ANALISIS DE CIRCUITOS ACPABLO ANDRES GUERRA GONZALEZUNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNADESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGIAS E INGENIERASPROGRAMA DE INGENIERA ELECTRONICAVALLEDUPAR2007ANALISIS DE CIRCUITOS ACUNIDADES DIDCTICAS:INTRODUCCIONPRIMERAUNIDAD:ANLISISDECIRCUITOSDECORRIENTEALTERNA1. FUNCINDE EXCITACION SENOIDAL1.1. Caractersticas de las funciones senoidales1.2. Respuestaforzadaafuncionessenoidalesorespuestadeestado permanente senoidal1.3. Funcin forzada compleja2. FASORES2.1. concepto de fasor2.2. Relaciones fasoriales para R, L y C2.3. Impedancia y Admitancia3. TECNICAS DE ANALISIS DE CIRCUITOS3.1. Leyes de Kirchhoff usando fasores3.2. Anlisis de corriente de malla y voltaje de nodo3.3. Superposicin,transformacindefuentesyteoremadeThvenin3.4. Diagramas fasoriales4. POTENCIA AC4.1. Potencia instantnea4.2. Potencia media RMS4.3. Valores eficaces de corriente y tensin4.4. Potencia aparente y factor de potencia4.5. Potencia compleja4.6. superposicin de potencia4.7. Mxima transferencia de potencia4.8. Inductores acoplados4.9. Transformador ideal5. CIRCUITOS TRIFASICOS5.1. Sistemas monofsicos de tres conductores5.2. Conexin trifsica Y-Y5.3. Conexin delta 5.4. Medidas de potencia en sistemas trifsicosSEGUNDA UNIDAD: ANLISIS EN FRECUENCIA6. FRECUENCIA COMPLEJA6.1. Frecuencia compleja6.2. Funcin forzada senoidal amortiguada6.3. Impedancia y admitancia en el dominio s6.4. Funciones de transferencia, polos y ceros6.5. Plano de frecuencia compleja6.6. Respuesta natural y el plano S7. RESPUESTA EN FRECUENCIA7.1. Resonancia en paralelo7.2. Resonancia en serie7.3. Otras formas resonantes7.4. EscalamientoBIBLIOGRAFIASALAZAR, R. Roberto. EL MATERIAL DIDCTICO, UNAD, 2004BOYLESTAD, ROBERT L.Anlisis introductorio de circuitos, 10 ed.PRENTICE HALL, 2004HAYT WILLIAM H. KEMMERLY JACK E. DURBAN STEVEN M.Anlisis de circuitos en ingenieria, Sexta edicinMcGraw Hill, 2003DORF, RICHARD C. SVOBODA JAMES A.Circuitos elctricos, Quinta edicinAlfaomega, 2003ROADSTRUM WILLIAM H. WOLAVER DAN H.Ingenieria elctrica para todos los ingenieros, Segunda edicinAlfaomega 1999IRWIN DAVIS J.Anlisis bsico de circuitos en ingenieria, quinta edicinPrentice Hall hispanoamericana s.a, 1997MARTNEZ GARCA, SALVADORProntuario para el diseo elctrico y electrnicoMarcombohttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/INTRODUCCINLaenergaelctricadepequeaelevadapotenciapuedemanejarseencorrientecontinuaCCyencorrientealternaAC.Laprimeraespropiciada porquemuchosgeneradores electrofsicos y electroqumicos,comoceldassolaresfotovoltaicas,pilas,acumuladores,generadoresdeplasma, etc., producen CC. Adems, el sistema ms barato y simple deconservacin de la energa elctrica son los acumuladores (de Pb-Sn, Ni-Cd, etc.) que reciben y devuelven CC.LaAC,sinembargo,esms fcildegenerarpormedioselectromecnicosquelaCC.QuizslaventajamayordeACestribaenquepuedeadaptarsealatensinmsidneaparacadapasodelprocesogeneracin transporte-uso,medianteundispositivodeconversinextremadamentesencillo:eltransformador.Asi,ACeslaformamasextendidadeempleodelaenergaelctricayadoptalaforma de ondas senoidales de tensin entre conductores y de intensidada travs de los mismos.Porotraparte,lascomunicacionesporcableyporradiotambinsebasanenmuchoscasosenelempleodeondassenoidales,aunquedemayorfrecuenciaquelasindustriales.Losequiposdetransmisinyrecepcinsonsistemasdondesegeneran,amplifican,mezclanyseparan ondas senoidales de diferentes frecuencias y amplitudes.Lasondassenoidalespresentanlainteresantepropiedaddequecualquier circuito elctrico lineal sometido a una excitacin senoidal deltiempo,defrecuenciaconstante,responde,enrgimenpermanenteensus diferentes componentes, con magnitudes de variacin senoidal de lamismafrecuencia.Estotienelaventajadequepuedenanalizarsematemticamentetalescircuitoshaciendoabstraccindelosvaloresinstantneos de las variables, para trabajar solamente con la amplitudesy fases de las senoides. El conocimiento ulterior de valor instantneo decualquiervariableesinmediato,puestoquesufrecuenciadeoscilacines conocida.ElcursodeanlisisdecircuitosAC,esdetipometodolgicoycorrespondealcampodeformacinprofesionalespecficadelosprogramasde tecnologaelectrnicae ingeniera electrnica,sumetodologa es educacin a distancia y corresponde a dos (2)crditosacadmicos.Unidad 1. Anlisis de circuitos de corriente alternaEnestaunidadcomenzaremosestudiandolascaractersticasdeunafuncinsenoidalcomointroduccinasuusocomofuncindeentradaparauncircuito.Relacionaremosmatemticamenteestafuncindeentradasenoidalconunafuncindeentradacompleja,quenosconduciradefinirunfasor.Empleandofasorestransformamosefectivamente un conjunto de ecuaciones diferenciales con funciones deentradasenoidaleseneldominiodeltiempoenunconjuntodeecuaciones algebraicas que contienen nmeros complejos en el dominiode las frecuencias. Mostraremos que, en este dominio de frecuencia, lasleyes de Kirchhoff son validas y, por tanto, todas las tcnicas de anlisisdeDCseaplicanenelanlisisACdeestadoestable. Exploraremoslasdiferentes ramificaciones de la potencia en circuitos de corriente alterna.Examinaremoslapotenciainstantnea,lapotenciapromedio,elfactorde potencia, la potencia compleja y la medicin de potencia.Unidad 2. Anlisis en frecuenciaEnestaunidadexaminaremoselanlisisdecircuitosasociadosconelconceptodefrecuenciacomplejaylarespuestaenfrecuenciadesistemaselctricos: seintroduceelconceptoderesonanciaconreferenciaalaselectividadenfrecuenciaysintona.Sedefinenydiscuten los diferentes parmetros utilizados para definir la selectividad,talescomoelanchodebanda,lafrecuenciadecorteyelfactordecalidad. Tambin se presenta el escalamiento de la red para magnitud yfase.PRIMERAUNIDAD:ANLISISDECIRCUITOSDECORRIENTEALTERNA1. FUNCINDE EXCITACION SENOIDAL1.1. Caractersticas de las funciones senoidales1.2. Respuestaforzadaafuncionessenoidalesorespuestadeestado permanente senoidal1.3. Funcinforzada complejaActividadRealizarunescritosobrelarealidaddelsistemageneracin distribucin de energa elctrica en Colombia con grficos/glosario1.1CARACTERISTICAS DE LAS FUNCIONES SENOIDALESConsidere la funcin de excitacin t sen V vme =de la figura 1, o en el casode una fuente de corriente, t sen I ime = ,mVmV ) (rad t e) (t vFigura 1elvalormximoesmV ysufrecuenciaenradianeses e (rad/s).Lafuncin senoidal es peridica definida por la propiedad ) ( ) ( t x T t x = + , paratodo t, donde T es el periodo de oscilacin.Elrecprocode Tdefinelafrecuenciaonmerodecicloporsegundoyse representa porTf1= , La frecuencia f est en ciclos por segundos,ms comnmente llamados hertz (Hz).Por tanto la frecuencia angular(en radianes) de la funcin senoidal es) / (22 s radTftt e = =Si la funcin senoidal tiene asociado un desfasamiento, o ngulo , enradianes la funcin senoidal es ) ( e + = t sen V vm,eTmVFigura 2elnguloseexpresarengradosyencontraranlanotacin) 30 4 ( + = t sen V vm, o de forma alterna|.|

\|+ =64tt sen V vmSielelementodeuncircuitotieneunvoltaje t sen V vme = yporelelementofluyeunacorriente ) ( e + = t sen I im,setienenel v yla i queaparece en la figura 3. Se dice que la corriente se adelanta u radianes alvoltaje.Examinando esta figurase observa que la corriente alcanza suvalor picoantesqueelvoltaje,porloquesedicequeseadelantaalvoltaje.As, un punto deise alcanza antes, en el tiempo, que el puntocorrespondiente dev .t sen Vme) ( e + t sen ImemImVFigura 3Otra forma sera establecer que el voltaje se atrasa radianes respectoalacorriente. Considereunaondasenoidalcon ) 20 3 ( 2 + = t sen v ylaonda de corriente asociada ) 10 3 ( 4 = t sen i el voltajevse adelanta a lacorrienteipor 30, o6t radianes.EjemploEl voltaje a travs de un elemento es t v 3 cos 3 =v y la corriente asociadaatravsdelelementoes ) 10 3 ( 2 + = t sen i A.Determinarlarelacindengulo entre voltaje y corriente, esto es, determinar el ngulo de fase.SolucinPrimerosenecesitaconvertirlacorrienteaunaformacosenoidalconmagnitudpositivaparapodercompararlaconelvoltaje.Paradeterminar una relacin de fase es necesario expresar ambas ondas enforma consistente.Puesto que ) ( t e e + = t sen t sen , se tiene) 10 180 3 ( 2 + + = t sen iAdems se observa que) 90 cos( = u u senPor tanto, ) 100 3 cos( 2 ) 90 10 180 3 cos( 2 + = + + = t t iRecuerdeque t v 3 cos 3 = .Porlotanto,lacorrienteadelanta100alvoltaje.ActividadUnvoltajees ) 30 4 cos( 3 + = t v .a)determineelperiododeoscilacin.b)Establezca la relacin de fase con la corriente asociada ) 70 4 cos( 2 = t i .1.2RESPUESTAFORZADAAFUNCIONESSENOIDALESORESPUESTA DE ESTADO PERMANENTE SENOIDALPara t V vme cos = ,laecuacindiferencialquecorrespondealcircuitoRL(figura 4) esLRfvFigura 4t V RidtdiLme cos = +y la respuesta forzada tiene la format sen I t I t i e e2 1 cos ) ( + =Reemplazando y agrupando los trminos coseno y seno se tiene:0 cos ) ( ) (1 2 2 1= + + + t V RI LI t sen RI LIme e e eDe esta expresin se obtienen dos ecuaciones02 1= + RI LI emV RI LI = +1 2eque permiten encontrar los coeficientes1I e2I de la respuesta forzada:con esto se obtiene la respuesta forzada completa:o ) cos( | e = tZVimdonde2 2 2L R Z e + =YRL e|1tan=Entonces la respuesta forzada (en estado estable) tiene la forma) cos( + = wt I imdondeZVImm =y | =En este caso, slo se ha determinado la respuesta de estado estable deuncircuitoconunelementodealmacenamientodeenerga.Esobvioqueelmtodopuedeserbastantecomplicadosielcircuitotienediversos de esos elementos.ActividadDeterminelarespuestaforzada ) (t i enelcircuito RL delafigura4cuando O = 2 R , H L 1 = y t vf3 cos 10 = V.1.3FUNCIN FORZADA COMPLEJALaaplicacindeunafuncin forzadacompleja aunaredelctricapropiciaunarespuestacompleja;laparterealdela funcinforzadaproduce la parte real de la respuesta, y la parte imaginaria de la funcinforzada, la parte imaginaria de la respuesta.Para t V t vm fe cos ) ( = , la funcin de excitacin compleja es:t jme Velarespuesta alaentradaexponencial delcircuito RL tienelaforma:) ( e + t jme IdondelaamplitudmI yelngulodefase sondesconocidos.L fvRiFigura 5La ecuacin diferencial para este circuito RL es:fv RidtdiL = +Remplazando lasexpresionescomplejasdefv e i enlaecuacindiferencial y derivando se obtiene:t jmt jmt jme V e LI j e RIe e ee = ++ + ) ( ) (ParadeterminarelvalordemI y , sedividetodalaexpresinentret je e:mjmjmV e LI j e RI = + emjmV L j R e I = + ) ( eReordenando:L j RVe Im jme+=siseexpresaelladoderechodelaecuacinenformapolaroexponencial se tiene:)) ( tan (2 2 21RLjm jmeL j RVe Iee+=Por tanto:2 2 2L j RVImme +=yRL e1tan =En notacin polar: ZmI ,RLL RVm ee12 2 2tan Z+se obtiene la respuesta real de la corriente en funcin del tiempo:) ( ) ( e + = t sen I t im) tan cos(12 2 2RLtL RVm eee+=EjemploDeterminarlarespuestaenestadoestable paraelcircuitoRLCdelafigura 6t 3 cosO 1H121 F 1iFigura 6Este circuito est representado por la ecuacin diferencialt idtdidti d3 cos 12 1222= + +Primerosereemplazalaexcitacinrealporlaexponencialcomplejat jee v312 =Y tenemos:t je idtdidti d32212 12 = + +Es obvio que la corriente tiene la forma:t jeAe i3=La primera y la segunda derivadas dei sont j eAe jdtdi33 =t j eAedti d3229 =Sustituyendo ent je idtdidti d32212 12 = + + , se tiene( )t jAe j312 3 9 + + Despejando A, se obtiene45 2 218) 3 3 ( 12) 3 3 )( 3 3 () 3 3 ( 123 312 Z == +=+=jj jjjAPor tanto,( ) )43 (3432 2 2 2t t = = =t jt jjt jee e e Ae iRecuerdequelaidentidaddeEuleres jsen ej+ = cos .Entonces,larespuesta que se espera de la corriente de estado establees{ }{ } ) 45 3 cos( 2 2 2 2 Re Re)43 ( = = =t e i it je etNote quesehacambiadode4tradianesa45,quesonequivalentes.Lanotacinengradosylanotacinenradianessonaceptableseintercambiables.EjemploDeterminarlarespuesta i enelcircuito RLcuando O = 2 R , H L 1 = yt sen vf3 10 = V.SolucinPrimero, se expresa:) 90 3 cos( 10 3 10 = = t t sen vfEmpleado la excitacin compleja, se tiene) 90 3 (10=t je vSeintroducelaexcitacincomplejaenlaecuacindiferencialdelcircuito, que ese eev RidtdiL = +Obteniendo) 90 3 (10 2= +t jeee idtdiSe supone que la respuesta es) 90 3 (=t jeAe iDondeAesunacantidadcomplejaadeterminar.Sustituyendolasolucin supuesta en la ecuacin diferencial y derivado, se tiene) 90 3 ( ) 90 3 ( ) 90 3 (10 2 3 = +t j t j t je Ae Ae jPor tanto,10 2 3 = + A A jo| jejA+=+=4 9102 310donde3 . 5623tan1= =|Entonces la solucin es) 3 . 146 3 ( ) 90 3 ( 3 . 56 ) 90 3 (13101310 = = =t j t j j t jee e e Ae iEn consecuencia, la respuesta real es{ } ) 3 . 146 3 cos(1310Re ) ( = = t i t ieAActividadCalcular ayb cuando4536 . 210jejb a=+ActividadCalcular A y ucuando| |( ) 32 8 3 j j A = + Zu2. FASORES2.1 concepto de fasor2.2 Relaciones fasoriales para R, L y C2.2 Impedancia y Admitancia2.1 CONCEPTO DE FASORUna corriente o un voltaje senoidal a una frecuencia dada se caracterizaporsuamplitudysungulodefase.Porejemplo,larespuestadelacorriente en el circuito RL( ){ }| e +=t jme I t i Re ) () cos( | + = wt ImLamagnitudmI yelngulodefase | ,juntoalconocimientode e ,especifican por completo la respuesta. As, se puede expresar ) (t icomosigue:} {t j jme e I t Ie | ) (Re ) (=Sinembargo,seobservaqueelfactorcomplejot je esemantuvosincambios a travs de todos los clculos previos. Por tanto la informacinque se busca esta presentada por| | Z = =mjmI e I I) (Donde I es lo que se llama fasor: Un fasor es un nmero complejo querepresentalamagnitudylafasedeunasenoide.Seusaenterminofasor en lugar de vector por que el ngulo se basa en el tiempo ms queen el espacio. Un fasor se puede expresar en forma exponencial, polar orectangular.Elconceptodefasorsepuedeemplearcuandoelcircuitoeslineal,sebusca la respuesta en estado estable y todas las fuentes independientesson senoidales y tienen la misma frecuencia.Una corriente senoidal real, donde | u = , se expresa como) cos( ) ( e + = t I t imPuede presentarse por} {) (Re ) (u e +=t jme I t iSe opta por eliminar la notacin Re y el redundantet je e para obtener larepresentacin fasorialuuZ = =mjmI e I IEsta representacin abreviada es la notacin fasorial.Aunquesehaeliminadoosuprimidolafrecuenciacomplejat je e,seadviertaqueestaenlaformadelafrecuenciacomplejayefectuandoclculos en el dominio de la frecuencia.El problema se ha transformadodeldominiodeltiempoaldominiodelafrecuenciacuandoseusolanotacinfasorial.Unatransformacinesunmediodecodificacinmatemtica es la logartmica.Unatransformacinesuncambiodeladescripcinmatemticadeunavariable fsica para facilitar el clculo.EjemploDeterminar la notacin fasorial de) 120 100 ( 5 + = t sen iSe han elegido funciones coseno como norma para la notacin fasorial.As, la corriente se expresa como una onda cosenoidal:) 30 100 cos( 5 = t iEn este punto, es fcil ver la informacin que se requiere es la amplitudy la fase. Entonces el fasor es Z = 30 5 IPor supuesto, el proceso inverso de la notacin fasorial a notacin en eltiempoesexactamenteinversodelospasosrequeridospasardelanotacineneltiempoalafasorial.Entonces,sisetieneunvoltajeennotacin fasorial: Z = 125 24 VLa notacin en el dominio del tiempo es) 125 cos( 24 ) ( + = t t v edonde la frecuencia ese estableci en la formacin original del circuito.Un fasor es una versin transformada de una onda senoidal de voltaje ode corriente que consiste en la informacin de la magnitud y ngulo dela fase de la senoide.Elmtodofasorialemplealatransformacindeldominiodeltiempoaldelafrecuenciaparaobtenermsfcilmentelasolucinsenoidaldeestado estable de la ecuacin diferencial.Considrese el circuito RL. Sedeseadeterminarlasolucinparalacorrientedeestadoestableicuandolafuentedevoltajees t V t vm fe cos ) ( = Vye =100rad/sTambin para este circuito sea R = 200 y L = 2H. Entonces se puededescribir la ecuacin diferencial como sigue:fv RidtdiL = +puesto que} {) (Re ) cos( e e+= + =t jm m fe V t V vSe usar la solucin supuesta} {) (Re ) cos(| e| e+= + =t jm me I t I iPara obtener}) ( ) () ( e | ee+ += +t jmt jm me V e RI LI jSe suprimet je e y se obtiene |ejmjme V e I R L j = + ) (Ahora se identifica los fasores| jme I I =y jme V V =Por tanto, en notacin fasorial se tieneV I R L j = + ) ( eDespejandoIse tiene200 200 +=+=jVR L jVIepara e= 100 rad/s, L = 2 y R = 200. Entonces puesto que Z = 0mV Vse obtiene Z = Z= 45283 45 283m mV VISepuedetransformaresteresultadodenuevoaldominiodeltiempopara obtener la siguiente solucin de estado estable:A tVt im) 45 100 cos(283) ( =Esobvioquepuedeusarsedirectamentefasoresparaobtenerunaecuacin algebraica lineal expresada en trminos de fasores y nmeroscomplejos,despejandodespusdelavariablefasorialdeinters.Trasobtenerelfasordeseado,simplementesetransformadenuevoaldominio del tiempo para obtener la solucin en estado estable.EjemploDeterminarelvoltajeenestadoestable v enelcircuitoRC cuandot i e cos 10 =A, R= 1, C= 10mF y e= 100 rad/s.t i e cos 10 = R C vFigura 1SolucinPrimerosedeterminala representacinfasorialdelacorrientedelafuente, que es, Z = Z = 0 10 0mI ISe quiere determinar el voltajevobteniendo primero el fasor V.SeplantealaecuacindiferencialdelvoltajedenododelcircuitoyseobtieneidtdvCRv= +puesto que} {t je ieRe 10 =y } {) (Re e +=t jme V vSe sustituye en la ecuacin idtdvCRv= + y se suprime la nocin Re. As sellega at j t jmt j me e CV j eRVe e ee 10) ( ) (= ++ +Ahora se suprimet je ey se obtiene= |.|

\|+0101j jme e V C jReRecordando la representacin fasorial, se tiene11= |.|

\|+ V C jReDado que R= 1, C= 10-2 y e = 100 rad/s, se tiene I V j = + ) 1 1 (o1 1 jIV+=Por tanto, Z = Z= 4521045 210VAl pasar de la notacin fasorial a la solucin en estado en estable en eltiempo, se tiene) 45 100 cos(210 = t v VActividadExprese la corrientei como fasor.a) ) 80 cos( 4 = t i eb) ) 20 cos( 10 + = t i ec) ) 20 ( 8 = t sen i eActividadDetermine el voltaje de estado establev representado por el fasora) Z = 140 10 Vb) 75 80 j V + =ActividadDetermine la respuestavpara el circuito que se muestra en la figura 2cuando t if100 cos 10 =AfiO 1 F1001 vFigura 22.2 RELACIONES FASORIALES PARA R, L Y CEnlaseccinanteriorsedeterminoquelapresentacinfasorialesenrealidadunatrasformacindeldominiodeltiempoaldominiodefrecuencia.Conestatransformacin,lasolucindeunaecuacindiferencial se ha convertido en la solucin de una ecuacin algebraica.En esta seccin se determinan las relaciones entre el voltaje fasorial y lacorrientefasorialdeloselementosR,LyC.Sehacelatransformacindeldominiodeltiempoaldelafrecuenciaydespusseresuelvelarelacin fasorial para un elemento especfico.Se comenzar con el resistor que se muestra en la figura 3.RviR VIa) b)Figura 3La relacin voltaje-corriente en el dominio del tiempo esRi v =Considere ahora el voltaje de estado estable ) cos( e + = t V vmEntonces, } {) (Re e +=t jme V vSupngase que la seal de corriente tiene la forma} {) (Re| e +=t jme I iAhora se sustituyen las ecuaciones } {) (Re e +=t jme V vy } {) (Re| e +=t jme I i enRi v =y se suprime la nocin Re para obtener) ( ) ( | e e + +=t jmt jme RI e VSe suprimet je e para obtener| jmjme RI e V =Por tanto, se observa que | = y RI V =Puesto que | = , las ondas de corrientes y de voltaje estn en la fase.Esta relacin fasorial aparece en el figura 3bPor ejemplo, si el voltaje a travs del revisor es t v 10 cos 10 =se sabe quela corriente sertRi 10 cos10=En el dominio del tiempo.En el dominio de la frecuencia, primero se observa que el voltaje es Z = 0 10 VUsando la relacin fasorial del resistor, ecuacin RI V = se tieneR RVI Z= =0 10Entonces, al obtener la relacin dei en el dominio del tiempo, se tienetRi 10 cos10=Considrese ahora el inductor mostrando en la figura 4a.LdtdiL v =iL je LI j V e =IFigura 4La relacin voltaje corriente en el dominio del tiempo esdtdiL v =De nuevo, se utiliza el voltaje complejo} {) (Re e +=t jme V vY se supone que la corriente es} {) (Re| e +=t jme I iSustituyendo las ecuaciones } {) (Re e +=t jme V v y } {) (Re| e +=t jme I i endtdiL v =ysuprimiendo la notacin Re, se tiene} {| e e j t jmt j jme e IdtdL e e V =Derivando, se tiene| e e ej t jmt j jme e LI j e e V =Suprimiendo ahorat je e. Se tiene| ejmjme LI j e V =o LI j V e =Estarelacinfasorialsemuestraenlafigura4b.Dadoque=90 je j ,laecuacin| ejmjme LI j e V = tambin puede escribirse como| ej jmjme e LI e V=90En consecuencia, + = 90 | o sea, el voltaje se adelanta a la corriente 90 exactamente.Ejemplosetieneuncircuito conuninductorde2Hcon e =100rad/syunvoltaje ) 50 cos( 10 + = t v eV. el voltaje fasorial ser Z = 50 10 Vy la corriente fasorial esL jVIe=Puesto que e L= 200 H rad/s, se tieneAjVI Z = Z Z= = 40 05 . 090 20050 10200Entonces, la corriente expresada en el dominio del tiempo esA t i ) 40 100 cos( 05 . 0 =Por tanto, la corriente se atrasa al voltaje por 90.Porultimoconsidereelcasodelcapacitorquesemuestraenlafigura5a.vdtdvC i =C je1VCV j I e =Figura 5La relacin entre corriente y voltaje esdtdvC i =Se supone que el voltaje es) cos( e + = t V vm} { e +=t jme V(Rey que la corriente tiene la forma} {| e +=t jme I i(ReSesuprimelanotacindelaReenlasecuaciones } { e + t jme V(Re y} {| e + t jme I(Re y se sustituyen en ladtdvC i = para obtener) () ( ) ( e | + +=t jmwt jme VdtdC e ILa derivada de esta ecuacines e | eej t jmj t jme e CV j e e I =Suprimiendot je e, se obtiene |ejmjme CV j e I =o seaCV j I e =Estarelacinfasorialapareceenlafigura5b.Dadoque=90 je j lacorriente adelanta 90 al voltaje.EjemploConsidereunvoltaje t v e cos 100 = Vydeterminelacorrientecuando e=1000 rad/s y C = 1 mF. Dado que Z = 0 100 VSe tiene CV j I e = Z = = = 90 100 100 ) 1 ( 100 ) (90 0 90 j j je e Ce ePor tanto, transformando este fasor al dominio del tiempo, se tieneA t i ) 90 cos( 100 + = eLa ecuacin CV j I e = puede escribirse como sigue:IjwCV1=ActividadLacorrienteenunelementoes t i 100 cos 5 = A.determineelvoltajedeestadoestable, ) (t v ,atravsdelelementoparaa)unresistorde10 ,b) un inductor L = 10 mH y un capacitor C = mF.ActividadAtravsdeuncapacitorC=10 Fhayunvoltajedeestadoestable) 30 500 cos( 100 + = t v V.Determinelacorrientedeestadoestableenelcapacitor.ActividadEnlafigura 6aparecenelvoltaje ) (t v paraunelemento.Indiquesielelemento es un inductor o capacitor.) (t i) (t vmImVmI mV etet2et2etet23et 2Figura 62.3 IMPEDANCIA Y ADMITANCIALaimpedancia Z deunelemento es larazndelvoltajefasorialalacorriente fasorial. Por tanto,IVZ =Dado que Z =mV Ve | Z =mI I , entonces| | Z =ZZ=mmmmIVIVZEntonces, se dice que la impedancia tiene magnitud Zy ngulo de fase| u = , por tanto,mmIVZ =Y | u =Laimpedanciadesempea unpapelsimilaraldelaresistenciaenloscircuitosresistivos.Ademscomo es uncocientedelvoltsentreamperes,tieneunidadesdeohms.Laimpedanciaeslarazndedosfasores; no obstante, no es un fasor en s misma.Puesto que la impedancia es un nmero complejo, se puede expresar endiversas formas como sigue: Z = u Z Z forma polar =u je Z forma exponencial + = jX R Z forma rectangulardonde R es la parte real y X la imaginaria del nmero complejoZ .La R= Re Z suele llamarse parte resistiva de la impedancia y X = Im Z partereactiva. Tanto R como X se mide en ohms.La magnitud de la impedancia es2 2X R Z + =Y el ngulo de fase esRX1tan= uEstas relaciones se ilustran grficamente en un plano complejoZXRuFigura 7La impedancia para un resistor esZ = RPara el inductorL j Z e =Para el capacitor se tieneC jZe1=El recproco de la impedancia se llama admitancia y se representa porY :ZY1=Laadmitanciaesanlogaalaconductanciaenlos circuitosresistivos.Sus unidades son siemens,que se abrevia S. se tieneuu Z =Z= YZY1TambinsepuedeescribirlarelacindemagnitudesenlaformaY=1/Z.Utilizando la forma jX R Z + =Se obtienejB G Y + =Note que G no es simplemente el recproco de R, ni B recproco de X. Laparterealdelaadmitancia,G,sellamaconductanciaylaparteimaginaria, B, susceptancia. Las unidades de G y B son siemens.La impedancia de un elemento es jX R Z + = . El elemento es inductivo sila parte reactivaX es positiva y capacitivo si X es negativa. Puesto queY es le recproco de Z y jB G Y + = , se puede afirmar tambin que si b espositivaelelementoescapacitivoyqueunaBnegativaindicaunelemento inductivo.EjemploConsidereuncapacitorconC=1mFycalculessuimpedanciayadmitancia. La impedancia de un capacitor esC jZe1=Entonces, adems del valor de C= 1mF se necesita la frecuenciae . Si setoma en caso de e= 100 rad/s, se obtieneO Z = = = = 90 10 10101 . 01jj jZPara determinar la admitancia, se advierte queS j C jZY Z = = = = 90 1 . 0 1 . 01e3. TECNICAS DE ANALISIS DE CIRCUITOS3.1 Leyes de Kirchhoff usando fasores3.2 Anlisis de corriente de malla y voltaje de nodo3.3Superposicin,transformacindefuentesyteoremadeThvenin3.4Diagramas fasoriales3.1 LEYES DE KIRCHHOFF USANDO FASORESLas leyes de corriente y voltajes de Kirchhoff se examinaron antes en eldominio del tiempo.La LVK siguiendo una trayectoria cerrada estableceque03 2 1= + + + +nv v v v Para voltajes senoidales de estado estable, la ecuacin puede escribirseen trminos de ondas cosenoidales en la forma0 ) cos( ) cos( ) cos(2 12 1= + + + + + +n m m mt V t V t Vnu e u e u e Todalainformacinconcernienteacadavoltajenv seincorporaenlamagnitud y la fase,nmVynu (suponiendo que e es la misma para cadatrmino).Usando la identidad ded Euler::{ } { }0 Re Re11= + +t j jmt j jme e V e e Vnne u e uo{ }0 Re11= + +t j jmt j jme e V e e Vnne u e uSacandot je ecomo factor comn, se obtiene{ }0 ) ( Re11= + +t j jmjme e V e Vnne u u0 ) Re(2 1= + + +t jne V V VeDado quet je e no puede ser cero,02 1= + + +nV V V Portanto,sellega alimportanteresultadodequelasumadelosvoltajes fasoriales en una trayectoria cerrada es cero.Entonces, la leydelvoltajedeKirchhoffsecumpleeneldominiodelafrecuenciaconvoltajesfasoriales.Utilizandounprocesosimilar,puededemostrarseque la ley de corriente de Kirchhoff rige para los factores en el dominiode la frecuenciapor lo que en un nodo se tiene.02 1= + + +nI I I Puesto que la LVKy la LCK se cumplen en el dominio dela frecuencia,es fcilconcluirquetodaslastcnicasdeanlisisquesedesarrollaronpara circuitos resistivos son vlidas para corriente y voltajes fasoriales.Porejemplo,puedeusarseelprincipiodesuperposicin,lastransformacionesdefuentes,loscircuitosequivalentesdeThveninyNorton y el anlisis de voltaje de nodo y corriente de malla. Todos estosmtodos son aplicables en tanto el circuito sea lineal.Primero se examinarn impedancias conectadas en serie, como se ve enla figura 1. La corriente fasorial Ifluye por cada impedancia. Aplicandola LVK puede escribirseV1Z2ZnZIFigura 1V V V Vn = + + + 2 1Puesto queJ J JI Z V = , se tieneV I Z Z Zn= + + + ) (2 1Portanto,laimpedanciaequivalente vistadesdelasterminalesdeentrada esn eqZ Z Z Z + + + = 2 1Portanto,laimpedanciaequivalentedeunaimpedanciaenseriaeslasuma de las impedancias individuales.Observeelconjuntodeadmitanciasenparalelomostradasenlafigura2.VInY2Y1YFigura 2Se puede demostrar fcilmente que la admitancia equivalenteYeq esn eqY Y Y Y + + + = ...2 1En el caso de dos admitancias en paralelo, se tiene2 1Y Y Yeq+ =y la impedancia equivalente correspondiente es2 12 12 11 1Z ZZ ZY Y YZeqeq+=+= =Demanerasimilar,lasreglasdeldivisordecorrienteyeldivisordevoltaje se cumplen paracorrientes y voltajes fasoriales.EjemploConsiderar el circuito RLC que se muestra en la figura 3 cuando R = 9,L=10mHyC=1mF.Determinari,lacorrientedeestadoestable,utilizando fasores.Lt vf100 cos 100 =iIRCfV2Z3ZRFigura 3SolucinPrimero, se vuelve a dibujar el circuito en forma fasorial, como apareceenlafigura3b.Despus,seplantealaLVKentornoenlamallaparaobtenerfV I Z I Z RI = + +3 2donde L j Z e =2YC jZe13 =Puesto que e= 100 rad/s, L= 10 mH y c = 1mF, se tiene12j Z =Y 103j Z =Por tanto, la ecuacinfV I Z I Z RI = + +3 2se transforma enfV I j j = + ) 10 1 9 (o9 9 jVIf=Puesto que Z = 0 100fV , se obtiene la corriente fasorial como sigue: Z = Z Z= 45 86 . 745 2 90 100IEntonces, la corriente de estado estable en el dominio del tiempo esA t i ) 45 100 cos( 86 . 7 + =EjemploDeterminar el voltaje en estado estableven el circuito de la figura 4a.O 10O 10F 100mH 10tA 1000 cos 10O 10O 10O 10 jO 10 jA 10vVFigura 4SolucinPrimero se representa el circuito en el dominio de la frecuencia, usandoimpedancias favores.La impedancia del inductoresO = =10 ) 10 10 ( 10003j j L jeLa impedancia del capacitor esO = = =1010) 10 100 ( 10001 16jj x j C jeLa representacinfasorial de la corriente de entrada esA 10 0 100= ZLafigura4bmuestralarepresentacineneldominiodelafrecuenciadel circuito. Elfasor de voltaje V sepuede obtener al aplicarla leydecorriente de Kirchhoff al nodo de la parte superior del circulo en la figura4b1010 10 10 10=+++jVjV Vo bien10 1 . 0 ) 05 . 0 05 . 0 ( 1 . 010 10 1010 1010 10 10= + + =+||.|

\|+++ V j V j VjVjjjV VdespejandoV , se tieneooV 4 . 18 3 . 634 . 18 158 . 010 Z =Z=Portanto se tiene que el voltajeen estado establees) 4 . 18 1000 cos( 3 . 63 = t V VActividadDetermine el voltaje ) (t v para el circuito de la figura 5.O 8F21H 2) (t vH 4tV sen5 5Figura 5Sugerencia:Analiceelcircuitoeneldominiodelafrecuencia,usandoimpedancias yfasores.Use la divisin de voltaje, dos veces. Sume losresultados.ActividadDetermine el voltaje ) (t vpara elcircuito de la figura 6O 8F21H 2) (t vH 4A t ) 15 3 cos( 4 +Figura 6Sugerencia: Analiceelcircuitoeneldominiodelafrecuencia,usandoimpedanciay fasores.Reemplacelasimpedanciasenparaleloconunimpedancia equivalente, dos veces, aplique la LVK3.2 ANLISIS DE CORRIENTE DE MALLA Y VOLTAJE DE NODOElanlisisdecircuitoseneldominiodelafrecuenciasigueelmismoprocedimiento que se utiliza en los circuitosresistivos; sin embargo, seempleanimpedanciasyfasoresenlugarderesistenciasyfuncioneseneltiempo.ComolaleydeOhmpuedeusarseeneldominiodelafrecuencia, se emplea la relacin ZI V = para los elementos pasivosy seprocede con las tcnicas del voltajede nodo y la corriente de malla.Comoejemplodelusodefasoresenelmtododelvoltajedenodo,examine el circuito de la figura 1Lfi CO 10 avbvO 5Figura 1cuando t i im fe cos = .Paravaloresespecficosde e ,LyC,sepuedeobtener la impedancia de los elementosL y C. Cuando e = 1 000 rad/sy C = 100 F , se obtiene1011jC jZ = =ecuandoL = 5 mH para el inductor, se tienela impedancia5 j L j ZL= = eElcircuitodelafigura1puedevolverseadibujarusandoelformatofasorial comose muestra en la figura 2.1Z2Z3ZavbvfIFigura 2es obvioque Z3 = 10 O y Z2se obtiene de la combinacin enparalelodel resistorde 5 O y la impedancia del inductor ZL.en vezde obtenerZ2, sedeterminar Y2 con mucha facilidad sumando las dos admitanciasen paralelo, como sigue:) 1 (515151 1512jj ZYL = + = + =Usando la LCK en elnodo a, se tienefb a aIZV VZV=+3 1En el nodo b, se tiene03 2=+ZV VZVa b bReordenando, se obtienef b aI V Y V Y Y = + + ) ( ) (3 3 10 ) ( ) (3 2 3= + + b aV Y Y V YSe procede a obteneraV cuando 10 =mI A.Sustituyendo se tiene10101101101=+||.|

\|+b aV Vj0101) 1 (51101=((

+ +b aV j VEntonces se usa la regla de Cramer para despejaraV , obteniendo7 . 47 5 . 87 ) 11 10 (1710017) 4 )( 2 3 ( 1004) 2 3 ( 100 Z = = =+= jj jjjVaPor tanto, se tiene el voltaje en estado estableav) 7 . 47 1000 cos( 5 . 87 = t vaVEjemploEn la figura 3 aparece un circuito con e=10rad/s, L=0.5 H y C = 10mF.Determinar el voltaje de nodoven su forma senoidal estable cuando elvoltajedelafuenteesV t vf) cos( 10 e = .LCi 10O 10O 5viO =101R2Rfv 3RFigura 3SolucinEl circuito tiene una fuente dependiente entre dos nodos, por lo que seidentifica un supernodo como se muestra en la figura 4, donde tambinaparece la impedancia de cada elemento en forma fasorial.V5 j ZL =10 j Zc =O 10O 5IO =101R2R3RI 10fVFigura 4As,laimpedanciadelinductores 5 j L j ZL= = e .Deigualforma,laimpedancia del capacitor es1010 1jj C jZc = = =ePrimero,senotaque 10 / 1 / 11 1= = R Y .Ahorasedeseaconjuntarlasdosadmitancias en paralelo para que R2 y C den una admitancia Y2 como semuestra en la figura 5.VI 10fVI3Y2Y1YFigura 5entonces se obtiene ) 1 (10110 101 1 122jjZ RYc+ = + = + =Y3 puede obtenerse de la resistencia y la inductancia en serie como331ZY =donde 5 53 3j Z R ZL+ = + = .Por tanto, se tiene) 5 5 (5015 513jjY =+=Aplicando la LCK en el supernodo de la figura 5,0 ) 10 ( ) (3 2 1= + + + I V Y V Y V V YfAdems, se nota que) (1V V Y If =Sustituyendo la ecuacin ) (1V V Y If = en la 0 ) 10 ( ) (3 2 1= + + + I V Y V Y V V Yf,se obtiene( ) | | 0 10 ) (1 3 2 1= + + + V V Y V Y V Y V V Yf fReordenando,fV Y Y Y V Y Y Y Y Y ) 10 ( ) 10 (3 1 1 3 1 3 2 1 = + + En consecuencia,3 1 3 2 13 1 110) 10 (Y Y Y Y YV Y Y YVf + + =Dado que Vf = 10Z00, se obtienejjjjjjV+=+ =+ +|.|

\| =210) 2 (101) 1 ( 1) 1 (10110110 ) 5 5 (501101Por tanto, se tieneV t v ) 4 . 63 10 cos(5100+ =EjemploDeterminar la corriente senoidal de estado estable1i en elcircuito de lafigura 6 cuando ) 45 cos( 2 10 + = t vfe V y e= 100 rad/s.Adems, L= 30mH y C = 5 mF.Figura 6SolucinPrimero, se transforma el voltaje de la fuentea su forma fasorialofv 45 2 10 Z = = 10 + 10jAhorasedefinenlasdoscorrientesdemallacomo1i e2i ,comosemuestraen la figura 7.3 j13I2 j 2IfV1IFigura 7Puesto que la frecuenciade la fuente es e= 100 rad/s, se determinaque la inductancia tiene una impedancia de3 j L j ZL= = eEl capacitor tiene una impedancia de2211 1jjC jZc =|.|

\|= =eEntoncessepuedenresumirlascorrientesfasorialesdelcircuitoylaimpedanciadecadaelementodibujandoelcircuitoentrminosdefasores, como en la figura 7. Ahora pueden escribirse las ecuaciones dela LVK para cada malla, obteniendomalla 1: ( )fV I j I j = +2 13 3 3malla 2: ( ) ( ) 0 2 3 3 32 1= I j j I jDespejando1Icon la regla de Cramer, se tieneA+=j jI) 10 10 (1donde el determinante esj j j j j 12 6 ) 3 3 ( 3 ) )( 3 3 ( + = + + = AEnconsecuencia,jjI12 610 101+=Prosiguiendo, se obtiene( )ooojjI 6 . 71 05 . 14 . 63 5 6135 2 ( 10) 2 1 ( 6) 1 ( 101Z =ZZ=+=Entonces, la respuesta de estado estable en el tiempo es( ) + = 6 . 71 100 cos 05 . 11t i AEjemploDeterminarlacorrienteenestadoestable1i ,cuandolafuentedevoltajees ) 45 cos( 2 10 + = t vfe Vylafuentedecorrientees t ife cos 3 = Aen el circuitode la figura 8. En esta figura aparece la impedanciaenohms paracada elemento a la e especificada.fI2IfV1I21j Z = 22 = Z23j Z =Figura 8SolucinPrimero se transforman las fuentes independientes a la formafasorial.La fuente de voltaje es( ) j vf+ = Z = 1 10 45 2 10Y la fuente de corriente esofI 0 3Z =se observa que la fuente de corrienteconecta las dos mallas yproduceuna ecuacin restrictivafI I I = 1 2Creando una supermallaalrededor de la periferia de las dos mallas, seescribe una ecuacin de la LVK, obteniendofV Z Z I Z I = + + ) (3 2 2 1 1f fV Z Z I I Z I = + + + ) )( (3 2 1 1 1Reordenando,( ) ( )f fI Z Z V I Z Z Z3 2 1 3 2 1+ = + +Por tanto,3 2 13 21) (Z Z ZI Z Z VIf f+ ++ =Sustituyendo las impedancias y las Fuentes,=1Iojj j76 25 . 8 8 223 ) 2 2 ( ) 10 10 (Z = + = +En consecuencia, el resultado es( ) + = 76 cos 25 . 81t i e AActividadUncircuitotienelaformaquesemuestraenlafigura9cuandot if100 cos 11 = Ae ( ) = 90 100 cos 5 . 02t ifA.Determineelvoltajeav eneldominio del tiempo.mF 11 fimH 40O 4avbvO 22 fimF 5Figura 9ActividadAplique el anlisisde corriente de malla al circuito de la figura 10 paradeterminar el voltaje de estado estable a travs del inductor,Lvcuandot vfe cos 201 = V, ) 90 cos( 302 = t vfe V, y e= 1 000 rad/s.F 2001 fvmH 15O 10Lv2 fvFigura10ActividadDetermine los voltajes fasoriales de nodoen las terminales a y b para elcircuito de la figura 11, cuando 50 j vf = V y 301j v = V1 fv10O 3010 jfV20 j 50 j Figura 113.3SUPERPOSICIN,TRANSFORMACINDEFUENTESYTEOREMA DE THVENINElprincipiodesuperposicinesparticularmentetilsiuncircuitocontienedosomsfuentesactuandoadiferentesfrecuencias.Obviamente, elcircuito tendr un conjunto de valores de impedancia auna frecuencia yun conjunto diferentevalores a otra frecuencia.Sepuede determinar la respuesta fasorialen cada frecuencia.Despus seestablece la respuestaen el tiempo que correspondea cada respuestafasorial, y se suman. Noteque la superposicin, en el caso de fuentesqueoperana2omsfrecuenciasseaplicasloarespuestaseneltiempo.No se pueden superponer las respuestas fasoriales.EjemploUsando el principiode superposicin, determinar la corriente de estadoestable ien el circuito mostrado en la figura 1. Cuando t vf10 cos 101 = V,fi = 3 A, L = 1.5 H y C = 10 mF.iO 5CLO 10fi fvFigura 1SolucinEl principio de superposicin establece que la respuesta a las fuentes devoltajeycorrientequeactanenconjuntoesigualalasumadelasrespuestasdelafuentedevoltajeactuandoenformaindividualmslasrespuestasdelafuentedecorrientequeactanindividualmente.Sea1ila que denotala respuesta a la fuente de voltajequeacta enformaindividual.Lafigura 2amuestraelcircuitoqueseusaparacalcular1i . Enlafigura 2b,este circuitoseharepresentadoeneldominiodelafrecuenciausandoimpedanciasyfasores.Demanerasimilar,sea2i laquedenotelarespuestaalafuentedecorrientequeactaenformaindividual.Lafigura amuestraelcircuitoqueseusaparacalcular2i.Enlafigura 2bestecircuitoseharepresentadoeneldominio de la frecuencia.1iO 5CLO 10fv O 10 jO 15 j1IO 5O 10b)fvFigura 2Elprimerpasoesconvertirlasfuentesindependientesalaformafasorial, advirtiendo que operan a frecuencias diferentes. Para la fuentede voltaje que operaa e= 10 rad/s, se tiene Z = 0 10fvSeobservaquelafuenteesdecorrientedirecta,porloquepuedeestablecerse que, para ella, e= 0 rad/s.La forma fasorial de la fuentedecorriente es Z = 0 3fiEl segundopaso es convertir el circuito a la forma fasorial indicando laimpedancia de cada elemento como en lafigura 2bAhora se determinar la corriente fasorial1I , que es la componente dela corriente Ique se debe a la fuente de voltaje.Se elimina a la fuentede corriente, reemplazndola por un circuito abierto a travs del resistorde 10 O. Entonces se puede determinar la corriente1Ique se debe a laprimera fuente como1I =pfZ jwLV+ + 5DondepZ eslaimpedanciadelcapacitorylaresistenciade10 Oenparalelo.Recurdese que e= 10 rad/s y C = 10 mF. Por tanto, dadoque 10 j Zc =) 1 ( 510 1010 ) 10 (jjjZ RR ZZccp ==+=SustituyendopZy 15 = L e en la ecuacinpfZ jwLV+ + 5001452001010 1010) 5 5 ( 15 50 10 Z =+= + +Z=j j jIportanto, la corriente en el dominiodel tiemporesultante de la fuentede voltaje es( ) = 45 10 cos 71 . 01t i AAhora se examinar la situacin de la fuentede corrientecon la fuentedevoltajedesactivada.Ponerencerolafuentedevoltajeequivaleauncortocircuito.Puestoqueparalafuentedecd e =0rad/s,laimpedanciadelcapacitorse convierte en un circuitoabiertoporque = =C jZe1.Laimpedanciadelinductorseconvierteencortocircuito porque 0 = = L j Z e . As, seobtiene el circuito mostrado en lafigura 3b.Se observa que seha regresado al conocido circuito resistivopara una fuente de cd.Entonces,la respuesta que se debe a al fuentede corriente es2iO 5CLO 10fi2IO 5O 10 fiFigura 3A I 2 315102 = =Portanto,usandoelprincipiodesuperposicin,lacorrientetotaldeestado estable es2 1i i i + =o sea( ) 2 45 10 cos 71 . 0 = t i AAhoraseconsiderarnlastransformacionesdeFuentespara circuitoseneldominiodelafrecuencia(fasoriales).Lastcnicas paracircuitosresistivospuedenaplicarsefcilmente.Latransformacindefuentesserefiereatransformarunafuentedevoltajeysu correspondienteimpedancia enserieenunafuentedecorrienteconsuimpedanciaasociada en paralelo, o viceversa, comoaparece en la figura 4.fIfVfZfZFigura 4El mtodo para transformar una fuente en otrase resumeen la figura5fI fVfZfZfffZVI =fIfZfZf f fZ I V =fZfVfZFigura 5EjemploUncircuitotieneunafuentedevoltajefv enseriecondoselementos,comosemuestraenla figura6. Determinarlafuentedecorrienteequivalenteenformafasorial,cuando ) 45 cos( 10 + = t vfe Vy e =100rad/s.mH 100fvO 10Figura 6SolucinPrimero, se determina la fuente de corrienteequivalentecomo sigue:fffZVI =Puestoque 10 10 j Z f+ = y Z = 45 10fV , se obtieneA I f02001045 20045 10Z =ZZ=El circuito con la fuente de corrienteequivalente se muestra en la figura7.fIfZFigura 7Los teoremasdeThveninyNortonseaplicanacorrientesovoltajesfasorialeseimpedanciasigualqueseaplicanaloscircuitosresistivos.ElteoremadeThveninseutilizaparaobteneruncircuitoequivalente,como se analizen el captulo 5. Elcircuito equivalentede Thveninaparece en la figura 8.THVTHZFigura 8UnprocedimientoparadeterminarelcircuitoequivalentedeThvenines el siguiente:1. Identificar una parte separada del circuito total2. determinarelvoltajedeThvenincab THV V = ;elvoltajedecircuitoabierto en las terminales.3. a)DeterminarTHZ desactivando todas las fuentes independientesyreduciendoelcircuitoaunaimpedanciaequivalente;b)sielcircuitotieneunao msfuentesdependientes,entoncessecortocircuitan lasterminales y se determinancocI , la corriente decortocircuitoparalacualcoccabTHIVZ = , obienc)sedesactivanlas fuentes independientes,se conecta una fuente de voltaje o decorriente en las terminales y se determinan tantoV como I en lasterminales, de dondeIVZTH =EjemploDeterminarelequivalentedeThvenindelcircuitomostrandoenlafigura 9. CuandoZ1 = 1 + j y Z2 = - j10 2Z =fI2Z1ZFigura 9SolucinElvoltaje de circuito abierto es 45 2 2 ) 1 )( 0 2 (1Z = + Z = = j Z I Vf cabLaimpedanciaTHZ sedeterminaaldesactivarlafuentedecorrienteyreemplazarlapor un circuito abierto. Entonces se tiene1Zen serie con2Z , de formaqueO = + = + = 1 ) 1 (2 1j j Z Z ZTHEjemploDeterminar el equivalente de Thvenin del circuito que se muestra en lafigura 10. En forma fasorial.0 2Z =ficabVO 1010 jVV 3Figura 10SolucinEl voltaje de Thvenin escab THV V = , as que primero se determinacabVnote que conel circuito abierto,20 10 = =fI VEntonces, usando la LVK en la malla de la derecha, setienecabV = 3V + V = 4V = 80Z0Examinandoelcircuitodelafigura 10,setransformanlafuentedecorriente y la resistencia de 10 Oen la fuente de voltaje y la resistenciaen serie de 10O, como aparece en la siguiente figura 11a.0 2Z =ficabVO 1010 jVV 3IO 1010 jVV 3oVa)b)Figura 11Cuandosedesactivalafuentedevoltajeyseconectaunafuentedecorriente a las terminales, como se muestra en la siguiente figura 11b,la LVK daI j V I j Vcab) 40 10 ( 4 10 + = + =Por tanto,THZ= 40 + J10OAhora se ver el procedimientopara determinar el circuitoequivalentedeNorton.LospasossonsimilaresalosusadosenelequivalentedeThvenin,puestoqueTHZen serie con el voltaje de Thvenin es igual alaimpedanciadeNortonenparaleloconlafuentedecorrientedeNorton.ElcircuitoequivalentedeNortonapareceenla siguientefigura.NITHZFigura 12ParadeterminarelcircuitodeNorton,seadoptaelprocedimientosiguiente:4 Identificar una parte separada del circuito total.5 la corriente de NortonNIes la corriente por un corto circuito en lasterminales, as quecoc NI I =.6 determinarTHZ a)desactivando todaslas fuentes independientes yreduciendoel circuito a una impedancia equivalente, o bien b)si elcircuito tiene una o msfuentes dependientes, determinarel voltajedel circuitoabierto en las terminales,cabV ,de forma quecoccabTHIVZ =EjemploDeterminar el equivalente de Norton del circuito mostradoen la figura13 enformade fasores e impedancias. Suponga que Vf = 100 Z0oVfV5 51j Z + = 2 13j Z =42j Z =Figura 13SolucinPrimerosedeterminarlaimpedanciaequivalente,desactivadolafuentedevoltajeyreemplazndolaporuncortocircuito.Puestoque1Z aparece enparalelo con2Z , se tiene) 4 ( ) 5 5 () 4 )( 5 5 () 2 1 (2 12 13j jj jjZ ZZ ZZ ZTH+ +++ =++ =) 34 93 (53153345393) 7 2 (5320) 2 1 ( j j j j + = + = + + =AhoraseprocedeadeterminarlafuentedecorrienteequivalentedeNorton, calculando la corriente que fluye por un corto circuito conectadoen las terminales a-b, como se muestra en la siguiente figura.fV1Z3Z2ZIcocIcocIFigura 14Para determinarcocIse usarncorrientes de malla como se muestra enla figura 14. Las dos ecuacionesde laLVK en las mallas sonmalla 1:f cocv I Z I Z Z = + + ) ( ) (2 2 1malla 2: 0 ) ( ) (3 2 2= + + cocI Z Z I ZUsando la regla de Cramer, se determina quecoc NI I = como sigueA jjjj jjZ Z Z Z ZV ZIfcoc) 3 19 (37040019 3400) 16 ( ) 2 1 )( 9 5 (100 ) 4 () )( (22 3 2 2 12+ =+= + += + +=ActividadDeterminelosvaloresdeVTHyTHZ demodoqueelcircuitoquesemuestra en la figura 15a sea el equivalente de Thvenin del circuito quese muestra en la figura 15babO 84 . 2 j 10 j20 j5 j a)THVTHZb)abFigura 15ActividadDetermineel voltaje ) (t vpara el circuito de la figura 16.O 8F21H 2) (t vH 4tV sen5 5A t ) 15 3 cos( 4 +Figura 16Sugerencia: use superposicinActividadUsandoelprincipiodesuperposicin,determine ) (t i enelcircuitodelafigura 17 cuando t v 10 cos 101 = V.1v) (t iA 3 O 10 mF 10H 5 . 1 O 5Figura 173.4 DIAGRAMASFASORIALESLarelacinentrefasoresenunplanocomplejosedenominadiagramafasorial.Considere un circuitoRLC en serie que apareceen la figura 1.Il jeRcje1CVfvLVRVFigura 1En el diagramatambin se identifica la impedanciade cada elemento.Puestoquelacorrientefluyeportodosloselementosyescomnatodos, se toma como referencia el fasor I .0 Z = I IEntonces, los voltajes fasoriales son0 Z = = RI RI VR90 Z = = LI LI j VLe e90 Z =wCIwCjIVCEstos fasores aparecen en el diagramafasorial de la figura 2.uIfVRVCVLVFigura 2Note que la LVK de este circuito requierequec L R fV V V V + + =La corrienteIy el voltajea travs del resistor estn en fase.El voltajedel inductor seadelanta 90a la corriente y el voltajedel capacitor seatrasa 90 a la corriente.ParaLy C dados, habr una frecuencia etal queC LV V =Conreferenciaalas ecuaciones,estaigualdadenlamagnituddelosvoltajes ocurre cuando.CLIee1=o bienLC12= eCuandoLC12= e ,lasmagnitudesdelosvoltajesdelinductoryelcapacitor son iguales.Puesto que estn desfasados 180, se anulan y lacondicin resultante es.R fV V=Y tantofV comoRV estn en fase con I .Esta condicin se denominaresonancia.ActividadConsidere el circuito RLC en serie de la figura 1 en donde se tiene L = 1mHC = 1 mF.Determine la frecuencia ecuando la corriente, la fuentede voltaje yRVestn en fase.ActividadTraceeldiagramafasorialdelcircuitodelafigura3cuando Z = 0 V Vmuestre cada corriente en el diagrama.RfIVRIC LLICIFigura 34. POTENCIA AC4.1Potencia instantnea4.2Potencia promedio4.3Valores eficaces de corriente y tensin4.4Potencia aparente y factor de potencia4.5Potencia compleja4.6 superposicin de potencia4.7 Mxima transferencia de potencia4.8 Inductores acoplados4.9 Transformador ideal4.1 POTENCIA INSTANTANEANos interesa determinar la potencia generada y absorbida en un circuitooenunelementodeuncircuito,porejemplo,potenciainstantnea,potencia promedio y potencia compleja.La potencia instantnea entregada a cualquier dispositivo esta dada por:) ( ) ( ) ( t i t v t p =La unidad de potencia es el watt (W).Si el elemento es un resistor R, la potencia se puede expresar como:Rt vR t i t i t v t p) () ( ) ( ) ( ) (22= = =Si es un elemento completamente inductivo:t d t v t vL dtt dit Li t pt' ' = =} ) ( ) (1 ) () ( ) (donde se ha supuesto arbitrariamente que el valor es cero en = t .En el caso de un capacitor:t d t i t iC dtt dvt Cv t pt' ' = =}e) ( ) (1 ) () ( ) (Lapotenciainstantnea quese entregaatodoelcircuitoen el estadosenoidal permanente es:( ) ( ) | | | | e e | e cos 2 cos2cos cos + + = + = tI Vt t I V pm mm m)] 2 [cos(2cos2| e | + + = tI V I Vpm m m mEjemploUna fuente de tensin, 40 + 60 ) (t u V, un capacitor de 5 F y un resistorde200Oestnenserie.Determinelapotenciaqueabsorbenelcapacitor y el resistor en t=1.2msAntes de t=0, una tensin de cd de 40V est aplicada a los extremos delacombinacinenseriedeuncapacitoryunresistor.Puestoquenofluyecorriente, V vc40 ) 0 ( =.Ent=0+,latensinatravsdelacombinacinseincrementahasta100V.Latensinenelcapacitornopuedecambiardemanerainstantnea,porloquelatensinenelresistor en t=0+ debe corresponder a 60V.La corriente que circula porelresistorydeahenamboselementos,ent=0+es portantode60/200=300mA.La corriente para t 0 est dada por:mA e t it t /300 ) (=Donde ms RC 1 = = t .De tal modo, la corriente que fluye en t=1.2ms es90.36mAylapotenciaqueabsorbeelresistoreneseinstantecorresponde simplemente a W R t i 633 . 1 ) (2= .La potencia instantnea que absorbe el capacitor es ) ( ) ( t v t ic, as que haymsdeuna,maneradeobtenerunaexpresinparalatensinenelcapacitor.Alreconocerquelatensintotalenamboselementosent 0 siempre ser 100V y que la tensin est dada port /60te,t /60 100 ) (tce t v =de modo que encontramos V e ms vc93 . 81 60 100 ) 2 . 1 (2 . 1= =.As la potenciaque est absorbiendo el capacitor en t=1.2ms es (90.36mA)(81.93V) =7.403W.______________Es probable que la potencia instantnea sea una funcin complicada deltiempo. Esto nos lleva a buscar una medida ms sencilla de la potenciagenerada y absorbida en el elemento de un circuito, tal como la potenciapromedio.4.2 POTENCIA PROMEDIOCuandosehabladelvalorpromediodelapotenciainstantnea,debeespecificarse el intervalo sobre el que se toma el promedio. As:dt t pt tPtt) (1 211 2}=El valor promedio se denota con la letra mayscula P ya que no es unafuncin del tiempo.Si ) (t pes funcin peridica, la potencia promedio (o activa) se calculaintegrandolapotenciainstantneadurantecualquierintervaloqueseade un periodo de longitud, y luego se divide entre el periodo:dt t pTPT ttxx) (1}+= ,Paraestadosenoidalpermanente, ) cos( ) ( u e + = t V t vm/ ) cos( ) ( e + = t I t im,la potencia instantnea es:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u e u e u e + + + = + + = tI V I Vt t I V t pm m m mm m2 cos *2cos *2cos cosSeobservaqueelprimertrminoesunaconstante,independientedeltiempoyelsegundotrminoesunafuncincoseno(peridica)ysuperiodo es T.Por tanto la potencia promedio es: ( ) u = cos21m mI V PLadiferenciadengulodefaseentrelacorrienteylatensinenunresistor puro es cero, por tanto:( )m m m mI V I V P210 cos21= =R I Pm R221=RVPmR22=Lapotenciapromedioentregadaacualquiercircuitocompuestodeelementospuramentereactivosidealesescero.Esteesunresultadodirectodeladiferenciadefasede90,queexisteentrelacorrienteytensin.Lapotenciafluyehacialaredenunapartedelciclo,yfueradurante otra parte del ciclo, sin perdida de potencia.EjemploDadalatensineneldominiodeltiempo , ) 6 / cos( 4 V t v t = determinelapotencia promedio y una expresin para la potencia instantnea que seproduce cuando la tensin fasorial correspondiente a V V Z = 0 4 se aplicaa travs de una impedancia O Z = 60 2 Z .Lacorrientefasoriales A Z V Z = 60 2 / ,ylapotenciapromedio(activa)corresponde a:W P 2 60 cos ) 2 )( 4 (21= =la tensin en el dominio del tiempo es:Vtt v6cos 4 ) (t=la corriente en el dominio del tiempo:Att i ) 606cos( 2 ) ( =ty la potencia instantnea:Wt tt p ) 603cos( 4 2 ) 606cos(6tcos 8 ) ( + = =t t tEjemploEncuentrelapotenciapromedio(activa)queestentregandoaunaimpedanciaZL=8 -j11 atravesada por la corriente A I Z = 20 5 .SepodraencontrarlasolucinbastanterpidoalutilizarlaecuacinR I Pm R221= .Slo la resistencia de 8O entra en el clculo de la potenciapromedio,yaquelacomponente O 11 j noabsorberningunapotenciapromedio (activa).En consecuencia:W P 100 80 ) 5 (212= =Observe tambin que si la corriente se da en forma rectangular, esto esA j I 5 2 + = ,entonceslamagnitudalcuadradoes22+52,ylapotenciapromedio (activa) entregada a O = 11 8 j ZL sera:W P 116 8 ) 5 2 (212 2= + =EjemploDeterminelapotenciapromedioqueabsorbecadaunodelostreselementospasivosdelafigura,ascomolapotenciapromedioquesuministra cada fuente.O 22 j 2 j V0 10Z 1I2I V0 20ZLosvaloresde1I e2I secalculanmediantecualquieradelosdiversosmtodos como el anlisis de malla, el anlisis nodal o la superposicin:A j IA j I Z = = Z = =45 071 . 7 5 543 . 63 18 . 11 10 521Lacorrientehaciaabajoquepasaporelresistorde2Oseobtienemediante:A j I I Z = = 90 5 52 1porloque , 5A Im = ylapotenciapromedio(activa)queabsorbeelresistor se calcula de manera ms fcil mediante la ecuacin (12):W R I Pm R25 2 ) 5 (21212 2= = =Esteresultadoseverificautilizandolaecuacin(11)ola(13).Lapotencia promedio (activa) que absorbe cada elemento reactivo es cero.Acontinuacinnosconcentramosenlafuenteizquierda.Latensin Z0 20 V y la corriente asociada A I Z = 43 . 63 18 . 111satisface la convencindesignosactivayporellolapotenciaqueentregaestafuentesedetermina por:| | W Pizquierda 50 ) 43 . 63 ( 0 cos ) 18 . 11 )( 20 (21= =Demanerasimilar,encontramoslapotenciaabsorbidaporlafuentederecha, utilizando la convencin de signos pasiva:W Pderecha 25 ) 45 0 cos( ) 071 . 7 )( 10 (21= + =Puesto que 50=25+25, se confirman las relaciones de potencia.4.3 VALORES EFECTIVOS DE CORRIENTE Y VOLTAJESidejamosqueunacorrienteperidicadadafluyaatravsdeunresistor, para obtener la potencia instantnea R i2, y luego calculamos elvalorpromediode R i2enunperiodo;estaeslapotenciapromedio;luegosihacemosqueunacorrientedirectacirculeporesemismoresistoryajustamoselvalordelacorrientedirectahastaobtenerelmismo valor de la potencia promedio, la magnitud de la corriente directaesigualalvalorefectivodelacorrienteperidicadada.Matemticamente:} }= =T Tdt iTRRdt iTP0 02 21, donde T es el periodo de i(t).La potencia entregada por la corriente directa es:R I Pef2=Igualando, obtenemos la corriente efectiva:}=Tefdt iTI021De igual forma para el voltaje efectivo:}=Tefdt vTV021Observamos que el valor efectivo se obtiene calculando la raz cuadradadelamediadelcuadrado;porestotambintomaelnombrederazmedia cuadrtica o rms (root-mean-square).Para una onda senoidal:( ) ( ) e + = t I t im cosLa corriente efectiva es:2) ( cos102 2 mTm efIdt t ITI = + =} edonde:et 2= TAs podemos reescribir las formulas de potencia promedio como:R I Pef2=RVPef2=( ) | u = cosef ef I V P4.4 POTENCIA APARENTE Y FACTOR DE POTENCIASi suponemos que el voltaje senoidal:( ) u e + = t V vm cosse aplica a un circuito y la corriente resultante es:( ) e + = t I im cosel ngulo de fase por el que el voltaje adelanta a la corriente es:) ( u y la potencia promedio entregada al circuito es:( ) u u = = cos ) cos(21ef ef m mI V I V PLapotenciaabsorbidaqueestdadaporelproducto,ef ef I V , sedefinecomolapotenciaaparente,dimensionalmentedebetenerlasmismasunidadesquelapotenciareal,yaquecos u esadimensional,peroparaevitarconfusionesseutilizaeltermino voltamperes,oVA;comocos u no puede ser mayor que uno 1, la magnitud de la potencia realno es mayor que la magnitud de la potencia aparente.El factor de potencia se define como la razn de la potencia promedio oreal a la potencia aparente, se simboliza como F.P:ef ef I Vparente PotenciaApomedio PotenciaP F = =Pr.En el caso senoidal, el P F. es:( ) u cosdonde u es el ngulo por el que el voltaje adelanta a la corriente; porello se dice con frecuencia que el ngulo u es el ngulo del factor depotencia.Enunacargapuramenteresistiva,elvoltajeylacorrienteestnenfase: u =0 y F.P.=1 Potencia Aparente = Potencia Promedio.Unacargapuramentereactiva(sinresistencias)tendrunF.P.=0, unadiferencia de fase de .UnacargainductivatendrunF.P.atrasadoyunacargacapacitivaunF.P. adelantado,donde los trminos adelantado o retrasado se refiere ala fase de la corriente con respecto al voltaje.EjemploCalculevaloresparalapotenciapromedio(activa)suministradaacadaunadelascargasqueseindicanenlafigura,ascomola potenciaaparente que proporciona la fuente y el factor de potencia de las cargascombinadas.Vrms0 60ZsIO 1 2 jO + 5 1 j Identifique el objetivo del problema.Lapotenciapromedio(activa)serefierealaqueconsumenloscomponentesresistivosdeloselementosdecarga;lapotenciaaparenteeselproductodelatensineficazydelacorrienteeficazde la combinacin de carga. Recopile la informacin conocida.La tensin eficaz es de 60V rms, que aparece en los extremos de unacarga combinada de O + = + + 4 3 5 1 2 j j j . Decida la tcnica disponible que se ajusta mejor al problema.Elclculodelosdosnivelesdepotenciaesdirecto,aunquenecesitamos tener cuidado, a fin de mantener las definiciones claras. Construya un conjunto apropiado de ecuaciones.La potencia promedio (activa) est dada por:) cos( angI angV I V Pef ef =La potencia aparente es simplementeef ef I VElfactordepotenciasecalculacomolaproporcinentreestasdoscantidades:ef ef I VParente potenciaapomedio potenciaprFP = = Determine si se requiere informacin adicional.Requerimos :efIAjIs Z =+ Z= 13 . 53 124 30 60 rmspor lo que A Ief12 =rms y ang = 13 . 53sI Busque la solucin.Encontramos que la fuente suministra una potencia promedio (activa)de:| | W Ps432 ) 1 . 53 ( 0 cos ) 12 )( 60 ( = =y una potencia aparente de 60 (12)= 720VAPor ltimo, el factor de potencia de las cargas combinadas se obtienealconsiderarlatensinylacorrienteasociadasconesasmismascargas.Estefactordepotenciaes,desdeluego,idnticoaldelafuente.Por ello:6 . 0) 12 ( 60432= = =ef ef I VPFP Verifique la solucin Es razonable o la esperada?La carga superior recibe una potencia promedio (activa):W Perior288 ) 2 ( 122sup= =Paralacargadeladerecha,determinamosunapotenciapromedio(activa) de:W Pderecha144 ) 1 ( 122= =As,lafuenteproporciona432W,deloscuales288Wsedisipanenlacargasuperiory144Wenlacargadeladerecha.Elbalancedepotencia es correcto.Hubierapodidodescribirsetambinlaimpedanciadecargacombinadacomo O Z 1 . 53 5 ,identificar53.1comoelngulodelFPydeesemodotenerunFPdecos53.1=0.6.Adems,observamosquelacargacombinada es inductiva y que el FP es, por tanto, igual a 0.6 retrasado.4.5 POTENCIA COMPLEJALa potencia compleja se define en relacin a un voltaje senoidal generalu Z =ef efV V entredosterminalesyunacorrientesenoidalgeneral Z =ef efI I queentraaunadelasterminales.Entonceslapotenciapromedio P absorbida por la red de dos terminales es:) cos( u =ef ef I V PExpresamos P en notacin compleja:{ }) ( | u =jef efe RE I V P o} {| u jefjefe I e V RE P=La corriente fasorial es:| jef efe I I =Se debe usar la notacin conjugada:| jefef e I I =Por tanto:{ }-=ef ef I V RE PDefinimos la potencia compleja S como:) ( | u = =jef efefefe I V I V SLamagnitudde Seslapotenciaaparente,elngulode Seselngulodel factor de potencia.En forma rectangular:jQ P S + =Donde P = Potencia promedio real, como antes, y la parte imaginaria sesimbolizapor QyrecibeelnombredePotenciaReactiva,susdimensionessonlasmismasquelasdelapotenciareal,paraevitarconfundirlalaunidaddeQ sedefinecomoelVAR(volt-amperes-reactivos).se observa que:Q = ) ( u sen I Vef efLarepresentacingraficaparalapotenciacomplejaseconocecomoeltriangulo de potencia:| u SQPEneltriangulodepotenciasi 0 > | u ,elfactorde potenciaestaretrasado(cargainductiva),ysi 0 < | u ,elfactordepotenciaestaadelantando (carga capacitiva).Con un varmetro se obtiene potencia reactiva Q consumida por la carga,y con un wattimetro se obtiene la potencia promedio real consumida poruna carga.EjemploUnconsumidorindustrialoperaunmotordeinduccinde50kW(67.1hp) a un FP retrasado de 0.8.la tensin de la fuente corresponde a 230Vrms.Paraobtenertarifaselctricasinferiores,elconsumidordeseaelevar el FP retrasado.Especifique una solucin pausible.AunquesepodraelevarelFPincrementandolapotenciarealymanteniendoconstantelapotenciareactiva,estonoredundaraenunrecibomsbajoynoesunremedioqueinteresealconsumidor.Esnecesarioagregaralsistemaunacargapuramentereactiva,yresultaclaro que debe hacerse en paralelo, pues la tensin del suministro paraelmotordeinduccinnodebecambiar.Elcircuitodelafigura11.8(repetido aqu como la figura 11.20) se aplica si interpretamos S1 comolapotenciacomplejadelmotordeinduccinyaS2comolapotenciacompleja extrada por el dispositivo de correccin del FP.Lapotenciacomplejaquesesuministraalmotordeinduccindebetenerunaparterealde50kWyunngulodecos-1(0.8)o36.9.Porconsiguiente:kVA j S 5 . 37 508 . 09 . 36 501+ = Z=Para alcanzar un FP de 0.95, la potencia compleja total debe convertirseen:kVA j S 43 . 16 50 ) 95 . 0 ( cos95 . 0501+ = Z =Por lo tanto, la potencia compleja consumida por la carga correctiva seobtiene mediante:kVA j S 07 . 212 =LaimpedanciadecarganecesariaZ2sedeterminaraconvariospasossencillos.Elegimos el ngulo de fase de 0 para la fuente de tensin, ypor lo tanto la corriente que atraviesa Z2es:A jjVSI 6 . 912302107022 == =oA j I 6 . 912 =En consecuencia:O = = = 51 . 26 . 91230222jj IVZSilafrecuenciadeoperacinesde60Hz,aestacargaselepuedeproveer de un capacitor de 1056 F conectado en paralelo con el motor.Sinembargo,sucostoinicial,mantenimientoydepreciacindebensolventarsemediantelareduccinenelrecibodepagodeconsumoelctrico.4.6 SUPERPOSICIN DE POTENCIAElprincipiodesuperposicinestablecequelarespuestaa fuentesqueactanjuntasesigualalasumadelasrespuestasdecadafuentedevoltaje que acta en forma independiente.La aplicacin del principio desuperposicin se ilustra en la figura.R) (2t v) (1t v) (t iR) (1t v) (1t iR) (2t v) (2t idonde1i eslarespuestaalafuente1queactasola,e2i eslarespuesta a la fuente 2 que acta sola.La respuesta total es2 1i i i + =La potencia instantnea es) 2 ( ) (2 1222122 12i i i i R i i R R i p + + = + = =donde R es la resistencia del circuito.Entonces la potencia promedio es} }+ + = =T Tdt i i i iTRpdtTP0 02 12221) 2 (1} } } }+ + = + + =T T T Tdt i iTRP P dt i iTRdt iTRdt iTR0 0 0 02 1 2 1 2 122212 2dondeP1eslapotenciapromediodebidaav1yP2eslapotenciapromediodebidaav2.severquecuandov1yv2sonsenoidesquetienen frecuencias diferentes, entonces0202 1=}Tdt i iTRCuando la ecuacin 0202 1=}Tdt i iTR se satisface, la ecuacin}+ +Tdt i iTRP P02 1 2 12se reduce a2 1P P P + =steeselprincipiodesuperposicindepotencia.Obsrvesequeelprincipiodesuperposicindepotencianicamenteesvlidocuandosesatisface la ecuacin 0202 1=}Tdt i iTRDeterminemosahorabajoqucondicionessecumplelaecuacin0202 1=}Tdt i iTR. Sea e m lafrecuenciaenradianesdelaprimerafuenteysea e nla frecuencia en radianesde la segunda fuente. Lascorrientespueden representarse con la forma general) cos(1 1 + = mwt I iy) cos(2 2u + = nwt I iSeaqueP12representelapotenciapromediodebidaalproductodelasdos corrientes.Es decir,} }+ + = =T Tdt nwt mwt I ITRdt i iTRP02 102 1 12) cos( ) cos(2 2u Cuando m y n son enteros, se realiza esta integracin para obtener}+ + =Tdt nwt mwt I ITRP02 1 12) cos( ) cos(2u =}+ + + + + Tdt wt n m wt n mTI RI02 1))) ( ) cos(( ) ( ) (cos( u u =2) cos(, 02 1u I RI,n mn m==Se observa que la integral es igual a cero cuando n m =y que es igual auna cantidad distinta de cero cuando m=n,donde m y n son enteros.Porlotanto,puedeestablecersequelapotenciapromediototalentregadaaunacargaesigualalasumadelapotenciapromedioentregadaporcadafuentecuandolafrecuenciaenradianesdecadafuente es un mltiplo entero de las otras fuentes.Sin embargo, cuandodosomsfuentestienenlamismafrecuenciaenradianes,lapotenciapromedio total no es la suma de la potencia promedio debida a cada unade las fuentes.Consideremos la ecuacin} }+ + = =T Tdt nwt mwt I ITRdt i iTRP02 102 1 12) cos( ) cos(2 2u cuandomyn nosonenteros.Por conveniencia, sea m =1, n = 1.5, y = = u 0 u .Adems, puesto quequieredeterminarselapotenciapromediocuandounadelasfuncionescosenotieneunperiodoquenoesmltiploenterodelperiodoT,esnecesario volver a la definicin de potencia promedio en la totalidad deltiempo como} =2 /2 /121tttpdtTlm P} =2 /2 /2 1) 5 . 1 cos( cos 21tttdt wt wt I RITlm} + =2 /2 /2 1) 5 . 2 cos 5 . 0 (cos1tttdt wt wt I RITlm= 0ya que la integral de todas las ondas coseno incluidas en la forma finalde la integral es cero.Porlotanto,enresumen,lasuperposicindelapotenciapromedioestablecequelapotenciapromedioentregadaauncircuitoporvariasfuentes senoidales, las cuales actan conjuntamente, es igual a la sumade la potencia promedio entregada al circuito por cada fuente que actaenformaindependiente,siyslosiningnpardelasfuentestienelamisma frecuencia.Un razonamiento similar indica que la superposicinpuedeusarseparacalcularlapotenciareactivaolapotenciacomplejaentregada a un circuito por varias fuentes senoidales, siempre y cuando,de nueva cuenta, ninguna de las dos fuentes tenga la misma frecuencia.Si dos o ms de las fuentes operan en la misma frecuencia, el principiodesuperposicindepotencianoesvlido,peroelprincipiodesuperposicinsiguesiendovlido.Enestecaso,seusaelprincipiodesuperposicinparaencontrarlacorrientedecadafasorydespussesuman las corrientes para obtener la corriente total de los fasores.NI I I I + + + = ...2 1para N fuentes.Se tiene entonces la potencia promedio22R IPm=dondemI I =EjemploEl circuito de la figura contiene dos fuentes senoidales.Para ilustrar lasuperposicin de potencia, considrense dos casos:1) vA(t) = 12cos 3tVe iB(t) = 2 cos 4t A2) vA(t) = 12cos 4tVe iB(t) = 2 cos 4t ADeterminar la potencia promedio que absorbe el resistor.O = 6 RH L 2 =) (t itA t iB 2cos 2 ) ( e =tV t vA 1cos 12 ) ( e =O = 6 RH L 2 =) (1t itV t vA 1cos 12 ) ( e =O = 6 RH L 2 =) (2t itA t iB 2cos 2 ) ( e =12622e j) (2 e I212e j) (1 e ISolucinLacorrientedelresistorcausadaporlasdosfuentesqueactanenconjuntoesigualalasumadelacorrientedelresistorcausadaporlafuente de corriente que acta sola y la corriente del resistor causada porlafuentedecorrientequeactasola.Laaplicacindelprincipiodesuperposicinseilustraenlafigurabdondei1eslarespuestaalafuentedevoltajequeactasola,ei2eslarespuestaalafuentedecorriente que acta sola.La respuesta total es i = i1 + i2.En la figura cse representan los circuitos de la figura b en el dominio de la frecuenciautilizando impedancias y fasores.Se consideran ahora los dos casos.Caso 1:Por el anlisis de los circuitos de la figura se obtiene Z = 45 414 . 1 ) (1w Ie Z = 143 6 . 1 ) (2w IEstosfasorescorrespondenafrecuenciasdiferentesynosepuedensumar.Las corrientes correspondientes en el dominio del tiempo sonA t t i ) 45 3 cos( 414 . 1 ) (1 =e A t t I ) 143 4 cos( 6 . 1 ) (2 =Alaplicarelprincipiodesuperposicinseencuentraquelacorrientetotal en el resistor esA t t t i ) 143 4 cos( 6 . 1 ) 45 3 cos( 414 . 1 ) (1 + =La potencia promedio podra calcularse como} } + = =T Tdt T tTRdt iTRP0 02 2)) 143 4 cos( 6 . 1 ) 45 3 cos( 414 . 1 (Puestoquelasdosfuentessenoidalestienen frecuenciasdiferentes,esms sencillo calcular la potencia promedio utilizando la superposicin depotenciaW P P P 7 . 13 626 . 162414 . 12 22 1= + = + =Obsrvese que en este caso se utilizaron tanto la superposicin como lasuperposicindepotencia.Primero,seuslasuperposicinparacalcularI1(w)eI2(w).Despus,secalculP1utilizandoI1(w),ysecalculP2utilizandoI2(w).Porltimo,seutilizlasuperposicindepotencia para calcular P a partir de P1y P2.Caso 2:Por el anlisis de los circuitos de la figura c se obtiene Z = 1 . 53 2 . 1 ) (1w Ie Z = 143 6 . 1 ) (2w IAmbos fasores corresponden a la misma frecuencia, w = 4 rad/s.Por lotanto,estosfasorespuedensumarseparaobtenerelfasorcorrespondiente a i(t).= + = ) ( ) ( ) (2 1w I w I w I Z = Z + Z 3 . 106 0 . 2 ) 143 6 . 1 ( ) 1 . 53 2 . 1 (La corriente senoidal correspondiente a este fasor esA t t i ) 3 . 106 4 cos( 0 . 2 ) ( =La potencia promedio absorbida por el resistor esW P 12 660 . 22= =Demaneraalternativa,lascorrienteseneldominiodeltiempocorrespondientes a I1(w) e I2(w) sonA t t i ) 1 . 53 4 cos( 2 . 1 ) (1 =e A t t i ) 143 4 cos( 6 . 1 ) (2 =Aplicandolasuperposicin,seencuentraquelacorrientetotalenelresistor esA t t t t i ) 3 . 106 4 cos( 0 . 2 ) 143 4 cos( 6 . 1 ) 1 . 53 4 cos( 2 . 1 ) ( = + =Por lo que P = 12W, como antes.Lasuperposicindepotencianopuedeusarseenestecasoporquelasdos fuentes senoidales tienen la misma frecuencia.EjercicioDeterminar la potencia promedio absorbida por el resistor de la figura a.para los dos casos siguientes:1) vA(t) = 12cos 3tVe iB(t) = 2 cos 3t A2) vA(t) = 12cos 4tVe iB(t) = 2 cos 3t A4.7 MXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIAPara una red resistiva, la potencia mxima se transfiere de una fuente auna carga cuando la resistencia de la carga se hace igual a la resistenciade Thvenin de la fuente equivalente de Thvenin.Se considera ahorauncircuitorepresentadoporelcircuitoequivalentedeThveninparaunafuentesenoidalestable,comosemuestraen lafigura,cuandolacarga es ZC.CZTHVTHZISe tiene entoncesTH TH THjX R Z + =yC C CjX R Z + =La potencia promedio entregada a la carga esCmRIP22=La corriente fasorial I est dada por) ( ) (C C TH THTHC THTHjX R jX RVZ ZVI+ + +=+=dondepuedenseleccionarselosvaloresdeRCyXC.Lapotenciapromedio entregada a la carga es2 22) ( ) (2 / | |2C TH C THC TH CX X R RR V R IP+ + += =yquieremaximixarseP.Eltrmino(XTH+XC)2puedeeliminarsehaciendo XC- XTH.Se tiene22) ( 2C THC THR RR VP+=ElmximosedeterminatomandoladerivadadP/dRCeigualndolaacero.Se encuentra entonces que dp/dRC = 0 cuando RC=RTH.Por consiguiente, se tieneZC= RTH- jXTHPortanto,latransferenciamximadepotenciadeuncircuitoconuncircuitoequivalentedeThveninconunaimpedanciaZTHseobtienecuando ZC se hace igual a ZTH, el conjugado complejo de ZTH.EjemploDeterminar la impedancia de carga que transfiere la potencia mxima alacargaydeterminarlacantidad mximadepotenciaobtenidaporelcircuito que se muestra en la figura.CZV0 10Z6 5 j ISolucinLa carga se selecciona para que sea el conjugado complejo de ZTHde talmodo queZC = ZTH = 5 + j6Entonceslapotenciamximatransferidapuedeobtenersealobservarque Z =+ Z= 0 15 50 10IPor tanto, la potencia promedio transferida a la carga esW RIPCm5 . 2 52) 1 (22 2= = =ActividadParaelcircuitodelafigura,determinarZCparaobtenerlapotenciamxima transferida cuando el circuito equivalente de Thvenin tiene VTH=100 Z0 VyZTH=10+j14 .Determinartambinlapotenciamxima que se transfiere a la carga.CZTHVTHZIActividadUnreceptordetelevisinutilizauncableparaconectarla antenaaltelevisor, como se muestra en la figura, con vf= 4 cos wt mV.La sealde la estacin de televisin se recibe en 52 Mhz.Determinar la potenciapromedio entregada a cada televisor si a) La impedancia de carga es Z= 300 ; b) Dostelevisores idnticosse conectan en paralelo con Z =300 para cada uno de ellos; c) Dos televisores idnticos se conectanenparaleloyZdebeseleccionarseparaqueseentreguelapotenciamxima en cada uno.ZfvO 2004.8 INDUCTORES ACOPLADOSEscomnusareltrminoinductanciacomosinnimodeautoinductancia,yestamosfamiliarizadosconloscircuitosquetieneninductores.En esta seccin se consideran los inductores acoplados, loscuales son tiles en circuitos con voltajes y corrientes senoidales (de ca)deestadoestableytambinsondeusogeneralizadoenloscircuitoselectrnicos.Losinductoresacopladosobobinasacopladassonundispositivomagnticoqueconstadedosomsbobinasdevueltasmltiplesdevanadasenunncleocomn. Sedicequeestasbobinasestnacopladas magnticamente.Un voltaje aplicado en una de las bobinas,comoproduceunvoltajeatravsdelasegundabobina.Heaquelporqu.Elvoltajedeentrada, ) (1t v ,generaunacorriente ) (1t i enlabobina 1.La relacin entre la corriente y el voltaje esdtdiL v11 1 =donde L1 es la autoinductancia de la bobina 1.La corriente ) (1t i produceun flujo en el ncleo magntico.Este flujo se relaciona con la corrientepor1 1 1i N c = udonde1ces una constante que depende de las propiedades magnticasy de la geometra del ncleo y1Nes el nmero de vueltas de la bobina1.La cantidad de vueltas de una bobina indica el nmero de veces queelalambreseenrollaalrededordelncleo.Elflujouestcontenidodentro del ncleo magntico.El ncleo tiene una seccin transversal A.El voltaje a travs de la bobina 1 se relaciona con el flujo pordtdiN c i N cdtdNdtdN v1 21 1 1 1 1 1 1 1) ( = =u=Al comparar las ecuacionesdtdiL v11 1 =ydtdiN c v1 21 1 1 =se demuestra que21 1 1N c L =En las terminales de la segunda bobina se induce un voltaje2v debido aque ufluye por la segunda bobina.Este voltaje se relaciona con el flujopordtdiMdtdiN N cdtdN vM1 12 1 2 2= =u=Donde| Mc es una constante que depende de las propiedades magnticasydelageometradelncleo,N2esunnmeropositivollamadolainductancia mutua.La unidad de inductancia mutua es el Henry, H.Lapolaridaddelvoltaje2v ,encomparacinconlapolaridadde1v ,depende delaformaenquesedevananlasbobinas alrededordelncleo.Se emplea una convencin de punto para indicar la manera enquesehahechoeldevanadodelasbobinasen elncleo.unodelosextremos de cada bobina est marcado con un punto.Los puntos en elextremodelasbobinasindicanquelosextremosconpuntotienenunvoltaje positivo al mismo tiempo.Enlafigura 1sepresentaelsmbolodelcircuitoqueseusapararepresentarlosinductoresacoplados,conlospuntosmarcadosylainductancia mutuaidentificadacomoM.Enlafigurasemuestrandoscasos.Enlafigura 1alascorrientesdeambasbobinasentranenlosextremosconpuntodelasmismas.Enlafigura 1b,unacorriente,1i ,entraenelextremoconpuntodeuna delasbobinas,perolaotracorriente,2i ,entraenelextremosinpuntodelabobina.Enamboscasos,lasdireccionesdereferenciadelvoltajeylacorrientedeambasbobinas se ajustan a la convencin pasiva.( ) t v1( ) t v2M1L2L( ) t v1( ) t v2M1L2Lab( ) t i1( ) t i2( ) t i1( ) t i2Figura 1Suponerquelascorrientesdeambasbobinasentranenlosextremoscon punto de las mismas, como en la figura 1a, o que las corrientes deambasbobinasentranenlosextremossinpuntodelasmismas.Elvoltaje a travs de la primera bobina,1v , se relaciona con las corrientesde las bobinas pordtdiMdtdiL v2 11 1+ =De manera similar, el voltaje a travs de la segunda bobina se relacionacon las corrientes de las bobinas pordtdiMdtdiL v1 22 2+ =Encontraste,suponerquelacorrientedeunabobinaentraenelextremo con punto mientras que la corriente de la otra bobina entra enelextremosinpunto,comoenlafigura 1b.Elvoltajeatravsdelaprimera bobina,1v , se relaciona con las corrientes de las bobinas pordtdiMdtdiL v2 11 1 =De manera similar, el voltaje a travs de la segunda bobina se relacionacon las corrientes de las bobinas pordtdiMdtdiL v1 22 2 =Portanto,puedeversequelainductanciamutuainduceun voltajeenunabobinadebidoalacorrientequecirculaenlaotrabobina.Losinductoresacopladospuedenmodelarseutilizandoinductores(sinacoplamiento)yfuentesdependientes.Enlafigura 2 semuestraelcircuito equivalente de los inductores acoplados.( ) t v1M1L2L( ) t i1( ) t i2( ) t v11L2L( ) t i1 ( ) t i2( ) t v2( ) t v2dtdiM2dtdiM1Figura 2Elusodeinductoresacopladossuelelimitarseaaplicacionesquenoincluyen corriente directa, ya que las bobinas se comportan como cortoscircuitos para una corriente estable.Suponerqueinductoresacopladossonpartedeuncircuitolinealconunaentradasenoidalyqueelcircuitoestenestadoestable.Estecircuitopuedeanalizarseeneldominiodelafrecuenciautilizandofasores.Los inductores acoplados de la figura 1a se representan por lasecuaciones fasoriales2 1 1 1jwMI I jwL V + =Y1 2 2 2jwMI I jwL V + =En contraste, los inductores acoplados que se muestran en la figura 1bse representan por las ecuaciones fasoriales2 1 1 1jwMI I jwL V =y1 2 2 2jwMI I jwL V =Lasinductancias,L1yL2,ylainductanciamutua,M,dependendelaspropiedadesmagnticasydelageometradelncleoydelnmerodevueltasdelasbobinas.Conreferenciaalasecuaciones21 1 1N c L = ydtdiM v12 = , puede escribirse2222 1 22 1 2 122 221 1 2 1) ( ) )( (kMkN N cN N c c N c N c L LM= |.|

\|= = =dondealaconstante2 1/ c c c kM= seconocecomocoeficientedeacoplamiento.Puesto que el coeficiente de acoplamiento depende de c1,c2ycM,dependedelaspropiedadesmagnticasydelageometradelncleo.Al despejar el coeficiente de acoplamiento en la ecuacin222 1kML L = , seobtiene2 1L LMk =La potencia instantnea absorbida por los inductores acoplados es) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 2 1 1t i t v t i t v t p + =) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 1 2 2 1 2 1 1t i t idtdM t idtdL t i t idtdM t idtdL |.|

\| + |.|

\| =) ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) (2 2 2 2 1 1 1 1t idtdt i L t i t idtdM t idtdt i L + =donde se usa M si una de las corrientes entra en el extremo sin puntodeunadelasbobinas,mientrasquelaotracorrienteentraenelextremoconopunto;encasocontrario,seusa+M.Laenergaalmacenadaenlosinductoresacopladossecalculaintegrandolapotencia que absorben los inductores acoplados.La energa almacenadaen los inductores acoplados es2 122 221 12121) ( ) ( i Mi i L i L d t wt + = = } t t dondenuevamenteseusa Msiunadelascorrientesentraenelextremo sin punto de una de las bobinas, mientras que la otra corrienteentraenelextremoconpunto;encasocontrario,seusa+M.Estaecuacin puede utilizarse para encontrar que tan grande puede llegar aser un valor M en trminos de L1 y L2.Puesto que el transformador esun elemento pasivo, la energa almacenada debe ser mayor o igual quecero.La cantidad limite para Mse obtiene cuando 0 = wen la ecuacin2 122 221 12121) ( ) ( i Mi i L i L d t wt + = = } t t .Se tiene entonces2 122 221 12121i Mi i L i L + = 0comolacondicinlimiteparaelcasoenqueunacorrienteentraenlaterminal con punto y la otra corriente sale en la terminal con punto.Sesumayserestaeltrmino2 1 2 1L L i i = enlaecuacinparageneraruntrmino que sea un cuadrado perfecto como sigue:( ) 02 22 1 2 122211= +||.|

\| M L L i i iLiLEltrminocuadradoperfectopuedeserpositivoocero.Porlotanto,para tener 0 > w , se requiere queM L L >2 1En consecuencia, el valor mximo de M es2 1L LPor lo tanto, el coeficiente de acoplamiento de los inductores acopladospasivosnopuedesermayorque1.Adems,elcoeficientedeacoplamiento no puede ser negativo, ya que L1, L2 y M son no negativos.Cuando k = 0, no existe acoplamiento.Por lo tanto, es necesario que elcoeficiente de acoplamiento satisfaga1 0 s s kLamayorpartedelostransformadoresdepotenciatienenunakquetiende a uno, mientras que k es baja en los circuitos de radio.En la figura 3a se muestran los inductores acoplados que se usan comountransformadorparaconectarunafuenteaunacarga.Alabobinaconectadaalafuenteselellamalabobinaprimariayalabobinaconectadaalacargaselellamalabobinasecundaria.Elcircuito2seconectaalcircuito1atravsdelacoplamientomagnticodeltransformador,peronoexisteningunaconexinelctricaentreamboscircuitos.Porejemplo,nohayningunatrayectoriaparaquefluyacorrientedelcircuito 1alcircuito2.Adems,enelcircuitonohayningnelementoquellegueaunnododelcircuito1ya otronododelcircuito 2.( ) t v1( ) t v2M1L2L( ) t i1( ) t i2M je2L je2I1V2V2Z1L je1IFigura 3Enlafigura 3bsemuestraunejemploespecficodelasituacinilustradaenlafigura3a.Lafuenteesunasolafuentedevoltajesenoidal,ylacargaesunasolaimpedancia.Elcircuitoseharepresentadoeneldominiodelafrecuenciautilizandofasoreseimpedancias.Elcircuitodelafigura 3bpuedeanalizarseescribiendoecuaciones de malla.Las dos ecuaciones de malla son1 2 1 1V jwMI I jwL = 0 ) (2 2 2 1= + + I Z jwL jwMIAl despejar I2 en trminos de V1 se tiene12 122 122)) ( ) ( ) ((VZ jwL M L L jwjwMI((

+ =Cuando el coeficiente de acoplamiento de los inductores acoplados es launidad,entoncesM=2 1L L ylaecuacin12 122 122)) ( ) ( ) ((VZ jwL M L L jwjwMI((

+ =se reduce a11 2212 12 112 12VL ZLVZ jwLL L jwVZ jwLjwMI =(((

=((

=El voltaje de la impedancia est dado por1122 2 2VLLI Z V = =Elcocientedelasinductanciasestrelacionadoconlaspropiedadesmagnticas y la geometra del ncleo y con el nmero de vueltas de lasbobinas.Con referencia a la ecuacin21 1 1N c L = , puede escribirse21 122 212N cN cLL=Cuando las dos bobinas se arrollan simtricamente en el mismo ncleo,entoncesc1 = c2.En este caso,2212212nNNLL= =dondeanselellamalarelacindevueltasdeltransformador. Alcombinar las ecuaciones1122 2 2VLLI Z V = =y2212212nNNLL= =se obtiene1 2nV V =donde V1 es el voltaje a travs de la bobina primaria, V2 es el voltaje atravsdelabobinasecundariayneslarazndevueltas.Unclculosimilar indica que2 1nI I =Donde I1 es la corriente en la bobina primaria e I2 es la corriente en labobinasecundaria.Lasecuaciones1 2nV V = y2 1nI I = representaneltransformador ideal.Se concluye que un transformador es ideal cuandoel coeficiente de acoplamiento de los devanados del transformador es launidad,yambosdevanadosestnembobinadosenformasimtricaenel mismo ncleo de tal modo que2 1c c = .EjemploDeterminar el voltaje ) (2t v en el circuito que se muestra en la figura 4a.Se trata de un transformador ideal?( ) t v1( ) t v2H 2H 4 H 3( ) t i1( ) t i2( )V t45 4 cos 5 + O 12O 81V2V8 j6 j 12 j1I2I45 5Z 128Figura 4SolucinPrimero,serepresentaelcircuitoeneldominiodelafrecuenciautilizandofasoreseimpedancias,comosemuestraenla figura4b.Obsrvese que las corrientes de ambos devanados, I1 e I2, entran en elextremoconpuntodelosmismos.Losvoltajesdelosdevanadosseexpresan como funciones de las corrientes de los mismos utilizando lasecuacionesquedescribenlosinductoresacoplados,lasecuaciones222 1kML L =y2 1L LMk = .2 1 18 16 I j I j V + =2 1 212 8 I j I j V + =Despus, se escriben dos ecuaciones de malla1 18 45 5 V I + = Zy2 212I V =Alsustituirlasecuacionesdelosvoltajesdelosdevanadosenlasecuaciones de malla se obtiene2 1 2 1 18 ) 16 8 ( ) 8 16 ( 8 45 5 I j I j I j I j I + + = + + = Zy2 2 112 12 8 I I j I j = +Al despejar I2se obtieneA Z = 141 138 . 02IDespus, V2 est dado porV I V Z = = 39 656 . 1 122 2Al volver al dominio del tiempo,V t t v ) 39 4 cos( 656 . 1 ) (2 + =El transformador no es ideal, ya que L1L2= 4 3>22 = M2.4.9 EL TRANSFORMADOR IDEALUnusoimportantedelostransformadoresesenladistribucindepotencia de ca.Los transformadores poseen la capacidad de elevar obajarvoltajesycorrientesdeca.Lascompaasdeelectricidadutilizantransformadoresparaelevar(subir)elvoltajede10kVenlaplantageneradoraa200kVomsparalatransmisinengrandesdistancias.Despus,enlaplantaderecepcin,seusantransformadores para reducir (bajar) el voltaje a 220 o 110 V para usodel consumidor.Ademsdesuusoenlossistemasdeenergaelctrica,lostransformadoressoncomunesencircuitoselectrnicosydecomunicaciones.Proporcionan la capacidad de elevar o reducir voltajesy de aislar un circuito de otro.Unadelasbobinas,dibujadageneralmentealaizquierdaeneldiagrama de un transformador, est diseada como la bobina primaria,y la otra se denomina la bobina secundaria o devanado secundario.Labobinaprimariaseconectaalafuentedeenerga,ylabobinasecundaria se conecta a la carga.Untransformadoridealeselmodelodeuntransformadorconuncoeficientedeacoplamientoigualalaunidad.Estascaractersticasestn presentes generalmente en transformadores con ncleo de hierroy diseo especial.Se aproximan al transformador ideal en un intervalode frecuencias.( ) t v1( ) t v21L2Lab( ) t i1( ) t i2Ideal2 1N NIdeal2 1N N1V2V1I2IFigura 1Enlafigura 1 semuestraelsmbolodeltransformadorideal.Laoperacin del transformador ideal es la misma en el dominio del tiempoqueeneldominiodelafrecuencia.Enlafigura 1asemuestralarepresentacindeltransformadoreneldominiodeltiempo. Eneldominiodeltiempo,lasdosecuacionesquedefinenuntransformadorideal son) ( ) (1 2t nv t v =) ( ) (2 1t ni t i =donde1 2 / N N n =se denomina la relacin de vueltas del transformador.El uso de los transformadores suelen limitarse a las aplicaciones que noincluyencorrientedirecta,yaquelosdevanadosprimarioysecundariose comportan como cortocircuitos para una corriente estable.Enlafigura 1bsemuestralarepresentacindeltransformadoreneldominiodelafrecuencia.Eneldominiodelafrecuencia,lasdosecuaciones que definen un transformador ideal son1 2nV V =2 1nI I =Lasbarrasverticalesdelafigura 1indicanelncleodehierro,yseagrega lapalabraidealeneltransformadorparaasegurarlaidentificacindelcasoideal.Untransformadoridealpuedemodelarseusando fuentes dependientes, como se muestra en la figura 2.( ) t v1( ) t v2( ) t i1( ) t i22 1N N( ) t v1( ) t i2( ) t v2( ) t iNN212( ) t vNN112Figura 2Obsrvesequeelvoltajeylacorrientedeambasbobinasdeltransformadordelafigura 1seajustanalaconvencinpasiva.Lapotenciainstantneaabsorbida por el transformador ideal es0 ) ( ) ( ( )) ( )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 1 2 1 2 2 1 1= + = + = t i t nv t ni t v t i t v t i t v t pSe dice que el transformador ideal no tiene prdidas, ya que la potenciainstantnea que absorbe es cero.Un razonamiento similar indica que eltransformadoridealabsorbeceropotenciacompleja,ceropotenciapromedio y cero potencia reactiva.Enlafigura 3semuestrauntransformadoridealqueseusaparaconectar una fuente a una carga.A la bobina que se conecta a la fuentesellamabobinaprimaria,yalabobinaqueseconectaalacargasedenominabobinasecundaria.Elcircuito2seconectaalcircuito1medianteelacoplamientomagnticodeltransformador,peronohayningunaconexinelctricaentreestosdoscircuitos.Comoeltransformadoridealnotieneprdidas,todalapotenciaentregadaaltransformador ideal por el circuito 1 es entregada a su vez al circuito 2por el transformador ideal.( ) t v1( ) t v2( ) t i1( ) t i22I1V2V2Z1I2 1N N 2 1N NFigura 3 figura 4Consideremoselcircuitodelafigura 4quetieneunaimpedanciadecargaZ2acopladamagnticamenteaunafuentedevoltajeusandountransformador ideal.Laimpedanciadeentradadelcircuitoconectadoalafuentedevoltajees111IVZ =Z1sedenominalaimpedanciavistaenelprimariodeltransformadorola impedancia vista por la fuente de voltaje.El transformador se representa por las ecuacionesn V V /2 1 =2 1nI I =donde1 2 / N N n =es la relacin de vueltas del transformador.lacorrienteyelvoltajedelaimpedancia,I2yV2,noseajustanalaconvencin pasiva, por lo que2 2 2I Z V =Por tanto, para Z1 se tiene222222211 1 /Zn IVn nIn VZ =||.|

\| ==La fuente experimenta la impedancia Z1, que es igual a Z2 escalada porel factor 1/n2.En ocasiones se dice que Z1 es la impedancia Z2 reflejadaal primario del transformador.Supngase que va a conectarse una impedancia de carga a una fuente.Si la impedancia de carga se conecta directamente a la fuente, entoncesla fuente ve la impedancia de carga Z2.En contraste, si la impedanciadecargaseconectaalafuenteutilizandountransformadorideal,lafuentevelaimpedanciaZ1.Enestecontexto,sedicequeeltransformador ha cambiado la impedancia vista por la fuente de Z2 a Z1.EjemploCon frecuencia puede usarse un transformador ideal para representar untransformador que conecta la salida de un amplificador estreo, V1, a unaltavoz, como se muestra en la figura 5.Determinar la razn de vueltasnecesariasncuandoRc=8 yRf=48 siquiereconseguirselatransferencia mxima de potencia a la carga.1VcRfRn1Figura 5Solucin:La impedancia vista en el primario debida a Rc es2 218n nRZc= =Para alcanzar la transferencia mxima de potencia, se requiere quefR Z =1Puesto que Rf = 48 , se requiere que Z1 = 48 ,, de donde614882= = ny por tanto,61212=||.|

\|NN2 16N N =EjercicioDeterminar V1 e I1en el circuito de la figura cuando n = 5.1V2V1I2I0 10Z75 100 j 3 1 j +n1ActividadDeterminar v2 e i2 en el circuito de lafigura cuando n =2.Obsrveseque i2 no entra en la terminal con punto.t 10 cos 5O 2 O 5n1mH 205. CIRCUITOS TRIFSICOS5.1Sistemas monofsicos de tres conductores5.2Conexin trifsica Y-Y5.3Conexin delta5.4Medidas de potencia en sistemas trifsicos5.1 Sistemas monofsicos de tres conductores1V1VFigura 1Unafuentemonofsicadetreshilossedefinecomolaquetienetresterminales de salida (a, n y b en la figura 1a), en las que las tensionesde fasoranVynbVson iguales. Por tanto, se podra representar la fuentemediantelacombinacindedosfuentesdetensin idnticas;enlafigura 1b,1V V Vnb an= = .Es patente quenb an abV V V 2 2 = =y en consecuenciatenemos una fuente a la cual se conectaran las cargas que operan concualquieradelasdostensiones.Elsistemadomsticonormalesmonofsico de tres hilos, lo que permite la operacin de aparatos tantode110vcomode220v.Losaparatosdetensinsuperiorsonporlogeneral aquellosquedemandancantidadessuperioresdepotencia;laoperacin amayortensinoriginaunademandadecorrientemspequeaparalamismapotencia.Enconsecuenciapuedeemplearseconseguridadunalambrededimetromenorenelaparato,enelsistemadedistribucindomsticoyenelsistemadedistribucindelacompaaelctrica,yaqueresultanecesarioemplearalambrededimetromayorconcorrientesmsaltasparareducirelcalorqueseproduce debido a la resistencia del alambre.ElnombremonofsicoseoriginaporquelastensionesanV ynbV ,alseriguales, deben tener el mismo ngulo de fase.Sin embargo, desde otropuntodevista,lastensionesentreloshilosexterioresyelalambrecentral,quesueledenominarseelneutro,estexactamentea180fuera de fase.Es decir,bn anV V =ybn anV V + = 0.Ms adelante, veremosque los sistemas polifsicos balanceados se caracterizan por un sistemade tensiones de igual amplitud cuya suma (fasorial) es cero.Desde estaperspectiva,elsistemamonofsicodetreshilosesenrealidadunsistemabifsicobalanceado.Noobstante,bifsicoesuntrminoqueporlocomnsereservaaunsistemadesbalanceadorelativamenteintrascendentequeutilizadosfuentesdetensin90fueradefase,entre s.ConsideremosahoraunsistemamonofsicodetreshilosquecontienecargasidnticaspZ entrecadaalambreexterioryelneutro(figura2).Supondremosprimeroqueloshilosqueconectanalafuenteconlacarga son conductores perfectos.Puesto que:nb anV V =1V1VpZpZFigura 2entonces:pnbBbpanaAZVIZVI = = =y por lo tanto:0 = = + =aA Bb Aa Bb nNI I I I IEnconsecuencia,nohaycorrienteenelhiloneutroporloquepodraeliminarse sin alterar ninguna corriente o tensin del sistema, resultadoqueseconsiguemediantelaigualdaddelasdoscargasydelasdosfuentes.Pensemos a continuacin en el efecto de una impedancia finita en cadaunodeloshilos.Si las lneas aA y bB tienen cada una la misma impedancia, stapuedesumarseaZp,loqueoriginatambinenestecasodoscargasigualesyunacorrienteneutracero.Dejemos ahora que el hilo neutro posea una impedancia Zn.Sinefectuar ningn anlisis detallado, la superposicin debe mostrarnos quelasimetradelcircuitoseguirdandolugaraunacorrientedelneutroigual a cero.Adems, la adicin de cualquier impedancia conectada demanera directa desde una de las lneas exteriores a la otra lnea exteriorproducir tambin un circuito simtrico y una corriente de neutro igual acero.Porlotanto,lacorrientedeneutroceroesconsecuenciadeunacarga balanceada, o simtrica; la impedancia distinta de cero en el hiloneutro no destruye la simetra.Elsistemamsgeneralmonofsicodetreshiloscontendrcargasdesiguales entre cada lnea exterior y el neutro, as como otra carga demaneradirectaentrelasdoslneasexterioresfuerancasiiguales,aunquelaimpedanciadelneutroesamenudounpocomayor.Pensemosenunejemplodeunsistemadeestetipo,conintersparticular en la corriente que fluira ahora en la corriente del hilo neutro,ascomoenlaeficienciatotalconlaquenuestrosistematransmitepotencia a una carga desbalanceada.EjemploAnaliceelsistemadelafigura3ydeterminelapotenciaentregadaacadaunadelastrescargas,ascomolapotenciaperdidaenelhiloneutro y en cada una de las dos lneas.rms V0 115Zrms V0 115ZO 1O 3O 100O 10 jO 20 O 50O 1Figura 3 Identifique el objetivo del problema.Las tres cargas en el circuito son:el resistor de 50, el resistor de100 y una impedancia de 20 + j10 .Cada una de las dos lneaspresentaunaresistenciade1,ylaresistenciadelhiloneutrocorresponde a 3.Necesitamos la corriente que circula por cada unade stas a fin de determinar la potencia. Recopile la informacin conocida.Tenemos un sistema monofsico de tres hilos; el diagrama de circuitode la figura 3 est por completo marcado.Las corrientes calculadasestarn en unidades rms. Decida la tcnica disponible que se ajusta mejor al problema.El circuito nos lleva al anlisis de malla, al tener tres mallas definidasdemaneraclara.Elresultadodelanlisisserunconjuntodecorrientesdemalla, que en este caso se utiliza para calcular la potencia absorbida. Construya un conjunto apropiado de ecuaciones.Las tres ecuaciones de malla son:0 ) ( 3 ) ( 50 0 1153 1 2 1 1= + + + Z I I I I I0 ) ( 50 ) ( 100 ) 10 20 (1 2 3 2 2= + + + I I I I I j0 ) ( 100 ) ( 3 0 1153 2 3 1 3= + + + Z I I I I Ique puede reordenarse para obtener las tres siguientes ecuaciones:154I250I 33I Z = = 0 115 11150I 2) 10 170 ( I j + +3100I 0 =13I 2100I 3104I + Z = 0 115 Determine si se requiere informacin adicional.Tenemosunconjuntodetresecuacionescontresincgnitas,porloque se puede tratar de resolver el problema en este punto. Busque la solucin.Resolviendoparalascorrientesfasoriales2 1, I I e3I medianteunacalculadora cientfica, obtenemos:A IA IA I Z = Z = Z =80 . 21 37 . 1047 . 24 389 . 983 . 19 24 . 11321Las corrientes en las lneas exteri