ANALYSE I

FONCTION D’UNE VARIABLE

LICENCE DE SCIENCES ET TECHNOLOGIE

MENTION MATHEMATIQUES

UE 2.11

2009

Universite Henri Poincare-Nancy I Institut Elie Cartan

AVERTISSEMENT

Ce cours contient le programme d’analyse de l’UE 2.11 De la licence deSciences et technologie : mention mathematiques.

Il reprend, en le completant, le cours d’ANALYSE I de la licence Math.-Info. de Nicole Bardy, Jean-Marie Didry, Gerard Eguether, et Didier Schmittannee 2006 a 2009.

Pour des raisons pedagogiques, on a prefere suivre un ordre d’expositionqui n’est pas strictement lineaire. Les demonstrations contenues dans lespremiers chapitres s’appuient sur certains resultats vus dans le secondaireou dans le cours de l’UE 1.11 Calculs et mathematiques, ces resultats etantdemontres rigoureusement dans les chapitres posterieurs.

Certaines demonstrations sont omises ou laissees en exercices.

On a place en annexe des resultats qu’il est important de connaıtre mais surlesquels on n’insistera pas, et en complement quelques resultats interessantsdu point de vue de la “culture mathematique”.

G.EGUETHER

Conventions typographiques

Les termes nouveaux definis dans le texte sont indiques en caracteres gras.

Les resultats importants sont ecrits en caracteres penches et materialises de deux manieres :

par deux traits verticaux dans la marge gauche, pour les theoremes mis en exergue

par un soulignement, pour les resultats figurant dans le texte

Les demonstrations sont mises en retrait, et redigees en caracteres plus petits que ceux du texte.Un carre en indique la fin et laisse au lecteur le soin de conclure.

1

Notations

Les objets mathematiques (nombres, points, fonctions, ensembles etc...), sont representes par des lettresmajuscules ou minuscules. Les caracteres de l’alphabet latin sont utilises soit en italique, soit en caracterescalligraphiques. Quelques symboles sont utilises avec des typographies differentes.

a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y zA B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y ZA B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

C ℓ N Q R Z

Les notations suivantes sont reservees aux ensembles de nombres :

N entiers naturelsZ entiers relatifsQ rationnelsR reelsC complexes

La lettre ℓ est utilisee pour designer une limite.

Les lettres i et j sont utilisees pour designer les nombres complexes i =√−1 et j = e2iπ/3. Lorsque il

n’y a pas de confusion elles peuvent designer des nombres entiers, notamment des indices. Elles peuventetre utilisees egalement comme vecteurs (−→ı ,−→ ) d’une base de R2.

La lettre e est reservee a la base des logarithmes neperiens e = 2, 71828 . . ..

La lettre C est utilisee avec des indices pour noter les coefficients binomiaux Cpn notes actuellement

(np

),

et egalement pour indiquer qu’une fonction est n fois continument derivable : fonction de classe Cn.

On utilise egalement les lettres de l’alphabet grec, ou, tout du moins, celles qui ne sont pas identiques ades lettres de l’alphabet latin.

2

alpha α Abeta β B

gamma γ Γdelta δ ∆

epsilon ε E(d)zeta ζ Z

eta η Htheta θ Θiota ι I

kappa κ Klambda λ Λ

mu µ Mnu ν N

xi (ksi) ξ Ξomicron o O

pi π Πrho ρ R

sigma σ Σtau τ T

upsilon υ Υphi ϕ Φkhi χ Xpsi ψ Ψ

omega ω Ω

Les symboles∑

et∏

sont reserves en general pour indiquer une somme et un produit.

La lettre π designe le nombre 3, 14159 . . ..

Pour augmenter le nombre des symboles, on utilise des indices et exposants ainsi que certains autressignes places au-dessus ou en dessous des lettres utilisees. Dans ce cours nous avons limite l’utilisation deces signes a la liste ci-dessous :

etoile ∗ R∗ indique que l’ensemble de nombres est prive de 0.

tilde ˜ f utilise par exemple pour les prolongements de fonctions

rond

I designe l’interieur d’un ensemble.

vecteur −→ −→I pour noter les vecteurs du plan ou de l’espace

barre R pour noter la droite numerique achevee

chapeau (−→OA,

−−→OB) pour noter un angle

plus + R+ designe l’ensemble des nombres positifs

plus + a+ dans l’expression limx→a+

pour designer la limite a droite en a

moins − a− dans l’expression limx→a−

pour designer la limite a gauche en a

point ˙ a pour designer la classe d’equivalence d’un element a

3

Table des matieres

1 SUITES DE NOMBRES REELS 5

Annexe : Les expressions quantifiees 28

2 COMPORTEMENTS ASYMPTOTIQUES DES FONCTIONS 35

3 FONCTIONS CONTINUES 61

Complement : Bilan sur R et construction de R 77

4 FONCTIONS DERIVABLES 81

5 INTEGRALE D’UNE FONCTION CONTINUE 103

6 COURBES PARAMETREES 133

4

Chapitre 1

SUITES DE NOMBRES REELS

5

1. Rappels sur les nombres reels

Dans ce cours d’analyse, et en analyse en general, on fait un usage abondant des inegalites et des valeursabsolues. Il faut donc savoir les manipuler sans hesitation dans differents contextes.

1.1. Inegalites

Nous donnons tout d’abord les regles d’utilisation des inegalites dans les differentes operations sur lesnombres reels.On se rappellera que pour montrer une inegalite a ≤ b, on a souvent interet a montrer que b− a ≥ 0 (dememe pour les inegalites strictes).En utilisant la remarque precedente et le fait que la somme et le produit de nombres reels positifs sontdes nombres positifs, on obtient facilement les proprietes suivantes (que l’on pourra transcrire pour desinegalites strictes).

Inegalite et opposes :

a ≤ b equivaut a −b ≤ −a

(Les deux inegalites sont equivalentes a b − a ≥ 0).

Inegalite et inverses :

0 < a ≤ b implique1

b≤ 1

a

(1

a− 1

b=b− a

ab≥ 0).

addition terme a terme :

(a ≤ b et c ≤ d) implique a+ c ≤ b+ d

((b + d) − (a + c) = (b − a) + (d − c) ≥ 0).

Mais on ne peut soustraire terme a terme. Par contre

(a ≤ b et c ≤ d) implique a− d ≤ b− c

(En additionnant a ≤ b et − d ≤ −c).

Multiplication par un reel positif :

(a ≤ b et c ≥ 0) implique a · c ≤ b · c

(b · c − a · c = (b − a)c ≥ 0).

Multiplication par un reel negatif :

(a ≤ b et c ≤ 0) implique a · c ≥ b · c

(a · c − b · c = (a − b)c ≥ 0).

7

Multiplication terme a terme :

(0 ≤ a ≤ b et 0 ≤ c ≤ d) implique a · c ≤ b · d

(b · d − a · c = b(d − c) + c(b − a) ≥ 0).

Mais on ne peut diviser terme a terme. Par contre

(0 ≤ a ≤ b et 0 ≤ c ≤ d) impliquea

d≤ b

c

(en multipliant 0 ≤ a ≤ b et 0 ≤ 1/d ≤ 1/c ).

Consequences importantes :

– pour majorer une somme x+ y, on majore a la fois x et y

– pour majorer une difference x− y, on majore x et on minore y

– pour majorer un produit x · y de nombres positifs, on majore a la fois x et y

– pour majorer un quotientx

yde nombres positifs, on majore x et on minore y

– pour minorer une somme x+ y, on minore a la fois x et y

– pour minorer une difference x− y, on minore x et on majore y

– pour minorer un produit x · y de nombres positifs, on minore a la fois x et y

– pour minorer un quotientx

yde nombres positifs, on minore x et on majore y

1.2. Valeur absolue

On donne ci-dessous les differentes definitions possibles de la valeur absolue et les proprietes importantes :

On definit la valeur absolue d’un nombre reel a par

|a| =

a si a ≥ 0

−a si a ≤ 0

On a alors

|a| = | − a| = max(a,−a) =√a2

Remarque : max(a, b) designe le plus grand des deux nombres a et b.

Valeur absolue et produit

|a · b| = |a| · |b|

8

Inegalite triangulaire :

|a+ b| ≤ |a| + |b|

et l’egalite a lieu si et seulement si a et b sont de meme signe

Si a et b sont positifs, il en est de meme de a + b, et

|a + b| = a + b = |a| + |b| .

De meme si a et b sont negatifs

|a + b| = −(a + b) = (−a) + (−b) = |a| + |b| .

Si a et b ont le meme signe. Il y a donc egalite.

Si a ≤ 0 ≤ b et a + b ≥ 0

|a + b| = a + b = −|a| + |b| ≤ |a| + |b| .

Si a ≤ 0 ≤ b et a + b ≤ 0

|a + b| = −(a + b) = |a| − |b| ≤ |a| + |b| .

En permutant les roles de a et b on a encore l’inegalite desiree si b ≤ 0 ≤ a. On constate egalementque si a ou b n’est pas nul, il ne peut y avoir egalite dans les derniers cas.

Consequence :

|a+ b| ≥∣∣∣ |a| − |b|

∣∣∣

On ecrit a = a + b − b. Alors

|a| = |(a + b) − b| ≤ |a + b| + | − b| = |a + b| + |b| ,

d’ou|a| − |b| ≤ |a + b| .

En permutant les roles de a et b, on a egalement

|b| − |a| ≤ |a + b| .

D’ou˛

˛

˛ |a| − |b|˛

˛

˛ = max(|a| − |b|, |b| − |a|) ≤ |a + b| .

Les inegalites triangulaires peuvent s’ecrire aussi pour les differences puisque a − b = a + (−b), ce quidonne ∣∣∣ |a| − |b|

∣∣∣ ≤ |a− b| ≤ |a| + |b|

Inegalites et valeurs absolues :

Attention : a ≤ b n’implique pas |a| ≤ |b|. Si par exemple a et b sont negatifs c’est l’inegalite inverse quia lieu : |b| ≤ |a|. Donc pour majorer une valeur absolue |a| il ne suffit pas de majorer a. Le signe de aintervient.

9

A titre d’exemple montrons la propriete suivante :

a ≤ b ≤ c implique |b| ≤ max(|a|, |c|)

Si b ≥ 0, on a alors c ≥ 0 donc

|b| = b ≤ c = |c| ≤ max(|c|, |a|) .

Si b ≤ 0, on a alors a ≤ 0 donc

|b| = −b ≤ −a = |a| ≤ max(|c|, |a|) .

L’inegalite est toujours vraie.

Pour majorer une valeur absolue on utilise en general la propriete suivante :

|a| ≤ b equivaut a −b ≤ a ≤ b

Si |a| ≤ b, ou bien a ≥ 0, alors−b ≤ 0 ≤ a = |a| ≤ b ,

ou bien a ≤ 0, alors −a = |a| ≤ b d’ou

−b ≤ a ≤ 0 ≤ b .

Inversement, si −b ≤ a ≤ b, on a a ≤ b et −a ≤ b, donc

|a| = max(a,−a) ≤ b .

Pour majorer |a| par un nombre b (positif), il faut majorer a par b et le minorer par −b, ou encore majorera et −a par b.

On deduit de ce qui precede differentes manieres de traduire des inegalites contenant des valeurs absolues,que nous utiliserons par la suite :

Il y a equivalence entre les proprietes suivantes :

i) |x− a| ≤ r

ii) −r ≤ x− a ≤ r

iii) a− r ≤ x ≤ a+ r

iv) x ∈ [ a− r, a+ r ]

Terminons par une propriete qui elle aussi va etre utilisee dans la suite du cours :

Tout intervalle ouvert I contenant a, contient un intervalle de la forme ] a− r, a+ r [ avec r > 0.

Si I = R, n’importe quel nombre reel r convient.

Si I = ] α, +∞ [ , on peut prendre r = a − α.

Si I = ]−∞, β [ , on peut prendre r = β − a.

Si I = ] α, β [ , on peut prendre pour r le plus petit des deux nombres a − α et β − a.

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Remarquons que ce qui precede n’est plus vrai si I est un intervalle ferme, lorsque a est une des bornes del’intervalle. Par contre si I est ouvert, il contient un intervalle [ a− s, a+ s ] . Il suffit de prendre s = r/2,si r est le nombre obtenu dans la demonstration precedente.

2. Suites de nombres reels

Rappelons qu’une suite u = (un)n≥n0 d’elements d’un ensemble F est une application de l’ensembleE = n ∈ N |n ≥ n0, ou n0 est entier, dans F .

Rappelons egalement que le quantificateur ∀ signifie “quel que soit” et que ∃ signifie “il existe”. Nousdecouvrirons au fur et a mesure les regles d’utilisation des quantificateurs dont on trouvera en annexe unexpose plus detaille.

2.1. Quelques qualificatifs pour les suites reelles

Une suite u est dite

constante si et seulement si tous ses termes ont la meme valeur, c’est-a-dire si et seulement si

(∀n ∈ N) (un = u0)

ou encore si et seulement si(∀n ∈ N) (un = un+1)

croissante si et seulement si pour tout entier naturel n, on a un ≤ un+1, c’est-a-dire si et seulement si

(∀n ∈ N) (un ≤ un+1)

strictement croissante si et seulement si

(∀n ∈ N) (un < un+1)

decroissante si et seulement si(∀n ∈ N) (un+1 ≤ un)

strictement decroissante si et seulement si

(∀n ∈ N) (un+1 < un)

monotone, si et seulement si elle est croissante ou decroissante.

majoree si et seulement si tous ses termes sont inferieurs a un certain nombre, c’est-a-dire si et seulementsi

(∃M ∈ R) (∀n ∈ N) (un ≤M)

minoree si et seulement si tous ses termes sont superieurs a un certain nombre, c’est-a-dire si et seulementsi

(∃m ∈ R) (∀n ∈ N) (un ≥ m)

bornee si et seulement si u est minoree et majoree. On peut verifier que cela equivaut a

(∃A ∈ R) (∀n ∈ N) (|un| ≤ A)

11

Si l’on a cette derniere propriete, alors, on a, pour tout entier n

un ≤ A et − A ≤ un ,

et donc la suite (un) est a la fois majoree et minoree, donc est bornee.

Reciproquement si (un) est bornee, il existe m et M , tels que, pour tout entier n

un ≤ M et un ≥ m ,

on en deduitun ≤ |M | et un ≥ −|m| ,

alors, si A = max(|m|, |M |), on a, pour tout entier n

|un| ≤ A ,

Remarque : si l’on a, pour tout entier n, |un| ≤M et |vn| ≤ P , alors |un + vn| ≤ |un| + |vn| ≤M + P et|unvn| = |un| |vn| ≤MP . Il en resulte que les suites (un + vn) et (unvn) sont bornees.

En general quand on etudie le comportement d’une suite, ce sont les grandes valeurs de n qui sontinteressantes, et dans bon nombre de theoremes, on demandera seulement qu’une propriete P (n) soitvraie a partir d’une certaine valeur de n. On dira que la propriete P (n) est vraie a partir d’un certainrang s’il existe un entier naturel q tel que P (n) soit vraie pour tout entier n superieur a q.

Par exemple, dire qu’une suite est croissante a partir d’un certain rang, c’est dire qu’il existe unentier naturel q tel que, pour tout entier naturel n ≥ q, on ait un ≤ un+1, ce qui s’ecrit sous formequantifiee

(∃q ∈ N) (∀n ∈ N) ((n ≥ q) ⇒ (un ≤ un+1))

ou encore, de facon moins precise (il est ici sous entendu que n un entier naturel), mais sans doute pluslisible, sous la forme

(∃q ∈ N) (∀n ≥ q) (un ≤ un+1) .

On donne le nom de suite stationnaire a une suite constante a partir d’un certain rang.

Par ailleurs il est facile de voir le resultat suivant :

Une suite majoree (resp. minoree, resp. bornee) a partir d’un certain rang, est une suite majoree (resp.minoree, resp. bornee).

Montrons le resultat pour une suite (un) majoree.

(∃q ∈ N) (∃M ∈ R)(∀n ∈ N) ((n ≥ q) ⇒ (un ≤ M) .

Alors si l’on prend A = max(u0, . . . , uq−1, M), on a pour tout entier n

un ≤ A ,

ce qui montre que la suite (un) est majoree.

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2.2. Operations algebriques sur les suites

Soient u et v deux suites reelles, et λ un nombre reel.

On appelle somme de u et de v, et on note u+ v, la suite reelle w definie par

(∀n ∈ N) (wn = un + vn) .

On appelle produit de u par le scalaire λ, et on note λu, la suite reelle w definie par

(∀n ∈ N) (wn = λun) .

On appelle produit de u et de v, et on note u v, la suite reelle w definie par

(∀n ∈ N) (wn = un vn) .

Si on suppose de plus que v ne s’annule pas (c’est-a-dire que (∀n ∈ N) (vn 6= 0) ), on appelle suite

inverse de la suite v, et on note1

v, la suite reelle w definie par

(∀n ∈ N) (wn =1

vn) .

On appelle alors suite quotient de u par v, la suite u× 1

v, notee

u

v.

2.3. Suite extraite

Soient u et v deux suites reelles. On dit que v est extraite de u si et seulement si il existe une fonctionϕ de N dans N, strictement croissante, telle que, pour tout entier naturel n, on ait vn = uϕ(n).

Un exemple de suites extraites est donne par la suite des termes de rang pair et la suite des termesde rang impair definies respectivement par vn = u2n et wn = u2n+1 .

3. Comportement asymptotique d’une suite reelle

3.1. Notion de limite

On rappelle tout d’abord les notions de limites vues en terminale et formulees a l’aide des intervalles,avant de les traduire sous forme quantifiee.

On dit qu’une suite u admet +∞ pour limite, si et seulement si, tout intervalle [A, +∞ [ , (A ∈ R),contient tous les termes de la suite a partir d’un certain rang q.

Une autre facon d’exprimer cette definition est de dire que, quel que soit le nombre reel A, il existe unentier q (qui depend de A), tel que, pour tout entier n, si n ≥ q, alors un ≥ A, et ceci s’exprime par laformule quantifiee :

(∀A ∈ R) (∃q ∈ N) (∀n ∈ N) ((n ≥ q) ⇒ (un ≥ A) ,

ou encore, sous forme simplifiee :

(∀A ∈ R) (∃q ∈ N) (∀n ≥ q)(un ≥ A)) ,

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On dit qu’une suite u admet −∞ pour limite, si et seulement si, tout intervalle ]−∞, A ] , (A ∈ R),contient tous les termes de la suite a partir d’un certain rang q, autrement dit si et seulement si

(∀A ∈ R) (∃q ∈ N) (∀n ∈ N) ((n ≥ q) ⇒ (un ≤ A)) .

Il est clair, au vu de ces definitions que u ne peut admettre a la fois +∞ et −∞ pour limite.

Soit ℓ un nombre reel. On dit que u admet ℓ pour limite si et seulement si, tout intervalle ouvertcontenant ℓ contient tous les termes de la suite a partir d’un certain rang q.

On a vu dans les preliminaires que tout intervalle ouvert contenant ℓ, contient necessairement un inter-valle ouvert de la forme ] ℓ− ε, ℓ + ε [ . On peut donc se contenter de tels intervalles. Et la definition sereformule ainsi :

On dit que u admet ℓ pour limite si et seulement si, quel que soit le nombre reel ε strictement positifque l’on se donne, les termes de la suite sont dans l’intervalle ] ℓ− ε, ℓ+ ε [ a partir d’un certain rang q(qui depend de ε) autrement dit si et seulement si

(∀ε ∈ R∗+) (∃q ∈ N) (∀n ∈ N) ((n ≥ q) ⇒ (|un − ℓ| < ε)) ,

ou encore, sous forme simplifiee :

(∀ε > 0) (∃q ∈ N) (∀n ≥ q) (|un − ℓ| < ε) .

On remarquera qu’il est equivalent de dire que u admet 0 pour limite, ou que |u| = (|un|)n≥0 admet 0pour limite (ce qui sera souvent utilise dans la pratique).

On dit que u est convergente si et seulement si il existe un reel ℓ tel que u admette ℓ pour limite. Dansles autres cas, on dit que u est divergente.

Un premier resultat important est qu’une suite convergente est bornee. En consequence, une suite conver-gente ne peut admettre aussi +∞ (ou −∞) pour limite.

Soit une suite u ayant pour limite ℓ. Prenons ε = 1. Il existe q dans N, tel que, pour tout n ≥ q,on ait

|un − ℓ| < 1 .

Alors, en utilisant l’inegalite triangulaire, pour tout n ≥ q, on a

|un| = |(un − ℓ) + ℓ| ≤ |un − ℓ| + |ℓ| < 1 + |ℓ| .

On en deduit que la suite u est bornee a partir d’un certain rang. Elle est donc bornee.

Il est aise de voir qu’une suite convergente n’admet qu’une limite.

Supposons que u possede deux limites ℓ et ℓ′, telles que ℓ < ℓ′. Soit ε = (ℓ′ − ℓ)/2 > 0. Il existe qdans N, tel que, pour tout n ≥ q, le nombre un appartienne a l’intervalle ] ℓ − ε, ℓ + ε [ .

Il existe q′ dans N, tel que, pour tout n ≥ q′, le nombre un appartienne a l’intervalle ] ℓ′ − ε, ℓ′ + ε [ .Mais

ℓ + ε = ℓ′ − ε =ℓ + ℓ′

2,

et les deux intervalles precedents ont une intersection vide. Alors si n ≥ max(q, q′), on obtient unecontradiction.

Quand elle existe, la limite (finie ou non) de u est notee limu ou encore limn→+∞

un.

14

3.2. La droite numerique achevee R

Afin d’unifier les enonces, introduisons l’ensemble note R defini par R = R ∪ ±∞.

On prolonge de facon naturelle l’ordre de R a R en decidant que pour tout nombre reel x, on a−∞ < x < +∞.

Puis on prolonge, mais partiellement, l’addition et la multiplication de R a R par les regles suivantes, enposant que ces operations restent commutatives et que pour tout nombre reel x,

x+ (+∞) = +∞ , x+ (−∞) = −∞ , x× (+∞) =

+∞ si x > 0−∞ si x < 0

, x× (−∞) =

−∞ si x > 0+∞ si x < 0

et enfin que(+∞) + (+∞) = +∞ , (−∞) + (−∞) = −∞ ,

(+∞) × (+∞) = +∞ , (−∞) × (−∞) = +∞ , (+∞) × (−∞) = −∞ .

On prolonge aussi la notion d’inverse en posant :1

+∞ =1

−∞ = 0 .

On remarquera que n’ont pas ete definis la somme (+∞) + (−∞) et les produits (+∞)× 0 et (−∞)× 0.

De meme ne sont pas definis les quotients0

0et

∞∞ . Ces differentes expressions correspondent a ce que

l’on appelle les formes indeterminees dans le paragraphe suivant.

Enfin on dira qu’une suite u admet une limite dans R pour exprimer qu’elle admet +∞, −∞ ou unnombre reel ℓ pour limite.

3.3. Limite et operations algebriques

Soient u et v deux suites reelles admettant respectivement ℓ et ℓ′ pour limites dans R, et λ un nombrereel non nul. Alors, sous reserve que ℓ+ ℓ′ et ℓ× ℓ′ soient definies dans R :

u+ v admet ℓ+ ℓ′ pour limiteλu admet λ ℓ pour limiteu v admet ℓ ℓ′ pour limite.

Ce qui precede peut s’exprimer simplement en disant que la limite d’une somme est la somme des limitessauf si cette somme de limite est de la forme ∞−∞, et que la limite d’un produit est le produit des limitessauf si ce produit se presente sous la forme 0×∞, ce qui donne les deux premieres formes indeterminees.Le theoreme ne permet pas de conclure dans ce cas, et il faudra trouver d’autres methodes pour trouverla limite ou montrer qu’elle n’existe pas, c’est ce que l’on appelle lever l’indetermination.

Commencons par etudier le cas ou les deux limites sont finies.

Cas de la somme : Soit ε > 0. On cherche a majorer la valeur absolue de la difference (un + vn) − (ℓ + ℓ′)par ε. En remarquant que l’on peut ecrire

(un + vn) − (ℓ + ℓ′) = (un − ℓ) + (vn − ℓ′) ,

et en utilisant l’inegalite triangulaire, on obtient

|(un + vn) − (ℓ + ℓ′)| ≤ |un − ℓ| + |vn − ℓ′| .

15

Exprimons alors que u converge vers ℓ, et v vers ℓ′. Il existe un entier q dans N, tel que, pour toutn ≥ q, on ait

|un − ℓ| <ε

2.

Il existe egalement q′ dans N, tel que, pour tout n ≥ q′, on ait

|vn − ℓ′| <ε

2.

Alors si n ≥ max(q, q′),

|(un + vn) − (ℓ + ℓ′)| = |(un − ℓ) + (vn − ℓ′)| ≤ |un − ℓ| + |vn − ℓ′| <ε

2+

ε

2= ε .

La quantite |(un + vn) − (ℓ + ℓ′)| est donc inferieure a ε a partir d’un certain rang. Cela montreque la suite u + v converge vers ℓ + ℓ′.

Cas du produit : Puisque la suite v a une limite finie, elle est bornee. Il existe M > 0 tel que,pour tout entier n, on ait |vn| ≤ M . Soit alors ε > 0. On cherche a majorer la valeur absolue dela difference un vn − ℓ ℓ′ par ε. Pour cela on va tout d’abord utiliser l’identite

a b − α β = (a − α)b + (b − β)α .

On obtient|un vn − ℓ ℓ′| = |(un − ℓ)vn + (vn − ℓ′)ℓ| .

On peut alors majorer cette expression en utilisant l’inegalite triangulaire :

|un vn − ℓ ℓ′| ≤ |(un − ℓ)vn|+ |(vn − ℓ′)ℓ| = |un − ℓ| |vn|+ |vn − ℓ′| |ℓ| ≤ |un − ℓ|M + |vn − ℓ′| |ℓ| .

Exprimons alors que u converge vers ℓ, et v vers ℓ′. Il existe un entier q tel que, pour tout entiern ≥ q, on ait

|un − ℓ| <ε

M + |ℓ| ,

et il existe un entier q′ tel que, pour tout entier n ≥ q′, on ait

|vn − ℓ′| <ε

M + |ℓ| .

Alors, si n ≥ max(q, q′), on a

|un vn − ℓ ℓ′| < Mε

M + |ℓ| + |ℓ| ε

M + |ℓ| = ε .

La quantite |(un vn)− (ℓ ℓ′)| est donc inferieure a ε a partir d’un certain rang. Cela montre que lasuite u v converge vers ℓ ℓ′.

En particulier, si vn = λ pour tout n, la suite est constante et a pour limite λ, on en deduit queλu converge vers λ ℓ.

Etudions maintenant la somme de deux suites u et v lorsque u a pour limite ℓ = +∞ et v estbornee inferieurement, par une constante M . C’est le cas en particulier lorsque v admet aussi +∞pour limite, car elle est alors bornee inferieurement, et lorsque v possede une limite finie, car elleest bornee donc bornee inferieurement.

Soit A un nombre reel. Puisque u tend vers +∞, il existe un entier q tel que, pour tout entiern ≥ q, on ait un ≥ A − M . Alors

un + vn ≥ (A − M) + M = A .

La suite u + v est minoree par A a partir d’un certain rang. Elle admet donc +∞ pour limite.

On pourra a titre d’exercices etudier les autres cas.

16

Remarque : la suite u converge vers une limite ℓ si et seulement si la suite u− ℓ converge vers 0.

On suppose toujours que u admet pour limite ℓ dans R.Si ℓ est non nulle, il existe un entier naturel q tel que u ne s’annule pas a partir du rang q et la suite(

1

un

)

n≥q

converge vers1

ℓ.

Si ℓ = 0 et si les termes de la suite u sont strictement positifs (resp. strictement negatifs) a partir

d’un certain rang q, la suite

(1

un

)

n≥q

admet +∞ (resp. −∞) pour limite.

Si u converge vers ℓ 6= 0, il existe un entier q tel que, pour tout entier n ≥ q, on ait

|un − ℓ| <|ℓ|2

.

En ecrivant un = ℓ + (un − ℓ), et en utilisant l’inegalite triangulaire

|a + b| ≥ | |a| − |b| | ,

on obtient

|un| ≥ | |ℓ| − |un − ℓ| | ≥ |ℓ| − |un − ℓ| > |ℓ| − |ℓ|2

=|ℓ|2

> 0 .

Donc un n’est pas nul si n ≥ q . De plus, pour tout n ≥ q,

˛

˛

˛

˛

1

un− 1

ℓ

˛

˛

˛

˛

=|un − ℓ||un| |ℓ|

<2

ℓ2|un − ℓ| .

Soit alors ε > 0. Il existe un entier q′ tel que, pour tout entier n ≥ q′, on ait

|un − ℓ| <ℓ2ε

2.

Alors, si n ≥ max(q, q′), on a˛

˛

˛

˛

1

un− 1

ℓ

˛

˛

˛

˛

< ε .

On pourra traiter le cas ou ℓ est infinie et le cas ou ℓ = 0 a titre d’exercice.

Remarque : un quotient u/v de deux suites se ramene a l’etude du produit u × (1/v) donc le problemede la limite d’un quotient se deduit des deux resultats precedents.

17

3.4. Limite et inegalite.

Connaissant une inegalite stricte sur les limites, on peut comparer les suites a partir d’un certain rang envertu du resultat suivant :

Soient u et v deux suites reelles admettant les limites respectives ℓ et ℓ′ (dans R). Si l’on a ℓ > ℓ′,alors, a partir d’un certain rang, un > vn.

Dans le cas ou ℓ et ℓ′ sont reelles, posons ε = (ℓ − ℓ′)/2 > 0. Il existe q, tel que, pour n ≥ q, lenombre un appartienne a l’intervalle ] ℓ − ε, ℓ + ε [ . Il existe q′, tel que, pour n ≥ q′ le nombre vn

appartienne a l’intervalle ] ℓ′ − ε, ℓ′ + ε [ . Mais

ℓ − ε = ℓ′ + ε =ℓ + ℓ′

2.

Donc, si n ≥ max(q, q′), on avn < ℓ′ + ε = ℓ − ε < un .

On pourra traiter les cas ou ℓ ou ℓ′ est infinie a titre d’exercice.

Inversement, on peut passer a la limite dans les inegalites larges :

Soient u et v deux suites reelles admettant les limites respectives ℓ et ℓ′ (dans R). Si a partir d’uncertain rang un ≤ vn, alors on a ℓ ≤ ℓ′.

Si par l’absurde on supposait que ℓ > ℓ′, le resultat precedent affirme que un > vn a partir d’uncertain rang, ce qui contredit l’hypothese que un ≤ vn a partir d’un certain rang.

On remarquera que l’on deduit des resultats precedents, en prenant u = (0), qu’une suite v convergentepositive a une limite positive (la limite peut etre nulle, meme si vn > 0 pour tout entier naturel n), etque, si la suite v admet une limite strictement positive, alors vn > 0 a partir d’un certain rang.

Une autre consequence, est la suivante : si tous les termes d’une suite u appartiennent a un intervalleferme I (c’est-a-dire un intervalle de la forme a, [ a, b ] , [ a, +∞ [ , ]−∞, b ] ou R), sa limite ℓ, si elleexiste, appartient aussi a I.

3.5. Existence d’une limite par comparaisons.

Theoreme d’encadrement (ou des gendarmes) :Soient u, v, w trois suites reelles. On suppose que u et w sont convergentes, de meme limite ℓ, et, qu’apartir d’un certain rang, elles encadrent la suite v. Alors v est convergente de limite ℓ.

Soient u, v deux suites reelles. On suppose que u est inferieure (resp. superieure) a partir d’un certainrang a v, et que v admet −∞ (resp. +∞) pour limite. Alors u admet −∞ (resp. +∞) pour limite.

Etudions le cas des limites finies.

Il existe un rang q, tel que, pour tout entier n ≥ q, on ait

un ≤ vn ≤ wn .

18

Soit ε > 0. Il existe q1, tel que, pour n ≥ q1 le nombre un appartienne a l’intervalle ] ℓ − ε, ℓ + ε [ .Il existe q2, tel que, pour n ≥ q2 le nombre wn appartienne a l’intervalle ] ℓ − ε, ℓ + ε [ . Alors, sin ≥ max(q, q1, q2)

ℓ − ε < un ≤ vn ≤ wn < ℓ + ε .

Les termes de la suite v sont dans l’intervalle ] ℓ − ε, ℓ + ε [ a partir d’un certain rang.

Le cas des limites infinies est laisse a titre d’exercice.

Comme application du theoreme d’encadrement, on remarquera que l’on a le reultat suivant :

le produit d’une suite bornee par une suite qui converge vers 0 est une suite qui converge elle aussivers 0.

Si (un) converge vers 0, et si (vn) est telle que, pour tout entier n, on ait |vn| ≤ M , alors

0 ≤ |unvn| ≤ Mun ,

et le theoreme d’necadrement montre que la suite (|unvn|) converge vers 0, donc la suite (unvn)egalement.

3.6. Limite et suites extraites.

Soit ℓ ∈ R. Si la suite u admet ℓ pour limite, toute suite extraite de u admet aussi ℓ pour limite.Inversement, il suffit que les suites extraites x et y des termes de rang pair et de rang impair admettentle meme nombre ℓ ∈ R pour limite, pour que u admette ℓ pour limite.

Soit ϕ une application strictement croissante de N dans lui-meme. On montre tout d’abord parrecurrence que, pour tout entier naturel n, on a ϕ(n) ≥ n.

C’est vrai pour n = 0 , puisque ϕ(0) appartient a N. Supposons la propriete vraie au rang n. Ona alors, puisque ϕ est strictement croissante,

ϕ(n + 1) > ϕ(n) ≥ n .

Mais, puisque ϕ(n + 1) est un entier strictement superieur a n, il est superieur ou egal a n + 1, cequi montre la propriete au rang n + 1.

Soit ε > 0. Si u converge vers ℓ reel, il existe un entier q tel que, pour tout n ≥ q, on ait

|un − ℓ| < ε .

Mais dans ce cas, ϕ(n) ≥ n ≥ q, et donc, on a egalement

|uϕ(n) − ℓ| < ε .

Il en resulte que la suite v, definie par vn = uϕ(n), converge aussi vers ℓ. (Demonstration analoguepour une limite infinie)

19

Inversement, supposons que les suites extraites x et y definies par xn = u2n et yn = u2n+1

admettent le meme nombre ℓ fini pour limite. Soit ε > 0. Il existe q1, tel que, pour n ≥ q1

|xn − ℓ| < ε ,

Il existe q2, tel que, pour n ≥ q2

|yn − ℓ| < ε ,

Alors, soit p ≥ q = max(2q1, 2q2 + 1).

Si p est pair, il est de la forme p = 2n ou n est entier. Mais, puisque p = 2n ≥ q ≥ 2q1, on endeduit que n ≥ q1, et donc

|up − ℓ| = |u2n − ℓ| = |xn − ℓ| < ε .

Si p est impair, il est de la forme p = 2n+1 ou n est entier. Mais, puisque p = 2n+1 ≥ q ≥ 2q2 +1,on en deduit que n ≥ q2, et donc

|up − ℓ| = |u2n+1 − ℓ| = |yn − ℓ| < ε .

Donc, pour tout entier p ≥ q, la quantite |up − ℓ| est majoree par ε.

(Demonstration analogue pour une limite infinie)

On retiendra que pour montrer qu’une suite u n’a pas de limite, il suffit de trouver deux suites extraitesx et y ayant des limites differentes. C’est le cas de la suite ((−1)n) par exemple.

3.7. Comportement asymptotique des suites monotones

Une suite reelle croissante (resp. decroissante) a partir d’un certain rang, non majoree (resp. nonminoree) admet +∞ (resp. −∞) pour limite.

Supposons la suite u croissante et non majoree. Soit A un nombre reel. Il existe un entier q tel queuq > A. Mais la suite etant croissante, on a pour tout n ≥ q, l’inegalite un ≥ uq . On en deduitque la suite u est minoree par A a partir du rang q. Elle admet donc +∞ pour limite.

Une suite reelle croissante (resp. decroissante) majoree (resp. minoree) est convergente et majoree(resp. minoree) par sa limite.

La premiere partie de cette derniere propriete est consideree comme l’un des axiomes constitutifs de l’en-semble des nombres reels. On ne cherche donc pas a la demontrer. On etablira plus tard son equivalenceavec d’autres enonces. Elle differencie de maniere decisive R de l’ensemble Q des nombres rationnels :

par exemple la suite rationnelle definie par les relations u0 = 0 et ∀n ∈ N, un+1 =2un + 2

un + 2est crois-

sante, majoree par 2, mais sa limite n’est pas dans Q. En effet, par passage a la limite dans la relation

precedente, la limite ℓ verifie, ℓ =2ℓ+ 2

ℓ+ 2, et on en deduit que ℓ2 = 2.

La seconde partie de l’affirmation precedente resulte du theoreme de passage a la limite dans lesinegalites. En effet, quels que soient les entiers n et p, si p ≤ n on a xp ≤ xn, et on en deduit que,pour tout entier p, on a l’inegalite xp ≤ ℓ.

20

Remarque : dans le resultat precedent, il suffit que la suite soit croissante (resp. decroissante) a partird’un certain rang et majoree (resp. minoree), pour qu’elle converge.

3.8. Suites adjacentes.

Deux suites u et v sont dites adjacentes, si et seulement si, a partir d’un certain rang, l’une est crois-sante, l’autre decroissante, et si la suite v − u admet 0 pour limite.

Deux suites adjacentes sont convergentes, de meme limite ℓ, et si, a partir du rang q, la suite u estcroissante, et la suite v decroissante, alors, pour tout entier naturel n ≥ q, on a un ≤ ℓ ≤ vn.

Supposons u croissante, et v decroissante a partir du rang q. La suite v − u est convergente, doncbornee inferieurement par une constante a. Pour tout entier n,

vn − un ≥ a .

Comme v decroit a partir du rang q, on a vn ≤ vq, pour tout n ≥ q, donc

un ≤ vn − a ≤ vq − a .

La suite u est donc majoree. Il en resulte qu’elle converge vers une limite ℓ, et a partir du rang q,on a un ≤ ℓ.

De meme, comme u est croissante a partir du rang q, on a un ≥ uq pour tout entier n ≥ q, donc

vn ≥ a + un ≥ a + uq ,

et la suite v est minoree. Il en resulte qu’elle converge vers une limite ℓ′, et a partir du rang q,on a vn ≥ ℓ′.

Mais alors v − u converge vers ℓ− ℓ′ = 0. Les deux limites sont donc egales, et a partir du rang q,on a un ≤ ℓ ≤ vn.

3.9. Comportement asymptotique des suites puissances et des suites geometriques

Soit p ∈ Z∗. Alors limn→+∞

(np) =

+∞ si p > 00 si p < 0

.

Soit a ∈ R. Alors limn→+∞

(an) =

+∞ si a > 10 si |a| < 1

et la suite n’admet pas de limite si a ≤ −1.

On retiendra aussi que pour p ∈ N et a > 1, limn→+∞

np

an= 0 et lim

n→+∞

an

n!= 0.

Demontrons deux des proprietes ci-dessus, les autres seront laissees en exercices.

Posons un = n. La suite u est croissante, puisque un+1 − un = 1 ≥ 0. Elle possede donc unelimite, finie ou non. Si cette limite etait une limite finie ℓ, alors, lim(un+1) = lim(un) = ℓ, et donclim(un+1 − un) = 0 ce qui est impossible puisque un+1 − un = 1. C’est donc que la limite de lasuite u vaut +∞.

Si p est un entier positif, on a alors np ≥ n, pour tout entier n positif, et il resulte du theoremede comparaison, que (np) possede elle aussi +∞ pour limite.

Si p est un entier negatif, on a np =1

n−p. Comme −p est positif, la suite (n−p) a pour limite +∞,

et donc son inverse (np) a pour limite 0.

21

Posons vn = np/an, avec a > 1. On obtient la relation

vn+1

vn=

„

1 +1

n

«p1

a.

mais``

1 + 1n

´p 1a

´

admet pour limite 1/a < 1. Il en resulte que la suite vn+1/vn est majoreestrictement par 1 a partir d’un certain rang. La suite v est donc decroissante a partir d’un certainrang, et comme elle est minoree par zero, elle converge vers une limite ℓ. Alors par passage a lalimite dans la relation

vn+1 =

„

1 +1

n

«p1

avn ,

on obtient ℓ =ℓ

a, et donc ℓ = 0.

4. Equivalence asymptotique de deux suites.

On definit une relation d’equivalence notee ∼ dans l’ensemble des suites de nombres reels en disant :u ∼ v si et seulement si il existe une suite reelle ε admettant 1 pour limite, telle que, a partir d’uncertain rang, on ait un = εn vn.On dira dans ce cas que la suite u est equivalente a la suite v.

Remarquons que dans cette definition, les premieres valeurs de la suite ε n’interviennent pas. La suite εpeut n’etre definie qu’a partir d’un certain rang.

En prenant ε = (1), qui converge vers 1, on a un = εnun, donc u ∼ u ce qui donne la la reflexivite.

Si u ∼ v, il existe une suite ε de limite 1, telle que, a partir d’un certain rang, on ait un = εn vn.Comme ε admet 1 comme limite, elle n’est pas nulle a partir d’un certain rang et 1/ε est definiea partir d’un certain rang et converge vers 1. Alors, a partir d’un certain rang

vn =1

εnun ,

donc v ∼ u et on a la symetrie.

Si u ∼ v et v ∼ w, il existe deux suites ε et η de limite 1 telles que a partir d’un certain rang

un = εnvn et vn = ηnwn .

Alors, a partir d’un certain rangun = (εnηn)wn ,

et εη converge vers 1, donc u ∼ w et on a la transitivite.

Remarquons que si v ne s’annule pas a partir d’un certain rang q, il revient au meme de dire que u ∼ v,

ou de dire que la suite ε definie a partir du rang q par εn =un

vnadmet 1 pour limite.

En particulier, si c est un nombre reel non nul, il est equivalent de dire que u ∼ (c) ou de dire que uconverge vers c.En revanche, une suite u est equivalente a la suite (0) si et seulement si elle est nulle a partir d’un certainrang.

L’interet de la relation d’equivalence reside essentiellement dans les trois resultats suivants :

22

i) si u ∼ v et si v admet ℓ ∈ R pour limite, alors u admet aussi ℓ pour limite.ii) si u ∼ v, alors, a partir d’un certain rang, un et vn ont meme signe ou sont tous deux nuls a partird’un certain rang.iii) si u ∼ v et si v est bornee, alors u est bornee.

On a, a partir d’un certain rang, la relation un = εnvn, ou la suite ε admet pour limite 1. Si vadmet une limite dans R, on deduit immediatement du theoreme sur les limites de produits que

lim u = lim ε lim v = lim v .

La suite ε tend vers 1. Donc, a partir d’un certain rang, le nombre εn est strictement positif. Alorsun = εnvn est du meme signe que vn, et est nul si vn est nul.

Enfin la suite ε est bornee. Si v est bornee il en sera de meme du produit εv. Donc u est bornee apartir d’un certain rang, donc bornee.

Ainsi cette relation permet-elle de “remplacer”, dans certaines circonstances, une suite par une suite plussimple pour mieux comprendre son comportement asymptotique.

Exemple : Soient p + 1 nombres reels a0, a1, . . . , ap tels que ap 6= 0. Alors la suite u definie sur N par

un =p∑

k=0

aknk est equivalente a la suite v definie sur N par vn = apn

p dont le comportement asymptotique

est evident.

On met en facteur dans un le terme preponderant apnp. On obtient

un = vn

1 +

p−1X

k=0

ak

ap

1

np−k

!

.

Si l’on pose

εn = 1 +

p−1X

k=0

ak

ap

1

np−k,

on constate que cette suite admet 1 pour limite. On a donc bien u ∼ v.

La grande souplesse d’utilisation de la relation d’equivalence asymptotique tient dans sa compatibiliteavec la multiplication et le passage au quotient.

a) Les proprietes u ∼ v et u′ ∼ v′ impliquent uu′ ∼ vv′.

b) Si u ∼ v et si u ne s’annule pas a partir d’un certain rang, il en est de meme de v et1

u∼ 1

vde

sorte que, si de plus u′ ∼ v′, on au′

u∼ v′

v.

Si u ∼ v et u′ ∼ v′, il existe deux suites ε et η de limite 1 telles que a partir d’un certain rang

un = εnvn et u′n = ηnv′

n .

Alors, a partir d’un certain rangunu′

n = (εnηn)vnv′n ,

23

donc uu′ ∼ vv′.

Si u ∼ v, il existe une suite ε de limite 1, telle que, a partir d’un certain rang, on ait un = εn vn.Comme εn tend vers 1, a partir d’un certain rang, ce nombre n’est pas nul. Si vn n’est pas nul apartir d’un certain rang, il en est de meme de un et

1

un=

1

εn

1

vn.

Comme 1/ε converge vers 1, il en resulte que 1/u ∼ 1/v.

On remarquera cependant que la notion de suites equivalentes ne peut pas etre utilisee en toutes circons-tances. On prendra garde en particulier aux situations suivantes :

u ∼ v et u′ ∼ v′ n’impliquent pas necessairement u+ u′ ∼ v + v′

(Prendre par exemple un = n+ 1, vn = n, u′n = −n+ 1 et v′n = −n).

si u ∼ v et si f est une fonction d’une variable reelle, on n’a pas necessairement f(un) ∼ f(vn)(Prendre par exemple un = n+ 1, vn = n et f : x 7→ ex).

u ∼ v et si u est croissante, alors v n’est pas necessairement croissante.(Prendre par exemple un = 1 − 1/n et vn = 1 + 1/n).

5. Resultats theoriques sur les suites

5.1. Propriete de BOLZANO-WEIERSTRASS

En preliminaire on peut voir que de toute suite reelle, on peut extraire une suite monotone.

Soit u une suite reelle. Appelons indice-pic un entier n tel que, pour tout m > n, on ait um < un.Il y a alors deux cas possibles.

Premier cas : il existe une infinite d’indices-pics. On peut les ranger dans un ordre croissant(p0, p1, . . . , pn, . . .) . On definit une application ϕ de N dans N en posant, pour tout n ∈ N,ϕ(n) = pn. Cette application est strictement croissante, car

ϕ(n) = pn < pn+1 = ϕ(n + 1) ,

et puisque pn est un indice-pic, on en deduit que

uϕ(n) > uϕ(n+1) .

La suite (uϕ(n))n≥0 est donc decroissante.

Deuxieme cas : l’ensemble des indices pics est fini. Si r est un majorant strict de cet ensembleposons, p0 = r. Ce nombre n’est pas un indice-pic. Il existe donc un nombre p1 > p0 tel queup1 ≥ up0 . De nouveau, puisque p1 n’est pas un indice-pic, il existe un indice p2 > p1, tel queup2 ≥ up1 . On voit qu’en poursuivant ce procede, on construit une suite (pn), telle que, pour toutentier naturel n

pn+1 > pn et upn+1 ≥ upn .

On definit une application ϕ strictement croissante de N dans N en posant, pour tout n ∈ N,ϕ(n) = pn. La suite (uϕ(n))n≥0 est alors croissante.

24

On sait que toute suite convergente est bornee. La reciproque est evidemment fausse comme le montrel’exemple de la suite ((−1)n)n≥0, mais, de toute suite bornee on peut extraire une suite convergente (pro-priete de Bolzano-Weierstrass).

On a vu ci-dessus que de toute suite reelle on peut extraire une suite monotone. Si la suite dedepart est bornee, la suite extraite l’est aussi. C’est une suite croissante majoree ou decroissanteminoree. Elle est donc convergente.

5.2. Suites de Cauchy

Une suite u a valeurs reelles, est appelee suite de Cauchy, si et seulement si, pour tout choix d’un reelε > 0, on peut rendre toutes les quantites |un −um| strictement inferieures a ε a partir d’un certain rang,c’est-a-dire

(∀ε ∈ R∗+) (∃q ∈ N) (∀n ∈ N) (∀m ∈ N)(((n ≥ q) et (m ≥ q)) ⇒ (|un − um| < ε)) ,

ce que l’on peut ecrire encore

(∀ε ∈ R∗+) (∃q ∈ N) (∀n ∈ N) (∀p ∈ N)((n ≥ q) ⇒ (|un+p − un| < ε)) .

Remarquons qu’une suite de Cauchy est bornee.

Soit ε = 1. Il existe un entier naturel q, tel que, quel que soit n ≥ q,

|un − uq| ≤ 1 .

Alors|un| ≤ |un − uq | + |uq | ≤ 1 + |uq | ,

et la suite u est bornee a partir d’un certain rang, donc bornee.

Remarquons egalement qu’une suite convergente est une suite de Cauchy.

Si u converge vers ℓ, soit ε > 0. Il existe un entier q tel que, pour tout entier n ≥ q, on ait

|un − ℓ| <ε

2.

Alors, si n et m sont superieurs a q

|un − um| ≤ |un − ℓ| + |um − ℓ| < ε .

L’interet de la notion de suite de Cauchy, est que le resultat precedent admet une reciproque :toute suite de Cauchy de nombres reels converge. Cela permet de demontrer qu’une suite est convergentesans en connaıtre la limite.

25

Soit u = (un)n≥0 une suite de Cauchy. Elle est donc bornee. D’apres la propriete de Bolzano-Weierstrass, on peut en extraire une suite convergente (uϕ(n))n≥0. Notons ℓ, la limite de cettesuite extraite. Il reste a montrer que la suite u converge elle aussi vers ℓ.

Soit ε > 0. Puisque u est une suite de Cauchy, il existe un entier q, tel que, quels que soient lesentiers n et m superieurs a q, on ait

|un − um| <ε

2.

Puisque (uϕ(n))n≥0 converge vers ℓ, il existe un entier q′, tel que, quel que soit l’entier m ≥ q′, onait

|uϕ(m) − ℓ| <ε

2.

Alors si n et m sont superieurs a max(q, q′), on a egalement ϕ(m) ≥ m ≥ q, et

|un − uϕ(m)| <ε

2.

En utilisant l’inegalite triangulaire, on obtient, si n ≥ max(q, q′)

|un − ℓ| ≤ |un − uϕ(m)| + |uϕ(m) − ℓ| < ε .

Nous avons dit que la propriete “toute suite croissante majoree converge” etait une propriete constitutivede R. Nous montrons ci-dessous que l’on aurait pu la remplacer par “toute suite de Cauchy converge etla suite (n) n’est pas majoree”, c’est-a-dire que ces deux proprietes sont equivalentes.

On a deja demontre l’implication dans un sens. Il nous reste a montrer la reciproque.

On suppose que toute suite de Cauchy converge et que la suite (n) n’est pas majoree. Soit (un)n≥0

une suite croissante majoree, nous allons montrer qu’elle converge.

Supposons, par l’absurde, que ce ne soit pas une suite de Cauchy. Il existe donc un ε > 0, tel que,pour tout entier N , on puisse trouver, un entier q ≥ 0, et un entier p ≥ N , verifiant

|up+q − up| ≥ ε ,

ou encore, en utilisant la croissance de la suite,

up+q ≥ ε + up .

Nous allons construire de maniere recurrente une suite ϕ strictement croissante de nombres entiersde telle sorte que, pour tout entier naturel n,

uϕ(n) ≥ u0 + nε .

Posons ϕ(0) = 0. Et supposons construits des nombres ϕ(0), . . . , ϕ(n), tels que

ϕ(0) < ϕ(1) < · · · < ϕ(n) ,

avec, pour tout entier r compris entre 0 et n

uϕ(r) ≥ u0 + rε .

Prenons N = ϕ(n). Il existe un entier q ≥ 0, et un entier p ≥ N , verifiant

up+q ≥ ε + up .

Posons ϕ(n + 1) = p + q. On a necessairement q 6= 0 et

ϕ(n + 1) = p + q > p ≥ ϕ(n) .

26

Par ailleurs, p ≥ ϕ(n) et la suite u est croissante, donc

up ≥ uϕ(n) .

Alors,

uϕ(n+1) ≥ ε + up

≥ ε + uϕ(n)

≥ ε + (u0 + nε) .

On en deduit queuϕ(n+1) ≥ u0 + (n + 1)ε .

Ainsi construit, uϕ(n+1) possede bien les proprietes requises.

Mais, sachant que la suite (n)n≥0 n’est pas majoree, l’inegalite

uϕ(n) ≥ u0 + nε ,

montre que la suite (uϕ(n))n≥0 n’est pas majoree. Comme c’est une suite extraite de u, on obtientune contradiction. Il en resulte que toute suite croissante et majoree est une suite de Cauchy, etdonc qu’elle converge.

6. Suites de nombres complexes

Soit (un) une suite de nombres complexes. On dira que la suite converge vers ℓ si la suite de nombres reels(|un − ℓ|) converge vers 0. Si l’on exprime cette condition avec les quantificateurs, on retrouve la memedefinition que dans le cas d’une suite reelle, en remplacant simplement la valeur absolue par le module :

(∀ε ∈ R∗+) (∃q ∈ N) (∀n ∈ N) ((n ≥ q) ⇒ (|un − ℓ| < ε)) ,

ou encore, sous forme simplifiee :

(∀ε > 0) (∃q ∈ N) (∀n ≥ q) (|un − ℓ| < ε) .

La suite (un) converge vers ℓ si et seulement si les suites (Reun) et (Im un) convergent respectivementvers Re ℓ et Im ℓ.

Si (un) converge vers ℓ, alors (|un − ℓ|) converge vers 0. Mais

|Reun − Re ℓ| = |Re(un − ℓ)| ≤ |un − ℓ| ,

et| Im un − Im ℓ| = | Im(un − ℓ)| ≤ |un − ℓ| .

Il resulte alors du theoreme d’encadrement que (Reun) converge vers Re ℓ et (Imun) vers Im ℓ.

Inversement si (Reun) converge vers Re ℓ et (Im un) vers Im ℓ, alors

|un − ℓ| =p

(Reun − Re ℓ)2 + (Imun − Im ℓ)2 ,

et donc ([un − ℓ|) converge vers 0.

Les theoremes sur les limites de sommes, produits, inverses, quotients sont encore valables pour les suitesde nombres complexes.

27

Annexe : Les expressions quantifiees

Cette annexe est reprise avec quelques complements du cours d’algebre, 2o semestre MIAS 95-96 de C.MORLET).

La syntaxe des expressions quantifiees

Nous avons rencontre dans ce chapitre des expressions dans lesquelles figurent les quantificateurs ∀ (quan-tificateur universel) et ∃ (quantificateur existentiel). Nous allons essayer de preciser les regles d’ecriturede ces expressions, en partant d’un exemple : soit (un)n≥0 une suite reelle, et ℓ un nombre reel, nousconsiderons la formule quantifiee disant que la suite (un)n≥0 converge vers le nombre ℓ :

(∀ε ∈ R∗+) (∃q ∈ N) (∀n ∈ N) ((n ≥ q) ⇒ (|un − ℓ| < ε)) . (1)

Objets et signes mathematiques qui interviennent

En dehors des parentheses qui ne servent qu’a separer les differentes parties de la formule, (et que l’onpourra omettre en partie pour alleger l’ecriture), les objets et signes mathematiques intervenant danscette formule sont de deux sortes :– ceux qui ont un sens en dehors de la formule : les objets ou les signes universels : R∗

+, N, ⇒, ∈, ∀, ∃,mais aussi ceux qui sont donnes par le contexte : un, ℓ (il s’agit ici de dire que la suite (un)n≥0 convergevers le nombre ℓ, donc un et ℓ sont des objets qui ont un sens en dehors de la formule).

– ceux qui, une fois extraits de la formule, n’ont pas de signification en soi. En mathematiques on les dit“muets”, mais on emploie actuellement plutot le vocabulaire de l’informatique, en disant que ce sontdes “variables locales”. Il y en a trois dans la formule (1) : ε, q et n.

Les variables qui ont un sens en dehors de la formule ne peuvent changer de nom, tandis que l’on peutmodifier comme on veut les noms des variables locales (tout du moins en ne donnant pas le meme noma deux variables differentes).

Les formules

(∀α ∈ R∗+) (∃q ∈ N) (∀n ∈ N) ((n ≥ q) ⇒ (|un − ℓ| < α)) (2)

(∀ε ∈ R∗+) (∃r ∈ N) (∀p ∈ N) ((p ≥ r) ⇒ (|up − ℓ| < ε)) (3)

ont exactement la meme signification que (1).

Bien evidemment, la nature d’une variable peut changer suivant l’expression. Par exemple, une suite(un)n≥0 etant donnee, dans la formule

(∃ℓ ∈ R) (∀ε ∈ R∗+) (∃q ∈ N) (∀n ∈ N) ((n ≥ q) ⇒ (|un − ℓ| < ε)) , (4)

28

ℓ est maintenant une variable locale. Cette formule signifie, qu’il existe ℓ tel que la suite (un)n≥0, convergevers ℓ, c’est-a-dire que la suite est convergente.

Role des quantificateurs

Les quantificateurs servent a introduire les variables locales. En utilisant le langage des informaticiens,on dirait plutot qu’ils servent a “declarer les variables locales”.

Toute variable locale doit etre declaree par l’un des quantificateurs ∀, ∃. Elle doit etre declaree unefois et une seule, elle doit l’etre avant d’etre utilisee.

C’est ce qui est fait dans la formule (1) : le nombre ε, apparaıt pour la premiere fois a la suite d’un∀, l’entier q a la suite d’un ∃, etc... Mais une formule comme la suivante (ou (un)n≥0 est une donneeexterieure a la formule),

(∀ε ∈ R∗+) (∃q ∈ N) (∀n ∈ N) ((n ≥ q) ⇒ (|un − up| < ε)) , (5)

est “grammaticalement incorrecte”, car p n’est pas declaree. Elle n’est ni vraie, ni fausse. C’est uneexpression qui n’a pas de sens. De meme pour

(∃q ∈ N) (∀n ∈ N) ((n ≥ q) ⇒ (|un − ℓ| < ε)) (∀ε ∈ R∗+) , (6)

car on a utilise ε avant de l’avoir defini.

On prendra garde que dans le langage habituel, le quantificateur “quel que soit” est souvent mis en finde phrase. Par exemple, on demontre que f(u) ≤ 2, et on termine la demonstration par “et ceci quel quesoit u”. Il faut avoir conscience qu’une telle attitude est incorrecte, puisque le nombre u a certainementdeja ete ecrit au cours de la demonstration, sans avoir ete declare.

Les sous-entendus

Nous cherchons a donner aux formules le maximum de precision, mais la precision absolue alourdit lesformules, c’est pourquoi dans ces ecritures, il reste toujours un certains nombres de sous-entendus. Parexemple on peut ecrire (1) sous la forme

(∀ε > 0) (∃q ∈ N) (∀n ∈ N) ((n ≥ q) ⇒ (|un − ℓ| < ε)) , (7)

en sous-entendant que ε est reel, ou encore

(∀ε > 0) (∃q ∈ N) (∀n ≥ q)(|un − ℓ| < ε) , (8)

en sous-entendant que n est entier.

Les quantificateurs dans le langage non formalise

Dans les mathematiques que vous avez etudiees jusqu’en Terminale, vous n’avez guere vu apparaıtre lesquantificateurs (si ce n’est a titre d’abreviation). On s’est en effet toujours efforce d’ecrire des phrasesfrancaises plutot que des expressions formalisees.

29

On reconnaıt evidemment “quel que soit”, dans les expressions comme “pour tout x”, “tous les x”, “les xtels que” , mais aussi, dans une demonstration par exemple, “soit x tel que”, “considerons un x tel que”,“choisissons x tel que”.

Pour illustrer cette seconde situation, considerons la recherche des solutions reelles de l’equation x =√

2 − x.On peut commencer la resolution en disant :soit x un reel tel que, x =

√2 − x, en elevant au carre, on a encore x2 = 2− x, et cette derniere equation

a comme solutions 1 et −2.On a donc demontre de cette maniere que “quel que soit x reel solution de l’equation x =

√2 − x, ce

nombre appartient a l’ensemble 1,−2”.

Il faut voir la conjonction d’un “quel que soit” et d’une tournure negative dans “aucun x”, “il n’existepas de x”.Par exemple “aucun nombre reel n’est solution de l’equation

√x+ 1 = −1” signifie “quel que soit le

nombre reel x, on n’a pas√x+ 1 = −1”.

On reconnaıt “il existe”, dans “il y a”, “on peut trouver”.

Les articles “un”, “une”, “des” peuvent avoir dans une meme phrase valeur de quantificateur existentielou universel suivant les cas.

Par exemple dans la phrase : “les hauteurs d’un triangle ont un point commun”, le “un” de “un triangle”traduit un ∀, alors que le “un” de “un point commun” traduit un ∃. La phrase pouvant s’ecrire :“quel que soit le triangle, il existe un point qui est commun aux hauteurs de ce triangle”.

De meme dans des phrases d’apparences voisines, les articles peuvent avoir des significations differentes :“une suite non stationnaire de nombres entiers ne converge pas” signifie : “quel que soit la suite nonstationnaire de nombres entiers, elle ne converge pas”alors que“une suite bornee ne converge pas necessairement” signifie : “il existe une suite bornee qui ne converge pas”

On se souviendra que, au cours d’une demonstration, la recherche des quantificateurs caches, est souventune facon de mieux comprendre ce que l’on fait.

Le role de la place des quantificateurs

Une suite (un)n≥0 etant donnee, considerons la formule suivante

(∃p ∈ N) (∀n ∈ N) (up+n = 0) . (9)

qui signifie que tous les termes de la suite (un)n≥0 sont nuls a partir d’un certain rang.

Si l’on permute les quantificateurs, on obtient la formule suivante

(∀n ∈ N) (∃p ∈ N) (up+n = 0) . (10)

ici l’indice p depend du nombre n, on trouve donc des termes nuls d’indice aussi grand que l’on veut. Laformule signifie que la suite (un)n≥0 possede une suite extraite identiquement nulle.

L’ordre des quantificateurs a donc une importance dans la signification de ce que l’on ecrit.

On voit sur cet exemple que la propriete (9) implique la propriete (10). (Une suite nulle a partir d’uncertain rang possede bien une suite extraite identiquement nulle).

30

Cela illustre le premier principe d’echange :

Si l’on remplace (∃B) (∀A) par (∀A) (∃B), on obtient une propriete moins contraignante. C’est-a-dire,si P (A,B) designe une propriete dependant de A et de B :si ((∃B) (∀A) (P (A,B))) est verifiee, alors ((∀A) (∃B) (P (A,B))) l’est aussi.

Enfin, on retiendra que dans toute expression du type (∀A) (∃B), l’element B depend de A, ce que l’onpourra indiquer, lorsque cela sera utile, en notant (∀A) (∃BA).

En revanche,

on ne change pas la signification d’une expression quantifiee, en permutant deux quantificateurs voisinsidentiques.

C’est le second principe d’echange.

Par exemple (∀A) (∀B) et (∀B) (∀A) ont la meme signification (ce que l’on ecrira souvent (∀A et B) ou(∀(A,B)) ).

La negation d’une formule

Un peu de calcul propositionnel

A ce stade il nous faut indiquer brievement les regles de calcul utilisant les connecteurs logiques “et”,“ou”, “non” , “⇒”,et “ ⇐⇒ ” (on note habituellement les trois premiers ∧, ∨ et ¬ respectivement, maisnous garderons la notation “en toutes lettres” pour plus de facilite).

Designons par P et Q deux proprietes.– la propriete (P et Q) est vraie si et seulement si les proprietes P et Q sont vraies.

– la propriete (P ou Q) est vraie si et seulement si au moins une des deux proprietes P ou Q est vraie.

– la propriete non(P ) est vraie si et seulement si la propriete P est fausse.La propriete (P ⇒ Q) n’est en fait qu’une abreviation de la propriete (non(P ) ou Q). En effet, elleexprime que si P est vraie alors Q est vraie, ce qui se produit dans les deux cas suivants : ou Q est vraie,ou P est fausse. On remarquera que, de ce point de vue les trois proprietes

((10 ≤ 2) ⇒ (0 = 3)) , ((10 ≤ 2) ⇒ (0 ≤ 3)) , ((10 ≥ 2) ⇒ (0 ≤ 3))

sont vraies, alors que

(10 ≥ 2) ⇒ (0 = 3)

est fausse.

On peut remarquer egalement en raison de la symetrie du “ou” et du fait que Q est logiquementequivalent a (non(non Q)), que la propriete (P ⇒ Q) est encore logiquement equivalente a la propriete(non(Q) ⇒ non(P )) qui est la contraposee de (P ⇒ Q).

31

Quant a la propriete (P ⇐⇒ Q), c’est en fait une abreviation de ((P ⇒ Q) et (Q⇒ P )). Cette proprieteest vraie si et seulement si P et Q sont vraies simultanement ou fausses simultanement.

Etudions maintenant les effets d’une negation. Tout d’abord il est clair que non(non(P )) est logiquementequivalente a P .

Dire que la propriete (non(P et Q)) est vraie, c’est dire que les proprietes P et Q ne sont pas vraies enmeme temps, c’est donc dire encore qu’une des proprietes P ou Q est fausse. Les proprietes (non(P et Q))et (non(P ) ou non(Q)) sont donc logiquement equivalentes, et de maniere symetrique, les proprietes(non(P ou Q)) et (non(P ) et non(Q)) sont egalement logiquement equivalentes.

En particulier,

les proprietes (non(P ⇒ Q)), et (P et non(Q)) sont logiquement equivalentes.

(Puisque la premiere s’ecrit (non(non(P ) ou Q))) .

Remarque : les connecteurs “et” et “non”, suffisent a definir tous les autres puisque, en utilisant les reglesci-dessus, les proprietes (P ou Q) et (non(non(P ) et non(Q))) sont logiquement equivalentes.

La negation d’une formule quantifiee

Il est clair que pour nier “(∃A) tel que la propriete P (A) soit vraie”, on va ecrire “(∀A) la propriete P (A)est fausse”. De meme pour nier “(∀A) la propriete P (A) est vraie”, on va ecrire “(∃A) tel que la proprieteP (A) soit fausse”.Cela permet de nier facilement une formule quantifiee, en remplacant ∀ par ∃ et ∃ par ∀ partout ou l’onen trouve, et en niant la formule finale.

Par exemple, si l’on veut nier la propriete (10)

(∀n ∈ N) (∃p ∈ N) (up+n = 0) ,

on obtiendra(∃n ∈ N) (∀p ∈ N) (up+n 6= 0) . (11)

(On ne peut pas extraire une suite identiquement nulle de la suite (un)n≥0, c’est-a-dire, l’ensemble destermes nuls de la suite est fini).

Si l’on veut nier la formule (1)

(∀ε ∈ R∗+) (∃q ∈ N) (∀n ∈ N) ((n ≥ q) ⇒ (|un − ℓ| < ε)) .

on obtient(∃ε ∈ R∗

+) (∀q ∈ N) (∃n ∈ N) ((n ≥ q) et (|un − ℓ| ≥ ε)) . (12)

ce qui signifie que la suite (un)n≥0 ne converge pas vers le nombre ℓ.

On remarquera d’ailleurs qu’il est plus facile de nier (8) qui a la meme signification que (1) avec dessous-entendus. La negation de

(∀ε > 0) (∃q ∈ N) (∀n ≥ q)(|un − ℓ| < ε) ,

donne

32

(∃ε ∈ R∗+) (∀q ∈ N) (∃n ≥ q)(|un − ℓ| ≥ ε) , (13)

Remarquons enfin que, lorsque l’on a du mal a trouver la signification d’une formule quantifiee on asouvent interet a chercher celle de sa negation.

La non-unicite d’une formule quantifiee traduisant une propriete

Nous avons deja vu plusieurs formules quantifiees traduisant la meme propriete, lorsque l’on fait des sous-entendus. Il faut remarquer, que dans certains cas l’on peut modifier certains parametres de la formulesans en changer la signification.

Reprenons notre formule (1). Si l’on remplace l’inegalite stricte par une inegalite large, on obtient

(∀ε ∈ R∗+) (∃q ∈ N) (∀n ∈ N) ((n ≥ q) ⇒ (|un − ℓ| ≤ ε)) . (14)

qui a la meme signification que (1). Il est clair en effet que (1) implique (14). Mais reciproquement si (14)est verifiee, en l’appliquant a ε/2 en en deduit que (1) est egalement verifiee, puisque ε/2 < ε.

On pourrait aussi remplacer n ≥ q par n > q, demander a ce que ε appartienne a ] 0, 1 ] au lieu de R∗+

etc... Par contre si l’on remplace la condition ε ∈ R∗+ par ε ≥ 0, on obtient une condition bien plus forte,

puisqu’elle impose en particulier, en prenant ε = 0, que, si n ≥ q, on ait un = ℓ, c’est-a-dire que la suitesoit stationnaire.

De meme la propriete (9)(∃p ∈ N) (∀n ∈ N) (up+n = 0) ,

peut se formuler de la maniere suivante :

(∃p ∈ N) (∀m ∈ N) ((m ≥ p) ⇒ (um = 0)) . (15)

Il s’agit ici d’un simple changement d’indice, en posant m = p+ n.

33

Chapitre 2

COMPORTEMENTS

ASYMPTOTIQUES DES

FONCTIONS

35

1. Comportement asymptotique a l’infini des fonctions numeriquesd’une variable reelle

Nous nous limiterons a l’etude du comportement asymptotique en +∞. Un bon exercice consiste a re-prendre tout ce qui suit en −∞.

1.1. Limite d’une fonction en +∞

Les fonctions a valeurs dans R, dont on desire etudier le comportement a +∞ sont, bien sur, definies auvoisinage de +∞ , c’est-a-dire sur une partie D de R contenant un intervalle du type [ a, +∞ [ .

Comme pour les suites, les definitions donnees en terminale avec des intervalles peuvent se traduire sousforme de formules quantifiees.

On dit que f admet +∞ (respectivement −∞) pour limite en +∞ si et seulement si

(∀A ∈ R) (∃B ∈ R) (∀x ∈ D) ((x ≥ B) ⇒ (f(x) ≥ A))

(respectivement(∀A ∈ R) (∃B ∈ R) (∀x ∈ D) ((x ≥ B) ⇒ (f(x) ≤ A)) ).

Soit ℓ ∈ R. On dit que f admet ℓ pour limite en +∞ si et seulement si

(∀ε ∈ R∗+) (∃B ∈ R) (∀x ∈ D) ((x ≥ B) ⇒ (|f(x) − ℓ| < ε)) ,

ce que l’on ecrit volontiers, de facon un peu moins rigoureuse mais plus lisible, sous la forme :

(∀ε > 0) (∃B ∈ R) (∀x ≥ B)(|f(x) − ℓ| < ε) .

Cette limite est unique et l’on ecrira limx→+∞

f(x) = ℓ.

On concoit bien que ces definitions ne font que generaliser, a la variable reelle, les concepts qui ont ete misen place au paragraphe precedent, dans le cadre des suites, c’est-a-dire des fonctions d’une variable entiere.

L’expression “a partir d’un certain rang” propre a l’etude du comportement des suites, se change, dans lecadre des fonctions etudiees en +∞, en l’expression “au voisinage de +∞” qui signifie que la propriete quiprecede cette expression est verifiee sur un intervalle du type [x0, +∞ [ . A ceci pres, reste donc valablela quasi totalite des resultats enonces au premier paragraphe, en particulier ceux concernant limites etoperations algebriques.

Signalons cependant que, si une suite bornee a partir d’un certain rang est en fait bornee, il n’en estpas de meme pour une fonction (par exemple, la fonction f definie sur D = ] 0, +∞ [ par f(x) = 1/xest bornee au voisinage de +∞ mais non sur D ) de sorte que l’enonce sur le caractere borne des suitesconvergentes devient :si la fonction f admet une limite finie ℓ en +∞, elle est bornee au voisinage de +∞, c’est-a-dire

(∃M ∈ R) (∃A ∈ R) (∀x ∈ D)((x ≥ A) ⇒ (|f(x)| ≤M)) .

Rappelons egalement qu’une fonction f definie sur une partie D de R est dite croissante (respectivementstrictement croissante), si, quels que soient x et y dans D, l’inegalite x < y implique f(x) ≤ f(y)(resp. f(x) < f(y)) et decroissante (respectivement strictement decroissante), si, quels que soient xet y dans D, l’inegalite x < y implique f(x) ≥ f(y) (resp. f(x) > f(y)).

37

1.2. Comportement en +∞ des fonctions monotones

Si la fonction f est croissante et non majoree au voisinage de +∞, elle admet +∞ pour limite en +∞.Si f est croissante et majoree au voisinage de +∞, elle admet une limite finie ℓ en +∞.

Demontrons la deuxieme propriete, la premiere etant laissee en exercice.

Supposons que f soit croissante et majoree au voisinage de +∞. Il existe deux reels A et M telsque, pour tout x ≥ A, on ait f(x) ≤ M . Considerons la suite u definie, si n ≥ A, par un = f(n).Puisque n ≤ n+1, on deduit de la croissance de f que f(n) ≤ f(n+1), et la suite u est croissante.Elle est aussi majoree par M . On sait que, dans ce cas, la suite u converge et que sa limite ℓ estun majorant de u. Soit alors ε > 0. Il existe un entier p > A, tel que, pour tout n ≥ p, on ait

0 ≤ ℓ − f(n) = |f(n) − ℓ| < ε .

Si x ≥ p, soit n un entier plus grand que x, on a donc

p ≤ x ≤ n ,

et puisque f est croissantef(p) ≤ f(x) ≤ f(n) .

Alors0 ≤ ℓ − f(n) ≤ ℓ − f(x) ≤ ℓ − f(p) < ε .

On en deduit que, si x ≥ p,ℓ − f(x) = |f(x) − ℓ| < ε ,

ce qui montre que f admet pour limite ℓ en +∞.

1.3. Comportement en +∞ des fonctions usuelles

limx→+∞

lnx = +∞ et limx→+∞

expx = +∞

limx→+∞

xα =

+∞ si α > 00 si α < 0

.

limx→+∞

ax =

+∞ si a > 10 si 0 < a < 1

On retiendra aussi que pour α > 0 et a > 1, limx→+∞

lnx

xα= 0 et lim

x→+∞

xα

ax= 0.

La relation d’equivalence asymptotique en +∞ se definit de la meme maniere que pour les suites : soientf et g deux fonctions definies sur un intervalle [ a, +∞ [ . On dira que f est equivalente a g en +∞,ou au voisinage de +∞, et l’on notera f ∼

+∞g ou, par abus de notation, f(x) ∼

+∞g(x), s’il existe une

fonction ε definie sur [ a, +∞ [ admettant 1 pour limite en +∞, et un nombre reel A > a tels que, pourtout x de [A, +∞ [ on ait

f(x) = ε(x) g(x) .

Les proprietes sont les memes que pour les suites.

On retiendra que toute fonction polynome non identiquement nulle est equivalente en +∞ a son monomede plus haut degre.

38

2. Comportement asymptotique en un point a de R des fonctionsnumeriques d’une variable reelle

Les fonctions dont on desire ici etudier le comportement en un point a de R sont supposees definies presde a, c’est-a-dire sur une partie D de R contenant un ensemble du type ] a− r, a [∪ ] a, a+ r [ ou r estun nombre reel strictement positif.

2.1. Limite d’une fonction en un point a

Ceci etant, on passe de la notion de limite en +∞ vue au paragraphe precedent, a celle de limite en a dela facon suivante : on dit que

f admet +∞ pour limite en a, si et seulement si

(∀A ∈ R) (∃α > 0) (∀x ∈ D) ((0 < |x− a| < α) ⇒ (f(x) ≥ A))

f admet −∞ pour limite en a, si et seulement si

(∀A ∈ R) (∃α > 0) (∀x ∈ D) ((0 < |x− a| < α) ⇒ (f(x) ≤ A))

f admet ℓ pour limite en a, si et seulement si

(∀ε > 0) (∃α > 0) (∀x ∈ D) ((0 < |x− a| < α) ⇒ (|f(x) − ℓ| < ε) .

On dit que f admet une limite dans R en a si l’on est dans l’un des trois cas precedents. Cette limite estalors unique et se note lim

x 7→a

x 6=a

f(x).

On remarquera que meme si D contient a, on ne prend en compte, dans cette definition, que les valeursde f pour x 6= a. Cette notion de limite est encore appelee limite epointee en a.

On definit aussi, pourvu que D contienne un intervalle du type ] a, a+ r [ (resp. ] a− r, a [ ) les notionsde limite a droite et a gauche en a, en remplacant simplement dans les definitions precedentes la condi-tion 0 < |x − a| < α par la condition a < x < a + α pour la notion de limite a droite et a− α < x < apour la notion de limite a gauche. Ces limites, lorsqu’elles existent, sont notees,

pour la limite a droite : limx 7→a

x>a

f(x) ou limx 7→a+

f(x) ,

pour la limite a gauche : limx 7→ax<a

f(x) ou limx 7→a−

f(x).

Il est immediat de verifier que si D contient un ensemble du type ] a− r, a [∪ ] a, a+ r [ , la fonction fadmet ℓ ∈ R pour limite si et seulement elle admet ℓ pour limite a gauche et a droite en a.

On imagine sans peine que tous les resultats vus aux paragraphes precedents concernant limites etoperations algebriques, limites et ordre se transferent a l’etude du comportement asymptotique d’unefonction en un point a a distance finie.

En ce qui concerne la relation d’equivalence asymptotique en a, que l’on notera f ∼ag, ou par abus de

notation f(x) ∼ag(x), on retiendra comme exemple important qu’une fonction polynome non identique-

ment nulle, est equivalente en zero a son monome de plus bas degre.

On se rappellera que, quel que soit α > 0,

limx→0+

xα lnx = 0

39

2.2. Limites et fonctions composees

Soit a dans R.Soit f une fonction definie pres de a sur un domaine D, admettant en a une limite ℓ ∈ R.Soit g une fonction definie pres de ℓ sur un domaine ∆ contenant f(D), admettant en ℓ une limiteL ∈ R.On suppose de plus que si ℓ ∈ f(D), on a g(ℓ) = L.Alors g f admet L pour limite en a.

Nous demontrons ce resultat lorsque a, ℓ et L sont finis.

Soit ε > 0. Puisque g admet pour limite L en ℓ, il existe α > 0, tel que, pour tout t de ∆ verifiant0 < |t − ℓ| < α, on ait

|g(t) − L| < ε .

Mais f admet pour limite ℓ en a, donc il existe β > 0 tel que pour tout x de D, verifiant0 < |x − a| < β, on ait

|f(x) − ℓ| < α .

Alors on en deduit que, si f(x) 6= ℓ

|g(f(x)) − L| < ε ,

ce qui reste vrai si f(x) = ℓ, puisqu’alors |g(f(x)) − L| = 0.

2.3. Limites et fonctions monotones

Soit I un intervalle d’extremites a et b (a < b) finies ou non. Une fonction croissante sur I admet– une limite finie a gauche et une limite finie a droite (qui peuvent etre differentes), en tout point

de

I ;– une limite a droite en a : cette limite est finie si f est minoree sur I (en particulier si a appartient

a I) et vaut −∞ sinon ;– une limite a gauche en b : cette limite est finie si f est majoree sur I (en particulier si b appartient

a I) et vaut +∞ sinon.

Soit x0 un point de I \ a. Nous montrons l’existence d’une limite a gauche en x0.

Soit u la suite definie pour n ∈ N∗ par un = x0 − 1/n. Cette suite est strictement croissante etadmet pour limite x0. Puisque x0 > a, la suite prend ses valeurs dans l’intervalle I a partir d’uncertain rang N , et l’on a, pour tout entier n ≥ N , les inegalites

un ≤ un+1 ≤ x0 .

Alors, puisque f est croissante, on en deduit que

f(un) ≤ f(un+1) ≤ f(x0) ,

et la suite (f(un))n≥N est croissante et majoree. Elle converge donc vers une limite ℓ qui la majore.

On va montrer que la fonction f admet ℓ pour limite a gauche en x0. Soit ε > 0. Puisque la suite(f(un)) converge vers ℓ, il existe un entier q ≥ N , tel que,

ℓ − ε < f(uq) ≤ ℓ .

40

Soit alors un nombre x tel que uq < x < x0. Puisque u converge vers x0, il existe un entier p telque x < up < x0. Alors, en utilisant la croissance de f , on obtient

f(uq) ≤ f(x) ≤ f(up) .

Mais on sait que f(uq) > ℓ − ε et f(up) ≤ ℓ. On en deduit que pour tout nombre x de l’intervalle] x0 − 1/q, x0 [ , on a donc

ℓ − ε < f(x) ≤ ℓ ,

et f admet ℓ comme limite en x0.

Si x0 = b est fini mais n’est pas dans I , et si f est majoree, la demonstration precedente restevalable, en remplacant f(x0) par un majorant M de f . On adapte facilement la demonstrationau cas ou x0 = +∞ et ou f est majoree, ce qui donne encore une limite finie, et au cas ou x0

n’appartient pas a I et ou f n’est pas majoree, ce qui donnera une limite infinie

On aura egalement des demonstrations analogues pour les limites a droite.

Remarque : si f est decroissante, −f est croissante, et les resultats precedents se traduisent facilementpour des fonctions decroissantes.

2.4. Caracterisation sequentielle de la limite

On peut caracteriser l’existence d’une limite a l’aide des suites.

Soit une fonction f definie sur un ensemble D de R contenant un ensemble du type] a− r, a [∪ ] a, a+ r [ ou r est un nombre reel strictement positif, et ℓ dans R. Les proprietes suivantessont equivalentes :A : la fonction f admet ℓ pour limite en a,B : pour toute suite u a valeurs dans D−a admettant a pour limite, la suite (f(un)) admet ℓ pourlimite.

Effectuons la demonstration dans le cas d’une limite finie. Nous avons a demontrer l’equivalencede deux proprietes.

Demontrons tout d’abord que A implique B. On suppose donc que f admet ℓ pour limite en a.Soit ε > 0. Il existe α > 0, tel que, si x est un point de D verifiant 0 < |x − a| < α, alors

|f(x) − ℓ| < ε .

Si u prend ses valeurs dans D − a et admet a pour limite, il existe un entier p, tel que, pourtout n ≥ p,

0 < |un − a| < α .

On deduit alors des inegalites precedentes que, si n ≥ p,

|f(un) − ℓ| < ε ,

ce qui montre que la suite (f(un)) tend vers ℓ.

Demontrons maintenant que B implique A, en raisonnant par l’absurde.

On suppose que f n’admet pas ℓ pour limite. Ecrivons la formule quantifiee donnant cette propriete

(∃ε > 0) (∀α > 0) (∃x ∈ D) ((0 < |x − a| < α) et (|f(x) − ℓ| ≥ ε)) .

41

Pour un tel ε, et pour tout n ∈ N∗, notons un une valeur de x correspondant a la valeur α = 1/ndans la formule quantifiee precedente. On a donc d’une part

0 < |un − a| <1

n,

et il resulte du theoreme d’encadrement que la suite u, qui prend ses valeurs dans D−a, admeta pour limite, mais d’autre part

|f(un) − ℓ| ≥ ε ,

et la suite (f(un) − ℓ) ne peut admettre zero pour limite, donc la suite (f(un)) ne peut admettreℓ pour limite ce qui contredit la propriete B.

On pourra verifier que ce qui precede s’applique egalement lorsque a est infini.

Remarque : le resultat precedent donne une condition suffisante pour montrer qu’une fonction n’admetpas de limite en a : si l’on trouve deux suites u et v prenant leurs valeurs dans l’ensemble D − a etadmettant a pour limite, telles que les suites (f(un)) et (f(vn)) admettent des limites ℓ et ℓ′ distinctes,alors f n’admet pas de limite en a. On montre ainsi, par exemple, que la fonction x 7→ sin(1/x), n’admetpas de limite en 0, en considerant les deux suites u et v definies par

un =1

nπet vn =

1π2 + 2nπ

.

Elles ont bien pour limite 0, mais, pour tout n ∈ N∗, on a f(un) = 0 et f(vn) = 1.

Cette caracterisation sequentielle permet de donner pour les fonctions un critere permettant de demontrerqu’une limite existe, sans en connaıtre sa valeur a priori :

Critere de Cauchy.a) en un point fini a : soit une fonction f definie sur un ensemble D de R contenant un ensembledu type ] a− r, a [∪ ] a, a+ r [ ou r est un nombre reel strictement positif, alors f admet une limitefinie en a si et seulement si, pour tout ε > 0, il existe α > 0 tel que, quels que soient x et x’ dans] a− α, a [∪ ] a, a+ α [ on ait

|f(x) − f(x′)| < ε .

b) a l’infini : soit une fonction f definie sur un ensemble D de R contenant un ensemble du type] a, +∞ [ , alors f admet une limite finie en +∞ si et seulement si, pour tout ε > 0, il existe A tel que,quels que soient x et x’ dans D verifiant A < x < x′, on ait

|f(x) − f(x′)| < ε .

(On peut ecrire un critere analogue a −∞).

Demontrons le a), le b) etant laisse en exercice.

Supposons que f admette une limite ℓ en a. Alors pour tout ε > 0, il existe α > 0 tel que, si

0 < |x − a| < α, on ait |f(x) − ℓ| <ε

2. Alors, si x et x′ sont dans ] a − α, a [∪ ] a, a + α [ , on a

0 < |x − a| < α et 0 < |x′ − a| < α ,

donc|f(x) − ℓ| <

ε

2et |f(x′) − ℓ| <

ε

2,

et finalement|f(x) − f(x′)| ≤ |f(x) − ℓ| + |f(x′) − ℓ| <

ε

2+

ε

2= ε .

42

Reciproquement, supposons que f verifie le critere de Cauchy. Donc pour tout ε > 0, il existeα > 0 tel que, quels que soient x et x’ dans ] a − α, a [∪ ] a, a + α [ on ait

|f(x) − f(x′)| < ε .

Soit (un) une suite de points de D − a qui converge vers a. Il existe N , tel que n ≥ N implique

0 < |un − a| < α .

Donc, quels que soient n et m verifiant N ≤ n < m, on a

|f(un) − f(um)| < ε .

Il en resulte que la suite (f(un)) est une suite de Cauchy. Elle est donc convergente. Soit ℓ salimite. Il s’agit de voir que cette limite ne depend pas de la suite (un) choisie.

Soit (vn) une autre suite de points de D−a qui converge vers a, alors (f(vn)) converge vers unelimite ℓ′. Soit alors wn la suite telle que, pour tout entier n ≥ 0, on ait w2n = un et w2n+1 = vn.Alors la suite (wn) converge aussi vers a, et donc (f(wn)) posede une limite. Mais (f(un)) et(f(vn)) sont deux suites extraites de (f(wn)) et ont la meme limite. Il en resulte que ℓ = ℓ′. Donc,il existe un nombre ℓ, tel que, pour toute suite (vn) de points de D − a qui converge vers a, lasuite (f(vn)) converge vers ℓ. D’apres la caracterisation sequentielle de la limite, cela signifie quef admet pour limite ℓ.

43

TABLEAU DES LIMITES D’UNE FONCTION f

x→ a− x→ a+ x→ a x→ −∞ x→ +∞

∀ε > 0 ∀ε > 0 ∀ε > 0 ∀ε > 0 ∀ε > 0f(x) → ℓ ∃α > 0 ∃α > 0 ∃α > 0 ∃B ∈ R ∃B ∈ R

∀x, 0 < a− x < α ∀x, 0 < x− a < α ∀x, 0 < |x− a| < α ∀x, x < B ∀x, x > B|f(x) − ℓ| < ε |f(x) − ℓ| < ε |f(x) − ℓ| < ε |f(x) − ℓ| < ε |f(x) − ℓ| < ε

∀A ∈ R ∀A ∈ R ∀A ∈ R ∀A ∈ R ∀A ∈ Rf(x) → −∞ ∃α > 0 ∃α > 0 ∃α > 0 ∃B ∈ R ∃B ∈ R

∀x, 0 < a− x < α ∀x, 0 < x− a < α ∀x, 0 < |x− a| < α ∀x, x < B ∀x, x > Bf(x) < A f(x) < A f(x) < A f(x) < A f(x) < A

∀A ∈ R ∀A ∈ R ∀A ∈ R ∀A ∈ R ∀A ∈ Rf(x) → +∞ ∃α > 0 ∃α > 0 ∃α > 0 ∃B ∈ R ∃B ∈ R

∀x, 0 < a− x < α ∀x, 0 < x− a < α ∀x, 0 < |x− a| < α ∀x, x < B ∀x, x > Bf(x) > A f(x) > A f(x) > A f(x) > A f(x) > A

Remarque : “∀x” signifie “∀x ∈ D”, ou D est le domaine de definition de f

3. Developpement limite d’une fonction en un point a de R

3.1. Definition d’un developpement limite en un point

Dans cette partie, nous considerons une application numerique f definie pres de a, c’est-a-dire sur unepartie D de R contenant un ensemble du type ] a− r, a [∪ ] a, a+ r [ ou r est un nombre reel strictementpositif. (On peut aussi se limiter a un seul des deux intervalles ] a− r, a [ ou ] a, a+ r [ ). L’ensemble Dne contient pas necessairement a.

Soit n un entier naturel. On dit que f admet un developpement limite d’ordre n en a ou auvoisinage de a (en abrege d.l. n en a), si et seulement si, il existe n + 1 reels a0, a1, . . . , an, et unefonction numerique ε, definie sur D, de limite nulle en a, tels que, pour tout x de D,

f(x) =

n∑

k=0

ak(x − a)k + (x− a)nε(x) .

La fonction polynome qui a tout x associen∑

k=0

ak(x − a)k sera appelee la partie reguliere de f , notee

Regn f . Quant a la fonction qui a x associe (x − a)nε(x), nous dirons, puisque limx→a

ε(x) = 0 qu’elle est

negligeable devant la fonction qui a x associe (x − a)n et nous utiliserons la notation de LANDAUa((x− a)n), ou plus simplement, lorsqu’il n’y a pas de confusion ((x− a)n), pour la designer. De sorteque nous ecrirons

f(x) =

n∑

k=0

ak(x− a)k + a((x− a)n) .

Nous avons immediatement les proprietes suivantes :

1. Si f admet un d.l. n en a, f possede une limite en a qui vaut a0, et lorsque a appartient a D,a0 = f(a).

2. Si f possede un d.l. n en a, il est unique.

3. Si f possede un d.l. n en a, elle possede, pour tout entier p compris entre 1 et n un d.l. p en a, etRegp f est obtenu en ne gardant que les termes de Regn f de degre plus petits que p.

4. Si f est la fonction polynomiale de degre n

f(x) =n∑

k=0

ak(x− a)k ,

elle admet un d.l. n en a, et Regn f = f .

5. Si a = 0, et si la fonction f possede une parite, alors Regn f possede la meme parite.

6. La fonction f admet un d.l. n en a si et seulement si la fonction g definie pres de 0 par g(h) = f(a+h)admet un d.l. n en 0, et Regn g(h) = Regn f(a+ h).

1. En passant a la limite, l’egalite

f(x) =nX

k=0

ak(x − a)k + a((x − a)n) ,

45

donnelimx→ax 6=a

f(x) = a0 ,

Par ailleurs si a appartient a D, la meme egalite donne f(a) = a0.

2. Si f admet un d.l. n en a, les coefficients a0, a1, . . . , an de la definition sont determines demaniere unique, puisque l’on a necessairement, pour tout k de 0 a n

ak = limx→ax 6=a

f(x) −k−1X

i=0

ai(x − a)i

(x − a)k.

3. On peut ecrire

f(x) =

nX

k=0

ak(x − a)k + ε(x)(x− a)n =

pX

k=0

ak(x − a)k + (x − a)p

0

@

nX

k=p+1

(x − a)k−p + ε(x)

1

A ,

et puisque la fonction qui a x associe

nX

k=p+1

(x − a)k−p + ε(x) admet 0 comme limite en a, on a

donc

f(x) =

pX

k=0

ak(x − a)k + a((x − a)p) .

4. Le resultat est evident en prenant ε = 0.

5. Si f est paire

f(x) =

nX

k=0

akxk + (xn) ,

mais aussi

f(x) = f(−x) =nX

k=0

ak(−1)kxk + (xn) ,

et par unicite du d.l. , on a pour tout entier k compris entre 0 et n

ak = (−1)kak ,

donc si k est impair, on obtient ak = −ak c’est-a-dire ak = 0. Les coefficients impairs de Regn fsont nuls, donc ce polynome est pair. Si f est impaire, c’est-a-dire si f(−x) = −f(x), le memeraisonnement montre que les coefficients pairs sont nuls.

6. Si l’on pose x − a = h, alors

f(x) =nX

k=0

ak(x − a)k + ε(x)(x− a)n =nX

k=0

akhk + ε(a + h)hn = f(a + h) = g(h) ,

doncg(h) = Regn f(a + h) + (hn) .

La derniere propriete montre que l’on peut toujours ramener la recherche d’un d.l. n en a a celle d’und.l. n en 0, et par ailleurs les d.l. usuels (voir partie 3.7.) sont tous en zero, ce qui justifie que l’on selimitera dans la suite, a faire les demonstrations dans le cas a = 0.

En pratique, pour obtenir un d.l. n en a, on posera x = a + h, et l’on cherchera le d.l. n en zero deh 7→ f(a+h). Heureusement, pour la plupart des fonctions classiques, on a une formule simple permettantde ramener f(a+ h) a des fonctions usuelles de la variable h. En voici quelques exemples :

46

ea+h = ea eh

ln(a+ h) = ln a+ ln

(1 +

h

a

)

√a+ h =

√a

√1 +

h

a

sin(a+ h) = sin a cosh+ cos a sinh

Lorsque ce n’est pas le cas il sera parfois possible de passer par l’intermediaire de la derivee (pourarctan(a+ h) par exemple), ou d’utiliser la formule de Taylor-Young que l’on verra plus loin.

3.2. Operations algebriques et developpements limites

Si l’on dispose de deux fonctions f et g possedant des d.l. n en a, et si l’on effectue une operation surces fonctions, les propositions qui suivent nous disent comment obtenir la partie reguliere d’ordre n duresultat en fonction des parties regulieres d’ordre n de f et g. La methode est generale :– on effectue la meme operation sur les parties regulieres que sur les fonctions,– on ne garde dans le resultat que les termes de degre plus petit que n. (On dira que l’on a tronque le

resultat a l’ordre n).

Rappelons que, pour un polynome P , nous notons Troncn(P ), ce qu’il reste de P lorsque l’on oublie lestermes de degre strictement superieur a n.

Soient f et g deux fonctions definies pres de a admettant chacune un d.l. n en a, et λ un nombre reel.Alors :

• f + g admet un d.l. n en a et Regn(f + g) = Regn f + Regn g.• λf admet un d.l. n en a et Regn(λf) = λ Regn f• f × g admet un d.l. n en a et Regn(f × g) = Troncn(Regn f × Regn g).

On se limite a a = 0. On a donc pour tout x d’un intervalle ]−r, 0 [∪ ] 0, r [ ,

f(x) = Regn f(x) + xnε(x) et g(x) = Regn g(x) + xnη(x) ,

ou ε et η sont deux fonctions ayant une limite nulle en 0. Alors, en additionnant ces egalites termea terme, on obtient

(f + g)(x) = (Regn f + Regn g)(x) + xn(ε + η)(x) .

La fonction ε + η a une limite nulle en 0, et Regn f + Regn g est une fonction polynome de degreau plus n. Il resulte de l’unicite des coefficients du d.l. n en 0 que

Regn(f + g) = Regn f + Regn g .

Si l’on multiplie par λ, on obtient immediatement

λf(x) = λ Regn f(x) + xnλε(x),

et la fonction λε a une limite nulle en 0. Par unicite, on en deduit

Regn(λf) = λ Regn f .

47

On a egalement

(f × g)(x) = Regn f(x) × Regn g(x) + xn(ε(x)Regn g(x) + η(x)Regn f(x) + xnε(x)η(x)) .

La fonction polynome Regn f × Regn g est de degre au plus 2n. La difference

Regn f × Regn g − Troncn(Regn f × Regn g)

contient des monomes de degres compris entre n + 1 et 2n. On peut donc ecrire

Regn f(x) × Regn g(x) = Troncn(Regn f(x) × Regn g(x)) + xn+1P (x) ,

ou P est une fonction polynome. Alors

(f×g)(x) = Troncn(Regn f×Regn g)(x)+xn(xP (x)+ε(x)Regn g(x)+η(x)Regn f(x)+xnε(x)η(x)) .

Mais l’application

x 7→ xP (x) + ε(x)Regn g(x) + η(x)Regn f(x) + xnε(x)η(x)

admet 0 pour limite en 0, et Troncn(Regn f ×Regn g) est une fonction polynome de degre au plusn. Par unicite on en deduit alors

Regn(f × g) = Troncn(Regn f × Regn g) .

Remarque : Dans les calculs precedents, la regle veut que, pour obtenir un d.l. n du le produit fg, il faillepartir des d.l. n des deux facteurs f et g. Cependant, on remarquera que si f(x) = xp et si g admet pourd.l. n en 0, g(x) = b0 + b1x+ · · · + bnx

n + xnη(x), on obtient

(fg)(x) = b0xp + b1x

p+1 + · · · + bnxp+n + xp+nη(x) .

et le d.l. de fg est dans ce cas obtenu a l’ordre p + n. Il en resulte que lorsque le terme constant de fou de g est nul, l’ordre du d.l. du produit peut etre plus grand que l’ordre des facteurs. On aura doncinteret (mais ce n’est pas obligatoire) a mettre en facteur dans f et g la puissance xk de plus bas degreavant d’effectuer le produit.

Exemple : si f(x) = x2 + 2x3 + (x3) et g(x) = 2x− x2 + (x2), on obtient en factorisant

f(x)g(x) = [x2(1 + 2x+ (x))][x(2 − x+ (x)] ,

d’ouf(x)g(x) = x3(1 + 2x+ (x))(2 − x+ (x)) .

Mais on peut effectuer le produit (1 + 2x+ (x))(2 − x+ (x)) qui donne un d.l. d’ordre 1

(1 + 2x+ (x))(2 − x+ (x)) = 2 + 3x+ (x) ,

d’ou(fg)(x) = 2x3 + 3x4 + (x4) .

48

3.3. Composition des fonctions et developpements limites

Soit f une fonction definie pres de a sur un domaine I a valeurs dans J et admettant en a un d.l. n

f(x) =

n∑

k=0

ak(x− a)k + a((x − a)n) .

Soit g une fonction definie sur le domaine J contenant un intervalle non vide de la forme] a0 − r, a0 + r [ , admettent en a0 un d.l. d’ordre n.Alors la composee g f admet un d.l. n en a, et Regn(g f) = Troncn(Regn g Regn f).

Lorsque n = 0, le probleme revient a montrer que si f admet comme limite a0 en a et si g admetune limite finie b0 en a0, alors gf admet b0 pour limite en a, ce qui resulte du paragraphe “limiteset fonctions composees”.

Supposons a = 0 et n ≥ 1. Puisque f admet un d.l. n en 0, on a pour tout x de I

f(x) = a0 + a1x + · · · + anxn + xnε(x) ,

ou ε admet une limite nulle en 0. Donc f(x) − a0 = xδ(x) ou δ admet a1 pour limite en 0.

Par ailleurs, pour tout t de J ,

g(t) =nX

k=0

bk(t − a0)k + (t − a0)

nη(t) ,

ou η admet une limite nulle en a0. Donc, si x est dans I ,

g f(x) =nX

k=0

bk(f(x) − a0)k + (f(x) − a0)

nη(f(x)) =nX

k=0

bk(f(x) − a0)k + xnδ(x)nη(f(x)) .

On constate que δn × (η f) admet une limite nulle en 0, donc que la fonction qui a x associexnδ(x)nη(x) est negligeable devant xn et admet un d.l. n en 0 de partie reguliere nulle.

On peut alors appliquer les operations algebriques sur les d.l. : puisque (f − a0)k est un produit

de k fonctions possedant un d.l. n en 0, il en est de meme de g f et

Regn(gf) =

nX

k=0

bk Regn((f−a0)k) =

nX

k=0

bk Troncn[(Regn(f−a0))k] =

nX

k=0

bk Troncn[(Regn f−a0)k] .

Mais l’operation de troncature est lineaire, donc

Regn(g f) = Troncn

nX

k=0

bk(Regn f − a0)k

!

= Troncn(Regn g Regn f) .

Remarque : la recherche du d.l. n de la composee gf de deux fonctions est une des difficultes du calcul ded.l. . En effet, meme si l’on cherche le d.l. n en 0 de g f la limite a0 de f en zero n’est pas necessairementnulle, et l’on a en fait besoin du d.l. n de g en a0. Il ne faudra pas oublier ce probleme dans les calculsde d.l. de composees. En particulier dans ce type de calcul, on commence toujours par ecrire le d.l. de f ,puisque c’est son terme constant a0 qui donnera le point ou il faut ecrire le d.l. de g.

49

3.4. Quotient et developpements limites.

Une deuxieme difficulte des d.l. est la recherche du d.l. d’un quotient de fonctions. Nous allons detaillerce probleme dans ce paragraphe, et donner deux methodes pour obtenir ces d.l. .

Quotient pour lequel le denominateur a une limite non nulle en a.

Soit g une fonction definie pres de a, dont la limite en a n’est pas nulle, et admettant un d.l. n en a.alors 1/g admet un d.l. n en a.

On prend a = 0. On a donc b0 = limx→0

g(x) 6= 0. On peut alors ecrire

1

g(x)=

1

b0

1

1 −„

1 − g(x)

b0

« ,

et si l’on pose

u(x) = 1 − g(x)

b0et v(x) =

1

1 − x,

on a alors1

g=

v u

b0.

La fonction u possede un d.l. n en zero, (operations algebriques sur les d.l. ) et admet une limitenulle en 0.

Il reste a etudier la fonction v, mais en utilisant (si x 6= 1) la somme des termes d’une suitegeometrique

1 + x + · · · + xn =1 − xn+1

1 − x.

on obtient1

1 − x= 1 + x + · · · + xn +

xn+1

1 − x= 1 + x + · · · + xn + (xn) ,

et v possede un d.l. n en 0. On peut donc effectuer la composition des deux d.l. , et l’on obtientbien un d.l. n en zero de 1/g.

En ecrivant f/g = f × (1/g), on en deduit alors le resultat pour le quotient de deux fonctions :

Soient f et g deux fonctions definies pres de a et admettant chacune un d.l. n en a. On suppose deplus que la limite en a de g n’est pas nulle. Alors f/g possede un d.l. n en a.

La demonstration ci-dessus donne une premiere methode pour calculer le d.l. de f/g. En voici unedeuxieme, basee sur le division des polynomes suivant les puissances croissantes. Donnons tout d’abordle resultat suivant sur les polynomes :

Soient U et V deux polynomes, et n dans N. On suppose V (0) 6= 0. Il existe un couple de polynomes(Qn, Rn) et un seul tel que, Qn soit de degre au plus n− 1 et verifiant la relation

U = V Qn +XnRn .

50

Cette propriete se demontre par recurrence sur n.

Si n = 0, le seul polynome dont le degre est inferieur a −1 est le polynome Q0 = 0, et alorsR0 = U . La propriete est donc vraie au rang 0.

Supposons qu’elle soit vraie pour un rang n. On a donc

U = V Qn + XnRn .

avec deg Qn ≤ n − 1, les polynomes etant determines avec unicite. Cherchons a determiner Qn+1

et Rn+1, tels queU = V Qn+1 + Xn+1Rn+1 ,

avec deg Qn+1 ≤ n. Par soustraction on obtient

V (Qn+1 − Qn) + Xn(XRn+1 − Rn) = 0 ,

soitV (Qn+1 − Qn) = Xn(Rn − XRn+1) .

Ce polynome est divisible par Xn, et comme V (0) n’est pas nul, et que Qn+1 − Qn est de degreau plus n, on doit donc avoir

Qn+1 − Qn = λnXn ,

ou λn est un nombre reel. Alors en simplifiant par Xn

λnV = Rn − XRn+1 ,

et en particulierλnV (0) = Rn(0) .

Il en resulte que

Qn+1 = Qn +Rn(0)

V (0)Xn ,

et

XRn+1 = Rn − Rn(0)

V (0)V .

Mais comme le polynome du membre de droite est nul en zero, il est divisible par X et Rn+1 doitetre le quotient de la division de ce polynome par X. Les polynomes Qn+1 et Rn+1 sont determinesde maniere unique, et verifient les relations desirees. On a donc la propriete au rang n + 1.

Il en resulte qu’elle sera vraie quel que soit n ≥ 0.

On voit dans la demonstration precedente que la recherche de Rn+1 a partir de Rn consiste essentielle-ment a faire disparaıtre le terme de plus bas degre de Rn en lui enlevant le produit du diviseur V parun nombre convenable. C’est le principe inverse de celui de la division euclidienne dans laquelle ce sontles termes de plus haut degre qui disparaissent. On pourra presenter la division comme pour la divisioneuclidienne mais en ecrivant cette fois les polynomes suivant les puissances croissantes (d’ou le nom de ladivision).

Le polynome Qn+1 est appele quotient de la division suivant les puissances croissantes a l’ordren de U par V .

On peut alors obtenir le d.l. de f/g :

Soient f et g deux fonctions definies pres de a et admettant chacune un d.l. n en a. On suppose deplus que la limite en a de g n’est pas nulle. Alors f/g possede un d.l. n en a, et Regn(f/g) est lequotient de la division suivant les puissances croissantes a l’ordre n de Regn f par Regn g.

51

On prend a = 0. On a au voisinage de 0

f(x) = Regn f(x) + xnε(x) et g(x) = Regn g(x) + xnη(x) .

ou ε et η admettent une limite nulle en 0.

Si Qn+1 est le quotient de la division suivant les puissances croissantes de Regn f par Regn g al’ordre n, on a aussi

Regn f = (Regn g)Qn+1 + Xn+1Rn+1(X) .

Alors, au voisinage de 0,

f(x) = Regn f(x) + xnε(x) = Regn g(x)Qn+1(x) + xn+1Rn+1(x) + xnε(x) ,

et donc

f(x)

g(x)− Qn+1(x) =

Regn g(x)Qn+1(x) + xn+1Rn+1(x) + xnε(x)

Regn g(x) + xnη(x)− Qn+1(x) ,

ce qui donne apres simplification

f(x)

g(x)− Qn+1(x) = xnα(x) ,

ou l’on a pose

α(x) =ε(x) + xRn+1(x) − Qn+1(x)η(x)

g(x).

Comme α admet une limite nulle en 0, on obtient bien que Regn(f/g) = Qn+1.

La division suivant les puissances croissantes donne donc un moyen tres simple d’obtenir le d.l. d’unquotient, surtout lorsque les termes du denominateur sont nombreux. Dans le calcul on tronquera lesrestes a l’ordre n desire. Bien sur, on peut aussi utiliser cette methode pour le calcul du d.l. de 1/g.

Exemple : On suppose que, en 0, f(x) = 1 − x+ (x2) et g(x) = 1 + x− x2 + (x2). Cherchons le d.l. 2en 0 de f/g.

1 −x 1 +x −x2

−1 −x +x2 1 −2x +3x2

−2x +x2

2x +2x2

3x2

−3x2

0

On a doncf(x)

g(x)= 1 − 2x+ 3x2 + (x2) .

Quotient pour lequel le denominateur a une limite nulle en a.

On prend a = 0. Placons nous dans le cas, ou f et g ont des d.l. n, et ou g a une limite nulle en zero. Ona donc les deux d.l. n suivants :

f(x) = apxp + · · · + anx

n + (xn) et g(x) = bqxq + · · · + bnx

n + (xn) ,

avec ap et bq non nuls. Donc pour le quotient

f(x)

g(x)=apx

p + · · · + anxn + (xn)

bqxq + · · · + bnxn + (xn),

52

et apres simplification par xq,

f(x)

g(x)=apx

p−q + · · · + anxn−q + (xn−q)

bq + · · · + bnxn−q + (xn−q).

On remarque tout d’abord, que, si p < q l’expression ci-dessus a une limite infinie en 0, et donc que f/gn’a pas de d.l. en 0 dans ce cas. On suppose desormais que p ≥ q. Alors, si l’on pose

f1(x) =f(x)

xq= apx

p−q + · · · + anxn−q + (xn−q) et g1(x) =

g(x)

xq= bq + · · · + bnx

n−q + (xn−q) ,

on a f/g = f1/g1. Comme bq n’est pas nul, on est donc ramene a la premiere situation, et f/g admet und.l. en 0 d’ordre n− q. On a donc perdu un ordre q dans le calcul.

En fait le probleme se pose souvent dans l’autre sens : si l’on veut un d.l. en 0 a l’ordre n de f/g, il fautaugmenter l’ordre de depart d’un ordre q.

On retiendra donc la regle suivante :

Si le premier terme non nul d’un d.l. en a de g est de degre q, on obtiendra un d.l. en a d’ordre n dela fonction f/g (s’il existe), en partant des d.l. en a de f et de g a l’ordre n+ q.

Dans ce type de calcul il est donc important de commencer par regarder le denominateur g de la fractionf/g, pour savoir quel est le premier terme non nul.

3.5. Quelques remarques sur les operations sur les developpements limites.

Remarque 1 : On peut retenir une regles simple qui evite beaucoup d’erreurs dans les calculs de d.l. :

dans toutes les operations effectuees sur les fonctions, les d.l. des fonctions f et g seront pris au meme

ordre.

Si l’on a le d.l. de f a l’ordre 3 et celui de g a l’ordre 2, on ne pourra pas obtenir mieux que le d.l. def + g a l’ordre 2.

On pourra utiliser cette regle, y compris dans le cas du produit.

Remarque 2 : Un d.l. n est une egalite a condition d’ecrire le reste :

f(x) = a0 + · · · + anxn + (xn) ,

et l’on peut dans tout calcul remplacer f(x) par a0 + · · · + anxn + (xn), lorsque x est pres de 0.

Par ailleurs c’est le n de (xn) qui indique que l’ordre du d.l. est n. Il est donc important de conserver lereste dans les calculs, surtout s’il y a plusieurs operations en chaine. Il permet de controler l’ordre d’unresultat intermediaire, ce qui est important en particulier pour les quotients.

Remarque 3 : La notation de Landau a(f(x)) pour designer le produit de f(x) par ε(x) ou ε est unefonction de limite nulle en a, permet de ne pas numeroter les restes differents en cours de calcul dans lesd.l. , mais les operations sur ces “ a” ne suivent pas les regles algebriques classiques. Par exemple

a(f(x)) + a(f(x)) = a(f(x)) .

53

Si λ est un nombre reelλ a (f(x)) = a(f(x)) ,

et de maniere generale si g est bornee

g(x) a (f(x)) = a(f(x)) .

De toute maniereg(x) a (f(x)) = a(f(x)g(x)) .

Il faut donc faire attention en les manipulant.

3.6. Primitivation et developpements limites.

Soit f definie sur un intervalle I contenant a, admettant des primitives sur I. Supposons que f admetteun d.l. n en a s’ecrivant

f(x) =

n∑

k=0

ak(x− a)k + ((x− a)n) .

Alors toute primitive F de f admet un d.l. n+ 1 en a, donne par

F (x) = F (a) +

n∑

k=0

ak

k + 1(x− a)k+1 + ((x− a)n+1) .

(Integration terme a terme).

On prend a = 0. On a donc sur I

f(t) =nX

k=0

aktk + tnε(t) ,

ou ε admet 0 pour limite en 0. Soit η > 0. Il existe un intervalle J = ]−α, α [ , tel que, pour toutt de I ∩ J , on ait

|ε(t)| ≤ η .

Soient F une primitive de f sur I , et G definie sur I par

G(t) = F (t) − F (0) −nX

k=0

ak

k + 1tk+1 .

La fonction G est derivable sur I , elle est nulle en zero, et

G′(t) = f(t) −nX

k=0

aktk = tnε(t) .

Alors, si x ∈ I ∩ J , et si t est compris entre 0 et x, on a

|G′(t)| = |t|n|ε(t)| ≤ η |x|n = M ,

soit−M ≤ G′(t) ≤ M .

Si x > 0, d’apres les inegalites de la moyenne, on a

−M ≤ 1

x

xZ

0

G′(t) dt =G(x)

x≤ M ,

54

et si x < 0,

−M ≤ 1

−x

0Z

x

G′(t) dt =−G(x)

−x≤ M .

Donc dans tous les cas

−M ≤ G(x)

x≤ M ,

soit|G(x)| ≤ M |x] ,

et finalement|G(x)| ≤ η|x|n+1 ,

et donc, pour tout x de I ∩ J − 0 ,|G(x)||x|n+1

≤ η .

Cela montre que G(x)/xn+1 admet pour limite 0 en 0, donc que G(x) = (xn+1).

Comme consequence de ce resultat, nous obtenons l’enonce ci-dessous, qui donne une condition suffisanted’existence d’un d.l. n en a.

Formule de TAYLOR-YOUNG

Soient n ∈ N∗ et f une fonction definie sur un intervalle I contenant a. Si f admet des derivees jusqu’al’ordre n sur I, la fonction f admet un d.l. n en a donne par

f(x) =

n∑

k=0

f (k)(a)

k!(x− a)k + ((x− a)n) .

Faisons la demonstration dans le cas ou a = 0. On procede par recurrence. L’hypothese derecurrence est la suivante :

Hn : pour toute fonction f definie sur un intervalle I contenant 0, si f admet des derivees jusqu’al’ordre n sur I , la fonction f admet un d.l. n en 0 donne par

f(x) =nX

k=0

f (k)(0)

k!xk + (xn) .

Verifions la propriete a l’ordre 1. Si f est une fois derivable sur I , alors le rapportf(x) − f(0)

xadmet une limite finie en 0, qui vaut f ′(0). Soit ε definie sur I par

ε(x) =

8

>

<

>

:

f(x) − f(0)

x− f ′(0) si x 6= 0

0 si x = 0 .

Cette fonction admet 0 pour limite en 0, et l’on verifie que, pour tout x de I ,

f(x) = f(0) + xf ′(0) + xε(x) = f(0) + xf ′(0) + (x) ,

ce qui donne bien la propriete H1.

Supposons que la propriete Hn soit vraie. Soit f definie sur un intervalle I contenant 0, et admet-tant des derivees jusqu’a l’ordre n + 1 sur I . Alors g = f ′ est definie sur I et admet des deriveesjusqu’a l’ordre n sur I . On peut appliquer a g l’hypothese de recurrence : la fonction g admet und.l. n en 0, et

g(x) =nX

k=0

g(k)(0)

k!xk + (xn) .

55

Utilisons maintenant la primitivation de ce d.l. . La fonction f possede un d.l. n + 1 en 0 donnepar

f(x) = f(0) +nX

k=0

g(k)(0)

k!

1

k + 1xk+1 + (xn+1) .

En remarquant que g(k) = (f ′)(k) = f (k+1) et que (k + 1)k! = (k + 1)!, on obtient finalement

f(x) = f(0) +nX

k=0

f (k+1)(0)

(k + 1)!xk+1 + (xn+1) .

Mais

f(0) +nX

k=0

f (k+1)(0)

(k + 1)!xk+1 = f(0) +

n+1X

k=1

f (k)(0)

k!xk =

n+1X

k=0

f (k)(0)

k!xk .

On a donc finalement

f(x) =

n+1X

k=0

f (k)(0)

k!xk + (xn+1) .

ce qui donne la relation a l’ordre n + 1.

La propriete Hn+1 est donc vraie. Il en resulte que Hn est vraie pour tout entier n ≥ 1.

3.7. Developpements limites en 0 des fonctions usuelles

(1 + x)m =

n∑

k=0

m(m−1)···(m−k+1)k! xk + (xn) = 1 +mx+ m(m−1)

2! x2 + · · · + m(m−1)···(m−n+1)n! xn + (xn)

1

1 − x=

n∑

k=0

xk + (xn) = 1 + x+ · · · + xn + (xn)

1

1 + x=

n∑

k=0

(−1)kxk + (xn) = 1 − x+ · · · + (−1)nxn + (xn)

ln(1 + x) =n∑

k=1

(−1)k+1 xk

k+ (xn) = x− x2

2+ · · · + (−1)n+1x

n

n+ (xn)

arctanx =n∑

k=0

(−1)k x2k+1

2k + 1+ (x2n+1) = x− x3

3+ · · · + (−1)n x

2n+1

2n+ 1+ (x2n+1)

ex =

n∑

k=0

xk

k!+ (xn) = 1 + x+

x2

2!+ · · · + xn

n!+ (xn)

sinx =

n∑

k=0

(−1)k x2k+1

(2k + 1)!+ (x2n+1) = x− x3

3!+ · · · + (−1)n x2n+1

(2n+ 1)!+ (x2n+1)

shx =

n∑

k=0

x2k+1

(2k + 1)!+ (x2n+1) = x+

x3

3!+ · · · + x2n+1

(2n+ 1)!+ (x2n+1)

cosx =

n∑

k=0

(−1)k x2k

(2k)!+ (x2n) = 1 − x2

2!+ · · · + (−1)n x2n

(2n)!+ (x2n)

chx =

n∑

k=0

x2k

(2k)!+ (x2n) = 1 +

x2

2!+ · · · + x2n

(2n)!+ (x2n)

56

Toutes les fonctions donnees dans le formulaire precedent ont des derivees de tous ordres. Onobtient facilement les d.l. en utilisant la formule du paragraphe precedent.

Si f(x) = (1 + x)m, ou m est un reel quelconque, on demontre par recurrence sur k, que

f (k)(x) = m(m − 1) · · · (m − k + 1)(1 + x)m−k ,

donc f (k)(0) = m(m − 1) · · · (m − k + 1).

On a vu dans 3.4. que pour f(x) =1

1 − x, le resultat provenait de la formule donnant la somme

des termes d’une suite geometrique.

1

1 − x= 1 + x + · · · + xn +

xn+1

1 − x= 1 + x + · · · + xn + (xn) .

Le d.l. n en 0 de la fonction x 7→ 1

1 + xse retrouve alors facilement a partir d’une des deux

formules precedentes. En primitivant on obtient celui de x 7→ ln(1 + x).

En remplacant x par x2 dans le d.l. n en 0 precedent, on obtient

1

1 + x2=

nX

k=0

(−1)kx2k + (x2n) ,

et en primitivant on obtient le d.l. 2n + 1 en 0 de la fonction arctan.

Si f(x) = ex, on a f (k)(x) = ex donc f (k)(0) = 1.

A titre d’exercice on pourra chercher les d.l. des fonctions sinus et cosinus.

Remarques :

1. Le developpement de (1+x)m est vrai pour tout reel m, mais si m est un entier positif, on retrouvela formule du binome de Newton.

2. Pour les fonctions de la liste precedente qui ont une parite, la partie reguliere a la meme parite. Ona par exemple pour la fonction sinus :

sinx = x− x3

3!+ · · · + (−1)n x2n+1

(2n+ 1)!+ (x2n+1) ,

mais aussi

sinx = x− x3

3!+ · · · + (−1)n x2n+1

(2n+ 1)!+ (x2n+2) .

On obtient la meme partie reguliere pour les ordres 2n+ 1 et 2n+ 2.

On remarquera que, pour obtenir le d.l. 4 en 0 de sinx, il faudra prendre n = 1 dans la formuleprecedente, et non n = 4. En effet, c’est 2n+ 2 qui doit etre egal a 4.

3. Les fonctions tangente et tangente hyperbolique n’ont pas de d.l. simples en zero. On retiendra lespremiers termes :

tanx = x+x3

3+

2x5

15+ (x6) ,

thx = x− x3

3+

2x5

15+ (x6) ,

que l’on peut obtenir, soit par la formule de Taylor, soit en effectuant le quotient du d.l. de sinx(resp. shx), par celui de cosx (resp. chx).

57

4. Les d.l. en zero des fonctions arcsin et argsh s’obtiennent facilement a partir de ceux de leur derivee.

3.8. Application des developpements limites a la determination des limites

Essentiellement, les d.l. servent a lever les indeterminations du type0

0, en cherchant, quand c’est possible,

un equivalent du numerateur et du denominateur. Ceci se fait en observant que si f admet un d.l. n ena de partie reguliere non nulle, on a

f(x) ∼aak(x− a)k ,

ou k est le plus petit indice tel que ak 6= 0, dans la liste des coefficients qui apparaissent dans Regn f . Enparticulier, si f est suffisamment derivable sur un intervalle I contenant a, et si k est le plus petit indicetel que f (k)(a) 6= 0, on a

f(x) ∼a

f (k)(a)

k!(x− a)k .

On remarquera en particulier que toutes les fonctions du formulaire precedent qui s’annulent en 0 sontequivalentes a la fonction x 7→ x en zero.

Un autre point de vu est de remarquer que la recherche d’une limite finie en a revient a celle d’undeveloppement limite d’ordre 0 en a. On peut alors appliquer les regles de calcul sur les d.l. .

Les d.l. servent egalement a l’etude locale d’une fonction f definie au voisinage d’un point x0. En effet,si f possede un d.l. en x0 de la forme

f(x) = a0 + a1(x− x0) + ap(x− x0)p + ((x− x0)

p) ,

ou a0 = f(x0), ap est non nul, et p ≥ 2, on en deduit facilement l’equation de la tangente a la courberepresentative de f au point M de coordonnees (x0, a0). Elle s’ecrit

y = a0 + a1(x− x0) ,

puisque

a0 = f(x0) et a1 = limx 7→x0x 6=x0

f(x) − f(x0)

x− x0= f ′(x0) .

La position de la courbe par rapport a sa tangente est donnee par le signe de la difference

δ(x) = f(x) − (a0 + a1(x− x0)) = ap(x − x0)p + ((x− x0)

p) .

mais, au point x0, on a δ(x) ∼ ap(x− x0)p. La position est donc donnee par le signe de ap(x− x0)

p : si lesigne est positif, la courbe est au-dessus de sa tangente. Elle est en dessous sinon. En particulier si p estimpair, la position de la courbe par rapport a la tangente change lorsque l’on franchit x0, et la courbeadmet un point d’inflexion en x0.

On peut enfin utiliser les d.l. pour la recherche d’une asymptote d’une courbe. Rappelons que la courberepresentative d’une fonction f definie au voisinage de +∞ admet une asymptote d’equation y = ax+ b,si et seulement si la fonction ε : x 7→ f(x) − ax − b admet une limite nulle en +∞. Les nombres a et bsont alors definis de maniere unique par

a = limx→+∞

f(x)

xet b = lim

x→+∞(f(x) − ax) ,

et l’on a, au voisinage de +∞,f(x) = ax+ b+ ε(x) .

58

En posant h = 1/x, cette egalite peut encore s’ecrire

hf

(1

h

)= a+ bh+ (h) .

Donc, si l’on dispose d’un d.l. en 0 de la forme

hf

(1

h

)= a+ bh+ chp + (hp) ,

avec c non nul et p ≥ 2, on en deduira

f(x) = ax+ b+c

xp−1+

(1

xp−1

),

ce qui permettra d’obtenir directement l’equation de l’asymptote. Le signe dec

xp−1, donne alors la po-

sition de la courbe par rapport a l’asymptote. (Ce qui precede peut egalement s’etudier au voisinage de−∞).

59

Chapitre 3

FONCTIONS CONTINUES

61

1. Propriete de la borne superieure

1.1. Borne superieure d’un ensemble

On appelle borne superieure d’un ensemble A non vide un nombre reel S verifiant les proprietes sui-vantes :

(i) (∀x ∈ A) (x ≤ S),

(ii) (∀ε > 0) (∃x ∈ A) (S − ε < x).

La propriete (i) signifie que S est un majorant de A, et la propriete (ii)que tout nombre strictement pluspetit que S n’est pas un majorant de A. Donc S est le plus petit des majorants de A.

Tout d’abord, on remarque que si A possede une borne superieure, elle est unique. On la notera supA.

Supposons par l’absurde que l’on ait deux bornes superieures distinctes S1 et S2 de A : par exempleS1 < S2. Alors, d’apres (i), pour tout x de A, on a x ≤ S1. Si l’on pose ε = S2 − S1 > 0, d’apres(ii), il existe x dans A tel que

S1 = S2 − ε < x .

On a donc une contradiction.

Pour montrer qu’un nombre est la borne superieure on emploie souvent une definition equivalente utili-sant les suites :

Le nombre S est la borne superieure de A si et seulement si

(i) (∀x ∈ A) (x ≤ S),

(ii’) Il existe une suite (xn) d’elements de A qui converge vers S.

Si S est la borne superieure de A, en prenant ε = 1/n, on trouve xn dans A tel que

S − 1

n< xn ≤ S .

Et le theoreme d’encadrement montre immediatement que la suite (xn) converge vers S.

Reciproquement si l’on a (i) et (ii’), comme (xn) converge vers S, quel que soit ε > 0, il existe ntel

|xn − S| < ε ,

et puisque xn ≤ S, on en deduitS − xn < ε ,

doncS − ε < xn ,

et S est la borne superieure.

63

Definissons egalement le maximum d’un ensemble A non vide, note maxA, comme le plus grand elementde A (s’il existe), c’est-a-dire l’element M verifiant

(i) (∀x ∈ A) (x ≤M),

(ii”) M ∈ A.

Il verifie alors de maniere evidente les proprietes de la borne superieure.

Si un ensemble admet un maximum c’est donc sa borne superieure, mais un ensemble peut admettre uneborne superieure et pas de maximum.

On peut bien sur definir egalement la borne inferieure d’un ensemble A non vide, elle aussi unique, etnotee inf A, comme le nombre verifiant les proprietes :

(i) (∀x ∈ A) (x ≥ S),

(ii) (∀ε > 0) (∃x ∈ A) (S + ε > x).

et le minimum, note minA d’un ensemble non vide A comme le plus petit element de A.

1.2. Propriete de la borne superieure

Nous avons rencontre dans le chapitre 1 l’axiome constitutif de l’ensemble R des nombres reels suivants :

toute suite croissante majoree de nombres reels admet une limite dans R.

Nous aurons besoin d’une formulation equivalente de cette propriete, ne faisant pas intervenir la notionde suite. Celle-ci est connue sous le nom de propriete de la borne superieure :

toute partie A de R, non vide et majoree admet une borne superieure.

Nous montrons ci-dessous l’equivalence de ces deux proprietes.

Montrons tout d’abord que si toute suite croissante majoree converge alors on a la propriete de laborne superieure.

En fait nous montrons que si deux suites adjacentes convergent vers la meme limite alors on ala propriete de la borne superieure. On utilisera dans la demonstration le fait que la suite (1/2n)converge vers 0, qui est une consequence du fait que la suite (n) n’est pas bornee.

Soit A un sous-ensemble de R non vide majore. Notons a0 un de ses elements et M0 un deses majorants, et construisons de maniere recurrente deux suites (an)n≥0 et (Mn)n≥0 telles que lapremiere soit une suite croissante d’elements de A et la seconde une suite decroissante de majorantsde A, verifiant de plus, pour tout entier n ≥ 0

0 ≤ Mn − an ≤ M0 − a0

2n.

64

Supposons les suites construites jusqu’au rang n et construisons les au rang n + 1. Pour celaregardons λn = (Mn + an)/2. C’est un nombre compris entre an et Mn. Deux cas sont possibles :

1) λn est un majorant de A. Dans ce cas, on pose

Mn+1 = λn et an+1 = an .

On a alorsan+1 = an ≤ λn = Mn+1 ≤ Mn .

Par ailleurs

Mn+1 − an+1 =Mn − an

2≤ M0 − a0

2n+1.

2) λn n’est pas un majorant de A. Il existe un element an+1 de A tel que

an+1 > λn ,

et l’on poseMn+1 = Mn .

Donc, puisque Mn+1 est un majorant de A, et que an+1 appartient a A,

an < λn < an+1 ≤ Mn+1 = Mn .

Par ailleurs

Mn+1 − an+1 <Mn − an

2≤ M0 − a0

2n+1.

On construit bien ainsi deux suites repondant a la question. Ces suites sont adjacentes. Ellesconvergent donc vers la meme limite β. On a pour tout x de A, et pour tout entier n

x ≤ Mn ,

donc par passage a la limitex ≤ β ,

et β est un majorant de A. Mais par ailleurs β est limite d’une suite an d’elements de A. Parconsequent β est la borne superieure de A.

Montrons que la propriete de la borne superieure implique la convergence des suites croissantesmajorees.

Soit (un)n≥0 une suite croissante majoree. L’ensemble A = un |n ≥ 0 est majore donc possedeune borne superieure ℓ.

Soit ε > 0 il existe N , tel queℓ − ε ≤ uN .

Alors, si n ≥ N , comme la suite est croissante

ℓ − ε ≤ uN ≤ un .

Par ailleurs, comme ℓ est un majorant de la suite, on a pour tout entier n

un ≤ ℓ .

Il en resulte que, si n ≥ Nℓ − ε ≤ un ≤ ℓ,

donc|un − ℓ| ≤ ε .

On en deduit que la suite (un)n≥0 converge vers ℓ.

65

De meme que la convergence des suites croissantes majorees implique que toute suite decroissante minoreeconverge, la propriete de la borne superieure implique que tout ensemble non vide minore possede uneborne inferieure.

1.3. Application a la classification des intervalles de R

Vous avez deja utilise couramment la notion d’intervalle de R. Nous donnons ici sa definition “officielle” :

Une partie I de R est appelee intervalle si et seulement si

(∀x ∈ I) (∀y ∈ I) (∀t ∈ R) ((x ≤ t ≤ y) ⇒ (t ∈ I)) .

Soient alors a et b deux nombres reels tels que a < b. On verifie aisement que les ensembles suivants sontdes intervalles de R :

x ∈ R, a ≤ x ≤ b encore note [ a, b ] et appele segment de R,

x ∈ R, a < x ≤ b encore note ] a, b ] ,

x ∈ R, a ≤ x < b encore note [ a, b [ ,

x ∈ R, a < x < b encore note ] a, b [ ,

x ∈ R, x ≤ b encore note ]−∞, b ] ,

x ∈ R, x < b encore note ]−∞, b [ ,

x ∈ R, a ≤ x encore note [ a, +∞ [ ,

x ∈ R, a < x encore note ] a, +∞ [ ,

ainsi que d’ailleurs ∅, a et R.

On demontre, en utilisant la propriete de la borne superieure (et de la borne inferieure) que tout intervallede R est necessairement de l’un des onze types ci-dessus.

Les singletons a et l’ensemble vide verifient de maniere evidente les proprietes de definition d’unintervalle. Si l’intervalle I contient au moins deux points, il y a trois cas possibles :– l’intervalle I , n’est pas majore– l’intervalle I , est majore et contient sa borne superieure– l’intervalle I , est majore et ne contient pas sa borne superieure.Pour chacun de ces cas, il y a egalement trois possibilites :– l’intervalle I , n’est pas minore– l’intervalle I , est minore et contient sa borne inferieure– l’intervalle I , est minore et ne contient pas sa borne inferieure.Cela donne donc neuf possibilites, chacune correspondant a un des neuf autres types d’ensemblesecrits ci-dessus.

A titre d’exemple, montrons qu’un intervalle borne qui contient sa borne inferieure a et ne contientpas sa borne superieure b est [ a, b [ . Comme il s’agit de montrer l’egalite de deux ensembles, onmontre une double inclusion.

66

(i) I ⊂ [ a, b [

Pour tout x de I , on a par definition des bornes inferieure et superieure, a ≤ x ≤ b, et puisque, aest dans I , et que b n’y est pas, on a en fait a ≤ x < b. Ce qui donne l’inclusion voulue.

(ii) [ a, b [⊂ I

Soit x dans [ a, b [ . Posons ε = b − x > 0. Comme b est la borne superieure de I , il existe y dansI tel que x = b − ε < y ≤ b. Mais par definition des intervalles, puisque a, et y sont dans I et quea ≤ x ≤ y, on en deduit que x est dans I .

1.4. Partie entiere d’un nombre reel

Nous avons deja vu au chapitre 2 que N est une partie de R non majoree. Rappelons l’argument : si Netait une partie majoree de R, la suite u definie sur N par un = n, en tant que suite reelle croissantemajoree, serait convergente et puisque pour tout n ∈ N, un+1 = un + 1, sa limite ℓ devrait satisfaire aℓ = ℓ+ 1 d’ou 0 = 1 !

De meme demontre-t-on que Z est une partie non minoree de R (introduire la suite u definie sur N parun = −n).

Soit alors x un nombre reel. D’apres ce qui precede, x ne majore pas N et ne minore pas Z. Il existe doncdeux entiers n et m tels que n < x < m. Ce qui prouve que la partie A de Z, formee de tous les entiersk tels que k ≤ x, est une partie non vide et majoree de Z. Elle admet donc un plus grand element quenous noterons [x] et appellerons partie entiere de x. L’entier [x] (que l’on note aussi E(x)), est le seulentier tel que

[x] ≤ x < [x] + 1 .

Remarquons que cela signifie aussi que

x− 1 < [x] ≤ x .

2. Continuite en un point, sur un intervalle

Dans tout ce qui suit, les intervalles que nous considerons sont supposes non vides et non reduits a unpoint.

2.1. Definition de la continuite

Soient I un intervalle de R, f une application de I dans R et a un point de I. La fonction f est ditecontinue en a si et seulement si

(∀ε > 0) (∃α > 0) (∀x ∈ I) ((|x− a| < α) ⇒ (|f(x) − f(a)| < ε)) .

Dire que f est continue en a revient donc a dire que f admet le candidat naturel f(a) pour limite en aou encore si a appartient a l’interieur de I, que lim

x 7→a

x<a

f(x) = limx 7→a

x>a

f(x) = f(a).

Si on a limx 7→a

x<a

f(x) = f(a), on dit que f est continue a gauche en a, et si l’on a limx 7→a

x>a

f(x) = f(a), on dit

qu’elle est continue a droite en a. En particulier si a n’est pas une des bornes de I, la fonction f est

67

continue en a si et seulement si elle est a la fois continue a droite et a gauche en a.

La fonction f est dite continue sur I si et seulement si elle est continue en tout point a de I.

Soient I un intervalle de R, a un point de I et f une fonction numerique definie sur I prive de a. Si fadmet une limite finie L en a alors la fonction f definie sur I par

f(x) =

f(x) si x 6= a

L si x = a.

est continue en a. Cette fonction f est appelee prolongement par continuite de f en a.

2.2. Caracterisation sequentielle de la continuite en un point

Soient I un intervalle de R, f une application de I dans R et a un point de I. La fonction f estcontinue en a si et seulement si pour toute suite (un)n≥0 de points de I qui converge vers a, la suite(f(un))n≥0 converge vers f(a).

La demonstration est la meme que pour la caracterisation sequentielle d’une limite. La seuledifference est que, ici, certains termes de la suite (un) peuvent etre egaux a a.

Remarque : ce resultat donne une condition suffisante pour qu’une fonction ne soit pas continue en unpoint a de I. Il suffit de trouver une suite (un) de I qui converge vers a et telle que (f(un)) ne convergepas vers f(a).

2.3. Operations algebriques et continuite

Soient I un intervalle de R, f et g deux applications de I dans R, a un point de I et λ ∈ R. Si f etg sont continues en a alors f + g, λf et fg sont continues en a et si de plus f ne s’annule pas sur Ialors 1/f est continue en a.

Soit (un) une suite de points de I qui converge vers a. Comme f et g sont continues en a,d’apres la caracterisation sequentielle de la continuite en un point, les suites (f(un)) et (g(un))convergent respectivement vers f(a) et g(a). Par consequent, les suites ((f + g)(un)), (λf(un)) et(fg)(un)) convergent respectivement vers (f + g)(a), λf(a) et (fg)(a). En utilisant de nouveau lacaracterisation sequentielle de la continuite en un point, nous pouvons conclure que f + g, λf etfg sont continues en a.

2.4. Propagation des inegalites strictes par continuite

Soient I un intervalle de R, f une application de I dans R et a un point de I. Si f est continue en a,et si f(a) > 0, il existe un reel α > 0 tel que, pour tout x de ] a− α, a+ α [∩ I, on ait f(x) > 0.

68

En appliquant la definition de la continuite en a avec ε = f(a)/2, il existe α > 0 tel que, pour toutx de ] a − α, a + α [∩ I , on ait

−f(a)

2< f(x) − f(a) <

f(a)

2.

On en deduit que, pour de tels x,

f(x) >f(a)

2> 0 .

2.5. Composition de fonctions et continuite

Soient I et J deux intervalles de R, f une application de I dans R telle que f(I) ⊂ J , g une applicationde J dans R et a un point de I. Si f est continue en a et g est continue en f(a) alors g f est continueen a.

Soit (un) une suite de points de I qui converge vers a. Comme f est continue en a, d’apresla caracterisation sequentielle de la continuite en un point, la suite (f(un)) converge vers f(a).Comme g est continue en f(a) la suite (g(f(un))) converge vers g(f(a)). En utilisant de nouveaula caracterisation sequentielle de la continuite en un point, nous pouvons conclure que g f estcontinue en a.

3. Proprietes des fonctions continues sur un intervalle

3.1. Image d’un intervalle par une application continue

Soient I un intervalle de R, et f une application de I dans R continue sur I. S’il existe deux elementsa, b de I tels que a < b et f(a)f(b) ≤ 0, alors il existe c ∈ [ a, b ] tel que f(c) = 0.

Supposons sans perdre de generalite que f(a) ≤ 0 et f(b) ≥ 0. Nous construisons de maniererecurrente deux suites (an)n≥0 et (bn)n≥0 telles que la premiere soit une suite croissante et laseconde une suite decroissante, verifiant de plus pour tout entier n ≥ 0

0 ≤ bn − an ≤ b0 − a0

2n,

f(an) ≤ 0, f(bn) ≥ 0 .

On pose a0 = a et b0 = b. Les inegalites precedentes sont ainsi verifiees de facon evidente pourn = 0.

Supposons les deux suites construites jusqu’au rang n et construisons les au rang n + 1. Pour celaregardons λn = (an + bn)/2. Si f(λn) ≤ 0 alors on pose

an+1 = λn et bn+1 = bn ,

sinon, on posean+1 = an et bn+1 = λn .

Dans les deux cas nous avonsan ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn ,

69

et par construction

f(an+1) ≤ 0, f(bn+1) ≥ 0, 0 ≤ bn+1 − an+1 ≤ b0 − a0

2n+1.

On construit bien ainsi deux suites ayant les proprietes annoncees. Par consequent elles sontadjacentes et elles convergent vers une meme limite c ∈ [ a, b ] . Comme f est continue sur [ a, b ] ,les suites (f(an)) et (f(bn)) convergent vers f(c). Elles verifient de plus pour tout n ≥ 0

f(an) ≤ 0 et f(bn) ≥ 0 .

Nous obtenons donc a la limite que f(c) ≤ 0 et f(c) ≥ 0, ce qui implique f(c) = 0.

Nous en deduisons le resultat suivant :

Theoreme des valeurs intermediaires

Soient I un intervalle de R, f une application de I dans R continue sur I et a, b deux elements de Itels que a < b. Alors, pour toute valeur γ comprise entre f(a) et f(b) il existe c dans [ a, b ] tel quef(c) = γ.

Supposons encore une fois sans perdre de generalite que f(a) ≤ f(b).

Soit γ ∈ [ f(a), f(b) ] . Nous definissons l’application g de I dans R par g(x) = f(x) − γ pourtout x ∈ I . Cette application est continue sur I et nous avons g(a)g(b) ≤ 0. D’apres le resultatprecedent, il existe donc c ∈ [ a, b ] tel que g(c) = 0 c’est-a-dire il existe c ∈ [ a, b ] tel que f(c) = γ.

Remarquons que si U est un intervalle inclus dans I, et si α et β appartiennent a f(U), c’est-a-dire sontde la forme f(a) et f(b) ou a et b appartiennent a U , alors tout element γ compris entre α et β possedeun antecedent c compris entre a et b donc dans U , et γ = f(c) appartient a f(U). Cela signifie que f(U)est un intervalle. En consequence l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

3.2. Image d’un segment par une application continue

Soient a et b deux reels tels que a < b et f une application de [ a, b ] dans R continue sur [ a, b ] .Alors f est bornee sur [ a, b ] et il existe deux reels m et M tels que f( [ a, b ] ) = [m, M ] (ou msi m = M). Il en resulte que f presente sur [ a, b ] un minimum (absolu) et un maximum (absolu).

D’apres le theoreme des valeurs intermediaires, f( [ a, b ] ) est un intervalle J .

Soit (yn)n≥0 une suite de points de J qui converge vers β ∈ R ou β est soit la borne superieurede J si J est majore, soit +∞ si J n’est pas majore. Pour tout n ∈ N, il existe xn ∈ [ a, b ] telque f(xn) = yn. Nous definissons ainsi une suite (xn)n≥0 qui est bornee. D’apres la propriete deBolzano-Weierstrass, nous pouvons en extraire une suite (xϕ(n))n≥0 qui converge vers une limitenotee ℓ. Puisque pour tout n ≥ 0 nous avons xϕ(n) ∈ [ a, b ] , nous avons aussi ℓ ∈ [ a, b ] . Ainsi fest continue en ℓ. Par consequent la suite (f(xϕ(n)))n≥0 converge vers f(ℓ), autrement dit la suite(yϕ(n))n≥0 converge vers f(ℓ). Or la suite (yϕ(n))n≥0 converge vers β. Par unicite de la limite dans

R, nous avons donc β = f(ℓ). Il en resulte que β est fini et appartient a f( [ a, b ] ).

On raisonne de meme pour le minimum.

70

3.3. Image d’un intervalle par une application continue strictement monotone

Soient a et b deux elements de R tels que a < b, I un intervalle d’origine a et d’extremite b et f uneapplication de I dans R continue et strictement croissante sur I. Alors f admet dans R une limiteen a et b et f(I) est l’intervalle J d’origine lim

x→af(x) et d’extremite lim

x→bf(x), les bornes de J etant

respectivement de meme nature (ouverte ou fermee) que celles de I.Par exemple, si f est definie et croissante sur [ a, b ] , on a f( [ a, b ] ) = [ f(a), f(b) ] et si f estdecroissante, f( [ a, b ] ) = [ f(b), f(a) ]de meme, si f est definie et croissante sur ] a, +∞ [ on a f( ] a, +∞ [ ) = ] lim

x→ax>a

f(x), limx→+∞

f(x) [ .

Montrons, a titre d’exemple que si a et b sont finis, et si f est croissante sur [ a, b [ , alorsf( [ a, b [ ) = [ f(a), lim

x→bx<b

f(x) [ . On sait que f( [ a, b [ ) est un intervalle d’extremites u et v (u ≤ v).

Puisque, si a ≤ x, on a f(a) ≤ f(x), on en deduit que f(a) est le minimum de f( [ a, b [ ), et doncque u = f(a) appartient a f( [ a, b [ ).

D’autre part f(x) possede une limite lorsque x tend vers b. Si cette limite est une valeur finie ℓ.Alors elle majore f(x) pour tout x de [ a, b [ . Soit alors ε > 0, il existe α tel que a − α < x < aimplique ℓ − f(x) ≤ ε, c’est-a-dire ℓ − ε ≤ f(x), ce qui montre que ℓ est la borne superieurede f( [ a, b [ ). Donc v = ℓ. Si ℓ appartenait a f( [ a, b [ ), il existerait x0 dans f( [ a, b [ ) tel quef(x0) = ℓ. Alors, si x0 < x < ℓ, on aurait

ℓ = f(x0) < f(x) ≤ ℓ ,

d’ou une contradiction. Donc f( [ a, b [ ) = [ f(a), limx→bx<b

f(x) [ .

Si ℓ est infinie, alors il existe dans f( [ a, b [ ) des valeurs aussi grandes que l’on veut et cet intervallen’est pas majore, donc v = +∞, et l’on a encore f( [ a, b [ ) = [ f(a), lim

x→bx<b

f(x) [ .

Remarque : si f est simplement croissante, on peut avoir f( [ a, b [ ) = [ f(a), limx→b

x<b

f(x) ] .

Ces proprietes sont utilisees pour etudier le signe et les zeros d’une fonction. On remarquera en particu-lier, que, si l’on combine le theoreme des valeurs intermediaires et la monotonie stricte sur un intervalle[ a, b ] , le fait que f(a)f(b) ≤ 0 implique qu’il existe une valeur c unique dans [ a, b ] telle que f(c) = 0.

3.4. Inversibilite des fonctions continues strictement monotones

Soient I un intervalle de R non vide et non reduit a un point, f une application continue et strictementmonotone de I dans R. Notons J l’intervalle image de I par f . Alors f realise une bijection de I surJ et l’application reciproque f−1 de J sur I est egalement strictement monotone et continue sur J etde meme sens de variation que f .

Nous ferons la demonstration de ce resultat dans le cas ou f est strictement croissante sur I .Dans le cas ou f est strictement decroissante, il suffira de considerer l’application g definie parg(x) = −f(x), pour tout x ∈ I .

Puisque f est continue, l’ensemble J = f(I) est un intervalle. L’application f de I sur J estevidemment surjective. De plus, comme f est strictement croissante sur I , elle est injective. Eneffet, si x > x′ on a f(x) > f(x′), et donc, si x et x′ sont distincts, il en est de meme de f(x) et

71

de f(x′).

L’application f etant bijective, son application reciproque f−1 existe. Montrons par l’absurdequ’elle est strictement croissante. Si l’on suppose que f−1 n’est pas strictement croissante, il existedonc y et y′ dans J tels que y > y′ et f−1(y) ≤ f−1(y′). Mais comme f est croissante, on auraitf(f−1(y)) ≤ f(f−1(y′)), soit y ≤ y′ d’ou une contradiction.

Montrons la continuite de f−1 sur J . Soit y0 un point de J autre que sa borne inferieure. Commef−1 est strictement croissante, elle admet une limite a gauche ℓ en y0, et pour tout point y de Jtel que y < y0, on a

f−1(y) ≤ ℓ ≤ f−1(y0) .

Supposons que l’on ait ℓ < f−1(y0) et soit x tel que ℓ < x < f−1(y0). Puisque I est un intervallecontenant f−1(y) et f−1(y0), le nombre x est dans I et comme f est strictement croissante, on af(x) < y0. Mais f(x) est dans J . Donc d’apres ce qui precede

f−1(f(x)) ≤ ℓ ≤ f−1(y0) ,

d’ou x ≤ ℓ. On obtient une contradiction. Il en resulte que ℓ = f−1(y0) ce qui montre que f−1 estcontinue a gauche en y0.

Un argument analogue, montre que f−1 est continue a droite en tout point y0 qui n’est pas laborne superieure de J . Il en resulte que f−1 est continue sur J .

Remarque : Les graphes des fonctions f et f−1 dans des axes orthonormes, sont symetriques par rapporta la premiere bissectrice. En effet, si l’on a y = f(x), soit x = f−1(y), le point M(x, f(x)) = M(f−1(y), y)de la courbe representative de f est symetrique du point M ′(y, f−1(y)), de la courbe representative def−1 par rapport a la droite d’equation y = x.

On remarquera egalement que si l’intervalle I admet l’origine pour milieu et si f est impaire, alors f(I)est egalement un intervalle admettant l’origine pour milieu, et f−1 est impaire. En effet si y = f(x)appartient a f(I), il en est de meme de −y = f(−x), et l’on a f−1(−y) = −x = −f−1(y).

3.5. Application

Le theoreme precedent s’applique en particulier dans les cas suivants :

a) Sur l’intervalle I = [−π/2, π/2 ] , la fonction f : x 7→ sinx est continue strictement croissante etimpaire. C’est donc une bijection de [−π/2, π/2 ] sur f(I) = [−1, 1 ] . Elle possede une applicationreciproque continue strictement croissante et impaire qui est une bijection de [−1, 1 ] sur [−π/2, π/2 ] .On note f−1(x) = arcsinx.

b) Sur l’intervalle I = [ 0, π ] , la fonctionf : x 7→ cosx est continue et strictement decroissante. C’estdonc une bijection de [ 0, π ] sur f(I) = [−1, 1 ] . Elle possede une application reciproque continue etstrictement decroissante qui est une bijection de [−1, 1 ] sur [ 0, π ] . On note f−1(x) = arccosx. Lacourbe representative de cette fonction est symetrique par rapport au point de coordonnees (0, π/2),c’est-a-dire arccosx+ arccos(−x) = π.

On verifie aussi que, pour tout x de [−1, 1 ] , on a arcsinx + arccosx = π/2 . En effet si x appartient al’intervalle [−1, 1 ] , on a

cos(π/2 − arcsinx) = sin arcsinx = x ,

et π/2 − arcsinx appartient a [ 0, π ] , puisque arcsinx appartient a [−π/2, π/2 ] . Donc

π/2 − arcsinx = arccosx .

72

c) Sur l’intervalle I = ]−π/2, π/2 [ , la fonction f : x 7→ tanx est continue strictement croissanteet impaire. C’est donc une bijection de ]−π/2, π/2 [ sur f(I) = R . Elle possede une applicationreciproque continue strictement croissante et impaire qui est une bijection de R sur ]−π/2, π/2 [ . Onnote f−1(x) = arctanx.

On verifie aussi que pour tout x > 0, on a arctanx+ arctan 1/x = π/2. En effet pour tout x > 0, on a

tan(π/2 − arctanx) =1

tan arctanx=

1

x,

et π/2 − arctanx appartient a [ 0, π/2 [ , puisque arctanx appartient a [ 0, π/2 [ . Donc

π/2 − arctanx = arctan1/x .

-

6

a) arcsinx

−1

1

−π/2

π/2

-

6b) arccosx

−1 1

π/2

π

-

6

c) arctanx

π/2

−π/2

d) Sur I = R, la fonction f : x 7→ shx est une application continue strictement croissante et impaireC’est donc une bijection de R sur f(I) = R . Elle possede une application reciproque continue stricte-ment croissante et impaire qui est une bijection de R sur R . On note f−1(x) = argshx. (Il est facile dedemontrer en resolvant l’equation x = sh y, que, pour tout x reel on a y = argshx = ln(x+

√x2 + 1)).

e) Sur I = [ 0, +∞ [ , la fonction f : x 7→ chx est une application continue strictement croissante. C’estdonc une bijection de [ 0, +∞ [ sur f(I) = [ 1, +∞ [ . Elle possede une application reciproque continueet strictement croissante qui est une bijection de [ 1, +∞ [ sur [ 0, +∞ [ . On note f−1(x) = argchx.(Il est facile de demontrer en resolvant l’equation x = ch y, que, pour tout x > 1, on a y = argchx =ln(x+

√x2 − 1)).

73

-

6

d) argshx

-

6

e) argchx

1

4. Bilan sur la continuite des fonctions usuelles

Les fonctions usuelles suivantes sont continues sur tout intervalle ou elles sont definies : les fonctionspolynomes, les fonctions rationnelles, la fonction valeur absolue, les fonctions logarithmes, les fonctionsexponentielles, les fonctions puissances, les fonctions hyperboliques directes et reciproques, les fonctionstrigonometriques directes et reciproques. Cela se justifie pour les deux premieres par le fait que x 7→ xest continue et l’utilisation des operations algebriques sur les fonctions continues. Pour la valeur absoluec’est une consequence de l’inegalite triangulaire ||x| − |a|| ≤ |x − a|. Pour les autres, cela releve de leurconstruction meme.

Comme exemple de fonction non continue sur R, on peut citer la fonction partie entiere :

si n est entier, on a [x] = n si n ≤ x < n+ 1. On en deduit que

limx→n+

[x] = limx→n+

n = n = [n] ,

et la fonction est continue a droite en n.On a egalement [x] = n− 1 si n− 1 ≤ x < n. On en deduit que

limx→n−

[x] = limx→n−

(n− 1) = n− 1 6= [n] ,

et la fonction n’est pas continue a gauche en n.La fonction n’est donc pas continue en n.Par contre sur un intervalle ]n, n+ 1 [ , on a [x] = n et la fonction est constante, donc continue en toutpoint a de cet intervalle.

En resume la fonction partie entiere est continue en tout point non entier, et discontinue en tout pointentier, ou elle est uniquement continue a droite.

5. Uniforme continuite

Soit f une fonction numerique definie sur un intervalle I et continue sur I. Alors pour tout x dans I,quel que soit le nombre reel ε > 0 que l’on se donne, il existe donc un nombre reel α > 0 tel que pourtout y de I verifiant |x− y| < α, on ait |f(y) − f(x)| < ε.

74

Le reel α depend a priori de x (et de ε bien sur) et en general il n’est pas possible de trouver un reel α nedependant que de ε et qui conviendraient pour tout choix de x dans I. Lorsque tel est le cas cependant,on dit que f est uniformement continue sur I.

Autrement dit, f est uniformement continue sur I si et seulement si

(∀ε > 0) (∃α > 0) (∀(x, y) ∈ I2) (|x− y| < α⇒ |f(x) − f(y)| < ε) .

L’uniforme continuite traduit donc le fait que si x et y sont pris suffisamment proches (en un sens qui nedepend pas de x et de y), leurs images ne sauraient etre trop eloignees l’une de l’autre.

On verifiera par exemple que la fonction x → √x satisfait bien a cette propriete sur [ 0, +∞ [ car

(∀(x, y) ∈ (R+)2), |√x−√y| ≤

√|x− y|.

Une fonction uniformement continue sur un intervalle est bien sur continue sur cet intervalle.

La reciproque est fausse. Par exemple la fonction x → x2 est continue sur R sans y etre uniformementcontinue.

Cependant, nous avons le resultat suivant :

Theoreme de HEINE

Toute fonction continue sur un segment [ a, b ] est uniformement continue sur [ a, b ] .

Nous montrons ce resultat par l’absurde. Pour cela nous supposons que f n’est pas uniformementcontinue sur [ a, b ] . Il existe donc ε > 0, tel que, pour tout n > 0, on puisse trouver xn ∈ [ a, b ]et x′

n ∈ [ a, b ] verifiant

|x′n − xn| ≤ 1

n + 1et |f(x′

n) − f(xn)| ≥ ε.

Nous construisons ainsi deux suites (xn)n≥0 et (x′n)n≥0 qui sont bornees. D’apres la propriete de

Bolzano-Weierstrass, nous pouvons extraire de la suite (xn)n≥0, une suite (xϕ(n))n≥0 qui convergevers une limite, notee ℓ et ℓ ∈ [ a, b ] . Comme nous avons, pour tout n ∈ N, |xϕ(n)−x′

ϕ(n)| ≤ 1ϕ(n)+1

,

la suite extraite (x′ϕ(n))n≥0 converge aussi vers la meme limite ℓ.

Puisque f est continue en ℓ, les suites (f(xϕ(n)))n≥0 et (f(x′ϕ(n)))n≥0 convergent toutes les deux

vers f(ℓ). Il existe donc q dans N et q′ dans N tels que

∀n ≥ q, |f(xϕ(n)) − f(ℓ)| <ε

2, et ∀n ≥ q′, |f(x′

ϕ(n)) − f(ℓ)| <ε

2.

Si n ≥ max(q, q′), nous avons alors

|f(xϕ(n)) − f(x′ϕ(n))| ≤ |f(xϕ(n)) − f(ℓ)| + |f(x′

ϕ(n)) − f(ℓ)| < ε ,

ce qui est contradictoire.

Ce resultat permettra plus tard de prouver l’integrabilite des fonctions continues sur un segment.

75

Comme exemple de fonctions uniformement continues sur un intervalle I, on peut donner la proprietesuivante :

Si f est definie sur I et s’il existe un nombre reel k positif, tel que

(∀(x, y) ∈ I2) (|f(x) − f(y)| ≤ k |x− y|) ,

alors f est uniformement continue sur I.

Si l’on se donne ε > 0, et si k 6= 0, il suffit de prendre α = ε/k pour que soit satisfaite la proprietede definition de la continuite uniforme. Si k = 0, la fonction est constante et on peut prendren’importe quel α

Par exemple les fonctions x 7→ x et x 7→ |x| sont uniformement continue sur R (k = 1).

Lorsque le rapport k appartient a l’intervalle [ 0, 1 [ , on obtient les fonctions contractantes :

On dit que f est contractante sur I, si et seulement si il existe un nombre reel k ∈ [ 0, 1 [ , tel que

(∀(x, y) ∈ I2) (|f(x) − f(y)| ≤ k |x− y|) .

Le nombre k est un rapport de contraction de f .

On verra dans le chapitre suivant comment on peut montrer qu’une fonction est contractante et l’utilitede ces fonctions.

76

Complement : Bilan sur R et

construction de R

Dans les chapitres 1 et 2 nous avons mis en evidence, quatre proprietes equivalentes qui caracterisent R(i) Toute suite croissante et majoree converge(ii) Toute suite de Cauchy converge, et la suite (n)n∈N n’est pas majoree(iii) Toute partie non vide majoree de R possede une borne superieure(iv) Deux suites adjacentes quelconques convergent vers la meme limite, et la suite (n)n∈N n’est pas

majoree.

Remarque : de maniere plus generale, si on dispose d’un ensemble K muni d’operations et d’une rela-tion d’ordre faisant de K un corps commutatif totalement ordonne (c’est-a-dire que les operations et larelation d’ordre ont les memes proprietes que pour celles de R) alors on peut encore definir une notionde convergence qui fait que les quatre proprietes precedentes sont equivalentes. (La suite (n)n∈N etantremplacee par la suite (n1K)n∈N, ou 1K est l’element neutre de K pour la multiplication). L’exemple deQ montre qu’elles peuvent ne pas etre satisfaites.

Construction de R a partir de Q

Nous avons implicitement admis qu’il existe un ensemble de nombres reels. Il est en realite possible deconstruire un tel ensemble en partant du corps totalement ordonne Q des nombres rationnels. Une telleconstruction a ete mise en evidence pour la premiere fois par le mathematicien Richard Julius WilhelmDEDEKIND. En voici, a quelques modifications mineures pres, les grandes lignes, l’idee directrice etantde penser un nombre reel comme etant l’ensemble des nombres rationnels qui le minorent strictement.

De facon plus precise, on appelle nombre reel toute section commencante ouverte, non vide et majoreede Q, c’est-a-dire toute partie non vide X de Q telle que

(i) (∀r ∈ X) (∀r′ ∈ Q) (r′ < r ⇒ r′ ∈ X)

(ii) (∀r ∈ X) (∃r′ ∈ X) (r < r′)

(iii) (∃m ∈ Q) (∀r ∈ X) (r < m).

On note R l’ensemble des reels.

On verifie immediatement que pour tout a ∈ Q, l’ensemble a = r ∈ Q | r < a est un nombre reel. Desorte que l’injection naturelle ϕ de Q dans R definie par ϕ(a) = a permet d’identifier Q a une partie deR.

77

On constate ensuite que la relation definie sur R par X ≤ Y si et seulement si X ⊂ Y est une relation

d’ordre total sur R et on verifie que si K est une partie non vide majoree de R, l’ensemble⋃

X∈K

X est

un nombre reel et que c’est le plus petit des majorants de K. Ainsi la propriete de la borne superieureest-elle satisfaite dans R.

On definit ensuite une addition sur R en observant que si X et X ′ sont deux nombres reels, l’ensembleX +X ′ = r + r′ | r ∈ X, r′ ∈ X ′ est un nombre reel, que l’on appellera somme de X et de X ′. Onverifie alors que cette addition sur R est commutative, associative, qu’elle admet 0 pour element neutreet que si l’on designe par −X l’ensemble des opposes de tous les rationnels strictement superieurs a aumoins un rationnel majorant X , −X est un nombre reel tel que X + (−X) = 0. Finalement (R,+) estbien un groupe commutatif. On verifie de plus que l’addition de R prolonge bien celle de Q en ce sens

que si (a, b) ∈ Q2, a+ b = a+ b et aussi qu’elle est compatible avec la relation d’ordre sur R :

∀(X,X ′, Y ) ∈ R3, X ≤ Y ⇒ X +X ′ ≤ Y +X ′ .

On met ensuite une multiplication sur R+ (R+ = X ∈ R | 0 ≤ X), en observant que si X et X ′ sontdes reels strictements positifs, X×X ′ = r×r′ | r ∈ X, r′ ∈ X ′, (r, r′) ∈ (Q∗

+)2∪ 0∪0 est un nombrereel que l’on appelera produit de X par X ′,et en posant

X × 0 = 0 ×X = 0 .

On verifie alors que cette multiplication sur R+ est commutative, associative, qu’elle admet 1 pour elementneutre et que si, pour X ∈ R∗

+, l’on designe par X−1 la reunion de 0, de 0 et de l’ensemble des inversesde tous les rationnels strictement positifs et strictement superieurs a un rationnel majorant X , X−1 estun nombre reel strictement positif tel que X ×X ′ = 1. Finalement, (R∗

+,×) est un groupe commutatif.On prolonge enfin cette multiplication a R tout entier en decidant que

si X ≥ 0 et X ′ ≤ 0, X ×X ′ = −(X × (−X ′)).

si X ≤ 0 et X ′ ≥ 0, X ×X ′ = −((−X) ×X ′).

si X ≤ 0 et X ′ ≤ 0, X ×X ′ = ((−X) × (−X ′)).

On verifie que cette multiplication confere a (R∗,×) une structure de groupe commutatif, qu’elle estdistributive par rapport a l’addition, qu’elle prolonge bien celle de Q en ce sens que si (a, b) ∈ Q2,

a× b = a× b et aussi qu’elle est compatible avec la relation d’ordre sur R :

∀(X,X ′) ∈ R2, ((0 ≤ X et 0 ≤ X ′) ⇒ (0 ≤ X ×X ′)) .

En resume, l’ensemble R ainsi construit avec sa relation d’ordre et ses lois d’addition et de multiplicationa bien une structure de corps commutatif totalement ordonne verifiant la propriete de borne superieure.

L’esprit rassure par l’existence d’un tel objet, on peut desormais tout oublier de sa construction et secontenter de raisonner a l’aide des proprietes fondamentales enoncees en debut de chapitre !

Resumons les : R est un corps commutatif totalement ordonne tel que toute suite a valeurs dans ce corps,croissante et majoree soit convergente. Nous avons vu que cette derniere propriete etait equivalente a lapropriete de la borne superieure. On peut encore montrer (voir chapitre 1), qu’elle est equivalente a lapropriete suivante : “N est une partie non majoree de ce corps et toute suite de Cauchy de ce corps estconvergente”.

Sous ce dernier point de vue, on dira que R est un corps commutatif totalement ordonne, archimedien etcomplet.

78

Valeurs decimales approchees a 10−n pres d’un nombre reel

Soient x ∈ R et n ∈ N. On appelle valeur decimale approchee par defaut (resp. par exces) a

10−n pres de x le nombre xn defini par xn =[10nx]

10n(resp. le nombre yn defini par yn = xn +

1

10n).

On verifie aisement que pour tout n ∈ N, on a xn ≤ x < yn et que les suites (xn)n≥0 et (xn)n≥0 sontadjacentes. Elles sont donc convergentes et de limite egale a x.

Densite de Q dans R

Ce qui precede montre que tout nombre reel x est limite d’une suite de nombres rationnels (en effetxn ∈ Q). Ainsi, aussi pres que l’on veut d’un reel x, il existe un rationnel r. Nous traduisons cette pro-priete en disant que Q est partout dense dans R.

79

Chapitre 4

FONCTIONS DERIVABLES

81

Dans tout ce qui suit, I designe un intervalle de R, non vide et non reduit a un point. La notation

Idesigne l’interieur de I qui est le plus grand intervalle ouvert inclus dans I c’est-a-dire l’intervalle Iprive de ses bornes.

1. Derivabilite en un point, sur un intervalle

1.1. Definition de la derivabilite

Soient f une fonction de I dans R et a un point de I. On dit que la fonction f est derivable en a si

et seulement si la fonction ϕ definie sur I \ a par ϕa(x) = f(x)−f(a)x−a admet une limite finie en a. Cette

limite est alors appelee nombre derive de f en a et notee f ′(a).

La quantitef(x) − f(a)

x− aest traditionnellement appelee taux de variation de f entre a et x.

On dira que f est derivable a droite en a (resp. a gauche en a) si et seulement si ϕ admet une limitea droite (resp. a gauche) en a. Cette limite est alors appelee nombre derive a droite (resp. a gauche) def en a et notee f ′

d(a) (resp. f ′g(a)).

Ainsi donc, f est derivable en a ∈

I si et seulement si f est derivable a droite et a gauche en a avecf ′

d(a) = f ′g(a).

Nous dirons que f est derivable sur I si et seulement si f est derivable en tout point de I et la fonctionqui a tout point a de I associe le nombre derive de f en a sera appele fonction derivee de f , notee f ′.

1.2. Interpretation geometrique de la derivabilite

Le plan etant rapporte a un repere (O,−→ı ,−→ ), notons Cf la

-

6

a x

Ma

Mx

O

courbe representative de f dans ce repere et pour tout elementx de I, Mx le point de Cf d’abscisse x et d’ordonnee f(x).

Soit maintenant x un element de I distinct de a. Alors Mx estdistinct de Ma et on observe que ϕa(x) n’est autre que le coef-ficient directeur de la droite (Ma,Mx).

Si f est derivable en a, le fait que limx→a

ϕa(x) = f ′(a) montre

que la famille de secantes (Ma,Mx) admet une position li-mite lorsque x tend vers a, autrement dit que Cf admet unetangente geometrique en Ma, a savoir la droite d’equationy = f(a) + f ′(a)(x− a).Nous dirons aussi que Cf admet f ′(a) pour pente en Ma.

Lorsque f n’est pas derivable en a, mais que limx→a

ϕa(x) = +∞ (ou −∞), la meme interpretation geometrique

montre que Cf admet la droite d’equation x = a pour tangente en Ma.

De meme lorsque f est derivable a droite (resp. a gauche) en a, peut-on dire que Cf possede en Ma unedemi-tangente a droite (resp. a gauche), d’equation y = f(a)+f ′

d(a)(x−a) (resp. y = f(a)+f ′g(a)(x−a)).

83

1.3. Derivabilite et developpement limite a l’ordre 1

Soit f une fonction numerique definie sur un intervalle I. Alors f est derivable en a ∈ I si et seulementsi elle admet un developpement limite a l’ordre un en a. Celui-ci est alors donne par

f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) + (x− a) .

Supposons tout d’abord f derivable en a. Nous avons pour tout x ∈ I \ a

f(x) − f(a) − f ′(a)(x − a) = (ϕa(x) − f ′(a))(x− a) .

Comme limx→ax 6=a

ϕ(x) = f ′(a) nous en deduisons que f(x)− f(a)− f ′(a)(x− a) = (x− a), ce qui est

encore vrai si x = a. La fonction f admet donc un d.l. 1 en a.

Reciproquement, supposons que f admette un d.l. 1 en a. Par definition il existe deux nombresreels a0 et a1 uniques tels que, pour tout x de I ,

f(x) = a0 + a1(x − a) + (x − a) .

On a alors f(a) = a0, puis

limx→ax 6=a

f(x) − f(a)

x − a= a1 .

La fonction f est donc derivable en a et f ′(a) = a1.

La derivabilite de f en a implique donc la continuite de f en a. La reciproque est fausse comme le montrel’exemple de la fonction f definie sur R par f(x) = |x| avec a = 0.

Autre consequence : si f est derivable en a et si f ′(a) 6= 0, on a f(x) − f(a) ∼af ′(a)(x− a).

2. Calcul de derivees

2.1. Derivabilite et operations algebriques

Soient f et g deux fonctions de I dans R, λ un nombre reel et a un element de I. Supposons f et gderivables en a. Alors,

f + g est derivable en a et (f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a)

λf est derivable en a et (λf)′(a) = λf ′(a)

f × g est derivable en a et (f × g)′(a) = f ′(a)g(a) + f(a)g′(a).

84

Supposons de plus que g ne s’annule pas sur I. Alors la fonction1

gdefinie sur I est derivable en a et

(1

g

)′

(a) = − g′(a)

(g(a))2.

En consequence,f

gest derivable en a et

(f

g

)′

(a) =f ′(a)g(a) − f(a)g′(a)

(g(a))2.

Tous ces resultats proviennent des formules sur les developpements limites, compte tenu de l’equivalenceentre la derivabilite en a, et l’existence d’un developpement limite d’ordre 1 en a.

2.2. Derivabilite et composition

Soient f une fonction de I dans R, J un intervalle tel que f(I) ⊂ J , g une fonction de J dans R eta un point de I. Supposons f derivable en a et g derivable en f(a). Alors g f est derivable en a et(g f)′(a) = g′(f(a)) × f ′(a).

Posons b = f(a). Comme f est derivable en a et g en b, on

f(x) = f(a) + (x − a)f ′(a) + ((x − a)) et g(y) = g(b) + (y − b)g′(b) + ((y − b) .

Alors par composition des d.l. ,

g f(x) = g(b) + f ′(a)g′(b)(x − a) + ((x − a)) .

On en deduit que g f est derivable en a et que

(g f)′(a) = f ′(a)g′(b) = g′(f(a))f ′(a) .

2.3. Derivabilite et fonction reciproque

Soit f une fonction de I dans R, continue sur I et strictement monotone sur I. Rappelons qu’alors frealise une bijection de I sur J = f(I), et que f−1 est continue sur J .Soit b ∈ J . Alors f−1(b) ∈ I et pour que f−1 soit derivable en b, il suffit que f le soit en f−1(b) et

que f ′(f−1(b)) 6= 0. On a alors(f−1

)′(b) =

1

f ′(f−1(b)).

Soit y ∈ J , y 6= b. Nous posons b = f(a) et y = f(x). Nous avons

f−1(y) − f−1(b)

y − b=

x − a

f(x) − f(a)=

1f(x)−f(a)

x−a

.

Notons que tous les quotients ci-dessus sont bien definis puisque les fonctions f et f−1 sont stric-tement monotones.

Comme nous avons suppose que f est derivable en a et que f ′(a) 6= 0, nous avons

limx→ax 6=a

1f(x)−f(a)

x−a

=1

f ′(a).

85

Or, lorsque y tend vers b, x = f−1(y) tend vers a car la fonction f−1 est continue au point b.Par consequent

limy→by 6=b

f−1(y) − f−1(b)

y − b= lim

x→ax 6=a

1f(x)−f(a)

x−a

=1

f ′(a)=

1

f ′(f−1(b)).

2.4. Derivees des fonctions reciproques circulaires

1) Posons I = ]−π/2, π/2 [ , J = ]−1, 1 [ , f(x) = sinx et donc f−1(x) = arcsinx. Nous avons f ′(x) = cosx,

donc(f−1

)′(x) =

1

cos (arcsinx)=

1√1 − x2

.

Donc

∀x ∈ ]−1, 1 [ , (arcsin)′(x) =1√

1 − x2.

2) Posons I = ] 0, π [ , J = ]−1, 1 [ , f(x) = cosx et donc f−1(x) = arccosx. Nous avons f ′(x) = − sinx,

donc(f−1

)′(x) =

−1

sin (arccosx)=

−1√1 − x2

.

Donc

∀x ∈ ]−1, 1 [ , (arccos)′(x) =−1√1 − x2

.

3) Posons I = ]−π/2, π/2 [ , J = R, f(x) = tanx et donc f−1(x) = arctanx. Nous avons f ′(x) = 1 + tan2 x,

donc(f−1

)′(x) =

1

1 + tan2 (arctanx)=

1

1 + x2.

Donc

∀x ∈ R , (arctan)′(x) =1

1 + x2.

4) Posons I = ] 0, +∞ [ , J = ] 1, +∞ [ , f(x) = chx et donc f−1(x) = argchx. Nous avons f ′(x) = shx,

donc(f−1

)′(x) =

1

sh (argchx)=

1√x2 − 1

.

Donc

∀x ∈ ] 1, +∞ [ , (argch)′(x) =1√

x2 − 1.

5) Posons I = R, J = R, f(x) = shx et donc f−1(x) = argshx. Nous avons f ′(x) = chx, donc(f−1

)′(x) =

1

ch (argshx)=

1√x2 + 1

.

Donc

86

∀x ∈ R, (argsh)′(x) =1√

x2 + 1.

2.5. Bilan sur la derivabilite des fonctions usuelles

Les fonctions polynomes, les fonctions rationnelles, les fonctions logarithmes, les fonctions exponentielles,les fonctions puissances, les fonctions hyperboliques directes et reciproques, les fonctions trigonometriquesdirectes et reciproques sont derivables sur tout intervalle ouvert inclus dans leur domaine de definition.

Resumons les principaux resultats dans le tableau suivant :

Derivee des fonctions usuelles

Cte 0

xa axa−1 (a ∈ R)

ex ex

ln |x| 1

x

sinx cosx

cosx − sinx

tanx 1 + tan2 x =1

cos2 x

cotanx −(1 + cotan2 x) = − 1

sin2 x

shx chx

chx shx

thx 1 − th2 x =1

ch2 x

arctanx1

1 + x2

arcsinx1√

1 − x2

arccosx − 1√1 − x2

argshx1√

1 + x2

argchx1√

x2 − 1

87

3. Derivees successives

Soient I un intervalle ouvert non vide de R et f une fonction de I dans R derivable sur I.

Si la derivee f ′ de f est derivable sur I, on note alors f ′′ sa derivee et on l’appelle derivee seconde de f .

Si la derivee seconde f ′′ de f est derivable sur I, on note alors f ′′′ ou f (3) sa derivee et on l’appellederivee troisieme de f .

et ainsi de suite :Supposons que f ait une derivee (k − 1)-ieme f (k−1), ou k est un entier, k ≥ 2. Si la fonction f (k−1) estderivable on pose

f (k) =(f (k−1)

)′,

et on appelle cette fonction derivee k-ieme de f .En posant par convention f (0) = f , la formule precedente vaut aussi si k = 1.

On verifie facilement le resultat suivant :

Soient p et q deux entiers positifs ou nuls et soit f une fonction p+ q fois derivable. Alors nous avons

f (p+q) =(f (p)

)(q)

=(f (q)

)(p)

.

La fonction f est dite n fois continument derivable sur I ou de classe Cn sur I si et seulement sif est n fois derivable sur I avec f (n) continue sur I.

La fonction f est dite de classe C∞ sur I si et seulement si f est de classe Cn sur I pour tout n ∈ N.

On observera que les fonctions polynomes, les fonctions rationnelles, les fonctions logarithmes, les fonc-tions exponentielles, les fonctions puissances, les fonctions hyperboliques directes et reciproques, les fonc-tions trigonometriques directes et reciproques sont toutes de classe C∞ sur tout intervalle ouvert inclusdans leur domaine de definition.

En ce qui concerne les operations algebriques, et la composition, on etablit facilement par recurrence lesresultats suivants :

Si f et g sont n fois derivables sur I et si λ ∈ R, alors f + g, λf et fg sont n fois derivables sur I et

(f + g)(n) = f (n) + g(n)

(λf)(n) = λf (n)

(fg)(n) =n∑

k=0

(n

k

)f (k)g(n−k) Formule de LEIBNIZ .

88

Les formules se demontrent par recurrence. Donnons simplement la demonstration de la formulede Leibniz. Elle est evidente au rang 0. Supposons qu’elle soit vraie au rang n. Alors Si f et g sontn + 1 fois derivables, elles le sont n−fois, donc fg est n fois derivable et

(fg)(n) =

nX

k=0

n

k

!

f (k)g(n−k) .

Les fonctions f (k) et g(n−k) sont alors derivables pour 0 ≤ k ≤ n et fg est n + 1 fois derivable.Alors, en derivant, on obtient

(fg)(n+1) =

nX

k=0

n

k

!

(f (k+1)g(n−k)+f (k)g(n−k+1)) =

nX

k=0

n

k

!

f (k+1)g(n−k)+

nX

k=0

n

k

!

f (k)g(n−k+1) .

Mais, en faisant un changement de variable k′ = k + 1,

nX

k=0

n

k

!

f (k+1)g(n−k) =

n+1X

k′=1

n

k′ − 1

!

f (k′)g(n−k′+1) ,

donc

(fg)(n+1) =

nX

k=0

n

k

!

f (k+1)g(n−k) =

n+1X

k=1

n

k − 1

!

f (k)g(n−k+1) +

nX

k=0

n

k

!

f (k)g(n−k+1) .

En utilisant alors la relation

n

k − 1

!

+

n

k

!

=

n + 1

k

!

,

on en deduit que fg est n + 1 fois derivable et que

(fg)(n+1) =n+1X

k=0

n + 1

k

!

f (k)g(n+1−k) ,

ce qui est la formule au rang n + 1.

Si f est n fois derivable sur I a valeurs dans un intervalle J , et si g est n fois derivable sur J a valeursdans R, alors g f est n fois derivable sur I.

Il existe une formule explicite (formule de di Bruno) donnant la derivee n−ieme de g f . Nousnous contenterons de montrer par recurrence le resultat suivant :

si n ≥ 1, et si f et g sont n fois derivables, alors g f est n fois derivable et la derivee (g f)(n)

peut s’ecrire comme une somme de termes de la forme f (i1) · · · f (ip)g(k) f , ou les nombres k, i1,. . . ip sont compris entre 1 et n.

C’est vrai si n = 1 puisque (g f)′ = f ′g′ f . Si l’on suppose le resultat vrai au rang n, soit f etg n + 1 fois derivables. Alors g f est n fois derivable et la derivee (g f)(n) peut s’ecrire commeune somme de termes de la forme f (i1) · · · f (ip)g(k) f , ou les nombres k, i1, . . . ip sont comprisentre 1 et n. Mais toutes les fonctions intervenant dans cette formule sont derivables, et la derivee(gf)(n+1) peut s’ecrire comme une somme des derivees de termes de la forme f (i1) · · · f (ip)g(k)f ,ou les nombres k, i1, . . . ip sont compris entre 1 et n. En derivant on obtient

(f (i1) · · · f (ip)g(k) f)′ = f (i1) · · · f (ip)f ′g(k+1) f +

pX

j=1

f (i1) · · · f (ij+1) · · · f (ip)g(k) f ,

et tous les coefficients k + 1, ij et ij + 1 sont compris entre 1 et n + 1. On obtient le resultat aurang n + 1.

89

Pour ce qui est de la fonction reciproque :

Si f est n fois derivable sur I (n ∈ N∗), et telle que f ′ soit de signe constant et ne s’annule pas sur I,elle realise une bijection de I sur J = f(I) et f−1 est n fois derivable sur J .

Supposons par exemple f ′ > 0 sur I . Alors f est strictement croissante et continue sur I , doncrealise une bijection de I sur J = f(I). Alors f−1 est derivable sur I , et

(f−1)′ =1

f ′ f−1.

Donc le resultat est vrai si n = 1. Il suffit d’ecrire (f−1)′ = ϕ f ′ f−1, ou ϕ designe l’applicationde ] 0, +∞ [ dans ] 0, +∞ [ definie par ϕ(x) = 1/x, et de remarquer que ϕ est de classe C∞ sur] 0, +∞ [ pour montrer que, si le resultat est vrai pour un n ∈ N∗, il est vrai a l’ordre n + 1. Letheoreme de composition ci-dessus permet en effet d’affirmer que la derivee premiere de f−1, asavoir ϕ f ′ f−1, est n fois derivable sur J , c’est-a-dire que f−1 est n + 1 fois derivable sur J .

Remarque : on peut montrer que l’hypothese : f ′ ne s’annule pas sur I, implique que f est de signeconstant sur I.

4. Theoreme de ROLLE, theoreme des accroissements finis

Soient I un intervalle ouvert de R, f une fonction definie sur I a valeurs dans R et soit c un point de I.On dira que f presente un maximum local (resp. minimum local) au point c, s’il existe η > 0 tel que,pour x ∈ I ∩ ] c− η, c+ η [ on ait f(x) ≤ f(c) (resp. f(x) ≥ f(c)).

Soient I un intervalle ouvert de R, f une fonction definie sur I a valeurs dans R et soit c un point deI. On suppose que f est derivable au point c et que f presente au point c un maximum local (ou unminimum local). Alors f ′(c) = 0

-

6

-

Oa bc

La reciproque de cette proposition est fausse. Pour s’en convaincre, il suffit de considerer f(x) = x3. Nousavons f ′(0) = 0 pour autant f ne presente ni maximum local, ni minimum local en x = 0.

90

Supposons qu’il s’agisse d’un maximum local. Il existe donc η > 0 tel que pour tout x ∈ I ,|x − c| < η nous ayons

f(x) − f(c)

x − c≥ 0 si x < c et

f(x) − f(c)

x − c≤ 0 si x > c .

En faisant tendre maintenant x vers c avec x < c dans la premiere inegalite et x vers c avecx > c dans la seconde nous obtenons que f ′

g(c) ≥ 0 et f ′d(c) ≤ 0. Par consequent f ′(c) = 0 car

f ′g(c) = f ′

d(c) = f ′(c).

Theoreme de ROLLE

Soient a et b deux nombres reels tel que a < b et f une application de [ a, b ] dans R, continue sur[ a, b ] et derivable sur ] a, b [ .Si f(a) = f(b) alors il existe c ∈ ] a, b [ tel que f ′(c) = 0.(Voir figure 1, ci-dessous)

Comme f est continue l’image par f du segment [ a, b ] est un segment [ m, M ] .

Si m = M alors pour tout x ∈ [ a, b ] f(x) = m et donc tout point c ∈ ] a, b [ convient.

Si m 6= M alors l’une au moins de ces deux quantites n’est pas egale a f(a) = f(b). Noussupposerons par exemple que M 6= f(a). Comme f est continue sur [ a, b ] , il existe c ∈ [ a, b ]tel que f(c) = M . Plus precisement, c ∈ ] a, b [ car M 6= f(a) et M 6= f(b). Ainsi l’application fpresente un maximum au point c et d’apres la proposition precedente, nous avons f ′(c) = 0.

-

6

i

q

Oa bc

-

6

-

Oa bc

figure 1 figure 2

Theoreme des accroissements finis

Soient a et b deux nombres reels tel que a < b et f une application de [ a, b ] dans R, continue sur[ a, b ] et derivable sur ] a, b [ .Il existe c ∈ ] a, b [ tel que f(b) − f(a) = (b− a)f ′(c).(Voir figure 2, ci-dessus)

Il suffit d’appliquer le theoreme de Rolle a l’application g definie, pour tout x ∈ [ a, b ] par

g(x) = f(x) − f(a) −„

f(b) − f(a)

b − a

«

(x − a) .

91

5. Applications du theoreme des accroissements finis

5.1. Inegalite des accroissements finis

Soit f une fonction de I dans R, continue sur I, derivable sur

I. Supposons qu’il existe un nombre reel

M tel que pour tout t ∈

I , |f ′(t)| ≤M . Alors pour tous x et y elements de I, |f(x)−f(y)| ≤M |x−y|.

Soient x et y deux elements de I tels que x < y. La fonction f est continue sur [ x, y ] , derivablesur ] x, y [ . D’apres le theoreme des accroissements finis, il existe c ∈ ] x, y [ tel que

f(x) − f(y) = (x − y)f ′(c) .

Or c ∈

I , donc nous avons |f ′(c)| ≤ M . Nous en deduisons ainsi que

|f(x) − f(y)| ≤ M |x − y| .

Condition suffisante de derivabilite en une borne d’un intervalle : theoreme de prolonge-ment de la derivabilite

Soit f une fonction de I dans R, continue sur I, derivable sur

I. Supposons que I admette un pluspetit (resp. plus grand) element a. Dans ces conditions

si f ′ admet une limite a droite (resp. a gauche) ℓ finie en a, f est derivable a droite (resp. agauche) en a avec f ′

d(a) = ℓ (resp. f ′g(a) = ℓ).

si limx 7→a

x>a

f ′(x) = +∞ ou −∞ (resp. si limx 7→a

x<a

f ′(x) = +∞ ou −∞), f n’est pas derivable a droite

(resp. a gauche) en a.

Supposons par exemple que f soit continue sur [ a, b ] , derivable sur ] a, b [ , et que f ′ admetteune limite finie a droite ℓ en a. Soit x dans ] a, b [ . D’apres le theoreme des accroissements finis,il existe cx dans ] a, x [ , tel que

f(x) − f(a)

x − a= f ′(cx) .

Soit alors ε > 0. Il existe α > 0, tel que, si a < x < a + α, on ait |f ′(x) − ℓ | < ε. Alors, on aegalement a < cx < a + α, et donc

˛

˛

˛

˛

f(x) − f(a)

x − a− ℓ

˛

˛

˛

˛

= |f ′(cx) − ℓ | < ε ,

ce qui montre que f(x)−f(a)x−a

tend vers ℓ, lorsque x tend vers a par valeurs superieures. Donc f est

derivable a droite en a, et f ′d(a) = ℓ.

De maniere analogue, si ℓ est infinie, on montre encore que f(x)−f(a)x−a

tend vers ℓ, et cette fois fn’est pas derivable a droite en a.

92

Caracterisation des fonctions constantes sur un intervalle

Soit f une fonction definie sur un intervalle I, a valeurs dans R. Alors f est constante sur I si etseulement si f est derivable sur I avec f ′ = 0.

En consequence, si f et g sont deux fonctions derivables sur I telles que f ′ = g′, il existe un reel k telque pour tout t ∈ I, g(t) = f(t) + k.

Si f est constante sur I elle est derivable sur I et f ′ = 0.

Reciproquement, supposons f derivable sur I avec f ′ = 0. Soient x et y deux points de I tels quex < y. D’apres le theoreme des accroissements finis, il existe c ∈ ] x, y [ tel que

f(x) − f(y) = (x − y)f ′(c) .

Or f ′(c) = 0, par consequent f(x) = f(y).

5.2. Condition necessaire et suffisante de monotonie sur un intervalle

Soit f une fonction de I dans R. Rappelons que f est dite croissante sur I si et seulement si :

∀(x, y) ∈ I2, (x < y ⇒ f(x) ≤ f(y)) .

et que la fonction f est dite strictement croissante sur I si et seulement si :

∀(x, y) ∈ I2, (x < y ⇒ f(x) < f(y)) .

De maniere analogue on definit la notion de fonction decroissante (resp. strictement decroissante) sur I.

Supposons f continue sur I et derivable sur

I. Alors :

f est croissante (resp. decroissante) sur I si et seulement si f ′ ≥ 0 (resp. f ′ ≤ 0) sur

I.f est strictement croissante (resp. strictement decroissante) sur I si et seulement si f ′ ≥ 0 (resp.

f ′ ≤ 0) sur

I et s’il n’existe pas de points c et d de

I tels que c < d et f ′ = 0 sur [ c, d ] (ce qui seraen particulier realise si f ′ ne s’annule qu’en un nombre fini de points).

Supposons f croissante et soit a ∈

I. Alors pour tout x ∈ I , x 6= a, nous avons f(x)−f(a)x−a

≥ 0. Nous

faisons maintenant tendre x vers a et nous obtenons ainsi que f ′(a) ≥ 0.

Reciproquement supposons que f ′ ≥ 0 sur

I. Soient x et y deux points de I tels que x < y. D’apresle theoreme des accroissements finis, il existe c ∈ ] x, y [ tel que f(x) − f(y) = (x − y)f ′(c). Orf ′(c) ≥ 0 et x − y > 0. Nous avons donc f(x) − f(y) ≥ 0.

De plus supposer qu’il n’existe pas de points c et d de

I tels que c < d et f ′ = 0 sur [ c, d ] est

equivalent d’apres la proposition precedente a supposer qu’il n’existe pas de points c et d de

I telsque c < d et f constante sur [ c, d ] .

93

6. Formules de Taylor

6.1. Formule de Taylor-Lagrange

Il s’agit d’une generalisation de la formule des accroissements finis

Soient n ∈ N, I un intervalle de R, f une fonction de I dans R, a un point de I. Supposons quela fonction f soit n + 1 fois derivable sur I. Alors pour tout x ∈ I \ a, il existe un nombre reel cstrictement compris entre a et x tel que

f(x) =

(n∑

k=0

(x− a)k

k!f (k)(a)

)+

(x− a)n+1

(n+ 1)!f (n+1)(c) .

Cette formule permet de minorer (resp. majorer) f sur I par une fonction polynomiale des lors que f (n+1)

est minoree (resp majoree) sur I.

Soit x ∈ I tel que x > a et posons pour tout t ∈ I ,

g(t) = f(x) −nX

k=0

(x − t)k

k!f (k)(t)

et

h(t) = g(t) −„

x − t

x − a

«n+1

g(a) .

La fonction h est continue sur [ a, x ] , derivable sur ] a, x [ et h(a) = h(x) = 0. D’apres le theoremede Rolle, il existe c ∈ ] a, x [ tel que h′(c) = 0.

Or un simple calcul nous montre que pour tout t ∈ I

h′(t) = (n + 1)(x − t)n

(x − a)n+1

»

g(a) − (x − a)n+1

(n + 1)!f (n+1)(t)

–

.

Donc il existe c ∈ ] a, x [ tel que

g(a) =(x − a)n+1

(n + 1)!f (n+1)(c) .

6.2. Formule de Taylor-Young

Soient n ∈ N∗, I un intervalle de R, f une fonction de I dans R, a un point de I. Nous avons demontredans le chapitre 2, en nous appuyant essentiellement sur l’inegalite des accroissements finis, que si f estn fois derivable sur l’intervalle I, il existe une fonction ε de I dans R de limite nulle en 0 telle que

∀x ∈ I, f(x) =

n∑

k=0

(x− a)k

k!f (k)(a) + (x− a)nε(x) ,

ce que l’on ecrit aussi sous la forme

f(x) =n∑

k=0

(x− a)k

k!f (k)(a) + ((x− a)n) .

94

Il est possible de demontrer que la conclusion tient encore si l’on suppose seulement que f est (n − 1)fois derivable sur I et que f (n−1) est derivable en a.

Les deux formules mettent en evidence le polynome

Tn(x) =

n∑

k=0

(x− a)k

k!f (k)(a) ,

qui est appele polynome de TAYLOR a l’ordre n en a de f .

Lorsque f est une fonction polynome de degre n, la formule de TAYLOR-LAGRANGE nous montre que,quel que soit a, la fonction f coıncide avec son n−ieme polynome de TAYLOR en a. Lorsque f n’est paspolynomiale, et en la supposant pour simplifier C∞, elle ne coıncide avec aucun de ses polynomes de TAY-LOR (sinon elle serait polynomiale !), mais on peut se demander si, sur un segment donne [ a− r, a+ r ] ,la suite de ses polynomes de TAYLOR ne fournit pas une suite d’approximations polynomiales de f deplus en plus “performantes”. La reponse est “pas necessairement” , comme le montrent les deux exemplessuivants de fonctions toutes deux C∞, dont les polynomes de TAYLOR ont un comportement totalementdifferent.

Exemple 1 :

Soit f definie sur R par f(x) = sinx que nous regardons sur [−2π, 2π ] . C’est une fonction C∞ donttoutes les derivees sont majorees, en valeur absolue, par 1. De plus, en raison de la parite de f , lespolynomes T2n+1 et T2n+2 sont egaux. Il resulte alors de la formule de TAYLOR-LAGRANGE en 0, que,pour tout x reel, il existe c compris entre 0 et x, tel que

f(x) = T2n+1(x) + f (2n+2)(c)x2n+2

(2n+ 2)!,

et on en deduit donc la majoration

|f(x) − T2n+1(x)| ≤|x|2n+2

(2n+ 2)!.

Comme le membre de droite admet pour limite zero, il en resulte que, lorsque x est fixe, la suite(T2n+1(x))n≥0 converge vers f(x). En fait, si r ∈ ] 0, +∞ [ , on a, pour tout x ∈ [−r, r ] ,

|f(x) − T2n+1(x)| ≤r2n+2

(2n+ 2)!,

et, quand n augmente, les polynomes T2n+1, se “collent” contre la fonction f sur tout l’intervalle [ r, −r ] ,comme on le voit sur le dessin suivant. Ce type de comportement traduit une propriete de convergenceuniforme qui sera vue en deuxieme niveau. C’est la formule de TAYLOR-LAGRANGE qui nous a permisd’estimer globalement l’ecart sur [−2π, 2π ] entre f et ses polynomes de TAYLOR.

95

-

6T1

T3

T5

T7

T11

2π

−2πf

Exemple 2 :

Soit maintenant h definie sur R par

h(x) =

e−1/x2

si x 6= 00 si x = 0

que nous regardons sur l’intervalle [−2, 2 ] . On demontre que cette fonction est C∞ et que toutes sesderivees sont nulles en 0. Les polynomes de TAYLOR en 0 de la fonction h sont donc tous nuls, et lasuite (Tn(x))n≥0 ne peut donc pas converger vers h(x) si x 6= 0.En revanche, la formule de TAYLOR-YOUNG assure que, pour n fixe, il existe une fonction εn, admettant0 comme limite en 0, et un voisinage In de zero tels que, pour tout x ∈ In,

h(x) = xnεn(x) .

Autrement dit, sur un certain intervalle, qui existe, mais que l’on ne connaıt pas explicitement, la fonc-tion h sera graphiquement indiscernable de la fonction nulle. La formule de TAYLOR-YOUNG permetd’obtenir le comportement local de la fonction h au voisinage de 0.

-

6

2

h

−2

96

Pour terminer, donnons une application de la formule de TAYLOR-YOUNG dans l’etude des extremad’une fonction.

Soient f une fonction deux fois derivable sur un intervalle I de R, et a un point de I, tel que f ′(a) = 0.Alorssi f ′′(a) > 0, la fonction f possede un minimum local en a,si f ′′(a) < 0, la fonction f possede un maximum local en a.

En ecrivant la formule de TAYLOR-YOUNG a l’ordre 2 en a, et puisque f ′(a) = 0, on obtient

f(x) = f(a) +(x − a)2

2f ′′(a) + (x − a)2ε(x) ,

ou ε est une fonction de I dans R de limite nulle en a. Alors si f ′′(a) n’est pas nul

f(x) − f(a) ∼a

(x − a)2

2f ′′(a) ,

et, dans un voisinage de a, la difference f(x) − f(a) possede le meme signe que f ′′(a).

Alors si f ′′(a) > 0, on a, dans un voisinage de a, l’inegalite f(x) > f(a), et f possede un minimumlocal en a, et si f ′′(a) < 0, on a, dans un voisinage de a, l’inegalite f(x) < f(a), et f possede unmaximum local en a.

7. Suites du type un+1 = f(un)

7.1. Definitions

Donnons tout d’abord quelques definitions pour fixer le cadre du probleme.

Soit I un intervalle de R non vide et non reduit a un point, et f une application de I dans R telle quef(I) ⊂ I. On dit dans ce cas que I est stable par f .

Si I est stable par f , il se peut qu’il existe un point a de I tel que f(a) = a. Un tel point est appelepoint fixe de f dans I.

Si I est stable par f , et si α est un point de I, on peut definir une suite u = (un)n≥0 de points de I parles relations

(i) u0 = α(ii) ∀n ∈ N, un+1 = f(un)

Essentiellement, on veut savoir si cette suite est convergente ou non, et, si oui, quelle est sa limite.

On peut deja faire la remarque suivante :

si l’on ajoute les hypotheses que f est continue, et que I est un intervalle ferme, alors si la suite uconverge sa limite est un point fixe de f dans I.

En effet, si (un) converge vers ℓ, puisque I est ferme, le nombre ℓ appartient a I , et puisque f estcontinue, (f(un)) converge vers f(ℓ). Alors par unicite de la limite f(ℓ) = ℓ.

97

7.2. Influence de la monotonie de f .

Si f est croissante sur I, la suite u est monotone. Plus precisement :

(i) si u1 ≥ u0 u est croisssante(ii) si u1 ≤ u0 u est decroisssante

Cela resulte immediatement du fait que, si f est croissante, les quantites f(un+1) − f(un) etun+1 − un ont, pour tout entier n naturel, le meme signe qui est celui de u1 − u0.

-

6

u0 u1 u2 u3 ℓ

Si f est decroissante sur I, la fonction f f est croissante sur I, donc les suites extraites x et y de udefinies par xn = u2n et yn = u2n+1 sont monotones. Les suites varient en sens contraire et leur sensde variation depend du signe de u2 − u0 :(i) si u2 ≥ u0 la suite x est croissante et y est decroissante.(ii) si u2 ≤ u0 la suite x est decroissante et y est croissante.

Si g = f f , on a alors xn+1 = g(xn) et yn+1 = g(yn) Donc le sens de variation de x depend dusigne de x1 −x0 = u2 −u0, et de celui de y de y1 − y0 = u3 − u1. Mais, puisque f est decroissante,u3 − u1 = f(u2) − f(u0) a le signe oppose de celui de u2 − u0.

Pour conclure dans le cas ou f est decroissante, on utilise alors le fait que u converge si et seulement six et y sont convergentes et de meme limite.

98

-

6

u0 u1u2 u3ℓ

7.3. Theoreme du point fixe

Nous allons nous placer dans le cadre des fonctions contractantes.

Rappelons qu’une fonction f est contractante de rapport k sur I, si et seulement si il existe un nombrereel k ∈ [ 0, 1 [ , tel que

(∀(x, y) ∈ I2) (|f(x) − f(y)| ≤ k |x− y|) .Nous avons vu qu’une telle fonction est alors uniformement continue, donc continue, sur I.On en deduit facilement par recurrence que si l’on designe par fn la composee f f · · ·f de n fonctionsf , cette fonction est contractante de rapport kn.

Nous pouvons alors obtenir le resultat suivant :

Theoreme du point fixe

Supposons I ferme, f contractante sur I et I stable par f . Alors f admet un point fixe a ∈ I et unseul, et, quelle que soit la condition initiale α, la suite u definie par u0 = α, et la relation de recurrenceun+1 = f(un), converge vers ce point fixe. De plus, on a, les trois inegalites suivantes :

(i) (∀n ∈ N) (|un − a| ≤ kn|u0 − a|)

(ii) (∀n ∈ N)

(|un − a| ≤ kn

1 − k|u1 − u0|

)

(iii) (∀n ∈ N∗)

(|un − a| ≤ k

1 − k|un − un−1|

).

Remarquons pour commencer que, quels que soient les entiers k et n tels que 0 ≤ k ≤ n, on peutecrire un = fk(un−k) (avec la convention : f0 = IdI).

Soient a et b deux points fixes de f . Alors

|a − b| = |f(a) − f(b)| ≤ k|a − b| ,

et ceci n’est possible que si |a − b| est nul. Donc f possede au plus un point fixe.

99

Pour montrer que la suite u a une limite, nous allons montrer que c’est une suite de Cauchy. Pourcela majorons |un+p − un|. On part de l’egalite

un+p − un = (un+p − un+p−1) + (un+p−1 − un+p−2) + · · · + (un+1 − un) ,

que l’on peut encore ecrire, si r est un entier tel que 1 ≤ r ≤ n + 1

un+p − un = (fn+p−r(ur) − fn+p−r(ur−1)) + (fn+p−r−1(ur) − fn+p−r−1(ur−1)) + · · ·· · · + (fn−r+1(ur) − fn−r+1(ur−1)) .

En utilisant l’inegalite triangulaire, on en deduit

|un+p − un| ≤ |fn+p−r(ur) − fn+p−r(ur−1)| + |fn+p−r−1(ur) − fn+p−r−1(ur−1)| + · · ·· · · + |fn−r+1(ur) − fn−r+1(ur−1)| ,

puis en utilisant le fait que fs est contractante de rapport ks,

|un+p − un| ≤ kn+p−r|ur − ur−1| + kn+p−r−1|ur − ur−1| + · · · + kn−r+1|ur − ur−1| .

Mais on reconnaıt dans le membre de droite la somme des termes d’une suite geometrique :

kn+p−r + kn+p−r−1 + · · · + kn−r+1 = kn−r+1(kp−1 + kp−2 + · · · + 1) = kn−r+1 1 − kp

1 − k,

qui se majore, puisque 0 ≤ k < 1, parkn−r+1

1 − k.

On en deduit donc l’inegalite

(E) |un+p − un| ≤ kn−r+1

1 − k|ur − ur−1| .

On prend tout d’abord r = 1. L’inegalite (E) donne alors

|un+p − un| ≤ kn

1 − k|u1 − u0| .

Si l’on pose,

vn =kn

1 − k|u1 − u0|

on definit une suite v admettant comme limite 0, puisque 0 ≤ k < 1. Soit alors ε > 0. Il existe unentier naturel q, tel que, si n ≥ q, on ait vn < ε. On en deduit que, pour tout p ∈ N et tout n ≥ q,

|un+p − un| < ε .

La suite u est bien une suite de Cauchy. Elle converge donc. Notons a sa limite. C’est un pointfixe de f , puisque f est continue, et c’est le seul.

L’inegalite (i) s’obtient en utilisant le fait que fn est contractante de rapport kn et que a est unpoint fixe de fn. En effet

|un − a| = |fn(u0) − fn(a)| ≤ kn|u0 − a| .

Pour l’inegalite (ii), on utilise de nouveau l’inegalite (E) dans le cas ou r = 1.

|un+p − un| ≤ kn

1 − k|u1 − u0| .

Si n est fixe, la suite (un+p − un)p≥0 converge vers a − un, et donc, par passage a la limite dansles inegalites

|a − un| ≤ kn

1 − k|u1 − u0| .

Pour l’inegalite (iii), on utilise l’inegalite (E) avec r = n

|un+p − un| ≤ k

1 − k|un − un−1| ,

et l’on termine comme dans (ii).

100

Le theoreme precedent donne une methode (appelee methode des approximations successives) quipermet de calculer de maniere approchee la solution a d’une equation du type f(x) = x, ou f est contrac-tante sur un intervalle ferme stable I. Les inegalites donnees permettent de controler l’erreur commise enremplacant la solution a par le terme un .

La deuxieme inegalite permet de determiner a priori un rang qu’il suffira de calculer pour obtenir uneerreur inferieure a une valeur ε donnee. Il suffit de determiner n pour que

kn

1 − k|u1 − u0| < ε .

La premiere inegalite est moins utile a cet egard, sauf si l’intervalle I est un segment [λ, µ ] puisque l’onpeut alors majorer |u0− a| que l’on ne connaıt pas, par µ−λ. De toute facon, on peut obtenir une valeurde n nettement plus grande que ce qui est necessaire, et sur le plan des calculs numeriques, la troisiemeinegalite sera plus interessante de ce point de vue, puisque, chaque fois que l’on aura calcule un terme un

de la suite, il suffira de comparerk

1 − k|un − un−1| a ε, et d’arreter le calcul lorsque l’on aura,

k

1 − k|un − un−1| < ε .

Cette technique suppose donc que l’on sache trouver un rapport de contraction k. Un moyen tres simplepour determiner si une fonction f , derivable sur I, est contractante est donne par le resultat suivant :

Soit f une fonction derivable sur I. Elle est contractante si et seulement si il existe un nombre reelk ∈ [ 0, 1 [ , tel que,

(∀t ∈ I) (|f ′(t)| ≤ k) .

Si f est contractante sur I , soit t dans I . Alors si h est non nul, et si t + h appartient a I ,

|f(t + h) − f(t)| ≤ k|h| ,

d’ou˛

˛

˛

˛

f(t + h) − f(t)

h

˛

˛

˛

˛

≤ k .

Lorsque h tend vers zero, on obtient par conservation des inegalites

|f ′(t)| ≤ k .

Inversement, supposons que cette derniere inegalite ait lieu pour tout t de I , il resulte de l’inegalitedes accroissements finis que, quels que soient x et y dans I ,

|f(x) − f(y)| ≤ k |x − y| .

101

Chapitre 5

INTEGRALE D’UNE FONCTION

CONTINUE

103

On expose dans ce chapitre la construction de l’integrale d’une fonction a valeurs reelles due a Riemannqui permet de donner un sens precis a la notion d’aire d’un domaine D limite par la courbe representatived’une fonction f definie sur un intervalle [ a, b ] . L’idee de base est que l’on sait calculer l’aire d’un rec-tangle, et que l’on va approcher le domaine D par des rectangles. On comprend que lorsque la fonctionf est assez reguliere, plus le nombre de rectangles est grand, plus on s’approchera de l’aire cherchee. Oncommence donc par etudier les fonctions dont la courbe representative donne des rectangles. On definiraensuite les fonctions integrables au sens de Riemann, et on montrera que les fonctions continues verifientcette propriete. Nous nous limiterons ensuite a l’integrale de ces fonctions continues.

1. Les fonctions en escalier

1.1. Quelques definitions

On appelle subdivision de l’intervalle [ a, b ] , un ensemble fini de points X = x0, x1, . . . , xn tels que

a = x0 < x1 < · · · < xn = b .

Le pas de la subdivision, sera le plus grand des nombres xk − xk−1, lorsque k est compris entre 1 et n.

Une subdivision X ′ est dite plus fine que X , si l’ensemble X ′ contient X . (plus fine = plus de points).

La pas de la subdivision X ′ est donc plus petit que celui de X .

Obtenir une subdivision plus fine que X = x0, x1, . . . , xn, revient a subdiviser les intervalles [xi, xi+1 ] .

Exemple :

-

a = x′0 x′1 x′2 x′3 x′4 x′5 x′6 x′7 x′8 = b

a = x0 x1 x2 x3 x4 = b

On appelle fonction en escalier une application definie sur un segment [ a, b ] a valeurs reelles, pourlaquelle il existe une subdivision x0, x1, . . . , xn et un ensemble de nombres λ1, . . . , λn tels que, pourk variant de 1 a n, la fonction soit constante sur l’intervalle ]xk−1, xk [ et y prenne la valeur λk. (Auxpoints xk la fonction peut prendre d’autres valeurs eventuellement).

On dira que la subdivision X = x0, x1, . . . , xn est adaptee a la fonction en escalier f si f est constantesur chacun des intervalles ]xk−1, xk [ . Toute subdivision plus fine que X est encore adaptee a f .

On notera E( [ a, b ] ) l’ensemble des fonctions en escalier definies sur [ a, b ] .

105

-

-

-

- -

-

-

1.2. Quelques proprietes des fonctions en escalier

– Une fonction en escalier est bornee, puisqu’elle ne prend qu’un nombre fini de valeurs.

– Si f est une fonction en escalier sur [ a, b ] , et si λ est un nombre reel, alors λf est une fonction enescalier sur [ a, b ] , et une subdivision adaptee a f est aussi adaptee a λf . En effet, si f est constantesur ]xk−1, xk [ , il en est de meme de λf .

– Si f et g sont des fonctions en escalier sur [ a, b ] , il en est de meme de f + g. En effet, si X et X ′ sontdes subdivisions adaptees a f et g respectivement, la subdivision X ∪X ′ = x0, · · · , xn est adaptee ala fois a f et a g, et sur chacun des intervalles ]xk−1, xk [ , les fonctions f et g sont constantes, doncf + g egalement et X ∪ X ′ est une subdivision adaptee a f + g.

En particulier E( [ a, b ] ) est un espace vectoriel sur R.

1.3. Integrale d’une fonction en escalier

Soit f une fonction en escalier definie sur [ a, b ] . Si X = x0, x1, . . . , xn est une subdivision de [ a, b ]adaptee a f , et si, pour k compris entre 1 et n, on appelle λk la valeur prise par la fonction f surl’intervalle ]xk−1, xk [ , on peut considerer la somme

σ =n∑

k=1

λk(xk − xk−1) .

Remarquons que le nombre |λk|(xk −xk−1) est l’aire geometrique du rectangle de hauteur |λk| et de basexk−xk−1. Le nombre σ represente donc l’aire algebrique du domaine delimite par la courbe representativede f qui est forme d’une reunion finie de rectangles. Les aires des rectangles situes en dessous de l’axedes x sont comptees negativement.

Cette somme ne depend pas de la subdivision adaptee a f choisie. Prendre une subdivision plus finerevient a decomposer les rectangles precedents en rectangles plus petits, et la somme reste inchangee.Cette somme ne depend que de f , et sera notee

I(f) =

b∫

a

f(x) dx ,

106

on l’appelle l’integrale de f sur [ a, b ] .

Remarque : la lettre x figurant dans l’integrale ci-dessus est ce que l’on appelle une variable muette.Elle peut etre remplacee par une autre lettre, non encore utilisee. Par exemple

I(f) =

b∫

a

f(t) dt ou I(f) =

b∫

a

f(u) du .

Mais on ne pourra pas remplacer x par a ou b par exemple.

Dans la suite du texte nous utiliserons la notation I lorsque l’integrale est prise sur [ a, b ] . Nous revien-drons a la notation integrale lorsqu’il y aura plusieurs intervalles.

-

6

λ3

λ5

λ2

λ1

λ4

a x1 x2 x3 x4 b

++

−

+

−

Quelques remarques :

1) Modifier la valeur de f en un nombre fini de points ne modifie pas la valeur de la somme. En particuliersi f(x) = 0 sauf pour un nombre fini de valeurs de x, alors I(f) = 0.

2) Si f est la fonction caracteristique d’un intervalle de bornes c et d (c < d),

I(f) = d− c .

3) Si f est constante sur [ a, b ] et vaut λ, alors

I(f) = λ(b − a) .

4) Si f est positive, alors I(f) est positive, car tous les termes de la somme sont positifs

5) Si a ≤ c ≤ b, en introduisant le point c dans la subdivision, on a la relation de Chasles

b∫

a

f(x)dx =

c∫

a

f(x)dx +

b∫

c

f(x)dx .

(Avec la convention

a∫

a

f(x)dx = 0).

107

Linearite de I

Si f et g sont deux fonctions en escalier definies sur [ a, b ] , et si µ est un nombre reel, alors on a

I(f + g) = I(f) + I(g) et I(µf) = µI(f) .

L’application I est donc lineaire sur E( [ a, b ] ).

On a vu que f+g est une fonction en escalier, et que l’on peut prendre une subdivision X = x0, x1, . . . , xnadaptee a la fois a f et a g qui sera alors une subdivision adaptee a f + g.

Si, sur l’intervalle ] xk−1, xk [ , on a f(x) = λk et g(x) = µk, alors, (f + g)(x) = λk + µk et pardefinition

I(f + g) =nX

k=1

(λk + µk)(xk − xk−1) .

On obtient alors

I(f + g) =

nX

k=1

λk(xk − xk−1) +

nX

k=1

µk(xk − xk−1) ,

c’est-a-direI(f + g) = I(f) + I(g) .

De meme µf est une fonction en escalier, et vaut µ λk sur ] xk−1, xk [ , d’ou

I(µf) =

nX

k=1

(µ λk)(xk − xk−1) = µ

nX

k=1

λk(xk − xk−1) = µI(f) .

Consequence : si f ≤ g, alors I(f) ≤ I(g), car

I(g) − I(f) = I(g − f) ≥ 0 .

2. Fonctions integrables au sens de Riemann

Toutes les fonctions envisagees desormais sont des fonctions a valeurs reelles definies sur un segment[ a, b ] et bornees sur cet intervalle.

Pour une fonction bornee, il existe donc un nombre M , tel que, pour tout x de [ a, b ] , on ait

−M ≤ f(x) ≤M .

NotonsI+(f) = I(G) | G ∈ E( [ a, b ] ) , G ≥ f .

Cet ensemble n’est pas vide car il contient I(M) = M(b − a). D’autre part, si G est une fonction enescalier telle que G ≥ f , on a aussi G ≥ −M , et donc

I(G) ≥ −M(b− a) .

108

L’ensemble I+(f) est donc minore. Il possede une borne inferieure. On note I+(f) cette borne inferieure,qui est appelee integrale superieure de f .

De meme, si l’on poseI−(f) = I(g) | g ∈ E( [ a, b ] ) , g ≤ f ,

le meme raisonnement montre que cet ensemble n’est pas vide et est majore (par M(b − a)). Sa bornesuperieure existe. On note I−(f) cette borne superieure, qui est appelee integrale inferieure de f . Donc

I+(f) = infG∈E( [ a, b ] )

G≥f

I(G) et I−(f) = supg∈E( [ a, b ] )

g≤f

I(g) .

Remarquons en particulier, que si g ≤ f ≤ G, et si g et G sont en escalier, alors I(g) ≤ I(G), donc I(G)majore I−(f), et il en resulte que

I−(f) ≤ I(G) .

Mais cela signifie que I−(f) minore I+(f), donc

I−(f) ≤ I+(f) .

Enfin, si f est une fonction en escalier, I(f) appartient a I−(f) et est un majorant de cet ensemble, ilappartient aussi a I+(f) et est un minorant de cet ensemble, donc

I(f) = I+(f) = I−(f) .

On dira qu’une fonction f est integrable au sens de Riemann ou Riemann-integrable, si l’on aI+(f) = I−(f). On notera alors

I(f) =

b∫

a

f(x)dx ,

la valeur commune.

En particulier, d’apres ce qui precede, une fonction en escalier est Riemann-integrable.

2.1. Criteres d’integrabilite

En revenant a la definition de la borne inferieure et de la borne superieure, on peut donner divers criteresequivalents pour montrer l’integrabilite.

Une fonction bornee f est Riemann-integrable, si et seulement si, pour tout ε > 0, on peut trouver,des fonctions en escalier fε et Fε, telles que fε ≤ f ≤ Fε et

b∫

a

(Fε(x) − fε(x)) dx ≤ ε .

109

-

6

a b

Fε

fε

f

Sur le dessin precedent l’integrale I(Fε−fε) est l’aire des rectangles limites par les courbes representativesdes fonctions en escalier Fε et fε. Cette aire est inferieure a ε.

Donnons nous ε > 0. Par definition de la borne inferieure, il existe Fε en escalier majorant f telleque

I+(f) ≤ I(Fε) ≤ I+(f) +ε

2.

Par definition de la borne superieure, il existe fε en escalier minorant f telle que

I−(f) − ε

2≤ I(fε) ≤ I−(f).

On en deduit0 ≤ I(Fε) − I(fε) ≤ I+(f) +

ε

2−“

I−(f) − ε

2

”

.

Donc, si f est Riemann-integrable,

I(Fε − fε) = I(Fε) − I(fε) ≤ ε .

Reciproquement, si l’on peut trouver, pour tout ε > 0 des fonctions en escalier fε et Fε, telles quefε ≤ f ≤ Fε et

bZ

a

(Fε(x) − fε(x)) dx ≤ ε ,

on a en particulier, quel que soit ε

I(fε) ≤ I−(f) ≤ I+(f) ≤ I(Fε) ,

donc0 ≤ I+(f) − I−(f) ≤ I(Fε − fε) ≤ ε .

On en deduit que I+(f) − I−(f) = 0, donc que f est Riemann-integrable.

110

On peut donner une version de ce critere en terme de suites :

Une fonction bornee f est Riemann-integrable, si et seulement si, on peut trouver, deux suites (fn)n≥0

et (Fn)n≥0 de fonctions en escalier, telles que, pour tout entier n on ait fn ≤ f ≤ Fn et verifiant

limn→+∞

b∫

a

(Fn(x) − fn(x)) dx = 0 .

Dans ce casb∫

a

f(x) dx = limn→+∞

b∫

a

Fn(x) dx = limn→+∞

b∫

a

fn(x) dx .

Si f est Riemann-integrable, prenons ε = 1/n. Donc, on peut trouver, des fonctions en escalier fn

et Fn, telles que fn ≤ f ≤ Fn et

0 ≤bZ

a

(Fn(x) − fn(x)) dx ≤ 1

n.

Le theoreme d’encadrement permet de conclure que

limn→+∞

bZ

a

(Fn(x) − fn(x)) dx = 0 .

Reciproquement, si l’on a obtenu deux telles suites, et si l’on se donne ε > 0, en prenant n ≥ 1/ε,on obtient deux fonctions satisfaisant les hypotheses du critere precedent.

Enfin0 ≤ I(f) − I(fn) ≤ I(Fn) − I(fn) et 0 ≤ I(Fn) − I(f) ≤ I(Fn) − I(fn) .

On deduit du theoreme d’encadrement que

I(f) = limn→+∞

bZ

a

Fn(x) dx = limn→+∞

bZ

a

fn(x) dx .

Linearite de l’integrale de Riemann

L’ensemble des fonctions numeriques definies sur [ a, b ] et integrables au sens de Riemann est unespace vectoriel et l’application qui a une fonction associe son integrale est lineaire.

Soit f et g integrables au sens de Riemann. Il existe alors quatre suites de fonctions en escaliers(fn), (Fn), (gn), (Fn) telles que, pour tout entier n

fn ≤ f ≤ Fn et gn ≤ g ≤ Gn ,

etlim

n→+∞I(Fn − fn) = lim

n→+∞I(Gn − gn) = 0 .

111

Alorsfn + gn ≤ f + g ≤ Fn + Gn ,

Les fonctions fn + gn et Fn + Gn sont en escalier, et

limn→+∞

I((Fn + Gn) − (fn − gn)) = limn→+∞

I(Fn − fn) + limn→+∞

I(Gn − gn) = 0 .

Il en resulte que f + g est Riemann-integrable, et que

I(f + g) = limn→+∞

I(fn + gn) = limn→+∞

I(fn) + limn→+∞

I(gn) = I(f) + I(g) .

Si λ est un nombre reel positif, on a

λfn ≤ λf ≤ λFn ,

etlim

n→+∞I((λFn) − (λfn)) = lim

n→+∞λ(I(Fn − fn)) = 0 ,

donc λf est Riemann-integrable et

limn→+∞

I(λfn) = λ limn→+∞

I(fn) = λI(f) .

Si λ est un nombre reel negatif, on a

λFn ≤ λf ≤ λfn ,

et la conclusion subsiste encore.

2.2. Positivite et croissance de l’integrale de Riemann

Si f est Riemann-integrable et positive, alors I(f) ≥ 0.

En effet I(0) = 0 appartient alors a I−(f), donc I−(f) = I(f) est positif.

Remarque : une fonction qui est nulle sauf en un nombre fini de points est telle que sont integrale soit nulle.

On en deduit la croissance de I :

Si f et g sont deux fonctions Riemann-integrables sur [ a, b ] , alors si f ≤ g, on a I(f) ≤ I(g).

On a en effet g − f ≥ 0, donc I(g − f) ≥ 0, mais

I(g − f) = I(g)− I(f) ,

doncI(f) ≤ I(g) .

112

2.3. Restriction d’une fonction Riemann-integrable.

Soit f definie sur [ a, b ] et Riemann-integrable. Soit [ c, d ] un intervalle inclus dans [ a, b ] . Alors larestriction de f a [ c, d ] est Riemann-integrable.Si de plus f est positive, alors

d∫

c

f(x)dx ≤b∫

a

f(x)dx .

Si l’on a fn ≤ f ≤ Fn ou fn et Fn sont en escalier et ou I(Fn − fn) tend vers zero, alors,

(fn)/I ≤ f/I ≤ (Fn)/I ,

et les restrictions a I de fn et Fn sont en escalier sur I .

D’autre part la fonction Fn − fn etant en escalier et positive, on a

0 ≤dZ

c

(Fn − fn)(x)dx ≤bZ

a

(Fn − fn)(x)dx .

(En prenant une subdivision de [ a, b ] contenant c et d, la somme definissant l’integrale de droite,contient celle definissant l’integrale de gauche, plus des termes positifs). Il resulte du theoremed’encadrement que

limn→+∞

dZ

c

(Fn − fn)(x)dx = 0 .

donc la restriction de f a [ c, d ] est Riemann-integrable.

Si f est positive, on peut choisir fn positive, alors

0 ≤dZ

c

fn(x)dx ≤bZ

a

fn(x)dx ,

et par passage a la limite

0 ≤dZ

c

f(x)dx ≤bZ

a

f(x)dx .

2.4. Relation de Chasles

Soit f une fonction numerique definie sur [ a, b ] , et a ≤ c ≤ b. La fonction f est Riemann-integrablesi et seulement si ses restrictions f/ [ a, c ] et f/ [ c, b ] , sont Riemann-integrables, et alors

b∫

a

f(x)dx =

c∫

a

f(x)dx +

b∫

c

f(x)dx .

113

(Avec la convention

a∫

a

f(x)dx = 0).

Si f est Riemann-integrable il resulte du paragraphe precedent que ses restrictions a [ a, c ] et[ c, b ] le sont aussi.

Montrons la reciproque. On choisit quatre suites de fonctions en escaliers (fn), (Fn), (gn), (Fn)telles que, pour tout entier n et pour tout x de [ a, c ] ,

fn(x) ≤ f(x) ≤ Fn(x) ,

et pour tout x de [ c, b ] ,gn(x) ≤ f(x) ≤ Gn(x) .

et

limn→+∞

cZ

a

(Fn − fn)(x)dx = limn→+∞

bZ

c

(Gn − gn)(x) = 0 .

Alors on definit deux fonctions en escalier Φ et ϕ en posant

Φn(x) =

Fn(x) si a ≤ x ≤ cGn(x) si c < x ≤ b

et ϕn(x) =

fn(x) si a ≤ x ≤ cgn(x) si c < x ≤ b

.

On a, sur [ a, b ]ϕn ≤ f ≤ Φn ,

et, en appliquant la relation de Chasles a la fonction en escalier Φn − ϕn,

bZ

a

(Φn − ϕn)(x)dx =

cZ

a

(Fn − fn)(x)dx +

bZ

c

(Gn − gn)(x)dx ,

et il resulte du theoreme sur les limites d’une somme que cette expression converge vers 0. On endeduit que f est Riemann-integrable. De plus, en utilisant la relation de Chasles pour les fonctionsen escalier

bZ

a

Φn(x)dx =

cZ

a

Fn(x)dx +

bZ

c

Gn(x)dx ,

et par passage a la limitebZ

a

f(x)dx =

cZ

a

f(x)dx +

bZ

c

f(x)dx .

3. Integration des fonctions continues

Toute fonction numerique continue sur [ a, b ] est integrable au sens de Riemann sur [ a, b ] .

La fonction f etant continue sur le segment [ a, b ] elle est bornee et uniformement continue surcet intervalle. Soit n un entier strictement positif. il existe α > 0 tel que |x − y| < α, implique

|f(x) − f(y)| <1

n.

114

Choisisons p entier tel que p > (b − a)/α, et posons, si 0 ≤ k ≤ p,

xk = a + kb − a

p.

On obtient ainsi une subdivision x0, x1, . . . , xp de [ a, b ] , telle que

xk − xk−1 =b − a

p.

Par ailleurs, sur [ xk−1, xk ] la fonction continue f atteint sa borne superieure en un point ξk etsa borne inferieure en un point ζk.

On definit deux fonctions en escalier fn et Fn en posant, si x appartient a [ xk−1, xk [

Fn(x) = f(ξk) et fn(x) = f(ζk) ,

etFn(b) = fn(b) = f(b) .

On a alorsfn ≤ f ≤ Fn .

Comme ξk et ζk appartiennent a l’intervalle [ xk−1, xk ] , on a

|ξk − ζk| ≤b − a

p< α ,

et donc

0 ≤ f(ξk) − f(ζk) ≤ 1

n.

Alors

0 ≤ I(Fn − fn) =

pX

k=1

(f(ξk) − f(ζk))b − a

p≤

pX

k=1

1

n

b − a

p=

b − a

n.

Cette suite converge donc vers zero, et il en resulte que f est Riemann-integrable.

Bien qu’il soit possible d’enoncer beaucoup des resultats suivants dans le cadre des fonctions Riemann-integrables, nous nous contenterons de les donner pour des fonctions continues, ce qui simplifie notable-ment les demonstrations.

Si f est continue, il en est de meme de |f |, et

|I(f)| ≤ I(|f |) .

Puisque−|f | ≤ f ≤ |f | ,

on en deduit−I(|f |) = I(−|f |) ≤ I(f) ≤ I(|f |) ,

ou encore, puique I(|f |) est positif|I(f)| ≤ I(|f |) .

Inegalite de la moyenne : si f est continue

|I(f)| ≤ (b− a) supa≤x≤b

|f(x)| .

115

Si M designe un majorant de |f |, on a|f | ≤ M ,

donc|I(f)| ≤ I(|f |) ≤ I(M) = M(b − a) .

4. Integrale indefinie

4.1. Une notation universelle

Si f est une fonction continue sur [ a, b ] , et si c et d sont dans [ a, b ] , on pose, si c > d,

d∫

c

f(x)dx = −c∫

d

f(x)dx .

Avec cette convention, on voit facilement que l’on a, quels que soient u, v, w dans [ a, b ] la relation deChasles :

w∫

u

f(x)dx =

v∫

u

f(x)dx +

w∫

v

f(x)dx ,

ou encorew∫

u

f(x)dx −v∫

u

f(x)dx =

w∫

v

f(x)dx .

On peut egalement generaliser l’inegalite de la moyenne de la maniere suivante :si M est un majorant de |f |, et si c et d sont inclus dans [ a, b ]

∣∣∣∣∣∣

d∫

c

f(t) dt

∣∣∣∣∣∣≤M |d− c| .

En effet, si c > d, on a

∣∣∣∣∣∣

d∫

c

f(t) dt|

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

c∫

d

f(t) dt|

∣∣∣∣∣∣≤M(c− d) = M |d− c| ,

et si c < d, ∣∣∣∣∣∣

d∫

c

f(t) dt

∣∣∣∣∣∣≤ (d− c) = M |d− c| .

4.2. Definition de l’integrale indefinie

Soit f une fonction continue sur [ a, b ] . Si c appartient a [ a, b ] , on definit une fonction F sur [ a, b ] enposant

F (x) =

x∫

c

f(t) dt .

116

Cette integrale est appelee integrale indefinie de f . On a alors le theoreme fondamental du calculintegral :

Soit f est une fonction continue sur [ a, b ] , alors la fonction F definie sur [ a, b ] en posant

F (x) =

x∫

c

f(t) dt ,

est derivable sur [ a, b ] et, pour tout x0 de [ a, b ] , on a

F ′(x0) = f(x0) .

Soit x0 dans [ a, b ] . On va montrer que la difference

δ(x) =F (x) − F (x0)

x − x0− f(x0) ,

tend vers 0, lorsque x tend vers x0, ce qui signifiera que F est derivable en x0 et que F ′(x0) = f(x0).

Pour cela evaluons(x − x0)δ(x) = F (x) − F (x0) − (x − x0)f(x0) .

Tout d’abord, par la relation de Chasles,

F (x) − F (x0) =

xZ

x0

f(t) dt ,

mais aussi

(x − x0)f(x0) =

xZ

x0

f(x0) dt ,

donc

F (x) − F (x0) − (x − x0)f(x0) =

xZ

x0

(f(t) − f(x0)) dt .

Si f est continue en x0, quel que soit ε > 0, il existe α > 0, tel que, si |x − x0| < α, et si xappartient a [ a, b ] on ait

|f(x) − f(x0)| < ε .

Alors si t est compris entre x et x0, on a |t − x0| < α et

|f(t) − f(x0)| < ε .

Il resulte de l’inegalite de la moyenne que˛

˛

˛

˛

˛

˛

xZ

x0

(f(t) − f(x0)) dt

˛

˛

˛

˛

˛

˛

≤ ε|x − x0| .

Donc, en divisant par |x − x0|,|δ(x)| < ε .

En resume, quel que soit ε > 0, il existe α > 0, tel que, si |x− x0| < α, et si x appartient a [ a, b ]on ait

|δ(x)| < ε .

Cela signifie que δ(x) tend vers 0 lorsque x tend vers x0 d’ou le resultat voulu.

117

Consequences :

1) toute fonction f continue sur [ a, b ] , possede une primitive dans cet intervalle.

2) Formule de Newton-Leibniz : pour toute primitive G de f dans [ a, b ] , on a

b∫

a

f(t) dt = G(b) −G(a) .

3) si f est de classe C1, il resulte alors de ce qui precede que

b∫

a

f ′(t) dt = f(b) − f(a) .

La fonction F construite precedemment est bien une primitive de f . Si G est une autre primitive,la fonction G−F est constante sur [ a, b ] . Donc, il existe une constante k telle que G = F + k et

G(b) − G(a) = F (b) − F (a) =

bZ

a

f(x)dx .

On notera de maniere generale

G(b) −G(a) =[G(x)

]b

a.

Exemple : Trouver la derivee de la fonction G definie sur R+ par G(x) =

x2+1∫

2x

√1 + t3 dt .

Si f(x) =√

1 + t3, on note F une primitive de f sur R+. Alors G(x) = F (x2 +1)−F (2x) , et en derivant

G′(x) = 2xF ′(x2 + 1) − 2F ′(2x) = 2x√

1 + (x2 + 1)3 − 2√

1 + 8x3 .

5. Integrale d’une fonction continue positive

Soit f une fonction positive continue sur [ a, b ] . Si

b∫

a

f(x) dx = 0 ,

alors f est la fonction constante nulle.

118

Considerons la fonctions F definie par

F (x) =

xZ

a

f(t) dt .

C’est une fonction derivable, et F ′ = f ≥ 0. Donc F est croissante. Mais F (a) = F (b) = 0. Doncla fonction F est constante. Alors F ′ = f = 0.

6. Sommes de Riemann

Soit f une fonction continue sur [ a, b ] . Alors, quel que soit ε > 0, on peut trouver un nombreα > 0, pour lequel on a la propriete suivante : pour toute subdivision X = x0, . . . , xn de [ a, b ] depas strictement inferieur a α, et tout ensemble ξ1, . . . ξn de nombres tels que, si 1 ≤ i ≤ n, on aξi ∈ [xi−1, xi ] , alors ∣∣∣∣∣∣

b∫

a

f(x) dx−n∑

k=1

f(ξk)(xk − xk−1)

∣∣∣∣∣∣< ε .

La somme

n∑

k=1

f(ξk)(xk − xk−1) est appelee somme de Riemann.

D’une maniere plus concise, mais incorrecte, on dit que les sommes de Riemann tendent vers I(f), lorsquele pas de la subdivision tend vers 0.

En ecrivantnX

k=1

f(ξk)(xk − xk−1) =

nX

k=1

xkZ

xk−1

f(ξk) dx ,

etbZ

a

f(x) dx =nX

k=1

xkZ

xk−1

f(x) dx ,

on a donc˛

˛

˛

˛

˛

˛

bZ

a

f(x) dx −nX

k=1

f(ξk)(xk − xk−1)

˛

˛

˛

˛

˛

˛

=

˛

˛

˛

˛

˛

˛

˛

nX

k=1

xkZ

xk−1

(f(x) − f(ξk)) dx

˛

˛

˛

˛

˛

˛

˛

,

et donc,

˛

˛

˛

˛

˛

˛

bZ

a

f(x) dx −nX

k=1

f(ξk)(xk − xk−1)

˛

˛

˛

˛

˛

˛

≤nX

k=1

˛

˛

˛

˛

˛

˛

˛

xkZ

xk−1

(f(x) − f(ξk)) dx

˛

˛

˛

˛

˛

˛

˛

≤nX

k=1

xkZ

xk−1

|f(x) − f(ξk)| dx .

Par ailleurs, pour tout k compris entre 1 et n, et tout x de [ xk−1, xk ] , on a

|x − ξk| ≤ |xk − xk−1| < α .

Comme f est continue sur [ a, b ] , elle est uniformement continue. Donc, pour tout ε > 0, il existeα > 0, tel que |x − y| < α implique

|f(x) − f(y)| ≤ ε

b − a.

119

Alors, dans ces conditions

˛

˛

˛

˛

˛

˛

bZ

a

f(x) dx −nX

k=1

f(ξk)(xk − xk−1)

˛

˛

˛

˛

˛

˛

<

nX

k=1

xkZ

xk−1

ε

b − adx = ε .

On en deduit immediatement, en prenant la subdivision telle que xk = a + k(b − a)/n, et ξk = xk ouξk = xk−1, le resultat suivant :

Soit f une fonction continue sur [ a, b ] . Alors les suites

(1

n

n−1∑

k=0

f

(a+ k

b− a

n

))

n≥1

et

(1

n

n∑

k=1

f

(a+ k

b− a

n

))

n≥1

convergent vers1

b− a

b∫

a

f(x)dx . Cette limite est la valeur moyenne

de la fonction f sur [ a, b ] .

On applique en general ces formules dans le cas ou [ a, b ] = [ 0, 1 ] ce qui donne dans ce cas

limn→+∞

1

n

n−1∑

k=0

f

(k

n

)= lim

n→+∞

1

n

n∑

k=1

f

(k

n

)=

1∫

0

f(x) dx .

7. Inegalites de Schwarz et de Minkowski

Soit f et g deux fonctions continues sur [ a, b ] . Alors on a l’inegalite de Cauchy-Schwarz

∣∣∣∣∣∣

b∫

a

f(x)g(x) dx

∣∣∣∣∣∣≤

b∫

a

f(x)2 dx

1/2

b∫

a

g(x)2 dx

1/2

.

Et l’egalite a lieu si et seulement si les fonctions f et g sont colineaires.

Considerons l’expressionP (λ) = I((λf + g)2) .

C’est l’integrale d’une fonction positive. Donc P (λ) ≥ 0.

En developpant, et en utilisant la linearite de I

P (λ) = λ2I(f2) + 2λI(fg) + I(g2) .

Si I(f2) 6= 0, le polynome P (λ) est un trinome du second degre toujours positif. Donc sontdiscriminant est negatif, et

I(fg)2 − I(f2)I(g2) ≥ 0 ,

on en deduit que|I(fg)| ≤ I(f2)1/2 I(g2)1/2 ,

ce qui donne l’inegalite voulue.

120

Si I(f2) = 0, alors, quel que soit λ,

2λI(fg) + I(g2) ≥ 0 ,

ce qui implique I(fg) = 0, dans ce cas on a egalite.

Si les fonctions f et g sont colineaires, et si f n’est pas nulle, il existe λ tel que λf + g = 0.Dans ca cas I((λf + g)2) = 0. La trinome et toujours positif mais s’annule, ce qui signifie que sondiscriminant est nul. On a alors egalite dans l’inegalite de Schwarz.

Reciproquement, si l’on a egalite, distinguons deux cas :

1) Si I(f2) n’est pas nulle, l’egalite

˛

˛

˛

˛

˛

˛

bZ

a

f(x)g(x)dx

˛

˛

˛

˛

˛

˛

=

0

@

bZ

a

f(x)2 dx

1

A

1/2 0

@

bZ

a

g(x)2 dx

1

A

1/2

,

signifie que le trinomeP (λ) = I((λf + g)2) ,

possede un discriminant nul, donc une racine double λ0. Alors

I((λ0f + g)2) = 0 ,

et comme la fonction (λ0f + g)2 est continue, on en deduit qu’elle est nulle donc que g = −λ0f ,ce qui montre que f et g sont colineaires.

2) Si I(f2) = 0, alors f2 est nulle donc f aussi. La encore f et g sont colineaires.

De cette inegalite on deduit l’inegalite de Minkowski :

Soit f et g deux fonctions continues sur [ a, b ] . Alors

b∫

a

(f(x) + g(x))2 dx

1/2

≤

b∫

a

f(x)2 dx

1/2

+

b∫

a

g(x)2 dx

1/2

.

En prenant λ = 1 dans la demonstration precedente,

I((f + g)2) = I(f2) + 2I(fg) + I(g2) .

Mais d’apres l’inegalite de Schwarz

I(fg) ≤ I(f2)1/2 I(g2)1/2 .

DoncI((f + g)2) ≤ I(f2) + 2I(f2)1/2 I(g2)1/2 + I(g2) = (I(f2)1/2 + I(g2)1/2)2 .

ce qui donne l’inegalite voulue.

121

8. Changement de variable pour les fonctions continues

Soit ϕ une fonction de [α, β ] dans R de classe C1.Soit f une fonction continue sur [ a, b ] = ϕ( [α, β ] ).Alors

ϕ(β)∫

ϕ(α)

f(x) dx =

β∫

α

f ϕ(t)ϕ′(t) dt .

Remarquons que ϕ( [ α, β ] ) est un segment, puisque ϕ est continue sur un segment.

Soit F definie sur [ a, b ] par

F (x) =

Z x

a

f(t) dt .

On a donc F ′ = f . Par ailleurs, comme f ϕϕ′ = F ′ ϕ ϕ′ est la derivee de F ϕ, on a

βZ

α

f ϕ(t)ϕ′(t) dt = F ϕ(β) − F ϕ(α) .

Maisϕ(β)Z

ϕ(α)

f(x) dx = F (ϕ(β)) − F (ϕ(α)) .

On a donc egalite.

Exemple : pour toute f fonction continue sur [ 0, 1 ] ,

π∫

0

f(sin t) cos t dt = 0 .

En effet, en appliquant la formule, avec ϕ(t) = sin t, on obtient

π∫

0

f(sin t) cos t dt =

sin π∫

sin 0

f(x) dx = 0 .

En pratique : pour calculer une integrale

b∫

a

f(x)dx en utilisant le changement de variable x = ϕ(t) ou ϕ

est une bijection de classe C1, il faut effectuer les trois changements suivants :1) remplacer x par ϕ(t)2) remplacer dx par ϕ′(t) dt3) remplacer a et b par ϕ−1(a) et ϕ−1(b) respectivement, ce qui revient a dire que lorsque x = a alorst = ϕ−1(a), et lorsque x = b alors t = ϕ−1(b) ;

Exemple : Calculer I =

1∫

0

dx

(1 + x2)2, avec le changement de variable x = tan t.

122

On a dx = (1+tan2 t)dt. Lorsque x = 0, alors t = arctan 0 = 0 et lorsque x = 1, alors t = arctan 1 = π/4.Donc

I =

π/4∫

0

1

(1 + tan2 t)2(1+tan2 t) dt =

π/4∫

0

dt

1 + tan2 t=

π/4∫

0

cos2 t dt =

π/4∫

0

1 + cos 2t

2dt =

[t

2+

sin 2t

4

]π/4

0

=π

8+

1

4.

Applications :

Soit f une fonction continue sur [−a, a ] .Si f est impaire

a∫

−a

f(x) dx = 0 .

Si f est pairea∫

−a

f(x) dx = 2

a∫

0

f(x) dx .

Calculons

0Z

−a

f(x) dx en effectuant le changement de variable ϕ(t) = −t qui est une bijection de

classe C1 de [ 0, a ] sur [−a, 0 ] . On a ϕ′(t) = −1, donc

0Z

−a

f(t) dt =

0Z

a

f(−x)(−1) dx =

aZ

0

f(−x) dx .

Si f est impaire f(−x) = −f(x), donc

0Z

−a

f(t) dt = −aZ

0

f(x) dx .

AlorsaZ

−a

f(x) dx =

0Z

−a

f(t) dt +

aZ

0

f(x) dx = 0 .

Si f est paire f(−x) = f(x), donc

0Z

−a

f(t) dt =

aZ

0

f(x) dx .

AlorsaZ

−a

f(x) dx =

0Z

−a

f(t) dt +

aZ

0

f(x) dx = 2

aZ

0

f(x) dx .

123

Soit f une fonction continue periodique de periode T , definie sur R. Alors la fonction F definie sur Rpar

F (α) =

α+T∫

α

f(x) dx ,

est constante. De plus, pour tout entier n,

nT∫

0

f(x) dx = n

T∫

0

f(x) dx .

Si l’on ecrit

F (α) =

α+TZ

0

f(x) dx −αZ

0

f(x) dx ,

on obtient en derivantF ′(α) = f(α + T ) − f(α) = 0 .

Donc F est une fonction constante.

Alors, si n > 0,nTZ

0

f(x) dx =n−1X

k=0

(k+1)TZ

kT

f(x) dx .

Mais(k+1)TZ

kT

f(x) dx =

TZ

0

f(x) dx ,

doncnTZ

0

f(x) dx = n

TZ

0

f(x) dx .

Si n < 0, posons n′ = −n

nTZ

0

f(x) dx = −0Z

−n′T

f(x) dx = −n′−1X

k=0

k(−T )Z

(k+1)(−T )

f(x) dx .

Maisk(−T )Z

(k+1)(−T )

f(x) dx =

(k+1)(−T )+TZ

(k+1)(−T )

f(x) dx =

TZ

0

f(x) ,

etnTZ

0

f(x) dx = −n′

TZ

0

f(x) ,

ce qui redonne la formule voulue.

124

9. Integration par parties

Soit u et v deux fonctions de classe C1 definies sur [ a, b ] . Alors

b∫

a

u′(x)v(x) dx =[u(x)v(x)

]ba−

b∫

a

u(x)v′(x) dx .

En partant de la relation(uv)′(x) = u′(x)v(x) + v′(x)u(x) ,

on obtient en integrant

bZ

a

(uv)′(x) dx =

bZ

a

u′(x)v(x)dx +

bZ

a

v′(x)u(x) dx ,

mais le premier membre vaut

u(b)v(b) − u(a)v(a) =h

u(x)v(x)ib

a,

d’ou le resultat.

Exemple : Calculer I =

1∫

0

ln(1 + x2) dx .

Si l’on pose u′(x) = 1 et v(x) = ln(1 + x2), on a u(x) = x et v′(x) =2x

1 + x2, d’ou

I =[x ln(1 + x2)

]10− 2

1∫

0

x2

1 + x2dx

= ln 2 − 2

1∫

0

(1 − 1

1 + x2

)dx

= ln 2 − 2[x− arctanx

]10

= ln 2 − 2 + 2 arctan1

= ln 2 − 2 +π

2.

125

10. Premiere formule de la moyenne

Soit f et g deux fonctions continues sur [ a, b ] telles que g soit positive. Alors, il existe c dans [ a, b ]tel que

b∫

a

f(x)g(x) dx = f(c)

b∫

a

g(x) dx .

Comme f est continue, on a f( [ a, b ] ) = [ m, M ] , avec

m = infa≤x≤b

f(x) et M = supa≤x≤b

f(x) .

On a donc, pour tout x de [ a, b ]m ≤ f(x) ≤ M .

Notons egalement

I =

bZ

a

f(x)g(x)dx et J =

bZ

a

g(x)dx .

Comme g(x) est positif, on en deduit, pour tout x de [ a, b ] ,

mg(x) ≤ f(x)g(x) ≤ Mg(x) ,

et en integrantmJ ≤ I ≤ MJ .

Si J = 0, alors I = 0 et on a l’egalite desiree avec n’importe quelle valeur de c.

Si J 6= 0, alors le nombre I/J appartient a l’intervalle [ m, M ] , et il existe c dans cet intervalle,tel que f(c) = I/J , ce qui donne le resultat voulu.

11. Integration des fonctions a valeurs complexes

11.1. Extension d’une propriete des fonctions a valeurs reelles au cas complexe

On considere une fonction f definie sur [ a, b ] et a valeurs complexes. On peut donc ecrire

f = Re f + i Im f ,

ou Re f et Im f sont respectivement les parties reelles et imaginaires de f .

Si (P ) designe une propriete verifiee par les fonctions a valeurs reelles, il est facile d’etendre la proprieteaux fonctions a valeurs complexes, en disant que f verifie (P ) si et seulement si Re f et Im f verifient (P ).

Par exemple :

1) La fonction f possede une limite finie en un point c si et seulement si Re f et Im f possedent une limiteen c, et l’on pose

limx→c

f(x) = limx→c

Re f(x) + i limx→c

Im f(x) .

On verifie facilement que les proprietes des limites de sommes de produits et de quotients sont encorevraies.

126

(Il est d’ailleurs possible de definir directement les limites avec des epsilons comme dans le cas des fonc-tions a valeurs reelles en remplacant la valeur absolue par le module).

2) La fonction f est continue en un point c si et seulement si Re f et Im f sont continues en c.

3) La fonction f est derivable en un point c si et seulement si Re f et Im f sont derivables en c, et l’onpose

f ′(c) = (Re f)′(c) + i(Im f)′(c) .

(On peut d’ailleurs definir f ′(c) comme limite en c du taux de variation f(x)−f(c)x−c ).

Les formules de derivation de somme de produit et de quotients sont encore vraies.

4) La fonction f est bornee sur [ a, b ] , si les fonctions Re f et Im f sont bornees.

En raison de l’egalite|f | =

√(Re f)2 + (Im f)2 ,

la fonction |f | est alors bornee, et du fait des inegalites

|Re f | ≤ |f | et | Im f | ≤ |f | ,

si |f | est bornee, les fonctions Re f et Im f le sont aussi. On peut donc dire que f est bornee si et seule-ment si |f | est bornee.

On peut donc definir de la meme maniere les fonctions Riemann-integrables a valeurs complexes :

Si f est une fonction definie sur [ a, b ] a valeurs complexes et bornee, on dira que f est Riemann-integrable, si Re f et Im f le sont, et on posera

I(f) =

b∫

a

f(x) dx =

b∫

a

Re f(x) dx + i

b∫

a

Im f(x) dx .

On va passer en revue les proprietes obtenues pour les fonctions continues a valeurs reelles et voir cellesqui sont encore vraies dans le cas des fonctions continues a valeurs complexes.

11.2. Proprietes de l’integrale des fonctions a valeurs complexes

1) On voit facilement que si f et g sont continues et si λ est un nombre complexe, alors f + g et λf sontcontinues, et

b∫

a

(f + g)(x) dx =

b∫

a

f(x) dx +

b∫

a

g(x) dx et

b∫

a

(λf)(x) dx = λ

b∫

a

f(x) dx .

En effetRe(f + g) = Re f + Re g et Im(f + g) = Im f + Im g ,

et ces deux fonctions sont reelles et Riemann-integrables, donc f + g est Riemann-integrable et

I(f + g) = I(Re(f + g)) + iI(Im(f + g))

= I(Re f + Re g) + iI(Im f + Im g)

= I(Re f) + I(Re g) + i (I(Imf) + I(Im g))

= I(Re f) + i I(Im f) + I(Re g) + i I(Im g)

= I(f) + I(g) .

127

De meme si λ = α + iβ, avec α et β reels,

Re(λf) = α Re f − β Im f et Im(λf) = β Re f + α Im f .

Ces deux fonctions sont combinaisons lineaires de fonctions reelles continues donc le sont aussi, et

I(λf) = I(α Re f − β Im f) + i I(β Re f + α Im f)

= α I(Re f) − β I(Im f) + iβ I(Re f) + iα I(Imf)

= (α + iβ) (I(Re f) + i I(Im f))

= λ I(f) .

De maniere generale, toutes les proprietes faisant appel a la linearite de l’integrale restent vraies. Il suffitd’appliquer les proprietes pour les fonctions reelles aux parties reelles et imaginaires :– La relation de Chasles– La formule de changement de variable– La formule d’integration par parties– Les limites des sommes de Riemann– La continuite de l’integrale indefinie– La formule de Newton-Leibniz et l’existence de primitives de f .

2) On a la majoration du module d’une integrale par l’integrale du module de la fonction :

Si f est continue a valeurs complexes, alors

∣∣∣∣∣∣

b∫

a

f(x) dx

∣∣∣∣∣∣≤

b∫

a

|f(x)| dx .

Soit A = Re f et B = Im f , et posons

F (x) =

q

p

A2 + B2 − |A| et G(x) =

q

p

A2 + B2 + |A| .

Si l’on applique l’inegalite de Schwarz, on a

0

@

bZ

a

F (x)G(x) dx

1

A

2

≤

0

@

bZ

a

F (x)2 dx

1

A

0

@

bZ

a

G(x)2 dx

1

A .

Mais

FG =

q

p

A2 + B2 − |A|q

p

A2 + B2 + |A| =

q

(p

A2 + B2 − |A|)(p

A2 + B2 + |A|) =√

B2 = |B| .

D’autre partbZ

a

F (x)2 dx =

bZ

a

p

A(x)2 + B(x)2 dx −bZ

a

|A(x)| dx ,

etbZ

a

G(x)2 dx =

bZ

a

p

A(x)2 + B(x)2 dx +

bZ

a

|A(x)|dx ,

128

alors0

@

bZ

a

F (x)2 dx

1

A

0

@

bZ

a

G(x)2 dx

1

A =

0

@

bZ

a

p

A(x)2 + B(x)2 dx

1

A

2

−

0

@

bZ

a

|A(x)|dx

1

A

2

.

L’inegalite de Schwarz donne alors0

@

bZ

a

|B(x)|dx

1

A

2

≤

0

@

bZ

a

p

A(x)2 + B(x)2 dx

1

A

2

−

0

@

bZ

a

|A(x)|dx

1

A

2

.

donc0

@

bZ

a

|A(x)| dx

1

A

2

+

0

@

bZ

a

|B(x)|dx

1

A

2

≤

0

@

bZ

a

p

A(x)2 + B(x)2 dx

1

A

2

=

0

@

bZ

a

|f(x)| dx

1

A

2

.

D’autre part˛

˛

˛

˛

˛

˛

bZ

a

f(x) dx

˛

˛

˛

˛

˛

˛

2

=

˛

˛

˛

˛

˛

˛

bZ

a

(A(x) + iB(x)) dx

˛

˛

˛

˛

˛

˛

2

=

˛

˛

˛

˛

˛

˛

bZ

a

A(x)dx + i

bZ

a

B(x)) dx

˛

˛

˛

˛

˛

˛

2

=

0

@

bZ

a

A(x) dx

1

A

2

+

0

@

bZ

a

B(x) dx

1

A

2

.

Mais, puisque A et B sont reelles˛

˛

˛

˛

˛

˛

bZ

a

A(x) dx

˛

˛

˛

˛

˛

˛

≤bZ

a

|A(x)|dx et

˛

˛

˛

˛

˛

˛

bZ

a

B(x) dx

˛

˛

˛

˛

˛

˛

≤bZ

a

|B(x)|dx,

donc0

@

bZ

a

A(x)dx

1

A

2

≤

0

@

bZ

a

|A(x)| dx

1

A

2

et

0

@

bZ

a

B(x) dx

1

A

2

≤

0

@

bZ

a

|B(x)|dx

1

A

2

.

Alors˛

˛

˛

˛

˛

˛

bZ

a

f(x) dx

˛

˛

˛

˛

˛

˛

2

=

0

@

bZ

a

A(x)dx

1

A

2

+

0

@

bZ

a

B(x) dx

1

A

2

≤

0

@

bZ

a

|A(x)|dx

1

A

2

+

0

@

bZ

a

|B(x)| dx

1

A

2

≤

0

@

bZ

a

|f(x)| dx

1

A

2

.

3) L’inegalite de la moyenne se deduit de nouveau de la precedente :

Si f est continue, et si M majore |f |, on a

∣∣∣∣∣∣

b∫

a

f(x) dx

∣∣∣∣∣∣≤M(b− a) .

4) On a toujours l’inegalite de Schwarz :

Si f et g sont continues

∣∣∣∣∣∣

b∫

a

f(x)g(x) dx

∣∣∣∣∣∣≤

b∫

a

|f(x)|2 dx

1/2

b∫

a

|g(x)|2 dx

1/2

.

129

On a|I(fg)| ≤ I(|fg|) .

Il suffit d’appliquer la formule de Schwarz dans le cas reel a |f | et |g|.

5) On a egalement l’inegalite de Minkowski :

Si f et g sont deux fonctions continues sur [ a, b ] , on a

b∫

a

|f(x) + g(x)|2 dx

1/2

≤

b∫

a

|f(x)|2 dx

1/2

+

b∫

a

|g(x)|2 dx

1/2

.

On a

|f + g|2 = (f + g)(f + ig) = |f |2 + (fg + gf) + |g|2 = |f |2 + 2Re(fg) + |g|2 .

MaisRe(fg) ≤ |fg| = |f | |g| ,

donc, en appliquant l’inegalite de Schwarz

I(Re(fg)) ≤ I(|f | |g|) ≤ (I(|f |2))1/2(I(|g|2))1/2 ,

Alors

I(|f + g|2) = I(|f |2) + 2I(Re(fg)) + I(|g|2) ≤ I(|f |2) + 2(I(|f |2))1/2(I(|g|2))1/2 + I(|g|2) ,

mais le membre de droite n’est autre que [(I(|f |2))1/2 + (I(|g|2))1/2]2, donc

I(|f + g|2) ≤ [(I(|f |2))1/2 + (I(|g|2))1/2]2 .

Ce qui donne l’inegalite voulue en prenant la racine carree des deux membres.

6) La formule de la moyenne ne peut plus etre utilisee car sa demonstration fait appel au theoreme desvaleurs intermediaires qui n’est plus vrai dans le cas complexe. Cependant on peut donner une inegaliteremplacant cette formule de la moyenne, qui elle est valable pour des fonctions complexes.

Soit f et g deux fonctions continues sur [ a, b ] telle que g soit positive. Alors,

∣∣∣∣∣∣

b∫

a

f(x)g(x) dx

∣∣∣∣∣∣≤ sup

a≤x≤b|f(x)|

b∫

a

g(x) dx .

Comme f est continue, elle est bornee. On pose,

M = supa≤x≤b

|f(x)| .

Alors, puisque g est positive,|f(x)g(x)| ≤ Mg(x) ,

et donc˛

˛

˛

˛

˛

˛

bZ

a

f(x)g(x)dx

˛

˛

˛

˛

˛

˛

≤bZ

a

|f(x)g(x)|dx ≤ M

bZ

a

g(x) dx .

130

11.3. Derivees et primitives de fonctions usuelles

Si λ est un nombre complexe non nul, et n un entier la fonction f definie par

f(x) = (x− λ)n ,

est derivable et admet comme derivee

f ′(x) = n(x− λ)n−1 .

On a

f(x + h) − f(x)

h=

(x + h − λ)n − (x − λ)n

h=

n−1X

k=0

(x + h − λ)k(x − λ)n−1−k ,

et donc

limh→0

f(x + h) − f(x)

h=

n−1X

k=0

(x − λ)k(x − λ)n−1−k =

n−1X

k=0

(x − λ)n−1 = n(x − λ)n−1 .

Doncf ′(x) = n(x − λ)n−1 .

Il en resulte que si n 6= −1, ∫(x− λ)n dx =

(x− λ)n+1

n+ 1.

Pour n = −1, on aurait envie de dire qu’une primitive de 1/(x− λ) est ln(x− λ), mais il faudrait donnerun sens au logarithme d’un nombre complexe, ce qui ne peut pas se faire simplement. On peut obtenirune primitive en separant les parties reelles et imaginaires. On ecrit

1

x− λ=

1

(x − α) + iβ=

(x − α) − iβ

(x − α)2 + β2.

Mais ∫x− α

(x− α)2 + β2dx =

1

2ln((x − α)2 + β2) = ln |x− λ| ,

et ∫β

(x − α)2 + β2dx = arctan

x− α

β,

donc ∫dx

x− λ= ln |x− λ| − i arctan

x− α

β.

Si λ est un nombre complexe, la fonction f definie par

f(x) = eλx ,

est derivable et admet comme deriveef ′(x) = λeλx .

131

Si λ = α + iβ, on af(x) = eα+iβx = eαx(cos βx + i sin βx) ,

doncf(x) = eαx cos βx + ieαx sin βx .

Alorsf ′(x) = eαx(α cos βx − β sin βx) + ieαx(α sin βx + β cos βx) .

Or ceci n’est autre queλeλx = (α + iβ)(cos βx + i sin βx)eαx .

Il en resulte qu’une primitive de f , si λ 6= 0, est F definie par

F (x) =1

λeλx .

Remarquons que si µ est un nombre complexe, on obtient facilement une derivee ou une primitive deeλx+µ en ecrivant

eλx+µ = eµ eλx ,

puisque eµ est une constante. On obtient comme derivee par exemple

λeλx+µ .

Alors, en appliquant ce qui precede a

sin(λx + µ) =1

2i(ei(λx+µ) − e−i(λx+µ)) ,

et

cos(λx + µ) =1

2(ei(λx+µ) + e−i(λx+µ)) ,

on en deduit facilement que

Si λ et µ sont des nombres complexes, les fonctions f et g definies par

f(x) = sin(λx + µ) et g(x) = cos(λx + µ)

sont derivables et admettent comme derivees respectives

f ′(x) = λ cos(λx+ µ) et g′(x) = −λ sin(λx + µ) .

Ceci permet d’avoir des primitives de f et g. On obtient egalement les resultats usuels pour la fonctiontangente, et les fonctions sinus et cosinus hyperboliques.

132

Chapitre 6

COURBES PARAMETREES

133

Nous rappelons en preliminaire quelques proprietes concernant les fonctions periodiques, qui nous servi-rons dans la reduction du domaine d’etude d’une fonction a valeurs dans R2.

1. Fonction periodique

Soit T un nombre reel strictement positif, et D une partie de R telle que, pour tout x de D, les nombresx+ T et x − T soient aussi dans D. Une fonction f definie sur D sera dite periodique de periode T ,ou T−periodique, si l’on a, pour tout x de D

f(x+ T ) = f(x) .

Si f est T−periodique, on a, pour tout x de D et tout n de Z

f(x+ nT ) = f(x) .

C’est une recurrence immediate pour les n ≥ 0. Et si n est negatif, −n est positif et

f(x) = f((x + nT ) + (−n)T ) = f(x + nT ) .

Une fonction f est T−periodique, si et seulement si sa courbe representative dans un repere (O,−→ı ,−→ )est invariante par translation de vecteur T−→ı .

Dire que le point Mx+T est l’image de Mx par la translation de vecteur T−→ı , signifie qu’ils ontmeme ordonnee, c’est-a-dire que f(x + T ) = f(x).

De maniere evidente, les fonctions constantes sont T−periodiques pour tout T > 0. On pourra verifierfacilement que si f et g sont definies sur le meme ensemble D et T−periodiques, alors il en est de memede f + g et fg. On peut voir egalement que si f est definie sur D et T periodique, et si g est une fonctionquelconque definie sur un ensemble D′ tel que, pour tout x de D, le nombre f(x) appartienne a D′, alorsg f est T−periodique.

Remarque 1 : quel que soit n entier strictement positif, une fonction T−periodique est aussi nT−periodique,donc admet une infinite de periodes. S’il existe un plus petit nombre T > 0 tel que f soit T−periodique,on dira que T est la periode de f . Par exemple– la periode des fonctions x 7→ sinx et x 7→ cosx est 2π– la periode de la fonction x 7→ tanx est π– la periode des fonctions x 7→ sin2 x, et x 7→ cos2 x est π

Remarque 2 : si on a deux fonctions f et g definies sur R telles que f soit T−periodique et g soitS−periodique, et si T/S est un nombre rationnel, il existe une periode commune a f et g. En effet, siT/S = p/q avec p et q entiers, on a pS = qT , et f et g sont pS−periodiques.

Remarque 3 : si la periode de f est T , et si λ est un reel strictement positif, alors la fonction g : x 7→ f(λx)admet pour periode T/λ : quand on multiplie la variable x par λ, on divise la periode par λ.

135

En effet g

(x+

T

λ

)= f(λx+ T ) = f(λx) = g(x).

Donc x 7→ sin 2x est de periode π par exemple.

Remarque 4 : il existe d’autres fonctions periodiques que les fonctions trigonometriques. Par exemple six 7→ [x] designe la fonction partie entiere, on a

[x+ 1] = [x] + 1 ,

et la fonction x 7→ x− [x] est 1−periodique.

2. Fonction d’une variable reelle a valeurs dans R2

On appelle fonction d’une variable reelle a valeurs dans R2 toute application d’une partie D de Rdans R2 (en egard a la structure d’espace vectoriel de R2, une telle fonction est encore appelee, fonctionvectorielle de la variable reelle).

Puisqu’un element de R2 est un couple de reels, se donner une telle application de D dans R2 revient ase donner deux applications x et y de D dans R, a savoir les applications definies par

∀t ∈ D, f(t) = (x(t), y(t)) .

Ces deux applications x et y seront encore appelees fonctions coordonnees de f .

Nous nous interessons desormais aux fonctions d’une variable reelle, a valeurs dans R2 qui sont definiessur un intervalle I de R, non vide et non reduit a un point. On developpe pour ces fonctions les memesnotions que pour les fonctions de la variable reelle a valeurs dans R, de la facon suivante.

Limite de f en un point

Soient L = (ℓ1, ℓ2) un element de R2, et a un element de I, ou une borne de I (eventuellement infinie).

On dit que f admet L pour limite en a si et seulement si les fonctions coordonnees x et y admettentrespectivement ℓ1 et ℓ2 pour limite en a.

Continuite

On dit que f est continue en a ∈ I si et seulement si les fonctions x et y sont continues en a. Il revientau meme de dire que f admet (x(a), y(a)) comme limite en a.

La fonction f sera dite continue sur I ou de classe C0 sur I si et seulement si elle est continue entout point de I.

Derivabilite

On dit que f est derivable en a ∈ I, si et seulement si les fonctions coordonnees x et y de f sontderivables en a. Le couple (x′(a), y′(a)), note f ′(a) est appele vecteur derive de f en a.

La fonction f est dite derivable sur I si et seulement si elle est derivable en tout point de I, et l’onnote f ′ la fonction, encore appelee fonction derivee de f , qui a tout a ∈ I, associe le vecteur derive f ′(a).

136

Enfin, pour tout n ∈ N∗, on dira que f est n fois derivable sur I si x et y sont n fois derivables sur I,et l’on note encore f (n)(t) le couple (x(n)(t), y(n)(t)). Si de plus f (n) est continue sur I, on dira que f estde classe Cn sur I.

Lorsque f est n fois derivable sur I quel que soit n, on dira que f est indefiniment derivable sur Iou de classe C∞ sur I.

On se convaincra facilement en utilisant les fonctions coordonnees que les proprietes et formules usuellespour les fonctions de R dans R sont encore vraies pour celles de R dans R2. Donnons deux exemplesillustrant le cas des fonctions derivables.

1) Soient f et g deux fonctions n fois derivables sur un intervalle I de R a valeurs dans R2, alors lafonction f + g est n fois derivable sur I, et,

(f + g)(n) = f (n) + g(n) .

2) Soient f une fonction n fois derivable sur un intervalle I de R a valeurs dans R2, et λ une fonctionn fois derivable sur I a valeurs dans R, alors la fonction λ f est n fois derivable sur I, et l’on a laformule de LEIBNIZ

(λ f)(n) =

n∑

k=0

Cknλ

(k)f (n−k) .

Formule de TAYLOR-YOUNG

Si f est n fois derivable en a ∈ I (n ≥ 1), il existe une fonction ε de I dans R2, de limite (0, 0) en a,telle que, pour tout t de I, on ait

f(t) =n∑

k=0

(t− a)k

k!f (k)(a) + (t− a)nε(t) .

On applique la formule de Taylor-Young aux fonctions coordonnees x et y. Il existe des fonctionsε1, et ε2 de I dans R, de limite nulle en a, telles que, pour tout t de I , on ait

x(t) =

nX

k=0

(t − a)k

k!x(k)(a) + (t − a)nε1(t) ,

et

y(t) =

nX

k=0

(t − a)k

k!y(k)(a) + (t − a)nε2(t) .

En notant ε le fonction definie pour tout t de I par ε(t) = (ε1(t), ε2(t)), on en deduit la formulevoulue pour la fonction f .

3. Pratique de l’etude d’une fonction vectorielle

Une fonction f de D dans R2 etant donnee (dans la pratique D est un intervalle ou une reunion d’in-tervalles disjoints), de fonctions coordonnees x et y, et le plan P etant rapporte a un repere orthonormedirect, (O,−→ı ,−→ ), pour tout t ∈ D on notera Mt le point du plan defini par

−−−→OMt = x(t)−→ı + y(t)−→ .

137

On appelle courbe representative de f , l’ensemble, note Cf defini par

Cf = Mt | t ∈ D .

On se propose d’obtenir un trace aussi precis que posssible de Cf .

Remarque : on peut toujours considerer que la courbe Cf est la trajectoire d’un mobile dont la positiona l’instant t est le point Mt. Ce point de vue cinematique, permet de comprendre que les valeurs de tn’apparaissent pas sur le dessin, et aussi d’interpreter le sens de parcours de ce point Mt sur la courbeen fonction du sens de variation de t. Une fleche sur Cf indique conventionnellement le sens de parcourssuivant les t croissants.

Remarquons qu’en general on se donne la fonction f sans preciser le domaine D. Dans ce cas on commen-cera donc par chercher le domaine de definition de f qui sera l’intersection des domaines de definitiondes fonctions coordonnees x et y.

L’etude de f passe en general par les points suivants.

Reduction du domaine d’etude

Developpons la technique sur un exemple, celui de la fonction f definie sur R par

f(t) = (3 cos t+ 2 cos 3t , 3 sin t− 2 sin 3t) .

Notons x et y les fonctions coordonnees de f . Ces fonctions sont 2π−periodiques, donc, pour tout t ∈ R,on a Mt+2π = Mt. Si l’on note I0 un intervalle de R d’amplitude 2π, on a alors

Cf = Mt | t ∈ R = Mt | t ∈ I0 .

On constate que, pour tout t de R, on a les relations

x(−t) = x(t) et y(−t) = −y(t) .

Donc, M−t = SO,−→ı (Mt), ou SO,−→ı designe la symetrie par rapport a l’axe Ox, soit, en posant Φ1(t) = −t,

MΦ1(t) = SO,−→ı (Mt) .

Choisissons alors I0 de telle sorte que Φ1, realise une bijection d’une “moitie” de l’intervalle I0 surl’autre “moitie”. C’est le cas si l’on prend I0 = [−π, π ] , car Φ1 est une bijection de I1 = [ 0, π ] surI ′1 = [−π, 0 ] , et l’on a bien I0 = I1 ∪ I ′1. Alors, si Γ1 = Mt | t ∈ I1, on a SO,−→ı (Γ1) = Mt | t ∈ I ′1 et

(1) Cf = Γ1 ∪ SO,−→ı (Γ1) .

(Remarquons que pour cette premiere etape, nous avons choisi de commencer par etudier la parite desfonctions x et y, c’est-a-dire l’application Φ1 : t 7→ −t, et que c’est le choix de Φ1 qui nous a impose celuides intervalles I0 et I1).

Mais, pour tout t de R, on a aussi

x(π − t) = −x(t) et y(π − t) = y(t) .

Donc, Mπ−t = SO,−→ (Mt), ou SO,−→ designe la symetrie par rapport a l’axe Oy, ou encore, en posantΦ2(t) = π − t

MΦ2(t) = SO,−→ (Mt) ,

138

et Φ2 realise une bijection de I2 = [ 0, π/2 ] sur I ′2 = [π/2, π ] avec I1 = I2 ∪ I ′2, de telle sorte que, sil’on pose Γ2 = Mt | t ∈ [ 0, π/2 ] , on a SO,−→ (Γ2) = Mt | t ∈ I ′2 et

(2) Γ1 = Γ2 ∪ SO,−→ (Γ2) .

(Dans cette deuxieme etape, I1 etant deja choisi, nous devions necessairement envisager une applicationΦ2 qui soit une bijection d’une moitie de I1 sur l’autre. Le choix d’une telle application est alors treslimite).

On remarque enfin que, pour tout t de R, on a

x(π

2− t)

= y(t) et donc aussi y(π

2− t)

= x(t) ,

de sorte que Mπ/2−t = SO,−→ı +−→ (Mt) ou SO,−→ı +−→ est la symetrie par rapport a la premiere bissectrice,soit, en posant Φ3(t) = π/2 − t

MΦ3(t) = SO,−→ı +−→ (Mt) .

Alors Φ3 realise une bijection de I3 = [ 0, π/4 ] sur I ′3 = [π/4, π/2 ] avec I2 = I3 ∪ I ′3. Si l’on poseΓ3 = Mt | t ∈ [ 0, π/4 ] , on a SO,−→ı +−→ (Γ3) = Mt | t ∈ I ′3 et il vient

(3) Γ2 = Γ3 ∪ SO,−→ı +−→ (Γ3) .

(Comme dans la deuxieme etape, Φ3 devait etre une bijection d’une moitie de I2 sur l’autre).

En resume, l’etude de f sur [ 0, π/4 ] , permet de reconstituer Cf a partir de Γ3 en utilisant successivementles relations (3), (2) et (1) dans cet ordre, et nous dirons que Γ3 est un arc generateur de Cf .

-

6

-

6

-

6

-

6

5

I3 I2

I1I0

SO,−→ı +−→

SO,−→ı

SO,−→

-

?

139

Comme nous l’avons deja indique, le choix de la premiere application Φ1 conditionne la suite des autresoperations. Il y a bien sur plusieurs facons de proceder pour reduire un domaine d’etude. De toute maniereil est important de reconstituer la courbe en utilisant les formules dans l’ordre (3), (2), (1), et non pasd’appliquer a l’arc generateur les symetries trouvees dans un ordre quelconque. La reconstitution suivanteobtenue en appliquant successivement SO,−→ı , SO,−→ı +−→ et SO,−→ ne donne pas la courbe complete.

-

6

-

6

-

6

-

6

SO,−→ı

SO,−→

SO,−→ı +−→

-

?

Nous pouvons theoriser l’etude precedente de la maniere suivante :

1. Recherche d’une periode de f

Si les fonctions x et y sont periodiques, et si le rapport des periodes de x et de y est rationnel,on cherche une periode T commune a x et a y. La courbe est obtenue completement, lorsque tdecrit l’intersection du domaine de definition et d’un intervalle I0 d’amplitude T . On peut prendreI0 = [−T/2, T/2 ] , ou I0 = [ 0, T ] , mais d’autres choix sont possibles, et en general on ne fixera

140

I0 qu’en fonction des isometries laissant la courbe invariante que l’on decouvrira dans la suite.

Dans les autres cas, on prendra I0 = D

2. Recherche d’isometries de la courbe Cf

Les isometries cherchees seront, des symetries centrales ou axiales, des translations ou des rotations.

Supposons avoir trouve deux parties I1 et I ′1 de D ∩ I0, telles que D = I1 ∪ I ′1 et telles qu’il existeune bijection Φ1 de I1 sur I ′1, et une isometrie I1 du plan, verifiant pour tout t de I1

MΦ1(t) = I1(Mt) .

Posons alors Γ1 = Mt | t ∈ I1. On obtient donc I1(Γ1) = Mt | t ∈ I ′1 et

Cf = Γ1 ∪ I1(Γ1) .

Bien entendu, on peut recommencer eventuellement les operations avec I1.

On construit ainsi une suite d’ensembles emboıtes :

I0 ⊃ I1 ⊃ · · · ⊃ Ik ,

et une suite d’isometriesI1, I2, . . . , Ik ,

tels que, pour 1 ≤ j ≤ k, on aitIj−1 = I ′j ∪ Ij ,

et Φj soit une bijection de I ′j sur Ij .

Lorsque t decrit Ik, on obtient un arc de courbe appele, arc generateur de la courbe Cf , etl’on reconstitue la courbe complete en appliquant successivement, et dans cet ordre, les isometriesIk, Ik−1 , . . . , I1.

Les bijections Φ les plus souvent utilisees, sont donnees dans les tableaux suivants :

(i) Bijections entre intervalles bornes

[ 0, T ] 7→ [−T, 0 ] [ 0, T/2 ] 7→ [T/2, T ] [ a, (a+ b)/2 ] 7→ [ (a+ b)/2, b ]

Φ(x) = −x Φ(x) = T − x Φ(x) = a+ b− xΦ(x) = x− T Φ(x) = x+ T/2 Φ(x) = x+ (b− a)/2

(ii) Bijections entre intervalles non bornes

[ 0, +∞ [ 7→ ]−∞, 0 ] [T/2, +∞ [ 7→ ]−∞, T/2 ]

Φ(x) = −x Φ(x) = T − x

(iii) Bijections entre intervalles de natures differentes

141

] 0, 1 ] 7→ [ 1, +∞ [ ] 0, 1 ] 7→ ]−∞, −1 ] [−1, 1 ] − 0 7→ ]−∞, −1 ] ∪ [ 1, +∞ [

Φ(x) = 1/x Φ(x) = −1/x Φ(x) = 1/x ou − 1/x

Et il conviendra de savoir identifier rapidement (au besoin a l’aide d’un dessin) les isometries du plan lesplus simples transformant M(x, y) en M ′(x′, y′) :

(a) Symetrie par rapport a l’axe des x :

S : (x, y) 7→ (x,−y)-

6M

M ′

x

y

−y

(b) Symetrie par rapport a l’axe des y :

S : (x, y) 7→ (−x, y) -

6MM ′

x−x

y

(c) Symetrie par rapport a O :

S : (x, y) 7→ (−x,−y)-

6

O

M

M ′

x

y

−y

−x

(d) Symetrie par rapport a

la premiere bissectrice

S : (x, y) 7→ (y, x) -

6M

M ′

x y

y

x

142

(e) Symetrie par rapport a

la deuxieme bissectrice

S : (x, y) 7→ (−y,−x)-

6M

M ′

x

−y

y

−x

Plus generalement, on a les symetries suivantes :

(f) Symetrie par rapport a la droite

d’equation y = b

S : (x, y) 7→ (x, 2b− y) -

6M

M ′

x

y

2b− y

b

(g) Symetrie par rapport a la droite

d’equation x = a

S : (x, y) 7→ (2a− x, y) -

6

MM ′

x2a− x

y

a

(h) Symetrie par rapport au point Ω

de coordonnees (a, b)

S : (x, y) 7→ (2a− x, 2b− y)

-

6

M

M ′

Ω

x a 2a− x

y

b

2b− y

Autres isometries :

(i) Rotation de centre O

et d’angle +π/2

R : (x, y) 7→ (−y, x) -

6

O

M

M ′

x

y

−y

x

(j) Rotation de centre O

et d’angle −π/2

R : (x, y) 7→ (y,−x)-

6

O

M

M ′

x

y

y

−x

U

(k) Translation de vecteur

−→V = a−→ı + b−→

T : (x, y) 7→ (x+ a, y + b)-

6

M

M ′

x

y

x+ a

y + b

−→V

*

Etude des variations conjointes des fonctions coordonnees

On consigne, dans un meme tableau les variations des fonctions coordonnees x et y sur le domaine reduitobtenu a l’etape precedente, ainsi que les limites aux bornes.

Ce tableau permet de prevoir la direction generale de la courbe. (Penser a l’interpretation cinematique).

144

*

*

-

6

x

y

x

y

j

*

-

6

x

y

x

y

j

j-

6

x

y

x

y

*

j-

6

x

y

x

y

145

Il met souvent en evidence quelques points particuliers de la courbe dont on aimerait mieux cerner levoisinage. De meme permet-il assez souvent de detecter la presence de branches infinies que l’on desireraetudier plus en detail.

Il se peut aussi que la fonction f ne soit pas definie en un point a qui est une borne (eventuellementinfinie) d’un des intervalles constituant D, mais admette en ce point une limite (ℓ, ℓ′). On pourra toujoursprolonger f en posant f(a) = (ℓ, ℓ′) ce qui conduit a completer la courbe Cf en lui ajoutant le point (ℓ, ℓ′).

Tangente a Cf en un point Ma

Supposons l’application f de D dans R2 continue en un element

-

6

Ma

Mt

O

a de D. Nous dirons que la courbe Cf admet une tangente enMa, si la droite (MaMt) admet une position limite lorsque ttend vers a, ce qui suppose, bien sur, que pour tout t 6= a d’unvoisinage de a, le point Mt soit distinct du point Ma.

Placons nous dans le cadre suivant : soit a un element deD. L’application f de D dans R2 est supposee suffisammentreguliere, c’est-a-dire de classe Cn, avec n au moins egal a 2,sur un intervalle I contenant a et non reduit a a.

Pour tout entier k ∈ [ 1, n ] , notons−→Vk = x(k)(a)−→ı +y(k)(a)−→ .

Nous supposons de plus qu’il existe un entier k ≥ 1 tel que

f (k)(a) 6= (0, 0) c’est-a-dire−→Vk 6= −→

0 , et nous notons p le pre-mier entier a verifier ces conditions (lorsque p = 1, c’est-a-direlorsque f ′(a) 6= (0, 0), le nombre a est dit regulier pour f ,dans le cas contraire, il est dit singulier pour f).

Si l’on applique la formule de TAYLOR-YOUNG en a a l’ordre p aux fonctions coordonnees x et y. Ilexiste deux fonctions de I dans R notees ε1 et ε2, de limite nulle en a, telles que, pour tout t de I,

x(t) − x(a) =(t− a)p

p!(x(p)(a) + ε1(t)) et y(t) − y(a) =

(t− a)p

p!(y(p)(a) + ε2(t)) ,

Ce qui montre que pour t 6= a suffisamment proche de a, le point Mt est distinct de Ma, et que le vecteur(x(p)(a) + ε1(t))

−→ı + (y(p)(a) + ε2(t))−→ est alors un vecteur directeur de la droite (MaMt).

Les coordonnees de ce vecteur, tendent, lorsque t tend vers a, vers les coordonnees du vecteur−→Vp. Il en

resulte que la droite passant par Ma de vecteur directeur−→Vp = x(p)(a)−→ı + y(p)(a)−→ est la tangente a la

courbe Cf en Ma.

Etudions maintenant la position locale de Cf par rapport a sa tangente en Ma

Nous supposons de plus qu’il existe un entier k′ > p, tel que f (p)(a) et f (k′)(a) forment un systeme librede R2, et nous notons alors q le plus petit entier verifiant ces conditions.Appliquons la formule de TAYLOR-YOUNG a f en a a l’ordre q. Il existe une fonction ε de I dans R2,de limite nulle en a, telle que, pour tout t de I,

f(t) − f(a) =

q−1∑

k=p

(t− a)k

k!f (k)(a) +

(t− a)q

q!f (q)(a) + (t− a)qε(t) .

146

Par definition de q, pour tout k compris entre p et q − 1, le vecteur f (k)(a) est colineaire a f (p)(a), et(f (p)(a), f (q)(a)) est une base de R2. Il existe donc des reels λk, tels que f (k)(a) = λkf

(p)(a), et

f(t) − f(a) =(t− a)p

p!

1 +

q−1∑

k=p+1

λkp! (t− a)k−p

k!

f (p)(a) +

(t− a)q

q!f (q)(a) + (t− a)qε(t) .

De plus, si nous decomposons ε(t) dans la base (f (p)(a), f (q)(a)), ses composantes (µ1(t), µ2(t)) dans cettebase, s’expriment comme combinaisons lineaires (a coefficients independants de t) de ses composantes dansla base naturelle de R2 et tendent egalement vers 0 quand t tend vers a. Ainsi

ε(t) = µ1(t)f(p)(a) + µ2(t)f

(q)(a) ,

aveclimt→a

µ1(t) = limt→a

µ2(t) = 0 ,

d’ou

f(t)−f(a) =(t− a)p

p!

1 +

q−1∑

k=p+1

λkp! (t− a)k−p

k!+ p!µ1(t)(t− a)q−p

f (p)(a)+

(t− a)q

q!(1 + q!µ2(t)) f

(q)(a) .

Il existe donc deux fonctions X et Y de I dans R telles que l’on ait, pour tout t dans I,

f(t) − f(a) = X(t)f (p)(a) + Y (t)f (q)(a) ,

ce qui permet d’ecrire, que, pour tout t de I, on a

−−−−→MaMt = X(t)

−→Vp + Y (t)

−→Vq ,

avec

X(t) ∼a

(t− a)p

p!et Y (t) ∼

a

(t− a)q

q!.

En resume, sachant que deux fonctions equivalentes en un point ont meme signe au voisinage de ce point,nous avons donc le resultat suivant :

Soit p le plus petit entier au moins egal a 1, tel que−→Vp 6= −→

0 ,

soit q le plus petit entier, au moins egal a p+ 1 tel que les vecteurs−→Vp et

−→Vq ne soient pas colineaires,

alors au voisinage de a, le comportement du vecteur−−−−→MaMt est le meme que celui du vecteur

(t− a)p

p!

−→Vp +

(t− a)q

q!

−→Vq.

En particulier :

• La courbe est tangente en Ma au vecteur−→Vp.

• La position de la courbe par rapport a sa tangente est donnee par le vecteur (t−a)q−→Vq : si l’on placel’origine de ce vecteur en Ma, il se trouve situe, pour des valeurs de t proches de a, du meme cote dela tangente que le point Mt.• Pour des valeurs de t superieures a a et proches de a, la courbe se trouve a l’interieur du pa-

rallelogramme construit sur les vecteurs−→Vp et

−→Vq places en Ma.

Pour des valeurs de t inferieures a a, la position de la courbe par rapport a sa tangente depend des signesde (t− a)p et (t− a)q, et donc de la parite de p et de q. Il en resulte quatre cas possibles, pour la positionde Cf au voisinage de Ma.

147

Par exemple, si p et q sont impairs, les signes de (t − a)p et (t − a)q sont negatifs si t < a, et l’arc de

courbe correspondant se trouve a l’interieur du parallelogramme construit sur les vecteurs −−→Vp et −−→

Vq

places en Ma. La courbe traverse sa tangente en Ma, et on a un point d’inflexion.

Signalons que dans le cas ou p et q sont pairs, les deux arcs de courbes obtenus pour t > a et t < a sontsitues dans la meme region du plan (point de rebroussement de 2o espece) car les signes de (t − a)p et(t−a)q restent positifs, mais l’etude precedente ne permet pas de determiner a priori leur position relative.

qp

impair

pair

impair pair

Ma point d’inflexion

:

−→Vp

−→Vq

Ma

t > a

t < a

Ma point de rebroussement de 1o espece

:

−→Vp

−→Vq

Ma

t > a

t < a

Ma point ordinaire

:

t < a −→Vp

−→Vq

Ma

t > a

Ma point de rebroussement de 2o espece

:

−→Vp

−→Vq

Ma

En pratique, sauf dans le cas ou les fonctions x et y sont tres simples (des fonctions polynomes parexemple), on preferera utiliser les developpements limites . En effet, si les fonctions x et y sont indefinimentderivables au voisinage de a, elles possedent des d.l. en a de la forme

x(t) = a0 + a1(t− a) + . . .+ an(t− a)n + (t− a)nε1(t) ,

ety(t) = b0 + b1(t− a) + . . .+ bn(t− a)n + (t− a)nε2(t) .

148

Alors, en posant, si k ≥ 1, −→Uk = ak

−→ı + bk−→ ,

on a, en raison de la formule de Taylor,−→Uk =

1

k!

−→Vk .

On peut donc, dans l’etude precedente, remplacer les vecteurs−→Vk par les vecteurs

−→Uk.

Le nombre reel a est dit biregulier pour f , si et seulement si f ′(a) et f ′′(a) forment un systeme librede R2 (c’est-a-dire p = 1 et q = 2). Le point Ma est alors un point ordinaire de Cf .

Il en resulte en particulier qu’une condition necessaire pour qu’un point Mt de Cf soit point d’inflexion,est que t ne soit pas biregulier pour f , c’est-a-dire que t doit verifier la condition

x′(t)y′′(t) − y′(t)x′′(t) = 0 ,

ce qui facilite la recherche de ces points. On remarquera aussi que l’expression precedente est le numerateurde (y′/x′)′(t) ce qui peut simplifier les calculs dans certains cas.

Etude des branches infinies

Soit maintenant a une borne (eventuellement infinie) d’un des intervalles constituant D, en laquelle onsuppose que f n’est pas definie. On dira que Cf admet une branche infinie en a, si et seulement si l’uneau moins des fonctions coordonnees de f n’est pas bornee en a. C’est en particulier le cas - et en pratiquece sont les seuls cas facilement etudiables - lorsque x ou y possede une limite infinie en a.

Nous distinguerons plusieurs cas de figure.

1. Asymptote horizontale.

On obtient une asymptote horizontale d’equation y = ℓ, en un point a lorsque y(t) tend vers ℓ etx(t) tend vers +∞ ou −∞ quand t tend vers a.

2. Asymptote verticale.

On obtient une asymptote verticale d’equation x = ℓ, en un point a lorsque x(t) tend vers ℓ et y(t)tend vers +∞ ou −∞ quand t tend vers a.

3. Asymptote oblique.

On obtient une asymptote oblique d’equation y = αx+β, en un point a lorsque x(t) et y(t) tendentvers +∞ ou −∞, et y(t) − αx(t) − β tend vers 0 quand t tend vers a, soit

y(t) = αx(t) + β + (1) .

On determine α et β de la maniere suivante :

α = limt→a

y(t)

x(t),

puisβ = lim

t→a(y(t) − αx(t)) .

Le signe de l’expression δ(t) = y(t)−αx(t)−β donne la position de la courbe par rapport a l’asymp-tote :

149

- La courbe est au-dessus de l’asymptote si δ(t) > 0

- La courbe est au-dessous de l’asymptote si δ(t) < 0

- La courbe coupe son asymptote si δ(t) = 0 pour une valeur t 6= a.

La recherche de α, β et du signe de δ peut se faire a l’aide des d.l. .

4. Branche parabolique dans la direction des y.

On obtient une branche parabolique dans la direction des y, en un point a lorsque x(t), y(t) ety(t)/x(t) tendent vers +∞ ou −∞. La courbe ressemble a une branche de parabole d’axe parallelea Oy.

5. Branche parabolique dans la direction des x.

On obtient une branche parabolique dans la direction des x, en un point a lorsque x(t) et y(t)tendent vers +∞ ou −∞ et y(t)/x(t) tend vers zero. La courbe ressemble a une branche de para-bole d’axe parallele a Ox.

6. Direction asymptotique. Branche parabolique.

La courbe possede une direction asymptotique

-

6

O

Mt

Ht

x

y

x(t)

y(t)

αx(t)

HtMt = y(t) − αx(t)

y = αx

de direction −→ı +α−→ en un point a, lorsque x(t)et y(t) tendent vers +∞ ou −∞ et y(t)/x(t)tend vers α.

Lorsque de plus y(t)− αx(t) tend vers +∞ ou−∞, on obtient une branche parabolique dedirection −→ı + α−→ . La courbe ressemble a unebranche de parabole d’axe parallele a la droited’equation y = αx.

Toutes ces notions recoivent une interpretationgeometrique evidente : le nombre y(t)/x(t) estle coefficient directeur de la droite (OMt), ety(t) − αx(t) mesure l’ecart HtMt entre Mt etle point Ht de meme abscisse que Mt situe surla droite d’equation y = αx.

En dehors de ces cas simples, de nombreux cas de figure peuvent se presenter, par exemple des branchesinfinies spirales (exemple f(t) = (et cos t, et sin t)) ou oscillantes (exemple f(t) = (t sin t, t sin 2t)).

Trace de la courbe

On commence par placer sur le dessin les points a tangentes verticales et horizontales, les points singuliers(avec leur tangente), les branches infinies (en particulier les asymptotes, en indiquant la position de lacourbe par rapport a ces asymptotes).

Pour donner plus de precision au trace, on a interet a placer, lorsqu’ils sont facilement calculables, lespoints d’intersection de la courbe avec les asymptotes ou avec les axes, et l’on joint ces divers points ensuivant le tableau de variation. On complete la courbe grace aux isometries decouvertes dans la reduction

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du domaine d’etude.

Une fois le trace de la courbe effectue, on constate parfois l’existence de points d’inflexion que l’on peutchercher a determiner (si les calculs paraissent raisonnables), on peut aussi constater que deux branches(ou plus) de la courbe se coupent en un meme point appele point double. On en trouve souvent sur lesaxes de symetrie ou aux centres de symetrie. Une condition necessaire pour que l’on ait un point doubleest qu’il existe deux valeurs distinctes t et t′ du parametre telles que

x(t) = x(t′)y(t) = y(t′) .

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