Analisis del metodo de elementos finitos para laecuacion de la Elastostatica y Poisson

Maria Luisa Daza Torres

Proyecto ecuaciones diferenciales parcialesCentro de Investigacion en Matematicas, CIMAT A.C.

Diciembre 13, 2012

1

1 IntroduccionEl metodo de elementos finitos permite realizar un modelo matematico decalculo del sistema real, mas facil y economico de modificar que un prototipo.Sin embargo no deja de ser un metodo aproximado de calculo debido a lashipotesis basicas del metodo.

2

Contents1 Introduccion 3

2 Conceptos basicos 5

3 Metodo de Residuos Ponderado 53.1 Metodo de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Metodo de Galerkin para la ecuacion de Poisson . . . . . . . . . 73.3 Metodo de Galerkin para la ecuacion de la Elastostatica . . . . . 12

4 Construccion de subespacios del elemento finito 154.1 Funciones polinomicas de forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3

2 Conceptos basicosDefinicion .1 El Metodo de los Elementos Finitos (M.E.F.) es un proced-imiento numerico para resolver ecuaciones diferenciales de manera aproximada.

El metodo basicamente sigue los siguientes pasos

• El dominio en el que esta definido el problema se divide en subdomin-ios denominados elementos finitos. Se utilizan geometrıas simples comotriamgulos o rectangulos en caso de dominios 2D.

• La variable continua queda definida por sus valores aproximados en puntosdiscretos, denominados nodos.

• La aproximacion de esta variable en puntos distintos de los nodos (dentrode cada elemento) se interpola mediante funciones de forma (generalmentepolinomicas).

Este metodo tiene las siguientes ventajas:

• Facilidad de analizar varios tipos de problemas

• Manejo de heterogeneidad en el dominio

• En particular cualquier forma de un dominio complejo puede ser manipu-lado con facilidad

3 Metodo de Residuos Ponderado

Definicion .2 El metodo consiste en aproximar una funcion u con unasuma de funciones

u ≈ u =n∑j=1

Ujϕj

Donde las funciones ϕj estan definidas en el dominio y Uj son coeficientesindeterminados.

4

Para el metodo de elementos finitos ϕj son polinomios que satisfacencondiciones de interpolacion.

Sea un conjunto abierto y conexo Ω ⊂ Rn con frontera ∂Ω un operadordiferencial A

– Se define una funcion u de un espacio U y operadores diferencialesBi, i = 1, ..., k

– Suponemos que la frontera ∂Ω posee un unico vector normal n encada punto, y se descompone en k partes ∂Ωi, i = 1, ..., k talque:

∪ki=1∂Ωi = ∂Ω

Dadas las funciones f , gi, i = 1, ..., k y ∂Ωi respectivamente, un problemamatematico asociado a una ecuacion diferencial parcial se describe por elsistema:

A[u] = f, en Ω (1)Bi[u] = gi en ∂Ωi, i = 1, ...k (2)

Ahora con referencia a la expresion anterior definimos funciones w y wi,i = 1, ..., k en Ω y ∂Ωi respectivamente, tal que la cantidad escalar Rpropuesta por:

R =∫

ΩwΩ(A[u]− f)dΩ +

k∑i=1

∫∂Ωi

wi(Bi[u]− gi)

Sea algebraicamente consistentes.

Estas funciones se llaman funciones de ponderacion y la ecuacion escalarR es la forma debil ponderada de la ecuacion diferencial. El objetivo esencontrar los coeficientes w y wj de tal manera que se minimize el residuo.

El metodo de Galerkin, colocacion y metodos de mınimos cuadrados, sederivan adecuadamente para restringir la forma admisible de las funcionesde ponderacion y la solucion real.

3.1 Metodo de Galerkin

– Este metodo utiliza las funciones de peso como las funciones de in-terpolacion.

– Un requisito es que estas funciones de interpolacion sean miembrosde un conjunto completo de funciones.

– Dentro de la formulacion de Galerkin el residuo es forzado a ser cero.

Permite obtener una solucion aproximada de la formulacion debil, consisteen:Encontrar uh ∈ Uh, tal que para todo wh ∈Wh.

B(wh, uh) + (wh, f) + (wh, q)Γq= 0

5

Donde Uh y Wh son subespacios de U y W respectivamente.

U = u ∈ H1(Ω) : u = u en ΓuW = w ∈ H1(Ω) : w = 0 en Γu

u ≈ uh =N∑I=1

αIϕI(x1, x2) + ϕ0(x1, x2)

w = wh =N∑I=1

βIψI(x1, x2)

Las funciones ϕI(x1, x2) y ψ(x1, x2) son funciones dadas y ϕ0 es escogidade tal manera que uh satisface la condicion de frontera.

3.2 Metodo de Galerkin para la ecuacion de Poisson

Considere el dominio Ω ⊂ Rn con frontera suave ∂Ω = Γu ∪ Γq y Γu ∩Γq = ∅, la forma fuerte de un problema de frontera es:

∂

∂x1(k ∂u∂x1

) + ∂

∂x2(k ∂u∂x2

) = f, en Ω (3)

−k ∂u∂n

= q en Γq (4)

u = u en Γu (5)

Donde u = u(x1, x2) es la solucion en Ω, K(x1, x2) funciones continuas.El dominio Ω de la ecuacion de laplace con condiciones de frontera deDirichlet Γu y condiciones de Neuman Γq y f(x1, x2) = f definido en Ω.

Asi como las funciones continuas q = q(x1, x2) en Γq y u = u(x1, x2) enΓu, son datos del problema:

Funciones residuales RΩ, Rq y Ru se definen:

RΩ(x1, x2) = ∂

∂x1(k ∂u∂x1

) + ∂

∂x2(k ∂u∂x2

)− f, en Ω (6)

Rq(x1, x2) = −k ∂u∂n− q en Γq (7)

Ru(x1, x2) = u− u en Γu (8)

Introducimos funciones arbitrarias wΩ = wΩ(x1, x2) en Ω, wq = wq(x1, x2)en Γq y wu = wu(x1, x2) en Γu.

La formal residual se tiene:∫ΩwΩRΩdΩ +

∫Γq

wqRqdΓ +∫

Γu

wuRudΓ = 0 (9)

6

Es equivalente a la forma fuerte con valor de frontera, siempre que lasfunciones de ponderacion son arbitrarias de dentro de la consistencia y launidad de definicion adecuada de las integrales. Una serie de hipotesis seintroducen al derivar el metodo de Galerkin.En primer lugar suponemos que la condicion de contorno (3) se cumpledesde el principio, es decir que la solucion u se pide sobre un conjuntode funciones candidatas que satisfacen (3). Por tanto, la integral de dela tercera parte de la izquierda de (7) desaparece y la eleccion de wu sevuelve irrelevante.

Al observar que los dos terminos restantes de (7) sean consistentes enunidades, a condicion de que wΩ, wq tengan las mismas unidades, intro-ducir el segundo supuesto lleva a una formulacion llamada Galerkin, setrata de una eleccion particular de las funciones wΩ y wq segun la cual:

wΩ = w en Ω (10)wq = w en Γq (11)

La sustitucion de las expresiones anteriores para las funciones de pon-deracion en la forma residual ponderada (7) nos queda:∫

Ωw( ∂

∂x1(k ∂u∂x1

) + ∂

∂x2(k ∂u∂x2

)− f)dΩ−∫

Γq

w(k ∂u∂n

+ q )dΓ = 0 (12)

Hacemos ahora integracion por partes,∫Ω w( ∂

∂x1(k ∂u

∂x1) + ∂

∂x2(k ∂u

∂x2))dΩ = −

∫Ω w( ∂w∂x1

(k ∂u∂x1

) + ∂w∂x2

(k ∂u∂x2

))dΩ +∫∂Ω wk( ∂u∂x1

n1 + ∂u∂x2

n2)dΓReemplazando (11) en (10)

−∫

Ω( ∂w∂x1

(k ∂u∂x1

) + ∂w

∂x2(k ∂u∂x2

) + wf)dΩ +∫∂Ωwk( ∂u

∂x1n1 + ∂u

∂x2n2)dΓ−

∫Γq

w(k ∂u∂n

+ q )dΓ = 0 (13)

Recordemos que la proyeccion del gradiente u en la direccion unidad haciael exterior normal n esta dada por:

∂u

∂n= ∂u

∂x1n1 + ∂u

∂x2n2 (14)

Asi (12) nos queda

−∫

Ω( ∂w∂x1

(k ∂u∂x1

) + ∂w

∂x2(k ∂u∂x2

) + wf)dΩ +∫∂Ωwk

∂u

∂ndΓ−

∫Γq

w(k ∂u∂n

+ q )dΓ = 0 (15)

Teniendo en cuenta que ∂Ω = Γu ∪ Γq simplificamos

−∫

Ω( ∂w∂x1

(k ∂u∂x1

) + ∂w

∂x2(k ∂u∂x2

) + wf)dΩ +∫

Γu

wk∂u

∂ndΓ−

∫Γq

wq dΓ = 0 (16)

7

Ahora adicionamos un supuesto, w = 0 sobre ΓuEsta ultima expresion conduce a la ecuacion residual ponderada:∫

Ω( ∂w∂x1

(k ∂u∂x1

) + ∂w

∂x2(k ∂u∂x2

) + wf)dΩ +∫

Γq

wq dΓ = 0 (17)

Que se conoce como la formulacion de Galerkin del problema original.El problema residual ponderado (16) se puede expresar operacionalmentecomo sigue:Encontrar u ∈ U , tal que para todo w ∈W

B(w, u) + (w, f) + (w, q)Γq= 0 (18)

Donde U = u ∈ H1(Ω) : u = u en Γu, W = w ∈ H1(Ω) : w =0 en Γu

Obtenemos asi que B(w, u) es una forma bilineal simetrica, definida:∫Ω

( ∂w∂x1

(k ∂u∂x1

) + ∂w

∂x2(k ∂u∂x2

) + wf)dΩ

Mientras que (w, f) y (w, q) son formas lineales definidas respectivamente

como:

(w, f) =∫

Ωwf dΩ

(w, q) =∫

Γq

wq dΓ

La identificacion de la solucion admisible en el campo U y el campo defunciones de ponderacion W esta sujeta por las restricciones impuestasdurante la derivacion de (16).

Una aproximacion finito dimensional del metodo de Galerkin se obtienemediante la reformulacion del problema residual ponderado de la siguientemanera:

Encontrar uh ∈ Uh, tal que para todo wh ∈Wh

B(wh, uh) + (wh, f) + (wh, q)Γq= 0

Donde Uh y Wh son subespacios de U , W respectivamente tal que:

u ≈ uh =N∑I=1

αIϕI(x1, x2) + ϕ0(x1, x2) (19)

w ≈ wh =N∑I=1

βIψI(x1, x2) (20)

Donde ϕI y ψI , I = 1, 2, ..., N son funciones dadas llamadas interpolaciono base tal que se anulan en Γu y ϕ0 es escogida de tal manera que uh

8

satisface la condicion de frontera (3), los parametros αI ∈ R se determinanmediante la invocacion de (16) mientras que los parametros βI ∈ R sonarbitrarios.Una aproximacion Bunov-Galerkin se obtiene mediante el establecimientode ψI = ϕI para todo I = 1, ..., N . Esta es la version mas popular delmetodo de Galerkin, el uso de funciones ψI 6= ϕI se conoce como unaaproximacion Bunov-Galerkin.Sustituyendo uh y wh en la forma residual ponderada (16) resulta:

N∑I=1

βI

∫Ω

[ψI,1 ψI,2

]k

(N∑J=1

[ϕJ,1ϕJ,2

]J

+[ϕ0,1ϕ0,2

])dΩ +

N∑J=1

βI

∫ΩψI f dΩ +

N∑I=1

∫Γq

ψI q dΓ = 0 (21)

o alternativamente:

N∑I=1

βI(N∑J=1

KIJαJ − FI) = 0

Donde:

KIJ =∫

Ω

[ψI,1 ψI,2

]k

[ϕJ,1ϕJ,2

]dΩ

FI = −∫

ΩψI f dΩ−

∫Ω

[ψI,1 ψI,2

]k

[ϕ0,1ϕ0,2

]dΩ−

∫Γq

ψI q dΓ

como los parametros βI son arbitrarios , se sigue que:

N∑J=1

KIJαJ = FI

O en forma matricial:Kα = F

Donde K es la matriz N ×N de rigidez, F el vector de forzamiento N ×1,α es el vector N × 1 de parametros.El metodo de Galerkin transforma la ecuacion integro- diferencial en unsistema de ecuaciones lineales algebraicas.

Ejemplo .3 Considere la ecuacion Laplace-Poisson en la forma:

d2u

dx2 = 1 en Ω = (0, 1)

−dudx

= 2 en Γq = 1

u = 0 en Γu = 0

La forma residual ponderada nos queda:∫ 1

0(dwdx

u

x+ wdx+ 2w|x=1

9

Un parametro Bunov-Galerkin de la aproximacion puede ser obtenido tomandoN = 1 en las ecuaciones (18), (19) y la eleccion:

ϕ0(x0), ϕ1(x) = x

uh = α1x, wh = β1x, sustituyendo estos en ():∫ 1

0(β1α1 + β1xdx+ 2β1 = 0

β1α1 + β1

2 + 2β1 = 0

β1α1 + 5β1

2 = 0

y como β1 es arbitario se sigue que:

α1 = −52

Por lo tanto un parametro Bunov-Galerkin de la solucion de la ecuaciondiferencial es:

uh(x) = −52x

Similarmente un segundo pararametro Bunov-Galerkin es obtenido por laescogencia de:

ϕ0(x) = 0, ϕ1(x) = x, ϕ2(x) = x2

Entonces: uh = α1ϕ1(x)+ϕ0(x)+α2ϕ2(x) = α1x+α2x2, wh = β1x+β2x

2

Asi obtenemos:∫ 1

0β1(α1 + 2α2x)dx = −2β1 −

∫ 1

0β1xdx∫ 1

02xβ2(α1 + 2α2x)dx = −2β2 −

∫ 1

0β2x

2dx

De donde se sigue que:

α1 + α2 = −52

α1 + 43α2 = −7

3

Resolviendo el sistema tenemos α1 = −3 y α2 = 12 .

uh(x) = −3x+ 12x

2

En este caso la solucion aproximada coincide con la aproximacion Bunov-Galerkin.

10

3.3 Metodo de Galerkin para la ecuacion de la Elas-tostatica

Consideramos un cuerpo deformable que ocupa la region Ω ⊂ R3 en suestado de referencia en el momento t = 0. Ademas la frontera ∂Ω de laregion Ω es suave con normal unitaria n hacia el exterior y se descomponeen dos regiones Γq 6= ∅ y Γp, tal que ∂Ω = Γp ∪ Γq.

Por tanto supongamos que existe una funcion vectorial u : Ω×R+ −→ R3,tal que el vector de posicion y de un punto x del material en el tiempo testa relacionado con el vector de posicion del punto x del mismo materialen el tiempo t = 0 por:

y(x, t) = x+ u(x, t)

La funcion vectorial u se denomina el campo de desplazamiento. El cuerpose supone que esta hecho de un material elastico y esta sometido a la fuerzadel cuerpo por unidad de volumen, superficie prescrito de tracciones t sobreΓq, y prescritos desplazamientos u, sobre Γp.

Todas las funciones de datos f , t y u se supone continua en sus respectivosdominios. La forma fuerte de la ecuacion de la elastostatica se describe

como:

O · σ(x) + f(x) = 0 en Ω (22)σn = t en Γq (23)u = u en Γu (24)

Donde:

– σ es el tensor de estres o tension.– f es la fuerza del cuerpo.– t la traccion sometida al cuerpo– Ω es el dominio del problema.

En este caso vamos a suponer que el material es isotropico y homogeneo,entonces se puede expresar el tensor de estres como:

σ = λtr(ε)I + 2µε (25)

En terminos de las constante de Lame λ y µ, el tensor de identidad I y eltensor infinitesimal de estres ε. El ultimo se define como:

ε = 12(Ou+ (Ou)T ) (26)

La forma fuerte del problema lineal de la elastostatica se puede resumirde la siguiente manera f dada en Ω, t en Γq y u en Γu encontrar u en Ωtal que (21)(22)(23) se satisfacen.Una formulacion debil de Galerkin en elastostatica lineal puede deducirseanalogamente a la formulacion de Poisson.

11

– Las condiciones de contorno de Dirichlet se satisfacen– Las funciones de ponderacion wΩ y wq son elegidos tal que wΩ =wq = w

– w = 0 en Γu

Asi la forma debil puede escribirse:∫Ωw · (−O · σ − f)dΩ +

∫Γq

w · (σn− t)dΓ = 0 (27)

Ahora expresemos la anterior expresion en notacion einsteniana:

∫Ωw · (O · σ) =

∫Ωwiσij,jdΩ (28)

=∫

Ω(wiσij),jdΩ−

∫Ωwi,jσijdΩ (29)

=∫∂ΩwiσijnjdΓ−

∫Ωwi,jσijdΩ (30)

=∫

Γq

wiσijnjdΓ−∫

Ωwi,jσijdΩ (31)

Donde se hace uso de la integracion por partes el Teorema de la Divergen-cia y el hecho de que w = 0 en Γu. Ademas se tiene que :

wi,jσij = [12(wi,j + wj,i) + 12(wi,j − wj,i)]σij (32)

= 12(wi,j + wj,i)σij (33)

Reemplazando (30) y (32) en (26) nos queda:∫Ωw · (O · σ)dσ =

∫Γq

w · (σn)dΓ−∫

ΩOsw : σdΩ (34)

Donde Osw : σ denota la contraccion de tensores Osw y σ expresados enforma componente como:

Osw : σ = wi,jσij

Por tanto de (33) la forma debil del problema de elastostatica lineal puedeser escrito como:∫

ΩOsw : σdΩ =

∫Ωw · fdΩ +

∫Γq

w · tdΓ (35)

Dadas f , t y u, el problema debil de elastostatica consiste en encontraru ∈ U talque la anterior igualdad se cumpla para toda w ∈ W admisible.Donde:

U = u ∈ H1(Ω) : u = ¯u en ΓuW = w ∈ H1(Ω) : w = 0 en Γu

12

La formula debil se puede escribir operacionalmente como sigue:

B(w, u) = (w, f) + (w, ¯t)|Γq

Ejemplo .4 Considere una placa elastica con forma de rectangulo no de-formado [0, 20]× [−1, 1], con f = 0 y la frontera g es cero en el inferior,lado derecho y superior. El lado vertical de la viga es fijo σn = g =0 en Γ1,Γ4,Γ3, u = 0, en Γ2 y u = (u, v)

La formulacion debil en este caso nos queda∫ΩλO · uO · v + 2µε(u) : ε(v)dx

Utilizamos el sofware freefem++ que esta hecho sobre elementos finitos,asi nos quedaria:

13

la grafica de la solucion es:

7.png

4 Construccion de subespacios del elementofinito

El metodo de elementos finitos proporciona un procedimiento general parala construccion de espacios Uh admisibles y Wh en relacion con los metodosponderados residuales y variacionales.

Definicion .5 (Soporte) El soporte de una funcion f(x) en su dominioΩ ⊂ Rn como el cierre del conjunto de todos los puntos x en el dominiopara el que f(x) 6= 0

supp = x ∈ Ω : f(x) 6= 0

Definicion .6 (Metodos locales de aproximacion) Son aquellos para loscuales suppϕI es pequeno comparado con el tamano del dominio de aprox-imacion, estos son mas adecuados para la ejecucion algoritmica que facil-mente puede satisfacer Dirichlet, las condiciones de contorno y con ellose obtiene normalmente bandas de sistemas lineales algebraicos.

Definicion .7 (Metodos Globales) Son capaces de proporcionar estima-ciones excelentes de una solucion con relativamente pequeno esfuerzo com-

14

putacional, se prestan para a una aplicacion algoritmica directa e inclusocuando lo hacen producen siempre sistemas densos.

Funciones de admisibilidad uh deben satisfacer ciertos criterios de admis-ibilidad general. Esto esta motivado por la necesidad de que los espaciossolucion resultantes finito dimensional esten bien definidos y aproximende manera uniforme soluciones exactas.Las familias de interpolacion de funciones ϕ1, ..., ϕN deben tener lassiguientes propiedades:

– Para algun x ∈ Ω, existe un I con 1 ≥ I ≥ N , talque ϕI(x) 6= 0.Esdecir las funciones de interpolacion deben cubrir todo el dominio deanalisis.

– Todas las funciones de interpolacion deben satisfacer las condicionesde frontera de Dirichlet.

– Las funciones de interpolacion deben ser linealmente independientesen el dominio de analisis.

– Las funciones de interpolacion deben satisfacer los requisitos de in-tegrabilidad que emanan de las formas debil asociadas.

– La familia de funciones de interpolacion debe poseer suficiente ”po-tencia de aproximacion”

Definicion .8 (Espacio de elementos finitos) Es un procedimiento racionalpara la construccion local de funciones de interpolacion polinomial.

Dado el dominio Ω de analisis, admitir la existencia de elementos finitosΩe subdominios de manera que:

Ω = ∪eΩe

Del mismo modo la frontera se descompone en subdominios ∂Ω ⊂ ∪e∂Ωe.Ademas admite la existencia de puntos I ∈ Ω, asociada con subdominiosΩe. Puntos que tienen coordenadas xi con referencia a un sistema de co-ordenadas fijo y se conoce como la nodal.La coleccion de elementos finitos subdominios y puntos nodales constituyeuna malla de elementos finitos. la geometria de cada Ωe esta completa-mente definida por los puntos nodales que se encuentran en ∂Ωe y en Ωe.Las funciones de interpolacion ϕI se definen en cada interior del elemento

finito del nodo I, como: ϕI(xJ) = 1 si I = J0 en otro caso

.

Podemos definir las funciones locales de interpolacion para los nodos fron-tera exterior que no se encuentran en la parte de la frontera donde condi-ciones de Dirichlet no se cumplen.Este ultimo se cumplen qa nivel localpor las funciones de aproximacion que se desvanecen en absoluto en otrafrontera y los nodos interiores.Un elemento finito es un objeto matematico que consiste en tres ingredi-entes basicos:

– Un elememto finito subdominio Γe

15

– Un espacio lineal de funciones de interpolacion.– Un conjunto de grados de libertad, saber los parametros αI que esten

asociados con funciones de interpolacion de elementos finitos.

Definicion .9 (Basicas formas de los elementos finitos en una dos y tresdimensiones) La forma geoetrica de un elemento finito de dominio Ωepuede ser completamente determinado por los conjuntos de datos:

– La posicion de los puntos nodales.– Un dominio procediente de interpolacion.

Asi el vector x de exposicion de un punto Ωe puede escribirse como unafuncion de la posicion de los vectores xI de nodos I y las funciones dedominio dado de interpolacion.

Definicion .10 (Una dimension) Un elemento dimensional son segmen-tos de lineales, recta o curva.

Definicion .11 (Dos dimension) Dominios bidimensionales son tıpicamentetriangular o cuadrangular con recta rara vez se utiliza en la practica.

Definicion .12 (Tres dimensiones) Lo mas utiles dominios tridimension-ales de elementos finitos son tetraedricos pentahedral, con bordes rectos ocurvas y las caras planas o no planas.

4.1 Funciones polinomicas de forma

Elemento de funciones de interpolacion se utilizan generalmente para dosfines, para generar una aproximacion para la variable dependiente y paraparametrizar el elemento dominio.

Definicion .13 (Interpolacion en una dimension) En primer lugar, con-sideremos el caso de funciones de interpolacion polinomial a trozos. Elmas simple de los elementos finitos que se ajuste a los requisitos de com-pletitud es el elemento 2-nodo de Dx.

uh(x) = Ne1 (x)ue1 +Ne

2 (x)ue2 +Ne3 (x)ue3

Definicion .14 (Interpolacion cuadratica completa)

uh(x) = Ne1 (x)ue1 +Ne

2 (x)ue2 +Ne3 (x)ue3

Donde Ne1 (x) = (x−δx)(x−δx)

2δx2 , Ne2 (x) = x(x−δx)

2δx2 -Ne3 (x) = −x(x−2δx)

2δx2

Definicion .15 (Interpolacion en dos dimensiones) El mas simple de 3-dimension es el 3-nodo de borde recto Ωe, triangulo con un grado de lib-ertad por nodo. Se supone una relacion lineal polinomial de interpolacionde la variable dependiente u en la forma:

uh(x, y) =3∑i=1

Ne1 (x, y)uei = c0 + c1x+ c2y

16

Con referencia a un sistema de coordenadas fijo (x, y). Al identificar losgrados de libertad en cada nodo i = 1, 2, 3 tiene coordenadas (xi, yi) conla ordenanda uei de la variable dependiente en cada nodo obtenemos unsistema lineal algebraico de ecuaciones con c0, c1 y c2 en la forma:

ue1 = c0 + c1x1 + c2y1

ue2 = c0 + c1x2 + c2y2

ue3 = c0 + c1x3 + c2y3

Asi:

c0 = 12A [ue1(x2x3 − x3y2) + ue2(x3x1 − x1y3) + ue3(x1x2 − x2y3)]

c1 = 12A [ue1(y1 − y2) + ue2(y3 − y2) + ue3(y1 − y2)]

c2 = 12A [ue1(x1 − x2) + ue2(x1 − x3) + ue3(x2 − x1)]

Las expresiones explicitas para el elemento de funciones de interpolacionson:

Ne1 = 1

2A [(x2y3 − x3y2) + (y2 − y3)x+ (x3 − x2)y]

Ne2 = 1

2A [(x3y1 − x1y3) + (y3 − y2)x+ (x1 − x3)y]

Ne3 = 1

2A [(x1y2 − x2y1) + (y1 − y2)x+ (x2 − x1)y]

Definicion .16 El mas simple elemento tridimensional es el tetaedro decuatro nodos con un nodo en cada vertice. Este elemento tiene un gradode libertad en cada nodo y la variable dependiente se interpola como:

uh =4∑i=1

Nei u

ei = c0 + c1x+ c2y + c3z

Donde uei son los grados de libertad y c0 − c3 son constantes y ui =uh(xei , yei , zei ) es decir que los grados de libertad toma los valores de las or-denadas de la variable dependia en los nodos i con coordenadas (xei , yei , zei ),se sigue las constantes c0 − c3 se puede determinar resolviendo el sistemade ecuaciones:

ue1 = c0 + c1xe1 + c2y

e1 + c3z

e1

ue2 = c0 + c1xe2 + c2y

e2 + c3z

e2

ue3 = c0 + c1xe3 + c2y

e3 + c3z

e3

Este elemento es polinomial completo.

17

References, ???? http://www.me.berkeley.edu/ME280A/.

Agbezuge, L., ???? Finite element solution of the poisson equation withdirichlet boundary conditions in a rectangular domain.

Hecht, F., Pironneau, O., Le Hyaric, A., Ohtsuka, K., 2007. Freefem++.Laboratoire JL Lions, University of Paris VI, France 70.

Iserles, A., 2008. A first course in the numerical analysis of differentialequations. Vol. 44. Cambridge University Press.

18