FUNCIONES ESPECIALES

Algunas funciones no están descritas solamente por una función algebraica o algunas otras no presentan una gráfica con un trazo continuo, tales funciones requieren un tratamiento especial por lo cual se estudian de manera independiente.

Este tipo de funciones son:• Funciones a trozos• Valor Absoluto• Parte entera.

FUNCIÓN A TROZOS

DEFINICIÓN

Una función formada por la unión de dos o más funciones, cada una de ellas definida en intervalos disyuntos, recibe el nombre de función segmentada o función a trozos.Así una función a a trozos presenta diferentes expresiones algebraicas en determinados intervalos; en forma general, una función a trozos es de la siguiente forma:

FUNCIÓN A TROZOS

La gráfica de g(x) está formada por todas las partes . El dominio y el rango de g(x) es la unión de los dominios y los rangos de cada una de las partes que las forman.

FUNCIÓN A TROZOS

Primero: se identifican los intervalos en los que se define la función

Para (−∞ ,1 ]

En este intervalo solo debemos aplicar la función

EJEMPLO

Determinar la gráfica, el dominio y el rango de la siguiente función:

Esta es la función que tiene forma

de:_______________

FUNCIÓN A TROZOS

Se realiza una tabla de valores con

x 1 0 -1 -2

y 1 0 1 4

Para el intervalo

x 1,5 2 3 4

y -1 -1 -2 -3

Luego, se realiza la gráfica de la función de acuerdo con las funciones que la componen.

FUNCIÓN A TROZOS

Debemos tener en cuenta que el valor 1 del dominio de la función se encuentra en el

primer intervalo

Finalmente, la gráfica de la función es:

De acuerdo con la gráfica se puede concluir que: Dom Ran

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

DEFINICIÓN

La función valor absoluto se puede considerar como una función definida a trozos. Esta función asigna a cada número real del dominio su valor absoluto y está definida por:

𝑓 (𝑥 )=|𝑥|={−∧𝑥 ,𝑥<0¿ 𝑥 ,𝑥≥0

El dominio de la función es el conjunto de los números reales.

𝐷𝑜𝑚𝑓=ℝ

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

El rango de la función es el conjunto de los números reales no negativos. Es decir,

La gráfica de la función valor absoluto es:

EJEMPLO

Determinar la gráfica, el dominio y el rango de las siguientes funciones

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

FUNCIÓN PARTE ENTERA

DEFINICIÓNLa función que asigna a cada elemento del dominio el mayor entero, menor o igual que él. Recibe el nombre de parte entera. Es decir,

Esta función se define de los números reales a los números enteros, es decir,

y 𝑅𝑎𝑛𝑓 =ℤ

FUNCIÓN PARTE ENTERA

Algebraicamente, la función parte entera se define así,

EJEMPLO

Realizar la gráfica de la siguiente función, Luego halla su dominio y rango

FUNCIÓN PARTE ENTERA

Primero: se construye una tabla de valores y se analiza su comportamiento

x -2,5 -1,5 -0,5 0,5 1 1,5y -4 -3 -2 -1 0 0

EJEMPLO

La gráfica de a función es:

FUNCIÓN PARTE ENTERA

𝐷𝑜𝑚𝑓=¿ℝ

𝑅𝑎𝑛𝑓 =¿ℤ

EJEMPLO

FUNCIÓN PARTE ENTERA

2. Una compañía de telefonía celular cobra $240 solamente por marcar un número internacional, de ahí en adelante cada minuto que dure la llamada genera un incremento de $240. encontrar una expresión algebraica para la situación planteada.

Primero: se definen las variables

x: duración de la llamada en minutos

y: valor de la llamada en pesos

Luego: se representan algunos valores en una tabla

x 0 0,5 1,5 2,5 3 4,5y 240 240 480 720 960 1200

Finalmente, el valor de la llamada se puede expresar mediante la siguiente función,

𝑦=240‖𝑥−1‖

EJEMPLO

La gráfica de la función es:

FUNCIÓN PARTE ENTERA