ANALISIS ESTRUCTURAL (Metodo de las Fuerzas

CAPÍTULO 2

Método de análisis de fuerza o de flexibilidad

2.1 INTRODUCCIÓN.

Este es uno de los métodos básicos del análisis de estructuras. En este capítulo nos

proponemos describir el procedimiento y, después, formular la generalización del mé-

todo para analizar estructuras reticulares estáticamente indeterminadas.

DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO

1. Antes que todo, se determina el grado de indeterminación estática. Liego se in-

troduce un número de liberaciones igual al grado de indeterminación, efectuándose

cada liberación eliminando una fuera externa o interna. Las liberaciones se deben se-

leccionar de manera que la estructura restante sea estable y estáticamente determina-

da. Sin embargo, en algunos casos el número de liberaciones puede ser menor que el

grado de indeterminación, siempre que la estructura estáticamente indeterminada res-

tante sea tan sencilla que se pueda analizar fácilmente. En todos los casos, las fuerzas

liberadas, que también se llaman fuerzas redundantes, se deben escoger cuidadosa-

mente para que la estructura liberada se pueda analizar con facilidad.

2. Las liberaciones introducen incongruencias en desplazamientos y como segun-

do paso se determinan estas incongruencias o “errores” en la estructura liberada. En

otras palabras, calculamos la magnitud de los errores en los desplazamientos que co-

rresponden a las fuerzas redundantes. Estos desplazamientos de pueden deber a car-

gas externas aplicadas, asentamiento de los apoyos o variación de temperatura.

3. El tercer paso consiste en una determinación de los desplazamientos en la es-

tructura liberada debidos a valores unitarios de las redundantes. Estos desplazamien-

tos se necesitan en el mismo lugar y en la misma dirección que los desplazamientos

calculados en el paso dos.

Apuntes del curso análisis Estructural (2012-I)

Capí

tulo

2 :

Mét

odo

de a

nális

is d

e fu

erza

1

4. Ahora se determinan los valores de las fuerzas redundantes necesarias para

eliminar los errores en los desplazamientos. Esto exige escribir ecuaciones de superpo-

sición en las que se suman los efectos de las fuerzas redundantes separadas a los

desplazamientos de la estructura liberada.

5. En consecuencia, encontramos las fuerzas que actúan sobre la estructura inde-

terminada original: Conocidas las fuerzas redundantes, la estructura se puede resolver

por simple estática.

Nomenclatura.

i : coordenada, número asociado a una redundante

D0i: Desplazamiento en la coordenada i, en la estructura liberada

Xi : redundante en la coordenada i

Dij : desplazamiento producido por la redundante Xj, en la coordenada i cuando solo

actúa Xj. Si Xj = 1, entonces Dij se conoce coeficiente de flexibilidad fij

Ejemplo 2.1.

La viga ABC empotrada en C, descansa sobre apoyos de rodillo en A y B, y sopor-

ta una carga uniforme q por unidad de longitud. La viga tiene una rigidez constante a

la flexión EI. Encontrar los diagramas de de fuerza cortante y momento flector.

q por unidad de longitud

A B C

L L

a) viga continua considerada en el ejemplo

X2, D2

X1, D1

b) Estructura primaria y sistema coordenado

D01 D02

c) Carga externa sobre la estructura liberada


Capí

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e fu

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2

f11 f21

X1 = 1

d) X1 =1X2 = 1

f12 f22

e) X2 = 1

q l2

14

87ql

f) Fuerzas redundantes

La estructura es estáticamente indeterminada en segundo grado, por lo que se de-

ben eliminar dos fuerzas redundantes. Son posibles varias opciones, por ejemplo, el

momento y la reacción vertical en C, o las reacciones verticales en A y B. Para los pro-

pósitos de este ejemplo, eliminaremos la reacción vertical en B y el momento en C. En-

tonces la estructura liberada es una viga simple AC con las fuerzas redundantes y los

desplazamientos que se muestrean en la figura b). A la ubicación y dirección de las

diversas fuerzas redundantes y los desplazamientos se hace referencia como sistema

coordenado.

Las direcciones positivas de las fuerzas redundantes X1 y X2 se eligen arbitrariamente

pero las direcciones positivas de los desplazamientos en el mismo lugar deben coincidir

con los de las fuerzas redundantes. Las flechas de la figura b) indican las direcciones

positivas seleccionadas en el presente caso y, como las flechas representan fuerzas

así como desplazamientos, es conveniente en un caso general identificar las coordena-

das por medio de los números 1, 2, .. i, … n.


Capí

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nális

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e fu

erza

3

Siguiendo este sistema, la figura c) muestra los desplazamientos en B y C como

D01 y D02 respectivamente. De hecho, como se ilustra en la figura a) los desplazamien-

tos reales en estos puntos tienen valor cero, de modo que D01 y D02 representan las

incongruencias en deformación

La magnitud de D01 y D02 se puede calcular por el comportamiento de la viga sim-

plemente apoyada de la figura c) (estructura liberada). Para el objeto del presente

ejemplo, podemos usar tablas. Por lo tanto:

D01=−5qL4

24 EID 02=

−q L3

3 EI

Los signos negativos indican que los desplazamientos son en direcciones opuestas

a las direcciones positivas elegidas en la figura b)

Los desplazamientos debidos a valores unitarios de las redundantes se muestran

en las figuras d) y e). Estos desplazamientos son como sigue (según tablas)

f 11=L3

6 EIf 12=

L2

4 EI

f 21=L2

4 EIf 22=

2L3 EI

El coeficiente general fij representa el desplazamiento en la coordenada i debido a

una redundante unitaria en la coordenada j

Ecuaciones de compatibilidad.

Las relaciones geométricas expresan el hecho de que la traslación vertical en B y la

rotación en C desaparecen. Los desplazamientos finales son el resultado de la super-

posición del efecto de la carga externa y de las fuerzas redundantes sobre la estructura

liberada. Por lo tanto las relaciones geométricas de pueden expresar como

D01+f 11 X1+ f 12 X2=0

D02+f 21 X1+f 22X2=0

Matriz de flexibilidad

Las relaciones de la ecuación 2.1 se pueden escribir en forma de matriz

{D0} + [f]{X} = 0 (2.2)


(2.1)Ca

pítu

lo 2

: M

étod

o de

aná

lisis

de

fuer

za

4

Donde

{D0 }={D01

D02} [ f ]=[ f 11 f 12

f 21 f 22 ] y {X }={X1X2} El vector columna {D0} depende de la carga externa

Los elementos de la matriz [f] son los desplazamientos debido a los valores unita-

rios de las redundantes. Por lo tanto depende de las propiedades de la estructura y re-

presenta la flexibilidad de la estructura liberada. Por esta razón [f] se llama matriz de

flexibilidad y sus elementos se denominan coeficientes de influencia de flexibilidad.

Los elementos del vector {X} son las fuerzas redundantes que se pueden obtener re-

solviendo la ecuación 2.2; entonces

{X} = [f]-1{-D0} (2.3)

En el ejemplo considerado, la matriz de flexibilidad y su inversa son:

[ f ]=[ L3

6 EIL2

4 EIL2

4 EI2L3EI

] y [ f ]−1=12 EI

7 L3 [ 8 −3 L−3 L 2 L2 ]

El vector desplazamiento es

{D0 }= q L3

24 EI {−5 L−8 }Sustituyendo en la ecuación 3.3 o resolviendo la ecuación 2,2 obtenemos

{X }=qL14 {16L }

Por lo tanto las fuerzas redundantes son

X1=87ql y X2=

qL2

14

El sino positivo indica que las fuerzas redundantes actúan en las direcciones positi-

vas seleccionadas de la figura b

Las fuerzas finales que actúan sobre la estructura se ilustran en la figura f) y cual-

quier fuerza interna y/o reacción se pueden determinar por los métodos ordinarios de

la estática


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5

Las reacciones y las fuerzas internas también se pueden calcular usando el princi-

pio de superposición: Sumando el efecto de las cargas externas sobre la estructura

liberada y el efecto de las fuerzas redundantes.

Ai = Asi + ( Aui1X1 + Aui2X2 + ….. + AuinXn) (2.4)

Donde

Ai : Cualquier acción i, que es reacción en un apoyo, fuerza cortante, fuerza axial, mo-

mento de torsión o momento de flexión en una sección de la estructura real

Asi: La misma acción que Ai pero en la estructura liberada sometida a las cargas exter-

nas

Aui1, Aui2,. Auin : La acción correspondiente debida a una fuerza unitaria que actúa sola

sobre la estructura liberada en la coordenada 1, 2, … n respectivamente

X1, X2, ….. Xn fuerzas redundantes que actúan sobre la estructura liberada

El término entre paréntesis de la ecuación 2.4 representa la acción de todas las

fuerzas redundantes aplicadas simultáneamente a la estructura liberada.

Generalmente se necesitan varias reacciones y fuerzas internas. Estas se pueden

obtenerse con ecuaciones similares a la ecuación 2.4. Si el número de acciones es m,

el sistema de ecuaciones que se necesita se puede expresar en forma de matriz

{A}mx1 ={As}mx1 + [Au]mxn{X}nx1 (2-5)

El orden de cada matriz se indica en la ecuación 2.5. Las matrices completas se

escriben así

{ A }={A1A2...Am

}{A s }={A s1

A s2

.

.

.Am

}[ Au ]=[ Au11 Au12⋯ Au1n

⋮ ⋱ ⋮Aum1 Aum2 Aumn

]


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6

Q

1

2

3ΔTQ

Los elementos de la matriz de flexibilidad no son necesariamente dimensionalmen-

te homogéneos, ya que representan bien una traslación o bien una rotación debidas a

una carga o par unitario. Finalmente se presentan los diagramas de fuerza cortante y

momento flector.

2.2 Generalización del método de flexibilidad

Superposición


Estructura estáticamente indeterminada Estructura liberada y sistema de coordenadas

ΔT

1

2

3

X1, D1

X2 , D2

X3, D3

Q

ΔT

X1

X3X2 +

+

+

D01

D03

D02

X1=1

X3=1

X2=1

f11

f21

f22

f31

f32

f12

f23

f13

f33

Capí

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7

Ecuaciones de compatibilidad.

Las traslaciones en la dirección de las coordenadas son nulas, por lo tanto suman-

do desplazamientos a lo largo de cada una de las coordenadas debido al efecto de la

carga externa y de las redundantes sobre la estructura obtenemos

D01+f 11 X1+ f 12 X2+ f 13 X3=0

D02+f 21 X1+f 22X2+ f 23X3=0

D03+f 31X1+ f 32X2+ f 33X3=0

En forma matricial de acuerdo con la Ec. 2-2

{D0} + [f]{X} = 0

{D01

D02

D03}+[ f 11 f 12 f 13

f 21 f 22 f 23f 31 f 32 f 33

]{X 1

X 2

X23}={000}

Propiedades de la matriz de flexibilidad [f]

1. La matriz de flexibilidad es una matriz cuadrada simétrica ( fij = fji)

2. Los términos de la diagonal principal fii de la matriz de flexibilidad son siempre ma-

yores que cero

3. Los elementos de la matriz de flexibilidad no son necesariamente dimensionalmente

homogéneos, ya que representan bien una traslación o bien una rotación debidas a

una carga unitaria o un par unitario

4. La matriz de flexibilidad es definida positiva (determinante diferente de cero), es

decir, su inversa existe.

5. La matriz de flexibilidad es la inversa de la matriz d, y viceversa, siempre que se use

el mismo sistema de coordenadas de fuerzas y desplazamientos en la formación de

las dos matrices.

6. La matriz de flexibilidad no depende de la solicitación externa (cargas, asentamien-

tos de apoyo, variaciones de temperatura). La matriz de flexibilidad depende las

propiedades de la estructura: geometría, material, condiciones de apoyo y de las

propiedades de los elementos.


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Ejemplo 2.2. Determine las reaccione y las fuerzas axiales en las barras de la arma-

dura plana mostrada en la figura. Las áreas de las secciones transversales de las ba-

rras, en centímetros cuadrados, se indican dentro de paréntesis. Asuma E = 2.0 x105

N/mm2

1. Grado de indeterminación estática, estructura primaria y sistema de coordena-das. La armadura dada, es estáticamente indeterminada en segundo grado. La arma-dura es tanto externa como internamente indeterminada. Eliminando la reacción hori-zontal del apoyo D y cortando la barra CE, obtenemos la estructura liberada la misma que se muestra a continuación.

X2, D2

X1, D1

Estructura liberada y sistema de coordenadas


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2. Superposición

3. Ecuaciones de compatibilidad. En la estructura original el desplazamiento hori-

zontal del nudo D y el desplazamiento relativo de los nudos C y E son nulos, por lo tan-

to igualamos a cero la suma de los desplazamientos a lo largo de cada una de las coor-

denadas en los diagramas de superposición:


-25

-20

15 0 -75

606040

-25

60

20

A B C D

FE

Fuerzas en kN

D01

D02

20

15 40

0

0

0 0

0

111

A B C D

FE

X1=1 f11

f21

1

0

0

-0.80

0.60 0.60

0

0-0.800A B C D

FE

f12

f22

1 X2 =1

X1

X2

Capí

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10

D01+f 11 X1+ f 12 X2=0

D02+f 21 X1+f 22X2=0

o en forma matricial

{D01

D02}+[ f 11 f 12f 21 f 22 ]{X1X2}={00}(2)

4. Calculo de los coeficientes D0 i y f ij . Se calculará por el método de las fuerzas

virtuales (carga unitaria).

D j=∑i=1

b niN iLi

Ei A i

Donde

Dj = Desplazamiento a lo largo de la coordenada j (desplazamiento que se necesita

determinar)

n : Fuerzas en las barras debido a una carga unitaria en la ubicación y dirección del

desplazamiento que se necesita

N : Fuerzas en las barras debido a la carga real

E. Módulo de elasticidad

A : Área de la sección transversal de la barra

Para evaluar los desplazamientos D0 i y f ij de la estructura liberada es conveniente

usar una forma tabular, como la que sigue

Barra

Propiedades de la barra Carga real Fuerzas finales

Longitud Area L/EA N

m m/KN KN KN KN m m m m M KNAB 4 1.50E-03 1.33E-05 40 1 0 5.33E-04 0.000 1.33E-05 0.000 0.00 -11.710BC 4 1.50E-03 1.33E-05 60 1 -0.8 8.00E-04 -6.400E-04 1.33E-05 -1.067E-05 8.53E-06 3.410CD 4 1.50E-03 1.33E-05 60 1 0 8.00E-04 0.000 1.33E-05 0.000 0.00 8.290EF 4 1.50E-03 1.33E-05 -20 0 -0.8 0.00 2.133E-04 0.00 0.000 8.53E-06 -24.880EB 3 1.00E-03 1.50E-05 15 0 -0.6 0.00 -1.350E-04 0.00 0.000 5.40E-06 11.340FC 3 1.00E-03 1.50E-05 0 0 -0.6 0.00 0.000 0.00 0.000 5.40E-06 -3.660AE 5 2.00E-03 1.25E-05 -25 0 0 0.00 0.000 0.00 0.000 0.00 -25.000BF 5 2.00E-03 1.25E-05 -25 0 1 0.00 -3.125E-04 0.00 0.000 1.25E-05 -18.900FD 5 2.00E-03 1.25E-05 -75 0 0 0.00 0.000 0.00 0.000 0.00 -75.000EC 5 2.00E-03 1.25E-05 0 0 1 0.00 0.000 0.00 0.000 1.25E-05 6.100

X1 =1 X2=1 D01 D02 f11 f12=f21 f22

n1 n2 n1N0L/EA n2N0L/EA n1n1L/EA n1n2L/EA n2n2L/EANi = N0 +n1X1 +n2X2

m2


(1)

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11

La tabla se explica por sí sola, siendo iguales los desplazamientos D01, D02, f11, f12 = f21 y f22 a la suma de la columna apropiada, por lo tanto,

D01 = 2.133 x 10-3 m

D02= -8.742 x 10-4 m

f11 = 4 x 10-5

f12 = f21 = -1.067 x 10-5

f22= 5.287 x 10-5

5. Cálculo de las fuerzas redundantes X1, X2.

{D0 }={ 2.133×10−3

−8.742×10−4}m Matriz de flexibilidad

[ f ]=[ 4×105−1.067×10−5

−1.067×10−55.287×10−5] Y su inversa

[ f ]−1=[ 26421.5904 5330.9640155330.964015 19991.1151 ]

De acuerdo con la ecuación Eec.2-2

{ 2.133×10−3

−8.742×10−4}+[ 4×10−5−1.067×10−5

−1.067×10−55.287×10−5]{X1X2}={00}

Hallamos el valor de las redundantes usando la Ec. 2-3

{X1X2}=[ 26421.5904 5330.9640155330.964015 19991.1151 ]{−2.133×10−38.742×10−4 }={−51.7106.100 } KN

Los dos elementos del vector columna son la reacción horizontal en el apoyo D y la

fuerza axial en la diagonal EC. El signo negativo de X1 significa que la reacción horizon-

tal del apoyo D está dirigido hacia la izquierda, en sentido opuesto al adoptado en el

sistema de coordenadas.


Capí

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6. Fuerzas finales en las barras. Encontramos las fuerzas finales en las barras usando

la Ec. 2-4

Ni = N0 +n1X1 + n2X2

Por ejemplo la fuerza axial final en la barra AB es

NAB = 40 + 1(-51.71) + (0)(6.100) = -11.71 KN

Las fuerzas finales en las barras se muestran en la última columna de la tabla y

también en la figura siguiente

Ejemplo 2.3. Analizar el pórtico plano mostrado en la figura y trace los diagramas

de fuerza cortante y momento flector. Para el cálculo de los desplazamientos considere

sólo deformaciones por flexión. La rigidez a flexión EI es constante para toda la es-

tructura.


-25

-24.88

11.34

6.10

3.66 -75

8.293.41-11.71

-18.90

60

20

AB C

D

FE

Fuerzas en kN

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1. Grado de indeterminación estática, estructura liberada y sistema de coordena-

das.

El pórtico es estáticamente indeterminado en segundo grado; obtenemos la estruc-

tura liberada eliminando el apoyo C. El sistema de coordenadas se muestra en la figura

siguiente

X2, D2


1. superposición


B

A

C

X1, D1

48 kN

24 kN

48 kN

D02

D01

Capí

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14

= +

+ X1 + X2

2. Ecuaciones de compatibilidad. En la estructura original los desplazamientos en la

dirección y ubicación de las redundantes son nulas. Así, sumando desplazamientos

de la estructura liberada en la dirección de las coordenadas debido a la carga real y

al efecto de las redundantes tenemos:

D01+f 11 X1+ f 12 X2=0

D02+f 21 X1+f 22X2=0

O en forma matricial

{D01

D02}+[ f 11 f 12f 21 f 22 ]{X1X2}={00}(2)

3. Calculo de los coeficientes D0 i y f ij . Se calculan por el método del trabajo virtual

D0 i=∫miMds

EI; f ij=∫

mim jds

EI

Donde mi, mj : momento flector en la estructura liberada debido a las redundantes unitarias


(1)

24 kN

X1=1 f11

f21

f22

X2=1f12

Capí

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15

M : momento flector en la estructura liberada debido a la carga externa

48 KN

96 KN-m

X1 = 1

24 KN

6

168 KN.m

4

X2 =1

4

D01=∫m1Mds

EI;D02=∫

m2Mds

EI

f 11=∫m1m1ds

EI; f 21= f 12=∫

m1m2ds

EI;∫ m2m2ds

EI

Donde las integrales se extienden a todos los miembros de la estructura. Emplean-

do la técnica de multiplicación de diagramas para hallar las integrales anteriores tene-

mos.

D01=96×3EI

(1.5 )+ 96×3EI

(4.5 )+ 1272×3EI

(5 )=2268EI

D02=−12

×96×2EI ( 103 )−96×3EI

(4 )− (96+168 )×32EI

(4 )=−3056EI


M m1

m2

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16

f 11=12×6×6EI (23 6)= 72EI

f 12=f 21=−4×6EI

(3 )=−72EI

f 22=12×4×4EI ( 23 4)+ 4×6EI

(4 )=117.333EI

{D0 }= 1EI { 2268−3056}

Matriz de flexibilidad

[ f ]= 1EI [ 72−72

−72117.333 ] Y su inversa

[ f ]−1=EI [ 11306 3136

3136

3136

]4. Cálculo de las redundantes X1 y X2

De acuerdo con la ecuación Eec.2-2

1EI { 2268−3056}+ 1EI [ 72−72

−72117.333 ]{X1X2}={00 }

Hallamos el valor de las redundantes usando la Ec. 2-3

{X1X2}=EI [ 11306 3136

3136

3136

] 1EI {−22683056 }={−14.11817.382 } KN

Los elementos del vector columna son los valores de la reacción horizontal y verti-

cal en el apoyo C. El signo negativo en el valor de X1 significa que la reacción horizon-

tal es hacia la izquierda, es decir en sentido opuesto al indicado en el sistema de coor-

denadas.


Capí

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is d

e fu

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17

5. Diagramas de fuerza cortante y momento flector

Cálculo de los momentos flectores en los puntos A, B y C y en las secciones donde

se aplican las cargas. Usando la Ec. 2-4 tenemos:

2.3 Análisis para cargas diferentes Cuando se usa la ecuación 2-3 para encontrar las fuerzas redundantes en una es-

tructura bajo varias cargas diferentes, no es necesario repetir el cálculo de la matriz de


Capí

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e fu

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18

flexibilidad (y su inversa). Cuando el número de casos de carga es p, la solución puede

obtenerse de una sola ecuación matricial

[X]n x p = [f]n x n-1[-D0]n x p (2-6)

En la que cada columna de [X] y [D0] corresponde a una carga.

Las reacciones y las fuerzas de sección en la estructura original se pueden determinar

con ecuaciones similares a la ecuación 2-5, es decir,

[A]m x p = [As]m x 1 + [Au]m x n[X]n x p (2-7)

2.3.1 Efecto del desplazamiento en los nudos; efectos del ambiente

El método de fuerza se puede usar para el análisis de estructuras hiperestáticas

sometidas a solicitaciones externas diferentes a las cargas aplicadas, entre estas solici-

taciones externas podemos mencionar:

Asentamiento de las cimentaciones (apoyos)

Cambios de temperatura en los elementos de una estructura

Errores de montaje, por ejemplo cuando una barra de una armadura se fabrica más

corta o más larga que su longitud teórica

Efecto de contracción en los elementos de concreto al secarse

La pre fatiga que se induce en los elementos de concreto preesforzado.

En todos estos casos se puede aplicar la ecuación 2-3 para el análisis, siendo los

elementos de la matriz D0 los desplazamientos de la estructura liberada debido al efec-

to considerado, o a la combinación de los diferentes efectos.

2.3.2 Efecto del desplazamiento en las coordenadas

a) El desplazamiento de un apoyo tiene lugar en una de las coordenadas que repre-

sentan las fuerzas redundantes, este desplazamiento tiene que considerarse en la

ecuación de superposición. Por ejemplo si en el pórtico del ejemplo 2.3 suponemos que

el apoyo C sufre los desplazamientos (traslaciones) Δ1 y Δ2 respectivamente en las mis-

mas direcciones que las fuerzas redundantes X1 y X2. Las ecuaciones de compatibilidad


Capí

tulo

2 :

Mét

odo

de a

nális

is d

e fu

erza

19

deben expresar el hecho la suma de los desplazamientos en la dirección de cada coor-

denada ya no son nulos sino iguales a los desplazamientos Δ1 y Δ2

D01+f 11 X1+ f 12 X2=∆1

D02+f 21 X1+f 22X2=∆2

En forma matricial

{D0} + [f]{X} = {Δ}

Despejando X

{X} = [f]-1{Δ-D0} (2-8)

En donde Δ es una matriz del mismo orden que Do. En el caso general cuando el

número de fuerzas redundantes es n

∆={∆1∆2…∆n

} b) El desplazamiento del apoyo no coincide con una de las coordenadas, su efecto

del movimiento de apoyo se debe incluir en el cálculo de los desplazamientos de la es-

tructura primaria es decir en el cálculo de {Do}

La ecuación 2-8 es más general que la ecuación 2-3 y se puede usar para carga

externa así como para desplazamientos de apoyos. Cuando el análisis se va a llevar a

cabo para p casos de cargas y movimiento de apoyos es conveniente generalizar la

ecuación 2-6 en la forma

[X ]nxp=[ f ]nxn−1 [∆−D0 ]nxp (2-9)

Ejemplo 2.4. Analizar la viga continua de la figura para:

a) Una carga uniformemente distribuida de intensidad q=2 T/m en todos los tramos

b) Un movimiento descendente del apoyo A de 1 cm

c) Un movimiento descendente del apoyo B de 1 cm.

La viga tiene una rigidez constante a la flexión EI; E = 2 000 000 T/m 2; bxh =0.25 m

x 0.60 m


Capí

tulo

2 :

Mét

odo

de a

nális

is d

e fu

erza

20

q = 2 T/m

A B C D E

Solución

1. Grado de indeterminación estática, estructura liberada y sistema de coordena-

das

La Viga es estáticamente indeterminada en tercer grado. Obtenemos la estructura

liberada introduciendo una articulación sobre cada apoyo interior, es decir, con la elimi-

nación de dos fuerzas (momentos) iguales y opuestas que actúan a cada lado del apo-

yo. Así la estructura liberada resulta en una serie de vigas simplemente apoyadas (fig.)


2. Superposición

Caso a)


f11f21

X1=1 Capí

tulo

2 :

Mét

odo

de a

nális

is d

e fu

erza

21

La solución de los tres casos se obtiene mediante la ecuación 2.9

3. Cálculo de los desplazamientos en la estructura liberada(D0i)

Caso a) Los desplazamientos de la estructura liberada se obtienen de tablas

{D0 }={ql3

12 EIql3

12 EIql3

12 EI}={4 x 10

−3

4 x 10−3

4 x 10−3}{∆ }= {0 }

Caso b)

D01=δl= 1600

=1.67×10−3 ; D02=0 ; D03=0


X2=1

f12

f22f32

X3=1

f23 f33

f13=0

f31=0

Capí

tulo

2 :

Mét

odo

de a

nális

is d

e fu

erza

22

{D0 }={δl00}={1.67 x 10

−3

00 }{∆ }= {0 }

Caso c)

D01=−δl

−δl= −1600

− 1600

=−3.33×10−3 ; D02=δl= 1600

=1.67×10−3 ;D 03=0

{D0 }={−2δlδl0

}={−3.33 x10−3

1.67 x10−3

0 }{∆ }={0 }

Δ

[∆−D0 ]=−[D0 ]=−[4 x 10−3 1.67 x 10−3 −3.33 x 10−3

4 x 10−3 0 1.67 x 10−3

4 x 10−3 0 0 ]

[ f ]= lEI [4 1 0

1 4 10 1 4]

[ f ]−1=3 EI28 l [ 15 −4 1

−4 16 −41 −4 15 ]


Capí

tulo

2 :

Mét

odo

de a

nális

is d

e fu

erza

23

[ X ]=−3 EI28 l [ 15 −4 1

−4 16 −41 −4 15 ] [4 x10

−3 1.67 x10−3 −3.33 x10−3

4 x10−3 0 1.67 x10−3

4 x10−3 0 0 ]

[ X ]=[−7.714 −4.018 9.107−5.143 1.071 −6.428−7.714 −0.268 1.607 ]


1.071 t-m

6.428 t-m

0.268 t-m

4.018 t-m

5.143 t-m

7.714 t-m 7.714 t-m

qL2/8 =9 9 9 9

Capí

tulo

2 :

Mét

odo

de a

nális

is d

e fu

erza

24

Tarea. Analizar el pórtico del ejemplo 2.3, si además de la carga, el apoyo C sufre un asentamiento vertical de 10 mm. Asumir EI constante para todos los miembros. Asumir E = 200 GPa e I=10-4 m.se asienta ara el pórtico plano ABC del ejemplo 2.3

Desplazamiento debido al movimiento de apoyos

2.3.3 Efecto de variaciones de temperatura


9.107 t-m

1.607 t-m

Capí

tulo

2 :

Mét

odo

de a

nális

is d

e fu

erza

25

Ejemplo2.5. Construir los diagramas de momento flector, en el pórtico de la figura, para los siguientes casos

a) Una carga uniformemente distribuida de 1t/m en el tramo ABb) Un asentamiento de 10 mm en el apoyo Dc) Una variación de temperatura t1=20ºC y t2=50ºC en la cara superior e inferior de

la barra BCE=2x106 ton/m2; α=12x10-6/ºC; I = 1.6x10-3 m4

q= 2 t-/m

8 m 8m

1. Grado de indeterminación estática, estructura primaria y sistema de coordena-

das. El pórtico plano es estáticamente indeterminado en segundo grado. Obte-

nemos la estructura liberada eliminando el apoyo E. La estructura liberada y el

sistema de coordenadas se muestran en la figura


Capí

tulo

2 :

Mét

odo

de a

nális

is d

e fu

erza

26

X1, D1

X2, D2


2. Superposición

q= 4 ton/m

8q

M0 D01 caso b) D01

D02 D02

ΔD=10 mm

Caso a): carga Caso b): movimiento de apoyo

t1=20ºC

t2=50ºC

D01

D02

Caso c): Variación de temperatura

4 4

6 4

+ 2 m1 X1

f11 X1 =1


Capí

tulo

2 :

Mét

odo

de a

nális

is d

e fu

erza

27

f21

+ 8 f12 X2

f22

m2 X2=1

3. Ecuaciones de compatibilidad

D01+f 11 X1+ f 12 X2=0

D02+f 21 X1+f 22X2=0

Para cada caso (carga, desplazamiento de apoyo y variación de temperatura), de-

berá calcularse los desplazamientos, Doi, en la estructura liberada. En forma matricial

[ X ]2×3= [ f ]2×3−1 [−D0 ]2× 3(1)

Donde cada columna de la matriz Do corresponde a los casos considerados.

4. Calculo de los coeficientes Doi

Caso a) Carga aplicada

D01=∫m1M 0ds

EI=( 23 ×8q×82 EI )×1=64 q3 EI

D02=∫m2M 0ds

EI=( 23 ×8q×82 EI )×4=256q3 EI

Caso b) Asentamiento de apoyo

D j=−∑ δRmj∆m

D01=−( 14 )×0.01=−0.0025m

D02=−(2 )×0.01=−0.02m

Caso c) Variación de temperatura

D j=∑ ∝h

(t1h2+t 2h1 ) An+∑ ∝h

(t 2−t 1 ) Am


Capí

tulo

2 :

Mét

odo

de a

nális

is d

e fu

erza

28

D01=12×10−6

0.4[(20×0.2+50×0.2) (−1×8 )+(50−20) (−4×8 ) ]

D01=−0.03216m

D02=12×10−6

0.4 [(20×0.2+50×0.2)(0 )+(50−20)( 12×8×8)]D02=0.0288m

Por lo tanto, la matriz [Do] es

[D0 ]=[ 64 q3 EI−0.0025 −0.03216

256 q3 EI

−0.02 0.0288 ]5. Cálculo de los coeficientes de flexibilidad fij

f 11=∫m1m1ds

EI=( 12 2×82 EI )( 23 2)+( 12 6×6EI )( 23 6)+( 4×82EI ) (4 )+( 12 4×4EI )( 23 4)= 4883 EIf 12=f 21=∫

m1m2ds

EI=( 12 2×82 EI )( 23 8)+( 4×82EI ) (−4 )

f 12=f 21=−1283 EI

f 22=∫m2m2ds

EI=[( 12 8×82 EI )( 23 8)]×2= 5123 EI

Matriz de flexibilidad [f]

[ f ]= 13 EI [ 488 −128

−128 512 ] y su inversa

[ f ]−1=EI [ 1152 1/608

1608

2319

]6. Calculo de la matriz [x]. Utilizando la Ec. (1)

[ X ]=−EI [ 1152 1/608

1608

2319

][ 64q3 EI−0.0025 −0.03216

256q3 EI

−0.02 0.0288 ] Reemplazando E e I por sus valores y multiplicando las matrices, obtenemos:


Capí

tulo

2 :

Mét

odo

de a

nális

is d

e fu

erza

29

[ X ]=[−1.1228 0.1579 0.5255−2.2807 0.4145 −0.4086] ton

Los elementos en esta matriz corresponden a los casos a), b) y c) y los dos ele-

mentos de cada columna son las reacciones en el apoyo E

7. Diagramas de fuerzas internas. Los diagramas de N, V y M, para cada caso, se

muestran a continuación


Capí

tulo

2 :

Mét

odo

de a

nális

is d

e fu

erza

30

Efecto de las cargas

Diagrama de fuerza normal (N)

Diagrama de fuerza cortante (V)

Diagrama de momento flector (M)Efecto de asentamiento de apoyo


Capí

tulo

2 :

Mét

odo

de a

nális

is d

e fu

erza

31

Diagrama fuerza normal (N)

Diagrama de fuerza cortante (V)

Diagrama de momento flector (M)


Capí

tulo

2 :

Mét

odo

de a

nális

is d

e fu

erza

32

Efecto de variación de temperatura

Fuerza normal (N)

Fuerza cortante (V)

Momento flector (M)


Capí

tulo

2 :

Mét

odo

de a

nális

is d

e fu

erza

33

Q

2.4 Aprovechamiento de la simetría en el análisis de estructura estáticamente in-determinadas

2.5 Determinación de los desplazamientos en estructuras estáticamente indeter-

minadas

En estructuras estáticamente indeterminadas los desplazamientos se pueden deter-

minar usando el principio de las fuerzas virtuales; para ello será necesario analizar la

estructura estáticamente indeterminada debido a las solicitaciones externas y debido

a una carga virtual unitaria en la dirección y ubicación del desplazamiento deseado.

Significa que para calcular el desplazamiento en una estructura estáticamente indeter-

minada es necesario calcular dos veces la misma estructura estáticamente indetermi-

nada.

La dificultad que representa vencer dos veces la misma estructura estáticamente

indeterminada puede evitarse si razonamos de la siguiente manera:

Consideremos la estructura estáticamente indeterminada en la cual deseamos cal-

cular el desplazamiento de la coordenada j (figura a). Seleccionemos la estructura libe-

rada y sobre ésta apliquemos las solicitaciones externas y las redundantes X i (X1, X2,

X3). Una vez analizado la estructura estáticamente indeterminada y obtenidos los valo-

res de las redundantes, la estructura de la figura b no se diferencia en nada de la es-

tructura original. Luego, serán iguales los desplazamientos de todos los puntos en las

dos estructuras. Así, las redundantes X1, X2 y X3 se pueden considerar como fuerzas

dadas.

Por lo tanto, es evidente que para calcular el desplazamiento en una estructura es-

táticamente indeterminada no es necesario calcular dos veces la estructura dada, ya

que la carga virtual unitaria se pueda aplicar a la estructura liberada (isostática) (figura

c) y usar el procedimiento usual para evaluar el desplazamiento deseado.


Capí

tulo

2 :

Mét

odo

de a

nális

is d

e fu

erza

34

a) b) c)

Ejemplo


Capí

tulo

2 :

Mét

odo

de a

nális

is d

e fu

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35

Documents

ANALISIS ESTRUCTURAL (Metodo de las Fuerzas