Análisis Matemático I – CIBEX - UNLP · 2015. 11. 16. · pero de nida a trozos. Conviene separar la integral en intervalos donde la función a integrar mantenga una misma fórmula,

Análisis Matemático I – CIBEXFacultad de Ciencias Exactas

Universidad Nacional de La Plata

Unidad 7: Cálculo de IntegralesSegunda parte

Curso 2015

Dr. Gerardo Rossini, Dra. Ana AlonsoEquipo Coordinador

CLASE 7.4. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL. INTEGRAL INDEFINIDA Y PRIMITIVAS. 282

Clase 7.4. Propiedades de la Integral. Integral Inde�nida y primitivas.

Esta clase recorre dos ejes:- Propiedades de la integral de�nida. Teorema del Valor Medio del cálculo integral- Integral inde�nida y sus propiedades. Teorema Fundamental del Cálculo Demos-

tración de la regla de Barrow.

7.4.1. Propiedades básicas de la integral de�nida

La integral de�nida se construye como límite de sumas de Riemann, es decir sumas algebraicas deáreas de rectángulos (con signo). Las propiedades algebraicas de la suma y las propiedades geométricasde las áreas dan lugar a las propiedades más básicas de la integral de Riemann.

Propiedad 7.4.1. Linealidad respecto del integrandoSi f(x) y g(x) son integrables en [a, b], y k es una constante, entonces

1. k f(x) es integrable en el intervalo [a, b],ˆ bak f(x) dx = k

ˆ baf(x) dx

2. f(x) + g(x) es integrable en el intervalo [a, b],ˆ ba

(f(x) + g(x)) dx =

ˆ baf(x) dx+

ˆ bag(x) dx

Las propiedades de linealidad re�ejan que la integral de�nida se construye como límite de sumas:la primera habla de "sacar factor común" k y la segunda habla de "asociar" los términos con f(x) porun lado y los términos con g(x) por otro lado. Estas operaciones son naturalmente válidas al manipularsumas de Riemann, pero la demostración formal de las propiedades 7.4.1 requiere tratar con cuidadoel paso �nal, es decir el límite para ‖∆‖ → 0. No lo haremos en este curso.

Ejemplo 7.4.2.ˆ 3−3

(2x2 − 3x+ 1

)dx = 2

ˆ 3−3x2 dx− 3

ˆ 3−3x dx+

ˆ 3−3

1 dx

= 2

[x3

3

]3−3− 3

[x2

2

]3−3

+ [x]3−3

= 42

Observen que podríamos haber calculado una primitiva del polinomio completo, y usar directa-mente la regla de Barrow. Veri�quen que el resultado sería el mismo. Discutan por qué.

Recordemos que la integral de Riemann se de�nió en intervalos [a, b], donde a es menor que b. Esconveniente extender la de�nición de

´ ba f(x) dx cuando b = a y cuando b < a.

Definición 7.4.3. Extensión de la de�nición de integral de RiemannSe dan las siguientes de�niciones para la integral

´ ba f(x) dx cuando b no es mayor que a:

si a = b, y existe f(a), se de�ne ˆ aaf(x) dx = 0

si b < a, y existe f(x) y es integrable en el intervalo [b, a], se de�neˆ baf(x) dx = −

ˆ abf(x) dx


Estas de�niciones tienen interpretación geométrica: la primera dice que si el intervalo de integracióntiene ancho nulo, entonces el área encerrada es nula. La segunda dice que si se quiere acumular áreayendo desde a hasta b hacia la izquierda, la base de los rectángulos de Riemann será un incrementonegativo; la integral "al revés" dará la cantidad opuesta a la integral calculada desde b hasta a.

Ejemplo 7.4.4. ˆ 05x dx = −

ˆ 50x dx = −

[x2

2

]50

= −12.5

Gra�quen el integrando y el área encerrada para discutir el signo del resultado.

Propiedad 7.4.5. Aditividad respecto de intervalos

1. Si f(x) es integrable en el intervalo [a, c] y b es un punto intermedio a < b < c, entoncesˆ caf(x) dx =

ˆ baf(x) dx+

ˆ cbf(x) dx

2. Si a, b y c no están ordenados, y f(x) es integrable en los tres intervalos determinadospor a, b y c, entonces también valeˆ c

af(x) dx =

ˆ baf(x) dx+

ˆ cbf(x) dx

La parte (1) re�eja la propiedad asociativa de la suma en las sumas de Riemann: dado que a < b < cse pueden hacer particiones del intervalo completo [a, c] de forma tal que las primeros sub-intervaloscubran el intervalo [a, b] y los restantes cubran el sub-intervalo [b, c]. Intenten dibujarlo. Si se sumanlos primeros sub-intervalos por un lado, y los restantes por otro lado, se construyen por separado lasintegrales

´ ba f(x) dx y

´ cb f(x) dx.

La parte (2) es una extensión del resultado, incorporando que tiene sentido una integral recorridade derecha a izquierda ("al revés") y es equivalente a restar la integral recorrida de izquierda a derecha("al derecho").

Ejemplo 7.4.6. ˆ 80x dx =

ˆ 100

x dx+

ˆ 810x dx

=

ˆ 100

x dx−ˆ 10

8x dx

Gra�quen el integrando y las áreas encerradas para discutir el signi�cado del resultado: alintegrar entre 0 y 10 estamos encerrando más área que la que corresponde a integrar entre 0 y8. Al restar

´ 108 x dx "sacamos el exceso".

Una aplicación útil de la propiedad de la aditividad ocurre cuando integramos una función continuapero de�nida a trozos. Conviene separar la integral en intervalos donde la función a integrar mantengauna misma fórmula, de modo de hallar fácilmente la primitiva. Veámoslo en un ejemplo con la funciónvalor absoluto.

Ejemplo 7.4.7. Calculemos la integral de�nida de f(x) = |x| en el intervalo [−1, 1].Recordando la de�nición, podemos escribir:ˆ 1

−1|u| du =

ˆ 0−1

(−u) du+ˆ 1

0u du =

[−u

2

2

]0−1

+

[u2

2

]10

=1

2+

1

2= 1.

Gra�quen la función en el intervalo [−1, 1] y comprueben geométricamente que el área encerradaentre la grá�ca de la función y el eje x es efectivamente 1.


Otra situación en que recurrimos a partir el intervalo de integración es el caso de calcular laintegral de�nida de una función continua salvo �nitas discontinuidades de tipo salto. Hemos enunciadoque dicha integral existe; para calcularla aprovecharemos la propiedad de aditividad. Para que quedebien establecido lo enunciamos como una propiedad:

Propiedad 7.4.8. Integral de Riemann de funciones continuas a trozosSi f(x) es continua en el intervalo [a, b], excepto un número �nito de discontinuidades tipo saltoen puntos intermedios x1, x2, etc, la integral de Riemann

ˆ baf(x) dx

se puede calcular sumando las integrales sobre cada intervalo [a, x1], [x1, x2], etc. En cada sub-intervalo, el integrando se rede�ne para que sea continuo.

Ejemplo 7.4.9. Calculemos la integral de�nida de la función signo

f(x) =

{−1, si x < 01, si x > 0

entre x = −2 y x = 3.En x = 0 la función presenta una discontinuidad de tipo salto. Para usar correctamente la regla

de Barrow, a partir de la propiedad 7.4.8 podemos calcular por separado la integral en el intervalo[−2, 0] y en el intervalo [0, 3] y luego sumar los resultados.

En el intervalo [−2, 0] debemos tratar al integrando como si valiera −1, incluso en el borde x = 0(que es el valor de su límite lateral por izquierda):ˆ 0

−2f(x) dx =

ˆ 0−2−1 dx = [−x]0−2 = −2

usando la regla de Barrow porque el integrando f(x) = −1 es continuo en [−2, 0]. En el intervalo[0, 3] debemos tratar al integrando como si valiera 1, incluso en el borde x = 0 (que es el valor desu límite lateral por derecha): ˆ 3

0f(x) dx =

ˆ 30

1 dx = [x]30 = 3

Finalmente, ˆ 3−2f(x) dx =

ˆ 0−2f(x) dx+

ˆ 30f(x) dx = −2 + 3 = 1

Gra�quen para interpretar mediante áreas el resultado de la integral en cada tramo y el resultadode la integral completa.

Noten que si una función no es continua en algún borde del intervalo de integración pero tiene límitelateral �nito (tomado desde el interior del intervalo), la situación es similar a un salto: corresponderede�nir el integrando para salvar la discontinuidad y luego utilizar la regla de Barrow.

Propiedad 7.4.10. Leyes de monotonía (conservación de desigualdades).

1. Si f(x) ≥ 0 es integrable en el intervalo [a, b], entoncesˆ baf(x) dx ≥ 0

2. Si f(x) y g(x) son integrables en el intervalo [a, b] y g(x) ≥ f(x) en todo el intervalo,entonces ˆ b

ag(x) dx ≥

ˆ baf(x) dx


La propiedad 7.4.10 re�eja, una vez más, que la integral de�nida se construye como límite desumas: la primera dice que al "sumar" cantidades no negativas se obtiene un resultado no negativo,y la segunda dice que al "sumar" cantidades mayores que otras se obtiene un resultado mayor queotro. Es decir, las leyes de monotonía de la suma son válidas para integrales de�nidas. Lo ilustramosgrá�camente en el caso de funciones positivas: en un mismo intervalo, una función positiva encierra unárea positiva, y una de mayor altura encierra mayor área.

Actividad 7.4.11. Ilustren la propiedad 7.4.10, parte (2), en algún caso en que las funcionesno sean positivas.

7.4.2. El Teorema del Valor Medio para integrales

Este importante teorema se puede presentar grá�camente. Cuando una función continua y positivaf(x) no es constante en un intervalo [a, b], como en la �gura que sigue, el área que queda encerradaentre la grá�ca de la función y el eje x se puede igualar con el área de un rectángulo de base (b− a) yaltura apropiada:

En el grá�co resulta claro que la altura apropiada h es algún valor intermedio entre el mínimo y elmáximo de la función (si h fuera mayor que el máximo el rectángulo tendría mayor área que la encerradapor la curva; si h fuera menor que el mínimo el rectángulo tendría menor área que la encerrada por lacurva). Noten que podemos hablar del máximo y del mínimo absoluto, que se alcanzan en puntos de[a, b], porque f(x) es continua en un intervalo cerrado. Además, dado que h está entre el mínimo y elmáximo de la función, por el Teorema del Valor Intermedio debe existir un número c en [a, b] tal que


h = f(c). Luego la integral encierra un área que se puede escribir como (b − a)f(c) (base por alturadel rectángulo).

La situación descripta es cierta para cualquier función continua en un intervalo cerrado, inclusocuando f(x) no sea positiva (recuerden que usamos áreas con signo, que hemos llamado áreas algebrai-cas).

El resultado general se enuncia como

Teorema 7.4.12. Teorema del Valor Medio para integrales.Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces existe un número c en [a, b] tal queˆ b

af(x) dx = f(c)(b− a)

Demostración. Vamos a desarrollar con notación matemática lo que observamos en la �guraanterior. Dado que f(x) es continua en [a, b], encontramos un valor m ∈ [a, b] tal que f(m) es elmínimo absoluto y un M ∈ [a, b] tal que f(M) es el máximo absoluto de f(x) en [a, b], por lo que

f(m) ≤ f(x) ≤ f(M)

De�niendo dos funciones constantes g(x) = f(m) y h(x) = f(M), por la propiedad 7.4.10 lasintegrales de cada miembro mantienen la desigualdad

ˆ baf(m) dx ≤

ˆ baf(x) dx ≤

ˆ baf(M) dx,

podemos sacar las constantes fuera de cada integral

f(m)

ˆ badx ≤

ˆ baf(x) dx ≤ f(M)

ˆ badx

y resolver´ ba dx = b− a,

f(m)(b− a) ≤ˆ baf(x) dx ≤ f(M)(b− a).

Dividiendo cada miembro por b− a(> 0) llegamos a

f(m) ≤ 1(b− a)

ˆ baf(x) dx ≤ f(M).

En otras palabras, la expresión1

(b− a)´ ba f(x) dx es un valor intermedio entre el mínimo f(m) y el

máximo f(M). Entonces, por el Teorema del Valor Intermedio, existe c entre m y M tal que

1

(b− a)

ˆ baf(x) dx = f(c),

de donde despejamosˆ baf(x) dx = f(c)(b− a).

Las �guras siguientes, tomadas del libro Cálculo I de Larson, Hostetler y Edwards, ilustran lasáreas involucradas en esta demostración.


Valor medio de una función continua.

En la demostración del Teorema 7.4.12 f(c) es la altura de un rectángulo tal que su área (consigno) es igual al área real algebraica encerrada por la función, (b− a)f(c) =

´ ba f(x) dx. A esta altura

se la llama valor medio de la función f(x) en el intervalo [a, b]. Se de�ne:

Definición 7.4.13. Si la función f(x) es integrable en el intervalo [a, b], se llama valor medio dela función f(x) en el intervalo [a, b] a

〈f(x)〉[a,b] =1

(b− a)

ˆ baf(x) dx

Observen que el cálculo del valor medio de una función es análogo al promedio de un conjunto denúmeros. Para un conjunto �nito de números, se suman todos y se divide por la cantidad de números.Para funciones, se integra todo el intervalo y se divide por la longitud del intervalo.

Ejemplo 7.4.14. El valor medio de la función y = sen x en el primer cuadrante (es decir,0≤x≤ π/2) se calcula como

〈sen(x)〉[0,π/2] =1

π/2

ˆ π/20

sen(x)dx

=2

π[− cos(x)]π/20

=2

π≈ 0.637

Observación 7.4.15. Dada f(x), de�nida en un intervalo [a, b], la integral de�nida´ ba f(x) dx

es un número, no depende de x. En ese sentido, se puede cambiar el nombre de la variable y escribirˆ baf(x) dx =

ˆ baf(u) du


Recordemos la de�nición de integral de Riemann, como límite de sumas de Riemann: lo importantees haber sumado valores de la función f multiplicados por incrementos de su variable. No importasi la variable que usamos se llama x o se llama u, sólo importan los valores que toma en el intervalo[a, b]. Este hecho es análogo al que habrán visto en Algebra con sumatorias, donde pueden cambiarel nombre del índice de suma:

∑Ni=1 ai =

∑Nj=1 aj ; allí importan los valores sumados y no importa

cómo los hayan anotado.

Por esta observación se dice que la variable de integración es muda.

7.4.3. La integral inde�nida

La integral inde�nida juega un rol muy importante en la teoría de integrales: nos da una relaciónexplícita entre la noción de integral de Riemann (o de�nida) y la noción de función primitiva. Además,como una aplicación práctica, nos permite demostrar la validez de la regla de Barrow.

Recordemos que aprendimos a hacer integrales de Riemann en intervalos cerrados [a, b]ˆ baf(x) dx

donde los límites de integración a y b son valores dados (�jos). Ahora vamos a tratar al límite superior dela integral (es decir, el borde derecho del intervalo) como una variable. Analizaremos cómo el resultadodepende del valor de b.

Para dejar clara esta intención vamos a llamar x al borde derecho: integraremos una función en unintervalo [a, x]. Para evitar confusiones no podemos llamar con la letra x a la variable de la función queestamos integrando; vamos a llamarla con otra letra u, aprovechando que la variable de integración esmuda (ver la Observación 7.4.15).

Consideremos una función f : I → R, integrable . Llamemos u a la variable de la función, u = a aun punto �jo del intervalo I y u = x a otro punto del intervalo I.

La integral de Riemann

ˆ xaf(u) du

depende del valor de x, y está bien de�nida para cualquier x en I. Es decir, esta integral le asigna a cadax ∈ I un y sólo un número real, el resultado de la integral: el resultado es función de x. Llamaremosintegral inde�nida, y anotaremos Fa(x), a esta función:

Definición 7.4.16. Dada una función f : I → R, integrable, la función Fa : I → R, con reglade asignación

Fa(x) =

ˆ xaf(u) du

se llama integral inde�nida de la función f .


Esta función describe el área algebraica encerrada entre la grá�ca de f(u) y el eje u, desde u = ahasta u = x. Anotamos un subíndice a en el nombre de la función para recordar dónde comienza estaárea.

Si se piensa que la variable de integración recorre el eje u desde a hasta x, se puede decir que Fa(x)es el valor de área acumulada entre el eje y la curva, hasta llegar a x ; claramente, si cambia x cambiatambién el área algebraica encerrada.

Observación 7.4.17. El valor de la variable x puede quedar tanto a la derecha como a laizquierda de a. Recuerden que si x < a corresponde calcular

´ xa f(u) du = −

´ ax f(u) du. Recuerden

también que´ aa f(u) du = 0.

El nombre de integral inde�nida puede resultar confuso5, ya que estamos de�niendo algo bienpreciso pero lo llamamos "inde�nido". Algunos libros evitan este nombre y la llaman función área, ofunción acumulación, por su signi�cado geométrico.

Ejemplo 7.4.18. Consideremos la función f(x) = 2x+ 3 en el intervalo [−1, 3] .Como la función f(x) está de�nida y es continua en el intervalo [−1, 3], podemos construir la

integral inde�nida como una integral de Riemann entre −1 y x, para −1 ≤ x ≤ 3. Usando la letrau como variable de integración, la función integral inde�nida es

F−1(x) =

ˆ x−1

(2u+ 3) du

Aquí debemos ser cuidadosos conceptualmente: esta función está bien de�nida, aunque la integral noesté resuelta. Esto lo podemos a�rmar por el teorema de existencia 7.2.6. Por ejemplo, F−1(−1) = 0,ya que x = −1 es el punto inicial (todavía no hay área acumulada). También sabemos que parax > −1 la función F−1(x) es positiva (porque f(u) es positiva en [−1, x]), etc.

Si queremos una expresión explícita para F−1(x) tenemos que resolver la integral de Riemann.La forma práctica de hacerlo es usar la regla de Barrow (aunque aún no demostramos formalmentesu validez): f(u) = 2u+ 3 es continua y una primitiva posible es F (u) = u2 + 3u, por lo que

F−1(x) =[u2 + 3u

]x−1 = x

2 + 3x+ 2

Gra�quen la curva y = f(x) y valores de F−1(x) para comprobar los resultados obtenidos.

También podemos calcular la integral inde�nida de una función continua de�nida a trozos, o con unafunción con algunas discontinuidades tipo saltos. De la misma manera que trabajamos con integralesde�nidas, separaremos la integral en tantos intervalos como haga falta.

Ejemplo 7.4.19. Consideremos nuevamente la función valor absoluto f(x) = |x| y calculemossu integral inde�nida a partir de x = −1. Recordando la de�nición, y usando la regla de Barrow,podemos escribir:

para − 1 ≤ x ≤ 0 : F−1(x) =ˆ x−1|u| du =

ˆ x−1

(−u) du = −[u2

2

]x−1

= −x2

2+

1

2,

en particular F−1(0) =´ 0−1 |u| du =

1

2

para 0 ≤ x ≤ 1 : F−1(x) =ˆ x−1|u| du =

ˆ 0−1

(−u) du+ˆ x

0u du = F−1(0) +

[u2

2

]x0

=1

2+x2

2.

En particular, F−1(1) = 1. Comprueben que coincide, por supuesto, con el cálculo de´ 1−1 |x| dx que

hicimos en el ejemplo 7.4.7.

5Es un juego de palabras en castellano. En inglés se usa inde�nite, mientras algo sin de�nición se dice unde�ned.


7.4.4. El Teorema Fundamental del Cálculo

La función integral inde�nida Fa(x) que discutimos en la sección anterior tiene dos propiedadesmuy importantes. En primer lugar:

Teorema 7.4.20. Si f(x) es continua en un intervalo I, salvo quizás �nitas discontinuidadestipo salto, entonces la integral inde�nida Fa(x) =

´ xa f(u) du es una función continua en todo el

intervalo I.

La idea detrás de este enunciado es que la acumulación de área bajo la curva acotada no puedeproducir una discontinuidad: la integral inde�nida de una función continua a trozos y acotada es siemprecontinua. Se suele decir que es una operación regularizante, porque Fa(x) posee mejores propiedadesque f(x), ya que resulta continua aún en puntos donde f(x) no lo era.

Más importante aún:

Teorema 7.4.21. Teorema Fundamental del Cálculo (TFC)Sea f(x) una función de�nida en un intervalo I y sea a un punto en I. Si f(u) es continua enu = x, entonces la integral inde�nida Fa(x) =

´ xa f(u) du es derivable en x y su derivada es

F ′a(x) = f(x)

En particular, si f es continua en todo el intervalo I, entonces Fa(x) es una primitiva de f(x).

Demostración. Tomemos un punto x0 donde f es continua. Debemos calcular la derivada porde�nición, comenzando con la razón de cambio del punto x0 y un incremento ∆x,

Fa(x0 + ∆x)− Fa(x0)∆x

Por la aditividad de la integral respecto del intervalo, podemos escribir

Fa(x0 + ∆x)− Fa(x0) =ˆ x0+∆xa

f(u) du−ˆ x0a

f(u) du

=

ˆ x0a

f(u) du+

ˆ x0+∆xx0

f(u) du−ˆ x0a

f(u) du

=

ˆ x0+∆xx0

f(u) du

Dado que f es continua entre x0 y x0 +∆x, el Teorema del Valor Medio para integrales permite escribirˆ x0+∆xx0

f(u) du = f(c)∆x


donde c es un número entre x0 y x0 + ∆x. Reemplazando en la razón de cambio,

Fa(x0 + ∆x)− Fa(x0)∆x

=f(c)∆x

∆x= f(c)

Resta tomar el límite. Como c está atrapado entre x0 y x0 + ∆x, cuando ∆x → 0 necesariamentec→ x0. Además, f(u) es continua en x0. Entonces existe el límite

ĺım∆x→0

Fa(x0 + ∆x)− Fa(x0)∆x

= ĺımc→x0

f(c) = f(x0)

como queríamos demostrar.

Observación 7.4.22. En esta demostración no indicamos si tomamos el límite por derecha opor izquierda, ni detallamos qué pasa cuando x = a o x = b. El grá�co sólo ilustra la situaciónmás sencilla, que es el límite por derecha x→ x+0 en un punto x0 interior a [a, b]. Si lo revisan concuidado, basados en las propiedades anteriores, verán que todos los pasos son válidos para el límitepor izquierda. También es válido que Fa(x) admite derivada lateral en los bordes x = a y x = b.

Observación 7.4.23. Cabe destacar que en la demostración no se calcula explícitamente Fa(x),sólo se calcula su derivada. Por eso el TFC es conceptualmente anterior a la regla de Barrow.

En este curso teórico- práctico adelantamos el enunciado de la regla de Barrow por su utilidadcomo herramienta práctica.

Una vez enunciado el TFC podemos hacer varias observaciones importantes. En particular, podemoscompletar la presentación de los nombres y notaciones utilizados en el cálculo integral.

Observación 7.4.24.

La integral de Riemann en un intervalo dado se llama integral de�nida, en contraste con laintegral inde�nida que vimos esta clase. La integral de�nida es un número, mientras que laintegral inde�nida tiene por resultado una función.La integral inde�nida de f(x) da una primitiva de f(x). Por eso elegimos la letra F mayúsculaal de�nir

Fa(x) =

ˆ xaf(x) dx

y un subíndice a para recordar dónde empezamos a integrar.Si una función es integrable en un intervalo abierto I se pueden construir distintas integralesinde�nidas, o primitivas, eligiendo el punto inicial de integración. Por ejemplo, dado b 6= apunto distinto de I,

Fb(x) =

ˆ xbf(u) du

también es una primitiva de f(x), de�nida en el mismo intervalo I.Por ser Fa(x) y Fb(x) dos primitivas de la misma función, sólo pueden ser distintas por lasuma de una constante. Eso es lo que sucede, por las propiedades de aditividad,ˆ x

bf(u) du =

ˆ abf(u) du+

ˆ xaf(u) du

signi�ca que

Fb(x) = Fa(x) +

ˆ abf(x) dx

donde´ ab f(x) dx da por resultado un número (una constante).


Por la observación anterior, cuando uno necesita construir una primitiva como integral in-de�nida puede elegir a gusto el punto inicial de la integración; se suele anotar

F (x) =

ˆ xf(u) du

para remarcar que no es importante el punto inicial del intervalo de integración, o másbrevemente

Notación integral para primitivas: F (x) =ˆf(x) dx

Como resultado del Teorema Fundamental del Cálculo, y de la propiedad 7.1.5, integralinde�nida resulta sinónimo de primitiva. Se suele llamar "integrar" al proceso de hallar unaprimitiva; la notación ˆ

f(x) dx

es la más común para indicar primitivas. A la tabla de primitivas también se la puede llamartabla de integrales.

Queremos destacar que el TFC permite conocer la derivada de la función integral inde�nida, aunqueno calculemos la función en sí misma. Veámoslo en algunos ejemplos.

Ejemplo 7.4.25. Consideremos F (x) =´ x

1

(u3 + 2u2 − 3

)du. Como f(u) = u3 + 2u2 − 3 es

continua en todos los reales, entonces F (x) es derivable en todos los reales y vale F ′(x) = x3+2x2−3.

Ejemplo 7.4.26. Consideremos ahora F (x) =´ x

1 |u|du en el intervalo [−1, 1] que hemos anali-zado en el ejemplo . Como f(u) = |u| es continua en el intervalo [−1, 1], entonces F (x) es derivableen todo su dominio y vale F ′(x) = |x|.

Ejemplo 7.4.27. Un último ejemplo. Para la función signo presentada en el ejemplo , considere-mos F (x) =

´ x0 f(u)du. Como f(u) es continua para x 6= 0, podemos a�rmar que F (x) es derivable

siempre que x 6= 0. La expresión para la derivada es F ′(x) =

{−1, si x < 01, si x > 0

Sabiendo que F (x) =´ xa f(u) du es una primitiva de f(x), podemos calcular las derivadas de

expresiones más complejas, donde los extremos de la integral sean funciones de x. Lo mostraremos enalgunos ejemplos.

Ejemplo 7.4.28. Consideremos la expresión G(x) =´ 3x

1 cos(u2) du como función de x y bus-

quemos su derivada.Podemos llamar f(x) = cos

(x2)y F (x) =

´ x1 cos(u

2) du a su integral inde�nida. Como cos(u2)es una función continua en todos los reales, por el Teorema fundamental del cálculo F (x) es derivabley F ′(x) = cos(x2).

Ahora, G(x) se puede escribir como la composición

G(x) = F (3x)

y por ser una composición de dos funciones derivable, también resulta derivable. Por la regla de lacadena :

G′(x) =d

dx(F (3x)) = F ′(3x). (3x)′ = cos

((3x)2

).3 = 3 cos

(9x2).


Ejemplo 7.4.29. Supongamos ahora G(x) =´ 3x2

√1 + u2 du .

En primer lugar, consideremos H(x) =´ x2

3

√1 + u2 du. Sabemos que G(x) = −H(x) y ahora

podremos proceder como en el ejemplo anterior.Llamando f(x) =

√1 + x2 y F (x) =

´ x1

√1 + u2 du a su integral inde�nida, como

√1 + u2 es

una función continua en todos los reales, por el Teorema fundamental del cálculo F (x) es derivabley F ′(x) =

√1 + x2.

Entonces

G′(x) = −H ′(x) = − ddx

(F (x2)

)= −F ′(x2).

(x2)′

= −√

1 + (x2)2.2x = −2x√

1 + x4.

7.4.5. Demostración de la regla de Barrow

Como aplicación inmediata del Teorema Fundamental del Cálculo, podemos dar la demostraciónformal de la regla de Barrow. Recordemos el enunciado:

Si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] y admite primitiva F (x) en [a, b],entonces ˆ b

af(x) dx = F (b)− F (a)

Demostración: Vamos a tratar el caso en que f(x) sea continua en un intervalo abierto quecontiene a [a, b] (es decir, un poco más a la izquierda de a y un poco más a la derecha de b). Si f(x)es continua estrictamente en [a, b] el resultado es válido, pero la prueba es más trabajosa.

Consideremos la integral inde�nida Fa(x) =´ xa f(u) du, que por el Teorema Fundamental del

Cálculo que es una primitiva de f(x) en [a, b]. Y consideremos que conocemos F (x), otra primitiva def(x) en [a, b]. Como las primitivas de una función pueden ser distintas solamente por una constante,existe C tal que

Fa(x) = F (x) + C (∗)Evaluando esta igualdad (∗) en x = a encontramos que Fa(a) =

´ aa f(u) du = 0, porque el intervalo

de integración tiene ancho nulo. Luego0 = F (a) + C

de donde despejamos C = −F (a).Evaluando la misma igualdad (∗) en x = b encontramos que

Fa(b) = F (b) + C

donde Fa(b) =´ ba f(u) du es la integral de�nida que queremos evaluar. Usando que C = −F (A)

llegamos a la conclusión ˆ baf(u) du = F (b)− F (a)

Como la variable de integración es muda, podemos cambiar u por x y queda demostrada la regla deBarrow.

7.4.6. Ejercicios

Ejercicio 7.4.1. Supongamos que se sabe que´ 2

1 f(x) dx = 3.

A partir de las propiedades de la integral, calculen´ 2

1 (3f(x) + 2x) dx y´ 1

2 5f(x) dx

Si sabemos además que´ 3

1

(12f(x) + e

x)dx = 10, calculen

´ 32 f(x) dx.

Ejercicio 7.4.2. Calculen el valor medio de la función f(x) = 4 − 4x2 en el intervalo [−2, 2] ycomprueben que existen dos valores de c en el intervalo que veri�can el Teorema del Valor Medio.Gra�quen la situación. ¾Es razonable que hayan encontrado dos valores de c?


Ejercicio 7.4.3. Sin realizar la integral, discutan si la siguiente comparación es verdadera o falsa,y expliquen su respuesta:

ˆ 1−1

(1 + x2

)dx ≥ 2

Calculen luego la integral.

Ejercicio 7.4.4. Encuentren la expresión deA(x) =´ x−π f(u) du correspondiente a la función

f(u) =

{senu, si − π ≤ u ≤ 0eu, si u > 0

.

Ejercicio 7.4.5. Para las siguientes funciones, encuentren la expresión deA(x) =´ x

0 f(u) du ycalculen A(1/2), A(1), A(3/2) y A(2).

f(x) =

{x, si 0 ≤ x ≤ 1x2, si 1 < x ≤ 2

f(x) =

{x, si 0 ≤ x ≤ 1x2 + 1, si 1 < x ≤ 2

.

Ejercicio 7.4.6. Para las funciones de los dos ejercicios previos, indiquen en qué puntos el TeoremaFundamental del Cálculo a�rma que existe A′(x) y encuentren la expresión de A′(x).

Ejercicio 7.4.7. Calculen la derivada respecto de x de

´ x1 f(u) du;

´ 1x f(u) du;

´ 2x0 f(u) du´ x3

π/2 cos(t) dt;´ 1x2

(3 + sen2 u

)du

7.4.7. Demostración informal del Teorema Fundamental del Cálculo

Presentamos aquí una demostración informal del Teorema Fundamental del Cálculo que puede serbastante ilustrativa. Discútanla con sus compañeros.

Demostración informal. Para estudiar si Fa(x) es derivable en un punto x0 debemos empezarpor el cociente incremental

Fa(x0 + ∆x)− Fa(x0)∆x

y notar que

Fa(x0 + ∆x) =

ˆ x0a

f(u) du+

ˆ x0+∆xx0

f(u) du

= Fa(x0) +

ˆ x0+∆xx0

f(u) du

Luego

Fa(x0 + ∆x)− Fa(x0) =ˆ x0+∆xx0

f(u) du

describe el área de una región de base ∆x, como se ilustra en el dibujo.


En el límite ∆x → 0, esta área se puede aproximar arbitrariamente bien por un rectángulo debase in�nitesimal ∆x y altura f(u∗). Además, el valor f(u∗) será arbitrariamente cercano a f(x0)porque la función f(x) es continua, y podemos estimarˆ x0+∆x

x0

f(u) du ≈ ∆x f(x0)

Con estos elementos podemos evaluar, para ∆x→ 0,Fa(x0 + ∆x)− Fa(x0)

∆x≈ ∆x f(x0)

∆x= f(x0)

e intuir que existe la derivada F ′a(x0) y vale f(x0), como intentamos demostrar.Claramente este cálculo de F ′a(x0) no es formal, porque no hemos evaluado el límite del cociente

incremental sino una aproximación para incrementos pequeños. Sin embargo, el resultado es elcorrecto.

CLASE 7.5. TEOREMAS DEL CÁLCULO INTEGRAL 296

Clase 7.5. Teoremas del cálculo integral

Contenidos de la clase: Técnicas del cálculo integral: integración por sustitución, porpartes y por fracciones simples.

En esta clase presentaremos varias técnicas para construir primitivas, aplicando las ideas y notaciónque aprendimos con la integral inde�nida.

7.5.1. Técnicas de integración: integrales por sustitución

Ya hemos visto que la primitiva de un producto no es el producto de las primitivas. La reglade integración por sustitución se aplica a cierto producto donde aparecen multiplicadas una funcióncompuesta f(u(x)) por la derivada u′(x) de la función interna, y está relacionada con la derivaciónpor regla de la cadena. Como siempre que trabajamos con funciones compuestas, tenemos que sercuidadosos con la notación y con los dominios de cada función.

Propiedad 7.5.1. Si una función de�nida en (a, b) tiene la forma f(u(x))u′(x) donde u′(x) es laderivada de u(x) en (a, b), y f(u) admite primitiva F (u) en toda la imagen u((a, b)), entonces lafunción f(u(x))u′(x) admite primitiva en (a, b):ˆ

f(u(x))u′(x) dx = F (u(x))

Demostración: es su�ciente veri�car, usando la regla de la cadena, que

(F (u(x)))′ = F ′(u(x))u′(x) = f (u(x)) u′(x)

para todo punto x de (a, b).

Una forma usual de escribir la regla de primitivas por sustitución, usando notación integral, apro-vecha que du = u′(x) dx para expresar

ˆf(u(x))u′(x) dx =

ˆf(u) du

Esta forma es la más sencilla de recordar cómo hacer integrales por sustitución. Sin embargo,después de hallar la primitiva de f(u) no se olviden de reemplazar u = u(x) para que el resultado seauna función de x.

Ejemplo 7.5.2. Calculemos las primitivas´x sen

(x2)dx.

Notamos que hay una función seno compuesta con u(x) = x2, y nos preguntamos si aparecemultiplicada por du = 2x dx. Sólo falta el factor 2, pero lo podemos manipular multiplicando ydividiendo por 2: ˆ

sen (x²)x dx =1

2

ˆsen (x²) (2x) dx

=1

2

ˆsenu du

Por otro lado conocemos una primitiva de senu:´

senu du = − cosu. Entonces podemos a�rmarque ˆ

sen (x²)x dx = −12

cos (u(x)) + C

= −12

cos(x2)

+ C

Observen que la notación de primitivas como integrales inde�nidas permite trabajar directamentecon los diferenciales; una vez reconocida la función u(x) apropiada uno sustituye u(x) → u yu′(x) dx → du y le queda planteada la primitiva de f(u). En este sentido es habitual hacer lasustitución y luego preocuparse por encontrar la primitiva de f(u).


Como siempre que calculamos primitivas, conviene veri�car el resultado. Derivando,(−1

2cos(x2)

+ C

)′= −1

2

(− sen

(x2))

2x = x sen (x²)

prueba que hallamos las primitivas correctamente.

7.5.2. Método de sustitución en integrales de�nidas y cambio de límites de integración

El método de sustitución, que consiste en sustituir´f(u(x))u′(x) dx =

´f(u) du, es básico para

calcular primitivas. La primitiva hallada queda como función de u y el paso �nal es reemplazar u = u(x).No hay di�cultad si la sustitución es explícita. Pero la primitiva compuesta suele ser más complicadaque la primitiva en función de u.

Cuando calculamos integrales de�nidas, usando la regla de Barrow, podemos evitar la vuelta a lavariable original si encontramos los límites de integración para la variable nueva. Dado que la regla deBarrow es válida sólo cuando el integrando es una función continua, y que el método de sustitución sebasa en funciones compuestas, hay que tener cuidado con los cambios de variables. El procedimientoes correcto si se respeta la siguiente

Propiedad 7.5.3. a

Si la función u(x) tiene derivada continua en un intervalo cerrado [a, b] y la función f(u) escontinua en los valores u(x) cuando x recorre el intervalo [a, b], entoncesˆ b

af(u(x))u′(x) dx =

ˆ u(b)u(a)

f(u) du

aEsta propiedad se demuestra combinando el Teorema Fundamental del Cálculo con la regla de la cadena paraderivar funciones compuestas.

Ejemplo 7.5.4. Calculemos´ 1

0 x(x2 + 1

)3dx.

Buscaremos una primitiva por sustitución: proponemos u = x2 + 1, por lo que du = 2x dx. y nonos preocupamos por reemplazar u en función de x.

Luego, calculamos los límites de integración para la variable nueva: como u(0) = 1 y u(1) = 2,x = 0 corresponde a u = 1 y x = 1 corresponde a u = 2. Entonces,ˆ 1

0x(x2 + 1

)3dx =

ˆ 21

1

2u3du =

1

8

[u4]21

=1

8(16− 1) = 15

8.

También podríamos haber utilizado la primitiva F (x) =´x(x2 + 1

)3dx =

´ 12u3du =

1

8u4 =

1

8

(x2 + 1

)4y aplicar la regla de Barrow para escribir.

ˆ 10x(x2 + 1

)3dx =

[1

8(x2 + 1)4

]10

=1

8(24 − 1) = 15

8.

Este cálculo es apenas un poco más complicado que el que propusimos primero. Sin embargo,en los casos en los que se propone una sustitución x = h(u) el método más conveniente suele serplantear una sustitución, encontrar los nuevos límites de integración y resolver la nueva integral.

7.5.3. Técnicas de integración: integral por partes

Volvamos al problema de construir una primitiva de un producto, con la técnica conocida comointegral por partes.

Esta técnica no resuelve directamente la primitiva, sino que permite cambiar el cálculo de laprimitiva de un producto de funciones por la primitiva de otro producto de funciones, con la expectativade que este último quede más sencillo. Se aplica a productos de la forma u(x)v′(x) y se enuncia así:


Propiedad 7.5.5. Si u(x) y v(x) son derivables en un intervalo (a, b), y u′(x)v(x) admite primitivaen (a, b) entonces ˆ

u(x)v′(x) dx = u(x)v(x)−û′(x)v(x) dx

Demostración: El cálculo de primitivas por partes se relaciona con la derivación de un producto.Para probarlo basta con derivar el lado derecho usando la regla de Leibnitz y el Teorema Fundamentaldel Cálculo (

u(x)v(x)−û′(x)v(x) dx

)′= u′(x)v(x) + u(x)v′(x)− u′(x)v(x)

= u(x)v′(x)

Noten que podremos aplicar esta regla cuando necesitemos la primitiva de un producto de funciones,donde uno de los factores (que aquí llamamos u(x)) sea derivable y el otro (que aquí llamamos v′(x))tenga una primitiva accesible. Cuando anotamos este segundo factor como v′(x) queremos decir quepodemos construirle una primitiva v(x).

Para aplicar esta técnica debemos reconocer un producto de la forma u(x)v′(x) yi) a partir de u(x) calcular u′(x)ii) a partir de v′(x) calcular v(x) =

´v′(x) dx

En la práctica, cambiamos el cálculo de una primitivaú(x)v′(x) dx por el cálculo de dos primiti-

vas: la del factor v′(x), que necesitamos para escribir v(x), yú′(x)v(x) dx, con la expectativa de que

esta última sea más sencilla que la primitiva original.En notación compacta, aprovechando que u′(x) dx = du y v′(x) dx = dv, se puede recordar queˆ

u dv = uv −ˆv du

Ejemplo 7.5.6. Calculemos las primitivas de f(x) = x ex.En primer lugar, no van a encontrar el resultado en la tabla de integrales. En segundo lugar,

la forma de producto de f(x) no se ajusta a la técnica de sustitución. Busquemos la primitiva porpartes.

Escribimos la primitiva a encontrar como integral inde�nidaˆx ex dx

donde elegimosu = x y dv = ex dx

Para aplicar la técnica necesitamos calcular

du = x′ dx = dx

v =

êxdx = ex

(no hace falta agregar la constante de integración, porque estamos buscando una primitiva). Luegoˆx ex dx = uv −

ˆv du

= x ex −êx dx

que funciona bien porque ahora podemos resolveréx dx = ex. Finalmente, las primitivas hallada

son ˆxex dx = xex − ex + C

Como siempre, conviene veri�car el resultado derivando:

(xex − ex + C)′ = 1.ex + xex − ex = xex

prueba que hallamos las primitivas correctamente y que son válidas en todo el eje real.


Observación 7.5.7. El objetivo de la técnica de primitivas por partes es cambiar el problemaoriginal por el cálculo de una primitiva más fácil de resolver.

A veces se puede obtener un problema más complicado que el original. Recién luego de construirel producto u′(x)v(x) podrán estimar si el cálculo de su primitiva es viable, y si vale la pena seguiradelante.

En nuestro ejemplo, si hubiéramos planteado

u(x) = ex y v′(x) = x

habríamos llegado a´xex dx = x

2

2 ex−´x2

2 ex dx. Observen que la última integral resulta más difícil

de resolver que el problema original.Cuando suceda esto, es recomendable replantear el problema con otra estrategia.

Observación 7.5.8. Cuando calculamos una integral de�nida utilizando la técnica de integra-ción por partes, debemos hallar primero una primitiva y luego aplicar la regla de Barrow. Recordemosque la primitiva de f(x) = u(x)v′(x) es F (x) = u(x)v(x)−

´u′(x)v(x) . Luego, la aplicación de la

regla de Barrow indica que

ˆ bau(x)v′(x) dx = [u(x)v(x)]ba −

ˆ bau′(x)v(x) dx

Siguiendo con el ejemplo anterior,ˆ 10xex dx = [xex]10 −

ˆ 10

1.ex dx = e− [ex]10 = e− (e− 1) = 1

7.5.4. Reescribir antes de integrar: separación en fracciones simples

La técnica de fracciones simples se basa en un resultado de Algebra que permite reescribir uncociente de polinomios como varios cocientes más sencillos, con la intención de facilitar el cálculo desus primitivas.

Antes de presentar los modelos generales para reescribir expresiones racionales, recordemos algunasintegrales que podemos hacer, y que aparecerán en los cálculos.

Actividad 7.5.9. Calculen las siguientes integrales. Recuerden las respuestas porque las vamosa utilizar inmediatamente.´

1x−adx;

´1

(x−a)ndx con n natural, n ≥ 2;´

1x2+1

dx;´

1x2+a2

dx;´

xx2+a2

dx.

Respuestas: ln |x− a|; (x−a)−n+1

−n+1 ; arctanx;1a arctan(x/a);

ln(x2+a2)2 .

Caso 1: hay una forma de separar un cociente de polinomios p(x)/q(x) en fracciones simples,que funciona cuando el grado de p(x) es menor que el grado de q(x) y cuando q(x) se puedefactorizar como producto de factores de grado uno, no repetidos. La mostramos en el siguienteejemplo:

Ejemplo 7.5.10. Calculemos como ejemplo una primitiva para la función f(x) =1

x2 − 1.

Como el denominador x2−1 = (x−1)(x+1) es un producto de dos factores, podemos pensar quela función f(x) es el resultado de haber sumado dos fracciones, una con denominador x− 1 y otracon denominador x+ 1. Se prueba en Algebra que existen tales fracciones, ambas con numeradoresconstantes A y B (únicas) que todavía no conocemos

1

(x− 1)(x+ 1)=

A

x− 1+

B

x+ 1


Para encontrar dichas constantes resolvemos la suma de fracciones

A

x− 1+

B

x+ 1=A(x+ 1) +B(x− 1)

(x− 1)(x+ 1)=

(A+B)x+ (A−B)(x− 1)(x+ 1)

,

y la igualamos al cociente original

1

(x− 1)(x+ 1)=

(A+B)x+ (A−B)(x− 1)(x+ 1)

Como el denominador es el mismo, son iguales los numeradores

(A+B)x+ (A−B) = 1.En Algebra demostrarán que dos polinomios son iguales cuando todos los coe�cientes que acompañana las distintas potencias de x son iguales. En este caso nos queda un sistema de dos ecuaciones linealespara hallar A y B: {

A+B = 0

A−B = 1cuya solución es A = 1/2, B = −1/2 (compruébenlo). Es decir,

1

(x− 1)(x+ 1)=

1/2

x− 1− 1/2x+ 1

Esto nos permite encontrar la primitiva "término a término"ˆ

1

x2 − 1dx =

ˆ (1/2

x− 1− 1/2x+ 1

)dx =

1

2ln |x− 1| − 1

2ln |x+ 1|+ C

(que también pueden escribir como 12 ln |x−1x+1 |+ C).

En general, por cada factor lineal no repetido del denominador, x− a, se propone una fracciónA

x− a

Caso 2: hay una segunda forma de separar un cociente de polinomios p(x)/q(x) en fraccionessimples, que funciona cuando el grado de p(x) es menor que el grado de q(x) y cuando q(x)se puede factorizar como producto de factores de grado uno, incluso repetidos. Veamos unejemplo:

Ejemplo 7.5.11. Calculemos la primitiva de1

x3 − 2x2 + x.

Observemos que x3− 2x2 + x = x(x− 1)2, es decir que el denominador contiene un factor linealx− 1 repetido dos veces. La propuesta anterior llevaría a escribir 1

x3−2x2+x =Ax +

Bx−1 +

Cx−1 , pero

no funciona (veri�quen). Se prueba en Algebra que es posible una separación de la forma siguiente:

1

x3 − 2x2 + x=A

x+

B

x− 1+

C

(x− 1)2Desarrollando la suma de fracciones, e igualando los numeradores, llegan a un sistema de tresecuaciones lineales con tres incógnitas. Comprueben que la solución es única, A = 1, B = −1 yC = 3. La función queda reescrita

1

x3 − 2x2 + x=

1

x− 1x− 1

+3

(x− 1)2

y lista para integrar término a término,

ˆ1

x3 − 2x2 + xdx =

ˆ (1

x− 1x− 1

+3

(x+ 1)2

)dx = ln |x| − ln |x− 1| − 3 1

x− 1+ C


En general, cuando x − a es un factor lineal del denominador repetido n veces, con n ≥ 2, seproponen fracciones Ak/(x − a)k hasta llegar al grado k = n. Por ejemplo, si el denominadorcontiene (x− a)3, se propone

A1x− a

+A2

(x− a)2+

A3(x− a)3

Observen que el mayor trabajo es algebraico: resolver la suma de fracciones, igualar numeradorespara generar un sistema de ecuaciones, y resolver ese sistema de ecuaciones para hallar el valor de lasconstantes. Finalmente, las integrales de cada sumando son sencillas.

Caso 3: hay una tercera forma de separar un cociente de polinomios p(x)/q(x) en fraccionessimples, que funciona cuando el grado de p(x) es menor que el grado de q(x) y cuando q(x)contiene factores cuadráticos irreducibles en los reales. Veamos un ejemplo:

Ejemplo 7.5.12. ¾Qué ocurre cuando el polinomio tiene un factor cuadrático sin raíces reales?

Calculemos la primitiva de1

x3 + 4x.

Observemos que x3 + 4x = x(x2 + 4) y que el factor cuadrático x2 + 4 no se puede seguirfactoreando en los reales. La propuesta nueva es separar

1

x3 + 4x=A

x+Bx+ C

x2 + 4

La segunda fracción es la propuesta asociada al factor (x2 + 4). Como antes, debemos resolver lasuma de fracciones, igualar numeradores y resolver el sistema de ecuaciones para A, B y C. Háganlo,deben llegar a A = 1, B = −1 y C = 0. Separando las integrales obtendrán que la primitiva es

ˆ1

x3 + 4xdx = ln |x| − 1

2ln(x2 − 4) + C

En general, cuando en el denominador aparece un factor cuadrático sin raíces reales de la forma(x2 + bx2 + c), se propone una fracción

Bx+ C

x2 + bx2 + c

Además, si aparece un factor cuadrático sin raíces reales repetido, (x2+bx2+c)n, se van agregandofracciones de la misma forma con denominador (x2 + bx2 + c)k, hasta llegar al exponente k = n.Por ejemplo, si apareciera (x2 + 2x+ 2)2 (comprueben que no tiene raíces reales) se propondrá

B1x+ C1x2 + 2x+ 2

+B2x+ C2

(x2 + 2x+ 2)2

Cocientes de polinomios p(x)/q(x) donde el grado de p(x) es mayor o igual que el grado deq(x). Cuando sucede esto, conviene hacer primero la división entera de los polinomios, paraobtener un cociente c(x) y un resto r(x), tales que p(x) = c(x) q(x) + r(x). Luego

p(x)

q(x)=c(x) q(x) + r(x)

q(x)= c(x) +

r(x)

q(x)

El primer término es un polinomio, fácil de integrar; el cociente con el resto siempre tendráel numerador con grado menor que el denominador, y se podrá tratar con alguno de los casosanteriores. Por ejemplo,

Actividad 7.5.13. Dada f(x) =2x3 − 4x2 − x− 3

x2 − 2x− 3, realicen la división de los polimonios para

escribir2x3 − 4x2 − x− 3 = 2x

(x2 − 2x− 3

)+ (5x− 3)


Entonces2x3 − 4x2 − x− 3

x2 − 2x− 3=

2x(x2 − 2x− 3

)+ (5x− 3)

x2 − 2x− 3= 2x+

5x− 3x2 − 2x− 3

Ahora, calculen una primitiva usando fracciones simples en el último término. Quizás recuerden queesta primitiva parecía imposible en la clase 7.1...

7.5.5. Ejercicios

Ejercicio 7.5.1. Hallen por sustitución la familia de primitivas de las siguientes funciones. Veri-�quen los resultados, indicando el dominio de validez.

1. cos(2x)2. x

(x2 + 4

)3(como alternativa, desarrollen también la potencia antes de hallar las primitivas.

Observen que la sustitución u(x) = x2 + 4 es mucho más práctica)3. x2

√x3 + 1

Ejercicio 7.5.2. Calcular las siguientes integrales utilizando el método de sustitución. :

1.´ 5/2

0

√2x+ 4dx

2.´ π

0 senx cosxdx (Pueden resolverla planteando u(x) = senx o bien u(x) = cosx. Es interesantecomparar ambas alternativas.)

Ejercicio 7.5.3. Hallen una primitiva para cada una de las siguientes funciones, integrando porpartes:

1. x senx2. x arctanx;3. lnx en el intervalo (0,+∞) . Consideren u(x) = lnx y v′(x) = 1

Ejercicio 7.5.4. Calculen por partes las siguientes integrales:

1.´ 2

1 t ln t dt

2.´ 1

0 xe−x dx

Ejercicio 7.5.5. Hallen las primitivas de las siguientes funciones utilizando descomposición enfracciones simples.

(a)3x

x2 − 9; (b)

1

x(x2 + 1); (c)

x

x4 − 1.

CLASE 7.6. ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN 303

Clase 7.6. Actividades de integración

7.6.1. Propiedades de la integral inde�nida. Teorema del Valor Medio del cálculo integral

Ejercicio 7.6.1. Sabiendo que´ 10

2 f(x) dx = 9 y que´ 10

5 f(x) dx = 3, calculen´ 5

2 f(x) dx . Ilustrencon un grá�co y expliquen su respuesta.

Ejercicio 7.6.2. Supongamos cierta función continua f(x) de�nida en [0, 6] de la que se sabe que

f(x) < 0 en (0, 2); f(x) > 0 en (2, 6); f(0) = f(2) = f(6) = 0.´ 60 f(x) dx = 3.5el área geométrica encerrada entre la función y el eje x en el intervalo [0, 2] es 1.5.

Calculenˆ 2

0f(x) dx;

´ 62 f(x) dx;

ˆ 60

(2 + f(x)) dx;´ 6

0 |f(x)| dx; .

Ejercicio 7.6.3. Supongamos que cierta función continua f(x) cumple que senx ≤ f(x) ≤ x+ 12para x ∈ [0, π/2]. ¾Entre qué valores se encuentra

´ π/20 f(x) dx?

Ejercicio 7.6.4. Calculen el valor medio de las siguientes funciones en los intervalos dados:

3x2 + 1, en [0, 2]1 + cosx, en [0, 2π]

Ejercicio 7.6.5. Justi�car la existencia de un número c entre a y b tal que´ ba f(x) dx = f(c)(b−a)

y encontrar el valor de c.´ 20 (1− 2

√x) dx´ π/4

−π/4 2 sec2 x dx

Ejercicio 7.6.6. Calculen la derivada respecto de x de´ senx2x e

u du; Sugerencia: escribir´ senx

2x eu du =

´ a2x e

u du+´ senxa e

u du´ x2+2lnx

3√uu2+1

du

7.6.2. Integrales por sustitución

Ejercicio 7.6.7. Encuentren las primitivas de las siguientes funciones utilizando sustitucionesadecuadas:

1. (x4 + x2)(2x3 + x)2. x3

√1− x2

3.ln 2x

x4.

x

x2 + 1

Ejercicio 7.6.8. Sea f(x) una función continua en [0, 4] tal que´ 4

0 f(x)dx = 10. Calculen lassiguientes integralesˆ 2

0f(2u) du

ˆ 20uf(u2) du

Ejercicio 7.6.9. Completando cuadrados y/o sacando un factor común adecuado, podrán rees-cribir las siguientes funciones y luego encontrar sus primitivas por sustitución:

1.1

x2 + 9(Sugerencia:

1

x2 + 9=

1

9(x9

2 + 1) = 1

9

1(x3

)2+ 1

luego proponer u =x

3.


2.1

x2 + 6x+ 10

3.1√

x2 + 2x+ 2

4.1√

x2 − 2x5.

1√3− x2 + 2x

6.1

4x2 + 1(Sugerencia: escriban primero

1

(2x)2 + 1y propongan una sustitución adecuada)

7.1√

2x2 − 2x+ 5/2En cada caso, veri�quen sus resultados.

7.6.3. Integrales por partes

Ejercicio 7.6.10. Calculen las siguientes integrales:

1. arc senx;2. x arctanx3. x2ex (tendrán que utilizar el método de integración por partes dos veces)

7.6.4. Descomposición en fracciones simples

Ejercicio 7.6.11. Separen en fracciones simples y calculen las primitivas de

(a)3

x2 − x− 2; (b)

2x

x2 − x− 2; (c)

x2 + 4

x3 − 4x; (d)

3

x4 + 2x3 + x2; (e)

´ 1x3 − x2

dx

7.6.5. Integrales combinadasEn algunos casos habrá que combinar los métodos de integración, como en el ejercicio siguiente.

Ejercicio 7.6.12. Hallar una primitiva para cada una de las siguientes funciones:

1. x sen 2x . Proponer primero la sustitución u(x) = 2x y luego aplicar integración por partes.2. x arc senx2 . Proponer la sustitución u(x) = x2

3. x5ex3. Escribir x5 = x3x2 y proponer la sustitución u(x) = x3

4.cosx

4− sen2 x

7.6.6. Técnicas de cálculo de primitivas: integrales de funciones trigonométricas e hiper-bólicas

Para encontrar primitivas de algunas expresiones que involucran funciones trigonométricas necesi-taremos recordar algunas identidades y usarlas para reescribir el integrando original. Las identidadesbásicas las presentamos en la Unidad 1. Probablemente las más útiles ahora son

cos2 x+ sen2 x = 1

cos2 x− sen2 x = cos 2x

Actividad 7.6.1. Sumando (respectivamente restando) las igualdades anteriores término a tér-mino, obtengan las expresiones

cos2 x =1 + cos 2x

2

sen2 x =1− cos 2x

2

Usando estos resultados, calculenˆ

cos2 x dx y´

sen2 x dx


Para hallar primitivas de potencias pares más altas de senos o cosenos (o productos de ambas),pueden usar las identidades anteriores repetidas veces. Una propuesta alternativa es hacer integracionespor partes para ir bajando el grado de dichas potencias.

Actividad 7.6.2. Calculemos la primitiva de sen4 x usando un truco. Escribiendo sen4 x =sen3 x. senx e integrando por partes (llamen u(x) = sen3 x y v′(x) = senx) obtenemos

ˆsen4 x dx = sen3 x(− cosx)−

ˆ(− cosx)3 sen2 x. cosx dx = − sen3 x. cosx+ 3

ˆsen2 x. cos2 x dx.

Escribiendo en la última integral sen2 x cos2 x = sen2 x(1− sen2 x) = sen2 x− sen4 x obtenemos´sen4 x dx = − sen3 x. cosx+ 3

´sen2 x dx− 3

´sen4 x dx

donde vuelve a aparecer, a la derecha, la integral que queremos calcular! El truco es despejar´sen4 x dx (como si fuera una incógnita) y llegar a

4´

sen4 x dx = − sen3 x. cosx+ 3´

sen2 x dx.

La primitiva de sen2 x que ya han hecho en la actividad anterior sirve para terminar el cálculo.

Ejercicio 7.6.13. Resuelvan las siguientes integrales utilizando que cos2 x = 1+cos 2x2 y quesen2 x = 1−cos 2x2 , y luego sustituciones:´

sen3 x dx (reescriban sen3 x = sen2 x. senx = (1− cos2 x) senx y luego planteen una sustitu-ción)´

cos3 x sen4 x dx (reescriban cos2 x en función del seno y planteen una sustitución)ćos5 x dx

Observen que esta técnica permite calcular primitivas de potencias impares de senos (o cosenos) y deproductos de potencias impares de senos con potencias pares de senos (o al revés).

Ejercicio 7.6.14. Resuelvan las siguientes integrales:ćos4 x dx´sen2 x. cos4 x dx (reescriban primero el seno en términos del coseno) (o al revés)

Ejercicio 7.6.15. Recordando las de�niciones del seno y coseno hiperbólico en términos de expo-nenciales, calculen´

senh2 x dx y´

cosh2 x dx

Ejercicio 7.6.16. Utilizando la identidad fundamental cosh2 x − senh2 x = 1 y razonando comohicimos para las funciones trigonométricas, encuentren las primitivas de los siguientes productos desenos y cosenos hiperbólicos.´

senh3 x dxćosh3 x. senh2 x dxćosh4 x dx

7.6.7. Técnicas de cálculo de primitivas: sustituciones trigonométricas e hiperbólicas

Veamos un ejemplo fácil de plantear, pero bastante elaborado para resolver:


Ejemplo 7.6.3. Calculemos la integral inde�nida de f(x) =√

1− x2 en el mayor dominioposible.

En primer lugar, la función f(x) está de�nida y es continua en el intervalo [−1, 1]. Podemosconstruir la integral inde�nida como una integral de Riemann entre −1 y x, para −1 ≤ x ≤ 1.Usando la letra u como variable de integración, tenemos que calcular

F−1(x) =

ˆ x−1

√1− u2 du

Podemos usar la regla de Barrow, porque√

1− u2 es continua en [−1, x], siempre que encontre-mos una primitiva

´ √1− u2 du.

Aunque no veamos una función compuesta, vamos a operar con una sustitución u = sen(t), quetiene inversa t = arcsen(u).

Observen que√

1− u2 =√

1− sen2 t =√

cos2 t = | cos t|. Como t = arc sen(u), toma valoresen el intervalo [−π/2, π/2], y entonces cos t > 0. Esto nos permite escribir

√1− u2 = cos t. Por otro

lado, du = cos(t) dt. Luego

ˆ √1− u2 du =

ˆ √1− sen2(t) cos(t) dt =

ˆcos2(t) dt

que es una integral conocida.Recuerden que cos(2t) = cos2 t− sen2 t = cos2 t− (1− cos2 t) = 2 cos2 t− 1, de donde podemos

despejar cos2 t = (1 + cos(2t)) /2. Entonces

ˆ √1− u2 du = 1

2

ˆ(1 + cos(2t)) dt

=t

2+

1

4sen(2t)

=1

2arcsen(u) +

1

4sen(2arcsen(u))

Con esta primitiva podemos evaluar

F−1(x) =

[1

2arcsen(u) +

1

4sen(2arcsen(u))

]x−1

=1

2arcsen(x) +

1

4sen(2arcsen(x)) +

π

4,

(recuerden el valor de arcsen(−1) = −π/2).Interpretemos el resultado. La función f(x) =

√1− x2 representa la mitad superior de una

circunferencia de radio 1, y F−1(x) representa el área acumulada entre la semicircunferencia y el ejex, entre −1 y un valor variable de x:

Pueden comprobar que F−1(0) = π/4, y que F−1(1) = π/2, como corresponde a un cuarto y unmedio de la super�cie de un círculo de radio 1.


En el Ejemplo 7.6.3 calculamos la primitiva de√

1− x2 proponiendo una sustitución x = sen t.No era una sustitución evidente, pero resultó útil. Conviene conocer la forma de algunas integralesdonde son útiles sustituciones de este tipo. Se las llama sustituciones trigonométricas y sustitucioneshiperbólicas. Para presentarlas supongamos a > 0 un número �jo:

Para integrales que contienen la variable x en la forma√a2 − x2, prueben la sustitución x =

a sen t. Entonces, usando identidades trigonométricas, comprueben que√a2 − x2 = a cos t y dx = a cos t dt

(siempre que mantengan −π2≤ t ≤ π

2, para que cos t no sea negativo). En estos casos, si lo

pre�eren, también funciona la sustitución x = a cos t.Para integrales que contienen la variable x en la forma

√a2 + x2, prueben la sustitución x =

a senh t. Entonces, usando identidades hiperbólicas, comprueben que√a2 + x2 = a cosh t y dx = a cosh t dt

Para integrales que contienen la variable x en la forma√x2 − a2, prueben la sustitución x =

a cosh t. Entonces, usando identidades hiperbólicas, comprueben que√x2 − a2 = a senh t y dx = a senh t dt

(donde deben considerar t ≥ 0 para asegurar que senh t ≥ 0).Luego de estas sustituciones, quedarán por resolver integrales trigonométricas (como las de la secciónanterior) o integrales hiperbólicas.

Tengan cuidado con el dominio de las funciones involucradas: antes de proponer la sustitución x(t)deben reconocer el dominio de las funciones originales, de variable x, y controlar que el dominio parala nueva variable t asegure que x(t) pertenezca al dominio original. Recomendamos, como siempre,veri�car que la primitiva hallada sea correcta derivando el resultado.

Ejercicio 7.6.17. Resuelvan las integrales

1.´ dx√

4x2 + 1

2.´ dx(√

x2 + 1)3

3.´ dxx2√

9− x24.´ √

x2 − 2x dx (sugerencia: completen cuadrados y luego intenten una sustitución trigono-métrica)

5.ˆ 3

2

√2

32

1

x2√

9− x2dx

EJERCICIO PARA AUTOEVALUACIÓN - UNIDAD 7 308

Ejercicio para autoevaluación - Unidad 7

Estos ejercicios son aplicaciones reales, donde se necesitan integrales para llegar a las respuestas.Trabajaremos aplicaciones similares en la Unidad 8.

Ejercicio 8. Una represa costera se llena y se vacía según la altura de la marea. El caudal dellenado/vaciado varía durante el día, y se modela con la función

Q(t) = 20Ml/h cos [2π(t− 6h)/24h]donde Ml signi�ca megalitros (106 litros) y h signi�ca horas (pueden trabajar sin dimensiones sirespetan estas unidades). Por convención, entendemos que cuando el caudal es positivo la represa seestá llenando, y cuando es negativo se está vaciando.

1. ¾A qué hora del día es máximo el caudal de entrada?2. ¾En qué horario del día hay entrada de agua, y en qué horario hay salida?3. Entre las 6h y las 12h, ¾aumenta o disminuye la cantidad de agua en la represa? ¾En cuántos

megalitros?4. Entre las 18h y las 24h, ¾aumenta o disminuye la cantidad de agua en la represa? ¾En cuántos

megalitros?

Ejercicio 9. El campo magnético creado por un cable con corriente eléctrica I se calcula con laley de Biot y Savart, acumulando contribuciones de cada tramo de cable (tema de Física II). En elcaso de un tramo recto de cable de longitud L, el campo magnético a una distancia d del centro delcable queda expresado por la siguiente integral:

µ0I

4π

ˆ L/2−L/2

1(√x2 + d2

)3 dxdonde µ0 es una constante fundamental.

1. Calculen esta integral, con L = 100 y d = 5.2. Den la expresión del resultado "con letras", dejando L y d como datos.

Documents

Análisis Matemático I – CIBEX - UNLP · 2015. 11. 16. · pero de nida a trozos. Conviene separar la integral en intervalos donde la función a integrar mantenga una misma fórmula,