UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERUFACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

ANLISIS SSMICO ESTTICO Y DINMICOIng. Ronald Santana TapiaDOCENTE ASOCIADO

2009-2

Mtodos de AnlisisMTODOS: - DINMICO: MODAL ESPECTRAL TIEMPO HISTORIA FUERZAS ESTTICAS EQUIVALENTES

- ESTTICO:

EJEMPLO ILUSTRATIVO: Para el sistema de 3 niveles de concreto armado mostrado en la figura, determine: 1. El Vector de Desplazamientos. 2. El Vector de Fuerzas Inerciales. 3. El Vector de Fuerzas Cortantes. 4. El Vector de Momentos de Volteo. Por los mtodos siguientes: - Anlisis dinmico (modal espectral). - Anlisis esttico (fuerzas estticas equivalentes).

W 3 = 400 ton

K3 = 315 ton/cm

3.0 m

W 2 = 440 ton

K2 = 270 ton/cm

3.50 m

W 1 = 500 ton

K1 = 325 ton/cm

4.30 m

ANLISIS DIRECCIN DEL SISMO X-X

Para ambos anlisis se har uso del Cdigo Peruano de Diseo Sismo Resistente. (NTE-E.030). DATOS: UBICACIN USO SISTEMA SUELO : : : : Lima. Pueblo Libre. Oficinas. Mixto (Dual). Tipo S1. Suelo sobre el que se cimentar.

Mtodo Dinmico1. FORMULACIN MATRICIAL PARA EL ANLISIS DINMICO m1 = W1 / g = 500 / 981 = 0.507 ton-seg / cm. m2 = W2 / g = 440 / 981 = 0.449 ton-seg / cm. m3 = W3 / g = 400 / 981 = 0.408 ton-seg / cm.

m 1 0 ?MA! 0 m 2 0 0

0 0.507 0 0 0 ! 0 0.449 0 m3 0 0 0.408

k 1 k 2 ?K A! k 2 0

k2 k2 k3 k3

0 595 270 0 k 3 ! 270 585 315 k3 0 315 315

2. CLCULO DE LOS PERODOS Y FORMAS DE MODO DE VIBRACIN De la ecuacin dinmica:

?K A_ a! .i

2 i

.?M A .

_ai

Aplicando los mtodos iterativos de Stodola y Holtzer el programa de cmputo JACOBI se obtuvo.

[1 ! 11.770 rad / seg.,

T1 ! 0.534 seg.,

_a J1

1.0 ! 1.944 .369 2 1.0 ! 0.259 0.758 1.0 ! 1.691 .003 1

[ 2 ! 32.182 rad / seg.,

T2 ! 0.195 seg.,

_a J2

[ 3 ! 45.545 rad / seg.,

T3 ! 0.138 seg.,

J _a3

3. CLCULO DE LOS FACTORES DE PARTICIPACIN MODAL ( FPMi )FPM iMODO : 1 0 .507 ? .0 1.944 2.369A0.449 1 . .408 0 2.346 FPM 1 ! ! ! 0.523 (52.3%) 4.482 0 0 1.0 0.507 0 ..944 ? .0 1.944 2.369A 1 . 0.449 0 1 0 0.408 .369 2 0

J m _ a ._ a ! _ a .?MA._ a J Ji T i T i

n

En General : FPM i !E !1 n E !1

J iE . m Ei2 E

JMODO : 2

. mE

FPM 2 !

1.0 x 0.507 0.259 x 0.449 ( 0.758) x 0.408 ! 0.407 ( 40.7%) 2 2 2 1.0 x 0.507 0.259 x 0.449 ( 0.758) x 0.408

MODO : 3 1.0 x 0.507 ( 1.691) x 0.449 1.003 x 0.408 ! 0.071 (7.1%) 2 2 2 1.0 x 0.507 ( 1.691) x 0.449 1.003 x 0.408

FPM 3 !

Adems:

FPM1 + FPM2 + FPM3 = 1.0 (100%)

4. CLCULO DE LA ACELERACIN ESPECTRAL: (Sai ) NORMA: (NTE-E0.30) Sai = Z U S Ci . g (1) R

Parmetros Ssmicos: Z = 0.4 U = 1.0 S = 1.0 R = 7.0 (Lima) (Oficinas) (Suelo rgido) Tp = 0.4 seg. (Sistema Mixto o Dual) , C 2.5

Ci = 2.5 Tp Ti Adems:

C/R 0.125

MODO : 1 T1 ! 0.534 seg., 0.4 C1 ! 2.5 ! 1.873 e 2.5 , 0.534 OK!

En (1) :

Sa1 !

0.4 x 1.0 x 1.0 x 1.873 x 981 ! 104.995 cm / seg 7

MODO : 2 T2 ! 0.195 seg., 0.4 C2 ! 2.5 ! 5.128 " 2.5 , 0.195 @ C 2 ! 2.5

En (1) :

Sa 2 !

0.4 x 1.0 x 1.0 x 2.5 x 981 ! 140.143 cm / seg 7

MODO : 3 T3 ! 0.138 seg ., 0.4 C3 ! 2.5 ! 7.246 " 2.5 , 0.138 @ C 3 ! 2.5

En (1) :

Sa3 !

0.4 x 1.0 x 1.0 x 2.5 x 981 ! 140.143 cm / seg 7

ACELERACION ESPECTRAL (Sa)PARA CADA MODO DE VIBRACION DE LA ESTRUCTURA

DATOS: Z U S R Tp0.4 1.0 1.0 7.0 0.4Lima Oficinas Suelo Rgido Sistema Dual Perodo del suelo S1

FORMULAS:

Sa = ZUSC * g R Tp C ! 2.5 T , C e 2.5

ACELERACIN ESPECTRAL: T (seg) 0.00 0.10 0.20 0.30 0.35 0.38 0.39 0.40 0.41 0.45 0.50 0.55 0.60 0.70 C 2.500 2.500 2.500 2.500 2.500 2.500 2.500 2.500 2.439 2.222 2.000 1.818 1.667 1.429 Sa (cm/seg) 140.143 140.143 140.143 140.143 140.143 140.143 140.143 140.143 136.725 124.571 112.114 101.922 93.429 80.082 RESULTADOS DE "Sa" (cm/seg2) MODO T (seg) C Sa 1 0.534 1.873 104.976 2 0.195 2.500 140.143 3 0.138 2.500 140.143 4 0.000 #DIV/0! #DIV/0! 5 0.000 #DIV/0! #DIV/0! 6 0.000 #DIV/0! #DIV/0! 7 0.000 #DIV/0! #DIV/0! 8 0.000 #DIV/0! #DIV/0!

ESPECTRO TERICO (NTE - E.030) Sa vs. T160 140 120 100 80 60 40 20 0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Sa (cm/seg)

T (seg)

5. CLCULO DEL VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS

_ai

Sa i X ! FPM i . 2 . Ji [i

_a0 .396 cm 0.771 cm .939 cm 0

MODO 1:

_a X1

1 . 0 104.995 ! 0.523 . . 1.944 ! 11.770 2 .369 2

MODO 2 :

_ a X2

1. 0 140.143 ! 0.407 . . 0.259 ! 32.182 2 0.758

0.055 cm 0.014 cm 0.042cm

MODO 3 :

_ a X3

1 .0 104.995 ! 0.071. . 1.691 ! 45.545 2 .003 1

0.005 cm 0.008 cm 0.005 cm

COMBINACI N MODAL : X _ a! 0.25

X 0.75

i

X

i 2

.......... ........( 1)

0.396 0.055 0.005 X i ! 0.771 0.014 0.008 0.939 0.042 0.005

!

0 .456 cm 0.793 cm .986 cm 0

X

i

2

0.396 2 0.055 2 0.005 2 ! 0.771 2 0.014 2 0.008 2 0.939 2 0.042 2 0.005 2

!

0 .400 cm 0.771 cm .940 cm 0

En (1) : 0 0 .400 .456 _ a ! 0.25 .793 0.75 .771! X 0 0 .940 .986 0 0 0 .414 cm 0.776 cm .952 cm 0

NORMA: (NTE - E.030) Los desplazamientos obtenidos del anlisis elstico, debern corregirse por 0.75R.

Estructuras en General:Tomar:

R=R R=R

: Para estructuras regulares, : Para estructuras irregulares.

Para nuestro caso el sistema es mixto y regular, por consiguiente: R = (R = 7).

0 2 .414 .174 cm _Xa! 0.75 ( 7 ) . 0.776 ! 4.074 cm .952 .998cm 0 4

4.998 cm 0.924 cm 3.0 m 4.074 cm 1.9 cm 3.50 m 2.174 cm 2.174 cm

4.30 m

ANLISIS DIRECCIN DEL SISMO X-X

VERIFICACIN: Desplazamientos Laterales xi 0.007 hi Primer Piso: 2.174 cm 0.007 (430) = 3.01 cm Segundo Piso: 1.900 cm 0.007 (350) = 2.450 cm Tercer Piso: 0.924 cm 0.007 (300) = 2.100 cm

OK!

OK!

OK!

6. CLCULO DEL VECTOR DE FUERZAS SSMICAS

_F a! FPM . Sa . ( mi i i

E

. JiE )

MODO 1 :

_F a1

0 .507 x 1.000 ! 0.523 x 104.995 . 0.449 x 1.944 ! .408 x 2.369 0

27 .841 ton 47.931 ton .076 ton 53

MODO 2 :

_F a2

0.507 x 1.000 ! 0.407 x 140.143 . 0.449 x 0.259 ! .408 x 0.758 0

28.918 ton 6.633 ton 17.640ton

MODO 3 :

_F a3

0.507 x 1.000 ! 0.071 x 140.143 . 0.449 x 1.691 ! 0.408 x 1.003

5.045 ton 7.555 ton 4.072 ton

COMBINACI N MODAL :

_Fa! 0.25

F

i

0.75

F

i

2

Fi

61 .804 ! 62.119 .788 74

ton ton ton

,

Fi

2

40 .458 ! 48 .974 .079 56

ton ton ton

F3 = 60.756 ton

F2 = 52.260 ton

@

45 .795 ton _F a ! 52.260 ton .756 ton 60

F1 = 45.795 ton

7. CLCULO DEL VECTOR DE FUERZAS CORTANTES

_V a! ?SA. _F ai i

En donde: S = Matriz cuadrada, diagonal superior con unos de coeficientes.

MODO 1:

_V a1

1 1 1 27.841 ! 0 1 1 . 47.931 ! 0 0 1 .076 53

128 .848 101.007 53.076

ton ton ton

MODO 2 :

_V a2

1 1 1 28.918 ! 0 1 1 . 6.633 0 0 1 17.640

!

17.911 11.007 17.640

ton ton ton

MODO 3 :

_V a3

1 1 1 5.045 ! 0 1 1 . 7.555 0 0 1 4.072

!

1.562 3.483 4.072

ton ton ton

COMBINACI N MODAL :

_V a !

0.25

V i 0.75

Vi

2

Vi

147 .473 ! 115.497 74.788

ton ton ton

,

Vi

2

129 .257 ! 101 .665 56.079

ton ton ton

V3 = 60.756 ton

@

133 .811 ton _V a ! .123 ton 105 60.756 ton

V2 = 105.123 ton

V1 = 133.811 ton

8. CLCULO DEL VECTOR MOMENTOS DE VOLTEO

_M a! ?H A. _V ai i

En donde: H = Matriz cuadrada, diagonal superior cuyos coeficientes corresponden a los valores de las alturas de los entrepisos.

MODO 1 :

_M a1

128 4.30 3.50 3.0 .848 3.50 3.0 . 101 .007 ! 0 0 0 3.0 53.076

!

1066.799 512 .753 159 .228

ton m ton m ton m

MODO 2 :

_M a2

4.30 3.50 3.0 17.911 ! 0 3.50 3.0 . 11.007 0 0 3.0 17.640

!

14.427 91.445 52.920

ton m ton m ton m

MODO 3 :

_M a3

4.30 3.50 3.0 1.562 ! 0 3.50 3.0 . 3.483 0 0 3.0 4.072

!

6.742 0.026 .216 12

ton m ton m ton m

COMBINACIN MODAL :

_M a !

0.25

M i 0.75

Mi

2

1087 .968 M i ! 604.224 224.364

ton m ton m ton m

,

Mi

2

1066 .918 ! 520.843 168 .236

ton m ton m ton m

M3 = 182.268 ton-m

@

1072.181 ton m _M a ! 541.688 ton m 182.268 ton m

M2 = 541.688 ton-m

M1 = 1072.181 ton-m

Mtodo Esttico1. CLCULO DEL CORTANTE BASAL: VZ .U.S . C . PT R

V!

....... (1)

En donde: Z = 0.4 U = 1.0 S = 1.0 R=7

(Lima) (Oficinas) (Suelo rgido) (Sistema Mixto)

Tp = 0.4 seg.

C = 2.5 (Tp / T ), Adems:

C 2.5

C / R 0.125 T = hn / CT (Perodo fundamental)

hn = 4.30 + 3.50 + 3.0 = 10.80 m (Altura total del edificio) CT = 45 (Sistema mixto)

@

T = 10.80 / 45 = 0.24 seg.

C = 2.5 (0.4 / 0.24 ) = 4.167 > 2.5

@

C = 2.5

PT = W1 + W2 + W3 = 500 + 440 + 400 (Peso total del edificio)

@

PT = 1340 ton

Reemplazando en (1): V = 0.4 x 1.0 x 1.0 x 2.5 . PT = 0.143 PT 7 (14.3% PT)

@

V = 191.429 ton

2. DISTRIBUCIN DE V EN ALTURA

Fi !

w i . hi

w .hi 1

n

. Vi

V = 191.429 ton.NIVEL 1 2 3 TOTAL

; Fuerza Horizontal en la Base del Edificio.

wi(ton) 500 440 400 1340

hi(m) 4.3 7.8 10.8 -

wi . hi(ton-m) 2150 3432 4320 9902

Fi(ton) 41.565 66.349 83.516 191.430

Vi(ton) 191.430 149.865 83.516 -

3. VECTOR DE FUERZAS SSMICASF3 = 83.516 ton

F2 = 66.349 ton

@

41 .565 _F a ! 66.349 .516 83

ton ton ton

F1 = 41.565 ton

4. VECTOR DE FUERZAS CORTANTES

V3 = 83.516 ton

@

191 .430 _V a ! .865 149 83.516

ton ton ton

V2 = 149.865 ton

V1 = 191.430 ton

5. VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS(Xi ! Vi , Ki Xi ! Xi 1 (Xi

NIVEL 1 2 3

Vi(ton) 191.43 149.865 83.516

Ki(ton/cm) 325 270 315

Xi(cm) 0.589 0.555 0.265

Xi(cm) 0.589 1.144 1.409

NORMA: (NTE - E.030) De igual manera, los desplazamientos obtenidos por este mtodo, debern corregirse por 0.75R para obtener los desplazamientos reales.

0 .589 _ a ! 0.75 ( 7 ) . .144 ! X 1 .409 1

3 .092 cm 6.006 cm .397 cm 7

7.397 cm 1.391 cm 3.0 m 6.006 cm 2.914 cm 3.50 m 3.092 cm 3.092 cm

4.30 m

ANLISIS DIRECCIN DEL SISMO X-X

VERIFICACIN: Desplazamientos Laterales xi 0.007 hi Primer Piso: 3.092 cm 0.007 (430) = 3.01 cm Segundo Piso: 2.914 cm 0.007 (350) = 2.450 cm Tercer Piso: 1.391 cm 0.007 (300) = 2.100 cm

NO CUMPLE!

OK!

OK!

Comentario: Para el desplazamiento lateral del Primer Piso, no cumple con la Norma, por lo tanto debe rigidizarse ms la estructura e n dicha direccin d e an lisis. Para el anlisis dinmico: Para el anlisis esttico : 2.174 cm 3.01 cm 3.092 cm 3.01 cm

Podemos mencionarse que, en cuanto al anlisis esttico, la diferencia es ajustada. Respecto al anlisis dinmico cumple sobradamente. Por lo tanto, la d ec isi n d e r e est ruc t ur ac i n y r ec lc ul o , es exclusivamente del diseador, si queremos ser ms conservadores.

6. VECTOR DE MOMENTOS DE VOLTEO

_M a! ?H A. _V ai i

En donde: H = Matriz cuadrada, diagonal superior cuyos coeficientes corresponden a los valores de las alturas de los entrepisos.

191 4.30 3.50 3.0 .430 _M a ! 0 3.50 3.0 . 149 .865 0 0 3.0 83.516

M3 = 250.548 ton-m

M2 = 775.076 ton-m

@

1598 .225 _M a ! 775.076 250 .548

ton m ton m ton m M1 = 1598.225 ton-m