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ANALISIS VECTORIAL
Las magnitudes físicas se pueden clasificar, de una forma general, en magnitudes escalares y magnitudes vectoriales.
Las magnitudes escalares son aquellas que necesitan un número real para quedar completamente determinadas. Por ejemplo, la masa, la densidad, la temperatura, etc.
Las magnitudes vectoriales son aquellas que necesitan para su determinación un número real o módulo, una dirección y un sentido sobre la dirección. Por ejemplo, la fuerza, la velocidad, campo eléctrico, campo magnético, etc. En estas últimas es en donde fijaremos la atención.
La representación gráfica de una magnitud vectorial es un segmento de recta, orientado, que recibe el nombre de vector
El módulo indica, en la unidad elegida, el valor numérico de la cantidad de la magnitud representada. Al origen A se le denomina punto de aplicación.
La dirección es la de la recta en que está contenido y el sentido se representa por una punta de flecha en su extremo.
Sistema de coordenadas
Es un sistema que permite definir unívocamente la posición de cualquier punto
Sistema de coordenadas cartesianas
Sistema de coordenadas cilíndricas
Por lo que podemos definir:
la coordenada z al estar asociada con la altura del cilindro no cambia.
EJEMPLO: Expresar en coordenadas rectangulares el punto )3,6/,4(),,( zr
EJEMPLO: Expresar el punto (x, y, z)= (1, √3 ,2) en coordenadas cilíndricas
Cambio de coordenadas cilíndricas a rectangulares
Cambio de coordenadas rectangulares a cilíndricas
Sistema de coordenadas esféricas
ρ
EJEMPLO: Expresar en coordenadas rectangulares el punto )6/,3/,3(),,(
EJEMPLO: Expresar en coordenadas esféricas el punto (x,y,z) =(2,2,3)
COMPONENTES Y COSENOS DIRECTORES DE UN VECTOR
Para referir los desarrollos teóricos y las aplicaciones vectoriales elegimos como sistema de referencia el cartesiano trirrectangular a derechas, es decir, el formado por tres ejes (X, Y, Z), perpendiculares dos a dos y orientados de forma que al girar la cabeza de un sacacorchos en el sentido que de X a Y por el camino mas corto, la punta avanza en el sentido del eje Z. Este sistema así definido, también se denomina directo o dextrógiro.
Sobre cada uno de los ejes tomaremos un vector unitario que denominaremos respectivamente i, j, k y que constituyen los vectores fundamentales o base del sistema de referencia
zyx y , aaa reciben el nombre de componentes escalares de a
kjia zyx aaa
el vector a queda expresado en función de los vectores unitarios, mediante
El módulo de a es la diagonal del paralelepípedo recto, es decir
2
z
2
y
2
x aaaa
El vector unitario en la dirección de a viene dado por
kjia
ua
a
a
a
a
a
azyx a
au
a
Para determinar la dirección del vector hay que conocer los ángulos , y , que forma con cada uno de los ejes del sistema de referencia
Observando se aprecia que
a
acos ;
a
a=cos ;
a
acos zyx
a dichos cosenos se les denomina cosenos directores de a.
1a
a
a
a
a
acoscoscos
2
2
z
2
2
y
2
2
x222
Los cosenos directores están relacionados entre sí, mediante
El vector unitario se podrá expresar también como
kjiu cos cos cosa es decir, las componentes del vector unitario son, precisamente, los correspondientes cosenos directores.
kjia 232
Hallar el vector unitario en la dirección de a
au
a
¿Cuál debe ser el valor de m para que el vector A(1,m,2) forme un ángulo de 60º con el eje Z?.
A
Halla el vector unitario de C=3i+4j+5k. Determina el ángulo que forma con el eje OX
C
NNN z,y,xN
MMM z,y,xM
Si de un vector se conocen las coordenadas de su extremo
y de su origen
las componentes del vector se obtienen restando a las coordenadas de N las de M, es decir
kjia )()yy()xx( MNMNMN zz
kjia zyx aaa
a
NNN z,y,xN
MMM z,y,xM
En este sistema un desplazamiento elemental dr (elemento diferencial) se puede representar así:
dr = dx i + dy j + dz k dr
r 1
r 2
dr
La expresión analítica de la suma de n vectores es:
kjia a a a 1z1y1x1
kjia a a a 2z2y2x2
kjia a a a nznynxn
k
jiaaa
)a....aa(
)a....aa()a....aa(....
nz2z1z
ny2y1ynx2x1xn21
.................................. ..................................
a1
a2
kjia 2-3 1
kjia 2-2 2
La expresión analítica del producto de un escalar por un vector es
m m(a a a ma ma ma x y z x y za i j k i j k )
ma
a
maa
ma
PRODUCTO ESCALAR.
El producto escalar de dos vectores a y b es un escalar de valor igual al producto de los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman
a b a b cos
jia 22 jb
kjia 2 kjib 22
??cos baba
Si los vectores a y b están expresados en forma analítica, es decir
a i j k a a ax y z
b i j k b b bx y z a b a b a b a bx x y y z z
kjia 2 kjib 22
kjia 2 jb 4
cos) /( baba
jia 3 2 kjib 222-
Los productos escalares de los vectores unitarios de la base, teniendo en cuenta lo expuesto anteriormente, valdrán:
i i = j j = k k = 1 i j = j i = i k = k i = j k = k j = 0
El producto escalar de dos vectores es positivo o negativo según que el ángulo de las direcciones de los vectores sea agudo u obtuso. Y será nulo cuando los vectores sean perpendiculares y máximo cuando los vectores sean paralelos.
El producto escalar de un vector por si mismo es igual al cuadrado de su módulo
a a a a acos 0 2
)()()(
)()()(
)()()(
= ) () (
kkjkik
kjjjij
kijiii
kjikjiba
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
zyxzyx
bababa
bababa
bababa
bbbaaaDemostración de la expresión analítica del producto escalar
)()()(
)()()(
)()()(
= ) () (
kkjkik
kjjjij
kijiii
kjikjiba
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
zyxzyx
bababa
bababa
bababa
bbbaaa
a b a b a b a bx x y y z z
Calcula el producto escalar de los vectores V=3i+5j-k y W(-2,0,4). Determina el ángulo que forman.
PRODUCTO VECTORIAL.
El producto vectorial de dos vectores a y b, representado por a b, es otro vector que coincide con el valor del determinante
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
ba a i j k a a ax y z
b i j k b b bx y z
obteniéndose la expresión analítica
kjiba )baba()baba()baba( xyyxzxxzyzzy
134
312 kji
bakjia 3 2
kjib 34
004
032
kji
ba jia 3 2
ib 4
El producto vectorial posee la propiedad “anticonmutativa”
)( abba
Su dirección es perpendicular al plano definido por los vectores a y b.
004
032
kji
ba jia 3 2
ib 4
Su módulo es igual al producto de los módulos, de ambos vectores, por el seno del ángulo que forman
a b = a b sen
cos) /( : baHallamos ba
Su sentido es el del avance de un sacacorchos, cuyo sentido de giro coincidiera con el que lleve el primer vector a a coincidir con el segundo vector por el camino mas corto.
Geométricamente, el módulo del producto vectorial representa el área del paralelogramo formado por los dos vectores como lados
b sen = alturaa = base
ba x = basealtura = = área del paralelogramo.
El producto vectorial de dos vectores paralelos es el vector nulo y de dos vectores perpendiculares es máximo.
Los productos vectoriales de los vectores unitarios de la base que son perpendiculares entre sí, valdrán
kijkji
jikjki
ijkikj
0 kkjjii
Halla el vector unitario perpendicular a los vectores V(1,2,3) y W(-1,0,2).
Dados los vectores A=3i-3j+2k y B(3,4,0), calcular: a) AxB y BxA. b) Un vector de módulo 3 perpendicular al plano formado por A y B. c) (A+B)x(A-B).
Sean los vectores A = 2 i + 3k y B = 3i - j - k . Calcular:•El vector que tiene la misma dirección y sentido que A pero su módulo es 4.•El vector que tiene la misma dirección y sentido contrario que B y su módulo es 3.•El ángulo que forman A y B.
Sean los vectores A = - 3j + k y B = i +2 j + k . Representarlos y determinar su módulo. Calcular además: A + B. Representar. A - B. Representar. El vector que tiene la misma dirección y sentido que A pero su módulo es 3. El vector que tiene la misma dirección y sentido contrario que B y su módulo es 4. El ángulo que forman A y B.
Sean los vectores A = 3i -2 j +2 k y B = -i +4 j + 2k . Representarlos y determinar su módulo. Calcular además: El ángulo θ que forman A y B. El vector C = A x B. Representar. Comprobar que efectivamente C es perpendicular a A y B. Comprobar que efectivamente C = ABsen θ. El vector que está contenido en el plano XZ, es perpendicular a A y tiene de módulo 6. El vector que es perpendicular a A y B y tiene de módulo 5.
Sean los vectores A =2 k y B =i - j - k . Representarlos y determinar su módulo. Calcular además: El ángulo θ que forman A y B. El vector C = A x B. Representar. Comprobar que efectivamente C es perpendicular a A y B. Comprobar que efectivamente C = ABsen θ. El vector que está contenido en el plano XZ, es perpendicular a A y tiene de módulo 6. El vector que es perpendicular a A y B y tiene de módulo 2.
PRODUCTO MIXTO.
Se define el producto mixto de tres vectores como un escalar de valor
cossenabccos a cbcba
representa , en valor absolutovalor absoluto, el volumen de un prisma de lados los propios vectores
El producto mixto será nulo si los vectores a, b y c son coplanarios y también si dos cualquiera de los vectores son paralelos.
zyx
zyxzyx
ccc
bbb) a a a() (
kji
kjicba
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
kjia a a a zyx
kjib b b b zyx
kjic c c c zyx
Si los vectores a, b y c son
la expresión analítica del producto mixto coincide con el resultado del determinante:
Halla el producto mixto de los tres vectores
jia 3 2
ib 4
k2 2c ji 212
004
032
Halla el producto mixto de los tres vectores
jia 3 2
ib 4
k2 2c ji
cossenabccos a cbcba
MOMENTO DE UNA MAGNITUD.
El momento de un vector a aplicado en A respecto de un punto cualquiera del espacio P MP se define como el producto vectorial de la distancia que separa a P de A por el vector
araPAM P
M r a d aP sen
siendo su módulo
El momento de un vector deslizante respecto de un punto es único y no depende de la posición del punto de aplicación del vector, siempre que se mantenga sobre su recta soporte.
M r a d aP sen
d
FUNCION VECTORIAL.
En muchos procesos físicos, las magnitudes vectoriales no permanecen constantes, sino que van variando. Esto quiere decir, que sí por ejemplo, la expresión analítica de un vector a es
kjia a a a zyx
las componentes del vector no van a ser fijas, sino que pueden tomar diferentes valores en función de una cierta variable, de tal modo que, para un valor de la variable corresponda un valor del vector a, se tiene así una función vectorial, expresándose su dependencia funcional mediante
a = a(u)siendo, en este caso, la variable u de carácter escalar, siendo la más típica el tiempo.
Como la función vectorial a va tomando distintos valores según varíe u observaremos que sus extremos describen una curva que se denomina hodógrafa (trayectoria si es el dibujo que hace el extremo del vector de posición).
Para un incremento de la variable ∆u, le corresponde un incremento del vector ∆a dado por
)u()uu( aaa
Se denomina derivada vectorial de la función a respecto de la variable u, al límite del cociente entre el incremento del vector y el incremento de la variable, cuando esta última tiende a cero. Es decir
u
uuu
du
duu
)()(lim
ulim
00
aaaa
t
ttt
dt
dtt
)()(lim
tlim
00
aaaa
Si la variable u es el tiempo.
La derivada es otra función vectorial, que tiene como dirección, la de la tangente a la hodógrafa
Teniendo en cuenta que a i j k( ) ( ) ( ) ( )u a u a u a ux y z
y que los vectores unitarios (i, j, k) son fijos nos quedará que
d
du
da
du
da
du
da
dux y za
i j k
Si la variable u es el tiempo.
kjia
dt
da
dt
da
dt
da
dt
d zyx
La posición de una partícula viene dada por r=(3t2+1)i en el SI. Calcular la velocidad en cualquier instante.
La posición de una partícula viene dada por r=3ti +2tj + 4k en el SI. Calcular la velocidad en cualquier instante.
La posición de una partícula viene dada por r=3t2i +(2t+4)j en el SI. Determina: la posición en los instantes t=0; t=2s y t=5s. c) Velocidad instantánea en los instantes t=2s y t=5s.
Una partícula tiene de masa 2kg y sobre ella actúa una fuerza F= (2t)i + j + (t2 + 1)k (N). Halla el vector aceleración, para t = 1s, t = 0s y para t = 4s.
Sobre una partícula actúa una fuerza F(x,y)= (2xy2)i + (4y-x)j + x2k (N). Halla el vector F(0,0) , F(1,0) , F(0,1) , F(1,1) , F(-2,1).
Sea el vector r = (2t2 + t) j + 2tk de una partícula de masa m =3kg Determina el valor de r para t = 0 y 2s y representar. Calcula también el módulo de dicho vector en esos instantes ¿qué tipo de movimiento y trayectoria describe ese móvil?.¿Qué podemos decir acerca de velocidad?. Calcula F, P, L, M en función del tiempo y particularizar para t = 1s. Comprueba que efectivamente F = dP/dt y que M = dL/dt.
Sea el vector v(t) =2t i + j . Determina el valor de r(t) sabiendo que para t = 1 seg la posición de la partícula es (2,1,3).Calcula también el vector a, at, an
en el instante t = 2 seg . ¿Qué tipo de trayectoria y movimiento describe?. Calcula, en este instante de tiempo, el ángulo que forman v y a y el vector que se obtiene de efectuar el producto vxa. Si la masa de la partícula es de m =4kg halla F, P, L, M en función del tiempo y particularizar para t = 1s. Comprueba que efectivamente F = dP/dt y que M = dL/dt. Halla la energía cinética de la partícula para t=1s y para t = 3s.
Sea el vector r(t) =(2t2 - 1) i + 2t2 k. Determina el valor de r(t) para t = 0, 1, 2s y representar. Calcula el vector desplazamiento y la velocidad media entre t = 1s y t = 4s . ¿Qué tipo de trayectoria y movimiento describe?. Determina la velocidad instantánea en los tiempos anteriores. Determina la aceleración y las componentes intrínsecas para t= 1 seg. Dibujar estos vectores. Si la masa de la partícula es de m =2kg halla F, P, L, M en función del tiempo y particularizar para t = 2s. Comprueba que efectivamente F = dP/dt y que M = dL/dt. Halla la energía cinética de la partícula para t = 1s y para t = 2s.
En las olimpiadas, un atleta en la prueba de los 100m lisos ganó la medalla de plata con un tiempo de 10s. El atleta usó la siguiente estrategia: acelerar uniformemente los dos primeros segundos y luego mantener una velocidad constante hasta el final. Determina: V media de su carrera, V con que cruza la meta, construye los gráficos x(t), V(t) y a(t).
Dos cuerpos inician una caída libre, partiendo del reposo y desde la misma altura, con un intervalo de tiempo de 1s. ¿Cuánto tiempo después de que comienza a caer el primer cuerpo estarán estos separados por una distancia de 10 m.
10m10m
Un trabajador está pintando una viga de un puente que está 23m sobre una línea férrea. Un vagón, con su techo a 3m sobre la línea, avanza con una aceleración de 20m/s2. En cierto instante cae una gota de pintura, que llega al techo del vagón cuándo la velocidad de éste es de 20m/s. Una segunda gota cae 0,3s después de la primera. Calcula la distancia entre estas gotas sobre el techo del vagón.
La posición de una partícula está determinada por su vector de posición descrito por:
.ˆ4ˆ)1(ˆ)33( 222 mktjtittr
¿en que instante el vector posición es a la aceleración?.¿qué ángulo forma la velocidad con el eje X en t=1 [s]?.
Se lanza horizontalmente una pelota con una velocidad de 2m/s desde una altura de 20m sobre el suelo. Despreciando la resistencia del aire y tomando como origen el punto del suelo situado en la vertical del punto de lanzamiento, calcular: Su posición después de 1s. Tiempo que tarda en llegar al suelo. Velocidad en ese instante.
20m20m
después de 1s
Llega al suelo
Un avión desciende con una velocidad de 720 km/h formando un ángulo de 45 con la horizontal. Cuando se encuentra a 400 m del suelo deja caer una bomba. Calcular: Su posición después de 1 s. El tiempo que tarda en llegar al suelo y su velocidad.
400m400m
después de 1s
Llega al suelo
