Analizis IV Jegyzet2011

8/10/2019 Analizis IV Jegyzet2011

1/56

Matematika BSc tanarszakAnalzis IV. eloadasjegyzet

2010/2011. tavaszi felev

Sikolya EszterELTE TTK Alkalmazott Analzis es Sz amt asmatematikai Tanszek

2011. oktober 11.


2/56

ii


3/56

Tartalomjegyzek

Eloszo v

1. Differencialegyenletek 11.1. Radioaktv anyag boml asa (vagy szaporodas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Inhomogen linearis differenci alegyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Szetvalaszthato valtoz oju differencialegyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. T obbvaltoz os differenci alszamt as I. 52.1. Parci alis deriv alt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. f : R 2 R eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Lokalis szels oertek es parci alis derivalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. f : R p R eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2. Differencialhatosag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Bevezet o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. f : R 2 R eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Iranymenti derivalt, Lagrange-k ozepertektetel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.4. f : R p R eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3. A Young-tetel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. A Taylor-polinom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Ketszer differencialhato f uggveny szels oerteke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6. f : R p R eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. T obbvaltoz os differenci alszamt as II. 233.1. f : R p R q f uggvenyek differencialhatosaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2. Differencialasi szab alyok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

4. Implicit es inverz f uggvenyek 294.1. Egyv altoz os implicitf uggveny-tetel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2. Implicit- es inverzf uggveny-tetelek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

5. Ivhossz, vonalintegral, primitv f uggveny 355.1. Gorbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2. Vonalintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Primitv f uggveny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Folytonos f uggveny primitv f uggvenye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45.5. Folytonosan differencialhato f uggveny primitv f uggvenye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.5.1. Parameteres integr al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45.5.2. Folytonosan differencialhato f uggveny csillagtartom anyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.6. A Newton-Leibniz tetel tov abbi altal anostasai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45.6.1. Green tetele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45.6.2. Felulet, felszn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45.6.3. Integr altetelek h arom dimenzioban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

iii


4/56


5/56


6/56

TARTALOMJEGYZ EK TARTALOMJEGYZ EK

vi


7/56

Els o fejezet

Differencialegyenletek

1.1. Radioaktv anyag boml asa (vagy szaporodas)

y (t) = k y(t)y (t)y(t)

= k

ln |y(t)| = k t + ln c, c R + / exp()|y(t)| = c ekt , c R +

y(t) = c ekt , c R .1.1. Alltas. Minden olyan differenci alhat o y : R R f uggvenyhez, melyre y = k y, letezik c R konstans, hogy

y(t) = c ekt , t R .Bizonyt as. Legyen

(t) := y(t) e kt .Ekkor

(t) = y (t) e kt ky(t) e kt = ky(t) e kt ky(t) e kt = 0 ,teh at konstans.

Altal anostva a fenti problem at, keress uk azokat az y, az I intervallumon ertelmezett differenci alhato f uggvenyeket,melyekre teljes ul, hogy

y (x) = f (x)y(x), (1.1)

ahol f C (I ). Vilagos, hogy ha F egy primitv f uggvenye f -nek (minden folytonos f uggvenynek van primitvf uggvenye, ld. 2. felev), akkory(x) := c eF (x ) , x I

megoldas tetsz oleges c valos szam eseten. A fenti 1.1. Alltas bizonyt asaval anal og modon lathato, hogy csak ilyen

alak u megold asok leteznek.1.2. Pelda.

y (x) = x y(x)A megoldasok az 1.1. abr an l athatok.Kezdetiertek-feladat megold asa Keres unk olyan differenci alhato y : I R f uggvenyt, melyre

y (x) = f (x) y(x), x I y(x0) = y0 R .

1


8/56

1.2. INHOMOG EN LINE ARIS DIFFERENCI ALEGYENLET ELS O FEJEZET

1.1. abra. y(x) = c ex 22 , c R

Valasszunk f -nek olyan F primitv f uggvenyet, melyre F (x0) = 0, tehat

F (x) := x

x 0f (t) dt,

es legyen c := y0 . Ekkory(x) = c eF (x ) = y0 e

xx 0

f ( t ) dt

jo megoldas, hiszeny(x0) = y0 e

x 0x 0

f ( t ) dt = y0 .

1.3. Pelda.y (x) = x y(x),y(0) = 1

Ekkor az 1.2. Pelda megoldasai kozul csak az y(x) = ex 22 a megoldas.

1.2. Inhomogen linearis differencialegyenletKeress uk azokat az y, az I intervallumon ertelmezett differenci alhato f uggvenyeket, melyekre teljes ul, hogy

y (x) = f (x)y(x) + g(x),

ahol f , g C (I ). Megszorozva az egyenlet mindket oldal at egy tetszoleges differencialhato f uggvennyel, kapjuk,hogyy (x)(x) (x)f (x)y(x) = (x)g(x).

Ha elerj uk, hogy(x)f (x) = (x) (1.2)

legyen, akkor a kapott egyenlet[y(x)(x)] = (x)g(x)

alak uva egyszerusodik. Az (1.1) megold asabol kapjuk ( 1.2)-re, hogy

(x) = e F (x )

2


9/56

ELS O FEJEZET 1.3. SZ ETV ALASZTHAT O V ALTOZ OJ U DIFFERENCI ALEGYENLETEK

egy jo megoldas, ahol F a f egy primitv f uggvenye. Ebb ol, mivel g C (I ), vagyis Riemann-integr alhato is,[y(x)(x)] = (x)g(x)

y(x)(x) = c + x

x 0(t)g(t) dt

y(x) = c eF (x )

+ eF (x )

x

x 0 e F ( t )

g(t) dt

= c eF (x ) + x

x 0eF (x ) F ( t ) g(t) dt,

ahol x0 I tetsz oleges.Ha kezdeti ertek is adva van, vagyis y(x0) = y0 , akkor v alasszuk ismet F -et ugy, hogy F (x0) = 0 legyen, vagyisF (x0) =

xx 0 f (t) dt , es c := y0 . Ekkor

y(x0) = y0 eF (x 0 ) + e F (x 0 ) x 0

x 0e F ( t ) g(t) dt = y0 .

1.4. Pelda.

y (x) + y(x)x

= x + 1x e

x

A megoldasok az 1.2. abr an l athatok.

1.2. abra. y(x) = e x + cx , c R

1.5. Pelda.

y (x) + y (x )x = x +1x ex ,y(1) = e .Ekkor az 1.4. Pelda megoldasai kozul csak az y(x) = e x , D (y) = (0 , + ) a megold as.

1.3. Szetvalaszthat o valtoz oj u differencialegyenletekKeress uk azokat az y : I J intervallumon ertelmezett differenci alhato f uggvenyeket, melyekre teljes ul, hogy

y (x) = f (x) g(y(x)) ,ahol f C (I ), g C (J ). Tegy uk fel, hogy 0 / R(g). Ekkor

3


10/56

1.3. SZ ETV ALASZTHAT O V ALTOZ OJ U DIFFERENCI ALEGYENLETEK ELS O FEJEZET

y (x)g(y(x))

= f (x).

Ha G a 1g egy primitv f uggvenye, vagyis G(y) = y

y 01

g ( t ) dt, akkor mindket oldalt integr alva

G(y(x)) = c + x

x 0 f (t) dt.

Szerencses esetben ebb ol y(x) ki is fejezhet o.

1.6. Pelda.y2(x) y (x) = 1 2x

A megoldasok az 1.3. abr an l athatok.

1.3. abra. y(x) = 3 3 3 x x2 + c, c R

4


11/56

Masodik fejezet

T obbvaltoz os differencialszamtas I.

Emlekeztet of : R 2 R f uggveny grakonja

2.1. abra. Ketv altoz os f uggveny grakonja

Graph( f ) = {(x,y,z ) : (x, y ) D (f ), z = f (x, y)} R 3

2.1. Parcialis derivalt2.1.1. f : R 2 R eset2.1. Denci o (19.54) . Legyen f : R 2 R , (a, b) int D (f ). Az f f uggveny x szerinti vagy els o v altoz o szerinti parci alis deriv altja letezik (a, b)-ben , ha

limx a

f (x, b)

f (a, b)

x a = limh 0f (a + h, b)

f (a, b)

h R .Jel oles: D1f (a, b) vagy f x (a, b) vagy f x (a, b) stb. Itt tulajdonkeppen az t ortenik, hogy az ( a, b) pont 2 . koordin at aj atlerogztj uk, es az gy kapott x f (x, b) egyvaltoz os f uggvenyt deriv aljuk a-ban.2.2. Denci o (19.54) . Legyen f : R 2 R , (a, b) int D (f ). Az f f uggveny y szerinti vagy m asodik v altoz oszerinti parci alis deriv altja letezik (a, b)-ben , ha

limy bf (a, y ) f (a, b)

y b = lim

h 0

f (a, b + h) f (a, b)h R .

5


12/56

2.1. PARCI ALIS DERIV ALT M ASODIK FEJEZET

2.2. abra. x szerinti parcialis deriv alt

2.3. abra. y szerinti parcialis deriv alt

Jel oles: D2f (a, b) vagy f y (a, b) vagy f y (a, b) stb. Itt tulajdonkeppen az t ortenik, hogy az ( a, b) pont 1 . koordin at aj at

lerogztj uk, es az gy kapott y f (a, y ) egyvaltoz os f uggvenyt deriv aljuk b-ben.2.3. Denci o. Az f : R 2 R f uggveny els o ill. m asodik parci alis deriv altf uggvenye D1f : R 2 R ill. D2f :: R 2 RD (D1f ) = {(x, y ) int D (f ) : D1f (x, y)}, (D1f )(x, y) := D1f (x, y )D (D2f ) = {(x, y ) int D (f ) : D2f (x, y)}, (D2f )(x, y) := D2f (x, y )

2.4. Denci o (19.78) . Az f : R 2 R m asodrend u parci alis deriv altjait az elso ill. masodik parci alis deriv altf ugg-venyek tovabbi paricalis deriv altjaibol nyerj uk:D11 f := D1(D1f ), D12 f := D1(D2f ), D21 f := D2(D1f ), D22 f := D2(D2f )

2.1.2. Lokalis szels oertek es parcialis derivalt2.5. Denci o (19.57) . Az f : R 2 R f uggvenynek lok alis minimuma ill. maximuma (lok alis szels oerteke) van az (a, b) int D (f ) pontban , ha (a, b)-nek letezik olyan U = B((a, b), r ) kornyezete, hogy

f (x, y) f (a, b) ill. f (x, y) f (a, b) (x, y ) U.Az f (a, b) R szam az f lok alis minimuma ill. maximuma (a, b)-ben.Ha

f (x, y) > f (a, b) ill. f (x, y ) < f (a, b) (x, y ) U teljes ul, akkor f -nek szigor u lok alis minimuma ill. maximuma (szigor u lok alis szels oerteke) van (a, b)-ben.

6


13/56

M ASODIK FEJEZET 2.1. PARCI ALIS DERIV ALT

2.4. abra. Lok alis maximum

2.6. Tetel (Lokalis szels oertek sz ukseges feltetele, 19.58) . Ha az f : R 2 R f uggvenynek az (a, b) int D (f )pontban lok alis szels oerteke van, es leteznek a parci alis deriv altjai (a, b)-ben, akkor D1f (a, b) = D2f (a, b) = 0 .

Bizonyt as. Konnyen l athato, hogy ha az f : R 2 R f uggvenynek az ( a, b) int D (f ) pontban lokalis szels oertekevan, akkor az x f (x, b) ill. y f (a, y ) egyvaltoz os f uggvenyeknek is lokalis szels oerteke van a-ban ill. b-ben. Azal ltas a 2.1. es a 2.2. Denci okbol, valamint az egyvaltoz os differencialszamtas kereteben tanultakb ol adodik.2.7. Pelda. Az f (x, y ) = sgn( xy) f uggvenyre D 1f (0,0) = D2f (0,0) = 0 , megsincs lok alis szels oerteke (0 ,0)-ban.

2.8. Pelda. Az f (x, y ) = xy (nyeregfel ulet) f uggvenyre D1f (0,0) = D2f (0,0) = 0 , megsincs lok alis szels oerteke(0,0)-ban.

2.5. abra. f (x, y) = xy

2.9. Tetel (19.59) . Legyen f az A korl atos es z art halmazon ertelmezett folytonos f uggveny, es tegy uk fel, hogy f -nek leteznek a parci alis deriv altjai int A pontjaiban. Ekkor f a legkisebb es legnagyobb erteket vagy A-n veszi fel,

vagy int A egy olyan pontj aban, ahol D1f (a, b) = D2f (a, b) = 0 .Bizonyt as. Az elozo felevben lattuk (ld. Altal anostott Weierstrass-tetel), hogy f -nek van legkisebb es legnagyobberteke A-n. A tetel gy a 2.6. Tetelb ol adodik.

2.10. Pelda (19.56) . Az

f (x, y ) = xy

x 2 + y 2 , (x, y ) = (0 ,0)0, (x, y ) = (0 ,0)

f uggvenynek leteznek a parci alis deriv altjai (0 ,0)-ban, D1f (0,0) = D2f (0,0) = 0, de a f uggveny nem folytonos(0,0)-ban (ld. elozo felev.)

7


14/56

2.2. DIFFERENCI ALHAT OS AG M ASODIK FEJEZET

2.1.3. f : R p R esetA fentiek k onnyen altal anosthat ok p valtoz os f uggvenyekre. Peld aul:

2.11. Denci o (19.54) . Legyen f : R p R , a = ( a1 , . . . , a p ) int D (f ), i {1, . . . , p}. Az f f uggveny i. v altoz oszerinti parci alis deriv altja letezik a-ban , ha

limt a if (a

1, . . . a

i 1, t , a

i +1, . . . , a

p)

f (a

1, . . . , a

p)

t a i R .

Jel oles: D i f (a) vagy f x i (a) vagy f x i (a, b) stb. Itt tulajdonkeppen az t ortenik, hogy az a pont osszes koordin at aj atlerogztj uk az i. kivetelevel, es az gy kapott t f (a1 , . . . a i 1 , t , a i +1 , . . . , a p ) egyvaltoz os f uggvenyt deriv aljuka i -ben.

2.2. Differenci alhat osag

2.2.1. Bevezet o2.12. Denci o. Egy f : R R f uggveny differenci alhat o az a int D (f ) pontban , ha

limx af (x)

f (a)

x a = f (a) R

limx a

f (x) f (a) f (a) (x a)x a

= 0 (2.1)

f (x) = f (a) + f (a) (x a) + (x) (x a), limx a (x) = 0 . (2.2)

a x

xa

f(x)f(a)

(a,f(a))

(x,f(x))

szel

rint

2.6. abra. Egyvaltoz os f uggveny derivaltja a-ban

2.13. Megjegyzes. Azy = f (a) + f (a) (x a)

a f uggveny a pontbeli erint ojenek egyenlete.

2.14. Denci o (Ld. line aris algebra) . Az : R 2 R (homogen) line aris f uggveny , ha 1 , 2 R , hogy(x, y ) = 1 x + 2 y, (x, y) R 2 .

(Itt 1 = (1,0), 2 = (0,1).)

8


15/56

M ASODIK FEJEZET 2.2. DIFFERENCI ALHAT OS AG

2.2.2. f : R 2 R eset2.15. Denci o (19.61) . Legyen f : R 2 R f uggveny, ( a, b) int D (f ). Azt mondjuk, hogy f differenci alhat o az (a, b) pontban , ha letezik olyan = (a,b ) : R 2 R linearis f uggveny, melyre

lim(x,y )(a,b )

f (x, y ) f (a, b) (x a, y b)

|(x

a, y

b)

| = 0 (v o. (2.1)) (2.3)

f (x, y ) = f (a, b) + (x a, y b) + (x, y ) |(x a, y b)|, lim(x,y ) (a,b ) (x, y ) = 0 (v o. (2.2)) (2.4)2.16. Tetel (19.64) . Ha f differenci alhat o (a, b)-ben, akkor folytonos is (a, b)-ben.

Bizonyt as. A (2.4) egyenlet alapjan konnyen ellen orizhet o, hogy lim(x,y )(a,b ) f (x, y ) = f (a, b), teh at f folytonos(a, b)-ben.2.17. Tetel (19.65) . Ha f differenci alhat o (a, b)-ben, akkor f -nek leteznek a parci alis deriv altjai (a, b)-ben, es a fenti denci oban

(x, y ) = D1f (a, b)

x + D

2f (a, b)

y.

Bizonyt as. Tekints uk a differenci alhatosag (2.3) denci ojat es r ogzts uk le y = b-t! Ekkor (x, y) = 1 x + 2 y jelolessel kapjuk, hogylimx a

f (x, b) f (a, b) 1 (x a)|x a|

= 0,

amib ol a 2.1. Denci o alapj an kovetkezik, hogy D1f (a, b) = 1 . A D2f (a, b) = 2 hasonl oan ad odik.

2.7. abra. Ketv altoz os f uggveny derivaltja

2.18. K ovetkezmeny (19.66) . Legyen f : R 2 R f uggveny, (a, b) int D (f ). Az f pontosan akkor differenci alhat oaz (a, b) pontban, ha ott leteznek a parci alis deriv altjai D1f (a, b) es D 2f (a, b), tov abb a lim

(x,y )(a,b )

f (x, y ) f (a, b) D1f (a, b) (x a) D2f (a, b) (y b)|(x a, y b)|

= 0 (2.5)

f (x, y ) = f (a, b) + D1f (a, b) (x a) + D2f (a, b) (y b) + (x, y) |(x a, y b)|, lim(x,y )(a,b ) (x, y ) = 02.19. Denci o (19.68) . Ha f differencialhato (a, b)-ben, akkor az f (a, b) := ( D1f (a, b), D 2f (a, b)) R 2 vektorta f uggveny ( a, b)-beli deriv altvektor anak vagy gradiensenek nevezzuk.

9


16/56

2.2. DIFFERENCI ALHAT OS AG M ASODIK FEJEZET

2.20. Tetel (19.69) . Legyen f : R 2 R f uggveny, (a, b) int D (f ), es tegy uk fel, hogy a D1f es D2f parci alis deriv altf uggvenyek leteznek az (a, b) pont egy k ornyezeteben es folytonosak ( a, b)-ben. Ekkor f differenci alhat o (a, b)-ben.

Bizonyt as. Legyen > 0 rogztve. Megmutatjuk, hogy letezik > 0, hogy ha |(x, y ) (a, b)| < , akkor

|f (x, y )

f (a, b)

D1f (a, b)

(x

a)

D2f (a, b)

(y

b)

| <

|(x

a, y

b)

|,

amivel a 2.18. Kovetkezmeny alap j an az allt ast bel attuk.

2.8. abra.

A D 1f es D 2f parci alis derivaltf uggvenyek folytonoss aga miatt letezik > 0, hogy ha |(x, y ) (a, b)| < , akkor

|D1f (x, y) D1f (a, b)| < 2

es |D2f (x, y ) D2f (a, b)| < 2

. (2.6)

Rogzts unk le egy |(x, y ) (a, b)| < tulajdonsagu (x, y) pontot es alkalmazzuk az t f (x, t ) f uggvenyre azegyvaltoz os Lagrange-k ozepertektetelt a [ b, y] (vagy [y, b]) szakaszon! Eszerint letezik c = c(x, y) [b, y] pont,melyref (x, y ) f (x, b) = D2f (x, c) (y b). (2.7)

Alkalmazva most a t f (t, b) f uggvenyre az egyvaltoz os Lagrange-k ozepertektetelt a [ a, x ] (vagy [x, a ]) szakaszonkapjuk, hogy letezik d = d(x, y ) [a, x ] pont, melyref (x, b) f (a, b) = D1f (d, b) (x a). (2.8)

A feltetelekb ol adodik, hogy

|(x, c) (a, b)| < es |(d, b) (a, b)| < is teljesul, amib ol (2.6) alapj an

|D2f (x, c) D2f (a, b)| < 2

, es |D1f (d, b) D1f (a, b)| < 2

. (2.9)

A (2.7), (2.8) es ( 2.9) felhaszn alasaval

|f (x, y )

f (a, b)

D1f (a, b)

(x

a)

D2f (a, b)

(y

b)

| |f (x, y) f (x, b) D2f (a, b) (y b)|+ |f (x, b) f (a, b) D1f (a, b) (x a)|= |D2f (x, c) (y b) D2f (a, b) (y b)|+ |D1f (d, b) (x a) D1f (a, b) (x a)| 0 eseten jel olje

uh (x) := f (x, b + h) f (x, b) (2.14)egyvaltoz os f uggvenyt. Ekkor a lemma al ltasaban szereplo kifejezesre

f (a + h, b + h) f (a + h, b) f (a, b + h) + f (a, b) = uh (a + h) uh (a). (2.15)Mivel f az elso valtoz oja szerint differencialhato (a, b) egy kornyezeteben, ezert kis h eseten uh := u is differencialhatoaz a pont egy k ornyezeteben. Alkalmazzuk egy ilyen u-ra az egyv altoz os Lagrange-k ozepertektetelt [ a, a + h]-n!Eszerint letezik = (h) [a, a + h], melyre

u(a + h) u(a) = u () h = ( D1f (, b + h) D1f (, b)) h (2.16)az u (2.14) denci oja alapj an. Most rjuk fel a ( 2.13) egyenloseget ( x, y) helyett ( , b + h)-ra ill. ( , b)-re! Ebb ol

D1f (, b + h) = D1f (a, b) + D11 f (a, b) ( a) + D21 f (a, b) h + (, b + h) |( a, h )|;D1f (, b) = D1f (a, b) + D11 f (a, b) ( a) + D21 f (a, b) 0 + (, b) | a|. (2.17)

Osszevetve a ( 2.15), (2.16) es ( 2.17) egyenlosegeket kapjuk, hogy

f (a + h, b + h) f (a + h, b) f (a, b + h) + f (a, b)h2

= u(a + h) u(a)

h2 =

D1f (, b + h) D1f (, b)h

= D21 f (a, b) + (, b + h) |( a, h )|

h (, b) | a|

h .

15


22/56

2.4. A TAYLOR-POLINOM M ASODIK FEJEZET

Mivel |a| h, ezert az utolso ket tagban a t ortek korl atosak, h 0 eseten = (h) a,gy lim (x,y ) (a,b ) (x, y ) == 0 miatt lim h 0 (, b + h) = lim h 0 (, b) = 0 . Ebb ol

limh 0

f (a + h, b + h) f (a + h, b) f (a, b + h) + f (a, b)h2

= D21 f (a, b),

es ezt kellett belatnunk.

Bizonyt as. (Young-tetele) Mivel a Young-tetel feltetelei alapj an a Lemma mindket pontj anak feltetele teljes ul,ezert sz uksegkeppen D 12 f (a, b) = D21 f (a, b).

2.44. Pelda. A Young-tetel nem teljes ul az al abbi f uggvenyre :

f (x, y ) =xy x

2 y 2x 2 + y 2 , (x, y) = (0 ,0),

0, (x, y) = (0 ,0).

2.45. Denci o (18.28) . Legyen f differencialhato az (a, b) R 2 pont egy k ornyezeteben. Ha f parci alis de-rivaltf uggvenyei differencialhatok az (a, b) pontban, akkor azt mondjuk, hogy f ketszer differenci alhat o az (a, b)pontban.

A denci obol nyilvanval o, hogy ha f ketszer differencialhato (a, b)-ben, akkor teljes ul r a a Young-tetel.

2.4. A Taylor-polinom2.46. Denci o. Legyen az f : R 2 R f uggveny differencialhat o az (a, b) int D (f ) pontban. Ekkor az f f uggveny(a, b) pontbeli 1 . Taylor-polinomja

T f 1, (a,b ) (x, y) = f (a, b) + D1f (a, b) (x a) + D2f (a, b) (y b)az a legfeljebb els ofoku polinomf uggveny, melynek grakonja az erint osk.

A (2.5) keplet alapj an

lim(x,y )(a,b )

f (x, y ) T f 1, (a,b ) (x, y)

|(x a, y b)| = 0,

amit ugy is mondhatunk, hogy az 1 . Taylor-polinom els orendben k ozelti f -et, mivel a nevez oben az ( x a, y b)vektor hossz anak els o hatv anya szerepel.2.47. Denci o (19.92) . Legyen az f : R 2 R f uggveny ketszer differenci alhato az (a, b) int D (f ) pontban.Ekkor az f f uggveny ( a, b) pontbeli 2 . Taylor-polinomja

T f 2,(a,b ) (x, y ) = f (a, b) + D1f (a, b) (x a) + D2f (a, b) (y b)++

1

2!D11 f (a, b)

(x

a)2 + D21 f (a, b)

(x

a)

(y

b) + D12 f (a, b)

(x

a)

(y

b) + D22 f (a, b)

(y

b)2

egy legfeljebb masodfok u polinomf uggveny.

Jel oles. Legyen az f : R 2 R f uggveny ketszer differenci alhato az (a, b) int D (f ) pontban. Jel olje d1f (a, b) :: R 2 R es d 2f (a, b) : R 2 R az alabbi (ketv altoz os) f uggvenyeket :d1f (a, b) (x, y ) := D1f (a, b) x + D2f (a, b) y;d2f (a, b) (x, y ) := D11 f (a, b) x2 + D21 f (a, b) x y + D12 f (a, b) x y + D22 f (a, b) y2

= D11 f (a, b) x2 + 2 D21 f (a, b) x y + D22 f (a, b) y2

16


23/56

M ASODIK FEJEZET 2.4. A TAYLOR-POLINOM

Ezzel a jelolessel

T f 2,(a,b ) (x, y ) = f (a, b) + (d1f (a, b))( x a, y b) +

12!

(d 2f (a, b))( x a, y b) (2.18)Ez nagyon hasonlt az f : R R f uggvenyek 2 . Taylor-polinomj anak alakjahoz:

T f 2,a (x) = f (a) + f (a)

(x

a) +

1

2

f (a)

(x

a)2 .

Az alabbiakban megmutatjuk, hogy a 2 . Taylor-polinom m asodrendben k ozelti a f uggvenyt.2.48. Tetel (19.91) .

T f 2,(a,b ) (a, b) = f (a, b), D i T f 2,(a,b ) (a, b) = D i f (a, b), D ij T

f 2, (a,b ) (a, b) = D ij f (a, b), i , j = 1 ,2.

Tov abb a, ha p olyan legfeljebb m asodfok u polinomf uggveny, melyre a fentiek teljes ulnek, akkor p = T f 2, (a,b ) .

Bizonyt as. A tetel elso resze egyszer u szamolassal ellen orizhet o. A masodik reszt nem bizonytjuk.

2.49. Tetel (19.97) . Legyen az f : R 2 R f uggveny ketszer differenci alhat o az (a, b) int D (f ) pontban. Ekkor 1.

lim(x,y ) (a,b )

f (x, y ) T f 2,(a,b ) (x, y )

|(x

a, y

b)

|2 = 0 , (2.19)

vagyis T f 2 ,(a,b ) m asodrendben k ozelti a f uggvenyt.

2. Ha p olyan legfeljebb m asodfok u polinomf uggveny, melyre (2.19) teljes ul, akkor p = T f 2, (a,b ) .

Bizonyt as. Az 1. pontot bizonytjuk, a 2-t nem. Jel olje g(x, y ) := f (x, y) T f 2,(a,b ) (x, y ). A 2.48. Tetel szerintg(a, b) = 0 , D i g(a, b) = 0 , D ij g(a, b) = 0 , i, j = 1 ,2. (2.20)

Mivel f es T f 2, (a,b ) differencialhato az (a, b) egy kornyezeteben, gy g is. Legyen (x, y) ebb ol a kornyezetbol, esalkalmazzuk g-re a 2.30. Lagrange-k ozepertektetelt az [( a, b), (x, y )] szakaszon! Eszerint letezik c = ( c1 , c2) [(a, b), (x, y )], melyre

g(x, y) = g(x, y ) g(a, b) = D1g(c) (x a) + D2g(c) (y b). (2.21)Mivel f ketszer differencialhato (a, b)-ben, T f 2, (a,b ) pedig ak arh anyszor differenci alhato a skon (hiszen polinom),ezert g is ketszer differencialhat o (a, b)-ben. Dencio szerint es ( 2.20) alapj an

D1g(x, y) = D1g(a, b) + D11 g(a, b) (x a) + D21 g(a, b) (y b) + 1(x, y) |(x a, y b)|= 1(x, y ) |(x a, y b)|

D2g(x, y) = D2g(a, b) + D12 g(a, b) (x a) + D22 g(a, b) (y b) + 2(x, y) |(x a, y b)|= 2(x, y ) |(x a, y b)|.

Ezeket felrva ( x, y ) helyett c = ( c1 , c2)-re kapjuk, hogy

D1g(c) = 1(c) |(c1 a, c2 b)|, D2g(c) = 2(c) |(c1 a, c2 b)|.A kapott kifejezeseket ( 2.21)-be helyettestve

g(x, y) = 1(c) |(c1 a, c2 b)| (x a) + 2(c) |(c1 a, c2 b)| (y b).A c pont v alaszt asa miatt ( x, y ) (a, b) eseten c = ( c1 , c2) (a, b). Tov abb a, nyilv an |(c1 a, c2 b)| |(x a, y b)|, |x a| |(x a, y b)| es |y b| |(x a, y b)|. Ezek alapj an

lim(x,y )(a,b )

f (x, y ) T f 2, (a,b ) (x, y )|(x a, y b)|2

= lim(x,y )(a,b )

g(x, y)

|(x a, y b)|2= lim

(x,y )(a,b )1(c) |

(c1 a, c2 b)| (x a)|(x a, y b)|2

+ 2(c) |(c1 a, c2 b)| (y b)

|(x a, y b)|2= 0 ,

mivel az utols o ket tagban a t ortek korl atosak es lim (x,y )(a,b ) 1(x, y) = lim (x,y )(a,b ) 2(x, y) = 0 .

17


24/56

2.5. K ETSZER DIFFERENCI ALHAT O F UGGV ENY SZ ELS O ERT EKE M ASODIK FEJEZET

2.5. Ketszer differencialhat o f uggveny szels oerteke, konvexitasaA tov abbiakban celunk, hogy - az egyv altoz os esethez hasonloan - elegseges feltetelt adjunk ketszer differenci alhatof uggvenyek lokalis szels oertekenek letezesere ill. konvexit asara. Ehhez sz ukseg unk lesz a kvadratikus alak fogalm ara.

2.50. Denci o. Legyen q : R 2 R polinom. Azt mondjuk, hogy q kvadratikus alak , haq (x, y ) = c11 x2 + c21 xy + c12 yx + c22 y2 . (2.22)

2.13. abra. Pozitv denit kvadratikus alak, q (x, y) = 12 (x2 + y2)

2.51. Pelda. Kvadratikus alakra: f ketszer differencialhato (a, b)-ben, q = d 2f (a, b)

d2f (a, b) (x, y ) = D11 f (a, b) x2 + D21 f (a, b) x y + D12 f (a, b) x y + D22 f (a, b) y2 . (2.23)2.52. Denci o (19.98) . Egy q : R 2 R kvadratikus alak pozitv ill. negatv denit , ha minden ( x, y ) R 2 \{(0,0)}eseten q (x, y ) > 0 ill. q (x, y ) < 0. A kvadratikus alakot pozitv ill. negatv szemidenit nek hvjuk, ha az el obbiekbenegyenloseg is meg van engedve. Egy q : R 2 R kvadratikus alak indenit , ha felvesz pozitv es negatv ertekeket is.

2.14. abra. Indenit kvadratikus alak, q (x, y ) = 12 (y2 x2)

2.53. Megjegyzes. A fenti dencioban a feltetelek teljes uleset eleg egy abszol utertek u (hosszu) ( x, y ) R 2 vektorokramegkovetelni.Tov abb a, linearis algebr abol ismeretes, hogy egy q kvadratikus alak denitsege a ( 2.22) egyenletben szereplo egyutt-hat okbol kepezett

C := c11 c21c12 c22

18


25/56

M ASODIK FEJEZET 2.5. K ETSZER DIFFERENCI ALHAT O F UGGV ENY SZ ELS O ERT EKE

matrix denitsegevel egyezik meg. Ha det C > 0 es c11 > 0, akkor C pozitv denit , ha det C > 0 es c11 < 0, akkor C negatv denit . A c21 = c12 (szimmetrikus matrix) esetben ha det C = 0, akkor C (pozitv vagy negatv) szemidenit ,ha det C < 0, akkor C indenit. (Ebben az esetben a det C > 0, c11 = 0 nem fordulhat el o.)Az alabbi tetel arr ol szol, hogy ha egy f uggveny ketszer differenci alhato (a, b)-ben, akkor a d 2f (a, b) kvadratikusalak denitsege hasonl o szerepet j atszik a lok alis szels oertek letezeseben, mint egyv altoz os f uggvenyek eseten azadott pontbeli m asodik deriv alt el ojele.

2.54. Tetel (Lokalis szels oertek letezese, 19.99) . Legyen f : R 2 R ketszer differenci alhat o az (a, b) int D (f )pontban, es tegy uk fel, hogy D 1f (a, b) = D2f (a, b) = 0 .1. Ha f -nek (a, b)-ben lok alis minimuma ill. maximuma van, akkor a ( 2.23 )-ban deni alt d2f (a, b) kvadratikus

alak pozitv ill. negatv szemidenit.

2. Ha a ( 2.23 )-ban deni alt d2f (a, b) kvadratikus alak pozitv ill. negatv denit, akkor f -nek (szigor u) lokalis minimuma ill. maximuma van (a, b)-ben.

Bizonyt as. A bizonytas elejen gondoljuk meg, hogy a q kvadratikus alak ( 2.22) denci oja alapj an tetszoleges t Rvalos szamraq (t x) = t2 q (x), x R 2 . (2.24)

A bizonytas soran az egyszer useg kedveert ( a, b) helyett a-t, ( x, y ) helyett pedig x-etrunk. Mindket pont bizonyt asa

a (2.19) Taylor-formul an alapul, mely a ( 2.18) jeloles valamint a D 1f (a, b) = D2f (a, b) = 0 feltetel felhaszn alasavalaz alabbi alakot olti:

limx a

f (x) f (a) 12 d2f (a)(x a)|x a|2

= 0 . (2.25)

Mindket pontban a lok alis minimum esetet bizonytjuk, a lok alis maximum esete hasonl oan megy.1. Indirekt tegy uk fel, hogy d2f (a) nem pozitv szemidenit, teh at talalhato olyan x0 R 2 , |x0| = 1 vektor, melyred2f (a)(x0) < 0. Legyen

:= d2f (a)(x0)

2 > 0.

A (2.25) hat arer tek alap j an -hoz letezik 1 > 0, hogy ha 0 < |x a| < 1 , akkorf (x) f (a) 12 d2f (a)(x a)

|x a|2 < =

d2f (a)(x0)

2

. (2.26)

Masreszt, mivel f -nek a-ban lok alis minimuma van, ezert letezik olyan 2 > 0, hogy ha |x a| < 2 , akkor f (x) f (a). Legyen := min { 1 , 2} es 0 < t < tetsz oleges. Ekkor az x := a + t x0 pontra |x a| = t < teljes ul.Erre felrva ( 2.26)-ot kapjuk, hogy

f (a + t x0) f (a) 12

d2f (a)( t x0) < d2f (a)(x0)

2 t2 .

Ebb ol, felhaszn alva ( 2.24)-et,

f (a + t x0) f (a) < t 212

d2f (a)(x0) d2f (a)(x0)

2 t2 = 0 ,

ami ellentmond f (a + t x0) f (a)-nak.2. Tegy uk fel, hogy a d 2f (a) kvadratikus alak pozitv denit. Mivel d 2f (a) egy (ketvaltoz os) polinom, gy folytonosaz egesz skon, ezert az ( altal anostott) Weierstrass-tetel szerint az

S := x R 2 : |x| = 1kompakt halmazon van minimuma ez legyen m := min S d2f (a) > 0, a feltetel alapj an. A (2.25) hat arertek alap j an := m2 -hoz letezik olyan > 0, hogy ha 0 < |x a| < , akkor

f (x) f (a) 12 d2f (a)(x a)|x a|2

< = m2

,

19


26/56

2.5. K ETSZER DIFFERENCI ALHAT O F UGGV ENY SZ ELS O ERT EKE M ASODIK FEJEZET

amib ol

f (x) + f (a) < m2 |x a|

2 12

d2f (a)(x a).A (2.24) felhaszn alasaval, m denci oja szerint

d2

f (a)(x a) = |x a|2

d2

f (a) x

a

|x a| m |x a|2

.

Igy

f (x) + f (a) < m2 |x a|

2 12

d2f (a)(x a) m2 |x a|

2 12

m |x a|2 = 0 ,vagyis ha 0 < |x a| < , akkor f (a) < f (x), teh at f -nek szigoru lokalis minimuma van a-ban.2.55. Megjegyzes. A 2.53. Megjegyzes alapjan d 2f (a, b) denitsege eld ontheto a

D11 f (a, b) D21 f (a, b)D12 f (a, b) D22 f (a, b)

(2.27)

(a feltetelek alapj an szimmetrikus) m atrix denitsege alapj an.

2.56. Megjegyzes. A fenti tetel egyik allt asa sem megfordthat o! (Ld. egyvaltoz os eset.)

Terj unk most ra a konvexit asra!

2.57. Denci o. Azt mondjuk, hogy a G R 2 halmaz konvex , ha minden olyan szakaszt tartalmaz, melynekvegpontjai G-ben vannak.

2.15. abra. Ketv altoz os konvex f uggveny, f (x, y) = 12 (x2 + y2)

2.58. Denci o (19.101) . Az f : R2

R f uggveny konvex (konk av) a G D (f ) konvex halmazon, ha mindenx1 , x2 G eseten az egyvaltoz os t f ((1 t)x1 + tx 2) f uggveny konvex (konk av) [0,1]-en, vagyis minden x1 , x2 Gesetenf ((1 t)x1 + tx 2) ()(1 t)f (x1) + tf (x2), t [0,1]

2.59. Tetel (19.103) . Legyen f : R 2 R ketszer differenci alhat o a G D (f ) konvex nylt halmazon. Az f f uggveny akkor es csak akkor konvex (konk av) G-n, ha minden (a, b) G eseten a d2f (a, b) kvadratikus alak pozitv (negatv)szemidenit.Bizonyt as. Nem bizonytjuk a 2.54. Tetel bizonyt asaban hasznalt technikak felhaszn alasaval igazolhato.

20


27/56

M ASODIK FEJEZET 2.6. F : R P R ESET

2.6. f : R p R esetAz eddigiekben targyaltak megfeleloen altal anosthat ok R 2 helyett R p -re ( p 2).2.60. Denci o (19.85) . Egy f : R p R f uggveny a int D (f ) pontbeli k-adrend u parci alis deriv altjai, D i 1 ...i k f (a),1 i1 , . . . , i k p (k 2) ugy kaphatok, hogy a k 1-edrend u parci alis deriv altf uggvenyeket : Di 1 ...i k 1 f , 1

i1 , . . . , i k 1

p derivaljuk valamelyik valtoz o szerint a-ban.

Egy f : R p R f uggveny a pontbeli ketszeres differenci alhatosagat ugyanugy deni aljuk, mint p = 2 esetben(differencialhato a egy kornyezeteben, es minden parci alis deriv altja differenci alhato a-ban.)2.61. Tetel (Young-tetel, 19.84) . Ha az f : R p R f uggveny ketszer differenci alhat o az a int D (f ) pontban,akkor

D ij f (a) = D ji f (a), i, j = 1, . . . , p .

2.62. Denci o. Legyen az f : R p R f uggveny ketszer differenci alhato az a int D (f ) pontban. Az

f (a) :=

D11 f (a) D21 f (a) . . . D p1f (a)D12 f (a) D22 f (a) . . . D p2f (a)

......

. . . ...

D1 p f (a) D2 p f (a) . . . D pp f (a)

p p matrix neve Hesse-m atrix.Az (altal anostott) Young-tetel alapj an a Hesse-m atrix szimmetrikus. A ( 2.27) kepletben szerepl o matrix egy f :: R 2 R f uggveny Hesse-matrixa. Az el ozo alfejezet alapjan a Hesse-m atrix denitsegeb ol kovetkeztethet unk lok alisszels oertek letezesere, illetve a f uggveny konvexit asara/konk avit asara. Ezek a tetelek is megfelel o modon altal ano-sthat ok p valtoz os f uggvenyekre.

A kovetkez okben a Taylor-polinommal kapcsolatban tanultak altal anostasar ol lesz szo.

2.63. Denci o (19.86) . Egy f : R p R f uggvenyrol azt mondjuk, hogy k-szor differenci alhat o az a int D (f )(k 3) pontban, ha k1-szer differencialhato az a pont egy k ornyezeteben, tov abb a minden k1-edrend u parci alisderiv altja differenci alhato a-ban.2.64. Denci o (19.92) . Legyen az f : R p R f uggveny n-szer differencialhato a-ban. Ekkor az f a pont k or uli n. Taylor-polinomja

T f n,a (x) = f (a) + p

i =1

D i f (a) (x i a i ) + 12!

p

i 1 ,i 2 =1

D i 1 i 2 f (a) (x i 1 a i 1 )(x i 2 a i 2 )

+ + 1n!

p

i 1 ...i n =1

D i 1 i n f (a) (x i 1 a i 1 ) (x i n a i n )

(x R p ) legfeljebb n -edfoku polinomf uggveny. Bevezetve a

(d k f (a))( x) := p

i 1 ,...i k =1D i 1 i k f (a) x i 1 x i k

jelolest, a Taylor-polinom az al abbi alakba rhat o:

T f n,a (x) = f (a) + (d1f (a))( x a) +

12!

(d2f (a))( x a) + + 1n!

(d n f (a))( x a).2.65. Tetel (Taylor-fomula Lagrange-maradektaggal, 19.95) . Legyen az f : R p R f uggveny n + 1 -szer differen-ci alhat o az [a, x ] szakasz pontjaiban, a, x int D (f ). Ekkor van olyan c [a, x ] pont, melyre

f (x) = T f n,a (x) + 1

(n + 1)!(d n +1 f (c))( x a).

21


28/56

2.6. F : R P R ESET M ASODIK FEJEZET

Ennek segtsegevel igazolhat o az alabbi altal anos tetel, mely szerint f n -dik Taylor-polinom n-edrendben k ozeltif -et.

2.66. Tetel (19.97) . Legyen az f : R p R f uggveny n -szer differenci alhat o az a int D (f ) pontban. Ekkor 1.

limx af (x) T f n,a (x)

|x a|n = 0 ,vagyis T f n,a n-edrendben k ozelti a f uggvenyt.

2. Ha p olyan legfeljebb n-edfok u polinomf uggveny, melyre (2.19) teljes ul, akkor p = T f n,a .

22


29/56

Harmadik fejezet

T obbvaltoz os differencialszamtas II.

3.1. f : R p R q f uggvenyek differencialhat os aga3.1. Denci o. Legyen f : R p R q , i {1, . . . , q }. Az f f uggveny i-dik koordin ataf uggvenye

f i :R p

R

, f i (x) = [ f (x)]i , x D

(f ),ahol [f (x)]i R jeloli az f (x) R q vektor i-dik koordin at aj at.3.2. Denci o (Ld. linearis algebra) . Az : R p R q line aris lekepezes , ha (x + y) = (x)+ (y) es ( x) = (x)teljes ul minden x, y R p , R eseten.Ismeretes, hogy ha az R p es R q vektortereket a szok asos bazissal latjuk el, akkor minden linearis lekepezeshezegyertelm uen hozzarendelheto egy A = ( a ij )q p q p matrix, melyre (x) = A x minden x R p -re, teh at A-ta tov abbiakban azonosthatjuk -el. Az A matrix i. soraban eppen az Ai : R p R , Ai (x) = a i 1x1 + + aip x p ,x R p i-dik koordin ataf uggveny (egy linearis f uggveny) egy utthat oi allnak. Az A matrix j -dik oszlopaban pedigeppen az A(ej ) R q , ej = (0 , . . . ,1,0, . . . ) R p j -dik b azisvektor kepenek koordin at ai allnak.3.3. Denci o (20.11) . Legyen f : R p R q f uggveny, a int D (f ). Azt mondjuk, hogy f differenci alhat o az apontban , ha letezik olyan A : R p R q linearis lekepezes (azaz, q p matrix), melyre

limx a f (x) f (a) A(x a)|x a| = 0R q (3.1)

f (x) = f (a) + A(x a) + (x) |x a|, limx a (x) = 0 R q (3.2)3.4. Tetel (20.13) . Az f : R p R q f uggveny akkor es csak akkor differenci alhat o az a int D (f ) pontban, ha f minden f i (i {1, . . . , q }) koordin ataf uggvenye differenci alhat o a-ban. Ekkor a ( 3.1)-ben szerepl o A q p m atrixban a ij = D j f i (a), i = 1 , . . . , q , j = 1 , . . . , p , vagyis

A =

D1f 1(a) D2f 1(a) . . . D p f 1(a)D1f 2(a) D2f 2(a) . . . D p f 2(a)

..

.

..

.

. . . ..

.D1f q (a) D2f q (a) . . . D p f q (a)

(3.3)

Bizonyt as. Vilagos, hogy a ( 3.1)-ben

limx a

f (x) f (a) A(x a)|x a|

= 0 R q limx af i (x) f i (a) Ai (x a)

|x a| = 0 R i = 1 , . . . , q .

Mivel A linearit asa eseten A i linearis, ill. megfordtva, ha A i linearis minden i-re, akkor a bel oluk mint koordinata-f uggvenyekb ol kepezett A f uggveny is linearis, a tetel elso reszet a 2.32. Dencio alapj an bel attuk.Szinten a fenti ekvivalencia alapj an kapjuk, hogy a matrix alakja sz uksegkeppen ( 3.3), hiszen a 2.34. Tetel szerintaz egyes A i koordin ataf uggvenyeket meghat arozo egyutthat ok eppen ( D1f i (a), . . . , D p f i (a)).

23


30/56

3.2. DIFFERENCI AL ASI SZAB ALYOK HARMADIK FEJEZET

3.5. K ovetkezmeny (20.14) . Ha az f : R p R q f uggveny differenci alhat o az a int D (f ) pontban, akkor a ( 3.1)-ben szerepl o A m atrix egyertelm u, (3.3) alak u, es neve: f a pontbeli Jacobi-m atrixa . Jel oles : A = f (a).3.6. Tetel (20.16) .

1. Ha f differenci alhat o a-ban, akkor f folytonos a-ban.

2. Ha minden i = 1, . . . , q , j = 1 , . . . , p , eseten a Dj f i parci alis deriv altf uggvenyek leteznek a egy k ornyezeteben es folytonosak a-ban, akkor f differenci alhat o a-ban.

Bizonyt as. 1. A 3.4. Tetel szerint minden f i koordin ataf uggveny differencialhato a-ban, gy a 2.33. Tetel alapj anfolytonos is a-ban. K onnyen l athato, hogy ekkor f folytonos a-ban.2. A 2.36. Tetelb ol kovetkezik, hogy minden f i koordin ataf uggveny differencialhato a-ban, gy a 3.4. Tetel alapj annyerj uk az al ltast.

3.2. Differenci alasi szabalyokA kovetkez o allt as annak az altal anost asa, hogy egyv altoz os esetben a line aris (aid) f uggvenyek deriv altja konstans.3.7. Alltas. Ha f : R

p

Rq

egy line aris lekepezes, a hozz a tartoz o m atrix A, akkor f minden x R p

pontban differenci alhat o, es f (x) = A, x R p .Bizonyt as. Egyszeruen kovetkezik abbol, hogy

limx a

f (x) f (a) A(x a)|x a|

= limx a

A(x) A(a) A(x a)|x a|

= limx a

0

|x a| = 0 R q .

3.8. Tetel (20.19) . Ha az f, g : R p R q f uggvenyek differenci alhat ok az a int D (f ) int D (g) pontban, akkor f + g es f is differenci alhat o a-ban, es (f + g) (a) = f (a) + g (a), (

f ) (a) =

f (a).

Bizonyt as. Konnyen ellen orizhet o a differencialhatosag denciojab ol.

3.9. Tetel (Kompozciof uggveny differencialhatosaga, 20.20) . Legyen g : R p R q differenci alhat o az a int D (g)pontban, f : R q R s differenci alhat o az g(a) int D (f ) pontban. Ekkor f g differenci alhat o az a int D (f g)pontban, es (f g) (a) = f (g(a)) g (a).

A jobb oldalon egy s q es egy q p m atrix s p szorzata all, ami a megfelel o line aris lekepezesek kompozci oj aval azonosthat o.3.10. Lemma. Minden A : R p R q line aris lekepezeshez tal alhat o olyan K R + sz am, melyre

|A(x) A(y)| = |A(x y)| K |x y| , x, y R p .Bizonyt as. Pl. K = ij a2ij megfelelo ld. linearis algebra ill. el ozo felev.Bizonyt as. (Tetele) A bizonyt as teljesen az egyv altoz os eset anal ogjara t ortenik. Jel olje A := g (a), B := f (g(a)).Ekkor a differenci alhatosag (3.2) denci oja alapj an leteznek olyan es f uggvenyek, hogy

g(x) = g(a) + A(x a) + (x) |x a|, (3.4)f (y) = f (g(a)) + B(y g(a)) + (y) |y g(a)|, (3.5)

24


31/56

HARMADIK FEJEZET 3.2. DIFFERENCI AL ASI SZAB ALYOK

es lim x a (x) = 0, lim y g (a ) (y) = (g(a)) = 0 ( folytonoss aga is felteheto). Mivel g differencialhato, ezertfolytonos is a-ban, gy letezik olyan > 0, hogy ha |x a| < , akkor g(x) D (f ) (itt kihasznaltuk, hogy g(a) int

D (f )), teh at a int D (f g) teljes ul. Ilyen x-ekre teh at y = g(x) helyettesthet o (3.5)-be, teh at felhaszn alva(3.4)-et, kapjukf (g(x)) = f (g(a)) + B (A(x a) + (x) |x a|) + (g(x)) |g(x) g(a)|

= f (g(a)) + ( B A)(x a) + B((x)) |x a|+ (g(x)) |A(x a) + (x) |x a||,ahol kihaszn altuk a B linearit asat. Ahhoz, hogy (f g) (a) = B A eleg bel atni, hogy

r (x) := B((x)) |x a|+ (g(x)) |A(x a) + (x) |x a|| jelolessel letezik olyan f uggveny, melyre

|r (x)| (x) |x a| es limx a (x) = 0 .A 3.10. Lemma alapjan letezik olyan K > 0, melyre |A(x a)| K |x a|, gy

|r (x)| (|B ((x)) |+ |(g(x)) | (K + |(x)|)) |x a| := (x) |x a|.Ha x a, akkor (x) 0, es mivel B linearis, gy folytonos is, ezert B((x)) B(0) = 0. Felhasznalva gfolytonoss agat a-ban es a lim y g (a ) (y) = (g(a)) = 0-t kapjuk, hogy lim x a (g(x)) = 0 . Ebb ol limx a (x) = 0kovetkezik, es ezt akartuk bel atni.

3.11. K ovetkezmeny (20.23) . Legyen g : R p R q differenci alhat o az a int D (g) pontban, f : R q R (s == 1 eset ) differenci alhat o a g(a) int D (f ) pontban. Ekkor F = f g (ahol F (x) = f (g1(x), . . . , gq (x)) , x D (f g))differenci alhat o a-ban, es minden j = 1 , . . . , p eseten

D j F (a) =q

i =1

(D i f )(g(a)) D j gi (a).

Ez a keplet k onnyebben megjegyezhet o, ha f v altoz oit y1 , . . . , yq -val jel olj uk, es g1 , . . . , gq helyett is y1 , . . . , yq -t runk.Ezzel a jel olessel a fenti keplet :

F x j

= f y1

y1x j

+ f y2

y2x j

+ + f yq

yqx j

szok as lancszab alynak is nevezni.

3.12. K ovetkezmeny (20.25) . Ha f, g : R p R (q = 1) f uggvenyek differenci alhat ok az a int D (f ) int D (g)pontban, akkor f g es g(a) = 0 eseten f g is differenci alhat o a-ban.Bizonyt as. Jelolje T : R p R 2 , T (x) := ( f (x), g(x)), valamint legyen : R 2 R , (x, y) := x y. Vilagos,hogy f g = T . Mivel T koordin ataf uggvenyei f es g differencialhatok a-ban, gy a 3.4. Tetel szerint T is az. differencialhatosaga kovetkezik abbol, hogy polinom. Ezert a 3.9. Tetel alapj an f g is differencialhato.Az f g eseten (x, y) := xy -t kell v alasztani, amely racion alis t ortf uggveny leven az y = 0 halmazon differencialhato.Az allt as az elobbihez hasonloan ad odik.A kovetkez o tetel annak az egyv altoz os differencialszamtasbol ismert alltasnak az altal anost asa, hogy ha egyinvert alhato, folytonos f f uggveny eseten f (a) = 0, akkor (f 1) (f (a)) = 1 /f (a).3.13. Tetel (Inverzf uggveny differencialhatosaga, 20.26) . Legyen f : R p R p differenci alhat o az a int D (f )pontban, es legyen az f (a) ( p p) m atrix invert alhat o. Tegy uk fel, hogy letezik olyan g : R p R p folytonos f uggveny, mely f (a) egy k ornyezeteben van ertelmezve, es ott f (g(x)) = x, g(f (a)) = a. Ekkor g differenci alhat of (a)-ban, es

g (f (a)) = [ f (a)] 1 .

25


32/56


Bizonyt as. A bizonytas soran tegy uk fel az egyszeruseg kedveert, hogy a = f (a) = 0 (a tovabbiakban az egysze-ruseg kedveert 0 R p helyett 0-t runk). Ugyanis, ha ez nem gy volna, akkor f helyett a f (x) := f (x + a) f (a)f uggvenyt tekintve, a bizonyt as f -re ervenyes, es ebb ol egyszeruen meggondolhato f -re is.Ezut an ket lepesben j arunk el.I. Tegy uk fel, hogy f (0) = I az R p identitas-lekepezese. Azt kell bel atnunk, hogy ha a 0 egy k ornyezetebenf (g(x)) = x, g folytonos, akkor g (0) = I . Az f 0 pontbeli differenci alhatosaga es f (0) = 0 alapjan

limx 0

f (x) f (0) I (x 0)|x 0|

= limx 0

f (x) x|x|

= 0 .

Mivel limx 0 g(x) = g(0) = 0 es g = 0 a 0 egy kipontozott k ornyezeteben ( f (g(x)) = x miatt), ezert a fentihat arer tekben a kompozci of uggveny hat arerteker ol szolo tetel szerint rhatunk x helyett g(x)-et, vagyis

limx 0

f (g(x)) g(x)|g(x)|

= limx 0

x g(x)|g(x)|

= 0. (3.6)

Ahhoz, hogy a g (0) = I allt ast bel assuk, az kell, hogy

limx 0

g(x) g(0) I (x 0)

|x 0| = lim

x 0

g(x) x

|x| = 0 . (3.7)

Egyszer u atalakt assal kapjuk, hogy a 0 egy kipontozott k ornyezeteben

g(x) x|x|

= g(x) x

|g(x)| |g(x)|

|x| .

Felhaszn alva a ( 3.6) hat arerteket, eleg bel atni, hogy a 0 egy eleg kicsi kipontozott k ornyezeteben |g (x ) || x | korlatos.A (3.6) hat arertek alap j an, = 1/ 2-hez letezik olyan > 0, hogy 0 < |x| < eseten

|g(x) x||g(x)|

< 12

,

amib ol

|g(x)| |g(x) x|+ |x| < 12 |g(x)|+ |x| |

g(x)||x|

< 12 |

g(x)||x|

+ 1 ,

gy 0 < |x| < eseten |g (x ) || x | < 2. Ezzel a kv ant (3.7) hat arer teket bel attuk, gy g (0) = I .II. Ha f (0) = A egy tetsz oleges invert alhato matrix, akkor denialja f := A 1 f . A 3.9. Tetel es a 3.7. Alltasalapj an

f (0) = ( A 1) (f (0)) f (0) = A 1 A = I .Ezert f -ra alkalmazhat o az I . resz bizonyt asa a g := g A f uggvennyel, hiszen

f (g(x)) = A 1(f (g(Ax))) = A 1(Ax) = x.

Igy kapjuk, szinten a 3.9. Tetel es a 3.7. Allt as alapj an,

I = g (0) = ( g A) (0) = g (A(0)) A (0) = g (0) A.Ebb ol g (0) = A 1 kovetkezik.

Terj unk most vissza egy tetel erejeig a t obbv altoz os integr alszamtashoz! A Jacobi-matrix segtsegevel altal anost-hatjuk az egyvaltoz os helyettesteses integr alasr ol tanultakat.

3.14. Denci o (20.31) . Az f : R p R q f uggvenye folytonosan differenci alhat o az a int D (f ) pontban, ha f differencialhato az a pont egy k ornyezeteben, es koordin ataf uggvenyeinek parci alis deriv altjai folytonosak a-ban.26


33/56

HARMADIK FEJEZET 3.2. DIFFERENCI AL ASI SZAB ALYOK

3.15. Tetel (Integraltranszformacio, 22.23). Legyen H R p merhet o halmaz, g : H R p folytonosan differencialhat o es injektv int H -ban. Ekkor g(H ) is merhet o, es ha f : g(H ) R korl atos, akkor

g (H ) f = H (f g) |det g |(az egyik oldal pontosan akkor letezik, ha a m asik, es ekkor egyenl ok).

Bizonyt as. Nem bizonytjuk.

3.16. Pelda. Legyen g(r, ) := ( r cos, r sin ), (r, ) H az un. pol artranszform aci o. Ekkor

det g = cos r sin sin r cos= r cos2 + r sin2 = r.

27


34/56


28


35/56

Negyedik fejezet

Implicit es inverz f uggvenyek

4.1. Egyvaltoz os implicitf uggveny-tetel, Lagrange-multiplikatorokProblema. Az f (x, y) = 0 alaku osszef uggesb ol kifejezhet o-e az y az x segtsegevel? Vagyis: van-e olyan f uggveny,hogy f (x,(x)) = 0

x

D()?

4.1. Pelda.f 1(x, y ) := x2 + y2 2x 4y + 5 = 0

Vilagos, hogy csak x = 1 es y = 2 eseten teljes ul.

f 2(x, y ) := x2 + y2 2x 4y + 4 = 0Konnyen l athato, hogy a

1 : [0,2] [2,3], 1(x) = 2x x2 + 2es2 : [0,2] [1,2], 2(x) = 2x x2 + 2f uggvenyre is igaz, hogy f 2(x,1(x)) = 0

x

D(1) es f 2(x,2(x)) = 0

x

D(2).

4.2. Tetel (Egyv altoz os implicitf uggveny-tetel, 20.28) . Legyen f : R 2 R , es tegy uk fel, hogy f (a, b) = 0 , (a, b)

D (f ). Tegy uk fel, hogy f folytonos az (a, b) pont egy k ornyezeteben es D2f = 0 ebben a k ornyezetben. Ekkor letezik a-nak ill. b-nek olyan K (a) R ill. K (b) R k ornyezete, hogy 1. Minden x K (a) eseten !(x) K (b), melyre

f (x,(x)) = 0 .

2. A : K (a) K (b) f uggveny folytonos K (a)-n, (a) = b.3. Ha f folytonosan differenci alhat o (a, b)-ben, akkor differenci alhat o is az a pontban, es

(a) =

D1f (a, b)

D2f (a, b).

Megjegyezzuk, hogy a tetel csak a implicit f uggveny letezeser ol szol, altal aban nem tudjuk ezt a f uggvenyteloalltani. Ennek ellenere a derivaltj at ki tudjuk szamtani az a pontban. . . !

Bizonyt as. A tetelnek az 1 . reszet bizonytjuk abban az esetben, mikor f folytonosan differenci alhato (a, b)-ben.Ekkor a D2f parci alis deriv altf uggveny is folytonos ( a, b)-ben, es D2f (a, b) = 0. Legyen peld aul D2f (a, b) > 0 (aD2f (a, b) < 0 eset hasonl oan meggondolhato). Ekkor D2f folytonoss aga miatt letezik az ( a, b) D(f ) pontnakolyan r > 0 sugaru K r (a, b) D(f ) kornyezete, hogy

(x, y ) K r (a, b) eseten D 2f (x, y) > 0. (4.1)29


36/56

4.1. EGYV ALTOZ OS IMPLICITF UGGV ENY-T ETEL NEGYEDIK FEJEZET

4.1. abra. Implicitf uggveny-tetel

Tekints uk azf a : y f (a, y )

f uggvenyt ! Mivelf a (b) = f (a, b) = 0 , es ( f a ) (b) = D2f (a, b) > 0,

ezert f a lokalisan n ovo b-ben, gy leteznek olyan b1 < b < b 2 szamok, hogy

f (a, b1) = f a (b1) < 0 < f a (b2) = f (a, b2),

es felteheto, hogy (a, b1), (a, b2) K r (a, b). Az f f uggveny folytonossaga miatt van olyan p > 0 es q > 0, hogy(x , y ) K p (a, b1) es (x , y ) K q (a, b2) eseten f (x , y ) < 0 < f (x , y ). (4.2)

A p es q elegendoen kicsire valaszt asaval felteheto, hogy

K p (a, b1) K r (a, b), K q (a, b2) K r (a, b).Legyen

:= min {p, q}, es K (a) := ( a , a + ),vagyis K (a) tartalmazza K p es K q kozul a kisebb sugaru (az abr an K p ) vet uletet az x-tengelyen. Legyen

:= max {b(b1 p) , b2 + q b}, es K (b) := ( b, b + ),vagyis K (b) tartalmazza K p es K q kozul a nagyobb sugaru (az abr an K q ) vet uletet az y-tengelyen.

Rogzts unk most egy tetsz oleges x K (a) pontot, denialni fogjuk hozz a a megfelelo (x) K (b) er teket. Jel oljef x : y f (x, y ),

mely f folytonoss aga kovetkezteben egy val os valtoz os folytonos f uggveny.A (4.2) alapj an

f (x, b1) = f x (b1) < 0 < f x (b2) = f (x, b2),

mivel x K (a) miatt ( x, b1) K p (a, b1) es ( x, b2) K q (a, b2). Alkalmazva f x -re a Bolzano-tetelt [ b1 , b2]-n, letezikolyan y (b1 , b2), amelyre f x (y) = f (x, y) = 0 .Csak egyetlen ilyen y letezik, ugyanis, ha y= y is olyan lenne, hogy

f x (y) = f (x, y) = 0 ,

30


37/56

NEGYEDIK FEJEZET 4.1. EGYV ALTOZ OS IMPLICITF UGGV ENY-T ETEL

akkor f x -re alkalmazva a Rolle-tetelt [ y, y]-on (vagy [y, y]-on), letezne olyan c az y es y kozott, hogy

(f x ) (c) = D2f (x, c) = 0

lenne. Ez pedig lehetetlen, hiszen ( x, c) K r (a, b), es ( 4.1) miatt D 2f (x, c) > 0 kellene legyen.Teh at b armely x K (a) szamhoz egyertelm uen rendelheto olyan y K (b) szam, hogy f (x, y ) = 0, azaz letezikolyan

: K (a) K (b), (x) := yf uggveny, hogy

f (x,(x)) = 0 x K (a).Az egyertelmuseg miatt (a) = b is teljesul.

4.3. Pelda. A fenti tetel felteteleinek sz uksegessege k onnyen l athato az alabbi egyszer u peldan. Legyen

f (x, y ) := x2 + y2 1.Vilagos, hogy az f (x, y ) = 0 egyenletet kielegt o pontok az (origo kozeppontu) egysegk orvonal pontjai. Vegy unk egy(a, b) (egysegk orvonalon levo) pontot, melyre f (a, b) = 0! Ha a (1,1), b > 0 (vagyis (a, b) a felso felskban fekvokorven van), akkor D 2f (a, b) = 2 b > 0, es az implicitf uggveny-tetel alapj an egyertelm uen letezo : K (a)

K (b)

f uggvenyre(x) = 1 x2 .Ha a (1,1), b < 0 (vagyis (a, b) a als o felskban fekv o korven van), akkor D2f (a, b) = 2 b < 0, es azimplicitf uggveny-tetel alapj an egyertelm uen letezo : K (a) K (b) f uggvenyre(x) = 1 x2 .Mi a helyzet, ha a = 1 es b = 0 ? Vil agos, hogy nem tudunk olyan K (a) es K (b) kornyezeteket megadni, melyekrex K (a) es y K (b) eseten az f (x, y ) = 0 egyenletet kielegt o pontok egy f uggveny grakonj at alkotnak. Tehatnem letezik a kv ant f uggveny. Egy ilyen pontban D2f (a, b) = 2 b = 0, tehat az implicitf uggveny-tetel feltetele

nem teljes ul.

A kovetkez okben un. felteteli halmazokon keres unk szelsoerteket.

4.4. Denci o. Legyenek g1 , g2 , . . . , gq :R p

R

(q < p) f uggvenyek, tov abb aH := {x R p | g1(x) = 0 , . . . , gq (x) = 0}.

Azt mondjuk, hogy az f f uggvenynek a g1 = 0, . . . , gq = 0 feltetel mellett felteteles szels oerteke van az a H pontban, ha az a pontban az f | H f uggvenynek lokalis szels oerteke van.4.5. Tetel (Lagrange-fele multiplik ator m odszer, 20.43) . Legyenek f, g1 , g2 , . . . , gq : R p R folytonosan differen-ci alhat o f uggvenyek, q < p. Tegy uk fel, hogy az f f uggvenynek a g1 = 0 , g2 = 0 , . . . , gq = 0 feltetel mellett felteteles szels oerteke van az a D (f ) pontban. Tegy uk fel tov abb a, hogy

rangD1g1(a) D2g1(a) . . . D p g1(a)

......

D1gq (a) D2gq (a) . . . D p gq (a)= q.

Ekkor leteznek olyan 1 , 2 , . . . , q R sz amok, hogy az F := f + 1g1 + 2g2 + . . . + q gq : R p R f uggvenyre F (a) = 0 R p vagyis, az f (a), g1(a), . . . , gq (a) vektorok line arisan osszef ugg ok. Teh at

D1f (a) + 1D1g1(a) + + q D1gq (a) = 0D2f (a) + 1D2g1(a) + + q D2gq (a) = 0

...D p f (a) + 1D p g1(a) + + q D p gq (a) = 0 .

31


38/56

4.1. EGYV ALTOZ OS IMPLICITF UGGV ENY-T ETEL NEGYEDIK FEJEZET

Bizonyt as. A bizonytast p = 2, q = 1 es felteteles minimum eseten vegezz uk el (a felteteles maximum esetehasonl oan gondolhato meg), az a helyett pedig ( a, b)-t runk.A feltetelek alapj an a g := g1 : R 2 R f uggveny folytonosan differenci alhato, es az ( a, b) pontban g(a, b) = 0 .Ebben a pontban a rangfeltetel

rang D1g(a, b), D2g(a, b) = 1

azt jelenti, hogy peld aul D2g(a, b)

= 0. Ekkor a 4.2. Egyvaltoz os implicitf uggveny-tetel szerint letezik a-nak K (a)

es b-nek K (b) kornyezete, es letezik olyan : K (a) K (b) differencialhato f uggveny, amelyrex K (a) eseten g(x,(x)) = 0 ,

es (a) = b. Ez azt jelenti, hogy a

H = {(x, y) R 2 | g(x, y) = 0} {(x,(x)) R 2 | x K (a)} =: H . (4.3)Tov abb a

(a) = D1g(a, b)D2g(a, b)

,

azazD1g(a, b) + (a)D2g(a, b) = 0 . (4.4)

Mivel az f | H f uggvenynek lokalis minimuma van az ( a, b) H pontban, ezert letezik r > 0, hogy az (a, b) pontK r (a, b) kornyezeteben(x, y ) K r (a, b) H eseten f (x, y ) f (a, b). (4.5)

A (4.3) alapj an x K (a) eseten ( x,(x)) H H . Felhaszn alva, hogy folytonos K (a)-n, meggondolhat o, hogyletezik olyan K (a) K (a) kornyezet, hogy

x K (a) eseten ( x,(x)) K r (a, b) H.Igy (4.5)-b ol

x K (a) eseten f (x,(x)) f (a,(a)) = f (a, b).Ez azt jelenti, hogy a h : K (a) R , h(x) := f (x,(x))valos f uggvenynek lokalis minimuma van az a pontban. A h f uggveny differencialhato (differencialhato f uggvenyekkompozci oja), ezert h (a) = 0. A kompozciof uggveny derivalasi szab alya alapj an

h (x) = f (x,(x)) (x , (x))= D1f (x,(x)) , D2f (x,(x)) , 1, (x)= D1f (x,(x)) + (x)D2f (x,(x)) .

Ezerth (a) = D1f (a, b) + (a)D2f (a, b) = 0 . (4.6)

Legyen R egyelore tetsz oleges szam, es szorozzuk meg -val az (4.4) egyenl oseget, majd adjuk ossze a (4.6)egyenloseggel. EkkorD1f (a, b) + D 1g(a, b) + (a)[D2f (a, b) + D 2g(a, b)] = 0 . (4.7)

A megvalaszthato ugy, hogyD2f (a, b) + D2g(a, b) = 0 (4.8)

(lathato, hogy a := D 2 f (a,b )D 2 g (a,b ) megfelelo.) Ha a

eseten ( 4.7)-ben a sz ogletes zar ojelben levo tenyez o 0, akkor

D1f (a, b) + D1g(a, b) = 0 (4.9)

32


39/56

NEGYEDIK FEJEZET 4.2. IMPLICIT- ES INVERZF UGGV ENY-T ETELEK

is teljesul. Osszestve az eredmenyeket, azt kaptuk, hogy ha az f f uggvenynek felteteles minimuma van a g = 0feltetel mellett az a = ( a, b) pontban, akkor az F := f + g f uggvenynek az elso valtoz o szerinti parcialis deriv altja0 (ezt mutatja ( 4.9)), es a masodik v altoz o szerinti parcialis derivaltja is 0 (ezt mutatja ( 4.8)).Teh at

F (a) = F (a, b) = D1F (a, b), D2F (a, b) = 0 R 2 .

4.2. Implicit- es inverzf uggveny-tetelek4.6. Tetel (Folytonos lokalis inverz letezese) . Legyen g : R R differenci alhat o a b pont egy k ornyezeteben, itt g (y) = 0 . Ekkor g-nek letezik a g(b) = a egy K (a) k ornyezeteben ertelmezett folytonos (jobb)inverze, , melyre g((x)) = x minden x K (a).Bizonyt as. Denialja az f : R 2 R f uggvenyt f (x, y ) := x g(y). A feltetelek alapj an f -re teljes ulnek a 4.2. Egy-valtoz os implicitf uggveny-tetel feltetelei az ( a, b) pontban, gy letezik olyan folytonos : K (a) K (b) f uggveny,melyre

f (x,(x)) = 0 g((x)) = x, x K (a).

Az alabbi tetel annak az egyv altoz os differencialszamtasbol ismert allt asnak a megfelel oje, hogy ha f (a) = 0,akkor f -nek a-ban nem lehet lokalis szels oerteke.4.7. Tetel (Lokalis injektivitas, 20.32) . Legyen f : R p R q ( p q ) folytonosan differenci alhat o az a int D (f )pontban, es tegy uk fel, hogy az f (a) : R p R q line aris lekepezes injektv (vagyis, az f (a) q p m atrix rangja p).Ekkor f is injektv az a pont egy k ornyezeteben.Bizonyt as. Nem bizonytjuk.

4.8. Tetel (Lokalis szurjektivitas, 20.35) . Legyen f : R p R q ( p q ) folytonosan differenci alhat o az a int D (f )pontban, es tegy uk fel, hogy az f (a) : R p R q line aris lekepezes sz urjektv (vagyis, az f (a) q p m atrix rangja q ).Ekkor az R (f ) ertekkeszlet tartalmazza az f (a) pont egy k ornyezetet.Bizonyt as. A bizonytasnak csak egy alap otletet ismertetj uk. Legyen b eleg k ozel f (a)-hoz, es denialja h(x) :== bf (x) + x. Belathato, hogy h kontrakcio a B(a, ) zart g ombon (megfelel o -ra). A Banach-fele xponttetelalapj an gy h-nak letezik egyetlen x B (a, ) xpontja, melyre

h(x) = bf (x) + x= x,amib ol f (x) = b, teh at b R (f ).4.9. K ovetkezmeny (Nylt lekepezes tetele, 20.37) . Legyen f : R p R q ( p q ) folytonosan differenci alhat o a H D (f ) nylt halmazon, es tegy uk fel, hogy minden x H eseten az f (x) : R p R q line aris lekepezes sz urjektv (vagyis, az f (x) q p m atrix rangja q ). Ekkor az f (H ) := {f (h) : h H } kephalmaz nylt halmaz.4.10. Tetel (Inverzf uggveny-tetel, 20.38) . Legyen f : R p R p folytonosan differenci alhat o az a int D (f ) pontban,es tegy uk fel, hogy az f (a) : R p R p line aris lekepezes injektv (vagyis, det f (a) = 0 ). Ekkor letezik olyan > 0es > 0, hogy

1. x B (f (a), ) eseten ! (x) B (a, ) : f ((x)) = x ;2. a : B (f (a), ) B (a, ) f uggveny differenci alhat o B(f (a), )-n ;3. f (x) injektv (vagyis, det f (x) = 0 ) minden x B (a, ) eseten es

(f (x)) = [ f (x)] 1 , x B (a, ).Bizonyt as. Nem bizonytjuk. A tetel 3 . pontj aban szereplo keplet a 3.13. Tetelben szerepl o keplettel azonos.

33


40/56

4.2. IMPLICIT- ES INVERZF UGGV ENY-T ETELEK NEGYEDIK FEJEZET

4.11. Tetel (T obbv altoz os implicitf uggveny-tetel, 20.40) . Legyen f : R p+ q R q folytonosan differenci alhat o a c = ( a, b) int D (f ) pont egy k ornyezeteben, ahol a R p , b R q , es f (c) = f (a, b) = 0 R q . Tegy uk fel, hogy az f a : R q R q , f a (y) = f (a, y ) f uggvenyre (f a ) (b) injektv (vagyis, det f a (b) = 0 .) Ekkor letezik olyan > 0 es > 0, hogy 1. x B(a, ) eseten ! (x) B (b, ) : f (x,(x)) = 0 R q ;2. a : B (a, ) B (b, ) f uggveny folytonosan differenci alhat o B(a, )-n ;3. az f b : R p R q , f b(x) = f (x, b) jel olessel

(x) = [f a (x)] 1

(f b) ((x)) , x B (a, ).Bizonyt as. Nem bizonytjuk.

34


41/56

Ot odik fejezet

Ivhossz, vonalintegral, primitv f uggveny

Ebben a fejezetben ismet integr alszamtasr ol lesz szo, megpedig a zikaban gyakran haszn alatos un. vektormezokgorbe menti integr alj ar ol. Ez a fogalom zikailag ugy interpret alhato mint az a munkavegzes, mely egy pont er ohat asaltal val o mozgat asa sor an t or tenik.

5.1. G orbe5.1. Denci o. Egy g : [a, b] R p lekepezest g orbe nek nevez unk. p = 2 esetben skg orbe rol, d = 3 esetbenterg orbe rol beszel unk.Specialis skg orbe: g : [a, b] R 2 , g(t) = ( t, f (t)), ahol f : [a, b] R f uggveny. Ekkor R (g) = graph ( f ).Nagyon fontos, hogy a g orbet, melyet lekepezeskent deni altunk, ne keverj uk ossze az ertekkeszlethalmaz aval barinkabb ez ut obbi felelne meg a mindennapos szohaszn alat gorbe elnevezesenek.

5.1. abra. A g : [0,2] R 2 , g(t) = (cos t, sin t) skg orbe er tekkeszleteVilagos, hogy ha az 5.1. abr an a g lekepezest [0 ,4]-n - vagy akar [0,3]-n - denialjuk, akkor is ugyanehhez azertekkeszlethalmazhoz jutunk.

5.2. Denci o. Egy [x, y ] R p halmazt R p -beli szakasz nak hvunk, ha[x, y] = {t x + (1 t) y : t [0,1]}.

Egy R p-beli poligon (vagy t or ottvonal ) egymashoz csatlakozo szakaszok uni oja.

A gorbe vhosszat ugy fogjuk deni alni mint (az ertekkeszlethalmaz anak) bert poligonjai hosszainak szupremu-mat.

35


42/56

5.1. G ORBE OT ODIK FEJEZET

5.2. abra. G orbe vhosszanak k ozeltese poligonnal

5.3. Denci o (14.15) . Egy g : [a, b] R p gorbe vhossza az

s(g) := sup n

i =1 |g(t i )

g(t i 1)

| : a = t0 < t 1 0, j = 1 , . . . , p konstansok, hogy

|gj (y) gj (x)| K j |y x|, x, y [a, b].Legyen K := max 1 j p K j . Ekkor az ( 5.1)-ben szerepl o tetsz oleges t0 = a < t 1 < < t n 1 < t n = b felosztasra

n

i =1|g(t i ) g(t i 1)| =

n

i =1 (g1(t i ) g1(t i 1))2 + + ( g p (t i ) g p (t i 1)2

n

i =1 K 2 p (t i t i 1)2 = K p n

i =1

(t i t i 1) = K p (ba), x, y [a, b].

Ebb ol kovetkezik, hogy s(g) K p (ba), gy g rektik alhato.5.8. Tetel (14.21) . Ha a g : [a, b] R p g orbe differenci alhat o es minden j = 1, . . . , p eseten gj R[a, b] (pl., ha g folytonosan differenci alhat o), akkor

s(g) = b

a |g (t)|dt = b

a (g1(t))2 + + ( g p (t))2 dt. (5.2)Bizonyt as. A tetelt csak kozeltoleg bizonytjuk, megpedig ugy, hogy az s(g) szamot az ( 5.1)-ben szerepl o, va-lamely t0 = a < t 1 < < t n 1 < t n = b felosztashoz tartozo

ni =1 |g(t i ) g(t i 1)| alaku osszeggel kozeltj uk.

Haszn aljuk fel, hogy minden j = 1, . . . , p eseten gj differencialhato. Igy az adott felosztas [t i 1 , t i ] reszintervallu-main alkalmazva a(z egyv altoz os) Lagrange-k ozepertektetelt kap juk, hogy leteznek c1,i , . . . , c p,i [t i 1 , t i ] szamok,melyekre

g1(t i ) g1(t i 1) = g1(c1,i ) (t i t i 1), . . . , g p (t i ) g p (t i 1) = g p(c p,i ) (t i t i 1).Ekkorn

i =1|g(t i ) g(t i 1)| =

n

i =1 (g1(t i ) g1(t i 1))2 + + ( g p (t i ) g p (t i 1)2=

n

i =1 g1(c1 ,i )2 (t i t i 1)2 + + g p (c p,i )2 (t i t i 1)2=

n

i =1 g1(c1 ,i )2 + + g p (c p,i )2 (t i t i 1),ami eppen a

b

a |g (t)| egy integr al-kozeltoosszege.5.9. Megjegyzes (14.13). A fenti tetel specialis esete, ha f : [a, b] R folytonosan differenci alhato, g : [a, b] R 2 ,g(t) = ( t, f (t)), es gy f grakonj anak vhossza

s(g) = b

a 1 + ( f (t))2 dt.5.10. Pelda. A g : [0,2] R 2 , g(t) = ( a(t sin t), a(1 cos t)) cikloisgorbe vhossza:

s(g) = 2

0 a2(1 cos t)2 + a2 sin2 t dt = 2a 2

0 1 cos t dt = 2a

2

0sin

t2

dt = 4a cos t2

2

0= 8 a

37


44/56


45/56

OT ODIK FEJEZET 5.3. PRIMIT IV F UGGV ENY

5.3. Primitv f uggvenyEbben az alfejezetben a t obbv altoz os primitv f uggveny fogalmar ol lesz szo, valamint arrol, hogy a Riemann-integr aln al megismert Newton-Leibniz-formul at hogyan altal anosthatjuk vonalintegr alra.

5.13. Denci o (22.36) . Legyen f : R p R p , D (f ) nylt. Azt mondjuk, hogy a F : R primitv f uggvenye f -nek -n , ha F differencialhato -n es minden x

eseten

F (x) = f (x) D j F (x) = f j (x), j = 1, . . . , p .5.14. Tetel (Newton-Leibniz formula vonalintegr alra, 22.38) . Tegy uk fel, hogy az f : R p R p folytonos f ugg-venynek van F : R primitv f uggvenye -n. Ekkor tetsz oleges g : [a, b] R p folytonos es rektik alhat og orbere

g f = F (g(b)) F (g(a)) .Bizonyt as. A tetelt csak kozeltoleg bizonytjuk ugy, hogy az g f szamot megint az ( 5.3)-ban szereplo, vala-mely t0 = a < t 1 < < t n 1 < t n = b felosztashoz es ti 1 < c i < t i , i = 1 , . . . , n szamokhoz tartoz on

i =1 f (g(ci )) , g(t i ) g(t i 1) osszeggel kozeltj uk. Mivel F differencialhato -n es g : [a, b] , ezert az adottfelosztashoz tartozo [g(t i 1), g(t i )] szakaszokon alkalmazva a 2.30. Tobbv altoz os Lagrange-k ozepertektetelt F -rekapjuk, hogy leteznek di [g(t i 1), g(t i )] pontok, melyekre

F (g(t i )) F (g(t i 1)) = F (di ), g(t i ) g(t i 1) , i = 1 , . . . , n .Ebb ol

F (g(b)) F (g(a)) =n

i =1

[F (g(t i )) F (g(t i 1))] =n

i =1

F (di ), g(t i ) g(t i 1) .A primitv f uggveny denci oja alapj an

n

i =1

f (g(ci )) , g(t i ) g(t i 1) =n

i =1

F (g(ci )) , g(t i ) g(t i 1)

n

i =1 F (di ), g(t i ) g(t i 1) = F (g(b)) F (g(a)) .A kozelto egyenloseg igaz, ha a t0 = a < t 1 < < t n 1 < t n = b felosztas eleg s ur u. Ugyanis ekkor mivelg rektik alhato es folytonos, g(ci ), ti 1 < c i < t i eleg k ozel van a di [g(t i 1), g(t i )] ponthoz. M asreszt, mivelF = f folytonos, ezert F (g(ci )) is eleg k ozel van F (di )-hez.5.15. Megjegyzes (22.39). Ha a g : [a, b] R p gorbe differenci alhat o es minden j = 1 , . . . , p eseten gj R[a, b] (pl.,g folytonosan differenci alhato), tov abb a f : R (g) R p pedig folytonos, es primitv f uggvenye F , akkor az 5.12. esa 3.9. Tetelek alapj an

g f = b

af (g(t)) , g (t) dt =

b

a(F g) (t) dt = F (g(b)) F (g(a))

az egyvaltoz os Newton-Leibniz-tetelb ol adodik.5.16. Denci o. A g : [a, b] R p gorbe z art g orbe , ha g(a) = g(b).5.17. K ovetkezmeny. Ha az f : R p ( R p ) folytonos f uggvenynek van primitv f uggvenye, akkor tetsz oleges g : [a, b] folytonos es rektik alhat o zart g orbe menten vett vonalintegr alja 0. Tov abb a, tetsz oleges folytonos es rektik alhat o g orbe menten vett vonalintegr alja f uggetlen az utt ol.5.18. Tetel (22.44) . Legyen f : R p ( R p ) differenci alhat o -n. Ha f -nek van primitv f uggvenye -n,akkor minden x eseten D i f j (x) = D j f i (x), i, j = 1 , . . . , p .

39


46/56


47/56

OT ODIK FEJEZET 5.4. FOLYTONOS F UGGV ENY PRIMIT IV F UGGV ENYE

ahola = tn < tn 1 < t i < t i 1 < t0 = b, ci [t i , t i 1].

Teh at az osztopontok atsorsz amozasa ut an az g f egy kozelt o osszegenek mnusz egyszereset kapjuk. A megfordt asugyangy meggondolhat o.Korabban belattuk a vonalintegr alra vonakozo 5.14. Newton-Leibniz formulat, mely szerint ha g : [a, b]

R p

folytonos es rektik alhato gorbe, tov abb a f : R p olyan folytonos f uggveny, melynek az F : R primitvf uggvenye -n (vagyis F differencialhato es F = f -n), akkor

g f = F (g(b)) F (g(a)) . (5.6)Az alltasnak megfogalmaztuk ket k ozvetlen k ovetkezmenyet is. Az egyik, hogy primitv f uggvennyel rendelkez ofolytonos f uggveny zart g orben vett vonalintegr alja 0. A masik pedig, hogy ilyen f uggveny vonalintegr alja f uggetlenaz uttol, vagyis ugyanolyan vegpontokkal rendelkez o gorbeken vett vonalintegr aljai megegyeznek.Az alabbiakban megmutatjuk, hogy ezen alltasok mindegyike megfordthat o, vagyis b armelyikb ol kovetkezik, hogyf -nek van primitv f uggvenye. A tov abbiakban g orbe alatt mindig folytonos es rektik alhato gorbet ert unk.

5.21. Tetel (22.41) . Legyen R p , f : R p folytonos. Ekkor ekvivalensek:(i) Minden g : [a, b] folytonos, rektik alhat o z art g orbe (vagyis g(a) = g(b)) eseten

g f = 0 .(ii) Minden olyan g1 : [a1 , b1] es g2 : [a2 , b2] folytonos, rektik alhat o g orbek eseten, melyekre g1(a1) == g2(a2) es g1(b1) = g2(b2) is igaz (vagyis a ket g orbe ertekkeszletenek vegpontjai megegyeznek), teljes ul,hogy

g1 f = g2 f.(M askepp: a vonalintegr al f uggetlen az utt ol.)

(iii) f -nek letezik primitv f uggvenye -n, vagyis letezik olyan F : R differenci alhat o f uggveny, melyre D j F (x) = f j (x), j = 1 , . . . , p , x .

Bizonyt as. (i) (ii ).Legyenek g1 : [a1 , b1] es g2 : [a2 , b2] olyan gorbek, melyekre g1(a1) = g2(a2) es g1(b1) = g2(b2). Felteheto,hogy a2 = b1 (pl. g2 atparameterezesevel). Ekkor az 5.20. Alltas szerint a

g2 : [a2 , b2] , g2 (t) := g2(a2 + b2 t)ellentetesen ir anytott g orbevel a

g1 g2 : [a1 , b2] zart g orbe lesz, ugyanis

(g1 g2 )(a1) = g1(a1) es ( g1 g2 )(b2) = g2 (b2) = g2(a2),es a feltetel szerint g1(a1) = g2(a2). Igy (i), az 5.19 es az 5.20. Allt as alapj an

0 = g1g2 f = g1 f + g2 f = g1 f g2 f,teh at

g1 f = g2 f.41


48/56

5.4. FOLYTONOS F UGGV ENY PRIMIT IV F UGGV ENYE OT ODIK FEJEZET

5.5. abra.

(ii ) (iii ).Rogzts unk egy c pontot. LegyenF : R , F (x) :=

gc,x

f,

ahol gc,x jeloljon egy c-t x-szel osszekot o sima gorbet. Legyen ej R p ( j = 1 ,2, . . . , p) az j -edik egysegvektor.EkkorD j F (x) = lim

s 0

F (x + sej ) F (x)s

= lims 0

1s g c,x + se j f g c,x f =

= lims 0

1s gx,x + se j f.

Felhaszn alva, hogy a gx,x + se j (t) = x + t ej , t [0, s] gorbe folytonosan differencialhato, gx,x + se j (t) = ej , az 5.12. Te-tel alapj an kapjuk, hogyD j F (x) = lim

s 0

1s

s

0f (x + te j ), ej dt = lim

s 0

1s

s

0f j (x + te j )dt.

Az egyvaltoz os Riemann-integr al kozepertektetele alapj an egy h : [a, b] R folytonos f uggvenyhez letezik olyan [a, b], melyre

b

ah = h() (ba),

(vagyis a f uggveny alatti ter ulet egy b a es h() oldalhossz usagu teglalap ter uletevel egyezik meg). Felhaszn alva,hogy a [0, s] t f j (x + te j ) f uggveny folytonos (mivel f az), letezik olyan = (s) [0, s ], melyreD j F (x) = lim

s 0

1s

s

0f j (x + te j )d t = lim

s 0

1s

f j (x + ej ) s = lims 0 f j (x + ej ) = f j (x),mivel s 0 eseten (s) 0 es f j folytonos. Tehat

D j F (x) = f j (x), x .Mivel j tetsz oleges volt, es f j folytonos, ebb ol az is kovetkezik, hogy D j F folytonos -n minden j -re. Igy kovetkezik,hogy F differencialhato -n es F = f .

(iii ) (i)Ld. az 5.17. Kovetkezmenyt.5.22. Megjegyzes. A fenti bizonyt as (ii ) (iii ) reszeben felhaszn altuk, hogy barmely c, x eseten letezik c-tx-szel osszekot o, -ban fut o sima gorbe. Ez csak akkor igaz, ha -rol feltesszuk, hogy un. osszef ugg o halmaz. Ha nem osszef uggo, akkor az egyes osszef ugg osegi komponenseire alkalmazva a bizonyt ast, az F primitv f uggveny azgy kapott f uggvenyekb ol eloallthat o. Ennek meggondolasat itt tovabb nem reszletezz uk.

42


49/56

OT ODIK FEJEZET 5.5. FOLYTONOSAN DIFFERENCI ALHAT O F UGGV ENY PRIMIT IV F UGGV ENYE

5.5. Folytonosan differencialhat o f uggveny primitv f uggvenye letezese-nek elegseges feltetele

Az elozo fejezetben l attuk, hogy a zart g orbeken 0 vonalintegr allal rendelkez o folytonos f uggvenyeknek van primitvf uggvenye. Ezt a feltetelt azonban a gyakorlatban igen nehez ellen orizni, hiszen minden lehetseges z art g orben vettintegr alt ki kellene sz amolni. Ebben a fejezetben azzal foglalkozunk, hogy egy eleg sima (folytonosan differenci alhato)f : R p R p f uggveny primitv f uggvenye letezesere milyen k onnyebben ellenorizhet o feltetelt tudunk adni. Kider ul,hogy a kor abban belatott 5.18. Tetel megfordt asa megfelel o tulajdonsagu tartomanyon alkalmazhat o. Az alltasbizonytasahoz szukseg unk lesz a parameteres integr al fogalmara.

5.5.1. Parameteres integr alLegyen h : [a, b][c, d] R folytonos f uggveny (ahol most [ a, b] es [c, d] valos intervallumok). A

H : [c, d] R , H (y) := b

ah(x, y ) dx

f uggvenyt parameteres integr al nak nevezz uk (y a parameter).

5.23. Tetel. Legyen h : [a, b]

[c, d]

R folytonos f uggveny. Tegy uk fel, hogy D2h letezik es folytonos [a, b]

[c, d]-n.

Ekkor a H : [c, d] R ,H (y) :=

b

ah(x, y ) dx

f uggveny differenci alhat o (c, d)-n es minden y (c, d) eseten H (y) =

b

aD2h(x, y) dx.

Bizonyt as. Legyen y (c, d) tetsz oleges. Ekkor s (c, d), s = y esetenH (s) H (y)

s y b

aD2h(x, y ) dx =

= 1s y

b

a h(x, s ) dx b

a h(x, y ) dx b

a D2h(x, y) dx =

= 1s y

b

a(h(x, s ) h(x, y)) dx

b

aD2h(x, y) dx =

= 1s y

b

aD2h(x, )(s y) dx

b

aD2h(x, y ) dx =

= b

a(D2h(x, ) D2h(x, y )) dx,

ahol az utols o elotti sorban alkalmaztuk a Lagrange-k ozepertektetelt h-ra a 2. valtoz oban, (s, y ) vagy (y, s )(es tulajdonkeppen f ugg x-t ol, de ennek a tov abbiakban nem lesz szerepe). Mivel D2h folytonos [a, b] [c, d]-n,ezert > 0 > 0, hogy (x, s ), (x, y) [a, b][c, d], amelyre|(x, s ) (x, y )| = |s y| < ,

teljes ul, hogy |D2h(x, s ) D2h(x, y)| < .Legyen s (c, d), s = y olyan, hogy |s y| < . Mivel az y es s kozott van, gy | y| < is fennall, amib ol|D2h(x, ) D2h(x, y )| <

is kovetkezik. Ekkor a fenti egyenl oseg alapjan

H (s) H (y)s y

b

aD2h(x, y ) dx

b

a |D2h(x, ) D2h(x, y )|dx < b

a dx = (ba).

43


50/56

5.5. FOLYTONOSAN DIFFERENCI ALHAT O F UGGV ENY PRIMIT IV F UGGV ENYE OT ODIK FEJEZET

Ez eppen azt jelenti, hogy lims y H ( s ) H (y )s y es

H (y) = lims y

H (s) H (y)s y

= b

aD2h(x, y ) dx.

Ezt a tetelt a parameteres integr al deriv alasa neven szokt ak emlegetni, es form alisan azt mondja, hogy

ddy

b

ah(x, y) dx =

b

a

hy

(x, y ) dx,

azaz kelloen sima f uggveny eseten az integr al parameter szerinti deriv alasat az integral alatt is el lehet vegezni.

5.5.2. Folytonosan differenci alhat o f uggveny csillagtartom anyonMost a kor abban belatott az 5.18. Tetel tetel megfordt asat fogjuk igazolni. Meggondoltuk, hogy ha R p ,f : R p differenci alhat o, es f -nek letezik F : R primitv f uggvenye, akkor

D i f j (x) = D j f i (x), i, j = 1 , . . . , p , x . (5.7)Az alabbiakban megmutatjuk, hogy ha un. csillagtartom any es f folytonosan differenci alhat o -n, akkor a fenti(5.7) feltetelbol kovetkezik, hogy f -nek van primitv f uggvenye.

5.24. Denci o. Legyen R p . Az tartom any csillagtartom any , ha letezik olyan c pont, hogy mindenx eseten [c, x] := {c + t(x c) R p : t [0,1]} (a c pontb ol az minden pontjahoz el lehet latni -ban. . . ).

5.25. Tetel. Legyen R p csillagtartom any. Legyen f : R p folytonosan differenci alhat o, vagyis f differen-ci alhat o es minden i, j = 1 ,2, . . . , p eseten D i f j folytonos -n. Ekkor ekvivalensek:(i) Minden x eseten D i f j (x) = D j f i (x), i, j = 1, . . . , p ,

azaz f (x) R p p szimmetrikus m atrix.(ii) f -nek letezik primitv f uggvenye -n, vagyis letezik olyan F : R differenci alhat o f uggveny, melyre

D j F (x) = f j (x), j = 1 , . . . , p , x .Bizonyt as. (i) (ii )Legyen x , x = c tetsz oleges. Legyen a c pontot x-szel osszekot o gorbe az a

gc,x (t) := c + t(x c) , t [0,1].Az gc,x gorben vett vonalintegr al legyen a F f uggveny x-beli erteke, azaz deni alja az F : R f uggvenyt

F (x) :=

g c,x

f, x

.

Ekkor az 5.12. Tetel alapj an

F (x) = 1

0f (c + t(x c)) , x c dt,

mivel gc,x (t) = x c. Megmutatjuk, hogy F primitv f uggvenye az f -nek. Legyen j {1,2, . . . , p} tetsz oleges index.Ekkor minden x esetenD j F (x) = D j

1

0f (c + t(x c)) , x c dt = D j

1

0

p

i =1

f i (c + t(x c))( xi ci ) dt.

44


51/56

OT ODIK FEJEZET 5.6. A NEWTON-LEIBNIZ T ETEL TOV ABBI ALTAL ANOS IT ASAI

Most alkalmazzuk a parameteres integr al deriv alasar ol szolo 5.23. Tetelt. A parameter ez uttal xj , az j. valtoz olesz. Igy folytatva a szamol ast:

D j F (x) = 1

0

p

i =1{D j f i (c + t(x c)) t} (x i ci ) + f j (c + t(x c)) 1 dt,

hiszen ha i = j , akkor D j (x i ci ) = 0 . Most haszn aljuk ki, hogy D j f i = D i f j . Igy kapjuk, hogy

D j F (x) = 1

0

p

i =1{D i f j (c + t(x c)) t} (x i ci ) + f j (c + t(x c)) dt. (5.8)

Tekints uk a : R R , (t) := f j (c + t(x c)) t

f uggvenyt! A feltevesek miatt differenci alhato (mivel f j az), es a 3.9. Kompozciof uggveny derivalasi szab alya,valamint az egyvaltoz os szorzatf uggveny derivalasi szab alya alapjan

(t) = f j (c + t(x c)) , (x c) t + f j (c + t(x c))=

p

i =1D i f j (c + t(x c)) t (x i ci ) + f j (c + t(x c)) .

Vegy uk eszre, hogy az ( 5.8) integr al alatt eppen (t) all. Ezert :

D j F (x) = 1

0 (t) dt = [(t)]10 = (1) (0) = f j (c + x c) 0 = f j (x).

Teh at D j F (x) = f j (x). Mivel f j folytonos -n, ezert D j F folytonos minden j -re, amib ol mar kovetkezik, hogy F differencialhato. Igy valoban F az f primitv f uggvenye.

(ii ) (i)Az allt as a m ar bizonytott 5.18. Tetel.

5.6. A Newton-Leibniz tetel tov abbi altalanostasaiLattuk, hogy az 5.14. Tetel a Riemann-integr al elmeleteb ol ismeretes Newton-Leibniz tetel altal anostasa vona-lintegr alra. Ebben a fejezetben olyan, a differenci algeometri aban es a zikaban fontos szerepet j atsz o osszef ug-geseket ismertet unk (bizonyt as nelk ul), melyek szinten felfoghat ok mint a Newton-Leibniz tetel altal anost asai.Az 5.28. Green-tetel tula jdonkeppen a Newton-Leibniz tetel ketv altoz os, az 5.34. Tetel pedig a haromv altoz osvari ansa. Ez utobbinak fontos k ovetkezmenye az 5.35. Gauss-Osztrogradszkij es az 5.36. Stokes-tetel.

5.6.1. Green teteleA tetel kimond asahoz szukseg unk lesz egy gorben ertelmezett val os ertek u f uggveny ugynevezett vhossz szerintivonalintegraljanak fogalm ara.

5.26. Denci o (22.52) . Legyen g : [a, b] R p gorbe, f : R (g) R (!). Azt mondjuk, hogy az f vhossz szerinti vonalintegr alja a g g orbe menten g f ds R , ha minden > 0 szamhoz letezik az [ a, b] intervallumnak olyana = t0 < t 1 < < t n = b felosztasa es ehhez t i 1 < c i < t i , i = 1, . . . , n szamok, melyekre g f ds

n

i =1

f (g(ci )) |g(t i ) g(t i 1)| < .

A kovetkez o alltas az 5.8. Tetel megfeleloje vhossz szerinti vonalintegr alra.

45


52/56

5.6. A NEWTON-LEIBNIZ T ETEL TOV ABBI ALTAL ANOS IT ASAI OT ODIK FEJEZET

5.27. Alltas (22.53) . Legyen g : [a, b] R p g orbe differenci alhat o es minden j = 1, . . . , p eseten gj R[a, b] (pl.,g folytonosan differenci alhat o), tov abb a f : R (g) R folytonos. Ekkor

g f ds = b

af (g(t)) |g (t)|dt. (5.9)

A Green-tetel arr ol szol, hogy ha f : R 2

R valos ertek u, folytonosan differencialhato f uggveny, akkor f -nek egy

g : [a, b] R 2 sima gorbe altal hatarolt tartom anyon vett ter uleti integralja el oall mint az f n lekepezesnek atartomany hatar an vett (vhossz szerinti) vonalintegr alja. Itt n a tartomany hatar anak kifele mutat o norm alisa,vagyis ha g sima gorbe, akkor

n : [a, b] R 2 , n(t) = 1

|g (t)| (g2(t), g1(t)) .

5.28. Tetel (Green, 22.47, 22.54) . Legyen g : [a, b] R 2 pozitv ir anyt as u egyszer u (azaz, [a, b)-n injektv) z art skg orbe, mely veges sok folytonosan differenci alhat o vb ol all. Jel olje a g altal hat arolt (korl atos) tartom anyt A R 2 ,es legyen A G nylt. Ha f : G R folytonosan differenci alhat o, akkor

g fnds = A f ,ahol n (t) = 1| g ( t ) | (g2(t), g1(t)) a g orbe t pontbeli un. kulso norm alisa. Igy a fenti formula az 5.27 . Al lt as alapj an

b

af (g(t)) g2(t) dt = A D1f,

b

af (g(t)) g1(t) dt = A D2f.

A Green-tetel joggal tekinthet o az egyvaltoz os Newton-Leibniz-tetel ketv altoz os altal anostasanak. Ugyanis, azut obbi arr ol szol, hogy egy f f uggveny [ a, b] intervallumon vett Riemann-integr alja egyenl o f (b) f (a)-val. Nyilv annevezhetj uk az 1 vektort (szamot) az [ a, b] intervallum b pontj aban vett k ulso norm alisanak, a 1 vektort pedig aza pontban vett k ulso norm alisanak, es gy f (b) f (a) = f (b) n(b) + f (a) n(a).5.6.2. Fel ulet, felsznA feluletet tekinthetj uk a gorbe ketvaltoz os altal anostasanak.

5.29. Denci o. Legyen A R 2 merhet o. A g : A R p lekepezes R p -beli (parameterezett) fel ulet . A felulet folytonos/(folytonosan) differenci alhat o, ha g az.Specialis felulet: g : A R 3 , g(x, y ) = ( x,y,f (x, y )), ahol f : A R f uggveny. Ekkor R (g) = graph ( f ).5.30. Pelda. Gombfel ulet parameterezese: g : [0,2][0, ] R 3 , g(, ) = ( R sin cos, R sin sin , R cos ).

5.6. abra. Felszn k ozeltese

A felulet felsznet a technikai nehezsegek elker ulese vegett egy fel uleti integrallal denialjuk. A keplet hasonlta folytonosan differencialhato gorbe vhosszara vonatkozo (5.2) formul ara.

46


53/56

OT ODIK FEJEZET 5.6. A NEWTON-LEIBNIZ T ETEL TOV ABBI ALTAL ANOS IT ASAI

5.31. Denci o (22.56) . Legyen A R 2 merhet o es g : A R p folytonosan differencialhato felulet. Azt mondjuk,hogy a g felszne letezik es erteke A |D1g D2g| ,

ha a |D1g D2g| integr alhato A-n, ahol

|a b| = |a| |b| sin = |a|2 |b|2 a, b 2 , a, b R

p

az a es b vektorok altal kifesztett paralelogramma ter ulete ( a kozbezart sz oguk.)

5.32. Alltas (22.59) . Legyen A R 2 merhet o, zart halmaz es f : A R folytonosan differenci alhat o. Ekkor f grakonj anak felszne F (graph( f )) = A 1 + ( D1f )2 + ( D2f )2 .

Bizonyt as. Legyen g : A R 3 , g(x, y ) = ( x,y,f (x, y)) a graph( f )-et parameterez o felulet. Ekkor D1g = (1 ,0, D 1f ),D2g = (0 ,1, D 2f ). Igy

|D1g D2g| = (1 + ( D1f )2)(1 + ( D2f )2) (D1f )2(D2f )2 = 1 + ( D1f )2 + ( D2f )2 ,amib ol az allt as a fenti dencio alapj an ad odik.5.6.3. Integraltetelek harom dimenzi obanEgy feluleten (egesz pontosan, annak ertekkeszleten) ertelmezett val os f uggveny felszni integr alj at a fel ulet felsz-nehez hasonloan nem k ozeltoosszegekkel, hanem egy ter uleti integrallal deni aljuk. A formula az vhossz szerintiintegr alra vonatkozo (5.9) formula analogja.

5.33. Denci o (22.60) . Legyen A R 2 merhet o, g : A R p folytonosan differencialhato felulet es f : R (g) R .Az f felszni integr alja A f dF = A (f g) |D1g D2g| ,

ha a jobb oldali integral letezik.

A kovetkez o tetel hasonl o meggondol assal, mint ahogy az 5.28. Green-tetelnel l attuk a Newton-Leibniz formulaharomdimenzios vari ans anak tekinthet o.

5.34. Tetel (22.61) . Tegy uk fel, hogy a korl atos K R 3 halmaz K hat ara veges sok, folytonosan differenci alhat o fel uletb ol all. Ha az f : K R folytonosan differenci alhat o, akkor

K fndF = K f ,ahol n (x) R 3 az x K pontban a K erint oskj ara mer oleges, K -b ol kifele mutat o egysegvektor : a K un. kulsonorm alisa. Igy a fenti formula n = ( n1 , n 2 , n 3) jel olessel

K fn 1 dF = K D1f, K fn 2 dF = K D2f, K fn 3 dF = K D3f.Az alabbi ket tetel alapvet o fontoss agu a zikaban, ezen bel ul is az elektrodinamikaban es a folyadek araml asokelmeleteben. Mindkett o a fenti tetel egyszer u kovetkezmenyekent bizonythat o.

5.

Documents

Analizis IV Jegyzet2011