ANALIZA VARIJANSE

Dejana Stanisavljevićjanuar, 2012. godine

ANOVA Parametarska statistička metoda zasnovana na

generalnim linearnim modelima koja ukupanvarijabilitet skupa podataka deli na dve ili višekomponenti Uz svaku komponentu vezan je poseban izvor

variranja – faktor

Koristi se za testiranje hipoteza o razliciaritmetičkih sredina dve ili više populacija

Faktor je svaki uticaj ili stanje koje se naneki način odražava na rezultujuću(ishodnu) varijablu

1. Organizovani faktori – mogu seidentifikovati i kvantitativnodiskriminisati

2. Slučajni (rezidualni, neorganizovani)faktori – mogu se samo opisati

Model fiksiranih efekata (Model I) -uistraživanje su uključeni samo odredjeninivoi faktora

Model slučajnih efekata (Model II) –nivoi su slučajno odabrani

Planiranje eksperimenta

Odredjivanje specifične kombinacijenivoa faktora za svaku eksperimentalnujedinicu Optimalan izbor je potpuno

randomizovani dizajn – svi koraci ueksperimentu su randomizovani, ni jedanfaktor nije kontrolisan

Jednofaktorska ANOVA – različiti nivoijednog faktora

Dvofaktorska ANOVA - delovanje različitihnivoa posebno jednog , posebnog drugog faktorai zajedničko delovanje faktora

Višefaktorska ANOVA

U analizi varijanse postoje tri vrstevarijabli:

1. Faktor (tretman), nezavisna varijabla sadefinisanim brojem gradacija ilikategorija

2. Rezultujuća varijabla3. Pridružene (spoljašnje varijable)

Opšti model analize varijanse

Ukupno variranje (Y) =variranje čiji je izvor u organizovanom delu

eksperimenta (X) +variranje čiji je izvor u neorganizovanom delu

eksperimenta (Z)

ANOVA - pretpostavke1) Slučajan izbor eksperimentalnih jedinica2) Opservacije su nezavisne (randomizacija – slučajno

dodeljivanje nivoa faktora eksperimentalnimjedinicama)

3) Homogenost varijansi (uzorci potiču iz populacija saistim varijansama)

4) Normalna raspodela vrednosti rezultujućeg obeležja usvakoj grupi

F-test je relativno robustan u uslovima narušenih pretpostavki onormalnosti raspodele (veći uzorci, transformacije podataka) ijednakosti varijansi (jednak broj eksperimentalnih jedinica pogrupama).

DVOFAKTORSKA ANOVA Koristi se za analiziranje efekata dva faktora:

svakog faktora pojedinačno i interakcijemedju njima Ispituje se simultani uticaj dva (ili više)

faktora (svaki nivo jednog faktora ukršta sesa svakim nivoom ostalih faktora)

Tri hipoteze: hipoteze o dejstvu svakogfaktora posebno i hipoteza o njihovojinterakciji

Faktor A, Faktor B, interakcija faktora AxB

AxB meri odgovor na faktor A u svimgradacijama faktora B i obrnuto Organizovano (faktorsko) variranje je zbir

delovanja faktora A, B i njihove interakcije Postojanje ili odsustvo efekata pojedinačnih

faktora A i B ne govori ništa o (ne)postojanjuinterakcije Postojanje značajne interakcije govori o

zavisnosti faktora A i B

mogući zaključci

1. nema uticaja ispitivanih faktora2. uticaj samo faktora A3. uticaj samo faktora B4. uticaj i faktora A i faktora B5. A x B interakcija6. A x B interakcija i uticaj faktora A7. A x B interakcija i uticaj faktora B8. A x B interakcija i uticaj faktora A i B

primeri U tabeli je data prosečna redukcija u vremenima

reakcije (milisekunde) ispitanika dve starosnegrupe ( <65 i >65) kod tri doze istog leka

Faktor Astarost

Faktor B doze leka

B1 B2 B3

A1 5 10 20

A2 10 15 25

Za oba nivoa faktora A razlika u prosečnimvrednostima za bilo koja dva nivoa faktora B jeista (5, 10 i 15 milisekundi) Za sve nivoe faktora B razlika u prosečnim

vrednostima za dva nivoa faktora A je ista (5milisekundi) Interakcija nije prisutna, efekti faktora su

aditivni

Grafički prikaz dvofaktorske anove

0

5

10

15

20

25

30

1 2 3

doze

starosne grupe

0

5

10

15

20

25

30

1 2

primeri U tabeli je data prosečna redukcija u vremenima

reakcije (milisekunde) ispitanika dve starosnegrupe ( <65 i >65) kod tri doze istog leka

Faktor Astarost

Faktor B doze leka

B1 B2 B3

A1 5 10 20

A2 10 10 5

Razlika izmedju prosečnih vrednosti za bilo kojadva nivoa faktora B nije ista za oba nivoafaktora A Razlika izmedju prosečnih vrednosti za oba

nivoa faktora A nije ista za sve nivoe faktora B

Prisutna je interakcija izmedju dva faktora,efekti faktora su multiplikativni

0

5

10

15

20

25

1 2 3

Grafički prikaz dvofaktorske anove

0

5

10

15

20

25

1 2

starosne grupe

doze

Opšti oblik modela analize varijanse

Y= X + Z = (A + B +AxB) + Z

Y ukupni varijabilitetA varijabilitet nastao zbog delovanja faktora AB varijabilitet nastao zbog delovanja faktora BAxB varijabilitet nastao zbog interakcije faktora A i BZ varijabilitet koji nije posledica delovanja navedenih

faktora

Tabela analize varijanse

Izvorvariranja

DF disperzije varijanse F

A a-1 CA

SD2=C/DF

SD2A / SD2

Z

B b-1 CB SD2B / SD2

Z

AxB (a-1)(b-1) CAxB SD2AB / SD2

Z

Organizovano ab-1 CX SD2X / SD2

Z

Slučajno ab(n-1) CZ

Ukupno abn-1 CY

Istraživanje kvaliteta života prilikombolničkih hospitalizacija 80 pacijenatadalo je podatke o tipu bolesti koja je bilarazlog hospitalizacije, pripadništvuodredjenoj starosnoj kategoriji i skorukvaliteta života

Tip bolestiStarosna kategorija

20-29 30-39 40-49 50+

neurološki 20 25 24 28

25 30 28 31

22 29 24 26

27 28 25 29

21 30 30 32

pulmološki 30 30 39 40

45 29 42 45

30 31 36 50

35 30 42 45

36 30 40 60

kardiološki 31 32 41 42

30 35 45 50

40 30 40 40

35 40 40 55

30 30 35 45

maligni 20 23 24 29

21 25 25 30

20 28 30 28

20 30 26 27

19 31 23 30

1. Da li se prosečan skor kvaliteta životarazlikuje izmedju pacijenata različitihgodina starosti?

2. Da li je tip bolesti povezan sa prosečnimskorom kvaliteta života?

3. Postoji li interakcija izmedju godina starostii tipa bolesti?

Ho : prosečne vrednosti gradacija faktoraA su iste. Ho : prosečne vrednosti gradacija faktora

B su iste. Ho : prosečne vrednosti interakcije AxB

su iste.

Test statistika je Fišerov varijansnikoličnik

Kada je nulta hipoteza tačna on serasporedjuje po F raspodeli

Nulta hipoteza se odbacuje ako jeizračunata vrednost test statistike jednakaili veća od granične vrednosti raspodele F

Izvorvariranja

DF disperzije varijanse F

A 3 2992.45 997.48 67.95B 3 1201.05 400.35 27.27

AxB 9 608.45 67.61 4.61Organizovano 15 4801.95

Slučajno 64 939.60 14.68Ukupno 79 5741.55

Sva tri varijansna količnika veća su od njima odgovarajućih kritičnihvrednosti pa odbacujemo sve tri nulte hipoteze. Zaključujemo dapostoje značajne razlike prosečnih skorova kvaliteta života izmedjupacijenata sa različitim bolestima. Postoje značajne razlike prosečnihskorova kvaliteta života izmedju pacijenata različitih starosnihkategorija. Različite kombinacije ova dva faktora proizvode različiteefekte u kvalitetu života.

Kruskal-Wallis-ov test

•Jednofaktorska analiza varijanse sa rangovima

•Dizajn: dva ili više nezavisnih uzoraka

•Koristi se kada nisu ispunjeni uslovi za primenuparametarske jednofaktorske analize varijanse

•Eksperimenti u kojima je skala merenja rezultujućevarijable barem ordinalna

•Testira se nulta hipoteza o tome da k nezavisnihuzoraka potiče iz iste populacije

Kruskal-Wallis test – postupak izračunavanja

•U testu se, umesto originalnih podataka, koriste rangovi

• Rangirati opservacije u svi grupama odjednom. Rangiranjemože biti obavljeno od najmanje do najveće vrednosti iliobrnuto

• Sabrati rangove po grupama

• Statistika testa se izračunava po formuli:

)1(3)1(

121

2

NnR

NNH

k

j j

j

N ukupan broj opservacija,n broj opservacija u pojedinačnoj grupi,R j suma rangova pojedinacne grupe,k broj grupa (broj gradacija faktora)

Kada je n>5 i k>3,statistika H približno sledi hi-kvadrat raspodelu saDF= k-1.

Kada je izračunata vrednost statistike H veća odgranične odbacuje se nulta hipoteza.

Primer: za tri grupe životinja koje su bile na različitim režimimaishrane dat je prirast telesne mase:

Gr.1 15 19 17 20 22 18R1 3 7 5 8 10 6 39

Gr.2 23 21 14 13 24 16 33 29R2 11 9 2 1 12 4 19 17 75

Gr.3 28 25 26 27 30R3 16 13 14 15 18 76

Statistika testa iznosi:

7.6)119(35

768

756

39)119(19

12 222

H

Interpretacija rezultata i zaključak:

Medijana prirasta po grupa iznosila je 18.5, 22 i 27

Statistika testa je veća od granične vrednosti, kojaiznosi 5.990.05.

Grupe životinja na različitim režimima ishranerazlikuju se statistički značajno prema prirastu telesnemase (p < 0.05).

Razlika je značajna između prve i treće grupe, ali nijeizmeđu prve i druge, niti između druge i treće.

Fišerov test za poredjenje proporcija izviše nezavisnih uzoraka

Eksperimenti u kojima je rezultujuće obeležjemereno nominalnom skalom merenja

Ishodi mogu biti u obliku apsolutnog brojapojavljivanja ishoda ili u obliku proporcija primenjuje se kada je raspodela ishodnog

obeležja binomna i kada je ispunjen uslov oaproksimaciji binomne raspodele normalnom (pblisko 0.5 i n> 25 ili p blisko 0 ili 1 i np(1-p) bar9)

Pet grupa ispitanika sa istom dijagnozom lečeno je napet različitih načina. Ishod lečenja je petogodišnjepreživljavanje.

ISHODTIPOVI LEČENJA

I II III IV V

Ukupno lečeni n 20 30 40 30 40Umrli m 2 3 8 15 20

I II III IV Vm 20 30 40 30 40 N=∑n=160n 2 3 8 15 20 M=∑m=48p 0.1 0.1 0.2 0.5 0.5 P=0.3H=m2/n 0.2 0.3 1.6 7.5 10 ∑H=19.6

H∑=M2/N=482/160=14.4

Cx=∑H- H∑ = 5.2 Cz=M - ∑H = 28.4

SDx2 = Cx / k-1=1.3

SDz2 = Cz / N-k = 0.183

F= SDx2/ SDz

2=7.104

Izračunata vrednost F statistike veća je odgranične pa odbacujemo nultu hipotezu ojednakosti preživljavanja sa različitimtretmanima.