ANLISIS DIMENSIONAL

Equipo #5 Andrea Snchez Viveros Dario Ortiz Huerta Ernesto Montufar Martinez

ANLISIS ADIMENSIONAL Introduccin Dimensiones y Unidades Homogeneidad Dimensional Parmetros Adimensionales Teorema de Pi de Buckingham

INTRODUCCION E n l a M e c n i ca d e F l u i d o s h a y m u c h o s p r o b l e mas q u e , p o r s u c o m p l ej idad , n o s e p u e de n r e s o l v e r a n a l t ica ment e. S e h a c e n e c e s a rio r e c u r r i r a m t o do s e xp e r i m ent ales . S i n e m b a r g o, r e a l i za r e xp e r i m e nt os e n u n l a b o r at or io e s c a r o y l l e v a m u c h o t i e m p o . A d e m s , e n u n f e n me no c u a l q ui era d e M e c n i ca d e F l u i d os p u e d e n i n t e r v enir m u c h a s v a r i a bl es: v i s c o s idad , d e n s i da d, d i m et ro, q u e d i f i c ult a s u r e s o l u ci n e t c . . .

E l A n l i si s D i m e n sio nal e s l a h e r r a m ie nta q u e n o s a yu d a a s i m p l i f ic ar e l e s t u d io d e u n p r o b l em a c o n c r e t o, ya q u e n o s p e r m i t e r e d u c i r e l n m e r o d e v a r i a bles n e c e s a ri as p a r a a n a l i za r u n d e t e r m i nado s i s t e m a. M e d i a nt e e s t e m t o d o p o d e m os o b t e n e r u n a s e r i e d e p a r m e tr os a d i m ens iona les q u e r e l a c i o nan l a s v a r i a b le s f s i c as i m p l i c adas e n e l f l u j o a e s t u diar. Al t r a b a j ar c o n m e n o s v a r i a b l es t e n d r e mos q u e r e a l i za r m e n o s e xp e r i ment os , l o q u e s u p o n e u n c o n s i d er able a h o r r o d e t i e m p o y d i n e r o.

U n a v e n t a j a a d i c i o nal, m u y i m p o r t ant e q u e n o s p r o p o r ci ona l a t e o r a d i m e ns ional es l a d e p r e d e c ir l o s r e s u l t ados d e u n p r o ye c t o , e n b a s e a l o s o b t e ni dos e n s a ya n d o c o n u n m o d e l o a e s c a l a r e d u c i da . P o r e j e m p l o n o p a r e ce r a zo n a b le c o n s t r u ir u n a v i n a e s c a l a n a t u r a l p a r a c o m p r o bar s i p r o p or cio na l a s u s t e n ta cin s u f i c ie nte . E n s a ya r e mo s c o n u n m o d e l o a e s c a la r e d u c i da y, m e d i a nt e l a s l e ye s d e s e m e j a nza , c a l c u l ar emos l o s r e s u l tad os p a r a e l p r o t o t ipo .

E l a n l i s is d i m e n s iona l e s u n m t o d o d e a n l i s is q u e p u e d e u t i l i za r se p a r a c u a l qu ier f e n m eno f s i c o y c u ya b a s e f u n d a ment al e s t e n e l c o n o ci mien to d e l a s v a r i a bl es f s i c as q u e i n t e r v iene n e n e l f e n men o, e s d e c i r, l a b a s e e s e l e s t u d i o y c o n o c i mien to p r e v i o d e l p r o c e so y d e t o d a s l a s v a r i a bl es q u e i n t e r v ie nen e n l , y e n l a e c u a c i n d e d i m e n s ione s d e c a d a u n a d e d i c h a s v a r i a b les f s i c a s

ANALISIS DIMENSIONAL E l a n l i s is d i m e n s iona l e s u n m t o d o m a t e m ti co d e c o n s i d era ble v a l o r e n l a r e s o l u ci n d e c u a l q uie r f e n men o f s i c o . To d a s l a s v a r i a b les o e n t i d a des f s i cas s e p u e d en e xp r e s a r e n f u n c i n d e u n a s v a r i a b le s o e n t i d a de s f u n dam ent ales , q u e e n m e c n i ca s o n : L o n g i tu d ( L ) , M a s a ( M ) y t i e m p o ( T ) . P o r e j e m p lo: F u e r za = m a s a . a c e l e r aci n = m a s a . l o n g i t ud/ ti empo ^2 P o r t a n t o l a e c u a c i n d e d i m e n si ones d e l a F u e r za e s : M LT ^- 2

E n c u a l q u ier e c u a c i n q u e r e p r e s ent e u n f e n me no f s i c o r e a l , c a d a t r m i no d e b e d e c o n t e n er l a m i s m a p o t e n c i a d e l a s v a r i a b les f u n dam ent ales ( L , M , T ) . E n o t r a s p a l a b r as, s i s e c o m p a r an l o s t r m i n o s e n t r e s , t i e n e n q u e t e n e r t o d o s l a s m i s m a s d i m e n s io nes, ya q u e s i n o , l a e c u a ci n n o t i e n e s e n t i d o, a u n q u e p u e d a d a r e l m i s m o r es ult ado n u m r i co.

E n m u c h o s c a s o s a l e s t u d i ar u n f e n men o f s i c o s e c o n o c en l a s v a r i a bl es q u e i n t e r v i enen e n d i c h o f e n m eno, m i e n t r a s q u e l a r e l a c i n e n t r e l a s v a r i a bles s e d e s c o n oc e;m edia nte e l a n l i s is d i m e n s ion al , e l f e n m eno p u e d e f o r m ul ars e c o m o u n a r e l a c i n e n t r e u n c o n j u nt o d e g r u p o s a d i m ens iona les d e l a s v a r i a b les, s i e n d o e l n m e r o d e g r u p o s m e n o r q u e e l d e v a r i a b les .

L a r a z n d e l o a n t e r i or e s q u e l a n a t u r a leza n o s e p r e o c up a p o r l a s c o o r de nadas y d i m e n s ion es q u e e l h o m b r e u t i l i za c u a n d o t r a t a d e i m i t a r u n p r o c es o r e a l . P o r e l l o l o s g r u p o s a d i m e ns iona les m e n c i o nado s a n t e s , s o n m e j o r es p a r a i m i t a r p r o c e s os r e a l e s q u e l a s v a r i a b les m i s m a s e n s

MAGNITUDES FUNDAMENTALES Y DERIVADAS L a s m a g n i t ud es f u n d ame nta les s o n a q u e l las e n t i d a des o v a r i a b les f s i c a s a p a r t i r d e l a s c u a l e s p u e d e n d e d u c i rs e t o d a s l a s d e m s , q u e s e r n l l a m ad as m a g n i tu des d e r i v a das . S i t r a b a j am os e n e l S i s t e m a I n t e r n ac ion al , s e s u e l e n t o m a r c o m o v a r i a bles f u n d a ment ale s l a m a s a , l a l o n g i t ud y e l t i e m p o , a a d i e ndo l a t e m p er at ura c u a n d o h a y f e n meno s d e t r a n s m isi n d e c a l o r

E j e m pl os: l a v e l o c id ad e s u n a m a g n i t ud d e r i v a da d e l a l o n g i t ud y d e l t i e m p o: [ V ] = L / T = LT ^- 1 (1) p o r o t r a p a r t e , l a d e n s i dad e s l a r e l a c i n e n t r e l a m a s a y e l v o l u m e n: [ ] = M / [ V ] = M / L ^3 = M L ^- 3 (2) L a s i g u a l d ades ( 1 ) y ( 2 ) s o n l a s e xp r e s i ones o e c u a c i one s d e d i m e n sio nes d e l a v e l o c i dad y l a d e n s i d ad, r e s p e c t iv ament e. S e h a n t o m a d o c o m o m a g n it udes f u n d a ment al es l a m a s a M , l a l o n g i t ud L y e l t i e m p o T.

PRIMER PRINCIPIO DEL ANALISIS DIMENSIONAL

To d a e c u a c i n d e d i m e n sio nes d e c u a l q u ier m a g n i t ud f s i c a t i e n e q u e a d o p ta r l a f o rm a d e p r o d u ct o d e p o t e n ci as d e l a s d i m e n s io nes f u n dam ent ales .

SEGUNDO PRINCIPIO DEL ANALISIS DIMENSIONAL E n a l g u n as e xp r e s i o nes d e c l c u l o a p a r e ce n c o n s t a n tes d i m e n s io nales , c u yo v a l o r n u m r i co d e p e n de d e l s i s t e m a d e m a g n i t udes f u n d a men tal es q u e u t i l i c e mos. E n e s t o s c a s o s d e b e c u m p l ir se e l s i g u i e nt e p r i n c i p io: l a s c o n s t ant es d i m e n s ional es q u e a p a r e zc an e n f r m u las d e u s o c i e n t f ic o d e b e n e s t a r c o n s t i t uida s, s u s d i m e n si ones , p o r p r o d u c t os d e p o t en cia s d e l a s d i m e n sio nes d e l s i s t e m a e l e g i d o.

DIMENSIONES Y UNIDADESUna dimensin es una medida de una cantidad fsica (sin valores nmericos) mientras que una unidad es una manera de asignar un nmero a dicha dimensin. Existen 7 dimensiones primarias (tambin llamadas dimensiones fundamentales o bsicas): Masa Longitud Tiempo Temperatura Corriente Elctrica Cantidad de luz Cantidad de Materia

Las dimensiones no primarias se pueden formar por la combinacin de las siete dimensiones bsicas. La fuerza tiene las mismas dimensiones que masa por aceleracin.

DIMENSIONES PRIMARIAS

HOMOGENEIDAD DIMENSIONALLa ley de la Homogeneidad se enuncia como: Todo trmino aditivo en una ecuacin debe tener las mimas dimensiones.

HOMOGENEIDAD DIMESIONAL Considere el cambio de energa total de un sistema cerrado compresible simple de un estado o tiempo 1 y 2. El cambio de energa total del sistema E esta dado por:

Dichos componentes se pueden escribir en trminos de masa del sistema (m) , las cantidades mesurables y las propiedades termodinmicas en cada uno de los dos estados, como la velocidad (V), elevacin (z) y la energa interna especifica y la conocida constante gravitacional (g).

Cuando se usan las definiciones anteriores se escriben las dimensiones primarias de cada trmino

HOMOGENEIDAD DIMENSONALSi en alguna etapa de un anlisis se encuentra en que dos trminos aditivos en una ecuacin tienen diferentes dimensiones, esto sera una clara indicacin que se ha cometido un error. La ley de homogeneidad dimensional garantiza que todo trmino aditivo en la ecuacin se divide entre un conjunto de variables y constantes cuyo producto tenga esas mismas dimensiones, la ecuacin queda sin dimensiones. Cada trmino en una ecuacin sin dimensiones es adimensional En el proceso de adimensionalidad en una ecuacin de movimiento, con frecuencia aparecen parmetros adimensionales.

HOMOGENEIDAD DIMENSONALLas variables dimensionales se definen como cantidades dimensionales que cambian o varian en el problema. Las variables adimensionales se definen como cantidades que cambian o varan en un problema, pero que no tienen dimensiones, un ejemplo es un ngulo de rotacin que se mide en grados o radianes. El trmino parmetros se usa para el conjunto combinado de variables dimensionales, variables adimensiones y constantes dimensionales en el problema.

HOMOGENEIDAD DIMENSONAL

Para eliminar las dimensiones de la ecuacion es necesario seleccionar parmetros de escalamiento con base en las dimensiones primarias contenidas en la ecuacion original. En problemas de flujo de fluidos usualmente existen por los menos tres parmetros, por ejemplo masa, longitud y tiempo. En este caso solo existen dos dimensiones primarias longitud y tiempo. Para la eliminacion de dimensiones En el primer paso se hace una lista de las dimensiones primarias de todas la variables dimensionales y constantes dimensionales en el problema . El segundo paso es usar los dos parmetros de escalamiento para eliminar las dimensiones z y t y convertirlas en variables adimensionales

NMERO DE FROUDE

Cuando se sustituyen los valores en la ecuacion orginal

que es la ecuacin deseada. El agrupamiento de las constantes dimensionales de la ecuacin es el cuadrado de un conocido parmetro o grupo adimensional llamado nmero de Froude

El nmero de Froude tambin aparece como un parmetro adimensional en flujos de superficie libre y se puede considerar como las razon de la fuerza inercial a la fuerza gravitacional. Existen dos ventajas clave de la eliminacion de dimensiones. Primera, aumenta la comprension acerca de las relaciones entre los parmetros clave. Segunda, reduce el nmero de parmetros en el problema.

ANLISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUDEliminar las dimensiones de una ecuacin por medio de anlisis por inspeccin es til slo cuando uno sabe con cul ecuacin comenzar. Sin embargo, en muchos casos en la ingeniera de la vida real, las ecuaciones o no se conocen o son demasiado dificiles de resolver, la mayora de las veces la experimentacin es el nico mtodo de obtener informacin confiable. En la mayora de los experimentos, para ahorrar tiempo y dinero, las pruebas se realizan en un modelo a escala geomtrica, en lugar de en un prototipo de tamao real. En tales casos, se debe tener cuidado de escalar adecuadamente los resultados. Aqu se introduce una poderosa tcnica llamada anlisis dimensional. Aunque de manera usual se piensa en la mecnica de fluidos, el anlisis dimensional es til en todas las disciplinas.

ANLISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUDLos tres prpositos principales del anlisis dimensional son: Generar parmetros adimensionales que ayuden en el diseno de experimentos y en el reporte de los resultados experimentales. Obtener leyes de escalamiento de modo que se puede predecir el desempeno del prototipo a partir del desempeo. Predecir las tendencias en la relacion entre parametros. Existen tres condiciones necesarias para similitud completa entre un modelo y un prototipo. La primera condicin es la similitud geomtrica, el modelo debe de tener la misma forma en el prototipo, pero se le puede escalar por algn factor de escala constante.

ANLISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUDLa segunda condicin es la similitud cinemtica, lo que significa que la velocidad en cualquier punto en el flujo del modelo debe ser proporcional a la velocidad en el punto correspondiente en el flujo del prototipo. Especificamente, para la similitud cinemtica la velocidad en punto correspondientes debe escalar en magnitud y debe apuntar en la misma direccin relativa. La similitud geomtrica es un requisito para la similitud cinemtica. La tercera y ms restrictiva condicin es la de similitud dinmica. La similitud dinmica se logra cuando todas la fuerzas en el flujo del modelo se escalan por un factor constante a fuerzas correspondientes en el flujo del prototipo (equivalencia en escala de fuerza).

ANLISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD

En un campo de flujo general, la similitud completa entre un modelo y un prototipo se logra slo cuando existen similitudes geomtrica, cinmatica y dinmica

Se usa la letra griega para denotar un parametro adimensional. En un problema general de analisis dimensional, existe una que se llama dependiente, a la que se le da la notacion de 1 . El parametro 1 es en general una funcion de otras variables , que se llaman independientes. La relacion funcional entre : 1 = f( 2 , 3 ,..

k)

Considere un experimento en que un modelo a escala se pone a prueba para simular un flujo de prototipo. Para garantizar la similitud completa ente el modelo y el prototipo, cada independiente del modelo (sub m) debe ser idntico a la correspondiente independiente del prototipo (sub p) es decir: 2,m = 2,p , 3,m = 3,p ,.

k,m = k,p

Para garantizar similitud completa, el modelo y el prototipo deben ser geomtricamente similares, y todos los grupos independientes deben coincidir entre modelo y prototipo.

En estas condiciones, se garantiza que la dependiente del modelo ( 1 , m ) se iguale tambien con la dependiente del prototipo ( 1 , p ). Matemticamente se escribe un enunciado para lograr similitud.

Si 2 , m = 2 , p

y 3,m = 3,p , . y

k,m = k,p

Entonces 1 , m = 1 , p

EJEMPLO Considere el diseo de un nuevo auto deportivo, cuya aerodinmica se pondr a prueba en un tnel de viento. Lo ideal es un modelo pequeo, escalado geomtricamente, del auto en lugar de un prototipo a tamao real. Figura En el caso de la fuera de arrastre sobre el automovil el flujo se aproxima como incomprensible, solo existen dos en el problema. 1 =f( 2 ) donde 1 =F D / V ^ 2 L ^ 2 y 2= VL/

Donde F D es la magnitud de la fuerza de arrastre, es la densidad del aire, V la velocidad del auto (vel del aire del tnel), L es la longitud del auto y es la viscosidad del aire. 1 es una forma no estndar del coeficiente de arrastre y 2 es el numero de Reynolds, Re.

TEOREMA PI DE BUCKINGHAM

Ya que hemos visto la utilidad del anlisis dimensional ahora aprenderemos a generar los parmetros adimensionales; es decir: las .

Existen varios mtodos para este propsito, pero el mtodo ms popular(y ms simple) es el mtodo de repeticin de variables, popularizado por Edgar Buckingham (18671962).

El mtodo lo public por primera vez el cientfico ruso Dimitri Riabouchinsky (1882-1962) en 1991. Se puede considerar a este como un procedimiento paso a paso receta para obtener parmetros adimensionales.

Existen seis pasos: Paso 1: Haga una lista con los parmetros del problema y cuente su nmero total n. Paso 2: Haga una lista con las dimensiones primarias de cada uno de los n parmetros.

Paso 3: Establezca la reduccin j como el nmero de dimensiones primarias. Calcule k, el nmero esperado de k=n-j. Paso 4: Elija j parmetros repetitivos.

Paso 5: Construya las k y manipule segn sea necesario. Paso 6: Escriba la relacin funcional final y verifique su lgebra.

Como un primer ejemplo simple, considere un bola que cae en un vaco. Imagine que no se sabe que la ecuacin z=z 0 +w 0 t-1/2(gt 2 ) es apropiada para este problema ni que conoce mucha fsica en relacin con los objetos que caen. De hecho, suponga que todo lo que es que la elevacin instantnea z de la bola debe ser funcin del tiempo t, de la velocidad vertical inicial w 0, de la elevacin inicial z 0 y de la constante gravitacional g.

PASO 1 en este problema existen cinco parmetros (variables dimensionales, variables adimensionales y constantes dimensionales); n=5. Se menciona de manera funcional, con la variable dependiente citada como funcin de las variables independientes y constantes: Lista de parmetros importantes: z=f(t,w 0 ,z 0 ,g) n=5

PASO 2 Aqu se presenta una lista con las dimensiones primarias de cada parmetro. Se recomienda escribir cada dimensin con exponentes porque esto ayuda despus con el lgebra.

z {L 1 } 2}

t {t 1 }

w0 {L 1 t -1 }

z0 {L 1 }

g {L 1 t -

PASO 3 Como primera suposicin, j se hace igual a 2, el nmero de dimensiones primarias representadas en el problema (L y t). Reduccin j=2 Si este valor de j es correcto, el nmero de predicho por el teorema de Pi de Buckingham es: Nmero esperado de : k= n-j = 5-2 = 3

PASO 4 Es necesario elegir dos parmetros repetitivos porque j=2. Dado que con frecuencia sta es la parte ms difcil (o al menos la ms misteriosa) del mtodo de repeticin de variables. La eleccin ms apropiada de dos parmetros repetitivos es w 0 y z 0. Parmetros repetitivos: w0 y

z0

PASO 5 Ahora se combinan dichos parmetros repetitivos en productos con cada uno de los parmetros restantes, uno a la vez, para creas las . La primera siempre es la dependiente y se forma con la variable dependiente z. dependiente: 1 = zw a1 0 z b1 0 (7-15)

Donde a1 y b1 son exponentes constantes que es necesario determinar. Las dimensiones primarias del paso 2 se aplica a la ecuacin (7-15) y se fuerza a la a ser adimensional cuando se establece el exponente de cada dimensin primaria en cero: Dimensiones de 1 : {1}

= {L 0 t 0 } = {zw a1 0 z b1 0 } = {L 1 (L 1 t -1 )

a1 L b1 }

Dado que las dimensiones primarias son, por definicin, independientes unas de otras, se igualan los exponentes de cada dimensin primaria de manera independiente para resolver los exponentes a 1 y b 1. Tiempo: {t 0 } = {t -a1 } 0 = -a 1 a 1 =0 Longitud: {L 0 } = {L 1 L a1 L b1 } 0=1+a 1 +b 1 b 1 =-1-a 1 b 1 =-1

La ecuacin (7-15) entonces se convierte en: (7-16)

1 =

De manera similar se crea la primera independiente ( 2 ), por medio de la combinacin de los parmetros repetitivos con la variable independiente t. Primera tw a2 0 z b2 0 independiente:2

=

Dimensiones de 2 : { 2 } = {L 0 t 0 } = {tw a2 0 z b2 0 } = {t (L 1 t -1 )

a2 L b2 }

Cuando se igualan los exponentes: Tiempo: {t 0 } = {t 1 t -a2 } 0 = 1-a 2 a2 = 1 Longitud: {L 0 } = {L a2 L b2 } 0 = a 2 +b 2 b 2 = -a 2 b 2 = -1 Por lo tanto, 2 es: 2

=

(7-17)

Finalmente se crea la segunda independiente ( 3 ) cuando se combinan los parmetros repetitivos con g y se fuerza a a ser adimensional. Segunda gw a3 0 z b3 0 independiente: {3}

=

Dimensiones de

3: a3

{ 3} = {L 0 t 0 } = {gw a3 0 z b3 0 } = {L 1 t -2 (L 1 t -1 )

L b3 }

Cuando se igualan exponentes, Tiempo: {t 0 } = {t -2 t -a3 } 0 = -2-a 3 a 3 = -2 Longitud: {L 0 } = {L 1 L a3 L b3 } 0 = 1+a 3 +b 3 b 3 = -1-a 2 b3 = 1 Por lo tanto3 3

es: (7-18)

=

Se han encontrado tres , pero en este punto es prudente exam inarlas para ver si se necesita alguna operacin. Inm ediatamente se ve que 1 y 2 son lo m ismo que las variables adim ensionales z* y t* para ellas no se necesita m anipulacin. Sin em bargo, se reconoce que la tercera se debe elevar a la potencia de - para ser de la m isma form a que un parm etro adim ensional establecido, es decir, el nm ero de Froude: 3 modificada : 3,modificada = (7-19)

PASO 6 Debe comprobar dos veces que las de hecho son adimensionales. Finalmente est listo para escribir la relacin funcional entre los parmetros adimensionales. Cuando se combinan las ecuaciones (7-16), (7-17) y (7-19):

Relacin entre 1 = f( 2, 3)

: =f .

EJEMPLO 7-9 FRICCION DE UN TUBO C onsidere el f luj o de un f luido incom presible de densidady viscosidad a t ravs de una larga seccin horizont al de t ubo redondo de dim et ro D. el perf il de velocidad se bosquej a en la f igura 7-34; V es la velocidad prom edio a t ravs de la seccin t ransversal del t ubo, que por conservacin de m asa perm anece const ant e a lo largo del t ubo. Parra un t ubo m uy largo, el f luj o f inalm ent e se volver total mente desarrol l ado, lo que signif ica que el perf il de velocidad t am bin perm anece unif orm e a lo largo del t ubo. Debido a las f uerzas de f riccin ent re el f luido y la pared del t ubo, exist e un esf uerzo de cort e sobre la superf icie int erior del t ubo, com o se ilust ra . el esf uerzo de cort e t am bin es const ant e a lo largo del t ubo en la regin t ot alm ent e desarrollada. Se supone ciert a rugosidad prom edio const ant e a lo largo de la superf icie int erior del t ubo. De echo, el nico parm et ro que no es const ant e a lo largo del t ubo es la presin, que debe dism inuir (linealm ent e) a lo largo del t ubo con la f inalidad de em puj ar el f luido a t ravs del t ubo para superar la f riccin.

. Desarrolle una relacin adimensional entre esf uerzo de corte y los otros parmetros en el problema.

PASO 1: Lista de parmetros relevantes: = f(V, , , , D) n=6 PASO 2: Lista de dimensiones primarias de cada parmetro: -- {m1L-1t-2} V -- {L1t-1} --- {L1} -- {m1L-3} ---{m1L-1t-1} D -- {L1}

PASO 3: Como primera suposicin, j se hace iguala a 3, el nmero de dimensiones primarias representadas en el problema (m, L, t). Reduccin: j = 3 Si este valor de j es correcto, el nmero esperado de es: K = n-j = 6-3 = 3 s

PASO 4: Se eligen tres parmetros repetitivos pues j = 3. Parmetros repetitivos: V, D y

PASO 5: Se genera la = Va1 D b1 c1

dependiente:

{

1}

= {m 0 L 0 t 0 } = { (m 1 L -1 t -2 )(L 1 t -1 ) a1 (L 1 ) b1 (m 1 L -3 ) c1 }0 = 1+c 1 c 1 = -1

Masa: {m 0 } = {m 1 m c1 }

Longitud: {L 0 } = {L -1 L a1 L b1 L -3c1 } 0 =1+a 1 +b 1 -3c 1 0 = -1-2+b 1 +3 b1 = 0 Tiempo: {t 0 } = {t -2 t -a1 } 0 = -2-a 1 a 1 = -2 dependiente:

modificada: el parmetro adimensional establecido ms similar a 1, es el factor de friccin de Darcy, que se define con un factor de 8 en el numerador. Por lo tanto, esta se puede manipular del modo siguiente: 1modificada :

De manera similar se generan las dos a2 b2 c2 2 = V D

independientes:

{

} = {m 0 L 0 t 0 } = { (m 1 L -1 t -1 )(L 1 t -1 ) a2 (L 1 ) b2 (m 1 L -3 ) c2 } 20 = -

Masa: {m 0 } = {m 1 m c2 } 0 = 1+c 2 c 2 = -1 Longitud: {L 0 } = {L -1 L a2 L b2 L -3c2 } 0 = -1+a 2 +b 2 -3c 2 1-1+b 2 +3 b 2 = -1 Tiempo: {t 0 } = {t -1 t -a2 } 0 = -1-a 2 a 2 = -1 2:

3 = Va3 D b3 c3 { 3 } = {m 0 L 0 t 0 } = {L 1 (L 1 t -1 ) a3 (L 1 ) b3 (m 1 L -3 ) c3 } Masa: {m 0 } = {m c3 } 0 = c3 c 3= 0 Longitud: {L 0 } = {L 1 L a3 L b3 L -3c3 } 0 = 1+a 3 +b 3 -3c 3 0 = 1+0+b 3 +0 b 3 = -1 Tiempo: {t 0 } = {t -a3 ] 0 = -a 3 a3 = 03:

PASO 6: La relacin funcional final se escribe como: