Analytisk Perturbationsteori for linere operatorer · love og den klassiske mekanik fuldt ud afspejler naturen, idet de resultater, der kunne forudsiges med denne teori, stemte overens

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 1 � #1

fAnalytisk perturbationsteori

for lineære operatorer

JUNI 2009

Speciale af

Mette Kristensen

AALBORG UNIVERSITET

INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG

FREDRIK BAYERS VEJ 7 G, 9220 AALBORG ØST

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 2 � #2

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 3 � #3

AALBORG UNIVERSITET

INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG cTitel:

Analytisk perturbationsteorifor lineære operatorer

Semester:

MAT6 � Speciale

Projektperiode:

2. feb. - 5. jun. 2009

Skrevet af:

Mette Kristensen

Vejleder:

Horia Cornean

Oplagstal: 7

Sidetal: 71

Synopsis:

I kvantemekanik beskrives energien i et fy-

sisk system ved spektret af Hamiltonope-

ratoren hørende til systemet. Hamiltonope-

ratoren er en lineær selvadjungeret opera-

tor, og spektret er dermed reelt. I denne

rapport betragtes kun kompakte operato-

rer, og spektret består således kun af egen-

værdier. Dermed tilsvarer Hamiltonopera-

toren et system, som kun har diskrete ener-

giniveauer. Ofte er det ikke muligt eksplicit

at bestemme egenværdierne hørende til en

Hamiltonoperator, som tilsvarer et virke-

ligt system, og derfor kan perturbationste-

ori anvendes til at approksimere spektret.

I denne rapport betragtes, hvordan per-

turbationsteori kan anvendes til at ap-

proksimere ikke-degenererede egenværdier

for en kompakt Hamiltonoperator. I rap-

porten tages der udgangspunkt i en Ha-

miltonoperator, hvis egenværdier og egen-

vektorer er kendte. Denne Hamiltonope-

rator perturberes ved at lægge en kom-

pakt selvadjungeret operator V til den

oprindelige, og det vises i rapporten, at

hvis normen af V er lille nok, vil den per-

turberede operator have egenværdier tæt

på de oprindelige egenværdier, og disse

egenværdier kan bestemmes ved anvendelse

af Feshbachs formel, som også indføres i

rapporten.

Rapportens indhold er frit tilgængeligt, men o�entliggørelse (med kildeangivelse) må

kun �nde sted efter aftale med forfatteren.

© Mette Kristensen, 2009

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 4 � #4

Summary

In quantum mechanics the energy of a system is described by means ofthe Hamiltonian of the particular system. A Hamiltonian is a linear self-adjoint operator and therefore the spectrum of the Hamiltonian is real.The physical interpretation of the spectrum of the Hamiltonian is thatthe spectrum is the energy levels of the system. A Hamiltonian can bea compact operator, but it can also be an unbounded operator. If it is acompact operator the spectrum consists only of eigenvalues and thereforethe physical interpretation is that the system only have discrete energylevels and this correspond to a system only containing bounded states.If the operator is bounded the spectrum can consist of both discreteeigenvalues and a continuous spectrum which correspond to a system ofboth bounded states and scattered states.

In order to �nd the eigenvalues and the eigenstates of the system it isnecessary to solve the eigenvalue equation. This is often impossible todo explicitly for a Hamiltonian that re�ects reality, and this is the rea-son why perturbation theory is used to approximate the eigenvalues andeigenstates. The main idea in perturbation theory is to observe how theeigenvalues and eigenstates of a known operator changes when a smallpotential in the form of a self-adjoint operator is added to the originaloperator. In this report only compact operators are studied, and it willbe shown that when the solvable Hamiltonian has a nondegenerate eigen-value the perturbed Hamiltonian has nondegenerate eigenvalue close tothe known eigenvalue if the perturbation is small enough.

The perturbed Hamiltonian will be written as

H(λ) = H0 + λV,

where H0 is the solvable Hamiltonian, V is a selfadjoint operator andλ ∈ R. In the report it will be proved that a nondegenerate eigenvalueof H(λ) is analytic as a function of λ in an open ball centered at λ = 0.This means that the eigenvalue can be written as a Taylor series when|λ| is small enough and through the report the �rst �ve coe�cients ofthe Taylor series will be determined. This will be done by means of theFeshbach Formula and therefore this formula will be stated and proved.

Side 4

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 5 � #5

Forord

Denne rapport er et speciale inden for hovedretningen Anvendt mate-

matisk analyse, og er udarbejdet i perioden 2. februar til 5. juni 2009.Det overordnede emne er analytisk perturbationsteori, og der forudsætteskendskab til lineær algebra og matematisk analyse, herunder kompleksfunktionsanalyse.

Igennem rapporten er skalarer hovedsageligt noteret med ζ eller z, mensvektorer er noteret med fed skrift, eksempelvis ψ. Blokbogstaver er nota-tionen for operatorer, dog gælder der, at E ikke noterer en operator, menderimod en egenværdi for en operator.

Litteraturhenvisninger noteres [Forfatter(e), udgivelsesår, evt. placeringi kilden], og i starten af hvert kapitel anføres hvilke kilder, kapitlet ho-vedsageligt er baseret på. Anvendes et speci�kt resultat fra en kilde, vildette være anført i teksten. Litteraturhenvisningerne henviser til littera-turlisten, som �ndes bagerst i rapporten.

Til slut vil jeg gerne takke min vejleder Horia Cornean for god fagligbistand.

Aalborg den 5. juni 2009.

Mette Kristensen

Side 5

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 6 � #6

Indhold

Indledning 7

1 Indledende resultater 13

1.1 Egenskaber ved operatornormen . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Egenskab ved begrænsede operatorer . . . . . . . . . . . . 22

2 Feshbachs formel 25

2.1 Feshbachs formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Perturberede egenværdier 39

3.1 Eksistens af egenværdi E1(λ) nær E1(0) . . . . . . . . . . 40

3.2 Bestemmelse af egenværdien E1(λ) . . . . . . . . . . . . . 58

Litteratur 71

Side 6

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 7 � #7

Indledning

Denne indledning er baseret på [Agrawal, 2002].

I den klassiske mekanik betragtes partikler. Disse partikler kan lokaliserestil et helt bestemt sted i rummet til et givet tidspunkt. Hvis de kræfter,som virker på partiklen, er kendt, kan det forudsiges præcist, hvor i rum-met partiklen vil be�nde sig på et givet tidspunkt, og hvilken hastighedog energi partiklen vil have. Partiklens samlede energi vil således væregivet ved summen af bevægelsesenergien og den potentielle energi,

E = Ekin + Epot =p2

2m+ Epot,

hvor m er partiklens masse, og p er størrelsen af partiklens impuls, somer givet ved p = mv, hvor v er partiklens hastighed, og Epot er denpotentielle energi. Det bemærkes således, at en klassisk partikel kan haveen hvilken som helst energi.

Grundstenene til den klassiske mekanik blev lagt i sidste halvdel af 1600-tallet med Newton som en af de drivende kræfter. De mest essentielleresultater er opsummeret i de tre bevægelseslove, kaldet Newtons love, ogmed udgangspunkt i disse er det eksempelvis muligt at beskrive planeter-nes bevægelse om solen. I en lang årrække blev det antaget, at Newtonslove og den klassiske mekanik fuldt ud afspejler naturen, idet de resultater,der kunne forudsiges med denne teori, stemte overens med de resultater,der fremkom ved eksperimenter. I slutningen af 1800-tallet og starten af1900-tallet blev der dog foretaget en del eksperimenter, som ikke kunneforklares med den på dette tidspunkt kendte teori.

Derfor blev en ny teori, der afspejlede disse resultater, udledt; denne teorikaldes kvantemekanik. Hvis der betragtes ikke-relativistiske partikler �det vil sige partikler, som bevæger sig med en hastighed, der ikke ersammenlignelig med lysets hastighed � kan teorien opfattes som byggendepå fem aksiomer. Disse fem aksiomer er givet ved

� Alle fysiske observable kan repræsenteres af lineære operatorer pået lineært indre produktrum. Tilstande i et system er repræsenteretaf en vektor i det lineære indre produktrum.

� Kvadratet på absolutværdien af det indre produkt af en tilstands-vektor for systemet og en egenvektor for en fysisk observabel re-

Side 7

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 8 � #8

Indledning

præsenterer sandsynligheden for, at den fysiske observabel i dennetilstand er lig egenværdien hørende til egenvektoren for den fysiskeobservabel.

� Tilstandsrummet for identiske partikler med halvtalligt eller hel-talligt spin er henholdsvis et antisymmetrisk og symmetrisk un-derrum af hele det direkte produktrum. Alle �erpartikeloperatorerhørende til fysisk observable skal bevare symmetrien af tilstands-rummet.

� Tidsudviklingen af en tilstand ψ i et lukket system er givet ved

i~∂ψ

∂t= Hψ,

hvor H er en selvadjungeret operator, der kaldes Hamiltonopera-toren, og ~ er Plancks reducerede konstant. Hvis H ikke er tidsaf-hængig, repræsenter H energien i systemet. Dette er ikke tilfældet,hvis H er tidsafhængig.

� For alle typer af interaktioner mellem ikke-relativistiske partiklerkræves en ny Hamiltonoperator for systemet. Eksempelvis er Ha-miltonoperatoren for en ikke-relativistisk partikel i et klassisk, tids-uafhængigt potential V (r) givet ved

H =P 2

2m+ V (r),

hvor P og V er operatorer og m er partiklens masse.

Således angiver spektret for en tidsuafhængig Hamiltonoperator energieni systemet, og i den forbindelse bemærkes det, at potentialet V (r) harstor betydning for, om det er muligt at løse egenværdiligningen eksplicit.Hvis der opstilles en model, hvor der i potentialet er taget højde for allede kræfter, der påvirker partiklen, vil det ofte i praksis være umuligt atløse egenværdiligningen og dermed �nde energiniveauerne for partiklen.Derfor opstilles ofte en forsimplet model, som er mulig at løse, og dennesimplere operator perturberes efterfølgende, idet egenværdier og egenvek-torer således også perturberes.

I fysikkens verden bestemmes en ikke-degenereret perturberet egenværdipå følgende måde. Den perturberede operator kan udtrykkes som

H(λ) = H0 + λV,

Side 8

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 9 � #9

Indledning

hvor H0 er en Hamiltonoperator, til hvilken egenværdier og egenvekto-rer er kendte, V er en selvadjungeret operator og λ ∈ R. Det antages,at den ikke-degenererede egenværdi E1(λ) og den tilhørende normeredeegenvektor ψ1(λ) er analytiske funktioner om λ = 0. Det vil sige, at

E1(λ) =∑k≥0

εkλk

ψ1(λ) = ψ1(0) +∑k≥1

λkfk,

hvor εk ∈ R, ψ1(0) er den normerede egnevektor hørende til egenvær-dien E1(0) for operatoren H0, og fk er vektorer. Da E1(λ) og ψ1(λ) erhenholdsvis egenværdi og egenvektor hørende til H(λ), skal ligningen

H(λ)ψ1(λ) = E1(λ)ψ1(λ)

være opfyldt. Venstresiden i denne ligning kan også skrives som

H(λ)ψ1(λ) = (H0 + λV )

ψ1(0) +∑k≥1

λkfk

= E1(0)ψ1(0) + λVψ1(0) +

∑k≥1

λkH0fk +∑k≥1

λk+1V fk.

Højresiden kan udtrykkes som

E1(λ)ψ1(λ) =∑k≥0

εkλk

ψ1(0) +∑k≥1

λkfk

= ε0ψ1(0) + λ(ε1ψ1(0) + ε0f1) + . . . .

Idet højresiden er lig med venstresiden, gælder der, at

ε0 = E1(0),

da disse er de eneste led på henholdsvis højre- og venstresiden, som ikkeafhænger af λ. Ligeledes må der gælde, at

Vψ1(0) +H0f1 = ε1ψ1(0) + E1(0)f1. (1)

Side 9

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 10 � #10

Indledning

Det bemærkes nu, at ψ1(λ) kan udtrykkes som ψ1(λ) = ψ1(0) + λf1 +O(λ2), hvor O(λ2) er et restled. Idet ψ1(λ) er normeret, gælder der, at

1 = ‖ψ1(λ)‖2

= 〈ψ1(0) + λf1 +O(λ2),ψ1(0) + λf1 +O(λ2)〉= 1 + λ〈ψ1(0), f1〉+ λ〈f1,ψ1(0)〉+O(λ2)

= 1 + 2λRe〈ψ1(0), f1〉+O(λ2).

Dette er ensbetydende med, at

0 = λ (2Re〈ψ1(0), f1〉+O(λ)) ,

og dermed er

0 = (2Re〈ψ1(0), f1〉+O(λ).

Dette skal også gælde for λ = 0, og dermed haves Re〈ψ1(0), f1〉 = 0.Tages det indre produkt af ψ1(0) og højre- og venstresiden i udtryk (1),fås

〈ψ1(0), Vψ1(0)〉+ 〈ψ1(0), H0f1〉 = ε1 + E1(0)〈ψ1(0), f1〉 ⇔〈ψ1(0), Vψ1(0)〉+ 〈H0ψ1(0), f1〉 = ε1 + E1(0)〈ψ1(0), f1〉 ⇔

〈ψ1(0), Vψ1(0)〉+ E1(0)〈ψ1(0), f1〉 = ε1 + E1(0)〈ψ1(0), f1〉 ⇔ε1 = 〈ψ1(0), Vψ1(0)〉.

Og således gælder der også, at

(H0 − E1(0)I)f1 = ε1ψ1(0)− Vψ1(0).

Umiddelbart kan f1 ikke bestemmes, idet operatoren H0 − E1(0)I ikkeer invertibel. Det vides, at Re〈ψ1(0), f1〉 = 0, og det antages nu, at f1 erortogonal på ψ1(0). Dermed kan f1 udtrykkes som

f1 =∑k≥2

ckψk(0).

De�neres en ortogonalprojektion P⊥ på underrummet udspændt af ψk(0)for k ≥ 2, vil der gælde, at P⊥f1 = f1 og P⊥ψ1(0) = 0, og dermed fås

P⊥(H0 − E1(0)I)P⊥f1 = −P⊥Vψ1(0).

Side 10

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 11 � #11

Indledning

Det bemærkes, at operatoren P⊥(H0 − E1(0)I)P⊥ er invertibel på un-derrummet de�neret af ortogonalprojektionen P⊥, og dermed er f1 givetved

f1 = − (P⊥(H0 − E1(0))P⊥)−1 Vψ1(0).

På tilsvarende vis kan de øvrige koe�cienter tilE1(λ) ogψ1(λ) bestemmes.

I det ovenstående er det blot antaget, at E1(λ) og ψ1(λ) er analytiskeom λ = 0, og der er ikke angivet nogen grænse, for hvor stor absolutvær-dien af λ kan være, for at egenværdien og egenvektoren kan udtrykkessom potensrækker. Det er således ikke sikkert, at perturbationsproblemetkan løses, men metoden angiver, hvordan løsningen vil være, såfremt dereksisterer en løsning.

I denne rapport undersøges det, hvordan en ikke-degenereret egenvær-di og dermed et energiniveau for en lineær kompakt og selvadjungeretoperator ændres, hvis operatoren perturberes. Denne perturbation svarertil, at potentialet i Hamiltonoperatoren ændres en smule. Det undersøgesogså, hvor stor perturbation kan være, når metoden, som introduceres irapporten, anvendes. Det vises, at for tilpas små værdier af λ kan egen-værdierne og egenvektorerne for den perturberede operator udtrykkes sompotensrækker, og de første fem koe�cienter til potensrækken for egen-værdien bestemmes ved hjælp af Feshbachs formel, som også indføres irapporten.

Der betragtes kun lineære kompakte og selvadjungerede operatorer, idetkompakte operatorer blot har et punktspektrum, mens ubegrænsede selv-adjungerede operatorer kan have både et punktspektrum og et kontinuertspektrum. Punktspektret svarer til energiniveauerne for bundne tilstande,mens det kontinuerte spektrum svarer til energien i spredningstilstande.

Side 11

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 12 � #12

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 13 � #13

Kapitel 1

Indledende resultater

I dette kapitel indføres en række resultater omhandlende normen af be-grænsede operatorer samt et resultat omhandlende mængden af de be-grænsede operatorer på et Hilbertrum H. Disse resultater skal anvendesi de følgende kapitler, og der vil således blive refereret til resultaternesenere i rapporten. Kapitlet er baseret på [Reed og Simon, 1972a, Kapi-tel II], [Cohen, 2003, Kapitel 7] og [Axler, 1997, Kapitel 6].

1.1 Egenskaber ved operatornormen

I de følgende kapitler vil der blive gjort brug af en række resultater om-handlende operatornormen. Derfor de�neres denne i dette afsnit, og deresultater, som der gøres brug af, vil blive udledt.

Sætning 1.1 Lad T være en operator på et Hilbertrum H, og lad

a = inf{k ∈ R+ : ‖Tx‖ ≤ k ‖x‖ ,x ∈ H},

b = sup{‖Tx‖‖x‖

: x ∈ H,x 6= 0},

c = sup{‖Tx‖ : x ∈ H, ‖x‖ = 1},d = sup{‖Tx‖ : x ∈ H, ‖x‖ ≤ 1}.

Hvis dimH = 0 sættes b = c = 0. Der gælder så, at

a = b = c = d.

Bevis:

Sætningen vil blive vist ved at vise, at a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ a. For enhvervektor x ∈ H, hvor x 6= 0, gælder der, at

b ≥ ‖Tx‖‖x‖

⇔ ‖Tx‖ ≤ b ‖x‖ .

Dermed gælder der således, at

b ∈ {k ∈ R+ : ‖Tx‖ ≤ k ‖x‖ ,x ∈ H},

Side 13

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 14 � #14


og da a er de�neret til at være in�mum af denne mængde, må der gælde,at a ≤ b.

For alle x ∈ H, hvor x 6= 0, gælder der, at

‖Tx‖‖x‖

=∣∣∣∣ 1‖x‖

∣∣∣∣ ‖Tx‖ =∥∥∥∥ Tx‖x‖

∥∥∥∥ =∥∥∥∥T x‖x‖

∥∥∥∥≤ sup{‖Tx‖ : x ∈ H, ‖x‖ = 1} = c.

Idet ovenstående ulighed gælder for alle x ∈ H, er det således vist, atb ≤ c.

Det bemærkes, at der gælder, at

{‖Tx‖ : x ∈ H, ‖x‖ = 1} ⊂ {‖Tx‖ : x ∈ H, ‖x‖ ≤ 1},

og dermed er

sup{‖Tx‖ : x ∈ H, ‖x‖ = 1} ≤ sup{‖Tx‖ : x ∈ H, ‖x‖ ≤ 1},

og det er således vist, at c ≤ d.

Lad ‖x‖ ≤ 1, da gælder der jf. de�nitionen af a, at ‖Tx‖ ≤ a ‖x‖ ≤ a,og da d = sup{‖Tx‖ : x ∈ H, ‖x‖ ≤ 1} haves der, at d ≤ a. �

Normen af en operator de�neres nu på følgende måde.

De�nition 1.2 For enhver operator T på Hilbertrummet H de�nes nor-

men af T , betegnet ‖T‖, som tallet

‖T‖ = inf{k ∈ R+ : ‖Tx‖ ≤ k ‖x‖ ,x ∈ H}.

Det bemærkes, at de �re udtryk i Sætning 1.1 er ækvivalente, og de ersåledes alle udtryk for operatornormen.

Sætning 1.3 For to operatorer S og T på et Hilbertrum H gælder der,

at

‖ST‖ ≤ ‖S‖ ‖T‖ .

Bevis:

Der gælder, i henhold til de�nitionen af operatornormen, for alle x ∈ H,at

‖STx‖ = ‖S(Tx)‖ ≤ ‖S‖ ‖Tx‖ ≤ ‖S‖ ‖T‖ ‖x‖ .

Side 14

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 15 � #15


Hvis ‖x‖ = 0 haves 0 ≤ 0 og i dette tilfælde gælder således ligheden. Hvis‖x‖ > 0 kan uligheden omskrives til

‖STx‖‖x‖

≤ ‖S‖ ‖T‖ .

Idet denne ulighed gælder for alle x ∈ H, hvor ‖x‖ > 0, gælder den også,

når der tages supremum over ‖STx‖‖x‖ . Dermed haves i henhold til Sætning

1.1, at

‖ST‖ = sup{‖STx‖‖x‖

: x ∈ H,x 6= 0}

≤ sup{‖S‖ ‖T‖ : x ∈ H,x 6= 0}= ‖S‖ ‖T‖ .

�Beviset for den følgende sætning følger direkte af Sætning 1.3.

Sætning 1.4 For en operator T på et Hilbertrum H gælder der, for

n ∈ N, at

‖Tn‖ ≤ ‖T‖n .

Bevis:

Sætningen vises ved induktion. Ved n = 1 gælder∥∥T 1

∥∥ = ‖T‖ = ‖T‖1,og uligheden er således opfyldt med lighed. Ved n = 2 gælder

∥∥T 2∥∥ =

‖TT‖ ≤ ‖T‖ ‖T‖ = ‖T‖2, hvor uligheden følger af Sætning 1.3. Antagnu, at ‖Tn‖ ≤ ‖T‖n for n ≥ 2, så gælder∥∥Tn+1

∥∥ = ‖TnT‖ ≤ ‖Tn‖ ‖T‖ ≤ ‖T‖n ‖T‖ = ‖T‖n+1 ,

og sætningen er dermed bevist. �

I den følgende sætning indføres Cauchy-Schwarz' ulighed.

Sætning 1.5 For alle vektorer x og y i et Hilbertrum H gælder ulighe-

den,

|〈x,y〉| ≤ ‖x‖ ‖y‖ .

Side 15

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 16 � #16


Bevis:

Hvis y = 0 gælder udtrykket klart med lighed. Det ønskes således vist,at uligheden også gælder for y 6= 0. Det antages, at y 6= 0, og dermedgælder, at 〈y,y〉 6= 0. Lad λ ∈ C, så gælder der, at

0 ≤ ‖x− λy‖= 〈x− λy,x− λy〉= 〈x,x〉 − λ〈x,y〉 − λ〈y,x〉+ |λ|2 〈y,y〉.

Denne ulighed gælder for alle λ ∈ C, og dermed kan λ vælges som λ =〈x,y〉〈y,y〉−1. Så haves

0 ≤ 〈x,x〉 − 〈x,y〉〈y,x〉〈y,y〉−1 − 〈y,x〉〈x,y〉〈y,y〉−1

+ 〈y,x〉〈x,y〉〈y,y〉−2〈y,y〉= 〈x,x〉 − 2〈x,y〉〈y,x〉〈y,y〉−1 + 〈x,y〉〈y,x〉〈y,y〉−1

= 〈x,x〉 − 〈x,y〉〈y,x〉〈y,y〉−1

= 〈x,x〉 − |〈x,y〉|2 〈y,y〉−1.

Dette kan også udtrykkes som

|〈x,y〉|2 ≤ 〈x,x〉〈y,y〉 = ‖x‖2 ‖y‖2 ,

og dermed haves

|〈x,y〉| ≤ ‖x‖ ‖y‖ .

�Et resultat, som følger af Cauchy-Schwarz' ulighed, er trekantsuligheden,som indføres i den følgende sætning.

Sætning 1.6 For alle vektorer x og y i et Hilbertrum H gælder ulighe-

den,

‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ .

Side 16

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 17 � #17


Bevis:

Der gælder, at

‖x + y‖2 = 〈x + y,x + y〉= 〈x,x〉+ 〈x,y〉+ 〈y,x〉+ 〈y,y〉= 〈x,x〉+ 2Re〈x,y〉+ 〈y,y〉≤ ‖x‖2 + 2 |〈x,y〉|+ ‖y‖2

≤ ‖x‖2 + 2 ‖x‖ ‖y‖+ ‖y‖2

= (‖x‖+ ‖y‖)2,

hvor første ulighed åbenlyst gælder, og anden ulighed følger af Cauchy-Schwarz' ulighed. Dermed følger trekantsuligheden ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖.�

Beviset for den følgende sætning følger af trekantsuligheden.

Sætning 1.7 For en række af operatorer på et Hilbertrum H gælder der,

at ∥∥∥∥∥∥∑k≥1

Ak

∥∥∥∥∥∥ ≤∑k≥1

‖Ak‖ .

Bevis:

I henhold til de�nitionen af operatornormen samt Sætning 1.1 gælder der,at ∥∥∥∥∥∥

∑k≥1

Ak

∥∥∥∥∥∥ = sup‖x‖=1

∥∥∥∥∥∥∑k≥1

Akx

∥∥∥∥∥∥ .Samtidig gælder der jf. trekantsuligheden, Sætning 1.6, for alle vektorerx med ‖x‖ = 1, at∥∥∥∥∥∥

∑k≥1

Akx

∥∥∥∥∥∥ ≤ ‖A1x‖+

∥∥∥∥∥∥∑k≥2

Akx

∥∥∥∥∥∥ ≤ . . .≤∑k≥1

‖Akx‖

≤∑k≥1

‖Ak‖ .

Side 17

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 18 � #18


Idet dette gælder for alle x med ‖x‖ = 1, gælder der således, at∥∥∥∥∥∥∑k≥1

Ak

∥∥∥∥∥∥ ≤∑k≥1

‖Ak‖ ,

og sætningen er således vist. �

Beviset for den følgende sætning følger af Sætning 1.7.

Sætning 1.8 Lad A(z) være en integrabel operator på et Hilbertrum H.Så gælder der, at ∥∥∥∥∫

ΓA(z)dz

∥∥∥∥ ≤ ∫Γ‖A(z)‖ |dz| .

Bevis:

Det bemærkes, at integralet er grænseværdien af Riemann-summen, ogdermed gælder der, at∥∥∥∥∥∥

∫ΓA(z)dz −

N ε2∑

k=1

A(zk)(zk+1 − zk)

∥∥∥∥∥∥ ≤ ε

2. (1.1)

Samtidig gælder der i henhold til Sætning 1.7, at∥∥∥∥∥∥N ε

2∑k=1

A(zk)(zk+1 − zk)

∥∥∥∥∥∥ ≤N ε

2∑k=1

‖A(zk)‖ |zk+1 − zk| .

Idet integralet er grænseværdien af Riemann-summen gælder der også, at∣∣∣∣∣∣N ε

2∑k=1

‖A(zk)‖ |zk+1 − zk| −∫

Γ‖A(z)‖ |dz|

∣∣∣∣∣∣ ≤ ε

2. (1.2)

Det bemærkes, at N ε2ikke nødvendigvis er det samme i udtryk (1.1)

og (1.2), men vælges det største af dem i begge udtryk, gælder begge

Side 18

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 19 � #19


uligheder klart. Dermed haves således, at∥∥∥∥∫ΓA(z)dz

∥∥∥∥=

∥∥∥∥∥∥∫

ΓA(z)dz −

N ε2∑

k=1

A(zk)(zk+1 − zk) +

N ε2∑

k=1

A(zk)(zk+1 − zk)

∥∥∥∥∥∥≤

∥∥∥∥∥∥∫

ΓA(z)dz −

N ε2∑

k=1

A(zk)(zk+1 − zk)

∥∥∥∥∥∥+

∥∥∥∥∥∥N ε

2∑k=1

A(zk)(zk+1 − zk)

∥∥∥∥∥∥≤ ε

2+

N ε2∑

k=1

‖A(zk)‖ |zk+1 − zk|

≤ ε

2+

N ε2∑

k=1

‖A(zk)‖ |zk+1 − zk| −∫

Γ‖A(z)‖ |dz|+

∫Γ‖A(z)‖ |dz|

≤ ε+∫

Γ‖A(z)‖ |dz| .

Da ε er arbitrær, gælder der således, at∥∥∥∥∫ΓA(z)dz

∥∥∥∥ ≤ ∫Γ‖A(z)‖ |dz| ,

og sætningen er således bevist. �

Også Parsevals ligning anvendes i de følgende kapitler.

Sætning 1.9 LadH være et Hilbertrum, og lad ψk, hvor k = 1, 2, . . . , N ,

hvor N ≤ ∞, udgøre en ortonormal basis for Hilbertrummet. Så gælder

for enhver vektor f ∈ H, at

‖f‖2 =N∑k=1

|〈ψk, f〉|2 .

Bevis:

Det bemærkes, at idet ψk'erne udgør en ortonormal basis, gælder der, at

〈ψk,ψj〉 ={

1 for k = j,0 for k 6= j.

Side 19

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 20 � #20


Ydermere bemærkes det, at udfra de ortonormale basisvektorer kan derdannes ortogonalprojektioner, som indbyrdes er ortogonale på hinanden.Den k'te ortogonalprojektion er givet ved

Pkf = 〈f ,ψk〉ψk.

Det bemærkes, at f kan udtrykkes som en linearkombination af basisvek-torerne; det vil sige, at

f =N∑k=1

ckψk,

hvor ck er komplekse konstanter. Idet ψk'erne er ortonormale, gælder der,at

Pjf = 〈f ,ψj〉ψj

=⟨ N∑k=1

ckψk,ψj

⟩ψj

=N∑k=1

ck〈ψk,ψj〉ψj

= cjψj .

Dermed gælder der, at f =∑N

k=1 Pkf , og det betyder, at∑N

k=1 Pk = I.Således kan ‖f‖2 udtrykkes ved

‖f‖2 = 〈f , f〉

=⟨ N∑k=1

〈f ,ψk〉ψk,N∑j=1

〈f ,ψj〉ψj⟩

=N∑k=1

N∑j=1

〈f ,ψk〉〈f ,ψj〉∗〈ψk,ψj〉

=N∑k=1

|〈f ,ψk〉|2 ,

hvor sidste lighedstegn følger af, at 〈ψk,ψj〉 = 0 for k 6= j, og sætningener dermed bevist. �

Også den følgende sætning anvendes senere i rapporten.

Side 20

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 21 � #21


Sætning 1.10 Lad T være en selvadjungeret og kompakt operator på et

Hilbertrum H, og lad ζ ∈ C\R, så gælder der, at∥∥(T − ζI)−1∥∥ ≤ 1|Im(ζ)|

.

Bevis:

Idet T er en selvadjungeret og kompakt operator, gælder der i henholdtil [Kato, 1980, Theorem III.6.26], at spektret for T består af reelle egen-værdier. Idet ζ ∈ C\R, gælder der således, at ζ er indeholdt i resolvent-mængden for T , og operatoren T − ζI er således invertibel.

Det bemærkes, at idet T er selvadjungeret, gælder der, at

〈T f , f〉 = 〈f , T f〉 = 〈T f , f〉.

Dermed må værdien af det indre produkt være reel. Således gælder der ihenhold til Cauchy-Schwarts' ulighed, Sætning 1.5, at

‖f‖ ‖(T − ζI)f‖ ≥ |〈(T − ζI)f , f〉|= |〈(T − Re(ζ))f , f〉 − iIm(ζ)〈f , f〉|≥ |Im(ζ)| ‖f‖2 .

Dermed haves også, at

‖(T − ζI)f‖ ≥ |Im(ζ)| ‖f‖ .

Da T − ζI er invertibel, kan alle vektorer f ∈ H udtrykkes som f =(T − ζI)−1g, hvor g ∈ H. Så haves

‖g‖ =∥∥(T − ζI)(T − ζI)−1g

∥∥ = ‖(T − ζI)f‖≥ |Im(ζ)| ‖f‖ = |Im(ζ)|

∥∥(T − ζI)−1g∥∥ .

Dette kan også udtrykkes som∥∥(T − ζI)−1g∥∥ ≤ ‖g‖|Im(ζ)|

,

og da dette udtryk gælder for et vilkårligt g ∈ H, må der i henhold tilDe�nition 1.2 gælde, at ∥∥(T − ζI)−1

∥∥ ≤ 1|Im(ζ)|

,


Side 21

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 22 � #22


1.2 Egenskab ved begrænsede operatorer

Senere i rapporten gøres der brug af følgende sætning, og den vises derforher.

Sætning 1.11 Mængden af begrænsede lineære operatorer på Hilbert-

rummet H, B(H) er et fuldstændigt metrisk rum.

Bevis:

Hvis B(H) er et fuldstændigt metrisk rum, skal der gælde, at enhverCauchyfølge i B(H) er konvergent og har en grænse i B(H). Lad {An}n≥0

være en Cauchyfølge i B(H). Det bemærkes, at da An er en begrænsetoperator, gælder der, at der eksisterer et k <∞, så ‖An‖ ≤ k for alle n.Da {An} er en Cauchyfølge, gælder der, at

‖An+p −An‖ < ε,

for alle p ≥ 0 og n ≥ Nε. Nu de�neres ψn = Anf , hvor f ∈ H. Dermedgælder også, at ψn ∈ H, og der haves, at

‖ψn+p −ψn‖ = ‖(An+p −An)f‖ ≤ ‖An+p −An‖ ‖f‖ < ε ‖f‖ ,

for alle p ≥ 0 og n ≥ Nε. Således er følgen {ψn}n≥0 en Cauchyfølge iHilbertrummet H, og da et Hilbertrum er et fuldstændigt metrisk rum,har denne følge en grænseværdi i H. Denne grænse de�neres som

ψ∞ = A∞f = limn→∞

Anf .

For at vise at B(H) udgør et fuldstændigt metrisk rum, skal det vises, atoperatoren A∞ er begrænset, og at An i norm konvergerer mod A∞.

Det ønskes først vist, at A∞ er begrænset. Der gælder, at {ψn}n≥0 ={Anf}n≥0 konvergerer mod A∞f , og dermed eksisterer et n, så

‖A∞f −Anf‖ < ‖f‖ .

Så haves der jf. trekantsuligheden, Sætning 1.6, at

‖A∞f‖ = ‖Anf +A∞f −Anf‖ ≤ ‖Anf‖+ ‖A∞f −Anf‖< k ‖f‖+ ‖f‖ = (k + 1) ‖f‖ .

Side 22

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 23 � #23


Idet dette gælder for alle f ∈ H, gælder der i henhold til De�nition 1.2,at ‖A∞‖ < k + 1, og A∞ er således begrænset.

Nu ønskes konvergens i normen vist. Der gælder, at

‖A∞f −Anf‖ = ‖A∞f −An+pf +An+pf −Anf‖≤ ‖A∞f −An+pf‖+ ‖An+pf −Anf‖ .

Hvis n ≥ N ε2, gælder der, at ‖An+pf −Anf‖ < ε

2 ‖f‖, og dermed haves

‖(A∞ −An)f‖ < ε

2‖f‖+ ‖A∞f −An+pf‖ ,

for alle p ≥ 0 og n ≥ N ε2. Da denne ulighed gælder for alle p, må der for

alle n ≥ N ε2gælde, at

‖(A∞ −An)f‖ ≤ ε

2‖f‖ < ε ‖f‖ .

Da denne ulighed gælder for alle f ∈ H, gælder der i henhold til De�nition1.2, at

‖A∞ −An‖ ≤ ε,

og der er således konvergens i normen. �

I dette kapitel er en række resultater omhandlende normen af operatorerog et resultat omhandlende mængden af de begrænsede lineære opera-torer på et Hilbertrum H blevet indført. Disse resultater anvendes i defølgende kapitler, og der vil derfor blive referet til sætningerne indført idette kapitel.

Side 23

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 24 � #24

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 25 � #25

Kapitel 2

Feshbachs formel

I dette kapitel indføres Feshbachs formel. Denne formel angiver, hvor-dan resolventen for en kompakt og selvadjungeret lineær operator kanudtrykkes. Resolventen indeholder information om spektret for operato-ren, idet resolventen er singulær for værdier i spektret. Før Feshbachsformel formuleres og bevises, indføres noget teori om ortogonalprojek-tioner, og notationen, som anvendes i resten af rapporten, præsenteres.Kapitlet er baseret på [Cornean, 2008], [Reed og Simon, 1972a, KapitelVI] og [Wade, 2004, Kapitel 6].

Lad H være et Hilbertrum, og lad H : H → H være en selvadjungeret ogkompakt Hamiltonoperator givet ved

H = H0 + V,

hvor H0 er en kompakt og selvadjungeret operator, for hvilken egen-værdier og egenvektorer er kendte, og V er en kompakt og selvadjungeretperturbation. Da H er en kompakt og selvadjungeret operator, bestårspektret for operatoren af reelle egenværdier.

Lad Pe� være en ortogonalprojektion, som kommuterer med H0; det vilsige at Pe�H0 = H0Pe�. At Pe� er en ortogonalprojektion, betyder, atkravene

Pe� = P ∗e�,

Pe� = P 2e�

er opfyldt. Ydermere de�neres operatoren P⊥ ved

P⊥ = I − Pe�,

hvor I er identitetsoperatoren. Operatoren P⊥ er en ortogonalprojektion,idet der gælder, at

P ∗⊥ = (I − Pe�)∗ = I∗ − P ∗e� = I − Pe� = P⊥,

og

P 2⊥ = (I − P⊥)2 = I2 + P 2

e� − IPe� − Pe�I = I + Pe� − 2Pe� = I − Pe�

= P⊥.

Side 25

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 26 � #26

Feshbachs formel


Pe� + P⊥ = Pe� + I − Pe� = I

og

Pe�P⊥ = P⊥Pe� = Pe� − P 2e� = Pe� − Pe� = 0.

De to projektioner er således ortogonale på hinanden, og dermed er føl-gende dekomposition af Hilbertrummet H mulig, H = He� ⊕ H⊥. Detbetyder, at enhver vektor x ∈ H kan udtrykkes som

x =[αβ

],

hvor α = Pe�x og β = P⊥x.

Nu betragtes operatoren H virkende på vektoren x,

Hx = IHIx

= (Pe� + P⊥)H(Pe� + P⊥)x= (Pe�HPe� + Pe�HP⊥ + P⊥HPe� + P⊥HP⊥)x

= Pe�HP2e�x + Pe�HP

2⊥x + P⊥HP

2e�x + P⊥HP

2⊥x

= Pe�HPe�α+ Pe�HP⊥β + P⊥HPe�α+ P⊥HP⊥β.

Det bemærkes således, at Hx kan udtrykkes som (Pe� + P⊥)Hx, hvor

Pe�Hx = Pe�(Pe�HPe�α+ Pe�HP⊥β + P⊥HPe�α+ P⊥HP⊥β)= Pe�HPe�α+ Pe�HP⊥β

og

P⊥Hx = P⊥(Pe�HPe�α+ Pe�HP⊥β + P⊥HPe�α+ P⊥HP⊥β)= P⊥HPe�α+ P⊥HP⊥β.

Dermed kan Hx udtrykkes som en matrix virkende på vektoren x udtryktved α og β,

H

[αβ

]=[Pe�HPe� Pe�HP⊥P⊥HPe� P⊥HP⊥

] [αβ

]=[

He� He�,⊥H⊥,e� H⊥

] [αβ

],

Side 26

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 27 � #27

Feshbachs formel

og operatoren H kan således udtrykkes som matricen

H =[

He� He�,⊥H⊥,e� H⊥

].

Da Pe� er valgt, så den kommuterer med H0, gælder der, at

He�,⊥ = Pe�(H0 + V )P⊥ = Pe�H0P⊥ + Pe�V P⊥

= H0Pe�P⊥ + Ve�,⊥ = Ve�,⊥.

Tilsvarende kan det vises, at H⊥,e� = V⊥,e�. Dermed kan matricen for Hudtrykkes ved

H =[He� Ve�,⊥V⊥,e� H⊥

].

Operatoren H er blevet udtrykt ved hjælp af ortogonalprojektionerne Pe�

og P⊥, og Feshbachs formel kan nu formuleres.

2.1 Feshbachs formel

Feshbachs formel angiver, hvordan resolventen kan udtrykkes. Det ervigtigt, idet resolventen af en operator indeholder al information om ope-ratoren og dermed det system, den repræsenterer. De værdier af ζ, forhvilke resolventen er singulær, må være indholdt i spektret for operato-ren H. I sætningen og beviset er konventionen, at H kan udtrykkes somH = H0 + V , hvor H0 er en kompakt selvadjungeret Hamiltonoperator,hvortil egenværdier og egenvektorer er kendte, og V er en perturbation iform af en kompakt selvadjungeret operator. Ydermere gælder, at orto-gonalprojektionen Pe� kommuterer med H0.

Sætning 2.1 Lad H = H0 + V være en selvadjungeret og kompakt ope-

rator. Hvis ζ er indeholdt i resolventmængden for H, er resolventen af Hgivet ved

(H − ζI)−1 =[

SW −SWV R−RV SW R+RV SWV R

],

hvor

R(ζ) = (P⊥(H − ζI)P⊥)−1,

W (ζ) = −Pe�V R(ζ)V Pe�,

SW (ζ) = (He� +W (ζ)− Pe�ζIPe�)−1.

Side 27

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 28 � #28

Feshbachs formel

Bevis:

Operatoren H er kompakt og selvadjungeret, og derfor består spektretfor H jf. [Kato, 1980, Theorem III.6.26] kun af reelle egenværdier.

Det ønskes først vist, at operatoren (H − ζI)−1 er en analytisk funktionaf ζ på et domæne D, som udgøres af den øvre komplekse halvplan. Detbetyder, at det ønskes vist, at for

ζ ∈ C+ = {ζ ∈ C : Im(ζ) > 0}

kan (H − ζI)−1 udtrykkes som

(H − ζI)−1 =∑k≥0

Ak(ζ − ζ0)k,

hvor ζ0 ∈ C+, Ak ∈ B(H) og∑

k≥0 |ζ − ζ0|k ‖Ak‖ <∞.

Det bemærkes, at ζ0 ∈ C+ og derfor er operatoren H − ζ0I invertibel,idet egenværdierne for H er reelle. Operatoren H−ζI kan udtrykkes som

H − ζI = H − ζ0I − (ζI − ζ0I)

=(I − (ζ − ζ0)(H − ζ0I)−1

)(H − ζ0I). (2.1)

Denne operator er invertibel, hvis operatorerne I−(ζ−ζ0)(H−ζ0I)−1 ogH−ζ0I er det. Operatoren H−ζ0I er invertibel og I−(ζ−ζ0)(H−ζ0I)−1

er invertibel, hvis∥∥(ζ − ζ0)(H − ζ0I)−1

∥∥ < 1, idet der så gælder, at(I − (ζ − ζ0)(H − ζ0I)−1

)−1 =∑k≥0

((ζ − ζ0)(H − ζ0I)−1

)k.

At dette er tilfældet ses af, at(I − (ζ − ζ0)(H − ζ0I)−1

)∑k≥0

((ζ − ζ0)(H − ζ0I)−1

)k=∑k≥0

((ζ − ζ0)(H − ζ0I)−1

)k −∑k≥0

((ζ − ζ0)(H − ζ0I)−1

)k+1

= I +∑k≥0

((ζ − ζ0)(H − ζ0I)−1

)k+1 −∑k≥0

((ζ − ζ0)(H − ζ0I)−1

)k+1

= I.

På tilsvarende måde kan det vises, at

I =∑k≥0

((ζ − ζ0)(H − ζ0I)−1

)k (I − (ζ − ζ0)(H − ζ0I)−1

).

Side 28

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 29 � #29

Feshbachs formel

Det ønskes nu vist, at∥∥(ζ − ζ0)(H − ζ0I)−1

∥∥ < 1. Der gælder, at∥∥(ζ − ζ0)(H − ζ0I)−1∥∥ = |ζ − ζ0|

∥∥(H − ζ0I)−1∥∥ .

I henhold til Sætning 1.10, gælder der, idet H er selvadjungeret og kom-pakt, og ζ0 ∈ C\R, at ∥∥(H − ζ0I)−1

∥∥ ≤ 1|Im(ζ0)|

,

og dermed er kravet∥∥(ζ − ζ0)(H − ζ0I)−1

∥∥ < 1 opfyldt, hvis |ζ − ζ0| <|Im(ζ0)|. Hvis dette er tilfældet, kan resolventen jf. udtryk (2.1) udtrykkesved

(H − ζI)−1 = (H − ζ0I)−1∑k≥0

(ζ − ζ0)k((H − ζ0I)−1

)k=∑k≥0

Ak(ζ − ζ0)k,

hvor Ak = ((H − ζ0I)−)k+1. Det bemærkes, at der jf. Sætning 1.4 og

Sætning 1.10 gælder, at

‖Ak‖ =∥∥∥((H − ζ0I)−1

)k+1∥∥∥ ≤ ∥∥(H − ζ0I)−1

∥∥k+1 ≤ 1

|Im(ζ0)|k+1,

og dermed haves, at

|ζ − ζ0|k ‖Ak‖ ≤ |ζ − ζ0|k1

|Im(ζ0)|k+1=

1|Im(ζ0)|

(|ζ − ζ0||Im(ζ0)|

)k.

Idet der gælder, at |ζ−ζ0||Im(ζ0)| < 1, er rækken

∑k≥0

1|Im(ζ0)|

(|ζ − ζ0||Im(ζ0)|

)ksåledes absolut og uniformt konvergent, og det er således vist, at resol-venten (H − ζI)−1 er en analytisk funktion af ζ for ζ ∈ C+.

På tilsvarende måde, kan det vises, at resolventen er en analytisk funktionaf ζ for ζ ∈ C−. At en funktion er analytisk i et punkt, betyder, atfunktionen også er analytisk i en åben kugle om dette punkt. Derfor er

Side 29

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 30 � #30

Feshbachs formel

resolventen også analytisk for reelle værdier af ζ, så længe ζ ikke er enegenværdi for H.

Det ønskes nu vist, at resolventen kan udtrykkes som i sætningen på heleresolventmængden.

Lad de to operatorer A og B være givet ved

A =[He� 0

0 H⊥

],

B =[

0 He�,⊥H⊥,e� 0

]=[

0 Ve�,⊥V⊥,e� 0

].

Det bemærkes, at der gælder, at H = A + B. Det ses, at A og B kanudtrykkes som

A = Pe�HPe� + P⊥HP⊥,

B = Pe�HP⊥ + P⊥HPe�,

og dermed er A og B selvadjungerede, idet

A∗ = P ∗e�H∗P ∗e� + P ∗⊥H

∗P ∗⊥

= Pe�HPe� + P⊥HP⊥ = A,

B∗ = P ∗e�H∗P ∗⊥ + P ∗⊥H

∗P ∗e�

= P⊥HPe� + Pe�HP⊥ = B.

Operatoren A− ζI kan udtrykkes som

A− ζI =[He� − Pe�ζIPe� 0

0 H⊥ − P⊥ζIP⊥

].

Da A er selvadjungeret og kompakt, er A − ζI invertibel for et givet ζ,hvor Im(ζ) > 0 (eller Im(ζ) < 0). Således er operatoren (A− ζI)−1 givetved

(A− ζI)−1 =[

(He� − Pe�ζIPe�)−1 00 (H⊥ − P⊥ζIP⊥)−1

]=[Ae� 00 R

],

Side 30

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 31 � #31

Feshbachs formel

hvor

Ae� = (He� − Pe�ζIPe�)−1 = (Pe�(H − ζI)Pe�)−1,

R = (H⊥ − P⊥ζIP⊥)−1 = (P⊥(H − ζI)P⊥)−1.

At (A − ζI)−1 må være givet på denne måde, ses af, at der med detteudtryk for (A− ζI)−1 gælder, at

(A− ζI)(A− ζI)−1 = (A− ζI)−1(A− ζI) = I.

Det bemærkes nu, at operatoren H − ζI kan udtrykkes som

H − ζI = A− ζI +B = (I +B(A− ζI)−1)(A− ζI),

idet A − ζI er invertibel for et givet ζ, hvor |Im(ζ)| > 0. Nu betragtesrækken ∑

k≥0

(−1)k(A− ζI)−1(B(A− ζI)−1)k (2.2)

= (A− ζI)−1∑k≥0

(−B(A− ζI)−1)k.

Dette er en Neumannrække, og den er absolut og uniformt konvergent foralle ζ, som opfylder, at∥∥−B(A− ζI)−1

∥∥ =∥∥B(A− ζI)−1

∥∥ < 1.

Da A er selvadjungeret og kompakt, og ζ ∈ C\R, gælder der i henhold tilSætning 1.10, at

∥∥(A− ζI)−1∥∥ ≤ 1|Im(ζ)|

,

og idet B er begrænset, haves således, at

∥∥B(A− ζI)−1∥∥ ≤ ‖B‖ ∥∥(A− ζI)−1

∥∥ ≤ ‖B‖|Im(ζ)|

< 1,

hvis ζ er valgt, så |Im(ζ)| > ‖B‖. Det antages nu, at ζ er valgt så |Im(ζ)| >‖B‖, og rækken i udtryk (2.2) er derfor absolut og uniformt konvergent.

Side 31

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 32 � #32

Feshbachs formel

Idet H − ζI kan udtrykkes som(I +B(A− ζI)−1

)(A− ζI), gælder der,

at

(H − ζI)

(A− ζI)−1∑k≥0

(−1)k(B(A− ζI)−1

)k=(I +B(A− ζI)−1

)(A− ζI)(A− ζI)−1

∑k≥0

(−1)k(B(A− ζI)−1

)k=(I +B(A− ζI)−1

)∑k≥0

(−1)k(B(A− ζI)−1

)k=∑k≥0

(−1)k(B(A− ζI)−1

)k +∑k≥0

(−1)k(B(A− ζI)−1

)k+1

= I +∑k≥0

(−1)k+1(B(A− ζI)−1

)k+1 +∑k≥0

(−1)k(B(A− ζI)−1

)k+1

= I +∑k≥0

((−1)k+1 + (−1)k

) (B(A− ζI)−1

)k+1

= I.

Tilsvarende gælder der, at(A− ζI)−1∑k≥0

(−1)k(B(A− ζI)−1

)k (H − ζI)

= (A− ζI)−1∑k≥0

(−1)k(B(A− ζI)−1

)k (I +B(A− ζI)−1

)(A− ζI)

= (A− ζI)−1I(A− ζI)= I,

og dermed må der gælde, at

(H − ζI)−1 =∑k≥0

(−1)k(A− ζI)−1(B(A− ζI)−1

)k=∑k≥0

(A− ζI)−1(B(A− ζI)−1

)2k(2.3)

−∑k≥0

(A− ζI)−1(B(A− ζI)−1

)2k (B(A− ζI)−1

).

Side 32

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 33 � #33

Feshbachs formel

Det ønskes nu vist, at den første række i (2.3) kun bidrager til diagonalen,mens den anden række ikke bidrager til diagonalen. Det betyder, at detskal vises, at operatoren B(A − ζI)−1 opløftet i en ulige potens ikkebidrager til diagonalen, mens den opløftet i en lige potens kun bidragertil diagonalen. Det ses, at der gælder, at

B(A− ζI)−1 =[

0 Ve�,⊥V⊥,e� 0

] [Ae� 00 R

]=[

0 Ve�,⊥RV⊥,e�Ae� 0

].

Opløftes denne i anden potens fås

(B(A− ζI)−1)2 =[

0 Ve�,⊥RV⊥,e�Ae� 0

] [0 Ve�,⊥R

V⊥,e�Ae� 0

]=[Ve�,⊥RV⊥,e�Ae� 0

0 V⊥,e�Ae�Ve�,⊥R

].

Således gælder der klart for ethvert heltal k ≥ 0, at

(B(A− ζI)−1

)2k =

[(Ve�,⊥RV⊥,e�Ae�)k 0

0 (V⊥,e�Ae�Ve�,⊥R)k

].

Når dette udtryk for(B(A− ζI)−1

)2kindsættes i den første række i (2.3)

fås∑k≥0

(A− ζI)−1(B(A− ζI)−1)2k

=[Ae� 00 R

] [ ∑k≥0 (Ve�,⊥RV⊥,e�Ae�)k 0

0∑

k≥0 (V⊥,e�Ae�Ve�,⊥R)k

]

=

[ ∑k≥0Ae� (Ve�,⊥RV⊥,e�Ae�)k 0

0∑

k≥0R (V⊥,e�Ae�Ve�,⊥R)k

]. (2.4)

I det følgende betragtes de to summer, som indgår i matricen i udtryk(2.4) enkeltvis. Den første række er absolut og uniformt konvergent forde ζ, som opfylder ‖Ve�,⊥RV⊥,e�Ae�‖ < 1, og summen er i dette tilfælde

Side 33

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 34 � #34

Feshbachs formel

givet ved∑k≥0

Ae� (Ve�,⊥RV⊥,e�Ae�)k = Ae�

∑k≥0

(Ve�,⊥RV⊥,e�Ae�)k

=(A−1e�

)−1 (I − Ve�,⊥RV⊥,e�Ae�)−1

=((I − Ve�,⊥RV⊥,e�Ae�)A−1

e�

)−1

=(A−1e� − Ve�,⊥RV⊥,e�

)−1

= (He� − Pe�ζIPe� − Pe�V P⊥RP⊥V Pe�)−1.

Det bemærkes, at R = (P⊥(H−ζI)P⊥)−1 er en operator i HilbertrummetH⊥, og derfor gælder der, at P⊥RP⊥ = R, og dermed fås, hvis rækken erkonvergent, at∑

k≥0

Ae�(Ve�,⊥RV⊥,e�Ae�)k = (He� − Pe�ζIPe� − Pe�V RV Pe�)−1

= (He� − Pe�ζIPe� +W )−1

= SW .

Det ønskes nu vist, at der �ndes et ζ, for hvilket ‖Ve�,⊥RV⊥,e�Ae�‖ < 1,så rækken vil være absolut og uniformt konvergent for dette ζ. Der gælder,at

‖Ve�,⊥RV⊥,e�Ae�‖ = ‖Pe�V P⊥RP⊥V Pe�Ae�‖≤ ‖V ‖2 ‖R‖ ‖Ae�‖ ,

hvor der er gjort brug af, at P⊥RP⊥ = R og Pe�Ae� = Ae�, da R eren operator i Hilbertrummet H⊥, og Ae� er en operator i HilbertrummetHe�, samt af at ‖Pe�‖ = 1. Nu ønskes ‖R‖ =

∥∥(P⊥(H − ζI)P⊥)−1∥∥ og

‖Ae�‖ =∥∥(Pe�(H − ζI)Pe�)−1

∥∥ bestemt.

Der gælder, at henholdsvis H⊥ = P⊥HP⊥ og He� = Pe�HPe� er selvad-jungerede og kompakte operatorer i Hilbertrummene H⊥ og He�. Såledeshar H⊥ og He� reelle egenværdier, og der gælder, at H⊥ − ζP⊥ og He� −ζPe� er invertible operatorer på H⊥ og He�, hvis |Im(ζ)| > 0. Dermedgælder der i henhold til Sætning 1.10, at

‖R‖ =∥∥(H⊥ − ζP⊥)−1

∥∥ ≤ 1|Im(ζ)|

,

‖Ae�‖ =∥∥(He� − ζPe�)−1

∥∥ ≤ 1|Im(ζ)|

.

Side 34

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 35 � #35

Feshbachs formel

Dermed haves, at

‖Ve�,⊥RV⊥,e�Ae�‖ ≤ ‖V ‖2 ‖R‖ ‖Ae�‖

≤ ‖V ‖2 1|Im(ζ)|2

.

Det betyder, at hvis ζ er valgt så |Im(ζ)| > ‖V ‖, er den første række imatricen i udtryk (2.4) absolut og uniformt konvergent.

Nu betragtes den anden række i udtryk (2.4); der gælder at,∑k≥0

R(V⊥,e�Ae�Ve�,⊥R)k

= R+∑k≥1

R (V⊥,e�Ae�Ve�,⊥R)(V⊥,e�Ae�Ve�,⊥R) . . . (V⊥,e�Ae�Ve�,⊥R)︸︷︷︸k faktorer

= R+RV⊥,e�∑k≥1

Ae� (Ve�,⊥RV⊥,e�Ae�) . . . (Ve�,⊥RV⊥,e�Ae�)︸︷︷︸k−1 faktorer

Ve�,⊥R

= R+RV⊥,e�∑k≥0

Ae�(Ve�,⊥RV⊥,e�Ae�)kVe�,⊥R

= R+RV⊥,e�SWVe�,⊥R.

Denne række er således også absolut og uniformt konvergent, hvis |Im(ζ)| >‖V ‖. Det bemærkes, at der gælder, at

RV⊥,e�SWVe�,⊥R = RP⊥V Pe�SWPe�V P⊥R.

Da SW = (Pe�(H − ζI +W )Pe�)−1 er en operator i Hilbertrummet He�,gælder der, at Pe�SWPe� = SW , og da R er en operator i HilbertrummetH⊥, gælder der, at RP⊥ = P⊥R = R, og dermed haves, at

RV⊥,e�SWVe�,⊥R = RV SWV R.

Således gælder der, at∑k≥0

R(V⊥,e�Ae�Ve�,⊥R)k = R+RV SWV R.

Når |Im(ζ)| > ‖V ‖ giver den første række i udtrykket for (H − ζI)−1,udtryk (2.3), følgende matrix[

SW 00 R+RV SWV R

].

Side 35

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 36 � #36

Feshbachs formel

Det bemærkes nu, at den anden række i udtryk (2.3) opnås ved at gangeden første række med −B(A− ζI)−1 fra højre. Det vil sige, at

−∑k≥0

(A− ζI)−1(B(A− ζI)−1)2k+1

=[SW 00 R+RV⊥,e�SWVe�,⊥R

] [0 −Ve�,⊥R

−V⊥,e�Ae� 0

]=[

0 −SWVe�,⊥R−RV⊥,e�Ae� −RV⊥,e�SWVe�,⊥RV⊥,e�Ae� 0

],

hvor |Im(ζ)| > ‖V ‖. Det bemærkes, at der gælder, at

−SWVe�,⊥R = −SWPe�V P⊥R = −SWV R.

Ydermere gælder der, at

−RV⊥,e�Ae� −RV⊥,e�SWVe�,⊥RV⊥,e�Ae�

= −RV⊥,e�(Ae� + SWVe�,⊥RV⊥,e�Ae�)

= −RV⊥,e�

Ae� +∑k≥0

Ae�(Ve�,⊥RV⊥,e�Ae�)kVe�,⊥RV⊥,e�Ae�

= −RV⊥,e�

Ae� +∑k≥0

Ae�(Ve�,⊥RV⊥,e�Ae�)k+1

−RV⊥,e�

∑k≥0

Ae�(Ve�,⊥RV⊥,e�Ae�)k

= −RP⊥V Pe�SW

= −RV SW ,

idet der ved det sidste lighedstegn er anvendt, at RP⊥ = R og Pe�SW =SW . Dermed kan den sidste række i udtryk (2.3) udtrykkes ved matricen[

0 −SWV R−RV SW 0

],

når |Im(ζ)| > ‖V ‖. Det er således vist, at resolventen (H − ζI)−1 kanudtrykkes ved

(H − ζI)−1 =[

SW −SWV R−RV SW R+RV SWV R

], (2.5)

Side 36

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 37 � #37

Feshbachs formel

når ζ er valgt så |Im(ζ)| er så stor, at de rækker, som er blevet betragtet,alle er absolut og uniformt konvergente.

Det vides således, at (H − ζI)−1 eksisterer og er analytisk for alle ζ iresolventmængden. Samtidig vides det, at når ζ har en imaginærdel, dernumerisk er tilpas stor, kan (H − ζI)−1 udtrykkes som (2.5). Dermedgælder der jf. [Jensen, 2005, Theorem 6.3], at (H − ζI)−1 kan udtrykkespå denne måde for alle ζ i resolventmængden. �

Feshbachs formel er således blev bevist, og af sætningen fremgår det,at resolventen eksisterer såfremt SW (ζ) og R(ζ) eksisterer. Hvis R(ζ)er regulær i et område, kan egenværdierne af H kun være de punkter,hvor SW (ζ) er singulær. Dermed kan egenværdierne for H �ndes ved at�nde de værdier af ζ, for hvilke SW (ζ) er singulær. I det følgende kapitelvises, hvordan egenværdierne af en perturberet operator kan bestemmes,såfremt perturbationen ikke er for stor.

Side 37

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 38 � #38

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 39 � #39

Kapitel 3

Perturberede egenværdier

I det forrige kapitel blev Feshbachs formel for en kompakt og selvadjun-geret operator vist. I dette kapitel, som er baseret på [Cornean, 2008] og[Reed og Simon, 1972b, Kapitel XII], ønskes Feshbachs formel anvendt tilat �nde egenværdierne for en selvadjungeret og kompakt operator. Dertages udgangspunkt i en selvadjungeret operator H0, hvor egenværdierneog egenvektorerne er kendte. Denne operator perturberes, således at derhaves en ny selvadjungeret og kompakt operator H, der kan udtrykkessom

H = H0 + V,

hvor V er en selvadjungeret og kompakt operator.

Der gælder, at operatoren H0 kan skrives som

H0 =N∑k=1

Ek(0)Pk(0),

hvor Ek(0) er en reel egenværdi, og Pk(0) er en projektion, hvorom dergælder, at Pk(0)f = 〈f ,ψk(0)〉ψk(0), hvor ψk(0)'erne opfylder

〈ψk(0),ψj(0)〉 ={

1 for k = j,0 for k 6= j.

Vektorerne ψk(0) udgør således en ortonormal basis for Hilbertrummet,og samtidig er ψk(0) egenvektoren hørende til egenværdien Ek(0). Det vilsige, at der gælder, at

H0ψk(0) = Ek(0)ψk(0).

Rækkefølgen k er ordnet således, at E1(0) ≥ E2(0) ≥ E3(0) ≥ . . .. Detantages nu, at E1(0) ikke er degenereret; det vil sige, at der gælder, atE1(0) > E2(0).

Indføres den ovennævnte perturbation af operatoren, kan den nye opera-tor udtrykkes som

H(λ) = H0 + λV,

hvor λ ∈ R, og V er en selvadjungeret og kompakt operator. I det følgendeafsnit ønskes det vist, at operatoren H(λ) har en egenværdi E1(λ) næregenværdien E1(0) for operatoren H0.

Side 39

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 40 � #40


3.1 Eksistens af egenværdi E1(λ) nær E1(0)

I dette afsnit ønskes den følgende sætning bevist. Denne sætning udtrykkerdet væsentlige resultat, at hvis en operator perturberes lidt, vil egenvær-dien også kun blive perturberet lidt.

Sætning 3.1 Lad E1(0) være en ikke-degenereret egenværdi for H0, så

gælder der, at hvis |λ| er lille nok, har H(λ) præcis en ikke-degenereret

egenværdi E1(λ) nær E1(0) og E1(λ)→ E1(0), når λ→ 0.

For at bevise denne sætning er det nødvendigt først at vise en rækkeandre resultater. Derfor indføres først følgende sætning.

Sætning 3.2 Lad J = [a, b] være et lukket interval fuldstændig indeholdti det åbne interval ]E2(0), E1(0)[. Så �ndes et λ0 > 0, så der for alle λ,hvor |λ| < λ0, gælder, at J er indeholdt i resolventmængden for H(λ).

Bevis:

Idet I =∑N

k=1 Pk(0), hvor N ∈ N og N ≤ ∞, gælder der, at

H0 = H0I =N∑k=1

H0Pk(0) =N∑k=1

Ek(0)Pk(0).

Således gælder der, at

H0 − ζI =N∑k=1

(Ek(0)− ζ)Pk(0),

og såfremt ζ 6= Ek(0) for alle k, haves der, at

(H0 − ζI)−1 =N∑k=1

1Ek(0)− ζ

Pk(0),

Side 40

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 41 � #41


idet det dermed er opfyldt, at

(H0 − ζI)−1(H0 − ζI) =N∑k=1

N∑j=1

Ej(0)− ζEk(0)− ζ

Pk(0)Pj(0)

=N∑k=1

Ek(0)− ζEk(0)− ζ

P 2k (0)

=N∑k=1

Pk(0)

= I.

Det bemærkes, at andet lighedstegn følger af, at Pk(0)Pj(0) = 0 for j 6= k.På tilsvarende vis gælder, at (H0 − ζI)(H0 − ζI)−1 = I.

Der gælder for en vilkårlig vektor f ∈ H, at

(H0 − ζI)−1f =N∑k=1

1Ek(0)− ζ

Pk(0)f =N∑k=1

1Ek(0)− ζ

〈f ,ψk(0)〉ψk(0).

Idet ψk(0)'erne udgør en ortonormal basis, gælder der jf. Parsevals lig-ning, Sætning 1.9, for ζ i resolventmængden, at

∥∥(H0 − ζI)−1f∥∥2 =

N∑k=1

1|Ek(0)− ζ|2

|〈f ,ψk(0)〉|2

≤

(supj≥1

1|Ej(0)− ζ|2

)N∑k=1

|〈f ,ψk(0)〉|2

=

(supj≥1

1|Ej(0)− ζ|2

)‖f‖2 .

Dette resultat gælder for et vilkårligt f ∈ H, og dermed gælder der, at∥∥(H0 − ζI)−1∥∥ ≤ sup

j≥1

1|Ej(0)− ζ|

. (3.1)

Der betragtes et vilkårligt ζ ∈ J . Det ønskes nu vist, at for dette ζeksisterer (H(λ)− ζI)−1. Der gælder, at

H(λ)− ζI = H0 − ζI + λV =(I + λV (H0 − ζI)−1

)(H0 − ζI).

Side 41

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 42 � #42


Denne opskrivning er mulig, idet ζ er indeholdt i resolventmængden forH0, og (H0−ζI)−1 derfor eksisterer. Der gælder, at operatoren H(λ)−ζIer invertibel, hvis de to operatorer I + λV (H0 − ζI)−1 og H0 − ζI beggeer det. Den sidste er invertibel for alle ζ ∈ J , og den første er invertibel,hvis ∥∥λV (H0 − ζI)−1

∥∥ ≤ |λ| ‖V ‖∥∥(H0 − ζI)−1∥∥ < 1,

og i dette tilfælde gælder der, at(I + λV (H0 − ζI)−1

)−1 =∑k≥0

(−1)kλk(V (H0 − ζI))k,

idet (I + λV (H0 − ζI)−1

)∑k≥0

(−1)kλk(V (H0 − ζI))k

=∑k≥0

(−1)kλk(V (H0 − ζI))k +∑k≥0

(−1)kλk+1(V (H0 − ζI))k+1

= I +∑k≥0

((−1)k+1 + (−1)k

)λk+1(V (H0 − ζI))k+1

= I.

Tilsvarende gælder, at∑k≥0

(−1)kλk(V (H0 − ζI))k(I + λV (H0 − ζI)−1

)= I.

For at H(λ)− ζI er invertibel, skal der således gælde, at

|λ| < 1‖V ‖ ‖(H0 − ζI)−1‖

for alle ζ ∈ J . Derfor de�neres størrelsen λ0 som

λ0 =1

‖V ‖maxζ∈J ‖(H0 − ζI)−1‖.

Fra udtryk (3.1) vides, at∥∥(H0 − ζI)−1∥∥ ≤ sup

k≥1

1|ζ − Ek(0)|

≤ 1min{|a− E2(0)| , |b− E1(0)|}

.

Side 42

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 43 � #43


Dermed kan λ0 udtrykkes som

λ0 =min{|a− E2(0)| , |b− E1(0)|}

‖V ‖.

Dermed gælder der for alle λ, hvor |λ| < λ0, at (H(λ)− ζI)−1 eksistererfor alle ζ ∈ J og er givet ved

(H(λ)− ζI)−1 = (H0 − ζI)−1∑k≥0

(−1)kλk(V (H0 − ζI)−1)k. (3.2)

�Det bemærkes, at jo tættere intervallet er på egenværdierne, jo mindre erλ0.

Et tilsvarende resultat gælder naturligvis for intervaller mellem de øvrigeegenværdier for H0, og beviset tilsvarer det ovenstående bevis.

Det bemærkes det, at der gælder, at

P1(0) =i

2π

∫Γ(H0 − ζI)−1dζ, (3.3)

hvor Γ er en positivt orienteret cirkel, som omkranser egenværdien E1(0).Cirklen er så lille, at ingen af de øvrige egenværdier for H0 er omkransetcirklen. At ovenstående udtryk gælder, ses ved at indsætte udtrykket for(H0 − ζI)−1 i integralet, dermed fås

i

2π

∫Γ(H0 − ζI)−1dζ =

i

2π

∫Γ

N∑k=1

1Ek(0)− ζ

Pk(0)dζ

=N∑k=1

(i

2π

∫Γ

1Ek(0)− ζ

dζ

)Pk(0)

= P1(0),

idet integralet jf. Cauchys integralsætning og Cauchys integralformel,[Jensen, 2005, Theorem 4.3 og Theorem 4.7], giver nul for alle egenværdierforskellige fra E1(0) og −2πi for egenværdien E1(0). Ved andet lighed-stegn er der byttet rundt på summations- og integrationsrækkefølgen.Hvis N <∞ er dette uproblematisk, men hvis N =∞ kræves yderligereargumentation. I det følgende antages derfor, at N = ∞. Nu de�neres

Side 43

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 44 � #44


vektoren Φn, hvor n <∞, for et vilkårligt f ∈ H ved

Φn =n∑k=1

1Ek(0)− ζ

Pk(0)f .

Så gælder der, at

Φn+p −Φn =n+p∑

k=n+1

1Ek(0)− ζ

Pk(0)f ,

og dermed haves, at

‖Φn+p −Φn‖2 =

∥∥∥∥∥n+p∑

k=n+1

1Ek(0)− ζ

Pk(0)f

∥∥∥∥∥2

=⟨ n+p∑k=n+1

1Ek(0)− ζ

Pk(0)f ,n+p∑j=n+1

1Ej(0)− ζ

Pj(0)f⟩

=n+p∑

k=n+1

1|Ek(0)− ζ|2

‖Pk(0)f‖2

≤ cn+p∑

k=n+1

‖Pk(0)f‖2

≤ c∑

k≥n+1

‖Pk(0)f‖2 ,

hvor c er en konstant. Det bemærkes, at Pk(0)f = 〈f ,ψk(0)〉ψk(0), ogdermed haves

∞∑k=1

‖Pk(0)f‖2 =∞∑k=1

|〈f ,ψk(0)〉|2 ‖ψk(0)‖2 =∞∑k=1

|〈f ,ψk(0)〉|2 = ‖f‖2 .

Dermed gælder der, hvis n er tilstrækkelig stor, at∑

k≥n+1 ‖Pk(0)f‖2 < εc ,

og dermed haves, at

‖Φn+p −Φn‖2 < ε.

Således er følgen {Φn} en Cauchyfølge, og idet H er et fuldstændigtmetrisk rum, har {Φn} en grænse i H. Denne grænse er givet ved Φ∞ =∑∞

k=11

Ek(0)−ζPk(0)f . Der gælder, at cirklen Γ omkranser egenværdien

Side 44

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 45 � #45


E1(0), men ingen af de øvrige egenværdier for operatoren H0. Derforgælder der, at

P1(0)f =i

2π

∫Γ

n∑k=1

1Ek(0)− ζ

Pk(0)fdζ

=n∑k=1

i

2π

∫Γ

1Ek(0)− ζ

dζPk(0)f .

Det sidste lighedstegn følger af, at n <∞. Så gælder der, at∥∥∥∥∥P1(0)f − i

2π

∫Γ

∞∑k=1

1Ek(0)− ζ

Pk(0)fdζ

∥∥∥∥∥=

∥∥∥∥∥n∑k=1

i

2π

∫Γ

1Ek(0)− ζ

dζPk(0)f − i

2π

∫Γ

∞∑k=1

1Ek(0)− ζ

Pk(0)fdζ

∥∥∥∥∥=

∥∥∥∥∥ i

2π

∫Γ

(n∑k=1

1Ek(0)− ζ

Pk(0)f −∞∑k=1

1Ek(0)− ζ

Pk(0)f

)dζ

∥∥∥∥∥=∥∥∥∥ i

2π

∫Γ(Φn −Φ∞)dζ

∥∥∥∥≤ 1

2π

∫Γ|dζ| ‖Φn −Φ∞‖

< ε,

hvis n er tilstrækkelig stor. Dermed gælder der, at udtrykket går mod 0for n gående mod uendelig. Det betyder, at

∞∑k=1

i

2π

∫Γ

1Ek(0)− ζ

dζPk(0)f =i

2π

∫Γ

∞∑k=1

1Ek(0)− ζ

Pk(0)fdζ,

og ombytning af summations- og integrationsrækkefølgen er således muligfor N ≤ ∞.

En projektion hørende til operatoren H(λ), som tilsvarer udtryk (3.3),kan de�neres ved

P1(λ) =i

2π

∫Γ(H(λ)− ζI)−1dζ, (3.4)

hvor den positivt orienterede cirkel Γ skærer de tidligere omtalte inter-valler på begge sider af egenværdien E1(0) forH0, således at (H(λ)−ζI)−1

Side 45

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 46 � #46


eksisterer for alle ζ ∈ Γ. Dimensionen af denne projektion afhænger afhvor mange egenværdier for H(λ), der er omkranset af cirklen Γ; hvisingen egenværdier er omkranset, er dimensionen af P1(λ) nul, og hvis enikke-degenereret egenværdi er omkranset, er dimensionen en, hvis to ikke-degenererede egenværdier eller en egenværdi med degenerationsgrad to eromkranset, er dimensionen to og så fremdeles. For projektionerne P1(0)og P1(λ) gælder følgende sætning.

Sætning 3.3 For P1(0) og P1(λ) de�neret som i udtrykkene (3.3) og

(3.4), gælder der, at

limλ→0‖P1(λ)− P1(0)‖ = 0.

Bevis:

I henhold til udtryk (3.3) og udtryk (3.4) gælder der, at

P1(λ)− P1(0) =i

2π

∫Γ

((H(λ)− ζI)−1 − (H0 − ζI)−1

)dζ.

Det bemærkes, at

λV = H(λ)− ζI − (H0 − ζI).

Ganges dette udtryk med (H0 − ζI)−1 fra venstre og (H(λ) − ζI)−1 frahøjre, fås

λ(H0 − ζI)−1V (H(λ)− ζI)−1 = (H0 − ζI)−1 − (H(λ)− ζI)−1.

Indsættes dette ovenfor, fås

P1(λ)− P1(0) =−λi2π

∫Γ(H0 − ζI)−1V (H(λ)− ζI)−1dζ.

Dermed gælder der jf. Sætning 1.8, at

‖P1(λ)− P1(0)‖ =∥∥∥∥−λi2π

∫Γ(H0 − ζI)−1V (H(λ)− ζI)−1dζ

∥∥∥∥≤ 1

2π|λ|∫

Γ

∥∥(H0 − ζI)−1V (H(λ)− ζI)−1∥∥ |dζ|

≤ 12π|λ|∫

Γ

∥∥(H0 − ζI)−1∥∥ ‖V ‖∥∥(H(λ)− ζI)−1

∥∥ |dζ|≤ 1

2π|λ| k2πr

= |λ| kr,

Side 46

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 47 � #47


hvor r er radius af cirklen Γ, k er en konstant, og det tredje ulighedstegnfølger af, at alle de indgående operatorer er begrænsede. Operatoren (H0−ζI)−1 er i henhold til udtryk (3.1) begrænset ved∥∥(H0 − ζI)−1

∥∥ ≤ supk≥1

1|Ek(0)− ζ|

for alle ζ ∈ Γ. Cirklen Γ er konstrueret således, at der for alle ζ ∈ Γgælder, at |E1(0)− ζ| < |Ek(0)− ζ| for k 6= 1, og dermed gælder, at∥∥(H0 − ζI)−1

∥∥ ≤ 1|E1(0)− ζ|

.

På tilsvarende vis gælder der, at (H(λ) − ζI)−1 er begrænset. Dermedgælder, at ‖P1(λ)− P1(0)‖ → 0 for λ→ 0. �Det bemærkes, at der eksisterer et λ′ så ‖P1(λ)− P1(0)‖ < 1 for |λ| < λ′.

Den følgende sætning udtrykker, at P1(λ) er analytisk om λ = 0.

Sætning 3.4 Der gælder, at operatoren P1(λ) kan udtrykkes som

P1(λ) =∑k≥0

λkΠk,

hvor Πk er en begrænset operator for alle λ, hvor |λ| < λ0.

Bevis:

I henhold til udtryk (3.2) gælder der for ‖λ‖ < λ0, at

(H(λ)− ζI)−1 = (H0 − ζI)−1(I + λV (H0 − ζI)−1

)−1

= (H0 − ζI)−1∑k≥0

(−1)kλk(V (H0 − ζI)−1

)k.

Indsættes dette i (3.4) fås

P1(λ) =i

2π

∫Γ

(H(λ)− ζI)−1 dζ

=i

2π

∫Γ

∑k≥0

(−1)kλk(H0 − ζI)−1(V (H0 − ζI)−1

)kdζ

=∑k≥0

λki(−1)k

2π

∫Γ(H0 − ζI)−1

(V (H0 − ζI)−1

)kdζ

=∑k≥0

λkΠk,

Side 47

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 48 � #48


hvor Πk er givet ved Πk = i(−1)k

2π

∫Γ(H0− ζI)−1

(V (H0 − ζI)−1

)kdζ. Ved

tredje lighedstegn er der byttet rundt på integrations- og summation-srækkefølgen. Dette er jf. Fubinis sætning, [Berg og Madsen, 2001, Sæt-ning 6.12], muligt, hvis der gælder, at∑

k≥0

∥∥∥λkΠk

∥∥∥ =∑k≥0

|λ|k ‖Πk‖ <∞.

Det antages, at Γ har centrum i E1(0), og radius r, så gælder der jf.Sætning 1.8 og Sætning 1.4, at

‖Πk‖ ≤1

2π

∫Γ

∥∥(H0 − ζI)−1∥∥ (‖V ‖ ∥∥(H0 − ζI)−1

∥∥)k |dζ|≤ 1

2π2πrmax

ζ∈Γ

(∥∥(H0 − ζI)−1∥∥ (‖V ‖ ∥∥(H0 − ζI)−1

∥∥)k)≤ r1

r

1λk0

=1λk0,

idet der gælder, at∥∥(H0 − ζI)−1

∥∥ ≤ 1r , og∥∥λV (H0 − ζI)−1

∥∥ ≤ λ0 ‖V ‖∥∥(H0 − ζI)−1

∥∥ < 1,

hvilket er ensbetydende med, at

‖V ‖∥∥(H0 − ζI)−1

∥∥ < 1λ0⇔(‖V ‖

∥∥(H0 − ζI)−1∥∥)k < 1

λk0.

Således gælder altså, at

|λ|k ‖Πk‖ <|λ|k

λk0<λk0λk0

= 1.

Dermed gælder der, at

∑k≥0

|λ|k ‖Πk‖ <∑k≥0

(|λ|λ0

)k<∞,

idet den geometriske række,∑

k≥0 zk, er absolut og uniformt konvergent

for |z| < 1. Således er det vist, at der i ovenstående tilfælde kan byttes

Side 48

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 49 � #49


rundt på integrations- og summationsrækkefølgen, og sætningen er såledesvist. �

De følgende sætninger angiver, at P1(λ) er en ortogonalprojektion, og atden kommuterer med H(λ).

Sætning 3.5 Projektionen P1(λ) kommuterer med den selvadjungerede

operator H(λ); det vil sige, at

H(λ)P1(λ) = P1(λ)H(λ).

Bevis:

Operatoren P1(λ) kan udtrykkes med (3.4), hvormed der gælder, at

H(λ)P1(λ) =i

2π

∫ΓH(λ)(H(λ)− ζI)−1dζ,

P1(λ)H(λ) =i

2π

∫Γ(H(λ)− ζI)−1H(λ)dζ.

Der haves, at

H(λ)(H(λ)− ζI)−1 = (H(λ)− ζI + ζI)(H(λ)− ζI)−1

= I + ζ(H(λ)− ζI)−1

= I + (H(λ)− ζI)−1ζ

= (H(λ)− ζI)−1(H(λ)− ζI + ζI)

= (H(λ)− ζI)−1H(λ).


H(λ)P1(λ) =i

2π

∫ΓH(λ)(H(λ)− ζI)−1dζ

=i

2π

∫Γ(H(λ)− ζI)−1H(λ)dζ

= P1(λ)H(λ),

og sætningen er således vist. �

Side 49

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 50 � #50


Sætning 3.6 Operatoren P1(λ) er en ortogonalprojektion, hvilket bety-

der, at følgende krav er opfyldt

P 21 (λ) = P1(λ),P ∗1 (λ) = P1(λ).

Bevis:

Det ønskes først vist, at P 21 (λ) = P1(λ). Der gælder, at

P 21 (λ) =

(i

2π

)2(∫Γ(H(λ)− ζI)−1dζ

)(∫Γ′

(H(λ)− ζ ′I)−1dζ ′),

hvor Γ′ er en positivt orienteret cirkel, som omkranser den positivt ori-enterede cirkel Γ. Produktet af de to integraler kan opskrives som etdobbeltintegrale, hvor det er ligegyldigt hvilken cirkel, der integreres overførst. Det vil sige, at

P 21 (λ) =

(i

2π

)2 ∫Γ

∫Γ′

(H(λ)− ζI)−1(H(λ)− ζ ′I)−1dζ ′dζ.

Der gælder, at

(H(λ)− ζI)−1 − (H(λ)− ζ ′I)−1

= (H(λ)− ζI)−1I − I(H(λ)− ζ ′I)−1

= (H(λ)− ζI)−1(H(λ)− ζ ′I)(H(λ)− ζ ′I)−1

− (H(λ)− ζI)−1(H(λ)− ζI)(H(λ)− ζ ′I)−1

= (ζ − ζ ′)(H(λ)− ζI)−1(H(λ)− ζ ′I)−1.

Indsættes dette ovenfor, fås

P 21 (λ) =

(i

2π

)2 ∫Γ(H(λ)− ζI)−1

∫Γ′

(ζ − ζ ′)−1dζ ′dζ

−(

i

2π

)2 ∫Γ′

(H(λ)− ζ ′I)−1

∫Γ(ζ − ζ ′)−1dζdζ ′

=(

i

2π

)2 ∫Γ(H(λ)− ζI)−1 2π

idζ − 0

= P1(λ).

Side 50

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 51 � #51


Det bemærkes, at andet led jf. Cauchys integralsætning, [Jensen, 2005,Theorem 4.3], giver nul, da (ζ − ζ ′)−1 ingen singularitet har indenforcirklen Γ.

Det ønskes nu vist, at P ∗1 (λ) = P1(λ). Projektionen P1(λ) kan i henholdtil [Jensen, 2005, De�nition 3.9] udtrykkes som

P1(λ) =i

2π

∫Γ(H(λ)− ζI)−1dζ

=i

2π

∫ 2π

0(H(λ)− γ(t)I)−1γ′(t)dt,

hvor γ(t) = E1(0) + reit og γ′(t) = ireit. Det betyder, at

P ∗1 (λ) =−i2π

∫ 2π

0(H(λ)− γ(t)I)−1 (−ire−it) dt

=−i2π

∫ −2π

0

(H(λ)− E1(0)− reit

)−1 (ireit

)dt

=i

2π

∫ 0

−2π

(H(λ)− E1(0)− reit

)−1 (ireit

)dt

=i

2π

∫ 2π

0

(H(λ)− E1(0)− reit

)−1 (ireit

)dt

= P1(λ).

Andet lighedstegn følger af at substituere t med −t, tredje lighedstegnfølger af at ombytte integrationsgrænserne, og fjerde lighedstegn følger afat substituere t med t+ 2π. Dermed er det vist, at P1(λ) er en ortogonal-projektion. �

Nu indføres en sætning, som skal anvendes efterfølgende.

Sætning 3.7 Hvis en funktion er holomorf på en åben mængde, gælder

der, at funktionen også er analytisk på den åbne mængde.

Bevis:

Lad en funktion f(ζ) være holomorf på en åben mængde G, og ladζ ∈ Br(z0), hvor Br(z0) ⊂ G, så gælder der i henhold til Cauchys in-tegralformel, [Jensen, 2005, Theorem 4.7], at f(ζ) kan udtrykkes som

f(ζ) =1

2πi

∫Γ

f(z)z − ζ

dz,

Side 51

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 52 � #52


hvor Γ = ∂Br(z0). Dette udtryk kan omskrives til

f(ζ) =1

2πi

∫Γ

f(z)z − z0 − (ζ − z0)

dz

=1

2πi

∫Γ

f(z)z − z0

1

1− ζ−z0z−z0

dz.

Det bemærkes, at∣∣∣ ζ−z0z−z0

∣∣∣ < 1, idet |ζ − z0| < |z − z0|, og dermed gælder,

at

f(ζ) =1

2πi

∫Γ

f(z)z − z0

∑k≥0

(ζ − z0

z − z0

)kdz (3.5)

=∑k≥0

12πi

∫Γ

f(z)(z − z0)k+1

dz(ζ − z0)k

=∑k≥0

ak(ζ − z0)k.

Det sidste lighedstegn følger af [Jensen, 2005, Theorem 5.4]. Ved andetlighedstegn er integrations- og summationsrækkefølgen ændret. Dette ermuligt, idet rækken i udtryk (3.5) er absolut og uniformt konvergent, nårζ ∈ Γ, og sætningen er dermed bevist. �

I beviset for den følgende sætning anvendes en operator på formen (I −(P1−P2)2)−

12 . Derfor vil det nu blive indført, hvad der menes med denne

notation. Lad ζ ∈ C opfylde, at |ζ| < 1, så gælder der, at

(1− ζ)α = eαLn(1−ζ),

hvor Ln(z) er den komplekse logaritmefunktion de�neret ved

Ln(z) = ln(|z|) + iArg(z),

for z ∈ C\(−∞, 0]. Det bemærkes, at hvis |ζ| < 1, er 1− ζ ∈ C\(−∞, 0].Nu de�neres funktionen

F (ζ) = eαLn(1−ζ),

for |ζ| < 1, og det ønskes nu vist, at denne funktion er holomorf på helede�nitionsmængden. For at vise dette, er det tilstrækkeligt at vise, at

Side 52

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 53 � #53


funktionen Ln(ζ) er holomorf. Dette er tilstrækkeligt, idet det vides, atsammensætningen af to holomorfe funktioner er holomorf, og det vides,at eαζ er holomorf for alle ζ ∈ C. Dermed ønskes det i henhold til[Jensen, 2005, Theorem 2.4] vist, at Cauchy-Riemann-ligningerne er op-fyldte for Ln(1 − ζ), når |ζ| < 1. Det komplekse tal ζ kan ved hjælp afreelle tal x og y udtrykkes som ζ = x+ iy, og dermed kan Ln(1− ζ) vedhjælp af x og y udtrykkes som

Ln(1− ζ) = ln(√

(1− x)2 + y2)− i arctan

(y

1− x

)= u(x, y) + iv(x, y).

Dermed er de partielle a�edede af u(x, y) givet ved

∂u(x, y)∂x

=1√

(1− x)2 + y2

12√

(1− x)2 + y22(1− x)(−1)

=((1− x)2 + y2

)−1 (x− 1),∂u(x, y)∂y

=1√

(1− x)2 + y2

12√

(1− x)2 + y22y

=((1− x)2 + y2

)−1y,

og de partielle a�edede af v(x, y) er givet ved

∂v(x, y)∂x

= − 1

1 + y2

(1−x)2

−y(1− x)2

(−1)

= −((1− x)2 + y2

)−1y,

∂v(x, y)∂y

= − 1

1 + y2

(1−x)2

11− x

= − 1− x(1− x)2 + y2

=((1− x)2 + y2

)−1 (x− 1).

Dermed ses, at der gælder, at ∂u∂x = ∂v∂y og

∂u∂y = − ∂v

∂x , og Cauchy-Riemann-ligningerne er således opfyldt, og F (ζ) er holomorf. Idet F (ζ) er holomorffor |ζ| < 1, er F (ζ) i henhold til Sætning 3.7 også analytisk for |ζ| < 1.Dermed kan F (ζ) for tilstrækkeligt små |ζ| udtrykkes som en potensrækkeom ζ = 0,

F (ζ) =∑k≥0

γkζk, (3.6)

Side 53

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 54 � #54


hvor γk = F (k)(0)k! . I henhold til udtryk (3.5) kan F (ζ) også udtrykkes som

F (ζ) =1

2πi

∫Γρ

F (z)z

∑k≥0

(ζ

z

)kdz,

hvor Γρ = ∂Bρ(0). Ovenstående gælder på en åben mængde, hvor F (ζ)er holomorf. Idet F (ζ) er holomorf for |ζ| < 1, må der gælde, at ρ < 1. Da|z| = ρ gælder dermed også, at |ζ| < ρ, og konvergensradius for rækkeni det ovenstående udtryk er således 1, idet |ζ| < 1. Da dette udtryk kanomskrives til udtryk (3.6), må potensrækken i udtryk (3.6) derfor ogsåhave konvergensradius 1.

Lades α = −12 gælder der, at F (ζ) er kvadratroden af (1− ζ)−1, og idet

(1−ζ)−1 kan udtrykkes ved potensrækken∑

k≥0 ζk for |ζ| < 1, er rækken

i udtryk (3.6) kvadratroden af denne række, når |ζ| < 1.

Dette resultat ønskes generaliseret til operatorer. Derfor de�neres opera-torfunktionen

F (T ) =∑k≥0

γkTk,

hvor ‖T‖ < 1, og γk er givet som ovenfor. Det ønskes vist, at dennerække er konvergent. Afsnitsfølgen SN de�neres ved SN =

∑Nk=0 γkT

k.Operatorerne SN er lineære begrænsede operatorer på Hilbertrummet H,og da de lineære begrænsede operatorer på et Hilbertrum jf. Sætning 1.11udgør et fuldstændig metrisk rum, er det nok at vise, at følgen {SN} eren Cauchyfølge. Det bemærkes, at |γk| ≤ 1, og idet ‖T‖ < 1, gælder deri henhold til Sætning 1.7, at

‖SN+P − SN‖ =

∥∥∥∥∥N+P∑k=N+1

γkTk

∥∥∥∥∥ ≤N+P∑k=N+1

|γk| ‖T‖k

≤∑

k≥N+1

|γk| ‖T‖k ≤∑

k≥N+1

‖T‖k < ε,

hvis N er stor nok. Dermed er følgen en Cauchyfølge, og rækken kon-vergerer derfor absolut. På grund af konstruktionen af F (T ), gælder der,at

F (T )F (T ) = (I − T )−1 =∑k≥0

T k,

Side 54

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 55 � #55


og dermed er F (T ) = (I − T )−12 . Dette resultat anvendes i beviset for

Sætning 3.8, som følger.

Sætning 3.8 Lad Π1 og Π2 være to ortogonalprojektioner, som opfylder,

at ‖Π1 −Π2‖ < 1. Så �ndes en unitær operator U , så Π1U = UΠ2.

Det bemærkes, at en unitær operator er en operator, som opfylder U∗U =UU∗ = I, og der gælder således, at operatoren er normbevarende. Det vilsige, at

‖U f‖2 = 〈U f , U f〉 = 〈f , U∗U f〉 = 〈f , f〉 = ‖f‖2

Bevis:

Lad Π1 og Π2 være to ortogonalprojektioner, som opfylder ‖Π1 −Π2‖ <1, og de�ner Q1 = I −Π1 og Q2 = I −Π2. Det bemærkes, at også Q1 ogQ2 er ortogonalprojektioner, idet de ses at opfylde kravene

Q21 = Q1, Q∗1 = Q1,

Q22 = Q2, Q∗2 = Q2,

når Π1 og Π2 opfylder de samme krav. Det bemærkes yderligere, at dergælder, at Π1Q1 = Π2Q2 = 0. Operatoren A de�neres ved

A = Π1Π2 +Q1Q2 = Π1Π2 + (I −Π1)(I −Π2).

Så gælder der, at

Π1A = Π21Π2 + Π1Q1Q2 = Π1Π2 = Π1Π2

2 +Q1Q2Π2 = AΠ2.

Det ønskes vist, at operatoren A kommuterer med operatoren (Π1−Π2)2.Der haves

A(Π1 −Π2)2 = (2Π1Π2 + I −Π1 −Π2)(Π1 −Π1Π2 −Π2Π1 + Π2)= 2Π1Π2Π1 + Π1 −Π1 −Π2Π1 − 2Π1Π2Π1Π2 −Π1Π2

+ Π1Π2 + Π2Π1Π2 − 2Π1Π2Π1 −Π2Π1 + Π1Π2Π1

+ Π2Π1 + 2Π1Π2 + Π2 −Π1Π2 −Π2

= Π1Π2 −Π2Π1 + Π1Π2Π1 + Π2Π1Π2 − 2Π1Π2Π1Π2.

På tilsvarende måde kan det vises, at

(Π1 −Π2)2A = Π1Π2 −Π2Π1 + Π1Π2Π1 + Π2Π1Π2 − 2Π1Π2Π1Π2,

Side 55

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 56 � #56


og dermed kommuterer A og (Π1−Π2)2. Nu de�neres operatoren U som

U = B−12A,

hvor B er givet ved

B = I − (Π1 −Π2)2.

Da ‖Π1 −Π2‖ < 1, gælder der, at B−12 også kan udtrykkes som

B−12 =

∑k≥0

γk((Π1 −Π2)2

)k,

hvor γk er som tidligere beskrevet. Idet A kommuterer med (Π1 − Π2)2,

kommuterer A også med((Π1 −Π2)2

)kog dermed med B−

12 . Det bety-

der, at

U = B−12A = AB−

12 .

Det ønskes vist, at U er en unitær operator. Den adjungerede af U ergivet ved

U∗ = A∗

∑k≥0

γk((Π1 −Π2)2

)k∗ = A∗∑k≥0

γk((Π1 −Π2)2

)k,

idet γk er reelle tal, og Π1 og Π2 er ortogonalprojektioner. Det kan påtilsvarende måde som ovenfor vises, at A∗ kommuterer med (Π1 − Π2)2

og dermed også med B−12 , og dermed gælder der, at

UU∗ = B−12AA∗B−

12 = AA∗B−1.

Det ønskes således vist, at AA∗ = B. Der gælder, at

AA∗ = (Π1Π2 +Q1Q2)(Π2Π1 +Q2Q1)= Π1Π2Π1 +Q1Q2Q1

= Π1Π2Π1 + (I −Π1)(I −Π2)(I −Π1)= Π1Π2Π1 + (I −Π1 −Π2 + Π1Π2)(I −Π1)= Π1Π2Π1 + I −Π1 −Π1 + Π1 −Π2 + Π2Π1 + Π1Π2 −Π1Π2Π1

= I −Π1 −Π2 + Π1Π2 + Π2Π1

= I − (Π1 −Π2)2

= B.

Side 56

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 57 � #57


På tilsvarende vis gælder, at A∗A = B. Dermed er U∗U = UU∗ = I, ogU er således en unitær operator. Der gælder, at

Π1A(Π1 −Π2)2 = Π1Π2(Π1 + Π2 −Π1Π2 −Π2Π1)= Π1Π2Π1 + Π1Π2 −Π1Π2Π1Π2 −Π1Π2Π1

= Π1Π2 −Π1Π2Π1Π2

= Π1Π2 + Π2Π1Π2 −Π1Π2Π1Π2 −Π2Π1Π2

= (Π1 + Π2 −Π1Π2 −Π2Π1)Π1Π2

= (Π1 −Π2)2Π1A.

Dermed kommuterer Π1A også med B−12 , og der gælder, at

Π1U = Π1AB− 1

2 = B−12 Π1A = B−

12AΠ2 = UΠ2,

og sætningen er dermed vist. �

Nu de�neres λ0 som λ0 = min{λ0, λ′}, så gælder der jf. Sætning 3.3 for

|λ| < λ0, at ‖P1(λ)− P1(0)‖ < 1. Og idet P1(λ) i henhold til Sætning 3.6er en ortogonalprojektion, kan en unitær operator jf. ovenstående sætningog bevis konstrueres ved

U(λ) =(I − (P1(λ)− P1(0))2

)− 12 (P1(λ)P1(0) + (I − P1(λ))(I − P1(0))) .

Denne unitære operator opfylder, at

P1(λ)U(λ) = U(λ)P1(0),

og dette er ensbetydende med, at

P1(λ) = U(λ)P1(0)U∗(λ).

Det ønskes vist, at P1(λ) har samme dimension som P1(0). Det bemærkes,at P1(0)f = 〈f ,ψ1(0)〉ψ1(0). Dermed gælder, at

P1(λ)f = U(λ)P1(0)U∗(λ)f= 〈U∗(λ)f ,ψ1(0)〉U(λ)ψ1(0)= 〈f , U(λ)ψ1(0)〉U(λ)ψ1(0)= 〈f ,ψ1(λ)〉ψ1(λ),

Side 57

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 58 � #58


hvor ψ1(λ) = U(λ)ψ1(0). Dermed udspænder P1(λ) et underrum, somhar samme dimension som P1(0). Det betyder, at idet den positivt orien-terede cirkel Γ omkranser præcis en ikke-degenereret egenværdi for H0,omkranser den også præcis en ikke-degenereret egenværdi for H(λ), ogdermed eksisterer der en ikke-degenereret egenværdi E1(λ) nær E1(0),hvis λ er lille nok, og således er Sætning 3.1 bevist.

3.2 Bestemmelse af egenværdien E1(λ)

I dette afsnit ønskes egenværdien E1(λ) bestemt. Dette gøres ved førstat vise, at E1(λ) er analytisk om λ = 0, og derefter bestemme de førstefem koe�cienter i potensrækken for E1(λ), således at det er muligt atapproksimere E1(λ). Derfor ønskes følgende sætning bevist.

Sætning 3.9 Lad den selvadjungerede kompakte operator H(λ) være

givet ved H(λ) = H0 + λV . Så gælder, hvis |λ| < λ0, at egenværdien

E1(λ) for H(λ) er analytisk om λ = 0.

Bevis:

Det ønskes vist, at U(λ) er analytisk om λ = 0. Da funktionen

F (ζ) = (1− ζ)−12

blev indført, blev det vist, at F (ζ) er holomorf og dermed analytisk for|ζ| < 1. Det betyder, at der gælder, at

F (ζ) =∑k≥0

γkζk,

hvor γk er som tidligere beskrevet. Det bemærkes, at F (ζ) i henhold tilCauchys integralformel, [Jensen, 2005, Theorem 4.7], også kan udtrykkessom

F (ζ) =1

2πi

∫Γρ

F (z)z − ζ

dz,

hvor ζ er indeholdt i cirklen Γρ, som har centrum i ζ = 0 og radius ρ < 1.I henhold til [Jensen, 2005, Theorem 5.4] gælder der også, at

γk =1

2πi

∫Γρ

F (z)zk+1

dz.

Side 58

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 59 � #59


I forbindelse med dette blev det vist, at for ‖T‖ < 1, er funktionen F (T )givet ved

F (T ) = (I − T )−12 =

∑k≥0

γkTk,

hvor γk er givet som i udtrykket for F (ζ). Nu indføres en funktion F̃ (T ),som er givet ved

F̃ (T ) =1

2πi

∫Γρ

F (ζ)(ζI − T )−1dζ,

og det ønskes således vist, at F̃ (T ) = F (T ). Det bemærkes, at hvis ‖T‖ <ρ, gælder der for ζ ∈ Γρ, at∥∥∥∥1

ζT

∥∥∥∥ =∣∣∣∣1ζ∣∣∣∣ ‖T‖ =

1ρ‖T‖ < 1,

og idet der gælder, at

ζI − T = ζ

(I − 1

ζT

),

haves der således, at

(ζI − T )−1 =1ζ

(I − 1

ζT

)−1

=1ζ

∑k≥0

1ζkT k =

∑k≥0

1ζk+1

T k.

Dermed er F̃ (T ) givet ved

F̃ (T ) =1

2πi

∫Γρ

F (ζ)∑k≥0

1ζk+1

T kdζ (3.7)

=∑k≥0

12πi

∫Γρ

F (ζ)ζk+1

dζT k

=∑k≥0

γkTk

= F (T ).

I det ovenstående er der byttet rundt på summations- og integrationsræk-kefølgen. Dette er jf. Fubinis sætning, [Berg og Madsen, 2001, Sætning

Side 59

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 60 � #60


6.12], muligt, hvis∑

k≥0

∥∥γkT k∥∥ < ∞. Det bemærkes, at γk ≤ 1 for allek, og dermed haves∑

k≥0

∥∥∥γkT k∥∥∥ =∑k≥0

|γk|∥∥∥T k∥∥∥ <∑

k≥0

∥∥∥T k∥∥∥ ≤∑k≥0

‖T‖k <∞,

idet ‖T‖ < 1. Dermed kan der byttes rundt på integrations- og summa-tionsrækkefølgen.

Nu lades

T = T (λ) = (P1(λ)− P1(0))2 = (P1(λ)− P1(0))(P1(λ)− P1(0)).

Det bemærkes, at P1(λ) ifølge Sætning 3.4 er en analytisk funktion omλ = 0, og da P1(0) er en konstant operator, er P1(λ)−P1(0) analytisk omλ = 0. Det betyder, at T (λ) er et produkt af funktioner, der er analytiskeom λ = 0, og dermed er T (λ) også analytisk om λ = 0. Det betyder, atT (λ), når |λ| < λ0, kan udtrykkes som

T (λ) =∑k≥0

Tkλk.

Nu de�neres funktionen M(λ) ved

M(λ) = (I − T (λ))−12 .

Det ønskes vist, at M(λ) er analytisk om λ = 0. Dette vises ved atvise, at funktionen er holomorf. Fra udtryk (3.7) følger det, at M(λ) kanudtrykkes som

M(λ) =1

2πi

∫Γρ

(1− ζ)−12 (ζI − T (λ))−1dζ.


M(λ+ δλ)−M(λ) (3.8)

=1

2πi

∫Γρ

(1− ζ)−12((ζI − T (λ+ δλ))−1 − (ζI − T (λ))−1

)dζ.

Det bemærkes, at

(ζI − T (λ+ δλ))−1(T (λ+ δλ)− T (λ))(ζI − T (λ))−1

= (ζI − T (λ+ δλ))−1(T (λ+ δλ)− ζI + ζI − T (λ))(ζI − T (λ))−1

= (ζI − T (λ+ δλ))−1 − (ζI − T (λ))−1.

Side 60

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 61 � #61


Dette indsættes i (3.8), udtrykket divideres med δλ og grænseværdientages, når δλ→ 0, og dermed fås

limδλ→0

M(λ+ δλ)−M(λ)δλ

= limδλ→0

12πi

∫Γρ

(1− ζ)−12 (ζI − T (λ+ δλ))−1

· T (λ+ δλ)− T (λ)δλ

(ζI − T (λ))−1dζ

=1

2πi

∫Γρ

(1− ζ)−12 (ζI − T (λ))−1

· T ′(λ)(ζI − T (λ))−1dζ,

hvor det sidste lighedstegn følger af, at T (λ) er analytisk om λ = 0. Idetgrænseværdien eksisterer, erM(λ) holomorf og således også analytisk omλ = 0. Der gælder så, at U(λ) kan udtrykkes som

U(λ) = M(λ)(P1(λ)P1(0) + (I − P1(λ))(I − P1(0))).

Det bemærkes, at funktionerne M(λ), P1(λ)P1(0) og (I − P1(λ))(I −P1(0)) alle er analytiske om λ = 0. Dermed er U(λ) produkt af analytiskefunktioner, og således selv analytisk. Det betyder, at U(λ) kan udtrykkessom

U(λ) =∑k≥0

Ukλk

for |λ| < λ0.

Nu ønskes egenværdien E1(λ) for H(λ) bestemt. Der gælder, at

E1(λ)ψ1(λ) = H(λ)ψ1(λ),

og således haves, at

E1(λ) = E1(λ)〈ψ1(λ),ψ1(λ)〉 = 〈E1(λ)ψ1(λ),ψ1(λ)〉= 〈H(λ)ψ1(λ),ψ1(λ)〉 = 〈H(λ)U(λ)ψ1(0), U(λ)ψ1(0)〉= 〈U∗(λ)H(λ)U(λ)ψ1(0),ψ1(0)〉.

Det bemærkes, at

U∗(λ)H(λ)U(λ) = U∗(λ)H0U(λ) + λU∗(λ)V U(λ).

Side 61

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 62 � #62


Da både H0 og V er begrænsede operatorer, som er uafhængige af λ,gælder der, at når U(λ) er analytisk om λ = 0, er H0U(λ) og V U(λ) ogsåanalytiske om λ = 0. Dermed er U∗(λ)H(λ)U(λ) produkt af analytiskefunktioner, og således selv analytisk. Dette medfører, at også egenværdiener analytisk, således at

E1(λ) =∑k≥0

εkλk,


Det bemærkes, at koe�cienterne εk jf. [Jensen, 2005, Theorem 2.9] ergivet ved

εk =1k!E

(k)1 (0).

I det følgende ønskes koe�cienterne εk bestemt. For at gøre dette anven-des Feshbachs formel.

Lad P1(0) = Pe� og∑

k 6=1 Pk(0) = I −P1(0) = P⊥. Det bemærkes, at H0

kommuterer med Pe�, idet

H0P1(0)f = 〈f ,ψ1(0)〉H0ψ1(0) = E1(0)〈f ,ψ1(0)〉ψ1(0)= E1(0)P1(0)f ,

P1(0)H0f = 〈H0f ,ψ1(0)〉ψ1(0) = 〈f , H0ψ1(0)〉ψ1(0)= E1(0)〈f ,ψ1(0)〉ψ1(0) = E1(0)P1(0)f .


Pe�H(λ)P⊥ = Pe�H0P⊥ + λPe�V P⊥ = H0Pe�P⊥ + λPe�V P⊥

= λPe�V P⊥,

P⊥H(λ)Pe� = P⊥H0Pe� + λP⊥V Pe� = H0P⊥Pe� + λP⊥V Pe�

= λP⊥V Pe�.

I henhold til Feshbachs formel, Sætning 2.1, gælder der, at resolventen,såfremt den eksisterer for et givet ζ, kan udtrykkes som

(H(λ)− ζI)−1 =[

SW −λSWV RλRV SW R+ λ2RV SWV R

],

Side 62

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 63 � #63


hvor

Rλ(ζ) = (P⊥(H(λ)− ζI)P⊥)−1, (3.9)

Wλ(ζ) = −λ2Pe�V Rλ(ζ)V Pe�,

SW,λ(ζ) = (He�(λ) +Wλ(ζ)− Pe�ζIPe�).

Det bemærkes således, at resolventen kun eksisterer, hvis SW,λ(ζ), ogdermed også Rλ(ζ) og Wλ(ζ), eksisterer. Dermed må der gælde, at de ζ,for hvilke SW,λ(ζ) ikke eksisterer, må være egenværdier for H(λ).

Det bemærkes, at hvis ζ ikke er i spektret for H(λ), gælder der, at

P⊥(H(λ)− ζI)P⊥ = P⊥(H0 − ζI + λV )P⊥= H0,⊥ − ζP⊥ + λP⊥V P⊥

=(I + λP⊥V P⊥(H0,⊥ − ζP⊥)−1

)(H0,⊥ − ζP⊥)

=(I + λP⊥V (H0,⊥ − ζP⊥)−1

)(H0,⊥ − ζP⊥).

Ved det sidste lighedstegn er det udnyttet, at (H0,⊥ − ζP⊥)−1 er en ope-rator i Hilbertrummet H⊥, og dermed gælder, at P⊥(H0,⊥ − ζP⊥)−1 =(H0,⊥ − ζP⊥)−1. Operatoren P⊥(H(λ) − ζI)P⊥ er invertibel, hvis de toindgående operatorer er det. Operatoren H0,⊥ − ζP⊥ er klart invertibel,hvis ζ er i resolventmængden for H0,⊥. Den anden operator er invertibel,hvis

∥∥−λP⊥V (H0,⊥ − ζP⊥)−1∥∥ < 1. Det bemærkes, at∥∥−λP⊥V (H0,⊥ − ζP⊥)−1∥∥ ≤ |λ| ‖P⊥‖ ‖V ‖∥∥(H0,⊥ − ζP⊥)−1

∥∥= |λ| ‖V ‖

∥∥(H0,⊥ − ζP⊥)−1∥∥ .

Dermed er operatoren invertibel, hvis det er opfyldt at

|λ| < 1‖V ‖ ‖(H0,⊥ − ζP⊥)−1‖

.

Nu ønskes∥∥(H0,⊥ − ζP⊥)−1

∥∥ bestemt. Det bemærkes, at idet H0 − ζI =∑Nk=1(Ek(0)− ζ)Pk(0), gælder der, at

P⊥(H0 − ζI)P⊥ =N∑j=2

N∑k=1

N∑i=2

Pj(0)(Ek(0)− ζ)Pk(0)Pi(0)

=N∑k=2

(Ek(0)− ζ)Pk(0),

Side 63

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 64 � #64


idet PkPj = 0 for k 6= j. Således gælder der, at operatoren (H0,⊥−ζP⊥)−1

i Hilbertrummet H⊥ kan udtrykkes ved

(P⊥(H0 − ζI)P⊥)−1 =N∑k=2

1Ek(0)− ζ

Pk(0).

I henhold til Parsevals lighed, Sætning 1.9, gælder der for et vilkårligtf ∈ H, at

∥∥∥(P⊥(H0 − ζI)P⊥)−1 f∥∥∥2

=N∑k=2

1|Ek(0)− ζ|2

|〈f ,ψk(0)〉|2

≤ supj≥2

1|Ej(0)− ζ|2

N∑k=2

|〈f ,ψk(0)〉|2

≤ supj≥2

1|Ej(0)− ζ|2

‖f‖2 .

Da dette gælder for et vilkårligt f ∈ H, gælder der, at∥∥∥(P⊥(H0 − ζI)P⊥)−1∥∥∥ ≤ sup

j≥2

1|Ej(0)− ζ|

(3.10)

≤ 2|E2(0)− E1(0)|

,

hvis |E1(0)− ζ| < |Ej(0)− ζ| for j ≥ 2. Hvis |E1(0)− ζ| < |E2(0)−E1(0)|2

gælder der, at∥∥∥(P⊥(H0 − ζI)P⊥)−1

∥∥∥ < 2|E2(0)−E1(0)| , og dermed er I +

λP⊥V (H0,⊥ − ζP⊥)−1 invertibel, hvis |λ| < |E2(0)−E1(0)|2‖V ‖ , og i så fald

gælder, at(I + λP⊥V (H0,⊥ − ζP⊥)−1

)−1 =∑k≥0

(−1)k(λP⊥V (H0,⊥ − ζP⊥)−1

)k.

Dermed kan operatoren Rλ(ζ) udtrykkes ved

Rλ(ζ) = (P⊥(H(λ)− ζI)P⊥)−1

= (H0,⊥ − ζP⊥)−1(I + λP⊥V (H0,⊥ − ζP⊥)−1

)−1

= R0(ζ)∑k≥0

(−1)kλk(P⊥V (H0,⊥ − ζP⊥)−1)k.

Side 64

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 65 � #65


Det bemærkes, at SW,λ(ζ) er givet som i udtryk (3.9), og de indgåendeled ønskes således bestemt. Der gælder, at

He�(λ) = Pe�(H0 + λV )Pe� = Pe�H0Pe� + λPe�V Pe�.

Der haves, at H0 =∑N

k=1Ek(0)Pk, og dermed gælder, at

Pe�H0Pe� = Pe�

N∑k=1

Ek(0)PkPe�

= Pe�E1(0)Pe�Pe�

= E1(0)Pe�.

Ydermere ønskes λPe�V Pe� bestemt. Der gælder

λPe�V Pe�f = λPe�V 〈f ,ψ1(0)〉ψ1(0)= λ〈f ,ψ1(0)〉〈Vψ1(0),ψ1(0)〉ψ1(0)= λ〈Vψ1(0),ψ1(0)〉Pe�f .

Dermed gælder, at λPe�V Pe� = λ〈Vψ1(0),ψ1(0)〉Pe�, og således haves

He�(λ) = (E1(0) + λ〈Vψ1(0),ψ1(0)〉)Pe�.

Operatoren Wλ(ζ) er givet ved

Wλ(ζ) = −λ2Pe�V Rλ(ζ)V Pe�.


Wλ(ζ)f = −λ2Pe�V Rλ(ζ)V Pe�f

= −λ2Pe�〈f ,ψ1(0)〉V Rλ(ζ)Vψ1(0)

= −λ2〈f ,ψ1(0)〉〈V Rλ(ζ)Vψ1(0),ψ1(0)〉ψ1(0)

= −λ2〈Rλ(ζ)Vψ1(0), Vψ1(0)〉Pe�f .

Og dermed er Wλ(ζ) = −λ2〈Rλ(ζ)Vψ1(0), Vψ1(0)〉Pe�. Det bemærkesyderligere, at Pe�ζIPe� = ζPe�. Således kan SW,λ(ζ) udtrykkes som

SW,λ(ζ) = ((E1(0) + λ〈Vψ1(0),ψ1(0)〉

−λ2〈Rλ(ζ)Vψ1(0), Vψ1(0)〉 − ζ)Pe�

)−1

= (E1(0) + λ〈Vψ1(0),ψ1(0)〉

−λ2〈Rλ(ζ)Vψ1(0), Vψ1(0)〉 − ζ)−1

Pe�.

Side 65

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 66 � #66


Dermed kan SW,λ(ζ) udtrykkes som SW,λ(ζ) = Φ−1λ (ζ)Pe�, hvor

Φλ(ζ) = E1(0) + λ〈Vψ1(0),ψ1(0)〉 − λ2〈Rλ(ζ)Vψ1(0), Vψ1(0)〉 − ζ.

Det bemærkes, at SW,λ(ζ) ikke eksisterer, hvis Φλ(ζ) = 0. De ζ, for hvilkeSW,λ(ζ) ikke eksisterer, er egenværdier for H(λ). Dermed gælder der, at

Φλ(E1(λ)) = 0,

og således haves, at

E1(λ) = E1(0) + λ〈Vψ1(0),ψ1(0)〉 − λ2〈Rλ(E1(λ))Vψ1(0), Vψ1(0)〉.

Fra Sætning 3.9 vides, at E1(λ) er analytisk om λ = 0. Det betyder, atE1(λ) også kan skrives som potensrækken

E1(λ) =∑k≥0

1k!dkE1(0)dλk

λk =∑k≥0

εkλk.

De første fem koe�cienter til dette udtryk ønskes nu bestemt. For atkunne �nde koe�cienterne, er det nødvendigt at vide, hvordan operatorenRλ(ζ) di�erentieres med hensyn til λ. Derfor indføres følgende sætning.

Sætning 3.10 Den a�edede af Rλ(E1(λ)) med hensyn til λ er givet ved

d

dλRλ(E1(λ)) = E′1(λ)R2

λ(E1(λ))−Rλ(E1(λ))V Rλ(E1(λ)).

Bevis:

Det bemærkes, at Rλ(ζ) er givet ved

Rλ(ζ) = (P⊥(H(λ)− ζI)P⊥)−1 ,

og at Rλ(ζ) i henhold til udtryk (3.10) er en begrænset operator for ζ nærE1(0). Ydermere bemærkes, at den a�edede af Rλ(E1(λ)) med hensyn tilλ er givet ved

d

dλRλ(E1(λ)) = lim

δλ→0

1δλ

(Rλ+δλ(E1(λ+ δλ))−Rλ(E1(λ))).

For at kunne evaluere dette udtryk indføres følgende lighed

P⊥(H(λ+ δλ)− ζI)P⊥ − P⊥(H(λ)− ζI)P⊥ = δλP⊥V P⊥.

Side 66

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 67 � #67


Ganges dette udtryk med Rλ+δλ(ζ) fra højre fås

I − P⊥(H(λ)− ζI)P⊥Rλ+δλ(ζ) = δλP⊥V P⊥Rλ+δλ(ζ),

og ganges det så med Rλ(ζ) fra venstre fås

Rλ(ζ)−Rλ+δλ(ζ) = δλRλ(ζ)P⊥V P⊥Rλ+δλ(ζ). (3.11)

Dermed haves

1δλ

(Rλ+δλ(ζ)−Rλ(ζ)) = −Rλ(ζ)P⊥V P⊥Rλ+δλ(ζ),

og dermed gælder, såfremt Rλ+δλ(ζ) konvergerer mod Rλ(ζ) for δλ→ 0,at

limn→0

1δλ

(Rλ+δλ(ζ)−Rλ(ζ)) = −Rλ(ζ)P⊥V P⊥Rλ(ζ).

Det ønskes således vist, at Rλ+δλ(ζ) konvergerer mod Rλ(ζ) for δλ→ 0.Dette vises ved at vise at ‖Rλ(ζ)−Rλ+δλ(ζ)‖ < ε for |λ− (λ+ δλ)| < δ.For at vise dette tages der udgangspunkt i udtryk (3.11). Der gældersåledes

Rλ(ζ)−Rλ+δλ(ζ) = δλRλ(ζ)P⊥V P⊥Rλ+δλ(ζ)⇔Rλ(ζ) = (I + δλRλ(ζ)P⊥V P⊥)Rλ+δλ(ζ)⇔

Rλ+δλ(ζ) = (I + δλRλ(ζ)P⊥V P⊥)−1Rλ(ζ). (3.12)

Den sidste ligning har kun mening, hvis ‖−δλRλ(ζ)P⊥V P⊥‖ < 1. De�nernu a = ‖Rλ(ζ)P⊥V P⊥‖ > 0. Det bemærkes, at

a = ‖Rλ(ζ)P⊥V P⊥‖ ≤ ‖Rλ(ζ)‖ ‖P⊥‖ ‖V ‖ ‖P⊥‖= ‖Rλ(ζ)‖ ‖V ‖ <∞,

idet Rλ(ζ) og V begge er begrænsede. Så gælder der for alle |δλ| < 12a , at

‖−δλRλ(ζ)P⊥V P⊥‖ < 12 , og udtryk (3.12) har således mening. Dermed

gælder der, at

∥∥(I + δλRλ(ζ)P⊥V P⊥)−1∥∥ =

∥∥∥∥∥∥∑k≥0

(−δλRλ(ζ)P⊥V P⊥)k

∥∥∥∥∥∥≤∑k≥0

|δλ|k ‖Rλ(ζ)P⊥V P⊥‖k

<∑k≥0

(12

)k= 2.

Side 67

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 68 � #68


Så gælder der i henhold til udtryk (3.12), at

‖Rλ+δλ(ζ)‖ =∥∥(I + δλRλ(ζ)P⊥V P⊥)−1Rλ(ζ)

∥∥≤∥∥(I + δλRλ(ζ)P⊥V P⊥)−1

∥∥ ‖Rλ(ζ)‖< 2 ‖Rλ(ζ)‖ .

Dermed fås, ved at tage normen af udtryk (3.11) og indsætte ovenståenderesultater, at

‖Rλ(ζ)−Rλ+δλ(ζ)‖ = ‖δλRλ(ζ)P⊥V P⊥Rλ+δλ(ζ)‖≤ |δλ| ‖Rλ(ζ)‖ ‖P⊥V P⊥‖ ‖Rλ+δλ(ζ)‖< 2 |δλ| ‖Rλ(ζ)‖2 ‖P⊥V P⊥‖< 2 |δλ| c,

idet Rλ(ζ) og P⊥V P⊥ er begrænsede. Således gælder der, at

‖Rλ(ζ)−Rλ+δλ(ζ)‖ < ε = 2δc

for |δλ| < δ, og Rλ+δλ(ζ) konvergerer således mod Rλ(ζ).


Rλ(ζ + δζ)−Rλ(ζ) = δζRλ(ζ + δζ)Rλ(ζ),

og dermed haves, at

d

dλRλ(E1(λ)) = lim

δλ→0

1δλ

(Rλ+δλ(E1(λ+ δλ))−Rλ(E1(λ)))

= limδλ→0

1δλ

(Rλ+δλ(E1(λ+ δλ))−Rλ+δλ(E1(λ))

+Rλ+δλ(E1(λ))−Rλ(E1(λ)))

= limδλ→0

(E1(λ+ δλ)− E1(λ)

δλRλ+δλ(E1(λ+ δλ))Rλ(E1(λ))

)−Rλ(E1(λ))V Rλ(E1(λ))

= E′1(λ)R2λ(E1(λ))−Rλ(E1(λ))V Rλ(E1(λ)),


Side 68

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 69 � #69


Således kan koe�cienter i rækken bestemmes. Koe�cienten ε0 er givetved

ε0 =10!d0E1(λ)dλ0

∣∣∣∣λ=0

= E1(0) + 0〈Vψ1(0),ψ1(0)〉 − 02〈R0(E1(0))Vψ1(0), Vψ1(0)〉= E1(0),

mens koe�cienten ε1 er givet ved

ε1 =11!dE1(λ)dλ

∣∣∣∣λ=0

=d

dλ(E1(0) + λ〈Vψ1(0),ψ1(0)〉

−λ2〈Rλ(E1(λ))Vψ1(0), Vψ1(0)〉) ∣∣∣∣λ=0

= (〈Vψ1(0),ψ1(0)〉 − 2λ〈Rλ(E1(λ))Vψ1(0), Vψ1(0)〉− λ2E′1(λ)〈R2

λ(E1(λ))Vψ1(0), Vψ1(0)〉

+λ2〈Rλ(E1(λ))V Rλ(E1(λ))Vψ1(0), Vψ1(0)〉) ∣∣∣∣λ=0

= 〈Vψ1(0),ψ1(0)〉.

Ved at di�erentiere udtrykket for E1(λ) yderligere, kan de øvrige koe�-cienter �ndes, således at de tre næste koe�cienter er givet ved

ε2 = −〈R0(E1(0))Vψ1(0), Vψ1(0)〉,ε3 = 〈R0(E1(0))V R0(E1(0))Vψ1(0), Vψ1(0)〉

− E′1(0)〈R20(E1(0))Vψ1(0), Vψ1(0)〉,

ε4 = −12E′′1 (0)〈R2

0(E1(0))Vψ1(0), Vψ1(0)〉

− (E′1(0))2〈R30(E1(0))Vψ1(0), Vψ1(0)〉

+32E′1(0)〈R2

0(E1(0))V R0(E1(0))Vψ1(0), Vψ1(0)〉

+12E′1(0)〈R0(E1(0))V R2

0(E1(0))Vψ1(0), Vψ1(0)〉

− 〈R0(E1(0))V R0(E1(0))V R0(E1(0))Vψ1(0), Vψ1(0)〉.

I dette kapitel er det blevet vist, at hvis E1(0) er en ikke-degenereret egen-værdi for H0, eksisterer en ikke-degenereret egenværdi E1(λ) for H(λ)

Side 69

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 70 � #70


tæt på E1(0), hvis |λ| er lille nok. Ydermere er det vist, at denne ikke-degenererede egenværdi E1(λ) er analytisk om λ = 0, og de første femkoe�cienter er bestemt, således at egenværdien E1(λ) kan approksimeres.På tilsvarende vis kan øvrige ikke-degenererede egenværdier for H(λ)bestemmes.

Hvis egenværdien for H0 er degenereret med degenerationsgradm, gælderi henhold til Rellichs sætning, [Reed og Simon, 1972b, Theorem XII.3],at der eksisterer p ≤ m forskellige egenværdier for H(λ) tæt på egen-værdien for H0. Der gælder, at disse p egenværdier alle er analytiske omλ = 0, og der gælder, at summen af de p egenværdiers degenerations-grad er m. På trods af de resultater, der er vist gennem rapporten, erRellichs sætning dog ikke triviel at vise, og der henvises derfor blot til[Reed og Simon, 1972b] for et bevis.

Side 70

�master� � 2009/6/2 � 23:09 � page 71 � #71

Litteratur

[Agrawal, 2002] Agrawal, M. (2002). Axiomatic/Postulatory QuantumMechanics. Rapport, Stanford University.

[Axler, 1997] Axler, S. (1997). Linear Algebra Done Right. Springer,2. udgave. ISBN 0-387-98258-2.

[Berg og Madsen, 2001] Berg, C. og Madsen, T. G. (2001). Mål- og inte-

grationsteori. Universitetsbogladen, København.

[Cohen, 2003] Cohen, G. (2003). A Course in Modern Analysis and its

Applications. Cambridge, 1. udgave. ISBN 0-521-52627-2.

[Cornean, 2008] Cornean, H. (2008). Several applications of the FeshbachFormula. Ikke-publicerede noter til PhD-kursus.

[Jensen, 2005] Jensen, A. (2005). A Short Introduction to Complex Anal-ysis. Rapport, Department of Mathematical Sciences Aalborg Univer-sity.

[Kato, 1980] Kato, T. (1980). Perturbation Theory for Linear Operators.Springer, 2. udgave. ISBN 3-540-58661-X.

[Reed og Simon, 1972a] Reed, M. og Simon, B. (1972a). Methods of Mod-

ern Mathematical Physics I: Functional Analysis. Academic Press, Inc.ISBN 0-12-585050-6 (v. 1).

[Reed og Simon, 1972b] Reed, M. og Simon, B. (1972b). Methods of Mod-

ern Mathematical Physics IV: Analysis of Operators. Academic Press,Inc. ISBN 0-12-585004-2 (v. 4).

[Wade, 2004] Wade, W. R. (2004). An Introduction to Analysis. PearsonPrentice Hall, 3. udgave. ISBN 0-13-124683-6.

Side 71

Documents

Analytisk Perturbationsteori for linere operatorer · love og den klassiske mekanik fuldt ud afspejler naturen, idet de resultater, der kunne forudsiges med denne teori, stemte overens