1. Introducción.

2. Respuesta de sistemas discretos LTI a señales exponenciales complejas.

3. Representación de señales periódicas: la serie discreta de Fourier.

4. Transformada de Fourier para secuencias no periódicas.

5. Transformada de Fourier para secuencias periódicas.

6. Respuesta en frecuencia de sistemas discretos.

7. Estudio de señales y sistemas discretos en el dominio transformado Z.

8. La función de sistema de sistemas discretos

9. Sistemas de tiempo discreto descritos por ecuaciones en diferencias lineales de coeficientes constantes.

10. Introducción al filtrado.

Análisis y caracterización de sistemas de discretos mediante la transformada de Fourier

1. Introducción

El análisis de Fourier es una de las herramientas más útiles en procesado de señal. Se basa en la descomposición de una señal en términos de un conjunto de funciones base (sinusoides de diferente frecuencia).

Señales continuas (analógicas):Periódicas: Series de Fourier (CTFS).No periódicas: Transformada de Fourier (CTFT).

Señales discretas (digitales):Periódicas: Series de Fourier en tiempo discreto (DTFS)No periódicas: Transformada de Fourier en tiempo discreto

(DTFT)

1. Introducción: autovalores y autofunciones

Para un sistema LTI con respuesta al impulso h[n] la respuesta a una exp. compleja es otra exp. compleja:

Siendo:z0

n = |z0|n ejΩon Ξ AUTOFUNCIÓN H(z0) Ξ AUTOVALOR ∈ ¢Por ser z0

n autofunción, también lo es ejΩn (zn con |z|=1)Por ser H(z0) autovalor, también lo es H(ejΩon)

h[n]x[n]= ejΩn y[n]=H(ejΩn)· ejΩn

0

0 0 0

0 0

[ ]

[ ] [ ]* [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] ( )

n

n k n k

k k k

n

x n z

y n h n x n h k x n k h k z z h k z

y n z H z

∞ ∞ ∞− −

=−∞ =−∞ =−∞

=

= = − = =

=

∑ ∑ ∑

Supongamos que la entrada es una combinación lineal de exponenciales:

La respuesta es otra combinación lineal de las mismas exponenciales. Esto es considerablemente más sencillo que realizar la convolución. Por ello vamos a estudiar qué tipo de señales se pueden representar mediante combinación lineal de exponenciales complejas.

2. Respuesta de sistemas LTI a señales exponenciales complejas

1

1

[ ] e

[ ] [ ] [ ] [ ] e

k

k

Nj n

kk

Nj n

kk

x n a

y n h n x n a h n

Ω

=

Ω

=

= ⇒

= ∗ = ∗

∑

∑

( )1 1

[ ] e e ek k k

N Nj j n j n

k kk k

y n a H bΩ Ω Ω

= =

= =∑ ∑ H(ejΩk) Ξ H(Ωk) ∈ ¢ak, bk ∈ ¢

Respuesta de sistemas LTI a una combinación lineal de exponenciales complejas

De forma más gráfica, y aplicando la propiedad de linealidad…

h[n]31 2

1 2 3e e e j nj n j na a a ΩΩ Ω+ + y[n]

h[n]

h[n]

h[n]3

3 e j na Ω

22 e j na Ω

11 e j na Ω

y[n]

33 e j nb Ω

22 e j nb Ω

11 e j nb Ω

Recordemos que en tiempo discreto y, más concretamente, en las exponenciales del tipo: x[n]=ejΩon

Si Ω0 crece, la frecuencia NO siempre aumentaSi Ω0 decrece, la frecuencia NO siempre disminuyeSi Ω0= Ω’0+2kπ ⇒ las señales son iguales:

ejΩ’0n =ej(Ω0 +2kπ)n =ejΩ0n

ejΩ0n es periódica ⇔ Ω0=2mπ/NSi es periódica (Ω0=2mπ/N) ⇒

Periodo fundamental N0=N, si N y m son primos entre síFrecuencia fundamental f0=1/N0

Pulsación fundamental 2πf0=2π/N0Sólo existen N0 armónicos diferentes

Propiedades de las exponenciales complejas discretas

De modo análogo al tiempo continuo, para cualquier señal periódica es de esperar que se pueda obtener un desarrollo como combinación lineal de funciones armónicas. Como el número de armónicos en tiempo discreto es finito y coincide con el periodo fundamental de la señal, si tenemos una señal periódica: x[n]=x[n+N], œ n y N entero positivo, se espera que se pueda expresar de la forma:

0[ ] e 2siendo ojk nk

k Nx n a NπΩ

=< >

= Ω =∑Como sólo existen N armónicos diferentes y se repiten periódicamente, la suma se extenderá sobre cualquier intervalo de N valores consecutivos.Sustituyendo el valor de Ω0 se obtiene:

2

[ ] ejk n

Nk

k N

x n aπ

=< >

= ∑ Ecuación de síntesis de la DTFS

3. Representación de señales periódicas: la serie de Fourier en tiempo discreto (DTFS)

Para comprobar que cualquier secuencia periódica tiene desarrollo en serie de Fourier es necesario obtener el valor de los coeficientes ak. En la ecuación de síntesis, multiplicamos ambos lados por e-j2kπ n/N y obtenemos:

2 2 2

2 2 ( )

2 21 1 ( )

0 02 21 1 ( )

0 0

[ ]e e e

[ ]e e

[ ]e e

[ ]e e

Sumamos valores. :

j mn j kn j mnN N N

kk N

j mn j k m nN N

kk N

N Nj mn j k m nN N

kn n k N

N Nj mn j k m nN N

kn k N n

N

x n a

x n a

x n a

x n a

π π π

π π

π π

π π

− −

=< >

− −

=< >

− −− −

= = =< >

− −− −

= =< > =

= ⇒

=

= ⇒

=

∑

∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

DTFS: Cálculo de los coeficientes (I)

El último sumatorio es una progresión geométrica de N términos:

1 si y 1 si ,1

1 1

0

1

0

==≠−

−= ∑∑

−

=

−

=

αααα

ααN

n

nN

n

Nn N

DTFS: Cálculo de los coeficientes (II)

Observamos que Si k−m≠rNr entero,

e−j2π(k−m)n/N ≠ 1 Si k−m=rNr entero,

e−j2π(k−m)n/N = 1

2 ( )21 ( )

2 ( )0

1 ee 01 e

j k m NN Nj k m nN

j k mn N

ππ

π

−− −

−=

−= =

−∑

21 1( ) 2

0 0

e eN Nj k m n j rnN

n n

Nπ

π− −−

= =

= =∑ ∑

Como este resultado (0 ó N) hay que sumarlo sobre N índices:21

0

[ ]eN j mn

Nm

n

x n Naπ− −

=

= ⇒∑21

0

1 [ ]eN jk n

Nk

na x n

N

π− −

=

= ∑Ecuación de análisis

Como los armónicos se repiten cada N índices, los coeficientes aktambién:

Si x[n] es real los coeficientes son hermíticos:

Como el DTFS es una suma finita de términos, siempre converge y es una representación exacta de la secuencia.

kNk aa =+

Propiedades

*k ka a −=

DTFS de las funciones seno y coseno

( )0 0 2 2

01 1[ ] cos

2 2 2 2

j n j n jm n jm nN Ne ex n n e eπ πΩ − Ω −

= Ω = + = +

2 21 1,2 2

a a−= =

1 1,2 2m ma a−= =

Si Ω0=4π/5 ⇒ m=2, N=5

( )0 0 2 2

01 1[ ] sen

2 2 2 2

j n j n jm n jm nN Ne ex n n e e

j j j j

π πΩ − Ω −= Ω = − = −

1 11 1,

2 2a a

j j−= = −

1 1,2 2m ma j a j−= = −

Si Ω0=2π/5 ⇒ m=1, N=5

|ak|

k

k

Êak

1/2

5−5

……

5−5−π/2

π/2

|ak|

k

k

Êak

1/2

5−5

……

5−5

Ejemplo

Representación gráfica de la DTFS

4. Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT) para secuencias no periódicas

N1 N2 n

x[n]

2 21[ ] e [ ]econ jk n jk n

N Nk k

k N n N

x n a a x nN

π π−

=< > =< >

= =∑ ∑% %

2

1

2 21 1[ ]e [ ]e N jk n jk n

N Nk

n N n

a x n x nN N

π π∞− −

= =−∞

= =∑ ∑

N1 N2 N n

[ ]x n%

Realizamos una extensión periódica de una secuencia de duración finita

[ ]x n%[ ]x n

Expresamos la señal mediante su DTFS:[ ]x n%

En el intervalo N1 ≤ n ≤ N2, se cumple [ ] [ ]x n x n=%

Si definimos:

Los coeficientes ak son muestras equiespaciadas de la señal X(Ω)

Podemos sintetizar la expansión periódica de la señal como:

( ) ( ) [ ]ej j n

n

X e X x n∞

Ω − Ω

=−∞

≡ Ω ≡ ⇒∑

0

1 ( )ka XkN

= ΩΩ = Ω

0 00 0 0

1 1[ ] ( ) ( )2

jk n jk n

k N k Nx n X k e X k e

N πΩ Ω

=< > =< >

= Ω = Ω Ω∑ ∑%

DTFT para secuencias no periódicas (I)

02

donde Nπ

Ω =

DTFT para secuencias no periódicas (II)

2

1[ ] ( )2

( ) [ ]

j n

j n

n

x n X e d

X x n e

ππΩ

∞− Ω

=−∞

= Ω Ω

Ω =

∫

∑

Si hacemos N → ∞ ⇒Ω0 → dΩ,kΩ0 → Ω, la suma tiende a una integral que se extiende a todas las posibles pulsaciones (intervalo 2π)

Ecuación de síntesis de la DTFT

Ecuación de análisis de la DTFT

0

2

1[ ] [ ] ( )2

jk nx n x n X e dππ

Ω= = Ω Ω∫%

[ ] [ ]x n x n⇒%

Ejemplo

1 1

1 1

1 1( 1) 2

2

1

( ) [ ]e 1e

e e e1 e e

1sen ( )2

sen2

N Nj n j n

n N n N

jj N N

j j

X x n

N

− Ω − Ω

=− =−

Ω−Ω −Ω +

Ω− Ω −

Ω = =

−= =

−

⎛ ⎞Ω +⎜ ⎟⎝ ⎠=

Ω

∑ ∑

−N1 N1 n

[ ]x n

N

Función sinc{·} discreta

DTFT de la función seno

( )0 0

0[ ] sen2 2

j n j ne ex n nj j

Ω − Ω

= Ω = −

[ ]( ) ( 2 ) ( 2 )o ok

X k kj

π δ π δ π∞

=−∞

Ω = Ω − Ω − − Ω + Ω −∑

Si 0<Ω0<π

|X(Ω)|

Ω

Ω

ÊX(Ω)

2π−2π

……

2π- 2π

−Ω0 Ω0

……π/2

π

Si Ω0>π

…

…π/2

π

2π−Ω0 Ωo

|X(Ω)|

Ω

Ω

ÊX(Ω)

−2π

…

2π−2π

…

La DTFT de secuencias X(Ω) es una función de variable continua La ecuación de análisis es una suma y no una integralLa ecuación de análisis es válida siempre que ⇒X(Ω) es siempre periódica de periodo 2πLas bajas frecuencias corresponden a pulsaciones próximas a cero y a cualquier múltiplo entero de 2πLas altas frecuencias corresponden a pulsaciones próximas a π y a cualquier múltiplo impar de πLa ecuación de síntesis se extiende en un intervalo 2π (todas las posibles pulsaciones en discreto)La señal x[n] se puede sintetizar como superposición de todas las posibles exponenciales complejas diferentes en discretoLa ecuación de síntesis converge siempre que X(Ω) tenga valores finitos en todas las pulsaciones

∞<∑∞

−∞=n

nx ][

Consecuencias, analogías y diferencias con el caso de tiempo continuo

Señal Transformada

][][

nynx

π2 peridodo de

Periódicas)()(

⎭⎬⎫

ΩΩ

YX

ax[n]+by[n] aX(Ω)+bY(Ω) x[n−n0] )(0 ΩΩ− Xe nj

][0 nxe njΩ )( 0Ω−ΩX x*[n] )(* Ω−X

x[−n] )( Ω−X

[ ]⎩⎨⎧

=resto 0

enterosi][)(

knknxnx k X(kΩ)

][][ nynx ∗ )()( ΩΩ YX

][][ nynx ∫ −Ωπ

θθθπ 2

)()(21 dYX

]1[][ −− nxnx ( ) )(1 Ω− Ω− Xe j

Propiedades de la DTFT

Señal Transformada

∑−∞=

n

k

kx ][ ∑∞

−∞=Ω −Ω+

−Ω

kj kX

eX )2()0(

1)( πδπ

][nnx )(ΩΩ

Xddj

real ][nx { } { }

{ } { }

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

Ω−−∠=Ω∠Ω−=Ω

Ω−−=ΩΩ−=Ω

Ω−=Ω

)()()()(

)(Im)(Im)(Re)(Re

)()( *

XXXX

XXXX

XX

Relación de Parseval para secuencias no periódicas

∫∑ ΩΩ=∞

−∞=ππ 2

22 )(21][ dXkx

k

Propiedades de la DTFT

Secuencia Transformada

][nuan 1

1 e ja − Ω−

⎩⎨⎧

>≤

=1

1

,0 ,1

][NnNn

nx ( )[ ]( )2/sen

2/1sen 1

Ω+Ω N

ππππ

<<

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

W

WnWnWn

0

sincsen

1 0( )

0W

XW π

⎧ ≤ Ω ≤⎪Ω = ⎨ ≤ Ω ≤⎪⎩

, ,

Periódica de periodo 2π ][nδ 1

][nu ( )1 21 e j

llπ δ π

∞

− Ω=−∞

+ Ω −− ∑

][ 0nn −δ 0e j n− Ω

1 ,][)1( <+ anuan n 21

1 e ja − Ω⎡ ⎤−⎣ ⎦

Pares transformados (señales no periódicas)

Calculamos la DTFT de una exponencial compleja0[ ] e ?j n TFx n Ω= ⎯⎯→

Para ello postulamos lo siguiente:

( )00( ) 2 2j n TF

k

e X kπ δ π∞

Ω

=−∞

⎯⎯→ Ω = Ω − Ω −∑Para comprobar la validez, sintetizamos la señal que corresponde a X(Ω):

( )

( ) ( )0

0

0

02 2

0 02

1'[ ] ( ) 22

'[ ] 2 [ ]

j n j n

k

j nj n j n

k

x n X e d k e d

x n k e d e d e x n

π π

π

π π

δ ππ

δ π δ

∞Ω Ω

=−∞

Ω +∞ΩΩ Ω

=−∞ Ω −

= Ω Ω = Ω − Ω − Ω ⇒

= Ω − Ω − Ω = Ω − Ω Ω = =

∑∫ ∫

∑ ∫ ∫

5. Transformada de Fourier para secuencias periódicas (I)

Si tenemos una secuencia x[n] periódica de periodo N, se puede obtener su DTFS:

2

[ ] ejk n

Nk

k Nx n a

π

=< >

= ∑

Aplicando la propiedad de linealidad de la DTFS se tiene:

⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−Ω=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−Ω=Ω ∑ ∑∑∑

∞

−∞= >=<

∞

−∞=>=< l Nkk

lNkk l

Nkal

NkaX πδπππδπ 22222)(

2( ) 2 ll

lX aNππ δ

∞

= −∞

⎛ ⎞Ω = Ω −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

DTFT para señales periódicas (II)

Secuencia Transformada 2

ejk n

Nk

k N

aπ

=< >∑ ∑

∞

−∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −Ω

kk N

ka πδπ 22

nje 0Ω ( )∑∞

−∞=

−Ω−Ωl

lπδπ 22 0

n0cosΩ ( ) ( ){ }∑∞

−∞=

−Ω+Ω+−Ω−Ωl

ll πδπδπ 2 2 00

n0senΩ ( ) ( ){ }∑∞

−∞=

−Ω+Ω−−Ω−Ωl

llj

πδπδπ 22 00

1][ =nx ( )∑∞

−∞=

−Ωl

lπδπ 22

[ ]∑∞

−∞=

−k

kNnδ ∑∞

−∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −Ω

k Nk

Nπδπ 22

][][resto ,0

,1][ 1

nxNnx

Nnnx

=+⎩⎨⎧ ≤

=

( )

[ ]

1

1

2 1 , 02 2 12 sen

2 ,sen 2 /

k

kk

k

a N N si k lNka N

N Na restoN N

π ππ δ

π

∞

=−∞

= + = ±⎧⎪⎪ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ω − +⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎪ =⎪⎩

∑

Pares transformados (señales periódicas)

6. Respuesta en frecuencia de sistemas discretos (I)

Dado un sistema LTI con respuesta al impulso h[n], se define la respuesta en frecuencia del sistema H(Ω) como:

h[n]H(Ω)

x[n] y[n]=x[n] ∗h[n]

X(Ω) Y(Ω)=X(Ω)·H(Ω)

( )( )( )

YHX

ΩΩ =

Ω

La respuesta en frecuencia representa el conjunto de autovalores del sistema para las autofunciones del tipo:

0 00[ ] e [ ] ( ) ej n j nx n y n H− Ω − Ω= ⇒ = Ω

( ) [ ]e j n

n

H h n∞

− Ω

=−∞

Ω = ∑

0[ ] e j nx n − Ω=

Dado que H(Ω) es una función compleja de variable real, es necesario conocer su módulo y su fase.

El módulo o amplitud de la respuesta en frecuencia (o respuesta en amplitud) representa la ganancia del sistema a cada pulsación Ω o componente espectralLa fase de la respuesta en frecuencia (o respuesta en fase) representa el desfase introducido por el sistema a cada pulsación Ω o componente espectral La respuesta en frecuencia de un sistema LTI existirá si y solo si el sistema es estable.

Respuesta en frecuencia de sistemas discretos (II)

)()()(y )()(

)( Ω∠−Ω∠=Ω∠Ω

Ω=Ω XYH

XY

H