rectangle IBCJ , les côtés opposés sont demême longueur et IJ = BC.Par propriété du rectangle BLKC, les côtés opposés sont demême longueur et BC = KL.Il s’ensuit que IJ = KL.Pour rappel, d’après la question 2., les droites (IJ) et (KL)sont parallèles.Le quadrilatère IJKL a donc deux côtés opposés parallèles etde même longueur (qui sont les côtés [IJ ] et [KL]) et est parconséquent un parallélogramme.Pour rappel, d’après la question 3., la droite (IJ) est perpen-diculaire à la droite (JK).Enfin, le parallélogramme IJKL possède un angle droit (quiest ‘IJK) et est par conséquent un rectangle.

Partie B

1. Il était demandé de représenter les différentes faces du prismedroit à base pentagonale.


• Les faces AEHD et EFGH sont carrées (de côté 4 cm)et chacune possède 4 axes de symétrie orthogonale : lesdiagonales et les parallèles aux côtés passant par le centre.

• Les faces AIJD et LFGK sont rectangulaires (de dimen-sions 4 cm et 2 cm) et chacune possède 2 axes de symétrieorthogonale : les parallèles aux côtés passant par le centre.

• La face IJKL est rectangulaire (de dimensions 4 cm et2 ⇥p2 cm) et possède 2 axes de symétrie orthogonale :

les parallèles aux côtés passant par le centre

• Les faces AILFE et DJKGH sont pentagonales (voir fi-gure ci-dessous) et chacune possède 1 axe de symétrie or-thogonale (qui n’est autre que la diagonale du carré dontil est extrait).


De nombreux candidats n’ont pas signalé que les diagonalesdu carré en sont des axes de symétrie, ou, à l’inverse, ontprétendu que les diagnales des rectangles (non carrés) enétaient. Il est possible de démontrer mathématiquement queles diagonales d’un rectangle en sont des axes de symétrie siet seulement si le rectangle en question est un carré. Maissans faire de démonstration mathématique, nous ne saurionstrop conseiller aux étudiants qui auraient de la peine à com-prendre cela de faire la simple expérience suivante : décou-pez dans du papier un carré et un rectangle (non carré),et pliez-les selon l’une de leurs diagonales. Vous constaterezque dans le cas du carré, les deux triangles ainsi obtenus sesuperposent parfaitement, et que ce n’est pas le cas pour lerectangle non carré.D’autre part, l’axe de symétrie des pentagones a souvent étéoublié.Si nous pouvons être plus compréhensifs face à cette der-nière erreur, il est tout de même important que les candi-dats pour qui cela pose difficulté se rendent comptent quece n’est pas qu’une question de collège : la symétrie otho-gonale et la reconnaissance d’axes de symétrie d’une figurefont bien partie du programme du cycle 3. À ce titre, il estindispensable qu’un futur professeur des écoles connaisse lesaxes de symétrie du rectangle et du carré, et sache trouverles éventuels axes de symétrie d’une figure, au moins d’unefigure simple. Oserait-on affirmer que les pentagones en jeudans ce problème ne sont pas des figures simples ?

2. Commençons par une remarque importante :


Pour cette question, les étudiants qui peineraient à construireun tel patron ont vraiment besoin de faire beaucoup d’exer-cices sur ce thème, à réaliser de vrais patrons de solidessimples et à essayer d’imaginer « dans leur tête » commentils se referment. Rappelons en effet que « Reconnaître oucompléter un patron de solide droit » relève du cycle 3 ! Ils’agissait en l’occurrence du patron d’un prisme droit : desrectangles adjacents (dont, en l’occurrence, deux carrés) etdeux faces (en l’occurrence des pentagones) identiques. Unebonne visualisation des choses dans l’espace permettait devoir comment se suivaient les carrés, les rectangles de 4 cmsur 2, et le rectangle IJKL. Ce dernier était sans doute leplus difficile à construire. Le théorème de Pythagore permetde calculer que IJ = KL = 2

p2. Mais il n’était pas in-

dispensable d’y faire appel pour le construire. On pouvaitfacilement construire le pentagone à partir de ses côtés de 4cm et de 2 cm, le dernier côté (qui est celui qui mesure 2

p2

cm) était ainsi obtenu automatiquement. Il suffisait donc dereprendre sa mesure au compas (ou éventuellement à la règlegraduée, même si c’est plus approximatif), pour récupérer lalargeur IJ = KL du rectangle.

Un patron possible du prisme droit à base pentagonale, àl’échelle 1/2.

Partie C


(a) V(IBLJCK) = A(IBL) ⇥ BC (car, par propriété ducube, la droite (BC) est orthogonale au plan (ABE)).


Puis, comme A(IBL) = IB⇥BL2 = 2⇥2

2 cm2 = 2 cm2 (car,par propriété du carré, la droite (IB) est perpendiculaireà la droite (BL)), on obtient : V(IBLJCK) = 2⇥4 cm3 =8 cm3 = 0, 000 008 m3.

(b) La masse du prisme droit IBLJCK en g est donc 0, 000 008⇥2 700 kg = 0, 021 6 kg = 21, 6 g.


(a) Son volume est celui du cube, dont on retranche celui du 1 m3 = 1 000 dm3 et1 dm3 = 1 000 cm3.Donc 1 m3 =1 000 000 cm3

et donc 1 cm3 =0, 000 001 cm3

prisme IBLJCK. Soit, 43 cm3�8 cm3 = 64 cm3�8 cm3 =56 cm3 = 0, 000 056 m3.

(b) À supposer qu’il soit entièrement en cuivre, la masse duprisme droit AILFEDJKGH en g serait donc 0, 000 056⇥9 000 kg = 0, 504 kg = 504 g. On pouvait également consi-dérer que 9 000 kg par m3 revient à 9 kg par dm3 (puisqu’ily a 1 000 dm3 dans un m3) et donc 9 g par cm3 (puisqu’ily a 1 000 cm3 dans un dm3). De là, le prisme ayant unvolume de 56 cm3, il a une masse de 9⇥ 56 = 504 g.Trop d’étudiants ne sont capables d’effectuer des conver-sions qu’en utilisant le fameux « tableau de conver-sion ». Si, dans le meilleur des cas, ils arrivent à l’utili-ser pour traduire des mètres cube en centimètres cube,ils se retrouvent perdus lorsqu’il s’agit d’interpréter unemasse volumique exprimée en kg par m3 pour calculerune masse en grammes. Il est indispensable qu’ils com-prennent que c’est un outil qui ne figure pas d’ailleurs

pas explicitement dans les programmes (on parle deconversion d’unités, sans parler de ce tableau) et queles vrais mécanismes de pensée nécessaires pour maîtri-ser les conversions sont ceux du type de celui qui estdonné ci-dessus ou en remarque dans la marge. Nousavons pu lire des résultats aberrants, tels que 9 000 kgpar m3 = 9 000 000 000 kg par cm3, et aboutissant,pour ce prisme en cuivre plus petit qu’un cube de 4 cmde côté, à une masse de 9 000 000 000 000 g ! Nous fai-sons l’hypothèse qu’il ne s’agissait pas de bêtise de lapart des candidats, mais bien d’une mécompréhensiontotale des principes mêmes des conversions d’unité, liéeà la représentation qu’ils s’en font : convertir des unités,c’est placer des nombres dans un tableau qu’on a apprissans le comprendre, voire sans se rendre compte qu’il s’ytrouve quelque chose à comprendre.


3. Concernant le cube (assemblage de ses parties en aluminiumet en cuivre) dont la masse est de 424, 8 g ...Deux remarques :

• Si la partie en cuivre était sans « vide », la masse du cubeserait de 21, 6 g + 504 g = 525, 6 g, d’après les questions1.(b) et 2.(b).

• Si le cube a une masse de 424, 8 g, cela signifie que la massede cuivre dans ce cube est de 424, 8 g� 21, 6 g = 403, 2 g.

(a) Oui, il y a un « vide » dans le prisme n˚ 1 car 403, 2 g <504 g.

(b) Le pourcentage de la masse de cuivre par rapport à lamasse du cube est 403,2

424,8 ⇡ 94, 92% que l’on arrondit à95%.

(c) Le pourcentage de la masse de cuivre avec un « vide »comparativement à la masse de cuivre « sans vide » est403,2504 = 80%.

Il « manque » donc 20% de cuivre, que ce soit en masseou en volume (car la masse de cuivre est proportionnelleau volume de cuivre).Le volume du « vide » est ainsi 20%⇥56 cm3 = 11, 2 cm3.Le pourcentage (exact) du volume du « vide » par rapportau volume du cube est donc 11,2

64 = 17, 5%.

DEUXIÈME PARTIE

Exercice 1

1. Les dimensions en mètres : 28 mm ⇥ 2 500 = 70 000 mm =70 m et 5 mm⇥ 2 500 = 12 500 mm = 12, 5 m.

2. Le terrain est vendu à 70⇥ 12, 5⇥ 30 e = 26 250 e. Les taxesdiverses s’élèvent à 0, 12⇥ 26 250 e = 3 150 e.

3. Sans les taxes, l’autre terrain a été vendu :1 333, 08

1 + 0, 12e =

1 190, 25 e. Il s’agit donc d’un terrain carré dont la surfaceSi un nombre A estaugmenté de i %, celadonne B = A ⇥Ä1 + i

100

ä. Donc si ce

qu’on connaît est lenombre B (A aug-menté de i %), pour re-trouver A il faut fairel’opération inverse :

A =B

1 + i100

est1 190, 25

0, 25m2 = 4 761 m2 et dont la mesure du côté est

p4 761 m = 69 m.

4. Sur le plan cadastral la mesure du côté est69

2 500m = 0, 0276 m ⇡

28 mm.


Trouver un prix hors taxe (HT) connaissant le prix taxe incluse(TTC) est un exercice classique. Trop d’étudiants tombent encoredans le piège consistant à se dire que si les taxes sont de 12 %,il suffit de retrancher 12 % au prix TTC pour retrouver le prixhors taxe. C’est évidemment faux, puisque les 12 % sont alorscalculés sur base du prix TTC, alors qu’ils devraient l’être surbase du prix HT, qu’on ne connaît pas. La méthode correcte estexpliquée en mention marginale.

Exercice 2 : Confiserie

Les démarches de résolution pour un problème de ce type sontvariées (algébrique, arithmétique, graphique avec vérification, partâtonnement, par fausse position, ...).

Résolution arithmétique.La première machine fabrique 3 000 bonbons en 5 heures tandis

que la seconde en fabrique 2 000 dans ce même laps de temps.Ensemble, en 5 heures, les deux machines fabriquent donc 3 000 +2 000 = 5 000 bonbons. Par une règle de trois, les deux machinesfabriquent donc ensemble 2 000 bonbons en 2 heures.

Exercice 3 : Plus on va vite, moins on gagne de temps

1. Un cycliste qui roule en moyenne à 20 km/h met 12020 h = 6 h

pour parcourir 120 km.

S’il augmente sa vitesse moyenne de 10 km/h sur le trajet,il roule alors à 30 km/h et met 120

30 h = 4 h pour parcourir120 km.

Il gagne sur un trajet de 120 km, 6 h� 4 h = 2 h !

2. Un automobiliste qui roule en moyenne à 80 km/h met 12080 h =

1 h 30 min pour parcourir 120 km.

S’il augmente sa vitesse moyenne de 10 km/h sur le trajet, ilroule alors à 90 km/h et met 120

90 h = 1 h 20 min pour parcourir120 km.

Il gagne sur un trajet de 120 km, 1 h 30 min � 1 h 20 min =10 min !

Exercice 4 : Symétrie orthogonale

1. Voici une figure possible.


A

A0

O

I

I0d0

⌦

�

d

2. Par définition, les droites (⌦I) et (⌦I 0) sont des médiatrices dutriangle OAA0 (chacune perpendiculaire à un côté et passantpar le milieu de ce côté).Le point ⌦ est donc le centre du cercle circonscrit au triangleOAA0, comme intersection de deux des médiatrices de ce tri-angle.Finalement, la droite (O⌦) est la troisième médiatrice de cetriangle OAA0, parce qu’elle passe par le centre du cercle cir-conscrit à ce triangle et le sommet O ; or, on sait que dans untriangle isocèle en O, la hauteur issue de O et la médiatricedu côté oppos à O sont confondues : donc la médiatrice de cecôté passe à la fois par le centre du cercle circonscrit ! et par O.Il fallait se rendre compte que la droite (O⌦) n’était pasdéfinie comme une des droites classiques d’un triangle : onsait classiquement, par exemple, qu’une droite est médiatriced’un côté d’un triangle si et seulement si elle passe par lecentre du cercle circonscrit et le milieu de ce côté, ou encore siet seulement si elle passe par le centre du cercle circonscrit etest perpendiculaire à ce côté. Mais ici, elle est définie commepassant par le centre du cercle circonscrit et le sommet O ; ilétait nécessaire d’invoquer le fiat que le triangle était isocèleen O pour justifier que c’était une médiatrice.

3. On démontre que la droite (O⌦) est axe de symétrie orthogo-


nale de la figure. Si on considère s la symétrie orthogonale par Un axe de symétried’une figure est unedroite telle que le sy-métrique de tout élé-ment de la figure parrapport à cette droite,est un élément de la fi-gure.On ne pouvait donc passe contenter de mon-trer que (O⌦) était unaxe de symétrie du tri-angle.

rapport à la droite (O⌦).Il est évident que O est invariant par la symétrie s car il ap-partient à l’axe de symétrie. Il en est de même pour ⌦.Par définition de la symétrie orthogonale, il est immédiat quela symétrie s envoie A sur A0, et réciproquement (car d’après laquestion précédente, la droite (O⌦) est médiatrice du segment[AA0]).La symétrie s envoie donc [OA] sur [OA0], et réciproquement.Puis, par la propriété de conservation des milieux, la symétries envoie I sur I 0, et réciproquement.Une symétrie orthogonale envoie un cercle sur un cercle, dontle centre est l’image du centre du premier, et de même rayon.Par conséquent, l’image du cercle de centre ⌦ de rayon ⌦I estle cercle de centre ⌦ (qui est, pour rappel, invariant par lasymétrie s) de rayon ⌦I. En conclusion, ce cercle est invariantpar la symétrie s.Pour finir, tout ceci permet de conclure que la figure admet unaxe de symétrie orthogonale qui est la droite (O⌦).

TROISIÈME PARTIE

Exercice 1

1. « Le chocolatier met 40% de chocolats noirs dans les boîtesqu’il prépare » signifie que dans une boîte, pour 100 chocolats,40 chocolats sont noirs.Ainsi, parmi 50 chocolats (la moitié de 100 chocolats), 20 cho-colats (la moitié de 40 chocolats) sont noirs.Utilisation de la propriété multiplicative de linéarité dans ladémarche précédente.D’autres raisonnements étaient acceptables, comme parexemple l’utilisation de la règle de trois ; mais certainementpas le produit en croix, qui pour des raisons didactiques ex-pliquées en cours ne s’apprend qu’en fin d’apprentissage de laproportionnalité. De même tout raisonnement basé sur desproduits de fractions sont exclus (les produits de fractionsne sont pas vus à l’école primaire).

2. Pour les exercices 1 et 2 ...

(a) Un argument qui induirait que l’exercice 1 est plus facileque l’exercice 2 : calculer 10% est plus facile que de calculer


40% car il est plus facile de passer multiplicativement de10 à 100 (on multiplie par 10) que de 40 à 100 (on devraitmultiplier par 2, 5 ou décomposer 100 en 40+40+ 40

2 , ...).(b) Un argument qui induirait que l’exercice 1 est plus difficile

que l’exercice 2 : dans l’exercice 2, il s’agit juste de calcu-ler un pourcentage alors que dans l’exercice 1, il s’agit nonseulement de caculer un pourcentage mais encore de s’enservir pour calculer un montant augmenté de ce pourcen-tage.

(c) L’enseignant, pour aider un élève qui serait en difficultésur l’exercice 1 car la situation lui paraîtrait trop com-plexe puisqu’elle ne relève pas simplement d’un calcul depourcentage (voir question précédente), pourrait lui pro-poser, par exemple, de séparer les tâches : d’abord calcu-ler le pourcentage d’augmentation du prix, puis l’intégrerdans le calcul du nouveau prix (ceci revient à compléter letableau proposé dans l’exercice par une colonne « montantde l’augmentation »).

3. Le schéma de Vergnaud est le suivant : un état initial (unevaleur) est transformé (on augmente la valeur d’un certainpourcentage [exercice 1], on considère un pourcentage de cettevaleur [exercice 2] ou on diminue la valeur d’un certain pour-centage [exercices 3 et 4]) en un état final (la valeur aprèstransformation).Ce qu’affirme Vergnaud est que lorsque la transformation estinconnue [exercices 3 et 4], la tâche de l’élève est beaucoup plusdifficile que lorsque c’est l’état final qui est inconnu [exercices1 et 2].En termes d’objectifs, l’enseignant veut non seulement quel’élève soit capable de trouver l’état final d’une transforma-tion [exercices 1 et 2], mais aussi la transformation elle-même[exercices 3 et 4].La référence à Vergnaud était appréciée, mais non obliga-toire.

4. Dans l’exercice 3, l’article subit une baisse de 20 e pour unmontant de 200 e, et dans l’exercice 4, l’article subit une baissede 30 e pour un montant de 150 e.Comme calculer un pourcentage consiste à ramener le montantà 100 e, le rapport est bien plus facile à traiter lorsque 200 estle double de 100 (ce qui engendrerait une baisse de la moitié


de 20, c’est-à-dire de 10, et serait issue d’une baisse de 10pour 100 du prix, soit 10%) que lorsque 150 est la somme de100 et de la moitié de 100 (ce qui engendrerait une baisse decombien ?).La procédure entre parenthèses est mise en défaut dans l’exer-cice 4, car si prendre le double ou la moitié sont des opéra-tions inverses l’une de l’aute et l’élève en est conscient, quelleest l’opération inverse de prendre la somme d’un tout et de samoitié ? Certaines procédures disparaissent donc du paysage.Du coup, les élèves pourraient, par exemple, s’aider d’un ta-bleau (qui n’a d’autre utilité que de représenter les donnéesd’une façon conventionnelle) de proportionnalité entre le prixet la baisse.Justifier qu’il s’agit d’une variable didactique en affirmantque le choix des nombres rend l’exercice 4 plus difficile quel’exercice 3 est un contresens. L’objet d’une variable didac-tique est de modifier la hiérarchie des stratégies de résolutionpossibles ; cela peut avoir pour effet de rendre l’exercice plusdifficile, mais ce n’est pas le but premier.

Exercice 3 : à gauche par la propriété multiplicative de linéaritéet à droite par usage du coefficient de proportionnalité.

Prix de l’article Baisse du prix de l’article200 e 20 e# moitié # moitié100 e 10 e

ou

Prix de l’article Baisse du prix de l’article200 e ⇥10 20 e

100 e ⇥10 10 e

Exercice 4 : par usage du coefficient de proportionnalité.

Prix de l’article Baisse du prix de l’article150 e ⇥5 30 e

100 e ⇥5 20 e

Exercice 2

1. (a) Compétence du B.O. visée : Reconnaître ou compléter un

patron de solide droit.


(b) Le terme « solide droit » n’a d’existence que dans les pro-grammes. Si le terme « prisme droit » admet une défini-tion commune à l’ensemble des mathématiciens, ce n’estpas forcément le cas de « solide droit ». Il faut donc luidonner le sens proposé par les programmes, à savoir so-

lides droits : cube, pavé, cylindre, prisme (et les prismessont sous-entendus droits).Les figures A (pavé droit), B (pavé droit), C (cube), D(cube) et G (prisme droit à base triangulaire) sont conformesaux attente du B.O. (progression).Remarque. Toutes les figures sont conformes au B.O. (pré-sentation), même si ceci n’était pas l’objet de la question.Ainsi, les figures E (pyramide régulière à base hexago-nale), F (pyramide non régulière à base rectangulaire) etLes termes « pyramide

régulière » et « té-traèdre régulier » nedoivent cependant pasêtre connus des élèves.

H (tétraèdre régulier) n’étant cependant pas des « solidesdroits » ont tout à fait leur place à l’école primaire, mêmes’ils ont été oubliés dans la progression alors qu’ils l’étaientdans la présentation.

2. • A n’est pas patron car la face présentée à gauche a unedimension horizontale trop grande.

• B est un patron de pavé droit.• C n’est pas patron car ne se « referme » pas : il manque

une face carrée (à placer correctement) pour obtenir uncube.

• D n’est pas un patron car la face présentée en haut va sesuperposer avec la face présentée à droite.

• E n’est pas patron car ne se « referme » pas : il manqueune face triangulaire (à placer correctement) pour obtenirune pyramide régulière à base hexagonale.

• F n’est pas patron car la face présentée en bas a une di-mension verticale qui ne correspond pas avec celle du côtéoblique de la face représentée à gauche (ou car la faceprésentée en bas a une dimension oblique qui ne corres-pond pas avec celle du côté oblique de la face représentéeà droite).

• G est un patron de prisme droit à base triangulaire.• H est un patron de tétraèdre régulier.

3. (a) Difficulté de perception de l’objet dans l’espace. On peutlui proposer une photo (ou le solide concret, ou une ani-mation 3D sur un logiciel de géométrie dans l’espace, ...)


de l’objet tel qu’il serait (lorsqu’il s’agit d’un patron depolyèdre) ou tel qu’il devrait être (lorsqu’il ne s’agit pasd’un patron de polyèdre) « refermé », sans pour autant lalaisser à l’élève, le but étant de faire travailler l’élève defaçon à ce qu’il construise des images mentales anticipa-trices (i.e. qu’il effectue mentalement les pliages de façonà constituer un solide).

(b) Difficulté dans la perception des recollements d’arêtes aprèspliages (à partir du prétendu patron proposé) pour colo-rier, par exemple, des côtés qui forment une même arête.On peut lui proposer des ciseaux (ou les prétendus pa-trons déjà découpés, ...) afin qu’il visualise mieux la suitede pliages, mais on n’est pas obligé de proposer cette aidepour chacun des soi-disant patrons, le but étant toujoursde faire travailler l’élève de façon à ce qu’il construise desimages mentales anticipatrices.

(c) Difficulté pour visualiser lorsque deux côtés devant repré-senter la même arête ne sont pas de même longueur. Onpeut lui proposer d’utiliser une règle graduée pour véri-fier si deux côtés sont de même longueur.

La liste n’est pas exhaustive.



2014-2015 — SESSION 2

PREMIÈRE PARTIE

L’énoncé de ce sujet setrouve page 79 Question 1

Avec la première formule, le client obtient 25 % de réductionsur le prix d’un certain volume de peinture. C’est également le casavec la troisième formule (il paie trois pots pour le prix de 4), dumoins s’il veut acheter un nombre de pots qui est multiple de 4(voir plus loin). En revanche, avec la deuxième formule, c’est pluscompliqué. Si P est le prix d’un pot normal, le client va obtenir unpot contenant 25 % de plus, donc coûtant normalement 1, 25⇥ P ,pour le prix P . La réduction est donc de 0, 25⇥P sur un prix totalde 1, 25⇥ P , soit un cinquième, ou 20 %. Les formules 1 et 3 sontdonc également intéressantes (à un bémol près, voir plus loin), maisla formule 2 est moins intéressante.Une augmentation de

25 % corresond à unemultiplication par 1,25.Plus généralement, uneaugmentation de i %correspond à une mul-tiplication par 1 + i

100 .

Cependant il convient d’être un peu critique et de tenir compteégalement des réels besoins du client. La formule 3 n’est pleinementintéressante que si le client a besoin d’un nombre de pots multiplede 4 : si par exemple il a besoin de 3 pots, il va payer le prix de 3 etrecevoir un pot dont il n’a rien à faire alors qu’avec la première for-mule il peut acheter exactement le nombre de pots dont il a besoinet obtenir sa réduction de 25 %. Et s’il n’a besoin, par exemple,que de deux pots, il serait absurde qu’il en achète 3 pour obtenirle quatrième gratuit. La première formule est donc en général plusintéressante que la troisième.

On pourrait également observer que la deuxième formule peutêtre plus intéressante que la première. Si le client a besoin d’unvolume de peinture situé entre le volume du pot initial et 1,25 foisce volume, la deuxième formule lui permet d’obtenir ce dont il abesoin en achetant un seul nouveau pot, donc pour le prix P , alorsque la première l’oblige à acheter deux pots qu’il obtiendra à prixréduit, mais qui lui coûteront tout de même 2⇥0, 75⇥P = 1, 5⇥P .


Question 2

a. Dans ce cas de figure, l’aire de la base du cylindre ne changepas, et le volume est proportionnel à la hauteur. Donc pourque le volume soit augmenté de 25 %, c’est-à-dire multiplié par1,25, il faut que la hauteur le soit aussi. La hauteur doit doncêtre augmentée de 25 %.

À l’inverse, une multi-plication par 1 + j (icij ⇡ 0, 118033 . . .) cor-respond à une augmen-tation de 100⇥ j %.

b. Dans ce cas de figure, la hauteur ne changeant pas, c’est l’airede la base du cylindre qui doit être multipliée par 1,25. Commecette aire vaut ⇡ ⇥ r2 (où r est le rayon du disque de base),r2 doit être multiplié par 1,25, donc r doit être multiplié parp1, 25 ⇡ 1, 118033 . . ., ce qui correspond à une augmentation

de 11,80 % (au centième de pourcent le plus proche ; l’énoncéne spécifiant pas la précision demandée, la réponse approchée12 % est également valable). Le diamètre étant le double durayon, il doit être augmenté du même pourcentage.

Question 3

a. Le développement du cylindre se compose d’un rectangle et dedeux disques qui lui sont tangents. Le rayon de ces disques estle rayon du cylindre. Les dimensions du rectangle sont d’unepart la hauteur du cylindre, d’autre part la circonférence desdisques 5. D’autre part, les deux disques tangents sont chacun La circonférence d’un

disque se calcule par laformule 2⇥ ⇡ ⇥ r, où rest le rayon du disque.

tangents à l’un des côtés du rectangle dont la longeur est lacirconférence du disque.

En l’occurrence 6

• La hauteur des pots est de 94 mm ; le patron demandéétant à l’échelle 1/2, cela devient 47 mm.

• Le diamètre des disques est de 92 mm ; réduit de mêmede moitié, cela devient 46 mm ; le rayon des disques sur lepatron sera donc 23 mm. Les côtés du rectangle auxquelsseront tangents ces disques auront donc pour longueur 2⇥3, 14⇥ 23 mm = 144, 44mm ⇡ 144 mm.

Un cercle est tangent àune droite en un point(du cercle) si et seule-ment si le rayon reliantle centre du cercle aupoint est perpendicu-laire à la droite.

5. On peut l’observer en découpant la bande de papier entourant la plupart des boîtes deconserve cylindriques (tenant compte toutefois du fait que cette bande de papier, rectangu-laire, est un peu plus longue que la circonférence du disque parce qu’elle doit se recouvrirelle-même sur une bande étroite).

6. Il n’était pas demandé au candidat de préciser tout cela, mais d’en tenir compte impli-citement dans les mesures de son patron.


O

2.3 cm

14.44 cm

O0

2.3 cm

4.7 cm

Pour des raisons de mise en page, nous avons dû réduire lepatron ; les dimensions réelles sont indiquées.

b. Le volume est 3, 14 ⇥ 462 ⇥ 94 = 624 558, 56mm3, soit en ap-prochant au centimètre cube le plus proche 625 cm3.1 cm3 = 1 000 mm3.

c. Le volume du nouveau cylindre vaut 1,25 fois celui de l’ancien,soit cinq quarts de ce dernier. Par conséquent le volume del’ancien cylindre vaut quatre cinquièmes de celui du nouveau,soit 500 centimètres cubes (d’autres arguments, dont l’utilisa-tion du produit en croix, étaient possibles).

DEUXIÈME PARTIE

Exercice 1

1. Le plus simple est de constater que l’étudiant a obtenu res-pectivement la totalité des points, la moitié des points et ànouveau la moitié des points aux différentes parties. Ces notesse ramènent donc à 13, 6,5 et 7 respectivement, pour un to-tal de 26,5. Bien évidemment, toutes les autres méthodes detraitement de problèmes de proportionnalité, correctement ap-pliquées, sont acceptées.

2. Ici, on ne connait pas le détail des notes des deux partiesde l’UE1, mais cela n’a pas d’importance, puisqu’elles ont la


même pondération : la question revient à ramener sur 26 lanote totale de l’UE1 (et sur 14 celle de l’UE2). Ce qui donnepar exemple 12⇥ 26

20 = 15, 6 pour la partie relative à l’UE1, et16 ⇥ 14

20 = 11, 2 pour la partie relative à l’UE2. Soit un totalde 26,8.

Exercice 2

1. VRAI. Une pyramide comporte une face de base, qui est unpolygone quelconque, et de faces latérales, qui sont des tri-angles dont les côtés sont un côté du polygone de base, et lessegments reliant les extrémités de ce côté au sommet de la py-ramide. Il y a donc autant de faces latérales que de sommetsdu polygone de base ; s’ajoute à cela la base parmi les faces, et« le » sommet parmi les sommets. On a donc bien autant defaces que de sommets, à savoir le nombre de côtés du polygonede base, plus un.

2. FAUX. Une pyramide à base carrée possède elle aussi 5 faces,dont un carré et quatre triangles.

3. FAUX. Plusieurs manières de le justifier : On utilise ici la pro-priété multiplicative delinéarité. Plus précisé-ment, on montre qu’iln’y a pas proportion-nalité en monrant quecette propriété n’estpas vérifiée ici.

• en fixant une valeur pour R et t, et en faisant le calculpour deux valeurs de I et en constatant qu’il n’y a pasproportionnalité ;

• en faisant remarquer, sans choisir de valeurs, que si on fixeR et t et qu’on double (par exemple) I, alors l’énergie Wn’est pas multipliée par 2, mais par 4 ;

• en faisant remarquer que la formule indique que W n’estpas proportionnel à I, mais bien à son carré

4. FAUX. Voici quelques arguments possibles :

• Nommons certains sommets de la figure comme suit :


a

A B

C C0

Si la figure possédait un axe de symétrie, le segment [AB]serait son propre symétrique, car il n’existe pas dans lafigure d’autre segment de même longueur. Cela impliqueque l’axe de symétrie serait soit la droite (AB) elle-même,soit la médiatrice de [AB]. Le premier cas est évidemmentfaux, toute la figure étant du même côté de (AB). C’estdonc que l’axe de symétrie est la médiatrice du segment[AB], nommée a ci-dessus. Le symétrique du point nomméC ci-dessus devrait alors faire partie de la figure, ce quin’est pas le cas.

• Si la figure avait un axe de symétrie, le symétrique dechacun des « fanions » (triangles dont un des côtés estprolongé) se trouverait sur la figure. Or tous les fanionsprésents sur la figure sont orientés de la même façon, ouencore, superposables sans retournement : aucun ne peutêtre l’image d’un autre par symétrie axiale.

Nous avons tenu à développer ici des arguments mathéma-tiques précis. Des arguments moins formalisés étaient accep-tés.

Exercice 3

Deux méthodes possibles (au moins !) Pour la deuxième question,il importe de préciser quelque part que les 12 menus en questionDans un espace pro-

babilisé fini dans le-quel tous les éléments(ici les 12 menus) sontéquiprobables, la pro-babilité d’un événe-ment est le rapportentre le nombre d’élé-ments de cet événe-ment et le nombred’éléments de l’espace.


sont tous équiprobables (ou indiquer les probabilités dans les arbresutilisés le cas échéant, ou . . .)

1. Par raisonnement :

(a) Chacune des deux entrées peut se combiner avec troisplats, ce qui fait déjà 2 ⇥ 3 = 6 possibilités, puis avecdeux desserts, ce qui fait 6 ⇥ 2 = 12 possibilités. Il y adonc 12 menus en tout

(b) i. Puisqu’on fixe le plat, il ne reste plus que deux possi-bilités pour l’entrée qui peuvent se combiner avec deuxpossibilités pour le dessert, ce qui fait 2 ⇥ 2 = 4 caspossibles. Comme il y a douze menus en tout, cela faitune probabilité de 4

12 = 13 . On pourrait aussi dire direc-

tement que puisqu’il y a trois plats différents, chacuna la même probabilité d’être choisi, ce qui donne di-rectement la probabilité 1

3 .ii. Ici, il ne reste que trois possibilités pour le plat, donc

la probabilité est de 312 = 1

4 .iii. On peut de même répertorier les cas possibles : 2 pos-

sibilités pour l’entrée, deux possibilités pour le plat,deux possibilités pour le dessert, soit au total 2⇥ 2⇥2 = 8 possibilités sur douze. La probabilité est donc812 = 2

3 . On aurait pu aussi remarquer directement quepuisqu’il y a trois plats possibles, deux menus sur troisne comportent pas de couscous, d’où cette probabilité23 .

2. En répertoriant toutes les combinaisons possibles, par

exemple en utilisant un arbre :

On note par a l’artichaut, par b la betterave, etc., ce qui donnel’arbre suivant, grâce auquel on peut répondre aux questions(notons que cette méthode est plus fastidieuse, mais correcte).

uu ))a

{{ ✏✏ $$

b

{{ ✏✏ $$c

��

d

��

e

��

c

��

d

��

e

�� f g f g f g f g f g f g


(a) On compte 12 chemins dans l’arbre, soit 12 menus pos-sibles.

(b) i. On compte 4 menus comportant de l’escalope : enabrégé, aef , aeg, bef , beg. Il y a donc 4 cas sur 12donc une probabilité de 4

12 = 13 .

ii. On compte trois menus comportant de l’artichaut etdu fromage : en abrégé, acf , adf et aef . Il y a donc 3cas sur 12 donc une probabilité de 3

12 = 14 .

iii. On compte 8 menus ne comportant pas de couscous(tous sauf acf , acg, bcf , bcg). La probabilité est donc812 = 2

3 .

Exercice 4

1. On lit sur le graphe que la distance séparant le piéton deCambrai part de zéro, s’accroît jusqu’à dix kilomètres, resteconstante un moment puis redécroît jusque zéro. C’est doncqu’il est parti de Cambrai, qu’il s’est reposé un moment puisest revenu à Cambrai.

2. On lit sur le graphe que le piéton a fait 5 kilomètres pendantla première heure. Puisque sa vitesse est constante, il fait doncdu 5 kilomètres à l’heure.

TROISIÈME PARTIE

Exercice 1

1. Il s’agit, en ce qui concerne la géométrie, de reconnaître unpavé droit (ici, sur une représentation en perspective), et, ence qui concerne la mesure, de savoir calculer le volume d’unpavé droit.Plus précisément, il fallait pouvoir se représenter les faces ca-chées d’un solide représenté en perspective cavalière. Cetteprécision n’était pas exigée des candidats, mais est impor-tante. En effet, il faut arriver à voir que le ruban traversedeux fois la longueur et la profondeur du paquet, mais quatrefois la hauteur, alors que seules trois faces étaient représen-tées. D’ailleurs, beaucoup d’étudiants n’ont pas vu cela, cequi les a empêchés d’analyser correctement la production del’élève.

2. (a) L’élève s’est rendu compte que pour calculer le volume dupaquet, il faut en connaître la hauteur.


• À la première ligne, l’élève calcule la longueur de ru-ban qui entoure effectivement le paquet. Il a en ef-fet constaté que cette longueur est constituée de diffé-rentes parties qui sont toutes des longueurs, des pro-fondeurs ou des hauteurs du paquet.

• À la deuxième ligne, il calcule la longueur de rubancorrespondant à des longueurs ; il y en a bien deux, lecalcul est pertinent et correct.

• À la troisième ligne, il calcule de même la longueur deruban correspondant à des profondeurs : il y en a biendeux, le calcul est pertinent et correct.

• À la quatrième ligne, il additionne ces deux mesures.• À la cinquième ligne, il retranche ce résultat de la

longueur de ruban calculée plus haut. C’est pertinentpuisque ce qui reste est la longueur de ruban corres-pondant à des hauteurs de paquet.

• Sur la même ligne, il divise ensuite ce résultat par 2,et conclut que c’est la hauteur du paquet. C’est uneerreur, il fait comme s’il y avait deux hauteurs seule-ment, alors qu’il y en a quatre.

• Il oublie ensuite d’utiliser ce résultat pour répondre àla question posée : le calcul du volume du paquet.

(b) L’écriture92� 56 = 36 : 2 = 18

est mathématiquement erronée. Comme de nombreux élèves,celui-ci interprète le signe « = » comme annonçant le ré-sultat d’un calcul, résultat qu’on réutilise ensuite dans unautre calcul ; c’est souvent ainsi que les élèves notent lescalculs en chaîne. Mais formellement ce qu’il a écrit de-vrait se lire « 92 moins 56 est égal à 36 divisé par 2 », cequi est bien sûr faux.

Exercice 2

1. Il s’agit d’un problème de comparaison de proportions, plusspécifiquement de vitesses. Les notions mathématiques sous-jacentes sont : proportionnalité, comparaison (de proportions),vitesses (moyennes), conversion de mesures. (Il n’est pas né-cessairement pertinent de parler de décimaux, puisqu’on verraqu’il est possible d’éviter complètement l’usage des décimauxpour résoudre le problème.)


2. En CM2. Dans la mesure où les extraits des programmes nesont pas fournis, une connaissance fine n’en est pas exigée pourla réponse. On peut par exemple dire que la proportionnalitén’est abordée qu’en CM1 et CM2, mais en CM1 il ne s’agitque de problèmes « très simples » de proportionnalité. Ici, ils’agit d’un problème de comparaison de proportions (en fait devitesses), les nombres mis en jeu ne présentant pas de rapportssimples ; on ne peut donc pas parler de problème très simple.De plus, pour résoudre le problème, les élèves doivent d’abordcomprendre la notion de vitesse constante, repérer que c’estun problème qui en relève, et savoir comparer des vitesses,soit en les calculant, soit en utilisant des arguments de pro-portionnalité pour les comparer sans les calculer (par exempleen calculant la distance parcourue par deux des frères sur unemême durée, ou le temps de parcours de deux des frères surune même distance). Ils doivent en outre, pour calculer correc-tement, convertir des durées exprimés en heures et minutes, endurées exprimées en minutes (ou très éventuellement, et moinsprobablement, en heures, exprimées au moyen d’un nombre dé-cimal).On n’exigeait pas une argumentation aussi développée ; maisil ne suffisait pas de dire que la proportionnalité est au pro-gramme de CM1 et de CM2, « mais que le problème est tropcompliqué pour le CM1 ».)

3. (a) • Le groupe de Pierre a correctement converti les du-rées en minutes. Pour chacun des frères, il a établi lenombre de kilomètres parcourus par minute, par utili-sation de la linéarité multiplicative : si en m minutes,on parcourt k kilomètres, alors en 1 minute (m foismoins) on parcourt m fois moins, soit k : m. Il a ensuiteconclu en comparant le nombre de kilomètres parcou-rus en une minute par chacun des frères, ce qui estcorrect. Sa seule erreur a été de ne pas considérer as-sez de décimales pour Alain et pour Bernard, de sortequ’il a considéré que les deux avaient la même vitesse,alors qu’un calcul plus fin aurait permis de les dépar-tager.

• Le raisonnement fait par le groupe de Benoît est ana-logue, mais lui a voulu travailler en heures, et expri-mer le nombre de kilomètres parcourus en une heure.Toutefois, il convertit incorrectement les durées expri-mées en heures et minutes en considérant le nombre


de minutes comme une partie décimale, ce qui rend lesrésultats faux (il fait comme si les minutes étaient descentièmes d’heure). Le raisonnement est correct : il faitlui aussi une réduction à l’unité par utilisation de lalinéarité multiplicative, en divisant de part et d’autrepar la durée de parcours, exprimée par un nombre dé-cimal. (Le principe est le même que pour le groupe dePierre, avec d’autres unités : si en h heures on par-court k kilomètres, alors en 1 heure on parcourt h foismoins, c’est-à-dire k : h). La réponse est cohérenteavec le résultat des calculs, mais elle n’est correcte quepar hasard. À noter qu’ils l’expriment explicitementen termes de vitesses (en km/h) alors que le groupe dePierre (qui lui travaille implicitement en km/min) nele fait pas.

L’erreur du groupe de Benoît est classique : lorsqu’ils’agit de calculer sur des durées exprimées en heures eten minutes, beaucoup d’élèves traduisent ces durées sousforme de nombre décimal en prenant pour partie déci-male le nombre de minutes. Cette erreur est naturelle,mais elle est particulièrement encouragée par un type deprésentation des décimaux dont les recherches en didac-tique ont démontré la nocivité : le recodage de mesures« complexes », par exemple 3 km 500 m recodé en 3,500km, 1 l 25 cl recodé en 1,25 l, etc. : si l’on n’insiste pas surle fait que la partie décimale est constituée de dixièmes,de centièmes, de millièmes. . . d’unités, et que c’est fon-damental dans les méthodes de calcul, on ne voit paspourquoi on devrait rejeter le codage 3h 45 min en 3,45h.

(b) Le groupe de Benoît a utilisé des divisions par des nombresdécimaux. Ceci ne figure pas au programme du cycle 3.Précision non exigée : on peut se demander d’ailleurs sices élèves mettent du sens derrière une division par unnombre inférieur à 1, ou s’ils ont agi par imitation d’exer-cices analogues.

4. On peut travailler par comparaisons successives :

(a) En une heure, Bernard parcourt 60 km ; en deux heures ilen parcourt donc 160, et est donc plus rapide qu’Alain quilui met 2 h et 2 minutes pour couvrir la même distance.

(b) Dominique est plus rapide que Bernard, puisqu’il a mis


moins de temps que lui pour parcourir une distance plusgrande.

(c) Enfin, on peut comparer facilement les vitesses de Claudeet Dominique (sans les calculer) : puisque Claude parcourt45 km en 28 minutes, il aurait parcouru 90 km, soit deuxfois plus, en deux fois 28 minutes, soit 56 minutes. Il estdonc plus rapide que Dominique qui a mis 58 minutes pourcette distance.

On en conclut donc le classement, du plus rapide au plus lent :Claude puis Dominique puis Bernard puis Alain.

5. Vu ce qui précède, on voit que la mise à disposition de lacalculatrice peut encourager les élèves à utiliser des procé-dures calculatoires, parfois en utilisant des opérations qu’ilsne connaissent pas (la division par un décimal), parfois enfaisant des calculs qu’ls sont censés savoir faire, mais qui sontrelativement compliqués. Il est notamment inimaginable que legroupe de Benoît ait pu faire du calcul posé, n’ayant pas appriscomment faire une division par un décimal (à moins qu’un desélèves l’ait appris hors de l’école). Tandis que si la calculatricen’est pas disponible, ils ont intérêt à chercher des procéduresnécessitant des calculs plus simples, ce qui était possible ici vule choix des valeurs numériques (voir question précédente : lesseuls calculs à effectuer sont des multiplications par 2 !)



2015-2016 — SESSION 1

PREMIÈRE PARTIE

L’énoncé de ce sujet setrouve page 88Partie A

1. Retrancher 3 successivement tant que l’on obtient un entiernaturel revient à effectuer une division euclidienne par 3 : 50 =3⇥ 16 + 2. On a enlevé 16 fois le nombre 3 à 50, pour obtenir Définition de la divi-

sion euclidienne :

a = bq + r, r < b

2, qui termine cette suite.Retirer de manière réitérée 3 à partir de 50 est une des tech-niques possibles que les élèves utilisent pour résoudre desproblèmes de partage. Par exemple, imaginer le problèmesuivant : “on dispose de 50 jetons, à répartir dans 3 enve-loppes, combien peut-on mettre de jetons par enveloppe ?Combien restera-t-il de jetons ?”. Chaque fois qu’on met unjeton par enveloppe, cela diminue de 3 le nombre de jetonsrestant. C’est ce qu’on fait ici.Pour cette question, vous pouviez compter à l’envers de 3 en3, mais cette procédure est plus longue. Dans tous les cas,expliquez comment vous avez procédé.

2. (a) Là encore, cela revient à effectuer une division euclidienne :8932 = 3⇥2977+1. On a donc enlevé 2 977 fois le nombre3 à 8 932, pour obtenir 1, qui termine cette suite.

(b) On compte 2 977 intervalles entre les nombres de cette n poteaux déterminent(n� 1) intervallessuite qui comprend donc 2 978 nombres.

Faites attention à ce piège récurrent. Par exemple, laliste 4, 5, 6 va de 4 à 6, et 6� 4 = 2, mais elle contient3 nombres et non pas 2. C’est le problème des poteaux et

des intervalles.

(c) Le n-ième terme vaut 8932�(n�1)⇥3. Le 100-ième termevaut donc 8932� (100� 1)⇥ 3 = 8932� 99⇥ 3 = 8635.Attention aussi ici : le premier terme correspond à 8932et non pas à 8932� 3.


3. (a) 8572 = 34⇥ 251 + 38. Le quotient est 34 et le reste vaut Question ultra clas-sique, à ne pas rater !38 car 38 < 251.

(b) 8572 = 34⇥ 251 + 38 mais 38 > 34.8572 = 34⇥251+34+4 = 34⇥(251+1)+4 = 34⇥252+4.Le quotient est 252 et le reste vaut 4 car 4 < 34.L’idée est ici de refaire des groupes de 34 avec le fauxreste qui est trop grand. Mathématiquement, cela revientà re-diviser 38 par 34. Intuitivement, cela veut dire qu’onpeut refaire des paquets (par exemple de jetons) avec les38 jetons qui restent.Ici, la forme de la question vous autorise à recalculer ladivision, tout simplement. C’est une méthode correcte.également.

Partie B

1. Les nombres qui se terminent par 31 sont disposés de 4 en 4.En effet, chaque nombre est obtenu à partir du précédent en luiajoutant 25. Par suite, de 4 en 4, on ajoute 4⇥25, soit 100. Parconséquent, de 4 en 4, les nombres ont la même terminaison àdeux chiffres. Pour que les nombres se terminant par 31 soientsitués dans la même colonne, il faudrait les disposer dans untableau à 4 colonnes (ou encore un tableau à 2 colonnes ou 1colonne).

2. Les nombres de la première colonne et eux seuls sont de laforme : 431 + (25⇥ 7)⇥ k = 431 + 175k où k 2 N.Ici, k + 1 est le numéro de la ligne.

3. (a) On peut écrire 1306 � 431 = 875 = 5 ⇥ 175 donc 1306 =431 + 175⇥ 5.Par conséquent, 1 306 est situé dans la première colonnedu tableau et à la 6ème ligne.Le nombre n’est pas si grand : vous pouviez aussi conti-nuer à construire le tableau, jusqu’au début de la 6ièmeligne, pour conclure.

(b) On a 8626� 431 = 8195. Comme 8 195 n’est pas un mul-Un multiple de 25 setermine par “00”, “25”,“50” ou “75” tiple de 25, 8 626 n’est pas situé dans le tableau.

4. Le nombre recherché est :

431 + (19⇥ 175)| {z }20ème ligne

+ (4⇥ 25)| {z }5ème colonne

= 431 + 3325 + 100 = 3856


5. Les nombres de la 3ème colonne sont de la forme (431+175k)+(2 ⇥ 25), k 2 N ce qui donne 481 + 175k, k 2 N. Le nombrerecherché est compris entre 5 600 et 6 000 : 5600 481 +175k 6000, donc 5119 175k 5519 donc k = 30 ouk = 31. Il y a donc deux solutions : 481 + 175 ⇥ 30 = 5731(31ième ligne) et 481 + 175⇥ 31 = 5906 (32ième ligne).

6. La première colonne du tableau comprend des nombres dela forme : 431 + 175k, k 2 N situés à la (k+1)ème ligne.L’équation : 431 + 175x = 1000000 donne 175x = 999569 soitx = 5711, 82. Par conséquent, pour k = 5712 le nombre corres-pondant qui est situé à la 5 713ème ligne est supérieur à 1 000000. Si une page comprend 50 lignes, comme 5713

50 = 114, 26, ilfaut 115 pages.

DEUXIÈME PARTIE

Exercice 1

1. VRAIE. Si un point M appartient à la médiatrice de [AB],alors M est à égale distance de A et B. Par conséquent MA =MB. Le triangle AMB est donc isocèle.

Il s’agit de la définition de la médiatrice (ensemble des pointsà égale distance de A et B. Il est tout à fait inutile ici de direque la médiatrice est perpendiculaire à (AB) et passe par lemilieu de [AB], bien que cela soit vrai.

2. VRAIE. [AE] est un diamètre du cercle de centre O. Le tri- Un triangle ABE ins-crit dans le cercle dediamètre [AE] est rec-tangle en B

angle ABE est donc rectangle en B. Par suite, (AB) ? (BE),soit (AB) ? (BC). Comme (BC) ? (CD). Par suite (AB)et (CD) sont donc perpendiculaires à une même droite : elles Deux droites sont pa-

rallèles ssi elles sontperpendiculaires à unemême droite

sont parallèles.

3. FAUSSE. En utilisant le quadrillage, on obtient KM/KO =1/4 et KL/KN = 2/7 donc

KM

KO6= KL

KN.

Le théorème de Thalès s’applique dans le triangle KON avecM 2 [KO] et L 2 [KN ], et montre que les droites (LM)et (NO) ne sont pas parallèles (sinon, on aurait égalité desrapports).


On peut aussi évoquer les “pentes” ou “coefficients directeurs”des droites, qui sont 1/2 dans un cas (on monte de 1 carreauquand on fait un pas de 2 carreaux vers la droite) mais de4/7 dans l’autre cas.

4. VRAIE. La mesure du côté d’un carré dont l’aire vaut 36 cm2pab =

papb

estp36 = 6 cm. En appliquant le théorème de Pythagore dans

un triangle rectangle isocèle de 6 cm de côté on obtient quele carré de la diagonale mesure 62 + 62 = 72 et donc que ladiagonale mesure

p72 = 6

p2 cm.

Si vous ne comprenez pas la dernière égalité, révisez impé-rativement les bases des racines carrées.Faites bien attention ici : le fait de trouver une autre expres-sion que 6

p2, par exemple 3

p8 ne prouve rien.

5. VRAIE.p250

= [p22]25 = 225 qui est un nombre entier.(an)m = amn

Le nombrep2 n’est pas rationnel, mais cela ne veut pas dire

qu’une puissance de ce nombre est forcément irrationnalle.

6. VRAIE. Les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Les diviseursde 18 sont : 1, 2, 3, 6, 9, 18. Les diviseurs communs à 12 et 18sont donc : 1, 2, 3, 6.Une manière plus “experte” de rédiger consiste à écrire que,par définition, un diviseur de 12 et 18 est un diviseur depgcd(12,18), soit 6.

7. FAUSSE.1, 5 TW60 MW

=1, 5⇥ 1012

60⇥ 106= 25000.

On peut donc alimenter 25000 machines, et non 2500.Attention au mot “exactement”, en mathématiques. Ici, ilsignifie par exemple que l’on peut alimenter 2500 machines,mais pas plus.

Exercice 2

1. Le bûcheron place la croix de bûcheron de telle sorte que (DE)soit verticale, comme l’arbre (AB). Les droites (AB) et (DE)sont donc parallèles.

On peut aussi dire, de manière plus formelle, que (AB) et(OC) sont toutes deux parallèles à (BC).


2. Nous savons, d’après l’énoncé, que O,DetA d’une part et O,Eet B d’autre part sont alignés. On a aussi (AB) k (DE) (ques-tion précédente. Nous pouvons donc appliquer le théorème deThalès dans le triangle OAB, qui donne

AB

DE=

AO

DO.

Soit I l’intersection des droites (OF ) et (AB). On peut encoreappliquer le théorème de Thalès dans le triangle OIA, ce quidonne

AO

DO=

OI

OF.

On utilise enfin le fait que OI = BC = 770 cm et OF = 35 cmpour conclure que

AB

DE=

770

35= 22.

Il s’agit d’une question difficile parce qu’elle nécessite d’uti-liser deux fois le théorème de Thalès.

3.AB

DE= 22,

donc AB = 22⇥DE = 22⇥ 0, 2 = 4, 4 m. L’arbre mesure 4,4m.

4. Reprenons l’égalité obtenue à la question 2 : DE/AB = OF/BCque l’on peut aussi écrire AB/BC = DE/OF . Si DE = OF ,alors AB = BC. Les croix telles que DE = OF ont la parti-cularité que la hauteur AB de l’arbre est égale à la distanceBC du bûcheron à l’arbre.

TROISIÈME PARTIE

Exercice 1

1. (a) Nombre entier qui suit immédiatement 54 : 55Nombre entier qui suit immédiatement 23,5 : 24

(b) Les deux réponses de Nicolas sont correctes. Celles deFlorent sont fausses, car il a probablement confondu “sui-vre” et “précéder”.

2. (a) 2, 3401 < 17, 15671 < 23, 036 < 23, 127 < 23, 37 < 23, 4


(b) Marie range les nombres comme s’il s’agissait d’entiers,sans tenir compte de la virgule. Elle écrit 23, 4 < 23, 37 <23, 036 < 23, 127 < 2, 3401 < 17, 15671 car 234 < 2337 <23036 < 23127 < 23401 < 175671.Christophe range correctement les nombres, mais du plus

grand au plus petit (23, 4 > 23, 37 > 23, 127 > 23, 036 >17, 15671 > 2, 3401). Il s’agit sans doute d’une confusiondans les inégatlités.Morgane répond correctement à la question.Sébastien range les parties entières dans le bon ordre, maissemble ordonner les parties décimales selon leur longueur(2, 3401 < 17, 15671 < 23 puis 23, 4 < 23, 37 < 23, 036 <23, 127). Il semble ici utiliser à mauvais escient la règle(vraie sur les entiers, mais pas sur les décimaux) que siun entier a plus de chiffres qu’un autre, alors il est plusgrand.Julie range correctement les parties entières mais sembleordonner les parties décimales comme s’il s’agissait d’en-tiers (2, 3401 < 17, 15671 < 23 puis 23, 4 < 23, 036 <23, 37 < 23, 127 car 4 < 36 < 37 < 127). Cela correspondà la conception erronée des décimaux comme deux entiersséparés par une virgule.

Entre deux décimaux,il y a toujours une in-finité de décimaux

3. (a) Entre 12,7 et 12,9 : il y a plusieurs décimaux.Entre 14,6 et 14,7 : il y a plusieurs décimaux (par exemple14,61 ou 14,605).

(b) Quentin a tort. Il a sans doute une conception erronée desdécimaux, qu’il voit comme deux entiers séparés par unevirgule. Ainsi, il pense que 14,7 vient juste après 14,6, cequi est faux.

4. (a) 3, 7 + 5, 8 = 9, 53, 7⇥ 5, 8 = 21, 46

(b) Les deux réponses d’Alice sont fausses.Dans les deux cas, elle procède de la même manière, encalculant les opérations sur les parties entières, puis surles parties décimales comme si c’était des entiers. Parexemple, comme 3 ⇥ 5 = 15 et 7 ⇥ 8 = 56, elle conclutque 3, 7 ⇥ 5, 8 = 15, 56. Elle semble avoir une conceptionerronée des décimaux (couples d’entiers séparés par unevirgule).

5. (a) 13, 56⇥ 10 = 135, 6


(b) Pour multiplier par 10 un nombre entier, il faut ajouterun zéro à droite de la partie entière. Mais, pour multiplierpar 10 un nombre décimal, il faut décaler la virgule d’unrang vers la droite.Les erreurs de Vincent et de Jérôme proviennent de l’ap-plication de la règle valable sur les entiers à des décimauxnon entiers, de deux manières différentes : Vincent ajouteun 0 à la fin du nombre, et Jérôme ajoute un 0 à la fin dela partie entière.

6. (a) 23 est un nombre décimal. Les entiers sont des dé-cimaux(b) La réponse de Cécile est correcte, mais ce n’est pas évident

pour les élèves qui pensent qu’un décimal est “un nombreà virgule”.Le nombre 23 n’a pas de virgule, mais on peut aussil’écrire 23,0 par exemple.

Exercice 2

1. Cette activité peut être proposée au cycle 3, car l’élève doitanalyser une figure complexe pour la reproduire.Le BO num. 3 HS du 19 juin 2008 indique, dans les enjeux desmathématiques au cycle 3, pour le domaine de la géométrie(pages 22 et 23) :« Il s’agit de passer d’une reconnaissance perceptive assez com-

plexe (identification des sous-figures) à une étude fondée sur

le recours aux instruments de tracé et de mesures (repérage de

longueurs égales dans la figure, détermination des centres des

différents arcs de cercle). Pour les figures planes, l’élève doit

connaître la carré et le cercle (reproduction) ainsi que le vo-

cabulaire spécifique relatif à ces figures (côté, sommet, angle,

centre, rayon, diamètre). »Le même BO indique, dans les progressions pour le cycle 3,pour le domaine de la géométrie (page 39) :

• Au CE2 : « Reconnaître et tracer un carré, vérifier la

nature d’une figure plane en utilisant la règle graduée et

l’équerre, construire un cercle avec un compas. »• Au CM1 : « Vérifier la nature d’une figure plane simple

en utilisant la règle graduée, l’équerre et le compas. »• Au CM2 : « Vérifier la nature d’une figure en ayant recours

aux instruments. »


Compte tenu qu’ici il s’agit de vérifier la nature d’une figurecomplexe, nous situons cette activité au cycle 3 et plus préci-sément en CM2.Il n’est pas nécessaire de détailler autant votre réponse. Unargument suffit. D’autre part, il n’est pas besoin de connaîtrepar cœur les éléments des BO. En revanche, vous devez êtrecapable de dire avec vos propres mots les compétences im-portantes.

2. — L’élève doit analyser une figure complexe afin de la repro-duire.— L’élève doit identifier et reconnaitre le carré et savoir letracer à l’aide des instruments.— L’élève doit identifier les 3 arcs de cercle. Il doit savoirdéterminer les centres et tracer les arcs.

3. — Un élève peut avoir des difficultés à reconnaître un carrédans une position non prototypique.— Il peut avoir des difficulté à reconnaître des arcs de cercles,ou ne pas percevoir où se situent les centres.— Il peut avoir des difficultés pratiques à utiliser les instru-ments.

4. — Le maître peut marquer les trois centres des arcs de cerclesur le modèle.— Le maître peut proposer le modèle sur papier quadrillé detelle sorte que l’élève perçoive la position des centres des troisarcs de cercle.— Le maître peut proposer un gabarit pour le tracé des arcsde cercle.

Il est important d’utiliser un vocabulaire géométrique précis pouranalyser ce problème. Par exemple, il ne s’agit pas d’évoquer lefait que les élèves doivent « savoir où il faut placer la pointe deson compas », mais bien qu’ils doivent savoir où se trouvent lescentres des demi-cercles ou du quart de cercle.



2015-2016 — SESSION 2

UE 1

L’énoncé de ce sujet setrouve page 93Exercice 1Critère de divisibilitépar 9 : Un nombre en-tier est divisible par9 si et seulement lenombre obtenu en ad-ditionnant ses chiffresest divisible par 9. Pourêtre rigoureux, il fau-drait préciser « en ad-ditionnant les chiffresde son écriture en base10 », et pour être rigo-riste, « en additionnantvaleurs des chiffres deson écriture en base10 ». On peut mêmeprouver, plus générale-ment, que le nombreobtenu en additionnantles chiffres d’un nombreentier a même reste quece nombre dans la divi-sion par 9.

1. (a) Beaucoup de réponses possibles, au choix du candidat. Parexemple pour a = c = 1 (qui vérifient bien a + c 9) ona b = 1 + 1 = 2 donc abc = 121. Et 121 est bien divisiblepar 11, puisque 121 = 112.

(b) Soit abc un tel nombre. Alors :

abc = 100a+ 10b+ c par définition= 100a+ 10(a+ c) + c par l’hypothèse a+ c = b= 100a+ 10a+ 10c+ c= 110a+ 11c= 11 · (10a+ c)

ce qui prouve bien que c’est un multiple de 11.

2. Le plus grand nombre auquel on puisse appliquer ce critère dedivisibilité est 990. En effet, pour trouver le plus grand nombreen question, on prend a le plus grand possible, soit 9 : pourque la condition que a + c 9 soit vérifiée, on doit prendrec = 0, d’où b = 9. Rappelons que cette justification n’était pasdemandée.

3.

abbcca = 100 000a+ 10 000b+ 1 000b+ 100c+ 10c+ a

= 100 001a+ 11 000b+ 110c

= 11⇥ 9 091a+ 11⇥ 1 000b+ 11⇥ 10c

= 11⇥ (9 091a+ 1 000b+ 10c)Si un nombre entier aest divisible par deuxnombres entiers b etc premiers entre eux,alors il est divisible parleur produit a⇥ c.Attention, l’hypothèseque b et c sont premiersentre eux est primor-diale : ainsi 24 est di-visible par 6 et 8, quine sont pas premiersentre eux (ils ont undiviseur commun idiffé-rent de 1 : soit 2), maisn’est évidemment pasdivisible par leur pro-duit 6⇥ 8 = 48.

ce qui prouve bien que abbcca est multiple de 11. Pour trouverque 100 001 = 11 ⇥ 9 091, il suffisait de vérifier que 100 001était multiple de 11, en effectuant la division par 11.


4. Le nombre 788 337 est de la forme abbcca. Par conséquent, vuce qui précède, il est multiple de 11. Par ailleurs, la somme deses chiffres est 7 + 8 + 8 + 3 + 3 + 7 = 36, et 36 est divisiblepar 9. Par le critère de divisibilité par 9, il est donc divisiblepar 9.Comme 9 et 11 sont premiers entre eux, on conclut qu’il estdivisible par 11⇥ 9 = 99.

Exercice 2

1. On a a3 = b3 + 117, et b est positif, donc a3 � 117. Comme43 = 64 et 53 = 125, on conclut que a � 5 (puisque c’est unentier).

2. En décomposant 117 en produit de nombres premiers, on ob-tient 117 = 3 ⇥ 3 ⇥ 13. L’ensemble des diviseurs de 1117 estdonc l’ensemble

{1, 3, 9, 13, 39, 117}.

3. Il en découle que les décompositions de 117 comme produitsde deux entiers sont 117 = 1⇥ 117 = 3⇥ 39 = 9⇥ 13.

4.

(a� b)(a2 + ab+ b2) = a3 + a2b+ ab2 � ba2 � a2b� b3

= a3 � b3

5. Il s’agit donc de trouver les couples de naturels solutions del’équation (a � b)(a2 + ab + b2) = 117. Mais a � b et (a2 +ab+ b2) sont eux aussi des naturels (ils sont entiers, le secondest manifestement positif, et a � b > 0, sans quoi a3 � b3 0et donc ce nombre ne pourrait être égal à 117). D’autre part,nécessairement a� b < a2 + ab+ b2. Bref, a� b et a2 + ab+ b2

sont deux entiers naturels, le premier étant le plus petit, dontle produit est 117. C’est donc, d’après la question précédente,1 et 117, ou 3 et 39, ou 9 et 13. Il y a donc trois cas à traiter :a� b = 1 et a2+ ab+ b2 = 117 ; a� b = 3 et a2+ ab+ b2 = 39 ;a � b = 9 et a2 + ab + b2 = 13. Mais le troisième cas est àexclure, car on sait que a � 5, donc a2 + ab+ b2 � a2 � 25.

• Premier cas : a� b = 1 et a2 + ab+ b2 = 117.D’abord, on remarque à nouveau que a2 + ab + b2 � a2 ;comme 112 = 121, on conclut que a est entre 5 et 10.D’autre part, a� b = 1 revient à dire que b = a� 1. On a


donc les six cas suivants, et on constate que a2 + ab + b2

n’est jamais égal à 117 : ce cas est donc impossible.

a 5 6 7 8 9 10b 4 5 6 7 8 9

a2 + ab+ b2 61 91 127 169 217 271

Remarque : dès qu’on obtient la valeur 127 on peut arrêterles calculs, car on sait que les résultats suivants seront plusgrands.

• Deuxième cas = a�b = 3 et a2+ab+b2 = 39 Dans ce cas,on peut se rendre compte que a 6, car si a � 7 alorsa2+ab+ b2 � a2 � 72 = 49. On a donc le tableau suivant,sachant que a� b = 3 revient à b = a� 3 :

a 5 6b 2 3

a2 + ab+ b2 39 63

On a donc finalement trouvé une seule solution en entiersnaturels : a = 5 et B = 2.

Exercice 3

1. Voici un programme de construction possible :

• Placer sur (AE) le point C tel que E soit le milieu de[AC].

• Tracer une droite (d) qui coupe (AE) en E. Placer surcette droite deux points B et D tels que E soit le milieude [BD].

Propriété utilisée : un quadrilatère est un parallélogramme siet seulement si ses diagonales se coupent en leur milieu.

2. ABCD est un rectangle, donc ses diagonales se coupent en leurmilieu et sont de même longueur. Donc EA = EB = EC =ED. Donc ABCD est inscrit dans un cercle de centre E et derayon EA.

3. ABCD est un losange si et seulement si ses diagonales secoupent en leur milieu et sont perpendiculaires. Les conditionsnécessaires et suffisantes sur B et D pour que ABCD soit unlosange sont donc que B et D soient sur la médiatrice de [AC],c’est à dire sur la perpendiculaire à (AE) passant par E et queE soit le milieu de [BD].


Remarque : puisque ABCD était supposé faire partie de lafamille F , on pouvait se contenter de dire qu’il faut et qu’ilsuffit que (BD) ? (AC), ou encore que (BE) ? (AE).

4. Si ABCD est un carré, alors il est à la fois un rectangle et unlosange. Les points B et C devront donc appartenir à la foisau cercle de centre E et de rayon EA et à la perpendiculaire à(AE) passant par E. Le cercle de centre E et de rayon EA n’aque deux points d’intersection avec la perpendiculaire à (AE)passant par E. Donc la famille F ne contient qu’un seul carré.


UE2

Exercice 1

1. a)b)

Élève Procédure ErreursA Technique par échange. Il

n’adapte pas l’algorithmeà la présence d’un zérodans le premier terme.

Aucune erreur, résultatcorrect.

B Technique par compensa-tion.

Résultat faux dû à l’oublid’une retenue.

C Technique par compen-sation dans le calcul duchiffre des unités.

Pas d’erreur, mais uneprocédure mixte origi-nale.

Technique par échangeinhabituelle dans les di-zaines à soustraire : sous-traire neuf dizaines puisune, c’est soustraire unecentaine.

Peut-être soustraire dixdizaines a-t-il gêné cetélève.

D La procédure de cet élèveconsiste à chercher danschaque colonne l’écartentre les nombres sans te-nir compte de l’orienta-tion de cet écart.

Résultat faux. Cet élèvea construit une procé-dure qui lui permet d’évi-ter l’usage des retenues.Il ne fait pas le lien entresa procédure et le résul-tat recherché.

E Technique par empruntdans le calcul du chiffredes unités.

Pas d’erreur et encoreune procédure mixte ori-ginale.

Technique par compen-sation dans le calcul duchiffre des dizaines.

Peut-être la présencedu zéro a- t-elle gênécet élève pour pour-suivre l’utilisation de latechnique par emprunt.

c) Par exemple la technique de l’addition à trou :


• soit posée comme une addition à trou ordinaire :

1 1 1

8 9 5 8 9 5+ · · · ) + 1 5 7

1 0 5 2 1 0 5 2

• soit posée comme une soustraction, comme proposé, parexemple, dans le document Le nombre au cycle 2 :

1 0 5 21 1 1

� 8 9 51 5 7

Quelle que soit la manière de le poser : 5 pour aller à 2, c’estimpossible, donc 5 pour aller à 12, 7, et je retiens le 1 ; 9 +1 = 10, 10 pour aller à 5 ce n’est pas possible, donc 10 pouraller à 15, 5, et je retiens le 1 ; 8 + 1 = 9, 9 pour aller à 0 c’estimpossible, donc 9 pour aller à 10, 1, et je retiens le 1 ; 1 pouraller à 1, 0.

2. a)b)


Élève Procédure ErreursF Procédure par recherche

de la différence. Il com-mence par chercherl’écart entre 1000 et 895puis ajoute cet écartà l’écart entre 1000 et1052.

Résultat correct.

G Procédure qui s’appuiesur une décomposi-tion additive des deuxtermes :(a+b)�(c+d) =(a� c) + (b� d).

Résultat faux. Erreurdans le calcul mental de152� 95.

L’élève décompose sansl’écrire 1052 en 900+152et 895 en 800 + 95 puiseffectue mentalement lessoustractions 152� 95 et900 � 800 et additionneleurs résultats.

H Procédure par retraitssuccessifs utilisant ladécomposition canoniquede 895 : l’élève retire 5puis 90 puis 800.

Résultat faux. Il y aune erreur dans le calcul1 047� 90.

L’écriture du calcul n’estpas correcte car le signeégal est placé entre desexpressions qui n’ont pasla même valeur.

c) 1052� 895 = 1052� 900 + 5 = 152 + 5 = 157

3. La simplification consiste à aller chercher directement une cen-taine parmi les 50 centaines pour la transformer en dix di-zaines, laissant ainsi 49 centaines. Dans la méthode de l’élève,il aurait été dans l’impossibilité de chercher une centaine dans0 centaine ; il aurait alors dû chercher un millier parmi les 5milliers pour en faire 10 centaines, et il aurait cherché unecentaine parmi ces dix pour en faire dix dizaines :

• Méthode élève sans amélioration :


4 9 10

�5 ��10 1 14- 6 5 7

4 3 5 7

• Réponse attendue : méthode élève améliorée :4 9 10⇠⇠⇠⇠5 0 �1 14

� 6 5 74 3 5 7

4. Elle repose sur le fait qu’une différence ne change pas si onadditionne le même nombre aux deux termes.

Exercice 2

1. • Connaître le vocabulaire triangle, triangle rectangle, côté,demi-cercle, longueur.

• Savoir utiliser les instruments de géométrie pour tracerdes segments ou des cercles.

• Savoir utiliser sa règle graduée ou son compas pour repor-ter des longueurs.

• Tracer une figure simple à partir d’un programme de construc-tion ou en suivant des consignes.

2. Les élèves A et C n’ont pas respecté le programme de construc-tion.

• Élève A :Le triangle tracé est isocèle mais n’est pas rectangle. L’impré-cision est importante donc on peut supposer que l’élève,– soit a eu du mal à gérer deux contraintes simultanées

sur le triangle (rectangle et isocèle) ;– soit n’a pas pris en compte cette contrainte dans l’énoncé

(oubli d’une contrainte dans un texte relativement long) ;– soit ne maîtrise pas la notion de triangle rectangle (as-

sociant par exemple le mot rectangle au quadrilatèredu même nom, ce qui est incompatible avec la notionde triangle).

• Élève C :Il a tracé un rectangle et non un triangle rectangle commecela lui était demandé. Les mots « triangle » et « rec-tangle » étant séparés dans la phrase, on peut imaginer


que l’élève n’a pas tenu compte du début de la phrase oun’a retenu que le mot « rectangle » de sa lecture.

3. « Trace un triangle rectangle qui a deux côtés de même lon-gueur. Trace un demi-cercle dont le diamètre est le plus grandcôté du triangle. Ce demi-cercle doit passer par les trois som-mets du triangle. »



2015-2016 — SESSION 1

PREMIÈRE PARTIE

L’énoncé de ce sujet setrouve page 97 1.a.i Il faut trouver un triplet proportionnel à (3, 4, 5) et dont le

premier nombre est 36. Sachant que 36 = 3 ⇥ 12, il suffit demultiplier les éléments du triplet (3, 4, 5) par 12 : on trouve(36, 48, 60).

1.a.ii Le nombre total de billes est donc 36 + 48 + 60 = 144

1.a.iii À la fin de la partie, les avoirs des Gaulois forment un tripletproportionnel à (15, 16, 17). Mais nous venons de voir que lasomme de ces avoirs est égale à 144. D’autre part, 15 + 16 +17 = 48. Le quadruplet contitué des avoirs de chaque Gauloisà la fin de la partie et de leur somme, soit (a0, b0, c0, 144) estdonc proportionnel à (15, 16, 17, 48). Comme 144 = 3 ⇥ 48,les nombres de billes des trois Gaulois en fin de partie sontrespectivement 3⇥ 15 = 45, 3⇥ 16 = 48, 3⇥ 17 = 51.

1.b. Si B possède 6 billes au début de la partie, les triplets (3, 4, 5)et (a, b, c) = (a, 6, c) étant proportionnels, le coefficient de pro-portionnalité est 6

4 = 32 , de sorte que A aurait 4,5 billes en

début de partie, et C en aurait 7,5 : ce qui est impossible.

2. Puisque les triplets (a, b, c) et (3, 4, 5) sont proportionnels, lesrapports a

a+b+c et 33+4+5 sont égaux, et de même pour b avec

4 et c avec 5. Donc a vaut 312 = 1

4 du nombre total de billes(c’est la part de A en début de partie), b vaut 4

12 = 13 du

nombre total de billes (c’est la part de B en début de partie)et c vaut 5

12 du nombre total de billes (c’est la part de C endébut de partie). De même, le nombre de billes de A en fin departie vaut 15

15+16+17 = 1548 = 5

16 du nombre total de billes, lenombre de billes de B en fin de partie vaut 16

48 = 13 du nombre

total de billes, et le nombre de billes de C en fin de partie vaut1748 du nombre total de billes.


3. D’après la question précédente, B a commencé et terminé lapartie en possédant un tiers du nombre total de billes. C’estdonc qu’il n’a gagné ni perdu aucune bille, puisque le nombretotal de billes n’a pas changé.

4. Par conséquent, soit les deux autres Gaulois ont eux aussi vuleur nombre de billes inchangé, ce qui n’est manifestement pasle cas, soit l’un a gagné des billes et l’autre en a perdu. Poursavoir lequel a gagné et lequel a perdu, il suffit de comparerquelle fraction du total possédait l’un d’eux avant, et après lapartie. Le plus simple est de considérer le cas de A, les fractionsen jeu étant plus faciles à manipuler (mais on aurait pu obteniraussi le résultat en considérant C, les calculs étant un peu plusdifficiles).En début de partie, A possède 1

4 du nombre total de billes.Et en fin de partie, il en possède 5

16 .Comme 1

4 = 416 , cela signifie que A a fini la partie avec plus de

billes qu’il n’en avait au départ. C’est donc lui qui en a gagné6, C en ayant, lui, fatalement perdu 6.

5. De plus, selon le calcul précédent, ces 6 billes gagnées par Acorrespondent à 1

16 du nombre total de billes. C’est donc qu’ily a 6⇥ 16 = 96 billes.En début de partie, A en possédait 1

4 , soit 24. En fin de partie,il en possédait 5

16 , soit 30 (vérification : il en a bien gagné 6).En début comme en fin de partie B en possédait 1

3 , soit 32.En début de partie, C en possédait 5

12 , soit 40. En fin de partie,il en possédait 17

48 , soit 34 (vérification : il en a bien perdu 6).

6. Peu importe d’avoir pu répondre ou non à la question précé-dente : on sait que les parts apportées par A, B et C sontrespectivement proportionnelles à 15, 16, 17. Comme le totalde ces trois sombres est 48, la question revient à remplir letableau de proportionnalité suivant :

15 16 17 484800

Il est manifeste que le coefficient de proportionnalité est 100,le tableau se complète donc comme suit :

15 16 17 481500 1600 1700 4800


et donc A obtient 1500 statuettes, B en obtient 1600 et C enobtient 1700.

La résolution n’est pas fort différente si les candidats partentdu nombre réel de billes, obtenu à la question précédente ; ilsaboutissent alors au tableau de proportionalité suivant :

30 32 34 964800

et il suffit donc de voir que le coefficient de proportionnalitéest cette fois 50.

7. Ici, on peut se baser, soit sur le fait que les parts de A et C sontproportionnelles à 15 et 17, soit qu’elles sont proportionnellesà 30 et 34 (leur nombre effectif de billes à la fin de la partie)ou encore à 1500 et 1700 (leur nombre de statuettes de Ver-cingétorix). Il s’agit donc de compléter l’un des trois tableauxde proportionnalité suivants :

15 177500

30 347500

1500 17007500

et dans chaque cas on trouve, par l’une des nombreuses mé-thodes possibles, le nombre 8500, qui est donc le gain en ses-terces de C.

DEUXIÈME PARTIE

Exercice 1

1. Faux. Si c’était vrai, la diagonale (AC) de tout parallélo-gramme ABCD en serait un axe de symétrie, donc dans untel parallélogramme, l’image de B par cette symétrie serait D.Ce qui impliquerait que (BD) soit perpendiculaire à (AC).L’énoncé revient donc à dire que tout parallélogramme est unlosange, ce qui est faux.On pouvait aussi le justifier par un contre-exemple : il suffi-sait de tracer un parallélogramme ABCD non losange et de


constater que B et D ne sont pas symétriques par rapport à(AC).Enfin, l’argument « J’ai découpé un parallélogramme et je l’aiplié en deux selon une diagonale : les deux parties ne se sontpas repliées l’une sur l’autre », bien que plus pragmatique quedéductif, serait accepté : il s’agit plus ici de demander au can-didat de comprendre la situation, que de donner un argumentcorrectement formalisé.

2. Faux. Par exemple, un triangle équilatéral admet trois axes desymétrie. Mais il n’admet pas de centre de symétrie.

3. Vrai. Par exemple le rectangle, dont les « médianes » (droitesreliant les milieux des côtés opposés) sont des axes de symétrie.

4. Faux. Le rectangle, à nouveau, est un parallélogramme quiadmet au moins un axe de symétrie, et qui n’est pas un losange(sauf si c’est un carré)

Exercice 2

1. C’est faux : cette distance est proportionnelle au carré dutemps écoulé, et non au temps écoulé lui-même. Autre argu-ment : la propriété de linéarité multiplicative n’est pas respec-tée, la distance parcourue en un temps 2 ⇥ t vaut 4 fois celleparcourue en un temps t.

2. Après 20 secondes, l’objet a parcouru 4, 9⇥ 400 m = 1960 m.La distance qui le séparait du sol initialement est donc 2 ⇥1960 m = 3920 m.

3. Par conséquent, la distance qui sépare l’objet du sol, expriméeen mètres en fonction du temps en secondes, s’exprime par lafonction d0(t) = 3 920� 4, 9⇥ t2.

4. Il est évident, pour des raisons physiques mais aussi à la lec-ture de son expression mathématique, que la fonction d0 doitêtre strictement décroissante, ce qui élimine les graphes 3 et 4(pour le graphe 3, on peut aussi dire que les segments horizon-taux correspondraient à des périodes durant lesquelles l’objetcesserait de tomber, et pour le graphe 4, qu’il signifierait quel’objet part du sol et s’élève spontanément, ce qui dans un cascomme dans l’autre serait absurde). Le graphe 2 n’est pas legraphe d’une fonction. Il reste donc à trancher entre le graphe


1 et le graphe 5. Mais le graphe 1 est rectiligne ; cela implique-rait que la fonction d elle-même serait linéaire, ce qui est faux(cf question 1). Le graphe correct est donc le 5.

Exercice 3

En un premier temps, on peut prolonger les côtés donnés duquadrilatère ABCD pour le reconstituer en entier. Tenant comptede l’indication sur B et sur D, on obtient donc la figure suivante :

A

B

C

D

A0

B0

On dispose maintenant de deux points et de leurs images : A etA0, B et B0. Or, on sait qu’un point, son image, et le centre dela symétrie, sont alignés. Le centre O est donc l’intersection desdroites (AA0) et (BB0), qu’on peut tracer à la règle (constructionsen rouge) :


A

B

C

D

O

A0

B0

Ensuite, pour construire C 0 et D0 : On sait que C 0 se trouve sur lesegment partiellement effacé, issu de B0. On sait aussi qu’il se trouvesur (CO). Il suffit donc de prolonger ce segment (donc tracer unedemi-droite) et de tracer (CO), Leur intersection fournit le pointC 0. On procède de même pour construire D0 comme intersectionde (la prolongation) du segment issu de A0 et de la droite (OD)(constructions en vert). Il ne reste plus qu’à tracer le segment [C 0D0](construction en marron).

A

B

C

D

O

A0

B0

C0

D0

Remarque : Sans l’indication donnée, on aurait pu croire a priorique B était sur le segment situé en-dessous de la diagonale, et D


sur celui situé au-dessus. Mais en réalité c’est impossible.En effet, il est manifeste sur la figure symétrique que les pointssont parcourus dans le sens horlogique ; c’est donc aussi le cas surla figure d’origine.Un autre argument : on pouvait essayer de construire la figure eninversant les points B et D, ce qui pour déterminer O aurait donnéceci (j’ai été obligé de réduire la figure) :

A

D

C

BA0

B0

O

et on voit bien que c’est impossible, le point O ainsi obtenu n’étantpas le milieu des segments [AA0] ni [BB0], étant même extérieur àces segments.

TROISÈME PARTIE

Exercice 1

1. Il s’agit de la symétrie axiale, ou symétrie orthogonale (ouéventuellement « symétrie par rapport à une droite »).

2. C’est la compétence « Tracer, sur papier quadrillé, la figuresymétrique d’une figure donnée par rapport à une droite don-née ». Elle est abordée au cycle 3, plus particulièrement enCE2.

3. Il serait très maladroit de commencer par la figure 2. En effet,on sait qu’une erreur fréquente chez les élèves, dans ce genred’activité, est de procéder par translation plutôt que par sy-métrie. Or, la figure 2 ayant elle-même un axe de symétrie,parallèle à l’axe proposé (Cette précision n’est pas exigée descandidats), son symétrique par rapport à l’axe est aussi sontranslaté. Un élève qui procéderait par translation pourraitdonc réussir l’exercice 2 (selon le vecteur de translation qu’il


choisit implicitement et sans le savoir), et il serait très difficilede le convaincre que sa méthode est incorrecte puisqu’elle four-nit le bon résultat. On préférera donc commencer par l’exercice1.On pourrait être tenté de préférer la figure de l’exercice 2, parcequ’elle ne comporte pas de segments obliques, qu’on pourraitjuger plus difficiles à tracer. Toutefois, cet argument est peuconvaincant et de peu de poids par rapport à l’argument pré-cédent. Les élèves ont a priori déjà tracé des traits obliquessur quadrillage dès le cycle 2. Cette réponse est toutefois ac-ceptable si l’on précise en quoi c’est plus difficile : non pas parle fait de devoir tracer des obliques sur un quadrillage, maisparce que, dans le cas du symétrique d’une oblique par rap-port à un axe vertical, il faut gérer simultanément le fait queles déplacements horizontaux doivent être inversés (un dépla-cement de x cases vers la groite sur l’original correspond à undéplacement de x cases vers la gauche sur le symétrique, et in-versément), tandis que les déplacements verticaux ne doiventpas l’être. Alors que si l’original ne contient que des segmentshorizontaux ou verticaux, un seul de ces principes doit êtregéré pour chacun des segments.On pourrait également admettre la réponse « Je lui conseille-rais plutôt de commencer par l’exercice 2 », pourvu qu’ellesoit argumentée comme suit : l’enseignant est conscient que lesélèves procèdent souvent par translation, et conscient de l’inté-rêt de l’erreur dans les apprentissages. Il pourrait commencerpar l’exercice 2 pour mettre en évidence plusieurs méthodes,et ensuite l’exercice 1 pour mettre en évidence le fait que laméthode par translation n’est pas correcte. Dans ce cas, bienévidemment, il ne proposerait de trace écrite qu’après l’exer-cice 1.

4. Puisque l’axe de symétrie est aussi l’axe de symétrie du qua-drillage, l’élève peut s’appuyer sur celui-ci, et particulièrementsur ses bords droit et gauche, sans se préoccuper de l’axe lui-même. Par exemple, le sommet supérieur gauche de la figure setrouve à un carreau du bord gauche du quadrillage, son symé-trique se trouve donc, à la même « hauteur », à un carreau dubord droit. De même, le sommet inférieur gauche se trouve àdeux carreaux du bord gauche du quadrillage, son symétriquese trouve donc, à la même « hauteur », à deux carreaux dubord droit.

5. L’élève doit tracer les segments de proche en proche en conser-


vant les longueurs et en « retournant » les angles. Plus préci-sément, il le fera inconsciemment, puisqu’il se repèrera sur lequadrillage : pour tracer le sommet suivant, il repère la posi-tion relative de ce sommet par rapport à un autre déjà tracé(autant de carreaux vers le haut ou vers le bas, autant de car-reaux vers la droite ou vers la gauche) et l’adapte sur la figuresymétrique, en conservant le nombre de carreaux, en conser-vant la notion de « haut » et « bas » et en inversant la notionde « droite » et « gauche ».Les propriétés mathématiques de la symétrie orthogonale quisont utilisées ici sont qu’il s’agit d’une isométrie indirecte (ouinverse, ou négative). On peut aussi répondre en spécifiant cespropriétés : elles préservent les distances et les amplitudes desangles, mais en inversent l’orientation.

6. Voici quelques variables possibles. Elles doivent implicitementtenir compte du fait que le tracé du symétrique d’un pointà la règle et au compas ou à règle graduée et à l’équerre nefait pas partie du programme de l’école élémentaire (c’étaittrès explicite dans les programmes de 2002 et leurs documentsd’accompagnement, ce l’était moins dans les programmes de2008).

• Le fait que la figure soit sur quadrillage ou sur papierblanc. Dans une construction classique (on donne la fi-gure et l’axe), la présence du quadrillage permet à l’élèvede pratiquer « en acte » la symétrie en reportant sur laperpendiculaire à l’axe passant par le point la distance dece point à l’axe. Mais il permet aussi, dès que le symé-trique d’un segment a été tracé, de compléter la figure ense repérant sur les nœuds du quadrillage, ainsi qu’expliquéà la question précédente. Dans le cas de papier blanc, ilfaut utiliser des méthodes passant d’une certaine manièrepar la 3D : utilisation de miroirs, de papier calque,. . .

• Le fait que la figure contienne ou non des angles autres quedroits. Peu pertinente lorsqu’on travaille sur quadrillage,cette variable peut être efficace sur papier blanc, car s’iln’y a pas d’angle autre que droit, on peut compléter lafigure sans se préoccuper de l’axe dès qu’on a tracé lesymétrique d’un segment.

• L’orientation de l’axe : un axe oblique oblige l’élève àabandonner les directions privilégiées que sont l’horizon-tale et la verticale (NB Dans le cas d’un quadrillage, seules


sont pertinentes des obliques qui sont des diagonales duquadrillage ; dans les autres cas, le symétrique d’un nœuddu quadrillage n’en est pas nécessairement un).

• Le fait que l’axe soit donné ou non. Dans la négative, ilfaut bien évidemment donner au moins un segment de lafigure symétrique. Les élèves doivent alors, soit chercherpréalablement l’axe, soit utiliser des propriétés de la sy-métrie pour compléter la figure de proche en proche.

• Le fait que des points significatifs de la figure se trouventsur l’axe (ce qui est en général le cas dans les activités dutype « Complète la figure pour que tel trait soit un axede symétrie »). Ici aussi, cela permet de prendre en chargede manière implicite des propriétés de la symétrie. Parexemple, s’il s’agit de tracer le symétrique de la « demi-maison » ci-dessous selon l’axe rouge :

cette activité peut très bien être réalisée sans quadrillage :on peut prolonger le segment horizontal du bas de la lon-gueur voulue, tracer une perpendiculaire pour former lecôté droit, relier ainsi au sommet du « toit » sans devoirse préoccuper de l’angle, compléter la « porte », le plus dif-ficile étant de placer correctement la « fenêtre ». À noterque ce ci fonctionne parce qu’on a aussi agi sur une autrevariable didactique : le fait que de nombreux segments dela figure sont parallèles ou perpendiculaires à l’axe.

• Le fait que la figure traverse l’axe de symétrie. Cela peutentraîner des difficultés dans la mesure où il peut y avoir


confusion entre la figure d”origine et son symétrique. Maissurtout, cela rend impossible la procédure par pliage danslaquelle la figure est censée se retrouver sur son symé-trique.

• Les actions autorisées : plier la feuille, découper, disposerde papier calque... permettent des procédures-élèves qui,sans être expertes, mettent en évidence l’inventivité desélèves et leur compréhension du concept de symétrie.

Exercice 2

Ce genre de problème pose des questions d’ordre didactique aux-quelles il vaut la peine de réfléchir. En effet, si on traduit ce pro-blème sous forme de tableau en faisant abstraction de la naturedes grandeurs ou des unités en jeu, cela donne :

Farine Sucre Rhum Œufs600 300 6 121000

et cela donne l’impression d’une situation de proportionnalitésimple dans laquelle le coefficient de proportionnalité est celuiqui fait passer de 600 à 1000. Alors qu’en réalité, il y a quatregrandeurs en jeu, toutes proportionnelles entre elles, et si l’onprend pour référence la quantité de farine, il y a trois coefficientsde proportionnalité, qui donnent, en fonction de la quantité defarine, respectivement la quantité de sucre, celle de rhum, celled’œufs. Il s’agt donc plutôt d’une situation de proportionnalitésimple composée. Nous avons tenu à rédiger un questionnaire quiévite d’exiger des candidats qu’ils soient capables de faire cettesubtile distinction, mais il nous a semblé utile de faire apparaîtrecette remarque dès le début du corrigé.

1. Les réponses de Laurane sont correctes ; celles de Romain sonttoutes fausses (le résultat étant correct en ce qui concerne lerhum, mais par un raisonnement incorrect).

2. (a) Laurane semble bien avoir vu que 600 g = 6⇥100 g tandisque 1 kg = 10 ⇥ 100 g. Donc elle a pu raisonner commesuit : puisque pour 6 fois 100 grammes il faut 6 cl de rhum,pour 10 fois 100 grammes il en faut 10 cl. Elle a pu aussivoir un lien enre les nombres : 6 (cl) c’est cent fois moinsque 600 (grammes), donc il faut prendre cent fois moins(de cl) que 1 000 (grammes), soit 10 (cl).


(b) Laurane a repéré une relation entre la quantité de farineet celle d’œufs : entre 600 g et 12 œufs, il y a le lien6 + 6 = 12 qui peut se traduire plus précisément (mêmesi Laurane n’en est pas nécessairement consciente) par :pour 6 centaines de grammes de farine, il faut 6 + 6 œufs.Donc pour 10 centaines de grammes (elle a observé que600 g = 6⇥ 100 g et que 1 kg = 10⇥ 100 g) il faut 10 +10 œufs.Elle a aussi pu se baser sur son résultat précédent : commeelle a trouvé 10 cl de rhum, et qu’elle a vu que 12 (œufs)= 6 + 6 (centilitres de rhum), elle pouvait conclure quepour 10 cl de rhum il fallait 10 + 10 œufs.

3. (a) Romain semble avoir une conception additive de la propor-tionnalité : pour calculer la quantité de sucre nécessaire, ilcalcule combien on a ajouté de farine, et ajoute la mêmequantité de sucre.

(b) S’il avait suivi scrupuleusement le même raisonnement, ilaurait dû ajouter 400 œufs et 400 cl de rhum. Il a spon-tanément adapté son calcul à des quantités plus raison-nables, en fait en repérant plus ou moins consciemmentque ce « 400 » correspond à « 4 centaines », ou au contraireen travaillement purement formellement (puisque 400 cen’est pas raisonnable je garde le 4).

4. (a) Voici une solution utilisant exclusivement la règle de trois :

Pour 600 g de farine, il faut 300 g de sucre, 6 cl de rhumet 12 œufs.Donc pour 1 g de farine, il faut 300 : 600 = 0, 5 g de sucre,6 : 600 = 0, 01 cl de rhum et 12 : 600 = 0, 02 œufs.Donc pour 1 kg = 1000 g de farine il faut 0, 5⇥1000 = 500g de sucre, 1000⇥0, 01 = 10 cl de rhum et 1000⇥0, 02 = 20œufs.

(b) Outre qu’elle nécessite de bien manipuler les nombres dé-cimaux, cette solution fait appel à des concepts totale-ment abstraits (Peut-on sérieusement envisager de faireun cake avec 1 g de farine ? Et qu’est-ce que 0,02 œuf ?).On voit donc que certains problèmes bien concrets de pro-portionnalité peuvent être résolus par des méthodes com-préhensibles par des élèves de CM2 (voir la production deLaurane) et que la règle de trois, si elle est incontestable-ment un outil efficace dans de nombreux problèmes, n’est


pas toujours adaptée, et doit donc être proposée commeun outil parmi d’autres de résolution de ce genre de pro-blèmes. Ceci en dépit du fait que d’un point de vue stricte-ment mathématique elle fonctionne toujours correctement(pour traiter des situations de proportionnalité bien sûr).De plus, les méthodes telles que celles utilisées par Lau-rane présentent l’intérêt de mieux comprendre ce qu’est laproportionnalité et de mieux exploiter les propriétés dessituations de proportionnalité. On pourrait encore ajouterque dans certains cas, la règle de trois conduit à effectuerdes divisions par des nombres décimaux non entiers, quine relèvent pas de l’école primaire, alors que d’autres mé-thodes qui en relèvent seraient tout aussi adaptées.


Traditionnellement, la définition de la « règle de trois »est : « discours raisonné mettant en œuvre un retour àl’unité ». C’est-à-dire, un raisonnement en trois étapesde la forme suivante :

• Sept stylos coûtent 21 euros.• Donc un stylo coûte 21: 7 = 3 euros.• Donc huit stylos coûtent 3⇥ 8 = 24 euros.

Du fait de l’abandon de l’enseignement systématique decette méthode à l’école, et de l’enseignement systéma-tique de la règle du « produit en croix » au collège, plusspécifiquement en quatrième, il semble que l’expression« Règle de trois » ait glissé de sens chez de nombreuxprofesseurs de collège, pour devenir synonyme de « pro-duit en croix ». Du point de vue de l’auteur de ce sujet, ilne fait pas de doute que la volonté du législateur de 2008,en parlant de règle de trois à l’école primaire, visait bienla règle de trois en tant que discours raisonné mettanten œuvre un retour à l’unité (ou une définition proche),puisque la même année, il évoquait le produit en croixdans le programme de quatrième, en précisant bien

que cette procédure venait s’ajouter aux procé-

dures déjà rencontrées auparavant. Ce qui indique-rait bien que le produit en croix n’a pas à être introduitavant la quatrième, et en particulier à l’école primaire.Mais il faut reconnaître que cette évolution du langagecrée une certaine ambiguïté concernant la règle de trois.D’ailleurs, le législateur de 2015 semble s’en être renducompte, puisqu’il n’évoque plus la règle de trois maisbien le passage à l’unité.De ce fait, nous avons décidé d’accepter l’utilisation duproduit en croix comme réponse correcte à la question3 (a), et des arguments critiques relatifs à l’utilisationde ce produit en croix à l’école primaire pour la ques-tion 3 (b) – par exemple : il faut que les élèves puissentcomprendre que cette méthode de calcul traduit un rai-sonnement en utilisant des propriétés liant la multipli-cation et la division : dans le produit en croix sous laforme (b ⇥ c)/a, le produit b ⇥ c n’a aucune significa-tion concrète. De plus, dans certains cas, le nombre apeut être décimal non entier, ce qui fait que la tech-nique n’est pas applicable à l’école primaire, alors queles autres techniques liées à la proportionnalité peuventéventuellement fonctionner.



2015-2016 — SESSION 2

UE 1

L’énoncé de ce sujet setrouve page 109 Exercice 1

1. De nombreux patrons sont possibles. L’échelle 1/4 implique dediviser par 4 les longueurs.

2. (a) Il s’agit de prismes droits à base triangulaire.Les volumes seront exprimés en cm3.Pour le modèle A, la hauteur est 18 cm et l’aire de la basetriangulaire est

10⇥ l12

. Le volume vaut donc10⇥ 12

2⇥18,

soit10⇥ 12⇥ 18

2.

Pour le modèle B, la hauteur est 10 cm et l’aire de la basetriangulaire est

18⇥ l22

. Le volume vaut donc18⇥ 12

2⇥10,


soit10⇥ 12⇥ 18

2.

Les volumes sont égaux.

(b) Les deux prisme ont en commun la face rectangulaire dudessous. On peut donc se contenter de calculer la sommedes aires des quatre autres faces constituées de deux rec-tangles identiques et de deux triangles identiques.Les aires seront exprimées en cm2.Modèle A :

Aire du triangle :10⇥ 12

2= 60.

Le rectangle a pour dimensions 18 et a où a peut êtreobtenu à l’aide du théorème de Pythagore.a =p52 + 122 =

p25 + 144 =

p169 = 13.

L’aire du rectangle est donc : 18⇥ 13 = 234.L’aire des quatre faces vaut donc 2⇥ (60 + 234) = 588.Modèle B :

Aire du triangle :18⇥ 12

2= 108.

Le rectangle a pour dimensions 10 et b où b peut êtreobtenu à l’aide du théorème de Pythagore.b =p92 + 122 =

p81 + 144 =

p225 = 15.

L’aire du rectangle est donc : 10⇥ 15 = 150.L’aire des quatre faces vaut donc 2⇥ (108 + 150) = 516.Conclusion : c’est pour le modèle B qu’il faut le moinsde peinture.

Exercice 2

L’ensemble des issues équiprobables peut être représenté dansun tableau à double entrée :

A \ B Pierre Feuille Ciseaux puitsPierre nul b a bFeuille a nul b aCiseaux b a nul bPuits a b a nul

La symétrie du tableau confirme que A et B ont la même probabilitéde gagner, la valeur de cette probabilité est de 6/16.


Exercice 3

1. Affirmation A : « Nm = 20 correspond à 20 km de fil pour 1kg. »Vrai, Nm = 20 correspond à 20 m de fil pour 1 g, soit enmultipliant par 1000 à 20 km de fil pour 1 kg.Affirmation B : « Plus le numéro métrique est grand, plus lefil est épais. »Faux, le numéro métrique exprime la longueur de fil obtenupour 1 gramme donc plus le numéro est grand plus la longueurdu fil obtenu pour 1 gramme est grand et donc plus le fil estfin.

2. 500 mètres de fil pèsent 62,5 grammes donc 1 km de fil pèse125 g. Et donc 8 km pèsent 1 kg. On en conclut que Nm = 8.

3. Nm = 50 (50 mètres par gramme) donc pour 40 g de fil on a50⇥ 40 = 2000 mètres.

4. (a) Pour chaque fil simple, Nm = 40 mètres par gramme, cequi correspond à 1 mètre pour 1/40 g.Donc 1 mètre du fil retors (composé de deux fils) est deuxfois plus lourd, il pèse 1/20 g et donc son numéro métriquevaut 20.

(b) Premier fil simple, Nm = 40 m/g, ce qui correspond à 1m pour 1/40 g.Deuxième fil simple, Nm = 10 m/g, ce qui correspond à 1m pour 1/10 g.

Donc 1 mètre du fil retors pèse1

40+

1

10=

1

8grammes.

En multipliant par 8, on obtient 8 mètres pour 1 gramme.Son numéro métrique vaut 8.

(c) Pour le premier fil simple, on a n1 mètres pour 1 gramme,ce qui correspond à 1 m pour

1

n1g.

Pour le deuxième fil simple, on a n2 mètres pour 1 gramme,ce qui correspond à 1 m pour

1

n2g.

Donc 1 mètre du fil retors pèse1

n1+

1

n2grammes.

1

n1+

1

n2=

n2

n1 ⇥ n2+

n1

n1 ⇥ n2=

n1 + n2

n1 ⇥ n2


On a donc, pour 1 gramme,n1 ⇥ n2

n1 + n2mètres. On a bien

n =n1 ⇥ n2

n1 + n2.

UE2

Exercice 1

Réponses attendues :

• Nombre de faces : 5.

• Nombre d’arêtes : 8.

• Nombre de sommets : 5.

• Nom du solide : pyramide.

Les erreurs sur les faces, arêtes et sommets correspondent à unevision de la pyramide relevant du sens commun plutôt que du sensmathématique. Ces réponses s’appliqueraient par exemple à unepyramide d’Egypte (dont on n’identifierait qu’un seul sommet et 4faces). Le choix de la représentation de la base carrée sur un planhorizontal provoque plus facilement ce type d’erreur. Pour le nomdu solide, il s’agit d’une confusion entre le vocabulaire du plan celuide l’espace (du même type que carré/cube).

Exercice 2

1. Contrairement à la figure de 2013, la figure de 2011 a un axede la symétrie qui n’est pas l’axe du quadrillage. Cela permetde déceler les procédures erronées consistant à se repérer auxbords de la feuille. De ce point de vue, la figure de 2011 estpréférable.Les deux figures sont de même nature. Est ajouté en 2013 uncarré isolé. Sa forme est de faible apport puisque son trans-laté et son symétrique correspondent. En revanche, sa posi-tion (sans point commun avec l’axe) empêche l’élève de faireun tracé de proche en proche car aucun point du symétriquedu carré n’est connu à l’avance. On teste donc avec la figurede 2013 la capacité de l’élève à mettre en place d’autres pro-cédures.

2. Au delà des tracés de figures symétriques, l’élève doit pouvoirpercevoir les axes de symétries de figures simples. Les régula-rités du rectangle (et du parallélogramme) font que les élèves


assimilent souvent les diagonales à des axes de symétrie. Lefait qu’il y ait « la même chose » de chaque côté de la droitene suffit pas à conclure qu’il y ait un axe de symétrie.

Exercice 3

PARTIE 1

1. (a) 1ère méthode : Par utilisation de la propriété multiplica-tive de la linéarité, l’élève peut diviser par 3 chacune desquantités pour passer d’une recette pour 6 personnes àune recette pour 2 personnes.

2ème méthode :Par passage à l’unité :

• l’élève divise par 6 les quantités pour obtenir la recettepour une personne.

• l’élève multiplie ensuite par 2 les quantités pour obte-nir la recette pour deux personnes.

(b) La 1ère méthode est la plus adaptée car plus rapide etne nécessitant que des calculs simples. Cela tient au faitque pour le nombre de personnes 6 est un multiple de 2et que la recette ne fait intervenir que des multiples de 3.En demandant une recette pour 5 personnes, on rend plusfavorable l’usage du passage à l’unité car 6 n’est pas unmultiple de 5.

2. On peut résoudre la question b. en utilisant le résultat de laquestion a. (pour 2 personnes) et en utilisant la propriété ad-ditive de la linéarité. Pour obtenir les quantités pour 8 per-sonnes, l’élève additionne les quantités pour 2 et 6 personnes.Par exemple, pour le lait : 10 cl + 30 cl.

PARTIE 2

1. (a) Il s’agit d’une fonction linéaire de coefficient 4. Si on ap-pelle x la longueur du côté, la longueur du périmètre estp(x) = 4x. Il s’agit d’une situation de proportionnalité.

(b) Il s’agit d’une fonction « carré ». Si on appelle x la lon-gueur du côté, l’aire du carré est A(x) = x2. Il ne s’agitpas d’une situation de proportionnalité.

2. Il existe de nombreuses situations ne relevant pas de la propor-tionnalité. On peut citer par exemple en physique la chute libre


d’un corps : la distance parcourue n’est pas proportionnelle autemps de chute.



2016-2017 — SESSION 1

PREMIÈRE PARTIE

L’énoncé de ce sujet setrouve page 115

A.

1. Tracer deux cercles centrés en A et B, de rayons égaux, etsuffisamment grands pour que ces cercles se coupent. Mathé-matiquement il suffit que ces rayons soient de strictement su-périeurs à la moitié de la longueur du segment [AB], mais d’unpoint de vue pragmatique il faut, en vue d’une bonne préci-sion, qu’ils soient aussi grands que possible. Il n’est toutefoispas exigé du candidat qu’il rentre dans ces considérations. Ap-pelons C et D les deux intersections de ces deux cercles (disonsque C est celle qui est « au-dessus » de [AB], même si cetteprécision, qui ne relève pas des mathématiques, est mathéma-tiquement inutile). Les demi-droites demandées sont les demi-droites [AC) et [BD) On peut le justifier comme suit : dansle quadrilatère ACBD, on a AD = DB = BC = DA (toutesces longueurs sont égales au rayon des deux cercles), dès lorsc’est un losange, dès lors c’est un parallélogramme, dès lorsses côtés opposés sont parallèles deux à deux. En particulier(AC)//(BD). Mais (AB) est une sécante commune à ces deuxdroites, donc les angles alternes-internes ’CAB et ’ABD sontde même mesure comme souhaité. On pourrait aussi arguerque dan un losange, les angles opposés sont de même mesure,et que les diagonales en sont des bissectrices, ce qui garantitaussi le résultat demandé.

2. Voici la figure :


A B

C

D

C et D sont d’abord tracés comme intersections des deux cercles.

Ensuite seulement on trace [AC) et [BD), et on continue la construction.

3. Pour faciliter la compréhension, nous donnons des noms à cer-tains points de la figure, et nous oublions les points C et Dainsi que les cercles, qui ne servent maintenant plus à rien.

A B

E

G

H

I

J

F

K L

Les droites (GB), (FH), (EI) et (AJ) semblent parallèles.Montrons d’abord qu’elles le sont effectivement. Commençonspar (GB)//(FH) : par construction, le quadrilatère GBHF a


ses côtés opposés [GF ] et [HB] de même longueur. Mais ils sontaussi parallèles : en effet, considérant les droites (GF ) = (GA)

et (HB) et la sécante (AB), les angles alternes-internes ’GAB

et ’ABH sont de même mesure, donc (GF ) // (HB). Consi-dérant que par construction GBHF n’est pas croisé (préci-sion non exigée du candidat), c’est un parallélogramme, donc(GB)//(FH). L’argument pour montrer les autres parallélismesest identique.

Du fait de ces parallélismes, on peut appliquer le théorème deThalès : dans le triangle AGB, puisque (EK)//(GB), on a

AK

AB=

AE

AG=

1

3.

Donc AK est bien le tiers de AB. De même dans le triangleABJ ,

BL

BA=

BH

BI=

1

3,

donc BL est bien le tiers de AB.

Pour la question 1 comme pour la question 3, beeaucoup d’étu-diants ont omis la justification, ou ont donné des justificationsbasés sur la seule observation. Pour la question 1 notamment, onn’exigeait pas une justification aussi détaillée que celle fournie ici,mais un minimum d’explication était demandé.

B.

1. Il s’agit de l’angle ’ACB (ou de l’angle ’BCA).

Certains ont affirmé que c’était l’angle’AOP : certes, il est demême mesure que l’angle ’BCA : mais ce n’est évidemmentpas cet angle qu’Ératosthène a mesuré : comment aurait-ilpu mesurer l’angle entre deux rayons de la Terre ?

2. Puisque les rayons du soleil sont parallèles, (BC) est parallèleà (OP ). La droite (OC) est une sécante commune : les anglesalternes-internes ’ACB et ’AOP sont donc égaux, le secondétant l’angle au centre qui intercepte l’arc PA. Il mesure donclui aussi 7,2 degrés, soit un cinquantième d’angle plein.


Beaucoup d’étudiants ont vu que les angles étaient de mêmemesure, mais ont cru voir une situation de Thalès, ou encoredes triangles semblables : mais ce n’était pas le cas, car B,A et P ne sont pas alignés.D’autres n’ont pas tenu compte du fait pourtant expliciteque la figure n’était qu’un schéma qui ne respectait ni lesproportions ni les angles, et semblent avoir mesuré l’anglesur la figure : c’est évidemment absurde.

Rayons du soleilO

P

A

CB

3. Dès lors, tout comme on l’a implicitement indiqué avec dessixièmes dans la figure donnée par l’énoncé, la distance entreSyène et Alexandrie mesure un cinquantième du méridien ter-restre. Ce dernier mesure donc 50 fois la distance entre Syèneet Alexandrie, soit 50⇥ 5000 stades, ou encore 250 000 stades.

4. 250 000 stades équivalent à 250 000⇥ 157, 5 mètres, soit 250⇥157, 5 kilomètres, ou encore 25⇥1575 kilomètres. On peut parexemple le calculer mentalement : cela donne 157 500 : 4 =39 375 kilomètres.


Même si ce n’était pas indispensable pour pouvoir répondreà la question, on peut tout de même espérer d’un futur pro-fesseur des écoles qu’il sache que la méridien terrestre (ou,en termes moins scientifiques, le tour de la Terre) mesure ap-proximativement 40 000 kilomètres. Nous avons été frappéspar l’invraisemblance de certaines réponses. On peut encoreadmettre des réponses de l’ordre de 15 000 kilomètres, enpensant que les outils de mesure d’Ératosthène étaient bientrop imprécis pour pouvoir donner un résultat correct. Maiscomment peut-on fournir, sans se poser de questions, des ré-ponses inférieures à 1 000 km, voire à 10 km, la réponse laplus absurde que nous ayons lue étant même inférieure à 1,50m?

C.

1. (a) Voici la figure :

6 cm

7 cm

4 cm

A B

C

O

Les médiatrices peuvent être indifféremment construites à la règle et au compas,

ou en posant le milieu des segments à la règle graduée et en traçant la

perpendiculaire à l’équerre.

Mais le compas doit impérativement être utilisé pour tracer le triangle.

Nous avons fait ici le choix de tracer d’abord le côté [AB], il était évidemment

possible de commencer par un autre côté.

(b) OA = OB, car O est sur la médiatrice de [AB]. Mais on aégalement OB = OC, car O est sur la médiatrice de [BC].Finalement OA = OB = OC

(c) Il s’ensuit que OA = OC. Donc O est sur la médiatrice de[AC]. Le point d’intersection des deux premières média-trices est donc sur la troisième, c’est que ces médiatricessont concourantes.


Beaucoup d’étudiants ont utilisé dans leur démonstra-tion le théorème disant que les médiatrices d’un trianglesont concourantes : c’est évidemment une erreur de lo-gique, puisqu’on annonçait clairement que le but de cettepartie du problème était de démontrer ce théorème.

2. (a) Dans AB0CB, le côté [AB0] est porté par la parallèle à[BC] passant par A. Donc [AB0] et [BC] sont parallèles.De même, le côté [B0C] est porté par la parallèle à [AB]passant par C. Les côtés [B0C] et [AB] sont donc paral-lèles. Le quadrilatère AB0CB a donc ses côtés opposésparallèles deux à deux, c’est un parallélogramme.

(b) On en conclut que B0C = AB, car un parallélogramme ases côtés opposés égaux deux à deux. Mais comme ACA0Best lui aussi un parallélogramme, pour la même raisonAB = A0C. Finalement, B0C = A0C, et comme A0, B0

et C sont alignés il vient que C est le milieu de [A0B0]

(c) Ce sont les hauteurs du triangle ABC. En effet, la média-trice du côté [A0B0], par exemple, est la perpendiculaire à[A0B0] passant par son milieu, donc par C. Mais comme(A0B0) et (AB) sont parallèles, elle est aussi perpendicu-laire à (AB). Donc c’est la perpendiculaire à (AB) passantpar C, c’est donc par définition la hauteur issue de C dansle triangle ABC. Il en va de même pour les autres média-trices.

(d) Comme les médiatrices de tout triangle sont concourantes,en particulier celles de A0B0C 0 le sont. Mais comme cesont les hauteurs du triangle ABC, on en déduit que danstout triangle ABC les hauteurs sont concourantes. C’estle théorème demandé.

Deuxième partie

Exercice 1 :

• L’affirmation 1 est fausse : il suffit par exemple de considérerle quadrilatère suivant. Il a bien un angle droit et trois côtésde même longueur, mais ce n’est pas un carré (c’est même unquadrilatère assez quelconque).


3 cm

3 cm

3 cm

A

B C

D

• L’affirmation 2 est fausse. En effet, si le nombre est (positifet) strictement inférieur à 1, alors son inverse lui est supérieur :par exemple (et un seul exemple suffit), l’inverse de 0,5 est 2.

Le nombre dedizaines d’un nombreest, informellement,le nombre de paquetsde dix unités qu’onpeut y trouver (sansregrouper les dizainespar 10) ; mathématiqu-ement, c’est le quotientdans la division dunombre en questionpar 10. On ne leconfondra pas avec lechiffre des dizaines dece nombre.Pour un nombre dontl’écriture décimales’écrit en un seulchiffre (ce qu’onappelle souvent par unraccourci commode delangage « nombre àun chiffre »), le chiffredes dizaines n’existepas, mais le nombre dedizaines est 0.

Exercice 2 :

1. • En choisissant 15 : d = 1 ; d⇥(d+1) = 2 ; le nombre entierqui se termine par 25 et dont le nombre de centaines estégal au produit précédent est 100⇥ 2 + 25 = 225.

• En choisissant 5 : d = 0 ; d⇥ (d+1) = 0 ; le nombre entierqui se termine par 25 et dont le nombre de centaines estégal au produit précédent est 100⇥ 0 + 25 = 25.

• En choisissant 145 : d = 14 ; d⇥(d+1) = 14⇥15 = 210 ; lenombre entier qui se termine par 25 et dont le nombre decentaines est égal au produit précédent est 100⇥210+25 =21 025.

2. (a) De manière générale, le nombre N s’écrit 10⇥ d+5 ; et lenombre obtenu à la fin de l’algorithme est 100⇥ d⇥ (d+1) + 25. Il s’agit donc de démontrer que N2 = 100 ⇥ d ⇥(d+ 1) + 25.On a :

N2 = (10⇥ d+ 5)2

= (10⇥ d)2 + 2⇥ (10⇥ d)⇥ 5 + 25

= en vertu du produit remarquable (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

= 100⇥ d2 + 100⇥ d+ 25

= 100⇥ d⇥ (d+ 1) + 25 en factorisant par 100⇥ d l’expression précédente.

On a bien démontré le résultat demandé.


(b) 145 ⇥ 145 = 21 025. Toute technique correcte (techniqueclassique, Per Gelosia, méthode à la russe, calcul en ligne...)est acceptée.

Les erreurs les plus courantes dans cet exercice furent

• La confusion entre le nombre de dizaines d’un nombre et sonchiffre des dizaines (voir explications dans la marge).

• Des erreurs dans le calcul du carré de 145. Si l’on peut com-prendre des erreurs de distraction qu’on considérera commedues au stress de l’examen, on s’étonnera davantage de voircertains candidats ne pas maîtriser la technique de multipli-cation elle-même.

Exercice 3 :Pour des raisons de facilité d’écriture, nous appellerons M le nombrede majorettes. Il n’était pas obligatoire d’introduire une telle nota-tion.

1. La question revient à se demander si le nombre de majorettesest un multiple de 3. Or le premier renseignement nous dit quece nombre est un multiple de 6, auquel on ajoute 3. Donc :

• Raisonnement informel : un multiple de 6 étant un mul-tiple de 3, le nombre M est la somme de deux multiplesde 3, donc un multiple de 3.

• Raisonnement formel : M a la forme 6 ⇥ k + 3, pour uncertain entier k. Donc

M = 6⇥ k + 3 = 3⇥ 2⇥ k + 3 = 3⇥ (2⇥ k + 1)

Donc M a la forme M = 3 ⇥ l pour un certain entier l,c’est un multiple de 3.

Par conséquent, le nombre M est bien multiple de 3, et ellespeuvent bien se placer toutes en rectangle par 3, il n’en resterapas.

2. La question revient à se demander si le nombre M est pair ouimpair.

• Raisonnement informel : un multiple de 6 étant un mul-tiple de 2 donc un nombre pair, le nombre M est la sommed’un nombre pair et d’un nombre impair, c’est donc unnombre impair.


• Raisonnement formel : On a

M = 6⇥k+3 = 2⇥3⇥k+3 = 2⇥3⇥k+2+1 = 2⇥(3⇥k+1)+1.

Ce nombre a la forme M = 2⇥ l+1 pour un certain entierl, il est donc impair ; si les majorettes se rangent par deux,il en restera une.

3. • Raisonnement rapide : nous savons déjà que M est unmultiple de 3 ; la deuxième information nous dit qu’il estmultiple de 5. 5 et 3 étant premiers entre eux , M doitêtre multiple de 5 ⇥ 3 = 15. Comme il est inférieur à 50,il ne reste donc plus que 15, 30 ou 45. Mais seuls 15 et 45vérifient la première information (en effet 30, lui, est unmultiple de 6, contrairement à 15 et 45). Il y a donc deuxpossibilités pour M , soit 15 et 45.

• Autre raisonnement : La première information nous ditque M est inférieur à 50 et est un multiple de 6, plus 3.Ce qui donne les possibilités suivantes : 3, 9, 15, 21, 27,33, 39, 45.La deuxième information nous dit que M est un multiplede 5. Dans la liste précédente, il ne reste que 15 et 45.

Troisième partie

Exercice 1 : Des jeux de cartes en maternelle

Question 1 :

1. L’élève doit savoir lire un nombre compris entre 1 et 10 à partirde son écriture chiffrée.

2. Pour cette activité de dénombrement deux stratégies sont pos-sibles :

• l’élève peut agir par reconnaissance directe de la constel-lation.

• l’élève peut compter les motifs un à un, ce qui prend plusde temps.

Les élèves ayant été habitués au préalable à ce type de carteset l’activité devant être menée « très rapidement », c’est lastratégie de reconnaissance des constellations qui est favorisée.De plus, chaque élève ne possédant qu’une carte de chaquesorte, on est dans l’ordre du « test » (oui/non) et pas d’activitésde tri ou de classement. Notons qu’à la place de la stratégie par


reconnaissance directe de la constellation, on pourrait évoquerdes stratégies mixtes qui peuvent fonctionner pour certainescartes comme par exemple obtenir 7 par reconnaissance du 5puis sur-comptage.

Question 2 Les cartes à jouer classiques n’ont pas une organisationde constellations homogène contrairement à cette nouvelle série quiest organisée autour de la constellation usuelle du 5.Ce type d’organisation permet à l’enseignant de travailler la composition/dé-composition des nombres jusqu’à 10. « 8, c’est 5 auquel on a ajouté3 », ou encore « 8, c’est 10 auquel on a enlevé 2 ». Le travail dedécomposition associé aux nombre 5 et 10 est particulièrement im-portant pour préparer les élèves au système de numération en base10.

Question 3 :

1. La lecture systématique des nombres en écriture chiffrée jus-qu’à six n’est pas un attendu de la petite section. Il s’agit d’uneactivité de comparaison de longueurs. L’élève compare la tailledes chiens sans avoir à passer par le concept de nombre.

2. Le jeu se joue à deux. Chaque enfant tire une carte et annoncela valeur de sa carte sans la montrer à l’autre. Les enfants seconcertent pour définir qui est le gagnant. Ensuite les deuxcartes sont posées côte à côte pour une vérification visuelle.

Il fallait a minima observer que ce jeu de bataille ne pouvaitpas garantir que les élèves utilisent les nombres pour déterminerqui a gagné, puisqu’on le remarque immédiatement visuellement.On attendait donc une organisation qui permettait d’éviter ceproblème. Toutefois, on a pu valider aussi des propositions d’uti-lisations complètement différentes de ce jeu (des règles n’ayantaucun rapport avec le jeu de la bataille) dans la mesure où ellesrelevaient d’activités mathématiques pertinentes en grande sec-tion.

Exercice 2 : Les cryptarithmes au cycle 3

A.

1. Il peut en conclure que le nombre A est tel que A⇥ A est unnombre qui se termine par A, donc est A ou un nombre à deuxchiffres se terminant par A, ce qui signifie que A = 1 (1⇥1 = 1)


ou 5 (5⇥5 = 25) ou 6 (6⇥6 = 36).

A peut aussi être égal à 0, mais cela rend l’exercice évidem-ment absurde. On accepte que le candidat évoque ou non lecas 0 pourvu qu’il ait envisagé les autres cas. Puisque le butde l’exercice est de travailler le sens de la retenue, il s’agissaitsurtout de penser aux cas 5 et 6.

2. Si l’on suit l’opération, on voit que le résultat de ce A⇥ A +éventuelle retenue vaut 38. On en déduit que parmi les possi-bilités précédentes, A vaut bien 6.

B.

1. Poser une simple addition est a priori trop simple pour ducycle 3 mais le cryptarithme n’est pas une application directede la technique opératoire. Cet exercice nécessite une bonnecompréhension du sens de l’opération posée et une démarchede recherche et de réflexion.À la place de la proposition du corrigé, le candidat pouvaitproposer une autre réponse, pourvu qu’elle soit correctementmotivée. Par exemple présenter cet exercice comme une pré-paration aux notions d’algèbre du cycle 4.

2. Un argument simple et type élève serait de remarquer que 9+9(plus grosse somme possible de deux nombres à un chiffre) vaut18.

C.

1. On trouve, plus ou moins dans l’ordre : B = 5 (immédiat) etdonc C = 6. D’après la seconde ligne, si B = 5 et C = 6, alorsD = 3, et on en déduit que A = 7, F = 8 et E = 4.

2. La retenue D est issue du produit C ⇥ B auquel on a ajoutéla retenue 1. C ⇥ B est au plus égal à 81 (et même 72 si onconsidère que C est différent de B). Donc la retenue est aumaximum égale à 8.Autre raisonnement, basé sur les (éventuelles) retenues dansl’addition : on voit qu’il n’y a pas de retenue dans l’additionD + B+éventuelle retenue précédente. Donc si D valait 9, Bne pourrait valoir que 0 et il n’y aurait pas de retenue à la co-lonne précédente, et F vaudrait 9 aussi. Ce qui est contraire auprincipe que deux lettres différentes représentent des chiffresdifférents.

3. Le premier 0 vient de la multiplication des chiffres des unitésdes deux nombres à multiplier, tandis que le second vient du


« décalage » grâce auquel on peut multiplier des dizaines en nemultipliant que le chiffre des dizaines. Le dernier est la simpleaddition des deux premiers.

4. On peut penser à des nombres plus petits (deux chiffres etdeux chiffres), ou bien moins de lettres à trouver, ou bien desnombres qui « tombent juste » (2, 4, 5. . .)



2016-2017 — SESSION 2

UE 1


1. Empiriquement, on peut lister les multiples de 7 : 7, 14, 21,28, 35 et voir que le plus petit qui soit aussi multiple de 5est 35. Il s’agit en réalité du PPCM de 5 et de 7, qui est5 ⇥ 7 = 35 puisque 5 et 7 sont deux nombres premiers, maiscette connaissance n’était pas obligatoire pour répondre à laquestion.

2. (a) Ce nombre vaut 3⇥ d+32⇥ c+33⇥ b+34⇥ a, c’est doncbien un multiple de 3.

(b) Plus généralement, un nombre dont l’écriture en base 3 setermine par 0 est un multiple de 3. Il n’est donc premierque s’il vaut 3 = 10

(3).(c) Par divisions successives par 3, on trouve 327 = 110010

(méthode « experte ». Plus empiriquement : les puissancessuccessives de 3 sont 1, 3, 9, 27, 81, 243. On trouve alors :

327 = 243 + 84

= 243 + 81 + 3

= 1⇥ 35 + 1⇥ 34 + 1⇥ 31

= 110010

3. (a) Le nombre p = 2 est bien premier, et 2⇥ 2 + 1 = 5 aussi.2 est donc bien un nombre de Sophie Germain.

(b) Non, car ce n’est pas un nombre premier.(c) On a vu que 2 est un nombre de Sophie Germain. 3 aussi

car 3⇥ 2+1 = 7. 5 aussi, car 5⇥ 2+1 = 11. En revanche,7 n’en est pas un car 7 ⇥ 2 + 1 = 15. Le nombre cherchéest donc 7.


4. Le plus petit résultat possible est 10 ⇥ 100 = 1000 qui a 4chiffres. Le plus grand est 99 ⇥ 999 = 98901 qui en a 5. Lerésultat a donc 4 ou 5 chiffres.

5. (a) Non car son écriture décimale est infinie.(b) Oui car il est périodique, de période 4.(c) 10x = 1, 4444 . . . et 100x = 14, 444 . . .

(d) 90x = 100x � 10x = 13. En effet les parties décimales de10x et 100x sont égales et s’annulent donc.

(e) De 90x = 13 on déduit x = 1390 .

Les programmes du cycle 4 sont un peu flous en ce quiconcerne ces questions. Ils précisent que « les élèves doiventprendre conscience qu’il existe des nombres irrationnels » etils évoquent le développement décimal des nombres ration-nels. On peut raisonnablement penser qu’il est demandé auxélèves de savoir que tout nombre rationnel (non décimal) pos-sède un développement décimal illimité périodique, et queréciproquement tout réel dont le développement décimal estillimité périodique est rationnel, mais qu’il ne leur est pas de-mandé de connaître la méthode permettant de retrouver unefraction exprimant le nombre, à partir d’une écriture illimitéepériodique. Cet exercice est conforme à cette interprétationdu programme, puisqu’il n’était pas nécessaire de connaîtrecette méthode pour retrouver cette fraction, puisque l’énoncéfournissait les différentes étapes de calcul à effectuer.

Exercice 2 :

1. Parce qu’il s’agit de la droite (AC) mais du segment [BD].

2. Par définition de la médiatrice, puisque A est sur la média-trice de [BD], AB = AD. De la même manière, on montre laseconde égalité.

3. Si ABCD est un losange, alors AB = AD et que CB = CD, sibien que A et C sont sur la médiatrice de [BD]. (AC) est doncla médiatrice de [BD], et ABCD est donc bien un cerf-volant.

4. Si ABCD est un parallélogramme, alors AB = CD et AD =BC. Si c’est un cerf-volant, alors AB = AD. Finalement, sic’est à la fois un parallélogramme et un cerf-volant, ses 4 côtéssont égaux, et c’est donc un losange.

5. Non. Voici un contre exemple :


C

A

D B

6. Voici un exemple :

C

D B

A

7. L’inégalité triangulaire nous indique que BD BA + AD,soit BD 8. Comme les points B, A et D ne peuvent pas êtrealignés, l’inégalité est stricte.

8. Voici une construction possible :


C B

A

D

9. (a) Placer deux points B et D tels que BD = 6 cm.(b) Construire deux cercles de rayon 4 cm et de centres B et

D

(c) Nommer A l’un des deux points d’intersection des deuxcercles

(d) Construire deux cercles de rayon 7 cm et de centres B etD

(e) Nommer C le point d’intersection de ces deux cercles quine se trouve pas du même côté que A par rapport à ladroite (BD)

(f) Tracer le quadrilatère ABCD.

10. Soit I le point d’intersection de (AC) et (BD). Comme (AC)est la médiatrice de [BD], les deux droites (AC) et (BD) secoupent à angle droit et I est le milieu de [BD]. Dans le tri-angle ABI rectangle en I, on a d’après le théorème de Pytha-


gore AB2 = BI2 + IA2, donc 42 = 32 + AI2, d’où on déduitAI2 = 16� 9 = 7 et donc AI =

p7.

De la même manière en considérant le triangle BIC, on trouveIC2 = 72 � 32 = 49� 9 = 40 et donc IC =

p40 = 2

p10.

Finalement, AC =p7 + 2

p10.

UE2

Question 1

a) L’objectif est la mise en place de l’algorithme de la multipli-cation posée.

b) Deux prérequis : multiplication de deux entiers inférieurs à 10(en particulier via les tables de multiplication), décompositioncanonique des entiers.

c) Pour aller vers l’algorithme usuel, il convient de ne pas cal-culer tous les produits partiels et donc de proposer de dé-composer canoniquement uniquement le terme du bas dans lamultiplication posée. On obtient ainsi uniquement deux pro-duits intermédiaires qui peuvent être vus en découpant diffé-remment des configurations rectangulaires ou simplement lorsde la distributivité de la multiplication sur l’addition (ex :36⇥ 27 = 36⇥ (20 + 7) = 36⇥ 20 + 36⇥ 7, en s’inspirant dece que fait Alice dans l’activité).

d) Ces tableaux servent à garder la trace des retenues en fonctiondu rang sur lequel elles apparaissent. Ex : 2 dizaines lors ducalcul 6u⇥ 4u = 24u.

e) Dans le calcul 325 ⇥ 304, la présence du zéro dans le secondterme peut entraîner l’oubli du décalage lors du passage aurang des dizaines. On notera aussi que les nombres choisisamènent à utiliser uniquement des tables bien connues desélèves, ceci afin sans doute de ne pas multiplier les difficul-tés.

f) On peut proposer un calcul sans zéro pour faire apparaître lestrois « étages » ou effectuer une multiplication du même typemais avec deux chiffres uniquement (ex : 325⇥ 50)

Question 2

a) 0, 8⇥ 6 = 0, 8 + 0, 8 + 0, 8 + 0, 8 + 0, 8 + 0, 8.


Ce calcul peut être vu comme un addition itérée de deuxnombres décimaux et peut donc apparaître dès la classe deCM1, où sont étudiées les techniques d’addition et de sous-traction de nombres décimaux.

b) Élève A : opération bien posée, bon alignement des chiffres, lecalcul est bon mais l’élève omet de mettre la virgule.Élève B : idem (sauf que la virgule est présente et correctementplacée), on remarque aussi une retenue notée sur le côté. Lerésultat est correct.

c)0, 4 1

⇥ 6, 0 31 2 3

2 4 62, 4 7 2 3

Question 3 :

a) Il suffit de placer une extrémité du segment à couper sur ladroite 0 et l’autre sur la droite n pour faire apparaître le dé-coupage en n portions (à partir des intersections des droitesavec le segment).

0123456789

10111213


b) Le réseau de droites parallèles crée des situations d’applicationdu théorème de Thalès.

012345

En effet, le fait que les droites sont équidistantes signifie quesi on trace une perpendiculaire commune aux lignes du guide-âne, celles-ci vont couper cette perpendiculaire commune ensegments égaux. Mais ce faisant, on crée aussi des trianglessemblables, ou en position de Thalès (la seule référence authéorème de Thalès, ou au théorème disant que des trianglesqui ont des angles égaux sont semblables, suffisait).

c) On peut, par exemple, utiliser le guide-âne fourni et repor-ter autant de fois que nécessaire en partant de l’origine de lademi-droite (méthode rappelée en introduction. . .). Seul le casportant sur les septièmes nécessite un nouveau tracé, les deuxautres ayant été vus dans la question a).

d) Le nombre cherché est 339,16 . Les erreurs peuvent porter surla lecture des graduations (confusion entre le 30 et le 40 parexemple), la prise en compte des différents zooms (ex : écriredès le début 300,3 et continuer après la virgule ou sauter desrangs ou en ajouter via des zéros intercalaires).



2016-2017 — SESSION 1


L’énoncé de ce sujet setrouve page 133Partie 0

• Propriété P1

Le quadrilatère EFGH est un parallélogramme. Donc, EF =GH (côtés opposés de même longueur), FG = HE (côtés op-posés de même longueur). Donc les triangles EFG et GHEsont isométriques (les côtés de ces triangles sont deux à deuxde même longueur). Il s’ensuit que A(EFG) = A(EHG) (carsi ces triangles sont isométriques, ils ont même aire).

• Propriété P2 A(ABC) = BC⇥AH12 où H1 est le pied de la hau-

teur issue de A dans le triangle ABC. A(BCD) = BC⇥DH22 où

H2 est le pied de la hauteur issue de D dans le triangle BCD.Ainsi, de A(ABC) = A(BCD), on obtient AH1 = DH2. Lequadrilatère AH1H2D est un parallélogramme (inutile de mon-trer qu’il s’agit d’un rectangle) car il est convexe et a deuxcôtés opposés [AH1] et [DH2] parallèles (car tous deux per-pendiculaires à la droite (H1H2)) et de même longueur. Ainsi,(AD)//(BC).

• – Propriété P3

A(UWX) =UW ⇥XH

2et A(WVX) =

WV ⇥XH

2où

H est l’intersection entre la droite (UV ) et la perpendicu-

laire à la droite (UV ) passant par X. Ainsi,A(UWX)

A(WVX)=

UW⇥XH2

WV⇥XH2

=UW

WV.

– Propriété P4 Déduire que

A(UWX)

A(WVX)=

A(UWY )

A(WV Y ).


D’après la propriété P3, on aA(UWX)

A(WVX)=

UW

WVet

A(UWY )

A(WV Y )=

UW

WV. Ainsi,

A(UWX)

A(WVX)=

A(UWY )

A(WV Y ).

Partie 1

1. A(MNPQ) = A(MNP ) +A(MQP ) = 2.

2. D’après la propriété P1, si MNPQ est un parallélogramme ona

A(MNP ) = A(NPQ) = A(PQM) = A(QMN) =A(MNPQ)

2Par conséquent, l suffit de construire un parallélogramme MNPQtel que A(MNPQ) = 2, par exemple en choisissant une baseMN de longueur 2 et une hauteur 1 ; par exemple un rec-tangle de longueur 2 et de largeur 1. En effet, dans ce cason a A(MNP ) = A(NPQ) = A(PQM) = A(QMN) =A(MNPQ)

2= 1.

3. (a) D’après la propriété P2, si le quadrilatère MNPQ estconvexe tel que A(MNP ) = A(NPQ), alors (MQ)//(NP ).

(b) De même, si le quadrilatère MNPQ est convexe tel queA(NPQ) = A(PQM), alors (MN)//(PQ). Ainsi, le qua-drilatère MNPQ est un parallélogramme (car ses côtésopposés sont parallèles).

Partie II

1. D’une part, A(EAB) = 1, et, d’autre part, A(EAB) = A(AEP )+

A(ABP ) =3�p5

2+A(ABP ). Donc, A(ABP ) = 1�3�

p5

2=

p5� 1

2. De même, on montrerait que A(DEP ) =

p5� 1

2.

2. D’après la propriété P4,A(EPA)

A(PBA)=

A(EPD)

A(PBD), c’est-à-dire

3�p5

2p5�12

=

p5�12

A(PBD), ou encore A(PBD) =

Äp5�12

ä2

3�p5

2

= 1.

3. D’après la propriété P1, si BCDP est un parallélogramme, on a

A(BCD) = A(CDP ) = A(DPB)| {z }=1

= A(PBC) =A(BCDP )

2.

Ainsi, A(BCD) = 1.


4. Comme (AD)//(BC) (vu que le quadrilatère BCDP est unparallélogramme, ses côtés opposés sont parallèles), on déduitA(ABC) = A(BCD) = 1 (ces deux triangles ont même airecar ils ont même longueur de base et même hauteur).

5. Comme (EB)//(CD) (vu que le quadrilatère BCDP est unparallélogramme, ses côtés opposés sont parallèles), on déduitA(BCD) = A(CDE) (ces deux triangles ont même aire carils ont même longueur de base et même hauteur).

L’aire du pentagone ABCDE ainsi construit :

A(ABCDE) = A(ABE)| {z }=1

+A(DPB)| {z }=1

+A(BCD)| {z }=1

+A(EPD)| {z }=

p5�12

=

p5 + 5

2

Exercices

Exercice 1 : Monsieur A parcourt 45 km en 30 minutes en cin-quième vitesse en consommant 2,5 litres de carburant.

Monsieur B parcourt 60 km en 1 heure en troisième vitesse etconsomme "6 litres de carburant aux 100 km".

1. A consomme 2,5 litres de carburant (lecture directe). B consomme3,6 litres de carburant (car 6⇥ 60

100= 3, 6).

2. En moyenne, A roule à 90 km/h (car4512

= 90). En moyenne,

B roule à 60 km/h (lecture directe).

3. En moyenne, A consomme 5 litres (car2, 512

= 5) sur une heure

de temps. En moyenne, B consomme 3,6 litres (lecture directedepuis la question 1) sur une heure de temps.

4. En moyenne, A consomme environ 5,6 litres (car 2, 5⇥ 100

45⇡

5, 6) sur une distance de 100 km. En moyenne, B consommeenviron 6 litres (lecture directe) sur une distance de 100 km.

5. Ainsi, en moyenne, B consomme moins que A sur une heurede temps et plus que A sur une distance de 100 km. Il estdonc faux de dire quand on consomme moins sur une heure detemps, on consomme moins sur une distance de 100 km.


Exercice 2 :

• Affirmation 1 : FAUX. 1 + 1, 1 ⇥ 2 ou 2 ⇥ 1 sont les troisréalisations favorables au résultat 2.

• Affirmation 2 : VRAI. Le nombre de résultats possibles est6 ⇥ 2 ⇥ 6 = 72. Tous ces résultats sont équiprobables. Lesréalisations favorables au résultat 10 sont 4 + 6, 5 + 5, 6 + 4,2⇥5 ou 5⇥2. La loi de Laplace donne alors pour la probabilitéd’obtenir un résultat de 10 : 5

72 .

• Affirmation 3 : FAUX. Quand on réalise l’expérience ungrand nombre de fois, la proportion de résultats 36 va s’appro-cher de

1

72, mais sur 72 réalisations de l’expérience, on peut

n’obtenir que des résultats de 36 tout comme n’en obtenir au-cun.


Pour cette dernière affirmation, beaucoup ont considéré que laprobabilité d’obtenir une et une seule fois 36 était de 72⇥ 1

72 = 1et que cet événement était donc certain. Ce calcul de probabilitésest faux :

• Il est vrai que la probabilité d’avoir 36 à un tirage donnéest 1

72 . Mais la probabilité d’avoir 36 au premier tirage ouau second ou au troisième... ou au 72ème n’est pas 72⇥ 1

72 ,car ces 72 événements ne sont pas incompatibles : on peuttrès bien avoir 36 au troisième tirage ET au cinquième parexemple.

• Il est vrai que la probabilité d’obtenir exactement une fois36 en 72 tirages vaut 72 fois la probabilité de l’obtenir uni-quement au 1er tirage (parce que la probabiltié de l’avoiruniquement au 1er tirage est pour des raisons de symétrieexactement la même que de l’avoir uniquement au second,ou uniquement au troisième, etc. Mais cette probabilité n’estpas 1

72 .

• Ceux qui pensent que la probabilité d’avoir 36 exactementune fois sur 72 tirages vaut 72 fois la probabilité de l’avoirau premier tirage, devraient pour être cohérents penser quel’avoir exactement une fois sur 90 tirages (par exemple) vaut90 fois la probabilité de l’avoir au premier, soit 90

72 = 1, 25 :ce qui est absurde.

On peut d’ailleurs calculer que sur 72 tirages :

• La probabilité d’obtenir 36 exactement une fois est�7172

�71 ⇡0, 3705

• La probabilité de ne jamais obtenir 36 est�7172

�72 ⇡ 0, 3653

• La probabilité d’obtenir plusieurs fois 36 est approximative-ment 0,2642.

Exercice 3 : Figure complétée.


1. Il y a quatre axes de symétrie : voir figure de gauche.

2. L’agrandissement demandé : voir figure de droite.


Pour l’agrandissement, certains ont privilégié les sommets ducarré central en les plaçant sur des nœuds du quadrillage.Ce n’était pas incorrect en soi, mais cela nécessitait alors deconstruire avec soin le reste de la figure, et notamment de placeravec précision les sommets des triangles extérieurs, ce qui n’a passouvent été le cas :

Exercice 4 :

Globalement, de la case B à la case C, on se déplace verticale-ment de 3 cases vers le bas et horizontalement pas.

De 49 on a donc retiré 3 fois y pour obtenir 25. On en déduitque y vaut 8 = 49�25

3 .Globalement, de la case A à la case D, on se déplace verticale-

ment de 15 cases vers le bas et de 10 cases vers la droite.Comme les valeurs en A et D sont égales, on déduit que �15⇥

y + 10⇥ x = 0 et comme y = 8, on obtient x = 12.Globalement, de la case C à la case D, on se déplace verticale-

ment de 5 cases vers le bas et de 2 cases vers la droite.Comme la valeur en C est 25, on déduit que la valeur en D (ou

en A) est 25� 5⇥ 8 + 2⇥ 12 = 9.


Didactique

Exercice 1 :

1. En citant le B.O. : « Très tôt, les jeunes enfants dis-

cernent intuitivement des formes (carré, triangle...) etdes grandeurs (longueur, contenance, masse, aire...). À l’écolematernelle, ils construisent des connaissances et des repèressur quelques formes et grandeurs. L’approche des formes

planes, des objets de l’espace, des grandeurs, se fait par

la manipulation et la coordination d’actions sur des

objets. . .L’enseignant est attentif au fait que l’appréhensiondes formes planes est plus abstraite que celle des solides etque certains termes prêtent à confusion (carré/cube). ». Ici,les élèves sont amenés à restreindre le solide qu’ils doiventfaire entrer dans la maison à l’une de ses faces et considérerla forme de cette face.On n’exigeait pas la référence explicite aux textes officiels. Enrevanche, l’utilisation d’un vocabulaire approprié était exi-gée : trop d’étudiants confondent le vocabulaire relatif auxsolides de l’espace et celui relatif aux formes géométriquesplanes. D’autre part, beaucoup d’étudiants n’ont pas tenucompte du fait qu’un solide a plusieurs faces, et que pour unélève de petite section, il n’y en a pas une qui est privilégiéepar rapport à d’autres. On ne parle pas, en général, de labase d’un solide.D’autre part, beaucoup d’étudiants ont mal compris ladeuxième erreur. Il sont cru que l’élève avait voulu faire pas-ser le prisme à base triangulaire à travers le trou destinéau pavé droit, alors que c’était l’inverse. Or les deux erreursne sont pas du tout semblables : il est naturel de tenter defaire passer un prisme à base triangulaire à travers un rec-tangle, puisqu’il a des faces rectangulaires (ce que beaucoupparmi ces étudiants n’avaient d’ailleurs pas vu) ; tenter defaire passer un pavé droit à travers un triangle est beaucoupplus maladroit.

2. Quand on regarde le cylindre posé sur un de ses disques (facedu dessous), le cylindre apparaît de face comme un rectangle.L’élève A ne commet donc pas une énormité, il a même réussià restreindre les propriétés du solide à une propriété pertinenteconcernant la forme de l’une de ses sections. Pour l’élève B, parcontre, il peut paraître douteux de vouloir insérer une formerectangulaire dans un trou triangulaire (même si un esprit tor-


tueux peut trouver une section triangulaire, cette section n’estpas pertinente dans cette activité).

Certains étudiants ont fait référence aux couleurs. Il est vraique dans certains jeux de ce type, les trous sont pratiquésdans des objets de différentes couleurs, identiques à cellesdes solides qui doivent y être insérés, ce qui est une « aide »qui « tue » le problème posé aux enfants ; à l’inverse, si lescouleurs ne correspondent pas, les enfants risquent en effetde se baser sur un critère de couleurs et donc d’échouer. Maisla question ne se posait pas ici : même si l’illustration n’étaitpas en couleurs, on voyait clairement que le toit était decouleur unie.

3. Le fait d’être en autonomie sur ce jeu ne fait pas perdre àl’élève le plaisir de la réussite car ce jeu est auto-évaluant :la réussite est assurée par le fait que le solide choisi entre ounon dans la maison.

Exercice 2 :

1. En citant le B.O., « Organisation et gestion de données :Modes de représentation de données numériques : tableaux,graphiques simples, etc. » Cependant, ici, il s’agit non pas deregarder la représentation sous forme de tableau ou la repré-sentation graphique (diagramme en bâtons) individuellement,mais de connecter ces modes de représentation : la colonne« taille » (respectivement « poids ») du tableau contient exac-tement les mêmes informations que le graphique (diagrammeen bâtons) « Les tailles » (respectivement « Les poids »).

2. Proposer deux compétences relatives à l’« organisation et ges-tion de données » requises avant d’aborder cet exercice.L’élève doit déjà avoir travaillé chacun de ces deux modes dereprésentation individuellement. Par exemple,

• depuis un tableau pour construire quelque chose ou pourrépondre à des questions,

• d’un texte vers un tableau,• d’un texte vers un graphique (diagramme en bâtons),• . . .


3. Donner une compétence de calcul nécessaire à la résolution del’exercice.Pour graduer l’axe des ordonnées dans le cas de la "taille", ilest nécessaire de savoir compter de 25 en 25 : 0, 25, 50, 75,100, 125.

Exercice 2 :

1. Il s’agit de l’apprentissage de l’agrandissement.

2. Dans un cadre géométrique, on peut citer « la conservation del’alignement », « la conservation du parallélisme », « la conser-vation de la perpendicularité », « la conservation des angles »,... Dans un cadre numérique, on peut citer « la conservationdes milieux », « la conservation des rapports de longueurs ».Pour cette question, beaucoup d’étudiants ont donné des ré-ponses qui n’étaient en rien des propriétés : construction defigures, calcul de proportionnalité, etc.

3. Avant agrandissement, la longueur du lit est de 6 carreaux et lalargeur du lit est de 4 carreaux. L’agrandissement transformeune longueur de 12 carreaux en une longueur de 18 carreaux.

• Par la propriété de linéarité : 6, c’est la moitié de 12,donc la longueur du lit va mesurer 9 (qui est la moitié de18) carreaux après agrandissement ; 4, c’est le tiers de 12,donc la largeur du lit va mesurer 6 (qui est le tiers de 18)carreaux après agrandissement

• Par le coefficient d’agrandissement (ou de proportionna-lité) : pour aller de 12 à 18, j’ajoute à 12 la moitié de 12.Ainsi le lit va mesurer après agrandissement : 9 (qui est 6plus la moitié de 6) carreaux de long et 6 (qui est 4 plusla moitié de 4) carreaux de large.Beaucoup d’étudiants, bien qu’ayant évoqué plus hautl’agrandissement proportionnel, ont cru que seule la lon-gueur de la chambre devait être augmentée (ce qui étaitl’erreur du groupe d’élève étudié plus loin, et qui estcontradictoire avec le fait que ce qui était attendu étaitun agrandissement proportionnel)

4. En fait, le terme "étagère" est mal choisi pour rejeter cetteprocédure, il aurait mieux valu considérer un "meuble" (par


exemple), le meuble, le lit et le bureau devant être posés ausol, contrairement à l’étagère.On peut imposer que le lit ne change pas d’orientation, quel’étagère ne surplombe pas le lit, ...

5. En augmentant de 6 les dimensions

• de la pièce, la pièce a pour nouvelles dimensions 14 et 18,• du lit, le lit a pour nouvelles dimensions 10 et 12,• du bureau, le bureau a pour nouvelles dimensions 9 et 10.

Quelles que soient les orientations choisies pour le lit et lebureau, ils vont se superposer ...

• Sans changer les orientations du lit et du bureau car 10+9 > 18 et 12 + 10 > 14.

• En ne changeant que l’orientation du lit car 12 + 9 > 18et 10 + 10 > 14.

• En ne changeant que l’orientation du bureau car 10+10 >18 et 12 + 9 > 14.

• En changeant les orientations du lit et du bureau car 12+10 > 18 et 10 + 9 > 14.



2016-2017 — SESSION 2

UE 1


1. Dans le triangle ABC, rectangle en C, le théorème de Pytha-gore donne AC2 + BC2 = AB2. Il découle de cette égalitéque

AB =p62 + 62 cm =

p62 ⇥ 2 cm = 6

p2 cm.

2. C est un point du segment [A0B], donc A0C + CB = A0B. OrA0 est un point du cercle de centre B et de rayon BA, doncA0B = AB. On déduit que

A0C = AB � CB = 6p2 cm� 6 cm = 6(

p2� 1) cm.

De la même façon, on démontre que B0C = 6(p2� 1) cm.

3. • `1, la longueur de l’arc �1, est le demi-périmètre du cerclede diamètre [AB] (en effet, D est point du segment [AB],donc ’ADB = 180� = 360�

2 ) et il vaut `1 =⇡⇥AB

2 ;• `2, la longueur de l’arc �2, est le huitième de périmètre

du cercle de centre B et de rayon [BA] (en effet, le triangleABC est isocèle rectangle en C, donc ’ABA0 = 45� = 360�

8 )et il vaut `2 = ⇡⇥AB

4 ;• `3, la longueur de l’arc �3, est le huitième de périmètre

du cercle de centre A et de rayon [AB] (en effet, le triangleABC est isocèle rectangle en C, donc÷BAB0 = 45� = 360�

8 )et il vaut `3 = ⇡⇥AB

4 ;• `4, la longueur de l’arc �4, est le quart de périmètre du

cercle de centre C et de rayon [CA0] (en effet, le triangleABC rectangle en C, donc ÷A0CB0 = 90� = 360�

4 ) et il vaut`4 =

⇡⇥A0C2 .


Le périmètre de l’ove vaut donc

⇡ ⇥ AB

2+ ⇡ ⇥ AB

4+ ⇡ ⇥ AB

4| {z }=⇡⇥AB=6

p2⇡ cm

+ ⇡ ⇥ A0C

2| {z }=3(

p2�1)⇡ cm

ou encore3⇡(3p2� 1) cm.

4. • A1, l’aire du secteur angulaire délimité par les segments[DA] et [DB] et par l’arc �1, est la moitié de celle du

cercle de diamètre [AB] et elle vaut A1 =⇡⇥(AB

2 )2

2 ;• A2, l’aire du secteur angulaire délimité par les segments[BA] et [BA0] et par l’arc �2, est le huitième de celle ducercle de centre B et de rayon [BA] et elle vaut A2 =⇡⇥AB2

8 ;• A3, l’aire du secteur angulaire délimité par les segments[AB] et [AB0] et par l’arc �3, est le huitième de celle ducercle de centre A et de rayon [AB] et elle vaut A3 =⇡⇥AB2

8 ;• A4, l’aire du secteur angulaire délimité par les segments[CA0] et [CB0] et par l’arc �4, est le quart de celle du cerclede centre C et de rayon [CA0] et elle vaut A4 =

⇡⇥CA02

4 .La somme des aires des 4 secteurs angulaires précédents vautl’aire de l’ove augmentée de l’aire du triangle ABC (en effet,l’aire du triangle ABC a été comptabilisée deux fois, une foisdans A2 et une fois dans A3).L’aire de l’ove vaut donc

⇡ ⇥ AB2

8+ ⇡ ⇥ AB2

8+ ⇡ ⇥ AB2

8| {z }=3⇡⇥AB2

8 =27⇡ cm2

+ ⇡ ⇥ A0C

4| {z }=9(

p2�1)2⇡ cm2=9(3�2

p2)⇡ cm2

� CA⇥ CB

2| {z }=18 cm2

ou encore9[⇡(6� 2

p2)� 2] cm2.

Exercice 2 :

Pour réussir un tel exercice, il suffit de reporter les lettres assi-gnées aux sommets sur le cube, puis de placer les milieux et enfinde tracer les segments qui constituent le circuit.


L S

P T R

I Q R

I J K

M N K

M O S

P L

E H G

A D C G

A B F G

A E H

Exercice 3 :

hauteur h du conifère nombre de conifèresen centimètres dans l’exploitation40 < h < 60 A60 < h < 80 1 20080 < h < 100 B100 < h < 120 C120 < h < 140 D

De « la hauteur des conifères fluctue entre 40 et 140 centimètres » et« ces 5 000 conifères ne mesurent exactement ni 40, ni 60, ni 80, ni100, ni 120, ni 140 centimètres » on tire que

A+ 1 200 +B + C +D = 5 000.

De « 80 % des conifères ont une hauteur inférieure à 100 centi-mètres » on obtient que

A+ 1 200 +B + C

5 000= 0, 8.


De « 60 % des conifères ont une hauteur supérieure à 80 centi-mètres » on obtient que

B + C +D

5 000= 0, 6.

Enfin, de « parmi les conifères de plus de 100 centimètres, troiscinquièmes mesurent moins de 120 centimètres » , il vient

C

C +D=

3

5.

On simplifie les équations obtenues :

(L1) A+B + C +D = 3 800 ;

(L2) A+B + C = 2 800 ;

(L3) B + C +D = 3 000 ;

(L4) 2⇥ C = 3⇥D.

En comparant (L1) et (L2), il vient que D = 1 000.Avec (L4) et D = 1 000, on déduit que C = 1 500.De (L3) et D = 1 000 et C = 1 500, on obtient que B = 500.De (L2) et C = 1 500 et B = 500, on conclut que A = 800.

UE2

Exercice 1

1. Dans un décamètre, il y a 10 mètres (référence etymologique dupréfixe déca-). Dans un mètre, il y a 100 centimètres (référenceetymologique du préfixe centi-). Ainsi, dans un décamètre, il ya 10⇥ 100 = 1 000 centimètres.

2. En classe, les longueurs telles que le décamètre, le centimètre,le décimètre peuvent être représentés physiquement, ce qui per-met d’appuyer concrètement les conversions. Ce n’est pas le casd’une longueur telle que le kilomètre.

3. La règle dite des zéros est largement mobilisée dans cet exercice(voir, par exemple, la réponse à la question 1 pour 10⇥ 100 =1 000).Règle : pour multiplier un nombre entier par 10, il suffit d’ad-joindre un 0 à droite de l’écriture chiffrée de ce nombre en base10.Généralisations de cette règle : pour multiplier un nombre en-tier par 100, il suffit d’adjoindre deux 0 à droite de l’écriture


chiffrée de ce nombre en base 10 ou pour multiplier un nombreentier par 1 000, il suffit d’adjoindre trois 0 à droite de l’écri-ture chiffrée de ce nombre en base 10.

4. (a) Élève A : il classe les nombres entiers sans tenir comptedes unités de longueurs (2 < 3 < 22 < 25 < 203 < 240 <350) ; pour traiter 2 hm 40 m, l’élève a-t-il converti 2 hm40 en 240 m (c’est peu probable vu qu’il semble ne pastenir compte des unités de longueurs) ou bien a-t-il lu 2puis 40 pour former 240 sans tenir compte des unités (c’estplus plausible !).Élève B : il classe les unités de mesure sans tenir comptedes nombres dans un premier temps ( cm < m < dam <hm < km), puis tient compte des valeurs lorsque deuxlongueurs sont exprimées dans la même unité (3 m <203 m ; 2 hm 40 m < 25 hm) ; pour comparer 2 hm 40m et 25 hm, il semble que cet élève n’ait pas considéré les40 m.

(b) Un élève peut, par exemple, convertir toutes les donnéesdans une unité commune (en centimètres, par exemple) :2 km = 200 000 cm ;3 m = 300 cm ;22 dam = 22 000 cm ;25 hm = 250 000 cm ;203 m = 20 300 cm ;2 hm 40 m = 24 000 cm ;350 cm.

Puis comparer les longueurs comme s’il s’agissait de nombresentiers et de 300 < 350 < 20 300 < 22 000 < 24 000 <200 000 < 250 000, déduire 3 m < 350 cm < 203 m <22 dam < 2 hm 40 m < 2 km < 25 hm. Des alternativessont possibles comme l’usage d’un tableau de conversion,...

Exercice 2 :

1. Cette situation relève implicitement de proportionnalité. Lesgrandeurs en jeu dans cette situation qui sont proportionnellessont « le prix des fraises » et « la masse de fraises » .

2. (a) Production possible pour cet élève : « 5 kg de fraises coûtent19,50 euros, donc 10 kg (le double de 5 kg) de fraisescoûtent 39 euros (le double de 19,50 euros), donc 2 kg


de fraises (soit 10 kg divisés par 5) coûtent 7,80 euros (39euros divisés par 5 ».La procédure par calcul de 19, 5÷2, 5 était refusée, mêmesi elle est correcte. On exigeait en effet une productionau programme du CM

(b) Propriétés mathématiques en jeu dans cette production :propriété multiplicative de linéarité.

3. (a) Production possible pour cet élève : « 5 kg de fraises coûtent19,50 euros, et 3 kg de fraises coûtent 11,70 euros, donc 2kg (5 kg moins 3 kg) de fraises coûtent 7,80 euros (19,50euros moins 11,70 euros) » .

(b) Propriétés mathématiques en jeu dans cette production :propriété additive de linéarité.



2017-2018 — SESSION 1

PREMIÈRE PARTIE

L’énoncé de ce sujet setrouve page 147 A : Un relevé de plan pour connaître la largeur d’une rivière

1. On peut utiliser les secteurs donnés en annexe et s’en servircomme gabarits ou alors mesurer avec un rapporteur les angles(63˚et 42˚).On peut choisir comme échelle simple : 10 cm représentent 50m (soit une échelle de 1 :5000).

A B

S

H

2. On mesure sur la figure 6,2 cmA l’aide de l’échelle choisie, on retrouve pour largeur de la ri-vière environ 31 m.

B : Autour du triangle rectangle

1. Généralités


(a) Les triangles ADB et CAB ont le même angle en B.L’angle en D du triangle ADB est droit, de même quel’angle en A du triangle CAB. Ces deux triangles ont doncdeux paires d’angles correspondants égaux deux à deux,ils sont semblables.Trois types de raisonnements erronés ont souvent apparudans les réponses :

• Ces deux triangles sont rectangles, donc ils sont sem-blables : ce raisonnement est faux, car deux trianglesrectangles ne sont pas nécessairement semblables.Par exemple un triangle rectangle isocèle (angles nondroits de 45 degrés) et un triangle rectangle dont lesangles non droits sont respectivement de 60 et 30degrés, ne sont pas semblables)

• Ces deux triangles sont rectangles, et ont un côté égal([AB] est un côté commun à ces deux triangles) : onnotera tout d’abord que dans ce genre de situation,les côtés considérés doivent toujours se correspondre,or les deux côtés AB ne se correspondent pas dansla similitude. De plus, on peut très bien imaginerdeux triangles ADB et CAB tels que l’angle en Ddu triangle ADB est droit, de même que l’angle enA du triangle CAB, et forcément ces triangles ont encommun le côté [AB], sans que ces triangles soientsemblables. Il suffit par exemple de prendre ABCrectangle en A et non isocèle, et ADB rectangle iso-cèle en D (c’est toujours possible de construire cela).

• Ces deux triangles sont dans une configuration deThalès, ils sont donc semblables : ce raisonnementest faux, les triangles ne sont pas dans une configu-ration de Thalès. Il faudrait pour cela que deux deleurs côtés soient sur des sécantes communes et lestroisièmes parallèles entre eux, ce qui n’était pas lecas.

(b) Le triangle ABC étant rectangle en A, les angles ’BAD et’DAC sont complémentaires (’BAD = 90°�’DAC).Le triangle ADC étant rectangle en D, les angles ’DCA et’DAC sont complémentaires (’DCA = 90°�’DAC).On en conclut que ’BAD = 90°�’DCA.D’autre part les triangles ADB et CDA ont tous les deuxun angle droit en D.


Ces deux triangles ont donc deux paires d’angles corres-pondants égaux deux à deux, ils sont semblables.

2. Théorème de Pythagore : démonstration en (a) et ap-

plication en (b)

(a) i. D’après la question 1.a, les triangles ADB et CABsont semblables. Le côté BD du triangle ADB corres-pond au côté AB du triangle CAB. De même le côtéAB du triangle ADB correspond au côté CB du tri-angle CAB. Les rapports BD

AB et ABCB sont donc égaux

(c’est le rapport de similitude). Et de l’égalité

BD

AB=

AB

CBsuit immédiatement, en multipliant les deux termespar AB et par CB l’égalité

AB2 = CB ⇥ BD

ii. Les triangles ADC et BAC sont semblables. Le côtéCD du triangle ADC correspond au côté AC du tri-angle BAC. De même le côté AC du triangle ADCcorrespond au côté BC du triangle BAC. Les rap-ports CD

AC et ACBC sont donc égaux (c’est le rapport de

similitude). Et de l’égalité

CD

AC=

AC

BCsuit immédiatement, en multipliant les deux termespar AC et par BC l’égalité

AC2 = BC ⇥ CD

iii. Des deux relations précédentes on conclut :

AB2 + AC2 = CB ⇥ BD +BC ⇥ CD

= BC ⇥ BD +BC ⇥ CD

= BC ⇥ (BD + CD)

= BC ⇥ BC

= BC2

Pour cette question, beaucoup n’ont pas compris qu’ils’agissait de trouver une preuve du théorème de Pytha-gore, en suivant les indications données. De ce fait, ilsont commencé par écrire que que AB2 +AC2 = BC2 etle plus souvent n’en ont rien fait.


(b) • En ce qui concerne AC, on sait que AB2+AC2 = BC2,ou encore AC2 = BC2 � AB2 = 100 � 36( cm2) =64 cm2. De là, AC =

p64 cm = 8 cm.

• En ce qui concerne BD, on a vu (et on nous a mêmedonné la formule)

BD

AB=

AB

CBce dont on peut déduire aussi

BD =AB2

CB=

36

10cm = 3, 6 cm.

3. Une méthode géométrique pour obtenir la largeur d’une

autre rivière

D’après la question 1.(b) les triangles NHS et SHM sontsemblables. On a donc

MH

HS=

HS

NHsoit :

MH =HS2

NHMH = 1

0,25 = 4 donc la largeur de la rivière est de 4 mètres.

C : Une dernière méthode pour la largeur d’une troisième rivière

1. Voici la figure complétée :

Rivière

N

E

S

O

C A

B

D

E


• Les angles ’BAC et ’EDC sont égaux car droits ;

• Les angles ’ACB et ’DCE sont égaux car opposés par lessommets.

Ces deux triangles ont deux paires d’angles correspondantségaux deux à deux, ils sont donc semblables.

2. Il suffit de connaître les mesures DE, AC et CD. En effet, dupoint précédent, on déduit l’égalité de rapports

AB

DE=

AC

CD

d’où l’égalité

AB = DE ⇥ AC

CD

Remarque :

Il était également possible d’invoquer le théorème de Tha-lès pour établir la formule, ou pour justifier que les trianglesétaient semblables.

3. Avec les données fournies, on a DE = 600 m, AC = 40 m etCD = 800 m. On obtient donc

AB = 600⇥ 40

800m = 30 m.

Deuxème partie : Exercices

Exercice 1 :

1. (a) • A : quarante-cinq• B : cinquante-quatre• C : soixante-trois• D : soixante-douze• E : quatre-vingt-un

(b) table de neuf

2. (a) • deux-cent-quatre-vingt-treize :• cent-huit :• soixante-dix :• sept-mille :


(b) peut s’interpréter comme soixante-dix ou sept-mille ;en effet, le chiffre sept peut ici représenter sept dizainesou sept milliers car il n’a pas de symbole pour exprimerl’absence de dizaines.

(c) On utilise dans notre système de numération le chiffre « 0 »pour indiquer l’absence d’unité de numération.

3. • La somme de et de vaut :

• La somme de et de vaut :

• On décompose et recompose :

La différence entre et vaut donc :

Il importe de lire attentivement les questions ! De nombreux étu-diants ont répondu à la première question en écrivant les réponsesen chiffres, alors qu’on demandait des mots-nombres ; d’autrepart, pour la dernière question, on demandait d’expliquer le cal-cul en manipulant les bâtons, ce que de nombreux étudiants ontomis.

Exercice 2 :

1. 12 345 679 000 000 000


Les trop nombreux étudiants qui ont abordé cette questionet ont obtenu un résultat incorrect doivent impérativementse replonger dans l’étude de la numération en base 10 etcomprendre l’effet sur un nombre de la multiplication par unepuissance de 10. Il est difficilement imaginable qu’ils puissentexpliquer à leurs élèves la multiplication par 10, 100, 1000 sieux-mêmes ne savent pas multiplier par un milliard.

2. Multiplier un nombre par 999 999 999 c’est le multiplier parun milliard et le retrancher du résultat.On en déduit 12345678987654321.On remarque une symétrie dans l’écriture chiffrée du résultat.Ce nombre peut être qualifié de palindrome.

Certains étudiants ont posé la multiplication et ont ainsiobtenu le résultat correct : cette démarche était bien sûr ac-ceptée. D’autres ont essayé de la poser et n’y sont pas arri-vés. Si on peut accepter que, pour certains, c’est la longueurdu calcul qui les a conduits à commettre de petites erreurs,d’autres ont manifesté leur totale ignorance de la techniquede la multiplication, alors que la technique est exactementla même pour multiplier de grands nombres que pour multi-plier deux nombres à deux chiffres. Il n’est jamais trop tardpour bien faire, mais il est impératif qu’ils s’y mettent !

Exercice 3 :

1. • Affirmation A : faux : contre-exemple : 1,2 x 10 ne vautpas 1,20

• Affirmation B : faux : contre-exemple : 20

• Affirmation C : faux : contre-exemple : trapèze isocèle.


A

C

B

D


Ce contre-exemple, qui était celui qui figurait dans laversion initiale du corrigé, a été choisi du fait que letrapèze isocèle est une figure géométrique assez fami-lière. Toutefois, aucune connaissance du trapèze isocèle– qui ne fait plus partie des programmes du collège ni del’école primaire – n’était exigée pour trouver la réponse àcette question. Il suffisait de tracer deux segments [AC]et [BD] de même longueur mais ne se coupant pas enleur milieu pour obtenir un quadrilatère ABCD dont lesdiagonales sont de même longueur et qui n’est pas un rec-tangle. L’idée de tracer un quadrilatère à partir de sesdiagonales étant tout à fait habituelle, on le fait souventdès l’école primaire pour tracer des losanges. Exemple :

AC

B

D

6

6

Ce contre-exemple peut aussi servir pour l’énoncé sui-vant, car les diagonales sont perpendiculaires entre elles.Pour cette question, beaucoup ont répondu : « Faux,ce peut être un carré ». Rappelons que si c’est un carré,c’est un rectangle, donc le fait que ce puisse être un carréne met pas en cause l’affirmation.

• Affirmation D : faux : contre-exemple : cerf-volant


AC

B

D

2. Soit ABC un triangle isocèle en A ; CA = BA et les angles Bet C ont même mesure.1er cas : A = 60° ; des égalité A+ B + C = 180° et B = C, ondéduit que B = C = 60°.2ème cas : B = 60° donc C = 60° et comme A+ B+ C = 180°,on en déduit que A = 60°.3ème cas : C = 60° se traite comme le deuxième cas.Dans tous les cas, A = B donc le triangle ABC est aussi isocèleen C donc CA = CB ; or CA = BA donc le triangle ABC est

équilatéral.L’erreur commise par de nombreux étudiants a été de neconsidérer qu’un des deux cas, le plus souvent sans l’explici-ter vraiment.

Exercice 4 :

1. (a) Quand 10 syllabes sont prononcées, chaque enfant de laronde est désigné exactement une fois, en 2⇥ 10 syllabes,chaque enfant est désigné exactement deux fois ; le loupsera donc l’enfant situé à la droite du premier enfant dé-signé.

(b) Il suffit donc qu’elle commence par l’enfant situé à gauchede celui qu’elle veut désigner comme le loup .

(c) Oui la désignation du loup sera modifiée car avec 14 syl-labes de plus, on parcourra la ronde d’un tour complet


supplémentaire et il restera encore 4 syllabes à pronon-cer ; le loup sera alors décalé de 4 positions.

2. Soit N l’effectif du groupe (N > 5).La comptine de 20 syllabes et celle de 34 syllabes désignent lemême loup si la division euclidienne de 34 et de 20 par N ontle même reste.Les divisions euclidiennes peuvent s’écrire 34 = Nq + r et20 = Nq0 + r avec r < Nd’où 14 = N(q � q0) donc N est un diviseur de 14 or N > 5donc N = 7 ou N = 14.On vérifie que ces deux valeurs conviennent.

Troisième partie : Didactique

Exercice 1 :

1. (a) L’élève peut dessiner un rond (ou un bâton) par aimantà demander (de manière structurée ou non). L’élève peutaccéder à cette procédure en faisant une correspondanceterme à terme (un rond par aimant). Il peut être capablede produire une collection de même cardinal qu’une autresans pour autant utiliser la notion de nombre.L’élève peut aussi utiliser l’écriture chiffrée, c’est une pro-cédure experte tant du point de vue de la compréhensiondu nombre que de sa communication.

(b) L’élève peut faire sa demande à l’oral en utilisant les mots-nombres.L’élève peut garder la mémoire de la quantité à l’aide desdoigts de la main.

2. (a) En petite section, on travaille sur les petits nombres maisl’élève n’a pas besoin de dénombrer la collection de neufaimants rouges. Ce n’est que lorsqu’il ne reste plus queun, deux ou trois trous que l’élève doit savoir faire la cor-respondance avec les points de son dé. Le jeu peut doncse faire sans difficultés en petite section.

(b) Cette fois-ci, l’élève doit garder la mémoire de la quantitèd’aimants rouges. L’objectif est donc de travailler autourdu nombre « neuf », ce qui peut être considéré comme tropprécoce en petite section.

3. La planche a structure les trous en organisations culturel-lement connues (constellations du dé). L’enseignant cherche


donc à faire travailler la reconnaissance directe du nombregrâce aux constellations.

4. (a) Les nombres en écriture chiffrée entourés d’un cercle peuventêtre assimilées par les élèves aux aimants. Ce qui peut pro-voquer deux difficultés :

• Le « 3 »entouré invite donc plus à considérer l’aspectordinal du nombre (le troisième aimant) que l’aspectcardinal (il faut trois aimants). La première produc-tion, si elle est considérée comme la réponse attendue,peut encourager certains élèves à favoriser l’aspect or-dinal. Dans les instructions officielles du cycle 1 celaest désigné par l’expression « comptage-numérotage ».

• L’élève qui entoure le « 1 », le « 2 »et le « 3 »a cer-tainement bien compris que c’est l’usage cardinal dunombre qu’il faut considérer. En revanche, il auraittrès bien pu entourer de la même manière les troisronds en l’absence de l’écriture chiffrée. L’enseignantne sait donc pas si l’élève a su lire l’écriture chiffréedes nombres pour produire sa réponse.

(b) L’enseignant peut donner des bons de commande viergeset mettre à disposition des élèves des étiquettes (avec écri-ture chiffrée) à coller. L’élève a à trouver et coller l’éti-quette correspondant au nombre qui l’intéresse.

5. L’élève travaille la composition-décomposition des petits nombres.« Quatre, c’est deux et deux »si par exemple les deux dés af-fichent une face à deux points. Si le deuxième dé affiche la face« ? », l’élève doit construire une stratégie. Par exemple, s’il luifaut cinq aimants jaunes et si le premier dé affiche deux alorsle complément à choisir est trois.

Exercice 2 :

1. (a) L’élève a certainement proposé 1/3, soit par une approchesuperficielle en cherchant une réponse contenant les chiffres1 et 3, soit parce qu’il est convaincu que la virgule a lemême sens que la barre de fraction.Un autre élève peut objecter que comme 1,3 est supérieurà 1, un seul verre d’un litre ne peut pas suffire.

(b) Au cycle 3, le nombre 1,3 est défini comme étant une unitéà laquelle on ajoute trois dixièmes d’unités. Un litre auquel


ont ajoute trois dixièmes de litres correspond donc à ladéfinition donnée.

2. Les élèves peuvent retrouver (par exemple à l’aide de la calcu-latrice) que 1/3 est supérieur à 0,3. Cette méthode ne permetdonc pas d’obtenir exactement 1,3 L, en référence au nombredécimal 1,3.Dans une situation de la vie courante où l’on voudrait obtenirenviron 1,3 L, cette réponse serait néanmoins acceptable.L’enseignant peut préciser dans la consigne qu’il souhaite exac-

tement 1,3 L.

3. (a) La graduation à 14 correspond à 0,25 L qui est supérieur

au volume attendu. Comme l’on ne peut qu’ajouter desvolumes, cette graduation ne peut pas être utilisée (ni lessuivantes). Seule la plus petite graduation correspondantà 0,1 L est utilisable or 0,15 n’est pas un multiple de 0,1.Il n’est donc pas possible d’obtenir 0,15 L.

(b) Remplir à 14 un verre (on obtient 0,25 L). Transvaser dans

un autre verre mesureur 0,1 L (graduation 110) des 0,25 L

précédemment obtenus. Il ne reste dans le premier verreplus que 0,15 L, ce qui est le volume demandé.

Exercice 3 :

1. 3, 6⇥ 5, 4 = 19, 44 (opération à poser).

2. • L’élève A a additionné 5 et 3 d’un côté et 7 et 12 de l’autrecôté. L’élève ne maîtrise pas la signification de la positiondes chiffres dans les écritures décimales et semble considé-rer les nombres décimaux comme des paires de nombresentiers. Une autre interprétation possible est que, tout enmaîtrisant (ou non) la signification de l’écriture à virgule,il n’y rfléchit plus quand il pose un calcul, et a aligné leschiffres de la partie décimale sur la droite comme il le feraitavec des entiers.

• L’élève B a le bon résultat.• L’élève C a multiplié 3 et 5 d’un côté et 6 et 4 de l’autre

côté. Les nombres décimaux semblent être pour cet élèveune simple juxtaposition de deux entiers, comme l’élèveA.

• L’élève D a multiplié 6 et 4 pour trouver 24. Il a retenu2 qu’il a ajouté au produit de 3 et 5. L’élève a proba-


blement posé l’opération en s’inspirant de l’algorithme del’addition.

Analyser une erreur, c’est plus que simplement la décrire. Lefait que la consigne soit assez ouverte permettait plusieurs typesd’analyse (origine possible ou probable de l’erreur, raisonne-ment probablement fait par l’élève, reconnaissance d’erreurs clas-siques. . .), et le présent corrigé n’est donc pas la seule manièreenvisageable de répondre. Mais se contenter de répondre « L’élèveA a additionné 5 et 3 d’un côté et 7 et 12 de l’autre côté. » estinsuffisant.



2017-2018 — SESSION 2

UE 1


1. Cette distance vaut 2 mm. Puisque une unité u mesure 8 mm,2 mm en est le quart, donc 0,25 u.

2. • Comme (NM) et (AC) sont parallèles, on est dans unesituation de Thalès (ou encore : les triangles BMN etBAC sont semblables, ayant un angle commun ’ABC etun angle droit chacun). On a dès lors 7

NM

AC=

BM

AB

soitNM = AC ⇥ BM

AB= 9⇥ 1

6= 1, 5.

Comme la distance entre deux lignes horizontales succes-sives est 0,25, N se trouve sur la sixième droite horizontalequi suit (AB) : c’est bien une ligne horizontale secondaire.

• De la même manière, (QP )//(MN), donc les triangesMNA et PQA sont dans une situation de Thalès, et on adonc

QP

MN=

AP

AMsoit

QP = MN ⇥ AP

AM= 1, 5⇥ 1

5u = 0, 3u.

Le point Q n’est donc pas sur une ligne horizontale, car0,3 n’est pas multiple de 0,25.

3. (a) De manière générale, on a comme ci-dessus :

NM = AC ⇥ BM

AB=

AC ⇥ BM

AB=

AC

AB=

c

b.

7. Il n’était pas interdit d’écrire plus simplement : BM est 6 fois plus petit que BA, doncMN est 6 fois plus petit que AC.


Ce nombre est le quotient de deux entiers : c’est bien unrationnel.On a alors également comme ci-dessus :

QP = MN ⇥ AP

AM=

c

b⇥ 1

b� 1=

c

b⇥ (b� 1).

Ce nombre est lui aussi le quotient de deux entiers : c’estbien un rationnel.

(b) Il suffit de prendre par exemple c = 1 et b = 3. Alorsx = MN = 1

3 qui n’est pas décimal, puis y = 16 qui ne

l’est pas non plus.(c) Il faut s’arranger pour que c

b et cb(b�1) soient des décimaux

dont la partie décimale est 0,25, 0,5 ou 0,75. Prenons parexemple c = 3 et b = 4. Alors x = 3

4 = 0, 75 et y =312 = 1

4 = 0, 25. Ces deux points sont bien sur des ligneshorizontales secondaires.

Exercice 2

Affirmation A : Vraie.

• Justification formelle : un tel nombre s’écrit m ⇥ 1 000 + 125(où m est le nombre de milliers du nombre, donc le reste danssa division par 1000). Comme 1 000 = 8⇥ 125, on peut écrire ;

m⇥ 1 000 + 125 = m⇥ (125⇥ 8) + 125

= 125⇥ (m⇥ 8 + 1)

et c’est donc bien un multiple de 125, puisque m ⇥ 8 = 1 estun entier.

• Justification informelle : Ce nombre est égal à un certain nombrede milliers, plus 125. Comme 1 000 = 8⇥125, il est multiple de125, donc tout multiple de 1 000 l’est aussi, et le nombre estdonc la somme de deux multiples de 1 000 : c’est un multiplede 1 000.

Affirmation B : Fausse. Prenons par exemple le cas de 115 : cenombre se termine bien par 15, mais son reste dans la division par15 est 10 (et le quotient 7 : 115 = 7 ⇥ 15 + 10) : il n’est donc pasmultiple de 15.

Exercice 3

1. C’est possible, le programme suivant permet de le construire.


Tracer un segment [AC] de longueur quelconque.

Tracer deux cercles de centres A et C respectivement et de

rayon BC.

Nommer B et D les intersections de ces deux cercles.

Tracer les segments [AB], [BC], [CD] et [DA].

CA

B

D

Par construction, AB = BC = CD = DA : on a donc bientracé un losange ABCD. De plus, par construction, ABC estun triangle équilatéral : donc l’angle ’BAC est bien un anglede 60 degrés (cette justification n’était pas demandée)

2. C’est possible, il suffit de construire un carré (et, de fait, c’estla seule solution, mais il n’était pas demandé de le préciser).ABCD est un losange, puisque ses côtés sont tous de mêmelongueur. De plus, BAC est un triangle rectangle isocèle enB : l’angle ’BAC est donc bien un angle de 45 degrés.

3. C’est impossible : en effet, puisque les diagonales d’un losangeen sont des axes de symétrie, on aurait aussi ’DAC = 90�,donc ’DAB = 180�, donc D, A et B seraient alignés, ce qui estabsurde dans un losange.


Didactique

Exercice 1

1. Un nombre décimal est un nombre qui est entier ou qui peuts’écrire comme un entier + une fraction (inférieure à l’unité)dont le dénominateur est 10, 100, 1000. . ., ou encore un nombrequi peut s’écrire comme une fraction dont le dénominateur est10, 100, 1000. . .

2. (a) Les élèves doivent apprendre deux notions, la fraction et lenombre décimal, ainsi que deux notations, et ces notionssont liées. De ce fait, des enfants peuvent confondre lesdeux écritures et faire jouer à la virgule le même rôle quela barre de fraction : un séparateur entre le numérateur etle dénominateur.Il se peut aussi qu’ils voient dans la fraction 62

10 commedans le décimal 62, 10 deux nombres entiers séparés dansun cas par une barre, dans l’autre cas par une virgule.Enfin, ils peuvent avoir lu « 62 dixièmes » et s’être rappelésque « les dixièmes se mettent après la virgule ».

(b) • La question 1 nécessite de comprendre le lien entreécriture décimale et écriture fractionnaire. Dans la deuxièmequestion, une seule écriture est en jeu.

• La question 1 nécessite de comprendre que 60 dixièmeségalent 6 unités.

• La question 2 correspond à une technique apprise : lesélèves peuvent très bien avoir acquis cette techniquesans l’avoir comprise.

• La question 1 nécessite de comprendre le rôle de lapartie entière et la partie décimale d’un nombre écritsous la forme d’un nombre « à virgule » ; la question2 le nécessite aussi si l’on veut comprendre ce qu’onfait, mais, ainsi qu’observé plus haut, ne le nécessitepas si l’on ne fait qu’appliquer une technique sans lacomprendre.

• L’introduction de l’écriture décimale se fait naturelle-ment à partir d’écritures du type 6+ 2

10 , c’est-à-dire unentier plus une fraction décimale inférieure à l’unité. Lelien avec les fractions décimales générales (6210 = 6, 2)se fait plus tard et nécessite une réelle réflexion ; à titred’exemple, les programmes de 2008 plaçaient cela enCM2. Au CM1, les élèves ont sans doute été habitués à


faire attention au dénominateur de la fraction (6+ 7100

c’est 6,07 et non 6,7), mais n’ont jamais été mis endéfaut lorsque le dénominateur est 10. D’où une règlefausse qu’ils ont pu intégrer : pour écrire un nombre dela forme un entier sur 10 sous forme décimale, il suffitd’écrire 0 virgule le nombre en question.

• Enfin, la notion de fraction dont le nominateur est su-périeur au dénominateur peut elle-même être difficilepour un élève de primaire, si sa conception de la frac-tion est celle d’un « partage de tartes » : si je découpeune tarte en 10, par quel miracle pourrais-je en distri-buer 62 parts ? Tandis que dans la deuxième question,il s’agit de diviser par 100 un nombre supérieur à 100 :là, une mauvaise conception de la division conduiraitplutôt à ne pas comprendre qu’on puisse diviser unnombre par un nombre plus grand que lui, ce qui n’estpas le cas ici.

Notons que le lien n’est pas fait à l’école primaire entrela fraction 62

10 et 62 divisé par 10 : la fraction ab est vue

comme étant a fois un b-ième.

Exercice 2

1. La connaissance de ce que sont un carré et un losange ; recon-naître des figures simples dans des figures complexes ; savoirreconnaître un carré ou un losange dans une position non pro-totypique ; vérifier les propriétés d’une figure sans se contenterde la simple perception visuelle (avec les instruments voire parraisonnement).

2. (a) Les quadrilatères qui ne sont pas des losanges sont un pa-rallélogramme et un rectangle qui ont tous deux un côtéplus long que l’autre. Cela peut être déterminé sans ins-truments par le fait que tous deux ont deux côtés issusdu centre du cercle, l’un dont l’autre extrémité est sur lecercle (côté égal au rayon) et l’autre dont l’autre extrémitéest située à l’extérieur du cercle .

(b) Il y a deux losanges, dont un carré. Les seuls renseigne-ments dont on dispose à leur sujet sont qu’ils ont deuxcôtés de même longueur, parce qu’une extrémité est lecentre du cercle et l’autre est sur le cercle. Mais sans me-sure, on ne peut pas savoir si les deux autres côtés ont eneffet la même longueur que ces deux-ci.


3. • L’élève A donne, pour chaque exercice, une réponse cor-recte et une réponse incorrecte (alors qu’une seule étaitdemandée). Il n’a pas vérifié les égalités de longueurs né-cessaires ; se fixant peut-être à la simple perception, il avalidé un parallélogramme non losange dans l’exercice 16et un rectangle non carré dans l’exercice 25 : il n’a mani-festement pas vérifié en comparant les longueurs des côtés.Il a toutefois validé aussi, correctement, un losange dans le16 et un carré dans le 25. Concernant l’orientation des fi-gures, celle-ci ne semble pas l’avoir gêné : il a bien reconnule carré « sur pointe » dans l’exercice 25, et le fait qu’il va-lide le parallélogramme dans l’exercice 16 montre que pourlui, à l’inverse, un losange ne doit pas nécessairement être« sur sa pointe ». Enfin, le fait qu’il donne deux réponsesalors qu’on n’en demandait qu’une peut faire penser qu’ila cherché toutes les réponses, auquel cas il n’aurait paspensé que le carré est un losange.

• L’élève B a correctement répondu à l’exercice 16 : un carréest en effet un losange. On pourrait croire qu’il en estconscient, puisqu’il a bien reconnu que c’est un carré dansl’exercice 25. Toutefois, comme ces exercices ne sont pasconsécutifs, une autre interprétation est que parce que lecarré était sur sa pointe, il y a reconnu la forme et laposition prototypique d’un losange et a ainsi reconnu celosange sans reconnaître que c’était un carré, ne se rendantcompte que plus tard, parce qu’on lui demandait de cher-cher un carré, que c’en était un. Dans l’exercice 25, l’élèvedonne deux réponses, dont une fausse : le rectangle, sansdoute, comme l’élève A, parce que sa largeur est proche desa longueur. Ici aussi, il est permis de penser que l’élèvea voulu donner toutes les solutions, auquel cas il n’au-rait pas reconnu le losange non carré dans l’exercice 16,peut-être parce que lui non plus n’est pas dans sa positionprototypique.

• L’élève C est le seul qui ait suivi a consigne : « repasse lescôtés d’un losange » ou « d’un carré ». Il a bien reconnule losange non carré, mais n’a pas identifié correctementle carré dans l’exercice 25. Il n’a probablement pas vu cecarré parce qu’il était en position non prototypique, et achoisi le rectangle dont il a bien vu les angles droits et aété trompé par les dimensions proches des côtés, dont iln’a pas vérifié l’inégalité.


4. (a) Les erreurs commises par les élèves de cycle 3 dans l’exer-cice original, aussi bien qu’une analyse a priori, montrentque les difficultés principales de l’exercice étaient de re-connaître le carré dans une position non prototypique, età ne pas se fier à la seule perception qui peut faire passerun rectangle non carré pour un carré. L’exercice, tel qu’ilest modifié, est bien adapté pour travailler sur ces deuxaspects au cycle 2 : reconnaître un carré dans une positionnon prototypique, et vérifier avec des instruments si unefigure est un carré.

(b) Quelques idées :• Reconnaître des figures simples dans des figures com-

plexes n’est pas un objectif de cycle 2, dès lors il estpertinent de ne pas réunir les différentes figures simplesdans une figure complexe. D’où le fait d’éloigner les fi-gures les unes des autres.

• Mais dans ce cas, le cercle ne sert à rien, et c’est autantle supprimer

• Quant au fait de laisser à disposition une bande depapier et un compas, l’idée est de travailler sur la lon-gueur plus que sur la mesure, les élèves ayant à leurdisposition un outil élémentaire (la bande de papier)et un outil expert (le compas).



2017-2018 — SESSION 1


L’énoncé de ce sujet setrouve page 166Partie A : arclet

1. Pour un polygone non croisé à n côtés, la somme des anglesde ce polygone a une mesure de (n � 2) ⇥ 180° (par décom-position de ce polygone en (n� 2) triangles). Les angles d’unpolygone étant égaux en mesure, il vient que chaque angle a

une mesure de(n� 2)⇥ 180°

n. Pour le cas de l’hexagone, n = 6

et chaque angle de l’hexagone régulier a donc une mesure de(6� 2)⇥ 180°

6= 120°.

2. Pour trouver la mesure de l’arclet tracé en rouge, on déplacel’arc en rouge GH sur l’arc en bleu LG (isométrique au premierpar la rotation de centre O (centre de l’hexagone) et d’angle60° dans le sens des aiguilles d’une montre), on déplace l’arcen rouge ıIJ sur l’arc en bleu HI et on déplace l’arc en rougeLK sur l’arc en bleu JK. Au final, on peut voir la longueurde l’arclet rouge comme celle des périmètres cumulés des troiscercles de centres A, C et E, de rayon 3 cm. Ainsi, la longueurde l’arclet tracé en rouge est

3⇥ 2⇥ ⇡ ⇥ 3 cm = 18⇥ ⇡ cm ⇡ 56, 5 cm.

3. (a) L’aire de l’hexagone ABCDEF est, d’après la formuleappliquée avec x = 6 cm,

3p3

262 cm2 = 54

p3 cm2 ⇡ 93, 5 cm2.

(b) Par comparaison de l’aire bordée par l’arclet tracé en rougeet de celle de l’hexagone.L’arc LG situé à l’extérieur de l’hexagone occasionne uneplus-value de l’aire délimitée par l’arclet de deux tiers (au


vu de l’angle de 120°(d’après la question 1) pour l’hexa-gone, 120°représentant un tiers de 360°, un tiers de l’airede ce disque est à l’intérieur de l’hexagone et donc deuxtiers de cette aire sont à l’extérieur) de l’aire du disque decentre A et de rayon 3 cm.De même, l’arc HI situé à l’extérieur de l’hexagone oc-casionne une plus-value de l’aire délimitée par l’arclet dedeux tiers de l’aire du disque de centre C et de rayon 3 cmet l’arc JK situé à l’extérieur de l’hexagone occasionne uneplus-value de l’aire délimitée par l’arclet de deux tiers del’aire du disque de centre E et de rayon 3 cm.Par contre, l’arc GH situé à l’intérieur de l’hexagone occa-sionne une moins-value de l’aire délimitée par l’arclet d’untiers de l’aire du disque de centre B et de rayon 3 cm, l’arcıIJ situé à l’intérieur de l’hexagone occasionne une moins-value de l’aire délimitée par l’arclet d’un tiers de l’aire dudisque de centre D et de rayon 3 cm et l’arc KL situéà l’intérieur de l’hexagone occasionne une moins-value del’aire délimitée par l’arclet d’un tiers de l’aire du disquede centre F et de rayon 3 cm.Au final, l’aire délimitée par l’arclet tracé en rouge est :

54p3 cm2+3⇥2

3⇥⇡⇥32 cm2�3⇥1

3⇥⇡⇥32 cm2 = 54

p3 cm2+9⇥⇡ cm2 ⇡ 121, 8 cm2.

4. La symétrie orthogonale d’axe (AD), la symétrie orthogonaled’axe (BE) et la symétrie orthogonale d’axe (CF ) sont lestrois symétries orthogonales d’invariance de l’arclet tracéen rouge.

5. La rotation de centre O d’angle 0° (l’identité), la rotation decentre O d’angle 120° dans le sens inverse des aiguilles d’unemontre et la rotation de centre O d’angle 120° dans le sens desaiguilles d’une montre sont les trois rotations d’invariance

de l’arclet tracé en rouge.

6. (a) La symétrie orthogonale d’axe (GJ) envoie l’arclet tracéen rouge sur l’arclet tracé en bleu (et réciproquement). Demême, la symétrie orthogonale d’axe (HK) envoie l’arclettracé en rouge sur l’arclet tracé en bleu (et réciproque-ment) et la symétrie orthogonale d’axe (IL) envoie l’ar-clet tracé en rouge sur l’arclet tracé en bleu (et récipro-quement).


(b) La rotation de centre O et d’angle 180° (la symétrie cen-trale) envoie l’arclet tracé en rouge sur l’arclet tracé enbleu (et réciproquement). De même, la rotation de centreO d’angle 60° dans le sens inverse des aiguilles d’une montreenvoie l’arclet tracé en rouge sur l’arclet tracé en bleu (etréciproquement) et la rotation de centre O d’angle 120°dans le sens des aiguilles d’une montre envoie l’arclet tracéen rouge sur l’arclet tracé en bleu (et réciproquement).

Partie B : vente de hand spinners

1. (a) Le prix TVA comprise est 1, 2⇥ 15 e , c’est-à-dire 18 e .

(b) Le prix HT est7, 2

1, 2e , c’est-à-dire 6 e .

2. (a) • Les 500 hand spinners avec roulement à billes en acieroctroient une marge de 500⇥ 2 e , soit 1 000 e .

• Les 500 hand spinners avec roulement à billes en cé-ramique octroient une marge de 500⇥ 4 e , soit 2 000e .

• Au total, les 1 000 hand spinners génèrent une margede 1 000 e +2 000 e = 3 000 e .

• Soit n le nombre de hand spinners avec roulement àbilles en acier vendus. Le nombre de hand spinners

avec roulement à billes en céramique vendus est donc1 000� n (puisqu’on en vend 1 000 au total).

• Les n hand spinners avec roulement à billes en acieroctroient une marge de n⇥ 2 e .

• Les 1 000�n hand spinners avec roulement à billes encéramique octroient une marge de (1 000� n)⇥ 4 e .

• Au total, les 1 000 hand spinners génèrent une margede (2⇥ n+ (1 000� n)⇥ 4) e = (4 000� 2⇥ n) e .

• Cette marge est maximale pour n = 0 (car 0 n 1 000), c’est-à-dire quand on ne vend que des hand

spinners avec roulement à billes en céramique.Autre solution : les hand spinners avec roulement à billesen céramique génèrent une marge plus importante queceux avec roulement à billes en acier (4 > 2) ; pour réaliserla marge la plus grande possible il faut donc en prendre leplus possible !

(b) • Les 17 500 hand spinners avec roulement à billes enacier octroient une marge de 17 500⇥2 e , soit 35 000e pour un coût HT de 17 500⇥ 6 e , soit 105 000 e .


• Les 7 000 hand spinners avec roulement à billes encéramique octroient une marge de 7 000 ⇥ 4 e , soit28 000 e pour un coût HT de 7 000 ⇥ 15 e , soit105 000 e .

• Au total, les 17 500 + 7 000 = 24 500 hand spinners

génèrent une marge de 35 000 e +28 000 e = 63 000e .

• De plus, cette vente est d’un montant de 105 000 e+105 000 e = 210 000 e .

• Soit n le nombre de hand spinners avec roulement àbilles en acier vendus.

• Les n hand spinners avec roulement à billes en acieroctroient une marge de n⇥ 2 e .

• Le prix de ces n hand spinners avec roulement à billesen acier est n⇥ 6 e .

• Sur un montant de 210 000 e , n ⇥ 6 e sont asso-ciés aux n hand spinners avec roulement à billes enacier et 210 000 e �n ⇥ 6 e sont associés aux hand

spinners avec roulement à billes en céramique. Ainsi,cette vente concerne n hand spinners avec roulementà billes en acier et

210 000� n⇥ 6

15= 14 000� 2⇥ n

5hand spinners avec roulement à billes en céramique.

• Les 14 000 � 2⇥ n

5hand spinners avec roulement à

billes en céramique octroient une marge de (14 000�2⇥ n

5)⇥ 4 e .

• Au total, pour un montant de 210 000 e , la marge estde (2⇥ n+ (14 000� 2⇥ n

5)⇥ 4) e = (14 000 + 2⇥n

5 )

e .• Cette marge est maximale pour n = 35 000 (car 0 n 210 000

6= 35 000), c’est-à-dire quand on ne vend

que des hand spinners avec roulement à billes en acier.Autre solution : les hand spinners avec roulement à billesen acier génèrent une marge par euro plus importante queceux avec roulement à billes en céramique (26 > 4

15) ; pourréaliser la marge la plus grande possible il faut donc enprendre le plus possible !

Partie C : nombre de tours par minute du hand spinner


1. La séquence filmée dure 1 600160 s = 10 s. Le nombre moyen

de tours par minute effectués par ce hand spinner, sur laséquence filmée est donc de 172⇥ 6 = 1 032 (on multiplie par6 car une minute vaut six fois dix secondes).

2. Si au lieu de limiter la durée de rotation du hand spinner àla durée de l’expérience on l’avait laissé tourner durant uneminute, le hand spinner en question n’aurait sans doute paseffectué plus de 1 000 tours durant cette minute à cause desfrottements de l’air qui ralentissent énormément la rotation duhand spinner : une vitesse moyenne évaluée sur dix secondesne garantit pas son maintien durant une minute.

On a aussi réalisé 25 expériences du même type pour un hand

spinner avec un roulement billes en acier. Dans l’étude statistiqueci-dessous, les observations concernent le nombre de tours par mi-nutes effectués :

observation 816 822 828 834 840 846 852 864 870 876effectif de l’observation 1 1 1 2 4 8 4 1 2 1

3. L’observation médiane (c’est-à-dire la médiane) est 846 tourspar minute : 50% au moins des valeurs sont inférieures ouégales à 846 tours par minute et 50% au moins des valeurssont supérieures ou égales à 846 tours par minute.

4. L’observation moyenne (c’est-à-dire la moyenne) est

816 + 822 + 828 + 2⇥ 834 + 4⇥ 840 + 8⇥ 846 + 4⇥ 852 + 864 + 2⇥ 870 + 876

25= 846

tours par minute.

5. L’étendue des observations est 876� 816| {z }=60

tours par minute.


Exercice 1 :

1. Il s’agit ici d’une situation de proportionnalité. La vitesse d’em-bouteillage étant constante, le nombre de bouteilles produitespar la machine est proportionnel au temps de fonctionnementde ladite machine.

(a) En 2 h 15 min, la machine embouteille 3 fois plus de bou-teilles qu’en 45 min (2 h 15 min = 45 min +45 min +45min) soit 9 000 soupes.


(b) Pour obtenir le nombre de bouteilles produites en 2 h,on peut utiliser deux fois la propriété multiplicative de lalinéarité :

• en 15 minutes, elle embouteille 3 fois moins de bou-teilles qu’en 45 minutes, soit 1 000 bouteilles ;

• en 2 h (soit 8 fois 15 minutes), elle produit donc 8 000bouteilles.

(c) Une journée contient 24 h. Nous savons qu’en 1 h, la ma-chine produit 4 000 bouteilles (puisqu’en 15 minutes, 1 000bouteilles sont fabriquées). En 24 h, 24 ⇥ 4 000 = 96 000bouteilles sont donc produites.

2. Il est possible, par exemple, de raisonner par décompositionadditive.Nous savons déjà qu’il faut 45 minutes pour produire 3 000soupes. Or 250 est le quart de 1 000 : il faut donc 4 fois moinsde 15 minutes pour produire 250 bouteilles ; ce qui donne 3, 75minutes ou 3 minutes et 45 secondes (car 0, 25 min = 15 s). Ilfaut donc 45 min + 3 min 45 s = 48 min 45 s pour embouteiller3 250 soupes.

3. Deux employés échangent au sujet de la machine :

• Paul : "Donc en 1 h 30 min, deux machines sortiront 6 000bouteilles."

• Claire : "Non ! En 1 h 30 min, une seule machine produira6 000 bouteilles."

En 1 h 30 min, deux machines produiront chacune de leur côté6 000 soupes, soit en tout 12 000 soupes. Paul a donc tort.Quant à l’argument de Claire, en 1 h 30 min, une machineproduira deux fois plus de soupe qu’en 45 minutes, soit 6 000soupes. Claire est l’employée qui dit vrai.

4. (a) Il faut 1 h 30 min à une seule machine pour produire 6 000bouteilles. Toujours à supposer que la cadence de fabrica-tion est constante, si trois machines tournent ensemble àcette même cadence, elles accompliront cette même tâchedans le tiers du temps dont a besoin une seule machine,c’est-à-dire un tiers d’1 h 30 min, soit 30 min.

(b) La machine défectueuse embouteille donc 6 000 soupes en3 h et non plus 1 h 30 min. Une procédure par essais-


erreurs est envisageable :

Temps 15 min 30 min 45 minMachine 1(en bon état) 1 000 2 000 3 000Machine 2(en bon état) 1 000 2 000 3 000Machine 3(défectueuse) 500 1 000 1 500Nombre total desoupes produites 2 500 5 000 7 500

On constate qu’au bout de 30 min, il reste 1 000 bouteillesà produire pour atteindre le compte des 6 000 soupes. Ennotant x le nombre de bouteilles produites dans le laps detemps restant par la machine défectueuse, on a donc :

2⇥ x+ 2⇥ x+ x = 1 000

i.e. 5⇥ x = 1 000

i.e. x =1 000

5= 200

Dans le laps de temps restant, la machine défectueuse pro-duira 200 soupes, et les deux autres 400. Reste donc à dé-terminer le temps nécessaire à la fabrique de 400 soupespour une machine en bon état. Or 400 soupes sont undixième de 4 000 soupes ; puisque 4 000 soupes sont pro-duites en 1 h, 400 soupes seront produites par une machineen bon état en 10 fois moins qu’une heure, soit 6 minutes.Les 6 000 soupes seront donc embouteillées en 36 minutespar les 3 machines.

Exercice 2 :

1. La vitesse de déplacement de l’onde dépendent uniquement decelle de la profondeur d’eau.

2. Si la fonction V était linéaire, la vitesse et la profondeur d’eauseraient des grandeurs proportionnelles. Or un rapide coupd’œil au tableau des relevés nous montre, par exemple, que :

36

10|{z}=3,6

6= 504

2 000| {z }=0,252


L’égalité des rapports n’est pas vérifiée ; les deux grandeurs nesont donc pas proportionnelles ; la fonction V n’est donc paslinéaire.

3. Une démarche possible est de calculer les images, par cettefonction V , des 6 profondeurs d’eau données dans le tableau, etde vérifier si ces images correspondent aux vitesses relevées defaçon empirique. Les calculs ont été effectués avec un tableur(images arrondies au dixième) mais la calculatrice permet toutaussi bien d’aboutir.

A B C D1 Vitesse de déplacement Vitesse de déplacement

Profondeur d’eau du tsunami du tsunami Erreur relative(en m) (Valeur théorique) (Valeur expérimentale) (en pourcentage)

(en km/h) (en km/h)2 P V(P)3 7000 943,8 943 0,08%4 4000 713,4 713 0.06%5 2000 504,5 504 0.09%6 200 159,5 159 0,33%7 50 79,8 79 0,95%8 10 35,7 36 0,92%

Les images obtenues, bien que différentes des vitesses relevéespar les géophysiciens, en sont très proches (erreurs relativesinférieures à 1 %). On peut donc considérer que la fonction Vproposée fournit un modèle descriptif satisfaisant des résultatsexpérimentaux.

4. (a) Il suffit de calculer l’image de 3 000 (3 km = 3 000 m) parla fonction V :

V (3 000) = 11, 28⇥p3 000 ⇡ 618.

À 3 km de profondeur d’eau, l’onde se déplace à une vitessed’environ 618 km/h.

(b) Ici, on cherche le ou les antécédents positifs de 360 par lafonction V , ce qui revient à résoudre l’équation suivante :

11, 28⇥pP = 360,

ce qui fournit

P =

Å360

11, 28

ã2⇡ 1 019.


L’onde se déplace à la vitesse de 360 km/h à la profondeurd’eau d’environ 1 019 m.

Exercice 3

1. Un mètre carré équivaut à dix mille centimètres carrés (pourpaver le mètre carré il faut cent décimètres carrés ; pour paverle décimètre carré il faut cent centimètres carrés ; pour paverle mètre carré il faut donc dix mille centimètres carrés). Ainsi,un demi mètre carré équivaut à cinq mille centimètres carréset non à cinquante. C’est donc faux !

2. Le périmètre du rectangle est 2⇥(AB+AD) = 2⇥AB+2⇥AD.Le périmètre du triangle équilatéral est 3⇥AD. Ces périmètresétant égaux, on déduit 2 ⇥ AB + 2 ⇥ AD = 3 ⇥ AD puis2⇥ AB = AD.

D

A

B

C

E

3. L’aire du rectangle est AB ⇥ AD =AD

2⇥ AD =

AD2

2.

AinsiAD2

2= 50 cm2, puis AD2 = 100 cm2 et enfin AD =

p100 cm = 10 cm.


Exercice 1 :

1. Le terme empreinte semble correspondre à la face sur laquellele solide représenté est posé. Plus précisément, il correspon-


drait au bord de la surface plane sur laquelle ce solide estposé.

2. Cela suppose que chaque solide n’a qu’une seule « empreinte »,ce qui restreint donc le mot « empreinte » généralement attri-bué à n’importe quelle face d’un solide. Cela induit qu’une« empreinte » ne peut correspondre qu’à un seul solide, ce quiest gênant car on ne peut décider en prenant appui sur lesreprésentations en perspective (comment distinguer en parti-culier l’« empreinte » de la brique de lait et celle du paquet debeurre ?).

3. Le choix des six solides pose question car ces solides sont tropproches les uns des autres (comment distinguer en particu-lier l’« empreinte » de la brique de lait et celle du paquet debeurre ?).La représentation en perspective dérange aussi car elle modifiecertaines longueurs, ce qui rend caduque tout raisonnementbasé sur une prise de mesure.La variété de la nature des faces sur lesquelles reposent lessolides est très pauvre (il ne s’agit que de disques et de rec-tangles), ce qui impose à l’élève de travailler sur les mesuresquand il doit distinguer deux rectangles et ce qui lui est renduimpossible par le choix de la représentation en perspective.

4. Analyse de productions d’élèves.

(a) La distinction entre une forme carrée et une forme rectan-gulaire ne peut se faire que via la mesure sur laquelle onne peut prendre appui dans cet exercice. On ne peut doncpas rejeter la réponse de l’élève A, même s’il semble quele concepeteur de l’exercice veuille associer la boîte de jeuà la troisième « empreinte ».

(b) À partir du moment où on a accepté que l’exercice n’in-terrogeait que sur la face sur laquelle chaque solide estposé, il faut rejeter cette réponse car elle ne respecte pasla forme : le disque de la boîte de petits pois ne peut êtreassocié au rectangle (le rectangle a des « coins », pas lecercle ; ...).

5. Première option : on travaille sans mesure, uniquement sur laforme de la face inférieure (une boîte de petits pois ⌦ uncercle ; une boîte « Caprice des Dieux » ⌦ un ovale ; une boîtede jeu ⌦ un carré ; un dé à 4 faces ⌦ un triangle ; une boîte


d’« Abalone » ⌦ un hexagone) et on peut donc rester sur lessolides représentés en perspective et les empreintes des facesinférieures représentées par leurs bords.

Deuxième option : on travaille sur les mesures, on propose lessolides (les mêmes que ceux de l’exercice) « en vrai » à dis-position de l’élève pour qu’il puisse prendre les mesures dusolide, mais pour empêcher l’élève de puisse poser le solide surson empreinte, on impose de la distance entre les solides et lesempreintes.

6. On peut reprendre ce qui est proposé dans la deuxième optionde la question précédente, mais sans la restriction de distanceentre les solides et les empreintes. Un objectif serait d’appré-hender la notion d’empreinte en laissant les élèves manipulerpour juxtaposer un solide sur l’empreinte sur laquelle celui-ciest posé.

Exercice 2 :

1. Non ! On ne peut pas attendre une procédure basée unique-ment sur la mesure dans une figure qui n’est pas isométriqueà l’originale.

2. Si la procédure est acceptable c’est que l’enseignant se placedans le cadre d’une géométrie instrumentée/perceptive (sinon,prendre une mesure rendrait la procédure incorrecte) ; on peutalors répondre

– oui car la réponse est en accord avec les calculs et que cescalculs sont autant adéquats que corrects et même si lapremière mesure n’est pas très précise (13,2 cm au lieu de13,3...3... cm) ;

– non car même si la réponse est en accord avec les calculset que ces calculs sont autant adéquats que corrects, lapremière mesure n’est pas assez précise (13,2 cm au lieude 13,3...3... cm).

3. (a) Une "figure à main levée" rend difficile toute perceptionet empêche toute prise de mesure.

(b) L’égalité des mesures des côtés opposés d’un rectangle ;l’égalité des mesures des côtés qui se correspondent pardéplacement.


4. (a) La largeur du petit rectangle "entre" six fois dans la lar-geur du grand rectangle donc la largeur du grand rectangleest 18 cm / 6 soit 3 cm.

(b) La propriété "cinq fois la largeur du petit rectangle équi-vaut à trois fois la longueur du petit rectangle" permetd’obtenir que la longueur du petit rectangle est de 5 cm ;la propriété "quatre fois la longueur du petit rectangleéquivaut à la longueur du grand rectangle" permet d’ob-tenir que la longueur du grand rectangle est de 4 fois 5 cmsoit 20 cm.

5. Un intérêt de travailler avec des rectangles plutôt qu’avec desparallélogrammes est que les propriétés des rectangles sontbien plus travaillées à l’école que celles des parallélogrammes,elles sont donc aussi bien mieux maîtrisées par les élèves.



2017-2018 — SESSION 2

UE 1

L’énoncé de ce sujet setrouve page 175Exercice 1

Partie 1

1. Les zéros des deux échelles correspondent, il y a doncproportionnalité entre les mesures relevées sur les deuxéchelles. À 2 mètres de la premiére échelle correspondent2,5 mètres de la seconde. En divisant chacune des gran-deurs par 2,5 on trouve que 0,8 mètre de la première échellecorrespond à 1 mètre de la seconde échelle. À 1 mètre dela seconde échelle correspond 0,8 mètre de la premièreéchelle donc si on appelle x la hauteur relevée sur la se-conde échelle, la hauteur sur la première échelle (i.e. lahauteur de la marée) vaut 0, 8x.

2. La nouvelle échelle a la même pente que celle de la ques-tion 1 mais a un décalage de 0,5 mètre avec la marée. 1mètre de la graduation précédente correspond à une maréede 0,8 mètre. On ajoute le décalage de 0,5 mètre et on ob-tient une marèe de 0,5 + 08 = 1,3 mètre. On appelle X lavaleur lue sur la nouvelle échelle. X mètres de la gradua-tion précédente correspond à une marée de 0, 8X mètres.On ajoute le décalage de 0,5 mètre et on obtient une ma-rèe de 0, 8X + 0, 5 mètres. Il n’y a pas proportionnalitéentre la mesure prise sur la nouvelle échelle et la hauteurde la marée puisque le zéro de l’échelle ne correspond pasà la hauteur nulle de la marée.

Partie 2

1. Lors de la première heure l’eau est montée du douzième dumarnage qui vaut 5,4 mètres, soit 0,45 mètres.


Lors des deux premières heures l’eau est montée de trois dou-zièmes du marnage qui vaut 5,4 mètres, soit 1,35 mètres.

2. Il n’y a pas proportionnalité entre le temps écoulé et la hauteurde la marée puisque que pour les deux premières heures, onn’obtient pas une hauteur double de celle qui correspond à lapremière heure.

3. On choisit pour unités 2 cm pour 1 heure en abscisse et 12 cmpour le marnage de 5,4 mètres en ordonnées.

0 h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 h 6 h

1/12 de marnage

1 marnage


Exercice 2 :

5 8

Le rayon du cercle a pour longueur 5 + 8 = 13. La diagonale durectangle a donc pour longueur 13.Le triangle rectangle constitué de la moitié du rectangle a un côtéde longueur 5 et l’hypoténuse de longueur 13.On appelle a la longueur du troisième côté. D’après le théorème dePythagore on a a2 = 132 � 52, soit a2 = 144. On en déduit quea = 12.L’aire du rectangle est donc égale à 12⇥ 5 = 60.

Exercice 3 :

Affirmation A :

0, 5⇥ 1, 75 = 0, 875. Il y a donc une baisse de 12,5 %. L’affirmationest donc fausse.

Affirmation B :Le problème peut être modélisé par la situationd’équiprobabilité résumée dans le tableau suivant.

Lancers Pile FacePile Non OuiFace Oui Non

Il y a donc deux éventualités sur quatre correspondant à l’un deslancers pile et l’autre face. La probabilité est donc de 1/2. L’affir-mation est fausse.

Affirmation C : Faux. Si une valeur augmente de 10 %, le qua-druple de cette valeur augmente aussi de 10 %.En particulier, si la longueur du côté d’un carré augmente de 10 %,son périmètre augmentent de 10 % aussi.


UE2

Exercice 1 :

1. - Dans l’activité 1, un certain nombre de segments ne suiventpas les lignes du quadrillage, ce qui favorise les méthodes deconstruction point par point.- Dans l’activité 1, il est proposé un axe oblique qui rend dif-ficile la construction par vision globale.- Dans l’acitvité 2, la figure touche l’axe, le résultat peut êtrevu comme une seule figure possèdant un axe de symétrie. -Dans l’activité 1, l’auteur a évité de positionner l’axe commeaxe de symétrie du quadrillage.

2. - L’élève peut faire des constructions point par point puis relierles points entre eux.- L’élève peut construire le symétrique par cheminement : parrapport à l’axe, réaliser le déplacement symétrique : descendrede 4 carreaux au lieu de monter, avancer de 2 carreaux vers ladroite... - Une méthode erronée bien que donnant le bon résul-tat consisterait à se repérer aux bords du quadrillage (l’axe setrouvant malencontreusement au centre du quadrillage.

3. (a) Production correcte :

(d)

(b) Quelques productions erronées, avec explication de l’er-reur (non demandée) :

• L’élève trouve correctement l’image d’un sommet, puiscomplète la figure de proche en proche en oubliant del’inverser. Il lui fait donc subir une translation :


(d)

• L’élève trace une horizontale (ou une verticale) à partirde chaque point, compte combien de carreaux le séparede l’axe, et recompte le même nombre de carreaux surla même horizontale (ou la même verticale), de l’autrecôté de l’axe :

(d)

(d)

(à noter que dans le cas horizontal, il devrait se douterque quelque chose n’a pas bien fonctionné)

• L’élève se repère sur le bord du quadrillage, en considé-rant par exemple que le sommet qui se trouve à deuxcarreaux du bord droit et un carreau du bord infé-rieur, aura son image à deux carreaux du bord gaucheet un carreau du bord supérieur. Ce qui serait correctsi le quadrillage était un carré et l’axe de symétrie unediagonale de ce carré.


(d)

Exercice 2 :

1. Lucas possède 20 chocolats.

2. Exemple : Lucas et Gaia trois barres, Réda six. On aurait ainsiune situation où l’un possède la moitié, et les deux autres unquart chacun. Cela correspond à l’utilisation des diagrammescirculaires en primaire, où l’on utilise des fractions ’évidentes’.

3. - Sur le diagramme de l’énigme on ne peut lire que des rap-ports de proportion. L’information complémentaire du totaldes chocolats permet d’avoir l’information sur les effectifs.- Le cours invite l’élève à rechercher les informations sur lesaxes. Pour l’énigme, l’ordonnée (avec son échelle) n’existe qu’unefois l’exercice résolu.

4. Lucas possède deux tiers de Réda, Gaia la moitié de Réda.

5. L’exercice revient finalement à un travail sur les proportions.Cela prépare par exemple aux histogrammes où l’effectif estproportionnel à l’aire et pas à la hauteur (et donc ne se lit passur un axe des ordonnées.



2018-2019 — SESSION 1


L’énoncé de ce sujet setrouve page 182Partie A : Autour du calcul de 53⇥ 42

1. Voici l’opération posée :5 34 2

1 0 62 1 2 ·2 2 2 6

⇥

2. (a) 43⇥ 27 = (4⇥ 10 + 3)⇥ (2⇥ 10 + 7) = 4⇥ 2⇥ 10⇥ 10 +4⇥ 7⇥ 10 + 3⇥ 2⇥ 10 + 3⇥ 7

(b) La décomposition repose sur la distributivité de la multi-plication sur l’addition (et sur des propriétés de la numéra-tion décimale, mais cela n’était pas l’objet de la question).

(c) 53⇥ 42 = (5⇥ 10 + 3)⇥ (4⇥ 10 + 2) = 5⇥ 4⇥ 10⇥ 10 +5⇥ 10⇥ 2 + 3⇥ 4⇥ 10 + 3⇥ 2)53⇥ 42 = 20⇥ 100 + 22⇥ 10 + 653⇥ 42 = 2226

3. (a) (4 + 3)⇥ (2 + 7)� 4⇥ 2� 3⇥ 7 = 4⇥ 2 + 4⇥ 7 + 3⇥ 2 +3⇥ 7� 4⇥ 2� 3⇥ 7= 4⇥ 7 + 3⇥ 2.

(b) 53⇥ 42 = (5⇥ 10 + 3)⇥ (4⇥ 10 + 2) = 5⇥ 4⇥ 10⇥ 10 +5⇥ 10⇥ 2 + 3⇥ 4⇥ 10 + 3⇥ 253⇥ 42 = 5⇥ 4⇥ 100 + (5⇥ 2 + 3⇥ 4)⇥ 10 + 3⇥ 253 ⇥ 42 = 5 ⇥ 4 ⇥ 100 + ((5 + 3) ⇥ (2 + 4) � 5 ⇥ 4 � 2 ⇥3)⇥ 10 + 3⇥ 253⇥ 42 = 20⇥ 100 + (48� 20� 6)⇥ 10 + 653⇥ 42 = 2000 + 220 + 6 = 2226.

Partie B : Autour de la multiplication en ligne de deux nombres àdeux chiffres

1. (a) N1 = a⇥ 10 + b


(b) N2 = c⇥ 10 + d.

2. (a) N1⇥N2 = (a⇥ 10 + b)⇥ (c⇥ 10 + d) = a⇥ c⇥ 10⇥ 10 +a⇥ d⇥ 10 + b⇥ c⇥ 10 + b⇥ d

• a⇥ c carrés de 10⇥ 10

• a⇥ d rectangles de 10⇥ 1

• b⇥ c rectangles de 1⇥ 10

• b⇥ d carrés de 1⇥ 1

(b) Un rectangle ainsi découpé représente :• a⇥ c centaines• a⇥ d+ b⇥ c dizaines• b⇥ d unités

3. (a+ b)⇥ (d+ c) = a⇥ d+ a⇥ c+ b⇥ d+ b⇥ cLe nombre de dizaines vaut donc : a ⇥ d + b ⇥ c = (a + b) ⇥(d+ c)� a⇥ c� b⇥ d

L’esprit de la question 3a de la partie A était de faire un déve-loppement permettant non seulement de constater l’égalité, maisaussi de comprendre pourquoi elle est valable quels que soient leschiffres en jeu ; et l’esprit de la question 3 de la partie B était d’endonner une démontration algébrique plus formelle. De nombreuxétudiants se sont contentés, pour la question A 3a, de calculer lesdeux expressions et d’en constater l’égalité. On ne saurait leurdonner tort, car l’énoncé, tel qu’il était rédigé, n’en exigeait pasplus.


Exercice 1

1. Dividende : 603, diviseur : 45, quotient : 13, reste : 18.Le diviseur ne pouvait être 13 et le quotient 45, car 18 n’estpas strictement inférieur à 13.

2. 1 6 3 2 4�1 6 03 2�3 2

0 4� 04

3 25 1 0


3. 16324 = 32⇥ 510 + 4On a donc 16334 = 32⇥510+14 le quotient est 510 et le reste14.On a également 16364 = 32 ⇥ 510 + 44 et donc 16364 =32⇥ 511 + 12 soit un quotient de 511 et un reste de 12.

De nombreux étudiants ont commis l’erreur classique d’omettrede poser le 0 final dans la division, obtenant ainsi 51 pour quo-tient à la deuxième question. Une petite vérification d’ordre degrandeur aurait montré que ce résultat est impossible : sans cal-cul précis, on voit que 51 ⇥ 32 doit être de l’ordre de 1500 ou1600. D’ailleurs, certains de ces étudiants ont fini par répondre,à la troisième question, que le quotient et le reste dans la divi-sion de 16 334 par 32 étaient respectivement 51 et 14 (ce quiest faux mais cohérent avec le résultat erroné précédent), et quele quotient et le reste dans la division de 16 364 par 32 étaientrespectivement 511 et 12, ce qui est vrai mais incohérent avec lerésultat précédent.

Exercice 2

Dans tout cet exercice, il était question de géométrie déductive,puisqu’on demandait des démonstrations. Il n’était donc pas ques-tion de démontrer, par exemple, que tel quadrilatère est un rec-tangle en vérifiant à l’équerre que ses quatre angles sont droits, oupire, en l’affirmant purement et simplement (peut-être par pureperception sur la figure).

1. Voici la figure.


O

O0

I

J

L

L0

K

K0

H

2. (a) [OI], [OJ ] et [OO0] sont trois rayons du cercle C, doncOI = OJ = OO0.De même, [O0I], [O0J ] et [O0O] sont trois rayons du cercleC 0, donc O0I = O0J = O0O.Par transitivité, IO = OJ = JO0 = O0I, ce qui prouveque IOJO0 est un losange.


Certains étudiants ont préféré démontrer que les diago-nales de ce quadrilatère étaient perpendiculaires entreelles et se coupaient en leur milieu. En effet, démon-trer cela aurait bien suffi, puisqu’un quadrilatère qui acette propriété est bien nécessairement un losange. Ce-pendant le raisonnement de ces étudiants a souvent étéle suivant : « I et J sont par construction tous les deuxéquidistants de O et O0 ; donc la droite (IJ) est la mé-diatrice du segment [OO0]. Donc les diagonales [IJ ] et[OO0] du quadrilatère OIO0J sont perpendiculaires entreelles et se coupent en leur milieu. ». Ce raisonnement estcorrect jusqu’à son avant-dernière phrase. En effet, si ladroite (IJ) est la médiatrice du segment [OO0], cela re-vient à dire qu’elle est perpendiculaire à ce segment etle coupe en son milieu ; mais cela ne veut pas dire que lesegment [OO0] coupe le segment [IJ ] en son milieu.

(b) Comme IOJO0 est un losange, ses diagonales [IJ ] et [OO0]sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu. Dansle triangle IHO rectangle en H on a :

IO = r et OH =OO0

2=

r

2D’après le théorème de Pythagore on a : OI2 = HI2+HO2

On a donc :

IH2 = OI2 �HO2

= r2 � (r

2)2

= r2 � r2

4

= 3⇥ r2

4

D’o ù IH =

p3⇥ r

2et donc IJ = 2⇥ IH =

p3⇥ r

3. Les diamètres [IL] et [JK] ont la même longueur, et le mêmemilieu O. Les diagonales du quadrilatère IKLJ sont donc demême longueur et se coupent en leur milieu, c’est donc unrectangle.

4. (a) Voici plusieurs preuves possibles ; il est évident que les plussimples sont la première ou surtout la deuxième, mais nousen proposons d’autres parce que ce sont des pistes qu’ontsuivies certains étudiants :


i. De la même manière, on démontre que IJL0K 0 est unrectangle. Il en vient :(IJ) ? (LJ) et (IJ) ? (JL0). Les droites (LJ) et(L0J) sont donc parallèles. Comme elles ont un pointcommun elles sont confondues. Les points L, J et L0

sont alignés.ii. De la même manière, on démontre que IJL0K 0 est

un rectangle. Il vient que les angles ‘LJIet ‘IJL0 sontdroits, donc que l’angle ’LJL0 est plat. Les points L, Jet L0 sont donc alignés.

iii. Il était de même possible de prouver que l’angle ’LJL0

est plat parce que les trois angles ‘LJO, ’OJO0 et ’O0JL0

sont des angles de 60 degrés. Mais attention, ce n’estpas si évident :• Par construction, le triangle OJO0 est équilatéral.

Donc ’OJO0 = 60°.• Par construction, le triangle OLJ est isocèle en O.

Mais parce que le quadrilatère IOJO0 est un lo-sange, on a (IO0)//(JO) Donc, les angles ‘LOJ et’OIO0 sont égaux, car correspondants pour ces deuxparallèles et la sécante (IO). Or IOO0 est lui aussiéquilatéral, donc ’OIO0 = 60°, donc ‘LOJ = 60°.Donc LOJ est un triangle isocèle dont un angle estde 60 degrés : il est alors connu que c’est un triangleéquilatéral, donc ‘LJO = 60°.

• Par un raisonnement analogue, ’O0JL0 = 60°Cette piste pouvait donc être suivie, mais, à moinsqu’un raisonnement plus simple pour montrer que ‘LJO =60° nous échappe, elle était assez compliquée à suivrejusqu’au bout.

iv. Enfin, certains ont tenté d’utiliser le théorème de Tha-lès dans le triangle LIL0. Il était en effet possible del’utiliser, sous forme de la réciproque du théorème de ladroite des milieux, mais ici aussi c’est assez compliqué.Dans ce triangle, O est, par construction, le milieu ducôté [IL]. Donc la parallèle au côté [IL0] passant parO coupe le côté [LL0] en son milieu M : nous allonsprouver que M = J , ce qui prouvera que J est sur ladroite (LL0), et donc que L, J et L0 sont alignés.D’abord [OM ] mesure la moitié de [IL0], soit r. Mais


le quadrilatère IOJO0 étant un losange, (IJ)//(IO) =(IL0). Donc la droite parallèle au côté [IL0] passantpar O n’est autre que (OJ). Sur cette droite, se trouvedonc le point M , et on peut même affirmer qu’il est surla demi-droite [Oi), car par construction ’IOM et ‘IOJsont le même angle. On sait que OM = r.. Mais onsait aussi que OJ = r. Donc M est sur la demi-droite[OI) à la même distance r de O que J : ces deux pointssont donc bien confondus.

De la même manière on démontre que K, I etK 0 sontalignés. IKLJ est un rectangle, donc (IK) ? (KL). (IK)et (KK 0) sont confondues, donc (KK 0) ? (KL).De même : (KL) ? (LL0) et (K 0L0) ? (LL0).Le quadrilatère LL0K 0K possède trois angles droits, c’estdonc un rectangle.

(b) LL0K 0K est un rectangle, ses sommets sont donc situés surle cercle dont le centre est l’intersection de ses diagonales.

Pour la dernière question, de nombreux étudiants se sontcontentésd’affirmer que les quatre points étaient sur un cercle de centre H.C’est vrai, mais rien dans ce qui précède ne permet de l’affirmersans preuve. On n’a jamais démontré que ce point est l’intersec-tion des diagonales du rectangle KLL0K 0, qui n’ont jamais étéévoquées, pas plus que les longueurs HK,HL, HL0 et HK 0.

Exercice 3

1. Un quadrilatère qui a ses diagonales perpendiculaires est unrectangle. : Faux, contre exemple :

On aurait pu prendre ausi un losange ou un « cerf-volant » (non


carrés).

De nombreux étudiants ont répondu que l’affirmation estfausse en le justifiant comme suit : « Faux, car un rectanglen’a jamais ses diagonales perpendiculaires entre elles », cequi est faux, ou « Faux, car un rectangle n’a jamais ses dia-gonales perpendiculaires entre elles, sauf si c’est un carré »,ce qui est vrai, mais n’est pas un argument correct pour jus-tifier que l’énoncé est faux. Ceci justifierait la fausseté del’énoncé « Tout rectangle a ses diagonales perpendiculairesentre elles », mais non celle de l’énoncé « Tout quadrilatèrequi a ses diagonales perpendiculaires entre elles est un rec-tangle ».D’autres ont écrit que tout quadrilatère qui a ses diagonalesperpendiculaires entre elles est un losange : ceci est faux (etne vient même pas formellement contredire l’énoncé).

2. Tous les multiples de 3428 sont des multiples de 4 : Vrai. 4divise 3428 (parce que 3428 = 4 ⇥ 857 ou par application ducritère de divisibilité par 4 en base 10 : un nombre est unmultiple de 4 si et seulement si le nombre formé par ses deuxderniers chiffres (en base 10) est un multiple de 4 : c’est le casici, puisque 28 est multiple de 4) ; donc 4 divise 3428⇥K pourtout K.


Situation 1

1. • Calcul par mutiplication (4⇥ 3)• Calcul par additions réitérées (4 + 4 + 4)• Dénombrement en utilisant une représentation figurative• Dénombrement par surcomptage 1, 2, 3, 4 puis 5, 6, 7, 8

puis 9, 10, 11, 12.• etc.

2. La taille des nombres devrait faire disparaître les procédurespré-calculatoires (schéma, comptage sur les doigts. . .) et ame-ner les élèves à poser une multiplication et / ou une additionà 23 termes. Dans ce dernier cas, la procédure est longue ethasardeuse, mais elle aurait le mérite de faire appel au cal-cul. D’ailleurs, ainsi que lu sur une copie d’étudiant, des élèvesqui auraient précédemment calculé 4 + 4 + 4 et se rendraientcompte que le calcul analogue 4 + 4 + 4 + . . . 4 (23 fois) seraitlong et pénible, pourraient calculer 23 + 23 + 23 = 23 :


• soit parce qu’ils connaissent le concept de multiplicationet savent qu’elle est commutative. Il est alors probableque s’ils ont calculé 4 + 4 + 4 pour l’exercice initial, c’estqu’ils savaient que c’est 4 multiplié par 3, mais qu’ils neconnaissent pas les tables.

• soit parce qu’ils ont changé de point de vue sur la situa-tion et considéré que les bonbons ont été distribués un àun, donc que le distributeur a fait 4 tours pendant chacundesquels il a distribué 23 bonbons. C’est d’ailleurs une ma-nière de démontrer la commutativité de la multiplicationlorsqu’on la considère sous le point de vue « multiplication= addition itérée ».

3. Avec la valeur 4, les élèves peuvent utiliser leur connaissancedes tables pour voir directement que 36 est dans la table de 4,et que, puisque 4⇥ 9 = 36, on pourra placer 9 images. Avec lavaleur 5, 36 n’étant pas dans la table de 5, les élèves ne peuventpas déterminer directement le résultat. Procédures correctes :

• Comptage de 5 en 5 + dénombrement : 5 aimants pour1 image, 10 aimants pour 2 images, 15 aimants pour 3images, 20 aimants pour 4 images, 25 aimants pour 5images, 30 aimants pour 6 images, 35 aimants pour 7images.

• Pose de la division (attention à l’interprétation du reste)• Représentation figurative puis dénombrement

Situation 2

1. Cet exercice permet d’évaluer les connaissances et compétencessur l’aspect décimal de la numération et sur son aspect posi-tionnel :

• on peut décomposer la collection en un nombre maximumde paquets de dix (d) et en nombre d’unités restantes (u).

• ensuite on peut résumer ces informations par l’écritured’un nombre à deux chiffres dont le 1er chiffre de droiteest u et le deuxième chiffre à partir de la droite est d.

2. • L’élève A effectue des groupements par petits paquetsmais pas par paquets de dix ; elle donne la bonne réponse37. L’élève A ne peut donc pas utiliser ses groupementspour trouver directement le chiffre des dizaines. Elle par-vient à additionner correctement les nombres d’arbres pré-sents dans chaque paquet, trouve trente-sept arbres en


tout et elle est capable de traduire ce mot-nombre par37 (mais on ne sait pas comment : ce peut être parcequ’elle sait que trente-sept, c’est trois dizaines et sept uni-tés, mais ce pourrait aussi être parce que « quand on en-tend trente, il y a trois dizaines », ou parce que « quandon entend trente, on est dans les nombres qui commencentpar 3 » (voir « Pour en savoir plus »plus bas). Notons queles deux séries de paquets de six et de quatre laissent pen-ser qu’elle a essayé d’utiliser des dizaines pour trouver paradditions successives le nombre total d’arbres.

• L’élève B décompose la collection en un maximum de pa-quets de dix et en unités restantes. Elle obtient donc troispaquets de 10 et sept arbres isolés. On peut faire l’hy-pothèse quelle sait qu’il s’agit alors de trois dizaines etsept unités, qu’elle connaît le principe de numération deposition et écrit donc le nombre ayant 3 pour chiffre desdizaines et 7 pour chiffre des unités. Cependant, ainsi quel’ont fait observer certains étudiants, le fait qu’elle écrive« 10 + 10 + 10 + 7 = 37 » permet d’être plus nuancé :elle peut avoir en effet calculé mentalement (voir « Pouren savoir plus » plus bas) « dix plus dix égale vingt, plusencore dix ça fait trente, plus encore sept ça fait trente-sept », et avoir su traduire 37 en chiffres comme l’élève A.En d’autres termes, elle a compris l’intérêt des paquets dedix, parce qu’elle sait additionner des dizaines (peut-êtreparce qu’on l’a habituée à compter de dix en dix), ellesait que trente plus sept c’est trente-sept, elle sait écriretrente-sept en chiffres, mais cela ne veut pas dire pour au-tant qu’elle a acquis la notion abstraite de dizaine et quel’écriture 37 s’explique par le fait que c’est 3 dizaines et 7unités ; mais elle n’en est sans doute pas loin.

• L’élève C effectue un maximum de paquets de cinq ; elleobtient 7 paquets de cinq et 2 unités ; et elle écrit unnombre à deux chiffres dont le chiffre des unités est 2 et lechiffre des dizaines est 7 : 72 . Elle commet une erreur surl’aspect décimal de la numération ( ses groupements nepeuvent donner directement le nombre de dizaines) maiselle a compris l’aspect positionnel de la numération. Onpeut faire l’hypothèse qu’elle ne fait pas lien entre « pa-quets de dix » et « dizaines ».

• L’élève D dénombre la collection par comptage-numérotageet écrit correctement au fur et à mesure les nombres de


la file numérique en chiffres. Cependant, certains arbresn’ont pas d’étiquette-nombre donc on peut faire l’hypo-thèse qu’elle a oublié de compter certains arbres donc sonrésultat 35 est erroné.

Remarque :

En ce qui concerne les compétences et connaissances évaluées,d’autres réponses pouvaient être acceptées. Toutefois, elles de-vaient impérativement tenir compte de la taille du nombred’arbres à dénombrer et du fait qu’il fallait l’écrire en chiffres.Ainsi de nombreux étudiants se sont focalisés sur le dénombre-ment d’une collection et notamment la compréhension de l’aspectcardinal du nombre, qui est plutôt une compétence de cycle 1 (onest clairement au cycle 2).


Pour en savoir plus. . .

La numération de position en chiffres présente deux aspects :

• Un aspect quantitatif : trente-sept s’écrit 37, parce que c’esttrois dizaines et sept unités.

• Un aspect algorithmique : on peut « engendrer » la liste desnombres écrits en chiffres sans aucune référence à une quan-tité qu’ils représentent, à la manière d’un compteur : je faistourner seule la roue des unités, mais quand celle-ci passede 9 à 0, elle entraîne avec elle la roue des dizaines quiva elle aussi avancer d’un cran, elle-même va entraîner laroue des centaines quand elle passe de 9 à 0, etc. On re-trouve cet aspect aussi dans la numération orale : quand ilssavent compter jusqu’à trente-neuf, par exemple, beaucoupd’enfants comprennent qu’il leur suffit de demander com-ment s’appelle le nombre suivant (quarante) pour pouvoirdéduire de suite les noms des nombres suivants : quarante-et-un, quarante-deux, etc., sans avoir nécessairement conscienceque trente-neuf c’est trois dizaines et neuf unités, alors quequarante c’est quatre dizaines.

La différence entre ces deux aspects est sans doute difficile à per-cevoir pour un adulte qui (sans nécessairement être doué en ma-thématiques) est très familier avec les nombres : quand je saisque le nombre qui suit trente-neuf est quarante, ou encore que lenombre qui suit 39 et 40, est-ce que je raisonne en termes de « lenombre qui vient après », ou en termes de quantité (un de plus) ?En réalité, ni l’un ni l’autre : c’est devenu automatique.C’est dès lors sans doute plus facile de comprendre la différenceentre ces deux aspects si on travaille avec un système de numéra-tion qui nous est moins familier, comme le système en base 4. Jepeux très facilement, et presque sans réfléchir, écrire le début dela suite des nombres en base 4, sans (trop) de risque d’erreur :

1(4), 2

(4), 3

(4), 10

(4), 11

(4), 12

(4), 13

(4), 20

(4), 21

(4), 22

(4), 23

(4), 30

(4), 31

(4),

32(4), 33(4), 100

(4), 101

(4), 102

(4), 103

(4). . .

selon le principe du compteur, mais en n’utilisant que les chiffresde 0 à 3 et en considérant donc que c’est le passage du 3 au 0 quientraîne la « roue » suivante du compteur. Pourtant, n’étant pasfamilier avec cette écriture des nombres, je n’ai a priori aucuneidée de la quantité que 103

(4) représente, et il me faut réfléchir àla signification de cette écriture pour trouver que cela représente1⇥ 42 + 0⇥ 4 + 3 = 16 + 0 + 3 = 19.Les enfants, eux, dans le cadre de la base 10 évidemment, dé-couvrent ces deux aspects en même temps, tout en apprenant àprononcer ces nombres – et c’est la prononciation qui vient en pre-mier, avec tout son caractère « algorithmique » (ils demandentsouvent, par exemple, « Après trente-neuf, c’est quoi ? », et lors-qu’on leur répond « quarante », ils sont capables de continuerparce qu’ils ont compris la logique ; plus tard, il en va de mêmepour l’écriture chiffrée. Ce qui fait qu’un élève peut très bien sa-voir écrire « trente-sept » en chiffres sans avoir conscience quec’est trois dizaines et sept unités. Le langage peut aussi aider ici :dans « trente », l’élève entend le « tr » de « trois » (notammentsi on le lui a fait observer) et cela l’aide à retenir que les nombresdans la trentaine s’écrivent avec un 3.


Situation 3

1. 42,9

2. C’est l’aspect positionnel de la numération qui est évalué,en particulier la valeur du chiffre en fonction de son rangdans l’écriture d’un nombre décimal ainsi que la connaissancedes mots correspondants aux unités de numération : unités,dixièmes, centièmes, dizaines, centaines.

3. • Elève A : il a trouvé les trois chiffres dans l’ordre mais ila oublié d’écrire la virgule ; on peut faire l’hypothèse qu’ila utilisé un tableau de numération et a oublié de placer lavirgule en transcrivant son résultat.

• Elève B : Il a calculé le double de 2 et trouvé le chiffredes centièmes dans 135,798 mais il a confondu la placedu chiffre des dizaines et celui des dixièmes en écrivantla réponse . Il a peut-être développé des automatismesdans la lecture des nombres, mais pas dans l’écriture desnombres.

• Elève C : Il a calculé le double de 2, il sait qu’après lechiffre des unités il y a une virgule. Il a confondu le chiffredes centièmes et celui des centaines de 135,798 . Il sembleconfondre les mots centièmes et centaines.

De nombreux étudiants ont répondu à la deuxième question quecet exercice permet dévaluer la compréhension de ce qu’est unnombre décimal : c’est un contresens. Il n’est nullement ques-tion ici de cela ; il est seulement question de savoir où trouverou où placer les unités, les dizaines, les centaines, les dixièmes etles centièmes dans l’écriture d’un nombre décimal (pouvant allerjusqu’au millième). Bien sûr, il serait vain de savoir cela sans com-prendre ce que cela signifie, mais ce n’est pas cette compréhensionqui est en jeu ici.D’autre part, en ce qui concerne l’erreur commise par le premierélève, de nombreux étudiants ont répondu que l’élève n’a pascompris ce qu’est un nombre décimal, ou encore qu’il confond lesdécimaux avec les entiers. La piste du simple oubli de la virgule estbeaucoup plus probable : il paraît invraisemblable qu’il ait pu êtrecapable de repérer le chiffre des centièmes dans 135,798, comprisqu’étant le chiffre des dixièmes dans le nombre recherché il seplacerait en dernier lieu (alors qu’au départ on ne sait pas combienil y a de chiffres après la virgule), compris que le chiffre des unitésserait au milieu, sans savoir que ces deux chiffres doivent êtreséparés par une virgule.


Situation 4

1. (a) Il fallait aussi entourer les carrés 1 à 7, qui sont des rec-tangles !Certains étudiants ont répondu qu’ils hésitaient à lesentourer ou non, étant conscients que les carrés sontdes rectangles, mais qu’à l’heure actuelle on n’attendpas des élèves de maternelle qu’ils le sachent ; ou, end’autres termes, qu’ils se demandaient si ce qui étaitattendu est la réponse mathématique correcte, ou la ré-ponse qu’on peut attendre d’un élève de maternelle. Ilva de soi qu’une telle réponse était valide.

(b) Il s’agit d’une activité de tri, l’élève doit repérer parmiun ensemble de figures celles qui correspondent au cri-tère demandé (carré, cercle, triangle). En maternelle, lesélèves travaillent dans le cadre d’une géométrie perceptive(sans instruments). En référence aux programmes, on peutmettre en avant les compétences suivantes :

• Distinguer et des formes planes (carré, triangle, cercle)• Trier (classer) des objets en fonction de caractéris-

tiques liées à leur forme

On est en maternelle, la géométrie y est exclusivement per-ceptive. Il ne pouvait donc être question, comme de nobreuxétudiants l’ont écrit, de vérifier que les figures satisfaisaientbien les propriétés des différents types de figures demandées.

2. (a) Les carrés 2 à 6 ne sont pas en position prototypique etsont donc plus difficiles à identifier pour les élèves.

(b) Parmi les 6 triangles, le numéro 1 est le seul qui est à la foisen position prototypique (pointe en haut et base parallèleau bord de la feuille) et qui soit également équilatéral.Dans le résultat 1, c’est la difficulté des élèves à repérer descarrés en position non prototypique qui est mise en avant.Ici, il est possible de questionner l’origine des oublis : est-ce que c’est le fait que les triangles 2 à 6 ne soient paspositionnés pointe vers le haut ou est-ce que c’est le faitqu’ils ne soient pas équilatéraux ? Le résultat 2 va doncdans le sens du premier dans le sens o ù c’est bien lesreprésentations stéréotypées des élèves qui sont à l’originedes oublis. Cependant il peut s’agir ici d’un prototype deposition ou de forme.


(c) Le cercle étant finalement toujours en position prototy-pique, le résultat 3 va dans le sens des deux premiers ré-sultats à ce sujet. On peut cependant questionner l’idéed’un prototype de taille (il faut que le cercle soit suffisam-ment grand pour être considéré comme un cercle) pour lesélèves qui n’ont pas reconnu le cercle dans les figures lesplus petites.

3. (a) D’un point de vue géométrique, on pourrait penser que lerectangle, qui a plus de points communs avec le carré, aplus de chance d’être confondu avec le carré. Ilest doncsurprenant que les résultats montrent que le carré est fi-nalement peu confondu avec le rectangle.

(b) Explications possibles :• En maternelle, les élèves pratiquent une géométrie per-

ceptive (sans instruments), ils ont une vision globale(en surfaces) et ne décomposent pas les figures élé-mentaires en points et segments. Par conséquent, ilest donc plus facile pour eux de s’attacher à vérifierdes caractéristiques portant sur les longueurs plutôtque sur les angles (le travail sur les angles est plutôtdu ressort du cycle 2 voire 3). Les quadrilatères et pa-rallélogrammes distractifs de la fiche ont des côtés quipeuvent sembler visuellement de même longueur.

• De plus, les parallélogrammes et les quadrilatères quel-conques sont des figures moins courantes et moins étu-diées. La disctinction rectangle / carré est, de ce fait,sans doute plus travaillée par les enseignants.

4. Les figures distractrices sont globalement symétriques et serapprochent de la forme des triangles prototypiques.Les penta-gones, par exemple, ont deux côtés de taille si petite que per-ceptivement, ces deux côtés et celui auquel ils sont adjacents se

confondent en un seul côté.

La question pouvait être comprise de deux manières par lescandidats : s’agissant de « sélection des figures distractives »,on pouvait comprendre soit le choix par les chercheurs de cesfigures pour leur test, soit les raisons pour lesquelles les élèvesont choisi ces figures. Quelle que soit la façon de comprendrela question, les idées principales étaient les mêmes.

5. En cycle 2 on passe d’une géométrie perceptive à une géométrieinstrumentée. L’élève devra utiliser les instruments de géomé-trique (instrument de mesure de longueur et gabarit d’angledroit) pour vérifier ses perceptions.



2018-2019 — SESSION 2

UE 1


1. Il faut que les diagonales se coupent perpendiculairement enleur milieu et qu’elles soient de même longueur.

2.41

6=

36

6+

5

6= 6 +

5

6.

3. Écrire 7,015 :- en mots-nombres : sept, un centième et 5 millièmes (ou septet quinze millièmes) ;- sous la forme d’une fraction décimale :

7015

1000;

- sous la forme d’un entier et d’une fraction décimale inférieureà l’unité : 7 +

15

1000.

4. Deux droites perpendiculaires à une même troisième droitesont parallèles.* tracer une droite à l’aide de la règle.* positionner un côté de l’équerre (adjacent à l’angle droit) lelong de la droite.* positionner la règle le long du deuxième côté de l’équerre* faire glisser l’équerre le long de la règle.* tracer la droite à l’aide du côté libre de l’angle droit.Ou à la place des deux derniers points :* enlever l’équerre et tracer la droite perpendiculaire).* répéter les deux dernières étapes à partir de la droite obtenue.Deux triangles sont

semblables si ils ontles mêmes angles ;on écrira alors queles triangles XY Z etTUV sont semblables(l’ordre des pointsétant important) si leségalités ÷XY Z = ’TUV ,÷Y ZX = ’UV T et÷ZXY = ’V TU sontvérifiées ; et elles lesont dès que deuxd’entre elles le sont.

Exercice 2 :

Les triangles ABC et HAC sont rectangles en A et en H respec-tivement, par hypothèse et par définition de H ; et ils ont l’angleen C en commun puisque H est sur [BC]. Ils sont donc semblables.


A C

B

H

Exercice 3 :

1. Le tour est toujours réussi si le magicien choisit A = 20 (voirtableau).

N A�N A+N1 19 21

2 18 223 17 234 16 24

5 15 256 14 26

2. Faux. Par exemple, si A = 12 et pour N = 1, les trois nombressont 1, 13 et 11 et aucun n’est multiple de 3.

3. Si A n’est pas un multiple de 3 alors A s’écrit sous la forme3k + 1 ou 3k + 2 où k est un entier naturel.Si A = 3k + 1 alors on a :

N A�N A+N1 3k 3k + 22 3k � 1 3k + 33 3k � 2 3k + 44 3k � 3 3k + 55 3k � 4 3k + 66 3k � 5 3k + 7

3k, 3k + 3, 3k � 3 et 3k + 6 sont des multiples de 3.Si A = 3k + 2 alors on a :


N A�N A+N1 3k + 1 3k + 32 3k 3k + 43 3k � 1 3k + 54 3k � 2 3k + 65 3k � 3 3k + 76 3k � 4 3k + 8

3k + 3, 3k, 3k + 6 et 3k � 3 sont des multiples de 3.Dans tous les cas on trouve un multiple de 3. L’affirmation estvraie.

Exercice 4 :

Nommons quelques points de la figure comme suit :

6 mètres6 mètres

6m

ètre

s6

mèt

res

M

N

3 mètres

CD

A B

F

E


La diagonale d’un carréABCD de côté c a pourlongueur c

p2. On peut

retenir ce résultat parcœur (et le citer) oule redémontrer en utili-sant le théorème de Py-thagore dans le triangleABC rectangle en B.

ABCD est un carré de côté 12 mètres. La diagonale AC vaut 12p2

mètres.

Les égalités d’angles font que tous les angles aigus de cette figuresont des angles de 45 degrés. Ainsi, AEF est un triangle isocèlerectangle en A de hauteur (AN).EAN est donc un triangle rectangle isocèle.On en conclut que EN = 1, 5 mètres donc NA = 1, 5 mètres.

La distance MN entre deux maisons opposées vaut 2⇥AN+AC.Cette distance vaut donc 3 + 12

p2 mètres.

UE2

Exercice 1 :

Première partie : Analyse de réponses

1. Quand il ne peut pas soustraire un nombre à un nombre pluspetit, il commute les nombres (or la soustraction n’est pascommutative).

2. De plus dans le 4ème cas, la soustraction porte sur des nombresqui n’ont pas le même nombre de chiffres et on constate alorsqu’il soustrait les chiffres de gauche à droite sans tenir comptede l’unité de numération qu’ils représentent ; par exemple ilcalcule 6 � 5 sans tenir compte du fait que 6 correspond à 6centaines et 5 à 5 dizaines.

Deuxième partie : Techniques de soustraction posée

1. (a) Cette leçon permet de découvrir que la différence entredeux nombres ne varie pas si on leur ajoute une mêmequantité (invariance des écarts par ajout d’une même quan-tité).

(b) La méthode par compensation ou méthode traditionnelleutilise cette propriété.

(c) 3u� 6u impossible. J’ajoute 10 unités aux 3 unités de 273et j’ajoute 1 dizaine aux 5 dizaines de 56 ; or 10 unités= 1 dizaine donc j’ai ajouté la même quantité aux deuxnombres à soustraire. Donc d’après la propriété précédentela différence des deux nombres est inchangée.


(d) On peut utiliser de la monnaie factice.On donne à l’élève 273 euros sous la forme de 2 billets de100 euros, 7 billets de 10 euros et 3 pièces de 1 euro.On lui demande combien il lui restera s’il donne 56 eurosà un camarade. Dans la « banque »sont disponibles desrouleaux de 10 pièces de 1 euro , des billets de 10 euros.Comme il n’a que 3 pièces de 1 euro, il ne pourra pas don-ner 6 pièces de 1 euro ; il va donc emprunter à la banqueun rouleau de 10 pièces de 1 euro, il aura alors 13 piècesde 1 euro. Il pourra alors donner 6 pièces de 1 euro et illui restera 7 pièces de 1 euro.Comme il a 7 billets de 10 euros, il pourra donner 5 billetsà son camarade et il lui restera 2 billet de 10 euros.On luidemandera ensuite comment rembourser à la banque sonemprunt ; il doit 10 euros donc il rend à la banque 1 billetde 10 euros. Il aura donner en tout 6 billets de 10 euros(5 à son camarade et 1 pour compenser le rouleau de 10pièces de 1 euro).Remarque : l’emprunt s’est fait en pièces, le rembourse-ment en billet(s) : difficulté à laquelle ne prépare pas l’ac-tivité du manuel.Il lui restera 217 euros.

2. (a) 3u � 6u impossible. Pour avoir 10 unités de plus, on vacasser une dizaine de 273.273 c’est aussi 2 centaines 6 dizaines et 13 unités.

(b) On prépare 273 euros comme précédemment. On demandede donner 56 euros à un camarade et de dire quelle sommeil restera.Quand l’élève ne pourra pas donner 3 pièces de 1 euro,on lui laissera la possibilité de faire de la monnaie : ilpourra échanger à la banque 1 billet de 10 euros contre 10pièces de 1 euro ; il aura 13 pièces de 1 euro et pourra ainsidonner 6 pièces de 1 euro mais il ne restera sur la tableque 6 billets de 10 euros auxquels il devra encore retirer 5billets de 10 euros. Il lui restera 217 euros.

(c)12 19 19�3 �0 �0 12

� 9 8 32 0 1 9


3. La méthode par compensation permet une écriture simple dessoustractions posées ce qui favorise l’automatisme et la rapi-dité mais elle est assez difficile à comprendre.Un argument attendu, par exemple :* l’explication avec du matériel est peu éclairante (cf 1(d))* avec cette méthode la différence est interprétée comme unécart ; cette interprétation est plus difficile à comprendre quel’interprétation par la notion de retrait.* l’invariance des écarts par ajout d’une même quantité estd’autant plus difficile à comprendre que cette quantité est ex-primée dans deux unités de numération différentes.

La méthode par cassage ou emprunt est plus facile à com-prendre (cf 2(b)), mais l’écriture des soustractions posées peutdans certains cas s’ avérer délicate (cf 2(c)) , nuire à la rapiditéet à la lisibilité du calcul.

Exercice 2 :

Première partie :

1. Les pointillés font apparaître deux alignements et donc unautre rectangle qui facilitent la construction du trapèze . (cfquestion suivante)

2. par exemple :

• construire un rectangle ABCD tel que AB =3cm et AC= 4,5cm(Les mesures de ce programme sont les mesures vouluespar l’auteur du sujet ; elles peuvent varier si le documentn’est pas imprimé à sa taille réelle)

• placer le point E sur le segment [AD] tel que AE = 1,5cmet le point F sur le segment [BC] tel que BF = 1,5 cm

• tracer la droite (EF )

• placer à l’extérieur du rectangle : le point G sur la droite(EF ) tel que FG =0,8 cm et le point Hsur la droite (EF )tel que EH = 0,8 cm ; tracer les segments [AH] et [BG]

• facultatif : gommer les segments [AE] et [BF ], la droite(EF ) à l’exception du segment [HG]


ou tout autre programme de construction correct.

3. Cette construction :

• fait « appel à différents types de tâches ( reconnaître, vé-rifier, reproduire, construire) »

• nécessite d’établir « des relations entre les objets »( ali-gnement, perpendicularité)

• nécessite d’ utiliser des mesures de longueurs.

Deuxième partie :

1. L’élève doit observer la figure pour y prélever des informations,faire des essais, prendre des initiatives, juger de leur pertinence(utiliser les tracés utiles et rejeter les autres).

2. par exemple : Les points A, B et D sont alignés et les droites(EF ) et (BC) sont perpendiculaires.

3. Il peut :* construire la droite (d) perpendiculaire à (AB) passant parB* placer sur cette droite un point G tel que BG = 1,5 cm* construire (d0) la droite perpendiculaire à (d) passant par G* placer sur la droite (d0) le point F tel que FG =1,5 cm (etAF = 2cm)(on pourra juger inutile la précision AF = 2 cm car l’élève dis-pose du modèle pour choisir entre les deux positions possiblesdu point F )

4. Les propriétés cachées qu’il est nécessaire de trouver pour re-produire la figure B sont plus nombreuses.



2018-2019 — SESSION 1

Pour l’UE1, chacune des questions est étiquetée puis comporte entreparenthèses le niveau de classe à laquelle elle est associée.


L’énoncé de ce sujet setrouve page 203Partie A : Rep-tile 3D dodécaédrique.

1. (CM) La longueur totale de toutes les arêtes est 60 cm. Pour le voir,on peut utiliser les figures de plusieurs manières :

• Sur la figure en perspective cavalière, toutes les arêtes sontreprésentées. Celles qui sont en trait continu (arêtes vi-sibles) sont de longueur 2 cm ; et il y en a 24 pour unelongueur totale de 24⇥2 cm = 48 cm ; et celles qui sont entraits discontinues (arêtes cachées) sont de longueur 4 cm ;et il y en a 3 pour une longueur totale de 3⇥4 cm = 12/cm.Au total, cela fait 60 cm.

• Sur le patron, les arêtes intérieures sont celles qui n’ont pasété coupées pour réaliser le patron, et elles apparaissentchacune une fois sur le solide. Il y en a 9 de 2 cm et 2de 4 cm, pour un total de 9 ⇥ 2 cm + 2 ⇥ 4 cm = 26 cmEt les arêtes extérieures sont celles qui ont été découpées ;chacune apparaît deux fois. On en voit 30 de 2 cm, ce quicorrespond donc à 15 arêtes de 2 cm, et deux de 4 cm,ce qui correspond à une arête. Au total donc 34 cm quis’ajoutent aux 26 autres, soit 60 cm.

• Chaque arête étant commune à deux faces, la somme deslongueurs des arêtes du dodécaèdre est égale à la sommedes périmètres des faces, divisée par deux. Il y a 9 faces,toutes visibles, qui sont des carrés de 2 cm de côté, doncde périmètre 8 cm chacune ; et 3 faces formées de troiscarrés de 2 cm de côté, et dont le périmètre est le mêmeque celui d’un carré de 4 cm de côté, donc de périmètre 16cm chacune. Ls somme des périmètres des faces est donc


9⇥ 8 cm + 3⇥ 16 cm = 120 cm. La somme des longueursdes arêtes est donc 120 cm : 2 = 60 cm.

2. (CM) L’aire totale de toutes les faces du solide est 72 cm2. En effet, ily a comme nous l’avons vu 9 faces qui sont des carrés de 2 cmde côté (donc d’aire 4 cm2), et 3 faces qui sont constituées de3 tels carrés. On les observe d’ailleurs très bien sur le patronfourni. Cela revient à une aire équivalente à celle de 18 telscarrés, soit 18⇥ 4 cm2 = 72 cm2.

3. (CM) Le volume du solide est 32 cm3. En effet, il est constitué de4 cubes de 2 cm de côté (comme il est dit explicitement dansl’énoncé), et son volume est donc égal à celui de 4 tels cubes,soit 4⇥ 8 cm3 = 32 cm3.

4. (CM)

vue de face vue de gauche

vue de haut

5.


(a) (3eme) Un coefficient d’agrandissement agit au cube sur les vo-lumes et il faut donc 23 = 8 modèles pour constituer unsolide semblable dont tous les côtés sont deux fois pluslongs.

(b) (3eme) Avec 2 de ces dodécaèdres, on peut constituer un cube decôté 4 cm. Puis, avec 4 cubes de côté 4 cm, on constituele dodécaèdre souhaité.

Partie B : Rep-tile 2D pentagonal.

1. À propos des trois pentagones CHEFB en vert, GBFEH enjaune et CHIJK en magenta, isométriques.

(a) (6eme) Transformation qui envoie le pentagone CHEFB en vertsur le pentagone CHIJK en magenta : la symétrie ortho-gonale d’axe (CH).

(b) (5eme) Transformation qui envoie le pentagone CHEFB en vertsur le pentagone GBFEH en jaune : la symétrie centraledont le centre est le milieu du segment [EF ].

2. Le pentagone MIGBA en rouge est un agrandissement dupentagone CHIJK en magenta.

(a) (3eme) Le rapport de l’agrandissement est de 3.

(b) (3eme) AMIGBA = 32 ⇥ACHIJK = 9 ⇥ACHIJK ouAMIGBA

ACHIJK= 9

car un rapport d’agrandissment agit au carré sur les aires.

3. Le pentagone DCKJL en bleu est une réduction du pentagoneMIGBA en rouge.

(a) (3eme) Le rapport de la réduction est de2

3.

(b) (3eme)

ADCKJL =

Å2

3

ã2⇥AMIGBA

=

Å2

3

ã2⇥ 9⇥ACHIJK

= 4⇥ACHIJK

ouADCKJL

ACHIJK= 4 car un rapport de réduction agit au carré

sur les aires.


4. À propos du pentagone AMJLD.

(a) (3eme) AAMJLD = ACHIJK + ACHEFB + AGBFEH + AMIGBA +ADCKJL

Or les pentagones isométriques CHIJK, CHEFB et GBFEHont la même aire.Donc AAMJLD = ACHIJK + ACHIJK + ACHIJK + 9 ⇥ACHIJK +4⇥ACHIJK = 16⇥ACHIJK ou

AAMJLD

ACHIJK= 16.

(b) (3eme) Un rapport d’agrandissment agit au carré sur les aires, etdonc ce rapport d’agrandissment est

p16 = 4.

Tout comme les rapports de longueur des côtés des figures pou-vaient être obtenus en utilisant comme unité de mesure le côtéd’un triangle équilatéral, de même on pouvait calculer les rapportsd’aire en déterminant les aires des figures avec pour unité d’airel’aire d’un de ces triangles (et en comptant donc le nombre detriangles à l’intérieur de chaque figure). Pour les rapports d’aire,on pouvait ainsi se passer de la connaissance du principe de di-mension : si les dimensions d’une figure sont multipliées par uncertain facteur pour obtenir une figure semblable, l’aire est alorsmultipliée par le carré de ce facteur.Toutefois, on demandait bien de déduire la réponse à la dernièrequestion de la réponse précédente : on ne pouvait donc plus secontenter d’établir directement le rapport des longueurs, il fallaitle déduire du fait que le rapport des aires était 16.Rappelons aussi qu’un rapport de longueurs est un nombre sansunité : il ne s’exprime pas en centimètres, tout comme un rap-port d’aires est un nombre sans unité et ne s’exprime pas encentimètres carrés.


Exercice 1 :

On peut utiliser un tableau de proportionnalité.Soient p1 le prix du jeu de construction, p2 le prix du jeu de plateauet p3 le prix du jeu électronique, en e.

En bleu le corrigé de la question 1, en rouge de la question 2, envert celui de la question 3 et en magenta celui de la question 4. Onpeut également utiliser d’autres arguments, ou encore des produitsen croix, de sorte que dès qu’on a pu répondre à la première ques-tion, il est possible de remplir tout le tableau même sans observerles différents rapports mis en évidence ici.


p1 80 96 32 40

p2 100 120 40 50

p3 150 180 60 75

p1 + p2 + p3 330 396 132 165

p3 � p1 70 84 28 35

⇥ 1,25

⇥ 1,5 ÷ 1,5

÷ 1,25

÷ 3

÷ 2

On peut aussi résoudre le problème algébriquement comme suit :

• Prix p2 du jeu de plateau : p2 = 1, 25 ⇥ p1 (et donc p1 =p2 : 1, 25).

• Prix p3 du jeu électronique : p3 = 1, 5 ⇥ p2 (et donc p2 =p3 : 1, 5).

• Et par conséquent le prix p3 du jeu électronique vaut aussi1, 5⇥ (1, 25⇥ p1) = (1, 5⇥ 1, 25)⇥ p1 = 1, 825⇥ p1.

1. (CM) Si le prix du jeu de construction était de 80 e ,

(a) le prix du jeu de plateau serait de 100 e (on multiplie 80par 1,25, ou on lui ajoute un quart de 80 soit 20),

(b) et le prix du jeu électronique serait de 150 e (on multiplie100 par 1,5, ou on lui en ajoute la moitié soit 50).

2. (6eme) Si le prix du jeu électronique était de 180 e ,

(a) le prix du jeu de plateau serait de p2 = p3 : 1, 5 = 180 : 1, 5 =120 e ,

(b) et le prix du jeu de construction serait de p1 = P2 : 1, 25 =120 : 1, 25 = 96 e .

3. (6eme) Si le prix total p1 + p2 + p3 des trois jeux était de 132 e , onaurait p1+1, 25⇥p1+1, 875⇥p1 = 132 e, soit 4, 125⇥p1 = 132e, ou encore p1 = 132 : 4, 125 = 32e. Donc


(a) le prix du jeu de construction serait de 32 e,

(b) le prix du jeu de plateau serait de 40 e(32 plus un quartde 32),

(c) et le prix du jeu électronique serait de 60 e(4 plus la moitiéde 40).

4. (6eme) Si l’écart de prix entre le jeu de construction et le jeu électro-nique, soit p3�p1 était de 35 e, on aurait 1, 875⇥p1�p1 = 35e, soit 0, 875⇥ p1 = 35 e, ou encore p1 = 35 : 0, 875 = 40 e,et donc

(a) le prix du jeu de construction serait de 40 e,

(b) le prix du jeu de plateau serait de 50 e(40 plus un quartde 40),

(c) et le prix du jeu électronique serait de 75 e(50 plus lamoitié de 50).

Exercice 2 :

1. (3eme) 8 % de son volume équivaut à 19, 2 dm3 . Son volume équivautdonc à 12, 5⇥ 19, 2 dm3 = 240 dm3.La notation « dm » dé-

signe le décimètre, soitle dixième de mètre ; àne pas confondre avecla notation « dam »,qui désigne le déca-mètre, soit dix mètres.D’autre part, 1 m3 =1000 dm3.

2. (3eme) 1 000 dm3 pèsent 2 600 kg . Le bloc pèse donc240⇥ 2 600

1 000kg =

624 kg .


S’il n’est pas interdit d’utiliser le « tableau de conversion » poureffectuer la conversion entre les mètres cubes et les décimètrescubes, en revanche il est clair que ce tableau ne saurait servir dejustification, puisque c’est précisément parce que (entre autres)1 m3 = 1000 dm3 que ce tableau fonctionne bien. On serait endroit d’exiger de vous que vous soyez capable de justifier cetteégalité, par exemple par le schéma suivant :

Il y a 10⇥ 10⇥ 10 petits cubes dans le grand

Exercice 3 :

Il faut à l’homme 210 heures pour effectuer les 840 km.

Il marche donc à la vitesse moyenne de 4 km/h (840 : 210) .

À cette vitesse-là, il lui faudra 300 heures (1 200: 4) pour par-courir les 1 200 km.

Sachant qu’on marche 8 heures par jour, la division euclidiennede 300 par 8 donne37 jours et un reste de 4 heures, soit 37 jourset 4 heures. On pouvait aussi faire une division exacte, à conditiond’interpréter correctement la partie décimale : 300: 8 = 37, 5 ou 37jours de marche et demi, soit 37 jours et 4 heures).


De nombreux étudiants ayant obtenu la réponse 37,5 ont conclu :

• les uns, que la personne marcherait 37 jours et 12 heures :c’est une mauvaise interprétation de ce que signifiaient lesjours de marche ;

• les autres, que la personne marcherait 37 jours et 5 heures :ici, c’est une erreur mathématique sans doute plus profonde.C’est interpréter le « virgule 5 » comme signifiant 5 heures,alors qu’il signifie 5 dixièmes de jour (de marche).


Exercice 1 :

1. Ici, il s’agit de savoir associer un solide à une (au moins) deses représentations planes.

De nombreux étudiants ont évoqué la reconnaissance des pro-priétés des solides, telles que le nombre de faces par exemples.Ils ne semblent pas s’être rendu compte que les élèves ne dis-posaient pas de solides, mais de représentations planes. Nousles invitons à méditer sur l’œuvre suivante :

René Magritte, La trahison des images, Bruxelles, MuséeRoyal d’Art Moderne

D’autre part, beaucoup ont évoqué les représentations enperspective comme des « représentations en 3D » : ce lan-gage, rendu familier par l’infographie, est trompeur : il s’agitde représentations planes.

2. (a) Cet élève semble considérer une vue de face, de côté oude dessus/dessous du solide en question. On peut préciserque dans cette optique, la carré reconnu comme pyramide


doit être vu comme une vue de dessous (ou de la « base »).Remarque : on peut répondre que l’élève considère unesection du solide (en incluant les sections dans les pointsde suspension du BO), mais on ne peut pas répondreque l’élève considère une empreinte d’une face du solide(en incluant les empreintes dans les points de suspensiondu BO) car le disque n’est pas une face de la boule, saufà considérer le dessin de l’empreinte de la boule dans lesable. La notion d’empreinte est quelque peu ambiguë.

(b) i. Absence de réponse. Il aurait pu répondre H, J oumême L (car un carré est un rectangle particulier).

ii. Il a répondu J. Il aurait également pu répondre L (carun carré est un rectangle particulier).

3. (a) Cet élève semble ne considérer que les perspectives (cava-lières) de solides.

(b) i. Il a répondu M. Il aurait également pu répondre E.ii. Absence de réponse. Il aurait pu répondre G.

(c) Apparemment, il ne reconnaît sur les perspectives que lessolides en position prototypique.

4. • Cet élève déjà accepte de fournir deux réponses pour ren-seigner une unique case du tableau. .

• De plus, cet élève semble être capable d’associer deux re-présentations différentes d’un même solide (une section/empreinte/vuede face ou autre et une perspective.

Exercice 2 :

1. Il s’agit de compétences entrant dans le cadre de l’étude dela proportionnalité, comme « résoudre des problèmes relevantde la proportionnalité », « mobiliser des propriétés de linéa-rité de la proportionnalité », mais aussi associées aux nombresdécimaux, comme « calculer avec des nombres décimaux ».

2.Procédure 1 : utilisation de la propriété multiplicative de la linéarité.L’élève divise par 2 le prix pour 500 g de fromage, cequi donne 250 g de fromage à 5 e (10÷ 2 = 5).

Procédure 2 : utilisation de la propriété additive de la linéarité.L’élève ajoute les prix de 100 g et de 150 g de fro-mage, ce qui donne 250 g de fromage à 5 e (2+3 =5).


Procédure 3 : utilisation de l’égalité des rapports entre les mesures desdeux grandeurs proportionnelles, une unité étant choisiepour chacune 8 (éventuellement au moyen d’un tableau deproportionnalité), ou, en d’autres termes, utilisation del’existence du coefficient de proportionnalité entre les me-sures de ces grandeurs.

Ceci le mènera, par exemple, au calcul suivant : 250⇥ 2

100,

ce qui donne 250 g de fromage à 5 e . La propriétéutilisée est l’existence d’un tel coefficient entre deux gran-deurs proportionnelles.

Procédure 4 : Retour à l’unité, parfois appelée « règle de trois ». À par-tir du prix de 100 grammes (2 e) on déduit le prix d’ungramme (2 : 100 = 0, 02 e) puis le prix de vente de n’im-porte quelle masse, ici pour 250 g : 250⇥ 0, 02 = 5 e. Lapropriété sur laquelle cette procédure se base est la linéa-rité multiplicative, utilisée deux fois, d’abord par division,puis par multiplication.Beaucoup d’étudiants ont répondu, comme propriété uti-lisée : « Passage à l’unité ». Ce n’est pas une propriété,mais une méthode, une procédure (fondée sur une pro-priété des situations de proportionnalité, à savoir la li-néarité multiplicative).

À l’origine, l’expression « règle de trois » désignait unmode de raisonnement en trois étapes (d’où son nom)qui s’écrivait selon un déroulement bien précis, en l’oc-currence :– Cent grammes de fromage coûtent 2 e ;– Donc un gramme de fromage coûte 2 : 100 = 0, 02e ;

– Donc 250 grammes de fromage coûtent 0, 02⇥250 =5 e.

De nos jours, de nombreux enseignants appellent (histo-riquement à tort) « règle de trois » l’utilisation du pro-duit en croix, ou plus généralement la recherche d’unequatrième proportionnelle par quelque méthode que cesoit. Dès lors, nous ne pouvons que vous conseiller trèsvivement d’éviter d’utiliser cette expression dans vosexamens ou, si vous l’utilisez, de préciser de quoi il s’agit.

Procédure 5 : Recherche du prix pour une valeur intermédiaire du poids.8. Dans le cas de la monnaie, on n’a guère le choix ici : c’est l’euro.


C’est un raisonnement analogue au passage à l’unité :par exemple 100 grammes coûtent 2 e, donc 10 grammescoûtent 2 : 10 = 0, 2 e, donc 250 grammes coûtent 0, 2⇥25 = 5 e.Comme le raisonnement précédent, celui-ci se fonde sur lalinéarité multiplicative.

Les deux dernières procédures n’étaient toutefois pas dansl’esprit de la question, puisqu’elles n’utilisent pas les résul-tats déjà obtenus par l’élève.Beaucoup d’étudiants ont évoqué le retour à l’unité sous laforme suivante : 100 g coûtent 2 e, donc 50 g coûtent 1e, donc 250 g (soit 5 fois 50 g) coûtent 5e. Ce n’est pas àproprement parler ce qu’on appelle « passage à l’unité », dumois en tant que procédure répertoriée comme telle. Ce n’estpas le fait d’avoir trouvé la masse de fromage qu’on peut ob-tenir pour 1 e qui la rend efficace ici, c’est le fait de disposerdu prix de 50 g, et le fait que 250 est un multiple facile de50. La procédure n’aurait pas permis, par exemple, de trou-ver le prix de 104 g. On aurait pu appeler cette procédure« passage à l’unité » s’il avait fallu déterminer la quantitéde fromage qu’on peut obtenir pour un certain montant, parexemple 7 e, ou même 7,42 e (mais on imagine mal un clientdemander au crémier pour 7,42 e de fromage) : pour 2 e ona 100 g, donc pour 1 e on a 50 g, donc pour 7,42 e on a7, 42⇥ 50 = 371 g.

3. Il s’agit de mettre en évidence l’obstacle additif : si une gran-deur augmente de x, l’erreur classique consiste à penser que laseconde grandeur augmente aussi de x. Pour l’élève, le prix de110 g de fromage se décomposerait en « le prix de 100 g

de fromage + 10 » et le prix de 150 g de fromage se décom-poserait en « le prix de 100 g de fromage + 50 ».Il s’agit d’une erreur classique et bien répertoriée.

(a) • Il est possible de revenir à l’unité, c’est-à-dire de cher-cher le prix d’un gramme de fromage, soit 0, 02 e .Le prix de 4 grammes s’obtient à l’aide de la propriétémultiplicative de la linéarité 4⇥0, 02 e = 0, 08 e . En-fin, le prix demandé s’obtient par la propriété additivede la linéarité : 2 e + 0, 08 e = 2, 08 e .

• On peut aussi utiliser un tableau de proportionnalité et


aboutir par égalité des rapports au produit 104⇥ 2

100,

ce qui donne 104 g de fromage à 2, 08 e .(b) • Deux difficultés en cas de non utilisation de la règle

de trois : l’ordre décimal mobilisé (le centime d’euro)et le recours à trois étapes (et donc trois propriétésdifférentes associées à l’étude de la proportionnalité)dans la résolution globale du problème.

• Deux difficultés en cas d’utilisation de la règle de trois :l’ordre décimal mobilisé (le centime d’euro) et des er-reurs dans l’obtention du quotient intermédiaire peuventsurvenir (passage de l’entier 104 au décimal 1, 04, po-sition de la virgule).



2018-2019 — SESSION 2

UE 1

L’énoncé de ce sujet setrouve page 211Exercice 1

1. (a)

AABCD = a2 et AEFGH =⇣a2

⌘2

puisque ABCD et EFGH sont des carrés

AAKLM = AABCD +AEFGH

AAKLM = a2 +⇣a2

⌘2

AAKLM =5a2

4Or AAKLM = AK2 puisque AKLM est un carré

Donc AK2 =5a2

4

(b) Si K est le milieu de [CD], alors AK = a2 .

ABCD étant un carré, si K appartient à [CD], alors letriangle ADK est rectangle en D.Donc d’aprés le théorème de Pythagore :

AK2 = AD2 +DK2

AK2 = a2 +⇣a2

⌘2

AK2 =5a2

4

(c) En reportant la longueur EF à l’aide du compas, on peutplacer K au milieu de [DC].


A

D B

C

E

H

F

GK

L

M

2. (a) Puisque B est l’image de G, on peut dire que les points Bet G sont alignés avec le centre d’homothétie I. De mêmeles points C et F sont alignés avec le point I. Le point Iest donc l’intersection des droites (BG) et (CF ) :

A

D B

C

E

H

F

G

I

(b) hI multiplie les longueurs par 2 (puisque c’est dit dansl’énoncé), elle multiplie donc les aires par 4.L’aire de ABCD est a2, donc l’aire de l’image de ABCDpar hI est 4a2.Bien entendu, on pouvait aussi utiliser l’argument suivant :ABCD est un carré de côté a. L’homothétie est de rapport2 : elle va donc le transformer en un carré de côté 2a. L’airede ce carré sera donc (2a)2 = 4a2.

Exercice 2 :

Faisons si nécessaire un schéma en coupe dans le plan du méri-dien de Tokyo et d’Adélaïde :


O

Adelaïde

Tokyo

6400 km

34�35�

69� Équateur

Nous voyons donc qu’il s’agit de déterminer la longueur d’un arc Pourquoi la longueurd’un arc de cercleest-elle proportionnelleà l’angle au centre ?Tout simplementparce qu’elle vérifie lapropriété de linéaritémultiplicative. Ilapparaît évident sur lafigure ci-dessous quesi l’angle au centre estdeux, trois, quatre. . .fois plus grand, lalongueur de l’arc l’estaussi :

de cercle d’angle au centre 34� + 35� = 69� et de rayon 6400 km.Plutôt qu’utiliser une formule qu’on risque de mal retenir 9 (mêmesi ce n’est pas interdit), utilisons le fait que la longueur d’un arcest proportionnelle à son angle au centre. Or, on peut déterminerla longueur d’un carcle, qui peut être vu comme un arc de cercled’angle au centre 360�, avec la formule 2⇡r.En l’occurrence, la lon-gueur du cercle complet est donc 2⇥⇡⇥ 6 400 km ⇡ 40 212, 38 km.On a donc le tableau de proportionnalité suivant =

Angle 360� 69�

Longueur 40 212, 38 km ?

En utilisant sa méthode favorite de recherche d’une quatrième pro-portionnelle, par exemple le produit en croix, on trouvera le résul-tat : 7707,37 km, qu’on arrondira à 7707 km.

Remarque : Lorsqu’un résultat approché est demandé (en l’oc-currence au kilomètre près), il est préférable de faire les calculsintermédiaires sans arrondir, ou en arrondissant avec une précisionmeilleure que celle demandée, sans quoi les erreurs darrondi peuvents’accumuler et aboutir à une imprécision dépassant la précision de-mandée. Toutefois, dans cet exercice, on aurait pu se contenter d’ap-procher 40 212,38 par 40 212 : on aurait abouti au même résultatau kilomètre près.

9. Cette formule ne fait d’ailleurs plus partie des programes du collège.


Certains candidats ont utilisé leur culture générale : ils savaientque le tour de la Terre fait 40 000 km, et ont donc utilisé cettevaleur plutôt que calculer par la formule 40 212, 39 km, le résul-tat étant 7667 km, au kilomètre près. Certains esprits chagrinsinvalideraient cette réponse en considérant qu’il fallait utiliser lesdonnées de l’énoncé et utiliser la formule de la circonférence ducercle. Nous avons au contraire préféré valider cette réponse,

• parce que l’on ne peut certainement pas reprocher aux can-didats d’utiliser leurs connaissances,

• parce que c’est une réaction très intelligente,

• et enfin parce que cela donne un résultat plus conforme àla réalité, la donnée du rayon de la Terre ayant été arrondiedans l’énoncé pour simplifier les calculs.


Un peu d’histoire. . .

C’est au moment de l’invention du système métrique, peu aprèsla Révolution, que le mètre a été défini comme étant la quarante-millionnième partie du méridien terrestre. À l’époque, c’était doncpar définition que le méridien terrestre mesurait 40 000 000mètres, soit 40 000 kilomètres. Dès l’Antiquité, on savait com-ment déterminer cette longueur dans une unité donnée (voir parexemple la partie 2 du sujet de session 1 du semestre 1 en 2106-2017, page 117). C’est donc en déterminant la longueur du mé-ridien avec les unités de mesure de l’époque que la longueur dumètre a été définie comme quarante millionième partie de la lon-gueur du méridien (initialement 443,44 lignes de la Toise de Pa-ris) ; par la suite, un mètre-étalon a été fabriqué (ce n’était pasencore le fameux mètre-étalon du Pavillon de Breteuil à Paris)et servit d’étalon pour définir le mètre, l’affranchissant ainsi desa définition en tant que quarante-millionième partie du méridienterrestre. Aujourd’hui, on estime que ce dernier mesure environ40 070 kilomètres.Il est à noter que les besoins de la physique moderne ont renducaduque cette définition du mètre basé sur un mètre étalon, bientrop imprécise. C’est ainsi que l’auteur de ce corrigé a pu ap-prendre en 1974 que le mètre était défini depuis 1960 comme égal

à 1 650 763,73 longueurs d’onde dans le vide de la radiation cor-

respondant à la transition entre les niveaux 2p10 et 5d5 de l’atome

de krypton 86. Cette définition a été abrogée en 1983 au profitde la suivante : le mètre est la longueur du trajet parcouru dans

le vide par la lumière pendant une durée de 1/299 792 458 de se-

conde, ladite définition ayant été précisée en 2019, notamment surbase de la définition de la seconde, dont nous vous ferons grâce.Le lecteur intéressé pourra consulter la page Wikipedia consacréeau mètre.

Exercice 3 :

1. Il y a au moins un chiffre 3 dans l’écriture de chacun desnombres de 30 à 39. Dans les autres dizaines il y a un seulnombre qui s’écrit avec le chiffre 3. Il y a donc au total 19numéros qui s’écrivent avec le chiffre 3. La probabilité que lenuméro de la carte s’écrive avec le chiffre 3 est donc de 19

100 .

2. L’évènement « le numéro tiré s’écrit exclusivement avec deschiffres choisis parmi 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 » est l’évènementcontraire de l’évènement « le numéro tiré s’écrit avec au moins

https://fr.wikipedia.org/wiki/Metre

https://fr.wikipedia.org/wiki/Metre


une fois le chiffre 3 ». La probabilité que le numéro de la cartes’écrive exclusivement avec des chiffres choisis parmi 0, 1, 2, 4,5, 6, 7, 8 ou 9 est donc de 1� 19

100 soit 81100 .

3. Les nombres entiers inférieurs ou égaux à 100 qui ne s’écriventpas avec deux chiffres différents sont les nombres de 1 à 9 ainsique les nombres 11, 22, 33...99 et 100. Il a donc 19 nombresqui ne s’écrivent pas avec deux chiffres différents.La probabilité de prendre au hasard une carte dont le numéros’écrive avec exactement deux chiffres et qu’en plus ces deuxchiffres soient différents est donc 1� 19

100 soit 81100 .

4. (a) Le nombre total de triplets de cartes possibles est de 1003

soit de 1000000. Le nombre 123 correspond au cas où lepremier tirage donne la carte numérotée 1, le deuxièmecelle numérotée 2 et le troisime celle numéroté 3. Il n’ya donc qu’un seul cas qui donne 123. La probabilité deformer le nombre 123 est donc de 1

1000000 .(b) Il y a trois tirages possibles qui permettent de former le

nombre 1234 :

1ère carte 2e carte 3e carte1 2 341 23 412 3 4

La probabilité de former le nombre 1234 est donc de 31000000 .

UE2

Exercice 1 :

1. • Procédure utilisant une propriété de linéarité :Je vois que 120 grammes de beurre, c’est 6 fois plus que 20grammes. Jeanne a donc multiplié les valeurs de la recettepar 6. Elle a utilisé 4 ⇥ 6 = 24 bananes et 10 ⇥ 6 = 60grammes de sucre.

• Procédure utilisant le(s) coefficient(s) de proportionna-lité :Je vois que pour 20 grammes de beurre, il faut 10 grammesde sucre, soit la moitié. Jeanne a utilisé 120 grammes debeurre, elle a donc utilisé 120 : 2 = 60 grammes de sucre.Je vois que pour 20 grammes de beurre il faut 4 bananes :donc le nombre de bananes est le nombre de grammes de


beurre, divisé par 5. Jeanne a donc utilisé 120 : 5 = 24bananes.

Cet exemple montre bien pourquoi les programmes évitentd’insister sur les tableaux de proportionnalité comme outilsde résolution des problèmes de proportionnalité : si on peutfacilement trouver du sens à « je divise par deux la massede beurre pour trouver la masse de sucre », en revanchec’est plus compliqué à exprimer pour les bananes : diviser120 grammes de beurre par 5 ne donne pas des bananes !À l’école primaire, le tableau de proportionnalité peut bienêtre utilisé pour organiser les données et pour faire ap-

paraître des liens numériques éventuels entre elles,mais il ne doit pas être « mécanisé » : chaque case rempliedans le tableau doit l’être en utilisant un argument, non desprocédures formelles.

2. Pour 20g de beurre il faut 4 bananes.Pour 1g de beurre il faut 20 fois moins de bananes, soit 4 : 20= 0,2 bananes 10.Pour 120g de beurre il faut 120 fois plus de bananes, soit120⇥ 0, 2 = 24 bananes.Jeanne a donc utilisé 24 bananes.

Il est peu probable que cette procédure soit utilisée par un élèveen début de cycle 3, du fait que la valeur de l’unité n’est pas unnombre entier, et qu’en outre parler de fractions de bananes apeu de sens. Enfin, les repères de progressivité placent plutôtle raisonnement du passage à l’unité en CM2 qu’en CM1 11.

3. La procédure mettant en jeu la linéarité sera dissuadée car lerapport 84

20 va conduire à des calculs qui ne sont pas accessibleà des élèves de cycle 3.Le rapport de proportionnalité 10

20 même s’il n’est pas un nombreentier peut être utilisé par les élèves s’ils l’interprètent commele fait que la masse de sucre est la moitié de la masse de beurre.L’usage du rapport de proportionnalité est donc favorisé dansce cas.

4. L’erreur qui consiste à considérer que comme on a ajouté 5gde beurre, il faut aussi ajouter 5g de sucre.

10. On évitera d’écrire 420 : en effet, la fraction 4

20 prend à l’école primaire uniquement lesens « quatre vingtièmes », l’écquivalence avec « 4 divisé par 20 » n’étant vue qu’au collège.Or c’est bien de 4 divisé par 20 qu’il est question ici.

11. Ces repères n’avaient pas encore été publiés lorsque le sujet a été rédigé. Y faire référencen’était pas l’objet principal de la question.


5. En raison du nombre important de données, l’outil dont l’usagepeut être visé ici est le tableau de proportionnalité.Il permet d’organiser les données et d’extraire les nombres ducontexte de l’énoncé ce qui simplifie la reconnaissance de leursrapports. En revanche, ainsi que mentionné plus haut, àl’écoleprimaire, il ne doit pas se substituer aux raisonnements telsceux de la première question, il doit juste en être le support.

Exercice 2 :

1. (a) La notion de géométrie en jeu dans cette activité est lanotion de patron, car c’est le dessin du patron qui est laméthode la plus simple pour transmettre l’information surle nombre, la forme et la position relative des faces, quipermettra de reconstruire le solide.

(b) Le dessin peut être un patron sur lequel sont mentionnéesles couleurs des faces :

blanc

jaune

vert

bleu

noir rouge

On notera qu’il manque une précision dans ce dessin (maiscette remarque n’était pas exigée du candidat) : selonqu’on replie les faces noire et rouge vers le haut ou versle bas, on obtiendra le cube demandé, ou un cube danslequel les deux faces blanche et verte sont inversées.

(c) On fait construire les solides :


• pour valider les messages par comparaison du solideconstruit avec le solide initialement donné ;

• pour donner du sens à l’activité de rédaction de mes-sage.

2. (a) Dans l’activité précédente il fallait analyser le solide enterme de nombre de faces, de forme et de positions rela-tives des faces, alors que dans cette activité, il faut l’ana-lyser en terme de nombre d’arêtes, de nombre de sommetset de caractéristiques des sommets.

(b) 8 pailles4 connecteurs à 3 branches1 connecteur à 4 branches

(c) Si les élèves passent commande du matériel de construc-tion, il doivent anticiper le matériel dont ils auront besoin.Cela les oblige à analyser le solide pour en connaître lenombre d’arêtes ainsi que le nombre et les caractéristiquesdes sommets. Si le matériel est à disposition ils peuventprocéder par essais et erreurs, avec moins d’anticipationsans analyser aussi précisement le solide. Par ailleurs, larédaction du bon de commande met en jeu le vocabulaire« face », « arête », « sommet », ce qui n’est pas le cas si lematériel de construction est laissé à disposition.



2019-2020 — SESSION 1

PREMIÈRE PARTIE : PROBLÈME (10 points)

L’énoncé de ce sujet setrouve page 218

Partie 1 : La durée (3,5 points)

1. (a) Au format heures/minutes/secondes :

• le tiers d’une journée fait 8 heures :1

3⇥ 24 = 8 ;

• le dixième d’une journée fait 2 heures 24 minutes :1

10⇥ 24 =

24

10= 2 +

4

10= 2 +

24

60;

• le soixantième d’une journée fait 24 minutes :1

60⇥

24 =24

60.


On pouvait bien évidemment aussi utiliser des nombresdécimaux : par exemple, de dixième d’une journée, c’est2,4 heures, soit 2 heures et 0,4 heures ; ensuite , 0, 4h =0, 4⇥60min = 24min, donc finalement le dixième d’unejournée c’est 2 heures 24 minutes. De même, pour lesoixantième d’une journée on peut calculer 24 h : 60 =0,4 h = 24 minutes comme ci-dessus. En revanche :

• on ne peut accepter qu’un PE puisse croire que 0,4 h= 40 minutes (voire 4 minutes), comme nous l’avonslu sur de nombreuses copies : il s’agit d’une erreurfaite fréquemment par les élèves de cycle 3 (notam-ment pour calculer des durées), il est capital que leurmaître puisse repérer cette erreur.

• Cette méthode risque de donner des résultats moinsprécis que le travail sur les fractions, notamment s’ily a des arrondis. Par exemple si l’on demande le tiersde 10 h. La réponse exacte est : le tiers de 10 heures,c’est 3 heures et un tiers d’heure, soit 3 heures et20 minutes. Si l’on travaille avec des décimaux onva obtenir : 10 h : 3 = 3,33. . .h ; et si l’on arrondit àdeux décimales par exemple on a 3,33 h = 3 h + 0,33h, et 0, 33h = 0, 33⇥ 60min = 19, 8min. Non seule-ment on obtient une imprécision, mais en outre, sila consigne est d’écrire le résultat en heures, minuteset secondes, on se donne un travail supplémentaireinutile puisqu’il faudrait encore traduire 0,8 min ensecondes.

(b) De 10h 25min 12s à 11h on a 34min 48s et de 11h à 15h12min 5s on a 4h 12min 5s . La durée de l’événement estdonc de 4h 46min 53s.

2. (a) Une « heure décimale » vaut un dixième de 24 heures(usuelles) ou encore 24 dixièmes d’heures, soit 2h 24 min(voir question 1a).Trois heures décimales valent donc 7h 12min.

(b) De 2 hD 23minD 12 sD à 3hD, il y a 76 minD et 88 sD.De 3 hD à 6 hD 25 sD, il y a 3 hD 0 minD 25 sD.Donc au total, il y a 3 hD 77 minD 13sD.


La solution présentée ci-dessus est celle qui a été leplus spontanément utilisée par la plupart des étudiants,ou lui est semblable. C’est normal : elle transpose auxheures décimales le raisonnement qu’on a pu faire pourles heures usuelles. Mais très peu d’étudiants ont observéqu’il y avait beaucoup plus simple : le principe même detravailler avec des heures et des minutes décimales faitque la conversion entre heures décimales, minutes déci-males et secondes décimales est immédiate : par exemple,en notant respectivement hd, mind et sd ces unités :5 hd 15 mind 7sd = 5,1507 hd = 515,07 mind = 51 507

sdet par conséquent la durée demandée pouvait tout sim-plement être obtenue par le calcul

6, 0025� 2, 2312 = 3, 7713

qui se traduit par une durée de 3,7713 heures décimales,soit 3 heures 77 minutes et 13 secondes. C’est précisé-ment là l’intérêt de ces heures décimales, puisque ces cal-culs ne peuvent être effectués de même manière avec lesheures usuelles (ce qui est souvent source d’erreur chezles élèves, qui transcrivent souvent 2 h 23 en 2,23 h, d’oùl’intérêt didactique de cet exercice disciplinaire, et la re-marque faite plus haut à propos de l’erreur consistant àconsidérer que 2,4 h c’est 2 h et 40 minutes).

(c) L’horloge décimale sonne toutes les heures décimales donctoutes les deux heures (usuelles) 12 minutes (usuelles),donc à0h2h24min4h48min7h12min9h36min12h14h24min16h48min19h12min21h36minLes deux horloges sonnent ensemble à minuit et à

midi.


Il ne suffisait pas de dire (même en le prouvant, ce qui estpratiquement immédiat) que les deux horloges sonnentensemble à midi et à minuit : il fallait aussi montrerqu’elles ne sonnent pas en même temps à d’autres mo-ments.

Partie 2 : la monnaie (4 points)

1. (a) Trois quarts d’euro valent 75 centimes.Il est possible d’obtenir la somme avec par exemple

une pièce de 50 centimes, une pièce de 20 centimes

et une pièce de 5 centimes.

(b) un douzième d’euro vaut 100/12 centimes soit 25 tiers decentimes ou encore 8 centimes et un tiers de centime.Avec les pièces de monnaie, on ne peut pas obtenir

des fractions de centimes, ce n’est donc pas pos-

sible d’obtenir la somme désirée.

On pouvait bien évidemment aussi montrer que 100/12n’est pas un décimal (soit par les arguments usuels, soiten posant la division pour constater qu’on obtient uneécriture décimale illimitée), et en faisant valoir qu’avecles pièces existantes on ne peut obtenir que des valeursdécimales en euros, et même des valeurs décimales auplus au centième.Certains étudiants ont confondu un douzième d’euroavec 0,12 euro. Sauf à supposer qu’il s’agit d’une étour-derie liée au stress d’un examen, mais cependant éton-nante, nous ne saurions que conseiller à ces étudiantsde revoir d’urgence les fractions et décimaux dans desouvrages de cycle 3.

2. (a) 13 livres, 7 sous et 5 deniers valent 3209 deniers : 13 ⇥20⇥ 12 + 7⇥ 12 + 5 = 3120 + 84 + 5 = 3209

(b) • un tiers de livre vaut un tiers de vingt sous soit 6 souset 2 tiers de sous, soit 6 sous et 8 deniers ou encore 80

deniers ;• un quart de livre vaut un quart de vingt sous soit 5

sous ou encore 60 deniers ;• la moitié du tiers d’un quart de livre vaut la moitié

du tiers de 5 sous soit le sixième de 5 sous, soit 10

deniers.(c) Le plus simple était de faire le raisonnement suivant :

15 livres, 16 sous et 11 deniers, c’est moins que 16 livres


(puisque 11 deniers c’est moins d’un sou, et que 16 souset 11 deniers, c’est donc moins d’une livre ; mais on auraitaccepté que le candidat dise simplement qu’il est évidentque ce montant est inférieur à 16 livres). Or, 6 fois 16livres font 96 livres donc moins de 100 livres. Le mar-

chand peut donc acheter les six articles qui chacuncoûte moins de 16 livres.Si l’on ne pensait pas à ce raisonnement : en multipliantpar 6 on obtient 90 livres, 96 sous et 66 deniers. 66 deniers,c’est 5 sous et 6 deniers ; on a donc 101 sous ; 99 sous, c’est5 livres et 1 sou ; le coût total est donc de 95 livres, 1 souet 6 deniers, soit moins de 96 livres. L’achat est possible.

(d) Faisons comme si c’était un partage de 11 livres, 13 souset 4 deniers en 7. Partageons d’abord les livres : chacunen reçoit une, reste quatre livres, et les 13 sous et 4 de-niers. Convertissons les livres en sous, cela fait 80 sous,plus les 13, soit 93. Chacun peut en recevoir 13 et il enreste 2 (division euclidienne de 93 par 7). Il reste 2 souset 4 deniers, soit 24 + 4 = 28 deniers, divisé par 7 celadonne 4. Finalement la dépense est de 1 livre, 13 sous,

4 deniers.On pouvait bien évidemment convertir la somme en de-niers, sachant qu’une livre vaut 20 sous et un sou 12 de-niers, donc, une livre vaut 20 ⇥ 12 = 240 deniers, et 11livres valent donc 11 ⇥ 240 = 2640 deniers tandis que13 sous valent 13 ⇥ 12 = 156 deniers. Au total on a2640 + 156 + 4 = 2800 deniers. Chaque jour on dépensedonc 400 deniers. En divisant par 12 on voit que cela fait33 sous et 4 deniers, et 20 des 33 sous peuvent être conver-tis en une livre, soit 1 livre 13 sous et 4 deniers. Cetteméthode est plus fastidieuse : c’est lié au fait qu’il estplus intéressant de faire les divisions en commençant parla gauche que par la droite.

De nombreux étudiants ont écrit à plusieurs reprises « un sous ».Ce surprenant pluriel nous a étonnés.

Partie 3 : la mesure des longueurs (3 points)

1. (a) La première graduation après le zéro correspond au hui-tième de pouce :

1

8de pouce.

La douzième graduation après le zéro correspond à 1 +1

2


de pouce.(b) Le huitième de onze pouces vaut onze huitièmes de pouces,

soit 1 pouce et 3 huitièmes de pouce : 1 +3

8de pouce.

Beaucoup d’étudiants ont simplement calculé 11 : 8 =1,375. Ils ont oublié qu’il était demandé d’exprimer celasous forme d’un entier plus une fraction inférieure àl’unité. Ils auraient pu écrire

1 +375

1000

(c) Le dixième de quatre pouces vaut quatre dixièmes de pouceou encore

400

1000de pouce.

3

8de pouce vaut

375

1000de pouce (0,375 pouces)

1

2pouce vaut

500

1000de pouce donc le dixième de quatre

pouces est compris entre la graduation des3

8et celle des

1

2et est plus proche de la graduation des

3

8.

2. (a) Première méthode :(A3B3) et (AB) sont parallèles donc d’après le théorème

de Thales,A3B3

AB=

CB3

CBCB3

CB=

3

10donc on a bien A3B3 =

3

10AB.

Deuxième méthode :ABC et A3B3C sont rectangles et ont l’angle C en com-mun. Ils sont donc semblables. Leurs côtés sont donc pro-portionnels et on a ainsi

A3B3

AB=

CB3

CB. D’où A3B3 =

3

10AB.

(b) A1B1 =1

10AB

A2B2 =2

10AB

A3B3 =3

10AB

A4B4 =4

10AB

A5B5 =5

10AB


A6B6 =6

10AB

A7B7 =7

10AB

A8B8 =8

10AB

A9B9 =9

10AB

3. La mesure qu’indique la règle pour l’écartement de compasest de 5 centimètres 3 millimètres 6 dixièmes de millimètres.Aucune justification n’était demandée, mais nous donnons iciune explication pour le lecteur. Observons la figure. L’écarte-ment du compas se divise en deux parties, celle à droite de 0(en bleu, clairement 5 centimètres) et celle à gauche (en rouge,nettement moins claire). Mais si l’on regarde l’agrandissement,on voit que la partie à gauche de 0 se subdivise elle-même endeux : trois graduations représentées ici en orange, valant cha-cune 1 millimètre, soit 3 millimètres) et un « reste » en vert 12

.

12. Que les lecteurs qui utilisent la version numérique de ce document n’hésitent pas àagrandir la figure autant qu’ils le souhaitent : elle a été réalisée en format vectoriel et peutdonc être agrandie autant qu’on le veut sans perdre la moindre qualité.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

12345678910 0

Pour déterminer la longueur du segment en vert, observonsle triangle en rouge : on peut lui appliquer les résultats de laquestion précédente. Puisque le côté horizontal de ce trianglemesure 1 mm, les différents segments horizontaux mesurent(de bas en haut) 1, puis 2, puis 3, etc. dixièmes de millimètre.En particulier le segment vert, le sixième, mesure 6 dixièmesde millimètre. Au total, la mesure relevée par le compas estdonc de 5 centimètres 3 millimètres 6 dixièmes de millimètres(ou encore 5,36 cm).

DEUXIÈME PARTIE : EXERCICES (10 points)

Exercice 1 (1,5 point) :

2 5 7, 6 32,- 2 5 6 8, 0 5

1 6 0- 1 6 0

0


Le quotient de la division de 257,6 par 32 est 8,05.De nombreux étudiants se sont contentés de s’arrêter au quotient8, en ajoutant éventuellement que le quotient est 8 et le reste1,6. Rappelons que la notion de reste n’a de sens que dans ladivision euclidienne d’entiers. Ici, il s’agissait de la division dansles décimaux (ou les rationnels).

Exercice 2 (4 points) :

1. Première méthode :On prouve d’abord que les quadrilatères IJKA et IJCK sontdes parallélogrammes, par l’un des arguments suivants :

• Par le théorème de la droite des milieux (ou par la réci-proque du théorème de Thalès), le segment [IJ ] est paral-lèle au segment [AC] donc aux segments [AK] et [KC] ; demême, le segment [JK] est parallèle au segment [AB] doncaussi au segment [AI], et le segment [IK] est parallèle ausegment [BC], donc aussi au segment [JC]. De ces paral-lélismes résulte que les côtés des quadrilatères IJKA etIJCK sont parallèles deux à deux, IJKA et IJCK sontdonc des parallélogrammes.

• Par le théorème de la droite des milieux (ou par la réci-proque du théorème de Thalès suivie du théorème dans lesens direct), le segment [IJ ] mesure la moitié du segment[AC], et a donc la même mesure que les segments [AK] et[KC]. De même, le segment [IK] mesure la moitié du seg-ment [BC], donc a la même mesure que le segment [JC],et le segment [JK] mesure la moitié du segment [BA],donc a la même mesure que le segment [IA]. Il en résulteque les quadrilatères IJKA et IJCK ont leurs côtés op-posés de même longueur deux à deux, et en admettantcomme évident qu’ils ne sont pas croisés 13, ce sont doncdes parallélogrammes.

Il en résulte que l’angle ‘IJK a la même mesure que l’angle’BAC, et que l’angle ‘JIK a la même mesure que l’angle ’BCA.Dès lors, le triangle IJK a le même angle en I et en J quele triangle CAB en C et en A respectivement.. Ces trianglessont donc semblables.

13. Cette précision n’est pas exigée du candidat.


Deuxième méthode :Considérons les triangles CKJ et CAB.Ils ont l’angle en C en commun et CK/CA = CJ/CB = 1/2.Les triangles CKJ et CAB sont donc semblables (un anglecommun et le rapport des côtés homologues adjacents à l’angleégaux). Le rapport de similitude est 1/2.On a donc KJ = 1/2AB.On montre de même avec les triangles AKI et ACB queKI = 1/2CBet avec les triangles BIJ et BAC que IJ = 1/2AC.Les trois côtés du triangle IKJ sont donc deux fois plus pe-tits que les trois côtés de ABC. Les deux triangles sont doncsemblables (égalité du rapport des trois côtés homologues).

Troisième méthode :K et J sont les milieux de [AC] et [BC] donc d’après le théo-rème des milieux KJ = 1/2AB.On montre de même que KI = 1/2CB et IJ = 1/2AC.Et on conclut comme dans la première méthode que les tri-angles ABC et IJK sont semblables.

A B

C

I

K J

2. On a vu plus haut que le quadrilatère AIJK est un parallélo-gramme (si on n’a pas démontré préalablement ce fait, on peutle faire maintenant comme on l’a fait plus haut, ou encore ledéduire de ce qu’on a fait plus haut, ou de la similitude desdeux triangles). Par conséquent, c’est un carré si et seulementsi son angle en A est droit et ses côtés [AI] et [AK] sont demême longueur, ce qui revient à dire que le triangle AIK estisocèle rectangle en A. Comme I et K sont les milieux respec-tifs de [AB] et [AC] et que les triangles ABC et AIK ont un


angle commun en A, cela revient à dire que ABC est rectangleisocèle en A.

Il ne suffisait pas de dire qu’il fallait qu’ABC soit rectangle isocèleen A : cela garantit bien sûr que les deux côtés issus de A dansAKJI sont perpendiculaires et de même longueur, mais il y aencore du travail pour en déduire que c’est un carré.


1. Les diagonales doivent se couper en leur milieu et être perpen-diculaires.La réponse n’était pas validée, pas même partiellement, sile candidat ne reprenait qu’une des deux conditions, ou yajoutait la condition que les diagonales doivent avoir la mêmelongueur.

2. Si n est impair alors n+1 est pair donc le produit (n+1)(n+6)est pair.Si n est pair alors n+6 est pair donc le produit (n+1)(n+6)est pair.La proposition est donc vraie.Il ne suffisait évidemment pas de vérifier l’affirmation sur unou deux cas.

3. Faux.Contre-exemple :En choisissant a = 13 on obtient r = 3Et en choisissant a0 = 14 on obtient r0 = 4.Or pour a+ a0 = 27, le reste par 5 vaut 2 et pas r + r0 = 7.Le problème se pose chaque fois que r + r0 est supérieurou égal à 5. Si l’on ajoutait l’hypothèse que la somme desrestes est strictement inférieure à 5, alors l’énoncé devien-drait vrai – et de même avec la même hypothèse il seraitvrai que le quotient de la somme des deux dividendes par 5,est la somme des quotients.

Exercice 4 (1,5 point) :

Voici un programme possible :

On trace le segment [AD]. On reporte au compas la longueurAB à partir du point A sur le segment [AD]. On obtient le pointO.On trace les cercles de centres A et O et de rayon AB. L’intersection


obtenue (autre que B) est le point F .On trace de même les cercles de centres O et D et de même rayonAB. L’intersection obtenue (autre que C) est le point E.On trace les segments [AF ], [FE] et [ED].

De nombreux étudiants ont écrit leur programme de constructioncomme s’ils s’adressaient à des enfants d’école primaire. Ce n’estpas blâmable en soi, mais cela les a souvent éloignés du vocabu-laire géométrique adapté : il ne convient pas d’écrire « Mets lapointe de ton compas sur le point A et le crayon sur le point B etfais un trait en-dessous de A », mais plutôt « Trace un (arc de)cercle de centre A et passant par B ». Du reste, cette manière des’exprimer est non seulement criticable dans une copie d’examenUE1, elle est tout aussi inappropriée à l’école primaire. Les en-fants doivent apprendre le vocabulaire géométrique, le maître doita fortiori l’utiliser dans ses programmes de construction. Quitteà rappeler aux élèves comment faire en pratique, si nécessaire.



1. (a) Objectif de l’activité pour l’enseignante : le but est pourl’enseignante de proposer une situation ludique pour tra-vailler les décompositions de 5 (1 et 4, 2 et 3).

(b) Pour les mathématiques du cycle 2, cette situation permetde préparer des compétences nécessaires pour les opéra-tions : connaître les compléments (jusqu’à 10) et les mo-biliser dans des additions et soustractions.Par exemple, pour faire 8 + 6, il est utile de savoir quele complément à 10 de 8 est 2 et que 6 = 2 + 4 (ou que6� 4 = 2) pour faire l’addition en passant par 10.

2. Après avoir tiré une carte, un élève de grande section peut :

• la comparer successivement avec les cartes présentes surle tapis et chercher la valeur totale (diverses procédurespossibles ensuite, selon que l’on passe par le nombre oupas).

• s’inspirer des cartes qu’il a déjà devant lui, ou de sa connais-sance des décompositions. Puisqu’il n’y a que deux com-binaisons possibles (2/3 et 1/4, quatre si on considère 3/2et 4/1)), il est facile de se rapporter à des cas connus : sij’ai deux, je recherche trois.


• partir de sa carte et chercher combien il manque pour allerà cinq. Une fois le nombre obtenu, chercher si une cartecorrespondante est retournée.

Beaucoup d’étudiants ont fourni deux variantes de la pre-mière procédure, souvent fort peu différentes, sans se rendrecompte de la possibilité d’utiliser la seconde, qui est plusefficace.

3. L’enseignante peut ainsi exploiter les paires formées pour ame-ner les élèves à fournir eux-même l’ensemble des décomposi-tions possibles de cinq. L’affichage visible permet de mobiliserles connaissances au cours du jeu et de favoriser l’automatisme.


1. Modalité n°1 L’enfant doit produire une collection de mêmecardinal qu’une autre (collections équipotentes).L’enfant doit tout d’abord dénombrer les corps de poule qu’ilpossède, et donc maîtriser le dénombrement jusqu’à douze (fa-cilité car il peut manipuler et choisir comment il travaille). Ildoit ensuite réaliser une commande orale, et donc interpréterle résultat obtenu (« je possède n corps ») en une demandeformulée à l’oral (« j’ai besoin de n têtes »).

2. Modalité n°2

(a) Les têtes de poulesL’enfant peut tout d’abord dénombrer et représenter laquantité souhaitée sur le bulletin (sous forme d’écriturechiffrée, ou bien simplement sous forme analogique, danstous les cas inférieure à 12). Il utilise ensuite cette informa-tion arrivé au plateau. Il peut également ignorer le bulletinet retenir le nombre, avant de dénombrer sur le plateau ets’arrêter au moment opportun.

(b) Les pattes de poulesL’élève doit arriver à obtenir le double du nombre qui luia été fourni, ici 12. Pour cela, il peut choisir de dénombrerles poules (6) avant d’aller chercher six pattes, puis sixpattes, sur le modèle suivi pour aller chercher les têtes. Ilpeut également compter six à partir de six pour obtenir lenombre douze, et aller chercher douze pattes. Il peut enfinaller chercher un grand nombre de pattes et affecter deuxpattes à chaque corps, avant de rapporter le superflu.


(c) En CP, il est possible de présenter cette situation commerelevant explicitement du calcul, d’autant plus que lesnombres sont petits. On pourra attendre des élèves qu’ilssachent déterminer le double de six, ou bien 6+6. Pourinciter à utiliser cette méthode, on pourra limiter à uneseule commande, ou bien demander la rédaction exacte dubulletin de commande.


1. La notion abordée dans cette activité est celle des fractionssimples : quart et seizième (par opposition aux fractions déci-males). On leur donne ici un sens géométrique, à l’instar despliages de bandes de papiers. On pourrait la proposer en CM1,lors de laquelle a lieu l’introduction des fractions, mais certai-nement pas en tout début d’apprentissage, vu la familiarité(relative) avec les fractions qu’impliquent les procédures derésolution possible de cet exercice. On peut également la pro-poser en CM2, pour réinvestir les connaissances sur ce sujet.

2. (a) Placer le point M (à 3/4 de A).• une procédure arithmétique pourrait appliquer trois

quarts à seize afin d’obtenir le nombre de seizièmes,puis de « parcourir » les douze lignes parallèles succes-sives. Par exemple par un raisonnement proportion-nel : une unité, c’est 16 graduations, donc un quartd’unité (quatre fois moins) c’est 4 graduations (quatrefois moins que 16), donc trois quarts d’unité c’est troisfois plus, soit trois fois 4 graduations ou encore 12 gra-duations.

• Un élève peut aussi voir « trois quarts » comme unemoitié, plus une moitié de moitié : il cherchera ainsi lemilieu de [AB] avant de placer M au milieu du segmentreliant le milieu de [AB] à B.

(b) Pour le placement du point M, on peut s’attendre à :• Un élève qui ne saurait pas interpréter « 3/4 » pour-

rait placer M sur la troisième, ou quatrième, droiteparallèle coupant [AB] en partant de A.

• Une procédure correcte (ayant abouti à 12/16) pour-rait se tromper dans l’instanciation et partir de B,provoquant une erreur difficile à distinguer de la pré-cédente.


• L’aspect « géométrique » du problème pourrait pous-ser un élève à utiliser sa règle graduée et à mesurer (3/ 4 / 3,4 voire 0,75) à partir de A.


3. (a) Le point P peut se trouver en n’importe quel point ducercle centré en M et de rayon 3/16 d’unité, mais il estprobable que la volonté des auteurs était de ne viser que lespoints d’intersection P1 et P2 de ce cercle avec le segment[AB]. Il n’est toutefois précisé nulle part que le point P setrouve sur ce segment.

(b) Le point C peut se trouver à l’intersection du cercle decentre A et de rayon 15/16 et du cercle de centre B et derayon 9/16. La somme des deux rayons étant supérieureà la distance AB, les cercles se coupent en deux pointsdistincts (le point C ne peut donc pas se trouver sur lesegment [AB]).

A

B

M

P1

P2

C1

C2



2019-2020 — SESSION 2

UE 1

L’énoncé de ce sujet setrouve page 227 Exercice 1 :

1. Sous la forme d’une fraction décimale : 1502100

2. Sous la forme de la somme d’un entier et d’une fraction déci-male inférieure à 1 : 15 + 2

100

3. Sous la forme d’une fraction irréductible. :75150 (obtenu en ré-duisant la fraction 1502

100 ).

Exercice 2 :

1. Je trace deux cercles 14 de même rayon centrés sur les extré-mités du segment unité [AB]. Ces deux cercles se coupent endeux points équidistants des extrémités de ce segment. Ils setrouvent donc sur la médiatrice de [AB], que je trace en re-liant ces deux points. L’intersection de cette médiatrice avec lesegment est le milieu de celui-ci, car on sait que la médiatriced’un segment le coupe en son milieu. Si j’appelle A une desextrémités du segment et M le milieu ainsi obtenu, le segment[AM ] est bien de longueur 1

2 puisque le segment était de lon-gueur 1.Remarque : Nous avons tenu à expliquer et justifier en détailstoute la construction à l’usage des étudiants qui n’auraient paspu la réaliser ; mais il était légitime de simplement dire qu’onse base sur la construction bien connue de la médiatrice d’unsegment, et que la médiatrice coupe le segment en son milieu.

14. Dans la pratique, on peut se contenter d’arcs de cercle « assez grands ».


A M B

Si vous avez choisi pour vos arcs de cercle un rayon supérieurà AB, ces deux arcs ne couperont pas le segment [AB] : celareste néanmoins correct.

Une autre justification : si j’appelle M et N les deux inter-sections des deux cercles, alors par construction on a AM =MB = BN = NA, ces quatre longueurs étant égales au rayoncommun des deux cercles. AMBN est donc un losange, et sesdiagonales [AB] et [MN ] se coupent donc en leur milieu.

2. (a) Par exemple : Je trace un cercle de centre A et de rayonAB (A et B étant les extrémités du segment.Son inter-section avec la droite (AB), autre que B, me donne unpoint K tel que A est le milieu du segment [KB] (carAK = AB). Je trace deux (arcs de) cercles de centres res-pectifs B et D et de même rayon : leur intersection P estdonc équidistante de K et B, elle est sur la médiatrice de[KB]. Comme A est le milieu de [KB], la droite (AP ) estdonc la perpendiculaire à [KB) passant évidemment parA. Sur cette droite, je prends une des deux intersectionsavec le cercle tracé en début de construction, je la nommeC : alors le triangle CAB est rectangle en A, mais aussiisocèle en A puisque AC = AB.Remarque : Ici aussi nous avons écrit tous les détails dela construction, mais il était légitime de se contenter dejustifier en disant qu’on utilisait la technique bien connuede construction d’une perpendiculaire à un segment enl’une de ses extrémités.


A BK

P

C

1

(b) Le triangle ABC est rectangle en A, donc d’après le théo-rème de Pythagore :BC2 = AB2 + AC2

BC2 = 12 + 12 = 2BC =

p2

(c) Puisque l’on dispose d’un segment de longueur 1 et main-tenant d’un segment de longueur

p2, l’idée est de construire

un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit ontpour mesures respectives 1 et

p2, et dont l’hypoténuse

est [CD]. En effet, dans ce cas, par le théorème de Py-thagore, l’hypoténuse CD de ce triangle rectangle a pourmesure

CD =

…1 +Äp

2ä2

=p1 + 2 =

p3.

Comme on dispose déjà de CA = 1 et comme ’CAB = 90�,on va prendre un triangle rectangle en A, et pour créerD on va prolonger la demi-droite [AB] et y reporter aucompas la distance BC =

p2 :

A BK

P

C

1 D


Alternativement, on peut aussi profiter de la longueurBC =

p2 pour construire un triangle CBD rectangle

en B tel que DB = 1. Pour cela, on peut construire laperpendiculaire à [CB] passant par B, et y construire unsegment [BD] de longueur 1. Mais cela requiert le tracéde cette perpendiculaire à la règle et au compas commeon l’a fait plus haut.

A BK

P

C

1

D

Même remarque que plus haut : Justifier brièvementen « J’ai construit un triangle rectangle dont l’hypoténusest [CD] et les côtés de l’angle droit mesurent 1 et

p2. Donc

par le théorème de Pythagore on a CD =q12 +

Äp2ä2

=p1 + 2 =

p3 » suffisait.

3. À l’aide du compas, on construit le point K tel que IGHKsoit un parallélogramme. Pour cela, il suffit de prendre l’in-tersection K de deux arcs de cercle 15, l’un de centre I et derayon GH et l’autre de centre H et de rayon GI, ce qui assu-rera que le quadrilatère IGHK ait ses côtés opposés de même

15. Pour être tout-à-fait complet, il faudrait préciser que ces arcs doivent être pris à l’inté-rieur du secteur formé par les demi-droites [GI) et [GH). Les cercles de centres I et de rayonGH d’une part, et de centre H et de rayon GI d’autre part ont en effet deux intersections,l’une étant le point K en question, l’autre étant un autre point K0 qui est lui aussi tel que lequadrialatère IGHK ait ses côtés opposés de même longueur. Mais ce quadrilatère est croisé,et n’est donc pas un parallélogramme. Il va de soi que cette précision n’était pas demandée.


longueur et soit donc un parallélogramme. Ceci permet d’ob-tenir deux droites parallèles (IK) et (GH). On appelle alorsL l’intersection de (IK) (ou de [IK]) et de (FH).

1

I

J

G

F H

K

L

Remarque : le segment [HK] n’a été tracé que pour « faire voir »le parallélogramme, mais il ne sert à rien.

Les deux droites (IK) = (IL) et (GH) étant parallèles onpeut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles FHGet FLI, donc

FL

FH=

FI

FG

FL

FH=

1

3

FL =1

3

(puisque FH = 1)

Exercice 3 :

1. (a) (5,12,13) est un triplet pythagoricien car 52 + 122 = 169et 132 = 169


(b) 1 3 6 5�1 30 6� 0

6 5�6 50

1 31 0 5

(c) D’après la question 1a, 52 + 122 = 132.D’après la question 1b, 1365 = 13⇥ 105.

52 + 122 = 132

(52 + 122)⇥ 1052 = 132 ⇥ 1052

52 ⇥ 1052 + 122 ⇥ 1052 = 132 ⇥ 1052

(5⇥ 105)2 + (12⇥ 105)2 = (13⇥ 105)2

5252 + 12602 = 13652

Donc (525, 1260, 1365) est un triplet pythagoricien.

2. (a) L’ensemble des valeurs possibles de n2 est {1, 2, 4, 9, 16,25}

(b) Pour trouver un triplet pythagoricien dont les deux pre-miers nombres sont inférieurs ou égaux à 5, il faut addi-tionner deux des nombres de la liste pŕécédente et vérifiersi leur sommes est un carré parfait. Faisons donc la tabled’addition de ces nombres :

+ 1 4 9 16 25

1 2 5 10 17 264 5 8 13 20 299 10 13 18 25 3416 17 20 25 32 4125 26 29 34 41 50

Le seul nombre qui soit un carré parfait et qui apparaîtdans le tableau est 25 = 3 + 16 = 16 + 9. Donc le seultriplet pythagoricien qui vérifie a b 5 est (3,4,5).

(c) L’idée est de refermer la corde sur elle-même tout en latendant en deux nœuds, de sorte à former un triangle ens’arrangeant pour qu’il soit rectangle. Si l’on prend pourunité la distance entre deux nœuds consécutifs de la corde,on constate qu’elle est de longueur 12. Or 3 + 4 + = 12.Donc la corde permet de constituer un triangle dont leslengueurs des côtés sont 3, 4 et 5. Comme ce triplet estpythagoricien, la réciproque du Théorème de Pythagore


permet de conclure que le triangle est rectangle en le som-met adjacent aux côtés de longueurs 3 et 4.

Exercice 4 :

• La proposition 1 est fausse.Contre-exemple :

Le contre-exemple suffisait, mais voici un raisonnement quipermettait de le trouver : pour avoir un cerf-volant, il suffitque les diagonaes sont perpendiculaires et que l’une des deuxcoupe l’autre en son milieu. On peut s’arranger pour que lesdiagonales soient perpendiculaires, de même longueur et quel’une seule des deux coupe l’autre en son milieu, en traçantd’abord des diagonales vérifiant ces conditions et en reliantensuite les estrémités de ces diagonales pour former le quadri-latère.

• La proposition 2 est vraie.L’énoncé dit que tout cerf-volant a deux paires de côtés consé-cutifs de même longueur 16. Considérons donc un cerf-volantet nommons ses sommets A, B, C, D de sorte que AB = BCet CD = DA. Supposons en outre qu’il ait deux côtés opposésde même longueur : ce peut être AB = CD ou AD = BC.Dans les deux cas, on en déduit AB = BC = CD = DA. Lequadrilatère a donc quatre côtés de même longueur, c’est unlosange.

16. L’énoncé précise « Il a donc » : c’est en effet qu’il y a moyen de le démontrer. Maispuisqu’on vous en donnait l’information, cette démonstration n’était pas demandée.


UE2

Exercice 1 :

1. Niveau CP ou CE1, car il s’agit d’un travail sur l’écriture chif-frée de nombres inférieurs à 100.

2. (a) De par sa connaissance de la récitation de la suite numé-rique orale, l’élève peut savoir qu’avant « trente-neuf » ily a « trente-huit ». Sinon, il peut décomposer oralementtrente et neuf, et utiliser le fait qu’il sait qu’avant neuf il ya huit. Si l’énoncé de la question sous-entend que le maîtredemande comment cela s’écrit, il faut ensuite qu’il soit ca-pable d’écrire ce nombre à l’aide de l’écriture chiffrée. Ilpeut se dire, j’entends « trente » donc j’écris 3, j’entends« huit » donc j’écris 8.

(b) Dans soixante-quinze, j’entends « soixante » et « quinze »ce qui ne permet pas de comprendre facilement que lechiffre des dizaines est 7.

3. • l’élève peut s’appuyer sur sa compréhension du fonction-nement du tableau. Il place le nombre sur la même colonneque 45 car sur cette colonne tous les nombres finissent par5 et sur même ligne 82 car sur cette ligne tous les nombresont le chiffre de gauche égale à 8.

• l’élève peut s’appuyer sur sa compréhension du fonction-nement de l’algorithme de l’écriture chiffrée de la suite desnombres : les écritures 85 et 86 ont le même chiffre des di-zaines et comme le chiffre 5 précède le chiffre 6 dans lasuite numérique , le nombre 85 désignera le nombre quiprécède 86 dans la suite numérique et se placera à gauchede 86 dans le tableau.

• l’élève peut remarquer que 45 et 85 ont le même chiffredes unités et que dans 85 il y a 4 dizaines de plus quedans 45, donc partant de 45, il descendra de 4 lignes dansle tableau.

Exercice 2 :

1. (a) • La connaissance de la suite numérique et de son utili-sation pour additionner 1 à un nombre à un ou deuxchiffres.


• La connaissance de la table de multiplication par 5.

• Une procédure de calcul réfléchi pour la multiplicationdes nombres supérieurs à 10 par des nombres à unchiffreet les décompositions des nombres qu’elle meten jeu.

(b) 13 + 1 = 1414 = 10 + 410⇥ 5 = 504⇥ 5 = 2050 + 20 = 70Certains ont pensé au calcul suivant :

13 + 1 = 1414⇥ 5 = 7⇥ 2⇥ 5 = 7⇥ 10 = 70.

Il n’est pas extrêmement clair, au vu des programmes,de savoir si elle relève du cycle 2 ou du cycle 3. Au pro-gramme du cycle 3 figure la multiplication par calculmental d’un nombre décimal, entier ou non, par 5 oupar 50 : mais il est probable que la méthode visée est :multiplier par 10 (ou 100) puis diviser par 2. C’est évi-demment cette méthode qui est en germe dans le calculci-dessus, mais pas sous cette forme : l’élève reconnaîtque 14 = 7⇥ 2 et exploite le fait que 7⇥ 2⇥ 5 = 7⇥ 10.Ces deux savoirs relèvent du cycle 2, savoir les utiliserconjointement peut-être pas.

(c) 11, 6 + 1 = 12, 612, 6⇥ 10 = 126126 : 2 = 63

2. (a) • Une procédure par essai et erreurs : j’essaie avec unnombre, si c’est trop petit j’en prends un plus grandou inversement, etc jusqu’à obtenir le résultat.

• Une procédure qui consisterait à appliquer le programmede calcul « Diviser par 5 puis soustraire 1 ».

(b) À la notion de variable (ou d’équation ou d’inconnue).

3. (a) « Multiplier le nombre donné par 6 puis retrancher 2. »(b) Il faut exploiter les données, faire des hypothèses, les va-

lider ou les invalider, vérifier le programme de calcul.



2019-2020 — SESSION 1

L’énoncé de ce sujet setrouve page 234Étant donné les circonstances particulières de la rédaction de

ce corrigé, nous avons tenu à soigner particulièrement les re-marques et conseils aux étudiants, et de plus, pour plusieursquestions, nous avons souvent proposé plusieurs pistes pourla solution. C’est ce qui explique la longueur inhabituelle dece corrigé.

Le volume de toutprisme et de toutcylindre droit peuts’exprimer par laformule B ⇥ h, où best l’aire de la base eth la hauteur ; dans lecas d’un pavé droit,cela donne le produitdes trois dimensionsdu pavé. La figureci-dessous montresur un exemple enquoi cette formule estévidente dans le casd’un pavé droit dontles mesures sont desnombres entiers.

La « base » est unrectangle 2⇥ 3 et la

hauteur est 4, mais onpeut aussi voir 4

« tranches » forméesde 2⇥ 3 cubes unités.


Partie A : Étude du flacon no 1

1. Le flacon est composé (géométriquement) de deux pavés droits.Son volume est donc la somme des volumes de ces deux pavés,soit 5⇥ 4⇥ 6 cm3 = 120 cm3 pour le pavé inférieur, et 2⇥ 1⇥4 cm3 = 8 cm3 pour le pavé supérieur, soit au total 128 cm3.

2. Pour répondre correctement à cette question, il fallait penserau fait que tant que le niveau de liquide est inférieur (ou égal)à 6 centimètres, le liquide se trouve intégralement dans le pavéinférieur, et forme lui-même un pavé de dimensions 5, 4 et lahauteur de liquide. Tandis que s’il est supérieur (ou égal) à6 centimètres, le liquide remplit le pavé inférieur et remplitpartiellement le pavé supérieur jusqu’à une hauteur égale à lahauteur totale de liquide, moins 6 centimètres. Dès lors :

(a) Le volume de liquide contenu dans le flacon, lorsque :i. x = 3, est celui d’un pavé droit de dimensions (en

centimètres) 5, 4 et 3, soit 5⇥ 4⇥ 3 = 60 cm3.ii. x = 5, 9, est celui d’un pavé droit de dimensions (en

centimètres) 5, 4 et 5,9, soit 5⇥ 4⇥ 5, 9 = 118 cm3.iii. x = 8, est la somme de celui du pavé droit inférieur

déjà calculé plus haut, soit 120 cm3 et d’un pavé droitde dimensions (en centimètres)2,1 et 8 � 6 = 2, soit2⇥ 1⇥ 2 = 4 cm3, soit au total 124 cm3.


(b) Plus généralement, le volume V1(x), exprimé en centi-mètres cubes, contenu dans le flacon en fonction de lahauteur de liquide x exprimée en centimètres est :

• Si x 6, égal au volume (en centimètres cube) d’unpavé droit de dimensions (en centimètres) 5, 4 et x,soit 5⇥ 4⇥ x = 20⇥ x ; donc V1(x) = 20⇥ x.

• Si 6 x 10, égal à la somme du volume (en centi-mètres cube) du pavé droit inférieur (120 cm3) et d’unpavé droit de dimensions (en centimètres) 2, 1 et x�6,soit 2⇥(x�6), ce qui fait au total 120+2⇥(x�6)3. Lafonction V1(x) s’exprime donc dans ce cas par V1(x) =120 + 2 ⇥ (x � 6) ou encore V1(x) = 120 + 2x � 12 =108 + 2x.

Dans la question 2a, on vous demande d’exprimer desvolumes pour des valeurs explicites. Il est donc évident– c’est du simple bon sens – que la réponse doit êtreexprimée avec une unité de volume, en l’occurrence lecentimètre cube.En revanche, dans la question 2b, il s’agit de fournirune formule (algébrique) exprimant le volume en fonc-tion d’une certaine variable x, qui représente en l’occur-rence la hauteur du liquide. L’on considère en généralque dans ce cas, on se place dans les nombres abstraitset qu’il n’est pas nécessaire de préciser les unités dans laformule si on les précise avant, de la manière dont c’estrédigé ici.En pratique, l’on sera donc être très exigeant dans le pre-mier cas (valeurs explicites) en sanctionnant l’oubli de laprécision des unités, alors qu’on sera vraisemblablementplus souple dans le second.L’auteur du présent corrigé a tenu à être très précis ettrès explicite dans ses explications, ceci à destinationdes étudiants qui ont pu se tromper sur cette question,comme ce sera le cas pour les suivantes ; on n’exige pasune telle précision de la part des candidats ; toutefois,trop de candidats se contentent d’écrire leurs calculs sansexpliquer ce qu’ils font, ne serait-ce qu’en quelques mots.

(c) Voir graphique en fin de corrigé du problème (en rouge).


Le volume d’une pyra-mide s’exprime par laformule

B ⇥ h

3,

où b est l’aire de labase de la pyramide,et h sa hauteur. Ladémonstration decette formule ne relèvepas du cycle 4. Il estdifficile de donner uneidée intuitive de laraison de cette divisionpar 3 (sauf dans uncas particulier : celuid’un cube, qu’on peutsubdiviser en troispyramides identiquesdont la base est uneface du cube et lahauteur son côté),mais, au moins dans lecas où la hauteur dela pyramide, en tantque segment, rencontrele plan de la base àl’intérieur de celle-ci,on peut visualiserpourquoi le volume estnettement inférieur àB⇥h (ce qui ne justifieévidemment pas qu’ilen vaut le tiers) :

La pyramide estentièrement à

l’intérieur du prismedroit (ici un pavé) de

même base et demême hauteur.

Il n’était pas indispensable d’avoir trouvé les formulesdemandées à la question 2b pour tracer le graphique.L’esprit de ces questions était de permettre aux can-didats de montrer leur compréhension de la situationlorsque la hauteur était supérieure à 6 cm. Pour tracerle graphe, ils pouvaient donc utiliser quelques valeurs,par exemple pour 7, 8 (déjà calculé), 9 et 10 (déjà cal-culé, puisque c’est le volume total du flacon) ; la question2b visait à discriminer les candidats capables d’en infé-rer une formule générale.À l’inverse, certains candidats ont produit un graphe quin’était ni conforme aux valeurs précédemment trouvées(notamment il est arrivé que la valeur pour 6 cm ou pour10 cm ne correspondent pas aux 120 cm3 et 128 cm3

trouvés à la première question), ni aux formules qu’ilsavaient éventuellement trouvées.Enfin, il convenait de tracer le graphe à la fois complet etsans excès, c’est-à-dire jusqu’au point d’abscisse 10, maissans le dépasser, puisque la hauteur de liquide pouvaitatteindre 10 cm sans les dépasser. On peut faire la mêmeremarque pour le graphe correspondant au deuxième fla-con.

Partie B : Étude du flacon no 2

1. (a) La base de la pyramide est un carré de côté 6 cm, son airemesure donc 36 cm2. La hauteur est 10 cm. Le volume estdonc

36⇥ 10

3cm3 = 120 cm3

(b) • L’esprit de la question était de déterminer préalable-ment les dimensions de la base de la petite pyramide(dont la hauteur est 5 cm). Puisqu’il est dit dans l’énoncéque EFGH est un carré, il suffit de déterminer EF . Sil’on considère les triangles SAB et SEF , ils sont dansune configuration de Thalès. On sait donc que

EF

AB=

SE

SA

Pour déterminer ce dernier rapport, on peut mainte-nant considére les triangles OAS et O0ES, également


dans une configuration de Thalès. On a donc

SE

SA=

SO0

SO=

5

10=

1

2

Il en résulte que EF =1

2AB = 3. La base est donc un

carré de côté 3, et le volume de la pyramide SEFGest donc

32 ⇥ 5

3cm3 = 15 cm3

• On pouvait aussi, sans démonstration, considérer com-me « évident » que la pyramide SEFG est une réduc-tion de moitié (en dimensions) de la pyramide SABCD(le démontrer effectivement nécessiterait des connais-sances de géométrie qui dépassent le cycle 4) et endéduire que le volume de cette pyramide vaut le hui-

tième, soitÅ1

2

ã3

, de celui de la pyramide SABCD,

donc120

8cm3 = 15 cm3.

• Enfin, on pouvait de manière tout à fait légitime dé-tourner cet esprit en utilisant ce qui est dit à propos duflacon no 2 : sa partie supérieure est un pavé droit de

dimensions L = l = 3 et h = 5 parfaitement posé sur

la section de la pyramide par le plan,ce qui permet deconclure que les côtés du carré EFGH mesurent bien3 cm, et conclure en utilisant la formule du volume dela pyramide comme plus haut.

A B

S

CD

E F

GH

O

O0

(c) On en déduit que le volume du tronc de pyramide est la


différence entre les volumes de ces deux pyramides, soit120 cm3 � 15 cm3 = 15 cm3.

2. Pour ces questions, de manière analogue à celles correspon-dantes de la partie A, il convient de voir qu’il y a deux cas :

• Si la hauteur de liquide est inférieure ou égale à 5 cm,alors le liquide remplit une partie du tronc de pyramide ;la formule donnée dans l’énoncé peut alors être utilisée.

• Si la hauteur de liquide est supérieure ou égale à 5 cm,alors le liquide remplit le tronc de pyramide (soit 105 cm3)et une partie du pavé droit, formant à l’intérieur de celui-ci un pavé droit dont la hauteur est égale à la hauteurtotale de liquide, moins 5 centimètres.

(a) i. Puisque 2 � 5 on peut appliquer la formule : V2(2) =120�(10�2)3⇥0, 12 = 120�83⇥0, 12 = 120�71, 44 =59, 56 cm3.

ii. Puisque 5 � 5, on peut appliquer la formule : V2(5) =120 � (10 � 5)3 ⇥ 0, 12 = 120 � 53 ⇥ 0, 12 = 120 �15 = 105 cm3. Mais il était encore plus simple de dire(comme l’ont fait à juste titre certains étudiants) quesi x = 5, alors le liquide remplit exactement le troncde pyramide dont le volume était donné à la question1c), soit 105 cm3.

iii. Puisque 8 > 5, on ne peut pas appliquer la formule. Levolume de liquide est celui du tronc de pyramide (soit105 cm3), plus le volume du pavé droit consitué par leliquide se trouvant dans la partie supérieure du flacon,soit un pavé droit de base carrée 3 ⇥ 3 et de hauteur8� 5 (en centimètres), donc un pavé droit (en fait uncube) de 27 cm3. Au total on obtient 132 cm3.

(b) • Comme indiqué dans l’énoncé, pour x � 5 on a V2(x) =V2(2) = 120� (10� x)3 ⇥ 0, 12

• Comme expliqué plus haut, pour x � 5, le volumede liquide est égal au volume du tronc de pyramide,soit 105 cm3, plus le volume du pavé droit constituépar le liquide se trouvant dans la partie supérieure duflacon, de base un carré de 3 cm de côté et de hauteurx � 5. On a donc un volume de 105 + 9 ⇥ (x � 5) =105 + 9x� 45 = 60 + 9x (en centimètres cube).

Pour cette question comme pour la précédente dans le casx = 8, on pouvait aussi procéder comme suit : calculer le


volume total du flacon (soit 105 cm3 plus le volume dupavé droit qui est 3 ⇥ 3 ⇥ 5 cm3 = 45 cm3, donc au total150 cm3) ; et ensuite retrancher la partie du pavé droitqui ne contient pas de liquide, et qui constitue un pavédroit de dimensions 3⇥ 3⇥ (10� x). En développant, onaboutissait bien sûr au même résultat.

(c) Voir le graphe à la fin du problème (en bleu). Les étu-diants qui n’ont pas réussi à obtenir la formule demandée(qui montre que la fonction est affine sur l’intervalle [5, 10]et que son graphe y est donc un segment de droite) pou-vaient l’obtenir s’ils étaient capables de la calculer ponc-tuellement en quelques valeurs, ce qui était envisageables’ils avaient calculé correctement le volume pour x = 8.

Dans cette partie, les erreurs les plus courantes ont été :

• À la question a)iii, appliquer la formule pour x = 8 sanstenir compte du fait qu’elle n’était pas valide dans ce cas ;

• À cette même question, ou pour la question b) essayerd’adapter cette formule en la modifiant, sans doute sur basede réflexions peut-être pas impertinentes, mais qui n’au-raient pas pu aboutir à un résultat correct ;

• et enfin, pour cette qustion b) une quantité non négligeabled’étudiants étaient sur la bonne voie. Ils ont su correctementdécomposer le volume en deux parties et ont su répondrecorrectement à la question a)iii, mais pour trouver la formulegénérale, ils ont bien obtenu la partie 9⇥ (x�5), mais, pourle tronc de pyramide, ils ont gardé la valeur x dans la formuleau lieu de la remplacer par 5 (ou encore n’ont pas pensé qu’iln’était pas nécessaire de reprendre cette formule, il suffisaitde prendre directement la valeur 105).

Partie C : Comparaison des deux flacons

1. Il s’agit de déterminer graphiquement les valeurs de x en les-quelles les fonction sV1 et V2 sont égales, en d’autre terme dedéterminer les abscisses des points d’intersection de ces deuxgraphes (autres que 0). Voir sur le graphique en vert. On trouvedeux tels points, leurs abscisses sont approximativement 5,3 et6,9 (ou toute valeur raisonnablement acceptable vu les impé-cisions inhérentes au tracé d’un graphe, pour autant qu’il soit


tracé avec un soin acceptable). Les hauteurs demandées sontdonc approximativement 5,4 cm et 6,9 cm.

2. Il s’agit de déterminer ces valeurs en utilisant des équationsexprimant que V1(x) = V2(x). L’aide (« Ces deux valeurs sont

supérieures à 5 ») permet de considérer que la formule à utiliserpour V2 est celle obtenue à la question 2b de la partie B, soitV2(x) = 60+9x. En revanche, il faut distinguer les cas où x 6et x � 6 en ce qui concerne V1, ceci d’autant plus qu’on observesur le graphe qu’une des deux valeurs de x est inférieure à 6et l’autre supérieure.

• Avec x 6 : on a donc V1(x) = 20x. Il faut poser l’équa-tion

20x = 9x+ 60

soit11x = 60

ou encorex =

60

11

Le valeur exacte de la hauteur est donc60

11cm. Il n’est

évidemment pas interdit d’évaluer ceci à l’aide d’une cal-culatrice, notamment pour vérifier la cohérence du résultatavec celui obtenu graphiquement : 5,45. . .cm. Mais ce n’estjamais qu’une approximation, la valeur exacte étant celleobtenue sous forme fractionnaire.

• Avec x � 6 : on a donc V1(x) = 108 + 2x. On pose doncl’équation :

108 + 2x = 9x+ 60

soit108� 60 = 9x� 2x

ou encore7x = 48

doncx =

48

7

La hauteur recherchée est48

7cm. Ici aussi, on peut vérifier

la cohérence du résultat avec le résultat graphique : onobtient appriximativement 6,86 cm.


Plusieurs étudiants ont procédé comme suit : ils ont lu lesordonnées des points d’intersection des graphes (donc en faitles volumes d’eau correspondant à ces hauteurs) et, en utili-sant l’expression de V1 ou de V2, ont obtenu une valeur plusprécise de la hauteur x correspondante. Mais ceci ne sauraitdonner une valeur exacte de x, puisqu’au départ la valeurdu volume a été lue sur le graphique, donc est elle aussi ap-proximative.

3. Ayant les valeurs exactes des hauteurs, il faut utiliser la fonc-tion V1 ou la fonction V2 pour trouver les valeurs demandées :

• Pour x =60

11qui est inférieur à 6, on peut prendre la

formule V1(x) = 20x. Le volume exact, exprimé en centi-mètres cube, est donc

20⇥ 60

11=

1200

11

La formule V2(x) = 9x + 60 donnerait le même résultat,mais avec plus de calculs. On sait par aileurs qu’un centi-mètre cube vaut un millième de décimètre cube, et qu’unRemarque à l’usage

des étudiants quiont noté « cl » etnon « cL » : pourdésigner le litre et sesdérivés, les conventionsinternationales ontfixé les notations l,dl, cl,. . ., mais, pouréviter la confusionentre le l minuscule etle 1 ou encore le I ma-juscule dans certainespolices de caractère,notamment celles sansempattement, ellesadmettent aussi lesnotations L, dL, cL,. . .Une rumeur persis-tante dans l’ÉducationNationale prétend queces notations L, dL,cL sont obligatoires,et certains enseignantssont très tatillonssur ce point. Il estdonc conseillé parprécaution d’utiliserla même notation quedans le sujet.

litre vaut un décimètre cube (par définition du litre). Doncun centilitre vaut dix centimètres cube, ou encore, un cen-timètre cube vaut un dixième de centilitre. Donc le volumedemandé vaut

120

11cL.

• Pour x =48

7qui est supérieur à 6, on peut prendre la

formule V1(x) = 108 + 2x, ce qui donne

V1(x) = 108 + 2⇥ 48

7= 108 +

96

7=

7⇥ 108 + 96

7=

852

7

Le volume demandé est donc852

7cm3, soit vu ce qui pré-

cède852

70cL.


10

10

V1

V2

5 6 7


Exercice no 1 :

1. Affirmation fausse. On peut le justifier de plusieurs manières :


• Établir la distance en kilomètres représentée par 1 cm, eten déduire la distance représentée par 15 cm :1 cm représente 300 000 cm, donc 3 000 m , donc 3 km.Donc 15 cm représentent 15⇥ 3 km = 45 km et non 450.Remarquons que cela passe encore mieux à l’oral : 1 centi-mètre représente trois cent mille centimètres, donc troismille mètres, donc 3 kilomètres.

• Calculer la distance en centimètres représentée par 15 cen-timètres, et la traduire ensuite en kilomètres : 15 centi-mètres représentent 15⇥ 300 000 = 4 500 000 centimètres.On divise par 100 pour convertir en mètres : 45 000 mètressoit finalement 45 kilomètres, et non 450 kilomètres.

• Calculer combien de centimètres sur la carte vont repré-senter 450 kilomètres, et voir si le résultat est 15 centi-mètres. Comme il s’agit de diviser par 300 000, il est sansdoute préférable de convertir d’abord les kilomètres encentimètres :

450 km = 450 000 m

= 450 000⇥ 100 cm

= 45 000 000 cm

En divisant par 300 000 on obtient 150 cm et non 15 cm.


Nous avons délibérément choisi de ne pas utiliser, pourles conversions, le fameux « tableau de conversion », parceque ce dernier cache en fait des raisonnements tels queceux que nous avons menés ici, qui ne sont rien d’autreque des raisonnements de proportionnalité. Il n’est certespas interdit de l’utiliser, mais l’expérience nous montreque les étudiants qui ne savent faire des conversions qu’enutilisant ce tableau ne comprennent pas bien ce qu’est uneconversion, et se trouvent dépourvus lorsqu’une conversionne peut se faire via le tableau, comme c’est le cas pour lesconversions sexagésimales (heures minutes secondes).

On notera d’ailleurs que les programmes actuels

rendent de fait impossible l’enseignement au cycle 2

de ces fameux tableaux de conversion – qui n’ont ja-

mais été explicitement imposés par les programmes.

En effet, concernant les mesures de longueur, le dé-

camètre et l’hectomètre ne font plus partie des pro-

grammes. De même en ce qui concerne les masses, le

décagramme et l’hectogramme. Essayez d’imaginer

la forme d’un tableau de conversion qui, conformé-

ment aux programmes, se refuserait à utiliser ces uni-

tés. Notez que dans les documents d’accmpagnement

Grandeurs et mesures au cycle 2 et Grandeurs et me-

sures au cycle 3 on explicite des méthodes de raison-

nement permettant d’effectuer des conversions sans

utiliser le tableau, et on précise que celui-ci n’est in-

troduit au cycle 3 que pour mieux voir les liens entre

les différents multiples et sous-multiples des unités,

mais en aucun cas pour effectuer des conversions.

https://cache.media.eduscol.education.fr/file/Mathematiques/69/5/RA16_C2_MATHS_grandeur_et_mesures_doc_maitre_587695.pdf

https://cache.media.eduscol.education.fr/file/Mathematiques/16/8/RA16_C3_MATH_grand_mesur_N.D_609168.pdf



Nous avons observé beaucoup d’erreurs prévisibles, telles uneerreur d’un zéro dans les conversions, qui ont fait dire àbeaucoup d’étudiants que l’affirmation était vraie. Cepen-dant, nous avons trouvé, à plusieurs (voire à de nombreuses)reprises, des erreurs plus étonnantes :

• Certains étudiants ont trouvé que 15 cm représentaientune distance de 4 500 000 km ! Il convient dans un telcas de se poser des questions sur la validité d’un tel ré-sultat. Même s’il peut arriver que les résultats d’un pro-blème de maths ne soient pas très plausibles, il faut toutde même avoir le réflexe de s’interroger : comment ladistance entre deux villes pourrait-elle être de plusieursmillions de kilomètres alors que le tour de la Terre fait40 000 km seulement ! On ne peut que vous conseiller,dans un tel cas, d’écrire sur votre copie :« J’ai certai-nement dû me tromper quelque part, ce résultat est in-vraisemblable ». Bien sûr, une telle remarque ne vousapportera aucun point. Mais elle devrait attirer l’atten-tion du correcteur sur le fait que vous êtes capable derecul par rapport à ce que vous écrivez, et cela ne peutêtre que positif.

• On a pu lire assez fréquemment sur les copies que si lacarte est au 300 000 ème, c’est que 1 cm représente 300000 mètres. C’est assez étonnant : n’est-il pas clair quesi la carte est au 300 000 ème, alors 1 cm représente 300000 fois plus, et donc 300 000 centimètres ?

2. L’affirmation est fausse. Quatre manières de le vérifier :

• Par un argument qualitatif : Si j’ajoute d’abord 20% et queje retire ensuite 24% du résultat, je retire un pourcentageplus important d’une valeur plus importante. Donc ce queje retire est strictement supérieur à ce que j’ai précédem-ment ajouté, et j’obtiens un résultat strictement inférieurau nombre de départ. (Cet argument n’aurait pas été valide

pour rejeter l’affirmation si, par exemple, on avait retiré

18% et non 24%, alors que l’affirmation aurait été tout

aussi fausse)• Par un contre-exemple, le plus simple étant de partir de la

valeur 100, ce qui évite tout calcul pour l’augmentation :

100+20% // 120

�24%// 91, 2


Le calcul de la diminution de 24% peut par exemple sefaire comme suit :

Valeur Pourcentage120 100

120 : 100 = 1,2 124⇥ 1, 2 = 28, 8 24

On constate quà la fin on obtient 91,2 qui n’est pas le prixde départ, c’est donc qu’on n’est pas revenu à l’état initial.Remarque : la notation « + 20% » ou « �20% » peut êtreutilisée dans le cas d’un schéma, mais on évitera d’utiliserla notation « 100 + 20% = 120 », il est préférable de noter« 100 + 20% de 100 = 120 ».

• En recherchant l’effet de ces deux transformations succes-sives sur un prix x quelconque. Pour cela, il est sans doutepréférable de savoir préalablement qu’augmenter un prixde 20 %, c’est en prendre 120 % soit

120

100donc le multiplier

par 1,2, et le réduire de 24 %, c’est n’en garder que 76 %,donc

76

100, donc le multiplier par 0,76. On a alors :

x⇥1,2 // 1, 2x

⇥0,76 // 0, 76⇥ 1, 2x = 0, 912x 6= x

On peut aussi, plus informellement, dire que ces deuxtransformations successives reviennent à multiplier le prixpar 0, 76 ⇥ 1, 2 = 0, 912, donc ne ramènent pas le prix àsa valeur de départ.

• Rechercher le pourcentage (éventuellement approximatif)de diminution qu’il faudrait appliquer pour retrouver leprix initial :– Puisque le prix a été multiplié par 1,2, il faudrait le

diviser par 1,2 pour revenir au prix initial ;

– Or, diviser par 1,2 revient à multiplier par1

1, 2;

– Or1

1, 2⇡ 0, 833 =

833

100=

83, 3

100= 83, 3% ;

– Donc pour revenir au prix de départ, il faut garder83,3 % (environ) du prix augmenté, donc en retirer

3. L’affirmation est vraie. Il s’agit ici d’un problème de doubleproportionnalité 17, qu’on peut traiter au moyen d’un tableau à

17. Il était sous-entendu que la quantité de nourriture était proportionnelle au nombre de


double entrée (le tableau ne visant pas à éviter le raisonnement,mais à organiser efficacement les données) :

ChevauxJours 12 15

10 20035 ?

Plusieurs méthodes à nouveau :

• On peut, pour trouver la solution, rechercher la quantiténécessaire pour un cheval pour un jour :

ChevauxJours 1 12 15

1 ?10 200 kg35 ?

ce qui peut être obtenu en deux temps : d’abord, si 12chevaux mangent 200 kg de foin en 10 jours, alors 12 che-vaux mangent 20 kg de foin (dix fois moins) en 1 jour (dixfois moins) ; dès lors, 1 cheval (douze fois moins) mange20

12=

5

3kg (douze fois moins) en 1 jour. Il est préférable de

laisser ceci sous forme fractionnaire : si l’on approche par1,66 ou pire par 1,7, on aura des erreurs d’approximation.


1 20 kg : 12 =5

3kg 200 kg : 10 = 20 kg

10 200kg35 ?

et ensuite on procède en deux temps : soit on calculed’abord la quantité nécessaire pour un cheval pour 15 jours(soit 15 fois plus, donc

5

3⇥15 = 25 kg, et ensuite la quan-

tité nécessaire pour 35 chevaux pour 15 jours (soit 35 foisplus, soit 35 ⇥ 25 kg = 875 kg) ; soit on calcule d’abordla quantité nécessaire pour 35 chevaux pour 1 jour (soit35⇥ 5

3 kg = 1753 kg), et on la multiplie ensuite par 15 pour

obtenir la quantité nécessaire pour 35 chevaux pour 15jours (soit 175

3 ⇥ 15 kg = 175⇥ 5 kg = 875 kg).chevaux et au nombre de jours, en d’autres termes que tous les chevaux mangent la mêmequantité de foin, et la même tous les jours ; ce que tous les candidats semblent avoir biencompris.



1 20 kg : 12 =5

3kg 20 kg

5

3⇥ 15 = 25 kg

10 200kg

35 1753 kg 35⇥ 25 kg = 875 kg,

ou 1753 ⇥ 15 kg = 875 kg

• On peut chercher d’abord la quantité nécessaire pour 35chevaux pour 12 jours. Certains l’ont fait en constatantque 35 = 10⇥ 3, 5 et ont donc multiplié 200 par 3,5 pourobtenir 700 kg, d’autres ont considéré que 35, c’est troisfois 10 et encore la moitié de 10 (ce qui revient en réalitéà dire que 35 = 10 ⇥ 3, 5 !) et que dès lors la quantiténécessaire pour 35 chevaux pour 12 jours est trois fois 200kg, et encore la moitié de 200 kg, soit 700 kg :

ChevauxJours 12 15

10 20035 700 ?

et ensuite on se trouve face à un problème classique : Si,pour une certaine durée (on oublie que c’est 35 jours), 12chevaux mangent 700 kg de foin, combien de kg de foinmangeront 15 chevaux sur la même duré ? Ce qui peut serésoudre par toutes les méthodes usuelles, par exemple unproduit en croix, un passage à l’unité, etc.. On obtient parexemple par produit en croix

15⇥ 700

12= 875

• Utiliser une méthode analogue à la première, mais en uti-lisant des diviseurs communs aux données pour éviter lesfractions. Par exemple en cherchant pour 5 chevaux (divi-seur commun à 10 et 35) et 3 jours (diviseur commun à 12et 15). On peut compléter le tableau de diverses manières,nous laissons chacun chercher ce qu’il préférera :



5 25 kg 100 kg 125 kg10 40 kg 200 kg 250 kg35 140 kg 700 kg 875 kg

• Un autre argument, très efficace, a été utilisé par quelquesétudiants. Il s’agit de raisonner en termes de rations jour-nalières (l’hypothèse implicite se traduisant par le fait quetous les chevaux ont tous les jours la même ration, enten-dez la même chaque jour et la même pour tous). Pour 10chevaux durant 12 jours, on utilise 12⇥ 10 = 120 rations.Pour 35 chevaux durant 15 jours, on utilise 35⇥ 15 = 525rations. On est alors face à un problème classique : si 120rations font 200 kg, combien font 525 rations, ce qu’onpeut résoudre par toutes les méthodes classiques de réso-lution des problèmes de proportionnalité, par exemple leproduit en croix, la solution étant alors

200⇥ 525

120kg = 875 kg

Remarque d’ordre didactique : Comme on le voit, c’estle raisonnement plus que le produit en croix qui aide à ré-soudre ce problème. Le produit en croix a certes été utilisé,mais on constate que chaque fois qu’il l’a été, c’était pourterminer rapidement la résolution du problème, après desraisonnements nécessitant une compréhension fine de la pro-portionnalité. Ceci devrait convaincre chacun du bien-fondéqu’il y a à enseigner le produit en croix en fin d’apprentissage,lorsque le concept de proportionnalité est bien maîtrisé.

Exercice no 2 :

Pour les deux premières questions, qui concernent le trajet aller,on peut s’aider du schéma suivant :


TRAJET ALLER

MONTÉE

LONGUEU

R: 3

0 km

DURÉE: 1

h 30

VITES

SE: ?

DESCENTE

LONGUEUR: 15 km

DURÉE: ?

VITESSE: 40 km/h

GLOBALEMENTLONGUEUR : ?

DURÉE : ?VITESSE : ?

Ce schéma rend compte de toutes les données et de toutes les in-connues ; il peut aider à répondre aux deux premières questions endéterminant les inconnues ; toutefois, il ne rend pas compte du faitque ces questions sont du type « Prouvez que telle vitesse est. . . »,et peuvent donc éventuellement être résolues en vérifiant que lesvitesses en question conviennent, étant considéré comme évidentqu’une seule vitesse peut être compatible avec les différentes don-nées (méthode que nous n’envisageons pas dasn ce corrigé, mais quecertains étudiants ont utilisée avec succès).

Notons aussi que lorsqu’on connaît, pour un trajet donné, deuxdes trois grandeurs parmi la longueur du trajet, sa durée, et lavitesse moyenne, on peut déterminer la troisième. L’observation duschéma ci-dessus permet de voir qu’on peut directement calculer lavitesse en montée (c’est d’ailleurs l’objet de la première question) etla durée de la descente. Pour le trajet global, on ne dispose d’aucunedonnée directe, mais la longueur se calcule de manière évidente, etla durée pourra être calculée aussi dès qu’on disposera de la duréedu trajet en descente.

1. Pour la vitesse en montée, on peut :

• Soit utiliser la formule : V =d

t, où V est la vitesse

(moyenne), d la distance parcourue et t le temps de par-cours, avec des unités cohérentes : par exemple pour une


vitesse en kilomètres par heure, il faut prendre une dis-tance en kilomètres et une durée en heures.Cela peut sembler évident, mais de nombreuses erreursobservées sur les copies sont dues à l’oubli de cette évi-dence.

Soit en n’oubliant pas que t doit s’écrire sous forme déci-male (t = 1, 5 h), on obtient donc bien

V =30

1.5= 20 km/h

• Effectuer un raisonnement de proportionnalité, par exemple :30 km en 1 h 30, cela revient à 30 : 3 = 10 km en une demi-heure, donc 20 km en une heure.

Il est à noter que pour cette question, qui pourrait très bienêtre posée à l’école primaire (du moins dans le cadre d’undéplacement supposé à vitesse constante, selon les programmesactuels), seule la deuxième méthode y est envisageable, puisquela formule de calcul de la vitesse n’est pas au programme, etqu’en outre la division par un nombre décimal non entier nel’est pas non plus.

2. Pour chercher la vitesse moyenne sur l’ensemble du parcours,le schéma (et la connaissance de ce qu’est une vitesse moyenne)indiquent qu’il serait utile de connaître la longueur totale etla durée totale de parcours.Le calcul de la longueur totale est immédiat : 30 km+15 km =45 km.Pour la durée totale, étant donné que l’on connaît la durée dutrajet en montée (1 h 30 minutes), il suffit de calculer préala-blement la durée, de préférence exprimée en heures, du trajeten descente. Trois méthodes parmi d’autres :

• Méthode collège : on utilise la formule t =d

V, ce qui donne

t =15

40h = 0, 375 h.

• Méthode école primaire 18 : on utilise un argument de pro-portionnalité, par exemple :

18. Ici aussi, pour pouvoir poser cette question à l’école primaire, il faudrait dire qu’onavance à vitesse constante, à raison de 40 kilomètres en une heure ; mais l’argument deproportionnalité, lui, est valide même s’il ne s’agit pas d’une vitesse constante mais d’unevitesse moyenne. En revanche, le calcul de la vitesse moyenne sur l’ensemble du trajet n’estpas envisageable à l’école primaire, pas seulement parce que ce serait une question tropcomplexe, mais plus fondamentalement parce que selon les programmes actuels la notion devitesse moyenne n’est pas étudiée à l’école primaire.


40 kilomètres en 1 heuredonc 10 kilomètres en 1/4 d’heure = 15 minutesOn cherche la durée pour 15 kilomètres, il ne reste doncplus qu’à trouver la durée pour 5 kilomètres, mais c’est lamoitié de la durée pour 10 kilomètres, donc 7 minutes etdemi. Au total, 22 minutes et demi.

L’inconvénient est que cela donne la durée en minutes,mais on peut la convertir en heures en divisant 22,5 par60. De plus, en faisant les calculs en termes de fractions (là,on se replace au niveau collège), on a obtenu 1/4 d’heurepour 15 kilomètres, donc 1/8 d’heure pour 7,5 kilomètres,donc au total 1/4 d’heure + 1/8 d’heure = 3/8 d’heurepour 15 kilomètres. Soit 0,375 h si on préfère rester endécimal.

• Un double argument de proportionnalité : on sait que lamontée, de 30 kilomètres, se fait en 1 h 30 à 20 km/h.La descente est deux fois plus courte et est menée à unevitesse moyenne deux fois plus rapide : elle prendra doncquatre fois moins de temps, soit 22,5 minutes.Plusieurs étudiants ont pensé à cet argument très effi-cace ; malheureusement, certains d’entre eux n’ont pasréussi à le mener jusqu’au bout.

Ceci fait, on sait donc que la durée de parcours en descente estde 0,375 h, et la durée totale est donc 1,875 heures (ou

15

8h

si on préfère travailler avec des fractions).On en déduit la vitesse moyenne, la plupart des étudiantsl’ayant fait en calculant le rapport

45 km

1, 875 h= 24

km

h

(mais ici aussi un calcul proportionnel était envisageable, plu-tôt alors en utilisant la durée en fractions).


Sur de nombreuses copies, on a vu l’un des trois types deraisonnements suivants (les deux premiers, les plus fréquents(avec diverses variantes), étant erronés, le troisième, rencon-tré nettement plus rarement, étant correct) :

• En montée, la moyenne est 20 km/h ; en descente, lamoyenne est 40 km/h ; donc la moyenne générale est20 + 40

2= 30 km/h.

• En montée, la moyenne est 20 km/h, et la montée fait2/3 du trajet ; en descente, la moyenne est 40 km/h, et ladescente fait 1/3 du trajet. Donc la vitesse moyenne estla moyenne pondérée 2/3 ⇥20+1/3 ⇥40 ⇡ 26, 6 km/ h.

• En montée, la moyenne est 20 km/h, en descente, elle estde 40 km/h et (ainsi qu’on l’a vu plus haut) la descenteprend 4 fois moins de temps que la montée. Donc lamontée prend 4/5 du temps et la descente 1/5. Donc lavitesse moyenne est la moyenne pondérée 4/5 ⇥ 20 +1/5 ⇥ 40 = 24 km/ h.

Il ne devrait pas être trop difficile de se convaincre que le pre-mier raisonnement est faux, puisqu’il calcule une moyenne devitesses sans se soucier des trajets correspondants. Il n’y aaucune raison pour que la vitesse moyenne sur deux trajetsconsécutifs parcourus à des vitesses moyennes différentes,soit la moyenne des vitesses moyennes sur ces deux parcours.Pour prendre un exemple concret assez évident : Supposonsque vous preniez l’autoroute vers le sud-est, que vous par-couriez 1200 km à la vitesse moyenne de 120 km/h, maisqu’au bout de votre trajet, un petit bouchon à l’approchedu péage vous force à rouler à 10 km/h dans le dernier kilo-mètre. Pensez-vous que votre vitesse moyenne sur l’ensemblede votre trajet sera la moyenne entre 120 km/h et 10 km/h,soit 65 km/h ?


Le deuxième argument est plus difficile à réfuter sans cal-culs précis, car il tient compte, lui, de la longueur des tra-jets. Il est néanmoins faux. La vitesse moyenne sur un en-semble de trajets n’est pas égale à la moyenne des vitessesmoyennes pondérées par les longueurs des trajets. On peuts’en convaincre facilement dans le cas particulier où les deuxtrajets ont la même longueur. Vous faites 100 km à 100 km/h,puis, suite à un bouchon, vous faites les 100 km suivants à 10km/h. La moyenne des vitesses pondérées par les distancesest simplement leur moyenne, puisque les distances sont lesmêmes : soit 55 km/h. Mais la vitesse moyenne réelle surtout le parcours est bien plus petite que cela, puisque les 200km vont être parcourus au total en 1 h + 10 h = 11 h !Enfin, le troisième argument est correct et peut simplifier lescalculs dans certains cas, mais nous déconseillons à ceux quine le maîtrisent pas bien de l’utiliser.

3. Voici maintenant le schéma pour le retour, si on espère at-teindre une vitesse moyenne de 35 km/h tout en maintenantla vitesse en montée :

TRAJET RETOUR

DESCEN

TE

LONGUEU

R: 3

0 km

DURÉE: ?

VITES

SE: ?

MONTÉE

LONGUEUR: 15 km

DURÉE: ?

VITESSE: 20 km/h

GLOBALEMENTLONGUEUR : 45 km

DURÉE : ?VITESSE : 35 km/h

Toujours selon le même principe (connaître deux des grandeurspermet de déterminer la troisième), le schéma permet de voirqu’on peut calculer directement la durée du trajet complet etcelle de la montée. Mais alors on peourra en déduire la durée


de la descente (comme différence entre les deux), et on auraalors tous les éléments pour calculer la vitesse en descente.

• Durée de la montée : plusieurs méthodes de calcul pos-sibles, la plus simple étant de considérer que si à l’aller lamontée de 30 km a été faite en 1 h 30, alors au retour, lamontée de 15 km sera faite, à la même vitesse, en deuxfois moins de temps, soit trois quarts d’heure.

• Durée globale du trajet : 45 km à 35 km/h, cela fait doncune durée de

45

35h =

9

7h

• Durée de la descente :

9

7h� 3

4h =

36

28h� 21

28h =

15

28h

• Vitesse en descente : quotient de la longueur de la descentepar la durée, soit

301528

km/h = 2⇥ 28 km/h = 56 km/h

La vitesse à atteindre en descente est donc de 56 km/h. On ad-mettait aussi des calculs approximatifs sur les décimaux plutôtqu’un calcul exact avec les fractions. Par exemple :

• Durée globale du trajet :

45

35h ⇡ 1, 29 h

• Durée de la descente :

1, 29 h� 0, 75 h = 0, 54 h

• Vitesse en descente :

30 km : 0, 54 h ⇡ 55, 56 km/h


Des sources d’erreurs fréquentes ont été :

• Oublier d’inverser le rôle de la montée et de la descente (mal-gré l’avertissement explicite dans l’énoncé). Dans ce cas, oncalculait de la même manière que ci-dessus la durée globaledu trajet, soit 1,29 h pour une approximation décimale, eton en conluait que cet objectif était impossible à atteindre,puisque les 30 km de montée prenaient déjà 1 h et demi.

• Faire des calculs de moyennes de vitesses (par exemple ré-pondre 50 km/h, parce que la moyenne entre 20 km/h et 50km/h est 35 km/h) : ainsi qu’on a pu l’observer plus haut,cela ne marche pas, sauf s’il s’agit de moyennes pondéréespar les durées des trajets.

• Faire des calculs dans lesquels se mélangent des durées enheures et des durées en minutes.

Exercice 3 :

1. De la figure jaune à la figure rouge : symétrie axiale d’axe(OF ).

2. De la figure jaune à la figure bleue : symétrie axiale d’axe(OK).

3. De la figure rouge à la figure bleue : rotation d’angle 120˚dansle sens antihorlogique autour du point O


Les erreurs les plus courantes :

• Penser qu’on passe de la figure jaune à la figure bleue par unesymétrie centrale de centre O. On pouvait pourtant remar-quer que ces deux figures sont en ‘« image-miroir ». D’autrepart, si on relie chaque sommet de ka figure jaune au som-met correspondant de la figure bleue, on voit que tous lessegments ainsi formés sont parallèles et ne passent le plussouvent pas par le point O.

• Des confusions de vocabulaire dans les noms des transforma-tions géométriques : « symétrie par translation » par exemple

• Absence des éléments caractéristiques. De nombreux étu-diants semblent avoir compris que les éléments caractéris-tiques étaient les propriétés de la transformation : être uneisométrie, inverser ou non les figures.

• Erreurs sur l’angle de la rotation (souvent 180 ou 90 degrés).

• Confusion entre axe de symétrie et centre de symétrie : sy-métrie axiale d’axe O par exemple



Remarque préalable sur la notion de variable didactique.

Il existe plusieurs définitions de « variiable didactique », commepar exemple celle de Wikipédia : les variables didactiques d’une

tâche d’apprentissage sont des paramètres qui, lorsqu’on agit sur

eux, provoquent des adaptations, des régulations et changements

de stratégie. Il ne vous est pas demandé de connaître une telle défi-nition (ni même de savoir ce qu’on entend par « régulation » danscette définition), mais au moins de comprendre qu’une variabledidactique sert à ouvrir ou au contraire réduire les procédures(ou stratégies) de résolution possibles, des plus élémentaires auxplus expertes. Donc, justifier qu’une variable est didactique né-cessite d’expliquer en quoi elle a une influence sur les méthodesde résolution possibles. Par exemple, on ne peut pas justifier que« proposer une figure plus (ou moins) complexe » est une variabledidactique d’une activité sur la symétrie centrale si on ne dit pasen quoi cela peut avoir une influence sur les méthodes possibles deconstruction du symétrique de la figure. Il ne suffit pas de dire quec’est dans le but de rendre la tâche plus difficile pour les élèves lesplus doués (ou à l’inverse plus facile pour les élèves en difficulté).De même, il n’est pas dans l’esprit d’une variable didactique dedire que le maître va dire aux élèves de résoudre tel problème deproportionnalité en utilisant par exemple la méthode de passageà l’unité : si le maître veut pousser les élèves à le faire en jouantsur les variables didactiques, il va s’arrange pour que les nombresen jeu rendent cette méthode, soit la plus facile à utiliser, soit laseule efficace avec les moyens de calcul et les connaissances dontdisposent les élèves.

Exercice 1 :

1. Il s’agit de la proportionnalité, puisque les agrandissements defigures doivent se faire proportionnellement (et que, du reste,c’est la seule manière naturelle d’agrandir les deux segmentsdonnés a et b comme ils l’ont été).

2. On constate par exemple que les longueurs des deux segmentsa et b ont été multipliées par 1,5. Il faut donc faire de mêmepour c et d dont les agrandissements mesureront donc respec-tivement 18 et 21 carreaux 19.

19. On devrait dire : 18 et 21 côtés de carreux, voire longueurs de côté de carreaux, maiscela alourdirait inutilement la phrase ; il faut cependant se rendre compte que cette expressionpeut induire en erreur lorsque les carreaux servent à mesurer le périmètre d’une figure, carles carreaux qui se trouvent dans un « coin » de la figure risquent de n’être comptés qu’une


3. Quelques variables didactiques :

• La nature du coefficient de proportionnalité.il peut êtreentier, décimal, voire rationnel non décimal. Quelques ar-guments possibles :– S’il est entier, il peut plus facilement être trouvé par

une multiplication à trou, voire être trouvé instanta-nément si c’est un entier « simple » ;s’il est décimal ily a plus de chances qu’il faille poser une division pourle trouver ; en particulier, s’il est entier, c’est un en-couragement à utiliser la technique du coefficient deproportionnalité.

– S’il est entier on peut reporter un certain nombre defois le segment au compas ou par comptage de car-reaux, s’il est décimal non.

– S’il est décimal les calculs peuvent être plus ou moinsdifficiles selon sa valeur. Par exemple, ici 1,5 est uneprocédure travaillée de calcul mental, mais si on choisit1,25 c’est plus difficile.

• Les relations entre les longueurs initiales des segments :ici a mesure 8, b mesure 6, c mesure 12 et et d mesure14. Nous confondrons abusivement dans nos notations lessegments a, b, c, d et leurs mesures respectives dans lasuite, et de même noterons a0, b0, c0 et d0 les mesures dessegments agrandis.Comme c est le double de b, on peut facilement travailleravec la linéarité multiplicative.Comme d = a + b, on peut travailler avec la linéaritéadditive.En choisissant les liens entre ces segments de départ, onpeut décider de la possibilité d’utiliser ces procédures.

• La position des segments agrandis par rapport aux seg-ments initiaux Ici, les segments agrandis sont sur unedeuxième feuille. Si on choisit de les mettre sur la mêmefeuille ou même directement en dessous du segment initial,le coefficient de proportionnalité sera plus visuel. De plus,on visualise mieux le fait que l’allongement des segments Aet B est différent et dépend donc de la laongueur initiale,ce qui peut aider à renoncer aux procédures (incorrectes)par addition.

fois. Voir par exemple le corrigé de la question 5 de l’Exercice 1 de la troisième partie dusujet type 1, page 620.


• présence ou non du quadrillage, de tout autre matériel :Sans quadrillage, il faudra utiliser compas ou calque pourfonctionner par report, et il faudra mesurer les segmentsavec la règle graduée pour fonctionner par calcul.

• La nature des figures à agrandir.On a choisi ici de faire agrandir des segments. Si on faisaitagrandir des figures plus complexes, les élèves pourraient(selon le choix des figures) renoncer à des méthodes incor-rectes telles ajouter la même longueur à tous les segments,en se rendant compte qu’on déforme alors la figure (atten-tion, cet argument ne fonctionne pas si la figure est uncarré, car il restera un carré, ni un rectangle, car il resteraun rectangle et que la déformation ne sera pas éidente).

Certans étudiants ont proposé, comme variable didactique,de ne fournir l’agrandissement que d’un segment : ce ne se-rait pas vraiment pertinent, car il serait difficile de réfuterla méthode qui consiste à ajouter la même longueur à tousles segments. Cette variable serait cependant pertinente s’ils’agissait d’une figure à agrandir, parce que donner les agran-dissements de deux segments peut aider les élèves à se douterque la longueur d’agrandissement dépend du segment donné,tandis que cette aide n’existe pas si l’agrandissement d’unseul segment est donné.

4. On peut relever de nombreuses procédures possibles :

• L’utilisation des propriétés de linéarité :– Comme c = 2 ⇥ b, c0 = 2 ⇥ b0 = 2 ⇥ 9 = 18 (linéarité

multiplicative.– Comme d = a+ b, d0 = a0 + b0 = 12 + 9 = 21.

• Le passage à l’unité :– Un segment de 8 carreaux s’agrandit en 12 carreaux– Donc un segment de 1 carreau (8 fois moins) s’agrandit

en 12 : 8 = 1, 5 carreau– Donc un segment de 12 carreaux (12 fois plus) s’agran-

dit en 1, 5 ⇥ 12 = 18 carreaux et un segment de 14carreaux s’agrandit en 14⇥ 1, 5 = 21 carreaux.

• La recherche et l’utilisation du coefficient de proportion-nalité :– Un segment de 8 carreaux s’agrandit en 12 carreaux.


– Je cherche par combien on a multiplié 8 our obtenir12 (multiplication à trou), par exemple en faisant ladivision 12 : 8 = 1, 5

– Donc le coefficient de proportionnalité est 1,5

– Donc on a c0 = 1, 5 ⇥ c = 1, 5 ⇥ 12 = 18 et d0 =1, 5⇥ d = 1, 5⇥ 14 = 21.


Certains étudiants ne perçoivent pas toujours la diffé-rence entre les deux méthodes pŕécédentes. Dans cer-tains cas, c’est bon signe : c’est parfois qu’ils se posentles bonnes questions.Du point de vue du calcul, les procédures de passageà l’unité et d’utilisation du coefficient de proportion-nalité semblent en effet identiques : elles mènent appa-remment aux mêmes calculs. Cependant, elles sont dif-férentes dans leur esprit :– La méthode du passage à l’unité provient directe-

ment de la propriété linéaire multiplicative (en en-tendant bien que ce qu’on appelle en langage expertla linéarité multiplicative est valable aussi pour ladivision – laquelle n’est autre que la multiplicationpar l’inverse, même si ce fait n’est pas connu à l’écoleprimaire) : il s’agit d’appliquer la linéarité multipli-cative une fois au moyen de la division, une fois aumoyen de la multiplication.

– Tandis que l’application du coefficient de propor-tionnalité requiert un savoir supplémentaire : dansune situation de proportionnalité mettant en rela-tion deux grandeurs, un choix d’unité étant fait pources deux grandeurs, il existe un nombre appelé coeffi-cient de proportionnalité (en réalité muni d’une unitéa priori), tel que les mesures de la deuxième gran-deur (pour l’unité choisie) sont obtenues en multi-pliant celles de la première (pour l’unité choisie) parce nombre.La différence se perçoit mieux dans les problèmesfaisant intervenir deux grandeurs différentes, commeles problèmes de vitesses constantes. Prenons le pro-blème : « je roule à vitesse constante pendant 3heures et je parcours 180 km. Combien de km avais-je parcourus après 2 heures ? ». Traité par le passageà l’unité, je pourrais dire : en 3 heures, 180 km ; doncen 1 heure (je divise par 3) 60 km ; donc en 2 heures(je multiplie par 2) 120 km. Tandis que la recherchedu coefficient de proportionnalité reviendrait à dé-terminer explicitement la vitesse en kilomètres parheure : 180 km/3 h = 60 km/h et ensuite multiplier ladurée par la vitesse pour obtenir l’espace parcouru :2 h⇥ 60 km/h = 120 km..

Cependant, lorsque les deux grandeurs sont de la mêmenature (ici des longueurs) et qu’on utilise les mêmes uni-tés pour chacune des grandeurs (ici le (côté de) carreau),le coefficient ne dépend pas du choix de l’unité et est dé-pourvu d’unité : on a multiplié les longueurs par 1,5.De plus, on remarque une différence dans le calcul : avecle passage à l’unité, du fait que les mesures des segmentsinitiaux sont toutes entières, on est amené à multiplierun décimal (1,5) par un entier (12 ou 14), alors que si l’onutilise le coefficient multiplicateur, on multiplie un en-tier par un décimal. Ce sont deux opérations qui, mêmesi elles donnent le même résultat, n’ont pas la même si-gnification : si on lit « x⇥ y » comme x multiplié par y,1, 5⇥ 12, c’est 1, 5 + 1, 5 + · · ·+ 1, 5 (12 fois), alors que12⇥ 1, 5 c’est

12⇥Å1 +

5

10

ã= 12 + 12⇥ 5

10

ce qui requiert de comprendre ce que veut dire multiplierpar 5 dixièmes.


• La prise en compte du fait que l’allongement des segmentsest lui aussi proportionnel à leur longueur, et l’utilisationdu coefficient de proportionnalité de cet allongement.Concrètement, cela signifie que les élèves se rendent compteque les segments a et b ont été allongés de moitié et fontdonc de même pour c et d : 12 + 6 = 18 et 14 + 7 = 21.L’expression « La prise en compte du fait que l’allonge-ment des segments est lui aussi proportionnel à leur lon-gueur, et l’utilisation du coefficient de proportionnalitéde cet allongement » peut sembler lourde et pompeuse.Mais c’est bien cela qui justifie mathématiquement cetteméthode – une autre justification apparaissant dans laproposition suivante – et non, comme on a pu le lire surde nombreuses copies, la propriété linéaire additive.

• La recherche du coefficient de proportionnalité, et la priseen compte du fait que multiplier par 1,5 c’est ajouter lamoitié.Concrètement, cela signifie que les élèves cherchent le coef-ficient de proportionnalité en divisant 12 par 8 et, trouvant1,5, savent que multiplier par 1,5 revient à ajouter la moi-tié. Cette méthode diffère donc de la précédente, même sielle mène aussi aux calculs 12+6 = 18 et 14+7 = 21, carici ces calculs sont précédés du calcul 12 : 8 = 1, 5.

• L’utilisation en deux temps de la linéarité, sans passer parl’unité :– Un segment de 8 carreaux s’allonge en un segment de

12 carreaux– Donc un segment de 2 carreaux (4 fois moins) s’allonge

en un segment de 12 : 4 = 3 carreaux– Donc un segment de 12 carreaux (6 fois plus) s’allonge

en un segment de 3⇥ 6 = 18 carreaux• Une méthode originale, trouvée sur plusieurs copies. Elle

n’est pas enseignée à l’école primaire, mais on pourraitimaginer qu’un élève y pense.Entre b et a, il y a deux carreaux de différence. Et entreb0 et a0, il y en a trois. Donc chaque fois qu’on ajoutedeux carreaux aux segments initiaux, on doit en ajouter3 aux segments agrandis. Donc un segment de longueur10 (8 + 2) deviendra un segment de longueur 15 (12 + 3),un segment de longueur 12 deviendra un segment de lon-gueur 18 (15+3) et un segment de longueur 21 deviendra


un segment de longueur 24 (18 + 3).Ceic se base implicitement sur le principe de conservationdes égalités des écarts, qui est valable non seulement pourles situations de proportionnalité, masi plus généralementpour les situations qui peuvent s’écrire par une fonctionaffine. En effet, pour une fonction affine f , on a la pro-priété : Si x� y = z � t, alors f(x)� f(y) = f(z)� f(t).

5. • Èlève 1 : aucune bonne réponse. Il s’est proablement basésur la longueur du segment a :– Soit il a vu que pour agrandir a il fallait ajouter 4 car-

reaux, et il a de même ajouté 4 carreaux aux longueursde c et d

– Soit il utilise une propriété fausse de la proportiona-lité : la préservation des écarts. Il a vu que c mesurait4 carreaux de plus que a, donc il a ajouté 4 carreauxà A0 et de même il a vu que d mesurait 6 carreaux deplus que a (ou 2 carreaux de plus que c et a ajouté 6carreaux à l’agrandissement de a (ou 2 à celui de d).

On peut donc conclure que cet élève a une conception er-ronée de la proportionnalité, ou encore qu’il n’a pas réaliséqu’il fallait agrandir proportionnellement.

• Élève 2 : les deux réponses sont correctes. On ne peut riendire de la procédure utilisée.Trop parler nuit. Beaucoup d’étudiants ont ajouté « Il atrouvé le coefficient de proportionnalité 1,5. » : on n’ensait rien !

• Élève 3 : aucune bonne réponse Il a reproduit les deuxsegments à l’identique. C’est un problème de compréhen-sion de la consigne. Généralement les exercices sur un qua-drillage consistent à reproduire une figure ou effectuer unsymétrique. Pour ces deux types d’exercices la figure imageest isométrique, l’élève a pu faire la même chose.

• Élève 4 : aucune bonne réponse. Diverses interprétationspossibles :– Il ajoute 9 à chaque segment. Il semble qu’il ait ajouté

à chaque segment la longueur du segment b agrandi.Il cherche peut-être à appliquer la linéarité additivesans la comprendre (propriété appliquée récemment enclasse ?)

– Il a ajouté 9 à la longueur du segment d, par exempleen cherchant comme ci-dessus à appliquer la linéarité


additive sans la comprendre, et ensuite a retranché 2pour obtenir la valeur de c0 parce qu’il a vu que lesegment c mesurait 2 carreaux de moins que le d, cequi serait l’application d’une règle incorrecte sur laproportionnalité.

– Il a trouvé correctement la longueur du segment dagrandi (probablement par linéarité additive ?), maiss’est perdu dans le problème et a attribué 21 au seg-ment c au lieu de l’attribuer au segment d, ce qui neserait qu’une erreur d’attention. Ensuite, croyant avoirtrouvé pour c et cherchant pour d, il a vu que ce der-nier mesurait 2 carreaux de plus que c, et il a ajouté 2carreaux ce qui, en revanche, est une erreur de concep-tion de la proportionnalité.

Exercice 2 :

1. Quelques variables didactiques :

• La présence ou non du quadrillage, le matériel disponible.

– Si on dispose de papier calque ou si l’on peut réaliserun pliage ou un découpage, les procédures requièrentd’avoir compris le principe « dynamique » de la sy-métrie axiale (faire tourner la figure autour d’un axe)mais ne nécessite plus ensuite que des habiletés ma-nuelles.

– Si l’on dispose d’un quadrillage 20, il est nécessaire desavoir que l’image d’un point se trouve de l’autre côtéde l’axe à la même distance, mais les carreaux per-mettent le positionnement des sommets.

– Si l’on ne dispose que de papier blanc et que le pliageest interdit, il faut disposer d’une règle graduée etd’une équerre (éventuellement un compas pour repor-ter les mesures si l’on ne dispose pas d’une règle gra-duée) et il faut savoir en outre que le segment qui relieun point à son image est perpendiculaire à l’axe.

20. et pour autant que l’axe soit horizontal, vertical ou à la limite oblique selon les diago-nales du quadrillage ; et que les sommets de la figure se trouvent sur des nœuds du quadrillage.Cette précision n’était pas exigée des candidats ; mais elle montre que les variables didactiquesne jouent pas toujours isolément.


Beaucoup d’étudiants ses sont contentés de dire qu’enabsence de quadrillage, il était nécessaire de mesurerla distance à l’axe et de la reporter de l’autre côté. Cen’est pas l’essentiel : lorsqu’on compte des carreaux etque l’on reporte de l’autre côté, d’une certaine manièreon effectue une mesure qu’on reporte, même si l’instru-ment de mesure utilisé est un quadrillage et est doncasssez rudimentaire. En revanche, lorsqu’on dispose d’unquadrillage, on visualise facilement la direction dans la-quelle il faut atteindre l’axe, et on n’a pas nécessairementconscience qu’il faut prendre une direction perpendicu-laire à ce dernier. La suppression du quadrillage nécessitecette prise de conscience.

• La position de la figure par rapport à l’axe et réciproque-ment : la figure est-elle collée à l’axe ou non ? Ici, la figuren’est pas collée à l’axe. Dans le cas contraire, il n’y a pasà chercher la position de la figure image. Le pliage men-tal pour s’approprier, la solution est plus simple. De plus,les points de la figure qui sont sur l’axe sont leur propreimage, ce qui permet de démarrer (particulièrement s’il ya même un segment de la figure qui suit l’axe) et peutfavoriser la procédure dite « de proche en proche » décritedans la question 2.

• L’axe peut être oblique. Dans ce cas les procédures decomptage de carreaux sont plus difficiles à mettre en œuvreet c’est surtout celles, moins expertes, utilisant pliage, pa-pier claque ou, plus expertes, instruments de géométrie quisont privilégiées. De plus, un axe oblique peut permettrede faire apparaître des conceptions erronées : par exemple,joindre l’axe selon une horizontale (comme on le fait avecun axe vertical) ou une verticale (comme on le fait avecun axe horizontal).

L’axe peut aussi traverser la figure, ce qui rend l’exercicetrès complexe.

• La position de la figure par rapport au quadrillage. La fi-gure n’utilise-t-elle que des lignes du quadrillage, ou utilise-t-elle des « obliques » ?Pour les traits obliques, il peut être plus difficile de po-sitionner le point d’arrivée dans le cas d’une procédurede proche en proche, car il faut gérer les déplacementshorizontaux et verticaux. La procédure de recherche des


images des différents sommets pourrait alors être plus ef-ficace.De plus, si un des points de la figure n’est pas sur unnœud du quadrillage, celui-ci risque de devenir un handi-cap plus qu’une aide. Il ne serait d’ailleurs sans doute per-tinent d’utiliser cette forme de la variable que pour faireapparaître que l’utilisation du quadrillage ne fonctionnepas toujours, et pour motiver l’utilisation des instrumentsde géométrie.

• La figure peut posséder un axe de symétrie, parallèle àl’axe de symétrie de l’exercice. Dans ce cas il est possibled’utiliser une translation pour obtenir la bonne réponse.Cependant, cette justification ne suffit pas : il serait trèsmaladroit de jouer sur cette variable en début d’apprentis-sage. Il est bien connu que des élèves procèdent erronémentpar translation (cf l’élève A parmi les productions de laquestion 2) : proposer des situations dans lesquelles cetteprocédure fonctionne, sans qu’ils sachent pourquoi, risquede les conforter dans leur conception erronée (voir aussil’exercice 1 de la partie 3 de l’épreuve de 1ère session, se-mestre 2 2015 - 2016, page 99). En revanche, lorsqu’on estassuré que les élèves ne font plus cette erreur, il peut êtreintéressant de jouer sur cette variable. En effet, si un élèverepère que la figure a un tel axe de symétrie et que parconséquent la figure inversée est identique et qu’il peutagir par translation, il lui suffit de repérer la position d’unpoint, et ensuite la reproduction de la figure « de procheen proche »est facilitée, car, la figure n’étant pas inversée,il n’est pas nécessaire de réfléchir à l’inversion de l’orien-tation.

• Le nombre de sommets de la figure. S’il y en a beaucoup,la procédure du « nuage de points » décrite plus bas risquede poser prooblème, car une fois que les images des nom-breux sommets sont repérées, il peut être difficile ensuitede voir lesquels doivent être reliés par des segments. C’estd’ailleurs peut-être ce qui est arrivé à l’élève C.

2. Il existe deux grands types de procédures pour construire lesymétrique d’une figure sur papier quadrillé (ou sur papierblanc à la règle et à l’équerre) :

• Procédure 1 : construction du « nuage de points ».Il s’agit de positionner tous les points images en recher-


chant leur symétrique par rapport à l’axe, en l’occurrenceen s’aidant des carreaux, puis ensuite de les relier pourformer la figure image (Procédure (inachevée) appliquéepar l’élève C)

• Procédure 2 : construction « de proche en proche ».Il s’agit de positionner l’image d’un sommet 21 puis deconstruire point par point les sommets de la figure imageen utilisant les propriétés de conservation des angles et deslongueurs, et l’inversion de l’orientation. (Procédure (mal)appliquée par les élèves A et B)

3. • Élève A : Les deux figures sont isométriques, l’image estbien de l’autre côté de l’axe et à la bonne « hauteur ». Onpeut aussi considérer qu’il a tenu compte de la distance dela figure à l’axe, dans la mesure oùle point le plus prochede l’axe est à distnace d’un carreau de celui-ci comme surla figure initiale.

• Élève B : Comme l’élève A (sauf la distance à l’axe), maisen outre l’effet miroir est présent.

• Élève C : Tous les sommets sont bien positionnés.

4. • Élève A : la figure n’est pas retournée. L’élève a soit effec-tué une translation, soit plus probablement reproduit lafigure de l’autre côté de l’axe. Il semble avoir une percep-tion visuelle de la symétrie axiale, sans pouvoir visualiserl’effet miroir (ou sans être capable de le reproduire).

• Élève B : la figure n’est pas située au bon endroit. Lafigure initiale est située à 1 carreau du bord du quadrillageà droite. L’élève a construit la figure image à 1 carreau dubord du quadrillage à gauche (à moins que, ayant utiliséla procédure de proche en proche, il ait mal compté lescarreaux pour débuter, ce qui n’est vraisemblable que s’ila commencé par l’un des sommets les plus éloignés del’axe).

• Élève C : La figure n’est pas terminée même si tous lespoints images sont présents. Il y a trop de points poursavoir dans quel ordre les relier.

21. En principe, pour appliquer cette procédure, il faudrait plutôt positionner deux som-mets consécutifs, et de les relier, pour pouvoir appliquer cette procédure. Mais ici, un seulsuffit, car on peut ensuite appliquer une propriété implicite : les segments horizontaux (enfait perpendiculaires à l’axe) le restent, de même que les segments verticaux.


Exercice 3 :

Remarque préalable : Certains de ces exercices nécessitent oupeuvent entraîner, selon la manière dont on les résout, des produitsou des quotients de deux nombres décimaux (non entiers). Les pro-grammes de cycle 3 n’évoquent pas le quotient de deux nombresdécimaux : nous excluons donc toute méthode qui y ferait appel.Concernant la multiplication de deux décimaux, elle est bien ren-contrée au cycle 3. Les repères de progressivité indiquent que satechnique s’apprend en sixième ; mais ils ne disent absolument pasà quel moment son sens doit être abordé 22

.Pour répondre à cet exercice (qui n’avait pas une réponse unique :l’important était de trouver des arguments pertinents, et de nepas proposer un classement par trop absurde), il faut faire unebonne analyse de chacun d’entre eux. L’analyse que nous faisonsici va de toute évidence nettement plus en profondeur que cequi était exigé, notamment dans le temps imparti. Bien des can-didats ont pu obtenir une note parfaitement honorable à cettequestion sans aller aussi loin dans l’analyse ; mais trop de candi-dats semblent s’être contentés d’une analyse trop rudimentaire.

En tout état de cause, il faut commencer par résoudre soi-mêmeles exercices avec des procédures de niveau CM2, même s’iln’était pas demandé de les résoudre sur la copie.

Les méthodes institutionnalisées au CM2 sont l’utilisation despropriétés de linéarité (déjà apprises au CM1) et le passage àl’unité, le coefficient de proportionnalité n’y étant pas encore ins-titutionnalisé. Rappelons que le produit en croix ne relève pas ducycle 3 mais bien du cycle 4, et que l’expression « règle de trois »a été bannie des programmes depuis 2015, probablement à causede son caractère ambigu, certains donnant ce nom à la méthodedu passage à l’unité, d’autres au produit en croix.

• Exercice 1 :

– Par la linéarité :∗ Quand le petit fait 32 tours, le grand fait 24 tours ;∗ Donc quand le petit fait 64 tours (2 fois plus que 32),

le grand fait 48 tours (2 fois plus que 24) ;22. Étant donnée l’importance et la notoriété des travaux de didacticiens sur cette question,

notamment ceux de Régine Douady et Marie-Jeanne Perrin, dans les années 80, on ne sauraitimaginer que c’est parce que les auteurs de ces repères ignorent ces travaux, et on ne peutque supposer que c’est parce que dans leur grande sagesse ils laissent les maîtres détermineren fonction de leurs élèves le meilleur moment pour le faire.


∗ Donc quand le petit fait 8 tours (4 fois moins que 32ou 8 fois moins que 64) le grand fait 6 tours (4 foismoins que 24 ou 8 fois moins que 48)

∗ Donc quand le petit fait 72 tours (64 + 8 ou 9 fois plusque 8) le grand fait 54 tours (48 + 6 ou 9 fois plus que6)

– Par le passage à l’unité :∗ Quand le petit fait 32 tours, le grand fait 24 tours ;∗ Donc quand le petit fait 1 tour, le grand fait 24 : 32 =

0,75 tour.∗ Donc quand le petit fait respectivement 64, 8 et 72

tours le grand fait respectivement 0, 75⇥64 = 48 tours,0, 75⇥ 8 = 6 tours, 0, 75⇥ 72 = 54 tours.

– Par l’utilisation du coefficient de proportionnalité :∗ Le coefficient de proportionnalité est 24 : 32 = 0, 75∗ Donc quand le petit fait respectivement 64, 8 et 72

tours le grand fait respectivement 64⇥0, 75 = 48 tours,8⇥ 0, 75 = 6 tours, 72⇥ 0, 75 = 54 tours.

Il suffisait évidemment de constater que le problème pou-vait se résoudre par l’utilisation des propriétés de linéarité ;nous l’avons résolu par les autres méthodes pour montrerqu’elles étaient moins faciles à appliquer en l’occurrence(sans compter que le sens d’un nombre de tours décimal,pour le passage à l’unité, n’est peut-être pas évident).

• Exercice 2 :

– Par la linéarité : ne s’applique guère naturellement, il fau-drait alors voir que 15, 5 = 4⇥3, 875 (et pour cela divieser15,5 par 4), et ensuite multiplier le prix de 4 kg par 3,875.Ce serait correct, mais pas du tout dans l’esprit dans le-quel la linéarité est abordée à l’école primaire : on l’ap-plique lorsqu’on voit immédiatement le rapport entre lesdonnées, sans faire de division.

– Par le passage à l’unité :∗ 4 kg coûtent 3 e∗ Donc 1 kg (4 fois moins) coûte 4 : 3 = 0,75 e∗ Donc 15,5kg coûtent 15,5 fois plus, soit 0, 75⇥ 15, 5 =11, 625 e. Si le sens de la multiplication de deux dé-cimaux n’a pas été abordé, ou sa technique, on peutaussi chercher le prix de 16 kg, puis le prix d’un demi-kg et retrancher le second du premier.


– Par la recherche du coefficient de proportionnalité : calculsanalogues.

• Exercice 3 : On donne la masse d’un cahier. Par conséquent iln’est pas nécessaire de faire un retour à l’unité.

a) Un cahier pèse 520 g. Donc 23 cahiers pèsent 520⇥ 23 =11 960 g. (NB : c’est un problème de niveau cycle 2, à lataille des nombres près 23)

b) Certes, il faut commencer par convertir 8 kg en 8 000grammes, ce qui relève du cycle 2 : si 1 kg fait 1000grammes, 8 kg font 8000 grammes.

Certains candidats ont fait remarquer que cela nécessi-tait un tableau de conversion. Rappelons que le déca-gramme et l’hectogramme ne font pas partie des pro-grammes des programmes de cycle 2 depuis longtemps(et il n’est pas très clair de savoir s’ils font partie deceux de cycle 3 : les documents d’accompagnement ne lesmentionnent pas explicitement). Pourtant, dès le cycle 2,on convertit des kilogrammes en grammes, simplementen sachant qu’un kilogramme vaut 1000 grammes. Rap-pelons que selon les documents d’accompagnement, lestableaux sont introduits pour bien voir les liens entre lesmultiples et sous-multiple du mètre, du (kilo)gramme,du litre. Voir Grandeurs et mesures au cycle 2 et Gran-deurs et mesures au cycle 3.

Pour le reste, il s’agit d’un problème de division eucli-dienne, plus précisément de division-quotition : en 8000grammes, combien de fois 530 grammes ? Une difficultépouvant être que les problèmes habituels de division-quo-tition sont des problèmes de groupement, ce contexte-ciest peut-être moins habituel. De plus il faut se rendrecompte, comme souvent dans les problèmes de division-quotition, que la réponse n’est pas le quotient, mais lequotient plus 1 : le quotient donne ici le nombre maxi-mum de cahiers qu’on peut prendre sans dépasser 8 kg.

23. Dans le document d’accompagnement sur la proportionnalité on lit :« Au cycle 2, les élèves rencontrent des situations de proportionnalité dans des problèmesmultiplicatifs.Exemple : Un manuel de mathématiques pèse 340 g. Combien pèsent 5 manuels identiques ?Ces problèmes préparent les élèves à la reconnaissance de situation de proportionnalité et àleur résolution par une procédure utilisant la propriété de linéarité pour la multiplication parun nombre. ».

https://cache.media.eduscol.education.fr/file/Mathematiques/69/5/RA16_C2_MATHS_grandeur_et_mesures_doc_maitre_587695.pdf




On peut alors obtenir le résultat en posant la division, oupar tâtonnement (et ce tâtonnement relève lui aussi de lalinéarité) : On a déjà 23 cahiers = 11 960 g, c’est trop. Es-sayons 20, 20⇥ 530 = 10 600 c’est trop, etc. Ou encore untâtonnement par approximation : un cahier c’est un peuplus que 500 g, donc 2 cahiers c’est un peu plus que 1000g, donc 16 cahiers c’est un peu plus que 8000 g. Essayons16. 16 ⇥ 530 = 8480, c’est plus que 8000 g. Enlevons uncahier :15 ⇥ 530 = 7950, c’est moins que 8000 g. Il fautdonc minimum 16 cahiers.

Des étudiants ont proposé de traiter ce problème par laméthode de retour à l’unité. Mais, soit on considère quel’unité est relative au nombre de cahiers, et il n’y a pasde retour à faire puisqu’on a la masse d’un cahier. Soiton considère que l’unité est relative à la masse, et oncherche donc le nombre de cahiers pour 1 gramme, cequi n’a de sens que purement abstraitement, soit pour 1kg, et on est amené à diviser 1 par 0,530, ce qui ne relèvepas du cycle 3.Le problème pouvait aussi être traité un utilisant le coef-ficient de proportionnalité (du nombre de cahiers vers lamasse en grammes, soit 530). Mais dans ce cas, il s’agitd’une utilisation assez poussée du coefficient de propor-tionnalité, puisqu’elle nécessite de comprendre que si onpasse du nombre de cahiers aux masses en multipliantpar 530, on va en sens inverse en divisant par 530. Deplus, l’idée dans ce raisonnement n’est plus la divisioneuclidienne, mais bien la division exacte.

• Exercice 4

– Avec la linéarité : c’est possible, à condition de trouveren tâtonnant que 10,5, c’est 2,5 fois 4,2 (on a plus dechances de le trouver sous la forme 2 fois et demi) ; il esten tout cas exclu de le trouver par la division 10,5 : 4,2qui ne relève pas de l’école primaire. Si on le trouve, onpeut alors déduire que s’il pour faire monter le niveau de4,2 cm il faut verser 12,6 litres, alors pour le faire monterde 10,5 cm il faut verser 2 fois et demi plus d’eau, soit2⇥ 12, 6 L plus la moitié de 12,6 L, soit 25,2 L + 6,3 L =31,5 L. (ou éventuellement en faisant le calcul 12, 6⇥ 2, 5si la technique est connue, ou encore à la calculatrice, voirremarque au début du corrigé de cette question).


– Avec le passage à l’unité : ce n’est pas envisgeable au CM2,car les données font qu’il faudrait faire une division parun nombre décimal : pour 4,2 cm on augmente de 12,6L, donc pour 1 cm on augmente de 12,6 L : 4,2 soit 3 L.Sauf à penser à convertir en millimètres, ce qui conduiraità calculer 12,6 : 42, éventuellement à la calculette.

– Avec le coefficient de proportionnalité : Il ne peut pas êtretrouvé par la division 12,6 : 4,2, puisque la division dedeux nombres décimaux n’est pas au programme du cycle3. Mais il peut être trouvé par une multiplication à trou (cequi est bien dans l’esprit d’une utilisation du coefficient deproportionnalité en CM2) : combien de fois 4,2 dans 12,6 ?Réponse : 3. Le volume augmente donc de 3 litres quand lahauteur augmente d’un centimètre, donc pour une hauteurde 10,5 cm on a un volume de 10, 5⇥ 3 cm = 31, 5 cm.

Il faut ensuite se poser quelques questions au départ :

• Qu’est-ce qui permet à l’élève de percevoir qu’il s’agit d’unesituation de proportionnalité ?

• Eu égard aux nombres en jeu, quelle est l’efficacité des diversesméthodes vues au cycle 3 pour résoudre ces problèmes ?

• Parmi ces méthodes, lesquelles les élèves de CM2 sont-ils censésle mieux maîtriser ?

• Y a-t-il d’autres critères pertinents relatifs à la difficulté de cesproblèmes ?

Les programmes et documents d’accompagnement donnent laréponse à la troisième question : l’élève découvre d’abord les pro-priétés de linéarité (sur lesquelles les programmes insistent lourde-ment, avec la volonté qu’elles soient basées sur le sens et non surle formalisme), ensuite la méthode du passage à l’unité, et enfin lecoefficient de proportionnalité 24.

Le tableau suivant peut aider à répondre à ces questions (iln’était évidemment pas demandé aux candidats de développer l’ar-gumentation autant que dans ce corrigé, ce tableau et les commen-taires permettant de voir où trouver les arguments les plus perti-nents) :

24. Voir la remarque à la fin de ce corrigé concernant les contradictions évidentes entre ledocument d’accompagnement sur la proportionnalité et les repères pour les apprentissagesdu cycle 3.


Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4Champ numé-rique

entiers (pour lala linéarité)décimaux (pourle coeff de pro-portionnalité)

décimaux entiers Décimauxcoefficient deproportionnalitéentier

Taille desnombres

< 100 < 100 > 10 000 <100

Type d’exercices applicationdirecte du cours

applicationdirecte( ?)

application di-recte résolutionde problème

Résolution deproblème

Valeur du coeffi-cient de propor-tionnalité

0,75 0,75 520 3

Liens entreles nombresénoncé/questions

double, quart,somme (avec lalinéarité)

aucun évident départ de l’unité Linéarité (rap-port 2,5)

Support de laproportionnalité

complexe, peuhabituel, horsdu quotidienToutefois,l’énoncé sug-gère qu’il y aproportionnalité

classique (lecommerce)

Simple, pro-portionnalitéclassique

Proportionnaliténon classiqueet peu suggérée(par la formede l’aquariumuniquement)

Procédures utili-sables

linéaritépassage à l’unitéet coefficient deproportionnalitépeu pratiques

coefficient deproportionna-lité, retour àl’unité

coefficient deproportionnalitélinéarité multi-plicativemultiplication,division eucli-dienne

Coefficient deproportionnalitélinéarité multi-plicative

Autre trois questionsde difficultécroissante, maison se base tou-jours sur lamême grandeurde départ, lepetit engrenage

une seule ques-tionmultiplicationde deux déci-maux obligatoire

deux questionsà difficultécroissante ;grandeur dedépart différented’une question àl’autreconversionnécessaire

Une seule ques-tion, pas d’aide.

Quelques remarques :• Du point de vue de la résolution du problème de proportion-


nalité, le problème no 1 est le plus facile : il peut être résolupar les méthodes élémentaires de linéarité, et en n’utilisantque les nombres entiers. Mais on peut remarquer qu’il n’estpas évident a priori que le nombre de tours de la grande roueest proportionnel au nombre de tours de la petite ; de plus, lesélèves pourraient éprouver de la difficulté à comprendre quec’est la plsu grande roue qui fait le moins de tours. L’obser-vation préalable d’engrenages est sans doute nécessaire, parti-culièrement pour éviter que les élèves agissent par réflexe : onest en train de faire des problèmes de proportionnalité, doncj’applique des méthodes de proportionnalité.

• Comme on l’a vu, le problème no 2 est un exemple type de pro-blème qui peut se résoudre par la méthode du passage à l’unité,qui est la procédure institutionnalisée en CM2. On notera tou-tefois que comme elle entraîne un calcul sur les décimaux, ilest probable que si l’on envsage de proposer ce problème, c’estque la méthode a déjà été enseignée avec des nombres plussimples. C’est pourquoi il est raisonnable de considérer ce pro-blèe comme une application directe du cours, du moins si lesélèves ont les outils pour calculer le produit de deux décimaux(une calculette, ou des méthodes de calcul en ligne, ou. . . : voirla remarque en début de corrigé de cet exercice).

• Dans le problème no 3, on donne la valeur de l’unité : 1 cahiera une masse de 530 g. De plus, le fait que la masse est propor-tionnelle au nombre de cahiers est clair et a déjà été abordéau cycle 2. De plus, il ne fait appel qu’aux nombres entiers. Lacomplexité de ce problème, du moins la deuxième partie, ré-side donc essentiellement dans le fait qu’il y a une division par530 à effectuer, et aussi qu’il s’agit d’un problème de division-quotition dans un contexte autre que celui des groupements.Enfin, le problème peut aider à faire le lien entre proportion-nalité et division.

• Dans le problème no 4, on a une triple difficulté : d’abord, devoir qu’il s’agit d’un prooblème de proportionnalité. Il n’estpas si évident que la quantité de liquide dans un aquarium estproportionnelle à la hauteur du liquide (et d’ailleurs le fait quel’aquarium ait la forme d’un pavé droit est crucial) ; d’autantque la formule du volume d’un pavé droit ne se voit qu’ensixième d’après les repères de progressivité (d’ailleurs, seuls lelitre et ses sous-multiples sont au programme du CM2 selon cesmêmes repères). Et d’autre part, si l’application de la linéarité


ou du coefficient de proportionnalité est possible, toutes deuxrequièrent le passage par une multiplication à trous dans lesdécimaux ; et comme on l’a vu, la méthode du passage à l’unitéest peu envisageable ici. enfin, le sens même du coefficient deproportionnalité n’est pas si évident dans cette situation.

Rappelons-le, il n’était pas question de demander aux candidats dedévelopper tout ce qui précède ! Il s’agit pour l’auteur de ce corrigéde donner une liste assez complète des arguments pertinents utili-sables. Voici quelques rangements possibles, avec leur justification :

• Rangement principalement basé sur les techniques utilisablespour résoudre les exercices, et la complexité des calculs : no 1,no 3, no 2, no 4. Argument : le no 1 ne requiert que la linéarité,sur des nombres assez simples ; le no 3 ne requiert pas vraimentde technique de recherche de quatrième proportionnelle dansla mesure où on donne la valeur de l’unité, mais les calculssont nettement plus lourds que dans le no 1. De plus, il permetde penser à la multiplication et à la division ; ensuite, le no 2requiert la méthode du passage à l’unité (probablement déjàenseignée avant avec des nombres plus simples) mais nécessitede calculer sur des décimaux ; enfin le no 4, par la nécessité defaire des multiplications à trous dans les décimaux, et par lefait que la situation de proportionnalité n’est pas familière,

• Rangement principalement basé sur la reconnaissance de laproportionnalité : no 2, no 3, no 1, no 4 (avec des variantes pos-sibles sur l’ordre entre le 2 et le 3 d’une part, et le 1 et le 4d’autre part). Justification de ce classement-ci : dans le 2 etle 3, le caractère proportionnel est suffisamment familier, alorsqu’ainsi qu’on l’a vu plus haut c’est moins le cas pour le 1 et le4. On peut préférer commencer par le no 2 parce que c’est uneapplication directe d’une méthode déjà vue ; le no 3, bien quene nécessitant pas de travailler avec des décimaux, est relati-vement difficile pour les calculs et pour la reconnaissance de lasituation de division. Le choix de poursuivre par le 1 et le 4 sejustifie par le fait de réfléchir à des situations de proportion-nalité moins familières. On prendra le no 1 avant le no 4 parceque sa résolution est plus simple, ainsi qu’on l’a montré. (lechoix du no 4 avant le no 1 pourrait se justifier par le fait quele travail sur les contenances au CM2 pourrait faire apparaîtreexpérimentalement la proportionnalité dans ce problème).


Pour aller plus loin. . .

Nous avons pu remarquer en rédigeant ce corrigé que les docu-ments mis en ligne à votre disposition sur Eduscol se contredisent !

• Dans le document d’accompagnement « Résoudre desproblèmes de proportionnalité au cycle 3 », on lit : « Aucycle 3, les premiers travaux sur la proportionnalité sontproposés dès la première année du cycle ; les élèves ontrecours à des procédures utilisant les propriétés de lalinéarité (pro- cédure utilisant la propriété de linéaritépour l’addition, procédure utilisant la propriété de linéaritépour la multiplication par un nombre). Ensuite, les élèvesrencontrent progressivement des situations qui nécessitentde combiner des procédures utilisant les propriétés dela linéarité (procédure mixte utilisant les propriétés delinéarité pour l’addition et pour la multiplication par unnombre, passage par l’unité). Pendant la seconde moitié ducycle, s’ajoutent des problèmes impliquant des échelles oudes vitesses constantes. Si le coefficient de proportionnalitéest rencontré au cours moyen, notamment lors de travauxsur les échelles, son institutionnalisation dans un cadregénéral peut être reportée en toute fin de cycle 3. »

https://cache.media.eduscol.education.fr/file/

Proportionnalite/95/5/RA16_C3_MATH_doc_maitre_

proport_N.D_576955.pdf

• Tandis que dans le document « Cycle 3 - Mathématiques :Repères annuels de progression » on lit :Pour le CM1 : « Le recours aux propriétés de linéarité (mul-tiplicative et additive) est privilégié. Ces propriétés doiventêtre explicitées ; elles peuvent être institutionnalisées defaçon non formelle à l’aide d’exemples verbalisés (« Si j’aideux fois, trois fois... plus d’invités, il me faudra deux fois,trois fois... plus d’ingrédients » ; « Je dispose de briquesde masses identiques. Si je connais la masse de 7 briqueset celle de 3 briques alors je peux connaître la masse de10 briques en faisant la somme des deux masses »). Dès lapériode 1, des situations de proportionnalité peuvent êtreproposées (recettes...). L’institutionnalisation des propriétésse fait progressivement à partir de la période 2. »Pour le CM2 :« Dès la période 1, le passage par l’unitévient enrichir la palette des procédures utilisées lorsque celas’avère pertinent. »Pour la sixième : « Tout au long de l’année, les procéduresdéjà étudiées en CM sont remobilisées et enrichies parl’utilisation explicite du coefficient de proportionnalitélorsque cela s’avère pertinent. »

https://cache.media.eduscol.education.

fr/file/Attendus_et_reperes_C2-3-4/75/3/

23-Maths-C3-reperes-eduscol_1114753.pdf

https://cache.media.eduscol.education.fr/file/Proportionnalite/95/5/RA16_C3_MATH_doc_maitre_proport_N.D_576955.pdf



https://cache.media.eduscol.education.fr/file/Attendus_et_reperes_C2-3-4/75/3/23-Maths-C3-reperes-eduscol_1114753.pdf




Ainsi, selon les documents d’accompagnement, le recours aucoefficient de proportionnalité se rencontrerait déjà en CM2dans certaines situations et serait institutionnalisé à la fin dela sixième, tandis que selon les repères de progressivité, il neserait rencontré qu’en sixième et dans les cas dans lesquels ceserait pertinent. Ce qui peut expliquer d’ailleurs que certainsenseignants ont pu vous dire l’une ou l’autre version selonle document qu’ils avaient lu. Il en a évidemment été tenucompte dans la correction ; en tout état de cause, le corrigéci-dessus montre qu’il ne manquait pas de méthodes autres quecelle du coefficient de proportionnalité pour résoudre le problème.

Les considérations menées dans la remarque plus haut concer-nant la différence entre le passage à l’unité et l’utilisation ducoefficient de proportionnalité peuvent nous aider dans uneréflexion d”ordre didactique (qui n’était évidemment pas exigéedes candidats). On voit l’insistance que les documents officielsmettent sur la question du sens : les propriétés de linéarité,par exemple, ne doivent pas être vues comme des propriétésformelles (« je multiplie par 3 ici, donc je multiplie par 3 là »),elles s’expriment en termes de raisonnement. On a constaté eneffet qu’une insistance trop rapide sur des méthodes formellesempêche les élèves d’accéder aux fondamentaux de la notionde proportionnalité. Si on montre trop précocément aux élèvesque dans un problème de proportionnalité mis dans un tableaules résultats de la deuxième ligne sont obtenus, par exemple,en multipliant les données par 2, sans y mettre de sens, on nedoit pas s’étonner de voir des élèves traiter des problèmes deproportionnalité dans lesquels on ne fournit qu’une donnée enutilisant l’addition, parce qu’ils voient qu’on passe de la premièeligne à la seconde en ajoutant 5 : cela n’aura ni plus, ni moinsde sens pour lui que de constater qu’on multiplie par 2. C’estd’ailleurs pour cette raison que les tableaux de proportionnaliténe sont introduits en tant que tels que plus tard dans la scolarité(au cycle 4). Au cycle 3, ils ne devraient être utilisés que pourorganiser les données, les calculs qui y sont faits devant s’appuyersur des raisonnements de proportionnalité.

Cependant, s’il est bien une situation dans laquelle ce coefficientde proportionnalité a un sens facile à comprendre, c’est celuides agrandissements de figure : dire que le coefficient est 2, parexemple, c’est dire que les dimensions de la figure agrandie sontdeux fois plus grandes que celles de la figure de base.

C’est la raison pour laquelle il nous semblerait dommage de ne pasrencontrer le coefficient de proportionnalité dès le CM2 dans cecontexte, ou dans d’éventuels autres contextes où son sens seraitfacile à comprendre, sans le voir en toute généralité. Quant au faitde savoir si, en sixième, il faut l’institutionnaliser ou seulementle rencontrer dans des cas pertinents, nous laisserons la questionaux professeurs de collège.



2019-2020 — SESSION 2

UE 2


1. L’objectif de cette activité est de travailler sur l’égalité de lon-gueurs.

2. Grégory a bien respecté l’ordre demandé (du plus grand auplus petit dans le sens de lecture, même si ce n’est pas crucialici). Il a réussi à ordonner la plupart des personnages et objets.Il a, en particulier bien repéré le plus grand et le plus petit.On constate une seule inversion entre le loup et le cochon.Peut-être n’a-t-il tout simplement pas terminé.

3. Louise a correctement placé un ballon au-dessus de chaque par-tie du mur. Pour le premier et le dernier, elle a trouvé un per-sonnage dont la taille correspond exactement à la hauteur vi-sée. Louise semble donc maitriser l’égalité des longueurs. Pourle second ballon (au milieu), Louise a mis deux personnagesl’un sur l’autre pour obtenir la bonne hauteur. On constateici qu’elle sait que des longueurs peuvent être ajoutées l’une àl’autre et qu’on obtient quelque chose de plus grand.

Exercice 2

1. On peut barrer toutes les phrases qui présentent uniquementle contexte et celles qui contiennent des données inutiles pourle calcul final. « C’est l’anniversaire du père de Mathieu. » et« Mathieu veut lui faire un cadeau. ». Ces phrases ne portentque sur le contexte et leur suppression n’enlève rien au sensdu calcul à effectuer.« Il voit une carte routière à 12,25 e, une parure de stylos

à 26,50 e. ». Cette phrase contient des données numériquesinutiles ; elle peut donc être barrée.Il reste donc : « Il prend 30 e dans sa tirelire et va à la librairie.


Il achète un livre dont le prix est 5 e. Quelle somme d’argent

reste-t-il à Mathieu ? ».

2. L’élève A a barré uniquement la phrase qui porte sur les âges.Il a bien perçu le fait que ces données étaient inutiles, parcontre, il a conservé toutes les données en euros. Le calculd’une somme finale l’a sans doute incité à conserver tous lesprix, sans voir que certains étaient inutiles pour le calcul final.L’élève B a barré uniquement la première phrase et la troi-sième. Cet élève a conservé toutes les phrases qui compor-taient des valeurs numériques. L’élève n’a donc effectué aucuntri dans les données, ce qui poserait sans doute problème s’ilfallait faire les calculs et répondre à la question.La consigne demande aussi d’expliquer pourquoi elles sont in-utiles. Cette question est difficile pour les deux élèves qui nefont que paraphraser. Aucun ne justifie réellement ses choix. Ilaurait peut-être été préférable de demander plus explicitementcomment ils ont trouvé les données inutiles.

Exercice 3

Remarque préalable : l’extrait du document d’accompagnementévoque 5 types de procédures :

• la linéarité pour l’addition

• la linéarité pour la multiplication

• l’utilisation mixte des linéarités pour l’addition et la multipli-cation

• le passage à l’unité

• l’utilisation du coefficient de proportionnalité

1. • Production de Cécile :La solution de Cécile comporte deux étapes. Dans la pre-mière elle détermine la masse de 6 voitures à partir de cellede 12 en divisant par deux. Elle utilise donc la linéaritépour la multiplication. Dans la deuxième étape, elle déter-mine la masse des 18 voitures en sommant celles des 12 etdes 6 précédemment trouvées. Elle utilise ici la linéaritépour l’addition.Remarque : si la question avait porté directement sur larecherche de la masse de 18 voitures, on aurait pu dire queCécile utilisait une procédure mixte de linéarité additiveet multiplicative. Mais ici l’énoncé détaille les deux étapes.


• Production de Sébastien :La solution de Sébastien repose sur un retour à l’unité. Parune division posée, il cherche la masse d’une voiture. Il ob-tient 0,836 tonnes (valeur approchée). Il multiplie ensuitela masse d’une voiture par 18.

• Production de Mélanie :La solution de Mélanie comporte deux étapes. La premièreest identique à celle de Cécile. Elle calcule par la linéaritépour la multiplication la masse de 6 voitures en divisantcelle de 12 par 2. Ensuite, elle multiplie cette masse des6 voitures trouvée par 3 pour déterminer celle de 18 voi-tures. Elle utilise ici une deuxième fois la linéarité pour lamultiplication.

2. Pour cet exercice, les trois procédures sont pertinentes au re-gard du travail sur la proportionnalité. Néanmoins, les valeurschoisies dans l’exercice ne permettent pas de trouver une va-leur exacte lors du retour à l’unité (production de Sébastien).Il faut alors faire une approximation qui se répercute sur lescalculs suivants. Ceci ne permet pas de déterminer la valeurexacte, or celle-ci peut être facilement calculée par les deuxautres procédures (Cécile et Mélanie). On peut donc dire queles solutions de Cécile et Mélanie conviennent, mais pas cellede Sébastien.

3. Pour répondre à cette question, on peut reprendre chacune destrois procédures vues dans l’activité d’approche (ou éventuel-lement en proposer d’autres en appui sur la typologie rappeléedans l’extrait du document d’accompagnement).

(a) Procédure 1 : Par linéarité pour la multiplication.4 est la moitié de 8, donc la masse de chocolat pour 4 per-sonnes est la moitié de celle pour 8. On calcule 300 : 2 =150.La quantité de chocolat pour 4 personnes est 150 g.On remarque que 12 est le triple de 4 donc la quantité dechocolat pour 12 personnes sera le triple de la valeur trou-vée précédemment. On calcule 150⇥ 3 = 450. La quantitéde chocolat pour 12 personnes est 450 g.

(b) Procédure 2 : Par linéarité pour la multiplication puis parlinéarité pour l’addition.4 est la moitié de 8, donc la masse de chocolat pour 4personnes est la moitié de celle pour 8. On calcule 300 : 2= 150.


La quantité de chocolat pour 4 personnes est 150 g.On remarque de 12 = 8 + 4, donc on peut trouver laquantité de chocolat pour 12 personnes en additions cellespour 8 et pour 4. On calcule 300 + 150 = 450.La quantité de chocolat pour 12 personnes est 450 g.

(c) Procédure 3 : Par retour à l’unité.On connaît la quantité pour 8 personnes donc on peutdéterminer, en divisant par 8, la quantité pour 1 personne.On calcule 300 : 8 = 37,5 (valeur exacte).La quantité de chocolat pour 1 personne est 37,5 g.Ensuite, il suffit de multiplier cette valeur par le nombrede personnes pour trouver la quantité pour 4 personnes etpour 12 personnes.On calcule 37, 5⇥ 4 = 150.La quantité de chocolat pour 4 personnes est 150 g.On calcule 37, 5⇥ 12 = 450.La quantité de chocolat pour 12 personnes est 450 g.

4. Comme on peut voir dans les questions 1 et 3, la procédure parretour à l’unité n’est pertinente que si la valeur unitaire trouvéeest exacte. Ce qui est le cas dans le problème d’application dela question 3 (valeur unitaire 37,5) mais pas dans le problèmede l’activité d’approche donnée en annexe 3 (valeur unitaire10,04 : 12 soit env. 0,836).


4Corrigés autres sujets

615

616 CHAPITRE 4. CORRIGÉS AUTRES SUJETS

4.1 SUJET TYPE 01

PREMIÈRE PARTIE


1. Les dimensions du triangle rectangle sont BC = 21/4 = 5, 25cm et AB = 29, 7/4 = 7, 425 cm.Sur votre copie, vous pouvez bien sûr utiliser AB ⇡ 7, 4 cmet BC ⇡ 5, 2 cm.

A B

C

2. Par définition de la tangente, on a

tan(’BAC) =BC

AB=

21

29, 7

soit environ 0,71.Vous pouvez également (ça n’est pas indispensable) donnerune valeur exacte sous forme de fraction :

21

29, 7=

210

297=

70

99.

3. Le théorème de Pythagore appliqué au triangle ABC rectangleSOH CAH TOA

en B donne

AC2 = AB2 +BC2 = 29, 72 + 212.

On en déduit

AC =p

29, 72 + 212 ⇡ 36, 37 cm.


4. Par définition du cosinus,

cos(A) =AB

AC⇡ 29, 7

36, 37

soit encore 0,82.

5. En remplaçant par les valeurs trouvées au-dessus, on vérifie laformule :

1 + 0, 712 ⇡ 1

0, 822.

6. On sait que la tangente de l’angle A vaut environ 0,71. On endéduit par lecture graphique que A ⇡ 35� (abscisse du pointd’ordonnée 0,71).

Partie B

Attention : dans cette partie, on ne suppose plus que la longueurd’une feuille A4 est 29,7 cm.

1. Puisqu’une feuille A5 est obtenue en coupant une feuille A4 endeux, sa longueur mesure 21 cm, et sa largeur mesure la moitiéde la longueur d’une feuille A4, soit x/2. Ainsi, les dimensionsd’une feuille A5 sont 21 et x

2 .

2. On peut construire le tableau de proportionnalité suivant :

A4 A5longueur x 21largeur 21 x/2

Pour que cela soit bien un tableau de proportionnalité, il fautque les rapports soient égaux, soit :

x

21=

21x2

,

soit encore

x

21=

21⇥ 2

x.

Produit en croix pourdes fractions : a

b = cd si

et seulement si ad = bc.3. L’égalité précédente conduit à :

x2 = 2⇥ 212,

et donc à x = 21p2.


4. La définition de la tangente indique que

tan(A) =21

x=

21

21p2=

1p2.

DEUXIÈME PARTIE

Exercice 1

1. FAUX. Un cube d’arête 50 cm = 5 dm a pour volume 53 =125 dm3, donc 125 litres.

2. FAUX. Une ampoule de 40 W allumée pendant 4 heures consomme40⇥ 4 = 160 Wh.

3. VRAI. Soit a l’arête du cube. On a V = a3. Le polyèdreABCDE est une pyramide à base carré de côté a et dontla hauteur est AE = a. Son volume est donc a2⇥a

3 = V3 .

B C

DA

E

4. VRAI.14

56=

2⇥ 7

56=

2

8=

1

4= 0, 25.

5. FAUX. Tout nombre admet une écriture décimale, même s’ilTout nombre réel ad-met une écriture déci-male. Les nombres dé-cimaux sont ceux dontl’écriture décimale estfinie

n’est pas décimal, comme 1/3 = 0, 3 (un nombre décimal estun nombre dont l’écriture décimale est finie).

6. FAUX. C’est 3, car c’est le chiffre des unités.


Exercice 2vitesse = distance

durée

1. Il faut 50/15 heures pour faire 50 km à 15 km/h, et 50/25heures pour faire 50 km à 25 km/h. Ainsi, Anne met

50

15+

50

25=

10

3+ 2 =

16

3

heures pour faire les 100 km.On peut aussi utiliser des tableaux de proportionnalité pourarriver au même résultat.

2. Anne a parcouru 100 km en 16/3 heures. Sa vitesse moyenneest donc

vAnne =100163

=300

16km/h.

3. Il lui faut x/15 heures.

4. La seconde partie du trajet correspond à 100 � x km à 25km/h, soit un temps de parcours de 100�x

25 .

5. Les temps de parcours des deux parties du trajet doivent êtreidentiques. On doit donc avoir

x

15=

100� x

25

soit25x = 1500� 15x,

40x = 1500

donc x = 1500/40 = 37, 5 km. Karim a donc parcouru 37,5km à 15 km/h, ce qui prend 37, 5/15 heures et le reste (62,5km) à 25 km/h, ce qui prend 62, 5/25 h. Sa vitesse moyenneest donc

vKarim =100

37,515 + 62,5

25

= 20 km/h.

6. On a vu que la vitesse de Anne est vAnne =30016 = 18, 75. Karim

a donc été plus rapide que Anne.

TROISIÈME PARTIE

Exercice 1

1. En CE2, car cela correspond à la compétence du BO “Calculerle périmètre d’un polygone”


2. 1 Les figures A, B, D et F ont le même périmètre (16). Pour letrouver, on dénombre les segments (côté de carreaux) formantle pourtour des surfaces. 2 Les figures A et C semblent avoirle même périmètre. Pour le savoir, on mesure chaque côté desfigures avec la règle, et on fait la somme.

3. Il s’agit dans les deux cas de trouver les figures ayant mêmepérimètre.

4. Dans 1 , il y a un quadrillage, mais pas dans 2 .

Dans l’exercice 1 il suffit de dénombrer : c’est donc une me-sure directe. Dans l’exercice 2 , il faut mesurer avec la règleet faire une somme. Il y a donc plusieurs étapes correspondantà une partie de mesure et une partie de calcul.

5. Les élèves risquent de compter le nombre de carreaux (et nonde segments) formant le pourtour (intérieur ou extérieur) dechaque forme, comme sur la figure ci-dessous par exemple, oùle périmètre est 16, mais où certains élèves pourraient trouver12.

1 2 3 4

5

6

78910

11

12

Exercice 2

1. Le triangle violet mesure 2 cm2. Le carré jaune 4 cm2. Lerectangle vert 2 cm2 et chacun des triangles bleus 1/2 cm2.L’ordre est donc carré jaune > triangle violet = rectangle vert> triangles bleus.La fusée a été tracée en utilisant des triangles isocèles et desrectangles (dont un carré).Un carré est un rec-

tangle particulier


On peut soit compter les demi-carreaux, soit imaginer un découpage-recollage.Ici, un schéma pourrait être utile. Par exemple, on pour-rait montrer comment accoler les deux petits triangles pourformer un carré.

2. Il a compté les carreaux au lieu des cm2 (qui correspondent à4 carreaux). En conséquence, ses résultats sont tous 4 fois tropgrands. Cela est sans doute le résultat d’exercices antérieurs,où le carreau était pris comme unité de mesure.

3. Il a sans doute compris la question comme “classer du plushaut au plus bas”.

4. Oui, il s’agit bien d’un rectangle, puisque les carrés sont desrectangles. Néanmoins, on pourrait lui faire remarquer que“carré” est plus précis et correct aussi.

5. La réponse de l’élève est correcte mais incomplète, car la diffi-culté tient ici au fait qu’on a des demi-carreaux et il n’expliquepas comment gérer cette difficulté. En outre, il faut ensuiteconvertir les carreaux en cm2, ce qu’il n’a pas fait.


4.2 SUJET TYPE 02

PREMIÈRE PARTIE


1. D’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle ABErectangle en A, on a

BE2 = EA2 + AB2 = 42 + 32 = 25

d’où on tire BE = 5 cm.

2. La méthode précédente montre que CH = 5 cm. On appliquemaintenant le théorème de Pythagore dans le triangle BCHrectangle en C :

BH2 = BC2 + CH2 = 72 + 52 = 74.

Ainsi, BH =p74.

3. On utilise la formule du volume d’un pavé droit :

VABCDEFGH = 3⇥ 4⇥ 7 = 84 cm2.

4. Oui, le triangle BEH est rectangle en E car la droite (EH)est perpendiculaire au plan ABFE.

5. Non, le triangle BED n’est pas rectangle. On peut vérifier quele théorème de Pythagore n’est pas vérifié. On a en effet

BE2 = 25 ED2 = 65 BD2 = 58.

Ne pas parler d’hypoténuse dans le cas de BED, puisque letriangle n’est pas rectangle.

Partie B

1. Le théorème de Pythagore indique que AC =p58. Ce trajet

mesure doncLACG = 4 +

p58


2. De la même manière, on trouve

LABG = 3 +p65.

3. Puis que

LADG = 7 + 5 = 12.

4. Un patron possible est donné ci-dessous.

5. Les trajets sont représentés en couleurs. Notez que le trajetA ! D ! G est dessiné en deux parties à cause du choix dupatron.


B C

GF

A

E

D

H

H

D

E

A

A D

6. Le plus court chemin d’un point à un autre est la ligne droite.On condière donc les trajets ci-dessous :

B C

GF

A

E

D

H

H

D

E

A

A D

En utilisant le théorème de Pythagore, on peut calculer les lon-gueurs des chemins. Le chemin vert a pour longueur

p2⇥ 49 =


7p2. Le chemin bleu est identique, et le chemin orange a pour

longueurp116. Le plus court de ces trois chemins est donc le

bleu (ou le vert), avec pour longueur 7p2 cm.

En réalité, il existe trois autres chemins possibles, mais leplus court est bien celui que nous avons cité. Un exempled’autre chemin est un chemin passant par [DH].

DEUXIÈME PARTIE

Exercice 1

1. VRAI. En effet, (EH)//(AD) et dans le rectangle ABCD ona bien sûr (AB) ? (AD), ce qui prouve le résultat.

2. FAUX. Plaçons-nous dans le rectangle ABGH. (BH) et (AG)portent les diagonales de ABGH, qui n’est pas un carré et n’adonc pas ses diagonales perpendiculaires.

3. VRAI. (AB)//(CD) car ABCD est un carré, et (CD)//(GH)car CDHG est un carré.

4. FAUX. Il y a une face (ACGE) en trop. Le volume est bien lamoitié, mais pas l’aire.

5. VRAI. Notons c le côté du cube. Son volume est donc c3.AEFH est une pyramide dont la base (AEF ) est un triangleisocèle rectangle d’aire c2

2 , et la hauteur est EH = c. Par ap-plication de la formule du volume d’une pyramide, on trouveainsi un volume de 1

3 ⇥c2

2 ⇥ c = c3

6 .

6. FAUX. (BD)//(FH) qui coupe (EG).

Exercice 2

1. Choisissons comme base le triangle AJK. Il a pour aire

AAJK =25

2.

La hauteur correspondante est AI = 5. Ainsi, le volume cher-ché est

VAIJK =1

3⇥ 25

2⇥ 5 =

125

6cm3.

Ce polyèdre est uncuboctaèdre2. On peut dénombrer les faces, arêtes et sommets sur une repré-

sentation en perspective cavalière :


On trouve 12 sommets, 24 arêtes et 14 faces.

Il est également possible (et peut-être plus sûr) d’utiliser leraisonnement, de la manière suivante : chaque face du cubeinitial donne naissance à 4 arêtes, ce qui fait un total de6 ⇥ 4 = 24 arêtes. Par rapport au cube de départ, on aajouté une face à chaque sommet du cube. On obtient doncles 6 faces de départ du cube (il reste une partie de chaqueface) plus une face par sommet, soit 8. Le total est donc6 + 8 = 14 faces. Enfin, on peut noter que les sommets dupolyèdre sont les milieux des arêtes du cube. Il y a 12 arêtespour un cube, donc 12 sommets pour notre polyèdre.

3. Il y a 6 faces carrés de côté 5p2 et 8 triangles équilatéraux de

même dimension.

4. Tous les segments (arêtes) ont la même dimension. Voici unexemple de patron possible :


Il existe d’autres patrons. Vérifiez que vous avez bien 8 tri-angles et 6 carrés, et que lorsqu’on plie la figure il n’y ajamais deux carrés ou deux triangles en contact direct.

5. Voir plus haut.

TROISIÈME PARTIE

Exercice 1

1. Il faut ajouter un axe horizontal au losange et 4 axes (un parsommet) à l’étoile.

2. Les axes verticaux sont plus faciles à percevoir que les axes Dès 1 an, les en-fants détectent mieuxles axes verticauxhorizontaux (qui sont, eux-mêmes, plus facile à détecter que

les axes obliques).On peut aussi répondre que les enfants privilégient les axespassant par des sommets. Dans le cas du cœur, il n’y aque deux “sommets”, contrairement à ce qui se passe pourla flèche. Cela peut aussi aider à détecter l’axe.

3. (1) Que les axes tracés soient bien des axes de symétries (2)qu’il ne manque pas d’axe (3) précision du tracé.

4. Il manque les axes horizontaux et verticaux du carré. Pour lerectangle, il y a des axes horizontaux et verticaux, mais pasles diagonales.

5. Il a tracé à tort les diagonales du rectangle. Dans les deuxfigures, il n’a pas indiqué les axes horizontaux et verticaux.

6. Parce qu’ils retiennent qu’un axe de symétrie est une droite quicoupe la figure en deux parties superposables, comme c’est lecas pour la diagonale d’un rectangle. Ils ne prennent pas en


compte que les deux parties doivent être superposables par

pliage le long de l’axe.Si vous avez cité à la question 2 le fait que dans le cas ducœur l’axe passe par des sommets de la figure, vous pouvezégalement le remarquer ici dans le cas du rectangle.

Exercice 2

1. Cela ne peut pas être avant le CM1, car cela relève de la pro-portionnalité. La présence d’un arc de cercle laisse penser quec’est plutôt du niveau CM2.

2. Il faut

• Savoir analyser une figure complexe.• Savoir utiliser les instruments de géométrie (notamment

le compas)• Savoir utiliser des procédures relevant de la proportionna-

lité (ici, il faut multiplier par 2 toutes les longueurs).

3. On pourrait supprimer l’arc arrondi de la porte, qui oblige lesélèves à retrouver le centre et à utiliser le compas.

4. On pourrait supprimer le quadrillage, qui rendrait inopéranteles procèdures les plus simples fondées sur le dénombrementde carreaux.

5. (1) Les élèves pourraient placer la fenêtre “au jugé”. (2) Lesélèves pourraient ajouter la même valeur, par exemple, auxdeux dimensions du rectangle formant la maison. Par exemple,la largeur doit passer de 3 grands carreaux à 6 grands carreaux.Les élèves pourraient ajouter 3 à la longueur, ce qui donnerait7 carreaux au lieu de 8.

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