Embed Size (px)
Citation preview
ANALISIS KEBERADAAN PARADOKS DALAM MASALAH
TRANSPORTASI KLASIK
MUHAMMAD MUHLIS AL KAUTSAR
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Analisis Keberadaan
Paradoks dalam Masalah Transportasi Klasik adalah benar karya saya dengan
arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada
perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya
yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam
teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juni 2016
Muhammad Muhlis Al Kautsar
NIM G54120062
ABSTRAK
MUHAMMAD MUHLIS AL KAUTSAR. Analisis Keberadaan Paradoks dalam
Masalah Transportasi Klasik. Dibimbing oleh BIB PARUHUM SILALAHI dan
FARIDA HANUM.
Masalah transportasi klasik merupakan permasalahan yang cukup sering
dijumpai. Banyak yang sudah meneliti dan menerapkan metode-metode dalam
memecahkan masalah tersebut. Pada dasarnya masalah transportasi bertujuan
meminimumkan biaya pengiriman, dan semakin banyak volume pengiriman maka
semakin besar pula biaya pengirimannya. Namun dalam kasus khusus, yang
terjadi adalah kebalikannya, yaitu semakin banyak volume pengiriman maka
biayanya justru semakin kecil. Dalam karya ilmiah ini akan dipakai dual dari
masalah transportasi klasik untuk mengetahui syarat terjadinya paradoks dan batas
penambahan kiriman barang agar paradoks tetap ada. Namun sebelumnya juga
akan dibahas karakterisasi matriks imun sebagai penentu bisa atau tidaknya suatu
masalah transportasi memiliki paradoks.
Kata kunci: dual, masalah transportasi klasik, matriks imun, paradoks transportasi
ABSTRACT
MUHAMMAD MUHLIS AL KAUTSAR. Analysis of Paradox Existence in
Classical Transportation Problem. Supervised by BIB PARUHUM SILALAHI
and FARIDA HANUM.
Classical transportation problem is a common problem that is usually
discovered in real life. Many has researched and applied methods to solve this
problem. Originally, transportation problem aims to minimize the transportation
cost, and if the shipment volume increases then the transportation cost increases
too. However, in a certain case the result is the opposite, that is an increase in the
shipment volume will decrease the transportation cost. In this paper, the dual of
the classical transportation problem was examined to investigate the sufficient
condition of the occurence of the paradox as well as the additional shipment’s
upper bound so that the paradox still exists. But before that, a necessary and
sufficient condition for a matrix to be immune was discussed as an indicator
whether a transportation problem can have a paradox or not.
Keywords: classical transportation problem, dual, immune matrix, transportation
paradox
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
ANALISIS KEBERADAAN PARADOKS DALAM MASALAH
TRANSPORTASI KLASIK
MUHAMMAD MUHLIS AL KAUTSAR
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
Judul Skripsi: Analisis Keberadaan Paradoks dalam Masalah Transportasi Klasik Nama :Muhammad Muhlis AI Kautsar NIM : G54120062
Disetujui oleh
..,�
y Dr Ir Bib Panill«.m Silalahi, MKom Dra Farida Ranum, MSi
Tanggal Lulus: 0 1 JUL 2016
Pembimbing II
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan September 2015 ini ialah
masalah transportasi, dengan judul Analisis Keberadaan Paradoks dalam Masalah
Transportasi Klasik.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Ir Bib Paruhum Silalahi,
MKom dan Ibu Dra Farida Hanum, MSi selaku pembimbing, serta Bapak Drs
Prapto Tri Supriyo, MKom yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima
kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, serta seluruh keluarga, atas segala doa
dan kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juni 2016
Muhammad Muhlis Al Kautsar
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL viii
DAFTAR GAMBAR viii
DAFTAR LAMPIRAN viii
PENDAHULUAN 1
Latar Belakang 1
Tujuan Penelitian 1
LANDASAN TEORI 2
Pemrograman Linear 2
Teori Graf 3
Masalah Transportasi Klasik 6
PEMBAHASAN 7
Karakterisasi Matriks Imun 7
Syarat Cukup Terjadinya Paradoks 12
Batas Penambahan 13
SIMPULAN 17
DAFTAR PUSTAKA 18
RIWAYAT HIDUP 29
DAFTAR TABEL
1 Solusi dual awal sebelum penambahan 13
2 Solusi dual setelah penambahan 14
3 Solusi dual setelah penambahan 4 barang 14
4 Solusi dual ilustrasi degenerasi 16
5 Solusi dual ilustrasi matriks imun dan tidak ada paradoks 16
6 Solusi dual ilustrasi perubahan vektor dan 17
DAFTAR GAMBAR
1 Ilustrasi network sebelum dekomposisi flow 5 2 Ilustrasi network setelah adanya dekomposisi flow 5
DAFTAR LAMPIRAN
1 Contoh paradoks transportasi 19
2 Solusi ilustrasi sebelum penambahan 21
3 Solusi ilustrasi kasus degenerasi 23
4 Solusi ilustrasi matriks imun dan tidak ada paradoks 25
5 Solusi ilustrasi perubahan vektor dan 27
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Masalah transportasi klasik pertama kali diformulasikan oleh Hitchcock
pada tahun 1941. Permasalahan ini sering dijumpai pada kehidupan sehari-hari,
seperti penentuan rute terpendek, atau meminimumkan biaya pengiriman barang.
Sebelumnya, masalah transportasi juga sudah diteliti oleh beberapa orang, salah
satunya adalah penelitian yang dilakukan oleh Tolstoi pada tahun 1930.
Sampai saat ini, sudah banyak metode yang digunakan untuk
menyelesaikan permasalahan tersebut. Pada tahun 1951, Dantzig telah
memberikan bentuk umum pemrograman linear masalah transportasi dan
menerapkan metode simpleks untuk menyelesaikannya. Sudah banyak juga
program komputer yang dapat memberikan solusi optimal masalah transportasi
seperti Lingo dan Excel.
Secara umum, dalam masalah transportasi semakin banyak pengiriman
barang maka biaya pengirimannya juga semakin besar; namun ada sebuah kasus
di mana penambahan kiriman barang justru akan mengurangi biaya pengiriman.
Kasus ini disebut sebagai paradoks transportasi atau the more for less paradox.
Belum jelas kapan dan oleh siapa paradoks ini pertama kali ditemukan. Kasus ini
juga jarang dibahas dalam buku-buku. Ada yang menganggap bahwa kasus ini
hanya secara teori saja dan tidak akan terjadi dalam situasi sebenarnya karena
sebagian besar pekerja atau pengajar di bidang masalah transportasi tidak
mengetahui paradoks ini. Kenyataannya, pada tahun 1978, Finke melakukan
sebuah percobaan pada masalah transportasi berukuran dengan
membolehkan adanya tambahan kiriman, dan menghasilkan pengurangan biaya
sebesar dan tambahan kiriman sebesar (Storøy 2007). Dengan
adanya hasil ini maka paradoks transportasi memungkinkan untuk terjadi dalam
situasi sebenarnya dan dapat memberikan keuntungan yang lebih besar daripada
sekedar mencari solusi optimal masalah transportasi. Namun perlu diperhatikan
bahwa ada beberapa syarat terjadinya paradoks, yaitu syarat perlu dan syarat
cukup yang kemudian akan menjadi fokus pada pembahasan dalam karya ilmiah
ini. Sumber utama karya ilmiah ini adalah paper berjudul The Transportation
Paradox Revisited yang ditulis oleh Svere Storøy tahun 2007.
Tujuan
Tujuan dari karya ilmiah ini ialah:
1 menjelaskan karakterisasi matriks biaya imun dalam masalah transportasi,
2 menjelaskan syarat cukup terjadinya paradoks transportasi,
3 menjelaskan batas tambahan kiriman barang dalam paradoks transportasi.
2
LANDASAN TEORI
Pemrograman Linear
Fungsi Linear
Sebuah fungsi ( ) dari adalah fungsi linear jika dan
hanya jika untuk suatu konstanta , ( ) (Winston dan Goldberg 2004).
Pertaksamaan Linear
Untuk setiap fungsi linear ( ) dan untuk setiap bilangan pertaksamaan ( ) dan ( ) adalah pertaksamaan
linear (Winston dan Goldberg 2004).
Pemrograman Linear
Menurut Winston dan Goldberg (2004), pemrograman linear adalah masalah
optimisasi di mana dilakukan hal berikut.
1 Memaksimumkan (atau meminimumkan) fungsi linear dari variabel keputusan.
Fungsi yang dimaksimumkan atau diminimumkan dinamakan fungsi objektif.
2 Nilai dari variabel keputusan harus memenuhi seluruh kendala. Setiap kendala
harus berupa persamaan linear atau pertidaksamaan linear.
3 Untuk setiap variabel , restriksi tanda menyatakan bahwa taknegatif
( ) atau tidak dibatasi.
Kendala Pemrograman Linear
Kendala pemrograman linear adalah pembatasan nilai variabel keputusan
(Winston dan Goldberg 2004).
Masalah Primal
Primal adalah pemrograman linear awal yang diberikan (Winston dan Goldberg
2004).
Dualitas
Setiap masalah primal memiliki pemrograman linear lain yang dinamakan
masalah dual. Jika fungsi objektif pemrograman linear primal adalah maksimisasi,
maka fungsi objektif pemrograman linear dual adalah minimisasi (Reeb dan
Leavengood 2000).
Menurut Winston dan Goldberg (2004), misalkan masalah maksimisasi
didefinisikan sebagai berikut
terhadap kendala
( )
3
Dual dari masalah maksimisasi tersebut didefinisikan sebagai berikut
terhadap kendala
( )
Solusi Fisibel
Solusi fisibel adalah titik yang memenuhi seluruh kendala pemrograman linear
(Winston dan Goldberg 2004)
Basic Solution
Misalkan diberikan sistem berikut
dengan adalah vektor berdimensi , adalah vektor berdimensi , dan
adalah matriks berukuran . Misalkan dari matriks dipilih kolom
sehingga terbentuk matriks berukuran Solusi yang memenuhi
persamaan
disebut sebagai basic solution, dan nilai disebut sebagai basic variables
(Luenberger dan Ye 2008)
Basic Feasible Solution
Vektor yang memenuhi persamaan
dikatakan basic feasible solution jika dia merupakan basic solution (Luenberger
dan Ye 2008).
Degenerasi
Sebuah pemrograman linear disebut degenerate jika memiliki setidaknya satu
basic variable dalam basic feasible solution yang nilainya sama dengan nol
(Winston dan Goldberg 2004).
Teori Graf
Graf
Graf adalah himpunan takkosong dan hingga ( ) yang dinamakan verteks dan
himpunan ( ) dari subhimpunan 2-elemen ( ) yang dinamakan edge
(Chartrand dan Oellermann 1993). Edge yang menghubungkan verteks dengan
verteks dinotasikan dengan .
Multigraf
Multigraf adalah suatu graf yang membolehkan ada lebih dari satu edge yang
menghubungkan dua verteks (Rao 2002).
4
Digraf
Digraf adalah himpunan berhingga, takkosong ( ) dari verteks-verteks dan
himpunan ( ) dari pasangan terurut verteks-verteks yang berbeda (Chartrand
dan Oellermann 1993).
Arc
Arc adalah elemen-elemen ( ) dalam digraf (Chartrand dan Oellermann 1993).
Flow
Misalkan adalah suatu bilangan yang diasosiasikan dengan arc , dari graf ( ) sehingga untuk setiap verteks berlaku
∑
∑
dengan ∑ adalah penjumlahan untuk arc yang menuju , dan ∑ adalah
penjumlahan untuk arc yang meninggalkan . Maka dikatakan sebagai flow di
sepanjang arc (Mital dan Mohan 1996).
Arc Flow
Untuk suatu arc ( ), nilai ( ) ( ) disebut flow di sepanjang arc
atau arc flow (Chartrand dan Oellermann 1993).
Graf Bipartit
Suatu graf dikatakan bipartit jika titik-titiknya dapat dipartisi menjadi dua
subhimpunan dan sehingga untuk setiap arc ( ) dalam , berlaku
dan atau dan (Ahuja et al. 1993).
Walk
Walk dalam graf adalah barisan verteks dan edge secara bergantian
( ) dimulai dan berakhir dengan verteks (Chartrand dan Oellermann 1993). Untuk
digraf , edge adalah arc ( ).
Path
Path adalah walk tanpa pengulangan titik (Ahuja et al. 1993).
Cycle
Cycle adalah path diikuti dengan arc ( ) atau ( ) (Ahuja
et al. 1993).
Deficit Node
Sebuah verteks/node dikatakan deficit node apabila flow yang masuk lebih kecil
daripada flow yang keluar (Ahuja et al. 1993).
Excess Node
Sebuah verteks/node dikatakan excess node apabila flow yang masuk lebih besar
daripada flow yang keluar (Ahuja et al. 1993).
5
Teorema Dekomposisi Flow
Menurut Ahuja et al. (1993), setiap flow path dan cycle memiliki representasi unik
arc flow taknegatif. Kebalikannya, setiap arc flow dapat direpresentasikan
dalam flow path dan cycle dengan dua sifat sebagai berikut.
1 Setiap path dengan flow positif menghubungkan deficit node ke suatu excess
node.
2 Paling banyak path dan cycle memiliki flow taknol, di mana adalah
banyaknya verteks dan adalah banyaknya arc.
Sebagai ilustrasi misalkan diberikan network seperti pada gambar berikut.
Gambar 1 Ilustrasi network sebelum dekomposisi flow
Pada Gambar 1 adalah verteks ke- , angka di sepanjang arc adalah arc flow,
dan angka di dalam lingkaran adalah selisih antara flow masuk dengan flow keluar.
Karena adalah deficit node dan adalah excess node, maka dapat dibentuk
path yang dimulai dari dan berakhir di . Dalam ilustrasi ini path tersebut
adalah dengan flow 2. Setelah mengambil path tersebut,
maka flow menjadi
Gambar 2 Ilustrasi network setelah adanya dekomposisi flow
Pada Gambar 2 dapat dilihat bahwa yang tersisa adalah cycle
dengan flow 4. Jadi, network tersebut dapat didekomposisi menjadi path dengan flow 2 dan cycle dengan flow 4.
6
Masalah Transportasi Klasik
Masalah transportasi klasik adalah nama dari model matematika yang memiliki
struktur khusus (Storøy 2007). Deskripsi umum dari permasalahan ini adalah
bagaimana rute pengiriman dari sumber ke tujuan. Barang yang tersedia di
setiap sumber- adalah sebesar , dan permintaan di setiap tujuan- adalah sebesar . Total persediaan barang yang ada di sumber sama
dengan total permintaan barang di tujuan. Biaya tiap pengiriman barang dari
sumber- ke tujuan- sebesar . Tujuannya adalah menentukan banyaknya
barang yang akan dikirim melalui rute ( ) sehingga biaya yang dikeluarkan
minimum. Formulasi matematis dari masalah transportasi ini adalah sebagai
berikut
∑∑
dengan kendala
∑
∑
Secara lebih sederhana, masalah transportasi ditetapkan oleh matriks biaya
berukuran , vektor permintaan berdimensi , dan vektor
sumber berdimensi . Nilai optimal fungsi objektif masalah transportasi
dinyatakan dalam notasi ( ).
Paradoks Transportasi
Paradoks dalam masalah transportasi muncul ketika ada solusi yang memberikan
biaya transportasi lebih rendah dari solusi optimal dengan cara menambah kiriman
barang melalui rute yang sama dengan solusi optimal (Szwarc 1973).
Sebagai ilustrasi misalkan ada 2 sumber dan 2 tujuan dengan biaya pengiriman
sebagai berikut
[
] [
]
biaya pengiriman dari sumber- ke tujuan-
[
] [
]
[
] [
]
persediaan barang di sumber- permintaan barang di tujuan-
7
Solusi optimalnya adalah (diberikan pada Lampiran 1)
[
]
Artinya sumber- mengirim 5 barang ke tujuan-1, sumber-2 mengirim 2 barang
ke tujuan-1, dan 8 barang ke tujuan-2 dengan biaya pengiriman ( ) .
Sekarang dan akan dinaikkan nilainya sebesar satu satuan, artinya sumber-1
mengirim 1 barang lebih banyak ke tujuan-2, misalkan
[ ] dan [
]
Solusi optimalnya menjadi (diberikan pada Lampiran 1)
[
]
dengan ( ) Jadi pengiriman 1 barang lebih banyak akan
mengurangi biaya optimal sebesar .
Bad Quadruple
Menurut Deineko et al. (2003), misalkan diberikan matriks berukuran , yaitu . Misalkan pula ada bilangan integer dengan
dan ( dan ), maka membentuk bad quadruple jika
.
Sebagai contoh misalkan diberikan matriks biaya sebagai berikut
[
]
maka indeks membentuk bad quadruple karena
.
PEMBAHASAN
Dalam bab pembahasan ini akan dijelaskan mengenai matriks imun, syarat cukup
terjadinya paradoks, dan batas penambahan barang jika terjadi paradoks.
Karakterisasi Matriks Imun
Matriks imun diartikan sebagai matriks biaya yang kebal terhadap paradoks
transportasi. Arti kebal di sini adalah masalah transportasi dengan matriks biaya
tersebut tidak akan menimbulkan paradoks (Storøy 2007). Untuk mengetahui
apakah suatu matriks biaya imun atau tidak terhadap paradoks transportasi, akan
diberikan dalam lema dan teorema berikut
Lema 1
Jika ada bad quadruple untuk matriks biaya , maka matriks tidak imun
terhadap paradoks transportasi (Deineko et al. 2003).
8
Bukti (Deineko et al. 2003)
Misalkan indeks membentuk bad quadruple, yaitu .
Anggap ada vektor sumber yang hanya memiliki 1 barang di sumber ke- dan 0
barang di sumber lainnya, dan vektor permintaan yang hanya membutuhkan 1
barang di tujuan ke- dan 0 permintaan di tujuan lainnya, maka dapat ditulis
sebagai berikut
[
]
[ ]
dan
[
]
[ ]
dan menghasilkan solusi sebagai berikut
[
]
[
]
maka ( ) .
Anggap pula vektor yang dihasilkan dari penambahan 1 barang di sumber ke-
dari vektor sumber , dan vektor yang dihasilkan dari penambahan 1 barang di
tujuan ke- dari vektor permintaan , maka dapat ditulis sebagai berikut
[
]
[ ]
dan
[
]
[ ]
maka jelas dan .
Ada dua kemungkinan solusi yang dapat dihasilkan. Kemungkinan 1:
[
]
[
]
dengan ( ) . Kemungkinan 2:
9
[
]
[
]
dengan ( ) .
Misalkan solusinya adalah kemungkinan 1, dengan nilai optimal ( )
, maka nilai tersebut adalah biaya terkecil sehingga .
Berdasarkan hipotesis bahwa , maka . Kondisi ini
tidak mungkin terjadi dengan anggapan bahwa Akibatnya, solusi dari
pemrograman linear tersebut adalah kemungkinan ke-2 dengan biaya sebesar
( ) . Berdasarkan hipotesis, ( ), maka
( ) ( ), sehingga terjadi paradoks transportasi.
Sebagai ilustrasi misalkan diberikan permasalahan sebelumnya, yaitu
[
]
Di sini , artinya ada bad quadruple, dan
apabila dan ditambah sebesar 1 satuan, biaya pengiriman menjadi lebih
rendah sebesar satuan. Artinya masalah transportasi dengan matriks biaya
tersebut tidak kebal terhadap paradoks.
Lema 2
Jika matriks biaya tidak imun terhadap paradoks transportasi, maka ada bad
quadruple untuk matriks (Deineko et al. 2003).
Bukti (Deineko et al. 2003)
Karena matriks biaya tidak imun terhadap paradoks transportasi, maka ada dua
vektor sumber dan dan dua vektor tujuan dan dengan
sedemikian sehingga ( ) ( ) . Misalkan solusi optimal dan
adalah , dan solusi optimal dan adalah . Misalkan pula
kedua solusi tersebut diubah ke dalam bentuk multigraf bipartit dengan
verteksnya adalah sumber dan tujuan. Nilai taknol direpresentasikan dengan
edge berbobot berwarna hitam dari sumber ke- ke tujuan ke- , dan nilai taknol
direpresentasikan dengan edge berbobot berwarna merah dari sumber ke-
ke tujuan ke- . Biaya dari edge hitam ataupun merah dari sumber ke- ke tujuan
ke- adalah . Edge dari multigraf bipartit ini juga dapat dipandang sebagai arc
flow dengan edge merah adalah arc dari sumber ke tujuan, dan edge hitam adalah
arc dari tujuan ke sumber.
Berdasarkan teorema dekomposisi flow (Ahuja et al. 1993), karena multigraf
memiliki edge yang dipandang sebagai arc flow, maka multigraf dapat
10
didekomposisi menjadi berhingga path dan cycle
dengan ketentuan sebagai berikut
1 setiap cycle memiliki banyaknya edge yang genap dan terdiri atas edge hitam
dan merah secara bergantian.
2 setiap path dimulai dari sumber dan berakhir di tujuan, dimulai dan diakhiri
dengan edge merah dan terdiri dari edge hitam dan merah secara bergantian.
Poin 1 terjadi karena verteks sumber selalu terhubung dengan verteks tujuan, tidak
mungkin verteks sumber terhubung dengan verteks sumber, atau verteks tujuan
terhubung dengan verteks tujuan; sedangkan poin 2 terjadi karena deficit node
selalu terjadi di verteks sumber, dan excess node selalu terjadi di verteks tujuan.
Kemudian karena arc yang menghubungkan dari verteks sumber ke verteks tujuan
hanya edge merah, dan arc yang menghubungkan dari verteks tujuan ke verteks
sumber hanya edge hitam, maka pasti cycle atau path memiliki edge merah dan
hitam secara bergantian.
Didefinisikan fungsi taknegatif sedemikian sehingga
1 untuk setiap edge hitam , nilai sama dengan jumlah seluruh nilai dari
path dan cycle yang memuat .
2 untuk setiap edge merah , nilai sama dengan jumlah seluruh nilai dari
path dan cycle yang memuat .
Didefinisikan fungsi taknegatif sedemikian sehingga
1 ( ) dan ( ) adalah jumlah biaya dari seluruh edge hitam di dan .
2 ( ) dan ( ) adalah jumlah biaya dari seluruh edge merah di dan .
maka
( ) ∑ ( ) ( )
∑ ( ) ( )
dan
( ) ∑ ( ) ( )
∑ ( ) ( )
Karena ( ) ( ), maka ada cycle sehingga ( ) ( ) atau ada
path sehingga ( ) ( ).
Kemungkinan 1
Andai ( ) ( ) berlaku untuk suatu cycle . Misalkan adalah solusi
optimal masalah transportasi dan , dan adalah solusi lain yang
didapat dengan cara mengurangi nilai sebesar di seluruh edge hitam
dalam , kemudian menambahkan nilai sebesar di seluruh edge merah
dalam . Solusi masalah transportasi fisibel, karena setiap verteks
dalam hanya memiliki 1 flow yang keluar dan masuk, sehingga apabila flow
keluar ditambah dengan dan flow masuk dikurangi dengan , solusi
akan tetap fisibel, begitu pula sebaliknya. Perubahan nilai sebesar
mengakibatkan perubahan nilai objektif sebesar ( ) untuk edge hitam, dan
( ) untuk edge merah. Akibatnya solusi memiliki nilai objektif
11
( ) ( ) lebih kecil dari solusi , hal ini tidak mungkin terjadi
karena adalah solusi optimal.
Kemungkinan 2
Andai ( ) ( ) berlaku untuk suatu path . Karena adalah taknegatif
untuk seluruh , maka path harus terdiri dari setidaknya tiga edge.
Berdasarkan ketentuan , dimulai dari sumber dan berakhir di tujuan. Misalkan
verteks pertama adalah , verteks kedua adalah , sebelum verteks terakhir adalah
, dan verteks terakhir adalah . Misalkan pula adalah solusi masalah
transportasi yang didapat dengan cara mengurangi nilai sebesar di
seluruh edge hitam dalam , kemudian menambah nilai sebesar di
seluruh edge merah kecuali edge pertama dan terakhir dalam . Agar
solusi tetap fisibel, maka juga dinaikkan sebesar . Karena
merupakan solusi optimal, maka perubahan biaya dari solusi ke
taknegatif, sehingga
( ) ( ( ) )
( ( ) ( )) ( )
Karena ( ) ( ) dan , maka
( ( ) ( )) ( ) ( )
Akibatnya ( ) atau .
Kedua lema tersebut dapat disatukan menjadi satu teorema berikut.
Teorema 1
Matriks biaya berukuran imun terhadap paradoks transportasi
jika dan hanya jika untuk setiap dengan , pertaksamaan
(1)
terpenuhi. Selain itu dapat diperiksa sebanyak ( ) kali apakah matriks
memenuhi kondisi tersebut (Deineko et al. 2003).
Bukti (Deineko et al. 2003)
Bukti arah kanan dan kiri dapat dilihat dari Lema 1 dan Lema 2, tinggal
membuktikan banyak pemeriksaan yang harus dilakukan. Misalkan dilakukan
tahap awal, yaitu menentukan dan menyimpan dua nilai terkecil dari setiap baris
dan kolom dari matriks . Untuk setiap baris, tahap ini dapat dilakukan
sebanyak ( ) kali, dan untuk setiap kolom, tahap ini dapat dilakukan
sebanyak ( ) kali. Sehingga tahap awal memerlukan ( ) kali pemeriksaan.
Untuk setiap dan dengan dan , harus diperiksa
apakah ada yang tidak memenuhi pertaksamaan (1). Untuk kasus terlanggarnya
pertaksamaan (1), maka ada nilai di baris ke- dan di kolom ke- yang
jumlah keduanya lebih kecil dari . Nilai yang perlu diperhatikan untuk
12
adalah nilai terkecil di baris ke- , atau nilai kedua terkecil jika adalah terkecil
di baris ke- , karena kedua nilai tersebut adalah nilai yang paling berbahaya untuk
terlanggarnya pertaksamaan (1). Dengan cara yang hampir sama, nilai yang perlu
diperhatikan untuk adalah nilai terkecil di kolom ke- , atau nilai kedua terkecil
jika adalah terkecil di kolom ke- , karena kedua nilai tersebut adalah nilai
yang paling berbahaya untuk terlanggarnya pertaksamaan (1). Karena ada tahap
awal, maka setiap dapat diperiksa sebanyak ( ) kali.
Berdasarkan teorema tersebut, maka untuk memeriksa apakah suatu masalah
transportasi memiliki paradoks atau tidak, dapat diperiksa dari matriks biaya
melalui pertaksamaan ( ) . Namun yang menjadi pertanyaan adalah apakah
seluruh matriks yang tidak imun selalu menghasilkan paradoks. Kenyataannya
tidak seluruh matriks imun dapat menghasilkan paradoks. Sebelum membahas hal
tersebut, akan dibahas terlebih dahulu syarat cukup agar paradoks dapat terjadi
dan batas penambahan kiriman.
Syarat Cukup Terjadinya Paradoks
Penentuan terjadi atau tidaknya paradoks ditentukan melalui masalah dual dari
primal masalah transportasi. Misalkan dan adalah variabel dual yang
berkaitan dengan persamaan pertama dan persamaan terakhir dari masalah
transportasi. Misalkan adalah himpunan indeks ( ) dari solusi optimal basis,
maka berdasarkan teori dualitas berlaku
dan
sehingga masalah dual dari pemrograman linear masalah transportasi adalah
pemrograman linear berikut
∑
∑
terhadap kendala
Dari masalah dual ini, akan dicari kemungkinan menambah sumber dan
permintaan sebesar tanpa mengubah rute pengiriman barang dan
menghasilkan biaya yang lebih kecil. Ketentuan tersebut akan dijelaskan dalam
teorema berikut
Teorema 2
Misalkan ada indeks dan dengan , sehingga
(2)
13
Misalkan pula ada bilangan positif , sehingga jika sumber diganti dengan
, dan permintaan diganti dengan , solusi fisibel basis
optimal dari permasalahan baru tersebut dapat ditemukan dan memiliki himpunan
variabel basis yang sama, maka terjadi paradoks (Storøy 2007).
Bukti (Storøy 2007)
Karena solusi optimal permasalahan yang baru memiliki variabel basis yang sama,
maka solusi dual tidak berubah karena , sehingga
( ) ∑
∑
( ) ( )
Karena dan , maka ( ) ( ).
Teorema tersebut mengatakan bahwa jika ada indeks pada variabel dual yang
memenuhi (2) dan penambahan pada sumber- dan permintaan- tidak
mengubah rute pengiriman barang, maka akan terjadi paradoks.
Batas Penambahan
Sebelum menentukan batas penambahan , akan diberikan ilustrasi berikut
terlebih dahulu. Misalkan diberikan matriks biaya dan vektor sumber dan tujuan
sebagai berikut
[
]
[
] dan
[ ]
dan solusi optimalnya disajikan pada Tabel 1 dan program Lingo untuk
mendapatkannya diberikan pada Lampiran 2.
Tabel 1 Solusi dual awal sebelum penambahan
7
4 6 8
5 1
5 10
14
Dari Tabel 1 terlihat bahwa solusi optimalnya adalah sebesar 444, dan himpunan
indeks solusi fisibel basis optimalnya adalah
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dari solusi dual, terlihat bahwa sehingga memungkinkan
untuk menambah dan sebesar dengan nilai yang lebih optimal tetapi
harus memiliki solusi basis yang sama.
Misalkan dan ditambah dengan , maka agar himpunan solusi basisnya
tidak berubah, tabel solusinya disajikan pada Tabel 2.
Tabel 2 Solusi dual setelah penambahan
Dari tabel tersebut terlihat bahwa sehingga interval adalah
Jika dipilih , maka solusi optimal disajikan pada Tabel 3.
Tabel 3 Solusi dual setelah penambahan 4 barang
dengan nilai optimalnya menjadi ( ) . Dengan menambah kiriman
barang sebesar 4, biaya optimal turun sebesar 8 satuan. Perlu diperhatikan bahwa
jika dipilih , solusi akan menjadi degenerate.
Dari ilustrasi tersebut, untuk menentukan batas atas , ditentukan terlebih dahulu
himpunan bagian yang akan menjadi directed path ( ) dari
penambahan/pengurangan adalah jalur yang digunakan untuk
menambahkan dan mengurangkan pada solusi optimal dengan tujuan agar solusi
tetap fisibel dengan adanya tambahan kiriman pada suatu sumber dan tujuan . Dalam ilustrasi sebelumnya ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
Jika melihat pola tersebut, penambahan dimulai dari baris yang sama dengan
dan berakhir di kolom yang sama dengan . Penambahan dilakukan secara
bergantian, dengan kata lain ditambahkan pada elemen urutan ganjil dan
dikurangkan pada elemen urutan genap dengan jalur yang tegak lurus.
15
memiliki banyak elemen yang ganjil dan banyak jalur yang genap. Jadi secara
umum, jika ada indeks sehingga pertaksamaan ( ) terpenuhi, maka langkah
awal untuk menentukan adalah dengan menentukan yang dimulai dari baris
ke- dan berakhir di kolom ke- .
Misalkan adalah elemen urutan ganjil dari , adalah
elemen urutan genap dari sehingga . Misalkan pula
adalah perubahan biaya yang terjadi akibat penambahan 1 satuan barang pada
solusi dengan elemen dan pengurangan 1 satuan barang pada solusi dengan
indeks , maka perubahan biaya tersebut diberikan dalam lema berikut
Lema 3
∑
( )
∑
( )
Bukti (Storøy 2007)
Karena jalur pada tegak lurus dan penambahan/pengurangan dilakukan secara
bergantian, maka
Karena dan ( ) , maka
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
sehingga
Penambahan dibatasi oleh elemen terkecil dari , sehingga didapat hasil
berikut
Akibat 1
Bilangan positif ada jika dan hanya jika ( )
Berdasarkan kondisi ini, jika solusi optimal yang didapat nondegenerate dan ada
indeks yang memenuhi pertaksamaan ( ), maka terjadi paradoks. Apabila
terjadi degenerasi, selama elemen dari tidak ada yang bernilai nol, maka
paradoks tetap terjadi. Sebagai ilustrasi kasus degenerasi, misalkan diberikan
matriks biaya dan vektor sumber dan tujuan sebagai berikut
[
]
16
[
] dan [
]
dengan tabel solusi optimal disajikan pada Tabel 4 dan program Lingo untuk
mendapatkannya diberikan pada Lampiran 3.
Tabel 4 Solusi dual ilustrasi degenerasi
10
0 6
5 4 6
4
Dari tabel tersebut terlihat bahwa adalah solusi fisibel basis yang bernilai nol
dan ada indeks yang memenuhi sehingga ada paradoks. Misalkan
yang dipilih adalah ( ) ( ) ( ) , meskipun ada elemen yang
mengakibatkan solusi basis sama dengan nol, solusi dengan indeks bernilai
positif sehingga berdasarkan Akibat 1, ada bilangan positif yang dapat
mengakibatkan paradoks.
Seperti yang telah dikatakan dalam pembahasan karakterisasi matriks imun, akan
diberikan ilustrasi bahwa tidak semua matriks imun memiliki paradoks. Misalkan
diberikan matriks biaya dan vektor sumber dan tujuan sebagai berikut
[
]
[
] dan [
]
dengan solusi dualnya disajikan pada Tabel 5 dan program Lingo untuk
mendapatkannya diberikan pada Lampiran 4.
Tabel 5 Solusi dual ilustrasi matriks imun dan tidak ada paradoks
10 25
45 5
10 30
17
Terlihat dalam matriks , nilai sehingga matriks tidak imun
terhadap paradoks, namun solusi dual yang dihasilkan tidak memenuhi Teorema 2
karena tidak ada solusi yang memenuhi pertaksamaan (2) sehingga tidak terjadi
paradoks. Kasus tersebut dapat terjadi karena syarat yang terpenuhi hanya matriks
imun saja, maka dapat dibilang matriks imun hanyalah syarat perlu paradoks
transportasi.
Berdasarkan Teorema 2, komponen yang menyebabkan paradoks adalah , dan dari Lema 3, nilai tersebut sama dengan perubahan biaya yang
dilakukan pada solusi basis dengan indeks . Untuk mendapat hasil tersebut,
perlu diperhatikan bahwa indeks pada pertaksamaan (1) harus termasuk dalam
indeks solusi basis, karena yang menyebabkan pengurangan biaya adalah elemen
biaya pada pertaksamaan (1). Untuk menggambarkan kondisi tersebut, misalkan
matriks biaya sama, namun dan diubah menjadi
[
] dan [
]
maka tabel solusi optimalnya disajikan pada Tabel 6 dan program Lingo untuk
mendapatkannya diberikan pada Lampiran 5.
Tabel 6 Solusi dual ilustrasi perubahan vektor dan
Dari hasil tersebut terlihat bahwa dan indeks ( ) ( ) ( )
yang mengakibatkan matriks menjadi tidak imun termasuk dalam himpunan
indeks solusi fisibel , maka indeks-indeks tersebut dapat dijadikan menjadi
yang perubahan nilai solusinya mengakibatkan terjadinya paradoks.
SIMPULAN
Suatu langkah penting dalam menentukan ada atau tidaknya paradoks
transportasi adalah apakah matriks biaya imun atau tidak. Tahap ini memerlukan
proses yang semakin lama jika ukuran masalah transportasi semakin besar karena
memeriksa satu per satu elemen dari matriks biaya sampai ditemukannya indeks
yang tidak memenuhi pertaksamaan (1).
Teorema 2 menjelaskan bahwa cukup menemukan solusi masalah dual dari
masalah transportasi untuk memastikan bahwa paradoks akan terjadi. Namun ada
5 40
20
10 20 30
18
kasus di mana meski teorema tersebut tidak terpenuhi, tetapi sebenarnya paradoks
masih bisa terjadi dengan mengubah banyaknya sumber dan permintaan. Hal ini
disebabkan oleh matriks imun yang hanya berupa syarat perlu, sehingga meski
suatu masalah transportasi memiliki matriks biaya yang tidak imun, kemungkinan
terjadinya paradoks masih belum bisa dipastikan.
Dalam kondisi terjadi paradoks, penambahan kiriman barang bergantung
pada jalur yang ditentukan. Dalam kasus ada lebih dari satu jalur, maka perlu
ditelusuri semua kemungkinan jalur yang memungkinkan untuk melihat
pengurangan biaya yang paling besar. Salah satu strategi adalah dengan melihat
hasil dari pertaksamaan (2) yang terkecil dan solusi basis urutan genap dalam jalur
terpilih yang terbesar, karena dua hal inilah yang menentukan seberapa besar
tambahan kiriman dan seberapa besar pengurangan biaya untuk tambahan satu
kiriman.
DAFTAR PUSTAKA
Ahuja RK, Magnanti TL, Orlin JB. 1993. Network Flows: Theory, Algorithms and
Applications. London (GB): Prentice-Hall.
Chartrand G, Oellermann OR. 1993. Applied and Algorithmic Graph Theory. New
York (US): McGraw-Hill.
Deineko VG, Klinz B, Woeginger GJ. 2003. Which matrices are immune against
the transportation paradox?. Discrete Applied Mathematics.130:495-501.doi:
10.1016/s0166-218x(03)00327-5.
Luenberger DG, Ye Y. 2008. Linear and Nonlinear Programming. New York
(US): Springer.
Mital KV, Mohan C. 1996. Optimization Methods in Operations Reasearch and
Systems Analysis. New Delhi (IN): New Age International Publishers.
Rao G.S. 2002. Discrete Mathematical Structures. New Delhi (IN): New Age
International Publishers.
Reeb J, Leavengood S. 2000. Using Duality and Sensitivity Analysis to Interpret
Linear Programming Solutions. [diunduh 2016 Maret 13]. Tersedia pada:
http://hdl.handle.net/1957/20129.
Storøy S. 2007. The Transportation Paradox Revisited. [diunduh 2015 Oktober
25]. Tersedia pada: http://www.optimization-online.org/DB_HTML/2007/09/1
763.html
Szwarc W. 1971. The Transportation Paradox. Naval Research Logistics
Quarterly.18(2):185-202.doi: 10.1002/nav.3800180206.
Winston WL, Goldberg JB. 2004. Operations Research Applications and
Algorithms. California (US): Thomson Brooks/Cole.
19
Lampiran 1 Contoh paradoks transportasi
20
21
Lampiran 2 Solusi ilustrasi sebelum penambahan
22
23
Lampiran 3 Solusi ilustrasi kasus degenerasi
24
25
Lampiran 4 Solusi ilustrasi matriks imun dan tidak ada paradoks
26
27
Lampiran 5 Solusi ilustrasi perubahan vektor dan
28
29
RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir di Bogor pada tanggal 3 Mei 1994 sebagai anak ketiga dari
pasangan Fidiyatullah Achmad dan Retno Noeryanti. Pada tahun 1999 penulis
mengawali pendidikan di TK Tunas Muda Bogor, pada tahun 2000 melanjutkan
ke SDN Semeru I. Tahun 2004 penulis pindah ke Perancis dan melanjutkan
pendidikan di Ecole Elementaire de Jules Verne, sampai lulus pada tahun 2006,
dan masuk ke College Pierre Brosselette. Penulis kembali ke Indonesia pada
tahun 2007 dan melanjutkan ke SMP Negeri 6 Bogor sampai lulus tahun 2009.
Tahun 2012 penulis lulus dari SMA Negeri 5 Bogor dan lulus Seleksi Nasional
Mahasiswa Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Undangan dan diterima di
Institut Pertanian Bogor. Pada tahun 2013 penulis resmi masuk Departemen
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IPB setelah
melewati masa Tingkat Persiapan Bersama (TPB) selama setahun.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah menjadi panitia acara
Malam Inagurasi Matematika 2013, sebagai anggota Divisi Logistik dan
Transportasi. Penulis juga pernah mendapat penghargaan sebagai Juara I Tenis
Meja dalam SPIRIT FMIPA 2014, dan Juara II Tenis Meja dalam SPIRIT FMIPA
2015.
