Sveučilište u SplituPrirodoslovno-matematički fakultet

Diplomski rad, Dodiplomski studij matematike i fizike

Mentor: prof. dr. sc. Paško Županović

Analiza rada Stirlingova motoraTomislav Sorić

Split, Srpanj 2012

Sadržaj1 Uvod 3

1.1 Kratki vremenski pregled razvoja toplinskih uređaja i termo-dinamike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Kratka povijest Stirlingova motora . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Alpha verzija Stirlinova motora 112.1 Stirlingov ciklus u modelu jednakih tlakova u cilindrima . . . . 112.2 Kritika standardnog prikaza kružnog procesa kod Stirlingova

motora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Primanje i otpuštanje topline radnog medija u ciklusu . . . . . 16

2.4.1 Nultočke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.2 Posebna rješenja jednadžbe . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.3 Apsorbirana toplina za T2 − T1 << T1 . . . . . . . . . 22

2.5 Korisnost Stirlingova ciklusa u modelu jednakih tlakova . . . . 242.5.1 Dvoatomni plin kao radni medij . . . . . . . . . . . . . 242.5.2 Korisnost Stirlingova ciklusa u ovisnosti o molarnom

toplinskom kapacitetu radnog medija . . . . . . . . . . 252.6 Promjena entropije okoline u jednom Stirlingovom ciklusu u

modelu jednakih tlakova u cilindrima . . . . . . . . . . . . . . 272.7 Proračun momenta sile na zamašnjak u modelu jednakih tlakova 29

3 Zaključak 33

4 Dodatak: Problemi kod praktične izvedbe Stirlingova mo-tora 34

2

1 UvodToplinski strojevi su uređaji koji pretvaraju unutarnju energiju u mehaničkuenergiju.

Krajnje pojednostavljeni toplinski stroj sastoji se od dvaju spremnika:toplijeg i hladnijeg, te radnog medija (vidi sliku 1) Radni medij apsorbiraenergiju iz toplijeg spremnika. Jedan dio te energije pretvori se u mehaničkirad, a dio se preda hladnijem spremniku.

Slika 1: Shematski prikaz toplinskog stroja

Tema ovog rada je Stirlingov motor koji kao radni medij koristi plin. Upravilu to je zrak.

1.1 Kratki vremenski pregled razvoja toplinskih ure-đaja i termodinamike

Najraniji poznati toplinski uređaj je "vatreni klip" koji se koristio za paljenjevatre. Vatreni klip je od prapovijesti korišten u jugoistočnoj Aziji i otocimaTihog oceana. Drevne verzije vatrenog klipa rađene su od drva, rogova živo-tinja, bambusa ili olova. Uređaj se sastoji od šupljeg cilindra duljine do 15cm, unutrašnjeg promjera 6-7 mm. Na jednom kraju je otvoren a na dru-gom zatvoren. Klip se postavi u cilindar tako da ga dnom hermetički zatvori.Mora biti izveden tako da se njime može jako udariti, a zatim ga se može brzoizvući iz cilindra. Klip je namjerno napravljen uskim, tako da je potrebnamanja sila za komprimiranje zraka u cilindru. Klip mora imati usjek ili otvoru koji se smjesti kresivo. Kada se klip brzo nabije u cilindar, kompresija

3

zraka uzrokuje da temperatura naglo naraste do 260◦ C što je dovoljno dase kresivo u klipu zapali. Klip se sada brzo povuče, prije nego što izgori savkisik unutar cilindra. Tinjajuće kresivo sada treba s klipa dovesti na lakopotpaljivi materijal. Energija mišića ruke koja radi na komprimiranju zrakase prenosi u smanjeni volumen zraka tijekom kompresije i povećava tempera-turu zraka koja je dovoljna za paljenje kresiva. Ako je kompresija prespora,toplina se rasipa u okolinu i plin se vraća u ravnotežu. Ako se kompresijaradi dovoljno brzo onda zrak u cilindru nema vremena za postizanje toplinskeravnoteže s okolinom. Apsolutna temperatura plina tako postane dovoljnovisoka za paljenje kresiva. Moderni vatreni klip napravljen na zapadu krozeksperimente sa zračnim pištoljem, a ne po uzoru na azijski dizajn. Paten-tiran je 1807. godine istodobno u Engleskoj i Francuskoj. "Vatrene šprice"kako su tada nazivane, bile su popularne u domaćinstvima diljem Europetijekom ranog devetnaestog stoljeća, sve do izuma šibica 1844.

250 prije nove ere - Archytas iz Tarentuma koristi mlaz pare za pogonigračke - drvene ptice. Njegova ptica pokretana na mlazni pogon u jednomeksperimentu je letjela 200 metara. Smatra se da je pogonjena sustavomkomprimiranog zraka. Architasova ptica je prvi zabilježeni leteći stroj upovijesti (Let Dedala i Ikara je vjerojatno mitski)

100 prije nove ere - Heron iz Aleksandrije razvio je prvi "mlazni motor".Motor poznat kao "aeolipile" (slika 2), sastojao se od kotla i sfere povezanihsa dvije šuplje cijevi te još dvije šuplje savijene cijevi sa nožištima u sferi.Para dolazi iz kotla u sferu kroz dvije šuplje cijevi. Para kroz savijene cijeviizlazi iz sfere i uzrokuje njeno okretanje.

Slika 2: Heronov "‘Aeolipile"’

Oko 900 - Kina razvija vatreno koplje - oružje koje je kombinacija bam-busove cijevi koja sadrži barut i projektil.

1232 - U borbi između Kineza i Mongola zabilježena prva upotreba raketa.

4

Oko 1500 - Leonardo da Vinci radi top na parni pogon1551 - Taqi al-Din - prva parna turbina - koristila se za vrtnju ražnja. Na

kraj ražnja stavi se kotač s lopaticama. Ispod kotača se postavi bakreni kotaosa vodom. Jedna otvorena mlaznica je iz kotla usmjerena prema lopaticamaturbina. Kako se voda u kotlu zagrijava, para izlazi kroz mlaznicu i okrećelopatice turbine.

1629 - Giovanni Branca - parna turbina.1662 - Robert Boyle objavljuje Boyleov zakon koji definira odnos između

volumena i tlaka u plinu.1665 - Edward Somerset, markiz od Worcestera, gradi parnu fontanu.1672 - Otto von Guericke: Pokus s vakuumom(slika 3) Iz metalne kugle je

isisan sav zrak, te je u njoj ostao vakuum. Sila vakuuma je tada korištena kaosila za podizanje tereta. Zabilježena je i demonstracija ovog eksperimenta,gdje 16 konja nije moglo razdvojiti dvije polukugle spojene vakuumom.

Slika 3: Spomenik Guerickeovom eksperimentu u Magdeburgu

1687 Isaac Newton pokušava svoje nedavno formulirane zakone gibanjaisprobati svojim "parnim kolima" (slika 4). On je pokušao pokrenuti vozilousmjeravanjem pare prema natrag kroz šiljate mlaznice. Zbog male snagepare, ovo vozilo nije radilo.

1690 - Denis Papin - konstruira atmosferski parni stroj, preteču parnogstroja. Prvi put u povijesti ostvario je termodinamički ciklus (dvije izobarei dvije izohore). Radni medij je bila voda, koja je u cilindru bila u kontaktus klipom. Cilindar se grije izvana, a para podiže klip suprotstavljajući seatmosferskom tlaku. Zatim se vatra uklanja, klip se fiksira u gornjem po-ložaju, a cilindar se hladi okolnim zrakom. Klip se nakon toga otpušta, tepada uslijed sile vakuuma koja je nastala kondenzacijom vode i tako podižeteret preko koloture.

1698 - Thomas Savery - rudarska parna crpka. Savery je prvi napravio

5

Slika 4: Newtonovo vozilo na paru

pumpu za crpljenje vode iz rudnika. Sastoji se od kotla, dvije posude podtlakom, te usisne i tlačne cijevi. Vodena para se iz kotla pušta u zatvorenuposudu, gdje se kondenzira pod utjecajem hladne vode koja curi plaštemposude. Rezultirajući vakuum otvara nepovrativi ventil na dnu posude, tepovlači otpadnu vodu kroz usisnu cijev u tlačnu posudu. Kad se vodena paraponovo pusti u istu tlačnu posudu, ona istiskuje vodu kroz tlačnu cijev i jošjedan nepovrativi ventil u spremnik na višoj razini. Istovremeno su u pogonudvije posude, tako da je proces kontinuiran. Dok se jedna posuda prazni podtlakom pare, druga se puni uslijed kondenzacije.

1712 - Thomas Newcomen -prvi parni stroj. Osnovna prednost ovog predPapinovim strojem je razdvajanje kotla od radnog klipa i kondenzatora. Radpočinje puštanjem pare iz kotla, koja podigne klip. Zatvori se parni ventil, aotvori rashladni za uštrcavanje vode u cilindar. Nastali vakuum gurne radništap prema dolje. Otvaranjem izlaznog ventila ispušta se voda iz cilindra.

1748 - William Cullen demonstrira prvi hladnjak na Sveučilištu u Gla-sgowu u Škotskoj.

1769 - James Watt - parni stroj. Dvoradni cilindar ima 2 ventilne kutijeza ulaz i izlaz pare, koja odlazi u odvojeni kondenzator. Time se ubrzavarad i smanjuju gubici topline, jer nema uštrcavanja vode u cilindar. Radnizamašnjak se pokreće preko zupčanika, čime se podvostručava broj okretaja.Wattov paralelogram pretvara kružno u pravocrtno gibanje.

1787 - Jacques Charles formulira zakon koji opisuje odnos između volu-mena i temperature u plinu.

1802 - Joseph Louis Gay-Lussac formulira zakon koji opisuje odnos iz-među tlaka i temperature plina.

1815 Robert Stirling - motor na vrući zrak1824 - Nicolas Leonard Sadi Carnot je razvio Carnot ciklus i pripadajući

6

hipotetski Carnotov toplinski motor koji je osnovni teorijski model za svetoplinske motore.

1829: George Stephenson - lokomotiva "Rocket"(slika 5). Ova lokomotivaje imala ložište, kotao s dva parna cilindra i mehanizam za regulaciju snage.Potrošena para odvodila se iz cilindra u dimnjak da bi se povećala usisna moć,jer veća količina zraka omogućuje bolje izgaranje ugljena što daje veću snagui brzinu lokomotive. Snaga stroja bila je oko 40 kW (današnje lokomotiveimaju oko 1500 kW).

Slika 5: Stephensonova Rocket lokomotiva

1860: Étienne Lenoir -prvi plinski motor.1861 - Alphonse Beau de Rochas daje koncept četverotaktnog motora

s unutarnjim izgaranjem s naglaskom na prethodno podcijenjenu važnostsabijanja mješavine zraka i goriva prije paljenja.

1861 - Nikolaus Otto patentira dvotaktni motor s unutarnjim izgaranjemnadograđujući Lenoirov.

1863 - Otto Langen - motor s unutarnjim izgaranjem.1873 - britanski kemičar Sir William Crookes izmišlja uređaj koji pretvara

toplinu zračenja svjetlosti izravno u rotacijsko gibanje.1877 - Ludwig Boltzmann pronašao vjerojatnosni način za mjerenje entro-

pije jednog ansambla idealnog plina čestica, u kojem je definirana entropijaproporcionalna logaritmu broja mikrostanja koje plin može zauzeti.

1877 - Nikolaus Otto patentira četverotaktni motor s unutarnjim izgara-njem.

1883 -. Samuel Griffin patentira šest-taktni motor s unutarnjim izgara-njem.

1884 - Charles A. Parsons gradi prvu modernu parnu turbinu.

7

1892 - Rudolf Diesel patentira Diesel motor.

1.2 Kratka povijest Stirlingova motora

Braća Robert i James Stirling dizajnirali su najmanje pet različitih motorana istom radnom principu (slika 6).

Slika 6: Pet tipova Stirlingovog motora

Prvi Stirlingov motor (tada poznat kao Stirlingov motor na vrući zrak)je patentirao Robert Stirling 1816. Slijedio je ranije pokušaje da se napravimotor na vrući zrak, ali ovo je vjerojatno bio prvi takav motor koji je našaopraktičnu primjenu: Stirlingov motor je 1818. služio za transportiranje vodeu kamenolomu. Naknadni razvoj je rezultirao raznim poboljšanim konfigu-racijama izvornog motora, tako da su ovi strojevi 1843. imali dovoljno snageza pokretanje svih strojeva u ljevaonici željeza u Dundeeu.

Pretpostavlja se da je motivacija izumiteljima bilo stvoriti sigurniju alter-nativu parnim lokomotivama čiji su kotlovi u to vrijeme znali eksplodirati.Stirlingov motor je učinkovitiji na visokim, ali ne na vrlo visokim, tempera-turama - što postavlja ograničenja u izboru materijala. U ranim godinamamotori su se često kvarili, iako s daleko manje katastrofalnim posljedicamaod eksplozije kotlova. Na primjer, motor u ljevaonici zamijenjen je parnimstrojem nakon tri kvara vrućeg cilindra u četiri godine.Nakon neuspjeha motora u ljevaonici ne postoji zapis o daljnjem angažmanubraće Stirling u razvoju motora pa se Stirlingov motor više nije natjecao sparnim kao izvor energije u industriji (parni kotlovi su sve sigurniji, a parnimotori sve učinkovitiji). Međutim, od 1860. rade se različite izvedbe manjihStirlingovih motora za namjene u kojima nije potrebna velika snaga - kao štoje crpljenje vode iz bunara (slika 7).

Obično su radili na nižim temperaturama, tako da su relativno neučinko-viti. No, njihova prednost je u tome što je njima, za razliku od parnog stroja,

8

Slika 7: Crpka za vodu pokretana Stirlingovim motorom

lako upravljati. Nekoliko vrsta je ostalo u proizvodnji do kraja stoljeća, aliosim nekoliko manjih mehaničkih poboljšanja dizajn Stirling motora u cjeliniu tom razdoblju stagnira.

Tijekom prve polovice dvadesetog stoljeća ulogu malih Stirlingovih mo-tora za kućanstvo postupno preuzimaju elektromotori i mali motori s unu-tarnjim izgaranjem. Do kasnih 1930-ih je u velikoj mjeri bio zaboravljen,proizvodi se samo za igračke i manje ventilacijske uređaje.

U tom razdoblju Philips nastoji proširiti prodaju svojih radio prijemnikau dijelovima svijeta bez opskrbe strujom. Philipsova uprava odlučila je pro-izvesti prenosive generatore male snage, te je grupi inženjera dala zadatak danađe alternativne izvore energije za tu svrhu. Nakon sustavne studije, timje odlučio razvijati Stirling motor, navodeći kao razlog tihi rad i sposobnostda radi na različitim izvorima topline (npr. na običnoj uljnoj lampi - jeftinoji svima dostupnoj). Oni također navode da, za razliku od parnih i motoras unutarnjim izgaranjem, Stirlingov motor dugo nije razvijan i tvrde da bimoderni materijali trebali omogućiti velika poboljšanja.

Potaknuti prvim eksperimentalnim motorima snage 16 W, proizvodnja irazvoj su nastavljeni i tijekom drugog svjetskog rata. Proizvodnja početneserije (slika 8)je započela 1951, ali je postalo jasno da cijenom ne mogukonkurirati tranzistorskom radiju. Na kraju je proizvedeno oko 150 setovaod planiranih 250. Neki su završili na tehničkim sveučilištima i koledžimadiljem svijeta.

9

Slika 8: Philipsov radio prijemnik

1958 Roelf Jan Meijer - (Philips Research Laboratories) - suvremeni Stir-ling motor

Umjesto savijene radne osovine Meijer je primijenio tzv. rombni meha-nizam, kojeg pokreću dva zupčanika. Umjesto izravnog grijanja dodane subrojne cijevi čime je povećana ogrjevna površina. Hlađenje je također pobolj-šano s mnogo cijevi oko cilindra, a između vrućih i hladnih cijevi je smještenregenerator.

Philips je nastavio raditi na razvoju eksperimentalnih Stirlingovih motoraza različite primjene do kasnih 1970-ih, ali nije postigao komercijalni uspjeh.Međutim, oni su donijeli veliki broj patenata i prikupili mnoštvo informacijakoje su temelj razvoja u suvremeno doba.

Počevši od 1986, Infinia Corporation je počeo razvijati Stirling motorei termoakustične hladnjake koristeći povezane tehnologije. Dizajn koristisavijene ležajeve i hermetički zatvorene cikluse helija. Od 2010, korporacijaje objavila više od 30 patenata, a razvili su i niz komercijalnih proizvoda.

U novije vrijeme, NASA razmatra upotrebu Stirlingovih motora grijanihnuklearnim pogonom za produženu misiju na vanjski Sunčev sustav.

10

2 Alpha verzija Stirlinova motora

2.1 Stirlingov ciklus u modelu jednakih tlakova u cilin-drima

Alfa tip Stirlingova motora sastoji se od dva međusobno okomito postavljenaidentična cilindra koji su u dodiru sa energijskim spremnicima temperaturaT1 i T2 (T2 > T1). Dna cilindara su spojena uskom cijevi preko koje cilindriizmjenjuju topliji i hladniji dio radnog medija. Klipovi su štapovima duljinel zglobno vezani s zamašnjakom u točki koja se giba po kružnici radijusa r.Duljina štapova je podešena tako da klipovi u svojim krajnjim položajimadodirnu dna cilindara.

Slika 9: Shematski prikaz rada Stirlingova motora.

Izračunat ćemo tlak plina u motoru u ovisnosti o obujmu plina u ciklusu.Označimo s h1 i h2 udaljenosti klipova u hladnom i toplom cilindru od njihovadna. Kut zakreta kotača ϕ mjerimo od položaja u kome se nađe štap hladnogcilindra kad je obujam radnog medija u ovom cilindru najmanji. Iz slike (9)slijedi:

h1 = l + r −√l2 − r2sin2

(ϕ− π

4

)− rcos

(ϕ− π

4

)(1)

h1 = l + r −√l2 − r2cos2

(ϕ− π

4

)+ rsin

(ϕ− π

4

)(2)

Radi jednostavnijeg računa pretpostavit ćemo da je l >> r i ispustitićemo članove koji sadrže r2 u gornjim jednadžbama.

11

h1 = r[1− cos

(ϕ− π

4

)](3)

h2 = r[(1 + sin

(ϕ− π

4

)](4)

Ukupan obujam radnog medija je:

V = Ar(

2−√

2cosϕ)

(5)

Uz pretpostavku da je tlak radnog medija isti u oba cilindra, jednadžbestanja sistema radnog medija u cilindrima glase:

pAh1 = n1RT1 (6)

pAh2 = (n− n1)RT2 (7)

Ovdje je A površina poprečnog presjeka klipova, n ukupan broj molovaradnog medija, a n1 broj molova u hladnom cilindru. Tlak radnog medija zadane pomake klipova h1 i h2 je

p =nRT1T2/A

h1T2 + h2T1

(8)

Pomoću izraza (3) i (4) gornji izraz nakon kraćeg računa postaje

p =nRT1T2/Ar

T1 + T2 −√T 2

1 + T 22 cos(ϕ− δ)

(9)

Ovdje je

δ = arctgT2

T1

− π

4(10)

Kut δ kazuje koliko ekstremne vrijednosti tlaka zaostaju za ekstremnimvrijednostima obujma radnog medija.

Kružni proces Stirlingova motora u (p, V ) dijagramu prikazan je na slici(10). Za pojedinu točku procesa ne može se napisati jedna jednadžba sta-nja radnog medija jer radni medij u motoru nije globalno već samo lokalno(unutar cilindara) u ravnoteži.

12

Slika 10: Kružni proces Stirlingovog motora za različite vrijednosti omjeratemperatura spremnika. Temperatura toplijeg spremnika je stalna.

2.2 Kritika standardnog prikaza kružnog procesa kodStirlingova motora

Na slici 11 prikazan je kružni proces radnog medija u Stirlingovom motoru.

Slika 11: p-V dijagram α verzije Strlingovog motora za omjer T2/T1 = 4/3

U slučaju da su temperature oba spremnika iste gornja i donja krivuljana dijagramu sa slike 11 bi se poklopile i iščezao bi rad. U ovom slučaju tlakpada od najmanjeg obujma plina (ϕ = 0) do najvećeg obujma (ϕ = π) i po-novno raste od najvećeg prema najmanjem obujmu. No ako su temperature

13

različite tada je tlak u sistemu veći pri povećavanju obujma radnog medija(krivulja 1-2-3 na slici (11) i 0 < ϕ < π na slici (13)) od rada koji se vršinad radnim medijem pri njegovom sabijanju (3-4-1 na slici (11) i π < ϕ < 2πna slici (13)). Povećanje temperature pri povećanju obujma plina rezultat jemehaničke konstrukcije. Treba uočiti da točka u (p, V ) dijagramu sa slike 11ne predstavlja stanje radnog medija jer on nije u ravnotežnom stanju.

U literaturi se Stirlingov ciklus najčešće prikazuje kroz pojednostavljenimodel od dvije izohore i dvije izoterme (slika 12).

Slika 12: Pojednostavljeni kružni ciklus Stirlingovog motora

Bitan nedostatak ovakvog prikaza rada Stirlingova motora leži u pogreš-noj pretpostavci da je radni medij globalno u ravnoteži.

Slika 13: Apsorbirana toplina, rad i promjena unutrašnje energije po jednommolu zraka za Stirlingov stroj kod kojeg je T1 = 273, 15K,T2 = 4

3T1

14

2.3 Rad

Rad plina u jednom ciklusu jednak je:

W =

∫ 2π

0

pdV (11)

Uzimajući u obzir izraze za tlak (9) i volumen (5), rad (11) postaje:

W =nRT1T2

Ar

√2Ar

∫ 2π

0

sinϕ

T1 + T2 −√T 2

1 + T 22 cos (ϕ− δ)

dψ (12)

Iz (12) se može se vidjeti da ukupan rad neće ovisiti o površini klipa A.Nakon integriranja (12) postaje:

W = 2πsinδnR√T2T1

T1 + T2 −√

2T1T2√T 2

1 + T 22

(13)

Nakon uvrštavanja δ iz (10), transformacije arctg → arcsin i arctg →arccos te uvođenja oznake

B =T2

T1

(14)

dobije se konačan izraz za rad plina u jednom ciklusu:

W =√

2nRT1π(B − 1)√B

1 +B −√

2B

1 +B2(15)

Dakle, rad ovisi o broju molova plina i temperaturama toplijeg i hladnijegspremnika. Rad raste sa omjerom temperatura 14.

Slika 14: Rad u ovisnosti o omjeru temperatura toplijeg i hladnijeg spremnika

15

2.4 Primanje i otpuštanje topline radnog medija u cik-lusu

2.4.1 Nultočke

Toplina se može izračunati polazeći od prvog zakona termodinamike:

dQ = dE + pdV (16)

ilidQ = dn2CV (T2 − T1) + pdV (17)

Da bi se izračunala toplina primljena u procesu potrebno je odrediti in-terval kutova za koje je dQ > 0. Zatim se toplina dobije integracijom (16)ili (17) po tom intervalu.

Promjena broja molova plina (n2 u (17))u drugom cilindru može se dobitiiz jednadžbe stanja plina

pV2 = n2RT2 (18)

Kombiniranjem (18), izraza za tlak (9) i izraza za volumen toplijeg cilin-dra

V2 = Ar[1 + sin

(ϕ− π

4

)](19)

dobije se broj molova plina u drugom cilindru:

n2 = n1 + sin

(ϕ− π

4

)1 + T2

T1−√

1 +T 22

T 21cos (ϕ− δ)

(20)

Derivacijom (20) i uz oznaku (14) izraz za promjenu broja molova plinaglasi:

dn2

n=cos(ϕ− π

4

) [1 +B −

√1 +B2cos (ϕ− δ)

]−(1 + sin

(ϕ− π

4

)) [√1 +B2sin (ϕ− δ)

](

1 +B −√

1 +B2cos (ϕ− δ))2 dϕ (21)

Nakon uvođenja kuta ϑ = ϕ − π4i transformacija arctgα → arcsinα i

arctgα→ arccosα (21) postaje:

dn2

n=

B (cosϑ− sinϑ− 1)

(1 +B + sinϑ−Bcosϑ)2dϑ (22)

Time je određen prvi član u prvom zakonu termodinamike (17).Drugi član u izrazu za toplinu je pdV . Tlak je dan sa (9), a dV se dobije

derivacijom izraza za volumen (5)

16

dV =√

2Arsinϕ (23)

Sada jepdV

nRT1

=

√2Bsinϕ

1 +B −√

1 +B2cos (ϕ− δ)dϑ (24)

Radi jednostavnosti računa ponovo se uzima kut ϑ = ϕ − π4, pa nakon

razvoja sinusa zbroja i sređivanja izraz za toplinu (16) glasi:

dQ =

[nCV (T2 − T1)

B (cosϑ− sinϑ− 1)

(1 +B + sinϑ−Bcosϑ)2 + nRT2sinϑ+ cosϑ

1 +B + sinϑ−Bcosϑ

]dϑ

(25)Nakon svođenja na zajednički nazivnik:

dQ = BnRT1

CVR

(B − 1)(cosϑ− sinϑ− 1) +√

2sin(ϑ+ π4) [1 + sinϑ+B(1− cosϑ)]

(1 +B + sinϑ−Bcosϑ)2dϑ

(26)Nul točke se dobiju rješavanjem po ϑ jednadžbe dQ=0 gdje je dQ zadan

sa (26):

CVR

(B−1) (cosϑ− sinϑ− 1)+√

2sin(ϑ+π

4)(1+B+sinϑ−Bcosϑ) = 0 (27)

Jednadžba (26) je analitički teško rješiva, a numerička rješenja za različiteB su prikazana na grafu (slika 15)

Numerički proračun dovedene i odvedene topline (slika 16) zasnovan je naodređivanju predznaka topline (26) u pojedinim dijelovima ciklusa. Računje proveden u jednom ciklusu od 0o do 360o, sa korakom 0, 01o, za zadaneomjere temperatura toplijeg i hladnijeg spremnika (slika 17). Izvršeni rad ujednom ciklusu dobije se kao razlika apsorbirane i otpuštene topline. Rezul-tati numeričkog proračuna u potpunosti se poklapaju sa radom koji se dobijeintegracijom pdV u jednom ciklusu (izraz 15).

17

Slika 15: Nultočke ϑ1 i ϑ2 za različite omjere temperatura

Slika 16: Numerički dobiveni Q+(B), Q−(B) i W (B) = Q+(B)−Q−(B)

2.4.2 Posebna rješenja jednadžbe

Jednadžba (26) je analitički teško rješiva, pa ćemo analizirati nekoliko po-sebnih rješenja.

18

Slika 17: Količina topline izmijenjene s okolinom u toku jednog ciklusa zarazličite vrijednosti omjera temperatura B

1. B = 1 (Odnosno T1 = T2)

Za B = 1 (27) postaje:

sin(ϑ1 +

π

4

)= 0 (28)

Rješenja su ϑ1 = −π4i ϑ2 = 3π

4(slika 18)

Slika 18: Nultočke za T1 = T2

19

2. B →∞U ovom slučaju jednadžba za nultočke glasi

(cosϑ− sinϑ− 1) +√

2sin(ϑ+π

4(1− cosϑ) = 0 (29)

a rješenja su: ϑ1 = −760 ≈ −5π12

i ϑ2 = 0(slika 19)

Slika 19: Nultočke za T1 << T2

3. B − 1 << 1.

Iz 1) i 2) i iz grafa (15) može se uočiti da se povećavanjem omjera Btočka ϑ1 pomiče od 3π

4do 0, a ϑ2 se pomiče u istom smjeru od −π

4do

−5π12

(slika 20).

Slika 20: Pomicanje nultočki pri pomicanju B od 1 do ∞

Rješenja za situaciju kada je B > 1 tražit ćemo u obliku ϑ1 = −π4− ε1

i ϑ2 = −π4− ε2

20

Uz oznakua =

CVR

(B − 1) << 1, (30)

jednadžba (27) za ϑ1 glasi:

a

[cos

(−π4− ε1

)− sin

(−π4− ε1

)− 1

]+√2sin

[−π4− ε1 +

−π4

] [1 + sin

(−π4

)+ B

(1− cos

(−π4

))](31)

Nakon razvoja sinusa i kosinusa zbroja i uvrštavanja sinπ4

= cosπ4

=√

22

te aproksimacija cosε1 = 1 i sinε1 = ε1, dobije se:

a

(√2

2−√

2

2ε1 +

√2

2+

√2

2ε1 − 1

)− ε1

(√2− 1

)(1 +B) = 0 (32)

a odavde rješenje ε1:

ε1 =a

1 +B=CVR

B − 1

B + 1(33)

Rješenje druge nul točke ima oblik

ϑ2 =3π

4− ε2 (34)

A jednadžba iz koje je tražimo glasi:

a

[cos

(3π

4− ε2

)− sin

(3π

4− ε2

)− 1

]+√2sin

(3π

4− ε2 +

3π

4

){1 + sin

(3π

4

)+ B

[1− cos

(3π

4

)]}(35)

Nakon računa sličnog kao (31)-(33) dobije se:

ε2 =a

1 +B=CVR

B − 1

B + 1= ε1 = ε (36)

21

2.4.3 Apsorbirana toplina za T2 − T1 << T1

Apsorbirana i otpuštena toplina može se dobiti integriranjem jednadžbe (16)ili (17) sa granicama dobivenim u prethodnom poglavlju.

Q+ =

∫ θ2

θ1

dE +

∫ θ2

θ1

pdV (37)

za ovaj slučaj granice su:ϑ1 = −π

4− ε i ϑ2 = 3π

4− ε

iliϕ1 = −ε (38)

iϕ1 = π − ε (39)

Izraz za toplinu (26), uz granice (38) i (39) glasi:

Q+ = n

∫ π−ε

−εCV (T2 − T1) dn2 +

√2

∫ π−ε

−ε

nRT1T2sinϕ

T1 + T2 −√T 2

1 + T 22 cos(ϕ− δ)

dϕ

(40)Nakon uvođenjaψ = ϕ− δ

Q+

nRT1

=CV

R(B−1)

[1 + sin(π − ε− π

4)

1 + B −√1 + Bcos(π − ε− δ)

]−

1 + sin(ε− π4

1 + B −√1 + Bcos(ε− δ)

+√

2

∫ π−ε

−ε

Bsinϕ

1 + B −√

1 + B2cos(ϕ− δ)dϕ

(41)

koristeći aproksimacije za δ

δ = arctgB − π

4(42)

δ = arctg [1 + (B − 1)]− π

4(43)

δ ≈ arctg1 +d arc tgx

dx(B − 1)− π

4(44)

δ ≈ π

4+

1

1 + x2(B − 1)− π

4(45)

δ ≈ B − 1

2<< 2 (46)

(Q+

nRT1

)1 =a

B

{[√

2 + (B − 1)

√2

2+√

2ε

]−√

2(1 +B − 1

2)

}(47)

22

Nakon kraćeg računa, uz zanemarivanje člana koji sadrži (B − 1)2,

Q+ = nR√

2T2T1√T 2

1 + T 22

ln2 +√

2

2−√

2(48)

Usporedbom numeričkog proračuna apsorbirane topline (26) i aproksimacij-skog izraza (48), za T2 − T1 << T1 vidi se da aproksimacija daje točnevrijednosti samo ako je T2

∼= T1 (21).

Slika 21: Usporedba numeričkog proračuna apsorbirane topline (26) i aprok-simacijskog izraza (48) za T2 − T1 << T1.

23

2.5 Korisnost Stirlingova ciklusa u modelu jednakih tla-kova

2.5.1 Dvoatomni plin kao radni medij

Stupanj korisnosti Stirlingovog motora dobije se kao omjer rada (13) i apsor-birane topline u jednom ciklusu.

Iz (13)

W = 2πsinδnR√T2T1

T1 + T2 −√

2T1T2√T 2

1 + T 22

(49)

uz

sinδ = sinB − 1

2≈ B − 1

2(50)

Za male vrijednosti omjera temperatura može se, koristeći izraz za apsor-biranu toplinu (48) analitički izračunati stupanj korisnosti η:

η =W

Q+=

2π(B − 1)nR√T2T1

T1+T2−√

2T1T2√T 21 +T 2

2

nR√

2ln2+√

22−√

2T2T1√T 21 +T 2

2

(51)

Nakon skraćivanja:

η =π

ln2+√

22−√

2

(B − 1)1− (

√2B − 1) 1

B√2B

(52)

Na slici (22) je prikazan rezultat numeričkog proračuna korisnosti Stir-lingovog motora, kao omjera izvršenog rada i apsorbirane topline dobivenihna način koji je opisan u poglavljima (2.3) i (2.4) Kod malih omjera tem-peratura (B < 1, 4, što odgovara realnim uvjetima rada motora) stupanjkorisnosti Stirlingova motora raste sa B i iznosi oko 70% stupnja korisnostiCarnotova stroja koji bi radio na istim temperaturama (maksimalna omjerstupnja korisnosti Stirlingovog u odnosu na Carnotov stroj dobije se za omjertemperatura B = 1, 058 i iznosi stirling

carnot= 74, 08%). U tom području približno

točan stupanj korisnosti može se dobiti iz (52). Maksimalni mogući stupanjkorisnosti Stirlingova motora dobije se za omjer temperatura B = 10/3 i iz-nosi 37, 42% (stupanj korisnosti Carnotovog stroja za B = 10/3 bio bi 70%).Kako se omjer temperatura povećava stupanj korisnosti opada i teži nulikad B → ∞. Proračun, naime, pokazuje da se za veliki omjer temperaturatoplina između motora i okoline izmjenjuje u vrlo kratkom dijelu ciklusa ukojem se gotovo čitava apsorbirana toplina vrati u okolinu. Takvo ponašanjeStirlingova motora kod velikog omjera temperatura suprotno je ponašanju

24

Carnotovog stroja za kojeg, kao što je poznato, stupanj korisnosti s omjeromtemperatura raste i teži prema 1 kad B →∞ .

Slika 22: Korisnost u ovisnosti o omjeru temperatura hladnijeg i toplijegspremnika

2.5.2 Korisnost Stirlingova ciklusa u ovisnosti o molarnom to-plinskom kapacitetu radnog medija

Gornji proračun napravljen je za slučaj da je radni medij zrak, kojeg u dobrojaproksimaciji smatramo dvoatomnim plinom čija molekula ima 5 stupnjevaslobode. Međutim, u slučaju da je radni medij plin čija molekula ima istupnjeva slobode, ili neka smjesa plinova sa različitim brojevima stupnjevaslobode molekula, računamo da je molarni specifični toplinski kapacitet prikonstantnom volumenu Cv = i

2R, gdje je i prosječni broj stupnjeva slobode

molekula koji se dobije uzimajući u obzir zastupljenost pojedinih komponentiu smjesi: i =

∑k nkik∑nk

U skladu s time, mijenja se prvi član u jednadžbi(26), a time i ukupna količina apsorbirane i otpuštene topline sistema ujednom ciklusu, po jednom molu plina. Numerički proračun pokazuje da seukupna količina apsorbirane i otpuštene topline povećavaju sa i, ali njihovarazlika, tj. izvršeni rad po molu plina u jednom ciklusu ostaje isti. Doistog zaključka dolazi se u teorijskom razmatranju (poglavlje 2.3) iz kojegproizlazi da izvršeni rad ovisi o broju molova plina i omjeru temperatura,ali ne i o molarnom specifičnom toplinskom kapacitetu. To znači da se za

25

dobivanje istog korisnog rada mora iz okoline apsorbirati veća količina toplinešto je prosječni broj stupnjeva slobode molekula veći, odnosno da stupanjkorisnosti toplinskog stroja opada sa povećanjem broja stupnjeva slobode.Najveći stupanj korisnosti imat će Stirlingov stroj koji kao radni medij koristijednoatomni plin (i = 3). Rezultati numeričkog proračuna stupnja korisnostimotora u ovisnosti o omjeru temperatura T2

T1i prosječnom broju stupnjeva

slobode molekula plina i prikazani su na slici (23)

Slika 23: Korisnost za različite CV

26

2.6 Promjena entropije okoline u jednom Stirlingovomciklusu u modelu jednakih tlakova u cilindrima

Entropiju okoline računamo uz realnu pretpostavku da hladniji spremniktemperature T1 uzima toplinu iz okoline, a topliji spremnik temperature T2

predaje toplinu okolini. Iz toga slijedi:

∆Sokoline =Q−

T1

− Q+

T2

(53)

Gdje jeQ− količina topline koju sistem otpusti, odnosno okolina apsorbirau jednom ciklusu, a Q+ količina topline koje sistem apsorbira iz okoline ujednom ciklusu. Koristeći rezultate numeričkog proračuna Q− i Q+ opisanogu poglavlju (2.4) dobiju se rezultati prikazani na slici (24).

Slika 24: Povećanje entropije okoline u ovisnosti o omjeru temperatura to-plijeg i hladnijeg spremnika.

Prikazana je ovisnost Sokoline/nR o omjeru temperatura T2T1. Vidljivo je da

je promjena entropije okoline uvijek veća od nule, i raste sa porastom omjeratemperatura T2

T1. Ovaj proračun potvrđuje ono što smo očekivali, a što slijedi

iz drugog zakona termodinamike. Jedini stroj kod kojeg se entropija okolinene bi povećavala bio bi idealni Carnotov stroj.

Za male vrijednosti omjera T2T1→ 1, pokazuje se da ∆Sokoline → 0.

Analitički proračun apsorbirane i otpuštene topline u aproksimaciji B−1 <<1 to potvrđuje. Apsorbirana toplina u tom slučaju izračunata je u poglavlju(2.4.3) i iznosi Q+ = nR

√2 T2T1√

T 21 +T 2

2

ln2+√

22−√

2(48). Istim računom, ali integra-

27

cijom po području gdje sistem otpušta toplinu (kutovi od 3π4− ε do 7π

4− ε)

isti rezultat dobije se i za Q−. Tada vrijedi:

∆Sokoline =Q−

T1

−Q+

T2

= nR√

2T2√

T 21 + T 2

2

ln2 +√

2

2−√

2−nR

√2

T1√T 2

1 + T 22

ln2 +√

2

2−√

2(54)

odnosno

∆Sokoline =nR√

2√T 2

1 + T 22

ln2 +√

2

2−√

2(T2 − T1) (55)

Promatramo slučaj T2∼= T1, dakle dobivamo ∆Sokoline → 0, kao i u numerič-

kom proračunu za male B. Naravno, ∆Sokoline teži u nulu sa pozitivne stranejer se uvijek uzima T2 > T1.U slučaju da je omjer temperatura jako velik, odnosno T2 >> T1 relacija (53)svodi se na

∆SOkoline =Q−

T1

(56)

Rezultat numeričkog proračuna prikazan na slici (25) pokazuje da u tomslučaju ∆SOkoline

nRB→ 5

2

Slika 25: Omjer promjene entropije okoline u ovisnosti o omjeru temperaturaB

28

2.7 Proračun momenta sile na zamašnjak u modelu jed-nakih tlakova

Tlak u cilindrima, a time i ukupna sila koja djeluje na klipove i zakretnimoment koji ubrzava zamašnjak određen je količinom, tj. brojem molova ucilindrima.

n =pV1

RT1

+pV2

RT2

=p

RT1

(V1 +V2

B) (57)

Uzimajući u obzir (3) i (4)

n =p

RT1

Ar

[1− cos(ϕ− π

4) +

1

B+

1

Bsin(ϕ− π

4)

](58)

Najmanja količina plina dobije se za slučaj kada se cilindri pune zrakomkod najmanjeg volumena (ϕ = 0)

nmin =patmAr

RT1

(1−√

2

2)(1 +

1

B) (59)

, a najveća kada se pune pri najvećem volumenu (ϕ = π)

nmax =patmAr

RT1

(1 +

√2

2)(1 +

1

B) (60)

Omjer najmanje i najveće količine plina je nminnmax

= 2+√

22−√

2

Uvrštavanjem n u jednadžbu (9) dobije se tlak zraka u cilindrima u ovis-nosti o kutu

pmin =1 +B

1 +B −√

1 +B2cos(ϕ− δ)(1−

√2

2)patm (61)

pmax =1 +B

1 +B −√

1 +B2cos(ϕ− δ)(1 +

√2

2)patm (62)

Sila koja djeluje na klipove (ako uzmemo da je pozitivan smjer premagore, suprotno težini) je

F = (p− patm) · A (63)

pa je:

Fmin =

[(1 +B)(1−

√2

2)

1 +B −√

1 +B2cos(ϕ− δ)− 1

]patmA (64)

29

Fmax =

[(1 +B)(1 +

√2

2)

1 +B −√

1 +B2cos(ϕ− δ)− 1

]patmA (65)

Moment sile koji djeluje na zamašnjak jednak je zbroju momenata silakoje stvaraju oba klipa koji su spojeni sa zamašnjakom štapovima međusobnopomaknutim u fazi za π

2

M = Fr[sin(ϕ− π

4) + sin(ϕ+

π

4)]

= Fr√

2sinϕ (66)

Što u ekstremnim slučajevima iznosi:

Mmin =

[(1 +B)(1−

√2

2)

1 +B −√

1 +B2cos(ϕ− δ)− 1

]√

2Arpatmsinϕ (67)

Mmax =

[(1 +B)(1 +

√2

2)

1 +B −√

1 +B2cos(ϕ− δ)− 1

]√

2Arpatmsinϕ (68)

Na slikama (26) i (27) je prikazana ovisnost sile na klipove i zakretnogmomenta koji djeluje na zamašnjak o kutu ϕ za slučajeve najmanje i naj-veće moguće količine plina u cilindrima, za omjer temperatura B = 4

3. U

proračunu su uzete u obzir dimenzije cilindara u konstrukciji, da bi se dobilaprocjena najvećih sila i momenata u konkretnom slučaju:

• Radijus zamašnjaka r = 5 · 10−2m

• Površina cilindra A = (2, 5 · 10−2m)2π

• Atmosferski tlak patm = 101325Pa

U proračunu je zanemaren utjecaj težine klipova i trenja između klipovai cilindara.

Vidi se da je u slučaju najmanje količine zraka u cilindrima tlak u njimamanji od atmosferskog u većem dijelu ciklusa, dok je kod najveće količinezraka tlak veći od atmosferskog u čitavom ciklusu. Zbog toga momenti silaimaju suprotan predznak u ova dva slučaja. Međutim, to ne znači da će sezamašnjak rotirati u suprotnom smjeru. Naime, početna točka rada motoraje u prvom slučaju ϕ = 0, a u drugom ϕ = π, tako da se zamašnjak u obaslučaja ubrzava, a zatim usporava u istom smjeru vrtnje.

Iz (66) se može izračunati i srednji moment sile klipova na zamašnjak:

M =1

2π

∫ 2π

0

Fr√

2sinϕdϕ (69)

30

Slika 26: Rezultantna sila na cilindre

Slika 27: Rezultantni moment sile na zamašnjak

Nakon uvrštavanja (63) i (9):

M =1

2π

∫ 2π

0

Ar√

2sinϕ

(nRT1T2/Ar

T1 + T2 −√T1 + T2cos(ϕ− δ)

− p0

)dϕ (70)

M =1

2π

∫ 2π

0

√2sinϕ

(nRT1T2

T1 + T2 −√T1 + T2cos(ϕ− δ)

)dϕ−Ar

√2p0

2π

∫ 2π

0

sinϕdϕ

(71)

31

Drugi član u (71) nakon integriranja nestane, a nakon integriranja prvogčlana dobije se srednji moment sile klipova na zamašnjak:

M =nRT1

√2

2

(B − 1)√B(B + 1−B

√2)

B2 + 1(72)

Usporedbom (72) i izraza za rad plina u jednom cilusu (15) dobivenog upoglavlju (2.3) može se uočiti da u jednom ciklusu vrijedi:

W = 2πM (73)

.

32

3 ZaključakU radu je napisana kratka povijest nastanka i razvoja Stirlingovog motora inapravljena je teorijska analiza rada alfa verzije motora.

Pokazano je da Stirlingov motor koji bi koristio zrak kao radni medij možeu realnim uvjetima, kad je omjer temperatura toplijeg i hladnijeg spremnikaizmeđu 1 i 1,4 raditi sa stupnjem korisnosti do 70 % u odnosu na stupanjkorisnosti Carnotovog stroja koji bi radio na istim temperaturama.

Analiza također pokazuje da se povećanjem omjera temperatura stupanjkorisnosti povećava samo do određene vrijednosti, a nakon toga opada. Toznači da se, čak i kad bi to tehnički bilo moguće, ne isplati povećavati omjertemperatura iznad optimalne vrijednosti.

Na kraju je pokazano da bi se učinkovitost Stirlingovog motora povećalaako bi se kao radni medij umjesto zraka koristio jednoatomni ili pak smjesajednoatomnih i dvoatomnih plinova.

33

4 Dodatak: Problemi kod praktične izvedbeStirlingova motora

Jedan od ciljeva ovog rada bio je i projektiranje jednog Stirlingovog motora αtipa. Zamišljeno je da motor čine dva vertikalno postavljena aluminijska ci-lindra koji su postavljeni u plastične spremnike na različitim temperaturama(slika 28).

Problem u ovoj izvedbi je curenje radnog medija između klipa i cilindrana višoj temperaturi. Do curenja dolazi zato što klip zbog termičkog širenjatreba napraviti promjerom manjim od unutrašnjeg promjera cilindra.

Proračun pokazuje da je volumen zraka koji u jedinici vremena "iscuri" izcilindra proporcionalan trećoj potenciji širine zračnog raspora između klipai cilindra.

Problem se može riješiti postavljanjem prstena na klipove. Promjer elas-tičnog prstena prilagođavao bi se promjeni promjera cilindra zbog termičkogširenja i time bi se širina zračnog raspora smanjila toliko da curenje zrakapostane zanemarivo.

34

Slika 28: Bokocrt Stirlingova motora

35

Literatura[1] Paško Županović, "Termodinamika s osnovama statističke fizike", "Sve-

učilište u Splitu - Prirodoslovno matematički fakultet", Split (2012)

[2] I. N. Bronstein, K. A. Semendaev, "Matematički priručnik", "Tehničkaknjiga", Zagreb (1975)

[3] http://www.robertstirlingengine.com/alpha_uk.php

[4] http://www.animatedengines.com/vstirling.html

[5] http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_engine#History

[6] http://en.wikipedia.org/wiki/Timeline_of_heat_engine_technology

36