Upload
hoangcong
View
217
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Analiza wyboczenia MES
Jerzy Pamin i Marek Słoński
e-mails: {JPamin,MSlonski}@L5.pk.edu.pl
Podziękowania:
M. Radwańska, A. WosatkoANSYS, Inc. http://www.ansys.comROBOT http://www.autodesk.com
Metody komputerowe, studia II st.
Zjawisko wyboczenia
Założenia liniowej analizy wyboczenia:
I obciążenie jest jednoparametrowe, zmieniające się proporcjonalnie doparametru obciążenia λ
P = λP∗
I obciążenie jest zachowawcze, tzn. nie zmienia kierunku podczasodkształcania się konstrukcji
I ustrój (pręt, tarcza, powłoka) jest idealny, bez geometrycznych,materiałowych czy obciążeniowych imperfekcji, które zaburzająidealny stan przedwyboczeniowy
Metody komputerowe, studia II st.
Zjawisko wyboczenia c.d.
Obciążenie Pkr = λkrP∗ to obciążenie krytyczne, po osiągnięciuktórego następuje wyboczenie, gdzie przez P∗ oznaczono tzw. obciążeniekonfiguracyjne odpowiadające λ = 1.Cechą charakterystyczną utraty stateczności przez wyboczenie jestzasadnicza zmiana formy deformacji układu konstrukcyjnego znaprężeniami ściskającymi w całym układzie lub jego części.
Źródło: E. Ramm, Buckling of Shells, Springer-Verlag, Berlin 1982
Metody komputerowe, studia II st.
Przykłady zjawiska wyboczenia
Kryterium statyczne utraty stateczności (przez wyboczenie) polega nabadaniu równowagi bliskich stanów przed- i powyboczeniowych. Zjawiskowyboczenia zostanie pokazane dla:
I pojedynczego pręta przegubowo podpartego,I wysokiej belki wspornikowej,I tarczy jednokierunkowo ściskanej, przegubowo podpartej na
obwodzie,I powłoki walcowej z ciśnieniem normalnym, utwierdzonej na dolnym
konturze.
Metody komputerowe, studia II st.
Wyboczenie pojedynczego pręta
Przed wyboczeniem:pręt:
I ma prostoliniową oś,I jest wyłącznie ściskany (nie
zginany).
Po wyboczeniu:pręt:
I ma zakrzywioną oś,I jest ściskany i zginany.
Metody komputerowe, studia II st.
Wyboczenie wysokiej belki wspornikowej
Przed wyboczeniem:
I belka zginana w płaszczyźnie z obciążeniem siłą prostopadłą do osibelki, przyłożoną na swobodnym końcu
X
Y
Rysunek: Przemieszczenia belki w stanie przedwyboczeniowym
Po wyboczeniu:
I następuje zwichrzenie (giętno-skrętna deformacja)
Metody komputerowe, studia II st.
Wyboczenie wysokiej belki wspornikowej c.d.
Z
X
Rysunek: Postacie wyboczenia
Metody komputerowe, studia II st.
Wyboczenie tarczy jednokierunkowo ściskanej
Przed wyboczeniem:mamy idealny stan tarczowy:
I tarcza o idealnej płaszczyźnie środkowej,I obciążenie jednokierunkowo ściskające, działające idealnie w
płaszczyźnie środkowej.
Po wyboczeniu:powstaje stan giętny:
I z niezerowymi przemieszczeniami prostopadłymi do płaszczyznyśrodkowej,
I z krzywiznami i momentami zginającymi.
Metody komputerowe, studia II st.
Wyboczenie tarczy jednokierunkowo ściskanej(ANSYS, [3])
Rysunek: Pierwsza i druga forma wyboczenia
Rysunek: Trzecia i czwarta forma wyboczenia
Metody komputerowe, studia II st.
Wyboczenie powłoki walcowejściskanej radialnym ciśnieniem zewnętrznym
Przed wyboczeniem:panuje w powłoce:
I stan osiowo symetryczny,I w większości obszaru powłoki długiej stan bezmomentowy,I w sąsiedztwie konturu utwierdzonego stan giętny.
Po wyboczeniu:następuje zasadnicze zaburzenie osiowej symetrii:
I powstają pofalowania w kierunku obwodowym,I liczba półfal jest różna dla kolejnych wartości mnożników
krytycznych obciążenia.
Metody komputerowe, studia II st.
Wyboczenie powłoki c.d. (ANSYS, [3])
Rysunek: Kolejne formy wyboczenia
Metody komputerowe, studia II st.
Ogólna analiza wyboczenia [1,2]
Kryterium energetyczne wyboczeniaKryterium energetyczne polega na analizie przyrostu energii potencjalnejΠ przy przejściu od stanu przed- do powyboczeniowego. Rozważamy dwasąsiednie stany:
I stan (I) równowagi, dla którego:
δΠ(I ) = 0
I stan (II) równowagi, dla którego:
δΠ(II ) = δΠ(I ) + δ∆Π = 0
I energetyczne kryterium stanu krytycznego: δ∆Π = 0.
Metody komputerowe, studia II st.
Algorytm analizy wyboczenia MES
Równanie macierzowe dla całego układu opisujące utratę statecznościprzez wyboczenie:
[K0 + λKσ(s∗)]v = 0
lub
{K0 + λ[Kσ(s∗) +Ku1(g∗)]}v = 0
gdzie:
I macierz liniowej sztywności układu K0I macierz sztywności naprężeniowej Kσ(s∗) oraz macierz sztywności
przemieszczeniowej Ku1(g∗)I poszukiwany mnożnik krytyczny obciążenia λkrI poszukiwana postać deformacji powyboczeniowej, opisana za
pomocą wektora v = ∆ug
Metody komputerowe, studia II st.
Statyka stanu przedwyboczeniowego
Algorytm etapu I:
1. Obliczamy globalną macierz sztywności K02. Obliczamy wektor węzłowych zastępników obciążenia
konfiguracyjnego P∗, dla parametru obciążenia λ = 1, przy założeniuobciążenia jednoparametrowego P = λP∗
3. Uwzględnieniamy kinematyczne warunki brzegowe
4. Rozwiązujemy układ równań K0 · u∗g = P∗, otrzymującprzemieszczenia węzłowe w stanie przedwyboczeniowym:u∗g = K−10 · P∗
5. Na podstawie przemieszczeń całego układu u∗g i danego elementuu∗e - obliczamy wewnątrz elementu:
I gradienty przemieszczeń g∗e orazI uogólnione naprężenia s∗e .
Metody komputerowe, studia II st.
Analiza wyboczenia
Algorytm etapu II:
1. Generujemy:- macierze sztywności naprężeniowej dla wszystkich elementówKeσ(s∗e) i całej konstrukcji Kσ(s∗)- ewentualnie macierz sztywności przemieszczeniowej Ku1(g∗)
2. Formułujemy niestandardowy (uogólniony) problem własny,odpowiadającyproblemowi zlinearyzowanemu: [K0 + λ(Kσ +Ku1)]v = 0lub problemowi początkowemu: [K0 + λKσ]v = 0
3. Rozwiązujemy problem własny, wyznaczając pary(λ1, v1), . . ., (λN , vN)
gdzie:I N – liczba stopni swobody układuI λi – wartość własna - parametr krytycznego obciążeniaI vi = ∆ugi – wektor własny - postać powyboczeniowej deformacji
Metody komputerowe, studia II st.
Wyboczenie idealnej tarczy – daneI wymiary: Lx = Ly = 1.16 m, h = 0.012 mI stałe materiałowe: E = 2.05 · 108 kN/m2, ν = 0.3I konfiguracyjne tarczowe obciążenie konturowe odpowiadające
płaskiemu zginaniu: |p∗x,max,min| = 1.0 kN/mI dwa przypadki warunków podparcia płyty na obwodzie:a) przegubowe podparcie (na rysunku z prawej)b) utwierdzenie (na rysunku z lewej)
Rysunek: Dyskretyzacja MES, obciążenie i dwa przypadki warunków podparcia
Metody komputerowe, studia II st.
Wyboczenie tarczy
Założenia:I tarcza ma idealną płaszczyznę środkową,I obciążenie leży idealnie w płaszczyźnie środkowej,I obciążenie jest jednoparametrowe, zmieniające się przez parametr λ.
Analiza wyboczenia dla tarczy w stanie czystego zginania tarczowego
Rysunek: Obciążenie wywołujące stan czystego zginania tarczowego przedwyboczeniem
Obliczenia:I numeryczne MES (ANKA i ROBOT): rozwiązania przybliżoneI analityczne: rozwiązania dokładne
Metody komputerowe, studia II st.
Wyboczenie przy zginaniu tarczowym
Obliczenie wartości obciążenia krytycznego:
Obciążenie i deformacja w stanie przedwyboczeniowym
Rozwiązania analityczne dla tarczy:I przegubowo podpartej: pzg,analitkr = 25.6·π2·Dm
L2x= 6077 kN/m
I utwierdzonej: pzg,analitkr = 39.0·π2·DmL2x
= 9259 kN/m
Rozwiązania numeryczne (ANKA, siatka 8× 8 ES) dla tarczy:I przegubowo podpartej: pzg,MESkr = 6028 kN/mI utwierdzonej: pzg,MESkr = 11304 kN/m
Rozwiązania numeryczne (ROBOT, siatka 12× 12 ES) dla tarczy:I przegubowo podpartej: pzg,MESkr = 6241 kN/mI utwierdzonej: pzg,MESkr = 11666 kN/m
Metody komputerowe, studia II st.
Zginanie tarczowe w stanie przedwyboczeniowym
Rysunek: Rozkład siły tarczowej nx dla tarczy przegubowo podpartej (z lewej) iutwierdzonej (z prawej)
Metody komputerowe, studia II st.
Zginanie tarczowe,postacie powyboczeniowe
Rysunek: Dwie pierwsze postacie powyboczeniowe dla tarczy przegubowopodpartej (ROBOT)
Metody komputerowe, studia II st.
Zginanie tarczowe,postacie powyboczeniowe
Rysunek: Dwie pierwsze postacie powyboczeniowe dla tarczy utwierdzonej(ROBOT)
Metody komputerowe, studia II st.
Wyboczenie blachownicy – daneI wymiary: Lx = Ly = 1.16 m, hs = 0.012 m, hp = 0.018 mI stałe materiałowe: E = 2.05 · 108 kN/m2, ν = 0.3I konfiguracyjne tarczowe obciążenie konturowe:|p∗x,min,max | = 1.0 kN/m
I dwa warianty analizy wyboczenia blachownicy:wariant 1: badanie lokalnego wyboczenia środnikawariant 2: wyboczenie dźwigara składającego się ze środnika i dwóchpółek
Metody komputerowe, studia II st.
Wariant 1: wyboczenie środnika
Lokalne wyboczenie środnika:
I wyizolowany środnik, współpracujący w rzeczywistości z półkami iżebrami, może mieć zadane różne warunki brzegowe na liniachpołączenia z półkami oraz z pionowymi żebrami
I w skrajnych przypadkach można na całym obwodzie przyjąć linie:a) przegubowo podparteb) zamocowane
I stan rzeczywisty jest stanem pośrednimI przykłady rozwiązane poprzednio służą ilustracji wyboczenia samego
środnika
Metody komputerowe, studia II st.
Wariant 2: wyboczenie blachownicy c.d.
Analiza wyboczenia dźwigara:I wykonując obliczenia przy użyciu programu ROBOT zbudowano
model dyskretny:dźwigara składającego się ze środnika (12× 12) i dwu półek (4× 12)przy obciążeniu wywołującym zginanie dźwigara
I wyniki numeryczne (ROBOT):I pbl,MESkr = 9068 kN/m
I porównanie wartości sił krytycznych obliczonych MES (ROBOT):I dla wyizolowanego środnika:- przegubowo podpartego (pp)- utwierdzonego (ut)
I całego dźwigara (bl)
pzg ,pp,MES < pbl,MES < pzg ,ut,MES
6241 kN/m < 9068 kN/m < 11666 kN/m
Metody komputerowe, studia II st.
Zginanie blachownicy w stanie przedwyboczeniowym
Rysunek: Rozkład siły tarczowej nx dla blachownicy
Metody komputerowe, studia II st.
Postacie powyboczeniowe blachownicy
Rysunek: Dwie postacie powyboczeniowe zginanej blachownicy (ROBOT)
Metody komputerowe, studia II st.
Geometrycznie i materiałowo nieliniowa analiza [5]Schemat strategii obliczeniowejrealizowanej na wielu poziomach:
I konstrukcjiI elementu skończonegoI warstwyI punktu
Uwzględnione efekty:I śledzenie wytężenia w przekrojuI zarysowanie betonuI sprężysto-plastyczne zbrojenieI duże przemieszczenia i ichgradienty
Cele:I wyznaczenie ewolucjiprzemieszczeń
I określenie mechanizmuuszkodzenia
I oszacowanie nośności
Metody komputerowe, studia II st.
Model powłoki żelbetowej
I Zdegenerowany element powłokowy8-węzłowy (teoria Mindlina-Reissnera)
I Model warstwowy powłoki żelbetowej (5warstw betonu, 4 warstwy stali reprezentujące2 siatki zbrojenia)
I Model sprężysty z rozmazanym zarysowaniemdla warstwy betonu (osłabienie betonu,redukcja sztywności na ścinanie)
I Model sprężysto-plastyczny dla warstw stali
Metody komputerowe, studia II st.
Analiza numeryczna powłoki chłodni kominowej [5]
Metody komputerowe, studia II st.
Analiza numeryczna powłoki chłodni kominowej
Zależności λ−wK otrzymane dwoma pakietamiMES przy sterowaniu siłą lub przemieszczeniemdla obciążenia g + λ(w + s)
Obciążenia chłodni:I ciężar własny gI wiatr wI ssanie wewnętrzne sI obciążenia termiczneI osiadania podłoża
Metody komputerowe, studia II st.
Analiza numeryczna żelbetowej powłoki- wyniki analizy powłoki z otworem technologicznym
Deformacja Mapa warstwicowa membranowych sił południkowych
Metody komputerowe, studia II st.
Analiza numeryczna żelbetowej powłoki
Kierunki naprężeń głównych w warstwie zewnętrznej Wizualizacja rozmazanych rys
Metody komputerowe, studia II st.
Katastrofa World Trade Center
Metody komputerowe, studia II st.
Katastrofa World Trade Center
Wybudowany w latach 1966-77, 110 kondygnacji o wys. ok. 3.7m, konstrukcja ramowa stalowazgodnie z koncepcją „rura w rurze”, rdzeń 26.5×41.8m (47 słupów połączonych krótkimi belkami,przenosił 60% ciężaru własnego), rama zewnętrzna (240 słupów skrzynkowych 356x356 co 1m naobwodzie, przenosiła 40% ciężaru własnego), stropy zespolone na dźwigarach kratowychpołączonych przegubowo ze rdzeniem i ramą zewnętrzną, stężenie szczytowe na kondygnacjach107-110. Ciężar budynku ponad ziemią 3630MN, ciężar własny 2890MN, obc. użytkowe 740MN.
Czas na ucieczkę w WTC1 i WTC2 odpowiednio 100 i 60 min.
Metody komputerowe, studia II st.
Uproszczony mechanizm katastrofy WTC [6,8]Efekt dynamiczny wysokiej tempera-tury, która obniżyła granicę plastycz-ności stali i spowodowała wyboczeniesłupów w warunkach pełzania1. Konstrukcja zostaje osłabiona, pożarpaliwa powoduje wzrost temperatury dook. 600C
2. Następuje redystrybucja naprężeń ilepkoplastyczne wyboczenie słupów nakrytycznej kondygnacji
3. Kratownice stropowe się uginają, postępujewyboczenie słupów, niszczą się węzły ram,połowa słupów przestaje przenosić ciężarczęści budynku powyżej
4. Część ta spada na niższy strop z rosnącąenergią kinetyczną, uderzenie stanowiobciążenie dynamiczne, którego kontrukcjaponiżej nie jest w stanie przenieść izaczyna się proces zniszczenia
5. Górna część wieży stopniowo zapada się,jej masa i energia rośnie
Szacunkowe obliczenia energetycznedają współczynnik przeciążeniaPdyn/mg = 30− 60.
Metody komputerowe, studia II st.
Odpowiedź wież World Trade Centerna obciążenie wyjątkowe [7]
Uproszczony model dynamiczny (110 elementow belkowych) z masami skupionymi (ciężar stropów
33 MN), sztywność na zginanie i ścinanie określona na podstawie modelu ramy przestrzennej, 3%
tłumienie Rayleigha.
Metody komputerowe, studia II st.
Wyniki dla uproszczonego modelu dynamicznego
Przemieszczenia i siły w momencie uderzenia nie przekroczyływynikających z projektowanego obciążenia wiatrem, dlatego wieżeprzetrzymały początkowo obciążenie wyjątkowe.
Metody komputerowe, studia II st.
Model MES do oceny szczegółowej zniszczeń(LS-DYNA [7])
Model strefy uderzenia i samolotu o masie 140 ton,materiał sprężysto-plastyczny.
Metody komputerowe, studia II st.
Model krytycznego segmentu - wyniki
Siły osiowe w słupach zewnętrznych przed i po uderzeniu
Redystrybucja obciążeń pionowych po uderzeniu, zniszczonych 122/113słupów odpowiednio dla WTC1/WTC2, granica plastyczności osiągana wpozostałych słupach, pozytywny wpływ stężeń szczytowych.
Metody komputerowe, studia II st.
Literatura
[1] M. Radwańska. Ustroje powierzchniowe, podstawy teoretyczne oraz rozwiązaniaanalityczne i numeryczne. Wydawnictwo PK, Kraków, 2009.
[2] Z. Waszczyszyn, C. Cichoń, M. Radwańska. Stability of Structures by FiniteElements Methods. Elsevier, 1994.
[3] M. Bera. Analiza utraty stateczności wybranych tarcz i powłok sprężystych metodąelementów skończonych. Praca dyplomowa, Politechnika Krakowska, Kraków, 2006.
[4] M. Radwańska, E. Pabisek. Zastosowanie systemu metody elementów skończonychANKA do analizy statyki i wyboczenia ustrojów powierzchniowych. Pomoc dydaktyczna PK,Kraków 1996.
[5] Z. Waszczyszyn, E. Pabisek, J. Pamin, M. Radwańska. Nonlinear analysis of a RCcooling tower with geometrical imperfections and a technological cut-out. EngineeringStructures, 2, 480-489, 2000.
[6] Z.P. Bazant, Y. Zhou. Why Did the World Trade Center Collapse? - Simple Analysis.ASCE J. Eng. Mech., 128, 2-6, 2002.
[7] Y. Omika, E. Fukuzawa, N. Koshika, H. Morikawa, R. Fukuda. StructuralResponses of World Trade Center Collapse under Aircraft Attacks. ASCE J. Eng. Mech.,131, 6-15, 2005.
[8] Z.P. Bazant, M. Verdure. Mechanics of Progressive Collapse: Learning from WorldTrade Center and Building Demolitions. ASCE J. Eng. Mech., 133, 308-319, 2007.
Metody komputerowe, studia II st.