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Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 1
Señales periódicas.
Análisis de Simetría
Simetría Par
Simetría Impar
Simetría de Media Onda
Simetría de Cuarto de Onda
Señales Ortogonales
Indice:
Tema 3. Series de Fourier. Análisis de Espectros
Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 2
1. Señales Periódicas
Son aquellas señales que muestran periodicidad respecto del tiempo, es decir, describen
ciclos repetitivos. En una señal periódica se cumple que:
x(t)= x (t + T)
La forma más simple de señal periódica es la sinusoide, que se describe
matemáticamente:
X(t)= A . Sen( wt + θ)
A = Amplitud w = Frecuencia en rad/seg. θ = Angulo de Fase inicial
con respecto al origen temporal en rad.
Donde T es una constante conocida como período fundamental.
En forma general podemos escribir x(t)= x ( t + nT ) donde n = 0, 1, 2, 3, …….
Tema 3. Series de Fourier. Análisis de Espectros
Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 3
La frecuencia w (rad/seg.) y f que es la frecuencia de la componente
fundamental de la señal periódica, están relacionadas con el período
fundamental por:
w = 2πf
w = 2π
T
f = 1 T
Si x(t) y g(t) tienen el mismo período T, si a y b son constantes reales:
y = a x(t) + b g(t) será también periódica de período T.
1. Señales Periódicas
Tema 3. Series de Fourier. Análisis de Espectros
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Si la señal x(t) = cos (w1t) + cos (w2t) es periódica de período T, entonces debe ser
posible encontrar dos números enteros m y n tales que:
w1 T = 2 π f1T = 2 π m
w2 T = 2 π f2T = 2 π n
w1
w2
m
n
f1
f2 = =
x (t) será periódica si la fracción m/n o w1/w2 es racional e irreducible.
El valor más pequeño de m o n determina el período T. Por ejemplo si m > n,
entonces T = n/f2
1. Señales Periódicas
Tema 3. Series de Fourier. Análisis de Espectros
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Ejemplo: Verificar si las señales siguientes son periódicas, en cuyo caso determinar el período.
f1 = 1/6π f2 = 1/8π
w1
w2
4
3 = m = 4 ; n = 3
La fracción es racional, la señal y(t) es periódica de período:
3
f2
T = = 24π
a)
1. Señales Periódicas
f1 = 1/2 f2 = 3/2
w1
w2
1
3 = m = 1 ; n = 3
La fracción es racional, la señal y(t) es periódica de período:
1
f1
T = = 2
b)
Tema 3. Series de Fourier. Análisis de Espectros
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2. Análisis de Simetría
2.1 Simetría Par e Impar.
Simetría Par
La simetría par de una señal se verifica mediante la existencia de una simetría con
respecto al eje vertical "t = 0", esto equivale a reflejar la señal y obtener como
resultado una señal idéntica a la original.
Matemáticamente se dice que una función es par si satisface la condición:
f t f t( ) ( )
f(t)
t
Una función par es simétrica respecto al eje vertical en el origen.
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Simetría Impar
La simetría impar de una señal se verifica mediante la existencia de una
simetría con respecto al origen "t = 0, x(t)=0“, esto equivale a reflejar e
invertir la señal y obtener como resultado una señal idéntica a la original.
Matemáticamente se dice que una función es impar si satisface la
condición: f(t)
t
2. Análisis de Simetría
Tema 3. Series de Fourier. Análisis de Espectros
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Propiedades de las Funciones Pares e Impares
a) El producto de una función par por otra función par, da como resultado una
función par.
b) El producto de una función impar por otra función impar, da como resultado
una función par.
c) El producto de una función par por otra función impar, da como resultado una
función impar.
2. Análisis de Simetría
2.2 Simetría de Media Onda
Simetría que se verifica al invertir y desplazar medio período (adelante o atrás)
la señal y obtener como resultado una señal idéntica a la original.
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f(t)
t
Matemáticamente se dice que una función tiene simetría de media onda si
satisface la condición: )2
()(T
tftf
La función se desplaza medio período hacia la izquierda o hacia la derecha la
función tendrá el mismo valor, pero de signo negativo. Esto es, la porción
negativa de la onda, es el reflejo de la porción negativa desplazada
horizontalmente medio período.
2. Análisis de Simetría
2.2 Simetría de Media Onda
Tema 3. Series de Fourier. Análisis de Espectros
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2.3 Simetría de Cuarto de Onda
Si la simetría de Media Onda se combina con las simetrías Par e Impar da como
resultado Simetrías de Cuarto de Onda Par e Impar respectivamente.
t
f(t)
Simetría Impar +
Simetría de Media Onda
t
f(t)
Simetría Par +
Simetría de Media Onda
2. Análisis de Simetría
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3. Señales Ortogonales
Un conjunto de funciones øk(t) es ortogonal en un intervalo a < t < b si para dos
funciones cualesquiera øm(t) y øn(t) pertenecientes al conjunto øk(t), se cumple:
m n
n
a
b
t t dt
para m n
r para m n
( ). ( ).
0
rn = Constante Real
Si las señales øm(t) y øn(t) son complejas, entonces la condición de ortogonalidad es:
b
a
n
nm
nmparar
nmpara
dttt
0
).().(Corresponde a la compleja conjugada
= rn δ (m-n)
Podemos decir:
δ (m-n) = 1 m = n 0 m ≠ n
Tema 3. Series de Fourier. Análisis de Espectros
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Ejemplo:
Dado el conjunto de señales øm (t) = Sen (m t), m = 0, 1, 2, ...,n ; en el intervalo (-π,
π) verificar la condición de ortogonalidad.
Sen A . Sen B = ½ Cos (A-B) - ½ Cos (A+B) Sustituyendo
J = k
J ≠ k
Entonces las señales øm (t) = Sen (m t), m = 0, 1, 2, ...,n, forman un Conjunto Ortogonal de Señales en el intervalo (-π, π).
3. Señales Ortogonales
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Ejercicio Propuesto:
Dado el conjunto de señales øm (t) = Cos (mw0t), m = 0, 1, 2, ...,n ; en el intervalo
( -T , T ) verificar la condición de ortogonalidad. 2 2
3. Señales Ortogonales
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