Analisis Ulang Pokok (Analisis titik impas (BEP) / Break Event Point)

Suatu usaha dikatakan mencapai kondisi impas/ulang pokok/Break Event Point. Jika

penerimaan (R) besarnya sama dengan pengeluaran (C)/total cost. Pada kondisi itu suatu

usaha tidak mendapatkan keuntungan, tapi tidak mengalami kerugian. Kalau digambarkan

dengan grafik atau diagram sebagai berikut :

C/R area untung

R C

π = R – C π = R – C π > 0

TPP = BEP = TI π = 0

area rugi Q

π > 0 → Usaha mengalami untung (profit)

π < 0 → Usaha mengalami kerugian

π = 0 → Usaha mencapai BEP

Grafik tersebut hanya bersifat verbal, tidak ada harga eceran daan tidak ada harga maksimum.

Contoh :

1. Andai kata biaya total yang dikeluarkan dinyatakan C = 20000 + 100Q, sedangkan

penerimaan totalnya R = 200Q. Pada produksi berapa unit perusahaan ini berada dalam

posisi pulang pokok.

Apa yang terjadi jika perusahaan memproduksi sebanyak 300 unit. Jika perusahaan

memproduksi 100 unit.

Jawaban :

Diketahui : C = 20000 + 100Q

R = 100Q

Ditanyakan : Q = ... ? → usaha mencapai TPP

Q = 300 → apa yang terjadi?

Q = 100 → apa yang terjadi?

Jawab :

BEP tercapai jika : R= C

200Q = 20000 + 100Q

200Q – 100Q = 20000

100Q = 20000

Q = 20000

100

Q = 200 unit

Jadi perusahaan mencapai TPP kalau memproduksi 200 unit.

Jika Q = 300 unit, maka

R = 200 Q C = 20000 + 100Q

R = 200 . 300 C = 20000 + 100 . 300

R = 60000 smu C = 50000 smu

R > C, jadi perusahaan mengalami keuntungan sebesar 10000 smu.

Jika Q = 100 unit, maka

R = 200Q C = 20000 + 100Q

R = 200 . 100 C = 20000 + 100 . 100

R = 20000 smu C = 30000 smu

R < C, jadi perusahaan mengalami kerugian sebesar 10000 smu.

R/C A R π = R – C

C π = 200Q – (20000 + 100Q)

π = 100 Q – 20000

BEP Q = 300

3 π = 100 . 300 – 20000

π = 10000

2 π > 0

R = 100 → π < 0

Q

100 200 300

Fungsi Non Linier (Fungsi yang bukan termasuk linier)

Fungsi yang termasuk linier

Pada bidang usaha yang paling banyak dipakai adalah parabola.

Parabola juga termasuk persamaan yaitu persamaan angka.

Juga termasuk fungsi yaitu fungsi pangkat 2.

Parabola

y = ax2 + bx + c

puncak (x,y) → −b20

+ −D4 a

√−¿¿ = bilangan imajiner

symetri x = −b2a

imajiner = tidak punya akar-akar

y = −D4 a

tidak bisa dikerjakan

Parabola dapat memotong sumbu x Parabola memotong sumbu y

y

x

harga yang paling besar :

max / ekstreem (+) → puncak / di atas

harga yang paling kecil :

min / ekstreem (-) → di bawah

Contoh :

1. Diketahui : y = x2 + 4x + 4

Ditanyakan : Sumbu simetrinya berapa?

Puncaknya dimana? Ekstreem (+) / (-)?

Jawab :

Sumbu simetri = −b2a

= 4

2.1 = 2

y = −D4 a

= - b2−4ac

4 a

y = - 16−4.1.4

4.1 = -

04

= 0

Titik potong dengan sumbu x → y = 0

y = x2 – 4x + 4

0 = x2 – 4x + 4

0 = (x – 2) (x – 2)

x1 = 2

x2 = 2 (2,0)

Titik potong dengan sumbu y → x = 0

y = 02 – 4.0 + 4

y = 4 (0,4)

Fungsi ini bukan merupakan fungsi parabola.

2. y = x2 – 6x + 2

Sumbu simetri = −b2a

= 6

2.1 = 3

y = −D4 a

= - b2−4ac

4 a

y = - 36−8

4 = -

284

y = -7

Ekstreem min = (3, -7)

Titik potong dengan sumbu x → y = 0

0 = x2 – 6x + 2

x1.2 = −b±√b2−4 ac2a

x1.2 = −(−6)±√(−6)2−4.1.2

2.1

x1.2 = 6±√36−8

2

x1.2 = 6±√28

2

x1.2 = 6±5,29

2

x1 = 6+5,29

2 = 11,29

2 = 5,645

x2 = 6−5,29

2 = 0,71

2 = 0,35

Titik potong sumbu y → x = 0

y = 2 y

2

0,35 3 5,645 x

-7 Eks (3,-7)

y = x2 – 6x + 2

y = x2 – 6x + 9 – 9 + 2

y = (x – 3)2 – 7

x – 3 = 0 → x = 3

Eks (3,-7) -b dibagi 2 dikuadratkan

Soal :

Tentukan ekstrim dan jenisnya serta gambarnya.

a. y = x2 + 6x – 2

b. y = 3x2 – 30x + 77

c. x = y2 – 12y + 35

d. x = -2y2 + 24y – 60

Jawaban :

a. Diketahui : y = x2 + 6x – 2

Ditanyakan : Ekstrim? Jenis? Gambar?

Jawab :

Sumbu simetri = −b2a

= −62.1

= -3

y = −D4 a

= - b2−4ac

4 a

y = - (6)2−4.1 .(−2)

4.1

y = - 36+8

4 = - 444 = -11

Ekstrimnya : (-3,-11)

Titik potong dengan sumbu x → y = 0

0 = x2 + 6x – 2

x1.2 = −b±√b2−4 ac2a

x1.2 = −(6)±√(6)2−4.1.(−2)

2.1

x1.2 = −6±√36+8

2

x1.2 = −6±√44

2 =

−6±6,632

x1 = −6−6,63

2 = −12,63

2 = -6,315

x2 = −6+6,63

2 = 0,63

2 = 0,315

Titik potong sumbu y → x = 0

y = 02 + 6.0 – 2

y = -2

Jenisnya : ekstrim minimum

Gambar :

y

x -6,315 -3 -0,315

-2

-11Eks (-3,-11)

b. Diketahui : y = 3x2 – 30x + 77

Ditanyakan : Ekstrim? Jenis? Gambar?

Jawab :

Sumbu simetri = −b2a

= 302.3

= 306

= 5

y = −D4 a

= - b2−4ac

4 a

y = - (−30)2−4.3 .77

4.3

y = - 900−924

12 = - −2412 = 2

Ekstrimnya : (5,2)

Misalnya x = 4, maka Misalnya x = 6, maka

y = 3(4)2 – 30.4 + 77 y = 3(6)2 – 30.(6) + 77

y = 48 – 120 + 77 y = 108 – 180 + 77

y = 5 (4,5) y = 5 (6,5)

Jenisnya : ekstrim minimum

Gambar :

y

5

2 Eks (5,2)

x 4 5 6

c. x = y2 – 12y + 35

Ditanyakan : Ekstrim? Jenis? Gambar?

Jawab :

Sumbu simetri = −b2a

= 122.1

= 6

x = −D4 a

= - b2−4ac

4 a

x = - (−12)2−4.1 .35

4.1

x = - 144−140

4 = - 44 = -1

Ekstrimnya : (-1,6)

Titik potong dengan sumbu y → x = 0

0 = y2 – 12y + 35

0 = (y – 5) (y – 7)

y – 5 = 0 y – 7 = 0

y = 5 (0,5) y = 7 (0,7)

Misalnya y = 4, maka Misalnya y = 8

x = 42 – 12.4 + 35 x = 82 – 12.8 + 35

x = 16 – 48 + 35 x = 64 – 96 + 35

x = 3 (3,4) x = 3 (3,8)

Jenisnya :

Gambar :

y

8

7

Eks (-1,6) 6

5

4

-1 3 x

d. x = -2y2 + 24y – 60

Ditanyakan : Ekstrim? Jenis? Gambar?

Jawab :

Sumbu simetri = −b2a

= −24

2.(−2) = 6

x = −D4 a

= - b2−4ac

4 a

x = - (24)2−4. (−2 ) .60

4.(−2)

x = - 576−48 0

−8 = - 96−8 = 12

Ekstrimnya : (12,6)

Titik potong dengan sumbu y → x = 0

0 = -2y2 + 24y – 60

y1.2 = −b±√b2−4 ac2a

y1.2 = −(24 )±√(24)2−4. (−2 ) .60

2.(−2)

y1.2 = −24±√576−480

−4

y1.2 = −24±√96

−4 =

−24±9,8−4

y1 = −24+9,8

−4 = −14,2

−4 = 3,55

y2 = −24−9,8

−4 = −33,8

−4 = 8,45

Misalnya y = 3, maka Misalnya y = 9, maka

x = -2(3)2 + 24.3 – 60 x = -2(9)2 + 24.9 – 60

x = -18 + 72 – 60 x = -162 + 216 -60

x = -6 x = -6

Jenisnya :

Gambar :

y

9

8,45

6 Eks (12,6)

3,55

3

x

-6 12

TUGAS MERESUME

MATEMATIKA

NAMA : GHEA OCTAVIANA SARI

NIM : 5401410107

PRODI/JURUSAN : PKK S1/TATA BOGA

TEKNOLOGI JASA DAN PRODUKSI

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2011