Análisis de Fourier con las señales

5/10/2018 An lisis de Fourier con las se ales - slidepdf.com

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Análisis de Fourier con las señales

Utilizaremos como señal la variación en el tiempo o el espacio de una magnitud

física o de otra naturaleza.

Por ejemplo:

La intensidad de la corriente eléctrica

El nivel de gris de los puntos de una imagen

Un electrocardiograma

Un sonido

La evolución del índice de la bolsa de valores

La representación matemática (el modelo matemático) de una señal corresponde

a la noción de función (de una o varias variables: tiempo, espacio, etc). Sin

embargo las distribuciones (o funciones generalizadas) constituyen un modelo

más general y satisfactorio.

Las señales las representaremos por y=f(t), donde t es la variable independiente, y

la variable dependiente admiten diferentes caracterizaciones:

Estocástica

Determinística

Continua (Analógica)

Discreta (Digital)

Periódica

Exacta

Aproximada

La frecuencia λ es una medida para indicar el numero de repeticiones de

cualquier fenómeno o suceso en la unidad de tiempo por tanto λ = 1/T.

Fue el matemático francés Joseph Fourier, a principios del siglo XIX,quien

encontró que una función periódica se puede representar como una suma infinita

ponderada de términos en senos y cosenos (la serie de Fourier), mientras

que en el caso de funciones no periódicas la representación se da por

medio de una integral (la transformada de Fourier).

Esto dio origen al Análisis Armónico, rama de la Matemática que estudia la

representación de funciones o señales como superposición de ondas de base (los

armónicos). En el caso de las series de Fourier estos son sinusoidales y por tanto

las series son trigonométricas. A partir de la segunda mitad del siglo XIX se



aplica esta teoría a datos de fenómenos relacionados con el sonido, la imagen,

el clima, la mecánica cuántica o las neurociencias.

Serie de Fourier

Un contexto matemático adecuado para desarrollar el Análisis de Fourier es

el de los espacios de Hilbert (espacios vectoriales normados, cuya norma

proviene de un producto escalar y completos). Aquí trabajaremos en el

espacio de las funciones continuas por tramos.

Una función f(t) es continua por tramos en un intervalo I pertenece a los números

reales si admite un numero finito de discontinuidades de salto. Evidentemente una

función continua en un intervalo I es continua por tramos en I.

La operación de la Serie de Fourier esta basada en una señal de tiempo que es

periodica. Esto es una señal de tiempo cuya forma se repite en una cantidad

infinita de veces. Fourier demostró que una señal de este tipo es equivalente a

una colecciòn de funciones senos y cosenos cuyos frecuencias son múltiplos del

recíproco del periodo de la señal de tiempo. El resultado un poco inesperado es

que cualquier forma de onda, siempre y cuando no sea infinita en longitud se

puede representar como la suma de una serie de componentes armónicos, y la

frecuencia fundamental de la serie de armónicos es 1 entre la longitud de la forma

de onda. Las amplitudes de los varios armónicos se llaman los coeficientes

Fourier, y sus valores se pueden calcular facilmente si se conoce la ecuación parala forma de onda. También se puede calcular graficamente la forma de onda. Se

sabe que en una clase de física los estudiantes hicieron eso con el perfil de

Marilyn Monroe. Pusieron los coeficientes de MM en el pizarrón de anuncios como

una broma para "enterados".



Análisis de Fourier

Las ondas armónicas continuas que hemos estudiado no existen realmente, ya

que todos los movimientos ondulatorios están limitados tanto espacial como

temporalmente. Utilizando el análisis de Fourier y la transformada de Fourier se

pueden describir formas de ondas más complejas como las que producen losinstrumentos musicales.

El análisis de Fourier surgió a partir del intento de éste matemático francés por

hallar la solución a un problema práctico, la conducción del calor en un anillo de

hierro. Demostró que se puede obtener una función discontinua a partir de la suma

de funciones continuas. Esta tesis fue defendida por Fourier ante la Academia

Francesa, lo que motivó severas objeciones de los matemáticos más importantes

de su época como Lagrange, Laplace, etc.

Descripción

A primera vista, parece que el problema de analizar formas de ondas complejas

representa una tarea formidable. Sin embargo, si la forma de la onda es periódica,

se puede representar con una precisión arbitraria, mediante la superposición de un

número suficientemente grande de ondas senoidales que forman una serie

armónica.

Toda función f (t ) periódica de periodo P , se puede representar en forma de una

suma infinita de funciones armónicas, es decir,

donde el periodo P= , y a 0 a 1 ...a i ... y b 1 b 2 .... b i .... son los denominados

coeficientes de Fourier.

Conocida la función periódica f (t ), calculamos los coeficientes a i y b i del siguientemodo

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/ondaArmonica/ondasArmonicas.html

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/ondaArmonica/ondasArmonicas.html



Las integrales tienen como límite inferior -P /2 y como límite superior P /2.

En el programa interactivo, transformamos la función periódica de periodo P , en

mediante un simple cambio de escala en el

eje t . Escribiendo t, tendremos el periodo P de t convertido en el periodo

de x , y la función f (t ) convertida en

definida en el intervalo que va de -

simple

donde

Si la función g(x ) tiene simetría, algunos de los coeficientes resultan nulos.

Si g (x ) es una función par, g (x)=g(-x), los términos b i son nulos

Si g (x ) es impar g (x )=-g (-x ), los coeficientes a i son nulos



Por ejemplo, para el pulso rectangular simétrico de anchura 1, y periodo 2 se

obtienen los siguientes coeficientes.

AnálisisdeFourierysusaplicaciones

Unhechoimportanteesque,engeneral,cualquierseñalquepaseatravésdeun sistemalinealeinvarianteenelBemposedistorsiona,esdecir,cambiasuforma.

LaúnicaseñalquenosedistorsionaalpasaratravésdeunsistemadeesteBpoesunasinusoidalpura.

Unaseñalsinusoidalpuranocambiasuformaperosicambian: – Suamplitud. – Sufase.

Engeneral,elcambioenlaamplitudyenlafasedependen: – delsistema. – delafrecuenciadelaseñalsinusoidal.

ElanálisisdeFourierpermitedeterminarlaamplitudyfasedecadaunadelascomponentesdefrecuenciaqueBeneunaseñal.

• ParaseñalesperiódicasseuBlizanlasseriesdeFourier.• ParaseñalesnoperiódicasseusalatransformadadeFourier.• LasseriesdeFourierpermitendeterminarlaamplitudyfasede

cadaunadelascomponentesdefrecuenciaqueBeneunaseñalperiódica.

• ExistendosformasdelaseriedeFourier: – Formarectangular. – Formacompleja

Six(t)esunaseñalperiódicaconperíodoT 0 ,suseriedeFourierenforma

rectangulares:



Lacomponentedecorrientedirectaovalorpromediodelaseñales• LacomponentedefrecuenciaHertzestádefinidapor:

LaseriedeFourierenformacomplejaparaunaseñalperiódicax(t)conperíodoT 0 ,es:

Lacomponentedecorrientedirectaovalorpromediodelaseñales• LacomponentedefrecuenciaHertzestádefinidapor:



• ¿ParaquéseaplicaelanálisisdeFourier?Seaplicapara:

– Analizarcontenidodefrecuenciadelasseñales. – Determinarcómocambialaamplitudylafasedelas señales

sinusoidalescuandoéstaspasanatravésdeunsistemalinealeinvarianteenelTiempo.

¿DóndeseaplicaelanálisisdeFourier? – Seutilizaenmuchasáreasdeingenieríadondeseanalizanydiseñan

sistemasdinámicos.Algunasáreasson:

– Comunicaciones. – Ingenieríamecánica. – Ingenieríadecontrol. – CamposelectromagnéBcos. – Procesamientodeseñalesdeaudio. – Procesamientodeimágenes. – –Eneláreamédica.

Encomunicaciones: – Paraanalizarcontenidodefrecuenciadelasseñales. – Diseñarlossistemasdetransmisióndeseñalespara – transmitirinformación. –

Analizarloscambiosqueocurrencuandolasseñalesviajanatravésdeunmediodetransmisión.

– Diseñarsistemasparacompensarladistorsióndelasseñalesenlossistemasdetransmisión.

– Paradiseñarsupresoresycanceladoresdeecoenlíneastelefónicas.



Un ejemplo de una señal periódica y sus componentes de frecuencia.

Usando la forma rectangular de la serie se obtiene:

Usando la forma compleja de la serie se obtiene:



Ejemplos



Conclusión

El Análisis de Fourier se utiliza para estudiar la frecuencia de las señales y poder

saber como cambia la amplitud y fase de las señales sinusoidales cuando pasan a

través de un sistema lineal y el tiempo. A demás por medio de este estudio o bien

análisis se utiliza para diseñar sistemas para evitar distorsiones de la señal asícomo el diseño de los sistemas para la propagación de la misma. Así como el

estudio de las vibraciones dentro del ámbito de la mecánica y dentro de muchas

otras aplicaciones como filtrar datos e imágenes.

Fuentes

http://www.dliengineering.com/vibman-spanish/laseriedefourier.htm

http://www.monografias.com/trabajos11/serfour/serfour.shtml

http://www.slideshare.net/Nhynoska/serie-de-fourier

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/fourier/Fourier.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier

http://www.cienciamatematica.com/descarga/calculo/analisis_de_Fourier.pdf




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