1

ANALÝZA VÝSLEDKŮ LINEÁRNÍHO

OPTIMALIZAČNÍHO MODELU

2

Obsah

• Formulace modelu• Výpočet modelu• Optimální řešení• Alternativní řešení• Suboptimální řešení• Analýza citlivosti vzhledem k změnám cen• Analýza citlivosti vzhledem k změnám pravých stran• Změny formulace modelu - rozsahu modelu

3

Formulace (definice) modelu

• Proměnné - procesy (jednotky)

• Omezující podmínky - soustava lineárních rovnic a nerovnic

• Kritérium - účelová funkce (lineární)

4

Optimální řezný plán

Z desek 5x7 je potřeba nařezat obdélníky 2x3 a čtverce 1x1.Možné řezné plány: A B C Potřeba přířezů

Obdélníky 0 5 4 100Čtverce 35 5 11 200

Kolik minimálně rozřezat desek?

5

Optimální řezný plán

x1 x2 x30 5 4 >= 10035 5 11 >= 2001 1 1 MIN

x1, x2, x3 >= 0

Proměnné x1, x2, x3 desky rozřezané podle řezného plánu A, B, C (počet

kusů)

Omezující podmínkyMinimální počet obdélníků (ks)Minimální počet čtverců (ks)

Účelová funkceCelkový počet rozřezaných desek MIN (ks)

6

Simplexový algoritmus

• Podmínky algoritmu: – b0 – = – kanonická báze

• Simplexová tabulka• Test optimality• Test přípustnosti• Nové bázické řešení - JEM

7

Jordanova eliminační metoda

• kanonická – jednotková báze

• změna báze – nahrazení jednoho bázického vektoru druhým – Steinitziova věta o výměně

• matice bázických vektorů B

• matice přechodu od báze k bázi B-1

8

Simplexový algoritmus

• Algoritmus končí nalezením optimálního řešení,

• pokud není v bázi pomocná proměnná, je to optimální přípustné řešení modelu,

• pokud pomocná proměnná v bázi zůstala a je nenulová, neexistuje přípustné řešení problému,

• nebo zjištěním, že účelová funkce je neomezená

• pokud nelze najít proměnnou pro vyřazení z báze.

9

Analýza výsledků řešení

z x1 x2 x30 0 5 4 >= 1000 35 5 11 >= 2001 -1 -1 1 = 0

>= 0x1, x2, x3

Do modelu můžeme přidat další podmínku, rovnici účelové funkce

x1 + x2 + x3 = z a po úpravě

z - x1 - x2 - x3 = 0

10

Analýza simplexové tabulky

x1 x2 x3 d1 d2 p1 p2 bx2 0,00 1,00 0,80 -0,20 0,00 0,20 0,00 20,00x1 1,00 0,00 0,20 0,03 -0,03 -0,03 0,03 2,86z 0,00 0,00 0,00 -0,17 -0,03 -9,83 -9,97 22,86

Matice E Hodnoty zj - cj Hodnoty bázických proměnných

Hodnota kritéria

Vliv proměnné x3 na optimální řešení

Inverzní matice báze B-1

11

Řešení modelu

• Optimální řešení– bázické řešení s optimální hodnotou kritéria ve výsledné

simplexové tabulce

• Alternativní řešení– každé další bázické i nebázické optimální řešení, lze

odvodit z výsledné simplexové tabulky

• Suboptimální řešení– bázické i nebázické řešení problému s dostatečně dobrou

hodnotou kritéria, odvozuje se z výsledné simplexové tabulky

12

Další řešení modelu

• Interval přípustných hodnot nebázické

proměnné xj

• Test přípustnosti

• Nové řešení bázické nebo nebázické

ij

i

ij 0min,0

13

Optimální řezný plán

x1 x2 x3 d1 d2 b1,00 1,00 1,00 0,00 0,00

x2 1,00 0,00 1,00 0,80 -0,20 0,00 20,00x1 1,00 1,00 0,00 0,20 0,03 -0,03 2,86

0,00 0,00 0,00 -0,17 -0,03 22,86

Optimální řešenířezný plán A 2,86 desekřezný plán B 20 desekřezný plán C 0 desek

14

Optimální řezný plánx1 x2 x3 d1 d2 b

1,00 1,00 1,00 0,00 0,00x2 1,00 0,00 1,00 0,80 -0,20 0,00 20,00x1 1,00 1,00 0,00 0,20 0,03 -0,03 2,86

0,00 0,00 0,00 -0,17 -0,03 22,86x2 1,00 -4,00 1,00 0,00 -0,31 0,11 8,57x3 1,00 5,00 0,00 1,00 0,14 -0,14 14,29

0,00 0,00 0,00 -0,17 -0,03 22,86

Optimální řešení Alternativařezný plán A 2,86 desek 0 desekřezný plán B 20 desek 8,57 desekřezný plán C 0 desek 14,29 desek

15

Optimální řezný plán

x1 x2 x3 d1 d2 b1,00 1,00 1,00 0,00 0,00

x2 1,00 0,00 1,00 0,80 -0,20 0,00 20,00x1 1,00 1,00 0,00 0,20 0,03 -0,03 2,86

0,00 0,00 0,00 -0,17 -0,03 22,86

Suboptimální řešeníprvní řezný plán 2,86 - 0,03 d1druhý řezný plán 20 + 0,2 d1překročení obdélníků z intervalu 0, 95.3

16

Analýza citlivosti vzhledem k změnám vstupních dat

• Analýza citlivosti vzhledem k změnám cen

• Analýza citlivosti vzhledem k změnám hodnot pravých stran

• Analýza citlivosti vzhledem k změnám koeficientů v omezujících podmínkách

17

Analýza citlivosti vzhledem k změnám cen

• Změnu sledované ceny cj vyjádříme jako

cj +

• Přepočítáme kriteriální řádek a získáme hodnoty s parametrem

• Test optimality - soustava lineárních nerovnic s parametrem

• Interval stability - nemění se báze řešení ani hodnoty proměnných, mění se hodnota kritéria

18

Optimální řezný plán

x1 x2 x3 d1 d2 b1,00 1,00 1,00 0,00 0,00

x2 1,00 0,00 1,00 0,80 -0,20 0,00 20,00x1 1,00 1,00 0,00 0,20 0,03 -0,03 2,86

0,00 0,00 0,00 -0,17 -0,03 22,86

19

Analýza citlivosti vzhledem k změnám hodnot pravých stran

• Změnu sledované pravé strany bi vyjádříme jako

bi +

• Přepočítáme vektor pravých stran a získáme hodnoty s parametrem

• Test přípustnosti - soustava lineárních nerovnic s parametrem

• Interval stability - nemění se báze řešení, mění se hodnoty proměnných a hodnota kritéria

20

Přepočet pravých stran

• Řešení soustavy lineárních rovnic pomocí JEM– Ax = b– báze B– x = B-1Ax = B-1b

• Parametrizovaný vektor pravých stran– b + µ bude přepočítán B-1(b + µ)

21

Optimální řezný plánx1 x2 x3 d1 d2 b

1,00 1,00 1,00 0,00 0,00p1 10 0,00 5,00 4,00 -1,00 0,00 100,00p2 10 35,00 5,00 11,00 0,00 -1,00 200,00

349,00 99,00 149,00 -10,00 -10,00 3000,00p1 10 0,00 5,00 4,00 -1,00 0,00 100,00x1 1 1,00 0,14 0,31 0,00 -0,03 5,71

0,00 49,14 39,31 -10,00 -0,03 1005,71x2 1 0,00 1,00 0,80 -0,20 0,00 20,00x1 1 1,00 0,00 0,20 0,03 -0,03 2,86

0,00 0,00 0,00 -0,17 -0,03 22,86

22

Analýza citlivosti vzhledem k změnám koeficientů v

omezujících podmínkách• Změna koeficientu bázické proměnné -

tvoří nový vektor s ostatními bázickými vektory opět bázi?– Nejlépe přidat nový vektor, novou proměnnou

• Změna koeficientu nebázické proměnné – Přepočítat vektor pomocí B-1, test optimality a

případně další výpočet

23

Změny formulace modelu - rozsahu modelu

• Přidání podmínky

• Vynechání podmínky

• Přidání proměnné

• Vynechání proměnné (bázická, nebázická)