Analisis Tridimensional 02 Estatico 2006

Sismo-Resistencia F. Copa P.

1

Captulo 6

ANALISIS SISMICO TRIDIMENSIONAL DE EDIFICIOS CON DIAFRAGMA RIGIDO

6.1 INTRODUCCION

El anlisis ssmico de edificios cuyas losas de piso horizontal se comportan como diafragmas rgidos y los

sistemas de prticos planos incluyen muros de cortante verticales, debido a ello el clculo puede simplificarse en el

nmero de grados de libertad solo si la losa se comporta como un diafragma rgido, es decir, se modela a dicha losa

como un cuerpo rgido lo que nos permite una simplificacin en el anlisis ssmico mediante una condensacin

cinemtica de los grados de libertad de una estructura en el espacio a un anlisis estructural tridimensional para

cargas laterales con tres grados de libertad por piso.

Asumiendo que cada losa es rgida en su propio plano, los componentes de los desplazamientos de cada

prtico, se relacionan geomtricamente, en cada nivel, con los del centro de masa en las direcciones (x, y, ), que

describen los desplazamientos lineales y el giro de torsin en planta, respectivamente. Para una estructura

tridimensional conformada por prticos planos con muros de cortante se forman las matrices de rigidez lateral de

cada prtico y, segn su posicin y geometra respecto al centro de masa, se ensambla la matriz de rigidez

tridimensional. Conociendo el vector de cargas ssmicas y calculando la inversa de la matriz de rigidez

tridimensional se encuentra el vector de los desplazamientos del centro de masa.

6.2 MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL DE OSCILACION DE PORTICOS PLANOS [KpK]

Esta matriz puede calcularse por diversos procedimientos, a saber: el mtodo de los desplazamientos o

rigidez y el mtodo de fuerzas o flexibilidades. En las referencias 21, 24, 26 y 30 se presentan algunos mtodos, de

ella se puede extraer el procedimiento siguiente:

La matriz de rigidez total de prtico plano [Ks], se obtiene en base al equilibrio de fuerzas de extremo de

barras de toda la estructura y se plantean 3 ecuaciones de equilibrio de fuerzas por nudo no se consideran las

reacciones en este equilibrio, dichas fuerzas de barra se expresan en funcin de las matrices de rigidez de cada

miembro y de sus desplazamientos y cargas equivalentes de extremo fijo. Para ello las matrices de fuerzas,

desplazamientos y cargas que estn en un sistema de coordenadas locales se transforman a un sistema de

coordenadas globales, en donde se estable una ecuacin matricial de equilibrio en donde el coeficiente de la matriz

de desplazamientos es la matriz de rigidez total de la estructura.

METODO DE LAS FLEXIBILIDADES PARA EL CLCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL.

Para la condicin de carga ssmica en el modelo de masa concentrada se considera que la cargas solo actan

en los nudos, por lo tanto, el vector de fuerzas de empotramiento perfecto no existe {FF} es decir, se iguala el vector

a {0}. En base a ello podemos encontrar la matriz de rigidez lateral del prtico k-simo por el mtodo de las

flexibilidades, o por el mtodo de la rigidez, tal como se ilustra en las figuras 20, 21, 22, 23, 24, 24a y 24b (tomado

de la Ref. 24). Asimismo se presenta la idealizacin de los prticos que incluyen muros de cortante o vigas de

cortante (tomado de la Ref. 21); Los desplazamientos totales se calculan por superposicin.

EJEMPLO DE MARCO PLANO CON MURO DE CORTE modelo respectivo

Co

lum

na

Viga

Viga

Viga

Viga

MURO

DE

CORTE


2

Zona

Rgida

0

0

F3=1Tn

0

F1=1Tn

0

0

43F3

13F3

23F3

33F3

0

0

F4=1Tn

0

11F1

21F1

31F1

0

F2=1Tn

0

Contorno de

Muro de Cortante0

Eje

Centroidal

41F1 0

24F4

14F4

34F4

44F4

32F2

12F2

22F2

42F2

Fig. 20 Procedimiento del mtodo de flexibilidad para encontrar la matriz de rigidez lateral de un marco plano.

La matriz de flexibilidad lateral se encuentra aplicando una fuerza unitaria en cada nivel por separado y se calcula

respuesta de la estructura de desplazamientos que produce. Y se obtiene un vector de desplazamientos para cada

fuerza unitaria y en este ejemplo como son 4 niveles se obtienen 4 vectores, con los cuales se ensambla la matriz de

flexibilidades

{D} = [] {F}

Donde:

D1 11 12 13 14 F1

D2 21 22 23 24 F2 Matriz de Rigidez [K] = []-1

D3 31 32 33 34 F3

D4 41 42 43 44 F4

1Tn

0

0

0

0

1Tn

0

0

0

0

1Tn

0

44

34

14

24

43

33

23

13

42

22

12

32

41

31

21

11

0

0

0

1Tn

Fig. 21 Procedimiento de flexibilidad para encontrar la matriz de rigidez lateral de un marco plano.


3

EL METODO DE LOS RIGIDECES PARA CALCULAR LA RIGIDEZ LATERAL.

K11 K12 K13 K14

[K] = K21 K22 K23 K24

K31 K32 K33 K34

K41 K42 K43 K44

DESPLAZAMIENTO

UNITARIO 4to NIVEL

DESPLAZAMIENTO

UNITARIO 3er NIVEL

DESPLAZAMIENTO

UNITARIO 2do NIVEL

DESPLAZAMIENTO

UNITARIO 1er NIVEL

D4,3=1

D4,3=-1

D3,2=1

D3,2=-1

D2,1=1

D2,1=D2=D1=-1

D1,0=D1-D0=1K14

K44

K24

K34

K13

K43

K21

K33

K12

K42

K22

K32

K11

K21

K31

K41

PISO1

1

1

11

2

3

4

Fig. 22 Aplicacin de desplazamientos unitarios para el clculo de la matriz de rigidez lateral de oscilacin.

El mtodo de desplazamientos o rigidez en principio consiste en restringir la estructura solo en los grados de libertad

de oscilacin, por ejemplo en la fig. 22 son 4 desplazamientos laterales debido a que son 4 pisos. Por tanto se han

dado 4 desplazamientos horizontales y las rigideces se calculan aplicando desplazamientos unitarios en cada nivel

por separado la fuerza necesaria para ello es la rigidez directa y las fuerzas en las tres restricciones laterales

Ejemplo de Aplicacin

Calcular la Matriz de Rigidez Lateral del prtico

por el mtodo de flexibilidades, que se muestran

en la Fig. 25.

DATOS DE LA ESTRUCTURA: Mdulo de elasticidad E = 2.1x106

Columnas: 30x40

Vigas: 30x30

Fig. 25a Clculo de la Matriz de Rigidez

Lateral del prtico tpico 4, 5 y 6.

Solucin

La matriz de rigidez lateral de este prtico tpico

se calcula por el mtodo de flexibilidades, para

ello vamos a utilizar el programa de anlisis de

marcos planos, que contempla tres grados de

libertad por nudo. Los prticos de un sistema

estructural en tres dimensiones estn conectados

por losas de entrepiso, que actan como

diafragmas rgidos, por consiguiente todos los

nudos de los prticos correspondientes a un piso

tienen el mismo desplazamiento horizontal. En

2

7

15

78

13

1

5

11

2

3.00

9

3

10

8

5

7

9

4

4

6

2

1

1

3.00

3.00

3.00

5

9

6

10

12 14 16

282624

22

12

21

15

3.00

3.0011 12

16

10

14

19

17

11

14

20

15

4

23

17

3

25

2019

27

13

18

13

8

3

6

18

GEOMETRIA Y GRADOS DE LIBERTAD DE LA ESTRUCTURA


4

consecuencia todos los nudos de un nivel tienen el mismo grado de libertad en la direccin x.

. ESTADO DE CARGAS # 4ESTADO DE CARGAS # 3ESTADO DE CARGAS # 2ESTADO DE CARGAS # 1

1 Tn

1 Tn

1 Tn

1 Tn

Fig. 25b Condiciones de carga sucesivas en forma consecutiva del mtodo de fuerzas o flexibilidades.

Si aplicamos fuerzas unitarias en el prtico en los grados de libertad de oscilacin lateral: 1, 2, 3 y 4, encontramos

para cada caso un vector de desplazamientos correspondiente. En la Fig. 25b se aprecian las cuatro condiciones de

carga aplicada, con las flexibilidades producidas para cada condicin de carga, encontramos la matriz de

flexibilidades. En la siguiente matriz se muestran los grados de libertad de oscilacin y los nudos en donde se

aplicaron las fuerzas unitarias.

MATRIZ DE FLEXIBILIDADES DEL PORTICO:

Columna de

estado de carga

Nudos

4321

4

3

2

1

4321

0.00056

0.00055

0.00052

0.00036

0.00153

0.00147

0.00123

0.00052

0.00255

0.00227

0.00147

0.00055

0.00345

0.00255

0.00153

0.00056

[ FF ] =

4 7 10 13

4

7

10

13

Grados de oscilacin

y la matriz inversa de [FF], representa la matriz de rigidez de oscilacin (lateral) [K], y sta es:

[ K ] =

-197.25

937.74

-2674.61

1882.89

1349.67

-4291.08

5896.83

-4623.17

6729.42

Simtrica

7700.52

1 2 3 4

1

2

3

4

11

21

31

41

12

22

32

42

13

23

33

43

1

14

24

34

1

44


5

6.3. ANALISIS TRIDIMENSIONAL DE EDIFICIOS DE UN SOLO NIVEL Para comprender mejor el desarrollo matricial posterior se presenta en este punto el anlisis tridimensional para una

estructura de un solo nivel que esta conformada por varios prticos planos. El vector de fuerza restauradora del

prtico. El vector de fuerza restauradora del prtico K se encuentra con la ecuacin.

FpK = KpK DPk (ec - 45)

Dx

Dy

Eje

p

rt

ico

K

ME

rd.Sen(F

PK

FE

Y

FEX

K

Ver Det. "A"

rd

Dy

Dx

i

C'

C

X'

X

Y

0'

rd.D

0C.M.

Fig. 26 Transformacin de coordenadas de desplazamientos y fuerzas laterales de un prtico plano a un sistema de

coordenadas en el centro de masas de la losa rgida (x,y,).

Asumiendo que la losa se comporta

como un diafragma rgido horizontal, se

deduce la relacin puramente geomtrica que

hay entre los desplazamientos, DpK, de los

prticos, con los desplazamientos del centro de

masa de la losa C.M. descrito por (Dx, Dy, D)

de la figura de arriba y a la derecha de esta

pgina podemos establecemos la siguiente

relacin para un prtico K:

DpK = DxcoK+DysenK+rdKDsen(k-K) (ec-46)

Donde rdK simboliza la distancia de un punto

cualquiera que donde por el eje del prtico K

al centro de masa, es el ngulo del prtico y

, es el ngulo del vector posicin rdK, ambos

ngulos se consideran respecto al eje x.

El vector de fuerzas restauradoras del

prtico K, es FpK con respecto al centro de

masas (ver Fig. 27) se encuentra por equilibrio

C

C'

rd.D

i

DY

DX

C'p

Dire

ccio

n de

rd

desp

laza

do y

rota

do

Dire

ccio

n de

rd

desp

laza

do

jp

ip

j

Dp=Dx.Cos+Dx.Cos+rd.D.Sen(-)

Dp

Componentes del vector de deformacin Dpk

DETALLE "A"

Dx.C

os

Dy.S

en

Eje

del p

rt

ico

K

rd.D.S

en

(

)


6

en las direcciones x, y, , alcanzando a ensamblar el vector total de fuerzas restauradoras para la estructura

tridimensional:

FEx cos K

{FE} = FEy = sen K FpK (47)

FE rdK sen (K - K)

La fuerza elstica del prtico K en funcin de su rigidez y desplazamiento lateral se puede expresar as:

Dx

FpK = KpK DpK = KpK coK senK rdKsen(k-K) Dy ( 47a)

D

Reemplazando en la ec-47, se tiene

FEpx cosK Dx

FEpy = KpK senK coK senK rdKsen(k-K) Dy (ec-47b)

FEp rdKsen(k-K) D

FP

K

rd.Sen(

FEXC.M.

ME

FE

Y

0

rd

Eje

p

rt

ico

K

X

C

Y

Fig. 27 Traslacin de la fuerza restauradora del prtico k al centro de masas C.M.

Efectuando el producto matricial de la ecuacin anterior, se logra expresar la fuerza del prtico K en coordenadas

respecto al centro de masas (C.M.) y adems solo esta en funcin de los desplazamientos del C.M. (Dx, Dy, D)

FEpx cos2K cosKsenK rdK cosKsen(K-K) Dx

FEpy = KpK senKcosK sen2K rdK senKsen(K-K) Dy (ec-47b)

FEp rdKcosKsen(K-K) rdKsenKsen(K-K) rdK2 sen2(K-K) D

Expresando en forma compacta, la fuerza restauradora del prtico K con respecto al centro de masas, as tenemos:

{FEpK

} = [KK] {D}

De donde la matriz de rigidez total de la estructura se obtiene mediante la sumatoria de las matrices de fuerzas de

todos los prticos en coordinas globales respecto al C.M. de todos los prticos de la estructura:

N P O R

{FE} = {F

EpK} (ec-48a)

K=1


7

Siendo [K] la matriz de rigidez tridimensional de toda la estructura y, [KK] la matriz de rigidez de un prtico K

respecto al centro de masa.

cos2K cosKsenK rdKcosKsen(K-K)

[KK] = KpK senKcosK sen2K rdKsenKsen(K-K) (ec-47b)

rdKcosKsen(K-K) rdKsenKsen(K-K) rdK2sen2(K-K)

6.4. ANALISIS TRIDIMENSIONAL DE EDIFICIOS DE VARIOS NIVELES

El vector de fuerzas restauradoras {FEPK

} de un prtico K es:

{FEPK

} = [KPK

] {DPK

} (ec-48)

Donde, [KPK

] es la matriz de rigidez lateral de prtico y, {DEPK

} es el respectivo vector de desplazamientos

laterales, expresando en forma matricial y en funcin de los desplazamientos del centro de masa {Dx}, {Dy}, {D}

que est dado por:

{DPK

} = [cosK] {Dx} + [sen

K] {Dy} + [rd

K] [sen (

K-

K)] {D} (ec-49)

Donde la matriz [rdK] simboliza la distancia que hay entre el prtico K con respecto al centro de masa y, [cos

K],

[senK], y [sen(

K-

K)] son matrices de direccin de los prticos y el vector posicin. Cuya estructura matemtica es:

1 0 0 ...... 0 0

0 0 ...... 0

0 1 0 ...... 0 0 1 0 ...... 0

[cosK] = 0 0 1 ...... 0 cosK , [senK] = 0 0 1

...... 0 sen K

. . . ...... . . . . ...... .

0 0 0 ...... 1 K 0 0 0 ...... 1 K

1 0 0 ...... 0 0

0 0 ...... 0

0 1 0 ...... 0 0 1 0 ...... 0

[rdK] = 0 0 1 ...... 0 rdK , [sen(K - K)] = 0 0 1 ...... 0 sen(K - K)

. . . ...... . . . . ...... .

0 0 0 ...... 1 K 0 0 0 ...... 1 K

Matriz de rigidez lateral del prtico K-simo.

k11 k12 k13 .... k1M

k21 k22 k23 .... k2M

[kpK] = k31 k32 k33 .... k3M

. . . .... .

kM1 kM2 kM3 .... kMM K

Donde: M = nmero de pisos.

Las componentes en las direcciones x, y, del vector de fuerzas laterales de un prtico K-simo con

respecto al centro de masas, se encuentran por equilibrio esttico y se expresan en funcin de las matrices definidas

ms arriba.

{FEKx} [cosK] [KPK] {DPK}

{FeK} = {FEKy} = [senK] [KPK] {DPK} (ec-50)

{FEK} 3Mx1 [rdK] [sen(K - K )] [KPK]{DPK} 3Mx1

El vector total de fuerzas restauradoras de todos los prticos planos {FEK}, se encuentra sumando las fuerzas

restauradoras de los prticos, as pues:

N POR N POR


8

{FE} = {FEK} = [K] {D} = [KK] {D} (ec-51)

K=1 K=1

{FEy} N POR {Dx}

{FE} = {FEx} = [KK] {D} , {D} = {Dy} (ec-52)

{FE} 3Mx1 K=1 {D} 3Mx1

Donde [KK] representa la a matriz de rigidez tridimensional del prtico K (simtrica) y est dada por la expresin:

[KPK]cos2K [KPK]cosKsenK [KPK]rdKcosKsen(K-K)

[KK] = [KPK]senKcosK [KPK]sen2K [KPK]rdKsenKsen(K-K) (ec-53)

[KPK]rdKcosKsen(K-K) [KPK]rdKsenKsen(K-K) [KPK]rdK2sen2(K-K) 3Mx3M

De la ecuacin (51) se deriva la matriz de rigidez tridimensional de toda la estructura.

N POR

[K] = [Kk] (ec-54)

K = 1

6.4.1 CENTRO DE RIGIDEZ RESPECTO AL CENTRO DE MASAS.

El centro de rigidez se calcula en base a los siguientes algoritmos: (ecuaciones 51 a 53).

N POR -1 N POR

{xR} = [KPK]cos2K [KPK]{1} rdKcosKsen(K - K) K = 1 K = 1

N POR -1 N POR

{yR} = [KPK]sen2K [KPK]{1} rdKsenKsen(K - K) K = 1 K = 1

6.4.2 PROCEDIMIENTO DE CALCULO.- se resume en los siguientes pasos:

1. Se ensambla el vector de cargas en el CM considerando las direcciones de los 3 GDL por nivel, (Dx,Dy,D).

Es decir, se ensambla el vector de cargas inerciales por nivel {F}3M x 1, y por equilibrio de fuerzas en

componentes horizontales y momentos torsores en planta, se tiene: {FE}3M x 1 = {F}3M x 1

3. Se ensamblan las matrices de rigidez lateral de todos los prticos y sus vectores de: posicin, ngulos de los

prticos y y ngulos del vector posicin. Con esta informacin se procede a encontrar la matriz de rigidez

tridimensional [KK], de cada prtico, la cual se forma en base a la ecuacin (53), y sumando todas las

rigideces de los prticos, se calcula la matriz de rigidez tridimensional de la estructura [K], (ec-54).

4. En base al procedimiento descrito anteriormente se halla el vector de desplazamientos del centro de masas

de cada nivel {D}. Una vez establecida la matriz de rigidez tridimensional, [K], se procede a calcular su

matriz inversa y multiplicndola por el vector de cargas inerciales {F} encontramos el vector de

desplazamientos del C.M. {D}, es decir:

{D}3M x 1 = [K] -1 M x M {F}M x 1

5. Una vez encontrado el vector de desplazamientos {D} del CM, se procede al clculo de los

desplazamientos laterales {DpK} de de cada prtico K, mediante la siguiente ecuacin (49), es decir:

{DpK} M x 1 = [cosK] {Dx} + [sen K ] {Dy} + [rdK] [sen ( K - K ) ] {D}

6. Este vector pre multiplicando por su respectiva matriz de rigidez lateral de prtico [KpK], nos proporciona el

vector de fuerzas que el prtico K-simo adsorbe de toda la carga inercial por piso:

{FEK}M x 1 = [Kp K]M x M {DpK}M x 1

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