AngoloAngolo - Università degli studi di Padova

Trigonometria - Corso di matematica - Alessia Ceccato 1

AngoloAngoloAngoloAngolo

Si chiama Si chiama angoloangolo ciascuna delle due parti di piano in cui esso è diviso da ciascuna delle due parti di piano in cui esso è diviso da due semirette uscenti da uno stesso punto O.due semirette uscenti da uno stesso punto O.


Circonferenza goniometricaCirconferenza goniometricaCirconferenza goniometricaCirconferenza goniometrica


Circonferenza goniometricaCirconferenza goniometricaCirconferenza goniometricaCirconferenza goniometrica


Il radianteIl radianteIl radianteIl radiante

Definizione:Il rapporto tra la Il rapporto tra la lunghezza dell’arcolunghezza dell’arcorettificato e il raggio è un numero puro,rettificato e il raggio è un numero puro,in quanto rapporto di due lunghezze.in quanto rapporto di due lunghezze.Quando l’arco rettificato è lungo quanto Quando l’arco rettificato è lungo quanto il raggio (come l’arco AB in figura), il raggio (come l’arco AB in figura), diremo che misura un radiante.diremo che misura un radiante.Anche l’angoloAnche l’angolo AOBAOBmisura un radiante.misura un radiante.


Corrispondenza gradi-radiantiCorrispondenza gradi-radiantiCorrispondenza gradi-radiantiCorrispondenza gradi-radianti


Corrispondenza gradi-radiantiCorrispondenza gradi-radiantiCorrispondenza gradi-radiantiCorrispondenza gradi-radianti



Angoli positivi e negativiAngoli positivi e negativiAngoli positivi e negativiAngoli positivi e negativi

Un Un angoloangolo si dice si dice orientatoorientato quando è stabilito quale dei due lati deve quando è stabilito quale dei due lati deve considerarsi come primo lato.considerarsi come primo lato.

Un Un angoloangolo orientato si dice orientato si dice positivopositivo quando è descritto dal lato origine quando è descritto dal lato origine mediante una rotazione antioraria, mediante una rotazione antioraria, negativonegativo in caso contrario. in caso contrario.

Si chiama Si chiama misura di un angolo orientatomisura di un angolo orientato la sua misura assoluta presa con la sua misura assoluta presa con il segno + o con il segno – a seconda che l'angolo sia positivo o negativo.il segno + o con il segno – a seconda che l'angolo sia positivo o negativo.



Seno e cosenoSeno e cosenoSeno e cosenoSeno e coseno


Seno e cosenoSeno e cosenoSeno e cosenoSeno e coseno


La funzione SENOLa funzione SENOLa funzione SENOLa funzione SENO









NON E' INVERTIBILE


La funzione ARCOSENOLa funzione ARCOSENOLa funzione ARCOSENOLa funzione ARCOSENO




La funzione ARCOSENOLa funzione ARCOSENOLa funzione ARCOSENOLa funzione ARCOSENO


La funzione COSENOLa funzione COSENOLa funzione COSENOLa funzione COSENO









NON E' INVERTIBILE








La funzione TANGENTELa funzione TANGENTELa funzione TANGENTELa funzione TANGENTE














La funzione ARCOTANGENTELa funzione ARCOTANGENTELa funzione ARCOTANGENTELa funzione ARCOTANGENTE


RelazioniRelazioniRelazioniRelazioni


• Esempi: cos (x) = ½ x ∈ [0, π/2]

232/11)sin( 2 =−=x

22

421)cos( −=−−=x

],2

[22)sin( ππ∈= xx



• sin2(x) + cos2(x) = 1

)(cos1)(tan1 2

2

xx =+

)(tan11)(cos 2

2

xx

+=

)(tan11)cos( 2 x

x+

±=



• La cui somma è π/2:sin(π/2−α) = cos(α)cos(π/2−α) = sin(α)tan(π/2−α) = cot(α)cot(π/2−α) = tan(α)

x

y

Angoli complementariAngoli complementariAngoli complementariAngoli complementari


sin(π/2+α) = cos(α)cos(π/2+α) = - sin(α)tan(π/2+α) = - cot(α)cot(π/2+α) = - tan(α)

x

y

Angoli anti-complementariAngoli anti-complementariAngoli anti-complementariAngoli anti-complementari


• La cui somma è π:sin(π−α) = sin(α)cos(π−α) = - cos(α)tan(π−α) = - tan(α)cot(π−α) = - cot(α)

x

y

Angoli supplementariAngoli supplementariAngoli supplementariAngoli supplementari


sin(π+α) = - sin(α)cos(π+α) = - cos(α)tan(π+α) = tan(α)cot(π+α) = cot(α)

x

y

Angoli anti-supplementariAngoli anti-supplementariAngoli anti-supplementariAngoli anti-supplementari


sin(2π−α) =sin(−α)= - sin(α)cos(2π−α) =cos(−α)= cos(α)tan(2π−α) =tan(−α)= - tan(α)cot(2π−α) =cot(-α)= - cot(α)

x

y

Angoli esplementari ed oppostiAngoli esplementari ed oppostiAngoli esplementari ed oppostiAngoli esplementari ed opposti


cos (α ± β) = cos α cos β + sen α sen β

sen (α ± β ) = sen α cos β ± cos α sen β tg α ± tg βtg (α ± β ) = 1 + tg α tg β

Addizione e sottrazioneAddizione e sottrazioneAddizione e sottrazioneAddizione e sottrazione

sinα=cos( π/2-α)


sen 2α = 2 sen α cos α

cos 2α = cos2 α - sen2 α = 1 - 2sen2 = 2cos2 – 1

2 tg αtg 2 α = 1 - tg2 α

DuplicazioneDuplicazioneDuplicazioneDuplicazione


Queste formule di ricavano da quella di duplicazione del coseno sostituendo α /2 ad α

sen α /2 = ± 1 – cos α √ 2

cos α /2 = ± 1 + cos α √ 2

sen α 1 – cos αtg α /2 = = 1 + cos α sen α

BisezioneBisezioneBisezioneBisezione


p + q p - q sen p + sen q = 2 sen cos 2 2

p + q p - q p + q p - q sen p - sen q = 2 cos sensen p - sen q = 2 cos sen 2 22 2

p + q p - q p + q p - q cos p + cos q = 2 cos coscos p + cos q = 2 cos cos 2 22 2

p + q p - q p + q p - q cos p - cos q = - 2 sen sencos p - cos q = - 2 sen sen 2 22 2

Formule di prostaferesiFormule di prostaferesiFormule di prostaferesiFormule di prostaferesi


Identità goniometricheIdentità goniometricheIdentità goniometricheIdentità goniometriche

Si chiama Si chiama identità goniometricaidentità goniometrica ogni uguaglianza tra espressioni, contenenti ogni uguaglianza tra espressioni, contenenti funzioni goniometriche di uno o più angoli che è verificata qualsiasi siano i valori funzioni goniometriche di uno o più angoli che è verificata qualsiasi siano i valori attribuiti alle misure degli angoli. Eccettuati gli eventuali valori per i quali almeno attribuiti alle misure degli angoli. Eccettuati gli eventuali valori per i quali almeno una delle due espressioni perde di significato.una delle due espressioni perde di significato.

Es cos(p+q)=cos(p)cos(q)-sen(p)sen(q)Es cos(p+q)=cos(p)cos(q)-sen(p)sen(q)


Esercizi

ααα

αα 22

22

2

cos1

cos111 =+⋅−+ tg

sentg

αα

αααα

ααα

ααααα

αααα

ααα

22

22

22

22

2

2222

2

222

2

22

2

cos1

cos1

cos1

coscos

cos1

cos1

cos1

cos1

cos1

cos1

cos1

cos1

cos1

cos1

=

=+

=+

=+−+

=+⋅−+

sen

sen

sen

sensen

sen


trigonometria

Per risolvere un triangolo rettangolo bisogna determinare le misure dei lati e degli angoli che lo compongono.

Studiamo, quindi le relazioni che intercorrono tra le misure lineari e circolari di un triangolo rettangolo


Risoluzione dei triangoli rettangoli

Utilizzando la similitudine dei triangoli riusciamo a risolvere facilmente i triangoli retttangoli


In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell’ipotenusa moltiplicata per il seno dell’angolo opposto al cateto o per il coseno dell’angolo adiacente al cateto

a = c sen α = c cos β

b = c sen β = c cos α

Teorema 1Teorema 1Teorema 1Teorema 1


In un triangolo qualunque le misure dei lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti.

γβα senc

senb

sena ==

Teorema dei seniTeorema dei seniTeorema dei seniTeorema dei seni


Equazioni trigonometricheEquazioni trigonometricheEquazioni trigonometricheEquazioni trigonometriche







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